Ikki burchakli burchak tushunchasi

Ikki burchakli burchak tushunchasini kiritish uchun avvalo stereometriya aksiomalaridan birini esga olamiz.

Har qanday tekislikni shu tekislikda yotgan $a$ chizig'ining ikkita yarim tekisligiga bo'lish mumkin. Bunda bir yarim tekislikda yotgan nuqtalar $a$ to?g?ri chiziqning bir tomonida, turli yarim tekislikda yotgan nuqtalar esa $a$ to?g?ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida bo?ladi (1-rasm). ).

1-rasm.

Ikki burchakli burchakni qurish printsipi ushbu aksiomaga asoslanadi.

Ta'rif 1

Shakl deyiladi ikki burchakli burchak agar u chiziqdan va shu chiziqning bir tekislikka tegishli bo'lmagan ikkita yarim tekisligidan iborat bo'lsa.

Bunday holda, dihedral burchakning yarim tekisliklari deyiladi yuzlar, va yarim tekisliklarni ajratuvchi to'g'ri chiziq - ikki burchakli chekka(1-rasm).

2-rasm. Ikki burchakli burchak

Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi

Ta'rif 2

Biz chekkada ixtiyoriy $A$ nuqtasini tanlaymiz. Har xil yarim tekisliklarda yotuvchi, chetiga perpendikulyar va $A$ nuqtada kesishgan ikki chiziq orasidagi burchak deyiladi. chiziqli burchak dihedral burchak(3-rasm).

3-rasm

Shubhasiz, har bir dihedral burchak cheksiz sonli chiziqli burchakka ega.

Teorema 1

Bitta dihedral burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng.

Isbot.

$AOB$ va $A_1(OB)_1$ ikkita chiziqli burchaklarni ko'rib chiqing (4-rasm).

4-rasm

$OA$ va $(OA)_1$ nurlari bir xil $\alpha $ yarim tekislikda yotib, bitta to?g?ri chiziqqa perpendikulyar bo?lgani uchun ular ko?p yo?nalishli. $OB$ va $(OB)_1$ nurlari bir xil $\beta $ yarim tekislikda yotib, bitta to?g?ri chiziqqa perpendikulyar bo?lgani uchun ular ko?p yo?nalishli. Natijada

\[\AOB burchagi=\burchak A_1(OB)_1\]

Chiziqli burchaklarni tanlashning o'zboshimchaliklari tufayli. Bitta dihedral burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng.

Teorema isbotlangan.

Ta'rif 3

Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi ikki burchakli burchakning chiziqli burchagining daraja o'lchovidir.

Vazifalarga misollar

1-misol

$m$ chizig'i bo'ylab kesishuvchi ikkita perpendikulyar bo'lmagan $\alpha $ va $\beta $ tekisliklari berilsin. $A$ nuqtasi $\beta $ tekisligiga tegishli. $AB$ $m$ chizig?iga perpendikulyar. $AC$ $\alpha $ tekisligiga perpendikulyar ($C$ nuqtasi $\alpha $ ga tegishli). $ABC$ burchak ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi ekanligini isbotlang.

Isbot.

Masalaning shartiga qarab rasm chizamiz (5-rasm).

5-rasm

Buni isbotlash uchun quyidagi teoremani eslaymiz

2-teorema: Egri chiziqning asosidan o'tuvchi, unga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq uning proyeksiyasiga perpendikulyar.

$AC$ $\alpha $ tekisligiga perpendikulyar bo'lgani uchun $C$ nuqtasi $A$ nuqtasining $\alpha $ tekisligiga proyeksiyasidir. Demak, $BC$ qiya $AB$ proyeksiyasidir. 2-teoremaga ko'ra, $BC$ dihedral burchakning chetiga perpendikulyar.

Keyin $ABC$ burchagi ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini aniqlash uchun barcha talablarni qondiradi.

2-misol

Ikki burchakli burchak $30^\circ$. Yuzlarning birida ikkinchi yuzidan $4$ sm masofada joylashgan $A$ nuqta yotadi.$A$ nuqtadan ikki burchakli burchak chetigacha bo?lgan masofani toping.

Yechim.

Keling, 5-rasmni ko'rib chiqaylik.

Taxminlarga ko'ra, bizda $AC=4\ cm$ bor.

Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovining ta'rifiga ko'ra, biz $ABC$ burchagi $30^\circ$ ga teng ekanligini tushunamiz.

$ABC$ uchburchak to?g?ri burchakli uchburchakdir. O'tkir burchak sinusining ta'rifi bo'yicha

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Ikki burchakli burchak. Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi. Ikki burchakli burchak - bir tekislikka tegishli bo'lmagan va umumiy chegaraga ega bo'lgan ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan figura - to'g'ri chiziq a. Ikki burchakli burchak hosil qiluvchi yarim tekisliklar uning yuzlari deb ataladi va bu yarim tekisliklarning umumiy chegarasi ikki burchakli burchakning chekkasi deb ataladi. Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi - tomonlari ikki burchakli burchakning yuzlari ikki burchakli burchakning chetiga perpendikulyar tekislik bilan kesishadigan nurlar bo'lgan burchak. Har bir dihedral burchak istalgancha chiziqli burchakka ega: chekkaning har bir nuqtasi orqali shu chetga perpendikulyar tekislik chizish mumkin; bu tekislik dihedral burchakning yuzlarini kesib o'tadigan nurlar va chiziqli burchaklarni hosil qiladi.

Ikki burchakli burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng. Agar KABC piramidasi asosi tekisligi va uning yon yuzlari tekisliklari hosil qilgan ikki burchakli burchaklar teng bo‘lsa, K cho‘qqisidan chizilgan perpendikulyar asos uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazi ekanligini isbotlaylik. ABC.

Isbot. Avvalo, biz teng burchakli burchakli chiziqli burchaklarni quramiz. Ta'rifga ko'ra, chiziqli burchak tekisligi dihedral burchakning chetiga perpendikulyar bo'lishi kerak. Shuning uchun dihedral burchakning qirrasi chiziqli burchakning tomonlariga perpendikulyar bo'lishi kerak. Agar KO asos tekisligiga perpendikulyar bo‘lsa, u holda AC ga perpendikulyar OP, CB ga perpendikulyar OR, AB perpendikulyar OQ, so‘ngra P, Q, R nuqtalarni K nuqta bilan bog‘lashimiz mumkin. Shunday qilib, proyeksiya quramiz. qiya RK, QK, RK ning AC, CB, AB qirralari bu proyeksiyalarga perpendikulyar bo'lishi uchun. Binobarin, bu qirralar ham e?imli tomonlarga perpendikulyar. Va shuning uchun ROK, QOK, ROK uchburchaklar tekisliklari dihedral burchakning mos qirralariga perpendikulyar bo'lib, shartda aytib o'tilgan teng chiziqli burchaklarni hosil qiladi. To'g'ri burchakli ROK, QOK, ROK uchburchaklar teng (chunki ularning umumiy oyog'i OK va bu oyoqqa qarama-qarshi burchaklar teng). Shuning uchun, OR = OR = OQ. Agar markazi O va radiusi OP bo'lgan aylana chizsak, u holda ABC uchburchakning tomonlari OP, OR va OQ radiuslariga perpendikulyar va shuning uchun bu aylanaga tangens bo'ladi.

Tekislik perpendikulyarligi. Alfa va beta tekisliklar, agar ularning kesishgan joyida hosil bo'lgan ikki burchakli burchaklardan birining chiziqli burchagi 90" bo'lsa, perpendikulyar deyiladi. Ikki tekislikning perpendikulyarlik belgilari Agar ikkita tekislikdan biri ikkinchi tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, u holda bu tekisliklar perpendikulyar.

Rasmda to'rtburchaklar parallelepiped ko'rsatilgan. Uning asoslari ABCD va A1B1C1D1 to'rtburchaklardir. Va AA1 BB1, CC1, DD1 yon qirralari asoslarga perpendikulyar. Bundan kelib chiqadiki, AA1 AB ga perpendikulyar, ya'ni yon yuzi to'rtburchakdir. Shunday qilib, kuboidning xususiyatlarini asoslash mumkin: kuboidda oltita yuzning hammasi to'rtburchaklardir. Kuboidda oltita yuzning hammasi to'rtburchaklardir. Kuboidning barcha ikki burchakli burchaklari to'g'ri burchaklardir. Kuboidning barcha ikki burchakli burchaklari to'g'ri burchaklardir.

Teorema To'rtburchaklar parallelepiped diagonalining kvadrati uning uch o'lchami kvadratlari yig'indisiga teng. Keling, yana rasmga qaytaylik, Va biz AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 ekanligini isbotlaymiz CC1 qirrasi ABCD asosiga perpendikulyar bo'lganligi sababli, AC1 burchagi to'g'ri. ACC1 to'g'ri burchakli uchburchakdan Pifagor teoremasiga ko'ra AC12=AC2+CC12 ni olamiz. Lekin AC ABCD to'rtburchakning diagonali, shuning uchun AC2 = AB2+AD2. Shuningdek, CC1 = AA1. Demak, AC12=AB2+AD2+AA12 teorema isbotlangan.

Ushbu dars "Diedral burchak" mavzusini mustaqil o'rganish uchun mo'ljallangan. Bu dars davomida o‘quvchilar eng muhim geometrik shakllardan biri bo‘lgan ikki burchakli burchak bilan tanishadilar. Shuningdek, darsda biz ko'rib chiqilayotgan geometrik figuraning chiziqli burchagini qanday aniqlashni o'rganishimiz kerak va shaklning negizida ikki burchakli burchak nima ekanligini bilib olishimiz kerak.

Keling, tekislikdagi burchak nima ekanligini va u qanday o'lchanganini takrorlaymiz.

Guruch. 1. Samolyot

a tekislikni ko'rib chiqaylik (1-rasm). Bir nuqtadan O ikkita nur chiqadi O.V va O.A.

Ta'rif. Xuddi shu nuqtadan chiqadigan ikkita nurdan hosil bo'lgan figuraga burchak deyiladi.

Burchak gradus va radian bilan o'lchanadi.

Keling, radian nima ekanligini eslaylik.

Guruch. 2. Radian

Agar yoy uzunligi radiusga teng bo'lgan markaziy burchakka ega bo'lsak, unda bunday markaziy burchak 1 radian burchak deb ataladi. , ? AOB= 1 rad (2-rasm).

Radianlar va darajalar o'rtasidagi bog'liqlik.

xursand.

Biz tushunamiz, xursandmiz. (). Keyin,

Ta'rif. ikki burchakli burchak to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan figura deyiladi a va umumiy chegaraga ega bo'lgan ikkita yarim tekislik a bir xil tekislikka tegishli emas.

Guruch. 3. Yarim samolyotlar

Ikki a va b yarim tekisliklarni ko'rib chiqaylik (3-rasm). Ularning umumiy chegarasi a. Bu raqam ikki burchakli burchak deb ataladi.

Terminologiya

a va b yarim tekisliklar dihedral burchakning yuzlaridir.

To'g'riga a ikki burchakli burchakning chetidir.

Umumiy chekkada a dihedral burchak ixtiyoriy nuqtani tanlang O(4-rasm). Nuqtadan a yarim tekislikda O perpendikulyarni tiklang O.A to'g'ri chiziqqa a. Xuddi shu nuqtadan O ikkinchi yarim tekislikda b perpendikulyar quramiz O.V qovurg'aga a. Burchak oldim AOB, bu dihedral burchakning chiziqli burchagi deb ataladi.

Guruch. 4. Ikki burchakli burchakni o'lchash

Berilgan ikki burchakli burchak uchun barcha chiziqli burchaklarning tengligini isbotlaylik.

Ikki burchakli burchakka ega bo'lsin (5-rasm). Bir nuqtani tanlang O va nuqta Taxminan 1 to'g'ri chiziqda a. Nuqtaga mos chiziqli burchak yasaymiz O, ya'ni ikkita perpendikulyar chizamiz O.A va O.V a va b tekisliklarda mos ravishda chetiga a. Biz burchakni olamiz AOB dihedral burchakning chiziqli burchagi.

Guruch. 5. Dalilning tasviri

Bir nuqtadan Taxminan 1 ikkita perpendikulyar chizamiz OA 1 va OB 1 qovurg'aga a a va b tekisliklarda mos ravishda va biz ikkinchi chiziqli burchakni olamiz A 1 O 1 B 1.

Nurlar O 1 A 1 va O.A birgalikda yo'nalishli, chunki ular bir yarim tekislikda yotadi va bir xil chiziqqa ikkita perpendikulyar sifatida bir-biriga parallel. a.

Xuddi shunday, nurlar Taxminan 1da 1 va O.V hizalangan, bu degani ? AOB =? A 1 O 1 B 1 ko'p yo'nalishli tomonlari bo'lgan burchaklar sifatida isbotlanishi kerak edi.

Chiziqli burchak tekisligi dihedral burchakning chetiga perpendikulyar.

isbotlash: a ? AOW.

Guruch. 6. Dalilning tasviri

Isbot:

O.A ? a qurilish bo'yicha, O.V ? a qurilish bo'yicha (6-rasm).

Biz bu chiziqni olamiz a kesishgan ikkita chiziqqa perpendikulyar O.A va O.V samolyotdan AOB, bu to'g'ri degan ma'noni anglatadi a tekislikka perpendikulyar OAB, bu isbotlanishi kerak edi.

Dihedral burchak uning chiziqli burchagi bilan o'lchanadi. Bu shuni anglatadiki, chiziqli burchakda qancha radian darajalari mavjud bo'lsa, uning dihedral burchagida ham shuncha daraja radian mavjud. Bunga muvofiq ikki burchakli burchaklarning quyidagi turlari ajratiladi.

O'tkir (6-rasm)

Dihedral burchak o'tkir, agar uning chiziqli burchagi o'tkir bo'lsa, ya'ni. .

To'g'ri (7-rasm)

Ikki burchakli burchak uning chiziqli burchagi 90 ° bo'lganda to'g'ri bo'ladi - obtuse (8-rasm)

Dihedral burchak, uning chiziqli burchagi o'tkir bo'lsa, to'liq bo'ladi, ya'ni. .

Guruch. 7. To'g'ri burchak

Guruch. 8. Ketma-ket burchak

Haqiqiy figuralarda chiziqli burchaklar yasashga misollar

ABCD- tetraedr.

1. Ikki burchakli burchakning qirrali chiziqli burchagini qurish AB.

Guruch. 9. Muammo uchun rasm

Bino:

Gap ikki burchakli burchak haqida ketmoqda, u chekka tomonidan hosil bo'ladi AB va yuzlar ABD va ABC(9-rasm).

Keling, to'g'ri chiziq chizamiz DH tekislikka perpendikulyar ABC, H perpendikulyarning asosi hisoblanadi. Keling, qiya chizamiz DM chiziqqa perpendikulyar AB,M- e?imli asos. Uchta perpendikulyar teorema bo'yicha biz qiyshiqning proyeksiyasi degan xulosaga kelamiz NM chiziqqa ham perpendikulyar AB.

Ya'ni, nuqtadan M chetiga ikkita perpendikulyar tiklandi AB ikki tomondan ABD va ABC. Biz chiziqli burchakka ega bo'ldik DMN.

e'tibor bering, bu AB, chiziqli burchak tekisligiga perpendikulyar bo'lgan dihedral burchakning qirrasi, ya'ni tekislik. DMN. Muammo hal qilindi.

Izoh. Dihedral burchakni quyidagicha belgilash mumkin: DABC, qayerda

AB- chekka va nuqtalar D va FROM burchakning turli tomonlarida yoting.

2. Ikki burchakli burchakning qirrali chiziqli burchagini quring AC.

Keling, perpendikulyar chizamiz DH samolyotga ABC va qiyshiq DN chiziqqa perpendikulyar AS. Uch perpendikulyar teorema bo'yicha biz buni olamiz HN- qiya proyeksiya DN samolyotga ABC, chiziqqa ham perpendikulyar AS.DNH- qovurg'ali dihedral burchakning chiziqli burchagi AC.

tetraedrda DABC barcha qirralari teng. Nuqta M- qovurg'aning o'rtasi AC. Burchak ekanligini isbotlang DMV- dihedral burchakning chiziqli burchagi SIZD, ya'ni qirrasi bo'lgan dihedral burchak AC. Uning chetlaridan biri ACD, ikkinchi - IIV(10-rasm).

Guruch. 10. Muammo uchun rasm

Yechim:

Uchburchak ADC- teng qirrali, DM mediana va shuning uchun balandlik. Ma'nosi, DM ? AS. Xuddi shunday, uchburchak ADAC- teng qirrali, DAM mediana va shuning uchun balandlik. Ma'nosi, VM ? AS.

Demak, nuqtadan M qovurg'alar AC dihedral burchak ikki perpendikulyar tiklandi DM va VM dihedral burchakning yuzlarida bu chetiga.

Shunday qilib ? DMDA isbotlanishi kerak bo'lgan dihedral burchakning chiziqli burchagi.

Shunday qilib, biz ikki burchakli burchakni, ikki tomonlama burchakning chiziqli burchagini aniqladik.

Keyingi darsda biz chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligini ko'rib chiqamiz, so'ngra raqamlar bazasida dihedral burchak nima ekanligini bilib olamiz.

“Diedral burchak”, “Geometrik figuralar asosidagi ikki burchakli burchak” mavzulari bo‘yicha adabiyotlar.

1. Geometriya. 10-11-sinf: umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 b.: kasal.
2. Geometriya. 10-sinf: matematikani chuqur va profilli o'rganadigan umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 b.: kasal.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

"Diedral burchak" mavzusidagi uy vazifasi, raqamlar asosidagi ikki burchakli burchakni aniqlash

Geometriya. 10-11-sinf: ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik (asosiy va profil darajalari) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, tuzatilgan va to'ldirilgan - M.: Mnemozina, 2008. - 288 b.: kasal.

2, 3-topshiriqlar 67-bet.

Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi nimaga teng? Uni qanday qurish kerak?

ABCD- tetraedr. Qirrali ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing:

a) DAD b) DFROM.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kub Dihedral burchakning chiziqli burchagini chizish A 1 ABC qovurg'a bilan AB. Uning daraja o'lchovini aniqlang.

DARS MATNLI IZOH:

Planimetriyada asosiy ob'ektlar chiziqlar, segmentlar, nurlar va nuqtalardir. Bir nuqtadan chiqadigan nurlar ularning geometrik shakllaridan birini - burchakni hosil qiladi.

Biz bilamizki, chiziqli burchak gradus va radian bilan o'lchanadi.

Stereometriyada ob'ektlarga tekislik qo'shiladi. Geometriyada bir tekislikka tegishli bo'lmagan umumiy chegarasi a bo'lgan a to'g'ri chiziq va ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan figuraga ikki burchakli burchak deyiladi. Yarim tekisliklar dihedral burchakning yuzlaridir. a to'g'ri chiziq ikki burchakli burchakning chetidir.

Dihedral burchak, xuddi chiziqli burchak kabi, nomlanishi, o'lchanishi, qurilishi mumkin. Buni biz ushbu darsda bilib olamiz.

ABCD tetraedr modelida ikki burchakli burchakni toping.

AB chetiga ega bo'lgan ikki burchakli burchakka CABD deyiladi, bu erda C va D nuqtalari burchakning turli yuzlariga tegishli va AB cheti o'rtada deyiladi.

Atrofimizda dihedral burchak shaklidagi elementlari bo'lgan juda ko'p narsalar mavjud.

Ko'pgina shaharlarda bog'larda yarashtirish uchun maxsus skameykalar o'rnatildi. Skameyka markazga yaqinlashuvchi ikkita e?imli tekislik shaklida qilingan.

Uylarni qurishda ko'pincha gable tomi deb ataladi. Ushbu uyning tomi 90 graduslik dihedral burchak shaklida qilingan.

Dihedral burchak ham daraja yoki radian bilan o'lchanadi, lekin uni qanday o'lchash kerak.

Qizig'i shundaki, uylarning tomlari tomlarda yotadi. Va raftersning sandig'i ma'lum bir burchak ostida ikkita tom yon bag'irini hosil qiladi.

Keling, rasmni chizilgan rasmga o'tkazamiz. Chizmada ikki burchakli burchakni topish uchun uning chetiga B nuqta belgilanadi.Shu nuqtadan burchak chetiga perpendikulyar bo'lgan ikkita BA va BC nurlari o'tkaziladi. Bu nurlar hosil qilgan ABC burchagi dihedral burchakning chiziqli burchagi deyiladi.

Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi uning chiziqli burchagining daraja o'lchoviga teng.

Keling, AOB burchagini o'lchaymiz.

Berilgan ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi oltmish daraja.

Dihedral burchak uchun chiziqli burchaklarni cheksiz sonda chizish mumkin, ularning barchasi teng ekanligini bilish muhimdir.

AOB va A1O1B1 ikkita chiziqli burchaklarni ko'rib chiqing. OA va O1A1 nurlari bir yuzda yotadi va OO1 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi, shuning uchun ular birgalikda yo'naltiriladi. OB va O1B1 nurlari ham birgalikda boshqariladi. Demak, AOB burchagi koordinatsion tomonlari bo'lgan burchaklar sifatida A1O1B1 burchagiga teng.

Demak, dihedral burchak chiziqli burchak bilan tavsiflanadi, chiziqli burchaklar esa o'tkir, o'tkir va to'g'ri. Dihedral burchaklar modellarini ko'rib chiqing.

To'g'ri burchak - bu chiziqli burchagi 90 dan 180 darajagacha bo'lgan burchakdir.

To'g'ri burchak, agar uning chiziqli burchagi 90 gradus bo'lsa.

O'tkir burchak, agar uning chiziqli burchagi 0 dan 90 darajagacha bo'lsa.

Chiziqli burchakning muhim xossalaridan birini isbotlaylik.

Chiziqli burchak tekisligi ikki burchakli burchakning chetiga perpendikulyar.

AOB burchagi berilgan ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi bo'lsin. Qurilish bo'yicha AO va OB nurlari a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar.

AOB tekisligi teoremaga ko'ra AO va OB kesishuvchi ikkita to'g'ri chiziqdan o'tadi: Tekislik ikkita kesishuvchi chiziqdan, bundan tashqari, faqat bittadan o'tadi.

a to'g'ri chiziq shu tekislikda yotgan ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lib, bu chiziq va tekislikning perpendikulyarlik belgisiga ko'ra a to'g'ri chiziq AOB tekisligiga perpendikulyar bo'lishini bildiradi.

Masalalarni yechish uchun berilgan dihedral burchakning chiziqli burchagini qura bilish muhimdir. ABCD tetraedri uchun AB qirrasi bilan ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing.

Gap ikki burchakli burchak haqida ketmoqda, u birinchidan, AB chetidan, bir tomoni ABD, ikkinchi tomoni ABC tomonidan hosil bo'ladi.

Bu erda qurishning bir usuli.

D nuqtadan ABC tekisligiga perpendikulyar chizamiz, M nuqtani perpendikulyar asos sifatida belgilaymiz. Eslatib o'tamiz, tetraedrda perpendikulyarning asosi tetraedr poydevoridagi chizilgan doira markaziga to'g'ri keladi.

D nuqtadan AB chetiga perpendikulyar qiyalik chizing, N nuqtani qiyalik asosi sifatida belgilang.

DMN uchburchagida NM segmenti qiya DN ning ABC tekisligiga proyeksiyalari bo'ladi. Uch perpendikulyar teoremaga ko'ra, AB cheti NM proyeksiyasiga perpendikulyar bo'ladi.

Bu DNM burchakning tomonlari AB chetiga perpendikulyar ekanligini bildiradi, ya'ni tuzilgan DNM burchak kerakli chiziqli burchakdir.

Dihedral burchakni hisoblash masalasini hal qilish misolini ko'rib chiqing.

ABC uchburchagi va ADB muntazam uchburchagi bir tekislikda yotmaydi. CD segmenti ADB tekisligiga perpendikulyar. AC=CB=2sm, AB=4sm bo?lsa, DABC ikki burchakli burchakni toping.

DABC dihedral burchagi uning chiziqli burchagiga teng. Keling, bu burchakni quraylik.

AB chetiga perpendikulyar qiya SM chizamiz, chunki ACB uchburchak teng yon tomonli bo'lib, u holda M nuqta AB chetining o'rta nuqtasiga to'g'ri keladi.

CD chizig'i ADB tekisligiga perpendikulyar, ya'ni bu tekislikda yotgan DM chizig'iga perpendikulyar. MD segmenti esa qiya SM ning ADB tekisligiga proyeksiyasidir.

AB chiziq konstruktsiyasi bo'yicha qiya CM ga perpendikulyar, ya'ni uchta perpendikulyar teorema bo'yicha u MD proyeksiyasiga perpendikulyar bo'ladi.

Demak, AB chetiga ikkita CM va DM perpendikulyarlari topiladi. Shunday qilib, ular DABC dihedral burchakning SMD chiziqli burchagini hosil qiladi. Va biz uchun uni SDM to'g'ri burchakli uchburchakdan topish qoladi.

SM segmenti ASV teng yonli uchburchakning medianasi va balandligi bo'lganligi sababli, Pifagor teoremasiga ko'ra, SM ning oyog'i 4 sm.

DMB to'g'ri burchakli uchburchakdan, Pifagor teoremasiga ko'ra, oyoq DM uchta uchta ildizga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakdan burchakning kosinusu qo'shni oyoq MD ning CM gipotenuzasiga nisbatiga teng va uchtadan ikkitadan uchta ildizga teng. Shunday qilib, CMD burchagi 30 daraja.

Taqdimotlarni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini (hisobini) yarating va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

QO'SHAK BURCHAK GOU №10 o'rta maktab matematika o'qituvchisi Eremenko M.A.

Darsning asosiy maqsadlari: Dihedral burchak va uning chiziqli burchagi tushunchasi bilan tanishish Ushbu tushunchalarni qo'llash bo'yicha vazifalarni ko'rib chiqing.

Ta'rif: Ikki burchakli burchak umumiy chegara chizig'iga ega bo'lgan ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan figuradir.

Dihedral burchakning qiymati uning chiziqli burchagi qiymatidir. AF ? CD BF ? CD AFB - ACD B dihedral burchakning chiziqli burchagi

Ikki burchakli burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng ekanligini isbotlaylik. AOB va A 1 OB 1 ikkita chiziqli burchaklarni ko'rib chiqing. OA va OA 1 nurlari bir yuzda yotadi va OO 1 ga perpendikulyar bo'ladi, shuning uchun ular birgalikda yo'naltiriladi. OB va OB 1 nurlari ham birgalikda boshqariladi. Shuning uchun, ? AOB = ? A 1 OB 1 (ko'p yo'nalishli tomonlari bo'lgan burchaklar sifatida).

Ikki burchakli burchaklarga misollar:

Ta'rif: Kesishuvchi ikkita tekislik orasidagi burchak bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarning eng kichigidir.

1-topshiriq: A ... D 1 kubida ABC va CDD 1 tekisliklari orasidagi burchakni toping. Javob: 90o.

2-topshiriq: A ... D 1 kubida ABC va CDA 1 tekisliklari orasidagi burchakni toping. Javob: 45o.

3-topshiriq: A ... D 1 kubida ABC va BDD 1 tekisliklari orasidagi burchakni toping. Javob: 90o.

4-topshiriq: A ... D 1 kubida ACC 1 va BDD 1 tekisliklar orasidagi burchakni toping. Javob: 90o.

5-topshiriq: A ... D 1 kubida BC 1 D va BA 1 D tekisliklar orasidagi burchakni toping. Yechish: B D ning o’rta nuqtasi O bo’lsin. A 1 OC 1 ikki burchakli A 1 B D C 1 ning chiziqli burchagi.

6-masala: DABC tetraedrida barcha qirralar teng, M nuqta AC chetining o’rta nuqtasidir. ? DMB BACD dihedral burchakning chiziqli burchagi ekanligini isbotlang.

Yechish: ABC va ADC uchburchaklari muntazamdir, shuning uchun BM ? AC va DM ? AC va shuning uchun ? DMB DACB dihedral burchakning chiziqli burchagidir.

7-topshiriq: AC tomoni a tekislikda yotgan ABC uchburchakning B cho’qqisidan shu tekislikka BB 1 perpendikulyar chizilgan. B nuqtadan AC to’g’risigacha va aif AB=2, ?BAC=150 0 tekislikgacha bo’lgan masofani toping va BACB 1 ikki burchakli burchak 45 0 ga teng.

Yechish: ABC to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘lgani uchun BK balandligi asosi AC tomonining kengaytmasida yotadi. VC - B nuqtadan ACgacha bo'lgan masofa. BB 1 - B nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa

2) AS ?VK bo'lgani uchun, u holda AS?KV 1 (teorema bo'yicha uchta perpendikulyar teoremaga teskari). Demak, ?VKV 1 dihedral burchak BACB 1 va ?VKV 1 =45 0 ning chiziqli burchagidir. 3) ?VAK: ?A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ?VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d