Tasavvur qiling-a, ko'rsatkich operatori bizning ixtiyorimizda emas, shuning uchun faqat ko'paytirish qoladi. X n manfiy bo'lmagan butun son ko'rsatkichi bilan darajani aniqlash n - 1 ko'paytirish yordamida hisob-kitob qilish imkonini beradi. Ammo ko'paytirish juda qimmat operatsiya (ustundagi ko'paytirishni eslang). Shuning uchun biz bajarilgan ko'paytirish sonini minimallashtirishga harakat qilamiz.

Misol uchun, agar ko'rsatkichning o'zi ikkining kuchi bo'lsa, n \u003d 2 m bo'lsa, unda faqat m ko'paytirish, aniqrog'i, kvadratlashtirish kerak bo'ladi: x 2 m \u003d x 2 2 2 ... 2. Bu foydali kuzatishni aniq tengliklardan foydalangan holda umumiy holatga kengaytirish mumkin: juft n uchun x n = x 2 n 2, toq n uchun x x 2 n - 1 2. Siz ushbu formulalarni darajani hisoblashning rekursiv usuli sifatida ko'rishingiz mumkin. Albatta, bu munosabatlar x 0 = 1, x 1 = x chegaraviy shartlar bilan to'ldirilishi kerak.

Ma'lum bo'lishicha, tasvirlangan rekursiv protseduraga muvofiq quvvatni oshirish uchun bajarilishi kerak bo'lgan ko'payish soni n raqamlari bilan hisoblanadi. Ushbu qiymat n ning o'sishi bilan juda sekin o'sadi, bu jadvaldan dalolat beradi:

10000000000 kuchiga biror narsani ko'tarishimiz dargumon, lekin agar kerak bo'lsa, bizga faqat qirq uchta ko'paytirish kerak bo'ladi!

Formula n = 2 m va z = m, e = 1 bo'lganda, avval ko'rib chiqilgan muayyan holatga to'liq mos keladi. Umumiy holatda, sonning ikkilik kengayishidagi raqamlar ushbu sonning ikkiga takroriy bo'linishining qoldiqlariga teng ekanligini ta'kidlaymiz. Nol raqamining ko'rinishi birinchi (juft) yo'l bo'ylab rekursiv algoritmni boshlaydi, bu esa bitta qo'shimcha ko'paytirishni qo'shadi. Birinchi raqam algoritmning toq filialini tanlaydi, bu esa ikkita qo'shimcha ko'paytirishni talab qiladi.

Biz dasturning soddaligi sababli alohida muhokamaga loyiq bo'lmagan sodda versiyasidan tashqari, yana ikkitasini tahlil qilamiz: rekursiv va iterativ. Ikkala variant ham tez eksponentatsiya usuliga asoslangan.

Ilgari biz rekursiv bo'lmagan algoritmlarning rekursivlarga nisbatan afzalliklarini muhokama qildik. Tez eksponentatsiyani rekursiyasiz, bitta tsikl bilan amalga oshirish jozibador bo'lar edi. Bu vazifa biz xohlaganchalik oson emas. Biz o'zimizni ilohiy vahiy natijasida emas (bu bizga juda kamdan-kam hollarda tashrif buyuradi), balki maqsadli ravishda aylanishlarni yaratishga imkon beradigan usul bilan qurollanishimiz kerak. Invariant yordamida tsiklni qurish usuli bizga hozir kerak bo'lgan narsadir.

Dasturdagi har bir buyruqning maqsadi bizni muammoni hal qilishga, ya'ni kerakli o'zgaruvchilar nihoyat kerakli, to'g'ri hisoblangan qiymatlarni oladigan vaziyatga yaqinlashtirishdir. Bunday maqsadga erishishning yagona yo'li o'zgaruvchilar qiymatlarini yangilariga o'zgartirishdir, bu topshiriq orqali amalga oshiriladi. Shu nuqtai nazardan sikl tanasini tashkil etuvchi buyruqlarni ko'rib chiqamiz.

Dastur X = x y … z o'zgaruvchilar to'plamini o'z ichiga oladi. Keling, chaqiraylik dastur holati. Tsikl to'g'ri hisoblanadi, agar uning ishlashi natijasida o'zgaruvchilar o'rtasidagi zarur munosabat bajarilsa. Munosabatlar o'zgaruvchilar haqidagi ba'zi bir bayonot sifatida tushuniladi. Tasdiqlash nimani anglatadi? Holatga bog‘liq bo‘lgan va mantiqiy qiymat qabul qiluvchi G X funksiyani ko‘rib chiqaylik. G X = yes tengligi bayonotning to'g'ri ekanligini anglatadi, aks holda u to'g'ri emas. G funksiyasi chaqiriladi tsiklning maqsad funktsiyasi.

Loop tanasi X F X: X <- F X o'zgaruvchilarga yangi qiymatlarni belgilaydigan buyruqlardan iborat bo'lib, dastur holatlarining takroriy ketma-ketligi quriladi. Maqsad funksiyasi rost deb baholanganda sikl maqsadiga erishiladi, shuning uchun ¬ G X ifodasini tsikl sharti sifatida qabul qilish mumkin: ¬ G X X <- F X tsikl qiymatlarining oxiri X 0 ga qadar sikl.

G X tsiklining tugash holatini hisoblash ko'pincha noqulay. Keyin, agar omadingiz bo'lsa, siz Q X (ya'ni Q X => G X barcha X uchun mos keladigan) kuchliroq shartni topishga harakat qilishingiz mumkin, uni hisoblash osonroq.

Bu barcha formalizm sikl ertami-kechmi tugashi uchun F transformatsiyasini qanday topish va Q X tsiklni tugatish shartini qanday qurish haqidagi savollarga javob bermaydi. Invariantlar usulitransformatsiyani ham, shartni ham topishga yordam beradi.

Usulda asosiy rol o'ynaydi tsiklning o'zgarmasligimantiqiy qiymatlarni qabul qiluvchi yana bir holat funksiyasi. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, I X funksiya tsiklning o‘zgarmasligi deyiladi:

I X 0 - invariant dastlabki holatda haqiqiy qiymatni oladi;

I X => I F X - tsiklning o'tishida o'zgarmasning haqiqati saqlanib qoladi;

I X ? Q X => G X - invariantning bir vaqtning o'zida haqiqati va tsiklning tugash shartlari maqsad shartning haqiqatini talab qiladi.

Agar tsiklga kirishdan oldin biz I X shartining bajarilishi haqida g'amxo'rlik qilsak va o'zgarmas haqiqatni saqlaydigan F X konvertatsiyasini tanlasak va tsikl bir kun tugasa, maqsad tsikl oxirida erishiladi. .

Mavhum g'oyalardan aniq misollarga o'tish vaqti keldi. p = x n darajani sodda hisoblash algoritmini tuzamiz.

Dasturda X = p x n o'zgaruvchilar to'plamini keltiramiz. Ularning boshlang'ich qiymatlari (loopga kirishdan oldin) X 0 = p 0 x 0 n 0 dir. X 0 va n 0 qiymatlari algoritmning kirish parametrlari hisoblanadi.

Keling, sikl ixtiro qilaylik, shundan so'ng p o'zgaruvchisi x 0 n 0 qiymatini oladi, shuning uchun maqsad funktsiyasi sifatida G p x n = p = x 0 n 0 ni olamiz.

Eng oddiy (lekin eng tez emas) algoritm n ning darajasiga ko'tarish masalasini n - 1 darajasiga ko'tarish masalasiga qisqartiradi, shuning uchun tsiklda n o'zgaruvchisi nolga aylanguncha bir marta kamayadi. . Shuning uchun Q p x n = n = 0 ni tugatish shartiga aylantiramiz.

Endi biz invariantni tanlashimiz kerak. P x n o'zgaruvchilarga tsikl tanasida yangi p ? x ? n ? qiymatlari tayinlansin va biz avval qaror qilganimizdek, n ? = n - 1 . I p x n = x 0 n 0 = p x n funksiyaning invariant roliga mos kelishini tekshirish oson.

Haqiqatan ham, I p 0 x 0 n 0 = x 0 n 0 = p 0 x 0 n 0, agar biz p 0 = 1 ni o'rnatsak, to'g'ri bo'ladi. Invariant qanoatlantirishi kerak bo'lgan ikkinchi shart ham bajariladi. I p x n => I p ? x ? n ? , ya'ni x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n - 1 bo'lgani uchun p ? x va p x ni o'rnatish kifoya. ? = x o'zgarmaslikni ta'minlash uchun. Nihoyat, uchinchi shartni tekshiramiz, I p x n ? Q p x n => Q p x n, ya'ni x 0 n 0 = p x n ? n = 0 => p = x 0 n 0 . Shubhasiz, amalga oshirilmoqda. Shartlarni tekshirib, biz halqa tanasida sodir bo'ladigan o'zgarishlarni ham topdik.

n ? 0 p n <- p x n - siklning 1 oxiri bo‘lganda, biz p <- 1 sikl algoritmiga keldik.

O'quvchi nima uchun bunday aniq algoritmni olish uchun bunday murakkab tayyorgarlik kerak edi, deb hayron bo'lishi mumkin. Ehtimol, iterativ algoritmning tezkor versiyasi o'zgarmas usulning kuchini yanada ishonchli tarzda namoyish etadi.

Tez algoritm va sodda algoritm o'rtasidagi farq shundaki, tsiklda n o'zgaruvchisi bittaga kamayishi o'rniga taxminan yarmiga kamayadi. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak, agar n juft bo'lsa, u ikkiga bo'linadi, agar u toq bo'lsa, u birga qisqartiriladi va keyin yarmiga bo'linadi. Vaqt o'tishi bilan n nolga aylanishi aniq va bu sodda algoritmda bo'lgani kabi, tsiklni tugatish shartiga aylanadi.

Oddiy algoritmdan I p x n = x 0 n 0 = p x n invariantini o‘zgartirishlarsiz olamiz va I p x n => I p ? x ? n ? bo‘lishini ta’minlashga harakat qilamiz, bunda bu safar n ? = juft n uchun n 2, toq n uchun n - 1 2. Keyin juft n uchun x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n 2 sharti, toq n uchun x 0 n 0 = p ? x ? n - 1 2 bo‘lishini ta’minlashimiz kerak. , ya'ni p x n = p ? x ? n 2 juft n uchun, p ? x ? n - 1 2 toq n uchun. Bu tenglik amal qilishi uchun juft n uchun p ? = p, toq n uchun p x, x ? = x 2 qo'yish kifoya.

Tadqiqotimiz natijasi p <- 1 sikl algoritmi, agar n mod 2 = 1 p <- p x n <- n <- p x n <- n - 1 oxiri, agar x <- x 2 n <- n siklning 2 oxiri bo‘lsa, n ? 0 bo‘lsa.

Shuni tan olish kerakki, biz dastlab bu algoritmni invariantlar usuliga murojaat qilmasdan tuzgan edik. Dastur yaxshi ishladi, ammo qisqa bo'lishiga qaramay, tushunish qiyin edi. Buni o‘quvchiga tushuntirib, to‘g‘riligini isbotlovchi so‘z topa olmadik. Va faqat invariantlar usuli ham tushuntirish, ham dalil berdi.

Invariantlar usuli har qanday tsiklni yaratishni odatiy vazifaga aylantiradi deb o'ylamasligingiz kerak. Ijodkorlik uchun hali ko'p joy bor. Misol uchun, ko'p hollarda invariantning qurilishi eng aniq narsa emas. Shuning uchun biz qanday mulohazalar bizni o'zgarmas I p x n = x 0 n 0 = p x n ga olib kelganini aytib beramiz. Dastur o'zgaruvchilari o'rtasidagi o'zgarmas munosabatni izlash uchun tsikl tanasi takrorlanganda haqiqiy bo'lib qoladi, biz ushbu o'zgaruvchilar to'plami uchun qiymatlar jadvalini tuzdik. Masalan, biz ikkitani o'n uchinchi darajaga ko'tarishni tanladik: p x n 1 2 13 2 4 6 2 16 3 32 256 1 8192 65536 0

Jadvalning har bir satrida bajariladigan muntazamlik tezda topildi: p x n ifoda qiymati bir xil va aynan 2 13 ga teng bo'lib chiqdi.

Ma’lum bo‘lishicha, sonni tez n darajasiga ko‘tarish masalasi shu masala bilan chambarchas bog‘liq. Manfiy bo'lmagan butun sonni saqlashga qodir faqat bitta registrga (xotira katakchasi) ega kompyuterni tasavvur qiling. Ushbu xayoliy mashinaning ko'rsatmalar to'plami faqat ikkita ko'rsatmani o'z ichiga oladi: D registr mazmunini ikki barobarga oshiradi (so'zdan Ikki marta- double) va men registrni bittaga oshiraman ( O'sish- kattalashtirish; ko'paytirish). Dastlab, registrda nol mavjud. Mashina uchun eng qisqa dasturni topish talab qilinadi, undan keyin n raqami registrda bo'ladi. Dastur D va I ko'rsatmalarining cheklangan ketma-ketligidir.

Har qanday berilgan n uchun cheksiz ko'p dasturlar mavjud. Misol uchun, I I I ... I dasturi har doim mos keladi (jami n ko'rsatmalar I). Shuningdek, amaldagi dasturning boshiga istalgan sonli D ko'rsatmalarini qo'shish uning to'g'riligini o'zgartirmasligi aniq.

Bu sanoq sistemasining bir turi bo'lib chiqadi: har bir butun son manfiy bo'lmagan sonni olish dasturi bilan bog'lanishi mumkin - ikkita harf (yoki yaxshiroq, raqamlar), D va I alifbosi ustidagi so'z. Ushbu sanoq tizimining kamchiligi uning noaniqligidir: har bir raqam uchun cheksiz ko'p tasvirlar mavjud. Biz barcha mumkin bo'lgan vakilliklardan eng qisqasini tanlab, bu kamchilikni bartaraf etishga harakat qilishimiz mumkin. Ammo eng qisqa kirish ham yagona emas. Shubhasiz, eng qisqa vakillikni I bilan boshlanganlar orasida izlash kerak, chunki agar u D bilan boshlansa, bu D ni tashlab qisqartirish mumkin. Endi e'tibor bering, agar I I ... eng qisqa tasvir bo'lsa, I D ... ham eng qisqa tasvirdir (birma-bir ko'paytirish uni ikki barobarga oshirishga teng). Boshqa barcha registr qiymatlari uchun ikki marta ko'paytirish bitta qo'shishdan ko'ra kattaroq natija beradi. Qolgan bu noaniqlik qo'shimcha ravishda taqdimotda ketma-ket ikkita "raqam" I bo'lmasligini talab qilish orqali yo'q qilinadi. Olingan vakillik chaqiriladi kanonik.

Ma'lum bo'lishicha, kanonik tasvirni n sonining ikkilik yozuvidan osongina olish mumkin: har bir nolni "raqam" D bilan, har birini esa "raqamlar" bilan almashtirish kerak D I . Bu amalga oshirilgandan so'ng, agar u erda paydo bo'lsa, natijada paydo bo'lgan dasturning boshidan boshlab "raqam" D ni tashlashingiz kerak. Masalan, n = 13 = 1101 2 uchun I D I D D I dasturi olinadi. Va haqiqatan ham, 13 = 0 + 1 ? 2 + 1 ? 2 ? 2 + 1 .

Ammo bularning barchasi tez eksponentatsiyaga qanday aloqasi bor? n ko'rsatkichining qandaydir ifodasi bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, n ning ketma-ket bir yoki ikki barobar ortishi natijasida noldan olinadi. Lekin ko‘rsatkichga bitta qo‘shish butun ko‘rsatkichni x ga ko‘paytirishga, ko‘rsatkichni ikki barobarga oshirish esa ko‘rsatkichning kvadratiga tengdir. Agar bizning ixtiyorimizda ko‘rsatkichning tayyor tasviri bo‘lsa, d = I p <- p x aks holda p <- p 2 oxiri bo‘lsa, n ko‘rinishidan har bir d raqami uchun p <- 1 tsikl algoritmini olamiz. vakolatxonalar birinchi navbatda boshqa tsiklni tashkil qilishlari kerak. Ikkala tsiklni birlashtirish muammoli bo'ladi, chunki "raqamlar" ular yozilgan tartibda, ya'ni chapdan o'ngga kerak. Shu bilan birga, ularni o'ngdan chapga (xuddi raqamning ikkilik yozuvining raqamlari kabi) olish ancha oson. Bizning yechimimiz, biz o'zgarmaslar usulini qo'llagan bo'lsak, bu qiyinchilikni chetlab o'tadi. Ushbu tsikl ko'rsatkichni o'ngdan chapga ko'rsatishning "raqamlarini" bilvosita qabul qiladi va keyingi raqamga qarab, kerakli amallarni bajaradi: loop while n ? 0 if n mod 2 = 1 I n <- n - 1 aks holda D. n <- n 2 end if loop end Bu yerda I holatida p <- p x buyrug'i, D holatida esa x <- x 2 buyrug'i bajarilishi kerak. Albatta, tsikldan oldin p <- 1 ni belgilashingiz kerak. Olingan algoritm, ko'rish oson, avval yaratilgan algoritmga teng.

Bizning vazifamizning asosiy qiyinligi algoritm yaratish edi. Endi algoritmlar tayyor, ularni Perlga o'tkazish qiyin bo'lmaydi. Shu munosabat bilan biz "Rivojlanish" bo'limini qoldirib, to'g'ridan-to'g'ri tayyor dasturlarga o'tamiz.

Soliq to'langanligi to'g'risidagi eski yozuv (“yasaka”). Bu 1232 rubl miqdorini bildiradi. 24 kop. Kitobdan rasm: Yakov Perelman "Ko'ngilochar arifmetika"

Richard Feynman ko'proq "Albatta siz hazil qilyapsiz, janob Feynman!" og'zaki hisoblashning bir qancha usullarini o'rgatgan. Bu juda oddiy fokuslar bo'lsa-da, ular har doim ham maktab o'quv dasturiga kiritilmaydi.

Masalan, X raqamini 50 ga (50 2 = 2500) tezda kvadratga aylantirish uchun 50 va X o'rtasidagi farqning har bir birligi uchun yuzni ayirish / qo'shish va keyin kvadrat farqni qo'shish kerak. Ta'rif haqiqiy hisob-kitobga qaraganda ancha murakkabroq ko'rinadi.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Yosh Feynmanga bu hiyla-nayrangni o'sha paytda Los-Alamosda Manxetten loyihasida ishlagan hamkasbi fizik Xans Bete o'rgatgan.

Xans tez hisob-kitoblar uchun ishlatadigan yana bir nechta hiyla-nayranglarni ko'rsatdi. Masalan, kub ildizlari va darajani hisoblash uchun logarifmlar jadvalini eslab qolish qulay. Bu bilim murakkab arifmetik amallarni ancha soddalashtiradi. Misol uchun, 2,5 ning kub ildizining taxminiy qiymatini hisoblab chiqing. Darhaqiqat, bunday hisob-kitoblar bilan sizning boshingizda qandaydir slayd qoidasi ishlaydi, unda raqamlarni qo'shish va bo'lish ularning logarifmalarini qo'shish va ayirish bilan almashtiriladi. Eng qulay narsa.

Slayd qoidasi

Kompyuterlar va kalkulyatorlar paydo bo'lishidan oldin, slayd qoidasi hamma joyda ishlatilgan. Bu o'ziga xos analog "kompyuter" bo'lib, bir nechta matematik operatsiyalarni, jumladan, sonlarni ko'paytirish va bo'lish, kvadrat va kub, kvadrat va kub ildizlarini hisoblash, logarifmlarni hisoblash, potentsiyalash, trigonometrik va giperbolik funktsiyalarni hisoblash va boshqa ba'zi operatsiyalarni bajarishga imkon beradi. Agar siz hisobni uch bosqichga ajratsangiz, slayd qoidasidan foydalanib, raqamlarni har qanday haqiqiy kuchga ko'tarishingiz va har qanday haqiqiy kuchning ildizini olishingiz mumkin. Hisob-kitoblarning aniqligi taxminan 3 ta muhim raqamni tashkil qiladi.

Slayd qoidasisiz ham ongingizda murakkab hisob-kitoblarni tezda amalga oshirish uchun barcha raqamlarning kvadratlarini, hech bo'lmaganda 25 gacha bo'lgan raqamlarni yodlash yaxshidir, chunki ular ko'pincha hisob-kitoblarda qo'llaniladi. Va darajalar jadvali - eng keng tarqalgan. Har safar 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576 va ?3 ? 1,732 ni qayta hisoblashdan ko'ra eslash osonroq.

Richard Feynman o'z mahoratini oshirdi va asta-sekin yangi qiziqarli naqshlar va raqamlar orasidagi munosabatlarni payqadi. U shunday misol keltiradi: “Agar kimdir 1 ni 1,73 ga bo'lishni boshlasa, siz darhol bo'lishingiz mumkin
0,577 bo'ladi deb javob bering, chunki 1,73 uchtaning kvadrat ildiziga yaqin raqam. Shunday qilib, 1/1,73 3 ning kvadrat ildizining uchdan bir qismidir."

Bunday ilg'or aqliy arifmetika kompyuterlar va kalkulyatorlar bo'lmagan kunlarda hamkasblarini hayratda qoldirishi mumkin edi. O'sha kunlarda mutlaqo barcha olimlar o'z onglarida yaxshi hisoblay olishgan, shuning uchun mahoratga erishish uchun raqamlar dunyosiga etarlicha chuqur sho'ng'ish kerak edi.

Hozirgi kunda odamlar kalkulyatorni 76 ni 3 ga bo'lish uchun olishadi. Boshqalarni hayratda qoldirish ancha osonlashdi. Feynman davrida kalkulyator o'rniga yog'ochdan yasalgan abak mavjud bo'lib, unda murakkab operatsiyalarni, shu jumladan kub ildizlarini olish ham mumkin edi. Buyuk fizik o'shanda bunday vositalardan foydalanganda odamlar ko'plab arifmetik birikmalarni yodlashlari shart emasligini, shunchaki to'plarni qanday qilib to'g'ri aylantirishni o'rganishlarini payqab qoldi. Ya'ni, miyaning "ekspanderlari" bo'lgan odamlar raqamlarni bilishmaydi. Ular "oflayn" rejimida vazifalarni yomonroq bajaradilar.

Bu erda 1941 yildagi Tez hisoblash qo'llanmasida Yakov Perelman tomonidan tavsiya etilgan beshta juda oddiy aqliy hisoblash bo'yicha maslahatlar mavjud.

1. Agar ko'paytirilgan sonlardan biri ko'paytmalarga ajratilsa, ularni ketma-ket ko'paytirish qulay.

225 x 6 = 225 x 2 x 3 = 450 x 3
147 x 8 \u003d 147 x 2 x 2 x 2, ya'ni natijani uch marta ikki baravar oshirish

2. 4 ga ko'paytirganda, natijani ikki barobarga oshirish kifoya. Xuddi shunday, 4 va 8 ga bo'linganda, son ikki marta yoki uch marta kamayadi.

3. 5 yoki 25 ga ko'paytirilganda sonni 2 yoki 4 ga bo'lish mumkin, so'ngra natijaga bir yoki ikkita nol qo'shilishi mumkin.

74 x 5 = 37 x 10
72 x 25 = 18 x 100

Bu erda qanchalik oson ekanligini darhol baholash yaxshiroqdir. Masalan, 31 x 25 ni standart usulda 25 x 31, ya'ni 31 x 25, ya'ni 7,75 x 100 emas, balki 750 + 25 sifatida ko'paytirish qulayroqdir.

Dumaloq raqamga (98, 103) yaqin raqamga ko'paytirganda, darhol dumaloq raqamga (100) ko'paytirish va keyin farqning ko'paytmasini ayirish / qo'shish qulay.

37 x 98 = 3700 - 74
37 x 104 = 3700 + 148

4. 5 (masalan, 85) bilan tugaydigan sonni kvadratga aylantirish uchun o‘nlik sonini (8) unga qo‘shimcha bitta (9) va 25 atributini ko‘paytiring.

8 x 9 = 72, 25 ni belgilang, shuning uchun 85 2 = 7225

Nima uchun bu qoida qo'llanilishini formuladan ko'rish mumkin:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

Texnika 5 bilan tugaydigan o'nli kasrlarga ham tegishli:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. Kvadratlashganda, qulay formulani unutmang

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Albatta, barcha usullar bir-biri bilan birlashtirilishi mumkin, muayyan vaziyatlar uchun yanada qulay va samarali usullarni yaratadi.

Biz uy qurish uzoq va qimmat jarayon deb o'ylardik. Ba'zan u yillar davomida cho'ziladi, uzoq muddatli qurilishga aylanadi, oilaviy byudjetdan barcha mablag'larni chiqaradi. Biz bu haqda materialda gaplashdik. Ammo hayotda tez va minimal miqdorda uy qurish kerak bo'lgan holatlar mavjud.

Ko'rinishidan, bu mumkin emas yoki qurilayotgan tuzilmaning sifati jiddiy qurbon bo'lishi kerak. Ammo bizning portalimizda tajribasiz ishlab chiquvchilar bu bayonotni rad etganida juda ko'p misollar mavjud. Asosiysi, masalaga batafsil yondashish, uy qurish uchun hamma narsani tayyorlash va o'zingiz uchun to'g'ri va mumkin bo'lgan qurilish texnologiyasini tanlash.

Ushbu maqoladan siz quyidagilarni bilib olasiz:

• Uy uchun qanday yangi materiallar va yangi texnologiyalar ko'pincha qishloq uyini tez qurish uchun ishlatiladi.
• Qisqa vaqt ichida qurilgan turli materiallardan uylar.
• Qisqa vaqt ichida uy qurish uchun material.
• Uyning devorlarini yotqizish uchun nima qilish kerak. Qanday qilib tezda tosh uy qurish kerak.
• Yakka tartibdagi uy uchun qanday devorni tanlash kerak. Nima uchun ramka texnologiyasidan foydalangan holda uylarni qurish juda mashhur?
• Zamonaviy materiallardan uy qurish. Nima uchun SIP panellarining qurilishi yozgi uy qurilishini soddalashtiradi.
• Qoziq-vintli poydevor va qattiq qolib texnologiyasining afzalliklari qanday.
• Qanday tamoyillar strukturaning qurilishini tezlashtiradi.

Uy qurish uchun material - nimani tanlash kerak

Barcha qurilish me'yorlariga javob beradigan mustahkam qishloq uyi qurilishi puxta ishlab chiqilgan rejadan boshlanishi kerak. Smetani oldindan hisoblash, qurilish texnologiyasini va uy qurish uchun eng yaxshi qurilish materialini tanlash kerak. Bundan tashqari, qurilish amalga oshiriladigan joyning iqlim sharoitini va tuproqning xususiyatlarini hisobga olishingiz kerak. Faqat barcha kerakli ma'lumotlarni to'plaganingizdan so'ng, siz eng oqilona, tez va tejamkor qurilish usullarini tanlashingiz mumkin.

Uyning devorlari uchun material. Nima tanlash kerak - yog'och, panellar yoki tosh yotqizish.

Bundan tashqari, agar binoni tezda qurish kerak bo'lsa, bu tamoyil ikki baravar muhimdir, chunki. har qanday xato yoki to'siq qurilishning kechikishiga olib keladi. Agar binoning jadal qurilishi texnologiyasini tanlashning umumiy tamoyillarini ko'rib chiqsak, unda boshlang'ich nuqta materiallarning kafolatlangan sifati, ularni o'rnatish vaqtida qat'iy belgilangan geometriya, soddaligi va ishlab chiqarilishi, shuningdek mavjudligi hisoblanadi.

Shunday qilib, tez duvarc?l?k uchun biz uyning devorlari uchun fabrikada ishlab chiqarilgan materialni tanlaymiz. Belgilangan talablarga javob beradigan texnik xususiyatlar kafolatlangan bo'lishi kerak. Pulni tejash va turli xil hunarmandchilik materiallaridan foydalanishga urinish. garaj ishlab chiqarish - sifatli natija olish kafolatisiz lotereya.

Uy qurish - material tanlasho'z-o'zini quruvchilar va qurilish kompaniyalari uchun

Agar siz eng bardoshli materialni tanlashni va tezda qadr-qimmatga to'la tosh uyni qurishni rejalashtirmoqchi bo'lsangiz, unda siz qurilish maydonchasida osonlik bilan ishlov beriladigan (arralash, ta'qib qilish, burg'ulash) aniq geometriyaga ega bo'lgan katta formatli bloklardan foydalanishingiz kerak. Bunday materialni yotqizish osonroq va tezroq.

Xususiy uy yoki qishloq uyi uchun devor materiali sifatida yog'och ramka texnologiyasi muxlislari tomonidan tanlanadi. Bunday holda, ishning soddaligi birinchi o'rinda turadi, bu qurilishning yuqori tezligini, qurilish texnikasidan foydalanishni minimallashtirishni (chunki siz hatto yog'och ramkani ham qo'yishingiz mumkin), keng mavjudligi va yog'och juda arzon material ekanligini anglatadi.

Agar ramka qurilishi uyda qutini imkon qadar tezroq o'rnatishni rejalashtirgan o'z-o'zini quruvchilarning tanlovi bo'lsa, unda qurilish yordamida bino quradigan ishlab chiquvchilar tomonidan mustahkam katta formatli prefabrik panellar (SIP va boshqalar) afzallik beriladi. kompaniyalar.

Ushbu usullarning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega, ammo bu haqda keyinroq.

Tosh uyni tez qurish xususiyatlari

FORUMHOUSE foydalanuvchilarining tajribasi shuni ko'rsatadiki, har kimning "tezkor uy" ga o'z yo'li bor, ammo barcha individual ishlab chiquvchilar uchun umumiy bo'lgan bir nechta asosiy fikrlar mavjud. Avvalo, bu shaxsiy uy-joyning yo'qligi, yangi binolarda kvadrat metrlarning yuqori narxi va kvartirani ijaraga berish orqali pulni tashlab yuborishni istamaslikdir.

