Ikki sonning eng kichik umumiy karrali bu sonlarning eng katta umumiy bo?luvchisi bilan bevosita bog?liq. Bu GCD va NOC o'rtasidagi aloqa quyidagi teorema bilan aniqlanadi.

Teorema.

Ikki musbat a va b sonning eng kichik umumiy karrali a va b ning ko‘paytmasini a va b ning eng katta umumiy bo‘luvchisiga bo‘linganiga teng, ya’ni: LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Isbot.

Mayli M a va b sonlarining bir necha karrali. Ya'ni, M a ga bo'linadi va bo'linuvchanlik ta'rifi bo'yicha qandaydir butun k soni mavjud bo'lib, M=a·k tenglik to'g'ri bo'ladi. Lekin M ham b ga bo'linadi, u holda a k b ga bo'linadi.

gcd(a, b) ni d deb belgilang. Shunda a=a 1 ·d va b=b 1 ·d tengliklarini yozishimiz mumkin va a 1 =a:d va b 1 =b:d ko?p tub sonlar bo?ladi. Demak, oldingi bandda a k ning b ga bo‘linishi haqidagi shartni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: a 1 d k b 1 d ga bo‘linadi va bu bo‘linish xossalariga ko‘ra, 1 k ga bo‘linish shartiga ekvivalentdir. b ga bo'linadi.

Shuningdek, ko'rib chiqilgan teoremadan ikkita muhim xulosani yozishimiz kerak.

Ikki sonning umumiy karralari ularning eng kichik umumiy karralilarining karralari bilan bir xil.

Bu to'g'ri, chunki M sonlarning har qanday umumiy karrali a va b ba'zi bir butun t qiymati uchun M=LCM(a, b) t tengligi bilan aniqlanadi.

Ko?paytirish musbat a va b sonlarning eng kichik umumiy karrali ularning ko?paytmasiga teng.

Bu faktning mantiqiy asosi juda aniq. a va b o'zaro tub bo'lganligi uchun gcd(a, b)=1 bo'ladi, demak, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karrali

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini topish ikki sonning LCM ni ketma-ket topishga qisqartirilishi mumkin. Buning qanday bajarilishi quyidagi teoremada ko'rsatilgan: a 1 , a 2 , …, a k sonlarning umumiy karrali m k-1 va a k soniga to'g'ri keladi, shuning uchun m k sonining ko'paytmalari mos keladi. Va m k sonining eng kichik musbat karrali m k sonining o‘zi bo‘lgani uchun a 1, a 2, …, a k sonlarning eng kichik umumiy karrali m k bo‘ladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya. va hokazo. Matematika. 6-sinf: Ta’lim muassasalari uchun darslik.
• Vinogradov I.M. Sonlar nazariyasi asoslari.
• Mixelovich Sh.X. Raqamlar nazariyasi.
• Kulikov L.Ya. va boshqalar.Algebra va sonlar nazariyasidan masalalar to'plami: Fiz.-mat fani talabalari uchun darslik. pedagogika institutlarining mutaxassisliklari.

LCMni qanday topish mumkin (eng kichik umumiy ko'p)

Ikki butun sonning eng kichik umumiy ko?paytmasi berilgan ikkala songa teng va qoldiqsiz bo?linadigan butun sonlarning eng kichigidir.

1-usul. Siz berilgan raqamlarning har biri uchun o'z navbatida LCMni topishingiz mumkin, ularni 1, 2, 3, 4 va hokazolarga ko'paytirish orqali olingan barcha raqamlarni o'sish tartibida yozishingiz mumkin.

Misol 6 va 9 raqamlari uchun.
Biz 6 raqamini ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5 ga ko'paytiramiz.
Biz olamiz: 6, 12, 18 , 24, 30
Biz 9 raqamini ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5 ga ko'paytiramiz.
Biz olamiz: 9, 18 , 27, 36, 45
Ko'rib turganingizdek, 6 va 9 raqamlari uchun LCM 18 bo'ladi.

Bu usul ikkala raqam ham kichik bo'lganda qulay va ularni butun sonlar ketma-ketligiga ko'paytirish oson. Biroq, ikki xonali yoki uch xonali raqamlar uchun LCMni topishingiz kerak bo'lgan holatlar mavjud, shuningdek, uchta yoki undan ko'p boshlang'ich raqamlar mavjud.

