• apotema- muntazam piramidaning uning cho'qqisidan chizilgan yon yuzining balandligi (bundan tashqari, apotem - muntazam ko'pburchakning o'rtasidan uning bir tomoniga tushirilgan perpendikulyar uzunligi);
• yon yuzlar (ASB, BSC, CSD, DSA) - cho'qqisida uchrashadigan uchburchaklar;
• lateral qovurg'alar ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — yon yuzlarning umumiy tomonlari;
• piramidaning tepasi (t. S) - yon qovurg'alarni bog'laydigan va asos tekisligida yotmaydigan nuqta;
• balandlik ( SO ) - piramidaning ustki qismidan uning asosi tekisligiga chizilgan perpendikulyar segment (bunday segmentning uchlari piramidaning tepasi va perpendikulyarning asosi bo'ladi);
• piramidaning diagonal qismi- piramidaning tepadan va asosning diagonalidan o'tadigan qismi;
• asos (A B C D) - piramida cho'qqisiga tegishli bo'lmagan ko'pburchak.

Piramidaning xossalari.

1. Barcha yon qirralarning o'lchami bir xil bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiyalanadi;
• yon qovurg'alar taglik tekisligi bilan teng burchaklar hosil qiladi;
• Bundan tashqari, buning aksi ham to'g'ri, ya'ni. yon qovurg'alar poydevor tekisligi bilan teng burchaklarni hosil qilganda yoki piramida poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa va piramidaning tepasi bu doiraning markaziga proyeksiyalansa, bu barcha yon qirralarning ekanligini anglatadi. Piramidaning o'lchamlari bir xil.

2. Yon yuzlar bir xil qiymatdagi poydevor tekisligiga moyillik burchagiga ega bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiyalanadi;
• yon yuzlarning balandligi teng uzunlikda;
• yon yuzaning maydoni taglik perimetri va yon yuzning balandligi mahsulotining 1/2 qismiga teng.

3. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin, agar piramidaning negizida uning atrofida aylana tasvirlanadigan ko‘pburchak bo‘lsa (zarur va yetarli shart). Sfera markazi ularga perpendikulyar piramida qirralarining o'rtalaridan o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi. Ushbu teoremadan biz sharni har qanday uchburchak atrofida ham, har qanday muntazam piramida atrofida ham tasvirlash mumkin degan xulosaga kelamiz.

4. Piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari 1-nuqtada kesishsa (zarur va yetarli shart) sharni piramida ichiga yozib olish mumkin. Bu nuqta sharning markaziga aylanadi.

Eng oddiy piramida.

Burchaklar soniga ko'ra, piramida asosi uchburchak, to'rtburchak va boshqalarga bo'linadi.

Piramida bo'ladi uchburchak, to'rtburchak, va hokazo, piramidaning asosi uchburchak, to'rtburchak va hokazo bo'lganda. Uchburchak piramida tetraedr - tetraedrdir. To'rtburchak - beshburchak va boshqalar.

Talabalar geometriyani o'rganishdan ancha oldin piramida tushunchasiga duch kelishadi. Ayb dunyoning mashhur buyuk Misr mo''jizalaridadir. Shuning uchun, bu ajoyib ko'pburchakni o'rganishni boshlaganda, ko'pchilik talabalar buni allaqachon aniq tasavvur qilishadi. Yuqorida aytib o'tilgan barcha diqqatga sazovor joylar to'g'ri shaklga ega. Nima bo'ldi muntazam piramida, va u qanday xususiyatlarga ega, bundan keyin muhokama qilinadi.

Bilan aloqada

Ta'rif

Piramidaning juda ko'p ta'riflari mavjud. Qadim zamonlardan beri u juda mashhur.

Masalan, Evklid uni bir nuqtadan boshlab, ma'lum bir nuqtada birlashadigan tekisliklardan tashkil topgan tana figurasi deb ta'riflagan.

Heron aniqroq formulani taqdim etdi. U bu raqam ekanligini ta'kidladi asosi va uchburchak shaklida tekisliklari bor, bir nuqtada birlashish.

