Tangent egri chiziqning bir nuqtasidan o'tuvchi va shu nuqtada birinchi tartibgacha to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqdir (1-rasm).

Boshqa ta'rif: bu D da sekantning chegaraviy pozitsiyasi x->0.

Izoh: Egri chiziqni ikki nuqtada kesib o'tuvchi chiziqni oling: LEKIN va b(rasmga qarang). Bu sekant. Egri chiziq bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lguncha uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantiramiz. Shunday qilib, biz tangensni olamiz.

Tangensning qat'iy ta'rifi:

Funksiya grafigiga teginish f, bir nuqtada differentsiallanadi xhaqida, nuqtadan o'tuvchi chiziq ( xhaqida; f(xhaqida)) va qiyalikka ega f?( xhaqida).

Nishab to'g'ri chiziqqa ega y=kx +b. Koeffitsient k va bo'ladi qiyalik omili bu to'g'ri chiziq.

Burchak koeffitsienti bu to'g'ri chiziqning x o'qi bilan hosil qilgan o'tkir burchakning tangensiga teng:

Bu erda a burchak chiziq orasidagi burchakdir y=kx +b va x o'qining ijobiy (ya'ni soat miliga teskari) yo'nalishi. U deyiladi to'g'ri qiyalik burchagi(1 va 2-rasm).

Nishab burchagi tekis bo'lsa y=kx +b o'tkir, keyin nishab ijobiy sondir. Grafik kuchayadi (1-rasm).

Nishab burchagi tekis bo'lsa y=kx +b o'tmas, u holda qiyalik manfiy sondir. Grafik kamayib bormoqda (2-rasm).

Agar chiziq x o'qiga parallel bo'lsa, unda chiziqning qiyaligi nolga teng. Bunda chiziqning qiyaligi ham nolga teng (chunki nolning tangensi nolga teng). To'g'ri chiziq tenglamasi y = b ko'rinishida bo'ladi (3-rasm).

Agar to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi 90? (p/2) bo'lsa, ya'ni u x o'qiga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglik bilan beriladi. x=c, qayerda c- qandaydir haqiqiy son (4-rasm).

Funksiya grafigiga teginish tenglamasiy = f(x) nuqtada xhaqida:

Misol : Funktsiya grafigiga teginish tenglamasini topamiz f(x) = x 3 – 2x Abscissa 2 bilan nuqtada 2 + 1.

Yechim.

Biz algoritmga amal qilamiz.

1) teginish nuqtasi xhaqida teng 2. Hisoblang f(xhaqida):

f(xhaqida) = f(2) = 2 3 – 2 ? 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) toping f?( x). Buning uchun biz oldingi bo'limda ko'rsatilgan farqlash formulalaridan foydalanamiz. Ushbu formulalarga ko'ra, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. Ma'nosi:

f?( x) = 3X 2 – 2 ? 2X = 3X 2 – 4X.

Endi olingan qiymatdan foydalaning f?( x), hisoblang f?( xhaqida):

f?( xhaqida) = f?(2) = 3 ? 2 2 – 4 ? 2 = 12 – 8 = 4.

3) Shunday qilib, bizda barcha kerakli ma'lumotlar mavjud: xhaqida = 2, f(xhaqida) = 1, f ?( xhaqida) = 4. Bu sonlarni tangens tenglamaga almashtiramiz va yakuniy yechimni topamiz:

y= f(xhaqida) + f?( xhaqida) (x – x o) \u003d 1 + 4 ? (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Javob: y \u003d 4x - 7.

1-misol Funktsiya berilgan f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozamiz f(x) abscissa bilan grafikning nuqtasida x 0 = 1.

Yechim. Funktsiya hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R . Keling, topamiz:

= (3x 2 + 4x– 5)' = 6 x + 4.

Keyin f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangens tenglama quyidagi ko‘rinishga ega:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Javob. y = 10x – 8.

2-misol Funktsiya berilgan f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozamiz f(x), chiziqqa parallel y = 2x – 11.

Yechim. Funktsiya hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R . Keling, topamiz:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)' = 3 x 2 – 6x + 2.

Funktsiya grafigiga tegganligi sababli f(x) abscissa bilan nuqtada x 0 chiziqqa parallel y = 2x– 11, keyin uning qiyaligi 2 ga teng, ya’ni ( x 0) = 2. 3 shartdan bu abssissani toping x– 6x 0 + 2 = 2. Bu tenglik faqat uchun amal qiladi x 0 = 0 va x 0 = 2. Chunki ikkala holatda ham f(x 0) = 5, keyin to'g'ri chiziq y = 2x + b funksiya grafigiga yo (0; 5) nuqtada yoki (2; 5) nuqtada tegadi.

Birinchi holda, sonli tenglik to'g'ri 5 = 2 x 0 + b, qayerda b= 5, ikkinchi holatda esa raqamli tenglik to'g'ri 5 = 2 x 2 + b, qayerda b = 1.

Shunday qilib, ikkita tangens mavjud y = 2x+ 5 va y = 2x Funktsiya grafigiga + 1 f(x) chiziqqa parallel y = 2x – 11.

Javob. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

3-misol Funktsiya berilgan f(x) = x 2 – 6x+ 7. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozamiz f(x) nuqtadan o'tish A (2; –5).

Yechim. Chunki f(2) –5, keyin nuqta A funksiya grafigiga tegishli emas f(x). Mayli x 0 - teginish nuqtasining abtsissasi.

Funktsiya hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R . Keling, topamiz:

= (x 2 – 6x+ 1)' = 2 x – 6.

Keyin f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangens tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Nuqtaidan beri A tangensga tegishli bo'lsa, sonli tenglik to'g'ri bo'ladi

–5 = (2x 0 – 6)x2– x+ 7,

qayerda x 0 = 0 yoki x 0 = 4. Bu nuqta orqali degan ma'noni anglatadi A funksiya grafigiga ikkita tangens chizish mumkin f(x).

Agar a x 0 = 0, u holda tangens tenglama shaklga ega y = –6x+ 7. Agar x 0 = 4, u holda tangens tenglama shaklga ega y = 2x – 9.

Javob. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

4-misol Berilgan funktsiyalar f(x) = x 2 – 2x+ 2 va g(x) = –x 2 - 3. Bu funksiyalarning grafiklariga umumiy tangens tenglamasini yozamiz.

Yechim. Mayli x 1 - funksiya grafigi bilan kerakli chiziqning aloqa nuqtasining absissasi f(x), a x 2 - funksiya grafigi bilan bir xil chiziqning aloqa nuqtasining absissasi g(x).

Funktsiya hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R . Keling, topamiz:

= (x 2 – 2x+ 2)' = 2 x – 2.

Keyin f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangens tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Funktsiyaning hosilasi topilsin g(x):

= (–x 2 – 3)’ = –2 x.

Quyidagi rasmni ko'rib chiqing:

U a nuqtada differentsiallanadigan y = f(x) funktsiyani ko'rsatadi. Koordinatalar bilan belgilangan M nuqta (a; f (a)). Grafikning ixtiyoriy P(a + ?x; f(a + ?x)) nuqtasi orqali sekant MP chiziladi.

Agar hozir P nuqta grafik bo'ylab M nuqtaga siljigan bo'lsa, u holda MP to'g'ri chiziq M nuqta atrofida aylanadi. Bu holda ?x nolga moyil bo'ladi. Bu yerdan funksiya grafigiga teginish ta’rifini shakllantirishimiz mumkin.

Funksiya grafigiga teginish

Argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda, funktsiya grafigiga teginish sekantning chegaralangan pozitsiyasidir. Shuni tushunish kerakki, f funktsiyaning x0 nuqtasida hosilasi mavjudligi grafikning ushbu nuqtasida mavjud ekanligini anglatadi. tangens unga.

Bunda tangensning qiyaligi f’(x0) nuqtada shu funksiyaning hosilasiga teng bo’ladi. Bu hosilaning geometrik ma'nosi. x0 nuqtada differensiallanuvchi f funksiya grafigiga teginish (x0;f(x0)) nuqtadan o’tuvchi va f’(x0) qiyalikka ega bo’lgan qandaydir to’g’ri chiziqdir.

Tangens tenglamasi

A(x0; f(x0)) nuqtada qandaydir f funksiya grafigiga teginish tenglamasini olishga harakat qilaylik. Nishab k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Nishabimiz hosilaga teng bo'lgani uchun f'(x0), u holda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: y = f'(x0)*x + b.

Endi b ning qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun funktsiyaning A nuqtadan o'tishidan foydalanamiz.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, bu yerdan b ifodalaymiz va b = f(x0) - f’(x0)*x0 olamiz.