2-usul. Asl sonlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topishingiz mumkin.
Parchalanishdan so'ng, hosil bo'lgan tub omillar qatoridan bir xil raqamlarni kesib tashlash kerak. Birinchi raqamning qolgan raqamlari ikkinchisining koeffitsienti bo'ladi va ikkinchi raqamning qolgan raqamlari birinchisining koeffitsienti bo'ladi.

Misol 75 va 60 raqamlari uchun.
75 va 60 sonlarining eng kichik umumiy karralini bu raqamlarning karralarini ketma-ket yozmasdan topish mumkin. Buning uchun biz 75 va 60 ni tub omillarga ajratamiz:
75 = 3 * 5 * 5, va
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ko'rib turganingizdek, 3 va 5 omillar ikkala qatorda ham uchraydi. Aqliy jihatdan biz ularni “chiqib chiqaramiz”.
Keling, ushbu raqamlarning har birining kengayishiga kiritilgan qolgan omillarni yozamiz. 75 raqamini parchalashda biz 5 raqamini, 60 raqamini parchalashda esa 2 * 2 qoldirdik.
Shunday qilib, 75 va 60 raqamlari uchun LCMni aniqlash uchun biz 75 (bu 5) kengayishidan qolgan raqamlarni 60 ga va 60 sonining kengayishidan qolgan raqamlarni (bu 2 * 2) ko'paytirishimiz kerak. ) 75 ga ko'paytiring. Ya'ni, tushunish qulayligi uchun biz "o'zaro" ko'paytiramiz, deymiz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Biz 60 va 75 raqamlari uchun LCMni shunday topdik. Bu 300 raqami.

Misol. 12, 16, 24 raqamlari uchun LCM ni aniqlang
Bunday holda, bizning harakatlarimiz biroz murakkabroq bo'ladi. Lekin, birinchi navbatda, har doimgidek, biz barcha raqamlarni tub omillarga ajratamiz
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCMni to'g'ri aniqlash uchun biz barcha raqamlardan eng kichigini tanlaymiz (bu 12 raqami) va ketma-ket uning omillarini ko'rib chiqamiz, agar boshqa raqamlar qatorlaridan kamida bittasi hali kesib o'tilmagan bir xil koeffitsientga ega bo'lsa, ularni kesib o'tamiz. tashqariga.

1-qadam. Biz 2 * 2 raqamlarning barcha qatorlarida sodir bo'lishini ko'ramiz. Biz ularni kesib o'tamiz.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2-qadam. 12 sonining tub omillarida faqat 3 raqami qoladi, lekin u 24 sonining tub koeffitsientlarida mavjud. Biz ikkala qatordan 3 raqamini kesib tashlaymiz, 16 soni uchun hech qanday harakat kutilmaydi. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ko'rib turganingizdek, 12 raqamini parchalashda biz barcha raqamlarni "chizib tashladik". Shunday qilib, MOQning xulosasi yakunlandi. Faqat uning qiymatini hisoblash uchun qoladi.
12 raqami uchun biz 16 raqamidan qolgan omillarni olamiz (o'sish tartibida eng yaqin)
12 * 2 * 2 = 48
Bu MOQ

Ko'rib turganingizdek, bu holda, LCMni topish biroz qiyinroq edi, lekin siz uni uch yoki undan ortiq raqam uchun topishingiz kerak bo'lganda, bu usul buni tezroq bajarishga imkon beradi. Biroq, LCMni topishning ikkala usuli ham to'g'ri.

Eng katta umumiy bo?luvchi va eng kichik umumiy karrali oddiy kasrlar bilan oson ishlash imkonini beruvchi asosiy arifmetik tushunchalardir. LCM va ko'pincha bir nechta kasrlarning umumiy maxrajini topish uchun ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

X butun sonining bo'luvchisi X qoldiqsiz bo'linadigan boshqa butun Y sondir. Masalan, 4 ning bo‘luvchisi 2 ga, 36 soni esa 4, 6, 9 ga teng. X butun sonining karralisi X ga qoldiqsiz bo‘linadigan Y sondir. Masalan, 3 soni 15 ga, 6 soni esa 12 ga karrali.

Har qanday son juftligi uchun ularning umumiy bo?luvchi va ko?paytiruvchilarini topishimiz mumkin. Misol uchun, 6 va 9 uchun umumiy karrali 18, umumiy bo'luvchi 3. Shubhasiz, juftliklar bir nechta bo'luvchi va ko'paytiruvchiga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun hisob-kitoblarda GCD ning eng katta bo'luvchisi va LCMning eng kichik karrali ishlatiladi. .

Eng kichik bo'luvchining ma'nosi yo'q, chunki har qanday raqam uchun u har doim bitta bo'ladi. Eng katta ko'paytma ham ma'nosizdir, chunki ko'paytmalar ketma-ketligi cheksizlikka intiladi.

GCD topilmoqda

Eng katta umumiy bo'luvchini topishning ko'plab usullari mavjud, ulardan eng mashhurlari:

• bo'luvchilarni ketma-ket sanash, juftlik uchun umumiylarini tanlash va ulardan eng kattasini izlash;
• sonlarni bo'linmas omillarga ajratish;
• Evklid algoritmi;
• ikkilik algoritm.

Bugungi kunda ta'lim muassasalarida asosiy omillarga parchalanishning eng mashhur usullari va Evklid algoritmi. Ikkinchisi, o'z navbatida, Diofantin tenglamalarini echishda qo'llaniladi: GCD ni qidirish tenglamani butun sonlarda echish imkoniyatini tekshirish uchun talab qilinadi.

MOKni topish

Eng kichik umumiy ko'paytma ham takroriy sanash yoki bo'linmas omillarga bo'linish orqali aniq aniqlanadi. Bundan tashqari, agar eng katta bo'luvchi allaqachon aniqlangan bo'lsa, LCMni topish oson. X va Y raqamlari uchun LCM va GCD quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

LCM (X, Y) = X x Y / GCM (X, Y).

Misol uchun, agar gcd(15,18) = 3 bo'lsa, u holda LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. LCM dan eng aniq foydalanish umumiy maxrajni topishdir, bu umumiy maxrajning eng kichik umumiy karralisidir. berilgan kasrlar.

Ko?paytirish raqamlari

Agar juft sonning umumiy bo?luvchilari bo?lmasa, bunday juftlik ko?p sonli son deyiladi. Bunday juftliklar uchun GCM har doim birga teng bo'ladi va bo'linuvchilar va ko'paytiruvchilarning ulanishiga asoslangan holda, ko'paytma uchun GCM ularning mahsulotiga teng bo'ladi. Misol uchun, 25 va 28 raqamlari ko'paytiriladi, chunki ularning umumiy bo'luvchilari yo'q va LCM(25, 28) = 700, bu ularning mahsulotiga mos keladi. Har qanday ikkita bo'linmas son har doim ko'p son bo'ladi.

Umumiy bo'luvchi va ko'p kalkulyator

Kalkulyatorimiz yordamida siz tanlagan raqamlarning istalgan soni uchun GCD va LCM ni hisoblashingiz mumkin. Umumiy bo'luvchilar va ko'paytiruvchilarni hisoblash uchun topshiriqlar 5 va 6-sinflar arifmetikasida mavjud, ammo GCD va LCM matematikaning asosiy tushunchalari bo'lib, raqamlar nazariyasi, planimetriya va kommunikativ algebrada qo'llaniladi.

Haqiqiy hayot misollari

Kasrlarning umumiy maxraji

Eng kichik umumiy karrali bir necha kasrning umumiy maxrajini topishda ishlatiladi. Aytaylik, arifmetik masalada 5 ta kasrni yig'ish kerak bo'ladi:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kasrlarni qo'shish uchun ifodani umumiy maxrajga qisqartirish kerak, bu esa LCMni topish muammosiga olib keladi. Buning uchun kalkulyatorda 5 ta raqamni tanlang va tegishli katakchalarga denominator qiymatlarini kiriting. Dastur LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ni hisoblab chiqadi. Endi siz har bir kasr uchun LCM ning maxrajga nisbati sifatida aniqlanadigan qo'shimcha omillarni hisoblashingiz kerak. Shunday qilib, qo'shimcha ko'paytirgichlar quyidagicha ko'rinadi:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Shundan so'ng, biz barcha kasrlarni tegishli qo'shimcha omilga ko'paytiramiz va olamiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Bunday kasrlarni osongina qo'shib, natijani 159/360 ko'rinishida olishimiz mumkin. Biz kasrni 3 ga kamaytiramiz va yakuniy javobni ko'ramiz - 53/120.

Chiziqli diofant tenglamalarini yechish

Chiziqli diofant tenglamalari ax + by = d ko'rinishdagi ifodalardir. Agar d / gcd(a, b) nisbati butun son bo'lsa, u holda tenglama butun sonlarda echiladi. Butun sonli yechish imkoniyati uchun bir nechta tenglamalarni tekshiramiz. Birinchidan, 150x + 8y = 37 tenglamasini tekshiring. Kalkulyatordan foydalanib, gcd (150,8) = 2 ni topamiz. 37/2 = 18,5 ni ajratamiz. Raqam butun son emas, shuning uchun tenglamada butun son ildizlari yo'q.

1320x + 1760y = 10120 tenglamasini tekshiramiz. Kalkulyatordan foydalanib gcd(1320, 1760) = 440 ni toping. 10120/440 = 23 ni bo'ling. Natijada, biz butun sonni olamiz, shuning uchun diophantine ineffectables equity koeffitsienti hisoblanadi. .

Xulosa

GCD va LCM raqamlar nazariyasida muhim rol o'ynaydi va tushunchalarning o'zi matematikaning turli sohalarida keng qo'llaniladi. Har qanday sonning eng katta bo'luvchi va eng kichik ko'paytmalarini hisoblash uchun kalkulyatorimizdan foydalaning.

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning uchta usulini ko'rib chiqing.

Faktoring orqali topish

Birinchi usul - berilgan sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratish yo'li bilan eng kichik umumiy ko'paytmani topish.

99, 30 va 28 raqamlarining LCM ni topishimiz kerak deylik. Buning uchun bu raqamlarning har birini tub ko‘paytmalarga ajratamiz:

Kerakli son 99, 30 va 28 ga bo'linishi uchun bu bo'luvchilarning barcha tub omillarini o'z ichiga olishi zarur va etarli. Buning uchun biz ushbu sonlarning barcha tub omillarini eng yuqori yuzaga keladigan darajaga olib, ularni ko'paytirishimiz kerak:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Demak, LCM (99, 30, 28) = 13 860. 13 860 dan kichik boshqa hech qanday son 99, 30 yoki 28 ga teng bo?linmaydi.

Berilgan sonlarning eng kichik umumiy karrasini topish uchun ularni tub omillarga ko‘paytiring, so‘ng u sodir bo‘ladigan eng katta ko‘rsatkichga ega bo‘lgan har bir tub omilni oling va bu ko‘rsatkichlarni birgalikda ko‘paytiring.

Ko?p tub sonlarning umumiy tub ko?paytmalari bo?lmagani uchun ularning eng kichik umumiy ko?paytmasi shu sonlarning ko?paytmasiga teng bo?ladi. Misol uchun, uchta raqam: 20, 49 va 33 ko'p sondir. Shunung uchun

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Turli tub sonlarning eng kichik umumiy karrasini qidirishda ham xuddi shunday qilish kerak. Masalan, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Tanlov orqali topish

Ikkinchi usul - moslashtirish orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topish.

1-misol. Berilgan sonlarning eng kattasi boshqa berilgan sonlarga teng bo‘linsa, bu sonlarning LKM ularning kattasiga teng bo‘ladi. Masalan, to'rtta raqam berilgan: 60, 30, 10 va 6. Ularning har biri 60 ga bo'linadi, shuning uchun:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Boshqa hollarda, eng kichik umumiy ko'paytmani topish uchun quyidagi protsedura qo'llaniladi:

1. Berilgan raqamlardan eng katta sonni aniqlang.
2. Keyinchalik, biz eng katta songa karrali sonlarni topamiz, uni o'sish tartibida natural sonlarga ko'paytiramiz va qolgan berilgan sonlar hosil bo'lgan ko'paytmaga bo'linishini tekshiramiz.

2-misol. 24, 3 va 18 uchta son berilgan. Ularning eng kattasini aniqlang - bu 24 raqami. Keyin 24 ning karralarini toping, ularning har biri 18 ga va 3 ga bo'linishini tekshiring:

24 1 = 24 3 ga bo'linadi, lekin 18 ga bo'linmaydi.

24 2 = 48 - 3 ga bo'linadi, lekin 18 ga bo'linmaydi.

24 3 \u003d 72 - 3 va 18 ga bo'linadi.

Demak, LCM(24, 3, 18) = 72.

Sequential Finding LCM orqali topish

Uchinchi usul - LCMni ketma-ket topish orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topish.

Berilgan ikkita sonning LCM ko'rsatkichi bu sonlarning ko'paytmasini ularning eng katta umumiy bo'luvchiga bo'linganiga teng.

1-misol. Berilgan ikkita sonning LCM ni toping: 12 va 8. Ularning eng katta umumiy bo‘luvchisini aniqlang: GCD (12, 8) = 4. Bu raqamlarni ko‘paytiring:

Biz mahsulotni GCD ga ajratamiz:

Shunday qilib, LCM(12, 8) = 24.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish uchun quyidagi protsedura qo'llaniladi:

1. Birinchidan, berilgan raqamlarning istalgan ikkitasining LCMsi topiladi.
2. Keyin topilgan eng kichik umumiy karrali va uchinchi berilgan sonning LCM.
3. Keyin, eng kichik umumiy ko'paytmaning LCM va to'rtinchi son va hokazo.
4. Shunday qilib, LCM qidiruvi raqamlar mavjud ekan, davom etadi.

2-misol. Berilgan uchta sonning LCM ni topamiz: 12, 8 va 9. Oldingi misolda 12 va 8 raqamlarining LCM ni topib olganmiz (bu 24 raqami). 24 ning eng kichik umumiy karrali va uchinchi berilgan sonni topish qoladi - 9. Ularning eng katta umumiy bo?luvchisini aniqlang: gcd (24, 9) = 3. LCMni 9 raqamiga ko?paytiring:

Biz mahsulotni GCD ga ajratamiz:

Demak, LCM(12, 8, 9) = 72.

Keling, LCM - Eng kichik umumiy ko'paytma, ta'rif, misollar bo'limida boshlagan eng kichik umumiy ko'paytma haqidagi munozarani davom ettiramiz. Ushbu mavzuda biz uchta yoki undan ko'p son uchun LCMni topish usullarini ko'rib chiqamiz, salbiy sonning LCM ni qanday topish kerakligi haqidagi savolni tahlil qilamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) gcd orqali hisoblash

Biz allaqachon eng kichik umumiy karra va eng katta umumiy bo'luvchi o'rtasidagi munosabatni o'rnatdik. Keling, GCD orqali LCMni qanday aniqlashni bilib olaylik. Birinchidan, buni ijobiy raqamlar uchun qanday qilishni aniqlaymiz.

Ta'rif 1

LCM (a, b) \u003d a b formulasidan foydalanib, eng katta umumiy bo'luvchi orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topishingiz mumkin: GCD (a, b) .

1-misol

126 va 70 raqamlarining LCM ni topish kerak.

Yechim

a = 126 , b = 70 ni olaylik. Eng katta umumiy bo'luvchi LCM (a, b) = a · b orqali eng kichik umumiy ko'paytmani hisoblash formulasidagi qiymatlarni almashtiring: GCD (a, b) .

70 va 126 raqamlarining GCD ni topadi. Buning uchun bizga Evklid algoritmi kerak: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , shuning uchun gcd (126 , 70) = 14 .

Keling, LCMni hisoblaylik: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Javob: LCM (126, 70) = 630.

2-misol

68 va 34 sonlarining noksini toping.

Yechim

Bu holda GCD ni topish oson, chunki 68 34 ga bo'linadi. Eng kichik umumiy ko'paytmani quyidagi formula yordamida hisoblang: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Javob: LCM(68, 34) = 68.

Bu misolda biz a va b musbat butun sonlarning eng kichik umumiy karralini topish qoidasidan foydalandik: agar birinchi son ikkinchisiga bo?linadigan bo?lsa, bu sonlarning LCM birinchi songa teng bo?ladi.

Raqamlarni asosiy omillarga ajratish orqali LCMni topish

Endi sonlarni tub omillarga ajratishga asoslangan LCM ni topish usulini ko'rib chiqamiz.

Ta'rif 2

Eng kichik umumiy ko'paytmani topish uchun biz bir necha oddiy amallarni bajarishimiz kerak:

• biz LCM ni topishimiz kerak bo'lgan raqamlarning barcha tub omillarining mahsulotini hosil qilamiz;
• biz olingan mahsulotlardan barcha asosiy omillarni istisno qilamiz;
• umumiy tub omillarni bartaraf qilgandan keyin olingan mahsulot berilgan sonlarning LCM ga teng bo'ladi.

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning bu usuli LCM (a , b) = a b tengligiga asoslanadi: GCD (a , b) . Agar siz formulaga qarasangiz, aniq bo'ladi: a va b sonlarining ko'paytmasi bu ikki raqamning kengayishida ishtirok etadigan barcha omillarning ko'paytmasiga teng. Bunday holda, ikkita raqamning GCD bu ikki raqamning faktorizatsiyasida bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning mahsulotiga tengdir.

3-misol

Bizda ikkita 75 va 210 raqamlari bor. Biz ularni quyidagicha ajratib ko'rsatishimiz mumkin: 75 = 3 5 5 va 210 = 2 3 5 7. Agar siz ikkita asl sonning barcha omillarini ko'paytirsangiz, siz quyidagilarni olasiz: 2 3 3 5 5 5 7.

Agar 3 va 5 raqamlari uchun umumiy omillarni chiqarib tashlasak, biz quyidagi ko'rinishdagi mahsulotga ega bo'lamiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Ushbu mahsulot 75 va 210 raqamlari uchun bizning LCM bo'ladi.

4-misol

Raqamlarning LCM ni toping 441 va 700 , ikkala sonni tub omillarga ajratish.

Yechim

Shartda berilgan sonlarning barcha tub omillarini topamiz:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Biz ikkita raqamlar zanjirini olamiz: 441 = 3 3 7 7 va 700 = 2 2 5 5 7 .

Ushbu raqamlarning kengayishida ishtirok etgan barcha omillarning mahsuloti quyidagicha ko'rinadi: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Keling, umumiy omillarni topaylik. Bu raqam 7 ta. Biz uni umumiy mahsulotdan chiqaramiz: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ma'lum bo'lishicha, MOQ (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Javob: LCM (441, 700) = 44 100.

Keling, raqamlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topish usulining yana bir formulasini keltiramiz.

Ta'rif 3

Ilgari biz ikkala raqam uchun umumiy omillarning umumiy sonidan chiqarib tashladik. Endi biz buni boshqacha qilamiz:

• Keling, ikkala raqamni tub omillarga ajratamiz:
• birinchi sonning tub ko'paytmalari ko'paytmasiga ikkinchi sonning etishmayotgan ko'paytmalarini qo'shing;
• biz mahsulotni olamiz, bu ikkita raqamning kerakli LCM bo'ladi.

5-misol

Keling, 75 va 210 raqamlariga qaytaylik, buning uchun biz oldingi misollardan birida LCM ni qidirgan edik. Keling, ularni oddiy omillarga ajratamiz: 75 = 3 5 5 va 210 = 2 3 5 7. 3, 5 va omillarning ko'paytmasiga 5 75 raqami etishmayotgan omillarni qo'shing 2 va 7 raqamlar 210. Biz olamiz: 2 3 5 5 7 . Bu 75 va 210 raqamlarining LCMidir.

6-misol

84 va 648 raqamlarining LCM ni hisoblash kerak.

Yechim

Shartdan raqamlarni tub omillarga ajratamiz: 84 = 2 2 3 7 va 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2 , 2 , 3 va ko'paytmalar ko'paytmasiga qo'shing 7 raqamlar 84 etishmayotgan omillar 2 , 3 , 3 va
3 648 raqamlari. Biz mahsulotni olamiz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 va 648 ning eng kichik umumiy karrali.

Javob: LCM (84, 648) = 4536.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Biz qancha raqam bilan ishlayotganimizdan qat'i nazar, harakatlarimiz algoritmi har doim bir xil bo'ladi: biz doimiy ravishda ikkita raqamning LCM ni topamiz. Bu holat uchun bir teorema mavjud.

Teorema 1

Faraz qilaylik, bizda butun sonlar bor a 1 , a 2 , … , a k. MOQ m k bu raqamlardan ketma-ket hisoblashda topiladi m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .

Endi teoremani aniq masalalarga qanday qo'llash mumkinligini ko'rib chiqamiz.

7-misol

140 , 9 , 54 va to'rtta sonning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblashingiz kerak 250 .

Yechim

Belgini kiritamiz: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) ni hisoblashdan boshlaylik. 140 va 9 sonlarining GCD ni hisoblash uchun Evklid algoritmidan foydalanamiz: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Biz quyidagilarni olamiz: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Shuning uchun m 2 = 1 260 ga teng.

Endi xuddi shu algoritm bo'yicha hisoblaylik m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260 , 54) . Hisob-kitoblar jarayonida biz m 3 = 3 780 ni olamiz.

Biz uchun m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) ni hisoblash qoladi. Biz xuddi shu algoritmga muvofiq harakat qilamiz. Biz m 4 \u003d 94 500 ni olamiz.

Misol shartidagi to'rtta raqamning LCM ko'rsatkichi 94500 ga teng.

Javob: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Ko'rib turganingizdek, hisob-kitoblar oddiy, ammo juda mashaqqatli. Vaqtni tejash uchun siz boshqa yo'l bilan borishingiz mumkin.

Ta'rif 4

Sizga quyidagi harakatlar algoritmini taklif qilamiz:

• barcha sonlarni tub omillarga ajratish;
• birinchi sonning ko'paytmalari ko'paytmasiga ikkinchi sonning ko'paytmasidan etishmayotgan ko'paytmalarni qo'shing;
• oldingi bosqichda olingan mahsulotga uchinchi raqamning etishmayotgan omillarini qo'shish va boshqalar;
• hosil bo'lgan mahsulot shartdagi barcha sonlarning eng kichik umumiy karrali bo'ladi.

8-misol

84 , 6 , 48 , 7 , 143 dan iborat beshta raqamning LCM ni topish kerak.

Yechim

Keling, barcha beshta sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . 7 raqami bo'lgan tub sonlarni tub omillarga ajratib bo'lmaydi. Bunday raqamlar ularning tub omillarga bo'linishi bilan mos keladi.

Endi 84 sonining 2, 2, 3 va 7 tub ko‘paytmalari ko‘paytmasini olib, ularga ikkinchi sonning yetishmayotgan ko‘paytmalarini qo‘shamiz. Biz 6 raqamini 2 va 3 ga ajratdik. Bu omillar allaqachon birinchi raqamning mahsulotida. Shuning uchun biz ularni chetlab o'tamiz.

Biz etishmayotgan multiplikatorlarni qo'shishda davom etamiz. Biz 2 va 2 ni oladigan tub omillar mahsulotidan 48 raqamiga murojaat qilamiz. Keyin to'rtinchi sondan 7 ning oddiy koeffitsientini va beshinchi sonning 11 va 13 koeffitsientlarini qo'shamiz. Biz olamiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Bu beshta asl sonning eng kichik umumiy karrali.

Javob: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy katorligini topish

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish uchun avval bu raqamlarni qarama-qarshi ishorali sonlar bilan almashtirib, so‘ngra yuqoridagi algoritmlar bo‘yicha hisob-kitoblarni olib borish kerak.

9-misol

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) va LCM(-622,-46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Bunday amallar, agar qabul qilingan bo'lsa, joizdir a va - a- qarama-qarshi raqamlar
keyin ko'paytmalar to'plami a sonning ko?paytmalari to?plamiga to?g?ri keladi - a.

10-misol

Salbiy raqamlarning LCM ni hisoblash kerak - 145 va - 45 .

Yechim

Keling, raqamlarni o'zgartiraylik - 145 va - 45 ularning qarama-qarshi raqamlariga 145 va 45 . Endi algoritmdan foydalanib, LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 ni hisoblab chiqamiz, bundan oldin Evklid algoritmi yordamida GCD ni aniqlaymiz.

Biz raqamlarning LCM ni olamiz - 145 va - 45 teng 1 305 .

Javob: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing