Natural logarifmning asosiy xossalari, grafigi, aniqlanish sohasi, qiymatlar to‘plami, asosiy formulalari, hosilaviy, integral, darajali qatorlarni kengaytirish va ln x funksiyani kompleks sonlar yordamida tasvirlash berilgan.

Ta'rif

Tabiiy logarifm y = funktsiyasidir ln x, ko'rsatkichning teskarisi, x = e y va e sonining asosining logarifmi: ln x = log e x.

Tabiiy logarifm matematikada keng qo'llaniladi, chunki uning hosilasi eng oddiy shaklga ega: (ln x)' = 1/ x.

Asoslangan ta'riflar, natural logarifmning asosi sondir e:
e ? 2,718281828459045...;
.

y = funksiyaning grafigi ln x.

Natural logarifm grafigi (funksiyalar y = ln x) ko'rsatkichli grafikdan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan oynada aks etish orqali olinadi.

Tabiiy logarifm x o'zgaruvchisining ijobiy qiymatlari uchun aniqlanadi.

U o'z ta'rifi sohasida monoton ravishda ortadi. 0 x -> da

natural logarifmning chegarasi minus cheksizlik (-?).

X -> + ? sifatida natural logarifmning chegarasi plyus cheksizlikdir (+ ?). Katta x uchun logarifm juda sekin ortadi. Har qanday quvvat funktsiyasi x a musbat ko'rsatkichli a logarifmadan tezroq o'sadi.

Natural logarifmning xossalari

Ta'rif sohasi, qiymatlar to'plami, ekstremal, o'sish, pasayish

Tabiiy logarifm monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun u ekstremalga ega emas. Tabiiy logarifmning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

ln x qiymatlari

ln 1 = 0

Tabiiy logarifmlar uchun asosiy formulalar

Teskari funktsiya ta'rifidan kelib chiqadigan formulalar:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Har qanday logarifm tabiiy logarifmlar bilan asosiy almashtirish formulasi yordamida ifodalanishi mumkin:

Ushbu formulalarning isbotlari "Logarifm" bo'limida keltirilgan.

Natural logarifmning teskari ko‘rsatkichi ko‘rsatkichdir.

Agar , keyin

Agar, keyin.

Hosil ln x

Natural logarifmning hosilasi:
.
X modulining natural logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Integral

Integral qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi:
.
Shunday qilib,

Kompleks sonlar yordamida ifodalar

z kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini ko‘rib chiqing:
.
Kompleks o‘zgaruvchini ifodalaylik z modul orqali r va argument f :
.
Logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki
.
ph argumenti yagona aniqlanmagan. Agar qo'ysangiz
, bu yerda n butun son,
u har xil n uchun bir xil raqam bo'ladi.

Shuning uchun, tabiiy logarifm, murakkab o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida, bir qiymatli funktsiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

Kengaytirish qachon sodir bo'ladi:

Foydalanilgan adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Logarifmlar, har qanday raqamlar kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar oddiy sonlar emasligi sababli, bu erda qoidalar mavjud, ular chaqiriladi asosiy xususiyatlar.

Siz, albatta, ushbu qoidalarni bilishingiz kerak - ularsiz biron bir jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - siz bir kunda hamma narsani o'rganishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo‘shish va ayirish

Bir xil asoslarga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va jurnal a y. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. jurnal a x+ jurnal a y=log a (x · y);
2. jurnal a x- jurnal a y=log a (x : y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga, ayirmasi esa bo‘linmaning logarifmiga teng. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta bir xil asoslar. Agar sabablar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar, hatto uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham logarifmik ifodani hisoblashda yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Logarifmlar bir xil asoslarga ega bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 - log 2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 - log 3 5.

Yana asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida hisoblanmaydi. Ammo transformatsiyalardan so'ng butunlay normal raqamlar olinadi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, testga o'xshash iboralar Yagona davlat imtihonida barcha jiddiylik bilan (ba'zida deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni chiqarish

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumenti kuch bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Oxirgi qoida birinchi ikkitasiga amal qilishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, agar logarifmning ODZ kuzatilsa, ushbu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ? 1, x> 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. Logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .

Keling, birinchi formuladan foydalanib, argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

[Rasm uchun sarlavha]

E'tibor bering, maxraj logarifmadan iborat bo'lib, uning asosi va argumenti aniq darajalardir: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizda ... bor:

O'ylaymanki, oxirgi misol biroz tushuntirishni talab qiladi. Logarifmlar qayerga ketdi? Biz oxirgi daqiqagacha faqat maxraj bilan ishlaymiz. Biz u erda turgan logarifmning asosini va argumentini kuchlar shaklida taqdim etdik va ko'rsatkichlarni olib tashladik - biz "uch qavatli" kasrni oldik.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil sonni o'z ichiga oladi: log 2 7. Log 2 7 ? 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rttasi hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarilgan. Natijada javob bo'ldi: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar sabablar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi poydevorga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Keling, ularni teorema shaklida tuzamiz:

Logarifm jurnali berilsin a x. Keyin istalgan raqam uchun c shunday c> 0 va c? 1, tenglik to'g'ri:

[Rasm uchun sarlavha]

Xususan, agar biz qo'ysak c = x, biz olamiz:

[Rasm uchun sarlavha]

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda ko'rinadi.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq kuchlarni o'z ichiga oladi. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Endi ikkinchi logarifmni “teskari” qilaylik:

Faktorlarni qayta tartibga solishda mahsulot o'zgarmasligi sababli, biz xotirjamlik bilan to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlar bilan ishladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha yechim jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish kerak bo'ladi. Bunday holda, quyidagi formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, raqam n argumentda turgan daraja ko'rsatkichiga aylanadi. Raqam n mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifm qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu shunday deyiladi: asosiy logarifmik identifikatsiya.

Aslida, raqam bo'lsa, nima bo'ladi b raqamni shunday kuchga ko'taring b bu kuchga raqamni beradi a? To'g'ri: siz xuddi shu raqamni olasiz a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga yopishib olishadi.

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

[Rasm uchun sarlavha]

E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - oddiygina kvadratni logarifmning asosi va argumentidan oldi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi :)

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlar deb atash qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, ular logarifm ta'rifining oqibatlari. Ular doimo muammolarda paydo bo'ladi va ajablanarlisi shundaki, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. jurnal a a= 1 - logarifmik birlik. Bir marta va umuman eslab qoling: har qanday bazaga logarifm a shu asosdan bittaga teng.
2. jurnal a 1 = 0 - logarifmik nol. Baza a har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

(yunon tilidan l?s - "so'z", "munosabat" va ?rthmos - "raqam") raqamlar b asoslangan a(log a b) bunday son deyiladi c, Va b= a c, ya'ni log a ni qayd qiladi b=c Va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ? 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b asoslangan A raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat musbat raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.

Masalan:

log 2 8 = 3, chunki 8 = 2 3.

Shuni ta'kidlash kerakki, logarifmning belgilangan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati, logarifm belgisi ostidagi raqam bazaning ma'lum bir kuchi sifatida harakat qilganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b asoslangan a teng Bilan. Logarifmlar mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqamning vakolatlari.

Logarifmni hisoblash deyiladi logarifm. Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifmlarni olishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.

Potentsiyalash logarifmning teskari matematik amalidir. Potentsiyalash vaqtida berilgan baza potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda darajasiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Ko'pincha haqiqiy logarifmlar 2 (ikkilik), Eyler soni e ? 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) asoslari bilan qo'llaniladi.

Ushbu bosqichda e'tiborga olish tavsiya etiladi Logarifm namunalari jurnal 7 2 , ln ? 5, lg0,0001.

Va lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida manfiy raqam mavjud. asosda, uchinchisida esa logarifm belgisi ostida manfiy son va asosda birlik mavjud.

Logarifmni aniqlash shartlari.

Biz a > 0, a ? 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bunda bizga x = log a shaklidagi tenglik yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifm ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

Keling, shartni olaylik a?1. Har qanday daraja birga teng bo'lganligi sababli, tenglik x=log a b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf qilish uchun biz olamiz a?1.

Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. At a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va shunga ko'ra, keyin log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni shart bilan bartaraf etish mumkin a?0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak edi, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli daraja faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart belgilab qo'yilgan a>0.

Va oxirgi shart b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat asosga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.

Logarifmlarning xususiyatlari.

Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shilishga, bo'linish ayirishga, daraja va ildiz chiqarish esa mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'linishga aylantiriladi.

Logarifmlarning formulasi va ularning qiymatlari jadvali (trigonometrik funktsiyalar uchun) birinchi marta 1614 yilda Shotlandiya matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo‘llanilgan va elektron hisob mashinalari va kompyuterlar qo‘llanilgunga qadar o‘z ahamiyatini saqlab qolgan.

Logarifmik tenglama noma'lum (x) va u bilan ifodalangan ifodalar logarifmik funksiya belgisi ostida bo'lgan tenglamadir. Logarifmik tenglamalarni yechish siz va bilan allaqachon tanish ekanligingizni nazarda tutadi.
Logarifmik tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Eng oddiy tenglama log a x = b, bu yerda a va b ba'zi sonlar, x noma'lum.
Logarifmik tenglamani yechish x = a b taqdim etiladi: a > 0, a 1.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar x logarifmdan tashqarida bo'lsa, masalan log 2 x = x-2, unda bunday tenglama allaqachon aralash deb ataladi va uni hal qilish uchun maxsus yondashuv kerak.

Ideal holat - logarifm belgisi ostida faqat raqamlar bo'lgan tenglamaga duch kelganingizda, masalan, x+2 = log 2 2. Bu erda uni yechish uchun logarifmlarning xususiyatlarini bilish kifoya. Ammo bunday omad tez-tez uchramaydi, shuning uchun qiyinroq narsalarga tayyor bo'ling.

Lekin birinchi navbatda oddiy tenglamalardan boshlaylik. Ularni hal qilish uchun logarifm haqida juda umumiy tushunchaga ega bo'lish tavsiya etiladi.

Oddiy logarifmik tenglamalarni yechish

Bularga log 2 x = log 2 16 tipidagi tenglamalar kiradi. Yalang'och ko'z logarifm belgisini tashlab, x = 16 ni olishimizni ko'rishi mumkin.

Murakkab logarifmik tenglamani yechish uchun odatda oddiy algebraik tenglamani yechish yoki oddiy log a x = b logarifmik tenglamani yechishga keltiriladi. Eng oddiy tenglamalarda bu bir harakatda sodir bo'ladi, shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Logarifmlarni tushirishning yuqoridagi usuli logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishning asosiy usullaridan biridir. Matematikada bu operatsiya potensiyalash deb ataladi. Ushbu turdagi operatsiya uchun ma'lum qoidalar yoki cheklovlar mavjud:

• logarifmlar bir xil sonli asoslarga ega
• Tenglamaning ikkala tomonidagi logarifmlar erkin, ya'ni. hech qanday koeffitsientsiz yoki boshqa turli xil ifodalarsiz.

Aytaylik, log 2 x = 2log 2 (1 - x) tenglamasida potensiyalash qo'llanilmaydi - o'ngdagi 2 koeffitsienti bunga yo'l qo'ymaydi. Quyidagi misolda log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) ham cheklovlardan birini qanoatlantirmaydi - chap tomonda ikkita logarifm mavjud. Agar bitta bo'lganida, butunlay boshqa masala bo'lardi!

Umuman olganda, agar tenglama quyidagi shaklga ega bo'lsa, logarifmlarni olib tashlashingiz mumkin:

log a (...) = log a (...)

Mutlaqo har qanday iboralar qavs ichiga joylashtirilishi mumkin, bu potentsial operatsiyaga mutlaqo ta'sir qilmaydi. Va logarifmlarni yo'q qilgandan so'ng, oddiyroq tenglama qoladi - chiziqli, kvadratik, eksponensial va boshqalar, umid qilamanki, siz qanday hal qilishni bilasiz.

