Boltsman doimiysi (k (\displaystyle k) yoki k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) - harorat va energiya o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlaydigan fizik konstanta. Statistik fizikaga katta hissa qo'shgan avstriyalik fizik Lyudvig Boltsman sharafiga nomlangan, bu doimiy asosiy rol o'ynaydi. Xalqaro birliklar tizimida (SI) uning eksperimental qiymati:

Qavslar ichidagi raqamlar qiymatning oxirgi raqamlaridagi standart xatoni ko'rsatadi.

Entsiklopedik YouTube

1 / 3

? Termal nurlanish. Stefan-Boltzman qonuni

? Boltzmann tarqatish modeli.

? Fizika. MKT: Ideal gaz uchun Mendeleyev-Klapeyron tenglamasi. Foxford Onlayn o'quv markazi

Subtitrlar

Harorat va energiya o'rtasidagi bog'liqlik

Mutlaq haroratda bir hil ideal gazda T (\displaystyle T), har bir translatsion erkinlik darajasiga tegishli energiya Maksvell taqsimotidan quyidagicha bo'ladi: kT / 2 (\displaystyle kT/2). Xona haroratida (300 ) bu energiya 2 , 07 x 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\ marta 10^(-21)) J, yoki 0,013 eV. Monatomik ideal gazda har bir atom uchta fazoviy o'qqa mos keladigan uchta erkinlik darajasiga ega, ya'ni har bir atomda energiya bor. 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Issiqlik energiyasini bilib, atom massasining kvadrat ildiziga teskari proportsional bo'lgan o'rtacha kvadrat atom tezligini hisoblash mumkin. Xona haroratida ildiz kvadratining o'rtacha tezligi geliy uchun 1370 m / s dan ksenon uchun 240 m / s gacha o'zgarib turadi. Molekulyar gazda vaziyat yanada murakkablashadi, masalan, ikki atomli gaz beshta erkinlik darajasiga ega (past haroratlarda, molekuladagi atomlarning tebranishlari qo'zg'almaganda).

Entropiyaning ta'rifi

Termodinamik tizimning entropiyasi turli mikroholatlar sonining tabiiy logarifmi sifatida aniqlanadi. Z (\displaystyle Z) berilgan makroskopik holatga mos keladigan (masalan, berilgan umumiy energiyaga ega bo'lgan holat).

Proportsionallik omili k (\displaystyle k) va Boltsman doimiysi. Bu mikroskopik ( Z (\displaystyle Z)) va makroskopik holatlar ( S (\displaystyle S)), statistik mexanikaning markaziy g'oyasini ifodalaydi.

Taxmin qilingan qiymatni tuzatish

2011-yil 17-21-oktabrda bo?lib o?tgan O?lchovlar va og?irliklar bo?yicha XXIV Bosh konferentsiya rezolyutsiya qabul qildi, unda, xususan, xalqaro birliklar tizimini kelgusida qayta ko?rib chiqishni o?z ichiga olgan holda amalga oshirish taklif qilingan edi. Boltsman doimiysining qiymati, shundan so'ng u aniq hisoblanadi aynan. Natijada, u ishlaydi aniq tenglik k=1,380 6X?10 -23 J/K, bunda X eng yaxshi CODATA tavsiyalari asosida kelajakda aniqlanadigan bir yoki bir nechta muhim raqamlarni almashtiradi. Bunday da'vo qilingan fiksatsiya termodinamik haroratning birligi kelvinni uning qiymatini Boltsman doimiysi qiymati bilan bog'lash orqali qayta aniqlash istagi bilan bog'liq.

Boltsmann Lyudvig (1844-1906)- buyuk avstriyalik fizigi, molekulyar kinetik nazariyaning asoschilaridan biri. Boltsmanning asarlarida molekulyar-kinetik nazariya dastlab mantiqiy izchil, izchil fizik nazariya sifatida paydo bo'ldi. Boltsman termodinamikaning ikkinchi qonunining statistik talqinini berdi. U Maksvellning elektromagnit maydon nazariyasini ishlab chiqish va ommalashtirish uchun ko'p ishlarni amalga oshirdi. Tabiatan kurashchi Boltsmann issiqlik hodisalarini molekulyar talqin qilish zaruratini ishtiyoq bilan himoya qildi va molekulalarning mavjudligini inkor etuvchi olimlarga qarshi kurashning og'irligini o'z zimmasiga oldi.

Tenglama (4.5.3) universal gaz konstantasining nisbatini o'z ichiga oladi R Avogadro doimiysiga N A . Bu nisbat barcha moddalar uchun bir xil. U molekulyar kinetik nazariyaning asoschilaridan biri L. Boltsman sharafiga Boltsman doimiysi deb ataladi.

Boltsman doimiysi:

(4.5.4)

Boltsman doimiyligini hisobga olgan holda (4.5.3) tenglama quyidagicha yoziladi:

(4.5.5)

Boltsman doimiysining fizik ma'nosi

Tarixan harorat birinchi marta termodinamik miqdor sifatida kiritilgan va u uchun o'lchov birligi - daraja o'rnatilgan (3.2-§ ga qarang). Harorat va molekulalarning o'rtacha kinetik energiyasi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatgandan so'ng, harorat molekulalarning o'rtacha kinetik energiyasi sifatida belgilanishi va kattalik o'rniga joul yoki erglarda ifodalanishi mumkinligi ma'lum bo'ldi. T qiymatni kiriting T* Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

Shunday qilib aniqlangan harorat darajalarda ifodalangan harorat bilan bog'liq:

Shuning uchun Boltsman doimiyligini energiya birliklarida ifodalangan haroratni darajalarda ifodalangan harorat bilan bog'laydigan miqdor deb hisoblash mumkin.

Gaz bosimining uning molekulalari kontsentratsiyasiga va haroratga bog'liqligi

Ifoda qilish E(4.5.5) munosabatdan va formulani (4.4.10) almashtirib, gaz bosimining molekulalar konsentratsiyasi va haroratga bog'liqligini ko'rsatadigan ifodani olamiz:

(4.5.6)

(4.5.6) formuladan kelib chiqadiki, bir xil bosim va haroratlarda barcha gazlardagi molekulalarning konsentratsiyasi bir xil bo'ladi.

Bu Avogadro qonunini nazarda tutadi: bir xil harorat va bosimdagi gazlarning teng hajmlari bir xil miqdordagi molekulalarni o'z ichiga oladi.

Molekulalarning translatsiya harakatining o'rtacha kinetik energiyasi mutlaq haroratga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Proportsionallik omili- Boltsman doimiysik \u003d 10 -23 J / K - eslash kerak.

§ 4.6. Maksvell taqsimoti

Ko'p hollarda jismoniy miqdorlarning o'rtacha qiymatlarini bilishning o'zi etarli emas. Masalan, odamlarning o'rtacha balandligini bilish har xil o'lchamdagi kiyimlarni ishlab chiqarishni rejalashtirishga imkon bermaydi. Balandligi ma'lum bir oraliqda joylashgan odamlarning taxminiy sonini bilishingiz kerak. Xuddi shunday, o'rtachadan farqli tezliklarga ega bo'lgan molekulalar sonini bilish muhimdir. Maksvell birinchi bo'lib bu raqamlarni qanday aniqlash mumkinligini topdi.

Tasodifiy hodisa ehtimoli

4.1-§da biz J. Maksvell molekulalarning katta to'plamining harakatini tasvirlash uchun ehtimollik tushunchasini kiritganligini aytib o'tgan edik.

Qayta-qayta ta'kidlanganidek, printsipial jihatdan uzoq vaqt oralig'ida bitta molekula tezligining (yoki impulsning) o'zgarishini kuzatish mumkin emas. Shuningdek, ma'lum bir vaqtda barcha gaz molekulalarining tezligini aniq aniqlash mumkin emas. Gaz joylashgan makroskopik sharoitlardan (ma'lum hajm va harorat) molekulalar tezligining ma'lum qiymatlari shart emas. Molekula tezligini tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqish mumkin, u ma'lum makroskopik sharoitlarda turli qiymatlarni olishi mumkin, xuddi zarni uloqtirganda, 1 dan 6 gacha bo'lgan istalgan nuqtalar soni (zarlarning yuzlari soni oltita) tushishi mumkin. tashqariga. Berilgan o'limda qancha ochko tushishini oldindan aytib bo'lmaydi. Ammo dumalab ketish ehtimoli, aytaylik, besh ochkoni himoya qilish mumkin.

Tasodifiy hodisaning yuzaga kelish ehtimoli qanday? Juda katta raqam ishlab chiqarilsin N testlar (N matritsaning rulonlari soni). Shu bilan birga, in N" hollarda, testlarning ijobiy natijasi bor edi (ya'ni, beshta yo'qotish). Keyin ushbu hodisaning ehtimoli, agar bu raqam o'zboshimchalik bilan ko'p bo'lsa, ijobiy natijaga ega bo'lgan holatlar sonining sinovlarning umumiy soniga nisbatiga teng bo'ladi:

(4.6.1)

Nosimmetrik matritsa uchun 1 dan 6 gacha bo'lgan har qanday tanlangan nuqtalar sonining ehtimoli .

Ko'ramiz, ko'plab tasodifiy hodisalar fonida ma'lum bir miqdoriy naqsh ochiladi, raqam paydo bo'ladi. Bu raqam - ehtimollik - o'rtacha ko'rsatkichlarni hisoblash imkonini beradi. Shunday qilib, agar siz 300 ta zarni uloqtirsangiz, (4.6.1) formuladan ko'ra, beshta otishning o'rtacha soni quyidagilarga teng bo'ladi: 300 = 50 va bir xil zarni uloqtirish mutlaqo befarq. 300 marta yoki bir vaqtning o'zida 300 ta bir xil zar.

Shubhasiz, idishdagi gaz molekulalarining harakati tashlangan zarning harakatiga qaraganda ancha murakkabroq. Ammo bu erda ham, agar muammo klassik mexanikada emas, balki o'yin nazariyasidagi kabi qo'yilgan bo'lsa, o'rtacha statistik ko'rsatkichlarni hisoblash imkonini beradigan ma'lum miqdoriy qonuniyatlarni topishga umid qilish mumkin. Biz ma'lum bir momentda molekula tezligining aniq qiymatini aniqlashning hal qilib bo'lmaydigan muammosidan voz kechishimiz va tezlikning ma'lum bir qiymatga ega bo'lish ehtimolini topishga harakat qilishimiz kerak.

Kelebeklar, albatta, ilonlar haqida hech narsa bilishmaydi. Ammo kapalaklarni ovlaydigan qushlar ular haqida bilishadi. Ilonni tanimaydigan qushlar ko‘proq...

Stefan-Boltzman qonuniga ko'ra, integral yarim sharik nurlanishning zichligi E0 faqat haroratga bog'liq va mutlaq haroratning to'rtinchi darajasiga mutanosib ravishda o'zgaradi T:

Stefan - Boltsman doimiysi s 0 - qora jismning muvozanat termal nurlanishining hajmli zichligini aniqlaydigan qonunga kiritilgan fizik konstanta:

Tarixiy jihatdan, Stefan-Boltzman qonuni Plankning radiatsiya qonunidan oldin ishlab chiqilgan bo'lib, undan xulosa sifatida kelib chiqadi. Plank qonuni radiatsiya oqimining spektral zichligiga bog'liqligini belgilaydi E 0 to'lqin uzunligi l va harorat bo'yicha T:

bu erda l - to'lqin uzunligi, m; Bilan\u003d 2,998 10 8 m / s - vakuumdagi yorug'lik tezligi; T- tana harorati, K;
h\u003d 6,625 x 10 -34 J x s - Plank doimiysi.

Jismoniy doimiy k universal gaz konstantasining nisbatiga teng R\u003d 8314J / (kg x K) Avogadro raqamiga NA\u003d 6,022 x 10 26 1 / (kg x mol):

dan turli xil tizim konfiguratsiyalari soni N berilgan raqamlar to'plami uchun zarralar n i(zarrachalar soni i-e i energiyasi mos keladigan holat) qiymatga proportsionaldir:

Qiymat V tarqatishning bir qancha usullari mavjud N energiya darajalari bo'yicha zarralar. Agar (6) munosabat to'g'ri bo'lsa, u holda dastlabki tizim Boltsman statistikasiga bo'ysunadi deb hisoblanadi. Raqamlar to'plami n i, qaysi raqamda V maksimal, eng tez-tez uchraydi va eng ehtimoliy taqsimotga mos keladi.

Fizik kinetika– statistik nomutanosib tizimlardagi jarayonlarning mikroskopik nazariyasi.

Ko'p sonli zarrachalarning tavsifi ehtimollik usullari bilan muvaffaqiyatli amalga oshirilishi mumkin. Monatomik gaz uchun molekulalar to'plamining holati ularning koordinatalari va mos keladigan koordinata o'qlari bo'yicha tezlik proektsiyalarining qiymatlari bilan belgilanadi. Matematik jihatdan, bu zarrachaning ma'lum bir holatda bo'lish ehtimolini tavsiflovchi taqsimot funktsiyasi bilan tavsiflanadi:

koordinatalari +d gacha, tezligi esa +d gacha bo'lgan hajmdagi molekulalarning kutilayotgan soni d d .

Agar molekulalarning o'zaro ta'sirining vaqt bo'yicha o'rtacha potentsial energiyasini ularning kinetik energiyasiga nisbatan e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa, u holda gaz ideal deb ataladi. Ideal gaz Boltsman gazi deb ataladi, agar bu gazdagi molekulalarning yo'l uzunligining oqimning xarakteristik hajmiga nisbati bo'lsa. L albatta, ya'ni.

chunki yugurish uzunligi teskari proportsionaldir nd 2(n - son zichligi 1/m3, d - molekulaning diametri, m).

qiymat

chaqirdi H- hajm birligi uchun Boltsman funksiyasi, bu ma'lum holatda gaz molekulalari tizimini aniqlash ehtimoli bilan bog'liq. Har bir holat olti o'lchovli fazo-tezlik hujayralarining ma'lum ishg'ol raqamlariga to'g'ri keladi, ularga ko'rib chiqilayotgan molekulalarning fazaviy fazosini bo'lish mumkin. Belgilamoq V ko'rib chiqilayotgan fazoning birinchi katagida N 1 molekula, ikkinchi katakda N 2 va boshqalar bo'lish ehtimoli.

Ehtimollikning kelib chiqishini aniqlaydigan konstantagacha quyidagi munosabat amal qiladi:

,

qayerda – fazo mintaqasining H-funksiyasi LEKIN gaz bilan band. (9) dan buni ko'rish mumkin V va H o'zaro bog'liq, ya'ni. holat ehtimolining o'zgarishi H funktsiyasining tegishli evolyutsiyasiga olib keladi.

Boltsman printsipi entropiya o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi S fizik tizim va termodinamik ehtimollik V uning holati:

(Nashr bo'yicha chop etilgan: Kogan M.N. Kamyoblangan gazning dinamikasi. - M .: Nauka, 1967.)

CUBE ning umumiy ko'rinishi:

molekulaga ta'sir qiluvchi turli maydonlar (tortishish, elektr, magnit) mavjudligi sababli tana kuchi qayerda; J to'qnashuv integralidir. Boltsman tenglamasining ana shu atamasi molekulalarning bir-biri bilan to'qnashuvi va o'zaro ta'sir qiluvchi zarrachalar tezligining mos ravishda o'zgarishini hisobga oladi. To'qnashuv integrali besh o'lchovli integral bo'lib, quyidagi tuzilishga ega:

Integral (13) bo'lgan (12) tenglama molekulalarning to'qnashuvi uchun olingan bo'lib, ularda tangensial kuchlar mavjud emas, ya'ni. to'qnashuvchi zarralar mukammal silliq deb hisoblanadi.

O'zaro ta'sir jarayonida molekulalarning ichki energiyasi o'zgarmaydi, ya'ni. bu molekulalar ideal elastik deb taxmin qilinadi. Molekulalarning ikki guruhi bir-biri bilan to'qnashuv (to'qnashuv) oldidan (1-rasm) va mos ravishda tezlikka ega bo'lgan va to'qnashuvdan keyin mos ravishda tezlik va ga ega bo'lgan molekulalarning ikki guruhi hisoblanadi. Tezlikdagi farq nisbiy tezlik deb ataladi, ya'ni. . Bu aniq, silliq elastik to'qnashuv uchun. Tarqatish funktsiyalari f 1 ", f", f 1 ,f to'qnashuvdan keyin va oldin tegishli guruhlarning molekulalarini tasvirlab bering, ya'ni. ; ; ; .

Guruch. 1. Ikki molekulaning to'qnashuvi.

(13) tenglama to'qnashuvchi molekulalarning bir-biriga nisbatan joylashishini tavsiflovchi ikkita parametrni o'z ichiga oladi: b va e; b- nishonga olish masofasi, ya'ni. molekulalar o'zaro ta'sir bo'lmaganda yaqinlashadigan eng kichik masofa (2-rasm); e burchakli to'qnashuv parametri deb ataladi (3-rasm). Integratsiya tugadi b 0 dan ? gacha va 0 dan 2p gacha ((12) dagi ikkita tashqi integral) vektorga perpendikulyar kuchlarning o?zaro ta'sirining butun tekisligini qamrab oladi.

Guruch. 2. Molekulalar harakatining traektoriyasi.

Guruch. 3. Silindrsimon koordinatalar sistemasidagi molekulalarning o‘zaro ta’sirini ko‘rib chiqish: z, b, e

Boltsman kinetik tenglamasi quyidagi farazlar va taxminlar asosida chiqariladi.

1. Asosan ikkita molekulaning to'qnashuvi sodir bo'ladi, deb hisoblashadi, ya'ni. bir vaqtning o'zida uch yoki undan ortiq molekulalarning to'qnashuvining roli ahamiyatsiz. Ushbu faraz tahlil uchun bir zarracha taqsimot funksiyasidan foydalanishga imkon beradi, uni yuqorida oddiygina taqsimlash funksiyasi deb atashgan. Uch molekulaning to'qnashuvini hisobga olish tadqiqotda ikki zarracha taqsimot funktsiyasidan foydalanish zarurligiga olib keladi. Shunga ko'ra, tahlil qilish ancha murakkablashadi.

2. Molekulyar xaos haqidagi faraz. 1-zarrachani faza nuqtasida va 2-zarrachani faza nuqtasida aniqlash ehtimoli bir-biridan mustaqil ekanligida ifodalanadi.

3. Har qanday zarba masofasi bilan molekulalarning teng ehtimoliy to'qnashuvlari, ya'ni. o'zaro ta'sir diametrida taqsimlash funktsiyasi o'zgarmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, tahlil qilinadigan element kichik bo'lishi kerak f bu element ichida o'zgarmaydi, lekin bir vaqtning o'zida, shuning uchun nisbiy dalgalanma ~ katta emas. To'qnashuv integralini hisoblashda qo'llaniladigan o'zaro ta'sir potentsiallari sferik simmetrikdir, ya'ni. .

Maksvell-Boltzman taqsimoti

Gazning muvozanat holati mutlaq Maksvell taqsimoti bilan tavsiflanadi, bu Boltsman kinetik tenglamasining aniq yechimi:

bu yerda m - molekulaning massasi, kg.

Umumiy mahalliy Maksvell taqsimoti Maksvell-Boltzman taqsimoti deb ataladi:

gaz bir butun sifatida tezlik bilan harakat qilganda va n, T o'zgaruvchilari koordinataga bog'liq bo'lgan holatda.
va vaqt t.

Yerning tortishish maydonida Boltsman tenglamasining aniq yechimi ko'rsatadi:

qayerda n 0 = Yer yuzasiga yaqin zichlik, 1/m 3; g- tortishishning tezlashishi, m / s 2; h balandlik, m.Formula (16) Boltsman kinetik tenglamasining cheksiz fazoda yoki bu taqsimotni buzmaydigan chegaralar mavjudligida aniq yechimidir, shu bilan birga harorat ham doimiy qolishi kerak.

Ushbu sahifa Puzina Yu.Yu tomonidan ishlab chiqilgan. Rossiya fundamental tadqiqotlar jamg'armasi ko'magida - 08-08-00638-sonli loyiha.

Boltsman doimiysi (k (\displaystyle k) yoki k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) harorat va energiya o'rtasidagi munosabatni aniqlaydigan fizik konstantadir. Statistik fizikaga katta hissa qo'shgan avstriyalik fizik Lyudvig Boltsman sharafiga nomlangan, bu doimiylik asosiy rol o'ynaydi. Asosiy SI birliklarining ta'riflari o'zgarishiga ko'ra (2018 yil) Xalqaro birliklar tizimidagi uning qiymati to'liq tengdir.

Harorat va energiya o'rtasidagi bog'liqlik

Mutlaq haroratda bir hil ideal gazda T (\displaystyle T), translatsiya erkinlik darajasiga to'g'ri keladigan energiya Maksvell taqsimotidan quyidagicha: kT / 2 (\displaystyle kT/2). Xona haroratida (300 ) bu energiya 2 , 07 x 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\ marta 10^(-21)) J, yoki 0,013 eV. Monatomik ideal gazda har bir atom uchta fazoviy o'qqa mos keladigan uchta erkinlik darajasiga ega, ya'ni har bir atomda energiya bor. 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Issiqlik energiyasini bilib, atom massasining kvadrat ildiziga teskari proportsional bo'lgan o'rtacha kvadrat atom tezligini hisoblash mumkin. Xona haroratida ildiz kvadratining o'rtacha tezligi geliy uchun 1370 m / s dan ksenon uchun 240 m / s gacha o'zgarib turadi. Molekulyar gaz holatida vaziyat yanada murakkablashadi, masalan, diatomik gaz 5 erkinlik darajasiga ega - 3 translatsiya va 2 aylanish (past haroratlarda, molekuladagi atomlarning tebranishlari qo'zg'almaganda va qo'shimcha erkinlik qo'shilmaydi).

Entropiyaning ta'rifi

Termodinamik tizimning entropiyasi turli mikroholatlar sonining tabiiy logarifmi sifatida aniqlanadi. Z (\displaystyle Z) berilgan makroskopik holatga mos keladigan (masalan, berilgan umumiy energiyaga ega bo'lgan holat).

Proportsionallik omili k (\displaystyle k) va Boltsman doimiysi. Bu mikroskopik ( Z (\displaystyle Z)) va makroskopik holatlar ( S (\displaystyle S)), statistik mexanikaning markaziy g'oyasini ifodalaydi.