MATEMATIK MANTIQ

nazariy mantiq, ramziy mantiq — matematikaning matematikani o?rganishga bag?ishlangan bo?limi. matematika asoslarining dalillari va savollari.

Tarixiy eskiz. Barcha matematika uchun universal tilni yaratish va bunday matematik til asosida rasmiylashtirish g'oyasi. dalillar 17-asrda ilgari surilgan. G. Leybnits. Ammo faqat o'rtada. 19-asr Aristotel mantig?ini algebralash bo?yicha birinchi ilmiy ishlar paydo bo?ldi [J. Bul (G. Boole, 1847) va O. de Morgan (A. de Morgan, 1858)]. G. Frege (1879) va K.Pirs (1885) mantiq algebrasi tiliga predikatlar, ob'ektiv o'zgaruvchilar va kvantlarni kiritganlaridan so'ng, bu tilni matematika asoslari masalalariga qo'llash uchun haqiqiy imkoniyat paydo bo'ldi.

Boshqa tomondan, 19-asrda yaratilish. Evklid bo'lmagan geometriya matematiklarning geometriyaning mutlaq ishonchliligiga bo'lgan ishonchini sezilarli darajada larzaga keltirdi. u asos bo'lgan sezgi. Geometrikning ishonchliligiga shubha. Intuitsiyaga cheksiz kichik hisoblarning rivojlanishi natijasida matematiklar hamma joyda hosilasiz uzluksiz funktsiyalarning kutilmagan misollarini uchratishlari ham yordam berdi. Haqiqiy son tushunchasini geometrik asosga ega bo'lgan noaniq "kattalik" tushunchasidan ajratish zarurati paydo bo'ldi. sezgi. Bu muammo K.Vyershtras (K.Veyerstrab, P.Dedekind va G.Kantor) asarlarida turli yo‘llar bilan yechilgan.Ular tahlil va funksiyalar nazariyasini “arifmetizatsiya qilish” imkoniyatini ko‘rsatib, natijada barcha klassik matematikaning asosini yaratgan. butun sonlar hisoblana boshladi.Keyin arifmetikani aksiomatizatsiya qilish amalga oshirildi [R.Dedekind (1888) va G.Peano (1891)].Shu bilan birga G.Peano mantiqiy til uchun qulayroq simvolizm yaratdi.bu til. B. Rassel (B. Rassel) va A. Uaytxedning (A. Uaytxed) birgalikdagi “Matematika asoslari” (1910) asarida takomillashtirildi, unda barcha matematikani mantiqqa tushirishga harakat qilindi.Lekin bu urinish emas edi. muvaffaqiyatga erishdi, chunki sof mantiqiy aksiomalardan cheksiz to‘plamlar mavjudligini xulosa qilishning iloji yo‘q bo‘lib chiqdi.Frej-Rassel logistikasi matematika asoslarida o‘zining asosiy maqsadiga – matematikani mantiqqa qisqartirishga erishmagan bo‘lsa-da, ularning asarlarida a. M. l.ning boy dizaynisiz, boy mantiqiy apparat yaratildi. to'liq matematika sifatida tartib-intizom mumkin emas edi.

19-20-asrlar oxirida. kashf qilindi antinomiyalar, to‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari bilan bog‘liq. Rassellning 1903 yilda nashr etilgan asari zamondoshlarida kuchli taassurot qoldirdi. Har biri o'z elementi bo'lmagan barcha bunday to'plamlarning qasosi bo'lsin. Men o'zimning elementim ekanligimga ishonch hosil qilish oson, agar men o'zimning elementim bo'lsam. Albatta, men shunday ko'plar bor, degan xulosaga kelib, yaratilgan ziddiyatdan chiqishga harakat qilishingiz mumkin. Biroq, agar to'plamning yuqoridagi ta'rifida mavjud bo'lgan bunday aniq shartni qondiradigan barcha elementlardan iborat to'plam mavjud bo'lmasa. M, u holda kundalik ishimizda mavjud bo'lmagan to'plamlarga duch kelmasligimizning kafolati qayerda? Va umuman, to'plamning ta'rifi mavjud bo'lishi uchun qanday shartlarni qondirishi kerak? Bir narsa aniq edi: Kantorning to'plamlar nazariyasini qandaydir tarzda cheklash kerak edi.

L. Brouver (L. Brouwer, 1908) klassika qoidalarini qo'llashga qarshi chiqdi. cheksiz to'plamlar uchun mantiq. U ilgari surgan intuitivistik dasturda ko'rib chiqishdan voz kechish taklif qilindi haqiqiy cheksizlikning abstraktsiyalari, ya'ni cheksiz to'plamlar to'liq agregatlar sifatida! O'zboshimchalik bilan katta natural sonlar mavjudligini tan olgan intuitivistlar tabiiy qatorlarni to'liq to'plam sifatida ko'rib chiqishga qarshi. Ular matematikada u yoki bu ob'ektning har bir mavjudligi konstruktiv bo'lishi kerak, ya'ni bu ob'ektning qurilishi bilan birga bo'lishi kerak deb hisoblaydilar. Agar izlanuvchining mavjud emasligi haqidagi taxmin qarama-qarshilikka olib keladigan bo'lsa, bu intuitivistlarning fikriga ko'ra, mavjudlikning isboti sifatida qaralishi mumkin emas. U ayniqsa intuitivistlar tomonidan tanqid qilindi. istisno qilinganuchinchi qonun. Bu qonun dastlab chekli to?plamlarga nisbatan ko?rib chiqilganligi va chekli to?plamlarning ko?pgina xossalari cheksiz to?plamlar uchun amal qilmasligini (masalan, har bir to?g?ri qism butundan kichik ekanligini) hisobga olgan holda, intuitivistlar uni qo?llashni noqonuniy deb hisoblaydilar. bu qonun cheksiz to'plamlarga. Shunday qilib, masalan, Fermat muammosi ijobiy yoki salbiy yechimga ega ekanligini tasdiqlash uchun intuitivist ushbu muammoning tegishli echimini ko'rsatishi kerak. Fermatning muammosi hal qilinmaguncha, bu nolegitim deb hisoblanadi. Xuddi shu talab har qanday diszyunksiyani tushunishga ham qo'yiladi. Intuitivistlarning bu talabi chekli to'plamlar bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqishda ham qiyinchiliklar tug'dirishi mumkin. Tasavvur qilaylik, kimdir ko'zlarini yumib, ichida uchta qora va uchta oq to'p bo'lgan idishdan olib, darhol bu to'pni orqaga tashlaydi. Agar bu to'pni hech kim ko'rmagan bo'lsa, unda uning rangi qanday ekanligini bilishning iloji yo'q. Biroq, bu to'pning qora yoki oq ekanligi haqidagi da'voga jiddiy qarshilik ko'rsatish qiyin.

Intuitivistlar qiziqarli o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lgan o'zlarining matematikalarini yaratdilar. Ammo bu klassikdan ko'ra murakkabroq va og'irroq bo'lib chiqdi. . Intuitivistlarning matematika asoslari masalalarini o'rganishga qo'shgan ijobiy hissasi shundan iboratki, ular matematikada konstruktiv va konstruktiv bo'lmagan o'rtasidagi farqni yana bir bor qat'iy ta'kidladilar, ular matematikada duch kelgan ko'plab qiyinchiliklarni chuqur tahlil qildilar. rivojlanishiga hissa qo'shdi va shu bilan ularni engib o'tishga yordam berdi.

D.Hilbert (VII-X-ilovalarga qarang) 19—20-asrlar bo?yida matematika asoslarida yuzaga kelgan qiyinchiliklarni yengishning yana bir yo?lini belgilab berdi. Bu yo'l, aksiomatik foydalanishga asoslangan formal modellarni ko'rib chiqish usuli, mazmunli matematika va bunday modellarning izchilligi masalalarini ishonchli yakuniy vositalar bilan o'rganish matematikada Gilbert finitizmi nomini oldi. Geometrikning ishonchsizligini tan olish sezgi, D. Hilbert birinchi navbatda Evklid geometriyasini chuqur qayta ko'rib chiqishni amalga oshiradi, uni sezgiga murojaat qilishdan ozod qiladi. Ushbu qayta ishlash natijasi uning "Geometriya asoslari" (1899) edi.

Turli nazariyalarning izchilligi masalalari mohiyatan D. Hilbertdan oldin ko'rib chiqilgan. Shunday qilib, F. Klein (1871) tomonidan qurilgan Lobachevskiyning Evklid bo'lmagan proyektiv geometriyasi Lobachevskiy geometriyasining izchilligi haqidagi savolni Evklid geometriyasining izchilligiga qisqartiradi. Evklid geometriyasining izchilligi xuddi shunday tahlilning izchilligiga, ya'ni haqiqiy sonlar nazariyasiga tushirilishi mumkin. Biroq, ularning izchilligini isbotlash uchun qanday vositalar yordamida tahlil va arifmetika modellarini qurish mumkinligi aniq emas edi. D. Xilbertning xizmati shundaki, u bu masalani o'rganish uchun to'g'ridan-to'g'ri yo'l ko'rsatdi. Berilgan nazariyaning izchilligi uni olish mumkin emasligini bildiradi, ya’ni ma’lum bir A bayoni va uning D. Gilbert ko‘rib chiqilayotgan nazariyani formal aksiomatik nazariya shaklida taqdim etishni taklif qilgan. Bizning nazariyamiz teoremalari bo'lgan barcha o'sha va faqat o'sha mulohazalarni chiqarish mumkin bo'lgan tizimlar. Keyin, izchillikni isbotlash uchun, ko'rib chiqilayotgan nazariyadagi ba'zi bayonotlarning chiqarilmasligini aniqlash kifoya. Shunday qilib, matematik. , biz isbotlamoqchi bo'lgan izchilligi ma'lum bir matematik nazariyani o'rganish mavzusiga aylanadi. fan, D. Gilbert uni metamatematika yoki isbotlar nazariyasi deb atagan.