Zamonaviy talqinga asoslanib, piramida bir umumiy nuqtaga ega bo'lgan ma'lum bir k-gon va k tekis uchburchak figuralardan tashkil topgan fazoviy ko'pburchak sifatida ifodalanadi.

Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik, u qanday elementlardan iborat:

• k-gon figuraning asosi hisoblanadi;
• 3 burchakli shakllar yon qismning chetlari sifatida tashqariga chiqadi;
• yon elementlar kelib chiqadigan yuqori qism tepalik deb ataladi;
• cho'qqini bog'laydigan barcha segmentlar qirralar deb ataladi;
• agar cho'qqidan figuraning tekisligiga 90 graduslik burchak ostida to'g'ri chiziq tushirilsa, uning ichki bo'shliqdagi qismi piramidaning balandligi;
• har qanday lateral elementda apotem deb ataladigan perpendikulyar ko'pburchakning yon tomoniga tortilishi mumkin.

Qirralarning soni 2*k formulasi yordamida hisoblab chiqiladi, bu erda k - k-gon tomonlarining soni. Piramida kabi ko'pburchakning nechta yuzi borligini k+1 ifodasi yordamida aniqlash mumkin.

Muhim! Muntazam shakldagi piramida - bu stereometrik figura bo'lib, uning asos tekisligi tomonlari teng bo'lgan k-gondir.

Asosiy xususiyatlar

To'g'ri piramida ko'p xususiyatlarga ega, unga xos bo'lgan. Keling, ularni sanab o'tamiz:

1. Asos - to'g'ri shakldagi raqam.
2. Yon elementlarni cheklaydigan piramidaning qirralari teng sonli qiymatlarga ega.
3. Yon elementlar teng yonli uchburchaklardir.
4. Shakl balandligining asosi ko'pburchakning markaziga to'g'ri keladi, shu bilan birga u bir vaqtning o'zida chizilgan va chegaralangan markaziy nuqtadir.
5. Barcha yon qovurg'alar bir xil burchak ostida poydevor tekisligiga moyil.
6. Barcha yon yuzalar taglikka nisbatan bir xil moyillik burchagiga ega.

Ro'yxatdagi barcha xususiyatlar tufayli elementlarni hisoblash ancha sodda. Yuqoridagi xususiyatlarga asoslanib, biz e'tibor beramiz ikkita belgi:

1. Agar ko'pburchak aylanaga to'g'ri keladigan bo'lsa, yon tomonlar poydevor bilan teng burchakka ega bo'ladi.
2. Ko'pburchak atrofida aylana tasvirlanganda, piramidaning cho'qqisidan chiqadigan barcha qirralarning uzunligi teng va asos bilan teng burchaklarga ega bo'ladi.

Asos - kvadrat

Oddiy to'rtburchak piramida - asosi kvadrat bo'lgan ko'pburchak.

Uning to'rtta yon yuzi bor, ular tashqi ko'rinishida teng yonli.

Kvadrat tekislikda tasvirlangan, lekin muntazam to'rtburchakning barcha xususiyatlariga asoslangan.

Misol uchun, agar kvadratning yon tomonini uning diagonali bilan bog'lash kerak bo'lsa, unda quyidagi formuladan foydalaning: diagonal kvadrat tomoni va ikkita kvadrat ildizning ko'paytmasiga teng.

U oddiy uchburchakka asoslangan

Muntazam uchburchak piramida asosi muntazam 3 burchakli ko'pburchakdir.

Agar taglik muntazam uchburchak bo'lsa va yon qirralari poydevorning chetlariga teng bo'lsa, unda bunday raqam tetraedr deb ataladi.

Tetraedrning barcha yuzlari teng tomonli 3 burchakli. Bunday holda, siz ba'zi fikrlarni bilishingiz va hisoblashda ularga vaqt sarflamasligingiz kerak:

• qovurg'alarning har qanday asosga egilish burchagi 60 daraja;
• barcha ichki yuzlarning o'lchami ham 60 daraja;
• har qanday yuz asos bo'lib xizmat qilishi mumkin;
• , shakl ichida chizilgan, bu teng elementlardir.