Vladimir Egorov (laqabi Bobahina)FORUMHOUSE foydalanuvchisi

Mening oilam yosh - men, xotinim va ikkita kichkina farzandim. Mening shaxsiy uyim yo'q, shuning uchun ijaraga olingan kvartiralarda yashashga majbur bo'ldim. Men qandaydir tarzda hisoblab chiqdimki, 5 yillik "ko'chmanchi" hayot uchun biz ijaraga 1 million rubl sarfladik (aslida biz uni "amaki" ga berdik). Shuning uchun, keyingi harakatdan so'ng, men qat'iy qaror qildim - yurishni to'xtating, o'z burchakingizni olishingiz kerak.

Kredit bo'yicha debetni qisqartirgan Vladimir, 1-1,5 million rubl miqdorida kredit olib, ipotekaga sarmoya kiritishdan ko'ra, uy qurish foydaliroq bo'lishini hisoblab chiqdi. Katta qaror qabul qilingandan so'ng, oilani ko'chirishga tayyor bo'lgan "0" dan yozgi uyni tezda qurishga imkon beradigan qurilish texnologiyasini tanlash qoladi. "Uy qurish qancha turadi" ni tahlil qilib, Vladimir qurilish maydonchasini bir necha bosqichlarga bo'lish va o'z-o'zini qurish uchun eng mos bo'lgan yuk ko'taruvchi devorlar uchun material tanlashga qaror qildi.

Oldinga qarab, deylik, bizning foydalanuvchi o'z orzusini amalga oshirishga muvaffaq bo'ldi: in imkon qadar tezroq uy qurish hajmi 10x7,5 m va birinchi qavatni doimiy yashash uchun tayyorlang. Bundan tashqari, qurilish materiali sifatida gazbeton tanlangan. Ta'kidlash joizki, er uchastkasi Vladimirga uning otasi tomonidan berilgan, bu qurilishning muvaffaqiyati uchun hal qiluvchi omillardan biriga aylandi.

Shuni ham yodda tutingki, tosh uy aslida bir kishi tomonidan 6 oy ichida qurilgan. Yollanma mehnatdan - bir necha kishidan iborat jamoadan foydalanilganda, bu muddatlar 2-3 baravar qisqartirilishi mumkin, ammo qurilayotgan tuzilmaning narxi oshishi bilan. Shuning uchun, tezkor qurilish haqida o'ylayotganda, siz doimo murosaga kelishingiz kerak: tezlik / smeta, shuningdek, o'zingiz qurishni (bu vaqt talab etadi) yoki shu vaqt davomida ishlashni va qurilishni nazorat qilishni tanlang.

Uyni qurishning yuqori tezligi saytdagi barcha turdagi zarur kommunikatsiyalarning mavjudligi - yorug'lik va suv, shuningdek, har bir qurilish bosqichini malakali rejalashtirish va zamonaviy texnologiyani tanlash bilan yordam beradi.

Tosh uyini qurishda biz "ho'l" jarayonlarni minimallashtirishga va barcha texnologik bosqichlarni optimallashtirishga harakat qilishimiz kerak.

Ramka qurish texnologiyasi

Zamonaviy qurilish tajribasi shuni ko'rsatadiki, ishlab chiqarish muddati allaqachon o'tgan tasdiqlangan texnologiyadan foydalangan holda qurilish jarayonini sezilarli darajada tezlashtirish mumkin. Agar ushbu yechim ma'lum bir yashash hududi uchun samarali bo'lsa. Bular. devorlar uchun tanlangan material siz yashayotgan hududda keng tarqalgan bo'lib, etishmovchilik yo'q va qurilish guruhlari u bilan qanday ishlashni bilishadi va allaqachon "qo'lini taqillatgan". Bunday holda, to'g'ri nazorat bilan, yuqori sifatli natijani kafolatlash mumkin.

Agar siz tezda uy qurishingiz kerak bo'lsa va buzilmasligingiz kerak bo'lsa, ko'plab ishlab chiquvchilar o'z-o'zini qurish uchun eng oqilona sifatida ramka qurish texnologiyasidan foydalangan holda uy qurishni tanlaydilar.

Ufonru FORUMHOUSE foydalanuvchisi

Menda Sankt-Peterburg yaqinidagi SNTda 6 gektar maydon bor. Men uning ustiga uy qurishga qaror qildim. Bo'sh vaqtingizda uni tez va samarali qurishingiz uchun texnologiyani tanlash qoladi. Va 400 ming rubl ichida saqlang.

Ma'lumotni belkuraklash natijasida Ufonru"ramkalar" ni tanladi. Bizning foydalanuvchi 80 kun ichida yolg'iz o'zi 6x10 m o'lchamdagi 350 ming rubllik, chodirli va nozik qoplamali issiq uy qurishga muvaffaq bo'ldi.

"Roma" ning afzalliklarini yozib qo'yish mumkin: deyarli yil davomida qurilishni o'tkazish qobiliyati, material minimal "ho'l" jarayonlarni (vaqt va yaxshi ob-havo sharoitlarini talab qiladi), texnologiyaning rivojlanishi va qurilishning yuqori tezligini ta'minlaydi. .

Buni darhol aytish kerak Ufonru masalaga batafsil yetib keldi. Chiqindilarni minimallashtirish uchun uyning o'lchamlari OSB plitalari, taxtalar, gipsokarton, izolyatsiya va boshqalarning o'lchamlari asosida hisoblab chiqilgan. Bu ularning butun foydalanishga yaroqli maydonini qoldiqsiz va ishlatishga imkon berdi materialni kesish uchun vaqtni tejash.

Poydevor sifatida sayoz chiziqli poydevor tanlandi va qolip uchun 100x50 mm o'lchamdagi taxtalar tanlandi, keyin ularning barchasi keyinchalik kesilmasdan ramka tokchalariga va bog'lab qo'yildi. Va bu qo'shimcha tezlik va materiallarni tejash.

Optimallashtirish tamoyilidan foydalangan holda, faqat ushbu uy uchun poydevorning narxi 65 ming rublgacha qisqartirildi.

SIP panellaridan uy qurishning nuanslari va qoziq vintli poydevorni qurish vaqti

Kottej qurish tezligiga intilishda, ko'plab yangi ishlab chiquvchilar uyning deraza va eshiklari o'rnatilgan devorlar qutisi ekanligiga soddalik bilan ishonishadi. Aslida, unday emas. Siz minimal aloqaga ega uyda yashashingiz mumkin - bu shunday. muhandislar. Bular elektr, kanalizatsiya va suv.

Mustaqil ravishda, olti oy ichida, doimiy yashash uchun gazbetonli uyni qanday qurishni ko'ring. Bizning videomizdan siz ham bilib olasiz

Ma'lumki, to'rtburchakning maydoni uning ikki xil tomonining uzunligini ko'paytirish orqali hisoblanadi. Kvadratning barcha tomonlari teng, shuning uchun siz tomonni o'ziga ko'paytirishingiz kerak. Bu erda "kvadrat" iborasi kelib chiqadi. Ehtimol, har qanday raqamni kvadratga solishning eng oson yo'li oddiy kalkulyatorni olish va kerakli raqamni o'zi bilan ko'paytirishdir. Agar qo'lingizda kalkulyator bo'lmasa, mobil telefoningizga o'rnatilgan kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin. Ilg'or foydalanuvchilar uchun Office Microsoft Excel dasturidan foydalanish tavsiya etilishi mumkin, ayniqsa bunday hisob-kitoblarni tez-tez bajarish kerak bo'lsa. Buning uchun ixtiyoriy katakchani tanlang, masalan G7 va unga =F7*F7 formulasini kiriting. Keyin F7 katagiga istalgan raqamni kiriting va natijani G7 katakchasiga oling.

Oxirgi raqami 5 ga teng bo'lgan raqamni kvadratga qanday aylantirish mumkin. Bu raqamni kvadratga aylantirish uchun raqamning oxirgi raqamini tashlash kerak. Olingan sonni kattaroq raqam bilan 1 ga ko'paytirish kerak. Keyin natijadan keyin o'ng tomonga 25 raqamini qo'shishingiz kerak. Misol. 35 raqamining kvadratini olish talab qilinsin.Oxirgi 5 raqami tashlangandan so'ng, 3 raqami qoladi.1 qo'shiladi - 4,3x4 = 12 raqami olinadi. 25 qo'shiladi va natijada 1225. 35x35=3*4 qo'shiladi 25=1225.

Oxirgi raqami 6 ga teng bo‘lgan sonni kvadratga qanday ajratish mumkin. Bu algoritm 5 raqami bilan tugaydigan sonni kvadratga aylantirish masalasini hal qilganlar uchun javob beradi. Matematikadan ma’lumki, binomialning kvadratini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin. formula (A + B) x (A + B) \u003d AxA + 2xAxB + BxB. Oxirgi raqami 6 bo'lgan A raqamini kvadratga aylantirganda, bu raqam A \u003d B + 1 sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda B - A sonidan 1 ga kam bo'lgan raqam, shuning uchun uning oxirgi raqami 5 ga teng. Bu holda formulani oddiyroq ko'rinishda ko'rsatish mumkin (B + 1) x (B + 1) \u003d BxB + 2xBx1 + 1x1 \u003d BxB + 2xB + 1. Masalan, bu raqam 16 bo'lsin. Yechim 16 x16 \u003d 15 x15 + 2x15 x1 + 1x1 \u003d 225 + 30 + 1 \u003d 256 Og'zaki qoida: 6 bilan tugaydigan sonning kvadratini topish uchun: oldingi raqamni kvadratga aylantiring, oldingi raqamni ikki marta qo'shing va 1 qo'shing.

11 dan 29 gacha bo'lgan raqamlarni kvadratga qanday ajratish kerak. 11 dan 19 gacha bo'lgan raqamlarni kvadratga aylantirish uchun siz asl raqamga birliklar sonini qo'shishingiz, natijani 10 ga ko'paytirishingiz va o'ngga kvadrat sonini qo'shishingiz kerak. Misol. Kvadrat 13. Bu raqamdagi birliklar soni 3. Keyinchalik, oraliq raqamni hisoblashingiz kerak 13+3=16. Keyin uni 10 ga ko'paytiring. 160 chiqadi. Birlar sonining kvadrati 3x3 = 9 ga teng. Yakuniy natija 169. Uchinchi o'nlik raqamlari uchun shunga o'xshash algoritm qo'llaniladi, faqat siz atributni emas, balki 20 ga ko'paytirishingiz va birliklar kvadratini qo'shishingiz kerak. Misol. 24 raqamining kvadratini hisoblang. Birliklar soni topildi - 4. Oraliq raqam hisoblanadi - 24 + 4 \u003d 28. 20 ga ko'paytirilsa, 560 chiqadi. Birlar sonining kvadrati 4x4 = 16 ga teng. Yakuniy natija 560+16=576.

40 dan 60 gacha bo'lgan raqamlarni kvadratga qanday ajratish mumkin. Algoritm juda oddiy. Avval siz berilgan son 50 soni diapazonining o'rtasidan qancha katta yoki kichik ekanligini topishingiz kerak. Natijaga 25 ni qo'shing (agar raqam 50 dan ortiq bo'lsa) yoki ayiring (agar raqam 50 dan kam bo'lsa) Olingan yig'indini (yoki farqni) 100 ga ko'paytiring. Natijaga kvadratini topmoqchi bo'lgan son bilan 50 soni o'rtasidagi farqni qo'shing. Misol: 46 sonining kvadratini topishingiz kerak. Farq 50-46=4,5-4=1,1x100=0,4x4=6,0+16=2116 ga teng. Natija: 46x46=2116.

Yana bir hiyla - 40 dan 60 gacha bo'lgan raqamlarni kvadratga aylantirish. 40 dan 49 gacha bo'lgan sonning kvadratini hisoblash uchun siz birliklar sonini 15 ga oshirishingiz, natijani 100 ga ko'paytirishingiz kerak, uning o'ng tomoniga Berilgan sonning oxirgi raqami bilan 10 orasidagi farqning kvadrati. Misol. 42 sonining kvadratini hisoblang. Bu sonning birliklari soni 2. 15 qo'shiladi: 2+15=17. Bir xil sonli birliklar va 10 ning farqi topildi.U 8 ga teng. Kvadrat: 8x8 \u003d 64. Oldingi natijaning o'ng tomoniga 64 raqami tayinlangan 17. Yakuniy raqam 1764. Agar raqam 51 dan 59 gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, uni kvadrat qilish uchun xuddi shu algoritmdan foydalaniladi, raqamga faqat 25 qo'shilishi kerak. birliklari.

Sizning fikringizdagi har qanday ikki xonali sonni qanday kvadrat qilish kerak. Agar kishi bir xonali sonlarni kvadratga solishni bilsa, boshqacha qilib aytganda, ko'paytirish jadvalini bilsa, u holda ikki xonali raqamlarning kvadratlarini hisoblashda hech qanday muammo bo'lmaydi. Misol. Ikki xonali 36 raqamini kvadratga olishingiz kerak. Bu raqam uning o'nlab soniga ko'paytiriladi. 36x3=8. Keyinchalik, raqam raqamlarining mahsulotini topishingiz kerak: 3x6 \u003d 18. Keyin ikkala natijani qo'shing. 108+18=126. Keyingi qadam: asl sonning birliklarini kvadratga aylantirishingiz kerak: 6x6=36. Olingan mahsulotda o'nlab soni aniqlanadi - 3 va oldingi natijaga qo'shiladi: 126 + 3 = 129. Va oxirgi qadam. Olingan natijaning o'ng tomonida asl raqamning birliklari soni ko'rsatilgan, bu misolda - 6. Yakuniy natija 1296 raqamidir.

Turli xil raqamlarni kvadratga solishning ko'plab usullari mavjud. Yuqoridagi algoritmlarning ba'zilari juda oddiy, ba'zilari esa bir qarashda juda og'ir va tushunarsizdir. Ularning ko'pchiligi asrlar davomida odamlar tomonidan ishlatilgan. Har bir inson o'zining yanada tushunarli va qiziqarli algoritmlarini ishlab chiqishi mumkin. Ammo og'zaki hisob bilan bog'liq muammolar yoki boshqa qiyinchiliklar yuzaga kelsa, siz texnik vositalarni jalb qilishingiz kerak bo'ladi.

Raqamlar kvadratlarini aqliy ravishda hisoblash qobiliyati turli xil hayotiy vaziyatlarda foydali bo'lishi mumkin, masalan, investitsiya operatsiyalarini tezkor baholash, maydonlar va hajmlarni hisoblash va boshqa ko'plab holatlarda. Bundan tashqari, boshingizdagi kvadratchalarni hisoblash qobiliyati sizning intellektual qobiliyatingizning namoyishi bo'lib xizmat qilishi mumkin. Ushbu maqolada ushbu mahoratni o'rganishga imkon beradigan usullar va algoritmlar tahlil qilinadi.

Yig'indining kvadrati va farqning kvadrati

Ikki xonali sonlarni kvadratga aylantirishning eng oddiy usullaridan biri bu yig'indining kvadrati va farqning kvadrati uchun formulalardan foydalanishga asoslangan texnikadir:

Ushbu usuldan foydalanish uchun siz ikki xonali sonni 10 ga karrali va 10 dan kichik sonning yig'indisiga ajratishingiz kerak. Masalan:

• 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
• 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Deyarli barcha kvadratlashtirish usullari (quyida tavsiflangan) kvadrat yig'indisi va kvadrat farqi formulalariga asoslanadi. Ushbu formulalar ba'zi bir maxsus holatlarda kvadratlashtirishni soddalashtiradigan bir qator algoritmlarni aniqlash imkonini berdi.

Taniqli maydonga yaqin kvadrat

Agar biz kvadratga aylantirayotgan raqam biz bilgan kvadratiga yaqin bo'lsa, oddiy aqliy hisoblash uchun to'rtta texnikadan birini qo'llashimiz mumkin:

yana 1 ta:

Metodologiya: bitta kam sonning kvadratiga sonning o'zini va bitta kam sonni qo'shing.

• 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
• 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 ta kam:

Metodologiya: yana bitta raqamning kvadratidan sonning o'zini va yana bitta raqamni ayirish.

• 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
• 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

yana 2 ta

Metodologiya: 2 kam sonning kvadratiga sonning o'zi yig'indisini ikki baravar qo'shing va 2 soni kam.

• 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 kam

Metodologiya: yana 2 sonining kvadratidan sonning o'zi va yana 2 sonining yig'indisini ikki baravar kamaytiring.

• 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
• 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Bu usullarning barchasini kvadrat yig'indi va kvadrat ayirma formulalaridan (yuqorida muhokama qilingan) algoritmlarni olish orqali osongina isbotlash mumkin.

5 bilan tugaydigan raqamlar kvadrati

5 bilan tugaydigan raqamlarning kvadratiga. Algoritm oddiy. Oxirgi beshgacha bo'lgan raqamni bir xil raqamga ko'paytiring. Qolgan raqamga 25 qo'shamiz.

• 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
• 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
• 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Bu murakkabroq misollar uchun ham amal qiladi:

• 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Kvadrat raqamlar 50 ga yaqin

Kiritilgan raqamlarning kvadratini hisoblang 40 dan 60 gacha juda oddiy tarzda amalga oshirilishi mumkin. Algoritm quyidagicha: 25 ga qancha raqam 50 dan katta (yoki kichik) bo'lsa, shuncha qo'shamiz (yoki ayitamiz). Bu summani (yoki farqni) 100 ga ko'paytiramiz. soni kvadrat va ellik. Misollar bilan algoritm qanday ishlashini ko'ring:

• 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
• 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Uch xonali raqam kvadrati

Uch xonali raqamlarni kvadratga aylantirish qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan biri yordamida amalga oshirilishi mumkin:

Ushbu usulni og'zaki hisoblash uchun qulay deb aytish mumkin emas, lekin ayniqsa qiyin holatlarda uni qabul qilish mumkin:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Ishlab chiqish; mashqa qilish

Agar siz ushbu dars mavzusi bo'yicha o'z mahoratingizni oshirmoqchi bo'lsangiz, quyidagi o'yindan foydalanishingiz mumkin. Siz olgan ballarga javoblaringizning to'g'riligi va o'tish uchun sarflangan vaqt ta'sir qiladi. E'tibor bering, raqamlar har safar boshqacha.