Ko'p odamlar ko'proq yoki kamroq tasodifiy hodisalarni hisoblash mumkinmi, deb o'ylashlari dargumon. Oddiy qilib aytganda, matritsaning qaysi tomoni keyingi tushishini bilish haqiqatmi? Hodisa ehtimoli ancha keng o‘rganiladigan ehtimollar nazariyasi kabi fanga asos solgan ikki buyuk olim mana shu savolni bergan edi.

Kelib chiqishi

Agar siz ehtimollik nazariyasi kabi tushunchaga ta'rif berishga harakat qilsangiz, siz quyidagilarni olasiz: bu tasodifiy hodisalarning doimiyligini o'rganadigan matematikaning bo'limlaridan biridir. Albatta, bu kontseptsiya haqiqatan ham butun mohiyatni ochib bermaydi, shuning uchun uni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.

Men nazariyani yaratuvchilardan boshlamoqchiman. Yuqorida aytib o'tilganidek, ulardan ikkitasi bor edi va ular birinchilardan bo'lib, formulalar va matematik hisoblar yordamida hodisaning natijasini hisoblashga harakat qilishdi. Umuman olganda, bu fanning boshlanishi o'rta asrlarda paydo bo'lgan. O'sha paytda turli mutafakkirlar va olimlar qimor o'yinlarini, masalan, ruletka, zar va hokazolarni tahlil qilishga harakat qilishdi va shu bilan ma'lum bir raqamning tushishi naqshini va foizini aniqladilar. XVII asrda yuqorida tilga olingan olimlar tomonidan asos solingan.

Avvaliga ularning ishlarini bu sohadagi katta yutuqlarga bog‘lab bo‘lmasdi, chunki ular qilgan hamma narsa shunchaki empirik faktlar bo‘lib, tajribalar formulalardan foydalanmasdan vizual tarzda amalga oshirilgan. Vaqt o'tishi bilan zar otishni kuzatish natijasida paydo bo'lgan ajoyib natijalarga erishildi. Aynan shu vosita birinchi tushunarli formulalarni olishga yordam berdi.

Hamfikr odamlar

“Ehtimollar nazariyasi” (hodisa ehtimoli aynan shu fanda yoritilgan) mavzuni o‘rganish jarayonida Kristian Gyuygens kabi shaxsni tilga olmaslik mumkin emas. Bu odam juda qiziq. U, yuqorida keltirilgan olimlar singari, tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini matematik formulalar shaklida olishga harakat qildi. Shunisi e'tiborga loyiqki, u buni Paskal va Fermat bilan birga qilmagan, ya'ni uning barcha asarlari hech qanday tarzda bu aqllar bilan kesishmagan. Gyuygens olib chiqdi

Qizig'i shundaki, uning ishi kashfiyotchilarning ish natijalaridan ancha oldin, aniqrog'i, yigirma yil oldin paydo bo'lgan. Belgilangan tushunchalar orasida eng mashhurlari:

• tasodifning kattaligi sifatidagi ehtimollik tushunchasi;
• diskret holatlar uchun matematik kutish;
• ehtimollarni ko'paytirish va qo'shish teoremalari.

Muammoni o'rganishga kimning ham katta hissa qo'shganini eslamaslik ham mumkin emas. Hech kimdan mustaqil ravishda o'z sinovlarini o'tkazib, u katta sonlar qonunining isbotini taqdim etishga muvaffaq bo'ldi. O'z navbatida, XIX asr boshlarida ishlagan olimlar Puasson va Laplas asl teoremalarni isbotlay oldilar. Aynan shu paytdan boshlab ehtimollar nazariyasi kuzatishlar jarayonida xatolarni tahlil qilish uchun qo'llanila boshlandi. Rus olimlari, aniqrog'i Markov, Chebishev va Dyapunovlar ham bu fanni chetlab o'ta olmadilar. Buyuk daholar qilgan ishlardan kelib chiqib, bu fanni matematikaning bir tarmog‘i sifatida mustahkamladilar. Bu raqamlar XIX asrning oxirida allaqachon ishlagan va ularning hissasi tufayli quyidagi hodisalar mavjud:

• katta sonlar qonuni;
• Markov zanjirlari nazariyasi;
• markaziy chegara teoremasi.

Shunday qilib, fanning tug'ilish tarixi va unga ta'sir qilgan asosiy odamlar bilan hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq. Endi barcha faktlarni aniqlashtirish vaqti keldi.

Asosiy tushunchalar

Qonunlar va teoremalarga murojaat qilishdan oldin, ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalarini o'rganishga arziydi. Unda asosiy rolni voqea egallaydi. Bu mavzu juda katta, ammo usiz hamma narsani tushunish mumkin bo'lmaydi.

Ehtimollar nazariyasidagi hodisa - bu tajriba natijalarining har qanday to'plamidir. Ushbu hodisa haqida juda ko'p tushunchalar mavjud emas. Xullas, bu sohada ish olib borayotgan olim Lotmanning aytishicha, bu holatda biz "bo'lmagan bo'lsa ham, sodir bo'lgan" haqida gapiramiz.

Tasodifiy hodisalar (ehtimollik nazariyasi ularga alohida e'tibor beradi) - bu sodir bo'lish qobiliyatiga ega bo'lgan mutlaqo har qanday hodisani nazarda tutadigan tushuncha. Yoki, aksincha, bu stsenariy ko'p shartlar bajarilganda sodir bo'lmasligi mumkin. Shuni ham bilish kerakki, bu sodir bo'lgan hodisalarning butun hajmini qamrab oladigan tasodifiy hodisalar. Ehtimollar nazariyasi barcha shartlar doimiy ravishda takrorlanishi mumkinligini ko'rsatadi. Aynan ularning xatti-harakatlari "tajriba" yoki "sinov" deb nomlangan.

Muayyan hodisa - bu berilgan testda 100% sodir bo'ladigan hodisa. Shunga ko'ra, imkonsiz voqea sodir bo'lmaydigan voqeadir.

Bir juft harakatlar birikmasi (shartli ravishda A va B hollari) bir vaqtning o'zida sodir bo'ladigan hodisadir. Ular AB sifatida belgilanadi.

A va B hodisa juftlarining yig'indisi C ga teng, boshqacha qilib aytganda, agar ulardan kamida bittasi ro'y bersa (A yoki B), u holda C olinadi.Tasvirlangan hodisaning formulasi quyidagicha yoziladi: C \u003d A + B.

Ehtimollar nazariyasidagi ajratilgan hodisalar bu ikki holat bir-birini istisno qilishini anglatadi. Ular hech qachon bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmaydi. Ehtimollar nazariyasidagi qo'shma hodisalar ularning antipodidir. Bu shuni anglatadiki, agar A sodir bo'lgan bo'lsa, u hech qanday tarzda B ga to'sqinlik qilmaydi.

Qarama-qarshi hodisalar (ehtimollar nazariyasi ular bilan batafsil ko'rib chiqiladi) tushunish oson. Taqqoslashda ular bilan shug'ullanish yaxshidir. Ular ehtimollik nazariyasidagi mos kelmaydigan hodisalar bilan deyarli bir xil. Ammo ularning farqi shundaki, har qanday holatda ham ko'p hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak.

Teng ehtimolli hodisalar - takrorlanish ehtimoli teng bo'lgan harakatlar. Aniqroq bo'lishi uchun biz tanga otilishini tasavvur qilishimiz mumkin: uning bir tomonining yo'qolishi boshqa tomondan tushish ehtimoli teng.

Qulay hodisani misol bilan ko'rish osonroq. Aytaylik, B epizod va A epizodlari bor. Birinchisi, toq sonning ko'rinishi bilan matritsaning rulosi, ikkinchisi - beshinchi raqamning matritsada ko'rinishi. Keyin ma'lum bo'ladiki, A B.

Ehtimollar nazariyasidagi mustaqil hodisalar faqat ikki yoki undan ortiq holatlarga prognoz qilinadi va har qanday harakatning boshqasidan mustaqilligini bildiradi. Masalan, A - tanga otishda quyruqlarni tushirish va B - kemadan jek olish. Ular ehtimollar nazariyasida mustaqil hodisalardir. Shu nuqtada, bu aniqroq bo'ldi.

Ehtimollar nazariyasidagi qaram hodisalar ham faqat ularning to'plami uchun joizdir. Ular birining ikkinchisiga bog'liqligini bildiradi, ya'ni B hodisasi faqat A sodir bo'lgan yoki aksincha, bu B uchun asosiy shart bo'lganida sodir bo'lmagan bo'lishi mumkin.

Bir komponentdan iborat tasodifiy tajriba natijasi elementar hodisalardir. Ehtimollar nazariyasi bu faqat bir marta sodir bo'lgan hodisa ekanligini tushuntiradi.

Asosiy formulalar

Demak, yuqorida “hodisa”, “ehtimollar nazariyasi” tushunchalari ko‘rib chiqildi, bu fanning asosiy atamalarining ta’rifi ham berildi. Endi muhim formulalar bilan bevosita tanishish vaqti keldi. Bu iboralar ehtimollar nazariyasi kabi murakkab mavzudagi barcha asosiy tushunchalarni matematik jihatdan tasdiqlaydi. Bu erda voqea ehtimoli ham katta rol o'ynaydi.

Asosiylaridan boshlash yaxshidir.Va ularga o'tishdan oldin, bu nima ekanligini ko'rib chiqishga arziydi.

Kombinatorika birinchi navbatda matematikaning bir bo'limi bo'lib, u juda ko'p sonlarni o'rganish bilan shug'ullanadi, shuningdek, raqamlarning o'zlari va ularning elementlari, turli xil ma'lumotlar va boshqalarni o'rganish bilan shug'ullanadi, bu esa bir qator kombinatsiyalarning paydo bo'lishiga olib keladi. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, bu soha statistika, informatika va kriptografiya uchun muhimdir.

Shunday qilib, endi siz formulalarning o'zlari va ularning ta'rifi taqdimotiga o'tishingiz mumkin.

Ulardan birinchisi almashtirishlar sonining ifodasi bo'ladi, u quyidagicha ko'rinadi:

P_n = n ? (n - 1) ? (n - 2)…3 ? 2 ? 1 = n!

Tenglama faqat elementlarning tartibida farq qilsagina amal qiladi.

Endi joylashtirish formulasi ko'rib chiqiladi, u quyidagicha ko'rinadi:

A_n^m = n ? (n - 1) ? (n-2) ? ... ? (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Bu ifoda nafaqat elementning tartibiga, balki uning tarkibiga ham tegishli.

Kombinatorikadan uchinchi tenglama va u ham oxirgisi kombinatsiyalar soni formulasi deb ataladi:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Kombinatsiya navbati bilan tartiblanmagan tanlov deb ataladi va bu qoida ularga tegishli.

Kombinatorikaning formulalarini aniqlash oson bo'lib chiqdi, endi biz ehtimolliklarning klassik ta'rifiga o'tishimiz mumkin. Bu ifoda quyidagicha ko'rinadi:

Bu formulada m - A hodisasi uchun qulay shartlar soni, n - mutlaqo barcha teng va elementar natijalar soni.

Ko'p sonli iboralar mavjud, maqola ularning barchasini qamrab olmaydi, lekin ulardan eng muhimi, masalan, voqealar yig'indisining ehtimoli kabi:

P(A + B) = P(A) + P(B) - bu teorema faqat mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish uchun;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - va bu faqat mos keladiganlarni qo'shish uchun.

Hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli:

P(A ? B) = P(A) ? P(B) - bu teorema mustaqil hodisalar uchun;

(P(A ? B) = P(A) ? P(B|A); P(A ? B) = P(A) ? P(A|B)) - va bu qaramlar uchun.

Voqea formulasi ro'yxatni tugatadi. Ehtimollar nazariyasi Bayes teoremasi haqida gapirib beradi, u quyidagicha ko'rinadi:

P(H_m|A) = (P(H_m)P(A|H_m)) : (?_(k=1)^n P(H_k)P(A|H_k)),m = 1,..., n

Ushbu formulada H 1, H 2, …, H n gipotezalarning to'liq guruhidir.

Misollar

Agar siz matematikaning biron bir sohasini diqqat bilan o'rgansangiz, u mashqlarsiz va namunali echimlarsiz to'liq bo'lmaydi. Ehtimollar nazariyasi ham shunday: hodisalar, misollar bu erda ilmiy hisob-kitoblarni tasdiqlovchi ajralmas komponentdir.

O'zgartirishlar soni uchun formula

Aytaylik, kartalar to'plamida nominal qiymatidan boshlab o'ttizta karta bor. Keyingi savol. Bir va ikkita nominal qiymatiga ega bo'lgan kartalar bir-birining yonida bo'lmasligi uchun palubalarni yig'ishning nechta usuli bor?

Vazifa qo'yildi, endi uni hal qilishga o'tamiz. Avval siz o'ttiz elementning almashtirish sonini aniqlashingiz kerak, buning uchun biz yuqoridagi formulani olamiz, P_30 = 30 bo'ladi!.

Ushbu qoidaga asoslanib, biz pastki qavatni turli yo'llar bilan katlamaning qancha variantlari borligini bilib olamiz, ammo ulardan birinchi va ikkinchi kartalar keyingisini olib tashlashimiz kerak. Buning uchun birinchisi ikkinchisidan yuqori bo'lgan variantdan boshlaylik. Ma'lum bo'lishicha, birinchi karta yigirma to'qqizta o'rinni egallashi mumkin - birinchidan yigirma to'qqizinchigacha, ikkinchi karta esa ikkinchidan o'ttizinchigacha, u bir juft karta uchun faqat yigirma to'qqizta o'rinni egallaydi. O'z navbatida, qolganlari yigirma sakkizta o'rinni egallashi mumkin va har qanday tartibda. Ya'ni, yigirma sakkizta kartani almashtirish uchun P_28 = 28 yigirma sakkizta variant mavjud!

Natijada, agar birinchi karta ikkinchisidan yuqori bo'lsa, yechimni ko'rib chiqsak, 29 ? 28 qo'shimcha imkoniyatlar mavjud! = 29!

Xuddi shu usuldan foydalanib, birinchi karta ikkinchisining ostida bo'lgan holat uchun ortiqcha variantlar sonini hisoblashingiz kerak. Bundan tashqari, 29 ? 28 chiqadi! = 29!

Bundan kelib chiqadiki, 2 ? 29! qo'shimcha variant bor, shu bilan birga paluba qurish uchun 30 ta zarur usul mavjud! - 2 ? 29!. Faqat hisoblash uchun qoladi.

30! = 29! ? 30; 30!- 2 ? 29! = 29! ? (30 - 2) = 29! ? 28

Endi siz birdan yigirma to'qqizgacha bo'lgan barcha raqamlarni o'zaro ko'paytirishingiz kerak va oxirida hamma narsani 28 ga ko'paytirishingiz kerak. Javob: 2,4757335 ??10?^32

Misol yechim. Joylashtirish raqami uchun formula

Ushbu muammoda siz o'n besh jildni bitta javonga qo'yishning qancha usullari borligini, lekin jami o'ttiz jild bo'lishi sharti bilan bilib olishingiz kerak.

Ushbu muammoni hal qilish avvalgisiga qaraganda biroz sodda. Ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, o'n beshta o'ttiz jilddan tartiblarning umumiy sonini hisoblash kerak.

A_30^15 = 30 ? 29 ? 28?... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? 16 = 202 843 204 931 720703

Javob, mos ravishda, 202,843,204,931,727,360,000 ga teng bo'ladi.

Keling, vazifani biroz qiyinroq hal qilaylik. Bitta javonda faqat o'n besh jild bo'lishi mumkin bo'lsa, ikkita kitob javonida o'ttizta kitobni joylashtirishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak.

Yechimni boshlashdan oldin, men aniqlik kiritmoqchimanki, ba'zi muammolar bir necha usul bilan hal qilinadi, shuning uchun buning ikkita usuli bor, lekin ikkalasida ham bir xil formuladan foydalaniladi.

Ushbu muammoda siz avvalgisidan javob olishingiz mumkin, chunki u erda biz javonni o'n beshta kitob bilan necha marta turli yo'llar bilan to'ldirishingiz mumkinligini hisoblab chiqdik. A_30^15 = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ...? 16 bo'lib chiqdi.

Biz ikkinchi javonni almashtirish formulasi bo'yicha hisoblaymiz, chunki unda o'n beshta kitob joylashtirilgan, faqat o'n beshtasi qolgan. Biz P_15 = 15 formulasidan foydalanamiz!.

Ma'lum bo'lishicha, jami A_30^15 ? P_15 yo'llari bo'ladi, lekin bundan tashqari, o'ttizdan o'n oltigacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasini birdan o'n beshgacha bo'lgan sonlar ko'paytmasiga ko'paytirish kerak bo'ladi, natijada birdan o'ttizgacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasi olinadi, ya'ni javob 30 ga teng!

Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin - osonroq. Buning uchun siz o'ttizta kitob uchun bitta javon borligini tasavvur qilishingiz mumkin. Ularning barchasi shu tekislikka joylashtirilgan, ammo shart ikkita javon bo'lishini talab qilganligi sababli, biz bitta uzunni yarmini kesib tashladik, har biri ikkita o'n beshta bo'lib chiqadi. Bundan ma'lum bo'ladiki, joylashtirish variantlari P_30 = 30 bo'lishi mumkin!.

Misol yechim. Kombinatsiyalangan raqam uchun formula

Endi biz kombinatorikadan uchinchi masala variantini ko'rib chiqamiz. O'n beshta kitobni tartibga solishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak, agar siz o'ttizta mutlaqo bir xil kitobdan tanlashingiz kerak bo'lsa.

Yechim uchun, albatta, kombinatsiyalar soni formulasi qo'llaniladi. Shartdan ma'lum bo'ladiki, bir xil o'n besh kitobning tartibi muhim emas. Shuning uchun, dastlab siz o'n beshdan o'ttizta kitobning umumiy sonini bilib olishingiz kerak.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : o'n besh ! = 155 117 520

Ana xolos. Ushbu formuladan foydalanib, eng qisqa vaqt ichida bunday muammoni hal qilish mumkin edi, javob mos ravishda 155 117 520 ni tashkil qiladi.

Misol yechim. Ehtimollikning klassik ta'rifi

Yuqoridagi formuladan foydalanib, oddiy masalada javob topishingiz mumkin. Ammo bu harakatlarni vizual ravishda ko'rish va kuzatishga yordam beradi.

Muammo shundaki, urnada o'nta mutlaqo bir xil to'p bor. Ulardan to'rttasi sariq, oltitasi ko'k. Idishdan bitta to'p olinadi. Siz ko'k rangga ega bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

Muammoni hal qilish uchun ko'k to'pni olishni A hodisasi sifatida belgilash kerak. Bu tajriba o'nta natijaga ega bo'lishi mumkin, bu esa, o'z navbatida, elementar va bir xil ehtimolga ega. Shu bilan birga, o'ndan oltitasi A hodisasi uchun qulaydir. Biz formuladan foydalanib hal qilamiz:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Ushbu formulani qo'llash orqali biz ko'k to'pni olish ehtimoli 0,6 ekanligini aniqladik.

Misol yechim. Hodisalar yig'indisining ehtimoli

Endi hodisalar yig'indisining ehtimoli formulasi yordamida yechilgan variant taqdim etiladi. Shunday qilib, ikkita quti borligini hisobga olsak, birinchisida bitta kulrang va beshta oq sharlar, ikkinchisida sakkizta kulrang va to'rtta oq sharlar mavjud. Natijada, ulardan biri birinchi va ikkinchi qutilardan olingan. Chiqarilgan to'plarning kulrang va oq bo'lishi ehtimoli qanday ekanligini aniqlash kerak.

Ushbu muammoni hal qilish uchun voqealarni belgilash kerak.

• Shunday qilib, A - birinchi qutidan kulrang to'pni oling: P (A) = 1/6.
• A '- ular birinchi qutidan ham oq to'pni olishdi: P (A ") \u003d 5/6.
• B - kulrang to'p allaqachon ikkinchi qutidan chiqarilgan: P (B) = 2/3.
• B' - ikkinchi qutidan kulrang to'pni olishdi: P (B") = 1/3.

Muammoning shartiga ko'ra, hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak: AB 'yoki A'B. Formuladan foydalanib, biz olamiz: P (AB") = 1/18, P (A" B) = 10/18.

Endi ehtimollikni ko'paytirish formulasi qo'llanildi. Keyinchalik, javobni bilish uchun ularni qo'shish uchun tenglamani qo'llashingiz kerak:

P = P (AB" + A" B) = P (AB") + P (A" B) = 11/18.

Shunday qilib, formuladan foydalanib, siz shunga o'xshash muammolarni hal qilishingiz mumkin.

Natija

Maqolada voqea ehtimoli hal qiluvchi rol o'ynaydigan "Ehtimollar nazariyasi" mavzusi haqida ma'lumot berilgan. Albatta, hamma narsa hisobga olinmadi, lekin taqdim etilgan matnga asoslanib, matematikaning ushbu bo'limi bilan nazariy jihatdan tanishish mumkin. Ko'rib chiqilayotgan fan nafaqat professional ishda, balki kundalik hayotda ham foydali bo'lishi mumkin. Uning yordami bilan siz har qanday hodisaning har qanday imkoniyatini hisoblashingiz mumkin.

Matnda, shuningdek, ehtimollik nazariyasi fan sifatida shakllanish tarixidagi muhim sanalar va unga asarlari sarmoya qilingan odamlarning ismlari to'g'risida to'xtalib o'tgan. Shunday qilib, insonning qiziquvchanligi odamlarning hatto tasodifiy hodisalarni ham hisoblashni o'rganishiga olib keldi. Bir paytlar ular shunchaki qiziqqan edilar, ammo bugun hamma bu haqda biladi. Va hech kim bizni kelajakda nima kutayotganini, ko'rib chiqilayotgan nazariya bilan bog'liq yana qanday ajoyib kashfiyotlar qilishini aytmaydi. Ammo bir narsa aniq - tadqiqot to'xtamaydi!

Iqtisodiyotda, shuningdek, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda biz doimo aniq bashorat qilib bo'lmaydigan hodisalar bilan shug'ullanishimiz kerak. Shunday qilib, tovarlarni sotish hajmi sezilarli darajada farq qilishi mumkin bo'lgan talabga va hisobga olish deyarli mumkin bo'lmagan bir qator boshqa omillarga bog'liq. Shu sababli, ishlab chiqarish va sotishni tashkil etishda bunday faoliyat natijalarini yoki o'zining oldingi tajribasi yoki boshqa odamlarning shunga o'xshash tajribasi yoki sezgi asosida bashorat qilish kerak, bu ham asosan eksperimental ma'lumotlarga asoslanadi.

Ko'rib chiqilayotgan voqeani qandaydir tarzda baholash uchun ushbu hodisa qayd etilgan shartlarni hisobga olish yoki maxsus tashkil qilish kerak.

Ko'rib chiqilayotgan hodisani aniqlash uchun muayyan shartlar yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.

Tadbir deyiladi tasodifiy agar tajriba natijasida u sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.

Tadbir deyiladi haqiqiy, bu tajriba natijasida, albatta, paydo bo'lsa, va imkonsiz agar bu tajribada ko'rinmasa.

Misol uchun, 30-noyabr kuni Moskvada qor yog'ishi tasodifiy hodisa. Kundalik quyosh chiqishini ma'lum bir hodisa deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishi mumkin bo'lmagan hodisa sifatida qaralishi mumkin.

Ehtimollar nazariyasining asosiy muammolaridan biri voqea sodir bo'lish ehtimolining miqdoriy o'lchovini aniqlash muammosidir.

Hodisalar algebrasi

Hodisalarni bir xil tajribada birgalikda kuzatish mumkin bo'lmasa, ular mos kelmaydigan deb ataladi. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida sotiladigan bitta do'konda ikkita va uchta mashinaning mavjudligi ikkita mos kelmaydigan hodisadir.

so'm hodisalar - bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa

Hodisalar yig'indisiga misol sifatida do'konda ikkita mahsulotdan kamida bittasi mavjudligini ko'rsatish mumkin.

ish hodisalar bu barcha hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat hodisa deyiladi

Do'konda bir vaqtning o'zida ikkita tovar paydo bo'lishidan iborat bo'lgan voqea hodisalarning mahsulidir: - bir mahsulotning ko'rinishi, - boshqa mahsulotning ko'rinishi.

Voqealar hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi, agar ulardan kamida bittasi tajribada sodir bo'lsa.

Misol. Portda kemalar uchun ikkita to'xtash joyi mavjud. Uchta hodisani ko'rib chiqish mumkin: - to'xtash joylarida kemalarning yo'qligi, - to'xtash joylaridan birida bitta kemaning mavjudligi, - ikkita to'xtash joyida ikkita kemaning mavjudligi. Ushbu uchta hodisa to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi.

Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita noyob mumkin bo'lgan hodisa deyiladi.

Qarama-qarshi bo'lgan hodisalardan biri bilan belgilansa, qarama-qarshi hodisa odatda bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimolining klassik va statistik ta'riflari

Bir xil darajada mumkin bo'lgan sinov natijalarining (tajribalarning) har biri elementar natija deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Masalan, zar tashlanadi. Yon tomonlardagi nuqtalar soniga ko'ra oltita elementar natija bo'lishi mumkin.

Elementar natijalardan siz murakkabroq hodisani yaratishingiz mumkin. Shunday qilib, juft sonli nuqtalar hodisasi uchta natija bilan aniqlanadi: 2, 4, 6.

Ko'rib chiqilayotgan hodisaning yuzaga kelish ehtimolining miqdoriy o'lchovi ehtimollikdir.

Hodisa ehtimolining ikkita ta'rifi eng keng tarqalgan: klassik va statistik.

Ehtimollikning klassik ta'rifi qulay natija tushunchasi bilan bog'liq.

Chiqish deyiladi qulay bu hodisa, agar uning sodir bo'lishi ushbu hodisaning sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa.

Berilgan misolda ko'rib chiqilayotgan hodisa tushirilgan chekkadagi nuqtalarning juft soni bo'lib, uchta qulay natijaga ega. Bunday holda, general
mumkin bo'lgan natijalar soni. Shunday qilib, bu erda siz hodisa ehtimolining klassik ta'rifidan foydalanishingiz mumkin.

Klassik ta'rif qulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbatiga tengdir

bu erda hodisaning ehtimoli , hodisa uchun qulay natijalar soni, mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni.

Ko'rib chiqilgan misolda

Ehtimollikning statistik ta'rifi tajribalarda hodisaning nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.

Hodisa sodir bo'lishining nisbiy chastotasi formula bo'yicha hisoblanadi

qayerda - bir qator tajribalar (sinovlar)da hodisaning sodir bo'lish soni.

Statistik ta'rif. Hodisa ehtimoli - bu tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan nisbiy chastota barqarorlashtirilgan (o'rnatilgan) soni.

Amaliy masalalarda yetarlicha ko'p sonli sinovlar uchun nisbiy chastota hodisaning ehtimoli sifatida qabul qilinadi.

Hodisa ehtimolining ushbu ta'riflaridan ko'rinib turibdiki, tengsizlik doimo amal qiladi

(1.1) formula asosida hodisa ehtimolini aniqlash uchun qulay natijalar sonini va mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonini topish uchun ko'pincha kombinatorik formulalar qo'llaniladi.

O'z blogida Marvel Trading Card Game va Playboy: the Mansion kabi loyihalar ustida ishlagan o'yin dizayneri Yan Shrayberning "O'yin balansi tamoyillari" kursining navbatdagi ma'ruzasi tarjimasi.

Bugungi kunga qadar biz gaplashgan deyarli hamma narsa deterministik edi va o'tgan hafta biz tranzitiv mexanikani batafsil ko'rib chiqdik va uni tushuntirib bera oladigan darajada batafsil tahlil qildik. Ammo shu paytgacha biz ko'plab o'yinlarning boshqa jihatlariga, ya'ni deterministik bo'lmagan daqiqalarga - boshqacha aytganda, tasodifiylikka e'tibor bermadik.

Tasodifiylikning tabiatini tushunish o'yin dizaynerlari uchun juda muhimdir. Biz ma'lum bir o'yinda foydalanuvchi tajribasiga ta'sir qiladigan tizimlarni yaratamiz, shuning uchun biz ushbu tizimlar qanday ishlashini bilishimiz kerak. Agar tizimda tasodifiylik mavjud bo'lsa, biz bu tasodifiylikning mohiyatini tushunishimiz va kerakli natijalarni olish uchun uni qanday o'zgartirishni bilishimiz kerak.

Zar

Keling, oddiy narsadan boshlaylik - zarlarni siljitish. Ko'pchilik zar haqida o'ylashganda, ular d6 deb nomlanuvchi olti qirrali o'limni o'ylashadi. Ammo ko'pchilik o'yinchilar boshqa ko'plab zarlarni ko'rgan: to'rt tomonlama (d4), sakkiz qirrali (d8), o'n ikki tomonlama (d12), yigirma qirrali (d20). Agar siz haqiqiy geek bo'lsangiz, sizda 30 yoki 100 dona zar bo'lishi mumkin.

Agar siz ushbu terminologiya bilan tanish bo'lmasangiz, d o'limni anglatadi va undan keyingi raqam uning yuzlari sonidir. Agar raqam d dan oldin kelgan bo'lsa, u zar otishda zarlar sonini bildiradi. Masalan, Monopoliyada siz 2d6 ni aylantirasiz.

Demak, bu holda "zar" iborasi an'anaviy belgidir. Plastik figuralarga o'xshamaydigan, lekin bir xil funktsiyani bajaradigan juda ko'p boshqa tasodifiy sonlar generatorlari mavjud - ular 1 dan n gacha tasodifiy son hosil qiladi. Oddiy tanga dihedral d2 matritsa sifatida ham ifodalanishi mumkin.

Men yetti qirrali o'limning ikkita dizaynini ko'rdim: ulardan biri zarga o'xshardi, ikkinchisi esa etti qirrali yog'och qalamga o'xshardi. Titotum sifatida ham tanilgan tetraedral dreidel tetraedral suyakning analogidir. Chutes & Ladders-dagi aylanuvchi o'qli o'yin taxtasi, natijada 1 dan 6 gacha bo'lishi mumkin, olti qirrali matritsaga mos keladi.

Kompyuterdagi tasodifiy sonlar generatori, agar dizayner shunday buyruq bergan bo'lsa, 1 dan 19 gacha bo'lgan har qanday raqamni yaratishi mumkin, garchi kompyuterda 19 qirrali zar bo'lmasa (umuman, men raqamlarni zarga olish ehtimoli haqida ko'proq gapiraman. keyingi hafta kompyuter). Bu elementlarning barchasi boshqacha ko'rinadi, lekin aslida ular ekvivalentdir: siz bir nechta mumkin bo'lgan natijalarning har birida teng imkoniyatga egasiz.

Zarlar biz bilishimiz kerak bo'lgan ba'zi qiziqarli xususiyatlarga ega. Birinchidan, har qanday yuzni olish ehtimoli bir xil bo'ladi (men siz oddiy geometrik zarni tashlayapsiz deb o'ylayman). Agar siz rulonning o'rtacha qiymatini bilmoqchi bo'lsangiz (ehtimollar nazariyasini yaxshi ko'radiganlar uchun matematik kutish deb ataladi), barcha qirralarning qiymatlarini yig'ing va bu raqamni qirralarning soniga bo'ling.

Standart olti qirrali qolip uchun barcha yuzlarning qiymatlari yig'indisi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. 21 ni yuzlar soniga bo'ling va rulonning o'rtacha qiymatini oling: 21 / 6 = 3,5. Bu alohida holat, chunki biz barcha natijalar bir xil ehtimoli bor deb hisoblaymiz.

Agar sizda maxsus zarlar bo'lsa-chi? Masalan, men yuzlarida maxsus stikerlar bo'lgan olti qirrali o'yinni ko'rdim: 1, 1, 1, 2, 2, 3, shuning uchun u o'zini g'alati uch qirrali matritsaga o'xshatib qo'yadi, bu esa ko'proq o'raladi. 1 raqami 2 dan ko'ra, va 3 dan ko'ra 2 ga aylanish ehtimoli ko'proq. Bu qolip uchun o'rtacha rulon qiymati qancha? Shunday qilib, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, 6 ga bo'linadi - siz 5/3 yoki taxminan 1,66 ni olasiz. Shunday qilib, agar sizda maxsus zar bo'lsa va o'yinchilar uchta zarni tashlab, keyin natijalarni qo'shsa, ularning umumiy soni taxminan 5 bo'lishini bilasiz va o'yinni shu taxmin asosida muvozanatlashingiz mumkin.

Zar va mustaqillik

Yuqorida aytib o'tganimdek, biz har bir yuzning tushishi bir xil ehtimoli bor degan taxmindan kelib chiqamiz. Bu yerda qancha zar tashlaganingiz muhim emas. Qolipning har bir rulosi mustaqildir, ya'ni oldingi rulolar keyingi rulonlarning natijalariga ta'sir qilmaydi. Etarlicha sinovlar bilan siz bir qator raqamlarni, masalan, asosan yuqori yoki pastroq qiymatlarni yoki boshqa xususiyatlarni ko'rishingiz mumkin, ammo bu zarlar "issiq" yoki "sovuq" degani emas. Bu haqda keyinroq gaplashamiz.

Agar siz standart olti qirrali matritsani aylantirsangiz va 6 raqami ketma-ket ikki marta chiqsa, keyingi rulonning natijasi 6 bo'lishi ehtimoli ham 1/6 ga teng. Ehtimollik ortib ketmaydi, chunki matritsa qizib ketgan. ". Shu bilan birga, ehtimollik kamaymaydi: 6 raqami ketma-ket ikki marta tushib ketgan deb bahslashish noto'g'ri, ya'ni endi boshqa yuz tushishi kerak.

Albatta, agar siz o'limni yigirma marta aylantirsangiz va har safar 6 raqami paydo bo'lsa, 6 sonining yigirma birinchi marta paydo bo'lish ehtimoli juda yuqori: sizda noto'g'ri o'lim bo'lishi mumkin. Ammo agar o'lim to'g'ri bo'lsa, boshqa rulonlarning natijalaridan qat'i nazar, har bir yuzni olish ehtimoli bir xil bo'ladi. Tasavvur qilishingiz mumkinki, biz har safar matritsani o'zgartiramiz: agar 6 raqami ketma-ket ikki marta aylansa, "issiq" matritsani o'yindan olib tashlang va uni yangisi bilan almashtiring. Agar sizlardan birortangiz bu haqda allaqachon bilgan bo'lsa, uzr so'rayman, lekin davom etishdan oldin buni aniqlab olishim kerak edi.

Qanday qilib zarlarni ko'proq yoki kamroq tasodifiy aylantirish mumkin

Keling, turli zarlarda turli natijalarga erishish haqida gapiraylik. Agar siz matritsani bir yoki bir necha marta aylantirsangiz, qolipning qirralari ko'proq bo'lsa, o'yin tasodifiyroq bo'ladi. Zarlarni qanchalik tez-tez tashlasangiz va qanchalik ko'p zar tashlasangiz, natijalar o'rtachaga yaqinlashadi.

Misol uchun, 1d6 + 4 holatida (ya'ni, agar siz standart olti qirrali matritsani bir marta aylantirsangiz va natijaga 4 qo'shsangiz), o'rtacha 5 dan 10 gacha bo'lgan raqam bo'ladi. Agar siz 5d2 ni aylantirsangiz, o'rtacha shuningdek, 5 va 10 o'rtasidagi raqam bo'ladi. 5d2 ni aylantirish natijasi asosan 7 va 8 raqamlari, kamroq hollarda boshqa qiymatlar bo'ladi. Xuddi shu qator, hatto bir xil o'rtacha qiymat (har ikkala holatda ham 7,5), lekin tasodifiylikning tabiati boshqacha.

Bir daqiqa kuting. Shunchaki zarlar “isitilmaydi” yoki “sovib ketmaydi” demadimmi? Va endi men aytaman: agar siz ko'p zar tashlasangiz, rulonlarning natijalari o'rtacha qiymatga yaqinroq bo'ladi. Nega?

Keling, tushuntiraman. Agar siz bitta o'limni aylantirsangiz, har bir yuzning paydo bo'lish ehtimoli bir xil bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, agar siz vaqt o'tishi bilan ko'p zar tashlasangiz, har bir yuz taxminan bir xil sonda paydo bo'ladi. Qanchalik ko'p zar tashlasangiz, umumiy natija o'rtachaga yaqinlashadi.

Buning sababi, o'ralgan raqam hali aylantirilmagan boshqa raqamning aylanishiga "sabab bo'lishi" emas. Chunki 6-raqamni (yoki 20 yoki nima bo'lishidan qat'iy nazar) aylantirishning kichik chizig'i, agar siz zarlarni yana o'n ming marta tashlasangiz, oxir-oqibat katta farq qilmaydi va bu asosan o'rtacha bo'ladi. Endi sizda bir nechta katta raqamlar bo'ladi, keyin esa bir nechta kichik raqamlar - va vaqt o'tishi bilan ular o'rtacha qiymatga yaqinlashadi.

Buning sababi, oldingi o'ramlar zarga ta'sir qilgani uchun emas (jiddiy, zarlar plastikdan qilingan, "Oh, 2 kelganiga ancha vaqt bo'ldi" deb o'ylashga miyasi yo'q), lekin bu odatda sodir bo'ladi. juda ko'p rulon bilan. zar o'ynash.

Shunday qilib, bitta tasodifiy rulonni hisoblash juda oson - hech bo'lmaganda rulonning o'rtacha qiymatini hisoblang. Biror narsaning "qanchalik tasodifiy" ekanligini hisoblash va 1d6 + 4 rulonning natijalari 5d2 ga qaraganda "ko'proq tasodifiy" bo'lishini aytish usullari ham mavjud. 5d2 uchun o'ralgan natijalar bir tekis taqsimlanadi. Buni amalga oshirish uchun siz standart og'ishni hisoblashingiz kerak: qiymat qanchalik katta bo'lsa, natijalar tasodifiy bo'ladi. Bugun men bunchalik ko'p hisob-kitoblarni keltirmoqchi emasman, bu mavzuni keyinroq tushuntiraman.

Men sizdan eslab qolishingizni so'ramoqchi bo'lgan yagona narsa shundaki, umumiy qoidaga ko'ra, siz qanchalik kam zar tashlasangiz, shunchalik tasodifiy. Va o'lim qancha ko'p tomonlarga ega bo'lsa, shunchalik tasodifiylik, chunki qiymat uchun ko'proq imkoniyatlar mavjud.

Hisoblash yordamida ehtimollikni qanday hisoblash mumkin

Sizni qiziqtirgandirsiz: ma'lum bir natija kelishining aniq ehtimolini qanday hisoblashimiz mumkin? Aslida, bu ko'plab o'yinlar uchun juda muhim: agar siz dastlab zarbni aylantirsangiz, eng maqbul natija bo'lishi mumkin. Javob: biz ikkita qiymatni hisoblashimiz kerak. Birinchidan, zar otishda olingan natijalarning umumiy soni, ikkinchidan, qulay natijalar soni. Ikkinchi qiymatni birinchisiga bo'lish orqali siz kerakli ehtimollikni olasiz. Foizni olish uchun natijani 100 ga ko'paytiring.

Misollar

Mana juda oddiy misol. Siz 4 yoki undan yuqoriroq va olti qirrali matritsani bir marta aylantirmoqchisiz. Natijalarning maksimal soni 6 ta (1, 2, 3, 4, 5, 6). Ulardan 3 tasi (4, 5, 6) ijobiydir. Shunday qilib, ehtimollikni hisoblash uchun biz 3 ni 6 ga bo'lamiz va 0,5 yoki 50% ni olamiz.

Mana, biroz murakkabroq misol. Siz 2d6 rulosi juft son bilan chiqishini xohlaysiz. Natijalarning maksimal soni 36 ta (har bir o'lim uchun 6 ta variant, bitta o'lim boshqasiga ta'sir qilmaydi, shuning uchun biz 6 ni 6 ga ko'paytiramiz va 36 ni olamiz). Ushbu turdagi savollarning qiyinligi shundaki, uni ikki marta hisoblash oson. Misol uchun, 2d6 rulosida 3 ning ikkita mumkin bo'lgan natijasi mavjud: 1+2 va 2+1. Ular bir xil ko'rinadi, lekin farq qaysi raqam birinchi zarda va qaysi biri ikkinchisida ko'rsatilgan.

Bundan tashqari, zarlar turli xil ranglarda ekanligini tasavvur qilishingiz mumkin: shuning uchun, masalan, bu holda, bir zar qizil, ikkinchisi ko'k. Keyin juft sonning mumkin bo'lgan holatlar sonini hisoblang:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ma'lum bo'lishicha, 36 tadan qulay natija uchun 18 ta variant mavjud - avvalgi holatda bo'lgani kabi, ehtimollik 0,5 yoki 50% ni tashkil qiladi. Ehtimol, kutilmagan, lekin juda aniq.

Monte-Karlo simulyatsiyasi

Agar sizda bu hisob-kitob uchun juda ko'p zar bo'lsa-chi? Misol uchun, siz 8d6 o'ramida jami 15 yoki undan ko'p kelishi ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchisiz. Sakkizta zar uchun juda ko'p turli xil natijalar mavjud va ularni qo'lda hisoblash juda uzoq vaqt talab etadi - hatto biz zarlarning turli seriyalarini guruhlash uchun yaxshi echim topsak ham.

Bunday holda, eng oson yo'li qo'lda hisoblash emas, balki kompyuterdan foydalanishdir. Kompyuterda ehtimollikni hisoblashning ikki yo'li mavjud. Birinchi usul aniq javobni olishi mumkin, ammo u biroz dasturlash yoki skriptni o'z ichiga oladi. Kompyuter har bir imkoniyatni ko'rib chiqadi, takrorlashlarning umumiy sonini va kerakli natijaga mos keladigan takrorlashlar sonini baholaydi va hisoblaydi va keyin javoblarni beradi. Sizning kodingiz shunday ko'rinishi mumkin:

Agar siz dasturchi bo'lmasangiz va aniq javob o'rniga taxminiy javob olishni istasangiz, bu vaziyatni Excelda simulyatsiya qilishingiz mumkin, u erda siz 8d6 ni bir necha ming marta aylantirib, javob olasiz. Excelda 1d6 ni aylantirish uchun formuladan foydalaning =QAT(RAND()*6)+1.

Javobni bilmagan va ko'p marta urinib ko'rgan vaziyatning nomi bor - Monte-Karlo simulyatsiyasi. Bu ehtimollikni hisoblash juda qiyin bo'lsa, orqaga qaytish uchun ajoyib echimdir. Ajoyib tomoni shundaki, bu holda biz matematikaning qanday ishlashini tushunishimiz shart emas va biz bilamizki, javob "juda yaxshi" bo'ladi, chunki biz allaqachon bilganimizdek, rulon qancha ko'p bo'lsa, natija shunchalik yaqinroq bo'ladi. o'rtacha qiymat.

Mustaqil sinovlarni qanday birlashtirish kerak

Agar siz bir nechta takroriy, ammo mustaqil sinovlar haqida so'rasangiz, unda bitta rulonning natijasi boshqa rulonlarning natijasiga ta'sir qilmaydi. Bu vaziyat uchun yana bir oddiy tushuntirish mavjud.

Qaram va mustaqil narsani qanday ajratish mumkin? Printsipial jihatdan, agar siz har bir rulonni (yoki rulonlar seriyasini) alohida hodisa sifatida ajratib qo'ysangiz, u mustaqildir. Misol uchun, biz 8d6 ni aylantiramiz va jami 15 tasini tashlamoqchimiz. Bu hodisani bir nechta mustaqil zar o'ramlariga bo'lish mumkin emas. Natijani olish uchun siz barcha qiymatlarning yig'indisini hisoblaysiz, shuning uchun bitta qolipga o'ralgan natija boshqalarga aylanishi kerak bo'lgan natijalarga ta'sir qiladi.

Mustaqil rulonlarga misol: siz zar o‘ynaysiz va olti qirrali zarni bir necha marta aylantirasiz. O'yinda qolishingiz uchun birinchi rulo 2 yoki undan yuqori bo'lishi kerak. Ikkinchi rulon uchun - 3 yoki undan yuqori. Uchinchisi uchun 4 yoki undan ko'p, to'rtinchisi uchun 5 yoki undan ko'p, beshinchisi esa 6 tani talab qiladi. Agar barcha beshta rulon muvaffaqiyatli bo'lsa, g'alaba qozonasiz. Bunday holda, barcha otishlar mustaqildir. Ha, agar bitta rulon muvaffaqiyatsiz bo'lsa, bu butun o'yin natijasiga ta'sir qiladi, lekin bir rulo ikkinchisiga ta'sir qilmaydi. Misol uchun, agar sizning ikkinchi zaringiz juda yaxshi bo'lsa, bu keyingi o'ramlar ham xuddi shunday yaxshi bo'ladi degani emas. Shuning uchun biz zarlarning har bir o'ralish ehtimolini alohida ko'rib chiqishimiz mumkin.

Agar sizda mustaqil ehtimollar mavjud bo'lsa va barcha hodisalarning sodir bo'lish ehtimoli nima ekanligini bilmoqchi bo'lsangiz, har bir alohida ehtimollikni aniqlaysiz va ularni ko'paytirasiz. Boshqa usul: agar siz bir nechta shartlarni tavsiflash uchun "va" birikmasidan foydalansangiz (masalan, biron bir tasodifiy hodisa va boshqa mustaqil tasodifiy voqea sodir bo'lish ehtimoli qanday?) - individual ehtimollarni hisoblang va ularni ko'paytiring.

Nima deb o'ylayotganingiz muhim emas - hech qachon mustaqil ehtimollarni yig'mang. Bu keng tarqalgan xato. Nima uchun bu noto'g'ri ekanligini tushunish uchun, siz tanga tashlayotgan vaziyatni tasavvur qiling va siz ketma-ket ikki marta bosh olish ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchisiz. Har bir tomondan tushish ehtimoli 50% ni tashkil qiladi. Agar siz ushbu ikki ehtimollikni jamlasangiz, sizda 100% boshlanish ehtimoli bor, lekin biz bu to'g'ri emasligini bilamiz, chunki ketma-ket ikkita quyruq paydo bo'lishi mumkin. Agar buning o'rniga ikkita ehtimolni ko'paytirsangiz, siz 50% * 50% = 25% olasiz - bu ketma-ket ikki marta bosh olish ehtimolini hisoblash uchun to'g'ri javobdir.

Misol

Keling, olti qirrali zar o'yiniga qaytaylik, bu erda siz avval 2 dan kattaroq raqamni, keyin 3 dan ko'proq va hokazolarni 6 ga oshirishingiz kerak. Berilgan beshta rulonli zarda hamma narsani o'tkazish ehtimoli qanday? natijalar ijobiy bo'ladimi?

Yuqorida aytib o'tilganidek, bu mustaqil sinovlar, shuning uchun biz har bir alohida rulon uchun ehtimollikni hisoblaymiz va keyin ularni ko'paytiramiz. Birinchi otishning natijasi ijobiy bo'lish ehtimoli 5/6. Ikkinchisi - 4/6. Uchinchi - 3/6. To'rtinchisi - 2/6, beshinchisi - 1/6. Biz barcha natijalarni bir-birimizga ko'paytiramiz va taxminan 1,5% ni olamiz. Ushbu o'yindagi g'alabalar juda kam uchraydi, shuning uchun agar siz ushbu elementni o'yiningizga qo'shsangiz, sizga juda katta jekpot kerak bo'ladi.

Inkor qilish

Yana bir foydali maslahat: ba'zida voqea sodir bo'lish ehtimolini hisoblash qiyin, ammo voqea sodir bo'lmasligi ehtimolini aniqlash osonroq. Misol uchun, bizda yana bir o'yin bor deylik: siz 6d6 o'ynadingiz va hech bo'lmaganda bir marta 6 o'ynasangiz g'alaba qozonasiz.G'alaba qozonish ehtimoli qanday?

Bunday holda, ko'plab variantlarni ko'rib chiqish kerak. Ehtimol, bitta 6 raqami tushishi mumkin, ya'ni 6 raqami zarlardan biriga, 1 dan 5 gacha bo'lgan raqamlar esa boshqalarga tushishi mumkin, u holda zarlarning qaysi biri bo'lishi uchun 6 ta variant mavjud. a 6. Siz ikkita zar suyagida 6 raqamini yoki uchta yoki undan ham ko'proqni olishingiz mumkin va har safar alohida hisob-kitob qilishingiz kerak bo'ladi, shuning uchun bu erda chalkashib ketish oson.

Ammo muammoga boshqa tomondan qaraylik. Agar zarlarning hech biri 6 ga tushmasa, yutqazasiz. Bu holda bizda 6 ta mustaqil sinov bor. Zarlarning har biri 6 dan boshqa raqamni tashlash ehtimoli 5/6 ga teng. Ularni ko'paytiring - va taxminan 33% ni oling. Shunday qilib, yo'qotish ehtimoli har uchdan biri. Shuning uchun g'alaba qozonish ehtimoli 67% (yoki ikkidan uchgacha).

Ushbu misoldan ko'rinib turibdiki, agar siz voqea sodir bo'lmasligi ehtimolini hisoblasangiz, natijani 100% dan ayirish kerak. Agar g'alaba qozonish ehtimoli 67% bo'lsa, yutqazish ehtimoli 100% minus 67% yoki 33% va aksincha. Agar bitta ehtimolni hisoblash qiyin bo'lsa, lekin buning aksini hisoblash oson bo'lsa, teskarisini hisoblang va keyin bu raqamni 100% dan chiqarib tashlang.

Bitta mustaqil test uchun ulanish shartlari

Men bir oz oldin aytdim, siz hech qachon mustaqil sud jarayonlarida ehtimolliklarni yig'masligingiz kerak. Ehtimollarni yig'ish mumkin bo'lgan holatlar bormi? Ha, muayyan vaziyatda.

Agar siz bir xil sinovda bir-biriga bog'liq bo'lmagan bir nechta ijobiy natijalar ehtimolini hisoblamoqchi bo'lsangiz, har bir ijobiy natijaning ehtimolini yig'ing. Masalan, 1d6 da 4, 5 yoki 6 dumalanish ehtimoli 4 dumalab tushish ehtimoli, 5 dumalanish ehtimoli va 6 dumalanish ehtimoli yig'indisiga teng. Bu holatni quyidagicha ifodalash mumkin: agar siz ehtimollik haqidagi savolda "yoki" birikmasidan foydalaning (masalan, bir tasodifiy hodisaning u yoki bu natijasining ehtimoli qanday?) - individual ehtimollarni hisoblang va ularni jamlang.

E'tibor bering: o'yinning barcha mumkin bo'lgan natijalarini hisoblaganingizda, ularning paydo bo'lish ehtimoli yig'indisi 100% ga teng bo'lishi kerak, aks holda sizning hisobingiz noto'g'ri qilingan. Bu hisob-kitoblaringizni ikki marta tekshirishning yaxshi usuli. Masalan, siz pokerda barcha kombinatsiyalarni olish ehtimolini tahlil qildingiz. Agar siz olingan barcha natijalarni qo'shsangiz, aniq 100% (yoki hech bo'lmaganda 100% ga yaqin qiymat) olishingiz kerak: agar siz kalkulyatordan foydalansangiz, kichik yaxlitlash xatosi bo'lishi mumkin, lekin qo'shayotgan bo'lsangiz aniq raqamlar qo'lda, hammasi qo'shilishi kerak. ). Agar summa qo'shilmasa, siz ba'zi kombinatsiyalarni hisobga olmadingiz yoki ba'zi kombinatsiyalarning ehtimolini noto'g'ri hisoblagansiz va hisob-kitoblarni qayta tekshirish kerak.

Teng bo'lmagan ehtimolliklar

Hozirgacha biz matritsaning har bir yuzi bir xil chastotada tushadi deb taxmin qilgan edik, chunki matritsa shunday ishlaydi. Ammo ba'zida siz turli xil natijalarga erishishingiz mumkin bo'lgan vaziyatga duch kelishingiz mumkin va ular yiqilish ehtimoli har xil.

Misol uchun, "Yadro urushi" karta o'yiniga qo'shimchalardan birida raketani uchirish natijasini aniqlaydigan o'q bilan o'yin maydoni mavjud. Ko'pincha, u ko'proq yoki kamroq normal zarar ko'radi, lekin ba'zida zarar ikki yoki uch baravar ko'payadi yoki raketa ishga tushirish maydonchasida portlaydi va sizga zarar etkazadi yoki boshqa hodisa ro'y beradi. Chutes & Ladders yoki A Game of Life filmidagi o'q taxtasidan farqli o'laroq, Yadro urushidagi taxta natijalari bir xil darajada ehtimolga ega emas. O'yin maydonining ba'zi qismlari kattaroq va strelka ularda tez-tez to'xtaydi, boshqa bo'limlar esa juda kichik va strelka kamdan-kam hollarda to'xtaydi.

Shunday qilib, bir qarashda, suyak shunday ko'rinadi: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - biz bu haqda allaqachon gapirgan edik, bu vaznli 1d3 ga o'xshash narsa. Shuning uchun biz ushbu bo'limlarning barchasini teng qismlarga bo'lishimiz, eng kichik o'lchov birligini, bo'luvchini topishimiz kerak, bunda hamma narsa karrali bo'ladi, so'ngra vaziyatni d522 (yoki boshqasi) shaklida ifodalashimiz kerak, bu erda zarlar to'plami. yuzlar bir xil vaziyatni ifodalaydi, lekin ko'proq natijalarga olib keladi. Bu muammoni hal qilishning bir usuli va bu texnik jihatdan mumkin, ammo osonroq variant mavjud.

Keling, standart olti qirrali zarimizga qaytaylik. Oddiy zar uchun rulonning o'rtacha qiymatini hisoblash uchun siz barcha yuzlarning qiymatlarini jamlashingiz va ularni yuzlar soniga bo'lishingiz kerakligini aytdik, ammo hisoblash qanday amalga oshiriladi? Siz buni boshqacha ifodalashingiz mumkin. Olti qirrali zar uchun har bir yuzning paydo bo'lish ehtimoli aynan 1/6 ni tashkil qiladi. Endi biz har bir fasetning natijasini ushbu natija ehtimoli bilan ko'paytiramiz (bu holda har bir faset uchun 1/6) va keyin olingan qiymatlarni yig'amiz. Shunday qilib, yig'indisi (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), yuqoridagi hisobdagi kabi natijani (3.5) olamiz. Darhaqiqat, biz buni har safar hisoblaymiz: biz har bir natijani ushbu natija ehtimoli bilan ko'paytiramiz.

Yadro urushidagi o'yin taxtasidagi o'q uchun xuddi shunday hisob-kitob qila olamizmi? Albatta qila olamiz. Va agar biz barcha topilgan natijalarni jamlasak, biz o'rtacha qiymatni olamiz. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - o'yin maydonidagi o'q uchun har bir natijaning ehtimolini hisoblash va natijaning qiymatiga ko'paytirish.

Yana bir misol

O'rtacha hisoblashning yuqorida aytib o'tilgan usuli, agar natijalar bir xil bo'lsa, lekin har xil afzalliklarga ega bo'lsa, mos keladi - masalan, agar siz o'limni aylantirsangiz va ba'zi yuzlarda boshqalarga qaraganda ko'proq g'alaba qozonsangiz. Misol uchun, kazinoda sodir bo'ladigan o'yinni olaylik: siz pul tikasiz va 2d6 o'ynaysiz. Agar uchta past qiymatli raqam (2, 3, 4) yoki to'rtta yuqori qiymatli raqam (9, 10, 11, 12) chiqsa, siz tikishingizga teng miqdorda yutib olasiz. Eng past va eng yuqori qiymatga ega raqamlar alohida: agar 2 yoki 12 chiqsa, siz tikishingizdan ikki barobar ko'p yutib olasiz. Agar boshqa raqam (5, 6, 7, 8) kelsa, siz tikishingizni yo'qotasiz. Bu juda oddiy o'yin. Ammo g'alaba qozonish ehtimoli qanday?

Keling, qancha marta g'alaba qozonishingiz mumkinligini hisoblashdan boshlaylik. 2d6 rulondagi maksimal natijalar soni 36 ta. Qulay natijalar soni qancha?

• 2 ta aylantiruvchi 1 ta variant va 12 ta aylantiruvchi 1 ta variant mavjud.
• 3 uchun ikkita variant va 11 uchun 2 ta variant mavjud.
• 4 uchun 3 ta va 10 ta uchun 3 ta variant mavjud.
• 9 ta aylantiradigan 4 ta variant mavjud.

Barcha variantlarni sarhisob qilsak, biz 36 ta qulay natijadan 16 tasini olamiz. Shunday qilib, normal sharoitda siz 36 ta mumkin bo'lgan 16 ta imkoniyatdan 16 tasida g'alaba qozonasiz - g'alaba qozonish ehtimoli 50% dan bir oz kamroq.

Ammo o'n oltitadan ikki marta siz ikki barobar ko'p g'alaba qozonasiz - bu ikki marta yutganga o'xshaydi. Agar siz ushbu o'yinni 36 marta o'ynasangiz, har safar 1 dollar tiksangiz va barcha mumkin bo'lgan natijalarning har biri bir marta chiqsa, siz jami 18 dollar yutib olasiz (aslida siz 16 marta g'alaba qozonasiz, lekin ulardan ikkitasi ikkita g'alaba deb hisoblanadi). ). Agar siz 36 marta o'ynasangiz va 18 dollar yutgan bo'lsangiz, bu ehtimolliklar teng ekanligini anglatmaydimi?

Shoshilmang. Agar siz yo'qotishingiz mumkin bo'lgan marta sonini hisoblasangiz, 18 emas, 20 ta olasiz. Agar siz 36 marta o'ynasangiz, har safar 1 dollar tiksangiz, barcha koeffitsientlar o'zgarganda jami $18 yutib olasiz. Ammo siz barcha 20 ta yomon natijada jami $20 yo'qotasiz. Natijada, siz biroz orqada qolasiz: har 36 o'yin uchun o'rtacha $2 sof yo'qotasiz (shuningdek, kuniga o'rtacha $1/18 yo'qotganingizni ham aytishingiz mumkin). Endi siz bu holatda xato qilish va ehtimollikni noto'g'ri hisoblash qanchalik oson ekanligini ko'rasiz.

almashtirish

Hozirgacha biz zarlarni tashlashda raqamlarning qanday ketma-ketligi muhim emasligini taxmin qildik. 2 + 4 rulosi 4 + 2 rulosi bilan bir xil. Ko'p hollarda biz qulay natijalar sonini qo'lda hisoblaymiz, lekin ba'zida bu usul amaliy emas va matematik formuladan foydalanish yaxshiroqdir.

Bu holatga misol Farkle zar o'yinidan. Har bir yangi tur uchun siz 6d6 aylantirasiz. Agar omadingiz bo'lsa va 1-2-3-4-5-6 (To'g'ri) ning barcha mumkin bo'lgan natijalari paydo bo'lsa, siz katta bonusga ega bo'lasiz. Bu sodir bo'lish ehtimoli qanday? Bunday holda, bu kombinatsiyani yo'qotish uchun ko'plab variantlar mavjud.

Yechim quyidagicha: zarlarning birida (va faqat bittasida) 1 raqami tushishi kerak.Bir zarga 1 raqami tushishi uchun nechta variant bor? 6 ta variant bor, chunki 6 ta zar bor va ularning istalganiga 1 raqami tushishi mumkin. Shunga ko'ra, bitta zarni olib, bir chetga qo'ying. Endi 2 raqami qolgan zarlardan biriga tushishi kerak Buning uchun 5 ta variant mavjud. Yana bir zarni olib, bir chetga qo'ying. Keyin qolgan zarlardan 4 tasi 3 ta, qolgan 3 ta zar esa 4 ta, qolgan 2 ta zar esa 5 ta zarga tushishi mumkin. Natijada sizda bitta zar qoladi. 6 yiqilishi kerak (oxirgi holda, zarda faqat bitta suyak bor va tanlov yo'q).

To'g'ridan-to'g'ri kombinatsiya paydo bo'lishi uchun qulay natijalar sonini hisoblash uchun biz barcha mustaqil variantlarni ko'paytiramiz: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - juda ko'p variantlar mavjud. bu kombinatsiya paydo bo'ladi.

To'g'ri kombinatsiyani olish ehtimolini hisoblash uchun biz 720 ni 6d6 ni aylantirish uchun barcha mumkin bo'lgan natijalar soniga bo'lishimiz kerak. Barcha mumkin bo'lgan natijalar soni qancha? Har bir o'lim 6 ta yuzni aylantira oladi, shuning uchun biz 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (avvalgidan ancha katta raqam) ko'paytiramiz. Biz 720 ni 46656 ga bo'lamiz va taxminan 1,5% ga teng ehtimollikni olamiz. Agar siz ushbu o'yinni loyihalashtirgan bo'lsangiz, tegishli ball tizimini yaratishingiz uchun buni bilish foydali bo'lar edi. Endi biz Farkleda nima uchun to'g'ridan-to'g'ri kombinatsiyani usangiz, shunchalik katta bonusga ega bo'lishingizni tushunamiz: bu holat juda kam uchraydi.

Natija boshqa sabab bilan ham qiziq. Misol qisqa vaqt ichida ehtimolga mos keladigan natija qanchalik kamdan-kam hollarda tushishini ko'rsatadi. Albatta, agar biz bir necha ming zar tashlasak, zarning turli tomonlari tez-tez paydo bo'lardi. Ammo biz bor-yo'g'i oltita zarni tashlaganimizda, deyarli hech qachon har bir zar paydo bo'lmaydi. Aniq bo'ladiki, endi hali bo'lmagan yuz tushib ketishini kutish ahmoqlikdir, chunki "biz uzoq vaqtdan beri 6 raqamini tushirmaganmiz". Qarang, tasodifiy sonlar generatoringiz buzilgan.

Bu bizni barcha natijalar qisqa vaqt ichida bir xil tezlikda paydo bo'ladi degan keng tarqalgan noto'g'ri tushunchaga olib keladi. Agar zarlarni bir necha marta aylantirsak, har bir yuzning chastotasi bir xil bo'lmaydi.

Agar siz ilgari biron bir tasodifiy sonlar generatori bilan onlayn o'yinda ishlagan bo'lsangiz, ehtimol siz o'yinchi tasodifiy raqamlar generatori tasodifiy raqamlarni ko'rsatmasligi haqida shikoyat bilan texnik yordamga yozgan vaziyatga duch kelgansiz. U shunday xulosaga keldi, chunki u ketma-ket 4 ta yirtqich hayvonni o'ldirdi va 4 ta bir xil mukofot oldi va bu mukofotlar vaqtning atigi 10% ga tushishi kerak, shuning uchun bu deyarli hech qachon sodir bo'lmasligi aniq.

Siz matematika bilan shug'ullanyapsiz. Ehtimollik 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, ya'ni 10 mingdan 1 ta natija juda kam uchraydigan holat. Bu futbolchi sizga aytmoqchi bo'lgan narsa. Bu holatda muammo bormi?

Hamma narsa sharoitga bog'liq. Hozir serveringizda nechta o'yinchi bor? Aytaylik, sizda juda mashhur o'yin bor va uni har kuni 100 000 kishi o'ynaydi. Qancha o'yinchi ketma-ket to'rtta yirtqich hayvonni o'ldiradi? Ehtimol, har bir narsa, kuniga bir necha marta, lekin faraz qilaylik, ularning yarmi auktsionlarda turli xil narsalarni sotadilar, RP serverlarida suhbatlashadilar yoki boshqa o'yinlar bilan shug'ullanadilar - shuning uchun ularning faqat yarmi yirtqich hayvonlarni ovlaydi. Biror kishi bir xil mukofotga ega bo'lish ehtimoli qanday? Bunday holatda, kuniga kamida bir necha marta sodir bo'lishini kutishingiz mumkin.

Aytgancha, shuning uchun har bir necha haftada kimdir lotereyada g'alaba qozonganga o'xshaydi, garchi u hech qachon siz yoki tanishingiz bo'lmagan bo'lsa ham. Agar etarlicha odam muntazam o'ynasa, biron bir joyda kamida bitta omadli odam bo'lishi mumkin. Ammo agar siz lotereyani o'zingiz o'ynasangiz, unda g'alaba qozonishingiz dargumon, sizni Infinity Ward-da ishlashga taklif qilish ehtimoli ko'proq.

Xaritalar va giyohvandlik

Biz mustaqil hodisalarni, masalan, o'limni tashlashni muhokama qildik va endi biz ko'plab o'yinlarda tasodifiylikni tahlil qilish uchun ko'plab kuchli vositalarni bilamiz. Kartochkalarni palubadan chizish haqida gap ketganda, ehtimollikni hisoblash biroz murakkabroq, chunki biz chiqargan har bir karta kemada qolganlarga ta'sir qiladi.

Agar sizda 52 ta kartadan iborat standart paluba bo'lsa, siz undan 10 ta yurak chizasiz va keyingi karta bir xil bo'lishi ehtimolini bilmoqchisiz - ehtimollik asl kartadan o'zgargan, chunki siz allaqachon bitta yurak kartasini kartadan olib tashlagansiz. pastki. Siz olib tashlagan har bir karta kemada keyingi karta paydo bo'lish ehtimolini o'zgartiradi. Bunday holda, oldingi voqea keyingisiga ta'sir qiladi, shuning uchun biz bu ehtimollikni bog'liq deb ataymiz.

E'tibor bering, men "kartalar" deganda, men ob'ektlar to'plamiga ega bo'lgan har qanday o'yin mexanikini nazarda tutaman va siz ob'ektlardan birini almashtirmasdan olib tashlaysiz. Bu holda "kartalar to'plami" siz bitta chip chiqaradigan chiplar sumkasiga yoki rangli to'plar olinadigan urnaga o'xshaydi (men hech qachon rangli to'plar olinadigan urnali o'yinlarni ko'rmaganman. chiqib, lekin ehtimollik nazariyasi o'qituvchilari negadir bu misol afzal).

Bog'liqlik xususiyatlari

Men aniqlik kiritmoqchimanki, kartalar haqida gap ketganda, siz kartalarni chizishingiz, ularga qarashingiz va ularni kemadan olib tashlashingiz kerak deb o'ylayman. Ushbu harakatlarning har biri muhim xususiyatdir. Agar menda, aytaylik, 1 dan 6 gacha raqamlangan oltita karta bo'lsa, men ularni aralashtirib, bitta kartani tortardim, so'ngra barcha oltita kartani yana aralashtirib yuborardim - bu olti qirrali matritsani aylantirishga o'xshash bo'lar edi, chunki bitta natijaga erishilmaydi. keyingilar uchun bu erda ta'sir qiladi. Va agar men kartalarni tortib, ularni almashtirmasam, 1 ta kartani chizish orqali men keyingi safar 6-raqamli kartani chizish ehtimolini oshiraman. Oxir oqibat, men ushbu kartani tortmagunimcha yoki palubani aralashtirmagunimcha, ehtimollik ortadi.

Biz kartalarni ko'rib chiqayotganimiz ham muhimdir. Agar men kartani kemadan chiqarib olsam va unga qaramasam, qo'shimcha ma'lumotga ega bo'lmayman va aslida ehtimollik o'zgarmaydi. Bu mantiqsiz tuyulishi mumkin. Qanday qilib oddiygina kartani ag'darish stavkalarni sehrli tarzda o'zgartirishi mumkin? Ammo bu mumkin, chunki siz faqat o'zingiz bilgan narsalarga asoslanib noma'lum elementlarning ehtimolini hisoblashingiz mumkin.

Misol uchun, agar siz standart kartalar to'plamini aralashtirsangiz, 51 ta kartani ko'rsatsangiz va ularning hech biri klublar malikasi bo'lmasa, qolgan karta klublar malikasi ekanligiga 100% amin bo'lishingiz mumkin. Agar siz standart kartalar to'plamini aralashtirsangiz va ularga qaramasdan 51 ta kartani chizsangiz, qolgan karta klublar malikasi bo'lish ehtimoli hali ham 1/52 bo'ladi. Har bir kartani ochganingizda, siz ko'proq ma'lumot olasiz.

Bog'liq hodisalarning ehtimolini hisoblash mustaqil hodisalar bilan bir xil printsiplarga amal qiladi, bundan tashqari, bu biroz murakkabroq, chunki kartalarni ochishda ehtimolliklar o'zgaradi. Shunday qilib, bir xil qiymatni ko'paytirish o'rniga, ko'p turli qiymatlarni ko'paytirishingiz kerak. Aslida, bu biz qilgan barcha hisob-kitoblarni bitta kombinatsiyaga birlashtirishimiz kerakligini anglatadi.

Misol

Siz 52 ta kartadan iborat standart palubani aralashtirasiz va ikkita kartani chizasiz. Siz juftlikni olib ketishingiz ehtimoli qanday? Bu ehtimolni hisoblashning bir necha yo'li bor, lekin, ehtimol, eng oddiyi quyidagicha: bitta kartani tortib olganingizdan so'ng, juftlik chiza olmaslik ehtimoli qanday? Bu ehtimol nolga teng, shuning uchun qaysi birinchi kartani chizishingiz muhim emas, agar u ikkinchisiga to'g'ri kelsa. Qaysi kartani birinchi bo'lib chizishimiz muhim emas, bizda hali ham juftlik chizish imkoniyati mavjud. Shuning uchun, birinchi kartani olib tashlaganingizdan so'ng, juftlikni olish ehtimoli 100% ni tashkil qiladi.

Ikkinchi karta birinchisiga mos kelishi ehtimoli qanday? Kemada 51 ta karta qoldi va ulardan 3 tasi birinchi kartaga to'g'ri keladi (aslida bu 52 tadan 4 tasi bo'lar edi, lekin siz birinchi kartani olganingizda mos kartalardan birini olib tashlagansiz), shuning uchun ehtimollik 1/ 17. Shunday qilib, keyingi safar stolda ro'parangizdagi yigit Texas Hold'em o'ynaganida, u shunday deydi: "Ajoyib, boshqa juftlikmi? Bugun men omadliman" desa, u katta ehtimollik bilan bl?f qilayotganini bilib olasiz.

Agar biz ikkita jokerni qo'shsak nima bo'ladi, shuning uchun bizda 54 ta karta bor va biz juftlikni chizish ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchimiz? Birinchi karta joker bo'lishi mumkin, keyin kemada uchta emas, balki mos keladigan faqat bitta karta bo'ladi. Bu holatda ehtimollikni qanday topish mumkin? Biz ehtimollarni ajratamiz va har bir imkoniyatni ko'paytiramiz.

Bizning birinchi kartamiz joker yoki boshqa karta bo'lishi mumkin. Jokerni chizish ehtimoli 2/54, boshqa kartani chizish ehtimoli 52/54. Agar birinchi karta joker bo'lsa (2/54), ikkinchi karta birinchisiga mos kelishi ehtimoli 1/53 ga teng. Biz qiymatlarni ko'paytiramiz (biz ularni ko'paytirishimiz mumkin, chunki ular alohida hodisalar va biz ikkala voqea sodir bo'lishini xohlaymiz) va biz 1/1431ni olamiz - foizning o'ndan biridan kam.

Agar siz avval boshqa kartani tortsangiz (52/54), ikkinchi kartaga mos kelish ehtimoli 3/53 ni tashkil qiladi. Biz qiymatlarni ko'paytiramiz va 78/1431 (5,5% dan bir oz ko'proq) ni olamiz. Bu ikki natija bilan nima qilamiz? Ular kesishmaydi va biz ularning har birining ehtimolini bilmoqchimiz, shuning uchun biz qiymatlarni umumlashtiramiz. Biz yakuniy natijani 79/1431 (hali taxminan 5,5%) olamiz.

Agar biz javobning to'g'riligiga ishonch hosil qilishni istasak, boshqa barcha mumkin bo'lgan natijalarning ehtimolini hisoblashimiz mumkin edi: jokerni chizish va ikkinchi kartaga mos kelmaslik yoki boshqa kartani chizish va ikkinchi kartaga mos kelmaslik. Ushbu ehtimolliklarni va g'alaba qozonish ehtimolini umumlashtirib, biz aniq 100% olamiz. Men bu erda matematikani bermayman, lekin siz matematikani ikki marta tekshirish uchun sinab ko'rishingiz mumkin.

Monty Xoll paradoksi

Bu bizni ko'pchilikni chalkashtirib yuboradigan juda mashhur paradoksga olib keladi, Monty Xoll paradoksi. Paradoks "Keling, kelishuv tuzamiz" teleko'rsatuvi boshlovchisi nomi bilan atalgan.Ushbu teleko'rsatuvni hech qachon ko'rmaganlar uchun aytamanki, "Narx to'g'ri" filmining aksi bo'lgan.

"Narx to'g'ri" filmida uy egasi (ilgari Bob Barker, hozir Drew Keri? Yo'q) sizning do'stingiz. U sizni pul yoki ajoyib sovg'alar yutib olishingizni xohlaydi. U sizga g'alaba qozonish uchun barcha imkoniyatlarni berishga harakat qiladi, agar siz homiylik qilingan narsalarning qiymatini taxmin qilishingiz mumkin.

Monti Xoll o'zini boshqacha tutdi. U Bob Barkerning yovuz egizakiga o'xshardi. Uning maqsadi sizni milliy televideniyeda ahmoq qilib ko'rsatish edi. Agar siz shouda bo'lsangiz, u sizning raqibingiz edi, siz unga qarshi o'ynadingiz va koeffitsientlar uning foydasiga edi. Balki men haddan tashqari qo'pol gapirayotgandirman, lekin ko'rsatuvga qarab, agar siz bema'ni kostyum kiysangiz, ko'proq qatnashasiz, men aynan shu narsaga kelyapman.

Ko'rgazmaning eng mashhur memlaridan biri bu edi: oldingizda uchta eshik bor, 1-sonli eshik, 2-sonli eshik va 3-sonli eshik. Siz bitta eshikni bepul tanlashingiz mumkin. Ulardan birining orqasida ajoyib mukofot - masalan, yangi mashina. Qolgan ikkita eshik ortida hech qanday sovrin yo'q, ikkalasining ham qadri yo'q. Ular sizni kamsitishlari kerak, shuning uchun ularning orqasida shunchaki hech narsa emas, balki ahmoq narsa, masalan, echki yoki tish pastasining katta naychasi - yangi mashinadan boshqa narsa.

Eshiklardan birini tanlaysiz, Monti g‘alaba qozonganingiz yoki yo‘qligingiz haqida xabar berish uchun uni ochmoqchi... lekin kuting. Biz bilishdan oldin, keling, siz tanlamagan eshiklardan birini ko'rib chiqaylik. Monti sovrin qaysi eshik ortida turganini biladi va u har doim orqasida sovrini bo‘lmagan eshikni ochishi mumkin. “Siz 3-raqamli eshikni tanlaysizmi? Keyin 1-raqamli eshikni ochamiz, buning ortida sovrin yo'qligini ko'rsatamiz." Va endi, saxiyligidan, u sizga tanlangan 3-raqamli eshikni 2-sonli eshik ortidagi narsaga almashtirish imkoniyatini taklif qiladi.

Shu o‘rinda ehtimollik haqidagi savol tug‘iladi: bu imkoniyat g‘alaba qozonish ehtimolini oshiradimi yoki pasaytiradimi yoki o‘zgarishsiz qoladimi? Nima deb o'ylaysiz?

To'g'ri javob: boshqa eshikni tanlash qobiliyati g'alaba qozonish imkoniyatini 1/3 dan 2/3 gacha oshiradi. Bu mantiqsiz. Agar siz ilgari bunday paradoksga duch kelmagan bo'lsangiz, ehtimol siz shunday deb o'ylaysiz: kuting, bu qanday: bitta eshikni ochish orqali biz ehtimollikni sehrli tarzda o'zgartirdik? Xaritalar misolida ko'rganimizdek, biz qo'shimcha ma'lumot olganimizda aynan shunday bo'ladi. Shubhasiz, siz birinchi marta tanlaganingizda, g'alaba qozonish ehtimoli 1/3 ni tashkil qiladi. Bitta eshik ochilganda, u birinchi tanlov uchun g'alaba qozonish ehtimolini umuman o'zgartirmaydi: ehtimollik hali ham 1/3. Ammo boshqa eshikning to'g'ri bo'lish ehtimoli endi 2/3 ga teng.

Keling, ushbu misolni boshqa tomondan ko'rib chiqaylik. Siz eshikni tanlaysiz. G'alaba qozonish ehtimoli 1/3. Men sizga boshqa ikkita eshikni o'zgartirishni taklif qilaman, bu Monty Xollning ishi. Albatta, u eshiklardan birini ochadi va buning ortida hech qanday sovrin yo'qligini ko'rsatadi, lekin u buni har doim qila oladi, shuning uchun bu hech narsani o'zgartirmaydi. Albatta, siz boshqa eshikni tanlashni xohlaysiz.

Agar siz savolni unchalik tushunmagan bo'lsangiz va yanada ishonchli tushuntirishga muhtoj bo'lsangiz, ushbu paradoksni batafsilroq o'rganishga imkon beradigan ajoyib kichik Flash ilovasiga o'tish uchun ushbu havolani bosing. Taxminan 10 ta eshikdan boshlashingiz va keyin asta-sekin uchta eshikli o'yinga o'tishingiz mumkin. Shuningdek, simulyator ham mavjud bo'lib, unda siz 3 dan 50 gacha bo'lgan har qanday eshiklar bilan o'ynashingiz yoki bir necha ming simulyatsiya qilishingiz va o'ynaganingizda necha marta g'alaba qozonishingizni ko'rishingiz mumkin.

Uchta eshikdan birini tanlang - g'alaba qozonish ehtimoli 1/3. Endi sizda ikkita strategiya bor: noto'g'ri eshikni ochganingizdan keyin tanlovni o'zgartirish yoki ochmaslik. Agar siz tanlovingizni o'zgartirmasangiz, ehtimollik 1/3 bo'lib qoladi, chunki tanlov faqat birinchi bosqichda va siz darhol taxmin qilishingiz kerak. Agar siz o'zgartirsangiz, birinchi navbatda noto'g'ri eshikni tanlasangiz, g'alaba qozonishingiz mumkin (keyin ular boshqa noto'g'ri eshikni ochadilar, to'g'ri qoladi - qarorni o'zgartirasiz, shunchaki qabul qilasiz). Boshida noto'g'ri eshikni tanlash ehtimoli 2/3 ni tashkil qiladi - shuning uchun qaroringizni o'zgartirish orqali siz g'alaba qozonish ehtimolini ikki baravar oshirasiz.

Oliy matematika o'qituvchisi va o'yin balansi bo'yicha mutaxassis Maksim Soldatovning izohi - albatta, Shrayberda bu yo'q edi, ammo usiz bu sehrli o'zgarishlarni tushunish juda qiyin.

Monty Xoll paradoksini qayta ko'rib chiqish

Spektaklning o‘ziga kelsak, Monti Xollning raqiblari matematikadan yaxshi bo‘lmasa ham, u buni yaxshi bilardi. Mana, u o'yinni biroz o'zgartirish uchun nima qildi. Agar siz 1/3 ehtimollik bilan sovrin qo'yilgan eshikni tanlagan bo'lsangiz, u sizga har doim boshqa eshikni tanlash variantini taklif qilgan. Siz mashina tanlaysiz, keyin uni echkiga almashtirasiz va juda ahmoqona ko'rinasiz - bu sizga kerak bo'lgan narsa, chunki Xoll qandaydir yovuz odam.

Lekin sovrini bo‘lmagan eshikni tanlasangiz, u sizga faqat yarmida boshqa eshikni taklif qiladi, yoki yangi echkingizni ko‘rsatadi va siz sahnani tark etasiz. Keling, ushbu yangi o'yinni tahlil qilaylik, unda Monty Xoll sizga boshqa eshikni tanlash imkoniyatini taklif qilish yoki bermaslik haqida qaror qabul qilishi mumkin.

Aytaylik, u ushbu algoritmga amal qiladi: agar siz sovg'ali eshikni tanlasangiz, u sizga har doim boshqa eshikni tanlash imkoniyatini taklif qiladi, aks holda u sizga boshqa eshikni tanlashni yoki sizga echki berishni taklif qilishi mumkin. Sizning g'alaba qozonish ehtimoli qanday?

Uchta variantdan birida siz darhol sovrin joylashgan eshikni tanlaysiz va uy egasi sizni boshqasini tanlashga taklif qiladi.

Uchtadan qolgan ikkita variantdan (siz dastlab eshikni sovrinsiz tanlaysiz), yarmida uy egasi qaroringizni o'zgartirishni taklif qiladi, qolgan yarmida esa o'zgarmaydi.

2/3 ning yarmi 1/3 ni tashkil qiladi, ya'ni uchta holatdan birida siz echki olasiz, uchtadan bittasida siz noto'g'ri eshikni tanlaysiz va uy egasi boshqasini tanlashni taklif qiladi va ichida uchta holatdan bittasi siz to'g'ri eshikni tanlaysiz, lekin u yana boshqasini taklif qiladi.

Agar fasilitator boshqa eshikni tanlashni taklif qilsa, biz allaqachon bilamizki, u bizga echki berganida va biz ketganida uchta holatdan biri sodir bo'lmagan. Bu foydali ma'lumot: bu bizning g'alaba qozonish imkoniyatimiz o'zgarganligini anglatadi. Bizda tanlash imkoniyati mavjud bo'lgan uchta holatdan ikkitasi: bir holatda bu biz to'g'ri taxmin qilganimizni, boshqa holatda esa noto'g'ri taxmin qilganimizni anglatadi, shuning uchun agar bizga umuman tanlov taklif qilingan bo'lsa, unda g'alaba qozonishimiz ehtimoli 1 ga teng. /2 , va matematik jihatdan siz o'z tanlovingizga yopishib olishingiz yoki boshqa eshikni tanlashingiz muhim emas.

Poker kabi, bu matematik emas, balki psixologik o'yin. Nega Monti sizga tanlov taklif qildi? U sizni boshqa eshikni tanlash "to'g'ri" qaror ekanligini bilmaydigan va o'z tanlovini o'jarlik bilan ushlab turadigan sodda odam deb o'ylaydimi (axir, mashina tanlaganingizda va keyin uni yo'qotganingizda vaziyat psixologik jihatdan murakkabroq) ?

Yoki u sizni aqlli deb qaror qilib, boshqa eshikni tanlab, sizga bu imkoniyatni taklif qiladimi, chunki u siz dastlab to'g'ri taxmin qilganingizni va ilgakka tushib qolganingizni biladimi? Yoki u o'ziga xos bo'lmagan mehribon va sizni siz uchun foydali narsa qilishga undaydi, chunki u uzoq vaqtdan beri mashina bermagan va prodyuserlar tomoshabinlar zerikishayotganini aytishadi va tezroq katta mukofot berish yaxshi bo'lardi. reytinglar tushib ketdimi?

Shunday qilib, Monty ba'zan tanlov taklif qiladi, g'alaba qozonishning umumiy ehtimoli esa 1/3 ga teng bo'lib qoladi. Yodingizda bo'lsin, darhol yo'qotish ehtimoli 1/3 ni tashkil qiladi. Siz darhol taxmin qilishingiz mumkin bo'lgan 1/3 imkoniyat mavjud va bu vaqtlarning 50% siz g'alaba qozonasiz (1/3 x 1/2 = 1/6).

Avvaliga noto'g'ri taxmin qilishingiz, lekin keyin boshqa eshikni tanlash imkoniyatiga ega bo'lish ehtimoli 1/3 ni tashkil qiladi va bu holatlarning yarmida siz g'alaba qozonasiz (shuningdek, 1/6). Ikkita mustaqil g'alaba qozonish imkoniyatini qo'shing va siz 1/3 ehtimolga ega bo'lasiz, shuning uchun siz tanlaganingizda qolish yoki boshqa eshikni tanlash muhim emas - o'yin davomida g'alaba qozonishning umumiy ehtimoli 1/3 ni tashkil qiladi.

Eshikni taxmin qilganingizda va uy egasi boshqasini tanlashni taklif qilmasdan, shunchaki uning orqasida nima borligini ko'rsatgan vaziyatdan ko'ra, ehtimollik kattaroq bo'lmaydi. Taklifning maqsadi ehtimolni o'zgartirish emas, balki qaror qabul qilish jarayonini televizor ko'rish uchun yanada qiziqarli qilishdir.

Aytgancha, bu pokerning bu qadar qiziqarli bo'lishining sabablaridan biri: ko'pgina raundlar orasidagi formatlarda, garov tikilganda (masalan, Texas Hold'emdagi flop, burilish va daryo) kartalar asta-sekin ochiladi, va agar o'yin boshida sizda g'alaba qozonish uchun bitta imkoniyat bo'lsa, har bir tikish raundidan so'ng, ko'proq kartalar ochilganda, bu ehtimollik o'zgaradi.

O'g'il va qiz paradoks

Bu bizni hammani o'ylantirib qo'yadigan yana bir mashhur paradoksga, ya'ni o'g'il-qiz paradoksiga olib keladi. Bugun men yozgan yagona narsa o'yinlar bilan bevosita bog'liq emas (garchi men sizni tegishli o'yin mexanikasini yaratishga undashim kerak deb o'ylayman). Bu ko'proq jumboq, ammo qiziqarli va uni hal qilish uchun siz yuqorida aytib o'tgan shartli ehtimollikni tushunishingiz kerak.

Vazifa: Mening ikki bolali do'stim bor, ulardan kamida bittasi qiz. Ikkinchi bolaning ham qiz bo'lish ehtimoli qanday? Faraz qilaylik, har qanday oilada qiz va o'g'il tug'ilish imkoniyati 50/50 ni tashkil qiladi va bu har bir bola uchun to'g'ri keladi.

Darhaqiqat, ba'zi erkaklar urug'ida X xromosoma yoki Y xromosomaga ega bo'lgan ko'proq sperma mavjud, shuning uchun ehtimollik biroz farq qiladi. Agar siz bir bolaning qiz ekanligini bilsangiz, ikkinchi qizga ega bo'lish ehtimoli biroz yuqoriroq va germafroditizm kabi boshqa shartlar ham mavjud. Ammo bu muammoni hal qilish uchun biz buni e'tiborga olmaymiz va bolaning tug'ilishi mustaqil hodisa va o'g'il va qiz tug'ilishi bir xil ehtimoli bor deb hisoblaymiz.

Biz 1/2 imkoniyat haqida gapirayotganimiz sababli, biz intuitiv ravishda javobni 1/2 yoki 1/4 yoki maxrajdagi ikkitaning boshqa ko'paytmasi bo'lishini kutamiz. Lekin javob 1/3. Nega?

Bu holatda qiyinchilik shundaki, bizda mavjud bo'lgan ma'lumotlar imkoniyatlar sonini kamaytiradi. Faraz qilaylik, ota-onalar Sesame ko'chasining muxlislari va bolalarning jinsidan qat'i nazar, ularni A va B deb nomladilar. Oddiy sharoitlarda, to'rtta ehtimollik teng: A va B ikkita o'g'il, A va B ikkita qiz, A - a o'g'il va B qiz, A qiz va B o'g'il. Hech bo'lmaganda bitta bola qiz ekanligini bilganimiz sababli, A va B ikkita o'g'il bo'lish ehtimolini istisno qilishimiz mumkin. Shunday qilib, bizda uchta imkoniyat qoldi - baribir teng darajada. Agar barcha imkoniyatlar teng bo'lsa va ulardan uchtasi bo'lsa, ularning har birining ehtimoli 1/3 ga teng. Ushbu uchta variantdan faqat bittasida ikkala bolalar ham qizlar, shuning uchun javob 1/3.

Va yana o'g'il va qizning paradoksi haqida

Muammoning yechimi yanada mantiqsiz bo'lib qoladi. Tasavvur qiling-a, mening do'stim ikki farzandi bor va ulardan biri seshanba kuni tug'ilgan qiz. Faraz qilaylik, normal sharoitda bolaning haftaning etti kunining har birida tug'ilish ehtimoli teng. Ikkinchi bolaning ham qiz bo'lish ehtimoli qanday?

Javob hali ham 1/3 bo'ladi deb o'ylashingiz mumkin: seshanba nimani anglatadi? Ammo bu holda, sezgi bizni mag'lub qiladi. Javob 13/27, bu nafaqat intuitiv, balki juda g'alati. Bu holatda nima gap?

Aslida, seshanba kuni ehtimollikni o'zgartiradi, chunki biz seshanba kuni qaysi chaqaloq tug'ilganini yoki ehtimol ikkalasi ham seshanba kuni tug'ilganini bilmaymiz. Bu holatda biz bir xil mantiqdan foydalanamiz: seshanba kuni tug'ilgan kamida bitta bola qiz bo'lsa, biz barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarni hisoblaymiz. Oldingi misolda bo'lgani kabi, bolalar A va B deb nomlandi deylik. Kombinatsiyalar quyidagicha ko'rinadi:

• A - seshanba kuni tug'ilgan qiz, B - o'g'il (bu holatda 7 ta imkoniyat mavjud, o'g'il tug'ilishi mumkin bo'lgan haftaning har kuni uchun bittadan).
• B - seshanba kuni tug'ilgan qiz, A - o'g'il (shuningdek, 7 ta imkoniyat).
• A - seshanba kuni tug'ilgan qiz, B - haftaning boshqa kunida tug'ilgan qiz (6 ta imkoniyat).
• B - seshanba kuni tug'ilgan qiz, A - seshanba kuni tug'ilmagan qiz (shuningdek, 6 ehtimollik).
• A va B seshanba kuni tug'ilgan ikkita qizdir (1 ehtimol, ikki marta hisoblamaslik uchun bunga e'tibor berish kerak).

Biz seshanba kuni qiz tug'ilishining kamida bitta ehtimoli bo'lgan bolalar va kunlarning tug'ilishining 27 xil mumkin bo'lgan kombinatsiyasini jamlaymiz va olamiz. Ulardan 13 tasi ikkita qiz tug'ilishi mumkin. Bu ham mutlaqo mantiqsiz ko'rinadi - bu vazifa faqat bosh og'rig'ini keltirib chiqarish uchun o'ylab topilganga o'xshaydi. Agar siz hali ham hayron bo'lsangiz, o'yin nazariyotchisi Jesper Juhlning veb-saytida bu haqda yaxshi tushuntirish mavjud.

Agar siz hozirda o'yin ustida ishlayotgan bo'lsangiz

Agar siz yaratayotgan o'yinda tasodifiylik bo'lsa, bu uni tahlil qilish uchun ajoyib imkoniyatdir. Tahlil qilmoqchi bo'lgan har qanday elementni tanlang. Avval o'zingizdan so'rang, o'yin kontekstida berilgan elementning ehtimoli nima bo'lishini kutasiz.

Misol uchun, agar siz RPG o'ynayotgan bo'lsangiz va o'yinchi jangda yirtqich hayvonni mag'lub etishi qanchalik ehtimoli haqida o'ylayotgan bo'lsangiz, o'zingizdan qaysi g'alaba foizi sizga to'g'ri kelishini so'rang. Odatda, konsol RPGlarida, o'yinchilar yutqazganda juda xafa bo'lishadi, shuning uchun ular kamdan-kam hollarda yutqazganlari ma'qul - vaqtning 10% yoki undan kam. Agar siz RPG dizayneri bo'lsangiz, ehtimol siz mendan yaxshiroq bilasiz, lekin ehtimollik qanday bo'lishi kerakligi haqida asosiy fikrga ega bo'lishingiz kerak.

Keyin o'zingizdan so'rang, ehtimol sizning ehtimollaringiz bog'liqmi (kartalarda bo'lgani kabi) yoki mustaqil (zarlar kabi). Barcha mumkin bo'lgan natijalarni va ularning ehtimolini muhokama qiling. Barcha ehtimolliklar yig'indisi 100% ekanligiga ishonch hosil qiling. Va, albatta, natijalaringizni kutganingiz bilan solishtiring. O'zingiz xohlagan tarzda zarlarni tashlash yoki kartalarni chizish mumkinmi yoki qiymatlarni o'zgartirish kerakligi aniq. Va, albatta, agar siz kamchiliklarni topsangiz, qiymatlarni qanchalik o'zgartirishingiz kerakligini aniqlash uchun bir xil hisob-kitoblardan foydalanishingiz mumkin.

Uy ishi

Bu hafta sizning "uy vazifangiz" sizga ehtimollik qobiliyatingizni oshirishga yordam beradi. Mana ikkita zar o'yini va ehtimollik yordamida tahlil qilishingiz kerak bo'lgan karta o'yini, shuningdek, men bir paytlar men ishlab chiqqan g'alati o'yin mexanikasi, siz Monte Karlo usulini sinab ko'rasiz.

O'yin №1 - Ajdaho suyaklari

Bu mening hamkasblarim va men bir paytlar o‘ylab topgan zar o‘yini (Jeb Xeyvens va Jessi Kingga rahmat) – bu o‘z ehtimoli bilan odamlarning ongini ataylab hayratda qoldiradi. Bu "Dragon Dice" deb nomlangan oddiy kazino o'yini va u o'yinchi va muassasa o'rtasidagi qimor zarlari musobaqasidir.

Sizga oddiy 1d6 o'lik beriladi. O'yinning maqsadi uyning raqamidan yuqoriroq raqamni aylantirishdir. Tomga nostandart 1d6 beriladi - sizniki bilan bir xil, lekin uning yuzlaridan birida bitta o'rniga - ajdaho tasviri (shunday qilib, kazinoda ajdaho-2-3-4-5-6 o'limi bor). Agar muassasa ajdaho olsa, u avtomatik ravishda g'alaba qozonadi va siz yutqazasiz. Agar ikkalasi ham bir xil raqamga ega bo'lsa, bu durang bo'ladi va siz zarni yana tashlaysiz. Eng ko'p raqamni aylantirgan kishi g'alaba qozonadi.

Albatta, hamma narsa o'yinchining foydasiga to'liq emas, chunki kazino ajdaho yuzi ko'rinishida afzalliklarga ega. Lekin haqiqatan ham shundaymi? Bu siz hisoblashingiz kerak bo'lgan narsa. Lekin birinchi navbatda sezgiingizni tekshiring.

Aytaylik, g'alaba 2 ga 1. Shunday qilib, agar siz g'alaba qozonsangiz, siz tikishingizni saqlab qolasiz va ikki baravar pul olasiz. Misol uchun, agar siz 1 dollar tikib, yutib olsangiz, o'sha dollarni ushlab turasiz va yana 2 dollar olasiz, jami 3 dollar. Agar siz yutqazsangiz, faqat tikishingizni yo'qotasiz. O'ynaysizmi? Siz intuitiv ravishda ehtimollik 2 dan 1 ga katta ekanligini his qilyapsizmi yoki siz hali ham uni kamroq deb o'ylaysizmi? Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, o'rtacha 3 tadan ortiq o'yinda siz bir necha marta g'alaba qozonishni kutasizmi yoki kamroqmi yoki bir marta?

Intuitsiyangizni yo'qotganingizdan so'ng, matematikani qo'llang. Ikkala zar uchun atigi 36 ta pozitsiya mavjud, shuning uchun ularning barchasini osongina hisoblashingiz mumkin. Agar siz ushbu 2-to-1 taklifiga ishonchingiz komil bo'lmasa, buni ko'rib chiqing: Aytaylik, siz o'yinni 36 marta o'ynadingiz (har safar 1 dollar tikish). Har bir g'alaba uchun siz 2 dollar olasiz, har bir mag'lubiyat uchun 1 dollar yo'qotasiz va durang hech narsani o'zgartirmaydi. Barcha mumkin bo'lgan g'alaba va yo'qotishlaringizni hisoblang va bir oz dollar yo'qotasizmi yoki yo'qotishingizni hal qiling. Keyin sezgi qanchalik to'g'ri bo'lganini o'zingizdan so'rang. Va keyin men qanday yovuz odam ekanligimni tushunaman.

Va, ha, agar siz bu savol haqida allaqachon o'ylab ko'rgan bo'lsangiz - men zar o'yinlarining haqiqiy mexanikasini buzib, sizni ataylab chalkashtirib yuboraman, lekin ishonchim komilki, siz bu to'siqni faqat yaxshi fikr bilan engishingiz mumkin. Bu muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling.

O'yin №2 - Omad roliki

Bu "Roll of Luck" deb nomlangan zar o'yini (shuningdek, Birdcage, chunki ba'zida zarlar o'ralmaydi, lekin Bingo qafasini eslatuvchi katta simli qafasga joylashtiriladi). O'yin oddiy, u asosan bu pastga qaynatiladi: Gambling, aytaylik, $1 o'rtasidagi raqam 1 va 6. Keyin siz 3d6 dumalab. Raqamingizga tushgan har bir o'lim uchun siz 1 dollar olasiz (va dastlabki tikishingizni saqlab qolasiz). Agar sizning raqamingiz zarlarning birortasiga tushmasa, kazino sizning dollaringizni oladi va siz hech narsa olmaysiz. Shunday qilib, agar siz 1 ga tiksangiz va yuzga uch marta 1 olsangiz, siz $ 3 olasiz.

Intuitiv ravishda, bu o'yinda imkoniyatlar teng bo'lib tuyuladi. Har bir zarda g'alaba qozonishning 6 tadan 1 tasi bo'ladi, shuning uchun sizning g'alaba qozonish imkoniyatingiz uchta o'ramda 3 dan 6 gacha. Biroq, esda tutingki, siz uchta alohida zarni to'playapsiz va faqat biz qo'shishimiz mumkin. bir xil zarlarning alohida qozongan kombinatsiyalari haqida gapirganda. Biror narsani ko'paytirish kerak bo'ladi.

Barcha mumkin bo'lgan natijalarni hisoblab chiqqaningizdan so'ng (ehtimol, Excelda qo'lda qilishdan ko'ra osonroqdir, ulardan 216 tasi bor), o'yin birinchi qarashda hamon g'alati ko'rinadi. Aslida, kazino hali ham yutish ehtimoli ko'proq - qancha ko'p? Xususan, har bir turda o'rtacha qancha pul yo'qotishni kutmoqdasiz?

Barcha qilishingiz kerak bo'lgan 216 ta natijaning g'alabalari va yo'qotishlarini qo'shib, keyin 216 ga bo'lish juda oson. Ammo ko'rib turganingizdek, siz tushib qolishingiz mumkin bo'lgan bir nechta tuzoqlar mavjud, shuning uchun men aytmoqchimanki, agar siz ushbu o'yinda g'alaba qozonish imkoniyati teng deb hisoblasangiz, siz noto'g'ri tushungansiz.

O'yin №3 - 5 Card Stud

Agar siz oldingi o'yinlarda allaqachon qizib ketgan bo'lsangiz, keling, ushbu karta o'yinini misol sifatida ishlatib, shartli ehtimollik haqida bilishimizni tekshirib ko'raylik. Keling, 52 ta kartadan iborat pokerni tasavvur qilaylik. Keling, har bir o'yinchi faqat 5 ta kartani oladigan 5 ta kartani tasavvur qilaylik. Kartani tashlab bo'lmaydi, yangisini tortib bo'lmaydi, umumiy paluba yo'q - siz faqat 5 ta karta olasiz.

Royal flush bir qo'lda 10-J-Q-K-A, jami to'rtta, shuning uchun qirollik flushini olishning to'rtta mumkin bo'lgan usuli mavjud. Ushbu kombinatsiyalardan birini olish ehtimolini hisoblang.

Sizni ogohlantiradigan bir narsam bor: unutmangki, siz ushbu beshta kartani istalgan tartibda chizishingiz mumkin. Ya'ni, dastlab siz ace yoki o'nni chizishingiz mumkin, bu muhim emas. Shunday qilib, hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, kartalar tartibda taqsimlangan deb hisoblasak, royal flushni olishning to'rtdan ortiq usuli borligini yodda tuting.

№4 o'yin - XVF lotereyasi

To'rtinchi vazifani bugun biz muhokama qilgan usullar yordamida hal qilish unchalik oson bo'lmaydi, lekin siz dasturlash yoki Excel yordamida vaziyatni osongina taqlid qilishingiz mumkin. Aynan shu muammoning misolida siz Monte-Karlo usulini ishlab chiqishingiz mumkin.

Yuqorida men bir vaqtlar ishlagan Chron X o'yinini eslatib o'tdim va bitta juda qiziqarli karta bor edi - XVF lotereyasi. Bu qanday ishladi: siz uni o'yinda ishlatgansiz. Raund tugagandan so'ng, kartalar qayta taqsimlandi va karta o'ynamay qolishi va tasodifiy o'yinchi ushbu kartada token bo'lgan har bir turdagi resursdan 5 tadan olish ehtimoli 10% edi. Karta bitta tokensiz o'yinga qo'yildi, lekin har safar u keyingi bosqich boshida o'yinda qolsa, u bitta token oldi.

Shunday qilib, siz uni o'ynashingiz uchun 10% imkoniyat bor edi, raund tugaydi, karta o'yinni tark etadi va hech kim hech narsa olmaydi. Agar shunday bo'lmasa (90% imkoniyat bilan), u keyingi bosqichda o'yinni tark etishi va kimdir 5 ta resurs olishi uchun 10% imkoniyat (aslida 9%, chunki bu 90% ning 10%). Agar karta bir turdan keyin o'yinni tark etsa (mavjud bo'lgan 81% ning 10%, shuning uchun ehtimollik 8,1%), kimdir 10 birlik oladi, boshqa tur - 15, yana 20 va hokazo. Savol: Ushbu karta o'yindan chiqib ketganda siz oladigan resurslar sonining kutilayotgan qiymati qancha?

Odatda biz bu muammoni har bir natijaning ehtimolini hisoblash va barcha natijalar soniga ko'paytirish orqali hal qilishga harakat qilamiz. 0 (0,1 * 0 = 0) ni olishning 10% ehtimoli bor. 9% siz 5 birlik resurslarni olasiz (9% * 5 = 0,45 resurs). Siz olgan narsangizning 8,1% 10 (8,1% * 10 = 0,81 resurslar - umuman kutilgan qiymat). Va hokazo. Va keyin biz hammasini umumlashtiramiz.

Va endi muammo sizga ayon: karta o'yinni tark etmasligi uchun har doim imkoniyat bor, u o'yinda abadiy qolishi mumkin, cheksiz sonli turlar uchun, shuning uchun hech qanday ehtimollikni hisoblashning imkoni yo'q. Bugun biz o'rgangan usullar cheksiz rekursiyani hisoblashga imkon bermaydi, shuning uchun biz uni sun'iy ravishda yaratishga majbur bo'lamiz.

Agar siz dasturlashda etarlicha yaxshi bo'lsangiz, ushbu kartani simulyatsiya qiladigan dastur yozing. O'zgaruvchini nolning boshlang'ich holatiga olib keladigan, tasodifiy sonni ko'rsatadigan va 10% imkoniyat bilan o'zgaruvchi tsikldan chiqadigan vaqt tsikliga ega bo'lishingiz kerak. Aks holda, u o'zgaruvchiga 5 qo'shadi va tsikl takrorlanadi. Nihoyat tsikldan chiqqanda, sinov sinovlarining umumiy sonini 1 taga va resurslarning umumiy sonini oshiring (qanchalik o'zgaruvchining to'xtagan joyiga bog'liq). Keyin o'zgaruvchini qayta o'rnating va qaytadan boshlang.

Dasturni bir necha ming marta ishga tushiring. Oxir-oqibat, jami resurslarni yugurishlarning umumiy soniga bo'ling - bu Monte-Karlo usulining kutilgan qiymati bo'ladi. Olingan raqamlar taxminan bir xil ekanligiga ishonch hosil qilish uchun dasturni bir necha marta ishga tushiring. Agar tarqalish hali ham katta bo'lsa, gugurt olishni boshlaguningizcha, tashqi tsikldagi takrorlash sonini oshiring. Siz yakunlagan raqamlar taxminan to'g'ri bo'lishiga amin bo'lishingiz mumkin.

Agar siz dasturlashda yangi bo'lsangiz (hatto shunday bo'lsangiz ham), Excel ko'nikmalaringizni sinab ko'rish uchun kichik mashq. Agar siz o'yin dizayneri bo'lsangiz, bu ko'nikmalar hech qachon ortiqcha bo'lmaydi.

Endi if va rand funksiyalari siz uchun juda foydali bo'ladi. Rand qiymatlarni talab qilmaydi, u shunchaki 0 va 1 oralig'ida tasodifiy o'nlik sonni hosil qiladi. Biz odatda yuqorida aytib o'tgan matritsa rulosini simulyatsiya qilish uchun uni qavat va ortiqcha va minuslar bilan birlashtiramiz. Biroq, bu holatda biz kartaning o'yinni tark etishi uchun 10% imkoniyat qoldiramiz, shuning uchun biz rand 0,1 dan past yoki yo'qligini tekshirib ko'ramiz va endi bu haqda tashvishlanmaymiz.

Agar uchta qiymat bo'lsa. Tartibda, to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lgan shart, keyin shart rost bo'lsa qaytariladigan qiymat va shart noto'g'ri bo'lsa qaytariladigan qiymat. Shunday qilib, quyidagi funktsiya vaqtning 5% ni, qolgan 90% esa 0 ni qaytaradi: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Ushbu buyruqni o'rnatishning ko'plab usullari mavjud, lekin men birinchi turni ifodalovchi katak uchun ushbu formuladan foydalanaman, deylik, bu A1 katak: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Bu erda men "bu karta o'yinni tark etmagan va hali hech qanday manba bermagan" degan ma'noni anglatuvchi salbiy o'zgaruvchidan foydalanmoqdaman. Shunday qilib, agar birinchi raund tugasa va karta o'yindan tashqarida bo'lsa, A1 0; aks holda -1 bo'ladi.

Ikkinchi turni ifodalovchi keyingi katak uchun: =AGAR(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Shunday qilib, agar birinchi raund tugasa va karta darhol o'yinni tark etsa, A1 0 (resurslar soni) bo'ladi va bu katak shunchaki bu qiymatni ko'chiradi. Aks holda, A1 -1 (karta hali o'yinni tark etmagan) va bu katak tasodifiy harakatlanishda davom etadi: vaqtning 10 foizi 5 birlik resurslarni qaytaradi, qolgan vaqtda uning qiymati saqlanib qoladi - 1. Agar biz ushbu formulani qo'shimcha katakchalarga qo'llasak, biz qo'shimcha turlarga ega bo'lamiz va qaysi katakcha bilan yakunlansangiz, yakuniy natijaga ega bo'lasiz (yoki agar siz o'ynagan barcha turlardan keyin karta o'yinni tark etmagan bo'lsa -1).

Ushbu karta bilan yagona tur bo'lgan ushbu katakchalar qatorini oling va bir necha yuz (yoki minglab) qatorlardan nusxa ko'chiring va joylashtiring. Biz Excel uchun cheksiz sinovni amalga oshira olmasligimiz mumkin (jadvalda hujayralar soni cheklangan), lekin hech bo'lmaganda ko'p holatlarni qamrab olamiz. Keyin barcha turlar natijalarining o'rtacha qiymatini qo'yadigan bitta katakchani tanlang - Excel buning uchun o'rtacha() funktsiyasini taqdim etadi.

Windowsda hech bo'lmaganda barcha tasodifiy raqamlarni qayta hisoblash uchun F9 tugmasini bosishingiz mumkin. Avvalgidek, buni bir necha marta bajaring va bir xil qiymatlarni olishingizni tekshiring. Agar tarqalish juda katta bo'lsa, yugurish sonini ikki baravar oshiring va qayta urinib ko'ring.

Yechilmagan muammolar

Agar siz ehtimollar nazariyasi bo'yicha ilmiy darajaga ega bo'lsangiz va yuqoridagi muammolar siz uchun juda oson bo'lib tuyulsa - bu erda men ko'p yillar davomida boshimni qimirlatib kelayotgan ikkita muammo bor, lekin, afsuski, men ularni hal qilish uchun matematikani unchalik yaxshi bilmayman.

Yechilmagan muammo №1: XVF lotereyasi

Birinchi hal qilinmagan muammo - oldingi uy vazifasi. Men Monte-Karlo usulidan bemalol foydalana olaman (C++ yoki Excel yordamida) va "o'yinchi qancha resurslar oladi" degan savolga javob berishga ishonchim komil bo'lishi mumkin, lekin men matematik jihatdan aniq isbotlangan javobni qanday berishni aniq bilmayman (bu cheksiz qator).

Yechilmagan muammo №2: Shakllar ketma-ketligi

Bu vazifa (bu blogda hal qilinadigan vazifalardan ham uzoqroq) menga o'n yildan ko'proq vaqt oldin tanish o'yinchi tomonidan tashlangan. Vegasda blackjack o'ynab, u bir qiziq xususiyatga e'tibor berdi: 8 qavatli poyabzaldan kartalarni chizish, u ketma-ket o'nta bo'lakni ko'rdi (bir parcha yoki yuz kartasi 10, Joker, King yoki Queen, shuning uchun jami 16 ta bor. 52 ta kartadan iborat standart paluba yoki 416 kartali poyabzalda 128 ta).

Ushbu poyafzalda kamida bitta ketma-ketlik o'n yoki undan ortiq bo'lak bo'lishi ehtimoli qanday? Faraz qilaylik, ular halol, tasodifiy tartibda aralashtirildi. Yoki, agar xohlasangiz, hech qanday joyda o'n yoki undan ortiq shakllar ketma-ketligi yo'qligi ehtimoli qanday?

Biz vazifani soddalashtirishimiz mumkin. Mana 416 qismdan iborat ketma-ketlik. Har bir qism 0 yoki 1 ga teng. Ketma-ketlikda tasodifiy tarqalgan 128 ta birlik va 288 ta nol mavjud. 128 tasini 288 ta nol bilan tasodifiy aralashtirishning nechta usuli bor va bu usullarda kamida o?n yoki undan ortiq birlikdan iborat bo?lgan bir guruh necha marta bo?ladi?

Har safar men bu muammoni hal qilishga kirishganimda, bu menga oson va ravshan bo'lib tuyuldi, lekin men tafsilotlarni o'rganishim bilanoq, u birdan parchalanib ketdi va shunchaki imkonsiz bo'lib tuyuldi.

Shuning uchun javobni ochiq aytishga shoshilmang: o'tiring, yaxshilab o'ylab ko'ring, shartlarni o'rganing, haqiqiy raqamlarni kiritishga harakat qiling, chunki men bu muammo haqida gaplashgan barcha odamlar (shu jumladan, ushbu sohada ishlaydigan bir nechta aspirantlar) juda ko'p javob berishdi. xuddi shunday: "Bu mutlaqo aniq ... yo'q, kuting, umuman aniq emas." Bu menda barcha variantlarni hisoblash usuli bo'lmaganda sodir bo'ladi. Albatta, men muammoni kompyuter algoritmi orqali qo'pol majburlashim mumkin edi, lekin uni hal qilishning matematik usulini topish ancha qiziqroq bo'lar edi.

Dastlab, zar o'yini haqidagi ma'lumotlar va empirik kuzatishlar to'plami bo'lib, ehtimollik nazariyasi mustahkam fanga aylandi. Fermat va Paskal birinchi bo'lib unga matematik asosni berdilar.

Abadiy haqida fikr yuritishdan tortib, ehtimollik nazariyasiga qadar

Ehtimollar nazariyasi ko'plab fundamental formulalarga ega bo'lgan ikki shaxs - Blez Paskal va Tomas Bayes chuqur dindor odamlar sifatida tanilgan, ikkinchisi Presviterian vaziri edi. Ko'rinishidan, bu ikki olimning ma'lum bir Fortune haqidagi fikrining noto'g'riligini isbotlash, uning sevimlilariga omad tilash istagi bu sohadagi tadqiqotlarga turtki bo'ldi. Axir, aslida, har qanday tasodif o'yini o'zining g'alaba va mag'lubiyatlari bilan faqat matematik tamoyillarning simfoniyasidir.

Bir xil darajada qimorboz va fanga befarq bo'lmagan Chevalier de Merning hayajonlari tufayli Paskal ehtimollikni hisoblash yo'lini topishga majbur bo'ldi. De Merni bu savol qiziqtirdi: "12 ball olish ehtimoli 50% dan oshishi uchun ikkita zarni necha marta juft qilib tashlash kerak?". Janobni nihoyatda qiziqtirgan ikkinchi savol: "Tijorni tugallanmagan o'yin ishtirokchilari o'rtasida qanday taqsimlash kerak?" Albatta, Paskal ehtimollar nazariyasi rivojlanishining tashabbuskori bo'lgan de Merning ikkala savoliga ham muvaffaqiyatli javob berdi. Qizig'i shundaki, de Mer shaxsi adabiyotda emas, balki shu sohada tanilgan.

Ilgari hech bir matematik haligacha hodisalarning ehtimolligini hisoblashga urinmagan, chunki bu faqat taxminiy yechim deb hisoblangan. Blez Paskal hodisa ehtimolining birinchi ta'rifini berdi va bu matematik jihatdan asoslanishi mumkin bo'lgan aniq raqam ekanligini ko'rsatdi. Ehtimollar nazariyasi statistika uchun asos bo'lib, zamonaviy fanda keng qo'llaniladi.

Tasodifiylik nima

Agar cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan testni ko'rib chiqsak, biz tasodifiy hodisani aniqlashimiz mumkin. Bu tajribaning mumkin bo'lgan natijalaridan biridir.

Tajriba - bu doimiy sharoitda aniq harakatlarni amalga oshirish.

Tajriba natijalari bilan ishlash uchun voqealar odatda A, B, C, D, E harflari bilan belgilanadi ...

Tasodifiy hodisa ehtimoli

Ehtimollikning matematik qismiga o'tish uchun uning barcha komponentlarini aniqlash kerak.

Hodisa ehtimoli - tajriba natijasida qandaydir hodisa (A yoki B) sodir bo'lish ehtimolining sonli o'lchovidir. Ehtimollik P (A) yoki P (B) sifatida belgilanadi.

Ehtimollar nazariyasi:

• ishonchli tajriba natijasida sodir bo'lishi kafolatlangan hodisa R(?) = 1;
• imkonsiz hodisa hech qachon sodir bo'lmaydi R(?) = 0;
• tasodifiy hodisa aniq va imkonsiz o'rtasida yotadi, ya'ni uning sodir bo'lish ehtimoli mumkin, lekin kafolatlanmaydi (tasodifiy hodisaning ehtimoli har doim 0<=P(A)<=1 ichida).

Hodisalar o'rtasidagi munosabatlar

A yoki B komponentlaridan kamida bittasi yoki ikkalasi - A va B ni amalga oshirishda hodisa hisobga olinsa, A + B hodisalarining ikkalasi ham, yig'indisi ham hisobga olinadi.

Bir-biriga nisbatan hodisalar quyidagilar bo'lishi mumkin:

• Xuddi shunday mumkin.
• mos keladi.
• Mos kelmaydi.
• Qarama-qarshi (bir-birini eksklyuziv).
• Bog'liq.

Agar ikkita hodisa teng ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin bo'lsa, unda ular teng darajada mumkin.

Agar A hodisaning yuzaga kelishi B hodisasining yuzaga kelish ehtimolini bekor qilmasa, u holda ular mos keladi.

Agar bitta tajribada A va B hodisalar hech qachon bir vaqtda sodir bo'lmasa, ular deyiladi mos kelmaydigan. Tanga tashlash yaxshi misol: dumlar paydo bo'lishi avtomatik ravishda boshga tushmaydi.

Bunday mos kelmaydigan hodisalar yig'indisi ehtimoli har bir hodisaning ehtimollik yig'indisidan iborat:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Agar bir hodisaning sodir bo'lishi boshqa hodisaning sodir bo'lishini imkonsiz qilsa, ular qarama-qarshi deb ataladi. Keyin ulardan biri A, ikkinchisi esa - ? ("A emas" deb o'qiladi) sifatida belgilanadi. A hodisasining yuzaga kelishi ? sodir bo'lmaganligini bildiradi. Bu ikki hodisa ehtimollar yig'indisi 1 ga teng bo'lgan to'liq guruhni tashkil qiladi.

Bog'liq hodisalar o'zaro ta'sir qiladi, bir-birining ehtimolini kamaytiradi yoki oshiradi.

Hodisalar o'rtasidagi munosabatlar. Misollar

Ehtimollar nazariyasi tamoyillarini va hodisalarning kombinatsiyasini misollar yordamida tushunish ancha oson.

Amalga oshiriladigan tajriba to'plarni qutidan chiqarishdir va har bir tajribaning natijasi elementar natijadir.

Hodisa - bu tajribaning mumkin bo'lgan natijalaridan biri - qizil to'p, ko'k to'p, olti raqamli to'p va boshqalar.

Sinov raqami 1. 6 ta to'p bor, ulardan uchtasi toq raqamlar bilan ko'k, qolgan uchtasi esa juft raqamlar bilan qizil.

Sinov raqami 2. Birdan oltigacha raqamlari bo'lgan 6 ta ko'k shar bor.

Ushbu misolga asoslanib, biz kombinatsiyalarni nomlashimiz mumkin:

• Ishonchli voqea. Ispan tilida № 2, "ko'k to'pni oling" hodisasi ishonchli, chunki uning paydo bo'lish ehtimoli 1 ga teng, chunki barcha to'plar ko'k rangga ega va hech qanday o'tkazib yuborish mumkin emas. Holbuki, "1-raqamli to'pni olish" hodisasi tasodifiy.
• Mumkin bo'lmagan voqea. Ispan tilida Ko'k va qizil sharlar bilan №1, "binafsha to'pni olish" hodisasi mumkin emas, chunki uning paydo bo'lish ehtimoli 0 ga teng.
• Ekvivalent hodisalar. Ispan tilida 1-raqamli, “2-raqamli to‘pni ol” va “3-raqamli to‘pni ol” hodisalari bir xil ehtimollik bilan, “juft sonli to‘pni ol” va “2-raqamli to‘pni ol” hodisalari bir xil bo‘ladi. ” turli ehtimolliklarga ega.
• Mos keladigan hodisalar. Ketma-ket ikki marta zarb otish jarayonida oltilik olish mos keladigan hodisalardir.
• Mos kelmaydigan hodisalar. Xuddi shu ispan tilida 1-raqamli "qizil to'pni olish" va "toq raqam bilan to'pni olish" voqealarini bir xil tajribada birlashtirib bo'lmaydi.
• qarama-qarshi hodisalar. Buning eng yorqin misoli tanga otish bo'lib, bu erda chizilgan boshlar quyruqlarni chizmaslik bilan bir xil bo'lib, ularning ehtimolliklari yig'indisi har doim 1 ga teng (to'liq guruh).
• Bog'liq hodisalar. Shunday qilib, ispan tilida № 1, siz o'zingizga qizil to'pni ketma-ket ikki marta chiqarish maqsadini qo'yishingiz mumkin. Uni birinchi marta ajratib olish yoki olmaslik ikkinchi marta olish ehtimoliga ta'sir qiladi.

Ko'rinib turibdiki, birinchi voqea ikkinchi (40% va 60%) ehtimoliga sezilarli darajada ta'sir qiladi.

Hodisa ehtimoli formulasi

Folbinlikdan aniq ma'lumotlarga o'tish mavzuni matematik tekislikka o'tkazish orqali sodir bo'ladi. Ya'ni, "yuqori ehtimollik" yoki "minimal ehtimollik" kabi tasodifiy hodisa haqidagi hukmlar aniq raqamli ma'lumotlarga tarjima qilinishi mumkin. Bunday materialni baholash, taqqoslash va yanada murakkab hisob-kitoblarga kiritish allaqachon joizdir.

Hisoblash nuqtai nazaridan, hodisa ehtimolining ta'rifi elementar ijobiy natijalar sonining muayyan hodisaga nisbatan tajribaning barcha mumkin bo'lgan natijalari soniga nisbati hisoblanadi. Ehtimollik P (A) bilan belgilanadi, bu erda P frantsuz tilidan "ehtimollik" deb tarjima qilingan "ehtimol" so'zini anglatadi.

Shunday qilib, hodisaning ehtimoli formulasi:

Bu erda m - A hodisasi uchun qulay natijalar soni, n - bu tajriba uchun barcha mumkin bo'lgan natijalar yig'indisi. Hodisa ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha:

0 <= P(A) <= 1.

Hodisa ehtimolini hisoblash. Misol

Keling, ispan tilini olaylik. Ilgari tasvirlangan to'plar bilan №1: 1/3/5 raqamlari bo'lgan 3 ta ko'k to'p va 2/4/6 raqamlari bo'lgan 3 ta qizil to'p.

Ushbu test asosida bir nechta turli vazifalarni ko'rib chiqish mumkin:

• A - qizil to'p tushishi. 3 ta qizil shar bo'lib, jami 6 ta variant mavjud.Bu eng oddiy misol bo'lib, unda hodisa ehtimoli P(A)=3/6=0,5.
• B - juft sonni tushirish. Hammasi bo'lib 3 ta (2,4,6) juft son bo'lib, mumkin bo'lgan sonli variantlarning umumiy soni 6 ta. Bu hodisaning ehtimoli P(B)=3/6=0,5.
• C - 2 dan katta sonning yo'qolishi. Mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonidan 4 tasi shunday variant (3,4,5,6) mavjud 6. C hodisaning ehtimolligi P(C)=4/6= 0,67.

Hisob-kitoblardan ko'rinib turibdiki, C hodisasi yuqori ehtimollikka ega, chunki mumkin bo'lgan ijobiy natijalar soni A va B ga qaraganda yuqori.

Mos kelmaydigan hodisalar

Bunday hodisalar bir xil tajribada bir vaqtning o'zida paydo bo'lishi mumkin emas. Ispan tilida bo'lgani kabi 1-son, bir vaqtning o'zida ko'k va qizil to'pni olish mumkin emas. Ya'ni, siz ko'k yoki qizil to'pni olishingiz mumkin. Xuddi shu tarzda, o'limda bir vaqtning o'zida juft va toq son paydo bo'lishi mumkin emas.

Ikki hodisaning ehtimoli ularning yig'indisi yoki mahsulotining ehtimolligi deb hisoblanadi. Bunday hodisalarning yig'indisi A + B deb A yoki B hodisaning paydo bo'lishidan va ularning AB ko'paytmasi - har ikkalasining paydo bo'lishidan iborat hodisa deb hisoblanadi. Masalan, bir otishda ikkita zarning yuzida bir vaqtning o'zida ikkita oltitaning paydo bo'lishi.

Bir nechta hodisalarning yig'indisi - ulardan kamida bittasining sodir bo'lishini nazarda tutadigan hodisa. Bir nechta hodisalarning mahsuli ularning barchasining birgalikda sodir bo'lishidir.

Ehtimollar nazariyasida, qoida tariqasida, "va" birlashmasidan foydalanish yig'indini, "yoki" birlashmasi - ko'paytirishni bildiradi. Misollar bilan formulalar ehtimollar nazariyasida qo'shish va ko'paytirish mantiqini tushunishga yordam beradi.

Mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli

Agar mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli hisobga olinsa, hodisalar yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'ladi:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Misol uchun: biz ispan tilida bo'lish ehtimolini hisoblaymiz. Ko'k va qizil to'plar bilan № 1 1 dan 4 gacha bo'lgan raqamni tushiradi. Biz bir harakatda emas, balki elementar komponentlarning ehtimolliklari yig'indisi bilan hisoblaymiz. Shunday qilib, bunday tajribada faqat 6 ta to'p yoki barcha mumkin bo'lgan natijalardan 6 tasi mavjud. Shartni qanoatlantiradigan sonlar 2 va 3. 2 raqamini olish ehtimoli 1/6, 3 sonining ehtimoli ham 1/6. 1 dan 4 gacha bo'lgan raqamni olish ehtimoli:

To'liq guruhning mos kelmaydigan hodisalari yig'indisining ehtimoli 1 ga teng.

Shunday qilib, agar kub bilan tajribada biz barcha raqamlarni olish ehtimolini qo'shsak, natijada bittasini olamiz.

Bu qarama-qarshi hodisalar uchun ham amal qiladi, masalan, tanga bilan tajribada, uning bir tomoni A hodisasi, ikkinchisi esa qarama-qarshi hodisa ?, ma'lumki,

R(A) + R(?) = 1

Mos kelmaydigan hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli

Bir kuzatuvda ikki yoki undan ortiq mos kelmaydigan hodisalarning yuzaga kelishini ko'rib chiqishda ehtimollarni ko'paytirish qo'llaniladi. Unda bir vaqtning o'zida A va B hodisalarining paydo bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng yoki:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Masalan, buning ehtimoli 1-sonli ikkita urinish natijasida, ko'k to'p ikki marta paydo bo'ladi, teng

Ya'ni, to'plarni olib tashlash bilan ikkita urinish natijasida faqat ko'k sharlar olinadigan hodisaning yuzaga kelish ehtimoli 25% ni tashkil qiladi. Bu muammo bo'yicha amaliy tajribalar o'tkazish va bu haqiqatan ham shundaymi yoki yo'qligini ko'rish juda oson.

Qo'shma tadbirlar

Agar ulardan birining ko'rinishi ikkinchisining ko'rinishi bilan mos kelishi mumkin bo'lgan hodisalar qo'shma hisoblanadi. Ular qo'shma bo'lishiga qaramay, mustaqil hodisalarning ehtimoli hisobga olinadi. Masalan, ikkita zar otish 6 soni ikkalasiga ham tushganda natija berishi mumkin.Hodisalar bir vaqtga to?g?ri kelgan va bir vaqtda paydo bo?lgan bo?lsa-da, ular bir-biridan mustaqil – faqat bitta oltita tushishi mumkin, ikkinchi zarda esa yo?q. unga ta'sir qilish.

Qo'shma hodisalarning ehtimoli ularning yig'indisining ehtimoli sifatida qabul qilinadi.

Qo'shma hodisalar yig'indisining ehtimoli. Misol

Bir-biriga nisbatan qo'shma bo'lgan A va B hodisalari yig'indisining ehtimolligi hodisaning ehtimolliklari yig'indisidan ularning hosilasi ehtimolini (ya'ni, birgalikda amalga oshirish) ayiqqa teng:

R qo'shma. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Faraz qilaylik, bir o‘q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,4 ga teng. Keyin A hodisasi - birinchi urinishda nishonga tegish, B - ikkinchisida. Bu hodisalar birgalikda, chunki birinchi va ikkinchi o'qdan nishonga tegish mumkin. Ammo voqealar bog'liq emas. Ikki marta (kamida bitta) nishonga tegish hodisasi ehtimoli qanday? Formulaga ko'ra:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Savolga javob: “Ikki o‘q bilan nishonga tegish ehtimoli 64% ni tashkil qiladi”.

Hodisa ehtimolining ushbu formulasini mos kelmaydigan hodisalarga ham qo'llash mumkin, bu erda hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli P(AB) = 0. Demak, mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimolini alohida holat deb hisoblash mumkin. taklif qilingan formuladan.

Aniqlik uchun ehtimollik geometriyasi

Qizig'i shundaki, qo'shma hodisalar yig'indisining ehtimoli bir-biri bilan kesishgan ikkita A va B sohalari sifatida ifodalanishi mumkin. Rasmdan ko'rinib turibdiki, ularning birlashma maydoni ularning kesishish maydonini olib tashlagan holda umumiy maydonga teng. Ushbu geometrik tushuntirish mantiqsiz ko'rinadigan formulani yanada tushunarli qiladi. E'tibor bering, geometrik echimlar ehtimollar nazariyasida kam uchraydi.

Birgalikda sodir bo'lgan hodisalar to'plamining (ikkidan ortiq) yig'indisining ehtimolini aniqlash juda qiyin. Uni hisoblash uchun siz ushbu holatlar uchun taqdim etilgan formulalardan foydalanishingiz kerak.

Bog'liq hodisalar

Agar ulardan birining (A) sodir bo'lishi ikkinchisining (B) sodir bo'lish ehtimoliga ta'sir qilsa, bog'liq hodisalar deyiladi. Bundan tashqari, A hodisaning yuzaga kelishining ham, uning sodir bo'lmasligining ham ta'siri hisobga olinadi. Hodisalar ta'rifiga ko'ra qaram deb atalsa-da, ulardan faqat bittasi bog'liq (B). Odatdagi ehtimollik P(B) yoki mustaqil hodisalar ehtimoli sifatida belgilandi. Bog'liqlar bo'yicha yangi tushuncha - shartli ehtimollik P A (B) kiritiladi, bu esa unga bog'liq bo'lgan A hodisasi (gipoteza) sodir bo'lishi sharti bilan bog'liq B hodisaning ehtimoli.

Ammo A hodisasi ham tasodifiydir, shuning uchun u hisob-kitoblarda hisobga olinishi kerak bo'lgan va hisobga olinishi mumkin bo'lgan ehtimolga ham ega. Quyidagi misol bog'liq hodisalar va gipoteza bilan qanday ishlashni ko'rsatadi.

Bog'liq hodisalarning ehtimolini hisoblash misoli

Bog'liq hodisalarni hisoblashning yaxshi namunasi - kartalarning standart palubasi.

36 ta kartadan iborat paluba misolida, bog'liq voqealarni ko'rib chiqing. Palubadan olingan ikkinchi karta olmos kostyum bo'lish ehtimolini aniqlash kerak, agar birinchi chizilgan karta:

1. Tambur.
2. Boshqa kostyum.

Shubhasiz, ikkinchi B hodisasining ehtimoli birinchi A ga bog'liq. Demak, agar birinchi variant to'g'ri bo'lsa, bu palubada 1 ta karta (35) va 1 olmos (8) kam bo'lsa, B hodisasining ehtimoli:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Agar ikkinchi variant to'g'ri bo'lsa, unda kemada 35 ta karta bor va tamburlarning umumiy soni (9) hali ham saqlanib qolgan bo'lsa, unda quyidagi hodisaning ehtimoli B ga teng:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Ko'rinib turibdiki, agar A hodisasi birinchi karta olmos ekanligiga shartli bo'lsa, u holda B hodisasining ehtimoli kamayadi va aksincha.

Bog'liq hodisalarni ko'paytirish

Oldingi bobga asoslanib, biz birinchi hodisani (A) fakt sifatida qabul qilamiz, lekin mohiyatan u tasodifiy xususiyatga ega. Ushbu hodisaning ehtimolligi, ya'ni kartalar palubasidan dafning chiqarilishi quyidagilarga teng:

P(A) = 9/36=1/4

Nazariya o'z-o'zidan mavjud emas, balki amaliy maqsadlarga xizmat qilish uchun chaqirilganligi sababli, ko'pincha bog'liq hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli zarurligini ta'kidlash adolatli.

Bog'liq hodisalarning ehtimollik ko'paytmasi haqidagi teoremaga ko'ra, birgalikda bog'liq bo'lgan A va B hodisalarning paydo bo'lish ehtimoli bitta A hodisasining ehtimolini B hodisasining shartli ehtimoliga (A ga qarab) ko'paytiriladi.

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Keyin paluba bilan misolda olmos kostyumi bilan ikkita kartani chizish ehtimoli:

9/36*8/35=0,0571 yoki 5,7%

Va dastlab olmos emas, keyin olmos olish ehtimoli teng:

27/36*9/35=0,19 yoki 19%

Ko'rinib turibdiki, avval olmosdan boshqa kostyumning kartasi chizilgan bo'lsa, B hodisasining yuzaga kelish ehtimoli kattaroqdir. Bu natija juda mantiqiy va tushunarli.

Hodisaning umumiy ehtimoli

Shartli ehtimollar bilan bog'liq muammo ko'p qirrali bo'lganda, uni an'anaviy usullar bilan hisoblash mumkin emas. Ikkitadan ortiq gipoteza mavjud bo'lganda, ya'ni A1, A2, ..., A n, .. shart ostida to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ? A j =?,i?j.
• S k A k =?.

Shunday qilib, A1, A2, ..., A n tasodifiy hodisalarning to'liq guruhi bo'lgan B hodisasining umumiy ehtimolligi formulasi:

Kelajakka nazar

Tasodifiy hodisa ehtimoli fanning ko'pgina sohalarida muhim ahamiyatga ega: ekonometrika, statistika, fizika va boshqalar. Ba'zi jarayonlarni deterministik tarzda tasvirlab bo'lmaydiganligi sababli, ularning o'zi ehtimollik xususiyatiga ega bo'lganligi sababli, maxsus ish usullari kerak. Hodisa nazariyasi ehtimoli har qanday texnologik sohada xato yoki nosozlik ehtimolini aniqlash usuli sifatida ishlatilishi mumkin.

Aytish mumkinki, ehtimollikni tan olish orqali biz kelajakka qandaydir nazariy qadam qo'yamiz, unga formulalar prizmasi orqali qaraymiz.

Bugungi kunga qadar matematika bo'yicha USE muammolarining ochiq bankida (mathege.ru) taqdim etilgan bo'lib, uning echimi ehtimollikning klassik ta'rifi bo'lgan faqat bitta formulaga asoslangan.

Formulani tushunishning eng oson yo'li misollardir.
1-misol Savatda 9 ta qizil va 3 ta ko'k to'p bor. To'plar faqat rangi bilan farqlanadi. Tasodifiy (qaramasdan) biz ulardan birini olamiz. Shu tarzda tanlangan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Izoh. Ehtimollar nazariyasi masalalarida biror narsa sodir bo'ladi (bu holda, bizning to'pni tortib olish harakatimiz) boshqa natijaga ega bo'lishi mumkin - natija. Shuni ta'kidlash kerakki, natijani turli yo'llar bilan ko'rish mumkin. "Biz to'p chiqarib oldik" ham natija. "Biz ko'k to'pni chiqarib oldik" - natija. "Biz ushbu aniq to'pni barcha mumkin bo'lgan to'plardan tortib oldik" - natijaning eng kam umumlashtirilgan ko'rinishi elementar natija deb ataladi. Bu ehtimollikni hisoblash uchun formulada nazarda tutilgan elementar natijalardir.

Yechim. Endi biz ko'k to'pni tanlash ehtimolini hisoblaymiz.
A hodisasi: "tanlangan to'p ko'k bo'lib chiqdi"
Barcha mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni: 9+3=12 (biz chizishimiz mumkin bo'lgan barcha to'plar soni)
A hodisasi uchun qulay natijalar soni: 3 (A hodisasi sodir bo'lgan bunday natijalar soni - ya'ni ko'k sharlar soni)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Javob: 0,25

Xuddi shu muammo uchun qizil to'pni tanlash ehtimolini hisoblaylik.
Mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni bir xil bo'lib qoladi, 12. Qulay natijalar soni: 9. Istalgan ehtimollik: 9/12=3/4=0,75

Har qanday hodisaning ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha.
Ba'zan kundalik nutqda (lekin ehtimollik nazariyasida emas!) Hodisalarning ehtimoli foiz sifatida baholanadi. Matematik va so'zlashuv baholash o'rtasidagi o'tish 100% ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib,
Bunday holda, yuzaga kelishi mumkin bo'lmagan hodisalar uchun ehtimollik nolga teng - ehtimolsiz. Misol uchun, bizning misolimizda, bu savatdan yashil to'pni chizish ehtimoli bo'ladi. (Agar formula bo'yicha hisoblansa, qulay natijalar soni 0, P(A)=0/12=0)
1-ehtimolda variantlarsiz mutlaqo sodir bo'ladigan voqealar mavjud. Masalan, "tanlangan to'p qizil yoki ko'k bo'lishi" ehtimoli bizning muammomiz uchun. (Qulay natijalar soni: 12, P(A)=12/12=1)

Biz ehtimollik ta'rifini ko'rsatadigan klassik misolni ko'rib chiqdik. Ehtimollar nazariyasidagi barcha o'xshash FOYDALANISH masalalari ushbu formula yordamida hal qilinadi.
Qizil va ko'k to'plar o'rniga olma va nok, o'g'il va qizlar, o'rganilgan va o'rganilmagan chiptalar, mavzu bo'yicha savolni o'z ichiga olgan va unda bo'lmagan chiptalar (prototiplar , ), nuqsonli va sifatli sumkalar yoki bog 'nasoslari (prototiplar , ) - printsip bir xil bo'lib qoladi.

Ular USE ehtimollik nazariyasi muammosini shakllantirishda bir oz farq qiladi, bu erda siz ma'lum bir kunda sodir bo'lgan voqea ehtimolini hisoblashingiz kerak. ( , ) Oldingi vazifalarda bo'lgani kabi, elementar natija nima ekanligini aniqlashingiz kerak va keyin xuddi shu formulani qo'llashingiz kerak.

2-misol Konferensiya uch kun davom etadi. Birinchi va ikkinchi kunlarda har biri 15 tadan, uchinchi kuni 20. Ma'ruzalarning tartibi lotereya orqali aniqlansa, professor M.ning ma'ruzasi uchinchi kunga tushishi ehtimoli qanday?

Bu erda elementar natija nima? - Professor ma'ruzasini nutq uchun barcha mumkin bo'lgan seriya raqamlaridan biriga belgilash. O'yinda 15+15+20=50 kishi ishtirok etadi. Shunday qilib, professor M.ning hisoboti 50 ta raqamdan birini olishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, faqat 50 ta elementar natijalar mavjud.
Qanday ijobiy natijalar bor? - Professor uchinchi kuni nutq so'zlashi ma'lum bo'lganlar. Ya'ni oxirgi 20 ta raqam.
Formulaga ko'ra, ehtimollik P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Javob: 0,4

Bu erda qur'a tashlash - bu odamlar va buyurtma qilingan joylar o'rtasida tasodifiy yozishmalarni o'rnatish. 2-misolda, ma'lum bir shaxsning qaysi joyni egallashi mumkinligi nuqtai nazaridan moslik ko'rib chiqildi. Xuddi shu vaziyatga boshqa tomondan yondashishingiz mumkin: odamlardan qaysi biri ma'lum bir joyga qanday ehtimollik bilan etib borishi mumkin (prototiplar , , , ):

3-misol Qura tashlashda 5 nafar nemis, 8 nafar frantsuz va 3 nafar estoniyalik ishtirok etmoqda. Birinchi (/ikkinchi/ettinchi/oxirgi - bu muhim emas) frantsuz bo'lish ehtimoli qanday?

Elementar natijalar soni - qur'a bo'yicha ma'lum bir joyga etib borishi mumkin bo'lgan barcha odamlar soni. 5+8+3=16 kishi.
Qulay natijalar - frantsuzlar. 8 kishi.
Kerakli ehtimollik: 8/16=1/2=0,5
Javob: 0,5

Prototip biroz boshqacha. Tangalar () va zarlar () haqida biroz ijodiy bo'lgan vazifalar mavjud. Ushbu muammolarning echimlarini prototip sahifalarida topish mumkin.

Mana, tanga otish yoki zar otishning ba'zi misollari.

4-misol Biz tanga tashlaganimizda, dumlar paydo bo'lish ehtimoli qanday?
Natijalar 2 - boshlar yoki quyruqlar. (tanga hech qachon chetiga tushmaydi, deb ishoniladi) Qulay natija - dumlar, 1.
Ehtimollik 1/2=0,5
Javob: 0,5.

5-misol Agar tangani ikki marta aylantirsak nima bo'ladi? Ikkala marta ham yuqoriga chiqishi ehtimoli qanday?
Asosiysi, ikkita tanga tashlashda qaysi elementar natijalarni hisobga olishimizni aniqlash. Ikki tanga uloqtirgandan so'ng, quyidagi natijalardan biri paydo bo'lishi mumkin:
1) PP - ikkala marta ham dumlari chiqdi
2) PO - birinchi marta quyruqlar, ikkinchi marta boshlar
3) OP - birinchi marta boshlar, ikkinchi marta dumlar
4) OO - ikkala marta ham bosh ko'taradi
Boshqa variantlar yo'q. Bu shuni anglatadiki, 4 ta elementar natija mavjud.Faqat birinchisi ijobiy, 1.
Ehtimollik: 1/4=0,25
Javob: 0,25

Ikkita tanga otilishi dumga tushish ehtimoli qanday?
Elementar natijalar soni bir xil, 4. Qulay natijalar ikkinchi va uchinchi, 2.
Bitta dumini olish ehtimoli: 2/4=0,5

Bunday muammolarda boshqa formula yordam berishi mumkin.
Agar tangani bir marta otishda bizda 2 ta natija bo‘lishi mumkin bo‘lsa, ikki marta otish uchun 2 2=2 2 =4 (5-misoldagi kabi), uchta otish uchun 2 2 2=2 3 =8, to‘rtta otish uchun natija bo‘ladi. : 2·2·2·2=2 4 =16, … mumkin bo?lgan natijalarning N ta otish uchun 2·2·...·2=2 N bo?ladi.

Shunday qilib, siz 5 ta tanga otishdan 5 ta dum olish ehtimolini topishingiz mumkin.
Elementar natijalarning umumiy soni: 2 5 =32.
Qulay natijalar: 1. (RRRRRR - barcha 5 marta quyruq)
Ehtimollik: 1/32=0,03125

Xuddi shu narsa zar uchun ham amal qiladi. Bir otishda 6 ta natija bor.Demak, ikki otish uchun: 6 6=36, uchta otish uchun 6 6 6=216 va hokazo.

6-misol Biz zar tashlaymiz. Juft sonni olish ehtimoli qanday?

Jami natijalar: 6, yuzlar soniga ko'ra.
Qulay: 3 ta natija. (2, 4, 6)
Ehtimollik: 3/6=0,5

7-misol Ikki zar tashlang. Hammasi 10 ta aylanish ehtimoli qanday? (yuzdan birgacha)

Bitta o'lim uchun 6 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Demak, ikkita uchun, yuqoridagi qoidaga ko'ra, 6·6=36.
Jami 10 taning yiqilib tushishi uchun qanday natijalar qulay bo'ladi?
10 ni 1 dan 6 gacha bo'lgan ikkita son yig'indisiga ajratish kerak. Buni ikki usulda bajarish mumkin: 10=6+4 va 10=5+5. Shunday qilib, kublar uchun variantlar mumkin:
(birinchida 6, ikkinchisida 4)
(Birinchida 4, ikkinchisida 6)
(birinchida 5, ikkinchisida 5)
Hammasi bo'lib, 3 ta variant. Kerakli ehtimollik: 3/36=1/12=0,08
Javob: 0,08

B6 muammolarining boshqa turlari quyidagi "Qanday hal qilish kerak" maqolalaridan birida muhokama qilinadi.