asosiy xususiyatlar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

bir xil asoslar

log6 4 + log6 9.

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz.

Logarifmlarni yechishga misollar

Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Albatta, agar ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ? 1, x >

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Yangi poydevorga o'tish

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ? 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Shuningdek qarang:

Logarifmning asosiy xossalari

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Eksponentni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta.

Logarifmlarning asosiy xossalari

Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.

3.

4. qayerda .

2-misol x if ni toping

3-misol. Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 - log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 - log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ? 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz.

Logarifmlar formulalari. Logarifmlar yechimlarga misoldir.

Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ? 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ? 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi ?

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

Shuningdek qarang:

b sonining a asosiga logarifmi ifodani bildiradi. Logarifmni hisoblash, tenglik to'g'ri bo'lgan x () kuchini topishni anglatadi

Logarifmning asosiy xossalari

Yuqoridagi xususiyatlarni bilish kerak, chunki ular asosida deyarli barcha masalalar va misollar logarifmlar asosida hal qilinadi. Qolgan ekzotik xususiyatlar ushbu formulalar bilan matematik manipulyatsiyalar orqali olinishi mumkin

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Hisoblashda logarifmlarning yig'indisi va ayirmasi formulalari (3.4) juda tez-tez uchraydi. Qolganlari biroz murakkab, ammo bir qator vazifalarda ular murakkab ifodalarni soddalashtirish va ularning qiymatlarini hisoblash uchun ajralmas hisoblanadi.

Logarifmlarning umumiy holatlari

Ba'zi umumiy logarifmlar asosi hatto o'n, eksponensial yoki ikkilik bo'lgan logarifmlardir.
O'nta asosiy logarifm odatda o'nta asosiy logarifm deb ataladi va oddiygina lg (x) bilan belgilanadi.

Yozuvdan ko'rinib turibdiki, yozuvda asoslar yozilmagan. Misol uchun

Natural logarifm asosi ko'rsatkich bo'lgan logarifmdir (ln(x) bilan belgilanadi).

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Eksponentni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta. Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Yana bir muhim asos ikki logarifmdir

Funktsiya logarifmining hosilasi o'zgaruvchiga bo'lingan biriga teng

Integral yoki antiderivativ logarifm bog'liqlik bilan aniqlanadi

Yuqoridagi material logarifmlar va logarifmlar bilan bog'liq keng ko'lamli masalalarni hal qilish uchun etarli. Materialni o'zlashtirish uchun men maktab o'quv dasturi va universitetlardan bir nechta umumiy misollarni keltiraman.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.
Logarifmlarning farq xususiyatiga ko'ra, biz bor

3.
3.5 xossalaridan foydalanib topamiz

4. qayerda .

Bir qator qoidalardan foydalangan holda murakkab ko'rinadigan ibora shaklga soddalashtirilgan

Logarifm qiymatlarini topish

2-misol x if ni toping

Yechim. Hisoblash uchun oxirgi muddatgacha 5 va 13 xossalarini qo'llaymiz

Yozuvda almashtiring va motam tuting

Asoslar teng bo'lgani uchun biz ifodalarni tenglashtiramiz

Logarifmlar. Birinchi daraja.

Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Yechish: Logarifmni hadlar yig‘indisi orqali yozish uchun o‘zgaruvchining logarifmini oling

Bu logarifmlar va ularning xususiyatlari bilan tanishishning boshlanishi. Hisob-kitoblarni mashq qiling, amaliy ko'nikmalaringizni boyiting - tez orada logarifmik tenglamalarni yechish uchun olingan bilimlar kerak bo'ladi. Bunday tenglamalarni echishning asosiy usullarini o'rganib chiqib, biz sizning bilimingizni yana bir muhim mavzu - logarifmik tengsizliklar bo'yicha kengaytiramiz ...

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log6 4 + log6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 - log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 - log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ? 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin

Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ? 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ? 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi ?

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

dan boshlaylik birlik logarifmining xossalari. Uning formulasi quyidagicha: birlikning logarifmi nolga teng, ya'ni log a 1=0 har qanday a>0, a?1 uchun. Isbot oddiy: yuqoridagi a>0 va a?1 shartlarini qanoatlantiradigan har qanday a uchun 0 =1 bo‘lganligi sababli, loggarifm ta’rifidan darhol tasdiqlangan log a 1=0 tengligi kelib chiqadi.

Ko'rib chiqilayotgan xususiyatning qo'llanilishiga misollar keltiramiz: log 3 1=0 , lg1=0 va .

Keling, keyingi mulkka o'tamiz: asosiga teng sonning logarifmi birga teng, ya'ni, log a a=1 a>0, a?1 uchun. Haqiqatan ham, har qanday a uchun a 1 =a bo'lgani uchun, logarifm ta'rifi bo'yicha log a a=1 bo'ladi.

Logarifmlarning bu xossasidan foydalanish misollari log 5 5=1 , log 5.6 5.6 va lne=1 .

Masalan, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 va .

Ikki musbat sonning ko'paytmasining logarifmi x va y bu raqamlarning logarifmlarining ko'paytmasiga teng: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a?1. Mahsulot logarifmining xossasini isbotlaylik. Darajaning xususiyatlari tufayli a log a x+log a y =a log a x a log a y, va asosiy logarifmik identifikatsiyaga ko'ra log a x =x va log a y =y bo'lgani uchun log a x a log a y =x y bo'ladi. Shunday qilib, log a x+log a y =x y , buning uchun logarifmning ta'rifi talab qilinadigan tenglik kelib chiqadi.

Mahsulotning logarifmi xossasidan foydalanishga misollarni ko‘rsatamiz: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 va .

Mahsulot logarifmi xossasini x 1 , x 2 , …, x n musbat sonlarning chekli n sonining mahsulotiga umumlashtirish mumkin: log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Bu tenglik osongina isbotlanadi.

Masalan, mahsulotning natural logarifmini 4, e va raqamlarining uchta natural logarifmi yig‘indisi bilan almashtirish mumkin.

Ikki musbat sonning qismining logarifmi x va y bu sonlarning logarifmlari orasidagi farqga teng. Bo'lim logarifmi xossasi a>0, a?1, x va y ba'zi musbat sonlar bo'lgan shakldagi formulaga mos keladi. Ushbu formulaning haqiqiyligi mahsulotning logarifmi formulasi kabi isbotlangan: beri , keyin logarifmning ta'rifi bilan.

Logarifmning ushbu xususiyatidan foydalanishga misol: .

Keling, davom etaylik daraja logarifmining xossasi. Darajaning logarifmi ko'rsatkichning ko'paytmasiga va ushbu daraja asosining modulining logarifmiga teng. Darajaning logarifmining bu xossasini formula shaklida yozamiz: log a b p =p log a |b|, bu yerda a>0, a?1, b va p shunday raqamlarki, b p darajasi mantiqiy va b p >0.

Bu xossani avval musbat b uchun isbotlaymiz. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b sonini log a b, so'ngra b p =(a log a b) p sifatida ko'rsatishga imkon beradi va natijada paydo bo'lgan ifoda kuch xususiyatiga ko'ra a p log a b ga teng bo'ladi. Shunday qilib, biz b p =a p log a b tengligiga erishamiz, undan logarifmning ta'rifiga ko'ra log a b p =p log a b degan xulosaga kelamiz.

Bu xususiyatni salbiy b uchun isbotlash qoladi. Bu yerda manfiy b uchun log a b p ifodasi faqat p juft ko‘rsatkichlari uchun ma’noli ekanligini ta’kidlaymiz (chunki b p darajaning qiymati noldan katta bo‘lishi kerak, aks holda logarifm ma’noga ega bo‘lmaydi) va bu holda b p =|b| p . Keyin b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, qayerdan log a b p =p log a |b| .

Masalan, va ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Bu avvalgi mulkdan kelib chiqadi ildizdan logarifmning xossasi: n-darajali ildizning logarifmi 1/n kasr va ildiz ifodasining logarifmi ko‘paytmasiga teng, ya’ni. , bu yerda a>0 , a?1 , n birdan katta natural son, b>0 .

Isbot har qanday musbat b uchun amal qiladigan tenglikka (qarang) va daraja logarifmi xossasiga asoslanadi: .

Bu xususiyatdan foydalanishga misol: .

Endi isbot qilaylik logarifmning yangi bazasiga aylantirish formulasi mehribon . Buning uchun tenglik logi c b=log a b log c a ning haqiqiyligini isbotlash kifoya. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b, keyin log c b=log c a log a b ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi. Darajaning logarifmi xususiyatidan foydalanish qoladi: log c a log a b = log a b log c a. Shunday qilib, log c b=log a b log c a tengligi isbotlangan, demak, logarifmning yangi asosiga o‘tish formulasi ham isbotlangan.

Keling, logarifmlarning ushbu xususiyatini qo'llashga bir nechta misollarni ko'rsatamiz: va .

Yangi bazaga o'tish formulasi sizga "qulay" asosga ega bo'lgan logarifmlar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi. Masalan, undan natural yoki o'nlik logarifmlarga o'tish uchun foydalanish mumkin, shunda logarifmning qiymatini logarifmalar jadvalidan hisoblashingiz mumkin. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi, shuningdek, ba'zi hollarda ba'zi logarifmlarning boshqa asoslar bilan qiymatlari ma'lum bo'lganda, berilgan logarifmning qiymatini topishga imkon beradi.

Ko'pincha c=b ko'rinishi uchun logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasining maxsus holati ishlatiladi. . Bu log a b va log b a – ekanligini ko'rsatadi. Masalan, .

Bundan tashqari, ko'pincha formuladan foydalaniladi , bu logarifm qiymatlarini topish uchun foydalidir. So'zlarimizni tasdiqlash uchun biz shaklning logarifmining qiymati uning yordamida qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Bizda ... bor . Formulani isbotlash uchun a logarifmining yangi bazasiga o'tish formulasidan foydalanish kifoya: .

Logarifmlarning taqqoslash xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi.

Har qanday musbat sonlar uchun b 1 va b 2, b 1 ekanligini isbotlaylik log a b 2, a>1 uchun esa log a b 1 tengsizlik =a log a b 2 , откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b 1 >=b 2 . Так мы получили противоречие условию b 1

Va nihoyat, logarifmlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash qoladi. Biz uning birinchi qismini isbotlash bilan cheklanamiz, ya'ni a 1 >1, a 2 >1 va 1 bo'lishini isbotlaymiz. 1 rost log a 1 b>log a 2 b . Logarifmlarning ushbu xossasining qolgan bayonotlari shunga o'xshash printsip bilan isbotlangan.

Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Faraz qilaylik, 1 >1 , a 2 >1 va 1 uchun =log a 2 b , а при b>1 log a 1 b<=log a 2 b rost. Logarifmlarning xususiyatlariga ko'ra, bu tengsizliklarni qayta yozish mumkin va mos ravishda va ulardan kelib chiqadiki, log b a 1 <=log b a 2 va log b a 1 >=log b a 2. U holda, bir xil asosli darajalarning xossalari bo'yicha, b log b a 1 >=b log b a 2 va b log b a 1 >=b log b a 2 tengliklari, ya'ni a 1 >=a 2 qanoatlantirilishi kerak. Shunday qilib, biz a 1 shartiga qarama-qarshilikka erishdik

Adabiyotlar ro'yxati.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

ga nisbatan

berilgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Berilgan a va keyin N ko'rsatkich bilan topiladi. Agar N berilgan bo'lsa va u holda a x darajaning (yoki ko'rsatkichning) ildizini chiqarib topilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda, x topish kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqing.

N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .

Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi

Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich N ning a asosiga logarifmi sifatida topiladi. Yozuvlar

bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; aslida u logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. Ushbu ta'rifga ko'ra, a logarifmning asosi har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmlanadigan N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosli har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim, aks holda xulosa oqlanmaydi, chunki tenglik x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri.

Misol 1. Toping

Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani kuchga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.

Bunday misollarni yechishda quyidagi shaklda yozib olishingiz mumkin:

2-misol. Toping.

Yechim. Bizda ... bor

1 va 2-misollarda logarifmlanadigan sonni ratsional darajali asos darajasi sifatida ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. Umumiy holatda, masalan, boshqalar uchun, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir savolga e'tibor qaratamiz. 12-§da biz berilgan ijobiy sonning har qanday haqiqiy kuchini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.

Logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.

Isbot. Logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz bor va qaerdan bo'lsin

Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin

2- xossa. Har qanday asosga birlik logarifmi nolga teng.

Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, qarang (10.1)). Bu yerdan

Q.E.D.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar , u holda N = 1. Haqiqatan ham, bizda .

Logarifmlarning quyidagi xossasini aytishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘laylik. Agar bu sonlardan biri c dan katta, ikkinchisi c dan kichik bo'lsa, u holda ular c ning qarama-qarshi tomonlarida yotadi, deymiz.

Xossa 3. Agar son va asos birlikning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; agar son va asos birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotsa, u holda logarifm manfiydir.

3-xususiyatning isboti, agar asos birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat bo‘lsa, a ning darajasi birdan katta bo‘lishi yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy bo'lsa yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich musbat bo'lsa, daraja birdan kichik bo'ladi.

Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:

Biz ulardan birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.

Demak, tenglikdagi ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lsin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

3-misol. Quyidagi logarifmlarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:

Yechim, a) 15 raqami va 12 ta asosi birlikning bir tomonida joylashganligi uchun;

b) , chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; shu bilan birga, asos logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;

c), chunki 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;

G) ; nega?

e) ; nega?

Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifm qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilib, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi, darajasining logarifmlarini topishga imkon beradi.

4-xususiyat (mahsulotning logarifmi uchun qoida). Berilgan asosdagi bir nechta musbat sonlar ko‘paytmasining logarifmi shu asosdagi bu sonlarning logarifmlari yig‘indisiga teng.

Isbot. Ijobiy raqamlar berilsin.

Ularning hosilasining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:

Bu erdan topamiz

Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:

E'tibor bering, shart juda muhim; ikkita manfiy sonning mahsulotining logarifmi mantiqiy, ammo bu holda biz olamiz

Umuman olganda, agar bir nechta omillarning ko'paytmasi ijobiy bo'lsa, unda uning logarifmi ushbu omillar modullarining logarifmlari yig'indisiga teng bo'ladi.

5-xossa (bo'lim logarifmi qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosda olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Doimiy ravishda toping

Q.E.D.

6-xossa (darajaning logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi shu sonning logarifmini ko‘rsatkichni ko‘paytirishga teng.

Isbot. Raqam uchun yana asosiy identifikatorni (26.1) yozamiz:

Q.E.D.

Natija. Musbat sonning ildizining logarifmi ildiz sonining logarifmini ildizning ko'rsatkichiga bo'linganiga teng:

Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va foydalanishni taqdim etish orqali isbotlashimiz mumkin.

Misol 4. A asosi uchun logarifm:

a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);

b) (taxmin qilinadi).

Yechish, a) Bu ifodani kasr darajalariga o‘tkazish qulay:

(26.5) - (26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:

Biz raqamlarning logarifmlari bo'yicha raqamlarning o'ziga qaraganda oddiyroq amallar bajarilganligini ko'ramiz: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'linganda ayiriladi va hokazo.

Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llanilgan (29-sek.ga qarang).

Logarifmga teskari harakat potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsial - bu sonning o'zi berilgan logarifm orqali topilgan harakat. Aslida, potentsiallash hech qanday maxsus harakat emas: bu bazani quvvatga (sonning logarifmiga teng) ko'tarishdan iborat. "Potensiyalash" atamasini "ko'tarilish" atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.

Potensiallashtirishda logarifm qoidalariga teskari bo'lgan qoidalardan foydalanish kerak: logarifmalar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar mavjud bo'lsa. logarifm belgisi oldida har qanday omil bo'lsa, u holda potentsiallash paytida u logarifm belgisi ostidagi indikator darajalariga o'tkazilishi kerak.

5-misol. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping

Yechim. Hozirgina aytib o'tilgan potensiyalash qoidasi bilan bog'liq holda, bu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida joylashgan 2/3 va 1/3 ko'rsatkichlari ushbu logarifmlarning belgilari ostidagi darajalarga o'tkaziladi; olamiz

Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:

bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-bo'lim).

7 xossa. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda katta son kattaroq logarifmaga ega (kichikroq esa kichikroq), agar asos birdan kichik bo'lsa, katta raqam kichikroq logarifmaga ega (va kichikroq bo'lsa). bittasi kattaroq).

Bu xususiyat, shuningdek, ikkala qismi ham ijobiy bo'lgan tengsizliklar logarifmi uchun qoida sifatida tuzilgan:

Asosi birdan katta bo‘lgan tengsizliklar logarifmini olishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, asosi birdan kichik bo‘lgan logarifmni olishda esa tengsizlik belgisi teskari bo‘ladi (80-bandga ham qarang).

Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmni olib, biz oladigan holatni ko'rib chiqing.

(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan

Keyingi holat, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.

Ibtidoiy darajadagi algebraning elementlaridan biri logarifmdir. Ism yunon tilidan "raqam" yoki "daraja" so'zidan kelib chiqqan bo'lib, yakuniy raqamni topish uchun raqamni bazada ko'tarish darajasini bildiradi.

Logarifmlarning turlari

• log a b - b sonining a asosiga logarifmasi (a > 0, a ? 1, b > 0);
• lg b - o'nlik logarifm (logarifm asosi 10, a = 10);
• ln b - natural logarifm (logarifm asosi e, a = e).

Logarifmlarni qanday yechish mumkin?

b sonining a asosining logarifmi ko'rsatkich bo'lib, u a asosini b soniga ko'tarishni talab qiladi. Natija shunday talaffuz qilinadi: “b ning a asosiga logarifmi”. Logarifmik masalalarning yechimi shundan iboratki, siz berilgan darajani ko'rsatilgan raqamlar bo'yicha raqamlar bilan aniqlashingiz kerak. Logarifmni aniqlash yoki echish, shuningdek, belgining o'zini o'zgartirish uchun ba'zi asosiy qoidalar mavjud. Ular yordamida logarifmik tenglamalar yechiladi, hosilalar topiladi, integrallar yechiladi va boshqa ko‘plab amallar bajariladi. Asosan, logarifmning o'zi yechimi uning soddalashtirilgan yozuvidir. Quyida asosiy formulalar va xususiyatlar keltirilgan:

Har qanday a uchun; a > 0; a ? 1 va har qanday x uchun; y > 0.

• a log a b = b - asosiy logarifmik identifikatsiya
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, k ? 0 uchun
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - yangi bazaga o'tish formulasi
• log a x = 1/log x a

Logarifmlarni qanday hal qilish kerak - hal qilish bo'yicha bosqichma-bosqich ko'rsatmalar

• Birinchidan, kerakli tenglamani yozing.

Iltimos, diqqat qiling: agar asosiy logarifm 10 bo'lsa, unda yozuv qisqartiriladi, o'nlik logarifm olinadi. Agar e natural soni bo'lsa, u holda biz natural logarifmaga tushirib yozamiz. Bu shuni anglatadiki, barcha logarifmlarning natijasi b sonini olish uchun asosiy raqam ko'tarilgan kuchdir.

To'g'ridan-to'g'ri, yechim bu darajani hisoblashda yotadi. Ifodani logarifm bilan yechishdan oldin uni qoida bo‘yicha, ya’ni formulalar yordamida soddalashtirish kerak. Maqolada bir oz orqaga qaytib, asosiy identifikatorlarni topishingiz mumkin.

Ikki xil sonli, lekin asosi bir xil bo?lgan logarifmlarni qo?shish va ayirishda, mos ravishda b va c sonlarining ko?paytmasi yoki bo?linishi bilan bitta logarifma bilan almashtiring. Bunday holda, siz boshqa bazaga o'tish formulasini qo'llashingiz mumkin (yuqoriga qarang).

Agar siz logarifmni soddalashtirish uchun iboralardan foydalansangiz, ba'zi cheklovlarni bilishingiz kerak. Va bu: a logarifmning asosi faqat ijobiy son, lekin birga teng emas. b soni, a kabi, noldan katta bo'lishi kerak.

Ifodani soddalashtirgandan so'ng, logarifmni raqamli shaklda hisoblab bo'lmaydigan holatlar mavjud. Bunday iboraning ma'nosi yo'q, chunki ko'p darajalar irratsional sonlardir. Ushbu shartda raqamning kuchini logarifm sifatida qoldiring.

(yunoncha l?s - "so'z", "munosabat" va ?rthmos - "raqam" dan) raqamlar b sabab bilan a(log a b) shunday son deyiladi c, va b= a c, ya'ni log a b=c va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ? 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.

Masalan:

log 2 8 = 3, chunki 8=2 3 .

Shuni ta'kidlaymizki, logarifmning ko'rsatilgan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati logarifm belgisi ostidagi son asosning ma'lum bir kuchi bo'lganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng Bilan. Logarifm mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqam darajasi.

Logarifmni hisoblash nazarda tutilgan logarifm. Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifm olishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylanadi.

Potentsiyalash logarifmga teskari matematik amaldir. Potentsiyalashda berilgan asos potentsiallashtirish bajariladigan ifoda kuchiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Ko'pincha asoslari 2 (ikkilik), e Eyler soni e ? 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) bo'lgan haqiqiy logarifmlar qo'llaniladi.

Ushbu bosqichda buni ko'rib chiqishga arziydi logarifm namunalari jurnal 7 2 , ln ? 5, lg0,0001.

Va lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida - manfiy sonda joylashgan. tayanch, uchinchisida - va logarifm belgisi ostidagi manfiy raqam va bazadagi birlik.

Logarifmni aniqlash shartlari.

a > 0, a ? 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bu bizga x = log a shaklidagi tenglik bilan yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifmning ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

Shartni oling a?1. Har qanday darajaga bir birga teng bo'lganligi sababli, tenglik x=log a bo'ladi b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf qilish uchun biz olamiz a?1.

Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. Da a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va keyin mos ravishda log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni bartaraf etish uchun shart a?0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak edi, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart a>0.

Va oxirgi shart b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat bazaga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.

Logarifmlarning xususiyatlari.

Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shishga, ayirishga bo'lish va darajaga ko'tarish va ildiz olish mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'linishga aylantiriladi.

Logarifmlarning formulasi va ularning qiymatlari jadvali (trigonometrik funktsiyalar uchun) birinchi marta 1614 yilda Shotlandiya matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo‘llanilgan va elektron hisob mashinalari va kompyuterlar qo‘llanila boshlanmaguncha o‘z ahamiyatini saqlab qolgan.