Ko'pburchakning bo'limlari

Har qanday ko'pburchakda mavjud bir necha turdagi bo'limlar tekis. Ko'pincha maktab geometriya kursida ular ikkitasi bilan ishlaydi:

• eksenel;
• asosga parallel.

Ko'pburchakni cho'qqi, yon qirralar va o'qdan o'tadigan tekislik bilan kesish orqali eksenel kesma olinadi. Bunday holda, o'q tepadan chizilgan balandlikdir. Kesish tekisligi barcha yuzlar bilan kesishish chiziqlari bilan chegaralanadi, natijada uchburchak hosil bo'ladi.

Diqqat! Muntazam piramidada eksenel kesma teng yonli uchburchakdir.

Agar kesish tekisligi taglikka parallel bo'lsa, unda natija ikkinchi variant bo'ladi. Bunday holda, bizda poydevorga o'xshash kesma shakli mavjud.

Misol uchun, agar poydevorda kvadrat bo'lsa, u holda poydevorga parallel bo'lgan qism ham kvadrat bo'ladi, faqat kichikroq o'lchamdagi.

Ushbu shartdagi muammolarni echishda ular raqamlarning o'xshashlik belgilari va xususiyatlaridan foydalanadilar, Thales teoremasiga asoslanadi. Avvalo, o'xshashlik koeffitsientini aniqlash kerak.

Agar tekislik asosga parallel ravishda chizilgan bo'lsa va u ko'pburchakning yuqori qismini kesib tashlasa, pastki qismida muntazam kesilgan piramida olinadi. Keyin kesilgan ko'pburchakning asoslari o'xshash ko'pburchaklar deyiladi. Bunday holda, yon yuzlar izosselli trapezoidlardir. Eksenel qism ham teng yonlidir.

Kesilgan ko'pburchakning balandligini aniqlash uchun o'q kesimida, ya'ni trapetsiyada balandlikni chizish kerak.

Yuzaki maydonlar

Maktab geometriya kursida echilishi kerak bo'lgan asosiy geometrik masalalar quyidagilardir piramidaning sirt maydoni va hajmini topish.

Sirt maydoni qiymatlarining ikki turi mavjud:

• yon elementlarning maydoni;
• butun yuzaning maydoni.

Ismning o'zidan biz nima haqida gapirayotganimiz aniq. Yon sirt faqat yon elementlarni o'z ichiga oladi. Bundan kelib chiqadiki, uni topish uchun siz shunchaki lateral tekisliklarning maydonlarini, ya'ni 3-gons teng yon tomonlarning maydonlarini qo'shishingiz kerak. Keling, yon elementlarning maydoni uchun formulani olishga harakat qilaylik:

1. 3 burchakli teng yon tomonning maydoni Str=1/2(aL), bu erda a - asosning tomoni, L - apotema.
2. Yanal tekisliklar soni asosdagi k-gon turiga bog'liq. Masalan, oddiy to'rtburchak piramida to'rtta lateral tekislikka ega. Shuning uchun Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L to'rtta figuraning maydonlarini qo'shish kerak. Ifoda shu tarzda soddalashtirilgan, chunki qiymat 4a = Rosn, bu erda Rosn - bazaning perimetri. Va 1/2*Rosn ifodasi uning yarim perimetridir.
3. Shunday qilib, biz oddiy piramidaning lateral elementlarining maydoni poydevorning yarim perimetri va apothemning mahsulotiga teng degan xulosaga keldik: Sside = Rosn * L.

Piramidaning umumiy yuzasining maydoni yon tekisliklar va poydevorning maydonlari yig'indisidan iborat: Sp.p. = Sside + Sbas.

Baza maydoniga kelsak, bu erda formula ko'pburchak turiga qarab ishlatiladi.

Muntazam piramidaning hajmi asos tekisligining maydoni va balandlikning uchga bo'lingan mahsulotiga teng: V=1/3*Sbas*H, bu erda H - ko'pburchakning balandligi.

