LCM'nin nas?l hesaplanaca??n? anlamak i?in ?nce "?oklu" teriminin anlam?n? belirlemelisiniz.

A'n?n kat?, A'ya kalans?z b?l?nebilen bir do?al say?d?r.Bu nedenle, 15, 20, 25 vb., 5'in katlar? olarak kabul edilebilir.

Belirli bir say?n?n s?n?rl? say?da b?leni olabilir, ancak sonsuz say?da kat? vard?r.

Do?al say?lar?n ortak kat?, onlara kalans?z b?l?nebilen say?lard?r.

Say?lar?n en k???k ortak kat? nas?l bulunur

Say?lar?n (iki, ?? veya daha fazla) en k???k ortak kat? (LCM), t?m bu say?lara e?it olarak b?l?nebilen en k???k do?al say?d?r.

NOC'yi bulmak i?in birka? y?ntem kullanabilirsiniz.

K???k say?lar i?in, bu say?lar?n t?m katlar?n? aralar?nda ortak olana kadar bir sat?rda yazmak uygundur. Katlar kay?tta b?y?k K harfi ile g?sterilir.

?rne?in, 4'?n katlar? ?u ?ekilde yaz?labilir:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

B?ylece 4 ve 6 say?lar?n?n en k???k ortak kat?n?n 24 oldu?unu g?rebilirsiniz. Bu giri? ?u ?ekilde yap?l?r:

LCM(4, 6) = 24

Say?lar b?y?kse, ?? veya daha fazla say?n?n ortak kat?n? bulun, o zaman LCM'yi hesaplamak i?in ba?ka bir yol kullanmak daha iyidir.

G?revi tamamlamak i?in ?nerilen say?lar? asal fakt?rlere ay?rmak gerekir.

?lk ?nce, bir sat?rdaki say?lar?n en b?y???n?n a??l?m?n? ve bunun alt?nda kalan?n? yazman?z gerekir.

Her say?n?n a??l?m?nda farkl? say?da fakt?r olabilir.

?rne?in, 50 ve 20 say?lar?n? asal ?arpanlar?na ay?ral?m.

Daha k???k say?n?n ayr??t?r?lmas?nda, ilk en b?y?k say?n?n ayr??t?r?lmas?nda bulunmayan fakt?rlerin alt? ?izilmeli ve ard?ndan bunlara eklenmelidir. Sunulan ?rnekte bir ikili eksik.

?imdi 20 ve 50'nin en k???k ortak kat?n? hesaplayabiliriz.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

B?ylece, daha b?y?k say?n?n asal ?arpanlar? ile b?y?k say?n?n ayr??t?r?lmas?na dahil olmayan ikinci say?n?n ?arpanlar?n?n ?arp?m? en k???k ortak kat olacakt?r.

?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulmak i?in, ?nceki durumda oldu?u gibi hepsinin asal ?arpanlara ayr?lmas? gerekir.

?rnek olarak 16, 24, 36 say?lar?n?n en k???k ortak kat?n? bulabilirsiniz.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Bu nedenle, on alt?n?n ayr??t?r?lmas?ndan yaln?zca iki ikili (biri yirmi d?rt?n ayr??t?r?lmas?ndad?r) daha b?y?k bir say?n?n ?arpanlar?na ayr?lmas?na girmemi?tir.

Bu nedenle, daha b?y?k bir say?n?n ayr??t?r?lmas?na eklenmeleri gerekir.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

En k???k ortak kat? belirlemenin ?zel durumlar? vard?r. Yani say?lardan biri di?erine kalans?z b?l?nebiliyorsa, bu say?lardan b?y?k olan? en k???k ortak kat olacakt?r.

?rne?in, on iki ve yirmi d?rt olan NOC'ler yirmi d?rt olacakt?r.

Ayn? b?lenleri olmayan en k???k ortak asal say?lar?n kat?n? bulmak gerekirse, LCM'leri ?arp?mlar?na e?it olacakt?r.

?rne?in, LCM(10, 11) = 110.

Bir say?n?n kat?, belirli bir say?ya kalans?z b?l?nebilen say?lard?r. Bir say? grubunun en k???k ortak kat? (LCM), gruptaki her say?ya e?it olarak b?l?nebilen en k???k say?d?r. En k???k ortak kat? bulmak i?in verilen say?lar?n asal ?arpanlar?n? bulman?z gerekir. Ayr?ca, LCM, iki veya daha fazla say?dan olu?an gruplara uygulanabilen bir dizi ba?ka y?ntem kullan?larak hesaplanabilir.

ad?mlar

Bir dizi ?oklu

?u say?lara bak?n. Burada a??klanan y?ntem, her ikisi de 10'dan k???k iki say? verildi?inde en iyi ?ekilde kullan?l?r. B?y?k say?lar verilirse, farkl? bir y?ntem kullan?n.

• ?rne?in, 5 ve 8 say?lar?n?n en k???k ortak kat?n? bulun. Bunlar k???k say?lard?r, dolay?s?yla bu y?ntem kullan?labilir.

1. Bir say?n?n kat?, belirli bir say?ya kalans?z b?l?nebilen say?lard?r. ?arp?m tablosunda birden fazla say? bulunabilir.

   • ?rne?in, 5'in kat? olan say?lar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. ?lk say?n?n katlar? olan bir dizi say? yaz?n.?ki say? s?ras?n? kar??la?t?rmak i?in bunu ilk say?n?n katlar? alt?nda yap?n.

   • ?rne?in, 8'in kat? olan say?lar: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

3. Her iki kat serisinde de g?r?nen en k???k say?y? bulun. Toplam? bulmak i?in uzun katlar dizisi yazman?z gerekebilir. Her iki kat serisinde de g?r?nen en k???k say?, en k???k ortak katt?r.

   • ?rne?in, 5 ve 8'in katlar? dizisinde g?r?nen en k???k say? 40't?r. Bu nedenle 40, 5 ve 8'in en k???k ortak kat?d?r.

   asal ?arpanlara ay?rma

   1. ?u say?lara bak?n. Burada a??klanan y?ntem, her ikisi de 10'dan b?y?k iki say? verildi?inde en iyi ?ekilde kullan?l?r. Daha k???k say?lar verilirse, farkl? bir y?ntem kullan?n.

      • ?rne?in, 20 ve 84 say?lar?n?n en k???k ortak kat?n? bulun. Say?lar?n her biri 10'dan b?y?kt?r, bu nedenle bu y?ntem kullan?labilir.

   2. ?lk say?y? ?arpanlar?na ay?r?n. Yani b?yle asal say?lar? bulman?z gerekiyor, ?arp?ld???nda belirli bir say? elde ediyorsunuz. Asal ?arpanlar? bulduktan sonra bunlar? bir e?itlik olarak yaz?n.

      • ?rne?in, 2 x 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) ve 2 x 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). B?ylece 20 say?s?n?n asal ?arpanlar? 2, 2 ve 5 say?lar?d?r. Bunlar? bir ifade olarak yaz?n?z: .

   3. ?kinci say?y? asal ?arpanlara ay?r?n. Bunu ilk say?y? ?arpanlar?na ay?rd???n?z ?ekilde yap?n, yani ?arp?ld???nda bu say?y? alacak asal say?lar? bulun.

      • ?rne?in, 2 x 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 x 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) ve 3 x 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). B?ylece 84 say?s?n?n asal ?arpanlar? 2, 7, 3 ve 2 say?lar?d?r. Bunlar? bir ifade olarak yaz?n?z: .

   4. Her iki say?n?n ortak ?arpanlar?n? yaz?n?z.?arpma i?lemi gibi fakt?rleri yaz?n. Her fakt?r? yazarken, her iki ifadede de (say?lar?n asal fakt?rlere ayr??t?r?lmas?n? tan?mlayan ifadeler) ?zerini ?izin.

      • ?rne?in, her iki say?n?n ortak ?arpan? 2'dir, bu y?zden yaz?n 2 x (\displaystyle 2\times ) ve her iki ifadede de 2'nin ?zerini ?izin.
      • Her iki say?n?n ortak ?arpan? 2'nin ba?ka bir ?arpan?d?r, bu y?zden yaz?n 2 x 2 (\displaystyle 2\times 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'yi ?izin.

   5. Kalan ?arpanlar? ?arpma i?lemine ekleyin. Bunlar, her iki ifadede de ?st? ?izili olmayan, yani her iki say? i?in ortak olmayan fakt?rlerdir.

      • ?rne?in, ifadede 20 = 2 x 2 x 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) her iki iki (2) de ortak ?arpanlar olduklar? i?in ?st? ?izilir. 5 fakt?r?n?n ?zeri ?izilmemi?tir, bu nedenle ?arpma i?lemini a?a??daki gibi yaz?n: 2 x 2 x 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • ifadede 84 = 2 x 7 x 3 x 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) her iki ikili (2) de ?st? ?izilir. 7 ve 3'?n ?zeri ?izilmedi?i i?in ?arpma i?lemini a?a??daki gibi yaz?n: 2 x 2 x 5 x 7 x 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. En k???k ortak kat?n? hesaplay?n. Bunun i?in yaz?l? ?arpma i?lemindeki say?lar? ?arp?n.

      • ?rne?in, 2 x 2 x 5 x 7 x 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Yani 20 ve 84'?n en k???k ortak kat? 420'dir.

   Ortak b?lenleri bulma

   1. Bir tic-tac-toe oyunu i?in yapt???n?z gibi bir ?zgara ?izin. B?yle bir ?zgara, di?er iki paralel ?izgiyle (dik a??larda) kesi?en iki paralel ?izgiden olu?ur. Bu, ?? sat?r ve ?? s?tunla sonu?lanacakt?r (?zgara, # i?aretine ?ok benziyor). ?lk say?y? ilk sat?ra ve ikinci s?tuna yaz?n. ?kinci say?y? birinci sat?ra ve ???nc? s?tuna yaz?n.

      • ?rne?in, 18 ve 30'un en k???k ortak kat?n? bulun. Birinci sat?ra ve ikinci s?tuna 18 yaz?n ve ilk sat?r ve ???nc? s?tuna 30 yaz?n.

   2. Her iki say?n?n ortak b?leni bulun. Bunu ilk sat?ra ve ilk s?tuna yaz?n. Asal b?lenleri aramak daha iyidir, ancak bu bir ?n ko?ul de?ildir.

      • ?rne?in, 18 ve 30 ?ift say?lard?r, dolay?s?yla ortak b?lenleri 2'dir. ?yleyse ilk sat?ra ve ilk s?tuna 2 yaz?n.

   3. Her say?y? ilk b?lene b?l?n. Her b?l?m? kar??l?k gelen say?n?n alt?na yaz?n. B?l?m, iki say?n?n b?l?nmesinin sonucudur.

      • ?rne?in, 18 ? 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), yani 18'in alt?na 9 yaz?n.
      • 30 ? 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), bu y?zden 30'un alt?nda 15 yaz?n.

   4. Her iki b?l?m i?in ortak bir b?len bulun. B?yle bir b?len yoksa sonraki iki ad?m? atlay?n. Aksi takdirde, ikinci sat?ra ve ilk s?tuna b?leni yaz?n.

      • ?rne?in, 9 ve 15 3'e b?l?nebilir, bu nedenle ikinci sat?ra ve ilk s?tuna 3 yaz?n.

   5. Her b?l?m? ikinci b?lene b?l?n. Her b?lme sonucunu kar??l?k gelen b?l?m?n alt?na yaz?n.

      • ?rne?in, 9 ? 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), bu y?zden 9'un alt?na 3 yaz?n.
      • 15 ? 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), yani 15'in alt?na 5 yaz?n.

   6. Gerekirse, ?zgaray? ek h?crelerle tamamlay?n. B?l?mlerin ortak bir b?leni olana kadar yukar?daki ad?mlar? tekrarlay?n.

   7. K?lavuzun ilk s?tunu ve son sat?r?ndaki say?lar? daire i?ine al?n. Ard?ndan vurgulanan say?lar? ?arpma i?lemi olarak yaz?n.

      • ?rne?in, 2 ve 3 say?lar? ilk s?tunda ve 3 ve 5 say?lar? son sat?rda oldu?undan ?arpma i?lemini ?u ?ekilde yaz?n: 2 x 3 x 3 x 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Say?lar? ?arpman?n sonucunu bulun. Bu, verilen iki say?n?n en k???k ortak kat?n? hesaplayacakt?r.

      • ?rne?in, 2 x 3 x 3 x 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). 18 ve 30'un en k???k ortak kat? 90'd?r.

   ?klid'in algoritmas?

   1. B?lme i?lemiyle ilgili terminolojiyi hat?rlay?n. Temett?, b?l?nen say?d?r. B?len, b?l?necek say?d?r. B?l?m, iki say?n?n b?l?nmesinin sonucudur. Kalan, iki say? b?l?nd???nde kalan say?d?r.

      • ?rne?in, ifadede 15 ? 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) dinlenme. 3:
        15 b?l?nebilir
        6 b?lendir
        2 ?zel
        3 kaland?r.

En k???k ortak kat? bulman?n ?? yolunu d???n?n.

Faktoring Yoluyla Bulmak

?lk yol, verilen say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

Diyelim ki say?lar?n LCM'sini bulmam?z gerekiyor: 99, 30 ve 28. Bunu yapmak i?in, bu say?lar?n her birini asal ?arpanlar?na ay?r?yoruz:

?stenilen say?n?n 99, 30 ve 28 ile tam b?l?nebilmesi i?in bu b?lenlerin t?m asal ?arpanlar?n? i?ermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak i?in, bu say?lar?n t?m asal ?arpanlar?n? olu?an en y?ksek g?ce almam?z ve bunlar? birlikte ?arpmam?z gerekir:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Yani LCM (99, 30, 28) = 13.860. 13.860'tan k???k hi?bir say? 99, 30 veya 28'e tam olarak b?l?nemez.

Verilen say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in, bunlar? asal ?arpanlara ay?rman?z, ard?ndan her asal ?arpan?, olu?tu?u en b?y?k ?sle birlikte alman?z ve bu ?arpanlar? birlikte ?arpman?z gerekir.

Koasal say?lar?n ortak asal ?arpanlar? olmad??? i?in en k???k ortak katlar? bu say?lar?n ?arp?m?na e?ittir. ?rne?in, ?? say?: 20, 49 ve 33 asald?r. Bu y?zden

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Ayn?s?, ?e?itli asal say?lar?n en k???k ortak kat?n? ararken yap?lmal?d?r. ?rne?in, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Se?ime g?re bulma

?kinci yol, s??d?rarak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

?rnek 1. Verilen say?lar?n en b?y??? verilen di?er say?lara b?l?nebildi?inde, bu say?lar?n LCM'si b?y?k olana e?ittir. ?rne?in, d?rt say? verildi: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a b?l?nebilir, bu nedenle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Di?er durumlarda, en k???k ortak kat? bulmak i?in a?a??daki prosed?r kullan?l?r:

1. Verilen say?lardan en b?y?k olan?n? bulunuz.
2. Daha sonra, en b?y?k say?n?n katlar? olan say?lar?, artan s?rada do?al say?larla ?arparak ve verilen say?lar?n elde edilen ?r?n taraf?ndan b?l?n?p b?l?nemeyece?ini kontrol ederek buluruz.

?rnek 2. Verilen ?? say? 24, 3 ve 18. Bunlar?n en b?y???n? belirleyin - bu 24 say?s?d?r. Ard?ndan, 24'?n kat? olan say?lar? bulun ve her birinin 18'e ve 3'e b?l?n?p b?l?nemeyece?ini kontrol edin.

24 1 = 24, 3'e b?l?nebilir ancak 18'e b?l?nemez.

24 2 = 48 - 3'e b?l?nebilir ancak 18'e b?l?nemez.

24 3 \u003d 72 - 3 ve 18'e b?l?nebilir.

O halde LCM(24, 3, 18) = 72.

S?ral? Bulma LCM ile Bulma

???nc? yol, LCM'yi art arda bularak en k???k ortak kat? bulmakt?r.

Verilen iki say?n?n LCM'si, bu say?lar?n en b?y?k ortak b?lenlerine b?l?nmesine e?ittir.

?rnek 1. Verilen iki say?n?n LCM'sini bulun: 12 ve 8. En b?y?k ortak b?lenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu say?lar? ?arp?n:

?r?n? GCD'lerine ay?r?yoruz:

O halde LCM(12, 8) = 24.

?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulmak i?in a?a??daki prosed?r kullan?l?r:

1. ?lk olarak, verilen say?lardan herhangi ikisinin LCM'si bulunur.
2. Ard?ndan, bulunan en k???k ortak kat?n LCM'si ve verilen ???nc? say?.
3. Ard?ndan, elde edilen en k???k ortak kat ve d?rd?nc? say?n?n LCM'si vb.
4. B?ylece LCM aramas?, say?lar oldu?u s?rece devam eder.

?rnek 2. Verilen ?? say?n?n LCM'sini bulal?m: 12, 8 ve 9. ?nceki ?rnekte 12 ve 8 say?lar?n?n LCM'sini bulduk (bu 24 say?s?). Geriye 24'?n en k???k ortak kat?n? ve verilen ???nc? say?y? bulmak kal?r - 9. En b?y?k ortak b?lenlerini belirleyin: gcd (24, 9) = 3. LCM'yi 9 ile ?arp?n:

?r?n? GCD'lerine ay?r?yoruz:

O halde LCM(12, 8, 9) = 72.

LCM - En K???k Ortak Kat, Tan?m, ?rnekler b?l?m?nde ba?lad???m?z en k???k ortak kat ile ilgili tart??maya devam edelim. Bu konuda, ?? veya daha fazla say? i?in LCM'yi bulman?n yollar?n? ele alaca??z, negatif bir say?n?n LCM'sini nas?l bulaca??m?z sorusunu analiz edece?iz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

gcd arac?l???yla en k???k ortak kat?n (LCM) hesaplanmas?

En k???k ortak kat ile en b?y?k ortak b?len aras?ndaki ili?kiyi zaten kurduk. ?imdi LCM'yi GCD ?zerinden nas?l tan?mlayaca??m?z? ??renelim. ?lk olarak, pozitif say?lar i?in bunu nas?l yapaca??m?z? bulal?m.

tan?m 1

LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) form?l?n? kullanarak en b?y?k ortak b?len arac?l???yla en k???k ortak kat? bulabilirsiniz.

?rnek 1

126 ve 70 say?lar?n?n LCM'sini bulmak gerekir.

??z?m

a = 126 , b = 70 alal?m. En b?y?k ortak b?len LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) arac?l???yla en k???k ortak kat? hesaplamak i?in form?ldeki de?erleri de?i?tirin.

70 ve 126 say?lar?n?n GCD'sini bulur. Bunun i?in ?klid algoritmas?na ihtiyac?m?z var: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dolay?s?yla gcd (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayal?m: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM (126, 70) = 630.

?rnek 2

68 ve 34 say?lar?n?n nokunu bulun.

??z?m

Bu durumda GCD'yi bulmak kolayd?r, ??nk? 68, 34'e b?l?nebilir. LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68 form?l?n? kullanarak en k???k ortak kat? hesaplay?n.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu ?rnekte, a ve b pozitif tam say?lar?n?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in kural? kulland?k: e?er ilk say? ikinciye b?l?nebiliyorsa, bu say?lar?n LCM'si ilk say?ya e?it olacakt?r.

Say?lar? Asal Fakt?rlere Ay?rarak LCM'yi Bulma

?imdi say?lar?n asal fakt?rlere ayr??t?r?lmas?na dayanan LCM'yi bulman?n bir yoluna bakal?m.

tan?m 2

En k???k ortak kat? bulmak i?in birka? basit ad?m ger?ekle?tirmemiz gerekir:

• LCM'yi bulmam?z gereken t?m asal ?arpanlar?n ?arp?m?n? olu?turuyoruz;
• t?m asal fakt?rleri elde edilen ?r?nlerden hari? tutuyoruz;
• ortak asal ?arpanlar? elendikten sonra elde edilen ?r?n, verilen say?lar?n LCM'sine e?it olacakt?r.

En k???k ortak kat? bulman?n bu yolu, LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) e?itli?ine dayan?r. Form?le bakarsan?z, netle?ir: a ve b say?lar?n?n ?arp?m?, bu iki say?n?n a??l?m?nda yer alan t?m fakt?rlerin ?arp?m?na e?ittir. Bu durumda, iki say?n?n EBOB'u, bu iki say?n?n ?arpanlar?na ay?rmalar?nda ayn? anda bulunan t?m asal ?arpanlar?n ?arp?m?na e?ittir.

?rnek 3

75 ve 210 olmak ?zere iki numaram?z var. Bunlar? ?u ?ekilde ay?rabiliriz: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7. ?ki orijinal say?n?n t?m ?arpanlar?n?n ?arp?m?n? yaparsan?z, ?unu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 say?lar? i?in ortak fakt?rleri hari? tutarsak, a?a??daki bi?imde bir ?r?n elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ?r?n, 75 ve 210 numaralar i?in LCM'miz olacakt?r.

?rnek 4

Say?lar?n LCM'sini bulun 441 ve 700 , her iki say?y? da asal fakt?rlere ayr??t?rmak.

??z?m

Bu durumda verilen say?lar?n t?m asal ?arpanlar?n? bulal?m:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

?ki say? zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7 .

Bu say?lar?n geni?lemesine kat?lan t?m fakt?rlerin ?r?n? ??yle g?r?necektir: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak ?arpanlar? bulal?m. Bu say? 7'dir. Genel ?r?nden hari? tutuyoruz: 2 2 3 3 5 5 7 7. G?r?n??e g?re NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Say?lar? asal ?arpanlara ay?rarak LCM'yi bulma y?nteminin bir form?l?n? daha verelim.

tan?m 3

Daha ?nce, her iki say? i?in ortak olan toplam fakt?r say?s?ndan ??karm??t?k. ?imdi bunu farkl? yapaca??z:

• Her iki say?y? da asal ?arpanlar?na ay?ral?m:
• birinci say?n?n asal ?arpanlar?n?n ?arp?m?na ikinci say?n?n eksik ?arpanlar?n? ekleyin;
• iki say?n?n istenen LCM'si olacak ?r?n? elde ederiz.

?rnek 5

?nceki ?rneklerden birinde LCM'yi arad???m?z 75 ve 210 say?lar?na geri d?nelim. Bunlar? basit fakt?rlere ay?ral?m: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7. 3 , 5 ve fakt?rlerin ?arp?m?na 5 75 numara eksik fakt?rleri ekleyin 2 ve 7 210 numara. Al?r?z: 2 3 5 5 7 . Bu, 75 ve 210 say?lar?n?n LCM'sidir.

?rnek 6

84 ve 648 say?lar?n?n LCM'sini hesaplamak gerekir.

??z?m

Ko?uldaki say?lar? asal ?arpanlara ay?ral?m: 84 = 2 2 3 7 ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2 , 2 , 3 ve ?arpanlar?n?n ?arp?m?na ekleyin 7 say?lar 84 eksik ?arpanlar 2 , 3 , 3 ve
3 say?lar 648 . ?r?n? al?yoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Bu, 84 ve 648'in en k???k ortak kat?d?r.

Cevap: LCM (84, 648) = 4536.

?? veya daha fazla say?n?n LCM'sini bulma

Ka? say? ile u?ra?t???m?za bak?lmaks?z?n, eylemlerimizin algoritmas? her zaman ayn? olacakt?r: s?rayla iki say?n?n LCM'sini bulaca??z. Bu durum i?in bir teorem var.

Teorem 1

Diyelim ki tamsay?lar?m?z var bir 1 , bir 2 , … , bir k. NOC mk bu say?lar?n bir tanesi s?ral? hesaplamada bulunur m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .

?imdi teoremin belirli problemlere nas?l uygulanabilece?ine bakal?m.

?rnek 7

140 , 9 , 54 ve d?rt say?n?n en k???k ortak kat?n? hesaplaman?z gerekir. 250 .

??z?m

G?sterimi tan?tal?m: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) de?erini hesaplayarak ba?layal?m. 140 ve 9 say?lar?n?n GCD'sini hesaplamak i?in ?klid algoritmas?n? kullanal?m: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . ?unu elde ederiz: OBEB(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: OBEB(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Bu nedenle, m 2 = 1 260 .

?imdi ayn? algoritmaya g?re hesaplayal?m m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Hesaplamalar s?ras?nda m 3 = 3 780 elde ederiz.

Bize m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) hesaplamak kal?yor. Ayn? algoritmaya g?re hareket ediyoruz. m 4 \u003d 94 500 al?yoruz.

?rnek ko?uldaki d?rt say?n?n LCM'si 94500'd?r.

Cevap: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

G?rd???n?z gibi, hesaplamalar basit ama olduk?a zahmetli. Zaman kazanmak i?in di?er tarafa gidebilirsiniz.

Tan?m 4

Size a?a??daki eylem algoritmas?n? sunuyoruz:

• t?m say?lar? asal ?arpanlara ay?r?n;
• birinci say?n?n ?arpanlar?n?n ?arp?m?na, ikinci say?n?n ?arp?m?ndan eksik ?arpanlar? ekleyin;
• ?nceki a?amada elde edilen ?r?ne ???nc? say?n?n eksik ?arpanlar?n? vb. ekleriz;
• elde edilen ?r?n, ko?uldaki t?m say?lar?n en k???k ortak kat? olacakt?r.

?rnek 8

84 , 6 , 48 , 7 , 143 be? say?n?n LCM'sini bulmak gerekir .

??z?m

Be? say?n?n t?m?n? asal ?arpanlar?na ay?ral?m: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . 7 say?s? olan asal say?lar asal ?arpanlara ayr?lamaz. Bu t?r say?lar, asal fakt?rlere ayr??malar?yla ?rt???r.

?imdi 84 say?s?n?n 2, 2, 3 ve 7 asal ?arpanlar?n?n ?arp?m?n? alal?m ve onlara ikinci say?n?n eksik ?arpanlar?n? ekleyelim. 6 say?s?n? 2 ve 3'e ay?rd?k. Bu fakt?rler zaten ilk say?n?n ?r?n?ndedir. Bu nedenle, onlar? atl?yoruz.

Eksik ?arpanlar? eklemeye devam ediyoruz. 2 ve 2'yi ald???m?z asal ?arpanlar?n ?arp?m?ndan 48 say?s?na d?n?yoruz. Sonra d?rd?nc? say?dan basit bir 7 ?arpan? ve be?inci say?n?n 11 ve 13'?n?n ?arpanlar?n? ekliyoruz. ?unu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, be? orijinal say?n?n en k???k ortak kat?d?r.

Cevap: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Negatif Say?lar?n En K???k Ortak Kat?n? Bulma

Negatif say?lar?n en k???k ortak kat?n? bulmak i?in ?nce bu say?lar?n z?t i?aretli say?larla de?i?tirilmesi, ard?ndan yukar?daki algoritmalar kullan?larak hesaplamalar?n yap?lmas? gerekir.

?rnek 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) ve LCM(-622,-46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Kabul edildi?i takdirde, bu t?r eylemlere izin verilir. a ve - bir- z?t say?lar
sonra katlar k?mesi a bir say?n?n katlar? k?mesiyle ?ak???r - bir.

?rnek 10

Negatif say?lar?n LCM'sini hesaplamak gerekir - 145 ve - 45 .

??z?m

say?lar? de?i?tirelim - 145 ve - 45 onlar?n z?t say?lar?na 145 ve 45 . ?imdi, algoritmay? kullanarak, daha ?nce ?klid algoritmas?n? kullanarak GCD'yi belirledikten sonra, LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305'i hesapl?yoruz.

- 145 say?lar?n?n LCM'sini ve - 45 e?ittir 1 305 .

Cevap: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

Metinde bir hata fark ederseniz, l?tfen vurgulay?n ve Ctrl+Enter tu?lar?na bas?n.

Ancak bir?ok do?al say?, di?er do?al say?lara e?it olarak b?l?nebilir.

?rne?in:

12 say?s? 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye b?l?n?r;

36 say?s? 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya tam b?l?n?r.

Say?n?n b?l?nebildi?i say?lara (12 i?in 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. say? b?lenleri. Bir do?al say?n?n b?leni a verilen say?y? b?len do?al say?d?r a iz b?rakmadan. ?kiden fazla ?arpan? olan do?al say?lara denir bile?ik .

12 ve 36 say?lar?n?n ortak b?lenleri oldu?unu unutmay?n. Bunlar say?lard?r: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu say?lar?n en b?y?k b?leni 12'dir. Bu iki say?n?n ortak b?leni a ve b Verilen her iki say?n?n da kalans?z b?l?nebildi?i say?d?r a ve b.

Ortak ?oklu birka? say?ya bu say?lar?n her birine b?l?nebilen say? denir. ?rne?in, 9, 18 ve 45 say?lar?n?n ortak kat? 180'dir. Ancak 90 ve 360 da ortak katlar?d?r. T?m ortak katlar aras?nda her zaman en k????? vard?r, bu durumda 90'd?r. Bu say?ya denir. en azortak kat (LCM).

LCM her zaman, tan?mland??? say?lar?n en b?y???nden b?y?k olmas? gereken do?al bir say?d?r.

En k???k ortak kat (LCM). ?zellikleri.

De?i?ebilirlik:

ili?kilendirme:

?zellikle, e?er ve asal say?larsa , o zaman:

?ki tamsay?n?n en k???k ortak kat? m ve n di?er t?m ortak katlar?n bir b?lenidir m ve n. Ayr?ca ortak katlar k?mesi m,n LCM( m,n).

i?in asimptotikler, baz? say?-teorik fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilir.

Yani, Chebyshev i?levi. Birlikte:

Bu, Landau fonksiyonunun tan?m?ndan ve ?zelliklerinden kaynaklanmaktad?r. g(n).

Asal say?lar?n da??l?m yasas?ndan ??kan sonu?.

En k???k ortak kat? (LCM) bulma.

NOC( bir, b) birka? yolla hesaplanabilir:

1. En b?y?k ortak b?len biliniyorsa, LCM ile ili?kisini kullanabilirsiniz:

2. Her iki say?n?n da asal ?arpanlar?na kanonik olarak ayr??t?r?lmas?n?n bilinmesine izin verin:

nerede p 1 ,...,p k?e?itli asal say?lard?r ve d 1 ,...,d k ve e 1 ,...,ek negatif olmayan tam say?lard?r (kar??l?k gelen asal ayr??t?rmada de?ilse, s?f?r olabilirler).

Daha sonra LCM ( a,b) ?u form?lle hesaplan?r:

Ba?ka bir deyi?le, LCM ayr??t?rmas?, say?lar?n ayr??t?r?lmas?ndan en az birinde g?r?nen t?m asal fakt?rleri i?erir. bir, b, ve bu fakt?r?n iki ?ss?n?n en b?y??? al?n?r.

?rnek:

Birka? say?n?n en k???k ortak kat?n?n hesaplanmas?, iki say?n?n LCM'sinin birka? ard???k hesaplamas?na indirgenebilir:

Kural. Bir dizi say?n?n LCM'sini bulmak i?in ?unlara ihtiyac?n?z vard?r:

- say?lar? asal fakt?rlere ay?rmak;

- en b?y?k geni?lemeyi istenen ?r?n?n fakt?rlerine aktar?n (verilenlerin en b?y?k say?s?n?n fakt?rlerinin ?arp?m?) ve ard?ndan ilk say?da veya i?inde olmayan di?er say?lar?n a??l?m?ndan fakt?rleri ekleyin daha az say?da;

- asal fakt?rlerin ortaya ??kan ?r?n?, verilen say?lar?n LCM'si olacakt?r.

Herhangi iki veya daha fazla do?al say?n?n kendi LCM'si vard?r. Say?lar birbirinin kat? de?ilse veya geni?lemede ayn? ?arpanlara sahip de?ilse, LCM'leri bu say?lar?n ?arp?m?na e?ittir.

28 say?s?n?n (2, 2, 7) asal ?arpanlar? 3 ?arpan?yla (21 say?s?) tamamlan?rsa, ortaya ??kan ?r?n (84) 21 ve 28 ile b?l?nebilen en k???k say? olacakt?r.

En b?y?k 30 say?s?n?n asal ?arpanlar? 25 say?s?n?n 5 kat? ile tamamlanm??t?r, elde edilen 150 ?arp?m? en b?y?k 30 say?s?ndan b?y?kt?r ve verilen t?m say?lara kalans?z b?l?nebilir. Bu, verilen t?m say?lar?n katlar? olan m?mk?n olan en k???k ?arp?md?r (150, 250, 300...).

2,3,11,37 say?lar? asald?r, dolay?s?yla LCM'leri verilen say?lar?n ?arp?m?na e?ittir.

kural. Asal say?lar?n LCM'sini hesaplamak i?in t?m bu say?lar? birlikte ?arpman?z gerekir.

Ba?ka se?enek:

Birka? say?n?n en k???k ortak kat?n? (LCM) bulmak i?in ihtiyac?n?z olan:

1) her say?y? asal fakt?rlerinin bir ?r?n? olarak temsil eder, ?rne?in:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) t?m asal fakt?rlerin g??lerini yaz?n:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) bu say?lar?n her birinin t?m asal b?lenlerini (?arpanlar?n?) yaz?n;

4) bu say?lar?n t?m a??l?mlar?nda bulunan her birinin en b?y?k derecesini se?in;

5) bu g??leri ?arp?n.

?rnek. Say?lar?n LCM'sini bulun: 168, 180 ve 3024.

??z?m. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

T?m asal b?lenlerin en b?y?k kuvvetlerini yaz?p ?arp?yoruz:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.