Olingan qiymatni tangens tenglamaga almashtiramiz:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Quyidagi misolni ko'rib chiqing: f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 funktsiyasi grafigiga x \u003d 2 nuqtasida teginish tenglamasini toping.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Olingan qiymatlarni tangens formulasiga almashtiring, biz olamiz: y = 1 + 4*(x - 2). Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirsak, biz quyidagilarni olamiz: y = 4*x - 7.

Javob: y = 4*x - 7.

Tangens tenglamani tuzishning umumiy sxemasi y = f(x) funksiya grafigiga:

1. x0 ni aniqlang.

2. f(x0) ni hisoblang.

3. f'(x) ni hisoblang.

Qaysi nuqtada x 0 chekli hosilasi f (x 0) ga ega bo‘lgan f funksiya berilgan bo‘lsin. Keyin qiyaligi f '(x 0) bo'lgan (x 0; f (x 0)) nuqtadan o'tuvchi chiziq tangens deyiladi.

Ammo x 0 nuqtasida hosila mavjud bo'lmasa nima bo'ladi? Ikkita variant mavjud:

1. Grafikning tangensi ham mavjud emas. Klassik misol y = |x | funksiyasi nuqtada (0; 0).
2. Tangens vertikal bo'ladi. Bu, masalan, (1; p /2) nuqtadagi y = arcsin x funksiyasi uchun to'g'ri.

Tangens tenglamasi

Har qanday vertikal bo'lmagan to'g'ri chiziq y = kx + b ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan, bu erda k - qiyalik. Tangens ham bundan mustasno emas va uning x 0 nuqtadagi tenglamasini tuzish uchun shu nuqtadagi funksiya va hosila qiymatini bilish kifoya.

Shunday qilib, segmentda y \u003d f '(x) hosilasi bo'lgan y \u003d f (x) funksiya berilsin. U holda x 0 ? (a; b) istalgan nuqtada ushbu funktsiya grafigiga teginish chizish mumkin, bu tenglama bilan berilgan:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Bu yerda f ’(x 0) hosilaning x 0 nuqtasidagi qiymati, f (x 0) esa funksiyaning o‘zi qiymatidir.

Vazifa. y = x 3 funksiya berilgan. Bu funksiya grafigiga x 0 = 2 nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.

Tangent tenglama: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Bizga x 0 = 2 nuqtasi berilgan, ammo f (x 0) va f '(x 0) qiymatlarini hisoblash kerak bo'ladi.

Birinchidan, funksiyaning qiymatini topamiz. Bu erda hamma narsa oson: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Endi hosilani topamiz: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
X 0 = 2 hosilasidagi o‘rniga qo‘ying: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Bu tangens tenglama.

Vazifa. x 0 \u003d p / 2 nuqtasida f (x) \u003d 2sin x + 5 funktsiyasi grafigiga teginish tenglamasini tuzing.

Bu safar biz har bir harakatni batafsil tasvirlab bermaymiz - biz faqat asosiy bosqichlarni ko'rsatamiz. Bizda ... bor:

f (x 0) \u003d f (p / 2) \u003d 2sin (p / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(p / 2) \u003d 2cos (p / 2) \u003d 0;

Tangens tenglamasi:

y = 0 (x - p /2) + 7 => y = 7

Ikkinchi holda, chiziq gorizontal bo'lib chiqdi, chunki uning qiyaligi k = 0. Buning hech qanday yomon joyi yo'q - biz shunchaki ekstremum nuqtaga qoqilib qoldik.

Ta'lim taraqqiyotining hozirgi bosqichida uning asosiy vazifalaridan biri ijodiy fikrlaydigan shaxsni shakllantirishdir. Talabalarda ijodkorlik qobiliyati, agar ular ilmiy-tadqiqot faoliyati asoslariga muntazam jalb qilingan taqdirdagina rivojlanishi mumkin. Talabalarning o‘z ijodiy kuchlari, qobiliyatlari va iste’dodlaridan foydalanishlari uchun to‘laqonli bilim va ko‘nikmalar shakllanadi. Shu munosabat bilan maktab matematika kursining har bir mavzusi bo'yicha asosiy bilim va ko'nikmalar tizimini shakllantirish muammosi kam emas. Shu bilan birga, to'liq ko'nikmalar individual vazifalarning emas, balki ularning puxta o'ylangan tizimining didaktik maqsadi bo'lishi kerak. Keng ma'noda tizim deganda yaxlitlik va barqaror tuzilishga ega bo'lgan o'zaro bog'liq o'zaro ta'sir qiluvchi elementlar yig'indisi tushuniladi.

Talabalarga funktsiya grafigiga teginish tenglamasini tuzishni o'rgatish metodikasini ko'rib chiqing. Aslini olganda, tangens tenglamani topish bo'yicha barcha vazifalar chiziqlar to'plamidan (bo'lim, oila) ma'lum bir talabni qondiradiganlarini tanlash zaruratiga qisqartiriladi - ular ma'lum bir funktsiya grafigiga teginishdir. Bunday holda, tanlov amalga oshiriladigan qatorlar to'plami ikki shaklda belgilanishi mumkin:

a) xOy tekisligida yotgan nuqta (chiziqlarning markaziy qalami);
b) burchak koeffitsienti (chiziqlarning parallel to'plami).

Shu munosabat bilan, tizim elementlarini ajratish uchun "Funksiya grafigiga tegish" mavzusini o'rganishda biz ikkita turdagi vazifalarni aniqladik:

1) u o'tadigan nuqta tomonidan berilgan tangens bo'yicha vazifalar;
2) qiyaligi bilan berilgan tangensdagi vazifalar.

Tangens bo'yicha masalalarni yechishni o'rganish A.G. tomonidan taklif qilingan algoritm yordamida amalga oshirildi. Mordkovich. Uning allaqachon ma'lum bo'lganlardan tubdan farqi shundaki, teginish nuqtasining abssissasi a harfi bilan belgilanadi (x0 o'rniga), bu bilan tangens tenglama shaklni oladi.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0) bilan solishtiring). Ushbu uslubiy texnika, bizning fikrimizcha, talabalarga joriy nuqtaning koordinatalari qayerda yozilganligini tez va oson tushunishga imkon beradi. umumiy tangens tenglamada va aloqa nuqtalari qayerda.

y = f(x) funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish algoritmi.

1. A harfi bilan aloqa nuqtasining abssissasini belgilang.
2. f(a) ni toping.
3. f "(x) va f "(a) ni toping.
4. Topilgan a, f (a), f "(a) raqamlarini y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) tangensining umumiy tenglamasiga almashtiring.

Bu algoritmni talabalarning amallarni mustaqil tanlashlari va ularni bajarish ketma-ketligi asosida tuzish mumkin.

Amaliyot shuni ko'rsatdiki, algoritm yordamida har bir asosiy vazifani izchil hal qilish funksiya grafigiga teginish tenglamasini bosqichma-bosqich yozish qobiliyatini shakllantirish imkonini beradi va algoritm qadamlari harakatlar uchun kuchli nuqta bo'lib xizmat qiladi. . Bu yondashuv P.Ya tomonidan ishlab chiqilgan aqliy harakatlarning bosqichma-bosqich shakllanishi nazariyasiga mos keladi. Galperin va N.F. Talyzina.

Birinchi turdagi vazifalarda ikkita asosiy vazifa aniqlandi:

• tangens egri chiziqda yotgan nuqtadan o'tadi (1-masala);
• tangens egri chiziqda yotmagan nuqtadan o'tadi (2-masala).

1-topshiriq. Tangensni funksiya grafigiga tenglashtiring M(3; – 2) nuqtada.

Yechim. M(3; – 2) nuqta aloqa nuqtasidir, chunki

1. a = 3 - teginish nuqtasining abstsissasi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 - tangens tenglama.

2-topshiriq. M(- 3; 6) nuqtadan o‘tuvchi y = - x 2 - 4x + 2 funksiya grafigiga barcha tegmalarning tenglamalarini yozing.

Yechim. M(– 3; 6) nuqta tangens nuqta emas, chunki f(– 3) 6 (2-rasm).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangens tenglama.

Tangens M(– 3; 6) nuqtadan o'tadi, shuning uchun uning koordinatalari tangens tenglamasini qanoatlantiradi.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Agar a = – 4 bo‘lsa, tangens tenglama y = 4x + 18 bo‘ladi.

Agar a \u003d - 2 bo'lsa, u holda tangens tenglama y \u003d 6 ko'rinishga ega.

Ikkinchi turda asosiy vazifalar quyidagilar bo'ladi:

• tangens qandaydir to'g'ri chiziqqa parallel (3-masala);
• tangens berilgan chiziqqa qandaydir burchak ostida o'tadi (4-masala).

Vazifa 3. y \u003d 9x + 1 chizig'iga parallel ravishda y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 funksiya grafigiga barcha tangenslarning tenglamalarini yozing.

1. a - teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ammo, boshqa tomondan, f "(a) \u003d 9 (parallellik sharti). Shunday qilib, biz 3a 2 - 6a \u003d 9 tenglamani echishimiz kerak. Uning ildizlari a \u003d - 1, a \u003d 3 (1-rasm) 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 - tangens tenglama;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 tangens tenglamasi.

4-topshiriq. y = 0 to'g'ri chiziqqa 45 ° burchak ostida o'tuvchi y = 0,5x 2 - 3x + 1 funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing (4-rasm).

Yechim. F "(a) \u003d tg 45 ° shartidan biz quyidagilarni topamiz: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - teginish nuqtasining abstsissasi.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - tangens tenglamasi.

Boshqa har qanday muammoni hal qilish bir yoki bir nechta asosiy muammolarni hal qilish uchun qisqartirilganligini ko'rsatish oson. Misol sifatida quyidagi ikkita muammoni ko'rib chiqing.

1. y = 2x 2 - 5x - 2 parabolaga teglar tenglamalarini yozing, agar tangenslar to'g'ri burchak ostida kesishsa va ulardan biri abscissa 3 joylashgan nuqtada parabolaga tegsa (5-rasm).

Yechim. Aloqa nuqtasining abssissasi berilganligi sababli, yechimning birinchi qismi 1-asosiy masalaga keltiriladi.

1. a \u003d 3 - to'g'ri burchakning tomonlaridan birining aloqa nuqtasining abscissasi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - birinchi tangens tenglamasi.

Birinchi tangensning qiyaligi a bo'lsin. Tangenslar perpendikulyar bo'lganligi sababli, ikkinchi tangensning moyillik burchagi. Birinchi tangensning y = 7x – 20 tenglamasidan tg a = 7 ni topamiz.

Bu ikkinchi tangensning qiyaligi ekanligini bildiradi.

Keyingi yechim asosiy vazifa 3 ga tushiriladi.

B(c; f(c)) ikkinchi chiziqning tangens nuqtasi bo'lsin

1. - ikkinchi aloqa nuqtasining abtsissasi.
2.
3.
4.
ikkinchi tangens tenglamasi.

Eslatma. Talabalar k 1 k 2 = - 1 perpendikulyar chiziqlar koeffitsientlarining nisbatini bilsalar, tangensning burchak koeffitsientini osonroq topish mumkin.

2. Funksiya grafigiga barcha umumiy tangenslar tenglamalarini yozing

Yechim. Vazifa umumiy tangenslarning teginish nuqtalarining abssissalarini topishga, ya'ni 1-asosiy masalani umumiy ko'rinishda yechish, tenglamalar tizimini tuzib, keyin uni yechishga tushiriladi (6-rasm).

1. y = x 2 + x + 1 funksiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi a bo lsin.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Funktsiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi c bo'lsin
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tangenslar umumiy bo'lgani uchun, demak

Demak, y = x + 1 va y = - 3x - 3 umumiy tangenslardir.

Ko'rib chiqilayotgan vazifalarning asosiy maqsadi - muayyan tadqiqot ko'nikmalarini (tahlil qilish, taqqoslash, umumlashtirish, gipoteza qo'yish va boshqalar) talab qiladigan murakkabroq vazifalarni hal qilishda o'quvchilarni asosiy vazifa turini o'z-o'zini tan olishga tayyorlash. Bunday vazifalarga asosiy vazifa komponent sifatida kiritilgan har qanday vazifa kiradi. Misol tariqasida funksiyani uning tangenslari turkumidan topish masalasini (1-masalaga teskari) ko'rib chiqamiz.

3. Nima uchun b va c chiziqlari y \u003d x va y \u003d - 2x y \u003d x 2 + bx + c funktsiyasi grafigiga teginishdir?

y = x to'g'ri chiziqning y = x 2 + bx + c parabola bilan tutashgan nuqtasining abssissasi t bo'lsin; p - y = - 2x chiziqning y = x 2 + bx + c parabola bilan tutashuv nuqtasining abssissasi. Shunda y = x tangens tenglamasi y = (2t + b)x + c - t 2, y = - 2x tangens tenglamasi y = (2p + b)x + c - p 2 ko‘rinishida bo‘ladi. .

Tenglamalar sistemasini tuzing va yechish

Javob: