Yechilishi kerak bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilsin (tizimning har bir tenglamasini tenglikka aylantiradigan xi noma'lumlarning shunday qiymatlarini toping).

Biz bilamizki, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi:

1) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi mos kelmaydigan).
2) Cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Noyob yechimga ega bo'ling.

Esda tutganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki mos kelmaydigan hollarda mos kelmaydi. Gauss usuli – har qanday chiziqli tenglamalar tizimining yechimlarini topish uchun eng kuchli va ko'p qirrali vosita, qaysi har holda bizni javobga olib boring! Usulning algoritmi har uch holatda ham xuddi shunday ishlaydi. Agar Kramer va matritsa usullari determinantlarni bilishni talab qilsa, Gauss usulini qo'llash faqat arifmetik amallarni bilishni talab qiladi, bu esa uni hatto boshlang'ich sinf o'quvchilari uchun ham qulay qiladi.

Kengaytirilgan matritsa konvertatsiyalari ( bu tizimning matritsasi - faqat noma'lumlar koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsa, ortiqcha erkin shartlar ustuni) Gauss usulida chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari:

1) Bilan troky matritsalar mumkin qayta tartibga solish joylar.

2) agar matritsada proportsional (alohida holatda - bir xil) qatorlar mavjud bo'lsa (yoki bo'lsa), u holda u quyidagicha bo'ladi. o'chirish matritsadan, bittadan tashqari barcha bu qatorlar.

3) agar o'zgartirishlar paytida matritsada nol qator paydo bo'lgan bo'lsa, u ham shunday bo'ladi o'chirish.

4) matritsaning qatori mumkin ko'paytirish (bo'lish) noldan boshqa istalgan raqamga.

5) matritsa qatoriga, mumkin raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing, noldan farq qiladi.

Gauss usulida elementar o‘zgartirishlar tenglamalar sistemasi yechimini o‘zgartirmaydi.

Gauss usuli ikki bosqichdan iborat:

1. "To'g'ridan-to'g'ri harakat" - elementar transformatsiyalardan foydalanib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasini "uchburchak" bosqichli shaklga keltiring: kengaytirilgan matritsaning asosiy diagonal ostida joylashgan elementlari nolga teng (yuqoridan pastga siljish). ). Masalan, bu turga:

Buning uchun quyidagi amallarni bajaring:

1) Chiziqli algebraik tenglamalar tizimining birinchi tenglamasini ko'rib chiqamiz va x 1 da koeffitsient K ga teng. Ikkinchi, uchinchi va hokazo. biz tenglamalarni quyidagicha o'zgartiramiz: biz har bir tenglamani (noma'lumlar uchun koeffitsientlarni, shu jumladan erkin shartlarni) har bir tenglamada bo'lgan noma'lum x 1 koeffitsientiga ajratamiz va K ga ko'paytiramiz. Shundan so'ng, ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz ( noma'lumlar va erkin shartlar uchun koeffitsientlar). Biz ikkinchi tenglamada x 1 da 0 koeffitsientini olamiz. Uchinchi o'zgartirilgan tenglamadan biz birinchi tenglamani ayiramiz, shuning uchun birinchisidan tashqari barcha tenglamalar x 1 noma'lum bo'lgunga qadar 0 koeffitsientiga ega bo'lmaydi.

2) Keyingi tenglamaga o'ting. Bu ikkinchi tenglama bo'lsin va x 2 da koeffitsient M ga teng bo'lsin. Barcha "bo'ysunuvchi" tenglamalar bilan biz yuqorida tavsiflangan tarzda harakat qilamiz. Shunday qilib, barcha tenglamalarda noma'lum x 2 "ostida" nolga teng bo'ladi.

3) Biz keyingi tenglamaga o'tamiz va shunga o'xshash oxirgi noma'lum va o'zgartirilgan erkin atama qolguncha.

1. Gauss usulining "teskari harakati" chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimini olishdir ("pastdan yuqoriga" harakat). Oxirgi "pastki" tenglamadan biz bitta birinchi yechimni olamiz - noma'lum x n. Buning uchun A * x n \u003d B elementar tenglamani yechamiz. Yuqoridagi misolda x 3 \u003d 4. Topilgan qiymatni keyingi “yuqori” tenglamaga almashtiramiz va uni keyingi noma’lumga nisbatan yechamiz. Masalan, x 2 - 4 \u003d 1, ya'ni. x 2 \u003d 5. Biz barcha noma'lumlarni topgunimizcha davom etamiz.

Misol.

Ba'zi mualliflar maslahat berganidek, biz Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echamiz:

Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz:

Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. U erda bizda birlik bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda umuman hech kim yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish orqali hech narsani hal qilib bo'lmaydi. Bunday hollarda birlik elementar transformatsiya yordamida tashkil etilishi kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Keling, buni shunday qilaylik:
1 qadam . Birinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shishni amalga oshirdik, ikkinchi qator esa o'zgarmadi.

Endi yuqori chap tomonda "minus bir", bu bizga juda mos keladi. Kim +1 olishni xohlasa, qo'shimcha amalni bajarishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring).

2 qadam . 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

3 qadam . Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, qoida tariqasida, bu go'zallik uchun. Uchinchi qatorning belgisi ham o'zgartirildi va ikkinchi o'ringa ko'chirildi, shuning uchun ikkinchi "qadamda biz kerakli birlikka ega bo'ldik.

4 qadam . Uchinchi qatorga 2 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing.

5 qadam . Uchinchi qator 3 ga bo'linadi.

Hisoblashda xatolikni ko'rsatadigan belgi (kamroq matn terish xatosi) "yomon" pastki chiziqdir. Ya'ni, agar biz quyida (0 0 11 | 23) va shunga mos ravishda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 kabi biror narsaga ega bo'lsak, unda yuqori ehtimollik bilan biz boshlang'ich bosqichda xatolikka yo'l qo'yilgan deb aytishimiz mumkin. transformatsiyalar.

Biz teskari harakatni amalga oshiramiz, misollarni loyihalashda tizimning o'zi ko'pincha qayta yozilmaydi va tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Teskari harakat, eslataman, "pastdan yuqoriga" ishlaydi. Ushbu misolda sovg'a paydo bo'ldi:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, shuning uchun x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Javob:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Keling, taklif qilingan algoritm yordamida bir xil tizimni hal qilaylik. olamiz

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Ikkinchi tenglamani 5 ga, uchinchi tenglamani 3 ga bo'ling.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 4 ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalardan birinchi tenglamani ayirsak, bizda:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Uchinchi tenglamani 0,64 ga bo'ling:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Uchinchi tenglamani 0,4 ga ko'paytiring

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayirsak, biz “qadamli” kengaytirilgan matritsani olamiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Shunday qilib, hisob-kitoblar jarayonida xatolik to'planganligi sababli, biz x 3 \u003d 0,96 yoki taxminan 1 ni olamiz.

x 2 \u003d 3 va x 1 \u003d -1.

Shu tarzda yechish, siz hech qachon hisob-kitoblarda adashmaysiz va hisoblash xatolariga qaramay, natijaga erishasiz.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning bu usuli oson dasturlashtiriladi va noma'lumlar uchun koeffitsientlarning o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olmaydi, chunki amalda (iqtisodiy va texnik hisoblarda) butun son bo'lmagan koeffitsientlar bilan shug'ullanish kerak.

Omad tilayman! Sinfda ko'rishguncha! Repetitor Dmitriy Aistraxanov.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Ta'lim muassasasi "Belarus davlati

Qishloq xo'jaligi akademiyasi"

Oliy matematika kafedrasi

Ko'rsatmalar

"Chiziqli tizimlarni echishning Gauss usuli" mavzusini o'rganish uchun

Tenglamalar” Buxgalteriya hisobi fakulteti sirtqi ta’lim shakli (NISPO) talabalari tomonidan

Gorkiy, 2013 yil

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli

Ekvivalent tenglamalar sistemasi

Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar ulardan birining har bir yechimi ikkinchisining yechimi bo'lsa, ekvivalent deyiladi. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish jarayoni uni ketma-ket ekvivalent tizimga aylantirishdan iborat. elementar transformatsiyalar , qaysiki:

1) tizimning istalgan ikkita tenglamasini almashtirish;

2) tizimning istalgan tenglamasining ikkala qismini nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;

3) istalgan tenglamaga istalgan songa ko‘paytiriladigan boshqa tenglamani qo‘shish;

4) nollardan tashkil topgan tenglamani o'chirish, ya'ni. tipidagi tenglamalar.

Gaussni yo'q qilish

Tizimni ko'rib chiqing m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum:

Gauss usuli yoki noma'lumlarni ketma-ket chiqarib tashlash usulining mohiyati quyidagicha.

Birinchidan, elementar transformatsiyalar yordamida noma'lum tizimning barcha tenglamalaridan chiqarib tashlanadi, birinchisidan tashqari. Tizimning bunday transformatsiyalari deyiladi Gauss yo'q qilish bosqichi . Noma'lum deb ataladi hal qiluvchi o'zgaruvchi transformatsiyaning birinchi bosqichida. Koeffitsient deyiladi rezolyutsiya omili , birinchi tenglama deyiladi yechish tenglamasi , va da koeffitsientlar ustuni ustunni yoqish .

Bitta Gauss yo'q qilish bosqichini bajarishda quyidagi qoidalardan foydalanish kerak:

1) hal qiluvchi tenglamaning koeffitsientlari va erkin muddati o'zgarishsiz qoladi;

2) hal qiluvchi koeffitsientdan pastda joylashgan hal qiluvchi ustunning koeffitsientlari nolga aylanadi;

3) birinchi bosqichdagi barcha boshqa koeffitsientlar va bo'sh shartlar to'rtburchaklar qoidasiga muvofiq hisoblanadi:

, qayerda i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Biz tizimning ikkinchi tenglamasida shunga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshiramiz. Bu birinchi ikkitadan tashqari barcha tenglamalarda noma'lumlar chiqarib tashlanadigan tizimga olib keladi. Tizimning har bir tenglamasi (Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi) bo'yicha bunday o'zgartirishlar natijasida dastlabki tizim quyidagi turlardan birining ekvivalent bosqichli tizimiga tushiriladi.

Teskari Gauss usuli

Bosqich tizimi

uchburchak shaklga ega va barchasi (i=1,2,…,n). Bunday tizim o'ziga xos echimga ega. Noma'lumlar oxirgi tenglamadan boshlab aniqlanadi (Gauss usulining teskarisi).

Qadam tizimi shaklga ega

qayerda, ya'ni. sistema tenglamalari soni noma'lumlar sonidan kam yoki teng. Ushbu tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki oxirgi tenglama o'zgaruvchining hech qanday qiymatiga mos kelmaydi.

Bosqichli ko'rish tizimi

cheksiz sonli yechimlarga ega. Oxirgi tenglamadan noma'lum noma'lumlar bilan ifodalanadi . Keyin noma'lum o'rniga uning noma'lumlar ko'rinishidagi ifodasi oxirgidan oldingi tenglamaga almashtiriladi. . Gauss usulining teskari yo'nalishini davom ettirish, noma'lumlar noma’lumlar bilan ifodalanishi mumkin . Bunday holda, noma'lum chaqirdi ozod va har qanday qiymatni olishi mumkin va noma'lum Asosiy.

Tizimlarni amaliyotda echishda barcha o'zgartirishlarni tenglamalar tizimi bilan emas, balki noma'lumlar koeffitsientlari va erkin shartlar ustunidan iborat tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan bajarish qulay.

1-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz va elementar transformatsiyalarni bajaramiz:

.

Tizimning kengaytirilgan matritsasida 3 raqami (u ta'kidlangan) o'lchamlari koeffitsienti, birinchi qator - ruxsat satri va birinchi ustun - ruxsat ustuni. Keyingi matritsaga o'tishda hal qiluvchi qator o'zgarmaydi, hal qiluvchi element ostidagi hal qiluvchi ustunning barcha elementlari nolga almashtiriladi. Va matritsaning barcha boshqa elementlari to'rtburchak qoidaga muvofiq qayta hisoblab chiqiladi. Ikkinchi qatordagi 4-element o'rniga biz yozamiz , ikkinchi qatordagi -3 element o'rniga u yoziladi va hokazo. Shunday qilib, ikkinchi matritsa olinadi. Ushbu matritsa ikkinchi qatorda 18-raqamli hal qiluvchi elementga ega bo'ladi. Keyingi (uchinchi matritsa) hosil qilish uchun biz ikkinchi qatorni o'zgarishsiz qoldiramiz, hal qiluvchi element ostidagi ustunga nol yozamiz va qolgan ikkita elementni qayta hisoblaymiz: 1 raqami o'rniga biz yozamiz. , va 16 raqami o'rniga biz yozamiz.

Natijada, dastlabki tizim ekvivalent tizimga tushiriladi

Uchinchi tenglamadan biz topamiz . Ushbu qiymatni ikkinchi tenglamaga almashtiring: y=3. Topilgan qiymatlarni birinchi tenglamaga almashtiring y va z: , x=2.

Shunday qilib, bu tenglamalar tizimining yechimi x=2, y=3, .

2-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasida elementar o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Ikkinchi matritsada uchinchi qatorning har bir elementi 2 ga bo'linadi.

To'rtinchi matritsada uchinchi va to'rtinchi qatorlarning har bir elementi 11 ga bo'lingan.

. Olingan matritsa tenglamalar tizimiga mos keladi

Ushbu tizimni hal qilib, biz topamiz , , .

3-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalarni bajaramiz:

.

Ikkinchi matritsada ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlarning har bir elementi 7 ga bo'lingan.

Natijada, tenglamalar tizimi

asl nusxaga teng.

Noma'lumlardan ikkita kam tenglamalar mavjud bo'lganligi sababli, ikkinchi tenglamadan . Birinchi tenglamaga ifodani almashtiring: , .

Shunday qilib, formulalar bu tenglamalar sistemasining umumiy yechimini keltiring. Noma'lum va bepul va har qanday qiymatni olishi mumkin.

Keling, masalan, Keyin va . Yechim tizimning o'ziga xos yechimlaridan biri bo'lib, ulardan son-sanoqsiz.

Bilimlarni o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1) Chiziqli sistemalarning qanday transformatsiyalari elementar deyiladi?

2) Tizimning qanday o'zgarishlari Gauss eliminatsiya bosqichi deb ataladi?

3) Yechish o'zgaruvchisi, yechish koeffitsienti, yechish ustuni nima?

4) Gauss eliminatsiyasining bir bosqichini bajarishda qanday qoidalardan foydalanish kerak?

Chiziqli tenglamalar sistemalarini Gauss usulida yechish. dan tizimga yechim topishimiz kerak deylik n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum o'zgaruvchilar
asosiy matritsasining determinanti noldan farq qiladi.

Gauss usulining mohiyati noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket chiqarib tashlashdan iborat: birinchidan, x 1 tizimning barcha tenglamalaridan, ikkinchisidan boshlab, keyin x2 oxirgi tenglamada faqat noma'lum o'zgaruvchi qolguncha uchinchidan boshlab barcha tenglamalar va hokazo. x n. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish uchun tizim tenglamalarini o'zgartirish jarayoni deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli. Gauss usulining oldinga siljishi tugagandan so'ng, biz oxirgi tenglamadan topamiz x n, oxirgidan oldingi tenglamadan ushbu qiymatdan foydalanib hisoblanadi xn-1, va hokazo, birinchi tenglamadan topiladi x 1. Tizimning oxirgi tenglamasidan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblash jarayoni deyiladi. teskari Gauss usuli.

Keling, noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish algoritmini qisqacha ta'riflaymiz.

Biz buni taxmin qilamiz, chunki tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali har doim bunga erishishimiz mumkin. Noma'lum o'zgaruvchini yo'q qiling x 1 ikkinchisidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan. Buning uchun tizimning ikkinchi tenglamasiga birinchi ko‘paytirilgan tenglamani qo‘shing, uchinchi tenglamaga birinchi ko‘paytirilgan tenglamani qo‘shing va hokazo. n-chi ga ko'paytirilgan birinchi tenglamani qo'shing. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda, a .

Agar biz ifoda qilsak, xuddi shunday natijaga erishgan bo'lardik x 1 tizimning birinchi tenglamasidagi boshqa noma'lum o'zgaruvchilar orqali va natijada ifoda boshqa barcha tenglamalarga almashtirildi. Shunday qilib, o'zgaruvchi x 1 ikkinchisidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlangan.

Keyinchalik, biz shunga o'xshash harakat qilamiz, lekin faqat rasmda ko'rsatilgan natijada olingan tizimning bir qismi bilan

Buning uchun tizimning uchinchi tenglamasiga ikkinchi ko‘paytmani qo‘shing, to‘rtinchi tenglamaga ikkinchi ko‘paytmani qo‘shing va hokazo. n-chi ga ko'paytirilgan ikkinchi tenglamani qo'shing. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda, a . Shunday qilib, o'zgaruvchi x2 uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlangan.

Keyinchalik, biz noma'lumlarni yo'q qilishga o'tamiz x 3, biz tizimning rasmda belgilangan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz

Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishini davom ettiramiz

Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskari yo'nalishini boshlaymiz: biz hisoblaymiz x n sifatida oxirgi tenglamadan olingan qiymatdan foydalanib x n toping xn-1 oxirgidan oldingi tenglamadan va hokazolarni topamiz x 1 birinchi tenglamadan.

Misol.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechish Gauss usuli.

Ushbu onlayn kalkulyator Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimi (SLE) yechimini topadi. Batafsil yechim berilgan. Hisoblash uchun o'zgaruvchilar sonini va tenglamalar sonini tanlang. Keyin hujayralarga ma'lumotlarni kiriting va "Hisoblash" tugmasini bosing.

x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 = = =

Raqamni ifodalash:

Butun sonlar va/yoki oddiy kasrlar
Butun va/yoki o‘nlik sonlar

O'nlik ajratgichdan keyingi raqamlar soni

x

Ogohlantirish

Barcha hujayralar tozalansinmi?

Yopish Tozalash

Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatma. Raqamlar butun sonlar (masalan: 487, 5, -7623 va boshqalar), o?nlik sonlar (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b shaklida yozilishi kerak, bu erda a va b (b>0) butun yoki o'nlik sonlardir. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.

Gauss usuli

Gauss usuli - chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimidan (ekvivalent transformatsiyalar yordamida) dastlabki tizimga qaraganda yechish osonroq bo'lgan tizimga o'tish usuli.

Chiziqli tenglamalar tizimining ekvivalent o'zgarishlari:

• tizimdagi ikkita tenglamani almashtirish,
• tizimdagi har qanday tenglamani nolga teng bo'lmagan haqiqiy songa ko'paytirish,
• bir tenglamaga boshqa tenglamani ixtiyoriy songa ko'paytirish.

Chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:

(1)

(1) tizimni matritsa shaklida yozamiz:

ax=b

(2)

(3)

A tizimning koeffitsient matritsasi deb ataladi, b- cheklovlarning o'ng tomoni, x- topiladigan o‘zgaruvchilar vektori. O'ringa qo'ying( A)=p.

Ekvivalent transformatsiyalar koeffitsient matritsasi darajasi va tizimning kengaytirilgan matritsasi darajasi o'zgarmaydi. Ekvivalent o'zgarishlarda tizimning yechimlari to'plami ham o'zgarmaydi. Gauss usulining mohiyati koeffitsientlar matritsasini keltirishdan iborat A diagonal yoki pog'onali.

Tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz:

Keyingi bosqichda biz element ostidagi 2-ustunning barcha elementlarini tiklaymiz. Agar berilgan element null bo'lsa, u holda bu qator berilgan qator ostida joylashgan va ikkinchi ustunda nolga teng bo'lmagan elementga ega bo'lgan qator bilan almashtiriladi. Keyinchalik, 2-ustunning barcha elementlarini etakchi element ostida nolga aylantiramiz a 22. Buning uchun 3-qatorni qo'shing, ... m 2-qator bilan - ga ko'paytiriladi a 32 /a 22 , ..., -a m2 / a mos ravishda 22. Jarayonni davom ettirib, biz diagonal yoki bosqichli shakldagi matritsani olamiz. Olingan kengaytirilgan matritsa quyidagicha bo'lsin:

(7)

Chunki rankA = daraja(A|b), u holda (7) yechimlar to'plami ( n-p) xilma-xildir. Natijada n-p noma'lumlar o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin. (7) tizimdan qolgan noma’lumlar quyidagicha hisoblanadi. Oxirgi tenglamadan biz ifodalaymiz x p o'zgaruvchilarning qolgan qismi orqali va oldingi ifodalarga kiriting. Keyinchalik, oxirgidan oldingi tenglamadan biz ifodalaymiz x p-1 o'zgaruvchilarning qolgan qismi orqali va oldingi ifodalarga kiriting va hokazo. Muayyan misollarda Gauss usulini ko'rib chiqing.

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish misollari

Misol 1. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini toping:

tomonidan belgilang a ij elementlari i-chi qator va j- ustun.

a o'n bir. Buning uchun mos ravishda -2/3, -1/2 ga ko'paytirilgan 1-qator bilan 2,3-qatorlarni qo'shing:

Matritsali yozuv turi: ax=b, qayerda

tomonidan belgilang a ij elementlari i-chi qator va j- ustun.

Element ostidagi matritsaning 1-ustunining elementlarini chiqarib tashlang a o'n bir. Buning uchun mos ravishda -1/5, -6/5 ga ko'paytirilgan 1-qator bilan 2,3-qatorlarni qo'shing:

Matritsaning har bir qatorini mos keladigan yetakchi elementga ajratamiz (agar yetakchi element mavjud bo'lsa):

qayerda x 3 , x

Yuqori iboralarni pastki iboralarga almashtirib, biz yechimni olamiz.

Keyin vektor yechimni quyidagicha ifodalash mumkin:

qayerda x 3 , x 4 - ixtiyoriy haqiqiy sonlar.

Sistema berilgan bo'lsin, ??0. (bir)
Gauss usuli noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usulidir.

Gauss usulining mohiyati (1) ni uchburchak matritsali tizimga aylantirishdan iborat bo'lib, undan barcha noma'lumlarning qiymatlari ketma-ket (teskari) olinadi. Hisoblash sxemalaridan birini ko'rib chiqaylik. Ushbu sxema bitta bo'linish sxemasi deb ataladi. Shunday qilib, keling, ushbu diagrammani ko'rib chiqaylik. Birinchi tenglama 11 ?0 (etakchi element) 11 ga bo'linsin. Oling
(2)
(2) tenglamadan foydalanib, noma'lum x 1 ni tizimning qolgan tenglamalaridan chiqarib tashlash oson (buning uchun har bir tenglamadan (2) tenglamani oldindan x 1 da tegishli koeffitsientga ko'paytirish kifoya qiladi), ya'ni , birinchi bosqichda biz olamiz
.
Boshqacha qilib aytganda, 1-bosqichda keyingi satrlarning har bir elementi, ikkinchisidan boshlab, dastlabki element va uning birinchi ustun va birinchi (o'zgartirilgan) qatordagi "proyeksiyasi" mahsuloti o'rtasidagi farqga teng bo'ladi.
Shundan so'ng, birinchi tenglamani yolg'iz qoldirib, biz birinchi bosqichda olingan tizimning qolgan tenglamalari bo'yicha xuddi shunday o'zgarishlarni amalga oshiramiz: biz ular orasidan etakchi elementi bo'lgan tenglamani tanlaymiz va undan x 2 ni qolgan tenglamalardan chiqarib tashlash uchun foydalanamiz. (2-qadam).
n qadamdan so'ng (1) o'rniga ekvivalent tizimni olamiz
(3)
Shunday qilib, birinchi bosqichda biz uchburchak tizimni olamiz (3). Bu qadam oldinga deb ataladi.
Ikkinchi bosqichda (teskari harakat) biz (3) dan x n, x n -1, …, x 1 qiymatlarini ketma-ket topamiz.
Olingan eritmani x 0 deb belgilaymiz. Keyin farq e=b-A x 0 bo'ladi qoldiq deyiladi.
Agar e=0 bo'lsa, topilgan yechim x 0 to'g'ri bo'ladi.

Gauss usuli bo'yicha hisob-kitoblar ikki bosqichda amalga oshiriladi:

1. Birinchi bosqich usulning bevosita kursi deb ataladi. Birinchi bosqichda dastlabki tizim uchburchak shaklga o'tkaziladi.
2. Ikkinchi bosqich teskari deb ataladi. Ikkinchi bosqichda dastlabkisiga ekvivalent bo'lgan uchburchak tizim hal qilinadi.

a 11 , a 22 , ... koeffitsientlari yetakchi elementlar deyiladi.
Har bir qadamda etakchi element noldan farq qiladi deb taxmin qilingan. Agar bunday bo'lmasa, u holda tizim tenglamalarini qayta tartibga soluvchi kabi har qanday boshqa element etakchi sifatida ishlatilishi mumkin.

Gauss usulining maqsadi

Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun mo'ljallangan. Yechimning bevosita usullariga ishora qiladi.

Gauss usulining turlari

1. Klassik Gauss usuli;
2. Gauss usulining modifikatsiyalari. Gauss usulining modifikatsiyalaridan biri asosiy elementni tanlash bilan sxema hisoblanadi. Asosiy elementni tanlash bilan Gauss usulining o'ziga xos xususiyati tenglamalarni shunday almashtirishdirki, k-bosqichda etakchi element k-ustundagi eng katta element bo'ladi.
3. Jordan-Gauss usuli;

Jordan-Gauss usuli va klassik o'rtasidagi farq Gauss usuli yechimni qidirish yo'nalishi asosiy diagonal bo'ylab (identifikatsiya matritsasiga o'tkazish) bo'lganda to'rtburchaklar qoidasini qo'llashdan iborat. Gauss usulida yechim izlash yo‘nalishi ustunlar bo‘ylab sodir bo‘ladi (uchburchak matritsali tizimga o‘tkazish).
Farqni tasvirlab bering Jordan-Gauss usuli Gauss usulidan misollar bo'yicha.

Gauss eritmasiga misol
Keling, tizimni hal qilaylik:

Hisoblash qulayligi uchun biz qatorlarni almashtiramiz:

2-qatorni (2) ga ko'paytiring. 3-qatorni 2-ga qo'shing

2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 2-qatorni 1-qatorga qo'shing

1-qatordan biz x 3 ni ifodalaymiz:
2-qatordan biz x 2 ni ifodalaymiz:
3-qatordan biz x 1 ni ifodalaymiz:

Jordan-Gauss usuli bilan yechimga misol
Xuddi shu SLAE ni Jordano-Gauss usuli yordamida hal qilamiz.

Biz matritsaning asosiy diagonalida joylashgan RE ning hal qiluvchi elementini ketma-ket tanlaymiz.
Yoqish elementi (1) ga teng.



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - faollashtiruvchi element (1), A va B - STE va RE elementlari bilan to'rtburchaklar hosil qiluvchi matritsa elementlari.
Keling, har bir elementning hisobini jadval ko'rinishida keltiramiz:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Yoqish elementi (3) ga teng.
Yechish elementi o'rniga biz 1 ni olamiz va ustunning o'zida biz nollarni yozamiz.
Matritsaning barcha boshqa elementlari, shu jumladan B ustunining elementlari to'rtburchaklar qoidasi bilan aniqlanadi.
Buni amalga oshirish uchun to'rtburchakning uchlarida joylashgan va har doim RE ning faollashtiruvchi elementini o'z ichiga olgan to'rtta raqamni tanlang.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Yoqish elementi (-4).
Yechish elementi o'rniga biz 1 ni olamiz va ustunning o'zida biz nollarni yozamiz.
Matritsaning barcha boshqa elementlari, shu jumladan B ustunining elementlari to'rtburchaklar qoidasi bilan aniqlanadi.
Buni amalga oshirish uchun to'rtburchakning uchlarida joylashgan va har doim RE ning faollashtiruvchi elementini o'z ichiga olgan to'rtta raqamni tanlang.
Keling, har bir elementning hisobini jadval ko'rinishida keltiramiz:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Javob: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Gauss usulini amalga oshirish

Gauss usuli ko'plab dasturlash tillarida, xususan: Pascal, C++, php, Delphi tillarida qo'llaniladi, shuningdek, Gauss usulining onlayn tarzda amalga oshirilishi ham mavjud.

Gauss usulidan foydalanish

O'yin nazariyasida Gauss usulini qo'llash

O'yin nazariyasida o'yinchining maksimal optimal strategiyasini topishda Gauss usuli bilan echiladigan tenglamalar tizimi tuziladi.

Differensial tenglamalarni yechishda Gauss usulini qo'llash

Differensial tenglamaning muayyan yechimini izlash uchun, avvalo, dastlabki tenglamaga almashtirilgan yozma xususiy yechim (y=f(A,B,C,D)) uchun mos darajali hosilalarni toping. Keyinchalik, A, B, C, D o'zgaruvchilarni topish uchun Gauss usuli bilan echiladigan tenglamalar tizimi tuziladi.

Chiziqli dasturlashda Jordano-Gauss usulini qo'llash

Chiziqli dasturlashda, xususan, simpleks usulida, har bir iteratsiyada simpleks jadvalini o'zgartirish uchun Jordan-Gauss usuli qo'llaniladigan to'rtburchaklar qoidasi qo'llaniladi.