Geometriyada muntazam piramida nima

Muntazam to'rtburchakli piramidaning xossalari

Piramida tushunchasi

Ta'rif 1

Ko'pburchak va shu ko'pburchakni o'z ichiga olgan tekislikda yotmagan nuqtadan hosil bo'lgan, ko'pburchakning barcha uchlari bilan bog'langan geometrik figuraga piramida deyiladi (1-rasm).

Piramida qurilgan ko'pburchak piramidaning asosi deb ataladi; natijada paydo bo'lgan uchburchaklar nuqtaga ulanganda piramidaning yon yuzlari, uchburchaklarning tomonlari piramidaning tomonlari va umumiy nuqtadir. barcha uchburchaklar uchun piramidaning tepasi.

Piramidalarning turlari

Piramida poydevoridagi burchaklar soniga qarab, uni uchburchak, to'rtburchak va hokazo deb atash mumkin (2-rasm).

2-rasm.

Piramidaning yana bir turi oddiy piramidadir.

Oddiy piramidaning xususiyatini tanishtiramiz va isbotlaymiz.

Teorema 1

Muntazam piramidaning barcha lateral yuzlari bir-biriga teng bo'lgan teng yonli uchburchaklardir.

Isbot.

Balandligi $S$ $h=SO$ bo?lgan oddiy $n-$gonal piramidani ko?rib chiqaylik. Keling, poydevor atrofida aylana chizamiz (4-rasm).

4-rasm.

$SOA$ uchburchagini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasiga ko'ra, biz olamiz

Shubhasiz, har qanday yon chekka shu tarzda aniqlanadi. Binobarin, barcha yon qirralar bir-biriga teng, ya'ni barcha yon tomonlari teng yonli uchburchaklardir. Keling, ularning bir-biriga teng ekanligini isbotlaylik. Baza muntazam ko'pburchak bo'lgani uchun barcha yon yuzlarning asoslari bir-biriga teng. Binobarin, barcha lateral yuzlar uchburchaklar tengligining III mezoniga ko'ra tengdir.

Teorema isbotlangan.

Keling, oddiy piramida tushunchasi bilan bog'liq quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif 3

Muntazam piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir.

Shubhasiz, Birinchi teoremaga ko'ra, barcha apotemlar bir-biriga tengdir.

Teorema 2

Muntazam piramidaning lateral yuzasi poydevorning yarim perimetri va apothemning mahsuloti sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$gonal piramida asosining yon tomonini $a$, apotemini $d$ bilan belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

Chunki, 1-teoremaga ko'ra, barcha tomonlar tengdir

Teorema isbotlangan.

Piramidaning yana bir turi kesilgan piramidadir.

Ta'rif 4

Agar oddiy piramida orqali uning asosiga parallel tekislik o'tkazilsa, u holda bu tekislik bilan asos tekisligi o'rtasida hosil bo'lgan figuraga kesilgan piramida deyiladi (5-rasm).

5-rasm. Kesilgan piramida

Kesilgan piramidaning lateral yuzlari trapezoidlardir.

Teorema 3

Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasi poydevor va apotemaning yarim perimetrlari yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$gonal piramida asoslarining tomonlarini mos ravishda $a\ va\ b$, apotemini $d$ bilan belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

Hamma tomonlar teng bo'lgani uchun

Teorema isbotlangan.

Namuna topshiriq

1-misol

Kesilgan uchburchak piramidaning lateral yuzasi maydonini toping, agar u asos tomoni 4 va apotemi 5 bo'lgan oddiy piramidadan yon yuzlarning o'rta chizig'idan o'tadigan tekislikni kesib o'tgan bo'lsa.

Yechim.

O'rta chiziq teoremasidan foydalanib, biz kesilgan piramidaning yuqori asosi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, apotema esa $5\cdot \frac(1)(2) ga teng ekanligini aniqlaymiz. =2,5$.

Keyin 3-teorema bo'yicha biz olamiz

Piramida. Kesilgan piramida

Piramida ko'pburchak bo'lib, uning yuzlaridan biri ko'pburchak ( asos ) va boshqa barcha yuzlar umumiy uchli uchburchaklardir ( yon yuzlar ) (15-rasm). Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan bo'lsa (16-rasm). Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr .

Yanal qovurg'a piramidaning yon yuzining asosga tegishli bo'lmagan tomoni Balandligi piramida - uning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramidaning barcha lateral qirralari bir-biriga teng, barcha lateral yuzlari teng yon tomonli uchburchaklardir. Muntazam piramidaning tepadan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema . Diagonal qism piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik kesimi deyiladi.

Yon sirt maydoni piramida barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisidir. Umumiy sirt maydoni barcha yon yuzlar va asosning maydonlari yig'indisi deyiladi.

Teoremalar

1. Agar piramidada barcha lateral qirralar asos tekisligiga teng darajada qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.

2. Agar piramidaning barcha yon qirralari teng uzunliklarga ega bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

3. Agar piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning yuqori qismi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun to'g'ri formula:

Qayerda V- hajm;

S asosi- tayanch maydoni;

H- piramidaning balandligi.

Oddiy piramida uchun quyidagi formulalar to'g'ri:

Qayerda p- bazaning perimetri;

h a- apotema;

H- balandligi;

S to'la

S tomoni

S asosi- tayanch maydoni;

V- oddiy piramidaning hajmi.

Kesilgan piramida piramidaning poydevor va piramida asosiga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi deyiladi (17-rasm). Oddiy kesilgan piramida muntazam piramidaning asos va piramida asosiga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi.

Sabablari kesilgan piramida - shunga o'xshash ko'pburchaklar. Yon yuzlar - trapezoidlar. Balandligi kesilgan piramidaning asoslari orasidagi masofa. Diagonal kesilgan piramida - uning bir yuzida yotmaydigan uchlarini bog'laydigan segment. Diagonal qism - kesilgan piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik bilan kesmasi.

Kesilgan piramida uchun quyidagi formulalar amal qiladi:

(4)

Qayerda S 1 , S 2 - yuqori va pastki tagliklarning joylari;

S to'la- umumiy sirt maydoni;

S tomoni- lateral sirt maydoni;

H- balandligi;

V- kesilgan piramidaning hajmi.

Oddiy kesilgan piramida uchun formula to'g'ri:

Qayerda p 1 , p 2 – tayanchlarning perimetrlari;

h a- oddiy kesilgan piramidaning apothemi.

1-misol. Muntazam uchburchakli piramidada poydevordagi ikki burchakli burchak 60? ga teng. Yon qirraning asos tekisligiga moyillik burchagi tangensini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (18-rasm).

Piramida muntazamdir, ya'ni poydevorda teng qirrali uchburchak va barcha yon tomonlari teng teng yonli uchburchaklardir. Poydevordagi dihedral burchak piramidaning yon yuzining poydevor tekisligiga moyillik burchagidir. Chiziqli burchak - burchak a ikki perpendikulyar orasida: va hokazo. Piramidaning tepasi uchburchakning markazida proyeksiyalangan (aylana va uchburchakning chizilgan doirasi markazi). ABC). Yon qirraning egilish burchagi (masalan S.B.) chekkaning o'zi va uning asos tekisligiga proyeksiyasi orasidagi burchak. Qovurg'a uchun S.B. bu burchak burchak bo'ladi SBD. Tangensni topish uchun siz oyoqlarni bilishingiz kerak SO Va O.B.. Segmentning uzunligi bo'lsin BD 3 ga teng A. Nuqta HAQIDA chiziq segmenti BD qismlarga bo'linadi: va Biz topamiz SO: Biz topamiz:

Javob:

2-misol. Oddiy kesilgan to'rtburchak piramidaning hajmini toping, agar uning asoslarining diagonallari sm va sm ga teng, balandligi esa 4 sm.

Yechim. Kesilgan piramidaning hajmini topish uchun (4) formuladan foydalanamiz. Poydevorlarning maydonini topish uchun siz ularning diagonallarini bilib, asosiy kvadratlarning tomonlarini topishingiz kerak. Poydevorlarning tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm ga teng.Bu asoslarning maydonlarini bildiradi va formulaga barcha ma'lumotlarni almashtirib, kesilgan piramida hajmini hisoblaymiz:

Javob: 112 sm 3.

3-misol. Poydevorlari yon tomonlari 10 sm va 4 sm, piramidaning balandligi 2 sm bo'lgan muntazam uchburchak kesilgan piramidaning yon yuzining maydonini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (19-rasm).

Bu piramidaning yon tomoni teng yonli trapezoiddir. Trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz poydevor va balandlikni bilishingiz kerak. Bazalar shartga ko'ra berilgan, faqat balandligi noma'lum bo'lib qoladi. Biz uni qayerdan topamiz A 1 E nuqtadan perpendikulyar A 1 pastki poydevor tekisligida, A 1 D-dan perpendikulyar A 1 boshiga AC. A 1 E= 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topmoq DE Yuqori ko'rinishni ko'rsatadigan qo'shimcha chizma tuzamiz (20-rasm). Nuqta HAQIDA– yuqori va pastki asoslar markazlarining proyeksiyasi. beri (20-rasmga qarang) va Boshqa tomondan KELISHDIKMI– aylanaga chizilgan radius va OM- radius aylana ichiga chizilgan:

MK = DE.

dan Pifagor teoremasiga ko'ra

Yon yuz maydoni:

Javob:

4-misol. Piramidaning negizida teng yonli trapesiya yotadi, uning asoslari A Va b (a> b). Har bir yon yuz piramida poydevorining tekisligiga teng burchak hosil qiladi j. Piramidaning umumiy sirtini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (21-rasm). Piramidaning umumiy sirt maydoni SABCD trapezoidning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng A B C D.

Piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda cho'qqi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi, degan bayonotdan foydalanamiz. Nuqta HAQIDA- cho'qqi proyeksiyasi S piramidaning tagida. Uchburchak SOD uchburchakning ortogonal proyeksiyasidir CSD asos tekisligiga. Tekis figuraning ortogonal proyeksiyasi maydoni haqidagi teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday degani Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga qisqartirildi A B C D. Keling, trapesiya chizamiz A B C D alohida (22-rasm). Nuqta HAQIDA– trapetsiya ichiga chizilgan aylana markazi.

Aylana trapezoidga yozilishi mumkinligi sababli, u holda yoki Pifagor teoremasidan bizda mavjud

C2 muammosini koordinata usuli yordamida yechishda ko‘pchilik talabalar bir xil muammoga duch kelishadi. Ular hisoblay olmaydilar nuqtalarning koordinatalari skalyar mahsulot formulasiga kiritilgan. Eng katta qiyinchiliklar paydo bo'ladi piramidalar. Va agar asosiy nuqtalar ko'proq yoki kamroq normal deb hisoblansa, unda tepaliklar haqiqiy do'zaxdir.

Bugun biz oddiy to'rtburchak piramida ustida ishlaymiz. Bundan tashqari, uchburchak piramida mavjud (aka - tetraedr). Bu yanada murakkab dizayn, shuning uchun unga alohida dars bag'ishlanadi.

Birinchidan, ta'rifni eslaylik:

Oddiy piramida quyidagilardan iborat:

1. Asos - muntazam ko'pburchak: uchburchak, kvadrat va boshqalar;
2. Bazaga chizilgan balandlik uning markazidan o'tadi.

Xususan, to'rtburchak piramidaning asosi kvadrat. Xuddi Cheops kabi, biroz kichikroq.

Quyida barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan piramida uchun hisob-kitoblar keltirilgan. Agar muammongizda bunday bo'lmasa, hisob-kitoblar o'zgarmaydi - faqat raqamlar boshqacha bo'ladi.

To'rtburchakli piramidaning uchlari

Shunday qilib, SABCD to'rtburchakli muntazam piramida berilsin, bu erda S cho'qqi va ABCD asosi kvadratdir. Barcha qirralar 1 ga teng. Siz koordinatalar tizimini kiritishingiz va barcha nuqtalarning koordinatalarini topishingiz kerak. Bizda ... bor:

A nuqtada kelib chiqadigan koordinatalar tizimini kiritamiz:

1. OX o'qi AB chetiga parallel yo'naltirilgan;
2. OY o'qi AD ga parallel. ABCD kvadrat bo'lgani uchun AB ? AD;
3. Nihoyat, biz OZ o'qini yuqoriga, ABCD tekisligiga perpendikulyar yo'naltiramiz.

Endi biz koordinatalarni hisoblaymiz. Qo'shimcha qurilish: SH - poydevorga chizilgan balandlik. Qulaylik uchun biz piramidaning asosini alohida rasmga joylashtiramiz. A, B, C va D nuqtalar OXY tekisligida joylashganligi sababli ularning koordinatasi z = 0. Bizda:

1. A = (0; 0; 0) - kelib chiqishi bilan mos keladi;
2. B = (1; 0; 0) - koordinata boshidan OX o'qi bo'ylab 1 ga;
3. C = (1; 1; 0) - OX o'qi bo'ylab 1 ga va OY o'qi bo'ylab 1 ga;
4. D = (0; 1; 0) - faqat OY o'qi bo'ylab qadam.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - kvadratning markazi, AC segmentining o'rtasi.

S nuqtaning koordinatalarini topish qoladi. E'tibor bering, S va H nuqtalarning x va y koordinatalari bir xil, chunki ular OZ o'qiga parallel bo'lgan chiziqda yotadi. S nuqta uchun z koordinatasini topish qoladi.

ASH va ABH uchburchaklarini ko'rib chiqing:

1. AS = AB = 1 shart bo'yicha;
2. Burchak AHS = AHB = 90°, chunki SH balandligi va AH ? HB kvadratning diagonallari sifatida;
3. AH tomoni keng tarqalgan.

Shuning uchun, to'g'ri burchakli uchburchaklar ASH va ABH teng bitta oyoq va bitta gipotenuz. Bu SH = BH = 0,5 BD degan ma'noni anglatadi. Ammo BD - tomoni 1 bo'lgan kvadratning diagonali. Shuning uchun bizda:

S nuqtaning umumiy koordinatalari:

Xulosa qilib, biz muntazam to'rtburchaklar piramidaning barcha cho'qqilarining koordinatalarini yozamiz:

Qovurg'alar boshqacha bo'lsa, nima qilish kerak

Piramidaning yon qirralari poydevorning chetlariga teng bo'lmasa-chi? Bunday holda, AHS uchburchagini ko'rib chiqing:

AHS uchburchagi - to'rtburchaklar, va AS gipotenuzasi ham asl SABCD piramidasining yon chetidir. Oyoq AH osongina hisoblab chiqiladi: AH = 0,5 AC. Biz SHning qolgan oyog'ini topamiz Pifagor teoremasiga ko'ra. Bu S nuqta uchun z koordinatasi bo'ladi.

Vazifa. Muntazam to?rtburchakli SABCD piramidasi berilgan bo?lib, uning asosida tomoni 1 bo?lgan kvadrat yotadi. Yon cheti BS = 3. S nuqtaning koordinatalarini toping.

Biz bu nuqtaning x va y koordinatalarini allaqachon bilamiz: x = y = 0,5. Bu ikkita faktdan kelib chiqadi:

1. S nuqtaning OXY tekisligiga proyeksiyasi H nuqta;
2. Shu bilan birga, H nuqtasi barcha tomonlari 1 ga teng bo'lgan ABCD kvadratining markazidir.

S nuqtaning koordinatasini topish qoladi. AHS uchburchagini ko'rib chiqing. U to'g'ri burchakli, gipotenuzasi AS = BS = 3, oyog'i AH diagonalning yarmi. Qo'shimcha hisob-kitoblar uchun bizga uning uzunligi kerak bo'ladi:

AHS uchburchagi uchun Pifagor teoremasi: AH 2 + SH 2 = AS 2. Bizda ... bor:

Shunday qilib, S nuqtaning koordinatalari: