dinamik tizim- tizimning har bir elementining faza fazosida vaqt va joylashuv o'rtasidagi funktsional bog'liqlik ko'rsatilgan elementlar to'plami. [ ] Ushbu matematik abstraksiya tizimlarning vaqt bo'yicha evolyutsiyasini o'rganish va tavsiflash imkonini beradi.

Dinamik tizimning har qanday vaqt momentidagi holati holat fazosining ma'lum bir nuqtasiga mos keladigan haqiqiy sonlar (yoki vektorlar) to'plami bilan tavsiflanadi. Dinamik tizimning evolyutsiyasi deterministik funktsiya bilan belgilanadi, ya'ni ma'lum vaqt oralig'idan keyin tizim joriy holatga qarab o'ziga xos holatni oladi.

Kirish

Dinamik tizim - bu qandaydir ob'ekt, jarayon yoki hodisaning matematik modeli bo'lib, unda "flyukatsiyalar va boshqa barcha statistik hodisalar" e'tiborga olinmaydi.

Dinamik tizimni tizim sifatida ham ifodalash mumkin davlat. Ushbu yondashuv bilan dinamik tizim (butun holda) qandaydir jarayonning dinamikasini tavsiflaydi, ya'ni: tizimning bir holatdan ikkinchisiga o'tish jarayoni. Tizimning fazaviy maydoni dinamik tizimning barcha ruxsat etilgan holatlarining yig'indisidir. Shunday qilib, dinamik tizim o'zining boshlang'ich holati va tizimning boshlang'ich holatidan ikkinchisiga o'tish qonuni bilan tavsiflanadi.

bilan tizimlarni farqlash diskret vaqt va tizimlar davomiy vaqt.

An'anaviy ravishda chaqirilgan diskret vaqtli tizimlarda kaskadlar, tizimning xatti-harakati (yoki bir xil bo'lsa, tizimning fazaviy fazodagi traektoriyasi) quyidagicha tavsiflanadi. ketma-ketlik davlatlar. An'anaviy ravishda chaqiriladigan doimiy vaqtga ega tizimlarda oqimlar, tizimning holati uchun aniqlanadi hamma haqiqiy yoki murakkab o'qda vaqt momenti. Kaskadlar va oqimlar ramziy va topologik dinamikada ko'rib chiqiladigan asosiy mavzudir.

Dinamik tizim (diskret va uzluksiz vaqtga ega) ko'pincha ma'lum bir sohada berilgan va u erda mavjudlik teoremasining shartlarini va differensial tenglama yechimining yagonaligini qondiradigan avtonom differensial tenglamalar tizimi bilan tavsiflanadi. Dinamik tizimning muvozanat pozitsiyalari differensial tenglamaning yagona nuqtalariga, yopiq faza egri chiziqlari esa uning davriy yechimlariga mos keladi.

Dinamik tizimlar nazariyasining asosiy mazmuni differensial tenglamalar bilan aniqlangan egri chiziqlarni o'rganishdir. Bunga fazaviy makonni traektoriyalarga bo'lish va ushbu traektoriyalarning cheklovchi xatti-harakatlarini o'rganish kiradi: muvozanat pozitsiyalarini qidirish va tasniflash, jalb qilish ( attraktorlar) va jirkanch ( repellers) to'plamlar (navlar). Dinamik tizimlar nazariyasining eng muhim tushunchalari bu muvozanat holatlarining barqarorligi (ya'ni, tizimning dastlabki sharoitlarda kichik o'zgarishlar bilan muvozanat holatiga yaqin yoki ma'lum bir manifoldda o'zboshimchalik bilan uzoq vaqt turish qobiliyati) va p?r?zl?l?k (ya'ni, matematik modelning o'zida kichik o'zgarishlar bilan xususiyatlarning saqlanishi; " qo'pol tizim- bu shunday, harakatlarning sifat xususiyati parametrlarning etarlicha kichik o'zgarishi bilan o'zgarmaydi").

Dinamik tizimlarning ergodik nazariyasiga probabilistik-statistik tasvirlarni jalb qilish dinamik tizim tushunchasiga olib keladi. o'zgarmas o'lchov.

Dinamik tizimlarning zamonaviy nazariyasi - bu matematikaning turli sohalaridagi usullar keng qo'llaniladigan va samarali birlashtirilgan tadqiqotlarning umumiy nomi: topologiya va algebra, algebraik geometriya va o'lchovlar nazariyasi, differensial shakllar nazariyasi, singularlik va falokatlar nazariyasi.

Dinamik tizimlar nazariyasi usullari tabiatshunoslikning boshqa sohalarida, masalan, muvozanatsiz termodinamika, dinamik xaos nazariyasi, sinergetikada talabga ega.

Ta'rif

Mayli X (\displaystyle X) ixtiyoriy silliq manifold hisoblanadi.

dinamik tizim, silliq manifoldda aniqlangan X (\displaystyle X), xaritalash deyiladi g: R x X -> X (\displaystyle g\kolon R\times X\X), parametrik shaklda yozilgan g t (x) (\displaystyle g^(t)(x)), qayerda t ? R , x ? X (\displaystyle t\in R,x\in X), bu farqlanuvchi xaritadir va g 0 (\displaystyle g^(0))- makonning identifikator xaritasi X (\displaystyle X). Statsionar teskari tizimlarda bitta parametrli oila ( g t: t ? R ) (\displaystyle \(g^(t):t\in R\)) topologik makonning transformatsiyalar guruhini tashkil qiladi X (\displaystyle X), va shuning uchun, xususan, har qanday uchun t 1 , t 2 ? R (\displaystyle t_(1),t_(2)\Rda) identifikatsiya g t 1 ? g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

Xaritalashning differentsialligidan g (\displaystyle g) funktsiyadan kelib chiqadi g t (x 0) (\displaystyle g^(t)(x_(0))) vaqtning differensiallanuvchi funksiyasi, uning grafigi kengaytirilgan faza fazosida joylashgan R x X (\displaystyle R\times X) va chaqirdi integral traektoriya(egri) dinamik tizim. Uning kosmosga proyeksiyasi X (\displaystyle X), bu faza fazosi deb ataladi fazali traektoriya(egri) dinamik tizim.

Statsionar dinamik tizimni belgilash fazalar bo'shlig'ini fazalar traektoriyalariga bo'lish bilan tengdir. Dinamik tizimni belgilash odatda kengaytirilgan fazalar maydonini integral traektoriyalarga bo'lish bilan tengdir.

Dinamik tizimlarni aniqlash usullari

Dinamik tizimni aniqlash uchun uning faza fazosini tavsiflash kerak X (\displaystyle X), vaqtlar to?plami T (\displaystyle T) va ba'zilari qoida, bu fazo fazo nuqtalarining vaqt bilan harakatini tavsiflaydi. Vaqtning ko'p nuqtalari T (\displaystyle T) haqiqiy chiziqning ikkala oralig'i ham bo'lishi mumkin (keyin biz vaqtni aytamiz doimiy ravishda) va butun yoki natural sonlar to'plami ( diskret vaqt). Ikkinchi holda, fazoviy nuqtaning "harakati" bir nuqtadan ikkinchisiga bir lahzali "sakrash" ga o'xshaydi: bunday tizimning traektori silliq egri chiziq emas, balki oddiygina nuqtalar to'plamidir va odatda shunday deyiladi. orbita. Shunga qaramay, tashqi farqga qaramay, uzluksiz va diskret vaqtga ega tizimlar o'rtasida yaqin aloqalar mavjud: ko'pgina xususiyatlar ushbu tizimlar sinflari uchun umumiydir yoki biridan ikkinchisiga osongina o'tkaziladi.

Fazali oqimlar

Faza bo'shlig'iga ruxsat bering X (\displaystyle X) ko'p o'lchovli fazoni yoki undagi mintaqani ifodalaydi va vaqt uzluksizdir. Har bir nuqta qanchalik tez harakatlanayotganini bilamiz deylik x (\displaystyle x) faza maydoni. Boshqacha qilib aytganda, tezlik vektor funktsiyasi ma'lum v (x) (\displaystyle v(x)). Keyin nuqtaning traektoriyasi avtonom differentsial tenglamaning yechimi bo'ladi d x d t = v (x) (\displaystyle (\frac (dx)(dt))=v(x)) dastlabki holat bilan x (0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). Shu tarzda aniqlangan dinamik tizim avtonom differensial tenglama uchun fazali oqim deb ataladi.

Kaskadlar

Mayli X (\displaystyle X) ixtiyoriy to'plamdir va f: X -> X (\displaystyle f\kolon X\to X)- to'plamning ba'zi xaritalari X (\displaystyle X) o'zimga. Ushbu xaritalashning takrorlanishini, ya'ni uni fazalar fazosidagi nuqtalarga takroran qo'llash natijalarini ko'rib chiqing. Ular fazali fazoga ega dinamik tizimni belgilaydi X (\displaystyle X) va ko'p marta T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)). Haqiqatan ham, biz buni o'zboshimchalik bilan qabul qilamiz x 0 ? X (\displaystyle x_(0)\X ichida) davomida 1 (\displaystyle 1) nuqtaga boradi x 1 = f (x 0) ? X (\displaystyle x_(1)=f(x_(0))\X ichida). Keyin o'z vaqtida 2 (\displaystyle 2) bu nuqta nuqtaga o'tadi x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) (\displaystyle x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0)))) va hokazo.

Agar displey f (\displaystyle f) teskari, aniqlanishi mumkin teskari iteratsiyalar: x - 1 = f - 1 (x 0) (\displaystyle x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) (\displaystyle x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0)))) Shunday qilib, biz vaqt nuqtalari to'plamiga ega tizimni olamiz T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z)).

Misollar

• Differensial tenglamalar tizimi

"garmonik osilator" deb ataladigan uzluksiz vaqtga ega dinamik tizimni belgilaydi. Uning fazaviy maydoni tekislikdir (x , v) (\displaystyle (x,v)), qayerda v (\displaystyle v)- nuqta tezligi x (\displaystyle x). Garmonik osilator turli xil tebranish jarayonlarini modellashtiradi - masalan, buloqdagi yukning harakati. Uning fazaviy egri chiziqlari markazda nolga teng bo'lgan ellipslardir.

Dinamik tizimlar nazariyasi masalalari

Dinamik tizimning ba'zi vazifalariga ega bo'lgan holda, uning traektoriyalarini aniq shaklda topish va tavsiflash har doim ham mumkin emas. Shuning uchun, odatda, tizimning umumiy xatti-harakati haqida oddiyroq (lekin kamroq mazmunli) savollar ko'rib chiqiladi. Masalan:

1. Tizimda yopiq faza egri chiziqlari bormi, ya'ni evolyutsiya jarayonida o'zining dastlabki holatiga qaytishi mumkinmi?
2. Tizimning o'zgarmas manifoldlari (alohida holat yopiq traektoriyalar) qanday joylashtirilgan?
3. Tizimning attraktori, ya'ni traektoriyalarning "ko'pchiligi" moyil bo'lgan faza fazosidagi to'plam qanday ishlaydi?
4. Yaqin nuqtalardan otilgan traektoriyalar qanday harakat qiladi - ular yaqin bo'lib qoladimi yoki vaqt o'tishi bilan ancha masofaga uzoqlashadimi?
Havolalar

Manifoldlar va ularning kichik to'plamlari haqida. Differensial tenglamalar nazariyasi bilan chambarchas bog'liq, chunki oddiy differensial tenglama uning fazali fazosining bir parametrli diffeomorfizm guruhini belgilaydi.

Ushbu tadqiqot sohasi ko'pincha oddiygina "Dinamik tizimlar", "Tizimlar nazariyasi" yoki "Matematik dinamik tizimlar nazariyasi" deb nomlanadi.

Shakl: tizim

Wikimedia fondi. 2010 yil.

• Yolg'on guruhi nazariyasi
• Differensial tenglamalar nazariyasi

Boshqa lug'atlarda "Dinamik tizimlar nazariyasi" nima ekanligini ko'ring:

DINAMIK TIZIMLARNING METRIK NAZARIYASI- ergodik nazariya bilan bir xil ... Matematik entsiklopediya

DINAMIK TIZIMLARNING ENTROPIYA NAZARIYASI- ehtimollar nazariyasi va axborot nazariyasi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan ergodik nazariyaning bo'limi. Bu bog'lanishning tabiati umumiy ma'noda quyidagicha. (Tt) dinamik bo'lsin fazali fazo V va o'zgarmas o'lchovli tizim (odatda o'lchanadigan oqim yoki kaskad). Matematik entsiklopediya

VMK MDU Nochiziqli dinamik tizimlar va boshqaruv jarayonlari kafedrasi- M. V. Lomonosov nomidagi Moskva davlat universiteti (NDSiPU VMK MDU) ning Hisoblash matematikasi va kibernetika kafedrasi nochiziqli dinamik tizimlar va jarayonlar kafedrasi. Kafedra mudiri (1989 yildan) - Lenin mukofoti laureati, Davlat (SSSR va Rossiya Federatsiyasi), ... ... Vikipediya

Falokat nazariyasi (matematika)- falokat nazariyasi - matematikaning differensial tenglamalarning bifurkatsiyalari (dinamik tizimlar) nazariyasini va silliq xaritalashlarning birliklari nazariyasini o'z ichiga olgan bo'limi. "Kalofat" va "halokat nazariyasi" atamalarini Rene Tom va ... ... Vikipediya kiritgan.

Bifurkatsiya nazariyasi- dinamik tizimlar - parametrning (yoki bir nechta parametrlarning) o'zgarishiga qarab fazalar fazosining bo'linishining sifat ko'rinishidagi o'zgarishlarni o'rganadigan nazariya. Mundarija 1 Umumiy ko'rinish 2 Muvozanatlarning bifurkatsiyasi ... Vikipediya

Chiziqli statsionar tizimlar nazariyasi- chiziqli statsionar tizimlarning (LSS) xatti-harakatlari va dinamik xususiyatlarini o'rganuvchi dinamik tizimlar nazariyasi bo'limi. Texnik tizimlarni boshqarish, raqamli signallarni qayta ishlash va muhandislikning boshqa sohalarida keng qo'llaniladi. ... ... Vikipediya

Tasodifiy matritsalar nazariyasi- Tasodifiy matritsalar nazariyasi matematik statistikaning elementlari tasodifiy taqsimlangan matritsalar ansambllarining xossalarini o'rganadigan bo'limidir. Qoida tariqasida, elementlarning taqsimlanish qonuni o'rnatiladi. Shu bilan birga, o'z statistikasi o'rganiladi ... ... Vikipediya

Tugun nazariyasi- Tugunlar nazariyasi uch o'lchovli Evklid fazosida yoki sferada bir o'lchovli manifoldlarni joylashtirishni o'rganadi. Kengroq ma'noda, tugunlar nazariyasining predmeti sferalarni manifoldlarga joylashtirish va umuman olganda, kollektorlarni joylashtirishdir. Mundarija 1 ... ... Vikipediya

Kolmogorov nazariyasi- Arnold Mozerning Kolmogorov nazariyasi yoki uning yaratuvchilari A. N. Kolmogorov, V. I. Arnold va Yu. Mozer nomi bilan atalgan KAM nazariyasi, dinamik tizimlar nazariyasining kichik tebranishlarni deyarli o'rganadigan bo'limi bo'lib, deyarli ... ... Vikipediya.

Falokat nazariyasi (aniqlash)- Falokat nazariyasi: Falokat nazariyasi matematikaning differensial tenglamalarning bifurkatsiyalari (dinamik tizimlar) nazariyasini va silliq xaritalashlarning yagonaligi nazariyasini o'z ichiga olgan bo'limidir. Katastrofizm (falokat nazariyasi) tizimi ... ... Vikipediya

Kitoblar

• Dinamik tizimlarni sinxronlashtirish,. Ushbu kitobda fan va texnikaning jadal rivojlanayotgan sohasi - dinamik tizimlarni sinxronlashtirish bilan bog'liq fakt va natijalarni tizimli ravishda taqdim etishga harakat qilingan. Kitob ... 735 rublga sotib oling
• Dinamik tizimlar nazariyasi, G. A. Stepanyants. Ushbu kitob bir qator taniqli mahalliy va xorijiy matematiklar tomonidan yaratilgan dinamik tizimlarning umumiy nazariyasi asoslarini taqdim etishga bag'ishlangan. Ushbu nazariya bilan tanishish ...

Levinning motivatsiya nazariyasini yaratishning boshlang'ich nuqtasi ong ikki yo'l bilan belgilanadi: assotsiatsiya va iroda jarayoni. U ularni alohida tendentsiyalar sifatida ko'rdi. Levin ko'rsatdiki, u kvazi-ehtiyoj deb atagan belgilovchi tendentsiya alohida holat emas, aksincha, har qanday xatti-harakatlarning dinamik shartidir. Xulq-atvorning energiya komponenti har doim Levin uchun insonning niyatlari va harakatlarini tushuntirishda markaziy bo'g'in bo'lgan.

Aqliy mehnatni amalga oshiradigan energiya turini Levin aqliy energiya deb atagan. U psixik tizim nomutanosiblik tufayli muvozanatni tiklashga harakat qilganda chiqariladi. Ikkinchisi tizimning bir qismida boshqalarga nisbatan kuchlanishning kuchayishi bilan bog'liq.

Levinning xulq-atvor dinamikasining etarlicha batafsil umumiy psixologik tushuntirish modelini taklif qilgan birinchi nisbatan katta umumiy nazariy ishi Ovsyankina, Zeigarnik, Birenbaum, Karstenning birinchi tajribalari natijalariga asoslangan "Niyat, iroda va ehtiyoj" kitobi edi. . Ushbu kitobda Lyuin Z.Freyd bilan deyarli ochiq muhokama qilmasdan, inson harakatlarining harakatlantiruvchi kuchlarini o'rganish sohasiga birinchi bo'lib e'tibor bergan Freydning muammosiga akademik psixologiyaning juda ishonchli javobini taklif qiladi. uning oldida e'tibor bermadi.

Levinning asosiy tushunchalari kitob sarlavhasida joylashtirilgan. Levinning fikricha, inson faoliyatining asosi uning har qanday shaklida, xoh u assotsiatsiya, harakat, fikrlash, xotira, niyat - ehtiyojdir. U ehtiyojlarni kuchlanishni keltirib chiqaradigan tarang tizimlar deb hisoblaydi, ularning chiqishi mos imkoniyat yuzaga kelganda harakat qiladi. O'zining ehtiyoj haqidagi tushunchasini psixologiyada allaqachon o'rnatilgan va asosan ma'lum ichki holatlar bilan bog'liq bo'lgan biologik, tug'ma ehtiyojlar bilan bog'liq bo'lganidan farqlash uchun Lyuin ularni "kvazi-ehtiyojlar" deb ataydi. Irodaviy jarayonlar kontseptsiyasida u harakatning boshlanishi avtomatik ravishda sodir bo'lishi kerak bo'lgan kelajakdagi maydonni o'zboshimchalik bilan qurish kabi xususiyatga e'tiborni qaratib, turli darajadagi o'zboshimchalikdagi qasddan qilingan jarayonlarni o'z ichiga oladi. Levin modelida alohida o'rinni "Aufforderungscharakter" tushunchasi egallaydi, bu atama rag'batlantirish (nimaning kvalifikatsiyasi mavjud bo'lsa) yoki rag'batlantirish (bunday spetsifikatsiya bo'lmagan joyda) deb tarjima qilinadi.Kvazi-ehtiyotlar shakllanadi Qabul qilingan niyatlar bilan bog'liq bo'lgan haqiqiy vaziyat va o'zini ko'rsatadiki, ba'zi narsalar yoki hodisalar motivatsiyaga ega bo'lib, ular bilan aloqa qilish muayyan harakatlarga moyillikni keltirib chiqaradi. Biz har doim ob'ektlarni xolis idrok etishimiz haqida ma'lum bo'lgan haqiqatni aytib, ular ma'lum bir hissiy rangga ega. Biz uchun Levinning ta'kidlashicha, ular bizdan o'zimizga nisbatan ma'lum bir faoliyatni talab qiladigandek tuyuladi: "Yaxshi ob-havo va ma'lum bir landshaft bizni sayrga chorlaydi, zinapoyaning qadamlari ikki yilga cho'ziladi. -keksa bolaning yuqoriga va pastga tushishi; eshiklar - ularni oching va yoping. "Inducement intensivligi va belgisi (jozibali yoki jirkanch) bo'yicha farq qilishi mumkin, lekin bu, Levinning fikriga ko'ra, asosiy narsa emas. Eng muhimi shundaki, ob'ektlar ma'lum, ko'proq yoki kamroq tor belgilangan harakatlarni keltirib chiqaradi, bu juda boshqacha bo'lishi mumkin, hatto biz o'zimizni faqat ijobiy stimullar bilan cheklab qo'ysak ham.Levin keltirgan faktlar ob'ektlar motivatsiyasidagi o'zgarishlar va sub'ektning ehtiyojlari va kvazi ehtiyojlari dinamikasi o'rtasidagi bevosita bog'liqlikdan dalolat beradi. uning hayotiy maqsadlari.

Lyuin motivatsiya fenomenologiyasiga boy tavsif beradi, u vaziyatga qarab, shuningdek, zarur harakatlarni amalga oshirish natijasida o'zgaradi: to'yinganlik ob'ekt va harakat tomonidan motivatsiyaning yo'qolishiga olib keladi va to'yinganlik quyidagicha ifodalanadi. ijobiy motivatsiyadan salbiyga o'tish; shu bilan birga, begona narsalar va kasblar, ayniqsa asliga bir oz qarama-qarshi bo'lganlar ijobiy rag'batga ega bo'ladi. Harakatlar va ularning elementlari ham avtomatlashtirish natijasida o'zining tabiiy motivatsiyasini yo'qotishi mumkin. Va aksincha: ehtiyojlar intensivligining oshishi bilan nafaqat ularga javob beradigan ob'ektlarning motivatsiyasi oshadi, balki bunday ob'ektlar doirasi ham kengayadi (och odam kamroq tanlanadi).

Levin insonni murakkab energiya tizimi deb hisoblagan va psixologik ishlarni bajaradigan energiya turi psixik energiya deb ataladi. Psixik energiya, odam nomutanosiblik holatida bo'lganidan keyin muvozanatni tiklashga harakat qilganda chiqariladi. Balanssizlik tashqi stimulyatsiya yoki ichki o'zgarishlar natijasida tizimning bir qismidagi kuchlanishning boshqa qismlariga nisbatan kuchayishi natijasida yuzaga keladi. Shaxs uni o'rab turgan ob'ektlarning psixologik sohasida yashaydi va rivojlanadi, ularning har biri ma'lum bir zaryadga (valentlikka) ega. Valentlik - bu psixologik muhit mintaqasining kontseptual xususiyati, bu mintaqaning inson uchun qiymati. Uning tajribalari shuni ko'rsatdiki, har bir inson uchun bu valentlik o'ziga xos belgiga ega, garchi bir vaqtning o'zida hamma uchun bir xil jozibali yoki itaruvchi kuchga ega bo'lgan narsalar mavjud. Shaxsga ta'sir etuvchi ob'ektlar unda ehtiyojlarni keltirib chiqaradi, bu Levin insonda kuchlanishni keltirib chiqaradigan o'ziga xos energiya zaryadlari deb hisoblaydi. Bu holatda, odam bo'shatishga moyil bo'ladi, ya'ni. o'z ehtiyojlarini qondirish uchun. Lyuin ehtiyojlarning ikki turini ajratdi - biologik va ijtimoiy (kvazi-ehtiyojlar). Levinning eng mashhur tenglamalaridan biri bo'lib, u turli ehtiyojlar ta'sirida psixologik sohadagi inson xatti-harakatini tavsiflaydi, bu xatti-harakat ham shaxsning, ham psixologik sohaning funktsiyasi ekanligini ko'rsatadi.

Dinamikani tushuntirish uchun Levin ba'zi tushunchalardan foydalanadi. Zo'riqish - bu shaxsiy ichki mintaqaning boshqa ichki mintaqalarga nisbatan holati. Tana bu mintaqaning kuchlanishini boshqalar bilan solishtirganda tenglashtirishga intiladi. Tanglikni tenglashtirishning psixologik vositalari jarayon - fikrlash, yodlash va boshqalar Muhtoj - kuchlanishning oshishi yoki intrapersonal mintaqada energiya chiqishi. Shaxs tarkibidagi ehtiyojlar alohida emas, balki ma'lum bir ierarxiyada bir-biri bilan bog'langan. Ehtiyojlar fiziologik holatlar (haqiqiy ehtiyojlar) va niyatlar yoki kvazi ehtiyojlarga bo'linadi. Ehtiyoj tushunchasi shaxsning ichki holatini, ehtiyoj holatini aks ettiradi, kvazi ehtiyoj tushunchasi esa ehtiyojni qondirishga qaratilgan aniq niyatga ekvivalentdir. “Demak, tegishli amalni bajarish uchun tabiiy ehtiyoj bo‘lmaganda yoki hatto qarama-qarshi tabiatdagi tabiiy ehtiyoj paydo bo‘lganda ham niyatga murojaat qilish kerak”.

Differentsiatsiya "maydon" nazariyasining asosiy tushunchalaridan biridir. va yashash maydonining barcha jihatlariga taalluqlidir. Masalan, Levinning fikriga ko'ra, bola atrof-muhit ta'siriga ko'proq moyillik va shunga mos ravishda ichki sohada, "haqiqat-noreallik" o'lchovida va vaqtinchalik sohada chegaralarning ko'proq zaifligi bilan tavsiflanadi. Shaxsning xulq-atvor nazariyasi "maydonini" tashkil etish va integratsiyalashuvini oshirish. tashkiliy o‘zaro bog‘liqlik sifatida belgilaydi. Yetuklikning paydo bo'lishi bilan shaxsning o'zida ham, psixologik muhitda ham katta farqlanish paydo bo'ladi, chegaralarning mustahkamligi kuchayadi, zamon tizimlari o'rtasidagi ierarxik va tanlangan munosabatlar tizimi murakkablashadi.

Barcha ruhiy jarayonlarning yakuniy maqsadi insonga muvozanatni tiklash istagi. Bu jarayonni psixologik muhitning keskinlikni engillashtiradigan ma'lum valentlik ob'ektlarini qidirish orqali amalga oshirish mumkin.

Levinning yondashuvi ikki nuqta bilan ajralib turardi. Birinchidan, u motiv energiyasi tanada yopiq degan fikrdan "organizm-muhit" tizimi g'oyasiga o'tdi. Shaxs va uning muhiti ajralmas dinamik bir butunlik sifatida paydo bo'ldi. Ikkinchidan, motivatsiyani biologik oldindan belgilangan konstanta sifatida talqin qilishdan farqli o'laroq, Lyuin motivatsion taranglikni shaxsning o'zi ham, boshqa odamlar ham yaratishi mumkin deb hisoblagan (masalan, shaxsga topshiriqni bajarishni taklif qiladigan eksperimentator). Shunday qilib, motivatsiyaning o'zi psixologik holat sifatida tan olingan. U endi biologik ehtiyojlarga qisqartirilmadi, uni qondirish orqali tana o'zining motivatsion salohiyatini tugatadi.

Levin o'zining motivatsiya g'oyasini sub'ekt va ob'ekt o'rtasidagi uzviy bog'liqlikdan kelib chiqqan. Shu bilan birga, ichki va tashqi o'rtasidagi qarama-qarshilik olib tashlandi, chunki ular Levinning fikriga ko'ra, yagona makonning turli qutblari - maydon deb e'lon qilindi. Gestalt-psixologlar uchun maydon bevosita ongga berilgan deb qabul qilinadigan sohadir. Levin uchun maydon xatti-harakatlar sodir bo'ladigan tuzilmadir. U shaxsning motivatsion intilishlarini va ayni paytda bu intilishlarning ob'ektlarini qamrab oladi. Levin xulq-atvorni shaxs va atrof-muhit o'rtasidagi o'zaro ta'sir faktidan kelib chiqqan. U narsalarni narsa sifatida emas, balki ularning shaxs ehtiyojlariga qanday aloqasi borligi bilan qiziqdi. Motivatsion o'zgarishlar shaxsning ichki tuzilmalaridan emas, balki sohaning o'ziga xos xususiyatlaridan, butunning dinamikasidan kelib chiqqan.

Bu natijalar Levinning pozitsiyasini Adler va gumanistik psixologiya g'oyalariga yaqinlashtiradi: shaxsning yaxlitligini, uning O'zini saqlashning ahamiyati, shaxsning o'z shaxsiyatining tuzilishini amalga oshirish zarurati. Turli maktablar va yo'nalishlar olimlari kelgan ushbu tushunchalarning o'xshashligi ushbu muammoning dolzarbligidan dalolat beradi, chunki ongsizning xatti-harakatlarga ta'sirini tushunib, insoniyat chiziq chizish zarurati g'oyasiga keladi. inson va boshqa tirik mavjudotlar o'rtasidagi munosabatlar, nafaqat uning tajovuzkorligi, shafqatsizligi, irodaliligining sabablarini, psixoanaliz mukammal tushuntirganligini, balki uning axloqi, mehribonligi, madaniyati asoslarini ham tushunish. Urushdan keyin yangi dunyoda insonning ahamiyatsizligi va zaifligini ko'rsatgan, odamlarning tipikligi va o'zaro almashinishi hissini engib o'tish, odamlar yaxlit, noyob tizimlar ekanligini isbotlash istagi katta ahamiyatga ega edi. o'zining ichki dunyosi, boshqa odamlarning dunyosiga o'xshamaydi.

Tizim tushunchalari, tizimning asosiy xarakteristikalari.

Tizim - bu o'zaro ta'sirda bo'lgan va ma'lum bir tuzilish bilan bog'langan elementlar to'plamidir.

Har qanday tizimning asosiy bloki uning tarkibiy elementlari bo'lib, har bir element u bo'lishi mumkin bo'lgan holatlar to'plami bilan tavsiflanadi.

Tizim elementining ishlash sxemasi:

Ko'pgina tizimlar qayta aloqa printsipi bilan tavsiflanadi - chiqish signali boshqaruvni tuzatish uchun ishlatilishi mumkin.

S(t) - elementning t vaqtdagi holati.

U(t) – t momentidagi elementni boshqarish.

a(t) - elementning t momentidagi muhiti.

E(t) - elementning t momentidagi tasodifiy effektlari.

Y(t) - elementning t vaqtidagi chiqish signali.

Umumiy holda, tizim elementining ishlashini tavsiflash quyidagi shakldagi differentsial yoki farqli tenglamalar tizimi yordamida amalga oshiriladi:

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t),E(t-1),...)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

Tizim tuzilishiga misollar:

chiziqli (seriyali):

ierarxik (daraxtga o'xshash):

radial (yulduz shaklida):

uyali yoki matritsa:

ko'paytirish bog'langan - ixtiyoriy tuzilish bilan.

Dinamik tizimlarni tahlil qilishda biz quyidagi muammolarni hal qilishni ko'rib chiqamiz:

Kuzatish vazifasi kelajakda chiqish qiymatlariga (ularning xatti-harakatlari to'g'risida) ko'ra S(t) vaqtida tizimning holatini aniqlashdir.

S(t) ni bilgan holda toping
diskret vaqtga ega tizim uchun.

doimiy vaqtga ega tizimlar uchun.

Identifikatsiya qilish vazifasi o'tmishdagi chiqish qiymatlarining xatti-harakatlari to'g'risidagi ma'lumotlarga ko'ra S(t) ning hozirgi holatini aniqlashdir.

3. Prognozlash vazifalari - hozirgi va bo'yicha kelajakdagi holatlarni aniqlash

o'tgan qadriyatlar.

S(t+1), S(t+2),... bilgan holda toping

Boshqarishni qidirish muammosi tizimni S(t) = X holatidan S holatga keltiradigan U(t), U(t+1),…, U(S), S > t boshqaruv ketma-ketligini topishdan iborat. (S) = Y.

Maksimal boshqaruvni sintez qilish muammosi 4-masalani hal qilishda U*(t) boshqaruv harakatlarining ma’lum bir optimal ketma-ketligidan va maksimal maqsad funksiyasi yoki funksionalidan iborat:

F(S(t)), t = 0,1,2,…

Tizim turlari:

Tasodifiy omillar mavjudligi bilan:

deterministik

Stokastik - tasodifiy omillarning ta'sirini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi.

2. Vaqt omilini hisobga olgan holda:

Uzluksiz vaqtga ega tizimlar

Diskret vaqt tizimlari

3. O'tgan davrlar ta'sirida:

Markov tizimlari - 1 va 2 vazifalarni hal qilish uchun ma'lumot faqat oldingi yoki keyingi davr uchun kerak bo'ladi. Markov tizimlari uchun (1) tenglama quyidagi shaklni oladi: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

Markoviyalik bo'lmagan.

Tizimlarning ba'zi umumiy xususiyatlari:

nedensellik - kelajakda ba'zi oqibatlarning oqibatlarini bashorat qilish qobiliyati. Qism. holat: tizimni oldindan belgilash, aslida, tizimning butun kelajakdagi evolyutsiyasi o'tmishdagi kuzatishlar asosida hisoblanishi mumkin bo'lgan holatlarni anglatadi.

nazorat qilish imkoniyati - kirish harakati U ni mos tanlash orqali har qanday kirish signali Y ga erishish mumkinligidan iborat.

barqarorlik - tizim barqaror, agar uning ishlash sharoitlari etarlicha kichik o'zgarishlar bilan tizimning xatti-harakati sezilarli darajada o'zgarmasa.

inertiya - boshqaruv va (yoki) tashqi muhitning o'zgarishiga javoban (kechikish) tizimda kechikishlarning paydo bo'lishi.

Moslashuvchanlik - tizimning tashqi muhit o'zgarishiga javoban o'z xatti-harakatlarini va (yoki) tuzilishini o'zgartirish qobiliyati.

Diskret vaqtli deterministik dinamik tizimlar.

Iqtisodiyotdagi ko'pgina ilovalar vaqt o'tishi bilan tizimlarni modellashtirishni talab qiladi.

Tizimning t vaqtdagi holati X(t) o'lchovli vektor bilan tasvirlanadi.

X(t) = ….. , X(t) R n (R - barcha haqiqiy sonlar to'plami)

t

Tizimning vaqt o'tishi bilan rivojlanishi funktsiya bilan tavsiflanadi

G (X 0 , t, ), qayerda

X 0 – tizimning dastlabki holati;

t - vaqt;

- parametr vektori.

g(*) funktsiyasi o'tish funktsiyasi deb ham ataladi

g(*) funksiyasi joriy holatni vaqt, dastlabki shartlar va parametrlar funksiyasi sifatida tavsiflovchi qoidadir.

Masalan: X t = X 0 (1+ ) t = g (X 0 , t, )

g(*) funksiyasi odatda ma'lum emas. Odatda ayirma tenglamalar tizimining yechimi sifatida aniq belgilanadi.

Farq tenglamasi yoki tenglamalar tizimi quyidagi shakldagi tenglamadir: F (t, X t , X t +1 , …, X t + m , ) = 0 (1), qayerda

X t - tizimning t vaqtidagi holati.

(1) tenglamaning yechimi vektorlar ketma-ketligidir

X t = X 0 , X 1 ,…,

Odatda (1) tenglamani X t + m ga nisbatan analitik tarzda yechish va tenglamalar deb ataladigan shaklda qayta yozish mumkin deb taxmin qilinadi:

X t+m = f (t, X t , X t+1 , …,X t+m-1 , )(2)

Masalan:

Xt +2 = Xt + Xt +1 /2 + t

Har qanday tizim har doim (2) ko'rinishda ifodalanishi mumkin?

Farq tenglamasi (2) agar F(*) holat o?zgaruvchilarning chiziqli funksiyasi bo?lsa (chiziqli bo?lishi shart emas) chiziqli deyiladi. )

(1) va (2) tenglamalarda m qiymati deyiladi tizim tartibi jiddiy cheklov emas, chunki tizim qo'shimcha o'zgaruvchilar va tenglamalarni kiritish orqali yuqori tartibli.

Misol: X t \u003d f (X t -1, Y t -1) - 2-tartibli tizim

Biz Y t \u003d X t -1 ni kiritamiz

X t \u003d f (X t -1, Y t -1)

Shunday qilib, biz faqat quyidagi shakldagi 1-tartibdagi tizimlarni ko'rib chiqamiz:

X t -1 = f(t, X t , ) (3)

(3) tenglama, agar t alohida argument sifatida unga kiritilmagan bo'lsa, avtonom deyiladi.

Misol:

Korxonada asosiy fondlar dinamikasini ko'rib chiqing

K t - korxonaning t davridagi asosiy fondlarining qiymati.

- amortizatsiya koeffitsienti, ya'ni yil davomida korxonadan chiqarilgan asosiy vositalarning foizi.

I t = asosiy fondlarga investitsiyalar.

K t +1 = (1 - )K t + I t - birinchi tartibli tenglama, chiziqli, agar I t = I bo'lsa, u holda

K t +1 = (1 - )K t + I - avtonom tenglama

Agar I t = I(t) avtonom bo'lmasa (t ga bog'liq)

(3) tenglamaning yechimi barcha mumkin bo'lgan holatlar uchun (3) tenglamani qanoatlantiruvchi holat vektorlari (X t ) ketma-ketligidir. Bu ketma-ketlik tizimning traektoriyasi deb ataladi. Tenglama (3) tizim holatining davrdan davrga qanday o'zgarishini ko'rsatadi va tizimning traektoriyasi uning evolyutsiyasini boshlang'ich sharoit va atrof-muhit holatiga bog'liq holda beradi. .

Agar X 0 boshlang'ich holati ma'lum bo'lsa, (3) munosabatni takroriy qo'llash orqali yechimlar ketma-ketligini olish oson, biz quyidagi tarzda o'tish funktsiyasini olamiz:

X t +1 = f (t, X t , )

X 1 \u003d f (0, X 0, ) = g (0, X 0, )

X 2 \u003d f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )

X t+1 = f (t, X t , ) = f (t, g, (t – 1, X 0 ,) ),) = g (t, X 0 , )

Agar f (*) bitta qiymatli, hamma joyda aniqlangan funktsiya bo'lsa, har qanday X 0 uchun (3) tenglamaning yagona yechimi mavjud.

Agar funktsiya f (t, X t ,) ko'rinishga ega bo'lsa. ) = / X t hamma joyda aniqlanmagan.

Agar f(*) uzluksiz differentsial funktsiya bo'lsa, u holda yechim ga nisbatan ham silliq bo'ladi va X0

Olingan yechim X 0 boshlang'ich holatiga bog'liq.

Chegaraviy shartga oid masala (3) tenglama va formulada ko'rsatilgan chegara shartidan iborat:

X s = X s (4)

Agar (4) tenglamada - S = 0 bo'lsa, u holda u boshlang'ich holat deb ataladi.

Tenglama (3) ko'p echimlarga ega va (3) + (4) tenglama - tizim yagona echimdir, shuning uchun (3) farq tenglamasining umumiy va xususiy echimlari mavjud:

X t g = X(t, c, ) = (X t (X t +1 = f (t, X t ,) ))) , bu erda e parametri ma'lum bir yechimni indekslaydi.

X t - t momentidagi hissa miqdori

Z - % i darajasi

X t +1 = X t (1+ z) ; X 0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 \u003d X 1 (1 + z) \u003d X 0 (1 + z) 2 \u003d g (X 0, t, z) bu erda t \u003d 2

Tizimga umumiy yechim topa olsangiz (3) . vaqt o'tishi bilan tizimning xatti-harakatlari haqida to'liq ma'lumotga ega bo'lamiz, tizim o'zgaruvchan parametrlarga qanday munosabatda bo'lishini aniqlash oson bo'ladi.

Afsuski, umumiy yechim faqat 1-darajali ma'lum sinflar uchun mavjud (xususan, chiziqli tizimlar uchun)

Avtonom tizimlar

Avtonom tizimlarning harakati farq tenglamasi bilan beriladi

X t +1 \u003d f (X t, ) (1)

Avtonom tizimlar vaqt o'tishi bilan tizimning tuzilishi bir xil bo'lib qoladigan vaziyatlarni modellashtiradi. Bu tahlil qilish uchun grafik usuldan foydalanish imkonini beradi.

X t \u003d 1 \u003d f (t, X t, )

X t \u003d X t +1 - X t \u003d f (t, X t, ) - X t = d (t, X t , ) (2)

d (*) funktsiyasi davrdan davrga tizim holati qanchalik o'zgarishini ko'rsatadi. Har bir X t nuqtasida vektorni bog'lash mumkin X t mos keladigan tenglamada (2) Bu kontekstdagi d (*) funktsiyasi chaqiriladi vektor maydoni

X 0 / t = 0

Avtonom tizimlar uchun
va

Avtonom tizimlarda X 0 nuqtasiga kelgan barcha tizimlar keyinchalik bir xil traektoriya bo'ylab boradi. Avtonom bo'lmagan tizimlarda xatti-harakatlar tizim qachon X 0 nuqtasiga kirganiga bog'liq.

Avtonom tizimlar uchun X 0 boshlang'ich holatida biz (1) tenglamani qo'llaymiz:

ketma-ket ikki marta qo'llaniladi.

Yuqoridagi tizimda f t f() funksiyani uning argumentiga t marta takroriy qo‘llash natijasini bildiradi. f t funktsiyasi tizimning dastlabki holatdan t davrida qayerga borishini ko'rsatadi.

X t - bu erda tizim X 0 nuqtadan t vaqt oralig'ida harakat qiladi.

f t funksiyasi ba'zan tizimning oqimi deb ataladi.

barqaror davlatlar. Davriy muvozanat. Barqarorlik.

Vaqt o'tishi bilan tizim barqaror holatga o'tadi. Shuning uchun biz tizimning t -> ? kabi asimptotik harakati bilan qiziqamiz.

Tizimni ko'rib chiqing

Shuning uchun, agar
u holda mavjud
.

Tenglamani qanoatlantiruvchi X nuqta
xaritalashning sobit nuqtasi deyiladi
.

Nuqta dinamik tizimlar kontekstida barqaror holat yoki statsionar holat deb ataladi.

Ruxsat etilgan nuqtalar dinamik tizimlarning uzoq muddatli xatti-harakatlarini o'rganish uchun keng qo'llaniladi.

agar
, keyin 1, aks holda 0

Lyapunovning barqarorlik nazariyasi

Nuqta har qanday son uchun Lyapunov barqaror deb ataladi
shunday raqam bor ,
bu holat
Barcha uchun
.

- vektorning tekislikdagi uzunligi.

- muvozanat holati.

vektor X normasi hisoblanadi.

Nuqta Agar tizim bir marta nuqta qo'shnisiga kirgan bo'lsa, Lyapunov barqaror bo'ladi va yaqin joyda qoladi .

Nuqta Lyapunov ma'nosida asimptotik barqaror deb ataladi, agar:

Asimptotik barqaror tizimlar uchun vaqt o'tishi bilan tizim o'zining muvozanat holatiga yaqinlashadi.

Tizim shunday ishlaydi:

- tizim oqimi

– k qadamdan keyin tizim qayerga boradi

Dinamik tizimning davriy yechimi
shaklida eritma deyiladi
, bu erda p - sistemaning davri yoki traektoriya davri.

Shunday qilib, davriy yechim xaritalashning sobit nuqtasidir
.

belgilangan nuqta

Ruxsat etilgan nuqta mavjudligini tekshiring
:

har qanday nuqta belgilangan.

Skalar chiziqli tizimlar

Skaler chiziqli tizimlar quyidagi shaklga ega:
(1)

t vaqtida berilgan tenglamadir.

Agar (1) tenglamada bo'lsa
, keyin
, keyin u bir hil deb ataladi.

Bir jinsli chiziqli tizimlar

Skayar tizimlar uchun fazalar diagrammasi yordamida tizimning harakatini tahlil qilish qulay. Faza diagrammasi - bu qaramlik grafigi

1.0 holat

Analitik jihatdan barqaror

-chiziqli, agar a=1 bo'lsa, 45 0 ostida - qiyalik burchagi.

0 uchun

2-holat. -1

o'chirilgan tebranishlar

3-holat. a>1

Holat 4. a<-1

5-holat. a = 1

6-holat. a = 0

7-holat. a = -1 x t+1 = -x t

Agar a
, keyin

, keyin

Bir hil chiziqli tizimlarning umumiy yechimi quyidagi shaklga ega:

Da
,
,

Birinchi tartibli bir jinsli chiziqli sistemalar

(1)

-boshqaruv

Bir jinsli bo'lmagan tizimlarni tahlil qilishda "superpozitsiya" tamoyili muhim rol o'ynaydi.

Bu (1) tenglamaning umumiy yechimini tenglama shaklida yozish mumkinligidadir:

(2)

qayerda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi (1):
va to‘ldiruvchi funksiya deyiladi.

bir jinsli bo'lmagan tenglamaning har qanday maxsus yechimi (1).

Avtonom tenglama (1)

1.

2.

Isbot:

Agar a (1) tenglamaning yechimi bo'lsa, u holda
.

Agar a u (1) tenglamaning boshqa yechimidir

Funktsiyani ko'rib chiqing
va tekshiring (1) tenglamaning yechimi.

2. [Zarur] Biz buni qandaydir yechim bilan boshlasak, ko'rsatdik va unga qo'shing
, keyin (1) tenglamaning yechimini olamiz. (1) tenglamaning barcha yechimlarini shu tarzda olamizmi, degan savol tug'iladi. Keling, bu haqiqatan ham shunday ekanligini isbotlaylik:

Bizda ikkita yechim bor (1), va :

Belgilamoq

- bir hil,
z t =ca t

-=taxminan t
=+taxminan t

Avtonom liniya tizimlari

X t +1 =ax t + U (3)

=+ (2)

= mushuk

= a + U
=

=+ mushuk

Agar a

Agar a

Qachon bo'lsa
vaqt o'tishi bilan tizim holatga etib boradi ->va U tenglamani to'g'ri tanlash orqali biz har qanday holatga erisha olamiz. Keyin tizim (3) boshqariladigan deb ataladi.

Agar a
, keyin vaqt o'tishi bilan tizim tenglamadan qat'iy nazar cheksiz qiymatlarni oladi va shuning uchun boshqarilmaydigan bo'ladi.

Umumiy yechim (3) quyidagi shaklga ega:

(4)

x s =x s chegaraviy shartni ko'rib chiqing:

(5)

Avtonom bo'lmagan chiziqli tizimlar

X t +1 =ax t + U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2) +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

Agar a
, keyin

Agar a
, keyin

Faraz qilaylik, U t ketma-ketligi chegaralangan, ya'ni. U t <= har qanday t uchun.

Keyin - chegara qiymati.

CHIZIQLI TIZIMLAR NAZARIYASINING IQTISODIY TOLLANISHI

Bozor muvozanatining o'rgimchak to'ri modeli.

Modelning asosiy taxminlari:

talab egri chizig'ining chiziqli tabiati

chiziqli taklif egri chizig'i

talab va taklif egri chizig'ining tengligi

Bu erda d 0, d 1 >0

Gap:

, bu erda S 1 >0, S 0 <=0 (chunki 0 narxda hech kim hech narsa chiqarmaydi).

Muvozanat:

d 0 -d 1 P t \u003d S 0 + S 1 P t-1

d 1 P t \u003d d 0 -S 0 -S 1 P t-1 |: d 1

P t =
(*)

Vaqt o'tishi bilan narxlar muvozanat bahosiga yaqinlashishi uchun bu nisbat kerak yoki S 1 d1
sistemada divergent tebranishlar bo'ladi.

diagrammadagi egri chiziq

taklif talab egri chizig'idan keskinroq.

d 1 p * \u003d d 0 -S 0 -S 1 p *

Keyinchalik oqilona xatti-harakatlar uchun ishlab chiqaruvchilar o'z qarorlarida nafaqat joriy, balki kelajakdagi bozor sharoitlarini ham hisobga olishlari kerak. Shunday qilib, bozorning normal ishlashi uchun iqtisodiy agentlarning kelajakka umidlarini shakllantirish (prognozlar qilish) qobiliyati muhimdir.

Moliya bozoridagi narxlar dinamikasi.

S - ko'chmas mulk taklifi

D - ko'chmas mulkka bo'lgan talab

P t - t momentidagi aktsiyalarning qiymati.

d t - t vaqtidagi dissidentlar.

r - depozit hisobvaraqlari bo'yicha foiz stavkasi.

- t+1 vaqtidagi aktsiyalarning kutilayotgan qiymati.

Arbitraj – investorga aktivni arzon narxda sotib olish va uni darhol qimmatroq narxda qayta sotish orqali xavf-xatarsiz darhol foyda olish imkonini beradigan holat.

Agar bozorda arbitraj imkoniyatlari bo'lmasa, u samarali hisoblanadi.

Aktsiyalar qiymatining balans nisbatini olish uchun arbitrajsiz tamoyilidan foydalanamiz.

(1)

Xarkov ko'chmas mulki misolida:

P t \u003d 30 ming dollar.

D t =2 ming dollar yiliga - ijara to'lovi

-kvartiraning keyingi davrda kutilayotgan narxi.

\u003d 33-2 \u003d 31 ming dollar.

KUTISH MEXANIZMLARI

1. Moslashuvchan kutishlar modeli

=
, bu erda 0<=<=1

0
=

1
=

- eksponensial tekislash usuli (2)

(1)

(2)

Faraz qilaylik, har qanday t uchun d t =d=const

0

Umumiy qaror:
, bu erda R 0 - aksiyalarning boshlang'ich qiymati.

a<1,
a t P 0
0

aktsiyalarning asosiy qiymati.

a t P 0 – spekulyativ komponent

2. Ratsional kutishlar modeli

Kamchilik - bozor ishtirokchilarining past o'rganish darajasi. Bu interteporal arbitraj uchun imkoniyat ochadi, ya'ni. keyingi davrlarda aksiyalar bahosining prognoz qilinadigan o'zgarishlari bo'yicha chayqovchilik.

Ushbu mantiqiy qarama-qarshilikni bartaraf etish uchun 1970-yillarda ratsional kutish modeli (R.Lukas) taklif qilingan.

Modelning mohiyati shundan iboratki, o'rtacha hisobda bozor aktivlar narxini baholashda tizimli ravishda xatoga yo'l qo'ya olmaydi. Bizning modelimizga nisbatan bu quyidagilarni anglatadi: investorlar aktsiyalarning qiymatini baholashda muntazam ravishda xato qilmasliklari kerak.

- xolis baholash, ya'ni.
- P t +1 ning xolis bahosi; yoki
=P t +1 +E t

E t – baholash xatosi

Keling, ratsional kutish modelining (to'liq bashoratli model) ekstremal versiyasini ko'rib chiqaylik, unda baholash xatosi 0 ga teng.

To'liq forsight modelidan, faraz qilaylik, E t =0, ya'ni.
=P t +1

To'liq bashoratli modelda aktsiya bahosi dinamikasini ko'rib chiqing.

Arbitraj sharti:

(1+r) P t =dt

(1+r) P t =dtP t+1

=Pt+1

P t+1 =(1+r) Pt-d (3)

P t beqaror, P t ->?, chunki (1+r) >, agar biz belgilangan nuqtadan boshlamasak:

Agar P t = bo'lsa, u holda P t + k =

d=0, P t +1 =(1+r) Pt

Total forsight modelida investor kutishlari o'z-o'zini ifoda etuvchi bashorat rolini o'ynaydi; aktivlar narxi cheksiz ko'tarilishi mumkin, chunki. investorlar o'sishiga ishonishadi. Shunday qilib, bunday modelda aktsiya bahosining spekulyativ komponenti uning asosiy qiymatidan ustun turadi.

DINAMIK TIZIM — real (fizik, biologik, iqtisodiy va hokazo) sistema evolyutsiyasining matematik modeli bo?lib, uning holati har qanday vaqtda uning dastlabki holati bilan yagona aniqlanadi.

Tarix ma'lumotnomasi. Dinamik tizimlar nazariyasining asoschilari A. Puankare va A. M. Lyapunovlardir. 19-asrning oxiri - 20-asrning boshlarida ular xatti-harakatlarini bilish kerak bo'lgan muammolar sinfini (osmon mexanikasida, aylanuvchi suyuqlikning muvozanat figuralari nazariyasida va boshqalar) kashf etdilar va o'rgandilar. oddiy differensial tenglamalar (ODE) tizimining bir nechta individual yechimlari x(t), lekin real (masalan, fizik) tizimning turli boshlang‘ich holatlariga mos keladigan barcha (yoki juda ko‘p) yechimlarning. Bunday holda, x (t) barcha mumkin bo'lgan holatlar (ya'ni, x vektorlarining qiymatlari) fazosida egri chiziq sifatida ko'rsatilishi mumkin va bu egri chiziqning geometrik xususiyatlaridan foydalanib, xususiyatlarni tushunish va tavsiflash mumkin. yechim x(t). Bunday egri chiziq fazali traektoriya deb ataladi.

20-asrning birinchi uchdan birida bir qator matematiklarning ishlarida dinamik tizim nazariyasi ishlab chiqildi. A. A. Andronovning tabiatdagi va laboratoriya sharoitida nochiziqli jarayonlarni o‘rganishda dinamik sistema nazariyasi samarali ekanligini anglab etgan va muhim misollar bilan ko‘rsatgan ishlari katta ahamiyatga ega bo‘ldi. Bu vaqtga kelib, chiziqli matematik apparatlar ko'pincha haqiqiy jarayonlarni tasvirlashga qodir emasligi sababli, chiziqli bo'lmagan muammolarni o'rganish zarurati aniq bo'ldi. Andronov o'z-o'zidan tebranishlarni Puankare chegara sikllari yordamida tasvirlab berdi va yangi fan - chiziqli bo'lmagan dinamikaning konturlarini belgilab berdi. L. S. Pontryagin bilan birgalikda u parametrlardagi kichik o'zgarishlarga sezgir bo'lmagan qo'pol tizim tushunchasini kiritdi. Bunday tizim parametrlardagi kichik o'zgarishlar bilan o'z xususiyatlarini keskin o'zgartirmaydi, ya'ni parametrlarni o'zgartirishdan oldingi va keyin uning holatlari topologik jihatdan bir xil (ekvivalent). Qo'pol tizimlar barcha dinamik tizimlarning funktsional maydonida ochiq maydonlarni to'ldiradi. Ushbu hududlardan tashqarida va xususan, ularning chegaralarida qo'pol bo'lmagan tizimlar yotadi. Chegaradan o'tish bifurkatsiya - dinamik tizim tuzilishining o'zgarishi bilan birga keladi. Parametrga bog'liq bo'lgan dinamik tizimlar oilasida parametrning boshlang'ich qiymatida va barcha bifurkatsiyalarda dinamik tizimning tuzilishini bilgan holda, parametrning cheklangan qiymatida uning tuzilishini bir ma'noda taxmin qilish mumkin.

20-asrning ikkinchi yarmida D.V.Anosov, V.I.Arnold, R.Bouen, R.Manet, Ya.G.Sinai, S.Smeyl, S.Hayashi, L.P.Shilnikov va boshqalar Andronov g?oyalarini rivojlantirib, chuqur va izchillik yaratdilar. deterministik jarayonlarning tabiati haqida to'g'ri tasavvur beradigan va real tizimlar modellarini o'rganishga imkon beruvchi dinamik tizim nazariyasi.

Dinamik tizimning xususiyatlari. Dinamik tizimning ta'rifi t vaqtga bog'liq bo'lgan holatlar fazosi (x) va evolyutsiya operatori (qonuni) ph t ni o'z ichiga oladi, unga ko'ra tizim x 0 boshlang'ich holatidan t vaqtida x t holatga keladi. Dinamik tizimning holati ularni talqin qilishning tabiiyligi, tavsiflashning soddaligi, simmetriya va hokazo sabablarga ko'ra tanlangan x o'zgaruvchilar to'plami bilan tavsiflanadi. Dinamik tizimning holatlari (fazalari) to'plami fazali fazoni tashkil qiladi, unda har biri holat nuqtaga to'g'ri keladi va evolyutsiya nuqtaning faza traektoriyasi bo'ylab harakatlanishi - fazalar bo'shlig'iga kiritilgan egri chiziq bilan ifodalanadi. Masalan, n ta zarrachaning jozibador kuchlar ta’siridagi harakati fazo fazosida shu zarralarning barcha koordinatalari va tezliklari to’plamlari to’plami bilan tasvirlanadi va evolyutsiya operatori tegishli ODE sistemasi yechimi bilan aniqlanadi.

Tizim evolyutsiyasining xususiyatlari fazali traektoriyalar turida namoyon bo'ladi. Jumladan, dinamik sistemaning muvozanat holati buziladigan traektoriyaga - faza fazosidagi nuqtaga, davriy harakatga - yopiq egri chiziqqa, spektrda m ta asosiy chastotaga ega bo'lgan kvazi davriy harakatga - egri chiziqqa mos keladi. fazali fazoga o'rnatilgan m o'lchamli torus. Dissipativ tizimning statsionar rejimi (barqaror harakati) attraktorga mos keladi - barcha yaqin traektoriyalarni o'ziga tortadigan traektoriyalar to'plami. Barqaror davriy tebranishlar chegara davriga to'g'ri keladi - izolyatsiya qilingan (faza fazosida) yopiq traektoriya; xaotik o'z-o'zidan tebranishlar odatda g'alati attraktorga mos keladi - beqaror traektoriyalardan iborat jalb qiluvchi to'plam.

Tenglamalarning tabiati va tadqiqot usullariga ko'ra, dinamik tizimlar chekli o'lchovli (cheklangan o'lchovli fazali fazoga ega) va cheksiz o'lchovli (tarqatilgan) ga bo'linadi. Cheklangan o'lchovli dinamik tizimlarni konservativ va dissipativ tizimlarga bo'lish mumkin, bu real tizimlarning turli fizik tabiatiga mos keladi. Konservativ dinamik tizimlar faza hajmi saqlanib qolgan tizimlardir. Ular vaqtga bog'liq bo'lmagan Gamilton funksiyasiga ega bo'lgan Gamilton tizimlari tomonidan yaratilgan. Dissipativ tizimlar uchun faza hajmi saqlanib qolmaydi, ularning fazaviy maydonida har qanday traektoriyaga nuqta abadiy tushadigan cheklangan maydon (tarqalish to'pi) mavjud.

Dinamik tizimlarni uzluksiz va diskret vaqtli tizimlarga ham ajratish mumkin. Uzluksiz vaqtga ega dinamik tizimlar odatda ODE tizimi tomonidan beriladi x = f(x) (x - skaler yoki vektor kattalik, nuqta vaqtga nisbatan differentsiatsiyani bildiradi), bunda har bir boshlang'ich x nuqtasi uchun yagona yechim mavjud. Bunday dinamik tizimning x 0 muvozanat holati f(x 0) = 0 tenglamasidan aniqlanadi. Muvozanat holati O yaqinidagi xatti-harakatlar tizimning O ga yaqin chiziqlilashgan xususiyatlariga, ya'ni l ildizlariga bog'liq. Xarakteristik tenglamaning 1 , l 2 ,.., l n

bu erda d ij - Kronecker belgisi. Re l j p uchun manfiy, q ildiz uchun musbat, p + q = n bo‘lsin. Agar p \u003d n (q \u003d n) bo'lsa, O nuqtasi barqaror (beqaror) tugun deb ataladi. Faza fazosining shu nuqtaga yaqin traektoriyalari barqaror tugun holatida, vaqt t -> +? bo'lganda, va beqaror tugunda, t-> -? bo'lganda, unga tortiladi. Agar p?0, q?0 bo'lsa, O nuqta egar deyiladi. U orqali ikkita sirt o'tadi: p o'lchovli W s O va q o'lchovli W u O, egar O ning barqaror va beqaror manifoldlari deb ataladi, shuningdek, barqaror va beqaror ajratmalar. Bu sirtlar mos ravishda t ->+? va t -> -? sifatida O ga intiluvchi traektoriyalardan hosil bo'ladi. Qolgan traektoriyalar egarni t -> ± ? shaklida tark etadi (1-rasm).

Bir vaqtning o'zida W s O W u O da yotadigan (va O bilan mos kelmaydigan) traektoriya gomoklinik yoki egar ajratuvchi halqa deyiladi. Uzluksiz muhitning bir o'lchovli modellarida gomoklinik traektoriya soliton ko'rinishidagi statsionar harakatlanuvchi to'lqinga mos keladi.

x = f(x) sistemaning x = p(t) davriy yechimi quyidagi xossaga ega: har qanday t uchun p(t) = p(t+T), bu yerda T - davr. Bu yechim faza fazosida L yopiq traektoriyaga mos keladi. L davriy traektoriyaga yaqin joyda traektoriyalarning harakati g 1 , ..., g n ko?paytirgichlar bilan tavsiflanadi, ular L bo?yicha chiziqlilashtirilgan sistemaning yechimlari yordamida topiladi. Ulardan biri, masalan, g n, har doim 1 ga teng. Agar |g i |< 1 (|g i | >1) hamma uchun i = 1, 2, ..., n - 1, u holda L traektoriyasi barqaror (beqaror). Agar kompleks tekislikdagi p ko'paytirgichlar ichkarida va q birlik aylanadan tashqarida yotsa, p + q = n - 1 bo'lsa, L - egar tipidagi traektoriya. U ikki sirtning kesishmasida yotadi: (p + 1)-o'lchovli W s L va (q + 1) o'lchovli W u L (barqaror va beqaror ajratmalar). W s L (W u L) sirti t -> +? (t ->- ?) sifatida L ga intiluvchi traektoriyalardan iborat. n = 3 va p = q=1 uchun W s L (W u L) sirt topologik jihatdan silindrga ekvivalent bo‘ladi, agar ko‘paytuvchi g musbat va 1 dan katta bo‘lsa (2-rasm).

L ning qo'shnisidagi traektoriyalarning harakati ularning L ni kesib o'tuvchi (n - 1) o'lchovli D yuzasidagi izlari va unga yaqin bo'lgan traektoriyalarni hisobga olgan holda o'rganiladi. Agar D dagi m 0 nuqta L ga etarlicha yaqin bo'lsa, u holda m 0 dan o'tuvchi traektoriya D ni ketma-ketlik xaritasi (Puankare xaritasi) deb ataladigan boshqa m nuqtada kesib o'tadi (3-rasm).

L ning D bilan kesishgan nuqtasida Puankare xaritasining linearizatsiyasi Yakobi matritsasi bilan tavsiflanadi. Uning xos qiymatlari g 1 , ..., g n-1 yopiq traektoriya L ko?paytmalaridir.

Davriy traektoriyalarning barqaror va beqaror manifoldlari kesishishi mumkin. W s L va W u L kesishmasiga tegishli va L dan farqli traektoriya gomoklinik hisoblanadi. Agar bu kesishish tegmasdan sodir bo'lsa, u holda gomoklinik traektoriyaga yaqin joyda turli xil beqaror traektoriyalar to'plami mavjud bo'lib, ular orasida cheksiz yopiq egar tipidagi traektoriyalar mavjud. Bunday traektoriyalar majmuasi xaotik dinamikaga ega dinamik tizim uchun xosdir. Shunday qilib, gomoklinik traektoriyaning mavjudligi dinamik tizimda xaotik rejimlarning mavjudligi uchun mezon bo'lib xizmat qilishi mumkin (qarang: Dinamik xaos).

Diskret-vaqtli dinamik tizimlar odatda faza fazosining G ni o'ziga solishtirish orqali aniqlanadi: x n+1 = G(x n). Keyin evolyutsiya operatori ph t , t = m, oddiygina G xaritasi m marta qo'llaniladi: ph n x=G(G(...G(x)...)). Masalan, populyatsiya dinamikasining eng oddiy modeli (n + 1)-avlod a'zolari sonining zichligini, x n + 1, oldingi avlodning x n sonining funktsiyasi sifatida tavsiflaydi: x n + 1 \u003d ax n - bx 2 n, a, b > 0 - vazifa sozlamalari. A va b qiymatlariga qarab, bu dinamik tizim muntazam (barcha attraktorlar davriy traektoriyalar) yoki xaotik dinamikani namoyish qilishi mumkin.

Puankare xaritasi aslida diskret vaqt tizimini belgilaydi. Masalan, X = f(x, th), th = 'n shaklida yozilishi mumkin bo'lgan ODE tizimiga davriy tebranish ta'sirini tavsiflovchi dinamik tizimlar, bu erda f - th da davriy vektor funktsiyasi, har doim Puankare hosil qiladi. xarita. Bunday tizimlar uchun global Puankare sekant yuzasi th = 0 bo'lib, har bir traektoriya cheksiz ko'p marta kesishadi. Uzluksiz vaqtli tizimdagi traektoriyalarning harakati diskret vaqtli dinamik tizim tomonidan to'liq aniqlanadi.

Dinamik tizim nazariyasining muhim qismi traektoriyalarning statistik xususiyatlarini tavsiflovchi ergodik nazariyadir. Agar ular beqaror bo'lsa, turli traektoriyalardagi nuqtalar evolyutsiya jarayonida bir-biridan sezilarli masofaga ajralib turadi, boshlang'ich holatlarning yaqinligiga qaramay, tizim dastlabki sharoitlarga "sezgir bog'liqlik" ni namoyish etadi. (E'tibor bering, ob-havoni uzoq muddatli bashorat qilishning mumkin emasligi traektoriyalarning beqarorligi bilan bog'liq.) Dastlabki holatni cheksiz aniqlik bilan aniqlash mumkin bo'lmagani uchun (o'lchash yoki yodlashda har doim eng kichik xatolar mavjud), uni o'rganish kerak. individual traektoriyalarning emas, balki boshlang'ich sharoitlarning "nuqtasi" dan o'tuvchi traektoriyalar to'plamlarining harakati. Ushbu traektoriyalar turli xil xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin va bu xususiyatlarning xilma-xilligini ehtimollik taqsimoti nuqtai nazaridan tasvirlash mumkin.

A. Puankare birinchi bo'lib dinamik tizimning traektoriyalari beqaror bo'lganda, ularning bir xil xarakterdagi statistik xossalari haqida gapirish mumkin, degan fikrni birinchi bo'lib sifat ko'rinishida ifodaladi, bu haqda o'sha paytga qadar L. Boltsmann va J. V. Gibbs statistik mexanika bo'yicha. Shunga o'xshash g'oyalar ergodik nazariyada amalga oshirildi va deterministik va tasodifiy "dunyolar" o'rtasidagi "ko'prik" rolini muvaffaqiyatli bajaradi.

Dinamik tizim nazariyasi yordamida tabiat va texnikadagi ko?plab nochiziqli hodisalar, masalan, dinamik xaos, davriy va xaotik tebranishlarning sinxronlashuvi, dissipativ tuzilmalarning shakllanishi, taqsimlangan modellarda fazo-vaqt xaoslari o?rganildi va tushuntirildi. tizimlar, miyaning neyron tarmoqlarida rejim raqobati va boshqalar.

Lit.: Ikkinchi tartibli dinamik tizimlarning sifat nazariyasi. M., 1967; Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V. Ergodik nazariya. M., 1980; Fan va texnika natijalari. Ser. Matematikaning zamonaviy muammolari. asosiy yo'nalishlar. M., 1985-1991 yillar. [T. 1-9]: Dinamik tizimlar; Katok A., Hasselblatt B. Dinamik tizimlarning zamonaviy nazariyasiga kirish. M., 1999 yil.

V. S. Afraimovich, M. I. Rabinovich.