Slayd 19

R da monoton kamayuvchi x o'qi R 8 da monoton ravishda ortib borayotgan gorizontal asimptotadir. X va y ning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun; a>0, a?1; b>0, b?1. 7. Asimptot 6. Ekstremallar 5. Monotoniklik 4. Juftlik, toqlik 3. Funksiya qiymatlarini birlik bilan solishtirish intervallari 2. Funksiya qiymatlari sohasi 1 Funksiya sohasi Ko‘rsatkichli funksiya xossalari Ko‘rsatkichli tengsizliklar , yechish turlari va usullari ekstremumlarga ega emas Funksiya juft ham, toq ham emas (umumiy funktsiya).

Slayd 20

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1-topshiriq funksiyaning aniqlanish sohasini toping

slayd 21

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 2-topshiriq Qiymatlarni aniqlang

slayd 22

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 3-topshiriq Funksiya turini aniqlang.

slayd 23

Yangi bilimlarni joriy etish

slayd 24

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarning TA'RIFI: a birga teng bo'lmagan musbat son, b esa berilgan haqiqiy son bo'lsin. U holda ax>b (ax>=b) va ax tengsizliklari

Slayd 25

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Noma'lum x bo'lgan tengsizlikning yechimi x0 soni bo'lib, uni tengsizlikka almashtirganda haqiqiy sonli tengsizlik olinadi.

slayd 26

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Tengsizlikni yechish NIMA TUGADI? Tengsizlikni yechish uning barcha yechimlarini topish yoki yo‘qligini ko‘rsatish demakdir.

Slayd 27

y=ax, a>0, a?1 funksiya grafigining va y=b to‘g‘ri chiziqning nisbiy o‘rnini ko‘rib chiqaylik.Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va y x y x y=b, b 0 y=b, b> yechish usullari. 0 0 1 0 1 x0 x0

Slayd 28

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari y=ax egri chizig‘idan pastda joylashgan, shuning uchun ax>b(ax>=b) tengsizliklari xR uchun, ax tengsizliklari esa o‘rinli.

Slayd 29

XULOSA №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Agar a>1 va b > 0 bo'lsa, u holda har bir x1 x0- uchun y=b chiziq ostida joylashgan. 1 b> 0 uchun y = b to'g'ri chiziq y= ax funksiya grafigini bitta nuqtada kesib o'tadi, uning abssissasi x0 = logab.

slayd 30

XULOSA №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va har bir x2 0 ni yechish usullari, y = b chiziq y= ax funksiya grafigini bir nuqtada kesib o‘tadi. , uning abtsissasi x0 = logab x2

Slayd 31

Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklar Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari

slayd 32

Eksponensial tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.1-misol Javob: butun ta’rif sohasi bo‘yicha ortadi, Yechim:

Slayd 33

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.2-misol Yechish: Javob: ta’rifning butun sohasi bo‘yicha kamayadi,

slayd 34

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.3-misol Yechish: Javob: butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi,

Slayd 35

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari. Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari.

slayd 36

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.4-misol Yechish: ta’rifning butun sohasi bo‘yicha ortadi, Javob:

Slayd 37

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari

Slayd 38

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 2) Kvadrat tengsizliklarga keltiruvchi ko'rsatkichli tengsizliklar.

Slayd 39

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 3) Birinchi va ikkinchi darajali bir jinsli ko'rsatkichli tengsizliklar. Birinchi darajali bir jinsli ko'rsatkichli tengsizliklar 1-misol butun ta'rif sohasi bo'yicha ortadi Javob: Yechish:

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 4) Ratsional tengsizliklarga keltiruvchi ko'rsatkichli tengsizliklar.

slayd 43

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 5) Ko'rsatkichli nostandart tengsizliklar Misol Yechish: To'plamning har bir bayonotini alohida yechamiz. Tengsizlik agregatga teng

Slayd 44

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari tenglamaning yechimi emas. Shunday qilib,

Slayd 45

Bilimlarni mustahkamlash

Qanday tengsizliklar eksponensial deb ataladi? Eksponensial tengsizlik qachon x ning har qanday qiymatlari uchun yechimga ega bo'ladi? Ko‘rsatkichli tengsizlik qachon yechimga ega bo‘lmaydi? Ushbu darsda tengsizlikning qanday turlarini bilib oldingiz? Oddiy tengsizliklar qanday yechiladi? Tengsizliklar kvadratga keltirilishi qanday hal qilinadi? Bir jinsli tengsizliklar qanday yechiladi? Tengsizliklar ratsional tengsizlikka qanday hal qilinadi?

Slayd 46

Dars xulosasi

Talabalar ushbu darsda nimani o'rganganlarini bilib oling. Darsda ishlash uchun talabalarga batafsil sharhlar bilan baho qo'ying

Slayd 47

Uy vazifasi

10-sinf uchun darslik "Algebra va tahlilning boshlanishi" Muallif S.M.Nikolskiy 6.4 va 6.6-bandlarni o'rganish, 6.31-6.35 va 6.45-6.50-sonlarni yechish.

Slayd 48

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari

Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-sinf. Darslik. Nikolskiy S.M. va boshq.

Asosiy va profil darajalari

8-nashr. - M.: Ma'rifat, 2009. - 430 b.

Darslik matematika bo'yicha umumta'lim davlat standartining federal tarkibiy qismlariga mos keladi va asosiy va ixtisoslashtirilgan darajalar uchun materiallarni o'z ichiga oladi. Talabalar o'tgan yillarda qanday darsliklarni o'rganganlaridan qat'i nazar, siz u ustida ishlashingiz mumkin.

Darslik talabalarni oliy o‘quv yurtlariga kirishga tayyorlashga qaratilgan.

Format: djvu

Hajmi: 15,2 MB

Ko'ring, yuklab oling:drive.google ; Rhast

Format: pdf

Hajmi: 42,3 MB

Ko'ring, yuklab oling:drive.google ; Rhast

Eslatma: PDF formatida sifat yaxshiroq, deyarli zo'r. Xuddi shu skanerdan tayyorlangan, 150 dpi, rangli. Ammo DJVUda bu biroz yomonroq bo'lib chiqadi. Bu o'lcham muhim bo'lgan holatlardan biridir.

MUNDARIJA
I-BOB. Ildizlar, KUCHLAR, LOGARITILAR
§ 1. Haqiqiy sonlar 3
1.1. Haqiqiy son tushunchasi 3
1.2. Raqamlar to'plami. Haqiqiy sonlarning xossalari. ... o'n
1,3*. Matematik induksiya usuli 16
1.4. O'zgartirishlar 22
1.5. Turar joy 25
1.6. Kombinatsiyalar 27
1,7*. Raqamli tengsizliklarni isbotlash 30
1,8*. Butun sonlarning bo‘linuvchanligi 35
1,9*. Taqqoslash moduli m 38
1.10*. Butun son noma'lumlar bilan bog'liq muammolar 40
§ 2. Ratsional tenglamalar va tengsizliklar 44
2.1. Ratsional ifodalar 44
2.2. Nyutonning binomial formulalari, yig'indilari va darajalar farqlari. . 48
2,3*. Ko'phadlarni qoldiq bilan bo'lish. Evklid algoritmi... 53
2,4*. Bezout teoremasi 57
2,5*. Polinom ildiz 60
2.6. Ratsional tenglamalar 65
2.7. Ratsional tenglamalar sistemalari 70
2.8. Tengsizliklarni yechish uchun intervallar usuli 75
2.9. Ratsional tengsizliklar 79
2.10. Qat'iy bo'lmagan tengsizliklar 84
2.11. Ratsional tengsizliklar sistemalari 88
§ 3. Darajaning ildizi n 93
3.1. Funksiya tushunchasi va uning grafigi 93
3.2. Funktsiya y \u003d x "96
3.3. n 100 daraja ildizi tushunchasi
3.4. Juft va toq darajalarning ildizlari 102
3.5. Arifmetik ildiz 106
3.6. l 111 darajali ildizlarning xossalari
3,7*. Funktsiya y \u003d nx (x\u003e 0) 114
3,8*. Funktsiya y = nVx 117
3,9*. 119 natural sonining n- ildizi
§ 4. Musbat sonning kuchi 122
4.1. Ratsional ko'rsatkich 122 bo'lgan daraja
4.2. Ratsional ko‘rsatkichi 125 bo‘lgan quvvat xossalari
4.3. Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi 131
4,4*. Xususiyatlarni cheklash 134
4.5. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. . . 137
4.6. e 140 raqami
4.7. Irratsional darajali daraja tushunchasi .... 142
4.8. eksponensial funktsiya 144
5-§. Logarifmlar 148
5.1. Logarifm haqida tushuncha 148
5.2. Logarifmlarning xossalari 151
5.3. Logarifmik funksiya 155
5,4*. O'nlik logarifmlar 157
5,5*. Quvvat funktsiyalari 159
§ 6. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar. . 164
6.1. Eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalar 164
6.2. Eng oddiy logarifmik tenglamalar 166
6.3. Noma'lum 169 ni o'zgartirish orqali tenglamalar eng soddaga keltiriladi
6.4. Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklar 173
6.5. Eng oddiy logarifmik tengsizliklar 178
6.6. Noma'lumni eng oddiy almashtirishgacha kamayuvchi tengsizliklar 182
Tarixiy ma'lumotlar 187
II-BOB. TRIGONOMETRIK FORMULA. TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR
§ 7. Burchakning sinus va kosinusu 193
7.1. Burchak tushunchasi 193
7.2. Burchakning radian o'lchami 200
7.3. Burchakning sinusi va kosinusini aniqlash 203
7.4. Sin a va cos a uchun asosiy formulalar 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Ark kosinus 221
7,7*. Arksinus va arkkosindan foydalanishga misollar .... 225
7,8*. Arcsine va Arccosine 231 uchun formulalar
§ 8. Burchakning tangensi va kotangensi 233
8.1. Burchakning tangensi va kotangensini aniqlash 233
8.2. Tg a va ctg a 239 uchun asosiy formulalar
8.3. Arktangent 243
8,4*. Yoy tangensi 246
8,5*. Yoy tangensi va yoy tangensidan foydalanishga misollar. . 249
8,6*. Yoy tangensi va yoy tangensi uchun formulalar 255
§ 9. Qo‘shish formulalari 258
9.1. Ayirmaning kosinusu va ikki burchak yig‘indisining kosinusu 258
9.2. To‘ldiruvchi burchaklar uchun formulalar 262
9.3. Ikki burchak ayirmasi yigindisi va sinusi 264
9.4. Sinuslar va kosinuslar yig‘indisi va ayirmasi 266
9.5. Ikki va yarim burchaklar uchun formulalar 268
9,6*. Sinuslar va kosinuslar mahsuloti 273
9,7*. Tangens uchun formulalar 275
§ 10. Raqamli argumentning trigonometrik funktsiyalari 280
10.1. Funktsiya y \u003d sin x 281
10.2. Funktsiya y \u003d cos x 285
10.3. Funktsiya y = tg * 288
10.4. Funktsiya y = ctg x 292
§ 11. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar 295
11.1. Eng oddiy trigonometrik tenglamalar 295
11.2. Noma’lum 299-ning o‘rnini bosish yo‘li bilan eng oddiy holga keltiruvchi tenglamalar
11.3. 303- tenglamalarni yechishda asosiy trigonometrik formulalarni qo‘llash
11.4. Bir jinsli tenglamalar 307
11,5*. Sinus va kosinus uchun eng oddiy tengsizliklar .... 310
11,6*. Tangens va kotangens uchun eng oddiy tengsizliklar. . . 315
11,7*. Noma'lumni eng oddiy almashtirishgacha kamayuvchi tengsizliklar 319
11,8*. Yordamchi burchakning kiritilishi 322
11,9*. Noma'lum t \u003d sin x + cos x 327 ni almashtirish
Tarixiy ma'lumotlar 330
III-BOB. EHTIMOLLAR NAZARIYASI Elementlari
§ 12. Hodisa ehtimoli 333
12.1. Hodisa ehtimoli haqida tushuncha 333
12.2. Hodisa ehtimolining xossalari 338
§ 13*. Chastotasi. Shartli ehtimollik 342
13.1*. Hodisalarning nisbiy chastotasi 342
13,2*. Shartli ehtimollik. Mustaqil hodisalar 344
§ o'n to'rt *. Kutilgan qiymat. Katta sonlar qonuni 348
14.1*. Matematik kutish 348
14,2*. Qiyin tajriba 353
14,3*. Bernoulli formulasi. Katta sonlar qonuni 355
Tarixiy ma'lumotlar 359
362-SHARX
Indeks 407
Javoblar 410

6-mavzu. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar (11 soat)
Dars mavzusi. Noma'lumning o'rnini bosish orqali eng oddiyga keltiriladigan tengsizliklar.
Darsning maqsadi: Ko‘rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni eng oddiylarga kamaytirish, noma’lumni almashtirish yo‘li bilan yechish ko‘nikmalarini shakllantirish.
Vazifalar:
Ta'limiy: "Eng oddiy ko'rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni yechish" mavzusidagi bilimlarni takrorlash va mustahkamlash, logarifmik va ko'rsatkichli tengsizliklarni almashtirish usuli bilan yechish usullarini o'rganish.
Rivojlantiruvchi: talabalarda tengsizlikning ikki turini ajratish va ularni hal qilish yo'llarini aniqlash qobiliyatini shakllantirish (mantiqiy va intuitiv fikrlash, hukmlarni asoslash, tasniflash, taqqoslash), o'zini o'zi nazorat qilish va o'zini o'zi tekshirish, harakat qilish qobiliyatini shakllantirish. berilgan algoritm bo'yicha, natijani baholang va to'g'rilang.
Tarbiyaviy: o'quvchilarning quyidagi kabi fazilatlarini shakllantirishni davom ettirish: bir-birini tinglash qobiliyati; o'zaro nazorat va o'z-o'zini baholashni amalga oshirish qobiliyati.
Dars turi: birlashtirilgan.
Darslik Algebra 10-sinf S.M. Nikolskiy, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
Darslar davomida
Tashkiliy vaqt.
Uy vazifasini tekshirish.
Asosiy bilimlarni yangilash.
Frontal:
1. Qanday tengsizliklar eng oddiy darajali tengsizliklar deb ataladi?
2. Eng oddiy ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish nimani anglatishini tushuntiring.
3. Qanday tengsizliklar eng oddiy logarifmik tengsizliklar deb ataladi?
4. Eng oddiy logarifmik tengsizliklarni yechish nimani anglatishini tushuntiring.
Doskada eslatma bilan (har biri 1 talaba):
Tengsizliklarni yechish
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Yangi materialni tushuntirish va uni bosqichma-bosqich mustahkamlash.
1.1. Yangi materialni tushuntirish.
1. Tengsizlikni yeching:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, keyin
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2-3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Bizni "--" belgisi qiziqtiradi. Keyin olamiz
Javob:x?(1;2)
2. Tengsizlikni yeching

1.2. Bosqichma-bosqich mustahkamlash.
№ 6.49 (a, c).
№ 6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Javob: -?;1?54; + ?v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Javob: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Javob: -2;-1?3;42.1. Yangi materialni tushuntirish.
3. Tengsizlikni yeching

Keyin 1 tengsizlik barcha x uchun mantiqiy, ikkinchisi esa

2.2. Bosqichma-bosqich mustahkamlash.
Tengsizlikni yechish №6.56(c)
3.1. Yangi materialni tushuntirish.
4. Tengsizlikni yeching

3.2. Bosqichma-bosqich mustahkamlash.
№6.60(a) tengsizlikni yeching
Darsni yakunlash.
Reflektsiya.
Uy vazifasi.
P. 6.6
№ 6.49 (b, d)
№ 6.52 (a, b)
№ 6.56 (d)
№ 6.60 (b)

Biriktirilgan fayllar

Ko'pchilik eksponensial tengsizliklar juda murakkab va tushunarsiz narsa deb o'ylashadi. Va ularni hal qilishni o'rganish deyarli buyuk san'at bo'lib, uni faqat tanlanganlar tushunishi mumkin ...

To'liq bema'nilik! Eksponensial tengsizliklar oson. Va ularni hal qilish har doim oson. Xo'sh, deyarli har doim. :)

Bugun biz ushbu mavzuni uzoq va keng tahlil qilamiz. Ushbu dars maktab matematikasining ushbu bo'limini endigina tushuna boshlaganlar uchun juda foydali bo'ladi. Keling, oddiy vazifalardan boshlaylik va murakkabroq masalalarga o'tamiz. Bugun hech qanday qattiqqo'llik bo'lmaydi, lekin siz o'qimoqchi bo'lgan narsa barcha turdagi nazorat va mustaqil ishlardagi tengsizliklarning aksariyatini hal qilish uchun etarli bo'ladi. Va bu sizning imtihoningiz.

Har doimgidek, ta'rifdan boshlaylik. Eksponensial tengsizlik - bu ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tengsizlik. Boshqacha qilib aytganda, u har doim shaklning tengsizligiga tushirilishi mumkin

\[((a)^(x)) \gt b\]

Bu erda $b$ ning roli oddiy raqam bo'lishi mumkin yoki undan ham qattiqroq bo'lishi mumkin. Misollar? Ha iltimos:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ to'rtlik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end (tekislash)\]

Menimcha, ma'no aniq: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyasi bor, u biror narsa bilan taqqoslanadi, so'ngra $x$ topish so'raladi. Ayniqsa, klinik holatlarda, $x$ o'zgaruvchisi o'rniga, ular $f\left(x \right)$ funktsiyasini qo'yishi va shu bilan tengsizlikni biroz murakkablashtirishi mumkin. :)

Albatta, ba'zi hollarda tengsizlik yanada jiddiyroq ko'rinishi mumkin. Masalan:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Yoki bu ham:

Umuman olganda, bunday tengsizliklarning murakkabligi juda xilma-xil bo'lishi mumkin, ammo ular baribir oddiy konstruktsiyaga tushadilar $((a)^(x)) \gt b$. Va biz qandaydir tarzda bunday dizayn bilan shug'ullanamiz (ayniqsa, klinik holatlarda, hech narsa xayolga kelmasa, logarifmlar bizga yordam beradi). Shuning uchun, endi biz bunday oddiy konstruktsiyalarni qanday hal qilishni o'rganamiz.

Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish

Keling, juda oddiy narsani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu erda:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Shubhasiz, o'ngdagi raqam ikkining kuchi sifatida qayta yozilishi mumkin: $4=((2)^(2))$. Shunday qilib, asl tengsizlik juda qulay shaklda qayta yoziladi:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Va endi qo'llar $x \gt 2$ javobini olish uchun darajalar tagida turgan ikkiliklarni "chizib tashlash" uchun qichishadi. Ammo biror narsani chizishdan oldin, keling, ikkita kuchni eslaylik:

\[((2)^(1))=2;\to'rt ((2)^(2))=4;\to'rt ((2)^(3))=8;\to'rt ((2)^( 4))=16;...\]

Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, chiqish raqami shunchalik katta bo'ladi. — Rahmat, kapa! - deb o'quvchilardan biri qichqiradi. Bu boshqacha sodir bo'ladimi? Afsuski, bu sodir bo'ladi. Masalan:

\[((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ o'ng))^(2))=\frac(1)(4);\to'rt ((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Bu erda ham hamma narsa mantiqiy: daraja qanchalik katta bo'lsa, 0,5 soni o'z-o'zidan ko'paytiriladi (ya'ni yarmiga bo'linadi). Shunday qilib, natijada raqamlar ketma-ketligi kamayadi va birinchi va ikkinchi ketma-ketliklar orasidagi farq faqat bazada bo'ladi:

• Agar daraja asosi $a \gt 1$ bo'lsa, u holda $n$ ko'rsatkichi o'sishi bilan $((a)^(n))$ soni ham o'sadi;
• Aksincha, agar $0 \lt a \lt 1$ bo?lsa, $n$ ko?rsatkichi o?sishi bilan $((a)^(n))$ soni kamayadi.

Ushbu faktlarni umumlashtirib, biz eksponensial tengsizliklarning butun yechimiga asoslangan eng muhim bayonotni olamiz:

Agar $a \gt 1$ bo?lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \gt n$ tengsizligiga ekvivalent bo?ladi. Agar $0 \lt a \lt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \lt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi.

Boshqacha qilib aytganda, agar baza birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Va agar baza birdan kam bo'lsa, uni ham olib tashlash mumkin, ammo tengsizlik belgisini ham o'zgartirish kerak bo'ladi.

E'tibor bering, biz $a=1$ va $a\le 0$ variantlarini ko'rib chiqmadik. Chunki bu holatlarda noaniqlik mavjud. $((1)^(x)) \gt 3$ ko‘rinishdagi tengsizlik qanday yechilsin deylik? Har qanday kuchga bitta yana bittani beradi - biz hech qachon uch yoki undan ko'pini olmaymiz. Bular. yechimlar yo'q.

Salbiy asoslar bilan bu yanada qiziqarli. Masalan, quyidagi tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((\left(-2 \o'ng))^(x)) \gt 4\]

Bir qarashda hamma narsa oddiy:

To'g'rimi? Lekin yoq! Yechim noto‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun $x$ o‘rniga bir juft juft va bir nechta toq sonlarni qo‘yish kifoya. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(align) & x=4\O'ng strelka ((\left(-2 \o'ng))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(tuzala)\]

Ko'rib turganingizdek, belgilar bir-birini almashtiradi. Lekin hali ham kasr darajalari va boshqa qalay bor. Misol uchun, $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus ikkitasi yettining ildiziga ko?tarilgan) hisoblashni qanday buyurasiz? Bo'lishi mumkin emas!

Shuning uchun, aniqlik uchun biz barcha eksponensial tengsizliklarda (aytmoqchi, tenglamalarda ham) $1\ne a \gt 0$ deb faraz qilamiz. Va keyin hamma narsa juda oddiy hal qilinadi:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\O'ng strelka \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \o'ng), \\ & x \lt n\quad \chap (0 \lt a \lt 1 \o'ng). \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Umuman olganda, yana bir bor asosiy qoidani eslang: agar eksponensial tenglamadagi asos birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin; va agar asos birdan kichik bo'lsa, uni ham olib tashlash mumkin, lekin bu tengsizlik belgisini o'zgartiradi.

Yechim misollari

Shunday qilib, bir nechta oddiy eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqing:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end (tekislash)\]

Birlamchi vazifa hamma hollarda bir xil: tengsizliklarni eng oddiy shaklga keltirish $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Endi biz har bir tengsizlik bilan shunday qilamiz va shu bilan birga biz darajalar va eksponensial funktsiyaning xususiyatlarini takrorlaymiz. Shunday ekan, ketaylik!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Bu yerda nima qilish mumkin? Xo'sh, chap tomonda bizda allaqachon namoyishkorona ifoda bor - hech narsani o'zgartirish kerak emas. Ammo o'ng tomonda qandaydir axloqsizlik bor: kasr va hatto maxrajdagi ildiz!

Biroq, kasrlar va kuchlar bilan ishlash qoidalarini eslang:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end (tekislash)\]

Bu nima degani? Birinchidan, kasrni manfiy ko'rsatkichga aylantirish orqali osonlik bilan qutula olamiz. Ikkinchidan, maxraj ildiz bo'lgani uchun uni darajaga aylantirsak yaxshi bo'lardi - bu safar kasr ko'rsatkichi bilan.

Keling, ushbu amallarni tengsizlikning o'ng tomoniga ketma-ket qo'llaymiz va nima sodir bo'lishini ko'ramiz:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \o'ng))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \o'ng))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \o'ng)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Shuni unutmangki, darajani bir darajaga ko'tarishda ushbu darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi. Va umuman olganda, eksponensial tenglamalar va tengsizliklar bilan ishlashda hech bo'lmaganda kuchlar bilan ishlashning eng oddiy qoidalarini bilish mutlaqo kerak:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end (tekislash)\]

Aslida, biz oxirgi qoidani qo'lladik. Shunday qilib, bizning asl tengsizligimiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\O'ng strelka ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Endi biz taglikdagi deucedan qutulamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \o'ng]. \\\end(align)\]

Bu butun yechim! Asosiy qiyinchilik umuman eksponensial funktsiyada emas, balki asl ifodani malakali o'zgartirishda: uni eng oddiy shaklga ehtiyotkorlik bilan va iloji boricha tezroq etkazishingiz kerak.

Ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Yaxshi yaxshi. Bu erda biz o'nli kasrlarni kutmoqdamiz. Ko'p marta aytganimdek, vakolatli har qanday iboralarda siz o'nlik kasrlardan xalos bo'lishingiz kerak - ko'pincha bu tez va oson echimni ko'rishning yagona yo'li. Mana nimadan qutulamiz:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ o'ng)))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(10) \o'ng))^(1-x)) \lt ( (\ chap (\ frac (1) (10) \ o'ng)) ^ (2)). \\\end (tekislash)\]

Bizning oldimizda yana eng oddiy tengsizlik va hatto 1/10 tayanch bilan, ya'ni. bittadan kam. Xo'sh, biz tagliklarni olib tashlaymiz, bir vaqtning o'zida belgini "kamroq" dan "kattaroq" ga o'zgartiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

\[\boshlang(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end (tekislash)\]

Biz yakuniy javobni oldik: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. E'tibor bering, javob aniq to'plamdir va hech qanday holatda $x \lt -1$ shaklini qurish mumkin emas. Chunki formal ravishda bunday konstruksiya umuman to‘plam emas, balki $x$ o‘zgaruvchisiga nisbatan tengsizlikdir. Ha, bu juda oddiy, lekin bu javob emas!

Muhim eslatma. Ushbu tengsizlikni boshqa yo'l bilan - ikkala qismni birdan kattaroq quvvatga kamaytirish orqali hal qilish mumkin. Qarab qo'ymoq:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\O'ng strelka ((\chap(((10)^(-1)) \o'ng))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \o'ng))^(2))\O'ng strelka ((10)^(-1\cdot \left(1-x \o'ng)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Bunday o'zgartirishdan so'ng, biz yana eksponensial tengsizlikka ega bo'lamiz, lekin asosi 10 > 1. Bu shuni anglatadiki, siz shunchaki o'nlikni kesib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end (tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, javob aynan bir xil. Shu bilan birga, biz o'zimizni belgini o'zgartirish zaruratidan qutqardik va u erda ba'zi qoidalarni eslaymiz. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Biroq, bu sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang. Ko'rsatkichlarda nima bo'lishidan qat'i nazar, tengsizlikni hal qilish texnologiyasi bir xil bo'lib qoladi. Shuning uchun biz birinchi navbatda 16 = 2 4 ekanligini ta'kidlaymiz. Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda dastlabki tengsizlikni qayta yozamiz:

\[\begin(align) & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Xayr! Biz odatdagi kvadrat tengsizlikni oldik! Belgisi hech qanday joyda o'zgarmadi, chunki asos ikkilik - birdan katta raqam.

Raqamlar qatoridagi funksiya nollari

Biz $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyaning belgilarini joylashtiramiz - aniqki, uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, shuning uchun "plyuslar" bo'ladi. ” yon tomonlarida. Biz funktsiya noldan kichik bo'lgan mintaqaga qiziqamiz, ya'ni. $x\in \left(2;5 \right)$ asl masalaga javobdir.

Va nihoyat, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yana biz asosda o'nli kasrli eksponensial funktsiyani ko'ramiz. Keling, bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \o?ng))^(1+(x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \o'ng)))\end(hizala)\]

Bunday holda, biz ilgari aytilgan izohdan foydalandik - keyingi qarorimizni soddalashtirish uchun bazani 5\u003e 1 raqamiga qisqartirdik. Keling, o'ng tomon bilan ham xuddi shunday qilaylik:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Ikkala transformatsiyani ham hisobga olgan holda asl tengsizlikni qayta yozamiz:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(-1\cdot \chap(1+) ((x)^(2)) \o'ng)))\ge ((5)^(-2))\]

Ikkala tomonning asoslari bir xil va birdan kattaroqdir. O'ng va chap tomonda boshqa atamalar yo'q, shuning uchun biz beshlikni "chiqib" qilamiz va biz juda oddiy iborani olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\to'rt \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Bu erda siz ehtiyot bo'lishingiz kerak. Ko‘pchilik talabalar tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat ildizini olib, $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kabi yozishni yaxshi ko‘radilar. Siz buni hech qachon qilmasligingiz kerak, chunki aniq kvadratning ildizi moduldir va hech qanday holatda asl o'zgaruvchi emas:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\chap| x\right|\]

Biroq, modullar bilan ishlash eng yoqimli tajriba emas, to'g'rimi? Shunday qilib, biz ishlamaymiz. Buning o'rniga, biz shunchaki barcha shartlarni chapga siljitamiz va odatdagi tengsizlikni intervalli usul yordamida hal qilamiz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \o'ng)\left(x+1 \o'ng)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\to'rt ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Yana, biz olingan nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz va belgilarga qaraymiz:

Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilganimiz sababli, grafikdagi barcha nuqtalar soyali. Shuning uchun javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ - bu interval emas, balki segment.

Umuman olganda, shuni ta'kidlashni istardimki, eksponensial tengsizliklarda murakkab narsa yo'q. Bugun biz amalga oshirgan barcha o'zgarishlarning ma'nosi oddiy algoritmga tushadi:

• Biz barcha darajalarni kamaytiradigan bazani toping;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi tengsizlikni olish uchun o‘zgartirishlarni ehtiyotkorlik bilan bajaring. Albatta, $x$ va $n$ o?zgaruvchilari o?rniga ancha murakkab funksiyalar bo?lishi mumkin, lekin bu ma'noni o?zgartirmaydi;
• Darajalar asoslarini kesib tashlang. Bunday holda, agar asos $a \lt 1$ bo'lsa, tengsizlik belgisi o'zgarishi mumkin.

Aslida, bu barcha tengsizliklarni yechish uchun universal algoritmdir. Va bu mavzu bo'yicha sizga aytiladigan barcha narsalar faqat o'zgartirishni soddalashtirish va tezlashtirish uchun aniq fokuslar va fokuslardir. Mana biz hozir gaplashadigan fokuslardan biri. :)

ratsionalizatsiya usuli

Boshqa tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqing:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \o'ng))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Xo'sh, ularda nima o'ziga xos? Ular, shuningdek, engil vaznga ega. Garchi, to'xtang! Pi quvvatga ko'tariladimi? Qanday bema'nilik?

Va $2\sqrt(3)-3$ sonini qanday qilib kuchga oshirish mumkin? Yoki $3-2\sqrt(2)$mi? Muammolarni tuzuvchilar ishga o'tirishdan oldin juda ko'p "Do'lana" ichishgan. :)

Aslida, bu vazifalarda hech qanday yomon narsa yo'q. Sizga eslatib o'taman: eksponensial funktsiya $((a)^(x))$ ko'rinishining ifodasidir, bunda $a$ asosi istalgan musbat son bo'ladi, bittadan tashqari. p soni ijobiy - biz buni allaqachon bilamiz. $2\sqrt(3)-3$ va $3-2\sqrt(2)$ raqamlari ham ijobiydir - agar ularni nolga solishtirsak, buni tushunish oson.

Ma'lum bo'lishicha, bu "dahshatli" tengsizliklarning barchasi yuqorida muhokama qilingan oddiylardan farq qilmaydi? Va ular buni xuddi shunday qilishadimi? Ha, mutlaqo to'g'ri. Biroq, ularning misolidan foydalanib, men mustaqil ish va imtihonlarga ko'p vaqtni tejaydigan bitta hiyla-nayrangni ko'rib chiqmoqchiman. Biz ratsionalizatsiya usuli haqida gapiramiz. Shunday qilib, diqqat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tengsizlik $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) tengsizligiga ekvivalentdir. o'ng) \gt 0 $.

Bu butun usul. :) Keyingi o'yin bo'ladi deb o'ylaganmidingiz? Bu kabi hech narsa! Ammo tom ma'noda bir satrda yozilgan bu oddiy haqiqat ishimizni ancha soddalashtiradi. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(matritsa) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Pastga qarab \\ \chap(x+7-\chap(((x)^(2)) -3x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matritsa)\]

Bu erda boshqa eksponensial funktsiyalar yo'q! Va belgining o'zgarishi yoki o'zgarmasligini eslab qolish shart emas. Ammo yangi muammo tug'iladi: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] la'nat multiplikatori bilan nima qilish kerak? Pi ning aniq qiymati nima ekanligini bilmaymiz. Biroq, kapitan aniq bir narsaga ishora qilganga o'xshaydi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\taxminan 3,14... \gt 3\O'ng strelka \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Umuman olganda, p ning aniq qiymati bizni unchalik bezovta qilmaydi - bu biz uchun har qanday holatda ham $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ekanligini tushunish muhimdir. $, t.e. musbat doimiy bo'lib, tengsizlikning ikkala tomonini unga bo'lishimiz mumkin:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \o'ng) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \o'ng)\left(x+1 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir nuqtada biz minus birga bo'lishimizga to'g'ri keldi va tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxirida men kvadrat trinomialni Vyeta teoremasiga ko'ra kengaytirdim - ko'rinib turibdiki, ildizlar $((x)_(1))=5$ va $((x)_(2))=- ga teng. 1$. Keyin hamma narsa klassik intervallar usuli bilan hal qilinadi:

Barcha nuqtalar teshiladi, chunki dastlabki tengsizlik qat'iydir. Bizni salbiy qiymatlari bo'lgan hudud qiziqtiradi, shuning uchun javob $x\in \left(-1;5 \right)$. Bu yechim. :)

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \o'ng))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Bu erda hamma narsa oddiy, chunki o'ng tomonda birlik mavjud. Va biz eslaymizki, birlik nol darajasiga ko'tarilgan har qanday raqamdir. Agar bu raqam irratsional ifoda bo'lsa ham, chap tomonda joylashgan:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end (tekislash)\]

Shunday qilib, ratsionalizatsiya qilaylik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \o'ng)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Faqat belgilar bilan shug'ullanish qoladi. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ko?paytuvchisi $x$ o?zgaruvchisini o?z ichiga olmaydi – bu shunchaki doimiy miqdor va biz uning belgisini aniqlashimiz kerak. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:

\[\begin(matritsa) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Pastga qarab \\ 2\chap(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 2\cdot \left(2) -2 \o'ng)=0 \\\end (matritsa)\]

Ma'lum bo'lishicha, ikkinchi omil shunchaki doimiy emas, balki salbiy konstantadir! Va unga bo'linganda, asl tengsizlikning belgisi teskarisiga o'zgaradi:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \o'ng) \gt 0. \\\end(hizalang)\]

Endi hamma narsa aniq bo'ladi. O'ng tarafdagi kvadrat uchlik ildizlari $((x)_(1))=0$ va $((x)_(2))=2$. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz va $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyaning belgilariga qaraymiz:

Bizni ortiqcha belgisi bilan belgilangan intervallar qiziqtiradi. Javobni yozishgina qoladi:

Keling, keyingi misolga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ o'ng))^(16-x))\]

Xo'sh, bu erda hamma narsa aniq: asoslar bir xil sonli kuchlardir. Shuning uchun men hamma narsani qisqacha yozaman:

\[\begin(matritsa) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pastga qarab \\ ((\chap(((3)^(-1)) \o'ng))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \o'ng))^(16-x)) \\\end(matritsa)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ chap (16-x\o'ng)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \o'ng)\left(x-4 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizalang)\]

Ko'rib turganingizdek, transformatsiyalar jarayonida biz manfiy songa ko'paytirishimiz kerak edi, shuning uchun tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxir-oqibat, kvadrat trinomialni faktorlarga ajratish uchun yana Viet teoremasini qo'lladim. Natijada, javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left(-8;4 \right)$ - xohlovchilar buni raqamlar chizig'ini chizish, nuqtalarni belgilash va belgilarni sanash orqali tekshirishlari mumkin. Shu bilan birga, biz "to'plam" dan oxirgi tengsizlikka o'tamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Ko'rib turganingizdek, taglik yana irratsional son va birlik yana o'ng tomonda. Shuning uchun biz eksponensial tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ o'ng))^(0))\]

Keling, ratsionalizatsiya qilaylik:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \o'ng) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Biroq, $1-\sqrt(2) \lt 0$ ekanligi aniq, chunki $\sqrt(2)\taxminan 1,4... \gt 1$. Demak, ikkinchi omil yana manfiy konstanta bo'lib, unga ko'ra tengsizlikning ikkala qismini ham bo'lish mumkin:

\[\begin(matritsa) \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0 \\ \pastga qarab \ \\end (matritsa)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Boshqa bazaga o'ting

Eksponensial tengsizliklarni echishda alohida muammo - bu "to'g'ri" asosni izlash. Afsuski, vazifaga birinchi qarashda, nimani asos qilib olish va bu asosning darajasi sifatida nima qilish kerakligi har doim ham aniq emas.

Lekin tashvishlanmang: bu erda sehrli va "maxfiy" texnologiyalar yo'q. Matematikada algoritmlash mumkin bo'lmagan har qanday ko'nikma amaliyot orqali osonlik bilan rivojlantirilishi mumkin. Ammo buning uchun siz turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishingiz kerak bo'ladi. Masalan, bular:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ tugatish(tekislash)\]

Qiyinmi? Qo'rqinchlimi? Ha, bu asfaltdagi tovuqdan osonroq! Keling urinib koramiz. Birinchi tengsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Menimcha, bu erda hamma narsa aniq:

Biz asl tengsizlikni qayta yozamiz, hamma narsani "ikki" bazasiga qisqartiramiz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\O'ng strelka \chap(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \o'ng)\cdot \left(2-1 \o'ng) \lt 0\]

Ha, ha, siz to'g'ri tushundingiz: men yuqorida tavsiflangan ratsionalizatsiya usulini qo'lladim. Endi biz ehtiyotkorlik bilan ishlashimiz kerak: biz kasr-ratsional tengsizlikni oldik (bu maxrajda o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlik), shuning uchun biror narsani nolga tenglashtirishdan oldin hamma narsani umumiy maxrajga qisqartirish va doimiy omildan xalos bo'lish kerak. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Endi biz standart interval usulidan foydalanamiz. Numerator nollari: $x=\pm 4$. Maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga tushadi. Hammasi bo'lib, raqamlar chizig'ida belgilanishi kerak bo'lgan uchta nuqta mavjud (barcha nuqtalar teshilgan, chunki tengsizlik belgisi qat'iy). Biz olamiz:

Siz taxmin qilganingizdek, lyukka chapdagi ifoda salbiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni belgilaydi. Shunday qilib, ikkita interval bir vaqtning o'zida yakuniy javobga o'tadi:

Intervallarning uchlari javobga kiritilmagan, chunki dastlabki tengsizlik qat'iy edi. Bu javobni boshqa tasdiqlash talab qilinmaydi. Shu nuqtai nazardan, eksponensial tengsizliklar logarifmik tengsizliklarga qaraganda ancha sodda: DPV yo'q, cheklovlar yo'q va hokazo.

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Bu erda ham hech qanday muammo yo'q, chunki biz allaqachon $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ekanligini bilamiz, shuning uchun butun tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\O‘ng strelka ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| : \ chap (-2 \ o'ng) \ o'ng. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

E'tibor bering: uchinchi qatorda men arzimas narsalarga vaqt sarflamaslikka va darhol hamma narsani (-2) ga bo'lishga qaror qildim. Minul birinchi qavsga kirdi (endi hamma joyda plyuslar bor) va deuce doimiy multiplikator bilan qisqartirildi. Mustaqil va nazorat ishlari uchun haqiqiy hisob-kitoblarni amalga oshirishda aynan shunday qilish kerak - har bir harakat va o'zgarishlarni to'g'ridan-to'g'ri bo'yashingiz shart emas.

Keyinchalik, tanish bo'lgan intervallar usuli o'ynaydi. Numeratorning nollari: lekin ular yo'q. Chunki diskriminant salbiy bo'ladi. O'z navbatida, maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga o'rnatiladi - xuddi oxirgi marta bo'lgani kabi. Xo'sh, kasr $x=0$ ning o'ng tomoniga ijobiy qiymatlarni, chapga esa salbiy qiymatlarni olishi aniq. Bizni faqat salbiy qiymatlar qiziqtirganligi sababli, yakuniy javob $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1\]

Va eksponensial tengsizliklarda o'nli kasrlar bilan nima qilish kerak? To'g'ri: ularni oddiy narsalarga aylantirish orqali ularni yo'q qiling. Mana biz tarjima qilamiz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\O'ng strelka ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\O'ng strelka ((\chap(6,25 \o'ng))^(x))=((\chap(\) frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end (tekislash)\]

Xo'sh, biz eksponensial funktsiyalarning asoslarida nimani oldik? Va biz ikkita o'zaro raqamni oldik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1))\O'ng strelka ((\chap(\frac(25)(4) \ o'ng))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1)) \o'ng))^(x))=((\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (-x)) \]

Shunday qilib, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \o'ng) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(1+2x+\left(-x \o'ng)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0) ). \\\end (tekislash)\]

Albatta, kuchlarni bir xil asosga ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi, bu ikkinchi qatorda sodir bo'ldi. Bundan tashqari, biz o'ngdagi birlikni, shuningdek, 4/25 bazasida quvvat sifatida taqdim etdik. Faqat ratsionalizatsiya qilish uchun qoladi:

\[((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0)) \O'ng strelka \left(x+1-0 \o'ng)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \o'ng)\ge 0\]

E'tibor bering, $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ya'ni. ikkinchi omil manfiy konstanta bo'lib, unga bo'linganda tengsizlik belgisi o'zgaradi:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \right]. \\\end(hizala)\]

Va nihoyat, joriy "to'plam" dan oxirgi tengsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \o'ng))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Asosan, bu erda yechim g'oyasi ham aniq: tengsizlikni tashkil etuvchi barcha eksponensial funktsiyalar "3" asosiga qisqartirilishi kerak. Ammo buning uchun siz ildizlar va darajalar bilan biroz o'ylashingiz kerak:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\to'rt 81=((3)^(4)). \\\end (tekislash)\]

Ushbu faktlarni hisobga olgan holda, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \o'ng))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \o'ng))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end (tekislash)\]

Hisob-kitoblarning 2 va 3-qatorlariga e'tibor bering: tengsizlik bilan biror narsa qilishdan oldin, uni darsning boshidanoq gaplashgan shaklga keltiring: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Agar sizda chap yoki o'ng chap ko'paytirgichlar, qo'shimcha doimiylar va boshqalar mavjud bo'lsa, asoslarni ratsionalizatsiya qilish va "chizib tashlash" mumkin emas! Bu oddiy haqiqatni noto'g'ri tushunish tufayli son-sanoqsiz vazifalar noto'g'ri bajarilgan. Men ko'rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni tahlil qilishni boshlaganimizda, o'quvchilarim bilan doimo bu muammoni kuzataman.

Ammo bizning vazifamizga qayting. Keling, bu safar ratsionalizatsiyasiz bajarishga harakat qilaylik. Biz eslaymiz: darajaning asosi birdan katta, shuning uchun uchliklarni shunchaki kesib tashlash mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\ frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(tuzalash)\]

Ana xolos. Yakuniy javob: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Barqaror ifodani ajratib ko'rsatish va o'zgaruvchini almashtirish

Xulosa qilib aytganda, men tayyorlanmagan talabalar uchun juda qiyin bo'lgan yana to'rtta eksponensial tengsizlikni echishni taklif qilaman. Ular bilan kurashish uchun siz darajalar bilan ishlash qoidalarini eslab qolishingiz kerak. Xususan, umumiy omillarni qavs ichidan chiqarish.

Lekin eng muhimi, tushunishni o'rganishdir: aniq nimani qavslash mumkin. Bunday ifoda barqaror deyiladi - u yangi o'zgaruvchi bilan belgilanishi va shu bilan eksponensial funktsiyadan xalos bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Birinchi qatordan boshlaylik. Bu tengsizlikni alohida yozamiz:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ekanligini unutmang, shuning uchun o'ng tomoni mumkin qayta yozilsin:

E'tibor bering, tengsizlikda $((5)^(x+1))$ dan boshqa eksponensial funksiyalar mavjud emas. Va umuman olganda, $x$ o'zgaruvchisi boshqa joyda uchramaydi, shuning uchun yangi o'zgaruvchini kiritamiz: $((5)^(x+1))=t$. Biz quyidagi qurilishni olamiz:

\[\boshlang(tuzala) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Biz asl o'zgaruvchiga qaytamiz ($t=((5)^(x+1))$) va shu bilan birga 1=5 0 ekanligini eslaymiz. Bizda ... bor:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end (tekislash)\]

Bu butun yechim! Javob: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ikkinchi tengsizlikka o'tamiz:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Bu erda hamma narsa bir xil. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ ekanligini unutmang. Keyin chap tomonni qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \o‘ng. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\O'ng strelka x\in \chapda[ 2;+\infty \o'ngda). \\\end (tekislash)\]

Taxminan shunday qilib, haqiqiy nazorat va mustaqil ish bo'yicha qaror qabul qilishingiz kerak.

Xo'sh, keling, qiyinroq narsani sinab ko'raylik. Masalan, bu erda tengsizlik mavjud:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Bu yerda muammo nimada? Avvalo, chapdagi eksponensial funktsiyalarning asoslari boshqacha: 5 va 25. Biroq, 25 \u003d 5 2, shuning uchun birinchi atama o'zgartirilishi mumkin:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(tekislash) )\]

Ko'rib turganingizdek, dastlab biz hamma narsani bir xil bazaga keltirdik, keyin esa birinchi atama ikkinchisiga osonlikcha qisqartirilishini payqadik - bu faqat eksponentni kengaytirish uchun etarli. Endi biz xavfsiz tarzda yangi o'zgaruvchini kiritishimiz mumkin: $((5)^(2x+2))=t$ va butun tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Yana, muammo yo'q! Yakuniy javob: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugungi darsda yakuniy tengsizlikka o'tish:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa, albatta, birinchi darajali o'nlik kasrdir. Undan xalos bo'lish va shu bilan birga barcha eksponensial funktsiyalarni bir xil bazaga - "2" raqamiga keltirish kerak:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\O'ng strelka ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \o‘ng))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\O?ng strelka ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \o?ng))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zo'r, biz birinchi qadamni tashladik - barchasi bir xil poydevorga olib keldi. Endi biz barqaror ifodani ta'kidlashimiz kerak. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ ekanligini unutmang. Agar biz yangi $((2)^(4x+6))=t$ o?zgaruvchisini kiritsak, asl tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\boshlang(tuzala) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end (tekislash)\]

Tabiiyki, savol tug'ilishi mumkin: biz 256 = 2 8 ekanligini qanday bilib oldik? Afsuski, bu erda siz faqat ikkita (va bir vaqtning o'zida uch va besh) kuchlarini bilishingiz kerak. Xo'sh, yoki natijani olmaguncha 256 ni 2 ga bo'ling (siz bo'lishingiz mumkin, chunki 256 juft sondir). Bu shunday ko'rinadi:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(tekislash) )\]

Xuddi shu narsa uchta (9, 27, 81 va 243 raqamlari uning vakolatlari) va ettita (49 va 343 raqamlari ham eslash yaxshi bo'lardi). Xo'sh, beshta siz bilishingiz kerak bo'lgan "chiroyli" darajalarga ega:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end (tekislash)\]

Albatta, bu raqamlarning barchasi, agar xohlasangiz, ularni bir-biriga ketma-ket ko'paytirish orqali ongda tiklanishi mumkin. Biroq, agar siz bir nechta eksponensial tengsizliklarni echishingiz kerak bo'lsa va har bir keyingisi avvalgisidan qiyinroq bo'lsa, unda siz o'ylashni istagan oxirgi narsa bu erdagi ba'zi raqamlarning kuchlari. Va shu nuqtai nazardan, bu muammolar intervalli usul bilan hal qilinadigan "klassik" tengsizliklarga qaraganda ancha murakkabdir.

Umid qilamanki, ushbu dars sizga ushbu mavzuni o'zlashtirishingizga yordam berdi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, sharhlarda so'rang. Va keyingi darslarda ko'rishguncha. :)