Logarifmik tenglamalarni echish bo'yicha uzoq darslar turkumidagi yakuniy videolar. Bu safar biz birinchi navbatda logarifmning ODZ bilan ishlaymiz - aynan ta'rif sohasini noto'g'ri ko'rib chiqish (hatto e'tibor bermaslik) tufayli bunday muammolarni hal qilishda ko'p xatolar yuzaga keladi.

Ushbu qisqa video darsda biz logarifmlarni qo'shish va ayirish uchun formulalardan foydalanishni ko'rib chiqamiz, shuningdek, ko'pchilik o'quvchilarda muammolarga duch keladigan kasr ratsional tenglamalar bilan shug'ullanamiz.

Nima haqida gaplashamiz? Men tushunmoqchi bo'lgan asosiy formula quyidagicha ko'rinadi:

log a (f g ) = log a f + log a g

Bu mahsulotdan logarifmlar yig'indisiga va orqaga standart o'tishdir. Ehtimol, siz ushbu formulani logarifmlarni o'rganishning boshidanoq bilasiz. Biroq, bitta kamchilik bor.

a, f va g o'zgaruvchilar oddiy sonlar ekan, hech qanday muammo tug'ilmaydi. Bu formula ajoyib ishlaydi.

Biroq, f va g o'rniga funksiyalar paydo bo'lishi bilanoq, qaysi yo'nalishni o'zgartirishga qarab, ta'rif sohasini kengaytirish yoki toraytirish muammosi paydo bo'ladi. O'zingiz uchun hukm qiling: chap tomonda yozilgan logarifmda ta'rif sohasi quyidagicha:

fg > 0

Ammo o'ng tomonda yozilgan miqdorda, ta'rif sohasi allaqachon biroz boshqacha:

f > 0

g > 0

Ushbu talablar to'plami asl talabdan ko'ra qattiqroq. Birinchi holda, biz f varianti bilan qanoatlanamiz< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 bajariladi).

Shunday qilib, chap konstruktsiyadan o'ngga o'tishda ta'rif sohasining torayishi sodir bo'ladi. Agar dastlab bizda yig'indi bo'lsa va uni mahsulot shaklida qayta yozgan bo'lsak, u holda ta'rif sohasi kengayadi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, birinchi holatda biz ildizlarni yo'qotishimiz mumkin, ikkinchisida esa qo'shimchalarni olishimiz mumkin. Haqiqiy logarifmik tenglamalarni yechishda buni hisobga olish kerak.

Shunday qilib, birinchi vazifa:

[Rasm uchun sarlavha]

Chapda biz bir xil bazadan foydalangan holda logarifmlar yig'indisini ko'ramiz. Shunday qilib, ushbu logarifmlarni qo'shish mumkin:

[Rasm uchun sarlavha]

Ko'rib turganingizdek, o'ng tomonda biz formuladan foydalanib nolni almashtirdik:

a = log b b a

Keling, tenglamamizni biroz o'zgartiramiz:

log 4 (x - 5) 2 = log 4 1

Bizning oldimizda logarifmik tenglamaning kanonik shakli mavjud, biz log belgisini kesib tashlashimiz va argumentlarni tenglashtirishimiz mumkin:

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

Iltimos, diqqat qiling: modul qaerdan kelgan? Sizga shuni eslatib o'tamanki, aniq kvadratning ildizi modulga teng:

[Rasm uchun sarlavha]

Keyin modulli klassik tenglamani yechamiz:

|f | = g (g > 0) =>f = ±g

x - 5 = ±1 =>x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Mana ikkita nomzodning javobi. Ular asl logarifmik tenglamaning yechimimi? Yo'q, hech qanday holatda!

Hamma narsani shunday qoldirib javob yozishga haqqimiz yo'q. Logarifmlar yig'indisini argumentlar ko'paytmasining bir logarifmi bilan almashtiradigan bosqichni ko'rib chiqing. Muammo shundaki, asl iboralarda bizda funktsiyalar mavjud. Shuning uchun siz quyidagilarni talab qilishingiz kerak:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

Biz mahsulotni o'zgartirib, aniq kvadratni olganimizda, talablar o'zgardi:

(x - 5) 2 > 0

Bu talab qachon bajariladi? Ha, deyarli har doim! X - 5 = 0 bo'lgan hol bundan mustasno. Ya'ni tengsizlik bitta teshilgan nuqtaga kamayadi:

x - 5 ? 0 => x ? 5

Ko'rib turganingizdek, ta'rif doirasi kengaydi, bu haqda biz darsning boshida gaplashdik. Natijada, qo'shimcha ildizlar paydo bo'lishi mumkin.

Ushbu qo'shimcha ildizlarning paydo bo'lishini qanday oldini olish mumkin? Bu juda oddiy: biz olingan ildizlarga qaraymiz va ularni asl tenglamani aniqlash sohasi bilan taqqoslaymiz. Keling, hisoblaymiz:

x (x - 5) > 0

Interval usuli yordamida hal qilamiz:

x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5

Olingan raqamlarni chiziqda belgilaymiz. Barcha nuqtalar etishmayapti, chunki tengsizlik qat'iy. 5 dan katta har qanday raqamni oling va o'rniga:

[Rasm uchun sarlavha]

Bizni (-?; 0) ? (5; ?) oraliqlari qiziqtiradi. Agar biz ildizlarimizni segmentga belgilasak, x = 4 bizga mos kelmasligini ko'ramiz, chunki bu ildiz asl logarifmik tenglamaning ta'rif sohasidan tashqarida joylashgan.

Biz umumiylikka qaytamiz, x = 4 ildizini kesib tashlaymiz va javobni yozamiz: x = 6. Bu asl logarifmik tenglamaning yakuniy javobidir. Mana, muammo hal qilindi.

Ikkinchi logarifmik tenglamaga o'tamiz:

[Rasm uchun sarlavha]

Keling, buni hal qilaylik. E'tibor bering, birinchi atama kasr, ikkinchisi esa bir xil kasr, lekin teskari. Lgx iborasidan qo'rqmang - bu shunchaki o'nlik logarifm, biz uni yozishimiz mumkin:

lgx = log 10 x

Bizda ikkita teskari kasr borligi sababli, men yangi o'zgaruvchini kiritishni taklif qilaman:

[Rasm uchun sarlavha]

Shunday qilib, bizning tenglamamizni quyidagicha qayta yozish mumkin:

t + 1 / t = 2;

t + 1 / t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 / t = 0.

Ko'rib turganingizdek, kasrning numeratori aniq kvadratdir. Kasr nolga teng, agar uning soni nolga teng bo'lsa va maxraji nolga teng bo'lsa:

(t - 1) 2 = 0; t ? 0

Birinchi tenglamani yechamiz:

t - 1 = 0;

t = 1.

Bu qiymat ikkinchi talabni qondiradi. Shuning uchun biz tenglamamizni to'liq yechdik, deyishimiz mumkin, lekin faqat t o'zgaruvchisiga nisbatan. Endi t nima ekanligini eslaylik:

[Rasm uchun sarlavha]

Biz nisbatni oldik:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

Ushbu tenglamani kanonik ko'rinishga keltiramiz:

logx = log 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

Natijada, biz nazariy jihatdan dastlabki tenglamaning yechimi bo'lgan yagona ildiz oldik. Biroq, keling, uni xavfsiz o'ynaymiz va asl tenglamaning ta'rif sohasini yozamiz:

[Rasm uchun sarlavha]

Shuning uchun bizning ildizimiz barcha talablarni qondiradi. Biz dastlabki logarifmik tenglamaning yechimini topdik. Javob: x = 0,1. Muammo hal qilindi.

Bugungi darsda faqat bitta asosiy nuqta bor: ko'paytmadan yig'indiga va orqaga o'tish formulasini qo'llashda, o'tishning qaysi yo'nalishiga qarab ta'rif doirasi torayishi yoki kengayishi mumkinligini hisobga oling.

Nima bo'layotganini qanday tushunish mumkin: qisqarish yoki kengayish? Juda oddiy. Agar ilgari funktsiyalar birgalikda bo'lsa, lekin hozir ular alohida bo'lsa, unda ta'rif doirasi toraygan (chunki ko'proq talablar mavjud). Agar dastlab funktsiyalar alohida bo'lsa va hozir ular birga bo'lsa, unda ta'rif doirasi kengayadi (mahsulotga individual omillarga qaraganda kamroq talablar qo'yiladi).

Ushbu eslatmani hisobga olgan holda shuni ta'kidlashni istardimki, ikkinchi logarifmik tenglama bu o'zgarishlarni umuman talab qilmaydi, ya'ni biz hech qanday joyda argumentlarni qo'shmaymiz yoki ko'paytirmaymiz. Biroq, bu erda men sizning e'tiboringizni yechimni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beruvchi yana bir ajoyib texnikaga qaratmoqchiman. Bu o'zgaruvchini almashtirish haqida.

Biroq, hech qanday almashtirishlar bizni ta'rif doirasidan ozod qilmasligini unutmang. Shuning uchun barcha ildizlar topilgandan so'ng, biz dangasa emasmiz va uning ODZ ni topish uchun dastlabki tenglamaga qaytdik.

Ko'pincha, o'zgaruvchini almashtirishda, o'quvchilar t qiymatini topib, yechim to'liq deb o'ylashganda, bezovta qiluvchi xatolik yuzaga keladi. Yo'q, hech qanday holatda!

T qiymatini topganingizdan so'ng, siz asl tenglamaga qaytishingiz va bu harf bilan aynan nimani nazarda tutganimizni ko'rishingiz kerak. Natijada, biz yana bitta tenglamani echishimiz kerak, ammo bu avvalgisidan ancha sodda bo'ladi.

Bu yangi o'zgaruvchini joriy etishning aniq nuqtasi. Biz dastlabki tenglamani ikkita oraliq tenglamaga ajratamiz, ularning har biri ancha sodda yechimga ega.

"Ichqa" logarifmik tenglamalarni qanday yechish mumkin

Bugun biz logarifmik tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz va bir logarifm boshqa logarifmning belgisi ostida bo'lganda konstruktsiyalarni tahlil qilamiz. Ikkala tenglamani kanonik shakl yordamida yechamiz.

Bugun biz logarifmik tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz va bir logarifm boshqasining belgisi ostida bo'lgan konstruktsiyalarni tahlil qilamiz. Ikkala tenglamani kanonik shakl yordamida yechamiz. Eslatib o‘tamiz, agar log a f (x) = b ko‘rinishdagi eng oddiy logarifmik tenglamaga ega bo‘lsak, unda bunday tenglamani yechish uchun quyidagi amallarni bajaramiz. Avvalo, b raqamini almashtirishimiz kerak:

b = log a a b

E'tibor bering, a b argumentdir. Xuddi shunday, dastlabki tenglamada argument f(x) funksiyadir. Keyin biz tenglamani qayta yozamiz va ushbu qurilishni olamiz:

log a f (x ) = log a a b

Keyin biz uchinchi bosqichni bajarishimiz mumkin - logarifm belgisidan xalos bo'ling va shunchaki yozing:

f (x) = a b

Natijada biz yangi tenglamani olamiz. Bunda f (x) funksiyasiga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi. Masalan, logarifmik funktsiya ham o'z o'rnini egallashi mumkin. Va keyin biz yana logarifmik tenglamani olamiz, uni yana oddiy shaklga keltiramiz va kanonik shakl orqali hal qilamiz.

Biroq, qo'shiq matni etarli. Keling, haqiqiy muammoni hal qilaylik. Shunday qilib, vazifa raqami 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Ko'rib turganingizdek, oldimizda eng oddiy logarifmik tenglama mavjud. f (x) ning roli 1 + 3 log 2 x qurilishi, b sonining roli esa 2 raqami (a rolini ham ikkitasi o'ynaydi). Keling, bu ikkitasini quyidagicha qayta yozamiz:

Dastlabki ikkitasi bizga logarifm bazasidan kelganini tushunish kerak, ya'ni agar dastlabki tenglamada 5 ta bo'lsa, biz 2 = log 5 5 2 ni olamiz. Umuman olganda, asos faqat muammoda dastlab berilgan logarifmaga bog'liq. Va bizning holatlarimizda bu 2-raqam.

Shunday qilib, keling, o'ngdagi ikkitasi ham logarifm ekanligini hisobga olib, logarifmik tenglamamizni qayta yozamiz. Biz olamiz:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Keling, sxemamizning oxirgi bosqichiga o'tamiz - kanonik shakldan xalos bo'lish. Aytish mumkinki, biz shunchaki log belgilarini kesib tashladik. Biroq, matematik nuqtai nazardan, "jurnalni kesib tashlash" mumkin emas - biz shunchaki dalillarni tenglashtiramiz, desak to'g'riroq bo'ladi:

1 + 3 log 2 x = 4

Bu yerdan 3 log 2 x ni osongina topishimiz mumkin:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Biz yana eng oddiy logarifmik tenglamani oldik, keling, uni kanonik shaklga qaytaramiz. Buning uchun biz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirishimiz kerak:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Nega tagida ikkitasi bor? Chunki chap tarafdagi kanonik tenglamamizda 2-sonli asosga aniq logarifm bor. Biz ushbu faktni hisobga olgan holda masalani qayta yozamiz:

log 2 x = log 2 2

Yana biz logarifm belgisidan qutulamiz, ya'ni biz oddiygina argumentlarni tenglashtiramiz. Biz buni qilishga haqlimiz, chunki asoslar bir xil va na o'ngda, na chapda boshqa qo'shimcha harakatlar bajarilmadi:

Bo'ldi shu! Muammo hal qilindi. Logarifmik tenglamaning yechimini topdik.

Diqqat qilish! Argumentda x o'zgaruvchisi paydo bo'lsa ham (ya'ni, ta'rif sohasi uchun talablar paydo bo'ladi), biz hech qanday qo'shimcha talablar qo'ymaymiz.

Yuqorida aytib o'tganimdek, agar o'zgaruvchi faqat bitta logarifmning bitta argumentida ko'rinsa, bu tekshirish ortiqcha bo'ladi. Bizning holatda, x haqiqatan ham faqat argumentda va faqat bitta log belgisi ostida paydo bo'ladi. Shuning uchun qo'shimcha tekshiruvlar talab qilinmaydi.

Ammo, agar siz ushbu usulga ishonmasangiz, x = 2 haqiqatan ham ildiz ekanligini osongina tekshirishingiz mumkin. Bu raqamni asl tenglamaga almashtirish kifoya.

Keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz, bu biroz qiziqroq:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Katta logarifm ichidagi ifodani f (x) funksiya bilan belgilasak, bugungi videodarsimizni boshlagan eng oddiy logarifmik tenglamani olamiz. Shuning uchun siz kanonik shaklni qo'llashingiz mumkin, buning uchun siz birlikni log 2 2 1 = log 2 2 shaklida ko'rsatishingiz kerak bo'ladi.

Katta tenglamamizni qayta yozamiz:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = log 2 2

Argumentlarni tenglashtirib, logarifm belgisidan uzoqlashamiz. Biz buni qilish huquqiga egamiz, chunki chapda ham, o'ngda ham asoslar bir xil. Bundan tashqari, log 2 4 = 2 ekanligini unutmang:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

Yana oldimizda log a f (x) = b shaklidagi eng oddiy logarifmik tenglama turibdi. Keling, kanonik shaklga o'tamiz, ya'ni log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 shaklida nolni ifodalaymiz.

Biz tenglamamizni qayta yozamiz va argumentlarni tenglashtirgan holda log belgisidan xalos bo'lamiz:

log 1/2 (2x - 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

Yana, biz darhol javob oldik. Hech qanday qo'shimcha tekshiruvlar talab qilinmaydi, chunki dastlabki tenglamada faqat bitta logarifm argument sifatida funktsiyani o'z ichiga oladi.

Shuning uchun qo'shimcha tekshiruvlar talab qilinmaydi. Ishonch bilan ayta olamizki, x = 1 bu tenglamaning yagona ildizidir.

Ammo agar ikkinchi logarifmda to'rtta o'rniga x ning qandaydir funksiyasi mavjud bo'lsa (yoki 2x argumentda emas, balki asosda edi), u holda ta'rif sohasini tekshirish kerak bo'ladi. Aks holda, qo'shimcha ildizlarga yugurish ehtimoli katta.

Bu qo'shimcha ildizlar qayerdan keladi? Bu nuqta juda aniq tushunilishi kerak. Asl tenglamalarga qarang: hamma joyda x funksiyasi logarifm belgisi ostida. Shunday qilib, biz log 2 x ni yozib olganimiz uchun biz avtomatik ravishda x > 0 talabini o'rnatdik. Aks holda, bu yozuv mantiqiy emas.

Biroq, logarifmik tenglamani yechishda, biz barcha log belgilaridan xalos bo'lamiz va oddiy konstruktsiyalarni olamiz. Bu erda hech qanday cheklovlar o'rnatilmagan, chunki chiziqli funktsiya x ning istalgan qiymati uchun aniqlanadi.

Aynan shu muammo, agar yakuniy funktsiya hamma joyda va har doim aniqlangan bo'lsa, lekin asl funktsiya hamma joyda va har doim ham aniqlanmaydi, shuning uchun logarifmik tenglamalarni echishda qo'shimcha ildizlar juda tez-tez paydo bo'ladi.

Ammo yana bir bor takrorlayman: bu faqat funktsiya bir nechta logarifmlarda yoki ulardan birining bazasida bo'lgan vaziyatda sodir bo'ladi. Bugun biz ko'rib chiqayotgan muammolarda, qoida tariqasida, ta'rif doirasini kengaytirish bilan bog'liq muammolar yo'q.

Turli sabablarga ko'ra holatlar

Ushbu dars yanada murakkab tuzilmalarga bag'ishlangan. Bugungi tenglamalardagi logarifmlar endi darhol yechilmaydi - avval ba'zi o'zgarishlarni amalga oshirish kerak bo'ladi.

Biz bir-birining aniq kuchi bo'lmagan, butunlay boshqa asoslarga ega bo'lgan logarifmik tenglamalarni echishni boshlaymiz. Bunday muammolar sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang - ularni hal qilish biz yuqorida muhokama qilgan eng oddiy dizaynlardan ko'ra qiyinroq emas.

Ammo to'g'ridan-to'g'ri muammolarga o'tishdan oldin, sizga kanonik shakl yordamida eng oddiy logarifmik tenglamalarni echish formulasini eslatib o'taman. Quyidagi kabi muammoni ko'rib chiqing:

log a f (x) = b

Muhimi, f (x) funksiyasi shunchaki funksiya bo‘lib, a va b sonlarining roli raqamlar bo‘lishi kerak (hech qanday o‘zgaruvchi x bo‘lmagan). Albatta, bir daqiqadan so'ng biz a va b o'zgaruvchilari o'rniga funktsiyalar mavjud bo'lgan holatlarni ko'rib chiqamiz, ammo hozir bu haqda emas.

Biz eslaganimizdek, b soni chap tomonda joylashgan bir xil a asosiga logarifm bilan almashtirilishi kerak. Bu juda oddiy tarzda amalga oshiriladi:

b = log a a b

Albatta, "har qanday b soni" va "har qanday a soni" so'zlari ta'rif doirasini qondiradigan qiymatlarni anglatadi. Xususan, bu tenglamada biz faqat a > 0 va a ? 1 asosi haqida gapiramiz.

Biroq, bu talab avtomatik ravishda qondiriladi, chunki asl masala allaqachon a ni asoslash uchun logarifmani o'z ichiga oladi - u 0 dan katta bo'ladi va 1 ga teng bo'lmaydi. Shuning uchun biz logarifmik tenglamani yechishda davom etamiz:

log a f (x ) = log a a b

Bunday belgi kanonik shakl deb ataladi. Uning qulayligi shundan iboratki, biz argumentlarni tenglashtirish orqali darhol log belgisidan xalos bo'lishimiz mumkin:

f (x) = a b

O'zgaruvchan asosli logarifmik tenglamalarni yechishda aynan shu texnikadan foydalanamiz. Xo'sh, ketaylik!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Keyingi nima? Kimdir endi siz to'g'ri logarifmni hisoblashingiz yoki ularni bir xil bazaga yoki boshqa narsaga kamaytirishingiz kerakligini aytadi. Va haqiqatan ham, endi ikkala asosni ham bir xil shaklga keltirishimiz kerak - 2 yoki 0,5. Ammo keling, quyidagi qoidani bir marta va butunlay bilib olaylik:

Agar logarifmik tenglamada o'nli kasrlar bo'lsa, bu kasrlarni o'nlikdan umumiy belgiga aylantirganingizga ishonch hosil qiling. Ushbu transformatsiya yechimni sezilarli darajada soddalashtirishi mumkin.

Bunday o'tish har qanday harakatlar yoki o'zgarishlarni amalga oshirishdan oldin ham darhol amalga oshirilishi kerak. Ko'raylikchi:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Bunday rekord bizga nima beradi? Biz 1/2 va 1/8 ni manfiy darajali darajalar sifatida ifodalashimiz mumkin:

[Rasm uchun sarlavha]

Bizning oldimizda kanonik shakl mavjud. Biz argumentlarni tenglashtiramiz va klassik kvadrat tenglamani olamiz:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Bizning oldimizda Vyeta formulalari yordamida osonlikcha yechish mumkin bo'lgan quyidagi kvadrat tenglama mavjud. O'rta maktabda siz shunga o'xshash displeylarni tom ma'noda og'zaki ko'rishingiz kerak:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Bo'ldi shu! Dastlabki logarifmik tenglama yechildi. Bizda ikkita ildiz bor.

Eslatib o'taman, bu holda ta'rif sohasini aniqlash shart emas, chunki x o'zgaruvchisi bo'lgan funksiya faqat bitta argumentda mavjud. Shuning uchun ta'rif doirasi avtomatik ravishda amalga oshiriladi.

Shunday qilib, birinchi tenglama yechilgan. Keling, ikkinchisiga o'tamiz:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 -1

Endi e'tibor bering, birinchi logarifmning argumenti manfiy ko'rsatkichli daraja sifatida ham yozilishi mumkin: 1/2 = 2 -1. Keyin tenglamaning ikkala tomonidagi kuchlarni chiqarib, hamma narsani -1 ga bo'lishingiz mumkin:

[Rasm uchun sarlavha]

Va endi biz logarifmik tenglamani echishda juda muhim bosqichni yakunladik. Ehtimol, kimdir biror narsani sezmagandir, shuning uchun menga tushuntirib bering.

Tenglamamizga qarang: chapda ham, o'ngda ham log belgisi bor, lekin chap tomonda 2 asosga logarifm, o'ngda esa 3 asosga logarifm bor. Uch - butun son darajasi emas. ikkita va aksincha, butun darajalarda 2 ni 3 deb yoza olmaysiz.

Binobarin, bular turli asoslarga ega bo'lgan logarifmlar bo'lib, ularni shunchaki kuch qo'shish orqali bir-biriga qisqartirib bo'lmaydi. Bunday muammolarni hal qilishning yagona yo'li bu logarifmlardan birini yo'q qilishdir. Bunday holda, biz hali ham juda oddiy muammolarni ko'rib chiqayotganimiz sababli, o'ngdagi logarifm oddiygina hisoblab chiqilgan va biz eng oddiy tenglamani oldik - aynan bugungi darsning boshida gaplashganimiz.

Keling, o'ng tomonda joylashgan 2 raqamini log 2 2 2 = log 2 4 ko'rinishida tasvirlaymiz. Keyin logarifm belgisidan xalos bo'lamiz, shundan so'ng biz shunchaki kvadrat tenglama bilan qolamiz:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

Bizning oldimizda oddiy kvadrat tenglama bor, lekin u kamaymaydi, chunki x 2 koeffitsienti birlikdan farq qiladi. Shuning uchun biz uni diskriminant yordamida hal qilamiz:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

Bo'ldi shu! Biz ikkala ildizni ham topdik, demak, biz asl logarifmik tenglamaning yechimini oldik. Haqiqatan ham, asl masalada x o'zgaruvchisi bo'lgan funksiya faqat bitta argumentda mavjud. Shunday qilib, ta'rif sohasi bo'yicha qo'shimcha tekshiruvlar talab qilinmaydi - biz topgan ikkala ildiz ham barcha mumkin bo'lgan cheklovlarga javob beradi.

Bu bugungi videodarsimizning oxiri bo'lishi mumkin, ammo yakunida yana bir bor aytmoqchiman: logarifmik tenglamalarni yechishda barcha o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring. Ko'pgina hollarda, bu ularning echimini sezilarli darajada osonlashtiradi.

Kamdan-kam, juda kamdan-kam hollarda, o'nlik kasrlardan xalos bo'lish faqat hisob-kitoblarni murakkablashtiradigan muammolarga duch kelasiz. Biroq, bunday tenglamalarda, qoida tariqasida, dastlab o'nlik kasrlardan qutulishning hojati yo'qligi aniq bo'ladi.

Ko'pgina boshqa holatlarda (ayniqsa, agar siz logarifmik tenglamalarni echishni mashq qilishni boshlayotgan bo'lsangiz), o'nli kasrlardan xalos bo'ling va ularni oddiylarga aylantiring. Chunki amaliyot shuni ko'rsatadiki, shu tarzda siz keyingi yechim va hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirasiz.

Yechimning nozik tomonlari va fokuslari

Bugun biz murakkabroq masalalarga o'tamiz va logarifmik tenglamani yechamiz, bu tenglama songa emas, balki funktsiyaga asoslangan.

Va agar bu funktsiya chiziqli bo'lsa ham, yechim sxemasiga kichik o'zgarishlar kiritish kerak bo'ladi, uning ma'nosi logarifmni aniqlash sohasiga qo'yiladigan qo'shimcha talablarga to'g'ri keladi.

Murakkab vazifalar

Ushbu o'quv qo'llanma ancha uzoq bo'ladi. Unda biz ikkita jiddiy logarifmik tenglamani tahlil qilamiz, ularni echishda ko'plab talabalar xato qiladilar. Matematika o'qituvchisi sifatidagi amaliyotim davomida men doimo ikkita turdagi xatolarga duch keldim:

1. Logarifmlarni aniqlash sohasining kengayishi tufayli qo'shimcha ildizlarning paydo bo'lishi. Bunday haqoratli xatolardan qochish uchun har bir transformatsiyani diqqat bilan kuzatib boring;
2. Talaba ba'zi "nozik" holatlarni ko'rib chiqishni unutganligi sababli ildizlarning yo'qolishi - bu biz bugun e'tibor qaratadigan vaziyatlar.

Bu logarifmik tenglamalar bo'yicha oxirgi dars. Bu uzoq davom etadi, biz murakkab logarifmik tenglamalarni tahlil qilamiz. O'zingizni qulay qiling, choy tayyorlang va keling.

Birinchi tenglama juda standart ko'rinadi:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Darhol shuni ta'kidlaymizki, ikkala logarifm ham bir-birining teskari nusxasi. Keling, ajoyib formulani eslaylik:

log a b = 1 / log b a

Biroq, bu formulada bir qator cheklovlar mavjud, agar a va b raqamlari o'rniga x o'zgaruvchining funktsiyalari mavjud bo'lsa:

b > 0

1 ? a > 0

Bu talablar logarifm asosiga taalluqlidir. Boshqa tomondan, kasrda bizdan 1 ? a > 0 bo'lishi talab qilinadi, chunki logarifm argumentida nafaqat a o'zgaruvchisi (shuning uchun a > 0), balki logarifmning o'zi ham kasrning maxrajida bo'ladi. . Ammo log b 1 = 0 va maxraj noldan farqli bo'lishi kerak, shuning uchun a ? 1.

Shunday qilib, o'zgaruvchiga cheklovlar saqlanib qoladi. Lekin b o'zgaruvchisi bilan nima sodir bo'ladi? Bir tomondan, asos b > 0 ni, boshqa tomondan, o'zgaruvchi b ? 1 ni nazarda tutadi, chunki logarifmning asosi 1 dan farq qilishi kerak. Hammasi bo'lib, formulaning o'ng tomonidan 1 ? degan xulosaga keladi. b > 0.

Ammo bu erda muammo bor: chap logarifm bilan bog'liq bo'lgan birinchi tengsizlikda ikkinchi talab (b ? 1) mavjud emas. Boshqacha qilib aytganda, bu transformatsiyani amalga oshirishda biz kerak alohida tekshiring, b argumenti bittadan farq qiladi!

Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Keling, formulamizni qo'llaymiz:

[Rasm uchun sarlavha]

1 ? x - 0,5 > 0; 1 ? x + 1 > 0

Shunday qilib, biz dastlabki logarifmik tenglamadan shuni oldikki, a va b ham 0 dan katta va 1 ga teng bo'lmasligi kerak. Bu logarifmik tenglamani osongina invertatsiya qilishimiz mumkinligini anglatadi:

Men yangi o'zgaruvchini kiritishni taklif qilaman:

log x + 1 (x - 0,5) = t

Bunday holda, bizning qurilishimiz quyidagicha qayta yoziladi:

(t 2 - 1) / t = 0

E'tibor bering, numeratorda biz kvadratlar farqiga egamiz. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida kvadratlar farqini aniqlaymiz:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

Kasrning soni nolga, maxraji esa nolga teng bo'lmasa, nolga teng bo'ladi. Ammo numerator mahsulotni o'z ichiga oladi, shuning uchun biz har bir omilni nolga tenglashtiramiz:

t 1 = 1;

t 2 = -1;

t ? 0.

Ko'rib turganimizdek, t o'zgaruvchisining ikkala qiymati ham bizga mos keladi. Biroq, yechim shu bilan tugamaydi, chunki biz t emas, balki x qiymatini topishimiz kerak. Biz logarifmga qaytamiz va quyidagilarni olamiz:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Keling, ushbu tenglamalarning har birini kanonik shaklga keltiramiz:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Biz birinchi holatda logarifm belgisidan xalos bo'lamiz va argumentlarni tenglashtiramiz:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

Bunday tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun birinchi logarifmik tenglamaning ham ildizlari yo'q. Ammo ikkinchi tenglama bilan hamma narsa qiziqroq:

(x - 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Proporsiyani yechib, biz quyidagilarni olamiz:

(x - 0,5)(x + 1) = 1

Shuni eslatib o'tamanki, logarifmik tenglamalarni yechishda barcha o'nli kasrlarni oddiy kasrlar sifatida ishlatish ancha qulayroqdir, shuning uchun tenglamamizni quyidagicha qayta yozamiz:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Bizning oldimizda quyidagi kvadrat tenglama bor, uni Vyeta formulalari yordamida osongina echish mumkin:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x 2 = 1.

Bizda ikkita ildiz bor - ular asl logarifmik tenglamani echish uchun nomzodlar. Javobga qanday ildizlar kirishini tushunish uchun, keling, asl muammoga qaytaylik. Endi biz har bir ildizimizni ularning ta'rif sohasiga mos kelishini tekshirish uchun tekshiramiz:

1,5 ? x > 0,5; 0 ? x > -1.

Ushbu talablar ikki tomonlama tengsizlikka tengdir:

1 ? x > 0,5

Bu erdan biz darhol ko'ramizki, x = -1,5 ildiz bizga mos kelmaydi, lekin x = 1 bizga juda mos keladi. Shuning uchun x = 1 logarifmik tenglamaning yakuniy yechimidir.

Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Bir qarashda, barcha logarifmlarning turli asoslari va turli argumentlari bordek tuyulishi mumkin. Bunday tuzilmalar bilan nima qilish kerak? Avvalo, 25, 5 va 625 raqamlari 5 ning darajasi ekanligini unutmang:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Endi logarifmning ajoyib xususiyatidan foydalanamiz. Gap shundaki, siz argumentdan omillar ko'rinishidagi kuchlarni olishingiz mumkin:

log a b n = n ? log a b

Bu transformatsiya b funksiya bilan almashtirilganda ham cheklovlarga bog'liq. Lekin biz uchun b shunchaki raqam va hech qanday qo'shimcha cheklovlar paydo bo'lmaydi. Keling, tenglamamizni qayta yozamiz:

2 ? log x 5 + log 125 x 5 = 4 ? log 25 x 5

Biz log belgisini o'z ichiga olgan uchta shartli tenglama oldik. Bundan tashqari, uchta logarifmning argumentlari tengdir.

Logarifmlarni bir xil asosga keltirish uchun ularni teskari o'zgartirish vaqti keldi - 5. b o'zgaruvchisi doimiy bo'lgani uchun ta'rif sohasida hech qanday o'zgarishlar ro'y bermaydi. Biz shunchaki qayta yozamiz:

[Rasm uchun sarlavha]

Kutilganidek, maxrajda bir xil logarifmlar paydo bo'ldi. Men o'zgaruvchini almashtirishni taklif qilaman:

log 5 x = t

Bunday holda, bizning tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:

Keling, hisoblagichni yozamiz va qavslarni ochamiz:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

Keling, fraktsiyamizga qaytaylik. Numerator nolga teng bo'lishi kerak:

[Rasm uchun sarlavha]

Va maxraj noldan farq qiladi:

t ? 0; t ? -3; t ? -2

Oxirgi talablar avtomatik ravishda bajariladi, chunki ularning barchasi butun sonlarga "bog'langan" va barcha javoblar mantiqiy emas.

Shunday qilib, kasr ratsional tenglama echildi, t o'zgaruvchining qiymatlari topildi. Keling, logarifmik tenglamani echishga qaytaylik va t nima ekanligini eslaylik:

[Rasm uchun sarlavha]

Biz bu tenglamani kanonik shaklga keltiramiz va irratsional darajaga ega bo'lgan sonni olamiz. Bu sizni chalg'itishiga yo'l qo'ymang - hatto bunday dalillarni tenglashtirish mumkin:

[Rasm uchun sarlavha]

Bizda ikkita ildiz bor. Aniqrog'i, ikkita nomzod javobi - keling, ularni ta'rif sohasiga muvofiqligini tekshirib ko'ramiz. Logarifmning asosi x o'zgaruvchisi bo'lgani uchun biz quyidagilarni talab qilamiz:

1 ? x > 0;

Xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x ? 1/125 ekanligini tasdiqlaymiz, aks holda ikkinchi logarifmning asosi birlikka aylanadi. Nihoyat, uchinchi logarifm uchun x ? 1/25.

Hammasi bo'lib biz to'rtta cheklov oldik:

1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25

Endi savol tug'iladi: bizning ildizlarimiz bu talablarga javob beradimi? Albatta, ular mamnun! Chunki har qanday quvvatga 5 noldan katta bo'ladi va x > 0 talabi avtomatik ravishda qondiriladi.

Boshqa tomondan, 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, ya'ni bizning ildizlarimiz uchun ushbu cheklovlar (sizga eslatib o'taman, ko'rsatkichda irratsional son mavjud) ham qanoatlantiriladi va ikkala javob ham muammoning yechimidir.

Demak, bizda yakuniy javob bor. Ushbu vazifada ikkita asosiy nuqta mavjud:

1. Argument va asos almashtirilganda logarifmni aylantirganda ehtiyot bo'ling. Bunday o'zgarishlar ta'rif doirasiga keraksiz cheklovlar qo'yadi.
2. Logarifmlarni o'zgartirishdan qo'rqmang: ularni nafaqat teskari aylantirish, balki yig'indisi formulasi yordamida kengaytirish va odatda logarifmik ifodalarni yechishda o'rgangan har qanday formulalar yordamida o'zgartirish mumkin. Biroq, har doim esda tuting: ba'zi o'zgarishlar ta'rif doirasini kengaytiradi, ba'zilari esa ularni toraytiradi.

Logarifmik ifodalar, misollar yechish. Ushbu maqolada biz logarifmlarni yechish bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqamiz. Vazifalarda ifoda ma'nosini topish masalasi qo'yiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, logarifm tushunchasi ko'plab vazifalarda qo'llaniladi va uning ma'nosini tushunish juda muhimdir. Yagona davlat imtihoniga kelsak, logarifm tenglamalarni echishda, amaliy masalalarda, shuningdek funktsiyalarni o'rganish bilan bog'liq vazifalarda qo'llaniladi.

Logarifmning ma'nosini tushunish uchun misollar keltiramiz:

Asosiy logarifmik identifikatsiya:

Logarifmlarning har doim esda qolishi kerak bo'lgan xususiyatlari:

*Ko‘paytmaning logarifmi omillarning logarifmlari yig‘indisiga teng.

* * *

*Qismning (kasr) logarifmi omillarning logarifmlari orasidagi ayirmaga teng.

* * *

*Ko‘rsatkichning logarifmi ko‘rsatkichi va asosining logarifmi ko‘paytmasiga teng.

* * *

*Yangi poydevorga o'tish

* * *

Ko'proq xususiyatlar:

* * *

Logarifmlarni hisoblash ko'rsatkichlarning xossalarini qo'llash bilan chambarchas bog'liq.

Keling, ulardan ba'zilarini sanab o'tamiz:

Bu xossaning mohiyati shundan iboratki, hisoblagich maxrajga va aksincha o‘tkazilganda ko‘rsatkich belgisi teskari tomonga o‘zgaradi. Masalan:

Bu xususiyatdan xulosa:

* * *

Quvvatni kuchga ko'tarishda asos bir xil bo'lib qoladi, lekin ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.

* * *

Ko'rib turganingizdek, logarifm tushunchasining o'zi oddiy. Asosiysi, sizga ma'lum mahorat beradigan yaxshi amaliyot kerak. Albatta, formulalarni bilish talab qilinadi. Agar elementar logarifmlarni o'zgartirish mahorati rivojlanmagan bo'lsa, unda oddiy vazifalarni hal qilishda siz osongina xato qilishingiz mumkin.

Amaliyot qiling, avval matematika kursidan eng oddiy misollarni yeching, so'ngra murakkabroq misollarga o'ting. Kelajakda men, albatta, "xunuk" logarifmlar qanday hal qilinishini ko'rsataman, bular Yagona davlat imtihonida ko'rinmaydi, lekin ular qiziqish uyg'otadi, ularni o'tkazib yubormang!

Ana xolos! Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.

b (b > 0) sonining a asosi uchun logarifmi (a > 0, a ? 1)– b olish uchun a soni ko‘tarilishi kerak bo‘lgan ko‘rsatkich.

b ning asosiy 10 logarifmini quyidagicha yozish mumkin jurnal (b), va e asosining logarifmi (tabiiy logarifm) bo'ladi ln(b).

Ko'pincha logarifm bilan bog'liq muammolarni hal qilishda foydalaniladi:

Logarifmlarning xossalari

To'rtta asosiy bor logarifmlarning xossalari.

a > 0, a ? 1, x > 0 va y > 0 bo‘lsin.

Xossa 1. Mahsulotning logarifmi

Mahsulotning logarifmi logarifmlar yig'indisiga teng:

log a (x ? y) = log a x + log a y

2-xossa. Bo’lakning logarifmi

Bo'limning logarifmi logarifmlar farqiga teng:

log a (x / y) = log a x – log a y

Xossa 3. Quvvatning logarifmi

Darajaning logarifmi kuch va logarifmning mahsulotiga teng:

Agar logarifmning asosi quvvatda bo'lsa, unda boshqa formula qo'llaniladi:

xossa 4. Ildizning logarifmi

Bu xususiyatni darajaning logarifmi xossasidan olish mumkin, chunki kuchning n-chi ildizi 1/n kuchiga teng:

Bir asosdagi logarifmadan boshqa asosdagi logarifmaga aylantirish formulasi

Ushbu formula ko'pincha logarifmlar bo'yicha turli vazifalarni hal qilishda ham qo'llaniladi:

Maxsus holat:

Logarifmlarni solishtirish (tengsizliklar)

Bir xil asosli logarifmlar ostida 2 ta f(x) va g(x) funksiyalar bo‘lsin va ular orasida tengsizlik belgisi mavjud:

Ularni solishtirish uchun avval a logarifmlarining asosiga qarash kerak:

• Agar a > 0 bo'lsa, f(x) > g(x) > 0 bo'ladi
• Agar 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Logarifmlar bilan muammolarni qanday hal qilish mumkin: misollar

Logarifmlar bilan bog'liq muammolar 5-topshiriq va 7-topshiriq bo'yicha 11-sinf uchun matematika bo'yicha Yagona davlat imtihoniga kiritilgan bo'lsa, siz bizning veb-saytimizda tegishli bo'limlarda echimlar bilan vazifalarni topishingiz mumkin. Shuningdek, logarifmli topshiriqlar matematik vazifalar bankida mavjud. Saytdan qidirish orqali barcha misollarni topishingiz mumkin.

Logarifm nima

Logarifmlar har doim maktab matematika kurslarida qiyin mavzu hisoblangan. Logarifmning juda ko'p turli xil ta'riflari mavjud, ammo negadir ko'pchilik darsliklarda ularning eng murakkab va muvaffaqiyatsizlaridan foydalaniladi.

Biz logarifmni sodda va aniq belgilaymiz. Buning uchun jadval tuzamiz:

Demak, bizda ikki kuch bor.

Logarifmlar - xossalari, formulalari, yechish usullari

Agar siz raqamni pastki qatordan olsangiz, bu raqamni olish uchun ikkitasini ko'tarishingiz kerak bo'lgan quvvatni osongina topishingiz mumkin. Misol uchun, 16 ni olish uchun siz ikkitadan to'rtinchi darajaga ko'tarishingiz kerak. Va 64 ni olish uchun siz ikkitadan oltinchi kuchga ko'tarishingiz kerak. Buni jadvaldan ko'rish mumkin.

Va endi - aslida, logarifmning ta'rifi:

x argumentining a asosi x sonini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak bo'lgan kuchdir.

Belgilanishi: log a x = b, bu erda a - asos, x - argument, b - logarifm aslida nimaga teng.

Masalan, 2 3 = 8 =>log 2 8 = 3 (8 ning 2 ta logarifmi uchta, chunki 2 3 = 8). Xuddi shu muvaffaqiyat bilan log 2 64 = 6, chunki 2 6 = 64.

Sonning berilgan asosga logarifmini topish amali deyiladi. Shunday qilib, jadvalimizga yangi qator qo'shamiz:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Afsuski, barcha logarifmlarni hisoblash oson emas. Misol uchun, log 2 ni topishga harakat qiling 5. 5 raqami jadvalda yo'q, lekin mantiq logarifm oraliqda bir joyda yotishini ta'kidlaydi. Chunki 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bunday raqamlar irratsional deb nomlanadi: o'nli kasrdan keyingi sonlar cheksiz yozilishi mumkin va ular hech qachon takrorlanmaydi. Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, uni shunday qoldirgan ma'qul: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logarifm ikki o'zgaruvchiga (asosiy va argument) ega ifoda ekanligini tushunish muhimdir. Avvaliga ko'p odamlar asos qayerda va argument qayerda ekanligini chalkashtirib yuborishadi. Zerikarli tushunmovchiliklardan qochish uchun rasmga qarang:

Bizning oldimizda logarifm ta'rifidan boshqa narsa yo'q. Eslab qoling: logarifm kuchdir, dalil olish uchun asosni qurish kerak. Bu kuchga ko'tarilgan poydevor - rasmda qizil rang bilan ta'kidlangan. Ma'lum bo'lishicha, tayanch har doim pastda bo'ladi! Men o'quvchilarimga birinchi darsdayoq bu ajoyib qoidani aytaman - va hech qanday chalkashlik bo'lmaydi.

Logarifmlarni qanday hisoblash mumkin

Biz ta'rifni aniqladik - logarifmlarni qanday hisoblashni o'rganish qoladi, ya'ni. "log" belgisidan xalos bo'ling. Boshlash uchun ta'rifdan ikkita muhim fakt kelib chiqishini ta'kidlaymiz:

1. Argument va asos har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu logarifm ta'rifi kichraytirilgan ratsional ko'rsatkich bilan darajani aniqlashdan kelib chiqadi.
2. Baza bittadan farq qilishi kerak, chunki har qanday darajada bitta bo'lib qoladi. Shu sababli, "ikkitasini olish uchun qanday kuchga ko'tarilishi kerak" degan savol ma'nosizdir. Bunday daraja yo'q!

Bunday cheklovlar deyiladi qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni(ODZ). Ma’lum bo‘lishicha, logarifmning ODZ si quyidagicha ko‘rinadi: log a x = b =>x > 0, a > 0, a ? 1.

E'tibor bering, b (logarifmning qiymati) raqamiga hech qanday cheklovlar yo'q. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0,5 = -1, chunki 0,5 = 2 -1.

Biroq, endi biz logarifmning VA ni bilish talab qilinmaydigan faqat sonli ifodalarni ko'rib chiqamiz. Barcha cheklovlar allaqachon muammolar mualliflari tomonidan hisobga olingan. Ammo logarifmik tenglamalar va tengsizliklar paydo bo'lganda, DL talablari majburiy bo'ladi. Axir, asos va dalil yuqoridagi cheklovlarga mutlaqo mos kelmaydigan juda kuchli konstruktsiyalarni o'z ichiga olishi mumkin.

Endi logarifmlarni hisoblashning umumiy sxemasini ko'rib chiqamiz. U uch bosqichdan iborat:

1. a asosni va x argumentini mumkin bo'lgan minimal baza birdan katta bo'lgan daraja sifatida ifodalang. Yo'lda, o'nli kasrlardan qutulish yaxshiroqdir;
2. b o'zgaruvchisi uchun tenglamani yeching: x = a b ;
3. Olingan b soni javob bo'ladi.

Bo'ldi shu! Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, bu birinchi bosqichda allaqachon ko'rinadi. Baza birdan katta bo'lishi talabi juda muhim: bu xatolik ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. O'nli kasrlar bilan ham xuddi shunday: agar siz ularni darhol oddiy kasrlarga aylantirsangiz, xatolar kamroq bo'ladi.

Keling, ushbu sxema aniq misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 5 25

1. Baza va argumentni beshning kuchi sifatida tasavvur qilaylik: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Javobni oldik: 2.

Vazifa. Logarifmni hisoblang:

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 4 64

1. Baza va argumentni ikkining kuchi sifatida tasavvur qilaylik: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Javobni oldik: 3.

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 16 1

1. Baza va argumentni ikkining kuchi sifatida tasavvur qilaylik: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Javobni oldik: 0.

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 7 14

1. Asos va argumentni yettining kuchi sifatida tasavvur qilaylik: 7 = 7 1 ; 14 ni ettining kuchi sifatida ifodalab bo'lmaydi, chunki 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Oldingi paragrafdan kelib chiqadiki, logarifm hisobga olinmaydi;
3. Javob o'zgarmaydi: log 7 14.

Oxirgi misol bo'yicha kichik eslatma. Raqam boshqa raqamning aniq kuchi emasligiga qanday ishonch hosil qilish mumkin? Bu juda oddiy - uni asosiy omillarga kiriting. Agar kengayish kamida ikki xil omilga ega bo'lsa, bu raqam aniq kuch emas.

Vazifa. Raqamlarning aniq daraja ekanligini aniqlang: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - aniq daraja, chunki faqat bitta multiplikator mavjud;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bu aniq kuch emas, chunki ikkita omil mavjud: 3 va 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - aniq daraja;
35 = 7 · 5 - yana aniq kuch emas;
14 = 7 · 2 - yana aniq daraja emas;

Shuni ham yodda tutingki, tub sonlarning o'zlari har doim o'zlarining aniq kuchlaridir.

O'nlik logarifm

Ba'zi logarifmlar shunchalik keng tarqalganki, ular maxsus nom va belgiga ega.

argumentning x - 10 asosining logarifmi, ya'ni. X raqamini olish uchun 10 raqamini ko'tarish kerak bo'lgan kuch. Belgilanishi: lg x.

Masalan, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - va boshqalar.

Bundan buyon darslikda “Find lg 0.01” kabi ibora paydo bo'lganda, bilib oling: bu matn terish xatosi emas. Bu o'nlik logarifm. Ammo, agar siz ushbu belgi bilan tanish bo'lmasangiz, uni har doim qayta yozishingiz mumkin:
log x = log 10 x

Oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan hamma narsa o'nlik logarifmlar uchun ham to'g'ri keladi.

Tabiiy logarifm

O'z belgisiga ega bo'lgan yana bir logarifm mavjud. Qaysidir ma'noda, bu o'nlikdan ham muhimroqdir. Biz tabiiy logarifm haqida gapiramiz.

argumentning x - e asosining logarifmi, ya'ni. x sonini olish uchun e soni ko'tarilishi kerak bo'lgan kuch. Belgilanishi: ln x.

Ko'pchilik so'raydi: e raqami nima? Bu irratsional raqam, uning aniq qiymatini topib bo'lmaydi. Men faqat birinchi raqamlarni keltiraman:
e = 2,718281828459…

Bu raqam nima va nima uchun kerakligi haqida batafsil ma'lumot bermaymiz. Esda tutingki, e tabiiy logarifmning asosi hisoblanadi:
ln x = log e x

Shunday qilib, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - va hokazo. Boshqa tomondan, ln 2 irratsional sondir. Umuman olganda, har qanday ratsional sonning natural logarifmi irratsionaldir. Albatta, bittasi bundan mustasno: ln 1 = 0.

Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar o'rinlidir.

Shuningdek qarang:

Logarifm. Logarifmning xossalari (logarifmning kuchi).

Raqamni logarifm sifatida qanday ifodalash mumkin?

Biz logarifm ta'rifidan foydalanamiz.

Logarifm - bu logarifm belgisi ostidagi sonni olish uchun asosi ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich.

Shunday qilib, ma'lum c sonni a asosiga logarifm sifatida ko'rsatish uchun logarifm belgisi ostiga logarifm asosi bilan bir xil asosga ega bo'lgan darajani qo'yish kerak va bu c sonini ko'rsatkich sifatida yozish kerak:

Mutlaqo har qanday raqam logarifm sifatida ifodalanishi mumkin - musbat, manfiy, butun son, kasr, ratsional, irratsional:

Sinov yoki imtihonning stressli sharoitida a va c ni chalkashtirmaslik uchun siz quyidagi yodlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin:

pastdagi narsa pastga tushadi, yuqoridagi narsa yuqoriga ko'tariladi.

Misol uchun, siz 2 raqamini 3 asosga logarifm sifatida ko'rsatishingiz kerak.

Bizda ikkita raqam bor - 2 va 3. Bu raqamlar asos va ko'rsatkich bo'lib, biz ularni logarifm belgisi ostida yozamiz. Bu raqamlarning qaysi biri daraja asosiga va qaysi biri yuqoriga, ko'rsatkichga yozilishi kerakligini aniqlash qoladi.

Logarifmning yozuvidagi 3-asos pastda joylashgan, demak, biz ikkitani 3-asosga logarifm sifatida ifodalaganimizda, asosga ham 3-ni yozamiz.

2 uchdan yuqori. Ikkinchi darajani belgilashda biz uchtadan yuqoriga, ya'ni ko'rsatkich sifatida yozamiz:

Logarifmlar. Kirish darajasi.

Logarifmlar

Logarifm ijobiy raqam b asoslangan a, Qayerda a > 0, a ? 1, sonni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich deyiladi a olish uchun; olmoq b.

Logarifmning ta'rifi qisqacha shunday yozish mumkin:

Bu tenglik uchun amal qiladi b > 0, a > 0, a ? 1. Odatda deyiladi logarifmik identifikatsiya.
Sonning logarifmini topish amali deyiladi logarifm bo'yicha.

Logarifmlarning xossalari:

Mahsulotning logarifmi:

Bo'limning logarifmi:

Logarifm asosini almashtirish:

Darajaning logarifmi:

Ildizning logarifmi:

Quvvat bazasi bilan logarifm:

O'nlik va natural logarifmlar.

O'nlik logarifm raqamlar bu raqamning logarifmini 10 ta asosga chaqiradi va   lg yozadi b
Tabiiy logarifm raqamlar bu sonning asosga logarifmi deyiladi e, Qayerda e- taxminan 2,7 ga teng irratsional son. Shu bilan birga ular ln deb yozadilar b.

Algebra va geometriya bo'yicha boshqa eslatmalar

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqamlar kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar oddiy sonlar emasligi sababli, bu erda qoidalar mavjud, ular chaqiriladi asosiy xususiyatlar.

Siz, albatta, ushbu qoidalarni bilishingiz kerak - ularsiz biron bir jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - siz bir kunda hamma narsani o'rganishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo‘shish va ayirish

Bir xil asoslarga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va log a y. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga, ayirmasi esa bo‘lakning logarifmiga teng. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta bir xil asoslar. Agar sabablar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar, hatto uning alohida qismlari hisobga olinmasa ham, logarifmik ifodani hisoblashda yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Logarifmlar bir xil asosga ega bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 - log 2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 - log 3 5.

Yana asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida hisoblanmaydi. Ammo transformatsiyalardan so'ng butunlay normal raqamlar olinadi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, testga o'xshash iboralar Yagona davlat imtihonida barcha jiddiylik bilan (ba'zida deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni chiqarish

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumenti kuch bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Oxirgi qoida birinchi ikkitasiga amal qilishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, bu qoidalarning barchasi logarifmning ODZi kuzatilsa, mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ? 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing. , ya'ni. Logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin

Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .

Keling, birinchi formuladan foydalanib, argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

E'tibor bering, maxraj logarifmadan iborat bo'lib, uning asosi va argumenti aniq darajalardir: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizda ... bor:

O'ylaymanki, oxirgi misol biroz tushuntirishni talab qiladi. Logarifmlar qayerga ketdi? Biz oxirgi daqiqagacha faqat maxraj bilan ishlaymiz. Biz u erda turgan logarifmning asosini va argumentini kuchlar shaklida taqdim etdik va ko'rsatkichlarni olib tashladik - biz "uch qavatli" kasrni oldik.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil sonni o'z ichiga oladi: log 2 7. Log 2 7 ? 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rttasi hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarilgan. Natijada javob bo'ldi: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar sabablar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi poydevorga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Keling, ularni teorema shaklida tuzamiz:

log a x logarifmi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ? 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x o'rnatsak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda ko'rinadi.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ular qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq kuchlarni o'z ichiga oladi. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Endi ikkinchi logarifmni “teskari” qilaylik:

Faktorlarni qayta tartibga solishda mahsulot o'zgarmasligi sababli, biz xotirjamlik bilan to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlar bilan ishladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha yechim jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish kerak bo'ladi.

Bunday holda, quyidagi formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki u faqat logarifm qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu shunday deyiladi: .

Aslida, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajaga b soni a sonini beradi? To'g'ri: natija bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga yopishib olishadi.

Yangi bazaga o'tish formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:

E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - oddiygina kvadratni logarifmning asosi va argumentidan oldi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi :)

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlar deb atash qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, ular logarifm ta'rifining oqibatlari. Ular doimo muammolarda paydo bo'ladi va ajablanarlisi shundaki, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. log a a = 1 bo'ladi. Bir marta va umuman esda tuting: bu asosning har qanday a asosining logarifmi o'zi bittaga teng.
2. log a 1 = 0 bo'ladi. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varaqini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

Logarifmik tenglama noma'lum (x) va u bilan ifodalangan ifodalar logarifmik funksiya belgisi ostida bo'lgan tenglamadir. Logarifmik tenglamalarni yechish siz va bilan allaqachon tanish ekanligingizni nazarda tutadi.
Logarifmik tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Eng oddiy tenglama log a x = b, bu erda a va b ba'zi sonlar, x noma'lum.
Logarifmik tenglamani yechish x = a b taqdim etiladi: a > 0, a 1.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar x logarifmdan tashqarida bo'lsa, masalan log 2 x = x-2, unda bunday tenglama allaqachon aralash deb ataladi va uni hal qilish uchun maxsus yondashuv kerak.

Ideal holat - logarifm belgisi ostida faqat raqamlar bo'lgan tenglamaga duch kelganingizda, masalan, x+2 = log 2 2. Bu erda uni yechish uchun logarifmlarning xususiyatlarini bilish kifoya. Ammo bunday omad tez-tez uchramaydi, shuning uchun qiyinroq narsalarga tayyor bo'ling.

Lekin birinchi navbatda oddiy tenglamalardan boshlaylik. Ularni hal qilish uchun logarifm haqida juda umumiy tushunchaga ega bo'lish tavsiya etiladi.

Oddiy logarifmik tenglamalarni yechish

Bularga log 2 x = log 2 16 tipidagi tenglamalar kiradi. Yalang'och ko'z logarifm belgisini tashlab, x = 16 ni olishimizni ko'rishi mumkin.

Murakkab logarifmik tenglamani yechish uchun odatda oddiy algebraik tenglamani yechish yoki oddiy log a x = b logarifmik tenglamani yechishga keltiriladi. Eng oddiy tenglamalarda bu bir harakatda sodir bo'ladi, shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Logarifmlarni tushirishning yuqoridagi usuli logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishning asosiy usullaridan biridir. Matematikada bu operatsiya potensiyalash deb ataladi. Ushbu turdagi operatsiya uchun ma'lum qoidalar yoki cheklovlar mavjud:

• logarifmlar bir xil sonli asoslarga ega
• Tenglamaning ikkala tomonidagi logarifmlar erkin, ya'ni. hech qanday koeffitsientsiz yoki boshqa turli xil ifodalarsiz.

Aytaylik, log 2 x = 2log 2 (1 - x) tenglamasida potensiyalash qo'llanilmaydi - o'ngdagi 2 koeffitsienti bunga yo'l qo'ymaydi. Quyidagi misolda log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) ham cheklovlardan birini qanoatlantirmaydi - chap tomonda ikkita logarifm mavjud. Agar bitta bo'lganida, butunlay boshqa masala bo'lardi!

Umuman olganda, agar tenglama quyidagi shaklga ega bo'lsa, logarifmlarni olib tashlashingiz mumkin:

log a (...) = log a (...)

Mutlaqo har qanday iboralar qavs ichiga joylashtirilishi mumkin, bu potentsial operatsiyaga mutlaqo ta'sir qilmaydi. Va logarifmlarni yo'q qilgandan so'ng, oddiyroq tenglama qoladi - chiziqli, kvadratik, eksponensial va boshqalar, umid qilamanki, siz qanday hal qilishni bilasiz.

Yana bir misol keltiraylik:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Biz potentsialni qo'llaymiz, biz quyidagilarni olamiz:

log 3 (2x-1) = 2

Logarifmning ta'rifiga asoslanib, ya'ni logarifm - logarifm belgisi ostida bo'lgan ifodani olish uchun asos ko'tarilishi kerak bo'lgan raqam, ya'ni. (4x-1), biz olamiz:

Yana chiroyli javob oldik. Bu erda biz logarifmlarni yo'q qilmasdan qildik, lekin bu erda potentsiyalash ham qo'llaniladi, chunki logarifm har qanday raqamdan va aynan bizga kerak bo'lgan raqamdan tuzilishi mumkin. Bu usul logarifmik tenglamalarni va ayniqsa tengsizliklarni yechishda juda foydali.

Keling, log 3 (2x-1) = 2 logarifmik tenglamamizni potentsiya yordamida yechamiz:

Keling, 2 raqamini logarifm sifatida tasavvur qilaylik, masalan, bu log 3 9, chunki 3 2 =9.

Keyin log 3 (2x-1) = log 3 9 va yana bir xil tenglamani olamiz 2x-1 = 9. Umid qilamanki, hamma narsa aniq.

Shunday qilib, biz eng oddiy logarifmik tenglamalarni qanday hal qilishni ko'rib chiqdik, ular aslida juda muhim, chunki logarifmik tenglamalarni yechish, hatto eng dahshatli va o'ralgan bo'lsa ham, oxir-oqibat har doim eng oddiy tenglamalarni echishga tushadi.

Yuqorida qilgan barcha ishlarimizda biz kelajakda hal qiluvchi rol o'ynaydigan juda muhim nuqtani yo'qotdik. Gap shundaki, har qanday logarifmik tenglamaning yechimi, hatto eng elementar ham, ikkita teng qismdan iborat. Birinchisi, tenglamaning o'zi yechimi, ikkinchisi - ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni (APV) bilan ishlaydi. Bu biz o'zlashtirgan birinchi qismdir. Yuqoridagi misollarda ODZ javobga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi, shuning uchun biz buni ko'rib chiqmadik.

Yana bir misol keltiraylik:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Tashqi tomondan, bu tenglama elementardan farq qilmaydi, uni juda muvaffaqiyatli hal qilish mumkin. Ammo bu mutlaqo to'g'ri emas. Yo'q, albatta, biz buni hal qilamiz, lekin, ehtimol, noto'g'ri, chunki u kichik pistirmani o'z ichiga oladi, unga C sinf o'quvchilari ham, a'lochilar ham darhol tushib qolishadi. Keling, batafsil ko'rib chiqaylik.

Aytaylik, siz tenglamaning ildizini yoki ularning bir nechtasi bo'lsa, ildizlarning yig'indisini topishingiz kerak:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Biz potentsialdan foydalanamiz, bu erda qabul qilinadi. Natijada oddiy kvadrat tenglamani olamiz.

Tenglamaning ildizlarini toping:

Ikkita ildiz paydo bo'ldi.

Javob: 3 va -1

Bir qarashda hamma narsa to'g'ri. Ammo keling, natijani tekshiramiz va uni asl tenglamaga almashtiramiz.

X 1 = 3 dan boshlaylik:

log 3 6 = log 3 6

Tekshirish muvaffaqiyatli o'tdi, endi navbat x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Yaxshi, to'xtang! Tashqi tomondan, hamma narsa mukammaldir. Bir narsa - manfiy raqamlardan logarifmlar yo'q! Demak, x = -1 ildiz tenglamamizni yechish uchun mos emas. Va shuning uchun to'g'ri javob biz yozganimizdek 2 emas, 3 bo'ladi.

Bu erda ODZ o'zining halokatli rolini o'ynadi, biz buni unutdik.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, qabul qilinadigan qiymatlar oralig'i asl misol uchun ruxsat etilgan yoki mantiqiy bo'lgan x qiymatlarini o'z ichiga oladi.

ODZ bo'lmasa, har qanday tenglamaning har qanday yechimi, hatto mutlaqo to'g'risi ham lotereyaga aylanadi - 50/50.

Qanday qilib biz oddiy ko'rinadigan misolni hal qilishda qo'lga tushishimiz mumkin? Ammo aynan potentsiallanish vaqtida. Logarifmlar yo'qoldi va ular bilan barcha cheklovlar.

Bu holatda nima qilish kerak? Logarifmlarni yo'q qilishdan bosh tortasizmi? Va bu tenglamani echishdan butunlay bosh tortasizmi?

Yo'q, biz faqat bitta mashhur qo'shiqning haqiqiy qahramonlari kabi aylanma yo'lni bosib o'tamiz!

Har qanday logarifmik tenglamani echishni boshlashdan oldin biz ODZni yozamiz. Ammo bundan keyin siz bizning tenglamamiz bilan yuragingiz xohlagan narsani qilishingiz mumkin. Javobni olgach, biz ODZ-ga kiritilmagan ildizlarni tashlaymiz va yakuniy versiyani yozamiz.

Keling, ODZni qanday yozishni hal qilaylik. Buning uchun biz dastlabki tenglamani diqqat bilan tekshiramiz va undagi shubhali joylarni qidiramiz, masalan, x ga bo'linish, hatto ildiz va boshqalar. Tenglamani yechmagunimizcha, biz x ning nimaga teng ekanligini bilmaymiz, lekin aniq bilamizki, o'rniga qo'yilganda 0 ga bo'linadigan yoki manfiy sonning kvadrat ildizini oladigan x ning mos kelmasligi aniq. javob. Shuning uchun bunday x qabul qilinishi mumkin emas, qolganlari esa ODZni tashkil qiladi.

Keling, yana bir xil tenglamadan foydalanamiz:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Ko'rib turganingizdek, 0 ga bo'linish yo'q, kvadrat ildizlar ham yo'q, lekin logarifm tanasida x bilan ifodalangan iboralar mavjud. Darhol eslaylikki, logarifm ichidagi ifoda har doim >0 bo'lishi kerak. Ushbu shartni ODZ shaklida yozamiz:

Bular. Biz hali hech narsani hal qilmadik, lekin biz allaqachon butun sublogarifmik ifoda uchun majburiy shartni yozdik. Jingalak qavs bu shartlar bir vaqtning o'zida to'g'ri bo'lishi kerakligini anglatadi.

ODZ yoziladi, lekin natijada paydo bo'lgan tengsizliklar tizimini echish kerak, biz buni qilamiz. Biz javobni olamiz x > v3. Endi biz qaysi x bizga mos kelmasligini aniq bilamiz. Va keyin biz logarifmik tenglamaning o'zini echishni boshlaymiz, bu biz yuqorida qilgan narsamiz.

X 1 = 3 va x 2 = -1 javoblarini olganimizdan so'ng, bizga faqat x1 = 3 mos kelishini tushunish oson va biz uni yakuniy javob sifatida yozamiz.

Kelajakda quyidagilarni eslash juda muhim: biz har qanday logarifmik tenglamani 2 bosqichda echamiz. Birinchisi, tenglamaning o'zini hal qilish, ikkinchisi - ODZ shartini hal qilish. Ikkala bosqich ham bir-biridan mustaqil ravishda amalga oshiriladi va faqat javob yozishda solishtiriladi, ya'ni. keraksiz hamma narsani tashlang va to'g'ri javobni yozing.

Materialni mustahkamlash uchun videoni tomosha qilishni tavsiya etamiz:

Videoda jurnalni hal qilishning boshqa misollari ko'rsatilgan. tenglamalar va amaliyotda interval usulini ishlab chiqish.

Bu savolga, logarifmik tenglamalarni yechish usullari Hozircha hammasi shu. Agar biror narsa jurnal tomonidan qaror qilingan bo'lsa. tenglamalar noaniq yoki tushunarsiz bo'lib qolsa, savollaringizni izohlarda yozing.

Eslatma: Ijtimoiy ta'lim akademiyasi (ASE) yangi talabalarni qabul qilishga tayyor.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.