Mavzu, o'quvchilarning yoshi: geometriya, 9-sinf

Darsning maqsadi: ko'pburchak turlarini o'rganish.

O'quv vazifasi: talabalarning ko'pburchaklar haqidagi bilimlarini yangilash, kengaytirish va umumlashtirish; ko'pburchakning "komponentlari" haqida tasavvur hosil qilish; muntazam ko'pburchaklarning (uchburchakdan n-burchakgacha) tashkil etuvchi elementlari sonini o'rganish;

Rivojlantiruvchi vazifa: tahlil qilish, taqqoslash, xulosalar chiqarish, hisoblash ko'nikmalarini, og'zaki va yozma matematik nutqni, xotirani, shuningdek, fikrlash va o'quv faoliyatida mustaqillikni, juftlik va guruhlarda ishlash qobiliyatini rivojlantirish; tadqiqot va ta'lim faoliyatini rivojlantirish;

Tarbiyaviy vazifa: mustaqillik, faollik, topshirilgan vazifa uchun mas'uliyat, maqsadga erishishda qat'iyatlilikni tarbiyalash.

Darslar davomida: doskada iqtibos yozilgan

"Tabiat matematika tilida gapiradi, bu tilning harflari ... matematik raqamlar." G. Galliley

Dars boshida sinf ishchi guruhlarga bo'linadi (bizning holatda har biri 4 kishidan iborat guruhlarga bo'linish - guruh a'zolarining soni savol guruhlari soniga teng).

1. Chaqiruv bosqichi-

Maqsadlar:

a) talabalarning mavzu bo'yicha bilimlarini yangilash;

b) o'rganilayotgan mavzuga qiziqishni uyg'otish, har bir o'quvchining o'quv faoliyatiga motivatsiyasi.

Qabul: "Siz bunga ishonasizmi ..." o'yini, matn bilan ishlashni tashkil etish.

Ish shakllari: frontal, guruh.

"Siz bunga ishonasizmi ..."

1. ... "ko'pburchak" so'zi bu oilaning barcha figuralarida "ko'p burchak" borligini ko'rsatadi?

2. ... uchburchak ko'pburchaklarning katta oilasiga tegishli bo'lib, tekislikdagi turli geometrik shakllar orasida ajralib turadi?

3. …kvadrat oddiy sakkizburchakmi (to‘rt tomon + to‘rt burchak)?

Bugun darsda biz ko'pburchaklar haqida gaplashamiz. Biz bu raqam yopiq siniq chiziq bilan chegaralanganligini bilib olamiz, bu esa o'z navbatida oddiy, yopiq bo'lishi mumkin. Keling, ko'pburchaklar tekis, muntazam, qavariq ekanligi haqida gapiraylik. Yassi ko'pburchaklardan biri sizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan uchburchakdir (siz talabalarga ko'pburchaklar, siniq chiziq tasvirlangan plakatlarni ko'rsatishingiz, ularning har xil turlarini ko'rsatishingiz mumkin, siz TCO dan ham foydalanishingiz mumkin).

2. Tushunish bosqichi

Maqsad: yangi ma'lumotlarni olish, uni tushunish, tanlash.

Qabul qilish: zigzag.

Ish shakllari: individual->juft->guruh.

Har bir guruhga dars mavzusi bo'yicha matn beriladi va matn shunday tuziladiki, u o'quvchilarga ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni ham, butunlay yangi ma'lumotlarni ham o'z ichiga oladi. Matn bilan birgalikda talabalar savollar oladilar, ularning javoblari ushbu matndan topilishi kerak.

Ko'pburchaklar. Ko'pburchaklar turlari.

Kemalar va samolyotlar izsiz g'oyib bo'ladigan sirli Bermud uchburchagi haqida kim eshitmagan? Ammo bolalikdan bizga tanish bo'lgan uchburchak juda ko'p qiziqarli va sirli narsalarga to'la.

Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan uchburchaklar turlariga qo'shimcha ravishda, tomonlarga (shkala, teng yonli, teng yonli) va burchaklarga (o'tkir burchakli, to'g'ridan-to'g'ri burchakli, to'g'ri burchakli) bo'linadi. tekislikda juda ko'p turli xil geometrik shakllar.

"Ko'pburchak" so'zi bu oilaning barcha raqamlarida "ko'p burchaklar" borligini ko'rsatadi. Ammo bu raqamni tavsiflash uchun etarli emas.

Singan chiziq A 1 A 2 ... A n - bu A 1, A 2, ... A n nuqtalardan va ularni bog'laydigan A 1 A 2, A 2 A 3, ... segmentlardan tashkil topgan figura. Nuqtalar ko'p chiziqning cho'qqilari, segmentlari esa ko'p chiziqning zvenolari deb ataladi. (1-rasm)

Singan chiziq o'z-o'zidan kesishmalarga ega bo'lmasa, oddiy deyiladi (2,3-rasm).

Singan chiziq, agar uning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa, yopiq deyiladi. Singan chiziqning uzunligi uning bo'g'inlari uzunliklarining yig'indisidir (4-rasm).

Oddiy yopiq siniq chiziq, agar uning qo'shni bo'g'inlari bir xil to'g'ri chiziqda yotmasa, ko'pburchak deyiladi (5-rasm).

"Ko'p" qismi o'rniga "ko'pburchak" so'zini ma'lum bir raqam bilan almashtiring, masalan 3. Siz uchburchakka ega bo'lasiz. Yoki 5. Keyin - beshburchak. E'tibor bering, tomonlar qanchalik ko'p burchaklar mavjud, shuning uchun bu raqamlarni ko'p tomonlama deb atash mumkin.

Ko'p chiziqning uchlari ko'pburchakning cho'qqilari deb ataladi va ko'p chiziqning bo'g'inlari ko'pburchakning tomonlari deb ataladi.

Ko'pburchak tekislikni ikki mintaqaga ajratadi: ichki va tashqi (6-rasm).

Tekislik ko?pburchak yoki ko?pburchak hududi ko?pburchak bilan chegaralangan tekislikning chekli qismidir.

Bir tomonning uchlari bo'lgan ko'pburchakning ikkita uchi qo'shni deyiladi. Bir tomonning uchi bo'lmagan cho'qqilar qo'shni emas.

n ta burchakli va shuning uchun n ta tomoni bo'lgan ko'pburchak n-burchak deyiladi.

Ko'pburchak tomonlarining eng kichik soni 3 bo'lsa ham. Lekin uchburchaklar bir-biri bilan bog'lanib, boshqa shakllarni hosil qilishi mumkin, ular ham o'z navbatida ko'pburchaklardir.

Ko‘pburchakning qo‘shni bo‘lmagan uchlarini bog‘lovchi segmentlar diagonallar deyiladi.

Ko'pburchak o'z tomonini o'z ichiga olgan har qanday chiziqqa nisbatan bir yarim tekislikda joylashgan bo'lsa, u qavariq deyiladi. Bunda to'g'ri chiziqning o'zi yarim tekislikka tegishli deb hisoblanadi.

Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi burchagi uning tomonlari shu cho‘qqida birlashishi natijasida hosil bo‘lgan burchakdir.

Teoremani isbotlaymiz (qavariq n-burchakning burchaklari yigindisi boyicha): Qavariq n-burchakning burchaklari yigindisi 180 0 *(n - 2) ga teng.

Isbot. n=3 holatda teorema to'g'ri bo'ladi. A 1 A 2 …A n berilgan qavariq ko‘pburchak va n>3 bo‘lsin. Unda diagonallarni chizamiz (bir tepadan). Ko'pburchak qavariq bo'lgani uchun bu diagonallar uni n - 2 ta uchburchakka ajratadi. Ko'pburchak burchaklarining yig'indisi bu barcha uchburchaklarning burchaklarining yig'indisi bilan bir xil. Har bir uchburchakning burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng va bu uchburchaklar soni n - 2. Shuning uchun, qavariq n - burchak A 1 A 2 ... A n burchaklarining yig'indisi 180 0 * ( n - 2). Teorema isbotlangan.

Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi tashqi burchagi bu ko‘pburchakning ichki burchagiga qo‘shni burchakdir.

Qavariq ko'pburchak, agar barcha tomonlar teng va barcha burchaklar teng bo'lsa, muntazam deyiladi.

Shunday qilib, kvadratni boshqacha deb atash mumkin - oddiy to'rtburchak. Teng tomonli uchburchaklar ham muntazamdir. Bunday raqamlar uzoq vaqtdan beri binolarni bezatgan ustalarni qiziqtirgan. Ular, masalan, parketda chiroyli naqshlar yasadilar. Ammo hamma oddiy ko'pburchaklar parketni yaratish uchun ishlatilmaydi. Oddiy sakkizburchaklardan parket hosil bo'lishi mumkin emas. Gap shundaki, ularning har bir burchagi 135 0 ga teng. Va agar biron bir nuqta shunday ikkita sakkizburchakning cho'qqisi bo'lsa, unda ular 270 0 ga ega bo'ladi va uchinchi sakkizburchak sig'adigan joy yo'q: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ammo kvadrat uchun etarli. Shuning uchun, parketni oddiy sakkizburchak va kvadratlardan katlama mumkin.

Yulduzlar to'g'ri. Bizning besh qirrali yulduzimiz oddiy beshburchak yulduzdir. Va agar siz kvadratni markaz atrofida 45 0 ga aylantirsangiz, siz oddiy sakkiz burchakli yulduzni olasiz.

1 guruh

Buzilgan chiziq nima? Ko‘p chiziqning cho‘qqilari va zvenolari nima ekanligini tushuntiring.

Qaysi siniq chiziq oddiy deyiladi?

Qaysi siniq chiziq yopiq deb ataladi?

Ko'pburchak nima? Ko‘pburchakning uchlari nima deyiladi? Ko'pburchakning tomonlari qanday?

2 guruh

Yassi ko'pburchak nima? Ko‘pburchaklarga misollar keltiring.

n-gon nima?

Ko‘pburchakning qaysi uchlari yonma-yon va qaysilari yo‘qligini tushuntiring.

Ko'pburchakning diagonali nima?

3 guruh

Qavariq ko'pburchak nima?

Ko‘pburchakning qaysi burchaklari tashqi va qaysilari ichki ekanligini tushuntiring?

Muntazam ko'pburchak nima? Muntazam ko‘pburchaklarga misollar keltiring.

4 guruh

Qavariq n-burchak burchaklarining yig‘indisi nechaga teng? Buni isbotla.

Talabalar matn bilan ishlaydilar, berilgan savollarga javob izlaydilar, shundan so'ng ekspert guruhlari tuziladi, ularda bir xil masalalar bo'yicha ish olib boriladi: talabalar asosiy narsani ajratib ko'rsatishadi, qo'llab-quvvatlovchi referat tuzadilar, ma'lumotlarni birida taqdim etadilar. grafik shakllar. Ish oxirida talabalar o'zlarining ishchi guruhlariga qaytadilar.

3. Fikrlash bosqichi -

a) bilimlarini baholash, bilimning keyingi bosqichiga da'vat qilish;

b) olingan ma'lumotlarni tushunish va o'zlashtirish.

Qabul: tadqiqot ishi.

Ish shakllari: individual->juft->guruh.

Ishchi guruhlar taklif etilayotgan savollarning har bir bo‘limiga javob berish bo‘yicha ekspertlardir.

Ishchi guruhga qaytib, ekspert guruhning boshqa a'zolarini savollariga javoblar bilan tanishtiradi. Guruhda ishchi guruhning barcha a'zolarining ma'lumotlar almashinuvi amalga oshiriladi. Shunday qilib, har bir ishchi guruhda mutaxassislar mehnati tufayli o‘rganilayotgan mavzu bo‘yicha umumiy fikr shakllanadi.

Talabalarning ilmiy tadqiqot ishlari - jadvalni to'ldirish.

Dars mavzusi bo'yicha qiziqarli masalalarni yechish.

• To'rtburchakda uchta uchburchakka bo'linadigan chiziq torting.
• Har bir ichki burchagi 135 0 ga teng bo'lgan muntazam ko'pburchakning nechta tomoni bor?
• Muayyan ko'pburchakda barcha ichki burchaklar bir-biriga teng. Bu ko‘pburchakning ichki burchaklarining yig‘indisi: 360 0 , 380 0 bo‘lishi mumkinmi?

Darsni yakunlash. Uy vazifasini yozib olish.

Mavzu: "Ko'pburchaklar. Ko'pburchaklar turlari"

9-sinf

SL №20

O'qituvchi: Xaritonovich T.I. Darsning maqsadi: ko'pburchak turlarini o'rganish.

O'quv vazifasi: o‘quvchilarning ko‘pburchaklar haqidagi bilimlarini yangilash, kengaytirish va umumlashtirish; ko'pburchakning "komponentlari" haqida tasavvur hosil qilish; muntazam ko'pburchaklarning (uchburchakdan n-burchakgacha) tashkil etuvchi elementlari sonini o'rganish;

Rivojlanish vazifasi: tahlil qilish, taqqoslash, xulosalar chiqarish, hisoblash ko‘nikmalarini, og‘zaki va yozma matematik nutqni, xotirani, shuningdek, fikrlash va o‘quv faoliyatida mustaqillikni, juftlik va guruhlarda ishlash ko‘nikmalarini rivojlantirish; tadqiqot va ta'lim faoliyatini rivojlantirish;

Tarbiyaviy vazifa: mustaqillik, faollik, topshirilgan vazifa uchun mas'uliyat, maqsadga erishishda qat'iyatlilikni tarbiyalash.

Uskunalar: interaktiv doska (taqdimot)

Darslar davomida

Taqdimotni ko'rsatish: "Ko'pburchaklar"

"Tabiat matematika tilida gapiradi, bu tilning harflari ... matematik raqamlar." G. Galliley

Dars boshida sinf ishchi guruhlarga bo'linadi (bizning holatda 3 guruhga bo'linish)

1. Chaqiruv bosqichi-

a) talabalarning mavzu bo'yicha bilimlarini yangilash;

b) o'rganilayotgan mavzuga qiziqishni uyg'otish, har bir o'quvchining o'quv faoliyatiga motivatsiyasi.

Qabul: "Siz bunga ishonasizmi ..." o'yini, matn bilan ishlashni tashkil etish.

Ish shakllari: frontal, guruh.

"Siz bunga ishonasizmi ..."

1. ... "ko'pburchak" so'zi bu oilaning barcha figuralarida "ko'p burchak" borligini ko'rsatadi?

2. … uchburchak tekislikdagi turli geometrik shakllardan ajralib turuvchi ko‘pburchaklarning katta oilasiga mansubmi?

3. …kvadrat oddiy sakkizburchakmi (to‘rt tomon + to‘rt burchak)?

Bugun darsda biz ko'pburchaklar haqida gaplashamiz. Biz bu raqam yopiq siniq chiziq bilan chegaralanganligini bilib olamiz, bu esa o'z navbatida oddiy, yopiq bo'lishi mumkin. Keling, ko'pburchaklar tekis, muntazam, qavariq ekanligi haqida gapiraylik. Yassi ko'pburchaklardan biri sizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan uchburchakdir (siz talabalarga ko'pburchaklar, siniq chiziq tasvirlangan plakatlarni ko'rsatishingiz, ularning har xil turlarini ko'rsatishingiz mumkin, siz TCO dan ham foydalanishingiz mumkin).

2. Tushunish bosqichi

Maqsad: yangi ma'lumotlarni olish, uni tushunish, tanlash.

Qabul qilish: zigzag.

Ish shakllari: individual->juft->guruh.

Har bir guruhga dars mavzusi bo'yicha matn beriladi va matn shunday tuziladiki, u o'quvchilarga ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni ham, butunlay yangi ma'lumotlarni ham o'z ichiga oladi. Matn bilan birgalikda talabalar savollar oladilar, ularning javoblari ushbu matndan topilishi kerak.

Ko'pburchaklar. Ko'pburchaklar turlari.

Kemalar va samolyotlar izsiz g'oyib bo'ladigan sirli Bermud uchburchagi haqida kim eshitmagan? Ammo bolalikdan bizga tanish bo'lgan uchburchak juda ko'p qiziqarli va sirli narsalarga to'la.

Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan uchburchaklar turlariga qo'shimcha ravishda, tomonlarga (shkala, teng yonli, teng yonli) va burchaklarga (o'tkir burchakli, to'g'ridan-to'g'ri burchakli, to'g'ri burchakli) bo'linadi. tekislikda juda ko'p turli xil geometrik shakllar.

"Ko'pburchak" so'zi bu oilaning barcha raqamlarida "ko'p burchaklar" borligini ko'rsatadi. Ammo bu raqamni tavsiflash uchun etarli emas.

A1A2…An siniq chiziq A1,A2,…An nuqtalardan va ularni birlashtiruvchi A1A2, A2A3,… segmentlardan tashkil topgan figuradir. Nuqtalar ko'p chiziqning cho'qqilari, segmentlari esa ko'p chiziqning zvenolari deb ataladi. (1-rasm)

Singan chiziq o'z-o'zidan kesishmalarga ega bo'lmasa, oddiy deyiladi (2,3-rasm).

Singan chiziq, agar uning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa, yopiq deyiladi. Singan chiziqning uzunligi uning bo'g'inlari uzunliklarining yig'indisiga teng (4-rasm).

Oddiy yopiq siniq chiziq, agar uning qo'shni bo'g'inlari bir xil to'g'ri chiziqda yotmasa, ko'pburchak deyiladi (5-rasm).

"Ko'p" qismi o'rniga "ko'pburchak" so'zini ma'lum bir raqam bilan almashtiring, masalan 3. Siz uchburchakka ega bo'lasiz. Yoki 5. Keyin - beshburchak. E'tibor bering, tomonlar qanchalik ko'p burchaklar mavjud, shuning uchun bu raqamlarni ko'p tomonlama deb atash mumkin.

Ko'p chiziqning uchlari ko'pburchakning cho'qqilari deb ataladi va ko'p chiziqning bo'g'inlari ko'pburchakning tomonlari deb ataladi.

Ko'pburchak tekislikni ikki mintaqaga ajratadi: ichki va tashqi (6-rasm).

Tekislik ko?pburchak yoki ko?pburchak hududi ko?pburchak bilan chegaralangan tekislikning chekli qismidir.

Bir tomonning uchlari bo'lgan ko'pburchakning ikkita uchi qo'shni deyiladi. Bir tomonning uchi bo'lmagan cho'qqilar qo'shni emas.

n ta burchakli va shuning uchun n ta tomoni bo'lgan ko'pburchak n-burchak deyiladi.

Ko'pburchak tomonlarining eng kichik soni 3 bo'lsa ham. Lekin uchburchaklar bir-biri bilan bog'lanib, boshqa shakllarni hosil qilishi mumkin, ular ham o'z navbatida ko'pburchaklardir.

Ko‘pburchakning qo‘shni bo‘lmagan uchlarini bog‘lovchi segmentlar diagonallar deyiladi.

Ko'pburchak o'z tomonini o'z ichiga olgan har qanday chiziqqa nisbatan bir yarim tekislikda joylashgan bo'lsa, u qavariq deyiladi. Bunday holda, chiziqning o'zi HALF-PLANEga tegishli deb hisoblanadi

Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi burchagi uning tomonlari shu cho‘qqida birlashishi natijasida hosil bo‘lgan burchakdir.

Teoremani isbotlaymiz (qavariq n-burchakning burchaklari yig?indisi bo?yicha): Qavariq n-burchak burchaklarining yig?indisi 1800*(n - 2) ga teng.

Isbot. n=3 holatda teorema o'rinli. A1A2…A n berilgan qavariq ko‘pburchak va n>3 bo‘lsin. Unda diagonallarni chizamiz (bir tepadan). Ko'pburchak qavariq bo'lgani uchun bu diagonallar uni n - 2 ta uchburchakka ajratadi. Ko'pburchak burchaklarining yig'indisi bu barcha uchburchaklarning burchaklarining yig'indisi bilan bir xil. Har bir uchburchakning burchaklari yig'indisi 1800, va bu uchburchaklar soni n - 2. Shuning uchun, bir qavariq n burchaklar yig'indisi - burchak A1A2 ... A n 1800 * (n - 2). Teorema isbotlangan.

Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi tashqi burchagi bu ko‘pburchakning ichki burchagiga qo‘shni burchakdir.

Qavariq ko'pburchak, agar barcha tomonlar teng va barcha burchaklar teng bo'lsa, muntazam deyiladi.

Shunday qilib, kvadratni boshqacha deb atash mumkin - oddiy to'rtburchak. Teng tomonli uchburchaklar ham muntazamdir. Bunday raqamlar uzoq vaqtdan beri binolarni bezatgan ustalarni qiziqtirgan. Ular, masalan, parketda chiroyli naqshlar yasadilar. Ammo hamma oddiy ko'pburchaklar parketni yaratish uchun ishlatilmaydi. Oddiy sakkizburchaklardan parket hosil bo'lishi mumkin emas. Gap shundaki, ularning har bir burchagi 1350 ga teng. Va agar biron bir nuqta shunday ikkita sakkizburchakning cho'qqisi bo'lsa, u holda ular 2700 ga ega bo'ladi va uchinchi sakkizburchak sig'adigan joy yo'q: 3600 - 2700 = 900. Lekin a uchun kvadrat bu etarli. Shuning uchun, parketni oddiy sakkizburchak va kvadratlardan katlama mumkin.

Yulduzlar to'g'ri. Bizning besh qirrali yulduzimiz oddiy beshburchak yulduzdir. Va agar siz kvadratni markaz atrofida 450 ga aylantirsangiz, siz oddiy sakkizburchak yulduzga ega bo'lasiz.

Buzilgan chiziq nima? Ko‘p chiziqning cho‘qqilari va zvenolari nima ekanligini tushuntiring.

Qaysi siniq chiziq oddiy deyiladi?

Qaysi siniq chiziq yopiq deb ataladi?

Ko'pburchak nima? Ko‘pburchakning uchlari nima deyiladi? Ko'pburchakning tomonlari qanday?

Yassi ko'pburchak nima? Ko‘pburchaklarga misollar keltiring.

n-gon nima?

Ko‘pburchakning qaysi uchlari yonma-yon va qaysilari yo‘qligini tushuntiring.

Ko'pburchakning diagonali nima?

Qavariq ko'pburchak nima?

Ko‘pburchakning qaysi burchaklari tashqi va qaysilari ichki ekanligini tushuntiring?

Muntazam ko'pburchak nima? Muntazam ko‘pburchaklarga misollar keltiring.

Qavariq n-burchak burchaklarining yig‘indisi nechaga teng? Buni isbotla.

Talabalar matn bilan ishlaydilar, berilgan savollarga javob izlaydilar, shundan so'ng ekspert guruhlari tuziladi, ularda bir xil masalalar bo'yicha ish olib boriladi: talabalar asosiy narsani ajratib ko'rsatishadi, qo'llab-quvvatlovchi referat tuzadilar, ma'lumotlarni birida taqdim etadilar. grafik shakllar. Ish oxirida talabalar o'zlarining ishchi guruhlariga qaytadilar.

3. Fikrlash bosqichi -

a) bilimlarini baholash, bilimning keyingi bosqichiga da'vat qilish;

b) olingan ma'lumotlarni tushunish va o'zlashtirish.

Qabul: tadqiqot ishi.

Ish shakllari: individual->juft->guruh.

Ishchi guruhlar taklif etilayotgan savollarning har bir bo‘limiga javob berish bo‘yicha ekspertlardir.

Ishchi guruhga qaytib, ekspert guruhning boshqa a'zolarini savollariga javoblar bilan tanishtiradi. Guruhda ishchi guruhning barcha a'zolarining ma'lumotlar almashinuvi amalga oshiriladi. Shunday qilib, har bir ishchi guruhda mutaxassislar mehnati tufayli o‘rganilayotgan mavzu bo‘yicha umumiy fikr shakllanadi.

Talabalarning ilmiy-tadqiqot ishlari- jadvalni to'ldirish.

Muntazam ko'pburchaklar Chizma Tomonlar soni Cho'qqilar soni Barcha ichki burchaklar yig'indisi Ichki burchakning daraja o'lchovi. burchak Tashqi burchakning daraja o'lchovi Diagonallar soni

A) uchburchak

B) to'rtburchak

B) besh teshikli

D) olti burchakli

E) n-gon

Dars mavzusi bo'yicha qiziqarli masalalarni yechish.

1) Har bir ichki burchagi 1350 ga teng bo'lgan muntazam ko'pburchakning nechta tomoni bor?

2) Muayyan ko'pburchakda barcha ichki burchaklar bir-biriga teng. Bu ko‘pburchakning ichki burchaklarining yig‘indisi: 3600, 3800 bo‘lishi mumkinmi?

3) Burchaklari 100,103,110,110,116 gradusli beshburchak yasash mumkinmi?

Darsni yakunlash.

Uyga vazifani yozib olish: STR66-72 № 15,17 VA MUAMMO: TO'RT Burchakda TO'G'ROG'RIDAN CHIZIB UCHTA UCHBURCHAKGA BO'LASIN.

Test shaklida aks ettirish (interfaol doskada)

Tibbiy atamalar lug'ati

Rus tilining izohli lug'ati. D.N. Ushakov

poligon

ko'pburchak, m. (mat.). Uch, to'rt va hokazo to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan tekis shakl.

Rus tilining izohli lug'ati. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.

poligon

A, m.Matematikada: yopiq siniq chiziq bilan chegaralangan geometrik figura.

Rus tilining yangi izohli va derivativ lug'ati, T. F. Efremova.

poligon

m.Yopiq siniq chiziq bilan chegaralangan, bog?lanishlari to?rtdan ortiq burchak hosil qiluvchi geometrik figura.

Entsiklopedik lug'at, 1998 yil

poligon

POL?GON (tekislikdagi) bog'lanishlari ko'pburchakning tomonlari deb ataladigan va ularning uchlari ko'pburchakning uchlari bo'lgan yopiq siniq chiziq bilan chegaralangan geometrik figura. Cho'qqilar soni bo'yicha uchburchaklar, to'rtburchaklar va boshqalar ajralib turadi. Agar ko'pburchak to'liq to'g'ri chiziqning bir tomonida bo'lsa, uning har qanday tomonini ko'tarib tursa, qavariq, boshqasi esa qavariq emas. Agar uning barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lsa, ko'pburchak muntazam deyiladi.

Poligon

yopiq singan chiziq. Batafsilroq aytadigan bo‘lsak, M. ? A1, A2, ..., An har qanday n nuqtani olib, ularning har birini keyingisi bilan to‘g‘ri chiziq bo‘lagi bilan, oxirgisini esa birinchisi bilan bog‘lasak, hosil bo‘ladigan chiziq. (rasmga qarang. guruch. bitta, a). A1, A2, ..., An nuqtalari M.ning cho?qqilari, A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 segmentlari ? tomonlari deyiladi. Keyingi gaplarda faqat yassi M. ko?rib chiqiladi (ya'ni M. bir tekislikda yotadi, deb taxmin qilinadi). M. o?zini kesib o?tishi mumkin (qarang. guruch. bitta, b) va o'z-o'zidan kesishish nuqtalari uning uchlari bo'lmasligi mumkin.

Nimani ko'rib chiqish kerakligi haqida boshqa nuqtai nazarlar ham mavjud M. Ko'pburchakni tekislikning bog'langan qismi deb atash mumkin, uning butun chegarasi ko'pburchakning tomonlari deb ataladigan chekli sonli to'g'ri chiziq segmentlaridan iborat. Bu ma'noda massa tekislikning ko'paytiriladigan qismi ham bo'lishi mumkin (2-rasmga qarang). guruch. bitta, d), ya'ni bunday M.da “ko?pburchakli teshiklar” bo?lishi mumkin. Biz cheksiz M. ? tekislikning chekli sonli to'g'ri chiziqli segmentlar va chekli sonli yarim chiziqlar bilan chegaralangan qismlarini ham ko'rib chiqamiz.

Keyingi taqdimot M.ning yuqorida keltirilgan birinchi ta'rifiga asoslanadi.Agar M. o?zini kesib o?tmasa (masalan, qarang. guruch. bitta, a va b), u holda tekislikning o?zida yotmagan barcha nuqtalari to?plamini ikki qismga ? chekli (ichki) va cheksiz (tashqi) bo?ladi, ya'ni agar ikkita nuqta shu qismlardan biriga tegishli bo?lsa, u holda ular bir-biri bilan M.ni kesib o?tmaydigan siniq chiziq bilan bog?lanishi mumkin, agar turli qismlar bo?lsa, unda bu mumkin emas. Ushbu holatning mukammal dalillariga qaramay, uni geometriya aksiomalaridan qat'iy ravishda olish juda qiyin (matematika uchun Iordaniya teoremasi deb ataladi). M.ga nisbatan tekislikning ichki qismi ma'lum maydonga ega. Agar massa o'z-o'zidan kesishsa, u tekislikni ma'lum miqdordagi qismlarga ajratadi, ulardan biri cheksiz (massaga nisbatan tashqi deb ataladi), qolganlari esa cheklangan, oddiy bog'langan (ichki deb ataladi) va ularning har birining chegarasi qandaydir o'zini-o'zi kesishmaydigan massa bo'lib, uning tomonlari butun tomonlari yoki tomonlarning qismlari bo'lib, uchlari esa berilgan M ning cho'qqilari yoki o'z-o'zidan kesishish nuqtalaridir. M.ning har bir tomoni, ya'ni uni belgilovchi ikki cho?qqining qaysi birini boshi, qaysi biri ? oxiri deb hisoblashimizni va bundan tashqari, har bir tomonning boshi oldingisining oxiri bo?ladigan tarzda ko?rsating. bitta, keyin yopiq ko'pburchak yo'l yoki yo'naltirilgan M olinadi.Bu yo'ldan keyingining chap tomonida qoladi, aks holda manfiy ?. M. o?z-o?zidan kesishuvchi va yo?naltirilgan bo?lsin; agar tekislikning unga nisbatan tashqi qismida yotgan nuqtadan uning ichki qismlaridan birining ichida yotgan nuqtaga to?g?ri chiziq kesma o?tkazilsa va M. bu segmentni chapdan o?ngga p marta va o?ngdan q marta kesib o?tsa. chapga, keyin p ? q soni (butun musbat, manfiy yoki nol) tashqi nuqtani tanlashga bog'liq emas va bu qismning koeffitsienti deb ataladi. Ushbu bo'laklarning odatiy maydonlarining yig'indisi, ularning koeffitsientlari bilan ko'paytirilsa, ko'rib chiqilayotgan yopiq yo'lning "maydoni" (yo'naltirilgan M.) deb hisoblanadi. Shu tarzda aniqlangan "yopiq yo'lning maydoni" matematik asboblar (planimetr va boshqalar) nazariyasida muhim rol o'ynaydi; u erda odatda integral ? (qutb koordinatalarida r, w) yoki ? (dekart koordinatalarida x, y) ko'rinishida olinadi, bunda radius vektorining oxiri r yoki y ordinatasi shu yo'l atrofida bir marta o'tadi.

n ta tomoni bo?lgan har qanday o?zini-o?zi kesishmaydigan M.ning ichki burchaklarining yig?indisi (n ? 2)180? ga teng. M. qavariq deb ataladi (qarang. guruch. bitta, a) agar M.ning hech bir tomoni cheksiz cho?zilgan holda M.ni ikki qismga ajratmasa. Qavariq M. quyidagi xususiyat bilan ham tavsiflanishi mumkin: M. ichida yotgan tekislikning istalgan ikkita nuqtasini tutashtiruvchi to?g?ri chiziq kesimi M.ni kesib o?tmaydi. Har qanday qavariq M. o?z-o?zidan ajraladi, lekin aksincha emas. Masalan, on guruch. bitta, b o?z-o?zidan kesilmaydigan M.ni ko?rsatadi, bu qavariq emas, chunki uning ayrim ichki nuqtalarini bog?lovchi PQ segmenti M.ni kesib o?tadi.

Eng muhim M.: uchburchaklar, xususan, to?rtburchaklar, teng yonli, teng yonli (muntazam); to'rtburchaklar, xususan, trapezoidlar, parallelogramlar, romblar, to'rtburchaklar, kvadratlar. Qavariq M., agar uning barcha tomonlari teng va barcha ichki burchaklari teng bo?lsa, muntazam deyiladi. Qadimda ular M. tomonlari soni m = 3 ? 2n, 4 ? 2n, 5 ? 2n bo?lgandagina sirkul va chizg?ich yordamida aylananing aylana tomoni yoki radiusida to?g?ri M. qurishni bilishgan. , 3 ? 5 ? 2n, bu erda n ? istalgan musbat son yoki nol. 1801 yilda nemis matematigi K. Gauss sirkul va to?g?ri chiziq yordamida to?g?ri M. qurish mumkinligini, uning tomonlari soni: m = 2n ? p1 ? p2 ? ... ? pk, bu yerda p1 bo?lishini ko?rsatdi. , p2, ... pk ? ?(s ? musbat butun son) ko‘rinishdagi turli tub sonlar. Hozirgacha faqat beshta shunday p ma'lum: 3, 5, 17, 257, 65537. Galua nazariyasidan (qarang Galua nazariyasi) Gauss ko'rsatganlardan tashqari boshqa hech qanday oddiy hisoblagichlarni kompas yordamida qurish mumkin emasligi kelib chiqadi. va to'g'ri chiziq. Shunday qilib, m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... bilan qurish mumkin va m = 7, 9, 11, 13 bilan mumkin emas. , 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

Quyidagi jadvalda chegaralangan doira radiusi, chizilgan doira radiusi va tomoni teng bo'lgan muntazam n-burchakning maydoni (n = 3, 4, 5, 6, 8, 10 uchun) ko'rsatilgan. k.

Cheklangan doira radiusi

Chizilgan doira radiusi

Beshburchakdan boshlab qavariq bo?lmagan (o?z-o?zidan kesishuvchi yoki yulduzsimon) muntazam M.lar ham bor, ya'ni barcha tomonlari teng bo?lgan va har bir keyingi tomoni bir xil yo?nalishda va bir xil burchak ostida burilganlar. oldingisiga hurmat. Bunday M.ning barcha uchlari ham bir xil aylanada yotadi. Bunday, masalan, besh qirrali yulduz. Ustida guruch. 2 uchburchakdan yettiburchakgacha bo'lgan barcha muntazam (qavariq va qavariq bo'lmagan) matritsalar berilgan.

Lit. San'atga qarang. Ko'p yuzli.

Vikipediya

Poligon

Poligon odatda yopiq siniq chiziq sifatida belgilangan geometrik figuradir.

Ko'pburchakni aniqlashning uchta varianti mavjud:

• Yassi yopiq singan chiziq eng umumiy holatdir;
• Har qanday ikkita qo'shni bo'g'inlari bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan o'z-o'zidan kesishmaydigan tekis yopiq ko'pburchak chiziq;
• O'z-o'zidan kesishmasdan yopiq poliliniya bilan chegaralangan tekislikning bir qismi - tekis ko'pburchak

Har qanday holatda, poliliniyaning uchlari deyiladi cho'qqilari ko'pburchak va uning segmentlari - partiyalar poligon.

Ko'pburchak (aniqlash)

• Geometriyada ko‘pburchak
• Permafrostdagi tosh ko'pburchak

Adabiyotda ko'pburchak so'zining qo'llanilishiga misollar.

Gilman odatdagidek bo'g'iq bo'kirishi bilan ma'yus tubsizlikka sho'ng'ishdan xursand edi, garchi u erda ham ikki xil jonzotning tinimsiz ta'qib qilinishi, ular ikki xil ko'pikli pufakchalar to'plamiga o'xshardi. poligon yon tomonlari xuddi kaleydoskopdagidek o'zgarib, ayniqsa o'tkir tahdid va g'ayrioddiy bezovtalik hissini keltirib chiqardi.

G‘ira-shira, g‘o‘ng‘illagan tubsizliklar -- yashil toshli tog‘ yonbag‘irlari -- kamalakning barcha ranglari bilan yaltirab turgan ayvon -- noma'lum sayyoralarning jozibasi -- qora efir spirali -- qora tanli odam -- iflos yo‘lak va g‘ijirlagan zinapoyalar -- keksa sehrgar va kichkina shaggy uzun tishli jonzot -- qabariq va mayda poligon— g‘alati quyosh yonishi — qo‘ldagi yaralar — kampirning qo‘lidagi mayda va shaklsiz narsa — loyga botgan oyoqlar — ertaklar va xurofotchi chet elliklarning qo‘rquvi — bularning barchasi nihoyat nimani anglatardi?

To'rtburchak matnli ramka yasasam bo'ladimi? poligon yulduz shaklida?

Bazasi bo?lgan ko?pburchak poligon, va qolgan yuzlar umumiy uchi bo'lgan uchburchaklardir.

Binobarin, g'arbiy yo'nalishda zaxiralarni qayerda va qanday qilib aniq joylashtirish va tartibsiz shakllanganligini belgilash zarur edi. poligon Kalinin fronti.

Sizning oldingizda - shimolga keskin ketgan noto'g'ri poligon Manchuriya deb ataladi.

Agar grafik ramka oval bo'lsa yoki poligon

Agar matn ramkasi oval bo'lsa yoki poligon, keyin bu parametr mavjud bo'lmaydi.

Massasi bir xil bo'lgan uch yoki undan ortiq jismlar olinadi, ular teng tomonli cho'qqilarga joylashtiriladi poligon va ularning umumiy massasining markaziga nisbatan bir xil burchak tezligiga tezlashadi.

U deyarli o'z irodasiga qarshi, alacakaranl?k tubsiz qa'ri bo'ylab uchib o'tib, bir to'plangan charaqlab turgan pufakchalar va kichik poligon undan uzoqda joylashgan ulkan prizmalarning chetlari hayratlanarli darajada muntazam takrorlanuvchi burchaklar hosil qilganini payqaganida.

Silliq, bokira, oq, ba'zi joylarda harakatlar bilan buzilgan, son-sanoqsiz o'xshash poligonlar ochiq suvning qora chiziqlari bilan o'ralgan.

Oh, Argus ko'zi bilan ko'rish uchun poligonlar marjon va tolalar qirralariga to'qilgan va tolalarning ichki qismi.

Bular shamolda sayqallangan loy takirlar bo'lib, son-sanoqsiz yorilib ketgan poligonlar, konki kabi silliq, beton kabi qattiq.

Mana, ark ostidan yoki ayvon ostidan ko'rinadigan fallik shakldagi favvora, Neptun delfin ustida turgan, ustunlari Ossuriyanikiga o'xshash darvoza va yana noaniq shakldagi kamar, uyaga o'xshash narsa. uchburchaklar va poligonlar, va ularning har birining tepasida hayvon haykalchasi - ilg'on, maymun, sher bilan toj kiygan edi.

Rasmlar nafaqat to'rtburchaklar grafik ramkalarda, balki o'zgartirilgan holda ham joylashishi mumkin poligonlar va ovallar.

Geometriya kursida biz geo-met-ri-che-sky figuralarining xususiyatlarini o'rganamiz va ularning eng oddiylarini ko'rib chiqdik: uchburchak-ni-ki va atrof. Shu bilan birga, biz to'rtburchaklar, teng-kambag'al-ren va to'g'ri burchakli uchburchak-no-ki kabi bu raqamlarning o'ziga xos holatlarini muhokama qilamiz. Endi umumiy va murakkab fi-gu-rah haqida gapirish vaqti keldi - ko'p-ko'mir-no-kah.

Shaxsiy ish bilan ko'p-ko'mir-ni-kov biz allaqachon bilamiz - bu uchburchak (1-rasmga qarang).

Guruch. 1. Uchburchak-nik

Nomning o'zida, bu fi-gu-ra ekanligini allaqachon cher-ki-va-et-sya ostida, kimdir uchta burchakka ega. Keyingi-va-tel-lekin, ichida ko'p ko'mir ularning ko'plari bo'lishi mumkin, ya'ni. uchdan ortiq. Misol uchun, beshta ko'mir-nikining tasviri (2-rasmga qarang), ya'ni. fi-gu-ru besh burchakli-la-mi.

Guruch. 2. Besh-ko‘mir-nik. Siz-far-ly-ko'p-ko'mir-laqab

Ta'rif.Poligon- fi-gu-ra, bir nechta nuqtadan iborat (ikkidan ortiq) va javobga mos keladigan th kov, kimdir-javdar ularni keyin-to-va-tel-lekin kombin-ed-nya-yut. Bu nuqtalar on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi juda ko'p ko'mir yo'q, lekin kesishdan - yuz-ro-on-mi. Shu bilan birga, ikkita qo'shni tomon bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydi va ikkita qo'shni bo'lmagan tomon ham re-se-ka-yut-sya .

Ta'rif.O'ng-oldinga ko'p ko'mir-laqab- bu konveks poli-ko'mir-nikidir, kimdir-ro-go uchun barcha tomonlar va burchaklar tengdir.

Har qanday poligon De-la-et samolyot ikki mintaqaga: ichki va tashqi. Ichki-ren-ny maydoni ham dan-but-syat to ko'p ko'mir.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, masalan, besh-ko'mir-ni-ke haqida gapirganda, ular ham uning butun ichki hududini, ham chegara tsuni anglatadi. Va mintaqaning ichki-ren-itiga dan-no-syat-sya va barcha nuqtalar, ba'zi-javdarlar ko'p-ko'mir-no-ka ichida yotadi, ya'ni. nuqta, shuningdek, dan-lekin-o'tirish-Xia besh-ko'mir-no-ku (2-rasmga qarang).

Ko'p-ko'mir-no-ki hali ham ba'zan n-ko'mir-no-ka-mi deb ataladi, chunki bu noma'lum narsada choy ichish odatiy hol ekanligini ta'kidlash uchun -burchaklar soni (n dona).

Ta'rif. Pe-ri-metr ko'p-ko'mir-no-ka- ko'p ko'mir-no-ka tomonlarining uzunliklari yig'indisi.

Endi siz ko'p-ko'mir-no-kovning qarashlari bilan bilishingiz kerak. Ular de-lyat-xia davom etmoqda siz katta va katta bo'lmagan. Misol uchun, shaklda tasvirlangan poli-ko'mir-nik. 2, is-la-et-sya you-bump-ly va rasmda. 3 ta tupsiz.

Guruch. 3. Qavariq bo'lmagan poli-ko'mir-nik

2. Qavariq va qavariq bo'lmagan ko'pburchaklar

1-sonni aniqlash. Poligon na-zy-va-et-sya sen o'sursan, agar pro-ve-de-nii to'g'ridan-to'g'ri uning har qanday tomoni orqali bo'lsa, butun poligon bu to'g'ri chiziqdan faqat yuz-ro-quduq yotadi. Nevy-puk-li-mi yav-la-yut-sya hammasi qolgan ko'p ko'mir.

Tasavvur qilish osonki, rasmdagi beshta ko'mir-no-kaning har qanday tomonini kengaytirganda. 2 u barcha ok-zhet-sya bu to'g'ri kondan yuz-ro-quduq, ya'ni. u bo'rtib turibdi. Lekin qachon pro-ve-de-nii to'g'ridan-to'g'ri orqali to'rt-siz-rech-ko'mir-no-ke yilda Fig. 3, biz allaqachon uni ikki qismga bo'lganini ko'rmoqdamiz, ya'ni. u katta emas.

Lekin yana bir def-de-le-nie you-nasos-lo-sti ko'p-ko'mir-no-ka bor.

Opre-de-le-nie 2. Poligon na-zy-va-et-sya sen o'sursan, agar siz uning har qanday ikkita ichki nuqtasini tanlaganingizda va ularni kesimdan bog'laganingizda, kesmadagi barcha nuqtalar ham ichki -no-mi nuqta-ka-mi much-ko'mir-no-ka bo'ladi.

De-le-tionning ushbu ta'rifidan foydalanishning namoyishini rasmdagi kesiklardan qurish misolida ko'rish mumkin. 2 va 3.

Ta'rif. Dia-go-na-lew ko'p-ko'mir-no-ka-za-va-et-sya har qanday dan-re-zok, ikkita ulash, uning tepalarini bog'lamaydi.

3. Qavariq n-burchakning ichki burchaklari yig‘indisi haqidagi teorema

Ko'pburchaklarning xususiyatlarini tavsiflash uchun ularning burchaklari haqida ikkita muhim nazariya mavjud: you-bunch-lo-go-ko'p-ko'mir-no-ka ichki burchaklarining yig'indisi haqida teo-re-ma va tashqi burchaklar yig'indisi haqida teo-re-ma. Keling, ularga qaraylik.

Teorema. You-beam-lo-go-ko'p-ko'mir-no-ka ichki burchaklarining yig'indisi bo'yicha (n-ko'mir-no-ka).

Uning burchaklari (tomonlari) soni qayerda.

Do-for-tel-stvo 1. Rasmda tasvir-ra-qish. 4 ta qavariq n burchakli taxallus.

Guruch. 4. You-bump-ly n-angle-nick

Yuqoridan biz barcha mumkin bo'lgan dia-go-on-yo'qligini qo'llab-quvvatlaymiz. Ular n-burchak-nikni uch burchakli-no-kaga bo'lishadi, chunki tomonlarning har biri ko'p ko'mir-no-ka-ra-zu-et uchburchak-nik, shinaning yuqori qismiga ulashgan tomonlardan tashqari. Ri-sun-kudan shuni ko'rish mumkinki, bu barcha uchburchaklar burchaklarining yig'indisi n-burchak-ni-kaning ichki burchaklari yig'indisiga to'liq teng bo'ladi. Har qanday uchburchak-no-ka - burchaklarining yig'indisi bo'lgani uchun, u holda n-burchak-no-kaning ichki burchaklarining yig'indisi:

Do-ka-for-tel-stvo 2. Bu mumkin va bu teo-re-wening yana bir do-ka-for-tel-stvo. Shakldagi o'xshash n-burchakning tasviri. 5 va uning har qanday ichki nuqtalarini barcha uchlari bilan bog'lang.

Biz-bo'lish-chi-yo'qmi raz-bi-e-ne n-burchak-no-ka bo'yicha n tri-burchak-ni-kov (qancha tomon, shunchalik ko'p uchburchak-ni-kov ). Ularning barcha burchaklarining yig'indisi ko'p ko'mirning ichki burchaklarining yig'indisiga va ichki nuqtadagi burchaklarning yig'indisiga teng va bu burchak. Bizda ... bor:

Q.E.D.

Oldin-uchun-lekin.

Do-ka-zan-noy teo-re-mega ko'ra, n-ko'mir-no-ka burchaklarining yig'indisi uning tomonlari soniga (n dan) bog'liqligi aniq. Masalan, uchburchakda-ne-ke va burchaklar yig'indisi. To'rt-you-reh-ko'mir-ni-keda va burchaklar yig'indisi - va hokazo.

4. Qavariq n-burchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi haqidagi teorema

Teorema. You-beam-lo-go-ko'p-ko'mir-no-ka tashqi burchaklarining yig'indisi haqida (n-ko'mir-no-ka).

Uning burchaklari (tomonlari) soni qayerda, ..., tashqi burchaklari.

Isbot. Rasmda tasvir-ra-zim qavariq n-burchak-nik. 6 va uning ichki va tashqi burchaklarini belgilang.

Guruch. 6. Siz tashqi-ni-burchak-la-mi belgisi bilan qavariq n-ko'mir-niksiz.

Chunki tashqi burchak qo'shni sifatida ichki burchak bilan bog'langan, keyin u tashqi burchaklarning qolgan qismiga o'xshashdir. Keyin:

Oldindan ob-ra-zo-va-niy jarayonida biz allaqachon to-ka-zan-mening teo-re-minedan foydalangan-zo-va-lied ichki burchaklar yig'indisi n-burchak-no-ka haqida. .

Oldin-uchun-lekin.

Pre-ka-zan-noy teo-re-dan biz in-te-res-ny haqiqatiga ergashamiz, bu qavariq-lo-th n-burchak-no-ka tashqi burchaklarining yig'indisi ko dan teng. -li-che-uning burchaklari (tomonlari). Aytgancha, ichki burchaklar yig'indisiga qarab.

Keyinchalik, biz juda ko'p ko'mir-no-kov - che-you-rekh-ko'mir-no-ka-mi bilan alohida ishlaymiz. Keyingi darsda biz par-ral-le-lo-gram kabi fi-gu-to'dasi bilan tanishamiz va uning xususiyatlarini muhokama qilamiz.

MANBA

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnohougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnohougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144