Ushbu darsda siz qavslar mavjud ifodani qavslarsiz ifodaga aylantirishni o'rganasiz. Oldindan ortiqcha va minus belgisi bo'lgan qavslarni qanday ochishni o'rganasiz. Biz ko'paytirishning distributiv qonunidan foydalangan holda qavslarni qanday ochishni eslaymiz. Ko'rib chiqilgan misollar yangi va ilgari o'rganilgan materialni bir butunga bog'lash imkonini beradi.

Mavzu: Tenglamalarni yechish

Dars: Qavslarni kengaytirish

Oldindan "+" belgisi qo'yilgan qavslarni qanday ochish kerak. Qo'shishning assotsiativ qonunidan foydalanish.

Agar siz ikkita raqamning yig'indisini raqamga qo'shishingiz kerak bo'lsa, unda siz ushbu raqamga birinchi atamani, keyin esa ikkinchisini qo'shishingiz mumkin.

Teng belgisining chap tomonida qavsli ifoda, o'ng tomonida esa qavssiz ifoda joylashgan. Bu tenglikning chap tomonidan o'ng tomonga o'tishda qavslar ochilganligini anglatadi.

Misollarni ko'rib chiqing.

1-misol

Qavslarni kengaytirib, biz operatsiyalar tartibini o'zgartirdik. Hisoblash yanada qulayroq bo'ldi.

2-misol

3-misol

E'tibor bering, uchta misolda biz oddiygina qavslarni olib tashladik. Keling, qoidani tuzamiz:

Izoh.

Agar qavs ichidagi birinchi atama imzosiz bo'lsa, u ortiqcha belgisi bilan yozilishi kerak.

Siz bosqichma-bosqich misolni kuzatishingiz mumkin. Birinchidan, 889 ga 445 qo'shing. Bu aqliy harakatni bajarish mumkin, lekin bu juda oson emas. Keling, qavslarni ochamiz va operatsiyalarning o'zgartirilgan tartibi hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirishini ko'ramiz.

Agar siz ko'rsatilgan harakatlar tartibiga rioya qilsangiz, unda siz birinchi navbatda 512 dan 345 ni ayirishingiz kerak, so'ngra natijaga 1345 ni qo'shishingiz kerak Qavslarni kengaytirish orqali biz harakatlar tartibini o'zgartiramiz va hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiramiz.

Tasviriy misol va qoida.

Bir misolni ko'rib chiqing: . Ifodaning qiymatini 2 va 5 ni qo'shib, keyin qarama-qarshi belgi bilan olingan raqamni olish orqali topishingiz mumkin. Biz -7 olamiz.

Boshqa tomondan, xuddi shunday natijaga qarama-qarshi raqamlarni qo'shish orqali erishish mumkin.

Keling, qoidani tuzamiz:

1-misol

2-misol

Qavs ichida ikkita emas, uch yoki undan ortiq atama bo'lsa, qoida o'zgarmaydi.

3-misol

Izoh. Belgilar faqat atamalar oldida teskari bo'ladi.

Qavslarni ochish uchun bu holda biz taqsimlovchi xususiyatni esga olishimiz kerak.

Birinchidan, birinchi qavsni 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiring.

Birinchi qavs oldidan "+" belgisi qo'yiladi, ya'ni belgilar o'zgarishsiz qolishi kerak. Ikkinchisidan oldin "-" belgisi mavjud, shuning uchun barcha belgilar teskari bo'lishi kerak

Adabiyotlar ro'yxati

1. Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonskiy V.V., Yakir M.S. Matematika 6-sinf. - Gimnaziya, 2006 yil.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Matematika darsligi sahifalari ortida. - "Ma'rifat", 1989 yil.
4. Rurukin A.N., Chaykovskiy I.V. 5-6-sinf matematika kursi uchun topshiriqlar - ZSH MEPhI, 2011 yil.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaykovskiy K.G. Matematika 5-6. MEPhI sirtqi maktabining 6-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma. - ZSH MEPhI, 2011 yil.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: O'rta maktabning 5-6-sinflari uchun darslik-suhbatdosh. Matematika o'qituvchisi kutubxonasi. - "Ma'rifat", 1989 yil.

1. Onlayn matematik testlar ().
2. 1.2-bandda ko'rsatilganlarni yuklab olishingiz mumkin. kitoblar ().

Uy vazifasi

1. Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (1.2 havolaga qarang)
2. Uyga vazifa: 1254-son, 1255-son, 1256-son (b, d)
3. Boshqa topshiriqlar: № 1258(c), 1248-son

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Axilles bu masofani bosib o'tgan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganida, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon cheksiz davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetmaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Bularning barchasi u yoki bu tarzda Zenon aporiyalarini ko‘rib chiqdilar. Shok shu qadar kuchli ediki " ... hozirgi vaqtda munozaralar davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi. ; ularning hech biri muammoning umume'tirof etilgan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya," Zenon's Aporias "]. Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin aldash nima ekanligini hech kim tushunmaydi.

Matematika nuqtai nazaridan Zenon o'z aporiyasida qiymatdan o'tishni aniq ko'rsatdi. Bu o'tish doimiylar o'rniga qo'llashni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklarini qo'llash uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga tatbiq etilmagan. Bizning odatiy mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz, fikrlash inertsiyasiga ko'ra, o'zaro vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda vaqt butunlay sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'ta olmaydi.

Agar biz o'rgangan mantiqni aylantirsak, hamma narsa o'z o'rniga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi segmenti avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar bu vaziyatda “cheksizlik” tushunchasini qo‘llasak, “Axilles cheksiz tezlikda toshbaqadan o‘zib ketadi” desak to‘g‘ri bo‘ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Vaqtning doimiy birliklarida qoling va o'zaro qiymatlarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu tomonga yuz qadam emaklaydi. Keyingi vaqt oralig'ida, birinchisiga teng, Axilles yana ming qadam yuguradi va toshbaqa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining engib bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Bu muammoni hali o‘rganishimiz, qayta ko‘rib chiqishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchuvchi o'q harakatsiz, chunki u har bir vaqtning har bir daqiqasida dam oladi va har bir vaqtning har bir daqiqasida tinch holatda bo'lgani uchun, u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida turishini aniqlab berish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlash mumkin emas. Avtomobilning harakatlanish faktini aniqlash uchun vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ular masofani aniqlash uchun ishlatib bo'lmaydi. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak bo'ladi, lekin siz ulardan harakatlanish faktini aniqlay olmaysiz (tabiiyki, siz hali ham hisob-kitoblar uchun qo'shimcha ma'lumotlarga muhtojsiz, trigonometriya sizga yordam beradi). Ayniqsa, shuni ta'kidlamoqchimanki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta ikki xil narsadir, ularni chalkashtirmaslik kerak, chunki ular kashfiyot uchun turli imkoniyatlar beradi.

Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil

To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Biz qaraymiz.

Ko'rib turganingizdek, "to'plam ikkita bir xil elementga ega bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'nilik mantiqini hech qachon tushunmaydilar. Bu gapiradigan to'tiqushlar va o'rgatilgan maymunlarning darajasi bo'lib, unda aql "to'liq" so'zidan yo'q. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, o'zlarining bema'ni g'oyalarini bizga targ'ib qilishadi.

Bir paytlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prik sinovlari paytida ko'prik ostidagi qayiqda edi. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.

Matematiklar “o‘ylab ko‘ring, men uydaman”, to‘g‘rirog‘i, “matematika mavhum tushunchalarni o‘rganadi” iborasi ortiga qanchalik yashirinmasin, ularni voqelik bilan chambarchas bog‘lab turadigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Keling, matematik to'plamlar nazariyasini matematiklarning o'zlariga tatbiq qilaylik.

Biz matematikani juda yaxshi o'qiganmiz va hozir kassada maosh to'lab o'tiribmiz. Mana, bir matematik o'z puliga bizga keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va uni stolimizga turli xil qoziqlarga joylashtiramiz, unda biz bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin har bir qoziqdan bitta hisobni olib, matematikaga uning "matematik ish haqi to'plamini" beramiz. Biz matematikani tushuntiramizki, u bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisoblarni oladi. Qiziq shu erda boshlanadi.

Avvalo, deputatlarning mantig‘i ishlaydi: “boshqalarga ham qo‘llash mumkin, menga emas!”. Keyinchalik, bir xil nomdagi banknotlarda turli xil banknot raqamlari mavjudligiga ishonch hosil qilinadi, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Xo'sh, biz maoshni tangalarda hisoblaymiz - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va har bir tanga uchun atomlarning joylashishi o'ziga xosdir ...

Va endi menda eng qiziqarli savol bor: ko'p to'plamning elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chegara qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsa shamanlar tomonidan hal qilinadi, bu erda fan hatto yaqin emas.

Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydoni bir xil, ya'ni bizda multiset mavjud. Ammo bir xil stadionlarning nomlarini hisobga oladigan bo'lsak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'p narsa olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami bir vaqtning o'zida ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-shuller yengidan ko'zni olib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.

Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.

Yakshanba, 18-mart, 2018-yil

Raqam raqamlarining yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig‘indisini topish va undan foydalanish o‘rgatiladi, lekin ular buning uchun shomanlar, o‘z avlodlariga o‘z mahoratlarini, donoligini o‘rgatishadi, aks holda shamanlar shunchaki o‘lib ketadi.

Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqamlar yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish mumkin bo'lgan formula yo'q. Axir, raqamlar grafik belgilar bo'lib, ular yordamida raqamlarni yozamiz va matematika tilida vazifa quyidagicha yangraydi: "Istalgan sonni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping". Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni elementar tarzda hal qilishlari mumkin.

Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz. Shunday qilib, bizda 12345 raqami bor deylik. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.

1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni raqamli grafik belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.

2. Biz bitta olingan rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.

3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.

4. Olingan sonlarni qo‘shing. Endi bu matematika.

12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar tomonidan qo'llaniladigan shamanlardan olingan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.

Matematika nuqtai nazaridan raqamni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Demak, turli sanoq sistemalarida bir xil son raqamlari yig’indisi har xil bo’ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki belgisi sifatida ko'rsatilgan. Ko'p sonli 12345 bilan men boshimni aldashni xohlamayman, maqoladagi 26 raqamini ko'rib chiqing. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz, biz buni allaqachon qilganmiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.

Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. Bu to'rtburchakning maydonini metr va santimetrda topish sizga butunlay boshqacha natijalar berganga o'xshaydi.

Barcha sanoq sistemalarida nol bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday belgilanadi? Nima, matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa yo'q? Shamanlar uchun men bunga ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun yo'q. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.

Olingan natija sanoq sistemalarining sonlarning o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar ularni solishtirgandan keyin turli xil natijalarga olib keladigan bo'lsa, unda bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'q.

Haqiqiy matematika nima? Bu matematik harakatning natijasi raqamning qiymatiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.

Eshikda imzo qo'ying Eshikni ochadi va aytadi:

Voy! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu osmonga ko'tarilgan ruhlarning cheksiz muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Nimbus tepada va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?

Ayol... Tepadagi halo va pastga o'q erkakdir.

Agar sizda kuniga bir necha marta ko'z oldingizda bunday dizayn san'ati asari bo'lsa,

Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:

Shaxsan men najas qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning tarkibi: minus belgisi, to'rtinchi raqam, daraja belgisi). Men bu qizni fizikani bilmaydigan ahmoq deb hisoblamayman. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning bosh stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatishadi. Mana bir misol.

1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik sanoq sistemasidagi "yigirma olti" raqami. Doimiy ravishda ushbu sanoq tizimida ishlaydigan odamlar raqam va harfni avtomatik ravishda bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.

Endi biz faqat qavs ichidagi ifoda raqam yoki ifoda bilan ko'paytiriladigan iboralarda qavslarni ochishga o'tamiz. Oldindan minus belgisi bo'lgan qavslarni ochish qoidasini tuzamiz: qavslar minus belgisi bilan birga olib tashlandi va qavs ichidagi barcha atamalarning belgilari qarama-qarshi belgilar bilan almashtiriladi.

Ifodani o'zgartirish turlaridan biri qavslarni kengaytirishdir. Raqamli, harfli va o'zgaruvchan iboralar qavslar yordamida tuziladi, ular harakatlarni bajarish tartibini ko'rsatishi mumkin, manfiy raqamni o'z ichiga oladi va hokazo. Faraz qilaylik, yuqorida tavsiflangan iboralarda raqamlar va o'zgaruvchilar o'rniga har qanday ifodalar bo'lishi mumkin.

Qavslarni ochishda yechimni yozishning o'ziga xos xususiyatlariga oid yana bir fikrga e'tibor qaratamiz. Oldingi paragrafda biz qavsni kengaytirish deb ataladigan narsani ko'rib chiqdik. Buning uchun qavslarni ochish qoidalari mavjud, biz ularni hozir ko'rib chiqamiz. Ushbu qoida musbat raqamlarni qavslarsiz yozish odat tusiga kirganligi bilan bog'liq, bu holda qavslar kerak emas. (-3,7)-(-2)+4+(-9) ifodani qavssiz -3,7+2+4-9 shaklida yozish mumkin.

Nihoyat, qoidaning uchinchi qismi shunchaki ifodaning chap tomonida salbiy raqamlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq (buni biz manfiy raqamlarni yozish uchun qavslar bo'limida aytib o'tgan edik). Siz son, minus belgilari va bir nechta qavs juftlaridan tashkil topgan iboralarni uchratishingiz mumkin. Agar qavslarni ichkaridan tashqi tomonga qarab kengaytirsangiz, yechim quyidagicha bo'ladi: -(-((-(5))))=-(-((-5)))=-(-(-5)) =-( 5)=-5.

Qavslarni qanday ochish kerak?

Mana tushuntirish: -(-2 x) +2 x va bu ifoda birinchi kelgani uchun, +2 x ni 2 x, -(x2)=-x2, +(-1/ x)= shaklida yozish mumkin. -1/x va -(2 x y2:z)=-2 x y2:z. Qavslarni ochish uchun yozma qoidaning birinchi qismi to'g'ridan-to'g'ri manfiy sonlarni ko'paytirish qoidasidan kelib chiqadi. Uning ikkinchi qismi turli belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish qoidasining natijasidir. Keling, har xil belgilarga ega bo'lgan ikkita sonning ko'paytmalari va bo'laklarida qavslarni kengaytirish misollariga o'tamiz.

Qavsni ochish: qoidalar, misollar, echimlar.

Yuqoridagi qoida ushbu harakatlarning butun zanjirini hisobga oladi va qavslarni ochish jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi. Xuddi shu qoida mahsulot bo'lgan iboralar va yig'indi va farqlar bo'lmagan minus belgisi bilan shaxsiy iboralarda qavslarni ochishga imkon beradi.

Ushbu qoidani qo'llash misollarini ko'rib chiqing. Tegishli qoidani beramiz. Yuqorida biz -(a) va -(-a) ko‘rinishdagi ifodalarga duch keldik, ular qavslarsiz mos ravishda -a va a shaklida yoziladi. Masalan, -(3)=3, va. Bu belgilangan qoidaning alohida holatlari. Endi qavslar ichida summalar yoki farqlar kiritilganda ochilish misollarini ko'rib chiqing. Biz ushbu qoidadan foydalanish misollarini ko'rsatamiz. (b1+b2) ifodani b deb belgilang, shundan so'ng qavsni oldingi paragrafdagi ifodaga ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz, bizda (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Induksiya orqali bu bayonot har bir qavsdagi ixtiyoriy sonli atamalarga kengaytirilishi mumkin. Oldingi paragraflardagi qoidalardan foydalanib, olingan ifodadagi qavslarni ochish qoladi, natijada biz 1 3 x y-1 2 x y3-x 3 x y+x 2 x y3 ni olamiz.

Matematikadagi qoida qavslar oldida (+) va (-) bo'lsa, qavslarni ochish juda zarur qoidadir.

Bu ifoda uch omil (2+4), 3 va (5+7 8) ko'paytmasi. Qavslar ketma-ket ochilishi kerak. Endi biz qavsni songa ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz, bizda ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) mavjud. Asoslari qavs ichida yozilgan ba'zi iboralar bo'lgan, natural ko'rsatkichlari bo'lgan darajalarni bir nechta qavslar hosilasi deb hisoblash mumkin.

Masalan, (a+b+c)2 ifodasini o'zgartiramiz. Birinchidan, uni ikkita qavs (a + b + c) (a + b + c) ko'paytmasi sifatida yozamiz, endi qavsni qavsga ko'paytiramiz, biz a + a b + a c + b a + b b + b c+ olamiz. c a+c b+c c.

Ikki sonning yig‘indisi va ayirmalarini natural darajaga ko‘tarish uchun Nyuton binomial formulasidan foydalanish maqsadga muvofiqligini ham aytamiz. Masalan, (5+7-3):2=5:2+7:2-3:2. Bo'linishni oldindan ko'paytirish bilan almashtirish, so'ngra mahsulotdagi qavslarni ochish uchun tegishli qoidadan foydalanish qulayroq emas.

Qavslarni ochish tartibini misollar yordamida aniqlash qoladi. (-5)+3 (-2):(-4)-6 (-7) ifodasini oling. Ushbu natijalarni asl ifodaga almashtiring: (-5)+3 (-2):(-4)-6 (-7)=(-5)+(3 2:4)-(-6 7) . Qavslarni ochishni yakunlashgina qoladi, natijada bizda -5+3 2:4+6 7. Bu tenglikning chap tomonidan o'ng tomonga o'tishda qavslar ochilganligini anglatadi.

E'tibor bering, uchta misolda biz oddiygina qavslarni olib tashladik. Birinchidan, 889 ga 445 qo'shing. Bu aqliy harakatni bajarish mumkin, lekin bu juda oson emas. Keling, qavslarni ochamiz va operatsiyalarning o'zgartirilgan tartibi hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirishini ko'ramiz.

Qavslarni boshqa darajada qanday ochish mumkin

Tasviriy misol va qoida. Bir misolni ko'rib chiqing: . Ifodaning qiymatini 2 va 5 ni qo'shib, keyin qarama-qarshi belgi bilan olingan raqamni olish orqali topishingiz mumkin. Qavs ichida ikkita emas, uch yoki undan ortiq atama bo'lsa, qoida o'zgarmaydi. Izoh. Belgilar faqat atamalar oldida teskari bo'ladi. Qavslarni ochish uchun bu holda biz taqsimlovchi xususiyatni esga olishimiz kerak.

Qavs ichida bitta raqamlar

Sizning xatongiz belgilarda emas, balki kasrlar bilan noto'g'ri ishlashdami? 6-sinfda musbat va manfiy sonlar bilan tanishdik. Misollar va tenglamalarni qanday hal qilamiz?

Qavs ichida qancha? Bu iboralar haqida nima deyish mumkin? Albatta, birinchi va ikkinchi misollarning natijasi bir xil, shuning uchun ular orasiga teng belgi qo'yishingiz mumkin: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Xo'sh, biz qavslar bilan nima qildik?

Qavslarni ochish qoidalari bilan 6-slaydni ko'rsatish. Shunday qilib, qavslarni ochish qoidalari bizga misollarni hal qilishga, ifodalarni soddalashtirishga yordam beradi. Keyin o'quvchilar juftlik bilan ishlashga taklif qilinadi: qavslarni o'z ichiga olgan iborani tegishli ibora bilan qavssiz strelkalar bilan bog'lash kerak.

Slayd 11 Quyoshli shaharda Znayka va Dunno ulardan qaysi biri tenglamani to'g'ri yechganini bahslashdi. Keyinchalik, talabalar qavslarni ochish qoidalarini qo'llagan holda tenglamani mustaqil ravishda hal qilishadi. Tenglamalarni yechish ”Darsning maqsadi: ta'lim (mavzu bo'yicha ZUNlarni tuzatish:“ Qavslarni ochish.

Dars mavzusi: “Qavslarni ochish. Bunday holda, siz birinchi qavsdagi har bir atamani ikkinchi qavsdagi har bir atama bilan ko'paytirishingiz va keyin natijalarni qo'shishingiz kerak. Birinchidan, dastlabki ikkita omil olinadi, yana bitta qavs ichiga olinadi va bu qavslar ichida qavslar allaqachon ma'lum bo'lgan qoidalardan biriga muvofiq ochiladi.

rawalan.freezeet.ru

Qavsni ochish: qoidalar va misollar (7-sinf)

Qavslarning asosiy vazifasi qiymatlarni hisoblashda harakatlar tartibini o'zgartirishdir raqamli ifodalar . Masalan, sonli ifodada \(5 3+7\) avval ko?paytirish, keyin esa qo?shish hisoblanadi: \(5 3+7 =15+7=22\). Lekin \(5·(3+7)\) ifodasida avval qavs ichidagi qo'shish, keyin esa ko'paytirish hisoblanadi: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Biroq, agar biz bilan shug'ullanadigan bo'lsak algebraik ifoda o'z ichiga olgan o'zgaruvchan- masalan, shunday: \ (2 (x-3) \) - keyin qavsdagi qiymatni hisoblash mumkin emas, o'zgaruvchi aralashadi. Shuning uchun, bu holda, buning uchun tegishli qoidalardan foydalangan holda, qavslar "ochiladi".

Qavsni kengaytirish qoidalari

Qavs oldida ortiqcha belgisi bo'lsa, qavs oddiygina olib tashlanadi, undagi ifoda o'zgarishsiz qoladi. Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Bu erda aniqlik kiritish kerakki, matematikada yozuvlarni qisqartirish uchun ifodada birinchi bo'lsa, ortiqcha belgisini yozmaslik odatiy holdir. Misol uchun, agar biz ikkita musbat sonni qo'shsak, masalan, etti va uchta, yetti ham ijobiy son bo'lishiga qaramay, \(+7+3\) emas, oddiygina \(7+3\) yozamiz. . Xuddi shunday, agar siz, masalan, \((5+x)\) ifodasini ko'rsangiz - buni biling qavs oldida plyus bor, u yozilmagan.

Misol . Qavsni oching va shunga o'xshash shartlarni keltiring: \((x-11)+(2+3x)\).
Yechim : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Qavs oldida minus belgisi bo'lsa, qavs olib tashlanganida, uning ichidagi ifodaning har bir a'zosi ishorani teskarisiga o'zgartiradi:

Bu erda shuni aniqlashtirish kerakki, a, qavs ichida bo'lganida, ortiqcha belgisi bor edi (ular shunchaki yozmadilar) va qavsni olib tashlaganingizdan so'ng, bu plyus minusga o'zgartirildi.

Misol : \(2x-(-7+x)\) ifodasini soddalashtiring.
Yechim : qavs ichida ikkita atama bor: \(-7\) va \(x\), qavs oldidan minus mavjud. Bu shuni anglatadiki, belgilar o'zgaradi - va ettita endi ortiqcha bilan, x esa minus bilan bo'ladi. qavsni oching va kabi shartlarni keltiring .

Misol. Qavsni kengaytiring va shunga o'xshash shartlarni bering \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Yechim : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Qavs oldida koeffitsient bo'lsa, qavsning har bir a'zosi unga ko'paytiriladi, ya'ni:

Misol. Qavslarni kengaytiring \(5(3-x)\).
Yechim : Qavs ichida \(3\) va \(-x\), qavs oldida esa besh bor. Bu qavsning har bir a'zosi \ (5 \) ga ko'paytirilishini anglatadi - buni sizga eslatib o'taman Matematikada son va qavs orasidagi ko'paytirish belgisi yozuvlar hajmini kamaytirish uchun yozilmagan..

Misol. Qavslarni kengaytiring \(-2(-3x+5)\).
Yechim : Oldingi misoldagidek, qavs ichidagi \(-3x\) va \(5\) \(-2\) ga ko'paytiriladi.

Oxirgi vaziyatni ko'rib chiqish qoladi.

Qavsni qavsga ko'paytirishda birinchi qavsning har bir a'zosi ikkinchisining har bir hadi bilan ko'paytiriladi:

Misol. Qavslarni kengaytiring \((2-x)(3x-1)\).
Yechim : Bizda qavslar mahsuloti bor va uni yuqoridagi formula yordamida darhol ochish mumkin. Ammo chalkashmaslik uchun keling, hamma narsani bosqichma-bosqich qilaylik.
1-qadam. Biz birinchi qavsni olib tashlaymiz - uning har bir a'zosi ikkinchi qavsga ko'paytiriladi:

Qadam 2. Qavsning mahsulotlarini yuqorida tavsiflangan omil bo'yicha kengaytiring:
- birinchisi birinchi ...

3-qadam. Endi biz ko'paytiramiz va o'xshash shartlarni keltiramiz:

Barcha o'zgarishlarni batafsil bo'yash shart emas, siz darhol ko'paytirishingiz mumkin. Ammo agar siz qavslarni ochishni o'rganayotgan bo'lsangiz - batafsil yozing, xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi.

Butun bo'limga e'tibor bering. Aslida, siz to'rtta qoidani eslab qolishingiz shart emas, faqat bittasini eslab qolishingiz kerak, bu: \(c(a-b)=ca-cb\) . Nega? Chunki c o'rniga bittasini qo'ysak, \((a-b)=a-b\) qoidasini olamiz. Agar minus birni almashtirsak, \(-(a-b)=-a+b\) qoidasini olamiz. Xo'sh, agar siz c o'rniga boshqa qavsni almashtirsangiz, oxirgi qoidani olishingiz mumkin.

qavs ichidagi qavs

Ba'zan amalda boshqa qavslar ichiga joylashtirilgan qavslar bilan bog'liq muammolar mavjud. Mana shunday vazifaga misol: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifodasini soddalashtirish.

Ushbu vazifalarni muvaffaqiyatli bajarish uchun sizga quyidagilar kerak:
- qavslarning joylashishini diqqat bilan tushuning - qaysi biri qaysi;
- qavslarni, masalan, eng ichki qismidan boshlab, ketma-ket oching.

Qavslardan birini ochishda muhim ahamiyatga ega iboraning qolgan qismiga tegmang, shunchaki uni avvalgidek qayta yozing.
Misol tariqasida yuqoridagi vazifani olaylik.

Misol. Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(7x+2(5-(3x+y))\).
Yechim:

Keling, vazifani ichki qavsni (ichki) ochishdan boshlaylik. Uni ochib, biz faqat u bilan bevosita bog'liqligi bilan shug'ullanamiz - bu qavsning o'zi va uning oldidagi minus (yashil rang bilan ta'kidlangan). Qolganlarning hammasi (tanlanmagan) avvalgidek qayta yoziladi.

Matematika bo'yicha muammolarni onlayn hal qilish

Onlayn kalkulyator.
Polinomni soddalashtirish.
Ko'phadlarni ko'paytirish.

Ushbu matematik dastur yordamida siz polinomni soddalashtirishingiz mumkin.
Dastur ishlayotganda:
- ko'phadlarni ko'paytiradi
- monomiylar yig'indisi (o'xshashlarni beradi)
- qavslarni ochadi
- Ko‘phadni darajaga ko‘taradi

Polinomni soddalashtirish dasturi faqat muammoga javob bermaydi, tushuntirishlar bilan batafsil yechim beradi, ya'ni. Matematika va/yoki algebra bo?yicha bilimlaringizni tekshirishingiz uchun yechim jarayonini ko?rsatadi.

Ushbu dastur umumta'lim maktablari o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinab ko'rishda, ota-onalar uchun matematika va algebra bo'yicha ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil yechim bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning mashg'ulotingiz va / yoki kichik aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizning mashg'ulotlarini o'tkazishingiz mumkin, shu bilan birga hal qilinishi kerak bo'lgan vazifalar sohasida ta'lim darajasi oshadi.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yilgan.
Bir necha soniyadan so'ng, yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos, soniya kuting.

Bir oz nazariya.

Monomiy va ko'phadning ko'paytmasi. Polinom haqida tushuncha

Algebrada ko'rib chiqiladigan turli ifodalar orasida monomiallarning yig'indisi muhim o'rin tutadi. Mana shunday iboralarga misollar:

Monomiylar yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phaddagi atamalar ko'phadning a'zolari deyiladi. Bir a'zodan iborat bo'lgan ko'phad sifatida mononomiyalar ko'phadlar deb ham ataladi.

Biz barcha atamalarni standart shakldagi monomiallar sifatida ifodalaymiz:

Olingan polinomda shunga o'xshash shartlarni beramiz:

Natijada ko'phad hosil bo'ladi, uning barcha a'zolari standart shakldagi monomlardir va ular orasida o'xshashlari yo'q. Bunday polinomlar deyiladi standart shakldagi polinomlar.

Per polinom darajasi standart shakl uning a'zolarining eng katta vakolatlarini oladi. Demak, binomial uchinchi darajaga, trinomial ikkinchi darajaga ega.

Odatda, bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standart shakldagi ko'phadlarning shartlari uning ko'rsatkichlarining kamayish tartibida joylashtiriladi. Masalan:

Bir nechta ko'phadlar yig'indisi standart shakldagi ko'phadga aylantirilishi (soddalashtirilgan) mumkin.

Ba'zan ko'phadning a'zolarini har bir guruhni qavs ichiga olgan holda guruhlarga bo'lish kerak. Qavslar qavslarga qarama-qarshi bo'lganligi sababli, uni shakllantirish oson Qavslarni ochish qoidalari:

Qavslar oldiga + belgisi qo'yilsa, qavs ichiga olingan atamalar bir xil belgilar bilan yoziladi.

Qavslar oldiga "-" belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan atamalar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi.

Monomiy va ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).

Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, monom va ko'phadning ko'paytmasini ko'phadga aylantirish (soddalashtirish) mumkin. Masalan:

Monomiy va ko?phadning ko?paytmasi shu monomning va ko?phadning har bir a'zosining ko?paytmalari yig?indisiga teng bo?ladi.

Bu natija odatda qoida sifatida shakllantiriladi.

Monomiyni ko'phadga ko'paytirish uchun bu monomni ko'phadning har bir a'zosiga ko'paytirish kerak.

Biz bu qoidani yig'indiga ko'paytirish uchun bir necha bor ishlatganmiz.

Polinomlarning hosilasi. Ikki ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).

Umuman olganda, ikkita ko'phadning ko'paytmasi bir xil ko'phadning har bir hadi va ikkinchisining har bir hadi ko'paytmasining yig'indisiga tengdir.

Odatda quyidagi qoidadan foydalaning.

Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini ikkinchisining har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Yig'indi, farq va farq kvadratlari

Algebraik o'zgarishlardagi ba'zi ifodalar boshqalarga qaraganda tez-tez ko'rib chiqilishi kerak. Ehtimol, eng keng tarqalgan iboralar va, ya'ni yig'indining kvadrati, farqning kvadrati va kvadratlarning farqi. Siz ushbu iboralarning nomlari to'liq bo'lmagan ko'rinadi, shuning uchun, masalan, - bu, albatta, yig'indining kvadrati emas, balki a va b yig'indisining kvadrati. Biroq, a va b yig'indisining kvadrati unchalik keng tarqalgan emas, qoida tariqasida, a va b harflari o'rniga u turli xil, ba'zan juda murakkab iboralarni o'z ichiga oladi.

Ifodalarni standart shakldagi ko'phadlarga aylantirish (soddalashtirish) oson, aslida siz polinomlarni ko'paytirishda bunday vazifaga duch kelgansiz:

Olingan identifikatorlarni oraliq hisob-kitoblarsiz eslab qolish va qo'llash foydalidir. Qisqa og'zaki formulalar bunga yordam beradi.

- yig'indining kvadrati kvadratlar yig'indisiga va ko'paytmaning ikki barobariga teng.

- ayirma kvadrati qo'sh ko'paytmasiz kvadratlar yig'indisiga teng.

- kvadratlar ayirmasi ayirmaning yig'indiga ko'paytmasiga teng.

Ushbu uchta o'ziga xoslik transformatsiyalarda ularning chap qismlarini o'ngga va aksincha - o'ng qismlarini chapga almashtirishga imkon beradi. Bu holatda eng qiyin narsa mos keladigan ifodalarni ko'rish va ulardagi a va b o'zgaruvchilari nima bilan almashtirilganligini tushunishdir. Keling, qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

Kitoblar (darsliklar) Yagona davlat imtihonining tezislari va OGE testlari Onlayn o'yinlar, boshqotirmalar Funksiyalarning grafigi Rus tilining imlo lug'ati Yoshlar slengi lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiyadagi o'rta maktablar katalogi Rossiya universitetlari katalogi raqamli kasrlar Foizlar bo'yicha masalalarni yechish Kompleks sonlar: yig‘indi, ayirma, ko‘paytma va bo‘linma Ikki o‘zgaruvchili 2 ta chiziqli tenglamalar sistemalari Kvadrat tenglamani yechish Ikki alamli kvadratni saralash va kvadrat uch a’zoni ko‘rsatkichlarga ajratish Tengsizliklarni yechish Tengsizliklar sistemalarini yechish Kvadrat funksiya grafigini qurish Grafik qurish. kasr chiziqli funktsiyaning arifmetik va geometrik progressiyalarni yechish Trigonometrik, ko'rsatkichli, logarifmik tenglamalarni yechish Chegaralarni, hosilalarni, tangenslarni hisoblash Integral, antiderivativ Uchburchaklarni yechish vektorlar bilan amallarni hisoblash chiziqlar va tekisliklar bilan harakatlar Geometrik shakllar maydoni Geometrik shakllar perimetri Geometrik jismlarning hajmi Geometrik jismlarning sirt maydoni
Trafik vaziyatlar konstruktor
Ob-havo - yangiliklar - munajjimlar bashorati

www.mathsolution.ru

Braketni kengaytirish

Biz algebra asoslarini o'rganishni davom ettiramiz. Bu darsda iboralarda qavs ochishni bilib olamiz. Qavslarni kengaytirish bu qavslar ifodasidan xalos bo'lishni anglatadi.

Qavslarni ochish uchun siz faqat ikkita qoidani yoddan o'rganishingiz kerak. Muntazam mashq qilish bilan siz qavslarni ko'zlaringizni yumib ochishingiz mumkin va yoddan eslab qolish kerak bo'lgan qoidalarni ishonch bilan unutishingiz mumkin.

Qavsni kengaytirishning birinchi qoidasi

Quyidagi ifodani ko'rib chiqing:

Bu ifodaning qiymati 2 . Keling, ushbu ifodadagi qavslarni ochamiz. Qavslarni kengaytirish iboraning ma'nosiga ta'sir qilmasdan, ulardan xalos bo'lishni anglatadi. Ya'ni qavslardan qutulgandan keyin ifoda qiymati 8+(-9+3) hali ham ikkiga teng bo'lishi kerak.

Birinchi qavsni kengaytirish qoidasi quyidagicha ko'rinadi:

Qavslarni ochganda, qavslar oldidan ortiqcha belgi bo'lsa, bu ortiqcha qavslar bilan birga olib tashlanadi.

Shunday qilib, biz buni ifodada ko'ramiz 8+(-9+3) qavslar oldida ortiqcha belgi bor. Bu ortiqcha qavslar bilan birga qoldirilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, qavslar ularning oldida turgan ortiqcha bilan birga yo'qoladi. Qavs ichida bo'lgan narsa o'zgarishsiz yoziladi:

8-9+3 . Bu ifoda ga teng 2 , oldingi qavs ichidagi ifoda teng bo'lgani kabi 2 .

8+(-9+3) va 8-9+3

8 + (-9 + 3) = 8 - 9 + 3

2-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 3 + (-1 - 4)

Qavslar oldida ortiqcha bor, shuning uchun bu plyus qavslar bilan birga olib tashlandi. Qavslardagi narsa o'zgarishsiz qoladi:

3 + (-1 - 4) = 3 - 1 - 4

3-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 2 + (-1)

Ushbu misolda qavslarni kengaytirish ayirishni qo'shish bilan almashtirishning o'ziga xos teskari operatsiyasiga aylandi. Bu nima degani?

Ifodada 2-1 ayirish sodir bo'ladi, lekin uni qo'shish bilan almashtirish mumkin. Keyin siz ifodani olasiz 2+(-1) . Ammo ifodada bo'lsa 2+(-1) qavslarni oching, siz asl nusxani olasiz 2-1 .

Shuning uchun birinchi qavsni kengaytirish qoidasi ba'zi o'zgarishlardan keyin ifodalarni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin. Ya'ni, uni qavslardan xalos qiling va uni osonlashtiring.

Masalan, ifodani soddalashtiraylik 2a+a-5b+b .

Ushbu ifodani soddalashtirish uchun biz o'xshash shartlarni qo'shishimiz mumkin. Eslatib o'tamiz, o'xshash shartlarni qisqartirish uchun siz o'xshash shartlarning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani umumiy harf qismiga ko'paytirishingiz kerak:

Bir ifoda bor 3a+(-4b). Ushbu ifodada qavslarni oching. Qavslar oldidan plyus bor, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun birinchi qoidadan foydalanamiz, ya'ni qavslar oldidagi ortiqcha bilan birga qavslarni ham o'tkazib yuboramiz:

Shunday qilib, ifoda 2a+a-5b+b ga soddalashtirilgan 3a-4b .

Bir qavsni ochib, boshqalari yo'lda uchrashishi mumkin. Biz ularga birinchisi kabi bir xil qoidalarni qo'llaymiz. Masalan, quyidagi ifodadagi qavslarni kengaytiramiz:

Qavslarni kengaytirish kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Bunday holda, qavslarni kengaytirishning birinchi qoidasi qo'llaniladi, ya'ni qavslar va bu qavslar oldidagi plyusni tashlab qo'yish:

2 + (-3 + 1) + 3 + (-6) = 2 - 3 + 1 + 3 - 6

3-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 6+(-3)+(-2)

Qavslar mavjud bo'lgan ikkala joyda ham ular oldiga ortiqcha belgisi qo'yiladi. Bu erda yana birinchi qavsni kengaytirish qoidasi qo'llaniladi:

Ba'zan qavs ichidagi birinchi atama belgisiz yoziladi. Masalan, ifodada 1+(2+3-4) birinchi atama qavs ichida 2 belgisiz yozilgan. Savol tug'iladi, qavs oldidagi plyus va qavslar olib tashlanganidan keyin ikkilik oldidan qanday belgi keladi? Javob o'zini ko'rsatadi - deuce oldida ortiqcha bo'ladi.

Darhaqiqat, qavs ichida bo'lsa ham, ikkilik oldida ortiqcha narsa bor, lekin yozilmaganligi sababli buni ko'rmayapmiz. Biz allaqachon musbat raqamlarning to'liq yozuvi o'xshashligini aytdik +1, +2, +3. Ammo plyuslar an'anaviy tarzda yozilmaydi, shuning uchun biz bizga tanish bo'lgan ijobiy raqamlarni ko'ramiz. 1, 2, 3 .

Shuning uchun, ifodada qavs ochish uchun 1+(2+3-4) , siz odatdagidek qavslar oldidagi ortiqcha bilan birga qavslarni ham tashlab qo'yishingiz kerak, lekin qavslar ichidagi birinchi atamani ortiqcha belgisi bilan yozing:

1 + (2 + 3 - 4) = 1 + 2 + 3 - 4

4-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring -5 + (2 - 3)

Qavslar oldida plyus bor, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun birinchi qoidani qo'llaymiz, ya'ni qavslarni ushbu qavslar oldidagi ortiqcha bilan birga qoldiramiz. Ammo ortiqcha belgisi bilan qavs ichida yozilgan birinchi atama:

-5 + (2 - 3) = -5 + 2 - 3

5-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring (-5)

Qavs oldidan ortiqcha belgi bor, lekin undan oldin boshqa raqamlar yoki iboralar bo'lmagani uchun yozilmaydi. Bizning vazifamiz qavslarni kengaytirishning birinchi qoidasini qo'llash orqali qavslarni olib tashlashdir, ya'ni qavslarni ushbu plyus bilan birga qoldirmaslik (ko'rinmas bo'lsa ham)

6-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 2a + (-6a + b)

Qavslar oldida ortiqcha bor, shuning uchun bu plyus qavslar bilan birga olib tashlandi. Qavs ichida bo'lgan narsa o'zgarishsiz yoziladi:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

7-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

Ushbu ifodada qavslarni ochishingiz kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Ikkala bo'limda qavslar oldida plyus mavjud, ya'ni bu ortiqcha qavslar bilan birga o'tkazib yuborilgan. Qavs ichida bo'lgan narsa o'zgarishsiz yoziladi:

5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

Qavslarni ochishning ikkinchi qoidasi

Endi ikkinchi qavsni kengaytirish qoidasini ko'rib chiqamiz. Qavslar oldidan minus bo'lganda ishlatiladi.

Qavslar oldidan minus bo'lsa, bu minus qavslar bilan birga olib tashlanadi, lekin qavs ichidagi atamalar o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi.

Masalan, quyidagi ifodadagi qavslarni kengaytiramiz

Qavslar oldidan minus borligini ko'ramiz. Shunday qilib, siz ikkinchi kengaytirish qoidasini qo'llashingiz kerak, ya'ni bu qavslar oldidagi minus bilan birga qavslarni tashlab qo'yishingiz kerak. Bunday holda, qavs ichidagi atamalar o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi:

Biz qavssiz ifodani oldik 5+2+3 . Bu ifoda 10 ga teng, xuddi oldingi qavsli ifoda 10 ga teng edi.

Shunday qilib, ifodalar orasida 5-(-2-3) va 5+2+3 teng belgi qo'yishingiz mumkin, chunki ular bir xil qiymatga teng:

5 - (-2 - 3) = 5 + 2 + 3

2-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 6 - (-2 - 5)

Qavslar oldidan minus mavjud, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidani qo'llaymiz, ya'ni qavslarni bu qavslar oldidagi minus bilan birga qoldiramiz. Bunday holda, qavs ichidagi atamalar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi:

6 - (-2 - 5) = 6 + 2 + 5

3-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 2 - (7 + 3)

Qavslar oldida minus bor, shuning uchun biz qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidani qo'llaymiz:

4-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring -(-3 + 4)

5-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring -(-8 - 2) + 16 + (-9 - 2)

Qavslarni kengaytirish kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Birinchi holda, qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidani qo'llashingiz kerak va navbat ifodaga kelganda +(-9-2) birinchi qoidani qo'llashingiz kerak:

-(-8 - 2) + 16 + (-9 - 2) = 8 + 2 + 16 - 9 - 2

6-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring -(-a-1)

7-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring -(4a + 3)

8-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring a -(4b + 3) + 15

9-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Qavslarni kengaytirish kerak bo'lgan ikkita joy mavjud. Birinchi holda, siz qavslarni kengaytirish uchun birinchi qoidani qo'llashingiz kerak va navbat ifodaga kelganda -(3c+5) ikkinchi qoidani qo'llashingiz kerak:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

10-misol Ifodadagi qavslarni kengaytiring -a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15)

Qavslarni kengaytirish kerak bo'lgan uchta joy mavjud. Avval qavslarni kengaytirish uchun ikkinchi qoidani, keyin birinchisini va yana ikkinchisini qo'llashingiz kerak:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = -a + 4a - 6b + 8c - 15

Qavslarni kengaytirish mexanizmi

Biz hozir ko'rib chiqqan qavslarni ochish qoidalari ko'paytirishning distributiv qonuniga asoslanadi:

Aslida ochiladigan qavslar umumiy omil qavs ichidagi har bir hadga ko'paytirilganda protsedurani chaqiring. Bunday ko'paytirish natijasida qavslar yo'qoladi. Masalan, ifodadagi qavslarni kengaytiramiz 3x(4+5)

3 x (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5

Shuning uchun, agar siz raqamni qavs ichidagi ifodaga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa (yoki qavs ichidagi ifodani raqamga ko'paytirish), siz aytishingiz kerak qavslarni oching.

Ammo ko'paytirishning distributiv qonuni biz ilgari ko'rib chiqqan qavslarni ochish qoidalari bilan qanday bog'liq?

Gap shundaki, har qanday qavs oldidan umumiy omil mavjud. Misolda 3x(4+5) umumiy omil hisoblanadi 3 . Va misolda a(b+c) umumiy omil o'zgaruvchidir a.

Qavslar oldidan raqamlar yoki o'zgaruvchilar bo'lmasa, u holda umumiy omil hisoblanadi 1 yoki -1 , qaysi belgi qavsdan oldin kelishiga qarab. Qavslar oldida ortiqcha belgi bo'lsa, u holda umumiy omil hisoblanadi 1 . Qavslar oldidan minus bo'lsa, u holda umumiy omil hisoblanadi -1 .

Masalan, ifodadagi qavslarni kengaytiramiz -(3b-1). Qavslar oldidan minus mavjud, shuning uchun qavslarni ochish uchun ikkinchi qoidadan foydalanish kerak, ya'ni qavslar oldidagi minus bilan birga qavslarni ham qoldirmaslik kerak. Va qavs ichidagi iborani qarama-qarshi belgilar bilan yozing:

Qavslarni kengaytirish qoidasidan foydalanib, qavslarni kengaytirdik. Lekin xuddi shu qavslarni ko'paytirishning distributiv qonuni yordamida ochish mumkin. Buning uchun birinchi navbatda qavslar oldiga yozilmagan umumiy koeffitsient 1ni yozamiz:

Qavslar oldida turgan minus bu birlikka ishora qildi. Endi siz ko'paytirishning distributiv qonunini qo'llash orqali qavslarni ochishingiz mumkin. Buning uchun umumiy omil -1 qavs ichidagi har bir atamaga ko'paytirishingiz va natijalarni qo'shishingiz kerak.

Qulaylik uchun qavslardagi farqni yig'indiga almashtiramiz:

-1 (3b -1) = -1 (3b + (-1)) = -1 x 3b + (-1) x (-1) = -3b + 1

O'tgan safargidek, biz ifodani oldik -3b+1. Bunday oddiy misolni yechish uchun bu safar ko'proq vaqt sarflanganiga hamma rozi bo'ladi. Shuning uchun, biz ushbu darsda ko'rib chiqqan qavslarni ochish uchun tayyor qoidalardan foydalanish maqsadga muvofiqdir:

Ammo bu qoidalar qanday ishlashini bilish zarar qilmaydi.

Ushbu darsda biz yana bir o'xshash o'zgarishlarni bilib oldik. Qavslarni ochish, umumiyni qavs ichidan chiqarish va o'xshash atamalarni olib kelish bilan birgalikda hal qilinishi kerak bo'lgan vazifalar doirasini biroz kengaytirish mumkin. Masalan:

Bu erda siz ikkita amalni bajarishingiz kerak - avval qavslarni oching, so'ngra o'xshash shartlarni keltiring. Shunday qilib, tartibda:

1) Qavslarni kengaytiring:

2) Biz shunga o'xshash shartlarni beramiz:

Olingan ifodada -10b+(-1) Qavslarni ochishingiz mumkin:

2-misol Qavslarni oching va quyidagi iboraga o'xshash atamalarni qo'shing:

1) Qavslarni kengaytiring:

2) Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz. Bu safar vaqt va joyni tejash uchun koeffitsientlar umumiy harf qismiga qanday ko'paytirilishini yozmaymiz.

3-misol Ifodani soddalashtirish 8m+3m va uning qiymatini toping m=-4

1) Avval ifodani soddalashtiramiz. Ifodani soddalashtirish uchun 8m+3m, undagi umumiy omilni chiqarib olishingiz mumkin m qavslar uchun:

2) Ifodaning qiymatini toping m (8+3) da m=-4. Buning uchun ifodada m (8+3) o'zgaruvchi o'rniga m raqamni almashtiring -4

m(8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 x 8 + (-4) x 3 = -32 + (-12) = -44

Algebrada ko'rib chiqiladigan turli ifodalar orasida monomiallarning yig'indisi muhim o'rin tutadi. Mana shunday iboralarga misollar:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Monomiylar yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phaddagi atamalar ko'phadning a'zolari deyiladi. Bir a'zodan iborat bo'lgan ko'phad sifatida mononomiyalar ko'phadlar deb ham ataladi.

Masalan, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
soddalashtirish mumkin.

Biz barcha atamalarni standart shakldagi monomiallar sifatida ifodalaymiz:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Olingan polinomda shunga o'xshash shartlarni beramiz:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Natijada ko'phad hosil bo'ladi, uning barcha a'zolari standart shakldagi monomlardir va ular orasida o'xshashlari yo'q. Bunday polinomlar deyiladi standart shakldagi polinomlar.

Per polinom darajasi standart shakl uning a'zolarining eng katta vakolatlarini oladi. Demak, binomial \(12a^2b - 7b \) uchinchi darajaga, trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ikkinchi darajaga ega.

Odatda, bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan standart shakldagi ko'phadlarning shartlari uning ko'rsatkichlarining kamayish tartibida joylashtiriladi. Masalan:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Bir nechta ko'phadlar yig'indisi standart shakldagi ko'phadga aylantirilishi (soddalashtirilgan) mumkin.

Ba'zan ko'phadning a'zolarini har bir guruhni qavs ichiga olgan holda guruhlarga bo'lish kerak. Qavslar qavslarga qarama-qarshi bo'lganligi sababli, uni shakllantirish oson Qavslarni ochish qoidalari:

Qavslar oldiga + belgisi qo'yilsa, qavs ichiga olingan atamalar bir xil belgilar bilan yoziladi.

Qavslar oldiga "-" belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan atamalar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi.

Monomiy va ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).

Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, monom va ko'phadning ko'paytmasini ko'phadga aylantirish (soddalashtirish) mumkin. Masalan:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monomiy va ko?phadning ko?paytmasi shu monomning va ko?phadning har bir a'zosining ko?paytmalari yig?indisiga teng bo?ladi.

Bu natija odatda qoida sifatida shakllantiriladi.

Monomiyni ko'phadga ko'paytirish uchun bu monomni ko'phadning har bir a'zosiga ko'paytirish kerak.

Biz bu qoidani yig'indiga ko'paytirish uchun bir necha bor ishlatganmiz.

Polinomlarning hosilasi. Ikki ko'phadning ko'paytmasini o'zgartirish (soddalashtirish).

Umuman olganda, ikkita ko'phadning ko'paytmasi bir xil ko'phadning har bir hadi va ikkinchisining har bir hadi ko'paytmasining yig'indisiga tengdir.

Odatda quyidagi qoidadan foydalaning.

Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini ikkinchisining har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Yig'indi, farq va farq kvadratlari

Algebraik o'zgarishlardagi ba'zi ifodalar boshqalarga qaraganda tez-tez ko'rib chiqilishi kerak. Ehtimol, eng keng tarqalgan iboralar \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) va \(a^2 - b^2 \), ya'ni yig'indining kvadrati, farqning kvadrati va kvadrat farqi. Siz bu iboralarning nomlari to?liq bo?lmagandek ko?rinayotganini payqadingiz, shuning uchun, masalan, \((a + b)^2 \), albatta, yig?indining kvadrati emas, balki yig?indining kvadrati hamdir. a va b. Biroq, a va b yig'indisining kvadrati unchalik keng tarqalgan emas, qoida tariqasida, a va b harflari o'rniga u turli xil, ba'zan juda murakkab iboralarni o'z ichiga oladi.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifodalarini standart shakldagi ko'phadlarga aylantirish (soddalashtirish) oson, aslida siz ko'phadlarni ko'paytirishda bunday vazifaga duch kelgansiz. :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Olingan identifikatorlarni oraliq hisob-kitoblarsiz eslab qolish va qo'llash foydalidir. Qisqa og'zaki formulalar bunga yordam beradi.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - yig'indining kvadrati kvadratlar yig'indisiga va qo'sh ko'paytmaga teng.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farqning kvadrati hosilni ikki barobarga oshirmasdan kvadratlarning yig'indisidir.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratlar farqi ayirma va yig'indining ko'paytmasiga teng.

Ushbu uchta o'ziga xoslik transformatsiyalarda ularning chap qismlarini o'ngga va aksincha - o'ng qismlarini chapga almashtirishga imkon beradi. Bu holatda eng qiyin narsa mos keladigan ifodalarni ko'rish va ulardagi a va b o'zgaruvchilari nima bilan almashtirilganligini tushunishdir. Keling, qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.