D. Xilbert to'plamlar nazariyasining paradokslari chiqarib tashlangan o'rta qonuni bilan emas, balki "tegishlicha, matematiklar tushunchalarning qabul qilib bo'lmaydigan va ma'nosiz shakllanishidan foydalanadilar, bu mening isbotlar nazariyamda o'z-o'zidan chiqarib tashlanadi ... Matematiklardan chetlashtirilgan o'rta qonunini olib tashlash - bu astronomlardan teleskopni tortib olish yoki bokschilarga mushtlarini ishlatishni taqiqlash bilan bir xildir" (383-betga qarang). D. Hilbert klassikning "real" va "ideal" jumlalarini farqlashni taklif qiladi. matematika. Birinchisi ma'noli ma'noga ega, ikkinchisi esa ma'noli ma'noga ega bo'lishi shart emas. Haqiqiy cheksizlikdan foydalanishga mos keladigan jumlalar idealdir. Ideal jumlalar haqiqiy jumlalarga qo'shiladi, shunda mantiqning oddiy qoidalari cheksiz to'plamlar haqida fikr yuritishda ham qo'llanilishi mumkin. Bu butun nazariyaning strukturasini sezilarli darajada soddalashtiradi, xuddi tekislikdagi proyektiv geometriyani ko'rib chiqishda, ma'lum bir nuqtada istalgan ikkitasini kesib o'tadigan cheksiz masofa qo'shiladi.

D.Hilbert tomonidan ilgari surilgan matematikani asoslash dasturi va uning ishtiyoqi zamondoshlarini jadal rivojlantirishga ilhomlantirdi. aksiomatik usul. Bu 20-asrning boshlarida amalga oshirilgan ishlar bilan bog'liq edi. D. Gilbert va uning izdoshlari G. Frege, J. Peano va B. Rassel asarlarida ishlab chiqilgan mantiqiy mantiq asosida isbotlar nazariyasini ishlab chiqdilar. til M. l.ning shakllanishi bilan bog?liq bo?lishi kerak. mustaqil matematik sifatida fanlar.

Matematik mantiqning predmeti va asosiy bo'limlari, matematikaning boshqa sohalari bilan aloqalari. Zamonaviy M. l mavzusi. xilma-xil. Avvalo, mantiqni o'rganishni ta'kidlash kerak. va mantiqiy-matematik hisob, ulardan asosiysi klassik hisoblanadi. predikatlar. 1930 yilda K.Godel predikatlar hisobining to'liqligi to'g'risidagi teoremani isbotladi, unga ko'ra barcha sof mantiqiylar to'plami. Matematika bayonotlari predikatlar hisobidagi barcha formulalar to'plamiga to'g'ri keladi (qarang. To'liqlik haqida G?del). Bu teorema predikatlar hisobining mantiqiy ekanligini ko'rsatdi. tizim, uning asosida matematikani rasmiylashtirish mumkin. Predikatlar hisobi asosida turli mantiqiy-matematik tizimlar quriladi. nazariyalar (qarang Mantiqiy-matematik hisob), mazmunli matematikning rasmiylashtirilishini ifodalaydi. nazariyalar - arifmetika, analiz, to'plamlar nazariyasi, guruhlar nazariyasi va boshqalar bilan birga elementar nazariyalar yuqori darajali nazariyalar ham ko'rib chiqiladi, ularda predikatlar bo'yicha kvantlar, predikatlardan predikatlar va boshqalarga ham ruxsat beriladi.An'anaviy savollar, muayyan formal mantiq uchun o'rganiladi. tizimlar - bu tizimlardagi xulosalar tuzilishi, ma'lum formulalar, ko'rib chiqilayotgan tizimlarning izchilligi va to'liqligi masalalarini o'rganish.

1931 yilda isbotlangan G?delning to'liqsizlik teoremasi arifmetika optimistlarni silkitdi. D. Gilbertning ko'rsatilgan yo'l bo'ylab matematika asoslari muammolarini to'liq hal qilish umidlari. Ushbu teoremaga ko'ra, agar arifmetikani o'z ichiga olgan, izchil bo'lsa, bu tizimda ifodalangan uning izchilligi haqidagi bayonotni unda rasmiylashtirilgan vositalar bilan isbotlab bo'lmaydi. Bu shuni anglatadiki, matematika asoslari haqidagi savollar bilan vaziyat D. Hilbert xohlagan yoki dastlab tuyulgandek oddiy emas. Ammo K. G?del arifmetikaning izchilligini etarlicha ishonchli konstruktiv vositalar yordamida isbotlash mumkinligini allaqachon payqagan, garchi ular arifmetikada rasmiylashtirilgan vositalardan tashqariga chiqsa ham. Arifmetikaning izchilligining shunga o'xshash dalillarini G. Gentzen (1936) va P. S. Novikov (1943) ham qo'lga kiritgan.

Kantor to'plamlari nazariyasi va u bilan bog'liq paradokslarni tahlil qilish natijasida turli xil tizimlar qurilgan. aksiomatik to'plamlar nazariyasi, unda taniqli antinomiyalarning paydo bo'lishini istisno qilish uchun to'plamlarning shakllanishiga u yoki bu cheklov qabul qilinadi. Bu aksiomatiklarda Tizimlarda matematikaning juda keng sohalarini ishlab chiqish mumkin. Juda boy aksiomatikaning izchilligi masalasi. to'plamlar nazariyasi tizimlari ochiqligicha qolmoqda. Aksiomatik olingan eng muhim natijalardan. to'plamlar nazariyasi, K. G?delning izchillik bo'yicha natijasini ta'kidlash kerak doimiy gipoteza Va aksioma tanlash Bernays-G?del tizimida (1939) va P. Koenning (P. Koen, 1963) bu aksiomalarning Zermelo-Fraenkel ZF tizimining aksiomalaridan mustaqilligi haqidagi natijasi. E'tibor bering, bu ikki aksioma va ZF tizimi bir xil darajada mos keladi. O'z natijalarini isbotlash uchun K. G?del konstruktiv to'plamning muhim tushunchasini kiritdi (qarang G?del konstruktiv to'plami).va shunday to'plamlardan tashkil topgan tizim modeli mavjudligini ko'rsatdi. K.G?del usuli P. S. Novikov tomonidan tavsiflovchi to?plamlar nazariyasining boshqa ba'zi bayonotlarining izchilligini isbotlash uchun foydalanilgan (1951). Kontinuum gipotezasi yoki tanlov aksiomasining inkorlari qanoatlantiriladigan ZF to'plamlari nazariyasi modellarini qurish uchun P. Koen deb atalmishni kiritdi. majburlash usuli, keyinchalik takomillashtirildi va ma'lum xususiyatlarni qondiradigan to'plamlar nazariyasi modellarini qurishning asosiy usuli bo'ldi.

M. lning eng ajoyib yutuqlaridan biri. kontseptsiyasining rivojlanishi edi umumiy rekursiv funksiya va so'zlar cherkov tezisi, umumiy rekursiv funksiya tushunchasi intuitiv kontseptsiyaning takomillashtirilgani ekanligini ta’kidlaydi algoritm. Algoritm kontseptsiyasining boshqa ekvivalent takomillashtirishlaridan eng ko'p ishlatiladigan tushunchalar Tyuring mashinalari Va Oddiy algoritm Markova. Umuman olganda, barcha matematika u yoki bu algoritm bilan bog'liq. Ammo algoritm tushunchasini aniqlagandan keyingina hal qilib bo'lmaydigan narsaning mavjudligini aniqlash mumkin bo'ldi. algoritmik muammolar matematikada. Noma'lum algoritm masalalar matematikaning ko?p bo?limlarida (sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqalar) topildi va ular matematikaning juda keng tarqalgan va fundamental tushunchalari bilan bog?liq bo?lishi mumkinligi ma'lum bo?ldi. Algoritmik tadqiqot Matematikaning u yoki bu sohasidagi muammolar, qoida tariqasida, matematik g'oyalar va usullarning kirib borishi bilan birga keladi. bunga, shuningdek, endi algoritmga ega bo'lmagan boshqa muammolarni hal qilishga olib keladi. xarakter.

Algoritmning aniq kontseptsiyasini ishlab chiqish samaradorlik kontseptsiyasini aniqlashtirish va bunday tushuntirishlar asosida matematikada konstruktiv tushunchalarni ishlab chiqish imkonini berdi (qarang. Konstruktiv matematika), intuitivistik yo'nalishning ma'lum xususiyatlarini o'zida mujassam etgan, ammo ikkinchisidan sezilarli darajada farq qiladi. Konstruktiv tahlil, konstruktiv topologiya, konstruktiv ehtimollar nazariyasi va boshqalar asoslari yaratildi.

Algoritmlar nazariyasining o'zida rekursiv arifmetika sohasidagi tadqiqotlarni ajratib ko'rsatish mumkin, bu rekursiv va rekursiv sanaladigan to'plamlarning turli tasniflarini, rekursiv sanab o'tiladigan to'plamlarning aniqlanmaslik darajasini, algoritmlarni yozish va algoritmlarning murakkabligini o'rganishni o'z ichiga oladi. . hisob-kitoblar (vaqt va zonalar bo'yicha, qarang Algoritm murakkabness). Algoritmlar nazariyasining keng rivojlanayotgan sohasi bu nazariyadir raqamlash.

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, aksiomatik. Usul matematikaning ko'plab sohalarining rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatdi. Bu usulning algebraga kirib borishi ayniqsa ahamiyatli edi. Shunday qilib, M. l chorrahasida. va algebra umumiy nazariya paydo bo'ldi algebraik tizimlar, yoki modellar nazariyasi. Bu yo'nalish A.I.Maltsev, A.Tarski va ularning shogirdlari asarlarida belgilab berilgan. Bu erda modellar sinflarining elementar nazariyalari, xususan, ushbu nazariyalarning echilishi, modellar sinflarining aksiomatizatsiyasi, modellar sinflarining kategoriyaliligi va to'liqligi masalalari bo'yicha tadqiqotlarni qayd etishimiz mumkin.

Modellar nazariyasida arifmetika va tahlilning nostandart modellarini o'rganish muhim o'rin tutadi. Differensial hisob rivojlanishining boshida ham G.Leybnits va I.Nyuton asarlarida cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar sonlar sifatida qaralgan. Keyinchalik o'zgaruvchi tushunchasi paydo bo'ldi va matematiklar noldan farq qiladigan va har qanday musbat haqiqiy sondan kichik bo'lgan cheksiz kichik sonlardan foydalanishdan voz kechdilar, chunki ulardan foydalanish Arximed aksiomasidan voz kechishni talab qiladi. Va faqat uch asr o'tgach, M. l usullarining rivojlanishi natijasida. Cheksiz kichik va cheksiz katta sonlar bilan (nostandart) tahlil haqiqiy sonlarning odatiy (standart) tahliliga mos kelishini aniqlash mumkin edi.

Aksiomatik ta'sirsiz emas. metod va intuitiv matematika. Shunday qilib, 1930 yilda A.Xeyting rasmiy tizimlarni e'tiborga oldi intuitiv mantiq gaplar va predikatlar (bayonot va predikatlarning konstruktiv hisobi). Keyinchalik intuitivistik tahlilning rasmiy tizimlari joriy etildi (masalan, qarang). Intuitsionistik mantiq va matematikada ko'plab tadqiqotlar rasmiy tizimlar bilan bog'liq. Deb atalmishlar ham maxsus tadqiqdan o'tkazildi. oraliq mantiq(yoki superintuitivist), ya'ni klassik va intuitivistik mantiqlar o'rtasida joylashgan mantiqlar. Kleenga ko'ra formulalarning amalga oshirilishi kontseptsiyasi intuitiv haqiqat tushunchasini klassik nuqtai nazardan talqin qilishga urinishlardan biridir. matematika. Biroq, intuisionistik (konstruktiv) taklif hisob-kitoblarida har bir amalga oshiriladigan taklif hisobi chiqarilishi mumkin emasligi ma'lum bo'ldi.

Rasmiylashtirishdan ham o'tdi modal mantiq. Biroq, modal mantiqning rasmiy tizimlari va ularning semantikasi bo'yicha ko'plab asarlar mavjudligiga qaramay ( Kripke modellari), Aytishimiz mumkinki, bu erda hali ham tarqoq faktlarning to'planish jarayoni sodir bo'ladi.

M. l. katta amaliy ahamiyatga ega; Har yili M.L.ning g'oyalari va usullarining chuqur kirib borishi o'sib bormoqda. kibernetikada, hisoblash matematikasida, strukturaviy tilshunoslikda.

Lit.: Hilbert D., Bernais P., Matematika asoslari. Mantiqiy hisob va arifmetikani formallashtirish, trans. Germaniyadan, M., 1979; K l i n i S. K., Metamatematikaga kirish, trans. ingliz tilidan, M., 1957; Mendelssohn E., Matematik mantiqqa kirish, trans. Ingliz tili, 2-nashr, M., 1976; Novikov P.S., Matematik mantiq elementlari, 2-nashr, M., 1973; Er sh haqida Yu. L., Palyutin E. A., Matematik mantiq, M., 1979; Shenf ild D.R., Matematik mantiq, trans. ingliz tilidan, M., 1975; N about in and to about in P. S., Konstruktiv matematik mantiq klassik nuqtai nazardan, M., 1977; Klin va S.K., Vesl va R., Rekursiv funksiyalar nazariyasi nuqtai nazaridan intuitivistik matematika asoslari, trans. ingliz tilidan, M., 1978; Hilbert D., Geometriya asoslari, trans. nemis tilidan, M., 1948; Frenkel A.-A., Bar-Hillel I., To'plamlar nazariyasi asoslari, trans. ingliz tilidan, M., 1966; 19-asr matematikasi. Matematik mantiq. Algebra. Raqamlar nazariyasi. Ehtimollar nazariyasi, M., 1978; Mostowski A., O'ttiz yillik fundamental tadqiqotlar, Hels., 1965.

Yoritilgan. M. l ning alohida bo'limlari haqidagi maqolalar uchun.

S.I. Adyan.

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.

Boshqa lug'atlarda "MATEMAT?K MANTIQ" nima ekanligini ko'ring:

Ikkinchisida kelgan zamonaviy mantiqning nomlaridan biri. qavat. 19 boshi 20-asr an'anaviy mantiqni almashtirish. Ramziy mantiq atamasi mantiq fanining rivojlanishidagi zamonaviy bosqichning boshqa nomi sifatida ham qo'llaniladi. Ta'rif…… Falsafiy entsiklopediya

Ikkinchisida kelgan zamonaviy mantiqning nomlaridan biri. qavat. 19 boshi 20-asr an'anaviy mantiqni almashtirish. Ramziy mantiq atamasi mantiq fanining rivojlanishidagi zamonaviy bosqichning boshqa nomi sifatida ham qo'llaniladi. Ta'rif…… Falsafiy entsiklopediya

matematik mantiq- SIMBOLIK MANTIQ, matematik mantiq, nazariy mantiq - mantiqiy xulosalar qat'iy ramziy tilga asoslangan mantiqiy hisoblar orqali o'rganiladigan mantiq sohasi. "L." atamasi. Bilan." aftidan birinchi marta edi ... Epistemologiya va fan falsafasi entsiklopediyasi

MATEMATIK MANTIQ- U ramziy mantiq deb ham ataladi. M. l. bu bir xil Aristotel sillogistik mantiqidir, lekin unda faqat og'zaki xulosalar matematik simvolizm bilan almashtiriladi. Bu, birinchidan, qisqalikka, ikkinchidan, ravshanlikka erishadi ... ... Madaniyatshunoslik entsiklopediyasi

MATEMATIK MANTIQ- MATEMATIK mantiq, deduktiv mantiq, fikrlash (xulosalar) usullarini o'rganish uchun matematik usullardan foydalanish; deduktiv fikrlashning matematik nazariyasi... Zamonaviy ensiklopediya

MATEMATIK MANTIQ- deduktiv mantiq, shu jumladan fikrlash (xulosa) usullarini o'rganishning matematik usullari; deduktiv fikrlashning matematik nazariyasi. Matematik mantiq matematikada ishlatiladigan mantiq deb ham ataladi... Katta ensiklopedik lug'at

MATEMATIK MANTIQ- (simvolik mantiq), mantiqning analitik bo`limi, klassik mantiq masalalariga matematik usullarni qo`llash natijasi. To'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin bo'lgan tushunchalarni, tushunchalar o'rtasidagi munosabatlarni va ularning manipulyatsiyasini, shu jumladan... ... Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

MATEMATIK MANTIQ- zamonaviy mantiq va matematikaning etakchi bo'limlaridan biri. 19-20 san'atda tashkil topgan. barcha dastlabki taxminlarni matematik belgilarga o'xshash belgilar tilida yozish va shu bilan mulohaza yuritishni hisob-kitoblar bilan almashtirish imkoniyati g'oyasini amalga oshirish sifatida .... ... Eng so'nggi falsafiy lug'at

matematik mantiq- ot, sinonimlar soni: 1 logistika (9) ASIS sinonimlar lug'ati. V.N. Trishin. 2013… Sinonim lug'at

matematik mantiq- - Telekommunikatsiya mavzulari, asosiy tushunchalar EN matematik mantiq... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

MATEMATIK MANTIQ- nazariy mantiq, ramziy mantiq, matematikaning matematikani o'rganishga bag'ishlangan bo'limi. matematika asoslarining dalillari va savollari. Tarixiy eskiz. Barcha matematika uchun universal tilni yaratish va rasmiylashtirish g'oyasi ... ... Matematik entsiklopediya

Kitoblar

• Matematik mantiq, Ershov Yuriy Leonidovich, Palyutin Evgeniy Andreevich. Kitobda matematik mantiqning asosiy klassik hisoblari ko'rsatilgan: takliflar hisobi va predikatlar hisobi; to'plam nazariyasi va nazariyasining asosiy tushunchalarining qisqacha mazmuni mavjud... 1447 UAHga sotib oling (faqat Ukrainada)
• Matematik mantiq, Ershov Yu.L.. Kitobda matematik mantiqning asosiy klassik hisob-kitoblari ko'rsatilgan: takliflar hisobi va predikatlar hisobi; to'plamlar nazariyasi va nazariyasining asosiy tushunchalarining qisqacha mazmuni mavjud ...

U nafaqat matematikaning alohida bo'limi bo'lgan, balki butun minorani o'rganishda katta ahamiyatga ega bo'lgan matematik mantiq asoslariga bag'ishlanadi. (va nafaqat minoralar). "Mavjud va faqat mavjud", "bundan kelib chiqadi", "zarur shart", "etarlilik", "o'shanda va faqat keyin" - bular tanish iboralar, shunday emasmi? Va bu shunchaki e'tibordan chetda qoladigan "standart" kli?elar emas - bu barqaror iboralar qattiq tuyg'u, biz ushbu maqolada tanishamiz. Bundan tashqari, material yangi boshlanuvchilar uchun to'g'ridan-to'g'ri matematik mantiqni o'rganish uchun foydali bo'ladi - men uning asosini ko'rib chiqaman: ular bo'yicha bayonotlar va harakatlar, formulalar, asosiy qonunlar + ba'zi amaliy muammolar. Va, albatta, siz matematik mantiq va bizning "oddiy" mantiqimiz o'rtasidagi juda muhim va ba'zi joylarda juda kulgili farqni bilib olasiz. Keling, poydevor qo'yishni boshlaylik:

Bayonotlar va ekspressiv shakllar

Bayonot- bu aytish mumkin bo'lgan taklif rost u yoki yolg'on. Bayonotlar odatda kichik lotin harflari bilan, ularning haqiqat/noto'g'riligi esa mos ravishda bitta va nol bilan belgilanadi:

- bu kirish (bilan adashtirmaslik kerak modul!) bayonotida aytiladi rost;
– va bu yozuv bayonot haqiqati haqida yolg'on.

Masalan:

- toshbaqalar uchmaydi;
- Oy kvadrat;
- ikki marta ikki - ikkita;
- besh - uchdan ko'p.

Bu bayonotlar va haqiqatdir: ,
va bayonotlar va - yolg'on:

Albatta, hamma gaplar gap emas. Bularga, xususan, so'roq va rag'batlantiruvchi jumlalar kiradi:

Menga qanday borishni ayta olasizmi kutubxona?
Hammomga boraylik!

Shubhasiz, bu erda haqiqat yoki yolg'on haqida gap yo'q. Noaniqlik yoki to'liq bo'lmagan ma'lumotlar bo'lsa, ular haqida hech qanday gap bo'lmaganidek:

Ertaga Petya imtihon topshiradi– hamma narsani o‘rgangan bo‘lsa ham, o‘tishi haqiqat emas; va aksincha - agar u hech narsani bilmasa, u "to'pga" o'tishi mumkin.

... yaxshi, Petya, xavotir olma - siz o'tasiz =)

- va bu erda biz "en" nimaga teng ekanligini bilmaymiz, shuning uchun bu ham bayonot emas.

Biroq, oxirgi jumla bayonotga, to'g'rirog'i, kengaytirilishi mumkin ekspressiv shakl, "en" haqida qo'shimcha ma'lumot berish. Qoida tariqasida, ifodali shakllar so'zda yoziladi miqdor ko'rsatkichlari. Ulardan ikkitasi bor:

– umumiy miqdor ko'rsatkichi (teskari harfA - ingliz tilidan.Hammasi)"hamma uchun", "har qanday (lar) uchun" deb tushuniladi va o'qiladi;

– mavjudlik kvantifikatori (kengaytirilgan xatE - ingliz tilidan.mavjud)"mavjud" deb tushuniladi va o'qiladi.

- har kim uchun natural son tengsizlik qondiriladi. Bu ekspressiv shakl yolg'on, chunki u tabiiy sonlarga mos kelmasligi aniq.

- lekin bu ekspressiv shakl rost, Qanaqasiga rost va, masalan, bu bayonot:
...ho'sh, haqiqatan ham -10 dan kichik bo'lgan natural son bormi?

Men sizni ushbu kvantni bemalol ishlatishdan ogohlantiraman, chunki "har kim uchun" aslida "hamma uchun emas" bo'lib chiqishi mumkin.

Diqqat! Agar yozuvda biror narsani tushunmasangiz, iltimos, darsga qayting to'plamlar.

- mavjud natural son, bu ikkidan katta. To'g'ri... va eng muhimi, siz bahslasholmaysiz =)

– Yolg'on

Ko'pincha kvantlar "tandemda ishlaydi":

- har kim uchun vektor qarama-qarshi vektor mavjud. Katta harf rost, aniqrog'i, aksioma (bayonot dalilsiz qabul qilingan) vektor maydoni.

E'tibor bering, mavjudlik kvantifikatori nazarda tutadi faktning o'zi muayyan xususiyatlarni qondiradigan ob'ektning (kamida bitta) mavjudligi. Dunyoda faqat bitta oq qarg'a bo'lishi mumkin, ammo ular hali ham mavjud. Bundan tashqari, matematikada (ham maktab, ham oliy) juda ko'p teoremalar isbotlangan mavjudlik va shunchaki o'ziga xoslik har qanday narsa. Bunday teoremaning isboti ikki qismdan iborat:

1) Muayyan mezonlarga javob beradigan ob'ektning mavjudligi. Ushbu qism uning mavjudligi haqiqatini tasdiqlaydi.

2) Ushbu ob'ektning o'ziga xosligi. Bu nuqta odatda isbotlangan qarama-qarshilik bilan, ya'ni. aynan bir xil xususiyatlarga ega bo'lgan 2-ob'ekt mavjud deb taxmin qilinadi va keyin bu taxmin rad etiladi.

Biroq, maktab o'quvchilari bunday atamalardan qo'rqmaslikka harakat qilishadi va teorema ko'pincha yashirin shaklda taqdim etiladi, masalan:

Har qanday uchburchakda siz doira va bundan tashqari, faqat bittasini yozishingiz mumkin

Aytgancha, teorema nima? Bu dahshatli so'zning mantiqiy mohiyatini tez orada bilib olamiz...

Mantiqiy operatsiyalar (bayonotlar bo'yicha harakatlar)

Raqamlar bilan arifmetik amallarni bajarishingiz mumkin bo'lganidek (qo'shish, ko'paytirish va h.k.), o'zingizning amallaringizni ham gaplarga qo'llash mumkin. Uchta asosiy mantiqiy operatsiyalar mavjud:

inkor qilish bayonotlar;

birikma yoki gaplarni mantiqiy ko'paytirish;

ajratish yoki gaplarning mantiqiy qo'shilishi.

Tartibda; ... uchun:

1) bayonotni inkor qilish

EMAS va belgi

Rad etish bayonot bayonot deyiladi ("a emas" deb o'qing), qaysi yolg'on, agar rost bo'lsa va rost- agar yolg'on bo'lsa:

Shunday qilib, masalan, bayonot - toshbaqalar uchmaydi rost: ,
va uning inkori - toshbaqalarni yaxshi tepsangiz uchadi- noto'g'ri: ;

bayonot - ikki marta ikki ikki yolg'on: ,
va uning inkori - ikki qo'shimcha ikkita ikkiga teng degani to'g'ri emas- rost: .

Aytgancha, toshbaqalar bilan misolda kulish kerak emas;) sadistlar

Ushbu operatsiyani bajarish uchun yaxshi jismoniy model oddiy lampochka va kalitdir:

chiroq yoniq - mantiqiy yoki rost,
yorug'lik o'chirilgan - mantiqiy nol yoki noto'g'ri.

2) Konjunksiya (bayonlarning mantiqiy ko'payishi)

Bu operatsiya mantiqiy bog'lovchiga mos keladi VA va belgi ham

Bog‘lovchi ("a va bo'l" ni o'qing), bu to'g'ri bo'lsa va faqat rost bo'lsa ikkalasi ham bayonotlar va:

Bu operatsiya ham har doim sodir bo'ladi. Qahramonimizga birinchi stoldan qaytaylik: agar u kurs ishini topshirsa, Petya oliy matematikadan imtihonga qabul qilinadi, deylik. Va mavzu bo'yicha hisobot. Quyidagi bayonotlarni ko'rib chiqing:
– Petya kurs ishini topshirdi;
- Petya sinovdan o'tdi.

E'tibor bering, formuladan farqli o'laroq "Petya ertaga o'tib ketadi" Bu yerda siz istalgan vaqtda bu to'g'ri yoki yolg'onligini ayta olasiz.

Bayonot (mohiyat - Petya imtihonga qabul qilindi) agar u kurs ishini topshirgan bo'lsa, to'g'ri bo'ladi Va uchun kredit. Hech bo'lmaganda biror narsa etkazib berilmasa (jadvalning pastki uch qatoriga qarang), u holda bog‘lovchi noto‘g‘ri bo‘ladi.

Va juda o'z vaqtida aqlimga ajoyib matematik misol keldi: tizim belgisi unga kiritilgan tenglamalar/tengsizliklarni aniq qoidaga muvofiq bog'laydi. VA. Masalan, ikkita chiziqli tenglamani yozish tizimi BUNDAY ildizlarni topishimiz kerakligini bildiradi (agar ular mavjud bo'lsa), bu ikkalasini ham birinchisini qondiradi Va ikkinchi tenglama.

Ko'rib chiqilayotgan mantiqiy operatsiya ko'proq sonli bayonotlarni qamrab oladi. Nisbatan aytganda, agar tizimda 5 ta tenglama mavjud bo'lsa, unda uning ildizlari ( agar ular mavjud bo'lsa) 1-ni qondirish kerak Va 2 Va 3 Va 4 Va Ushbu tizimning 5-tenglamasi.

Va bu fikrni yakunlash uchun yana uyda ishlab chiqarilgan elektrotexnikaga murojaat qilaylik: konyunktiv qoida xonadagi kalitni va kirish joyidagi elektr panelidagi kalitni yaxshi modellaydi (seriyali ulanish). Keling, bayonotlarni ko'rib chiqaylik:

– xonadagi kalit yoqilgan;

– kirishdagi kalit yoqilgan.

Bog'lanishni eng tabiiy tarzda o'qish mumkinligini hamma allaqachon tushungan bo'lishi mumkin:
– xonadagi kalit yoqilgan Va Kirishdagi kalit yoqilgan.

Shubhasiz, agar va faqat agar . Boshqa uchta holatda (qaysi birini tahlil qiling) sxema ochiladi va chiroq o'chadi: .

Keling, yana bir bayonot qo'shamiz:
– podstansiyadagi kalit yoqilgan.

Xuddi shunday: bog‘lovchi to‘g‘ri bo‘ladi, agar va faqat . Bu erda, aytmoqchi, zanjirni buzish uchun allaqachon 7 xil variant bo'ladi.

3) Diszyunksiya (mantiqiy gaplarni qo‘shish)

Bu operatsiya mantiqiy bog'lovchiga mos keladi YOKI va belgi

Ajralish bayonotlar va bayonot chaqirish ("a yoki bae" ni o'qing), agar ikkala bayonot ham yolg'on bo'lsa va faqat yolg'on bo'ladi:

Faraz qilaylik, oliy matematikadan imtihon varaqasida 2 ta savol bor va talaba javob bersa, imtihondan o‘tadi. hech bo'lmaganda bittasi uchun savol. Quyidagi bayonotlarni ko'rib chiqing:
– Petya birinchi savolga javob berdi;
– Petya 2-savolga javob berdi.

Disjunktiv yozuv oddiy va aniq o'qiydi: Petya birinchisiga javob berdi yoki 2-savol va uchta haqiqiy natijani nazarda tutadi (jadvalga qarang). Shu bilan birga, Piter bitta holatda imtihondan o'tmaydi - agar u ikkala savolni ham buzsa:

Shuni ta'kidlash kerakki, biz ko'pincha "yoki" birikmasini "eksklyuziv yoki" deb tushunamiz va bundan tashqari, uni ko'pincha shunday tushunish kerak! Imtihondan o'tish haqidagi xuddi shu iboradan, odam Petya faqat birinchi yoki faqat 2-savolga javob bergan degan xulosaga keladi. Biroq, ko'rib chiqilayotgan OR umumiy "yoki" emas.

Mantiqiy qo'shish operatsiyasi uch yoki undan ortiq gaplar uchun ham amal qiladi. Ba'zi sodiq o'qituvchilar 10-15 savol berishadi va agar talaba hech bo'lmaganda biror narsani bilsa, imtihon berishadi =) Boshqacha aytganda, mantiqiy OR bog'lovchini yashiradi. "hech bo'lmaganda bittasi uchun"(va bu umuman bitta degani emas!).

Xo'sh, maishiy elektr energiyasidan tanaffus qilaylik: Internet-saytlarning aksariyati professional serverlarda joylashgan bo'lib, ular odatda ikkita quvvat manbai bilan ta'minlangan. Elektrotexnikada bunga parallel ulanish deyiladi, u OR qoidasini aniq modellashtiradi - server to'g'ri ishlayotgan bo'lsa ishlaydi. kamida bitta quvvat bloki. Uskunalar, aytmoqchi, "issiq" almashtirishni qo'llab-quvvatlaydi, ya'ni. Yonib ketgan quvvat manbai serverni o'chirmasdan almashtirilishi mumkin. Qattiq disklar bilan bir xil hikoya - ular deb ataladigan narsalarda takrorlanadi RAID massivi, va bundan tashqari, serverlar joylashgan Ma'lumotlar markazining o'zi odatda ikkita mustaqil elektr uzatish liniyasi + dizel generatori bilan quvvatlanadi. Ushbu chora-tadbirlar veb-saytning maksimal ish vaqtini ta'minlash imkonini beradi.

Va biz kompyuterlar haqida gapirganimiz sababli, ular ... ko'rib chiqilgan mantiqiy operatsiyalarga asoslangan! Bu aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, lekin bu haqda o'ylab ko'raylik - bu "apparat qismlari" nimani "tushunishi" mumkin? Va ular quyidagilarni tushunishlari mumkin:

simda oqim bor - bu mantiqiy birlik;
sim quvvatsizlangan - bu mantiqiy nol.

Aynan mana shu fakt ikkitaning kuchi axborot hajmini o'lchash uchun asos bo'lishining asosiy sababidir:
va hokazo.

Eng oddiy "kompyuter" bu... oddiy kalit - u ma'lumotni 1 bitda saqlaydi (yuqoridagi ma'noda to'g'ri yoki noto'g'ri). Zamonaviy kompyuterning markaziy protsessorida mavjud yuzlab millionlar (!) tranzistorlar va eng murakkab dasturiy ta'minot, eng "murakkab o'yin" elementar mantiqiy operatsiyalar yordamida qayta ishlanadigan ko'plab nolga va birlarga bo'linadi!

Va biz ko'rib chiqadigan keyingi ikkita operatsiya mustaqil emas, ya'ni inkor, qo'shma va ayirma orqali ifodalanishi mumkin:

Izoh va mantiqiy oqibat.
Kerakli holat. Etarli holat

Og'riqli tanish iboralar: "shuning uchun", "bundan kelib chiqadi", "agar, keyin" va hokazo.

Ma'nosi bilan bayonotlar (paket) Va (natija) ular yolg'on bo'lgan bayonotni yagona holatda - bu haqiqat bo'lganda va - yolg'on deb atashadi:

Operatsiyaning asosiy ma'nosi shundan iborat (jadvalni yuqoridan pastgacha o'qing va ko'rib chiqing):

haqiqatdan faqat haqiqat kelib chiqishi mumkin va yolg'onga ergashmaydi;

Yolg'ondan hamma narsa kelib chiqishi mumkin (pastki ikki qator), bunda:

asosning haqiqati etarli shart Xulosa haqiqati uchun,

va xulosaning haqiqati zaruriy shart asosning haqiqati uchun.

Keling, aniq bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, bayonotlardan xulosa chiqaramiz - yomg'ir yog'ayapti Va - tashqarida nam:

Agar ikkala bayonot ham to'g'ri bo'lsa, unda ma'no ham to'g'ri bo'ladi. – tashqarida yomg'ir yog'ayotgan bo'lsa, tashqarida nam. Shu bilan birga, bunday bo'lishi mumkin emas yomg'ir yog'ayotgan edi, A tashqarida quruq edi :

Agar yomg'ir yo'q, Bu tashqarida quruq bo'lishi mumkin :

juda nam :
(masalan, qor eriganligi sababli).

Endi esa bu "muhrlangan" so'zlarni o'ylab ko'raylik zaruriyat Va adekvatlik:

Yomg'ir yetarli tashqarida nam bo'lishi sharti, boshqa tomondan, tashqarida namlik zarur yomg'ir yog'di, deb taxmin qilish (chunki quruq bo'lsa, yomg'ir yog'magan bo'lsa).

Teskari ma'no noqonuniydir: - ko'chada hali ham namlik bor yetarli emas yomg'ir haqiqatini oqlash va qo'shimcha ravishda yomg'ir namlikning KERAK sababi emas (chunki, masalan, do'l o'tib, erishi mumkin).

Bu aniq bo'lishi kerakdek tuyuladi, lekin har holda, yana bir nechta misol:

- Qanday bajarishni o'rganish matritsalar bilan amallar, zarur sonlarni qo‘shish va ko‘paytirishni bilish. Ammo bu, siz to'g'ri taxmin qilganingizdek, yetarli emas.

– Arifmetik amallarni bajarishni o‘rganish yetarli 9-sinfni bitir. Lekin bu emas holat zarur"Hatto buvingiz ham bolalar bog'chasida ham sizga hisoblashni o'rgatishi mumkin."

- Uchburchakning maydonini topish yetarli uning tomonini va bu tomonga chizilgan balandligini biling. Biroq, yana, bu emas zaruriyat, uchburchakning maydonini uch tomondan (Heron formulasi) yoki, masalan, yordamida ham topish mumkin. vektor mahsuloti.

– Oliy matematikadan imtihonga kirish uchun Pit zarur kurs ishi haqida hisobot. Lekin bu yetarli emas- chunki siz hali ham testdan o'tishingiz kerak.

– Butun guruh kredit olishi uchun yetarli o'qituvchiga bir quti konyak olib keling. Va bu erda, taxmin qilish oson, hech qanday ehtiyoj yo'q zaruriyat biror narsa o'rganing =) Lekin, iltimos, diqqat qiling, tayyorgarlik umuman taqiqlanmagan;)

Kerakli va ayni paytda yetarli sharoitlar mavjudmi? Albatta! Va tez orada biz ularga etib boramiz. Va endi matematikaning bitta muhim printsipi haqida:

Matematik mantiq formaldir

U bayonotlarning haqiqati yoki yolg'onligi bilan qiziqadi, lekin ularning mazmuni emas! Shunday qilib, agar biz xulosa qilsak Agar toshbaqalar uchmasa, ikkita va ikkitasi to'rtga teng., keyin bu haqiqat bo'ladi! Boshqacha qilib aytganda, har qanday to'g'ri gapni har qanday haqiqat bilan oqlash mumkin (jadvalning 1-qatori), va rasmiy mantiq nuqtai nazaridan bu haqiqat bo'ladi!

Ammo yolg'on asos bilan bog'liq vaziyat yanada qiziqroq: har qanday yolg'on hamma narsani oqlashi mumkin - haqiqatni ham, yolg'onni ham:

- agar Oy kvadrat bo'lsa, unda;
- agar pingvinlar kigiz etik kiysa, toshbaqalar shippak kiyishadi.

Nima edi? - jadvalga ko'ra, ikkala bayonot ham to'g'ri!

Bu faktlar deyiladi implikatsiya paradoksu, lekin haqiqatda, albatta, biz mazmun mantiqimiz nuqtai nazaridan mantiqiy bo'lgan misollarni ko'rib chiqamiz.

Va yana bir muhim nuqta: ma'no ko'pincha belgi bilan ko'rsatiladi (shuningdek, o'qing "shuning uchun", "bundan kelib chiqadi"), biz uni masalalar yechishda, teoremalarni isbotlashda va hokazolarda ham foydalanamiz. Va bu erda biz belgilashlarning mos kelishi haqida gapiramiz- "oddiy" matematik hisob-kitoblarda biz foydalanadigan narsa, qat'iy aytganda, ma'no emas. Farqi nimada? Muammoni hal qilib, uni yozganimizda ("quyidagidan"), keyin biz bayonotni qabul qilamiz haqiqat ekanligi ma'lum, va bundan tashqari, biz undan yana bir haqiqatni chiqaramiz. Matematik mantiqda bu deyiladi mantiqiy natija. Odatda, oqibat oqlanishi kerak, shuning uchun ishni tayyorlashda har doim qanday aksiomalar, teoremalar, echilgan masalalar va hokazolarni tushuntirishga harakat qiling. u yoki bu chiqish uchun foydalangansiz.

Teorema, o'z mohiyatiga ko'ra, mantiqiy natija hamdir: uning sharti asoslanadi rost posilkalar (aksiomalar, ilgari isbotlangan teoremalar va boshqalar). Isbot oqibatning haqiqatini aniqlaydi va bu jarayonda noto'g'ri fikrlashdan foydalanish mumkin emas.

Tasdiqlanmagan teorema deyiladi gipoteza, va ikkita variant mavjud: yoki u haqiqatdan haqiqatni chiqaradi va teoremani ifodalaydi, yoki gipoteza noto'g'ri, ya'ni. ko'p haqiqiy binolardan keyin “no be”: . Rad etilgan taqdirda, " kabi ahamiyatsiz xulosa. Ivan Petrovning gipotezasi noto'g'ri", lekin ba'zida bu juda qimmatga tushadi - Olg'a, aziz o'quvchilar!

Misol sifatida, albatta, megateorema emas, balki oddiy bo'lsa-da, asoslashni talab qiladigan bayonotni ko'rib chiqaylik. Garchi u u erda bo'lmasa ham =) =):

- raqam 4 ga bo'linadi;
- raqam 2 ga bo'linadi.

Buning oqibati aniq rost, ya'ni sonning 4 ga bo'linishidan uning 2 ga bo'linishi ham kelib chiqadi. Shunga ko'ra, qarama-qarshi xulosa yolg'ondir:

Shu bilan birga, men sizning e'tiboringizni yana bir bor shu narsaga qaratmoqchimanki, bu asos dastlab haqiqat sifatida qabul qilinadi. (ma'nodan farqli o'laroq, u noto'g'ri bo'lishi mumkin).

Mantiqiy natijalar uchun tushunchalar ham qo'llaniladi zaruriyat Va yetarlilik, Men yuqoridan bir nechta satrlarni ko'chirib olaman:

asosning haqiqati etarli holat Xulosa haqiqati uchun,

xulosaning haqiqati zarur shart asosning haqiqati uchun.

Bizning holatda:

Sonning 4 ga bo'linishi yetarli 2 ga bo'linish sharti. Boshqa tomondan, sonning 2 ga bo'linishi zarur 4 ga bo'linish sharti.

Shuni ta'kidlash kerakki, ko'rib chiqilayotgan misol implikatsiya shaklida ham yozilishi mumkin:
(jadvaldan foydalanib, barcha maketlarni o'zingiz tahlil qiling)

Biroq umuman olganda, "kontseptsiyani uzatish" noto'g'ri! Ya'ni, agar biz haqiqat haqida gapiradigan bo'lsak, bu imo-ishora to'g'ri bo'ladi degani emas. Va men oxirgi xatboshida bunday misol keltiraman. va siz 3 ta imtihondan o'tishingiz kerak (aks holda sessiya o'tmaydi) va ayni paytda bu yetarli (chunki siz boshqa hech narsa qilishingiz shart emas).

Ekvivalentlikning o'ziga xosligi shundaki, u ham ikkalasi ham, yoki Hech narsa, Masalan:

Petya shtangani ko'taradi, agar Masha stolda raqsga tushsa

Bu shuni anglatadiki, yoki Petya og'irlikni bajaradi va Masha stolda raqsga tushadi yoki ikkalasi divanda yotishadi.Piter, sen bunga loyiqsan! =) Petya va Masha juda do'stona. Endi "o'shanda va faqat keyin" bo'lmagan shunga o'xshash ibora borga o'xshaydi:

Petya og'irlik ko'tarmoqda, Masha stolda raqsga tushmoqda

Ammo ma'no biroz o'zgardi: bu erda biz taxmin qilishimiz mumkinki, Petya ba'zan shtangani Mashasiz ko'taradi, boshqa tomondan, Masha Petya raqs paytida chayqalayotganiga "farq qilmaydi".

Bu zarur va etarli shartning kuchi! - u birlashtiradi va intizomga ega =)

...Men o‘yin-kulgi uchun rollarni teskari yo‘l bilan taqsimlamoqchi edim, lekin keyin fikrimni o‘zgartirdim... baribir, siz bunday narsalarni targ‘ib qila olmaysiz =)

Intizom haqida gapiradigan bo'lsak, oqilona yondashuv zarurat va etarlilikni nazarda tutadi - qachonki inson maqsadga erishish uchun kerakli darajada ko'p ish qilsa va ko'proq ishlamaydi. Bu, albatta, kundalik hayotda zerikarli bo'lishi mumkin, lekin biz allaqachon charchagan matematik fikrlashda bu juda yoqimli:

Uchburchak teng yonli bo'ladi, agar uning burchaklari teng bo'lsa

Bayonotlar - teng tomonli uchburchak Va - teng burchaklarga ega ekvivalent bilan bog'lanishi mumkin, ammo amalda biz ularni deyarli har doim ikki qirrali belgi bilan bog'laymiz. mantiqiy natija gipotenuza deyiladi

Bu nuqta aslida Pifagor teoremasi bo'lib, uning formulasi bizga maktabdan tanish: "Agar uchburchak to'g'ri burchakli bo'lsa, unda."

2) Ikkinchi bosqichda u asoslanadi adekvatlik:
– bu yerda tenglikning haqiqiyligini isbotlash kerak yetarli shunday qilib, uchburchak to'rtburchaklar shaklida bo'ladi.

Talabalar, yana, bunday so'zlar bilan qo'rqitmaydilar va ikkinchi nuqta teskari Pifagor teoremasi shaklida tuzilgan: "Agar , demak, uchburchak to'g'ri burchakli".

Matematikada juda ko'p "agar va faqat agar" bog'lanishlari mavjud va men ularni isbotlash uchun standart sxemani keltirdim. Va, albatta, ular nimani anglatishini doimo tahlil qiling "zarur"

Men sizni qiziqarli darsimizning ikkinchi qismida kutaman, u erda biz asosiylari bilan tanishamiz. mantiqiy formulalar va qonunlar, shuningdek, amaliy muammolarni hal qilish. Muammolarni hal qilish uchun sizga ushbu sahifadan beshta planshet kerak bo'ladi, shuning uchun ularni darhol qog'ozga nusxalashni maslahat beraman, shunda ular sizning ko'zingiz oldida bo'ladi.

Bundan tashqari, men sizga matematik mantiqni muvaffaqiyatli o'rganish sirini aytib beraman;)

Kirish

O'quv savollari:

Matematik mantiq tushunchalari va ta'riflari.

Takliflar algebrasining asosiy amallari.

Mantiqiy algebra qonunlari va oqibatlari.

Xulosa

Kirish

Kompyuterni qurishning nazariy asosini maxsus matematik fanlar tashkil etadi. Ulardan biri mantiq algebrasi yoki mantiqiy algebra (J.Bul 19-asr ingliz matematiki, bu fanning asoschisi). Uning apparati kompyuter sxemalarini tavsiflash, ularni loyihalash va optimallashtirish uchun keng qo'llaniladi.

1. Matematik mantiq tushunchalari va ta’riflari.

Mantiq- tafakkur qonuniyatlari va shakllarini o'rganuvchi fan; mulohaza yuritish va isbotlash usullari haqidagi ta’limot.

Matematik mantiq (nazariy mantiq, ramziy mantiq) — matematikaning matematika asoslarining dalillari va savollarini o?rganuvchi bo?limi. "Zamonaviy matematik mantiqning mavzusi xilma-xildir." P. S. Poretskiy ta'rifiga ko'ra, "matematik mantiq - bu mavzuga ko'ra mantiq, metodga ko'ra matematika". N.I.Kondakov ta'rifiga ko'ra, "matematik mantiq - bu an'anaviy mantiqdan so'ng, rasmiy mantiq rivojlanishining matematik usullari va maxsus belgilar apparati yordamida va hisob (formallashtirilgan tillar) yordamida tafakkurni o'rganish bosqichidir". Ushbu ta'rif S. K. Kleene ta'rifiga mos keladi: matematik mantiq "matematik usullar yordamida ishlab chiqilgan mantiq". Shuningdek, A. A. Markov zamonaviy mantiqni "matematik usullardan foydalanadigan aniq fan" deb ta'riflaydi. Bu ta'riflarning barchasi bir-biriga zid emas, balki bir-birini to'ldiradi.

Mantiqda matematik usullardan foydalanish hukmlar qandaydir aniq tilda tuzilganida mumkin bo'ladi. Bunday aniq tillarning ikki tomoni bor: sintaksis va semantika. Sintaksis - til ob'ektlarini (odatda formulalar deb ataladi) qurish qoidalari to'plami. Semantika - bu formulalar (yoki ularning ba'zilari) haqidagi tushunchamizni tavsiflovchi va ba'zi formulalarni to'g'ri, boshqalari esa yo'q deb hisoblashimizga imkon beruvchi konventsiyalar to'plami.

Matematik mantiq mantiqiy bog'lanishlar va munosabatlarni o'rganadi mantiqiy (deduktiv) xulosa, matematika tilidan foydalanish.

Biz mavhum tafakkur orqali dunyo qonunlarini, ob'ektlarning mohiyatini va ularda qanday umumiylik borligini bilib olamiz. Mavhum tafakkurning asosiy shakllari tushunchalar, mulohazalar va xulosalardir.

Kontseptsiya- alohida ob'ekt yoki bir jinsli ob'ektlar sinfining muhim xususiyatlarini aks ettiruvchi fikrlash shakli. Tildagi tushunchalar so`z bilan ifodalanadi.

Kontseptsiya doirasi- har biri kontseptsiya mazmunini tashkil etuvchi xususiyatlarga ega bo'lgan ob'ektlar majmui. Umumiy va individual tushunchalar mavjud.

Tushunchalarning quyidagi munosabatlari hajmi bo'yicha farqlanadi:

shaxs yoki hajmlarning mos kelishi, ya'ni bir tushunchaning hajmi boshqa tushunchaning hajmiga teng;

bo'ysunish yoki jildlarning kiritilishi: tushunchalardan birining doirasi ikkinchisining doirasiga to‘liq kiradi;

istisno jildlar - ikki jildda bo'ladigan bitta xususiyat mavjud bo'lmagan holat;

chorraha yoki hajmlarning qisman mos kelishi;

bo'ysunish jildlar - bir-birini istisno qiladigan ikkita tushunchaning jildlari uchinchi jildga kiritilgan holat.

Hukm- bu ob'ektlar, xususiyatlar yoki ularning munosabatlari haqida biror narsa tasdiqlanadigan yoki rad etilgan fikrlash shakli.

Xulosa- fikrlash shakli bo'lib, u orqali biz binolar deb ataladigan bir yoki bir nechta hukmlardan xulosa chiqarishning ma'lum qoidalariga muvofiq hukm-xulosa olamiz.

Algebra so'zning keng ma'nosida qo'shish va ko'paytirishga o'xshash umumiy amallar haqidagi fan, ular nafaqat sonlarda, balki boshqa matematik ob'ektlarda ham bajarilishi mumkin.

Mantiq algebrasi (taklif algebrasi, mantiqiy algebra 1 ) - matematik mantiqning gaplar ustidagi mantiqiy amallar o'rganiladigan bo'limi. Ko'pincha (masalan, uchlik mantiqdan farqli o'laroq, ikkilik yoki ikkilik mantiq deb ataladi) bayonotlar faqat to'g'ri yoki yolg'on bo'lishi mumkin deb taxmin qilinadi.

Algebralarga misollar: natural sonlar algebrasi, ratsional sonlar algebrasi, polinomlar algebrasi, vektorlar algebrasi, matritsalar algebrasi, to'plamlar algebrasi va boshqalar. Mantiq algebrasi yoki mantiqiy algebraning ob'ektlari takliflardir.

Bayonot- har qanday tilning har qanday jumlasi (bayonnomasi), uning mazmuni to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligi aniqlanishi mumkin.

Har qanday bayonot yoki rost, yoki yolg'on; bir vaqtning o'zida ikkalasi ham bo'lishi mumkin emas.

Tabiiy tilda gaplar deklarativ gaplar bilan ifodalanadi. Undov va so‘roq gaplar gap emas.

Bayonotlar matematik, fizik, kimyoviy va boshqa belgilar yordamida ifodalanishi mumkin. Ikki sonli ifodani teng yoki tengsizlik belgilari bilan bog‘lab, gaplar yasashingiz mumkin.

Bayonot chaqiriladi oddiy(boshlang'ich) agar uning hech bir qismi o'zi bayonot bo'lmasa.

Oddiy gaplardan iborat gap deyiladi kompozitsion(murakkab).

Mantiqiy algebrada oddiy gaplar bosh lotin harflari bilan belgilanadi:

A= (Aristotel - mantiq asoschisi),

IN= (Bananlar olma daraxtlarida o'sadi).

Oddiy gaplarning haqiqat yoki yolg'onligini asoslash mantiq algebrasidan tashqarida hal qilinadi. Masalan, "Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 gradus" degan gapning haqiqat yoki noto'g'riligi geometriya bilan belgilanadi va Evklid geometriyasida bu bayonot to'g'ri, Lobachevskiy geometriyasida esa noto'g'ri.

To'g'ri bayonotga 1, noto'g'ri - 0 beriladi. Shunday qilib, A = 1, IN = 0.

Mantiq algebrasi gaplarning semantik mazmunidan mavhumlashgan. Uni faqat bitta fakt qiziqtiradi - berilgan bayonot to'g'ri yoki noto'g'ri, bu esa algebraik usullar bilan murakkab bayonotlarning haqiqat yoki yolg'onligini aniqlash imkonini beradi.

to'g'ri fikrlash fani sifatida rasmiy mantiqning zamonaviy matematik modeli. Rus mantiqchisi Poretskiyning to'g'ri ifodasiga ko'ra, matematik mantiq o'z predmetida mantiq, matematika esa o'z masalalarini yechish uslubidadir. Matematik mantiqning tizimli rivojlanishi Bolzano, Frege, Rassel va Vitgenshteynlarning ishlaridan boshlandi. Bu mantiqning mohiyati ko'pgina mantiqiy kategoriyalarni (tushuncha, predikat, hukm, xulosa, xulosa, isbot) mantiqiy funktsiyalar sifatida ko'rib chiqishdan iborat bo'lib, ularning doirasi haqiqat qiymatlaridir. Mantiqiy funktsiyalar qanday talqin qilinadi va barcha mantiqiy operatorlar ("Hammasi", "Mavjud", "Ba'zi", "Bir", "Yo'q", "va", "yoki", "agar, keyin", "bir xil" atamalari, "ehtimol" ", "zarur" va boshqalar). Barcha mantiqiy funktsiyalar oxir-oqibat ushbu funktsiyalarning "kirish" va "chiqarish" da kiritilgan haqiqat qiymatlari sonining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalaridan foydalangan holda jadval shaklida belgilanadi. Masalan, “agar, keyin...” mantiqiy munosabati moddiy implikatsiya deb ataladigan = funksiyasi yordamida modellashtiriladi.

Ajoyib ta'rif

To?liq bo?lmagan ta'rif ?

MATEMATIK MANTIQ

matematika yordamida aniq fanga aylangan mantiq. usullari, yoki P. S. Poretskiyning fikricha, fan bo'yicha mantiq, usullar bo'yicha matematika. M. l qurish g'oyasi. birinchi marta Leybnits tomonidan ifodalangan. Ammo faqat 19-asrda. op. Bulning "Mantiqning matematik tahlili" (G."Bul, "Mantiqning matematik tahlili", 1847) bu fanning tizimli rivojlanishini boshladi.Matematik mantiqning keyingi rivojlanishi asosan matematikaning ehtiyojlari bilan rag'batlantirildi, bu esa mantiqiy muammolarni qo'ydi. klassik formal mantiqning eski vositalari yaroqsiz bo'lgan yechimlar uchun.Ushbu muammolardan biri Evklidning geometriyadagi 5-posulatining isbotlanmasligi muammosi edi.Bu muammo aksiomatik usul bilan bog'liq bo'lib, u mantiqiy tizimlashtirishning eng keng tarqalgan usuli hisoblanadi. Bu ishlab chiqilgan nazariya qoidalarini tasdiqlamasdan qabul qilingan asosiy nazariyani - aksiomatika deb ataluvchi nazariyani to'g'ri shakllantirishni talab qiladi, undan keyingi barcha mazmuni mantiqiy ravishda chiqariladi. Matematik nazariyani bunday qurishning klassik prototipi geometriyaning Evklid konstruktsiyasidir.Har qanday aksiomatik nazariya bilan bog'liq holda bir qancha mantiqiy masalalar tabiiy ravishda yuzaga keladi.Xususan, berilgan nazariya aksiomalarining mustaqilligi mantiqiy muammosi tabiiydir. nazariya aksiomalarining hech biri qolgan aksiomalardan sof mantiqiy xulosa chiqarish mumkin emasligini aniqlashdan iborat. Evklid geometriyasi uchun mantiqiy mantiq masalasi ikki ming yil davomida ochiq qoldi. Evklidning 5-posulatining mustaqilligi. Uni Evklid geometriyasining qolgan aksiomalaridan olish uchun ko'plab befoyda urinishlar qilingan, oxir-oqibat, N. I. Lobachevskiy asarlarida bunday xulosaning mumkin emasligi haqidagi ishonch birinchi marta aniq ifodalangan. Bu ishonch Lobachevning Evkliddan tubdan farq qiladigan yangi geometriyani qurishi bilan mustahkamlandi. Lobachevskiy geometriyasida uning yaratuvchisi tomonidan puxta ishlab chiqilgan qarama-qarshiliklar yo'q edi; Bu yangi geometriya aksiomalaridan oqibatlarni olish qanchalik uzoqqa cho'zilgan bo'lmasin, qarama-qarshiliklar umuman yuzaga kelmasligiga ishonchni ilhomlantirdi. Keyinchalik matematik F. Klayn Evklid geometriyasida yuzaga kelolmagan qarama-qarshiliklar Lobachevskiy geometriyasida yuzaga kelishi mumkin emasligini isbotladi (qarang Aksiomatik usul). Tarixiy jihatdan aksiomatikada “tasdiqlanmaslik” va izchillik muammolari shunday paydo bo'lgan va qisman hal qilingan. nazariyalar. Bunday masalalarni aniq shakllantirish va ularni matematik masalalar sifatida ko'rib chiqish isbotlash tushunchasini aniqlashtirishni talab qiladi. Har qanday matematika. isbot muayyan mantiqiy tamoyillarni izchil qo'llashdan iborat. asl pozitsiyalarni anglatadi. Lekin mantiqiy. vositalar mutlaq, bir marta va baribir belgilangan narsani ifodalamaydi. Ular insoniyatning ko'p asrlik amaliyoti tomonidan ishlab chiqilgan; “...insonning milliardlab marta amaliy faoliyati inson ongini turli mantiqiy raqamlarning takrorlanishiga olib kelishi kerak edi, toki bu raqamlar aksioma ma’nosini olishi mumkin edi” (Lenin V.I., Asarlar, 38-jild, 181-bet- 82). Biroq, inson amaliyoti har qanday tarixda mavjud. bosqich cheklangan, lekin uning hajmi doimo o'sib bormoqda. Mantiqiy ma'lum bir bosqichda yoki ma'lum bir sohada qoniqarli tarzda aks ettirilgan inson tafakkuri endi kelajak uchun mos kelmasligi mumkinligini anglatadi. bosqichda yoki boshqa sohalarda. Keyin ko'rib chiqilayotgan mavzu mazmunining o'zgarishiga qarab, uni ko'rib chiqish usuli ham o'zgaradi - mantiqiy mantiq o'zgaradi. ob'ektlar. Bu, ayniqsa, ko'p darajali abstraktsiyalarga ega bo'lgan matematikaga tegishli. Bu erda mantiq haqida gapirishning ma'nosi yo'q. jamiligida berilgan narsa, mutlaq narsa sifatida ma’nosini bildiradi. Lekin mantiqiy fikr yuritish mantiqiy. matematikada mavjud bo'lgan bir xil yoki boshqa aniq vaziyatda ishlatiladigan vositalar. Ularning k.-l uchun tashkil etilishi. aksiomatik nazariya va bu nazariya uchun dalil tushunchasining kerakli aniqlanishini tashkil qiladi. Bu tushuntirishning matematika rivoji uchun ahamiyati, ayniqsa, keyingi paytlarda oydinlashdi. To?plamlar nazariyasini ishlab chiqishda olimlar bir qator murakkab muammolarga, xususan G. Kantor (1883) tomonidan ilgari surilgan, 1939 yilgacha qoniqarli deb topilmagan kontinuumning kuchi muammosiga duch keldilar. yondashuvlar. Dr. echishga o'jarlik bilan qarshilik ko'rsatadigan muammolar Sovetlar tomonidan ishlab chiqilgan to'plamlarning tavsifiy nazariyasida uchragan. matematiklar. Bu masalalarning qiyinligi mantiqiy ekanligi, foydalanilgan mantiqning to'liq aniqlanmaganligi bilan bog'liqligi asta-sekin ayon bo'ldi. vositalar va aksiomalar va nima noyobdir. Buni engishning yo'li ikkalasiga ham aniqlik kiritishdir. Demak, bu masalalarni yechish matematikani jalb qilishni talab qiladi, demak, u matematikani rivojlantirish uchun zarur fan hisoblanadi. Hozirda M. l ga qo'yilgan umid vaqti. bu muammolar bilan bog'liq holda, allaqachon o'zini oqladi. Kontinuum muammosiga kelsak, K. G?del (1939) tomonidan juda muhim natijaga erishildi, u Kantorning umumlashtirilgan kontinuum gipotezasi to'plamlar nazariyasi aksiomalari bilan mos kelishini isbotladi, agar ular izchil bo'lsa. Tasviriy to?plamlar nazariyasining bir qator murakkab muammolari bo?yicha P. S. Novikov (1951) tomonidan muhim natijalarga erishildi. Aksiomatikada isbotlash tushunchalarini oydinlashtirish. nazariya uning rivojlanishidagi muhim bosqichdir. Ushbu bosqichdan o'tgan nazariyalar, ya'ni. aksiomatik o'rnatilgan mantiqqa ega nazariyalar. vositalar deduktiv nazariyalar deyiladi. Faqat ular uchun matematiklarni qiziqtiradigan aksiomatikada isbotlanish va izchillik masalalarini aniq shakllantirishga ruxsat berilishi mumkin. nazariyalar. Zamonaviy davrda bu muammolarni hal qilish uchun. M. l. dalillarni rasmiylashtirish usuli qo'llaniladi. Dalillarni rasmiylashtirish usuli g'oyasi unga tegishli. matematik D. Hilbert. Ushbu g'oyani amalga oshirish M. l ning oldingi rivojlanishi tufayli mumkin bo'ldi. Bul, Poretskiy, Shreder, Frege, Peano va boshqalar.Hozirgi davrda. Hozirgi kunda isbotlarni rasmiylashtirish usuli matematikani asoslash muammolarida kuchli tadqiqot vositasi hisoblanadi. Rasmiylashtirish usulidan foydalanish odatda mantiqiy tanlash bilan bog'liq. ko'rib chiqilayotgan deduktiv nazariyaning qismlari. Bu mantiqiy qism, rasmiylashtirilgan, butun nazariya kabi, ma'lum bir hisob shaklida, ya'ni. rasmiylashtirilgan aksiomalar tizimi va xulosa chiqarishning rasmiy qoidalarini mustaqil bir butun deb hisoblash mumkin. Eng oddiy mantiqiy. hisoblar taklifli hisoblar, klassik va konstruktivdir. Ikki taklif hisobi o'rtasidagi rasmiy farq taklif o'zgaruvchilari va mantiqiy o'zgaruvchilarning ma'nosiga nisbatan ularning talqinlarida chuqur farqni aks ettiradi. bog‘lovchilar (qarang: Intuitivizm, Muammolarni hisoblash, Propozitsiya mantiqi). Deduktiv matematikani qurishda eng ko'p qo'llaniladi. nazariyalar hozirgi zamonda. vaqt klassikasi predikat hisobi, bu klassikaning rivojlanishi va takomillashtirilishi. Aristotelning hukm nazariyasi va shu bilan birga tegishli to'plamlar nazariyasi. abstraktsiyalar tizimi. Konstruktiv predikat hisobi klassik hisob hisoblanadi. predikat hisobini konstruktiv taklifli hisobdan klassikga o'xshash tarzda. taklif hisobi. Ushbu ikkita predikat hisobi orasidagi eng muhim farq ulardagi alohida yoki ekzistensial hukmlarni talqin qilish bilan bog'liq. Konstruktiv predikat hisobida bunday mulohazalar aniqlash imkoniyati haqidagi bayonotlar sifatida talqin etiladi. tuzilmalar va faqat klassikada ushbu tuzilmalar ko'rsatilganda o'rnatilgan deb hisoblanadi. Predikatlar hisobida ekzistensial mulohazalar odatda konstruktiv imkoniyatlardan ajratilgan holda mavjudlik haqidagi ma'lum "sof" bayonotlar sifatida talqin qilinadi (qarang. Konstruktiv yo'nalish). Ekzistensial hukmlarning yanada qoniqarli talqini klassik hisoblanadi. predikatlar hisobi, ta'riflarni bog'lash. Shunday qilib, predikatlarning konstruktiv hisobi bilan ushbu hisob 1925 yilda A. N. Kolmogorov tomonidan kashf etilgan. Matematikada mantiqiy. hisob maxsus bilan birgalikda ishlatiladi. qo'llaniladigan deduktiv nazariyalarning aksiomalari. Masalan, natural sonlar nazariyasini arifmetika uchun Peano aksiomalarini predikatlar hisobi (klassik yoki konstruktiv) bilan birlashtirish orqali qurish mumkin. Bu holatda ishlatiladigan mantiqiy kombinatsiya. Matematik bilan ramziylik nafaqat matematikani loyihalash imkonini beradi. nazariya hisob ko'rinishida, lekin matematikaning ma'nosini oydinlashtirish uchun kalit bo'lishi mumkin. takliflar. Hozirda boyqush vaqti matematik N.A.Shanin matematikani konstruktiv talqin qilishning aniq qoidalarini ishlab chiqdi. matematikaning keng sohalarini qamrab oluvchi hukmlar. Ushbu qoidalarni qo'llash faqat tegishli hukm tegishli mantiqiy-matematik tilda yozilgandan keyingina mumkin bo'ladi. til. Sharhlash qoidalarini qo'llash natijasida berilgan hukm bilan bog'liq konstruktiv vazifa aniqlanishi mumkin. Biroq, bu har doim ham sodir bo'lmaydi: har bir matematik olim bilan emas. Taklif, albatta, konstruktiv vazifa bilan bog'liq. Quyidagi tushunchalar va g'oyalar hisob bilan bog'liq. Agar U ko'rinishdagi formulalar U formulasi bilan birga chiqarilmasa (bu erda inkor belgisi mavjud bo'lsa) hisob izchil deb ataladi. Matematikada qo'llaniladigan hisob-kitoblarning izchilligini o'rnatish muammosi boblardan biridir. muammolar M. l. Hozirda vaqt, bu muammo juda cheklangan vaqt ichida hal qilindi. hajmi. Turli xil turlari qo'llaniladi. hisoblashning to'liqligi haqidagi tushunchalar. Matematikaning u yoki bu mazmuni bilan belgilangan sohasini qamrab olishni hisobga olgan holda, agar ushbu sohadan to'g'ri bayonotni ifodalovchi har bir formulada xulosa chiqarish mumkin bo'lsa, hisob-kitoblar ushbu sohaga nisbatan to'liq hisoblanadi. Hisoblashning to'liqligining yana bir kontseptsiyasi hisobda tuzilgan har qanday taklifni isbotlash yoki rad etish talabi bilan bog'liq. Ushbu tushunchalar bilan bog'liq holda birinchi navbatda G?del-Rosser teoremasi muhim ahamiyatga ega bo'lib, u to'liqlik talabining juda keng toifadagi hisoblar uchun mustahkamlik talablariga mos kelmasligini tasdiqlaydi. G?del-Rosser teoremasiga ko'ra, bu sinfdan hech qanday izchil hisob arifmetikaga nisbatan to'liq bo'lishi mumkin emas: har qanday bunday hisob uchun to'g'ri arifmetika tuzilishi mumkin. rasmiylashtirilgan, ammo bu hisobda chiqarib bo'lmaydigan bayonot (qarang metateoriya). Bu teorema, M. l qiymatini kamaytirmasdan. ilm-fanda kuchli tashkiliy vosita sifatida, yagona deduktiv nazariya doirasida matematikaning universal qamrovini amalga oshirishga qodir bo'lgan narsa sifatida ushbu fanga bo'lgan umidlarni tubdan o'ldiradi. Bunday umidlar ko'pchilik tomonidan bildirilgan. olimlar, shu jumladan Hilbert - matematikadagi rasmiyatchilikning asosiy vakili - barcha matematikani bir marta va umuman o'rnatilgan ma'lum qoidalarga muvofiq formulalar bilan manipulyatsiya qilishga harakat qilgan yo'nalish. G?del va Rosserning natijasi bu yo'nalishga qattiq zarba berdi. Ularning teoremasi tufayli natural sonlar arifmetikasi kabi matematikaning nisbatan elementar qismini ham bitta deduktiv nazariya qamrab olmaydi. M. l. kibernetika bilan, xususan, releli sxemalar va avtomatlar nazariyasi, mashina matematikasi va matematik tilshunoslik bilan uzviy bog?langan. Ilovalar M. l. o'rni kontakt zanjirlari har qanday ikki qutbli o'rni kontaktlarning zanglashiga olib kelishiga asoslanadi. ma'noda, u klassik U formulasini modellashtiradi. taklif hisobi. Agar sxema n ta rele tomonidan boshqarilsa, u holda U bir xil miqdordagi turli xil taklif o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi va agar biz "Ishlagan o'rni raqami" hukmini bi bilan belgilasak, kontaktlarning zanglashiga olib kelishi natijasida kontaktlarning zanglashiga olib keladi. b1, ... hukmlari to'g'ri. , bn tegishli mantiqiy hukmlar o'rniga. o'zgaruvchilar U. Devrenning "ishlash shartlari" ni tavsiflovchi bunday simulyatsiya qilingan formulani qurish, ayniqsa, atalmish uchun oddiy bo'lib chiqadi. ?-parallel va ketma-ket ulanishlar orqali elementar bir kontaktli zanjirlardan olingan sxemalar. Buning sababi, sxemalarning parallel va ketma-ket ulanishlari, mos ravishda, hukmlarning diszyunksiyasi va konyunksiyasi modelidir. Haqiqatan ham, C1 va C2 davrlarining parallel (ketma-ket) ulanishi natijasida olingan sxema, agar C1 zanjiri yopiq bo'lsa va/yoki C2 sxemasi yopiq bo'lsa, yopiladi. Narvon sxemalarida taklifli hisob-kitoblarni qo'llash zamonaviy fanning muhim muammolariga samarali yondashuvni ochib berdi. texnologiya. Shu bilan birga, nazariya va amaliyot o'rtasidagi bu bog'liqlik ko'plikning shakllantirilishiga va qisman hal qilinishiga olib keldi. M. l.ning yangi va qiyin muammolari, ular birinchi navbatda deb ataladigan narsalarni o'z ichiga oladi. berilgan formulaga ekvivalent eng oddiy formulani topishning samarali usullarini topishdan iborat bo'lgan minimallashtirish muammosi. O'rnimizni aloqa sxemalari zamonaviy texnologiyada qo'llaniladigan boshqaruv sxemalarining alohida holatidir. savdo avtomatlari Boshqa turdagi boshqaruv sxemalari, xususan, vakuum naychalari yoki yarimo'tkazgich elementlaridan yasalgan sxemalar, ular yanada amaliylikka ega. qiymat, M. l. yordamida ham ishlab chiqilishi mumkin, bu esa bunday sxemalarni ham tahlil qilish, ham sintez qilish uchun etarli vositalarni taqdim etadi. Til M. l. hozirgi kunda yaratilgan dasturlash nazariyasiga ham tegishli bo'lib chiqdi. mashina matematikasi rivojlanishi bilan bog'liq vaqt. Nihoyat, M. l.da yaratilgan. Hisoblash apparati matematika tilini o'rganadigan matematik tilshunoslikda qo'llanilishi mumkin bo'ldi. usullari. Asosiylaridan biri Ushbu fanning muammosi - ko'rib chiqilayotgan tilning grammatika qoidalarini aniq shakllantirish, ya'ni. "Ushbu tilning grammatik jihatdan to'g'ri iborasi" nimani anglatishini aniq ta'rifi. Amer sifatida. Olim Xomskiy, bu muammoning yechimini quyidagi shaklda izlash uchun barcha asoslar bor: ma'lum bir hisob tuziladi va ma'lum bir til alifbosi belgilaridan tuzilgan va ushbu hisobda hosil bo'lgan iboralar grammatik jihatdan to'g'ri iboralarda e'lon qilinadi. . Bu boradagi ishlar davom etmoqda. Shuningdek qarang: Mantiq algebrasi, Konstruktiv mantiq, Kombinatoriy mantiq, Sinf mantiqi, Mantiqiy hisob, Modal mantiq va lit. ushbu maqolalar bilan. A. Markov. Moskva.