Piramida tushunchasi

Ta'rif 1

Ko'pburchak va shu ko'pburchakni o'z ichiga olgan tekislikda yotmaydigan nuqtadan hosil bo'lgan, ko'pburchakning barcha uchlari bilan bog'langan geometrik figuraga piramida deyiladi (1-rasm).

Piramida tuzilgan ko'pburchak piramidaning asosi deyiladi, nuqta bilan tutashuv natijasida olingan uchburchaklar piramidaning yon yuzlari, uchburchaklarning tomonlari piramidaning tomonlari va hamma uchun umumiy nuqtadir. uchburchaklar piramidaning yuqori qismidir.

Piramidalarning turlari

Piramidaning poydevoridagi burchaklar soniga qarab, uni uchburchak, to'rtburchak va boshqalar deb atash mumkin (2-rasm).

2-rasm.

Piramidaning yana bir turi oddiy piramidadir.

Oddiy piramidaning xususiyatini tanishtiramiz va isbotlaymiz.

Teorema 1

Muntazam piramidaning barcha yon yuzlari bir-biriga teng bo'lgan teng yonli uchburchaklardir.

Isbot.

Balandligi $S$ $h=SO$ bo?lgan oddiy $n-$gonal piramidani ko?rib chiqaylik. Poydevor atrofidagi doirani tasvirlaymiz (4-rasm).

4-rasm

$SOA$ uchburchagini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasi bo'yicha biz olamiz

Shubhasiz, har qanday yon chekka shu tarzda aniqlanadi. Shuning uchun barcha yon qirralar bir-biriga teng, ya'ni barcha yon yuzlar teng yonli uchburchaklardir. Keling, ularning bir-biriga teng ekanligini isbotlaylik. Baza muntazam ko'pburchak bo'lgani uchun barcha yon yuzlarning asoslari bir-biriga teng. Demak, uchburchaklar tengligining III belgisiga ko'ra barcha yon yuzlar tengdir.

Teorema isbotlangan.

Endi biz muntazam piramida tushunchasi bilan bog'liq quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif 3

Muntazam piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir.

Shubhasiz, 1-teoremaga ko'ra, barcha apotemlar tengdir.

Teorema 2

Muntazam piramidaning lateral yuzasi asosning yarim perimetri va apotemning mahsuloti sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$ko?mir piramidasi asosining tomonini $a$, apotemini $d$ deb belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

1-teoremaga ko'ra, barcha tomonlar teng bo'lgani uchun

Teorema isbotlangan.

Piramidaning yana bir turi kesilgan piramidadir.

Ta'rif 4

Agar oddiy piramida orqali uning asosiga parallel tekislik o'tkazilsa, u holda bu tekislik bilan asos tekisligi o'rtasida hosil bo'lgan figuraga kesilgan piramida deyiladi (5-rasm).

5-rasm. Kesilgan piramida

Kesilgan piramidaning lateral yuzlari trapezoidlardir.

Teorema 3

Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasining maydoni asoslar va apotemaning yarim perimetrlari yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$ko?mir piramidasi asoslarining tomonlarini mos ravishda $a\ va\ b$, apotemini $d$ bilan belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

Hamma tomonlar teng bo'lgani uchun

Teorema isbotlangan.

Vazifa namunasi

1-misol

Kesilgan uchburchak piramidaning lateral yuzasi maydonini toping, agar u asos tomoni 4 va apotemi 5 bo'lgan oddiy piramidadan lateral yuzlarning o'rta chizig'idan o'tadigan tekislik bilan kesib olingan bo'lsa.

Yechim.

Median chiziq teoremasiga ko'ra, biz kesilgan piramidaning yuqori asosi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, apotema esa $5\cdot \frac(1)( ga teng ekanligini olamiz. 2)=2,5$.

Keyin 3-teorema bo'yicha biz olamiz

Ushbu video darslik foydalanuvchilarga Piramida mavzusi haqida tushuncha olishga yordam beradi. To'g'ri piramida. Ushbu darsda biz piramida tushunchasi bilan tanishamiz, unga ta'rif beramiz. Oddiy piramida nima ekanligini va u qanday xususiyatlarga ega ekanligini ko'rib chiqing. Keyin muntazam piramidaning lateral yuzasida teoremani isbotlaymiz.

Ushbu darsda biz piramida tushunchasi bilan tanishamiz, unga ta'rif beramiz.

Ko'pburchakni ko'rib chiqing A 1 A 2...A n, a tekislikda yotgan va nuqta P, a tekislikda yotmaydigan (1-rasm). Keling, nuqtani bog'laymiz P cho'qqilari bilan A 1, A 2, A 3, … A n. Oling n uchburchaklar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R va hokazo.

Ta'rif. Ko'p yuzli RA 1 A 2 ... A n, dan tashkil topgan n-gon A 1 A 2...A n va n uchburchaklar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, chaqirildi n- ko'mir piramidasi. Guruch. bitta.

Guruch. bitta

To'rtburchakli piramidani ko'rib chiqing PABCD(2-rasm).

R- piramidaning tepasi.

A B C D- piramidaning asosi.

RA- yon qovurg'a.

AB- asosiy chekka.

Bir nuqtadan R perpendikulyarni tushiring RN yer tekisligida A B C D. Chizilgan perpendikulyar piramidaning balandligi.

Guruch. 2

Piramidaning umumiy yuzasi lateral yuzadan, ya'ni barcha lateral yuzalar maydonidan va taglik maydonidan iborat:

S to'liq \u003d S tomoni + S asosiy

Piramida to'g'ri deb ataladi, agar:

• uning asosi muntazam ko'pburchak;
• piramidaning yuqori qismini poydevor markazi bilan bog'laydigan segment uning balandligi.

Muntazam to'rtburchakli piramida misolida tushuntirish

Oddiy to'rtburchak piramidani ko'rib chiqing PABCD(3-rasm).

R- piramidaning tepasi. piramidaning asosi A B C D- muntazam to'rtburchak, ya'ni kvadrat. Nuqta O, diagonallarning kesishish nuqtasi, kvadratning markazi. Ma'nosi, RO piramidaning balandligi.

Guruch. 3

Tushuntirish: o'ngda n-gon, chizilgan aylana markazi va aylananing markazi bir-biriga to'g'ri keladi. Bu markaz ko'pburchakning markazi deb ataladi. Ba'zan ular tepaning markazga proyeksiyalanganligini aytishadi.

Muntazam piramidaning yuqori qismidan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema va belgilandi h a.

1. muntazam piramidaning barcha yon qirralari teng;

2. yon yuzlari teng yon tomonli uchburchaklardir.

Keling, bu xususiyatlarni oddiy to'rtburchak piramida misolida isbotlaylik.

Berilgan: RABSD- muntazam to'rtburchak piramida,

A B C D- kvadrat,

RO piramidaning balandligi.

isbotlash:

1. RA = PB = PC = PD

2.?ATP = ?BCP = ?CDP = ?DAP Rasmga qarang. to'rtta.

Guruch. to'rtta

Isbot.

RO piramidaning balandligi. Ya'ni, to'g'ridan-to'g'ri RO tekislikka perpendikulyar ABC, va shuning uchun bevosita AO, VO, SO va QILING unda yotish. Shunday qilib, uchburchaklar ROA, ROV, ROS, ROD- to'rtburchaklar.

Kvadratni ko'rib chiqing A B C D. Kvadratning xususiyatlaridan kelib chiqadiki AO = BO = CO = QILING.

Keyin to'g'ri uchburchaklar ROA, ROV, ROS, ROD oyoq RO- umumiy va oyoqlar AO, VO, SO va QILING teng, shuning uchun bu uchburchaklar ikki oyoqda tengdir. Uchburchaklar tengligidan segmentlar tengligi kelib chiqadi, RA = PB = PC = PD. 1-band isbotlangan.

Segmentlar AB va Quyosh teng, chunki ular bir kvadratning tomonlari, RA = RV = Kompyuter. Shunday qilib, uchburchaklar AVR va VCR - teng yon tomonli va uch tomoni teng.

Xuddi shunday, biz uchburchaklarni olamiz ABP, BCP, CDP, DAP 2-bandda isbotlash uchun zarur bo'lgan teng yon tomonli va tengdir.

Oddiy piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor va apotem perimetri mahsulotining yarmiga teng:

Tasdiqlash uchun biz oddiy uchburchak piramidani tanlaymiz.

Berilgan: RAVS muntazam uchburchak piramidadir.

AB = BC = AC.

RO- balandlik.

isbotlash: . Rasmga qarang. 5.

Guruch. 5

Isbot.

RAVS muntazam uchburchak piramidadir. Ya'ni AB= AC = BC. Mayli O- uchburchakning markazi ABC, keyin RO piramidaning balandligi. Piramidaning asosi teng qirrali uchburchakdir. ABC. e'tibor bering, bu .

uchburchaklar RAV, RVS, RSA- teng yon tomonli uchburchaklar (xususiyati bo'yicha). Uchburchak piramidaning uchta tomoni bor: RAV, RVS, RSA. Shunday qilib, piramidaning lateral yuzasining maydoni:

S tomoni = 3S RAB

Teorema isbotlangan.

Muntazam to‘rtburchakli piramida asosiga chizilgan aylana radiusi 3 m, piramidaning balandligi 4 m. Piramidaning lateral yuzasining maydonini toping.

Berilgan: muntazam to'rtburchak piramida A B C D,

A B C D- kvadrat,

r= 3 m,

RO- piramidaning balandligi,

RO= 4 m.

Toping: S tomoni. Rasmga qarang. 6.

Guruch. 6

Yechim.

Tasdiqlangan teoremaga ko'ra, .

Avval poydevor tomonini toping AB. Bizga ma'lumki, muntazam to'rtburchakli piramida asosiga chizilgan aylana radiusi 3 m.

Keyin, m.

Kvadratning perimetrini toping A B C D tomoni 6 m bo'lgan:

Uchburchakni ko'rib chiqing BCD. Mayli M- o'rta tomon DC. Chunki O- o'rtada BD, keyin (m).

Uchburchak DPC- teng yon tomonlar. M- o'rtada DC. Ya'ni, RM- mediana, shuning uchun uchburchakdagi balandlik DPC. Keyin RM- piramidaning apothemi.

RO piramidaning balandligi. Keyin, to'g'ridan-to'g'ri RO tekislikka perpendikulyar ABC, va shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri OM unda yotish. Keling, apotema topamiz RM to'g'ri burchakli uchburchakdan ROM.

Endi biz piramidaning yon yuzasini topishimiz mumkin:

Javob: 60 m2.

Muntazam uchburchakli piramida poydevori yaqinida aylana radiusi m.Yan yuzasining maydoni 18 m 2. Apotemaning uzunligini toping.

Berilgan: ABCP- muntazam uchburchak piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S tomoni = 18 m 2.

Toping: . Rasmga qarang. 7.

Guruch. 7

Yechim.

To'g'ri uchburchakda ABC chegaralangan doira radiusi berilgan. Keling, bir tomonni topaylik AB sinus teoremasi yordamida bu uchburchak.

Muntazam uchburchakning (m) tomonini bilib, uning perimetrini topamiz.

Muntazam piramidaning lateral yuzasi maydoni haqidagi teoremaga ko'ra, bu erda h a- piramidaning apothemi. Keyin:

Javob: 4 m.

Shunday qilib, biz piramida nima ekanligini, muntazam piramida nima ekanligini ko'rib chiqdik, muntazam piramidaning lateral yuzasida teoremani isbotladik. Keyingi darsda biz kesilgan piramida bilan tanishamiz.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Geometriya. 10-11-sinf: ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik (asosiy va profil darajalari) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, Rev. va qo'shimcha - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal.
2. Geometriya. 10-11-sinf: Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 b.: kasal.
3. Geometriya. 10-sinf: Matematika fanini chuqurlashtirilgan va profilli o?rganadigan umumta'lim muassasalari uchun darslik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M .: Bustard, 008. - 233 p.: kasal.

1. "Yaklass" internet portali ()
2. "Birinchi sentyabr" Pedagogik g'oyalar festivali internet portali ()
3. "Slideshare.net" internet portali ()

Uy vazifasi

1. Muntazam ko'pburchak tartibsiz piramidaning asosi bo'lishi mumkinmi?
2. Muntazam piramidaning kesishmaydigan qirralari perpendikulyar ekanligini isbotlang.
3. Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining yon tomonidagi ikki burchakli burchakning qiymatini toping, agar piramidaning apotemi uning asosining yon tomoniga teng bo‘lsa.
4. RAVS muntazam uchburchak piramidadir. Piramida asosidagi ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing.

Ko'rsatma

Agar asos bo'lsa piramidalar kvadrat yotadi, uning diagonalining uzunligi, shuningdek, bu chetining uzunligi ma'lum piramidalar, keyin balandlik bu piramidalar Pifagor teoremasidan ifodalanishi mumkin, chunki uchburchakning chetidan hosil bo'lgan piramidalar, va poydevoridagi diagonalning yarmi to'g'ri burchakli uchburchakdir.
Pifagor teoremasi shuni ko'rsatadiki, to'rtburchakdagi gipotenuzaning kvadrati kattaligi bo'yicha uning oyoqlari kvadratlari yig'indisiga teng (a? = b? + c?). chekka piramidalar- gipotenuza, oyoqlardan biri kvadrat diagonalining yarmi. Keyin noma'lum oyoqning uzunligi (balandligi) formulalar bo'yicha topiladi:
b? = a? - c?;
c? = a? - b?.

Ikkala vaziyatni ham iloji boricha aniq va tushunarli qilish uchun siz juftlikni ko'rib chiqishingiz mumkin.
1-misol: Baza maydoni piramidalar 46 sm?, uning hajmi 120 sm?. Ushbu ma'lumotlarga asoslanib, balandlik piramidalar quyidagicha joylashgan:
h = 3 * 120/46 = 7,83 sm
Javob: berilgan balandlik piramidalar taxminan 7,83 sm bo'ladi
2-misol: piramidalar, poydevorida ko'pburchak - kvadrat yotadi, uning diagonali 14 sm, chetining uzunligi 15 sm.Bu ma'lumotlarga ko'ra, topish uchun balandlik piramidalar, siz quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak (bu Pifagor teoremasi natijasida):
h? = 15? - 14?
h? = 225 - 196 = 29
h = ?29 sm
Javob: berilgan balandlik piramidalar?29 sm yoki taxminan 5,4 sm

Eslatma

Agar piramidaning tagida kvadrat yoki boshqa muntazam ko'pburchak bo'lsa, bu piramidani muntazam deb atash mumkin. Bunday piramida bir qator xususiyatlarga ega:
uning yon qovurg'alari teng;
uning yuzlari bir-biriga teng bo'lgan teng yonli uchburchaklardir;
bunday piramidaning yonida sharni tasvirlash, shuningdek uni yozish mumkin.

Manbalar:

• To'g'ri piramida

Piramida - bu figura bo'lib, uning poydevorida ko'pburchak, yuzlari esa hamma uchun umumiy uchburchaklardir. Odatdagi masalalarda ko'pincha cho'qqidan chizilgan perpendikulyar uzunligini qurish va aniqlash talab qilinadi. piramidalar uning asosi tekisligiga. Ushbu segmentning uzunligi balandlik deb ataladi piramidalar.

Sizga kerak bo'ladi

• - hukmdor
• - qalam
• - kompaslar

Ko'rsatma

Amalga oshirish uchun muammoning shartiga muvofiq piramida quring. Masalan, oddiy tetraedrni qurish uchun barcha 6 qirralari bir-biriga teng bo'lishi uchun rasm chizishingiz kerak. Agar siz qurishingiz kerak bo'lsa balandlik to'rtburchak, keyin taglikning faqat 4 qirrasi teng bo'lishi kerak. Keyin yon yuzlarning qirralari ko'pburchakning chetlariga teng bo'lmagan holda qurilishi mumkin. Piramidaga nom bering, barcha uchlarini lotin harflari bilan belgilang. Masalan, uchun piramidalar tagida uchburchak bilan siz A, B, C (tayanch uchun), S (yuqori uchun) ni tanlashingiz mumkin. Agar shartda qirralarning o'ziga xos o'lchamlari ko'rsatilgan bo'lsa, unda rasmni qurishda ushbu qiymatlardan harakat qiling.

Boshlash uchun, shartli ravishda kompas yordamida tanlang, ichkaridan ko'pburchakning barcha qirralariga tegib turing. Agar piramida bo'lsa, unda nuqta (masalan, H deb nomlanadi) asosida piramidalar, balandligi tushadigan, to'g'ri asosda yozilgan doira markaziga mos kelishi kerak piramidalar. Markaz aylananing boshqa har qanday nuqtasidan teng masofada joylashgan nuqtaga to'g'ri keladi. Agar biz tepalikni bog'lasak piramidalar Doira markazi H bilan S, keyin SH segmenti balandlik bo'ladi piramidalar. Shu bilan birga, qarama-qarshi tomonlarning yig'indisi bir xil bo'lgan to'rtburchakda aylana yozilishi mumkinligini unutmang. Bu kvadrat va romb uchun amal qiladi. Bu holda H nuqtasi to'rtburchakda yotadi. Har qanday uchburchak uchun doirani yozish va tasvirlash mumkin.

Qurmoq balandlik piramidalar, aylana chizish uchun kompasdan foydalaning, so'ngra uning markazini H S cho'qqisiga ulash uchun chizg'ichdan foydalaning. SH - kerakli balandlik. Agar bazada piramidalar SABC yaroqsiz raqam, keyin balandlik cho'qqisini bog'laydi piramidalar asosning ko'pburchaklari yozilgan doira markazi bilan. Ko'pburchakning barcha uchlari shunday aylanada yotadi. Bunday holda, bu segment taglik tekisligiga perpendikulyar bo'ladi piramidalar. Agar qarama-qarshi burchaklarning yig'indisi 180o bo'lsa, to'rtburchak atrofida aylana tasvirlash mumkin. Keyin bunday doiraning markazi mos keladigan diagonallarning kesishmasida yotadi

Ta'rif. Yon yuz- bu uchburchak bo'lib, unda bitta burchak piramidaning tepasida joylashgan va uning qarama-qarshi tomoni poydevor tomoniga (ko'pburchak) to'g'ri keladi.

Ta'rif. Yon qovurg'alar yon yuzlarning umumiy tomonlari. Piramidaning ko'pburchakda qancha burchak bor bo'lsa, shuncha qirralari bor.

Ta'rif. piramida balandligi- piramidaning tepasidan poydevoriga tushirilgan perpendikulyar.

Ta'rif. Apothem- bu piramidaning yuqori qismidan poydevor tomoniga tushirilgan piramidaning yon yuzining perpendikulyar qismidir.

Ta'rif. Diagonal qism- bu piramidaning yuqori qismidan va poydevorning diagonalidan o'tadigan tekislik bilan kesilgan qismi.

Ta'rif. To'g'ri piramida- Bu piramida bo'lib, uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lib, balandligi poydevorning markaziga tushadi.

Piramidaning hajmi va sirt maydoni

Formula. piramida hajmi tayanch maydoni va balandligi bo'yicha:

piramidaning xususiyatlari

Agar barcha yon qirralar teng bo'lsa, u holda piramida poydevori atrofida aylana bo'lishi mumkin va poydevorning markazi aylananing markaziga to'g'ri keladi. Bundan tashqari, yuqoridan tushirilgan perpendikulyar taglikning markazidan (aylana) o'tadi.

Agar barcha yon qovurg'alar teng bo'lsa, ular bir xil burchak ostida tayanch tekisligiga moyil bo'ladi.

Yon qovurg'alar tayanch tekisligi bilan teng burchak hosil qilganda yoki piramida poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa, tengdir.

Agar yon yuzlar poydevor tekisligiga bir burchak ostida qiya bo'lsa, u holda piramida poydevoriga aylana chizilgan bo'lishi mumkin va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiya qilinadi.

Agar yon yuzlar bir burchak ostida asosiy tekislikka moyil bo'lsa, u holda yon yuzlarning apotemlari teng bo'ladi.

Muntazam piramidaning xossalari

1. Piramidaning yuqori qismi poydevorning barcha burchaklaridan bir xil masofada joylashgan.

2. Barcha yon qirralar teng.

3. Barcha yon qovurg'alar poydevorga bir xil burchak ostida moyil.

4. Barcha yon yuzlarning apotemlari teng.

5. Barcha yon yuzlarning maydonlari teng.

6. Barcha yuzlar bir xil dihedral (tekis) burchaklarga ega.

7. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin. Ta'riflangan sharning markazi qirralarning o'rtasidan o'tadigan perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

8. Piramida ichiga sharni chizish mumkin. Yozilgan sharning markazi chekka va poydevor orasidagi burchakdan chiqadigan bissektrisalarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

9. Agar chizilgan sharning markazi chegaralangan sharning markaziga to'g'ri kelsa, u holda cho'qqidagi tekis burchaklar yig'indisi p ga teng yoki aksincha, bir burchak p / n ga teng, bu erda n - son. piramida poydevoridagi burchaklar soni.

Piramidaning shar bilan bog'lanishi

Piramidaning tagida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lgan ko'pburchak joylashganida sharni piramida atrofida tasvirlash mumkin (zarur va etarli shart). Sfera markazi piramidaning yon qirralarining o'rta nuqtalaridan perpendikulyar o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

Sharni har doim har qanday uchburchak yoki muntazam piramida atrofida tasvirlash mumkin.

Agar piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari bir nuqtada kesishsa (zarur va etarli shart) sharni piramidaga yozish mumkin. Bu nuqta sharning markazi bo'ladi.

Piramidaning konus bilan bog'lanishi

Agar konusning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa va konusning asosi piramida poydevoriga chizilgan bo'lsa, konus piramidaga chizilgan deb ataladi.

Agar piramidaning apotemalari teng bo'lsa, konusni piramidaga yozish mumkin.

Konus piramida atrofida aylanib o'yilgan deyiladi, agar ularning uchlari mos tushsa va konusning asosi piramida poydevori atrofida aylana bo'lsa.

Agar piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa, konusni piramida atrofida tasvirlash mumkin.

Piramidaning silindr bilan ulanishi

Agar piramidaning tepasi silindrning bir asosida yotsa, piramidaning asosi esa silindrning boshqa poydevoriga chizilgan bo'lsa, u silindrga yozilgan deb ataladi.

Silindrni piramida atrofida aylana olish mumkin, agar piramida poydevori atrofida aylana bo'lishi mumkin.

Ta'rif. Kesilgan piramida (piramidal prizma)- Bu piramida asosi va poydevorga parallel kesma tekisligi o'rtasida joylashgan ko'pburchak. Shunday qilib, piramida katta asosga va kichikroq asosga ega bo'lib, u kattaroqqa o'xshaydi. Yon tomonlari trapezoiddir.

Ta'rif. Uchburchak piramida (tetraedr)- bu piramida bo'lib, uning uchta yuzi va asosi ixtiyoriy uchburchaklardir.

Tetraedrning to'rtta yuzi va to'rtta cho'qqisi va oltita qirrasi bor, bu erda har qanday ikkita qirraning umumiy uchlari yo'q, lekin tegmaydi.

Har bir cho'qqi hosil bo'lgan uchta yuz va qirralardan iborat uchburchak burchak.

Tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markazi bilan bog'laydigan segment deyiladi tetraedrning medianasi(GM).

Bimedian tegmaydigan qarama-qarshi qirralarning o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment deyiladi (KL).

Tetraedrning barcha bimedianlari va medianalari bir nuqtada (S) kesishadi. Bunday holda, bimedianlar yarmiga bo'linadi va medianlar yuqoridan boshlab 3: 1 nisbatda bo'linadi.

Ta'rif. moyil piramida piramida bo?lib, uning qirralaridan biri asosi bilan o?tmas burchak (b) hosil qiladi.

Ta'rif. To'rtburchaklar piramida yon yuzlaridan biri poydevorga perpendikulyar bo'lgan piramidadir.

Ta'rif. O'tkir burchakli piramida- piramida bo'lib, unda apotem asosning yon tomoni uzunligining yarmidan ko'pini tashkil qiladi.

Ta'rif. o'tkir piramida piramida bo'lib, unda apotem asosning yon tomoni uzunligining yarmidan kam bo'ladi.

Ta'rif. muntazam tetraedr To'rtta yuzi teng qirrali uchburchaklar bo'lgan tetraedr. Bu beshta muntazam ko'pburchaklardan biridir. Muntazam tetraedrda barcha ikki burchakli burchaklar (yuzlar orasidagi) va uchburchak burchaklar (cho'qqidagi) tengdir.

Ta'rif. To'rtburchaklar tetraedr Tetraedr deyiladi, uning uchi uchi o'rtasida to'g'ri burchakka ega (qirralari perpendikulyar). Uchta yuz hosil bo'ladi to'rtburchaklar uchburchak burchak va yuzlari to'g'ri burchakli uchburchaklar, asosi esa ixtiyoriy uchburchakdir. Har qanday yuzning apothemi apotem tushadigan poydevorning yarmiga teng.

Ta'rif. Izoedral tetraedr Tetraedr deyiladi, uning yon tomonlari bir-biriga teng, asosi esa muntazam uchburchakdir. Bunday tetraedrning yuzlari teng yonli uchburchaklardir.

Ta'rif. Ortosentrik tetraedr tetraedr deyiladi, unda yuqoridan qarama-qarshi yuzga tushirilgan barcha balandliklar (perpendikulyarlar) bir nuqtada kesishadi.

Ta'rif. yulduz piramidasi Bazasi yulduz bo'lgan ko'pburchak deyiladi.

Ta'rif. Bipiramida- ikki xil piramidadan tashkil topgan ko'pburchak (piramidalar ham kesilishi mumkin), umumiy asosga ega va uchlari asos tekisligining qarama-qarshi tomonlarida yotadi.

Biz matematikadan imtihonga kiritilgan vazifalarni ko'rib chiqishda davom etamiz. Shart berilgan va berilgan ikkita nuqta yoki burchak orasidagi masofani topish talab qilinadigan masalalarni biz allaqachon o'rganib chiqdik.

Piramida - bu ko'pburchak, uning asosi ko'pburchak, boshqa yuzlari uchburchaklar va ular umumiy cho'qqiga ega.

Muntazam piramida - bu piramida bo'lib, uning poydevorida muntazam ko'pburchak joylashgan va uning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan.

Muntazam to'rtburchakli piramida - asosi kvadratdir.Piramidaning yuqori qismi asos (kvadrat) diagonallarining kesishish nuqtasida proyeksiyalangan.

ML - apotema
?MLO - piramida poydevoridagi ikki burchakli burchak
?MCO - piramida asosining lateral qirrasi va tekisligi orasidagi burchak

Ushbu maqolada biz to'g'ri piramidani hal qilish bo'yicha vazifalarni ko'rib chiqamiz. Har qanday elementni, lateral sirt maydonini, hajmini, balandligini topish talab qilinadi. Albatta, siz Pifagor teoremasini, piramidaning lateral yuzasining maydoni formulasini, piramida hajmini topish formulasini bilishingiz kerak.

Maqolada « » stereometriya masalalarini yechish uchun zarur bo'lgan formulalar keltirilgan. Shunday qilib, vazifalar:

SABCD nuqta O- asosiy markazS cho'qqi, SO = 51, AC= 136. Yon chetini topingSC.

Bunday holda, asos kvadratdir. Bu degani, AC va BD diagonallari teng, ular kesishish nuqtasida kesishadi va ikkiga bo'linadi. E'tibor bering, oddiy piramidada uning tepasidan tushirilgan balandlik piramida poydevorining markazidan o'tadi. Shunday qilib, SO - balandlik va uchburchakSOCto'rtburchaklar. Keyin Pifagor teoremasi bo'yicha:

Katta sonning ildizini qanday olish mumkin.

Javob: 85

O'zingiz qaror qiling:

Muntazam to'rtburchak piramidada SABCD nuqta O- asosiy markaz S cho'qqi, SO = 4, AC= 6. Yon chetni toping SC.

Muntazam to'rtburchak piramidada SABCD nuqta O- asosiy markaz S cho'qqi, SC = 5, AC= 6. Kesim uzunligini toping SO.

Muntazam to'rtburchak piramidada SABCD nuqta O- asosiy markaz S cho'qqi, SO = 4, SC= 5. Kesim uzunligini toping AC.

SABC R- qovurg'aning o'rtasi Miloddan avvalgi, S- yuqori. Ma'lumki AB= 7, va SR= 16. Yon sirt maydonini toping.

Muntazam uchburchak piramidaning yon yuzasining maydoni poydevor va apotema perimetri ko'paytmasining yarmiga teng (apotem - oddiy piramidaning tepasidan chizilgan yon yuzining balandligi):

Yoki buni aytishingiz mumkin: piramidaning lateral yuzasining maydoni uchta lateral yuzning maydonlarining yig'indisiga teng. Muntazam uchburchak piramidaning lateral yuzlari teng maydonli uchburchaklardir. Ushbu holatda:

Javob: 168

O'zingiz qaror qiling:

Oddiy uchburchak piramidada SABC R- qovurg'aning o'rtasi Miloddan avvalgi, S- yuqori. Ma'lumki AB= 1, va SR= 2. Yon yuzaning maydonini toping.

Oddiy uchburchak piramidada SABC R- qovurg'aning o'rtasi Miloddan avvalgi, S- yuqori. Ma'lumki AB= 1, lateral sirt maydoni esa 3. Kesim uzunligini toping SR.

Oddiy uchburchak piramidada SABC L- qovurg'aning o'rtasi Miloddan avvalgi, S- yuqori. Ma'lumki SL= 2, lateral sirt maydoni esa 3. Kesim uzunligini toping AB.

Oddiy uchburchak piramidada SABC M. Uchburchakning maydoni ABC 25, piramidaning hajmi 100. Kesim uzunligini toping XONIM.

Piramidaning asosi teng qirrali uchburchakdir. Shunung uchun Masosning markazidir vaXONIM- muntazam piramidaning balandligiSABC. Piramida hajmi SABC teng: yechimni tekshiring

Oddiy uchburchak piramidada SABC asosiy medianalar bir nuqtada kesishadi M. Uchburchakning maydoni ABC 3, XONIM= 1. Piramidaning hajmini toping.

Oddiy uchburchak piramidada SABC asosiy medianalar bir nuqtada kesishadi M. Piramidaning hajmi 1, XONIM= 1. Uchburchakning maydonini toping ABC.

Keling, shu bilan yakunlaylik. Ko'rib turganingizdek, vazifalar bir yoki ikki bosqichda hal qilinadi. Kelajakda biz siz bilan inqilob jismlari berilgan ushbu qismdan boshqa muammolarni ko'rib chiqamiz, buni o'tkazib yubormang!

Sizga muvaffaqiyatlar tilayman!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida gapirib bersangiz minnatdor bo'lardim.