ladybe.ru
Bayes formulasidan foydalanib, ikkita ma'lumot manbasini birlashtiring. Umumiy ehtimollik formulasi va Bayes formulalari
Agar voqea LEKIN hosil qiluvchi hodisalardan biri sodir bo'lgandagina sodir bo'lishi mumkin mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhi , keyin hodisaning ehtimoli LEKIN formula bo'yicha hisoblanadi
Bu formula deyiladi umumiy ehtimollik formulasi .
Mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini yana ko'rib chiqing, ularning yuzaga kelish ehtimoli bor 
. Tadbir LEKIN faqat biz chaqiradigan har qanday hodisalar bilan birga sodir bo'lishi mumkin farazlar
. Keyin umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra
Agar voqea LEKIN sodir bo'lsa, u gipotezalarning ehtimolliklarini o'zgartirishi mumkin 
.
Ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra
.
Xuddi shunday, boshqa farazlar uchun
Olingan formula deyiladi Bayes formulasi (Bayes formulasi ). Gipotezalarning ehtimolliklari deyiladi posterior ehtimolliklar , unda qanday - oldingi ehtimolliklar .
Misol. Do‘konga uchta korxonadan yangi mahsulotlar kelib tushdi. Ushbu mahsulotlarning foizli tarkibi quyidagicha: 20% - birinchi korxona mahsuloti, 30% - ikkinchi korxona mahsuloti, 50% - uchinchi korxona mahsuloti; Bundan tashqari, birinchi korxona mahsulotining 10 foizi yuqori navli mahsulot, ikkinchi korxonada - 5 foiz va uchinchisida - eng yuqori navli mahsulotning 20 foizi. Tasodifiy sotib olingan yangi mahsulot eng yuqori sifatga ega bo'lish ehtimolini toping.
Yechim. tomonidan belgilang DA premium mahsulot sotib olinishidan iborat bo'lgan voqea, mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi korxonalarga tegishli mahsulotlarni sotib olishdan iborat bo'lgan voqealarni belgilaylik.
Biz umumiy ehtimollik formulasini qo'llashimiz mumkin va bizning yozuvimizda:
Ushbu qiymatlarni umumiy ehtimollik formulasiga almashtirib, biz kerakli ehtimollikni olamiz:
Misol. Uchta otuvchidan biri otishma chizig'iga chaqiriladi va ikkita o'q uzadi. Birinchi otuvchi uchun bitta o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,3, ikkinchisi uchun - 0,5; uchinchisi uchun - 0,8. Maqsadga tegmadi. O‘qlarni birinchi otgan otishma ehtimolini toping.
Yechim. Uchta faraz mumkin:
Birinchi otuvchi otishma chizig'iga chaqiriladi,
Ikkinchi o'q otish chizig'iga chaqiriladi,
Uchinchi otishmachi otishma chizig‘iga chaqirildi.
Har qanday otishmachini otishma chizig'iga chaqirish bir xil darajada mumkin 
Tajriba natijasida B hodisasi kuzatildi - otilgan o'qlardan keyin nishonga tegmadi. Ushbu hodisaning shartli ehtimollari farazlarga ko'ra:
Bayes formulasidan foydalanib, biz tajribadan keyin gipoteza ehtimolini topamiz:
Misol. Uchta avtomatik mashinada bir xil turdagi qismlar qayta ishlanadi, ular umumiy konveyerda ishlov berilgandan keyin keladi. Birinchi mashina 2% rad etadi, ikkinchisi - 7%, uchinchisi - 10%. Birinchi mashinaning mahsuldorligi ikkinchisining mahsuldorligidan 3 marta, uchinchisi esa ikkinchisidan 2 marta kam.
a) Yig'ish liniyasidagi nuqson darajasi qanday?
b) Har bir mashinaning qismlari konveyerdagi nuqsonli qismlarga nisbati qanday?
Yechim. Keling, yig'ish liniyasidan tasodifiy bir qismni olib, A hodisasini ko'rib chiqaylik - bu qism nuqsonli. Bu qism qayerda ishlanganligi haqidagi farazlar bilan bog'liq: - tasodifiy tanlangan qism th mashinada ishlov berilgan,.
Shartli ehtimollar (muammo shartida ular foizlar shaklida beriladi):
Mashinaning ishlashi o'rtasidagi bog'liqlik quyidagilarni anglatadi:
Va farazlar to'liq guruhni tashkil qilganligi sababli, keyin .
Hosil bo'lgan tenglamalar tizimini yechib, topamiz: .
a) yig'ish liniyasidan tasodifiy olingan qismning nuqsonli bo'lishining umumiy ehtimoli:
Boshqacha qilib aytganda, yig'ish liniyasidan chiqadigan qismlarning massasida nuqson 4% ni tashkil qiladi.
b) Tasodifiy olingan qism nuqsonli ekanligi ma'lum bo'lsin. Bayes formulasidan foydalanib, biz gipotezalarning shartli ehtimolliklarini topamiz:
Shunday qilib, konveyerdagi nuqsonli qismlarning umumiy massasida birinchi mashinaning ulushi 33%, ikkinchisi - 39%, uchinchisi - 28% ni tashkil qiladi.
Amaliy topshiriqlar
1-mashq
Ehtimollar nazariyasining asosiy bo'limlaridagi masalalarni yechish
Maqsad - masalalarni hal qilishda amaliy ko'nikmalarga ega bo'lish
ehtimollar nazariyasi bo'limlari
Amaliy topshiriqni bajarishga tayyorgarlik
Ushbu mavzu bo'yicha nazariy material bilan tanishish, nazariy, shuningdek, adabiyotdagi tegishli bo'limlarning mazmunini o'rganish.
Vazifani bajarish tartibi
1-jadvalda berilgan topshiriq varianti soniga qarab 5 ta masalani yeching.
Dastlabki ma'lumotlar variantlari
1-jadval
|
vazifa raqami |
||||||
1-topshiriq uchun hisobotning tarkibi
Variant raqamiga ko'ra 5 ta yechilgan masala.
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
1.. Quyidagi hodisalar guruhlari holatlarmi: a) tajriba - tanga tashlash; ishlanmalar: A1- gerbning ko'rinishi; A2- raqamning ko'rinishi; b) tajriba - ikkita tanga tashlash; ishlanmalar: IN 1- ikkita gerbning ko'rinishi; IN 2 - ikki raqamning ko'rinishi; AT 3- bitta gerb va bitta raqamning ko'rinishi; v) tajriba - zar tashlash; ishlanmalar: C1 - ikki nuqtadan ko'p bo'lmagan ko'rinishi; C2 - uch yoki to'rt nuqtaning paydo bo'lishi; C3 - kamida besh ballning ko'rinishi; d) tajriba - nishonga otish; ishlanmalar: D1- urish; D2- sog'inish; e) tajriba - nishonga ikki marta zarba berish; ishlanmalar: E0- bitta zarba yo'q; E1- bitta zarba; E2- ikkita zarba; f) tajriba - palubadan ikkita kartani chizish; ishlanmalar: F1- ikkita qizil kartochkaning paydo bo'lishi; F2- ikkita qora kartaning paydo bo'lishi?
2. A urnada oq va B mavjud qora sharlar. Bitta to'p urnadan tasodifiy ravishda olinadi. Ushbu to'pning oq bo'lish ehtimolini toping.
3. A urnada oq va B qora sharlar. Bir to'p urnadan chiqariladi va chetga qo'yiladi. Bu to'p oq. Shundan so'ng, urnadan yana bir to'p olinadi. Bu to'pning ham oq bo'lishi ehtimolini toping.
4. A urnasida oq va B qora sharlar. Bir to'pni urnadan chiqarib, qaramasdan chetga qo'yishdi. Shundan so'ng urnadan yana bir to'p olindi. U oq bo'lib chiqdi. Birinchi chetga qo'yilgan to'pning ham oq bo'lish ehtimolini toping.
5. Tarkibida A bo‘lgan urnadan oq va B qora sharlar, bittadan tashqari barcha to'plarni birma-bir chiqarib oling. Idishdagi oxirgi to‘pning oq bo‘lish ehtimolini toping.
6. Ichkarida joylashgan urnadan A oq sharlar va B qora, undagi barcha to'plarni ketma-ket chiqarib oling. Ikkinchi chizilgan to'pning oq bo'lish ehtimolini toping.
7. A oq va B qora sharlardan iborat idishda (A > 2). Bir vaqtning o'zida urnadan ikkita to'p chiqariladi. Ikkala sharning ham oq bo'lish ehtimolini toping.
8. A urnadagi oq va B qora sharlar (A > 2, B > 3). Bir vaqtning o'zida urnadan beshta shar chiqariladi. Ehtimolni toping R ularning ikkitasi oq, uchtasi qora bo'ladi.
9. X dan iborat partiyada mahsulotlar bor I nuqsonli. Partiyadan I nazorat qilish uchun tanlanadi mahsulotlar. Ehtimolni toping R ulardan qaysi biri aynan J mahsulotlar nuqsonli bo'ladi.
10. Qalam bir marta tashlanadi. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: LEKIN - juft sonli nuqtalarning paydo bo'lishi; DA- kamida 5 ballning ko'rinishi; FROM- tashqi ko'rinish 5 balldan oshmasligi kerak.
11. Qalam ikki marta tashlanadi. Ehtimolni toping R ikkala marta ham bir xil miqdordagi nuqtalar paydo bo'ladi.
12. Ikkita zar bir vaqtning o'zida tashlanadi. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: LEKIN- tushirilgan ballar yig'indisi 8 ga teng; DA- tushirilgan nuqtalarning ko'paytmasi 8 ga teng; FROM- tushib ketgan ballar yig'indisi ularning mahsulotidan kattaroqdir.
13. Ikki tanga tashlandi. Quyidagi hodisalardan qaysi biri ehtimoli ko'proq: LEKIN - tangalar bir xil tomonlarda yotadi; DA - Tangalar turli tomonlarda yotadimi?
14. A urnasida oq va B qora sharlar (A > 2; B > 2). Bir vaqtning o'zida urnadan ikkita to'p chiqariladi. Qaysi hodisa ehtimoli ko'proq: LEKIN- bir xil rangdagi to'plar; DA - turli rangdagi to'plar?
15. Uchta o'yinchi karta o'ynamoqda. Ularning har biriga 10 ta karta beriladi va o'yinda ikkita karta qoladi. O'yinchilardan biri olmos kostyumining 6 ta kartasi va olmos bo'lmagan kostyumning 4 ta kartasi borligini ko'radi. U to'rtta kartadan ikkitasini tashlab, durangni oladi. Uning ikkita olmos sotib olish ehtimolini toping.
16. O'z ichiga olgan urnadan P raqamlangan to'plar, undagi barcha to'plarni tasodifiy birma-bir chiqarib oling. Chizilgan to'plarning raqamlari tartibda bo'lish ehtimolini toping: 1, 2,..., P.
17. Oldingi masalada bo'lgani kabi bir xil urna, lekin har bir to'pni chiqarib bo'lgach, yana ichiga qo'yiladi va boshqalar bilan aralashtiriladi va uning raqami yoziladi. Sonlarning natural ketma-ketligi yozilish ehtimolini toping: 1, 2,..., n.
18. To'liq kartalar palubasi (52 varaq) tasodifiy ravishda 26 varaqdan iborat ikkita teng paketga bo'linadi. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: LEKIN - paketlarning har birida ikkita eys bo'ladi; DA- paketlarning birida eyslar bo'lmaydi, ikkinchisida esa to'rttasi; S-in paketlardan birida bitta eys, ikkinchisida esa uchta bo'ladi.
19. Basketbol chempionatida 18 ta jamoa qatnashadi, ularning har biri 9 tadan ikkitadan tasodifiy tarzda tuzilgan. Musobaqa ishtirokchilari orasida 5 ta jamoa bor
qo'shimcha sinf. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: LEKIN - barcha qo'shimcha toifadagi jamoalar bir guruhga tushadi; DA- ikkita qo'shimcha toifadagi jamoalar guruhlardan biriga, uchtasi esa boshqasiga kiradi.
20. Raqamlar to'qqizta kartaga yoziladi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ulardan ikkitasi tasodifiy ravishda chiqariladi va ko'rinish tartibida stolga qo'yiladi, so'ngra olingan raqam o'qiladi. , masalan 07 (etti), 14 (o'n to'rt) va hokazo. Sonning juft bo'lish ehtimolini toping.
21. Raqamlar beshta kartaga yoziladi: 1, 2, 3, 4, 5. Ulardan ikkitasi, birin-ketin, chiqariladi. Ikkinchi kartadagi raqam birinchi kartadagi raqamdan katta bo'lish ehtimolini toping.
22. 21-muammodagi kabi savol, lekin birinchi karta chizilganidan keyin qo'yiladi va qolganlari bilan aralashtiriladi va undagi raqam yoziladi.
23. A urnasida oq, B qora va C qizil sharlar. Undagi barcha sharlar birin-ketin urnadan chiqariladi va ularning ranglari yoziladi. Ushbu ro'yxatda qora rangdan oldin oq rang paydo bo'lish ehtimolini toping.
24. Ikkita urna bor: birinchisida A oq va B qora sharlar; ikkinchi C da oq va D qora. Har bir urnadan to'p olinadi. Ikkala sharning ham oq bo'lish ehtimolini toping.
25. 24-masala shartlariga ko‘ra, chizilgan sharlarning turli rangda bo‘lish ehtimolini toping.
26. Revolver barabanida yettita uyalar bor, ulardan beshtasiga patronlar o‘rnatilgan, ikkitasi bo‘sh qolgan. Baraban aylanishda o'rnatiladi, buning natijasida rozetkalardan biri barrelga tasodifiy joylashtiriladi. Shundan so'ng, tetik bosiladi; agar hujayra bo'sh bo'lsa, tortishish sodir bo'lmaydi. Ehtimolni toping R bunday tajribani ketma-ket ikki marta takrorlagan holda, biz ikkala marta ham otmaymiz.
27. Xuddi shu sharoitda (26-masalaga qarang), otishmaning ikkala marta sodir bo'lish ehtimolini toping.
28. Idishda A bor; 1, 2, ... bilan belgilangan sharlar, uchun Urundan I bitta to'p chizilganidan keyin (I<к), to'pning raqami yoziladi va to'p yana urnaga solinadi. Ehtimolni toping R barcha qayd etilgan raqamlar boshqacha bo'ladi.
29. "Kitob" so'zi bo'lingan alifboning beshta harfidan iborat. O'qishni bilmaydigan bola bu harflarni tarqatib yubordi va keyin ularni tasodifiy tartibda birlashtirdi. Ehtimolni toping R u yana "kitob" so'zini olganligi.
30. "Ananas" so'zi bo'lingan alifbo harflaridan tuzilgan. O'qishni bilmaydigan bola bu harflarni tarqatib yubordi va keyin ularni tasodifiy tartibda birlashtirdi. Ehtimolni toping R u yana "ananas" so'ziga ega ekanligi
31. To'liq kartalar to'plamidan (52 varaq, 4 ta kostyum) bir vaqtning o'zida bir nechta kartalar chiqariladi. 0,50 dan katta ehtimollik bilan ular orasida bir xil kostyumdagi kartalar bo'lishini aytish uchun nechta kartani olish kerak?
32. N odamlar tasodifiy davra stoliga o'tirishadi (N > 2). Ehtimolni toping R bu ikki sobit yuz LEKIN va DA yaqinida bo'ladi.
33. Xuddi shu masala (32 ga qarang), lekin jadval to'rtburchaklar shaklida va N odam tasodifiy ravishda uning bir tomoni bo'ylab o'tiradi.
34. 1 dan boshlab raqamlar N. Shulardan N ikkita barrel tasodifiy tanlanadi. Ikkala barrelga ham k dan kichik sonlar yozilish ehtimolini toping
(2
35.
1 dan 1 gacha raqamlar N. Shulardan N ikkita barrel tasodifiy tanlanadi. Barrellardan birining soni k dan katta bo‘lish ehtimolini toping ,
va boshqa tomondan - k dan kam .
(2
36. Batareya tugadi M dan iborat guruhga qarata o‘q uzgan N maqsadlar (M< N). Qurollar o'z nishonlarini ketma-ket, tasodifiy tanlaydilar, agar ikkita qurol bitta nishonga o'q otmasa. Ehtimolni toping R 1, 2, ... raqamlari bo'lgan nishonlar o'qqa tutilishi haqiqati M.
37.. Batareya dan iborat uchun dan tashkil topgan guruhga qurol, otishmalar I samolyot (to< 2). Har bir qurol o'z nishonini tasodifiy va boshqalardan mustaqil ravishda tanlaydi. Hammasi bo'lish ehtimolini toping uchun qurollar bir xil nishonga o'q uzadi.
38. Oldingi masala shartlariga ko'ra, barcha qurollarning turli nishonlarga o'q otilishi ehtimolini toping.
39. To'rtta to'p tasodifiy ravishda to'rt teshikka tarqalgan; har bir to'p bir xil ehtimollik bilan va boshqalardan mustaqil ravishda bir yoki boshqa teshikka uriladi (bir xil teshikka bir nechta to'pni kiritish uchun hech qanday to'siq yo'q). Teshiklarning birida uchta to'p, ikkinchisida bitta to'p, qolgan ikkita teshikda esa to'p bo'lmasligi ehtimolini toping.
40. Masha Petya bilan janjallashdi va u bilan bir avtobusda yurishni istamaydi. Yotoqxonadan institutga 7 dan 8 gacha 5 ta avtobus qatnaydi. Bu avtobuslarga ulgurmaganlar ma’ruzaga kechikib kelishadi. Masha va Petya institutga turli avtobuslarda qancha yo'l bilan etib borishlari va ma'ruzaga kechikmasliklari mumkin?
41. Bankning axborot texnologiyalari bo‘limida 3 nafar tahlilchi, 10 nafar dasturchi va 20 nafar muhandis faoliyat yuritadi. Dam olish kunida qo'shimcha ish uchun bo'lim boshlig'i bitta xodimni ajratishi kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?
42. Bankning qo‘riqlash xizmati boshlig‘i har kuni 10 ta postda 10 nafar qo‘riqchini joylashtirishi shart. Buni necha usulda qilish mumkin?
43. Bankning yangi prezidenti 10 nafar direktor orasidan 2 nafar yangi vitse-prezidentni tayinlashi kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?
44. Urushayotgan tomonlardan biri 12 nafar, ikkinchisi esa 15 nafar asirni asirga oldi. 7 ta harbiy asirni necha usul bilan almashtirish mumkin?
45. Petya va Masha video disklarni yig'adilar. Petyada 30 ta komediya, 80 ta jangari film va 7 ta melodrama, Mashada 20 ta komediya, 5 ta jangari film va 90 ta melodrama bor. Petya va Masha 3 ta komediya, 2 ta jangovar film va 1 ta melodrama almashishi mumkinmi?
46. 45-masala shartlariga ko'ra, Petya va Masha 3 ta melodrama va 5 ta komediyani nechta usulda almashishi mumkin?
47. 45-masala shartlariga ko'ra, Petya va Masha 2 ta harakatli film va 7 ta komediyani necha usulda almashishi mumkin.
48. Urushayotgan tomonlardan biri 15 nafar, ikkinchisi esa 16 nafar asirni asirga oldi. 5 ta harbiy asirni necha usul bilan almashtirish mumkin?
49. Agar raqam 3 ta raqam va 3 ta harfdan iborat bo?lsa, 1 ta shaharda nechta avtomobilni ro?yxatdan o?tkazish mumkin?
50. Urushayotgan tomonlardan biri 14 nafar, ikkinchisi esa 17 nafar asirni asirga oldi. 6 ta harbiy asirni necha usul bilan almashtirish mumkin?
51. “Ona” so‘zidagi harflarni o‘zgartirish orqali necha xil so‘z yasash mumkin?
52. Savatda 3 ta qizil va 7 ta yashil olma bor. Undan bitta olma olinadi. Uning qizil bo'lish ehtimolini toping.
53. Savatda 3 ta qizil va 7 ta yashil olma bor. Undan bitta yashil olma chiqarib, chetga qo'yishdi. Keyin savatdan yana 1 ta olma chiqariladi. Bu olma yashil bo'lish ehtimoli qanday?
54. 1000 dona partiyada 4 tasi nuqsonli. Nazorat qilish uchun 100 ta mahsulot partiyasi tanlanadi. MChJning nazorat uchastkasining nuqsonli bo'lmasligi ehtimoli qanday?
56. 80-yillarda SSSRda 36 ta o'yindan 5 tasi sportloto mashhur edi. O'yinchi kartada 1 dan 36 gacha bo'lgan 5 ta raqamni qayd etdi va agar u o'yin komissiyasi tomonidan e'lon qilingan boshqa raqamlarni taxmin qilsa, turli nomdagi sovrinlarni oldi. O'yinchi hech qanday raqamni topmaganlik ehtimolini toping.
57. 80-yillarda SSSRda "36 tadan 5 ta sportloto" o'yini mashhur edi. O'yinchi kartada 1 dan 36 gacha bo'lgan 5 ta raqamni qayd etdi va agar u o'yin komissiyasi tomonidan e'lon qilingan boshqa raqamlarni taxmin qilsa, turli nomdagi sovrinlarni oldi. O'yinchi bitta raqamni taxmin qilish ehtimolini toping.
58. 80-yillarda SSSRda 36 ta o'yindan 5 tasi sportloto mashhur edi. O'yinchi kartada 1 dan 36 gacha bo'lgan 5 ta raqamni qayd etdi va agar u o'yin komissiyasi tomonidan e'lon qilingan boshqa raqamlarni taxmin qilsa, turli nomdagi sovrinlarni oldi. O'yinchi 3 ta raqamni taxmin qilish ehtimolini toping.
59. 80-yillarda SSSRda 36 ta o'yindan 5 tasi sportloto mashhur edi. O'yinchi kartada 1 dan 36 gacha bo'lgan 5 ta raqamni qayd etdi va agar u o'yin komissiyasi tomonidan e'lon qilingan boshqa raqamlarni taxmin qilsa, turli nomdagi sovrinlarni oldi. O'yinchi barcha 5 ta raqamni topmaganlik ehtimolini toping.
60. 80-yillarda SSSRda 49 ta o'yindan 6 tasi sportloto mashhur edi. O'yinchi kartada 1 dan 49 gacha bo'lgan 6 ta raqamni qayd etdi va agar u o'yin komissiyasi tomonidan e'lon qilingan boshqa raqamlarni taxmin qilsa, turli nomdagi sovrinlarni oldi. O'yinchi 2 ta raqamni taxmin qilish ehtimolini toping.
61. 80-yillarda SSSRda "sportloto 49dan 6" o'yini mashhur edi. O'yinchi kartada 1 dan 49 gacha bo'lgan 6 ta raqamni qayd etdi va agar u o'yin komissiyasi tomonidan e'lon qilingan boshqa raqamlarni taxmin qilsa, turli nomdagi sovrinlarni oldi. O'yinchi hech qanday raqamni topmaganlik ehtimolini toping.
62. 80-yillarda SSSRda "sportloto 49dan 6" o'yini mashhur edi. O'yinchi kartada 1 dan 49 gacha bo'lgan 6 ta raqamni qayd etdi va agar u o'yin komissiyasi tomonidan e'lon qilingan boshqa raqamlarni taxmin qilsa, turli nomdagi sovrinlarni oldi. O'yinchi barcha 6 ta raqamni taxmin qilish ehtimolini toping.
63. 1000 dona partiyada 4 tasi nuqsonli. Nazorat qilish uchun 100 ta mahsulot partiyasi tanlanadi. MChJning nazorat partiyasida faqat 1 ta nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday?
64. “Kitob” so‘zidagi harflarni o‘zgartirish orqali necha xil so‘z yasash mumkin?
65. “Ananas” so‘zidagi harflarni o‘zgartirish orqali necha xil so‘z yasash mumkin?
66. Liftga 6 kishi kirdi, yotoqxona 7 qavatli. 6 kishining hammasi bir qavatda chiqish ehtimoli qanday?
67. Liftga 6 kishi kirdi, bino 7 qavatli. 6 kishining hammasi turli qavatlarda chiqish ehtimoli qanday?
68. Momaqaldiroq paytida elektr uzatish liniyasining 40 dan 79 km gacha bo'lgan qismida sim uzilishi sodir bo'ldi. Har qanday nuqtada uzilish teng darajada mumkin deb faraz qilib, uzilishning 40 va 45 kilometr oralig‘ida sodir bo‘lish ehtimolini toping.
69. Gaz quvurining 200 kilometrlik qismida A va B kompressor stansiyalari o'rtasida gaz s?z?nt?s? mavjud bo'lib, bu quvur liniyasining istalgan nuqtasida bir xil darajada mumkin. Oqish A dan 20 km masofada sodir bo'lish ehtimoli qanday?
70. Gaz quvurining 200 kilometrlik qismida A va B kompressor stantsiyalari o'rtasida gaz sizib chiqishi sodir bo'ladi, bu quvur liniyasining istalgan nuqtasida teng darajada mumkin. Oqishning B ga qaraganda A ga yaqinroq bo'lish ehtimoli qanday?
71. Yo'l harakati politsiyasi inspektorining radari 10 km / soat aniqlikka ega va eng yaqin tomonga aylanadi. Ko'pincha nima sodir bo'ladi - haydovchi yoki inspektor foydasiga yaxlitlash?
72. Masha institutga boradigan yo'lda 40 dan 50 minutgacha vaqt sarflaydi va bu oraliqda har qanday vaqt bir xil ehtimolga ega. Uning yo'lda 45 dan 50 daqiqagacha bo'lish ehtimoli qanday?
73. Petya va Masha Pushkin haykali oldida 12 dan 13 soatgacha uchrashishga kelishib oldilar, ammo hech kim kelish vaqtini aniq ko'rsata olmadi. Ular bir-birlarini 15 daqiqa kutishga kelishib olishdi. Ularning uchrashish ehtimoli qanday?
74. Baliqchilar hovuzda 120 ta baliq tutdilar, ulardan 10 tasi halqali. Halqali baliqni tutish ehtimoli qanday?
75. 3 ta qizil va 7 ta yashil olma solingan savatdan barcha olmalarni navbat bilan chiqarib oling. 2-olmaning qizil bo'lish ehtimoli qanday?
76. 3 ta qizil va 7 ta yashil olma solingan savatdan barcha olmalarni navbat bilan chiqarib oling. Oxirgi olma yashil bo'lish ehtimoli qanday?
77. Talabalar 50 ta chiptadan 10 tasini "yaxshi" deb hisoblashadi. Petya va Masha navbatma-navbat bittadan chipta olishadi. Mashaning "yaxshi" chipta olish ehtimoli qanday?
78. Talabalar 50 ta chiptadan 10 tasini “yaxshi” deb hisoblashadi. Petya va Masha navbatma-navbat bittadan chipta olishadi. Ularning ikkalasi ham "yaxshi" chipta olish ehtimoli qanday?
79. Masha imtihonga dasturning 25 ta savolidan 20 tasiga javobni bilib keldi. Professor 3 ta savol beradi. Masha 3 ta savolga javob berish ehtimoli qanday?
80. Masha imtihonga dasturning 25 ta savolidan 20 tasiga javobni bilib keldi. Professor 3 ta savol beradi. Masha savollarga javob bermaslik ehtimoli qanday?
81. Masha imtihonga dasturning 25 ta savolidan 20 tasiga javobni bilib keldi. Professor 3 ta savol beradi. Masha 1 savolga javob berish ehtimoli qanday?
82. Bank kreditlari bo‘yicha so‘rovlar statistikasi quyidagicha: 10% - davlat. hokimiyat organlari, 20% - boshqa banklar, qolganlari - jismoniy shaxslar. Kreditni to'lamaslik ehtimoli mos ravishda 0,01, 0,05 va 0,2 ni tashkil qiladi. Kreditlarning qaysi qismi qaytarilmaydi?
83. muzqaymoq sotuvchisining haftalik aylanmasi 2000 rubldan oshishi ehtimoli. ochiq havoda 80%, qisman bulutli havoda 50% va yomg'irli havoda 10% ni tashkil qiladi. Tovar aylanmasining 2000 rubldan oshib ketishi ehtimoli qanday. agar aniq ob-havo ehtimoli 20%, qisman bulutli va yomg'irli bo'lsa - har biri 40%.
84. A urnada oq (b) va C qora (h) to'plar. Idishdan ikkita to'p olinadi (bir vaqtning o'zida yoki ketma-ket). Ikkala sharning ham oq bo'lish ehtimolini toping.
85. A urnada oq va B
86. Urnada A oq va B
87. Urnada A oq va B qora sharlar. Idishdan bitta shar chiqariladi, uning rangi belgilanadi va to'p urnaga qaytariladi. Shundan so'ng, urnadan yana bir to'p olinadi. Ushbu to'plarning turli rangda bo'lish ehtimolini toping.
88. To'qqizta yangi tennis to'pi bo'lgan quti bor. O'yin uchun uchta to'p olinadi; o'yindan keyin ular orqaga qaytariladi. To'plarni tanlashda ular o'ynagan va o'ynalmagan to'plarni ajratmaydilar. Uchta o‘yindan keyin qutida o‘ynalmagan to‘plar qolmasligi ehtimoli qanday?
89. Kvartiradan chiqish, N har bir mehmon o'z galoslarini kiyadi;
90. Kvartiradan chiqish, N bir xil poyafzal o'lchamiga ega bo'lgan mehmonlar zulmatda galoshes kiyishadi. Ularning har biri o'ng galoshni chapdan ajrata oladi, lekin o'zinikini boshqasidan ajrata olmaydi. Buning ehtimolini toping har bir mehmon bir juftga tegishli galoshlarni kiyadi (ehtimol o'ziniki emas).
91. 90-masala shartlariga ko‘ra, har kim o‘z galosida chiqib ketish ehtimolini toping. agar mehmonlar o'ng galoshni chapdan ajrata olmasalar va shunchaki duch kelgan birinchi ikkita galoshni olishsa.
92. Havo kemasida otishma olib borilmoqda, uning zaif qismlari ikkita dvigatel va kokpitdir. Samolyotni urish (o'chirish) uchun ikkala dvigatelni birga yoki kokpitga urish kifoya. Berilgan otishni o'rganish sharoitida birinchi dvigatelni urish ehtimoli p1 ikkinchi dvigatel p2, kokpit p3. Samolyotning qismlari bir-biridan mustaqil ravishda ta'sirlanadi. Samolyotning urilish ehtimolini toping.
93. Ikki otuvchi bir-biridan mustaqil ravishda ikkita o'q uzadi (har biri o'z nishoniga). Birinchi otuvchi uchun bitta o'q bilan nishonga tegish ehtimoli p1 ikkinchisi uchun p2. Musobaqa g'olibi - nishonda ko'proq teshiklar bo'ladigan otishmachi. Ehtimolni toping Rx birinchi otuvchi nima yutadi.
94. kosmik ob'ektning orqasida ob'ekt ehtimollik bilan aniqlanadi R. Har bir tsiklda ob'ektni aniqlash boshqalardan mustaqil ravishda sodir bo'ladi. Qachon bo'lish ehtimolini toping P tsikllar davomida ob'ekt aniqlanadi.
95. Kesilgan alifbo kartochkalarida rus alifbosining 32 ta harfi yozilgan. Beshta karta tasodifiy, birin-ketin tortiladi va ular paydo bo'lish tartibida stolga qo'yiladi. “Oxir” so‘zining olinishi ehtimolini toping.
96. Ikki shar to'g'ri chiziqda birin-ketin joylashgan to'rtta katakchaga tasodifiy va bir-biridan mustaqil ravishda sochilgan. Bir xil ehtimollik bilan har bir to'p 1/4 har bir katakchaga tushadi. To'plarning qo'shni hujayralarga tushish ehtimolini toping.
97. Samolyotga yondiruvchi snaryadlar otilmoqda. Samolyotdagi yoqilg'i birin-ketin fyuzelajda joylashgan to'rtta tankga to'plangan. Tanklarning o'lchamlari bir xil. Samolyotni yoqish uchun bitta tankda yoki qo'shni tanklarda ikkita snaryadni urish kifoya. Ma'lumki, tank maydoniga ikkita snaryad tushgan. Samolyotning yonib ketishi ehtimolini toping.
98. To'liq kartalar to'plamidan (52 varaq) bir vaqtning o'zida to'rtta karta chiqariladi. Ushbu to'rtta kartaning hammasi bir xil kostyumda bo'lish ehtimolini toping.
99. To'liq kartochkalar to'plamidan (52 varaq) bir vaqtning o'zida to'rtta karta chiqariladi, lekin har bir karta chiqarilgandan keyin palubaga qaytariladi. To'rtta kartaning hammasi bir xil kostyumda bo'lish ehtimolini toping.
100. Kontakt yoqilganda, vosita ehtimollik bilan boshlanadi R.
101. Qurilma ikki rejimda ishlashi mumkin: 1) normal va 2) g'ayritabiiy. Oddiy rejim qurilma ishlashining barcha holatlarining 80% da kuzatiladi; anormal - 20% da. Qurilmaning o'z vaqtida ishdan chiqishi ehtimoli t normal rejimda - 0,1; anormal holatda - 0,7. Umumiy ehtimollikni toping R qurilmaning ishdan chiqishi.
102. Do‘kon 3 ta yetkazib beruvchidan tovar oladi: 1-dan 55%, 2-dan 20% va 3-dan 25%. Nikohning ulushi mos ravishda 5, 6 va 8 foizni tashkil etadi. Xarid qilingan nuqsonli mahsulot ikkinchi yetkazib beruvchidan kelganligi ehtimoli qanday?
103. Yoqilg'i quyish shoxobchalari yonidan o'tgan avtomobillar oqimining 60% yuk mashinalari va 40% engil avtomobillardan iborat. Yoqilg'i quyish ehtimoli 0,1, avtomobil esa 0,3 bo'lsa, yoqilg'i quyish shoxobchasida yuk mashinasini topish ehtimoli qanday?
104. Yoqilg'i quyish shoxobchalari yonidan o'tgan avtomobillar oqimining 60% yuk mashinalari va 40% engil avtomobillardan iborat. Yoqilg'i quyish ehtimoli 0,1, avtomobil esa 0,3 bo'lsa, yoqilg'i quyish shoxobchasida yuk mashinasini topish ehtimoli qanday?
105. Do‘kon 3 ta yetkazib beruvchidan tovar oladi: 1-dan 55%, 2-dan 20% va 3-dan 25%. Nikohning ulushi mos ravishda 5, 6 va 8 foizni tashkil etadi. Xarid qilingan nuqsonli mahsulot 1-chi yetkazib beruvchidan kelganligi ehtimoli qanday?
106. Kesilgan alifbo kartochkalarida rus alifbosining 32 ta harfi yozilgan. Beshta karta tasodifiy, birin-ketin tortiladi va ular paydo bo'lish tartibida stolga qo'yiladi. “Kitob” so‘zini olish ehtimolini toping.
107. Do‘kon 3 ta yetkazib beruvchidan tovarlarni qabul qiladi: 1-dan 55%, 2-dan 20% va 3-dan 25%. Nikohning ulushi mos ravishda 5, 6 va 8 foizni tashkil etadi. Xarid qilingan nuqsonli mahsulot 1-chi yetkazib beruvchidan kelganligi ehtimoli qanday?
108. Ikki shar to'g'ri chiziqda birin-ketin joylashgan to'rtta katak ustiga tasodifiy va bir-biridan mustaqil ravishda sochilgan. Bir xil ehtimollik bilan har bir to'p 1/4 har bir katakchaga tushadi. Bir katakka 2 ta shar tushishi ehtimolligini toping
109. Kontakt yoqilganda, vosita ehtimollik bilan ishlay boshlaydi R. Olovni ikkinchi marta yoqilganda dvigatelning ishlay boshlash ehtimolini toping;
110. Samolyotga yondiruvchi snaryadlar otiladi. Samolyotdagi yoqilg'i birin-ketin fyuzelajda joylashgan to'rtta tankga to'plangan. Tanklarning o'lchamlari bir xil. Samolyotni yoqish uchun bitta tankdagi ikkita snaryadni urish kifoya. Ma'lumki, tank maydoniga ikkita snaryad tushgan. Samolyotning yonib ketishi ehtimolini toping
111. Samolyotga yondiruvchi snaryadlar otiladi. Samolyotdagi yoqilg'i birin-ketin fyuzelajda joylashgan to'rtta tankga to'plangan. Tanklarning o'lchamlari bir xil. Samolyotni yoqish uchun qo'shni tanklarga ikkita snaryadni urish kifoya. Ma'lumki, tank maydoniga ikkita snaryad tushgan. Samolyotning yonib ketishi ehtimolini toping
112. A urnada oq va B qora sharlar. Idishdan bitta shar chiqariladi, uning rangi belgilanadi va to'p urnaga qaytariladi. Shundan so'ng, urnadan yana bir to'p olinadi. Chizilgan ikkala sharning ham oq bo'lish ehtimolini toping.
113. Urnada A oq va B qora sharlar. Bir vaqtning o'zida urnadan ikkita to'p chiqariladi. Ushbu to'plarning turli rangda bo'lish ehtimolini toping.
114. Ikki shar to'g'ri chiziqda birin-ketin joylashgan to'rtta katak ustiga tasodifiy va bir-biridan mustaqil ravishda sochilgan. Bir xil ehtimollik bilan har bir to'p 1/4 har bir katakchaga tushadi. To'plarning qo'shni hujayralarga tushish ehtimolini toping.
115. Masha imtihonga dasturning 25 ta savolidan 20 tasiga javobni bilib keldi. Professor 3 ta savol beradi. Masha 2 ta savolga javob berish ehtimoli qanday?
116. Talabalar 50 ta chiptadan 10 tasini “yaxshi” deb hisoblashadi. Petya va Masha navbatma-navbat bittadan chipta olishadi. Ularning ikkalasi ham "yaxshi" chipta olish ehtimoli qanday?
117. Bank kreditlari bo‘yicha so‘rovlar statistikasi quyidagicha: 10% - davlat. hokimiyat organlari, 20% - boshqa banklar, qolganlari - jismoniy shaxslar. Kreditni to'lamaslik ehtimoli mos ravishda 0,01, 0,05 va 0,2 ni tashkil qiladi. Kreditlarning qaysi qismi qaytarilmaydi?
118. Kesilgan alifbo kartochkalarida rus alifbosining 32 ta harfi yozilgan. Beshta karta tasodifiy, birin-ketin tortiladi va ular paydo bo'lish tartibida stolga qo'yiladi. “Oxir” so‘zining olinishi ehtimolini toping.
119 Bank kreditlari bo'yicha so'rovlar statistikasi quyidagicha: 10% - davlat. hokimiyat organlari, 20% - boshqa banklar, qolganlari - jismoniy shaxslar. Kreditni to'lamaslik ehtimoli mos ravishda 0,01, 0,05 va 0,2 ni tashkil qiladi. Kreditlarning qaysi qismi qaytarilmaydi?
120. muzqaymoq sotuvchisining haftalik aylanmasi 2000 rubldan oshishi ehtimoli. ochiq havoda 80%, qisman bulutli havoda 50% va yomg'irli havoda 10% ni tashkil qiladi. Tovar aylanmasining 2000 rubldan oshib ketishi ehtimoli qanday. agar aniq ob-havo ehtimoli 20%, qisman bulutli va yomg'irli bo'lsa - har biri 40%.
Voqealar shakli to'liq guruh, agar ulardan kamida bittasi eksperiment natijasida yuzaga kelishi shart bo'lsa va juftlik mos kelmaydigan bo'lsa.
Faraz qilaylik, voqea A to'liq guruhni tashkil etuvchi bir nechta juft mos kelmaydigan hodisalardan biri bilan birga sodir bo'lishi mumkin. Keling, voqealarni chaqiraylik i= 1, 2,…, n) farazlar qo'shimcha tajriba (apriori). A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli formula bilan aniqlanadi to'liq ehtimollik :
16-misol Uchta urna bor. Birinchi urnada 5 ta oq va 3 ta qora shar, ikkinchi idishda 4 ta oq va 4 ta qora shar, uchinchi idishda 8 ta oq shar bor. Idishlardan biri tasodifiy tanlanadi (bu, masalan, 1, 2 va 3 raqamli uchta sharni o'z ichiga olgan yordamchi urnadan tanlov qilinganligini anglatishi mumkin). Ushbu urnadan tasodifiy ravishda to'p olinadi. Uning qora bo'lishi ehtimoli qanday?
Yechim. Tadbir A- qora to'p chizilgan. Agar to'p qaysi urnadan olinganligi ma'lum bo'lsa, unda kerakli ehtimollikni ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra hisoblash mumkin edi. Keling, to'pni olish uchun qaysi urn tanlanganligi haqidagi taxminlarni (gipotezalarni) kiritaylik.
To'pni birinchi urnadan (gipoteza) yoki ikkinchidan (gipoteza) yoki uchinchidan (gipoteza) olish mumkin. Har qanday urnani tanlash imkoniyati teng bo'lgani uchun 
.
Demak, bundan kelib chiqadi
17-misol. Elektr lampalar uchta zavodda ishlab chiqariladi. Birinchi zavod elektr lampalar umumiy sonining 30 foizini, ikkinchisi - 25 foizini,
qolganlari uchun uchinchisi. Birinchi zavodning mahsulotlarida nuqsonli elektr lampalarning 1%, ikkinchisida - 1,5%, uchinchisida - 2% mavjud. Do‘kon har uchala zavoddan ham mahsulot oladi. Do'konda sotib olingan chiroqning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday?
Yechim. Lampochka qaysi zavodda ishlab chiqarilganligi haqida taxminlar kiritilishi kerak. Buni bilib, biz uning nuqsonli bo'lish ehtimolini topishimiz mumkin. Keling, hodisalar uchun notalarni kiritamiz: A– sotib olingan elektr chiroq nuqsonli bo‘lib chiqdi, – chiroq birinchi zavodda ishlab chiqarilgan, – chiroq ikkinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilgan;
– chiroq uchinchi zavod tomonidan ishlab chiqariladi.
Istalgan ehtimollik umumiy ehtimollik formulasi bilan topiladi:
Bayes formulasi. Juftlik mos kelmaydigan hodisalarning (gipotezalarning) to'liq guruhi bo'lsin. LEKIN tasodifiy hodisadir. Keyin,
Sinov natijasi ma'lum bo'lgandan so'ng, gipotezalarning ehtimolini oshirib yuborishga imkon beradigan oxirgi formula, buning natijasida A hodisasi paydo bo'lgan deb ataladi. Bayes formulasi .
18-misol. Kasallik bilan og'rigan bemorlarning o'rtacha 50% ixtisoslashtirilgan shifoxonaga yotqiziladi Kimga, 30% kasallik bilan L, 20 % –
kasallik bilan M. Kasallikning to'liq davolanishi ehtimoli K kasalliklar uchun 0,7 ga teng L va M bu ehtimolliklar mos ravishda 0,8 va 0,9 ga teng. Kasalxonaga yotqizilgan bemor sog‘lom bo‘lib chiqdi. Ushbu bemorda kasallik bo'lish ehtimolini toping K.
Yechim. Biz farazlarni kiritamiz: - bemor kasallikdan aziyat chekdi Kimga L, bemor kasallikdan aziyat chekdi M.
Keyin, muammoning shartiga ko'ra, bizda . Keling, bir voqeani tanishtiramiz LEKIN Kasalxonaga yotqizilgan bemor sog‘lom bo‘lib chiqdi. Shart bo'yicha
Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
Bayes formulasi.
19-misol. Idishda beshta to'p bo'lsin va oq sharlar soni haqidagi barcha taxminlar bir xil ehtimolga ega. To'p urnadan tasodifiy olinadi va u oq bo'lib chiqadi. Idishning dastlabki tarkibi haqida qanday taxmin bor?
Yechim. Oq sharlar idishida degan gipoteza bo'lsin 
, ya'ni oltita taxmin qilish mumkin. Keyin, muammoning shartiga ko'ra, bizda .
Keling, bir voqeani tanishtiramiz LEKIN Tasodifiy chizilgan oq to'p. Keling, hisoblaylik. dan beri Bayes formulasiga ko'ra bizda: 
Shunday qilib, gipoteza eng ehtimolli, chunki .
20-misol. Hisoblash qurilmasining mustaqil ishlaydigan uchta elementidan ikkitasi muvaffaqiyatsiz tugadi. Agar birinchi, ikkinchi va uchinchi elementlarning ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda 0,2 ga teng bo‘lsa, birinchi va ikkinchi elementlarning ishdan chiqishi ehtimolini toping; 0,4 va 0,3.
Yechim. tomonidan belgilang LEKIN voqea - ikkita element muvaffaqiyatsiz tugadi. Quyidagi farazlarni keltirish mumkin:
- birinchi va ikkinchi elementlar muvaffaqiyatsiz tugadi, uchinchi element esa xizmatga yaroqli. Elementlar mustaqil ishlaganligi sababli, ko'paytirish teoremasi qo'llaniladi:
Bayes formulasi
Bayes teoremasi- kuzatishlar asosida hodisalar haqida faqat ba'zi bir qisman ma'lumotlar ma'lum bo'lgan sharoitda sodir bo'lish ehtimolini aniqlaydigan elementar ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri. Bayes formulasiga ko'ra, ilgari ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni ham, yangi kuzatishlar ma'lumotlarini ham hisobga olgan holda, ehtimollikni aniqroq qayta hisoblash mumkin.
"Jismoniy ma'no" va terminologiya
Bayes formulasi "sabab va oqibatni qayta tartibga solish" imkonini beradi: hodisaning ma'lum faktini hisobga olgan holda, uning ma'lum bir sabab tufayli yuzaga kelishi ehtimolini hisoblang.
Bu holatda "sabablar" harakatini aks ettiruvchi hodisalar odatda deyiladi farazlar, chunki ular taxmin qilingan unga olib keladigan voqealar. Gipotezaning haqiqiyligining shartsiz ehtimoli deyiladi a priori(Sabab qanchalik ehtimol? umuman) va shartli - voqea faktini hisobga olgan holda - a posteriori(Sabab qanchalik ehtimol? voqea ma'lumotlarini hisobga olgan holda chiqdi).
Natija
Bayes formulasining muhim natijasi - bu hodisaning umumiy ehtimolining formulasi bir nechta nomuvofiq farazlar ( va faqat ulardan!).
- voqea sodir bo'lish ehtimoli B, bir qator farazlarga bog'liq A i agar bu farazlarning ishonchlilik darajalari ma'lum bo'lsa (masalan, eksperimental tarzda o'lchanadi); Formulaning kelib chiqishi
Agar hodisa faqat sabablarga bog'liq bo'lsa A i, keyin sodir bo'lgan bo'lsa, demak, ba'zi sabablar majburiy ravishda sodir bo'lgan, ya'ni.
Bayes formulasi bo'yicha
transfer P(B) o'ngga, biz kerakli ifodani olamiz.
Spamni filtrlash usuli
Bayes teoremasiga asoslangan usul spamni filtrlashda muvaffaqiyatli qo'llanildi.
Tavsif
Filtrni o'rgatishda harflarda uchraydigan har bir so'z uchun uning "og'irligi" hisoblab chiqiladi va saqlanadi - bu so'zli xat spam bo'lish ehtimoli (eng oddiy holatda, ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra: "spamdagi ko'rinishlar / hamma narsaning ko'rinishi").
Yangi kelgan xatni tekshirishda uning spam bo'lish ehtimoli farazlar to'plami uchun yuqoridagi formula bo'yicha hisoblanadi. Bunda "gipotezalar" so'zlar bo'lib, har bir so'z uchun "gipotezaning ishonchliligi" - harfdagi ushbu so'zning% va "hodisaning gipotezaga bog'liqligi" P(B | A i) - so'zning oldindan hisoblangan "og'irligi". Ya'ni, bu holda harfning "og'irligi" uning barcha so'zlarining o'rtacha "og'irligi" dan boshqa narsa emas.
Xat "og'irligi" foydalanuvchi tomonidan o'rnatilgan ma'lum bir satrdan oshib ketishiga qarab "spam" yoki "spam bo'lmagan" deb tasniflanadi (odatda ular 60-80% ni oladi). Xat bo'yicha qaror qabul qilingandan so'ng, unga kiritilgan so'zlar uchun "vaznlar" ma'lumotlar bazasida yangilanadi.
Xarakterli
Ushbu usul oddiy (algoritmlar oddiy), qulay ("qora ro'yxatlar" va shunga o'xshash sun'iy fokuslarsiz bajarishga imkon beradi), samarali (etarli darajada katta namunada mashq qilgandan so'ng, spamni 95-97% gacha qisqartiradi, va har qanday xatolik bo'lsa, u qayta o'qitilishi mumkin). Umuman olganda, uning keng qo'llanilishi uchun barcha ko'rsatmalar mavjud, bu amalda sodir bo'ladi - deyarli barcha zamonaviy spam-filtrlar uning asosida qurilgan.
Biroq, usulning asosiy kamchiligi ham bor: u taxminga asoslanadi, nima ba'zi so'zlar spamda ko'proq uchraydi, boshqalari esa oddiy elektron pochta xabarlarida, va agar bu taxmin noto'g'ri bo'lsa, samarasiz bo'ladi. Biroq, amaliyot shuni ko'rsatadiki, hatto odam ham bunday spamni "ko'z bilan" aniqlay olmaydi - faqat xatni o'qib, uning ma'nosini tushungandan keyin.
Amalga oshirish bilan bog'liq bo'lgan yana bir muhim kamchilik - bu usul faqat matn bilan ishlaydi. Ushbu cheklov haqida bilib, spamerlar rasmga reklama ma'lumotlarini qo'yishni boshladilar, shu bilan birga xatdagi matn yo yo'q yoki mantiqiy emas. Bunga qarshi yoki matnni aniqlash vositalaridan ("qimmat" protsedura, faqat zarurat tug'ilganda qo'llaniladi) yoki eski filtrlash usullaridan - "qora ro'yxatlar" va oddiy iboralardan (chunki bunday harflar ko'pincha stereotipik shaklga ega) foydalanish kerak.
Shuningdek qarang
Eslatmalar
Havolalar
Adabiyot
- Byrd Kivi. Ruhoniy Bayes teoremasi. // Computerra jurnali, 2001 yil 24 avgust
- Pol Grem. Spam uchun reja. // Pol Grahamning shaxsiy sayti.
Wikimedia fondi. 2010 yil.
Boshqa lug'atlarda "Bayes formulasi" nima ekanligini ko'ring:
Quyidagi formula: a1, A2, ..., An mos kelmaydigan hodisalar, F.ni qo?llashning umumiy sxemasi. g.: agar B hodisasi dekompatsiyada sodir bo'lishi mumkin bo'lsa. A1, A2, ..., An n ta gipoteza P (A1), ... tajribadan oldin ma'lum, ... ... ehtimollar bilan tuzilgan shartlar. Geologik entsiklopediya
Muayyan gipotezalarni, shuningdek, ushbu gipotezalarning ehtimolini hisobga olgan holda, ushbu hodisaning shartli ehtimollari orqali qiziqish hodisasining ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Formulyatsiya Bir ehtimollik maydoni berilgan bo'lsin, va juftlik bilan to'liq guruh ... ... Vikipediya
Muayyan gipotezalarni, shuningdek, ushbu gipotezalarning ehtimolini hisobga olgan holda, ushbu hodisaning shartli ehtimollari orqali qiziqish hodisasining ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Formulyatsiya Bir ehtimollik maydoni berilgan bo'lsin va hodisalarning to'liq guruhi, bunday ... ... Vikipediya
- (yoki Bayes formulasi) ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri bo'lib, u hodisaning (gipotezaning) faqat noto'g'ri bo'lishi mumkin bo'lgan bilvosita dalillar (ma'lumotlar) mavjudligida sodir bo'lish ehtimolini aniqlash imkonini beradi ... Vikipediya
Bayes teoremasi elementar ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri bo?lib, kuzatishlar asosida hodisalar haqida faqat ba'zi bir qisman ma'lumotlar ma'lum bo?lgan sharoitda sodir bo?lish ehtimolini belgilaydi. Bayes formulasiga ko'ra, siz ... ... Vikipediya
Bayes, Tomas Tomas Bayes Muhtaram Tomas Bayes Tug'ilgan yili: 1702 (1702) Tug'ilgan joyi ... Vikipediya
Tomas Bayes Muhtaram Tomas Bayes Tug'ilgan yili: 1702 (1702) Tug'ilgan joyi: London ... Vikipediya
Bayes xulosasi - bu statistik xulosa chiqarish usullaridan biri bo'lib, unda Bayes formulasi dalillar kelganda gipotezalar haqiqatining ehtimollik baholarini aniqlashtirish uchun ishlatiladi. Bayesian yangilanishidan foydalanish ...... Vikipediyada ayniqsa muhimdir
Ushbu maqolani yaxshilashni xohlaysizmi?: Yozilganlarni tasdiqlovchi nufuzli manbalarga havolalar uchun izohlarni toping va taqdim eting. Izohlarni qo'yib, manbalarni aniqroq ko'rsating. Pere ... Vikipediya
Mahbuslar o'zlarining g'arazli manfaatlarini ko'zlab, bir-birlariga xiyonat qiladilarmi yoki ular jim bo'lib, shu bilan umumiy muddatni kamaytiradimi? Mahbusning dilemmasi (Ing. Prisoner's dilemma, "dilemma" nomi kamroq qo'llaniladi ... Vikipediya
Kitoblar
- Muammolarda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika: 360 dan ortiq masala va mashqlar, Borzykh D. Taklif etilayotgan qo'llanma turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni o'z ichiga oladi. Biroq, asosiy e'tibor o'rtacha murakkablikdagi vazifalarga qaratilgan. Bu talabalarni rag'batlantirish uchun ataylab qilingan ...
Qisqacha nazariya
Agar voqea faqat mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan biri sodir bo'lgan taqdirda sodir bo'lsa, u holda bu hodisalarning har birining ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng va tegishli shartli ehtimollik hamyoni .
Bunda hodisalar gipoteza, ehtimollar esa apriori deb ataladi. Bu formula umumiy ehtimollik formulasi deb ataladi.
Bayes formulasi to'liq hodisalar guruhini tashkil etuvchi har qanday hodisa bilan birga paydo bo'ladigan hodisa sodir bo'lganda va gipotezalarning ehtimolliklarini miqdoriy qayta baholash zarur bo'lganda amaliy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Apriori (tajribadan oldin) ehtimollar ma'lum. Posteriori (tajribadan keyin) ehtimolliklarni hisoblash talab qilinadi, ya'ni. Asosan, siz shartli ehtimollarni topishingiz kerak. Bayes formulasi quyidagicha ko'rinadi:
Keyingi sahifada muammo haqida so'z boradi.
Muammoni hal qilish misoli
1-topshiriqning sharti
Zavodda 1, 2 va 3 dastgohlar mos ravishda barcha qismlarning 20%, 35% va 45% ni ishlab chiqaradi. Ularning mahsulotlarida nuqson mos ravishda 6%, 4%, 2% ni tashkil qiladi. Tasodifiy tanlangan buyumning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday? Uning ishlab chiqarilganligi ehtimoli qanday: a) 1-mashinada; b) 2-mashina; c) 3-mashina?
1-muammo yechimi
Standart mahsulot nuqsonli bo'lganligini hodisa bilan belgilang.
Voqea faqat uchta hodisadan biri sodir bo'lganda sodir bo'lishi mumkin:
Mahsulot 1-mashinada ishlab chiqariladi;
Mahsulot 2-mashinada ishlab chiqariladi;
Mahsulot 3-mashinada ishlab chiqariladi;
Shartli ehtimollarni yozamiz:
Umumiy ehtimollik formulasi
Agar hodisa faqat mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan biri sodir bo'lganda sodir bo'lishi mumkin bo'lsa, u holda hodisaning ehtimolligi formula bilan hisoblanadi.
Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, biz hodisaning ehtimolini topamiz:
Bayes formulasi
Bayes formulasi "sabab va oqibatni qayta tartibga solish" imkonini beradi: hodisaning ma'lum faktini hisobga olgan holda, uning ma'lum bir sabab tufayli yuzaga kelishi ehtimolini hisoblang.
1-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:
2-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:
3-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:
2-topshiriqning sharti
Guruhda 1 nafar a’lochi, 5 nafar a’lochi va 14 nafar o‘rtacha o‘quvchi bor. A’lochi talaba 5 va 4 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, yaxshi o‘quvchi 5, 4 va 3 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, o‘rtacha o‘quvchi esa 4,3 va 2 ga teng ehtimollik bilan javob beradi. Tasodifiy tanlangan talaba javob berdi 4. O'rtacha o'quvchini chaqirish ehtimoli qanday?
Muammo 2 yechimi
Gipotezalar va shartli ehtimollar
Quyidagi farazlar mumkin:
A’lochi talaba javob berdi;
Yaxshi javob berdi;
– o‘rtamiyona talaba javob berdi;
Voqea - talaba 4 ni olishiga ruxsat bering.
Shartli ehtimollar:
Javob:
O'rta nazorat ishini hal qilish qiymati 700 - 1200 rubl (lekin butun buyurtma uchun 300 rubldan kam bo'lmagan). Narxga qarorning shoshilinchligi (kunlardan bir necha soatgacha) kuchli ta'sir ko'rsatadi. Imtihon / testda onlayn yordam narxi - 1000 rubldan. chipta yechimi uchun.
Ilova to'g'ridan-to'g'ri chatda qoldirilishi mumkin, avvalroq topshiriqlarning holatini o'chirib tashlab, uni hal qilish muddatlari haqida sizni xabardor qiladi. Javob vaqti bir necha daqiqa.
Ularning ehtimollari va tegishli shartli ehtimollar ma'lum bo'lsin. Keyin hodisaning yuzaga kelish ehtimoli:
Bu formula deyiladi umumiy ehtimollik formulalari. Darsliklarda u teorema bilan ifodalanadi, uning isboti elementar: ko'ra hodisalar algebrasi, (voqea sodir bo'ldi va yoki voqea yuz berdi va voqea sodir bo'lganidan keyin yoki voqea yuz berdi va voqea sodir bo'lganidan keyin yoki …. yoki voqea yuz berdi va voqea kuzatildi). Gipotezalardan beri 
mos kelmaydigan bo'lib, hodisa bog'liq, keyin esa mos mos kelmaydigan hodisalar ehtimoli uchun qo'shish teoremasi (birinchi qadam) va bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi (ikkinchi qadam):
Ehtimol, ko'pchilik birinchi misolning mazmunini kutmoqda =)
Qaerga tupursangiz ham - hamma joyda urna:
Vazifa 1
Uchta bir xil urna mavjud. Birinchi urnada 4 ta oq va 7 ta qora sharcha, ikkinchi idishda faqat oq sharchalar, uchinchi idishda esa faqat qora sharchalar bor. Bitta urna tasodifiy tanlanadi va undan tasodifiy to'p olinadi. Ushbu to'pning qora bo'lish ehtimoli qanday?
Yechim: voqeani ko'rib chiqing - tasodifiy tanlangan urnadan qora to'p olinadi. Ushbu hodisa quyidagi farazlardan birini amalga oshirish natijasida yuzaga kelishi mumkin:
– 1-urna tanlanadi;
– 2-urna tanlanadi;
– uchinchi urna tanlanadi.
Urn tasodifiy tanlanganligi sababli, uchta urnadan birini tanlash teng darajada mumkin, Natijada: 
E'tibor bering, yuqoridagi farazlar shakllanadi voqealarning to'liq guruhi, ya'ni shartga ko'ra, qora to'p faqat shu urnalardan paydo bo'lishi mumkin va, masalan, bilyard stolidan uchib ketmaydi. Keling, oddiy oraliq tekshiruvni bajaramiz: 
OK, davom etaylik:
Birinchi urnada 4 ta oq + 7 ta qora = 11 ta shar bor klassik ta'rif:
qora sharni chizish ehtimoli shartiga ko'ra 1-urna tanlanadi.
Ikkinchi urn faqat oq sharlarni o'z ichiga oladi, shuning uchun tanlangan bo'lsa qora to'pning ko'rinishi bo'ladi imkonsiz: .
Va nihoyat, uchinchi urnada faqat qora to'plar bor, ya'ni mos keladi shartli ehtimollik qora to'pning ekstraktsiyasi bo'ladi (voqea aniq).
tasodifiy tanlangan urnadan qora sharni olish ehtimoli.
Javob:
Tahlil qilingan misol yana bir bor SHARTNI TUSHUNISH qanchalik muhimligini ko'rsatadi. Keling, urnalar va to'plar bilan bir xil muammolarni olaylik - ularning tashqi o'xshashligi bilan hal qilish usullari butunlay boshqacha bo'lishi mumkin: biror joyda faqat qo'llash kerak. ehtimollikning klassik ta'rifi, bir joyda voqealar mustaqil, bir joyda qaram, va bir joyda biz farazlar haqida gapiramiz. Shu bilan birga, yechim yo'lini tanlash uchun aniq rasmiy mezon yo'q - deyarli har doim bu haqda o'ylashingiz kerak. O'z mahoratingizni qanday oshirish mumkin? Biz hal qilamiz, hal qilamiz va yana hal qilamiz!
Vazifa 2
O'q otish poligonida 5 xil miltiq mavjud. Berilgan otishma uchun nishonga tegish ehtimoli mos ravishda 0,5 ga teng; 0,55; 0,7; 0,75 va 0,4. Agar otuvchi tasodifiy tanlangan miltiqdan bitta o'q ochsa, nishonga tegish ehtimoli qanday?
Dars oxirida qisqacha yechim va javob.
Ko'pgina tematik muammolarda gipotezalar, shubhasiz, bir xil ehtimolga ega emas:
Vazifa 3
Piramidada 5 ta miltiq bor, ulardan uchtasi optik ko'rish bilan jihozlangan. Teleskopik ko'rish bilan miltiqdan o'q uzilganda o'q otuvchining nishonga tegishi ehtimoli 0,95; teleskopik ko'rishsiz miltiq uchun bu ehtimollik 0,7 ga teng. Otuvchi tasodifiy olingan miltiqdan bitta o'q ochsa, nishonga tegish ehtimolini toping.
Yechim: bu masalada miltiqlar soni avvalgisi bilan bir xil, ammo faqat ikkita faraz mavjud:
- otuvchi optik ko'rishga ega miltiqni tanlaydi;
- otuvchi teleskopik ko'rishsiz miltiqni tanlaydi.
tomonidan ehtimollikning klassik ta'rifi: 
.
Boshqaruv:
Voqeani ko'rib chiqing: - o'q otuvchi tasodifiy tanlangan miltiq bilan nishonga tegadi.
Shart bo'yicha: .
Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra:
Javob: 0,85
Amalda, sizga tanish bo'lgan vazifani loyihalashning qisqartirilgan usuli juda maqbuldir:
Yechim: klassik ta'rifga ko'ra: 
mos ravishda optik ko'rishga ega va bo'lmagan miltiqni tanlash ehtimoli.
Shartiga ko'ra, 
- tegishli turdagi miltiqlar bilan nishonga tegish ehtimoli.
Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra:
- otuvchining tasodifiy tanlangan miltiq bilan nishonga tegishi ehtimoli.
Javob: 0,85
Mustaqil hal qilish uchun quyidagi vazifa:
Vazifa 4
Dvigatel uchta rejimda ishlaydi: normal, majburiy va r?lantida. Bo'sh rejimda uning ishlamay qolish ehtimoli 0,05, normal rejimda - 0,1 va majburiy rejimda - 0,7. Dvigatelning 70% normal rejimda, 20% esa majburiy rejimda ishlaydi. Ish paytida dvigatelning ishdan chiqishi ehtimoli qanday?
Har holda, sizga eslatib o'taman - ehtimolliklarni olish uchun foizlarni 100 ga bo'lish kerak. Juda ehtiyot bo'ling! Mening kuzatishlarimga ko'ra, umumiy ehtimollik formulasi uchun masalalar shartlarini ko'pincha chalkashtirishga harakat qilishadi; va men bunday misolni alohida tanladim. Men sizga bir sirni aytaman - men o'zimni deyarli aralashtirib yubordim =)
Dars oxiridagi yechim (qisqa shaklda tuzilgan)
Bayes formulalari uchun muammolar
Material oldingi bandning mazmuni bilan chambarchas bog'liq. Hodisa farazlardan birini amalga oshirish natijasida yuzaga kelsin 
. Muayyan gipotezaning sodir bo'lish ehtimolini qanday aniqlash mumkin?
Shartiga ko'ra o'sha voqea allaqachon sodir bo'lgan, gipotezalarning ehtimolliklari ortiqcha baholangan ingliz ruhoniysi Tomas Bayes nomini olgan formulalarga ko'ra:
- gipotezaning sodir bo'lish ehtimoli; 
- gipotezaning sodir bo'lish ehtimoli;
…
gipotezaning to'g'ri bo'lish ehtimoli.
Bir qarashda, bu mutlaqo bema'nilik kabi ko'rinadi - agar ular allaqachon ma'lum bo'lsa, nega gipotezalarning ehtimollarini qayta hisoblash kerak? Ammo aslida farq bor:
- bu a priori(taxminiy oldin testlar) ehtimollar.
- bu a posteriori(taxminiy keyin testlar) "yangi ochilgan holatlar" bilan bog'liq holda qayta hisoblangan bir xil gipotezalarning ehtimolliklari - voqea sodir bo'lganligini hisobga olgan holda. sodir bo'ldi.
Keling, ushbu farqni aniq bir misol bilan ko'rib chiqaylik:
Vazifa 5
Omborga 2 ta mahsulot partiyasi kelib tushdi: birinchisi - 4000 dona, ikkinchisi - 6000 dona. Birinchi partiyadagi nostandart mahsulotlarning o'rtacha ulushi 20%, ikkinchisida esa 10% ni tashkil qiladi. Ombordan tasodifiy olingan mahsulot standart bo'lib chiqdi. Uning: a) birinchi partiyadan, b) ikkinchi partiyadan bo‘lish ehtimolini toping.
Birinchi qism yechimlar umumiy ehtimollik formulasidan foydalanishdan iborat. Boshqacha qilib aytganda, hisob-kitoblar sinovdan o'tgan degan faraz ostida amalga oshiriladi hali ishlab chiqarilmagan va voqea "mahsulot standart bo'lib chiqdi" kelguncha.
Keling, ikkita farazni ko'rib chiqaylik:
- tasodifiy olingan mahsulot birinchi partiyadan bo'ladi;
- tasodifiy olingan mahsulot ikkinchi partiyadan bo'ladi.
Jami: 4000 + 6000 = Stokda 10000 dona. Klassik ta'rifga ko'ra:
.
Boshqaruv:
Bog'liq hodisani ko'rib chiqing: - ombordan tasodifiy olingan narsa bo'ladi standart.
Birinchi partiyada 100% - 20% = 80% standart mahsulotlar, shuning uchun: 
shartiga ko'ra 1-shaxsga tegishli ekanligi.
Xuddi shunday, ikkinchi partiyada 100% - 10% = 90% standart mahsulotlar va 
Ombordagi tasodifiy tanlangan buyumning standart buyum bo'lish ehtimoli shartiga ko'ra 2-shaxsga tegishli ekanligi.
Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra:
ombordan tasodifiy tanlangan mahsulot standart mahsulot bo'lish ehtimoli.
Ikkinchi qism. Aytaylik, ombordan tasodifiy olingan mahsulot standart bo'lib chiqdi. Bu ibora to`g`ridan-to`g`ri shartda ifodalanadi va u voqea-hodisani bildiradi sodir bo'ldi.
Bayes formulalariga ko'ra:
a) - tanlangan standart mahsulotning 1-partiyaga tegishli bo'lish ehtimoli;
b) - tanlangan standart mahsulotning 2-partiyaga tegishli bo'lish ehtimoli.
Keyin qayta baholash gipotezalar, albatta, hali ham shakllanadi to'liq guruh:
(imtihon;-))
Javob: 
O'z kasbini yana o'zgartirgan va zavod direktori bo'lgan Ivan Vasilyevich bizga farazlarni qayta baholashning ma'nosini tushunishga yordam beradi. Bugun 1-do‘kon omborga 4000 dona, 2-do‘kon esa 6000 dona mahsulot jo‘natganini biladi va bunga ishonch hosil qilish uchun keladi. Aytaylik, barcha mahsulotlar bir xil turdagi va bir xil idishda. Tabiiyki, Ivan Vasilevich avval tekshirish uchun olib tashlaydigan mahsulot 1-sexda, ehtimol ikkinchisida ishlab chiqarilishini hisoblab chiqdi. Ammo tanlangan narsa standart bo'lib chiqqandan so'ng, u shunday dedi: "Qanday ajoyib murvat! - 2-seminar tomonidan chiqarilgan. Shunday qilib, ikkinchi gipoteza ehtimoli yaxshi tomonga oshib, birinchi gipoteza ehtimoli kam baholanadi: . Va bu ortiqcha baho bejiz emas - axir, 2-tsex nafaqat ko'proq mahsulot ishlab chiqardi, balki 2 barobar yaxshi ishlaydi!
Siz sof subyektivizm deysizmi? Qisman - ha, bundan tashqari, Bayesning o'zi talqin qildi a posteriori kabi ehtimollar ishonch darajasi. Biroq, hamma narsa juda oddiy emas - Bayes yondashuvida ob'ektiv don bor. Axir, mahsulot standart bo'lishi ehtimoli (1 va 2-do'konlar uchun mos ravishda 0,8 va 0,9) bu dastlabki(apriori) va o'rtacha taxminlar. Ammo, falsafiy gapiradigan bo'lsak, hamma narsa oqadi, hamma narsa o'zgaradi, shu jumladan ehtimollar. Bu juda mumkin o'rganish vaqtida yanada muvaffaqiyatli 2-do'kon standart mahsulotlarning foizini oshirdi (va/yoki 1-do'kon qisqartirildi), va agar siz zaxiradagi 10 mingdan ko'proq yoki barchasini tekshirsangiz, ortiqcha baholangan qiymatlar haqiqatga yaqinroq bo'ladi.
Aytgancha, agar Ivan Vasilevich nostandart qismni ajratib olsa, aksincha - u birinchi do'kondan ko'proq va kamroq "gumon" qiladi - ikkinchi. Men buni o'zingiz tekshirishingizni maslahat beraman:
Vazifa 6
Omborga 2 ta mahsulot partiyasi kelib tushdi: birinchisi - 4000 dona, ikkinchisi - 6000 dona. Birinchi partiyadagi nostandart mahsulotlarning o'rtacha ulushi 20%, ikkinchisida - 10%. Ombordan tasodifiy olingan mahsulot bo'lib chiqdi emas standart. Uning: a) birinchi partiyadan, b) ikkinchi partiyadan bo‘lish ehtimolini toping.
Shart ikkita harf bilan ajralib turadi, men ularni qalin qilib ta'kidladim. Muammoni noldan hal qilish mumkin yoki siz oldingi hisob-kitoblarning natijalaridan foydalanishingiz mumkin. Namunada men to'liq yechimni amalga oshirdim, ammo 5-sonli vazifa bilan rasmiy qoplamani oldini olish uchun hodisa "Ombordan tasodifiy olingan mahsulot nostandart bo'ladi" bilan belgilangan.
Ehtimollarni qayta baholashning Bayes sxemasi hamma joyda uchraydi va u turli xil firibgarlar tomonidan faol foydalaniladi. Aholining omonatlarini jalb qiladigan, ularni go'yoki biror joyga investitsiya qiladigan, muntazam ravishda dividendlar to'laydigan va hokazo nomga aylangan uch harfli aktsiyadorlik jamiyatini ko'rib chiqaylik. Nima bo'lyapti? Kundan kun, oydan oy o'tadi va reklama va og'zaki so'z orqali etkazilayotgan tobora ko'proq yangi faktlar moliyaviy piramidaga bo'lgan ishonch darajasini oshiradi. (O'tmishdagi voqealar tufayli Bayesning orqadagi qayta baholashi!). Ya'ni, omonatchilar nazarida, bu ehtimoli doimiy ravishda oshib bormoqda "Bu jiddiy ofis"; qarama-qarshi gipoteza ehtimoli esa (“bular oddiy firibgarlar”), albatta, kamayadi va kamayadi. Qolganlari, menimcha, aniq. Shunisi e'tiborga loyiqki, erishilgan obro' tashkilotchilarga nafaqat murvatsiz, balki shimsiz ham qolgan Ivan Vasilevichdan muvaffaqiyatli yashirish uchun vaqt beradi.
Biz biroz keyinroq qiziqarli misollarga qaytamiz, ammo hozircha uchta gipoteza bilan eng keng tarqalgan holat keyingi navbatda:
Vazifa 7
Elektr lampalar uchta zavodda ishlab chiqariladi. 1-zavod lampalarning umumiy sonining 30 foizini, 2-chi - 55 foizini, 3-chi - qolganini ishlab chiqaradi. 1-zavodning mahsulotlarida nuqsonli lampalarning 1%, 2-da - 1,5%, 3-da - 2% mavjud. Do‘kon har uchala zavoddan ham mahsulot oladi. Men sotib olgan chiroq nuqsonli edi. 2-zavod tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lish ehtimoli qanday?
E'tibor bering, Bayes formulalari bo'yicha masalalarda shart albatta biroz nima bo'ldi voqea, bu holda, chiroqni sotib olish.
Voqealar ko'paydi va yechim"tezkor" uslubda tartibga solish qulayroqdir.
Algoritm aynan bir xil: birinchi bosqichda biz sotib olingan chiroqning bo'lish ehtimolini topamiz. bo'ladi nuqsonli.
Dastlabki ma'lumotlardan foydalanib, biz foizlarni ehtimollarga aylantiramiz:
chiroqni mos ravishda 1, 2 va 3-zavodlar tomonidan ishlab chiqarilgan ehtimoli.
Boshqaruv:
Xuddi shunday: - tegishli zavodlar uchun nuqsonli chiroq ishlab chiqarish ehtimoli.
Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra:
- sotib olingan chiroqning nuqsonli bo'lish ehtimoli.
Ikkinchi qadam. Sotib olingan chiroq nuqsonli bo'lsin (hodisa sodir bo'ldi)
Bayes formulasiga ko'ra: 
- sotib olingan nuqsonli chiroq ikkinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilganligi ehtimoli
Javob:
Nima uchun 2-gipotezaning dastlabki ehtimoli qayta baholashdan keyin ortdi? Axir, ikkinchi zavod o'rtacha sifatli lampalar ishlab chiqaradi (birinchisi yaxshiroq, uchinchisi yomonroq). Xo'sh, nima uchun u ko'paydi a posteriori nosoz chiroq 2-zavoddan bo'lish ehtimoli? Bu endi "obro'-e'tibor" bilan emas, balki kattaligi bilan bog'liq. 2-sonli zavod eng ko'p lampalar ishlab chiqarganligi sababli, ular buni ayblashadi (hech bo'lmaganda sub'ektiv ravishda): "Ehtimol, bu nuqsonli chiroq o'sha erdan".
Shunisi qiziqki, 1 va 3-gipotezalarning ehtimollari kutilgan yo'nalishlarda haddan tashqari oshirilgan va teng bo'lgan:
Boshqaruv: 
, bu tekshirilishi kerak edi.
Aytgancha, kam baholangan va ortiqcha baholanganlar haqida:
Vazifa 8
Talabalar guruhida 3 nafari yuqori, 19 nafari o‘rtacha, 3 nafari past tayyorgarlik darajasiga ega. Ushbu talabalar uchun imtihondan muvaffaqiyatli o'tish ehtimoli mos ravishda: 0,95; 0,7 va 0,4. Ma'lumki, ba'zi talabalar imtihondan o'tgan. Buning ehtimoli qanday:
a) u juda yaxshi tayyorlangan;
b) o'rtacha darajada tayyorlangan;
v) yomon tayyorlangan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish va gipotezalarni qayta baholash natijalarini tahlil qilish.
Vazifa haqiqatga yaqin va ayniqsa, o'qituvchi u yoki bu talabaning qobiliyatlarini bilmaydigan sirtqi talabalar guruhi uchun juda mos keladi. Bunday holda, natija juda kutilmagan oqibatlarga olib kelishi mumkin. (ayniqsa 1-semestrdagi imtihonlar uchun). Agar yomon tayyorgarlik ko'rmagan talaba chipta olish baxtiga muyassar bo'lsa, o'qituvchi uni yaxshi talaba yoki hatto kuchli talaba deb hisoblashi mumkin, bu kelajakda yaxshi dividendlar keltiradi. (albatta, siz "barni ko'tarishingiz" va o'zingizning rasmingizni saqlab qolishingiz kerak). Agar talaba 7 kun va 7 kecha davomida o'qigan, siqilgan, takrorlangan bo'lsa, lekin u shunchaki omadsiz bo'lgan bo'lsa, unda keyingi voqealar eng yomon tarzda rivojlanishi mumkin - ko'plab qayta qabul qilish va ketish arafasida muvozanat bilan.
Aytishga hojat yo'q, obro' eng muhim kapital, ko'plab korporatsiyalar 100-200 yil oldin biznesni boshqargan va benuqson obro'si bilan mashhur bo'lgan asoschi otalarining ismlari va familiyalarini olib yurishlari bejiz emas.
Ha, Bayescha yondashuv ma'lum darajada sub'ektivdir, lekin ... hayot shunday ishlaydi!
Keling, materialni yakuniy sanoat misoli bilan birlashtiramiz, unda men hali duch kelmagan yechimning texnik nozikliklari haqida gapiraman:
Vazifa 9
Zavodning uchta sexida bir xil turdagi qismlar ishlab chiqariladi, ular yig'ish uchun umumiy idishda yig'iladi. Ma’lumki, birinchi sexda ikkinchi sexga qaraganda 2 barobar, uchinchi sexga qaraganda 4 barobar ko‘p detallar ishlab chiqariladi. Birinchi ustaxonada nuqson 12%, ikkinchisida - 8%, uchinchisida - 4% ni tashkil qiladi. Nazorat qilish uchun konteynerdan bir qism olinadi. Uning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday? Chiqarilgan nuqsonli qism 3-tsex tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lish ehtimoli qanday?
Taki Ivan Vasilyevich yana otda =) Filmning oxiri baxtli bo'lishi kerak =)
Yechim: 5-8-sonli topshiriqlardan farqli o'laroq, bu erda savol aniq so'raladi, bu umumiy ehtimollik formulasi yordamida hal qilinadi. Ammo boshqa tomondan, shart biroz "shifrlangan" va eng oddiy tenglamalarni tuzish maktab mahorati bizga bu rebusni hal qilishga yordam beradi. "X" uchun eng kichik qiymatni olish qulay:
Uchinchi ustaxona tomonidan ishlab chiqarilgan qismlarning ulushi bo'lsin.
Shartga ko'ra, birinchi sex uchinchi sexga qaraganda 4 barobar ko'p mahsulot ishlab chiqaradi, shuning uchun 1-tsexning ulushi .
Bundan tashqari, birinchi tsex ikkinchi sexga nisbatan 2 barobar ko'p mahsulot ishlab chiqaradi, ya'ni ikkinchisining ulushi: .
Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
Shunday qilib: - idishdan olib tashlangan qismning mos ravishda 1, 2 va 3-tsexlar tomonidan chiqarilganligi ehtimoli.
Boshqaruv: . Bundan tashqari, iborani qayta ko'rib chiqish ortiqcha bo'lmaydi – Ma’lumki, birinchi sexda ikkinchi sexga qaraganda 2 barobar, uchinchi sexga qaraganda 4 barobar ko‘p mahsulot ishlab chiqariladi. va olingan ehtimollar haqiqatan ham ushbu shartga mos kelishiga ishonch hosil qiling.
"X" uchun dastlab 1-chi yoki 2-do'konning ulushini olish mumkin edi - ehtimolliklar bir xil bo'ladi. Ammo, u yoki bu tarzda, eng qiyin bo'lim o'tdi va yechim yo'lda:
Shartdan biz quyidagilarni topamiz:
- tegishli ustaxonalar uchun nuqsonli qismni ishlab chiqarish ehtimoli.
Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra: 
konteynerdan tasodifiy olingan qismning nostandart bo'lish ehtimoli.
Ikkinchi savol: qazib olingan nuqsonli qism 3-tsex tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lish ehtimoli qanday? Bu savol qism allaqachon olib tashlanganligini va nuqsonli deb topilganligini taxmin qiladi. Biz gipotezani Bayes formulasidan foydalanib qayta baholaymiz: 
kerakli ehtimollikdir. Juda kutilgan - oxir-oqibat, uchinchi ustaxona nafaqat qismlarning eng kichik qismini ishlab chiqaradi, balki sifat jihatidan ham etakchilik qiladi!
Bu holatda men majbur bo'ldim to'rt qavatli kasrni soddalashtiring, bu Bayes formulalari bo'yicha masalalarda juda tez-tez bajarilishi kerak. Ammo bu dars uchun men tasodifan oddiy kasrlarsiz ko'plab hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkin bo'lgan misollarni oldim.
Shartda "a" va "be" nuqtalari yo'qligi sababli, javobni matnli sharhlar bilan taqdim etish yaxshiroqdir:
Javob: 
- idishdan olib tashlangan qismning nuqsonli bo'lish ehtimoli; - chiqarilgan nuqsonli qismning 3-tsex tomonidan chiqarilganligi ehtimoli.
Ko'rib turganingizdek, umumiy ehtimollik formulasi va Bayes formulalari bo'yicha muammolar juda oddiy va, ehtimol, shuning uchun ular ko'pincha maqolaning boshida aytib o'tgan shartni murakkablashtirishga harakat qilishadi.
Qo'shimcha misollar bilan faylda F.P.V uchun tayyor echimlar. va Bayes formulalari, bundan tashqari, boshqa manbalarda bu mavzu bilan chuqurroq tanishishni xohlovchilar ham bordir. Va mavzu haqiqatan ham juda qiziq - yolg'iz nimaga arziydi bayes paradoks, agar odamga noyob kasallik tashxisi qo'yilgan bo'lsa, unda ikkinchi va hatto ikki marta takroriy mustaqil tekshiruv o'tkazish mantiqiy bo'ladi, degan kundalik maslahatni oqlaydi. Aftidan, ular buni faqat umidsizlikdan qiladilar ... - lekin yo'q! Ammo qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik.
tasodifiy tanlangan talabaning imtihondan o'tish ehtimoli.
Talabaga imtihon topshirishga ruxsat bering. Bayes formulalariga ko'ra:
a)
- imtihondan o'tgan talabaning juda yaxshi tayyorlanganligi ehtimoli. Ob'ektiv dastlabki ehtimollik yuqori baholanadi, chunki deyarli har doim ba'zi "o'rtachalar" savollarga omadli bo'lishadi va ular juda kuchli javob berishadi, bu esa benuqson tayyorgarlik haqida noto'g'ri taassurot qoldiradi.b)
imtihondan o'tgan talabaning o'rtacha tayyorgarlik ko'rish ehtimoli. Dastlabki ehtimollik biroz yuqori baholanadi, chunki O'rtacha tayyorgarlik darajasiga ega bo'lgan talabalar odatda ko'pchilikni tashkil qiladi, bundan tashqari, o'qituvchi bu erda muvaffaqiyatsiz javob bergan "a'lo talabalar" ni va vaqti-vaqti bilan chipta bilan juda omadli bo'lgan yomon o'quvchini ham kiritadi.ichida)
- imtihondan o'tgan talabaning yomon tayyorgarlik ko'rish ehtimoli. Dastlabki ehtimollik eng yomoni uchun ortiqcha baholandi. Hayratlanarli emas.Imtihon:
Javob :