Yana bir misol keltiraylik:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Biz potentsialni qo'llaymiz, biz quyidagilarni olamiz:

log 3 (2x-1) = 2

Logarifmning ta'rifiga asoslanib, ya'ni logarifm - logarifm belgisi ostida bo'lgan ifodani olish uchun asosni ko'tarish kerak bo'lgan raqam, ya'ni. (4x-1), biz olamiz:

Yana chiroyli javob oldik. Bu erda biz logarifmlarni yo'q qilmasdan qildik, lekin bu erda potentsiyalash ham qo'llaniladi, chunki logarifm har qanday raqamdan va aynan bizga kerak bo'lgan raqamdan tuzilishi mumkin. Bu usul logarifmik tenglamalarni va ayniqsa tengsizliklarni yechishda juda foydali.

Keling, log 3 (2x-1) = 2 logarifmik tenglamamizni potentsiya yordamida yechamiz:

Keling, 2 raqamini logarifm sifatida tasavvur qilaylik, masalan, bu log 3 9, chunki 3 2 =9.

Keyin log 3 (2x-1) = log 3 9 va yana bir xil tenglamani olamiz 2x-1 = 9. Umid qilamanki, hamma narsa aniq.

Shunday qilib, biz eng oddiy logarifmik tenglamalarni qanday hal qilishni ko'rib chiqdik, ular aslida juda muhim, chunki logarifmik tenglamalarni yechish, hatto eng dahshatli va o'ralgan bo'lganlar ham, oxirida har doim eng oddiy tenglamalarni echishga tushadi.

Yuqorida qilgan barcha ishlarimizda biz bitta narsani o'tkazib yubordik muhim nuqta, bu kelajakda hal qiluvchi rol o'ynaydi. Gap shundaki, har qanday logarifmik tenglamaning yechimi, hatto eng elementar ham, ikkita teng qismdan iborat. Birinchisi, tenglamaning o'zi yechimi, ikkinchisi - ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni (APV) bilan ishlaydi. Bu biz o'zlashtirgan birinchi qismdir. Yuqoridagi misollarda ODZ javobga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi, shuning uchun biz buni ko'rib chiqmadik.

Yana bir misol keltiraylik:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Tashqi tomondan, bu tenglama elementardan farq qilmaydi, uni juda muvaffaqiyatli hal qilish mumkin. Ammo bu mutlaqo to'g'ri emas. Yo'q, albatta, biz buni hal qilamiz, lekin, ehtimol, noto'g'ri, chunki u kichik pistirmani o'z ichiga oladi, unga C sinf o'quvchilari ham, a'lochilar ham darhol tushib qolishadi. Keling, batafsil ko'rib chiqaylik.

Aytaylik, siz tenglamaning ildizini yoki ularning bir nechtasi bo'lsa, ildizlarning yig'indisini topishingiz kerak:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Biz potentsialdan foydalanamiz, bu erda qabul qilinadi. Natijada, biz oddiy kvadrat tenglamani olamiz.

Tenglamaning ildizlarini toping:

Ikkita ildiz paydo bo'ldi.

Javob: 3 va -1

Bir qarashda hamma narsa to'g'ri. Ammo keling, natijani tekshiramiz va uni asl tenglamaga almashtiramiz.

X 1 = 3 dan boshlaylik:

log 3 6 = log 3 6

Tekshirish muvaffaqiyatli o'tdi, endi navbat x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Yaxshi, to'xtang! Tashqi tomondan, hamma narsa mukammaldir. Bir narsa - manfiy raqamlardan logarifmlar yo'q! Demak, x = -1 ildiz tenglamamizni yechish uchun mos emas. Va shuning uchun to'g'ri javob biz yozganimizdek 2 emas, 3 bo'ladi.

Bu erda ODZ o'zining halokatli rolini o'ynadi, biz buni unutdik.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, qabul qilinadigan qiymatlar oralig'i asl misol uchun ruxsat etilgan yoki mantiqiy bo'lgan x qiymatlarini o'z ichiga oladi.

ODZ bo'lmasa, har qanday tenglamaning har qanday yechimi, hatto mutlaqo to'g'risi ham lotereyaga aylanadi - 50/50.

Qanday qilib biz oddiy ko'rinadigan misolni hal qilishda qo'lga tushishimiz mumkin? Ammo aynan potentsiallanish vaqtida. Logarifmlar yo'qoldi va ular bilan barcha cheklovlar.

Bu holatda nima qilish kerak? Logarifmlarni yo'q qilishdan bosh tortasizmi? Va bu tenglamani echishdan butunlay bosh tortasizmi?

Yo'q, biz faqat bitta mashhur qo'shiqning haqiqiy qahramonlari kabi aylanma yo'lni bosib o'tamiz!

Har qanday logarifmik tenglamani echishni boshlashdan oldin biz ODZni yozamiz. Ammo bundan keyin siz bizning tenglamamiz bilan yuragingiz xohlagan narsani qilishingiz mumkin. Javobni olgach, biz ODZ-ga kiritilmagan ildizlarni tashlaymiz va yakuniy versiyani yozamiz.

Keling, ODZni qanday yozishni hal qilaylik. Buning uchun biz dastlabki tenglamani diqqat bilan tekshiramiz va undagi shubhali joylarni qidiramiz, masalan, x ga bo'linish, hatto ildiz va boshqalar. Tenglamani yechmagunimizcha, biz x ning nimaga teng ekanligini bilmaymiz, lekin aniq bilamizki, o'rniga qo'yilganda 0 ga bo'linadigan yoki manfiy sonning kvadrat ildizini oladigan x ning mos kelmasligi aniq. javob. Shuning uchun bunday x qabul qilinishi mumkin emas, qolganlari esa ODZni tashkil qiladi.

Keling, yana bir xil tenglamadan foydalanamiz:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Ko'rib turganingizdek, 0 ga bo'linish yo'q, kvadrat ildizlar ham yo'q, lekin logarifm tanasida x bilan ifodalangan iboralar mavjud. Darhol eslaylikki, logarifm ichidagi ifoda har doim >0 bo'lishi kerak. Ushbu shartni ODZ shaklida yozamiz:

Bular. Biz hali hech narsani hal qilmadik, lekin biz allaqachon butun sublogarifmik ifoda uchun majburiy shartni yozdik. Jingalak qavs bu shartlar bir vaqtning o'zida to'g'ri bo'lishi kerakligini anglatadi.

ODZ yoziladi, lekin natijada paydo bo'lgan tengsizliklar tizimini echish kerak, biz buni qilamiz. Biz javobni olamiz x > v3. Endi biz qaysi x bizga mos kelmasligini aniq bilamiz. Va keyin biz logarifmik tenglamaning o'zini echishni boshlaymiz, bu biz yuqorida qilgan narsamiz.

X 1 = 3 va x 2 = -1 javoblarini olganimizdan so'ng, bizga faqat x1 = 3 mos kelishini tushunish oson va biz uni yakuniy javob sifatida yozamiz.

Kelajakda quyidagilarni eslash juda muhim: biz har qanday logarifmik tenglamani 2 bosqichda echamiz. Birinchisi, tenglamaning o'zini hal qilish, ikkinchisi - ODZ shartini hal qilish. Ikkala bosqich ham bir-biridan mustaqil ravishda amalga oshiriladi va faqat javob yozishda solishtiriladi, ya'ni. keraksiz hamma narsani tashlang va to'g'ri javobni yozing.

Materialni mustahkamlash uchun videoni tomosha qilishni tavsiya etamiz:

Videoda jurnalni hal qilishning boshqa misollari ko'rsatilgan. tenglamalar va amaliyotda interval usulini ishlab chiqish.

Bu savolga, logarifmik tenglamalarni yechish usullari Hozircha hammasi shu. Agar biror narsa jurnal tomonidan qaror qilingan bo'lsa. tenglamalar noaniq yoki tushunarsiz bo'lib qolsa, savollaringizni izohlarda yozing.

Eslatma: Ijtimoiy ta'lim akademiyasi (ASE) yangi talabalarni qabul qilishga tayyor.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.