T?ma tejto lekcie: „Kmitnav? pohyb. Vo?n? vibr?cie. Oscila?n? syst?my. Najprv si definujme nov? typ pohybu, ktor? za??name sk?ma? – oscila?n? pohyb. Uva?ujme ako pr?klad kmity pru?inov?ho kyvadla a definujte pojem vo?n?ch kmitov. Budeme tie? ?tudova?, ?o s? to oscila?n? syst?my a diskutova? o podmienkach nevyhnutn?ch pre existenciu oscil?ci?.

v?hanie - ide o periodick? zmenu akejko?vek fyzik?lnej veli?iny: kol?sanie teploty, kol?sanie farby semaforu a pod. (obr. 1).

Ry?a. 1. Pr?klady vibr?ci?

Vibr?cie s? najbe?nej?ou formou pohybu v pr?rode. Ak sa dotkneme ot?zok s?visiacich s mechanick?m pohybom, potom ide o najbe?nej?? typ mechanick?ho pohybu. Zvy?ajne hovoria toto: naz?va sa pohyb, ktor? sa v priebehu ?asu ?plne alebo ?iasto?ne opakuje v?hanie. Mechanick? vibr?cie- ide o periodick? zmenu fyzik?lnych veli??n charakterizuj?cich mechanick? pohyb: poloha tela, r?chlos?, zr?chlenie.

Pr?klady vibr?ci?: hojda?ka hojda?ky, mie?anie l?stia a k?vanie stromov pod vplyvom vetra, kyvadlo v hodin?ch, pohyb ?udsk?ho tela.

Ry?a. 2. Pr?klady vibr?ci?

Najbe?nej?ie mechanick? oscila?n? syst?my s?:

• Z?va?ie pripevnen? k pru?ine pru?inov? kyvadlo. Informovan?m kyvadla o po?iato?nej r?chlosti sa dostane z rovnov?hy. Kyvadlo sa k?va hore a dole. Na uskuto?nenie kmitov v pru?inovom kyvadle je d?le?it? po?et pru??n a ich tuhos?.

Ry?a. 3. Pru?inov? kyvadlo

• Matematick? kyvadlo je tuh? teleso zavesen? na dlhom vl?kne, ktor? kmit? v gravita?nom poli Zeme.

Ry?a. 4. Matematick? kyvadlo

Podmienky existencie oscil?ci?

• Pr?tomnos? oscila?n?ho syst?mu. Oscila?n? syst?m je syst?m, v ktorom m??u existova? oscil?cie.

Ry?a. 5. Pr?klady oscila?n?ch syst?mov

• Bod stabilnej rovnov?hy. Okolo tohto bodu doch?dza k oscil?ci?m.

Ry?a. 6. Bod rovnov?hy

Existuj? tri typy rovnov??nych poz?ci?: stabiln?, nestabiln? a indiferentn?. Stabiln?: ke? m? syst?m tendenciu vr?ti? sa do svojej p?vodnej polohy s mal?m vonkaj??m vplyvom. Pr?ve pr?tomnos? stabilnej rovnov?hy je d?le?itou podmienkou pre vznik oscil?ci? v syst?me.

• Z?soby energie, ktor? sp?sobuj? vznik vibr?ci?. K oscil?ci?m predsa nem??e d?js? samo o sebe, mus?me syst?m vyvies? z rovnov?hy, aby k nim do?lo. To znamen? odovzda? energiu tomuto syst?mu, aby sa nesk?r vibra?n? energia zmenila na pohyb, ktor? zva?ujeme.

Ry?a. 7 Z?soby energie

• Mal? hodnota trec?ch s?l. Ak s? tieto sily ve?k?, potom nem??e by? re? o v?kyvoch.

Rie?enie hlavn?ho probl?mu mechaniky v pr?pade vibr?ci?

Mechanick? kmitanie je jedn?m z typov mechanick?ho pohybu. Hlavn? ?loha mechaniky je ur?enie polohy tela v akomko?vek danom ?ase. Z?skame z?kon z?vislosti pre mechanick? vibr?cie.

Pok?sime sa uh?dnu? z?kon, ktor? treba n?js?, a nie ho matematicky dedukova?, preto?e ?rove? vedomost? deviateho ro?n?ka nesta?? na rigor?zne matematick? v?po?ty. Vo fyzike sa t?to met?da ?asto pou??va. Najprv sa sna?ia predpoveda? spravodliv? rozhodnutie a potom to dok??u.

Oscil?cie s? periodick? alebo takmer periodick? proces. To znamen?, ?e z?kon je periodickou funkciou. V matematike s? periodick? funkcie alebo .

Z?kon nebude rie?en?m hlavn?ho probl?mu mechaniky, preto?e ide o bezrozmern? veli?inu a mern?mi jednotkami s? metre. Vzorec vylep??me pridan?m n?sobite?a pred s?nus zodpovedaj?ci maxim?lnej odch?lke od rovnov??nej polohy - hodnota amplit?dy: . Upozor?ujeme, ?e ?asov? jednotky s? sekundy. Zamyslite sa nad t?m, ?o to znamen? napr?klad? Tento v?raz ned?va zmysel. V?raz pod s?nusom sa mus? mera? v stup?och alebo radi?noch. V radi?noch sa tak?to fyzik?lna veli?ina meria ako f?za kmitania – s??in cyklickej frekvencie a ?asu.

Vo?n? harmonick? kmity s? op?san? z?konom:

Pomocou tejto rovnice m??ete kedyko?vek n?js? polohu osciluj?ceho telesa.

Energia a rovnov?ha

Pri sk?man? mechanick?ch vibr?ci? by sa mal venova? mimoriadny z?ujem konceptu rovnov??nej polohy - nevyhnutnej podmienky pre pr?tomnos? vibr?ci?.

Existuj? tri typy rovnov??nych poz?ci?: stabiln?, nestabiln? a indiferentn?.

Obr?zok 8 zn?zor?uje gu?u, ktor? je v gu?ovom ?liabku. Ak sa lopti?ka dostane z rovnov?hy, bud? na ?u p?sobi? tieto sily: gravita?n? sila smeruj?ca zvisle nadol, sila reakcie podpory, smeruj?ca kolmo na doty?nicu pozd?? polomeru. Vektorov? s??et t?chto dvoch s?l bude v?slednica, ktor? smeruje sp?? do rovnov??nej polohy. To znamen?, ?e lopta bude ma? tendenciu vr?ti? sa do svojej rovnov??nej polohy. Tento rovnov??ny stav sa naz?va udr?ate?n?.

Ry?a. 8. Stabiln? rovnov?ha

Gu???ku polo??me na konvexn? gu?ov? ??ab a trochu ju vytiahneme z rovnov??nej polohy (obr. 9). Tia?ov? sila smeruje st?le kolmo nadol, reak?n? sila podpery je st?le kolm? na doty?nicu. Ale teraz je v?sledn? sila nasmerovan? v smere opa?nom k po?iato?nej polohe tela. Lopta bude ma? tendenciu skot??a? sa dole. Tento rovnov??ny stav sa naz?va nestabiln?.

Ry?a. 9. Nestabiln? rovnov?ha

Na obr?zku 10 je lopta v horizont?lnej rovine. V?slednica t?chto dvoch s?l v ktoromko?vek bode roviny bude rovnak?. Tento rovnov??ny stav sa naz?va ?ahostajn?.

Ry?a. 10. ?ahostajn? rovnov?ha

V stabilnej a nestabilnej rovnov?he m? lopta tendenciu zauja? polohu, v ktorej je potenci?lna energia bude minim?lna.

Ak?ko?vek mechanick? syst?m m? tendenciu spont?nne zauja? polohu, v ktorej bude jeho potenci?lna energia minim?lna. Napr?klad n?m vyhovuje viac le?a? ako st??.

Preto je potrebn? doplni? podmienku existencie fluktu?ci? o to, ?e rovnov?ha mus? by? nevyhnutne stabiln?.

Ak dan? kyvadlo, oscila?n? syst?m dostal energiu, potom sa oscil?cie vypl?vaj?ce z takejto ?innosti naz?vaj? zadarmo. Be?nej?ia defin?cia: vibr?cie sa naz?vaj? vo?n?, ktor? vznikaj? len vplyvom vn?torn?ch s?l s?stavy.

Vo?n? kmity sa naz?vaj? aj vlastn? kmity dan?ho kmitav?ho syst?mu, dan?ho kyvadla. Vo?n? vibr?cie s? tlmen?. Sk?r ?i nesk?r vybledn?, ke??e p?sob? sila trenia. V tomto pr?pade ide s?ce o mal? hodnotu, ale nie je to nula. Ak ?iadna dodato?n? sila neprin?ti telo k pohybu, oscil?cie sa zastavia.

Rovnica r?chlosti a zr?chlenia v z?vislosti od ?asu

Aby sme pochopili, ?i sa r?chlos? a zr?chlenie menia po?as kmitov, obr??me sa na matematick? kyvadlo.

Kyvadlo sa dostane z rovnov?hy a za?ne kmita?. V extr?mnych bodoch kmitania r?chlos? men? svoj smer a v bode rovnov?hy je r?chlos? maxim?lna. Ak sa r?chlos? zmen?, telo m? zr?chlenie. Bude tak?to pohyb rovnomerne zr?chlen?? Samozrejme, ?e nie, preto?e so st?paj?cou (klesaj?cou) r?chlos?ou sa men? aj jej smer. To znamen?, ?e sa zmen? aj zr?chlenie. Na?ou ?lohou je z?ska? z?kony, pod?a ktor?ch sa projekcia r?chlosti a projekcia zr?chlenia bud? ?asom meni?.

S?radnica sa v ?ase men? pod?a harmonick?ho z?kona, pod?a z?kona s?nusu alebo kos?nusu. Je logick? predpoklada?, ?e pod?a harmonick?ho z?kona sa bude meni? aj r?chlos? a zr?chlenie.

Z?kon o zmene s?radn?c:

Z?kon, pod?a ktor?ho sa projekcia r?chlosti men? s ?asom:

Tento z?kon je tie? harmonick?, ale ak sa s?radnica men? s ?asom pod?a s?nusov?ho z?kona, potom projekcia r?chlosti - pod?a kos?nusov?ho z?kona. S?radnica v rovnov??nej polohe je nulov?, pri?om r?chlos? v rovnov??nej polohe je maxim?lna. Naopak, kde s? s?radnice maxim?lne, r?chlos? je nulov?.

Z?kon, pod?a ktor?ho sa projekcia zr?chlenia bude ?asom meni?:

Znamienko m?nus sa objav?, preto?e ke? sa s?radnica zv??i, vratn? sila smeruje opa?n?m smerom. Pod?a druh?ho Newtonovho z?kona je zr?chlenie nasmerovan? rovnak?m smerom ako v?sledn? sila. Ak teda s?radnica rastie, zr?chlenie rastie v absol?tnej hodnote, ale v opa?nom smere a naopak, ?o je ozna?en? znamienkom m?nus v rovnici.

Bibliografia

1. Kikoin A.K. O z?kone kmitav?ho pohybu // Kvant. - 1983. - ?. 9. - S. 30-31.
2. Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fyzika: u?ebnica. pre 9 buniek. priem. ?koly - M.: Osveta, 1992. - 191 s.
3. Chernoutsan A.I. Harmonick? vibr?cie - oby?ajn? a ??asn? // Kvant. - 1991. - ?. 9. - S. 36-38.
4. Sokolovi? Yu.A., Bogdanova G.S. Fyzika: referen?n? kniha s pr?kladmi rie?enia probl?mov. - 2. vydanie, redistrib?cia. - X .: Vesta: vydavate?stvo "Ranok", 2005. - 464 s.

1. Internetov? port?l "youtube.com" ()
2. Internetov? port?l "eduspb.com" ()
3. Internetov? port?l "physics.ru" ()
4. Internetov? port?l "its-physics.org" ()

Dom?ca ?loha

1. ?o je vo?n? vibr?cia? Uve?te nieko?ko pr?kladov tak?chto v?kyvov.
2. Vypo??tajte frekvenciu vo?n?ch kmitov kyvadla, ak je d??ka jeho z?vitu 2 m. Ur?te, ako dlho bude trva? 5 kmitov tak?hoto kyvadla.
3. Ak? je peri?da vo?n?ch kmitov pru?inov?ho kyvadla, ak je tuhos? pru?iny 50 N/m a hmotnos? bremena je 100 g?

Laborat?rium ?. 3

"Ur?enie koeficientu pru?nosti pru?iny pomocou pru?inov?ho kyvadla"

MDT 531.13(07)

Z?kony kmitav?ho pohybu s? uva?ovan? na pr?klade pru?inov?ho kyvadla. S? uveden? pokyny na vykon?vanie laborat?rnych pr?c na ur?enie koeficientu stuhnutos? pru?iny dynamick?mi met?dami. Anal?za typick?ch ?loh na t?mu „Harmonick? kmity. Pridanie harmonick?ch vibr?ci?.

Teoretick? ?vod

Oscila?n? pohyb je jedn?m z najbe?nej??ch pohybov v pr?rode. S? s n?m spojen? zvukov? javy, striedav? pr?d, elektromagnetick? vlny. Kmitanie vyvol?vaj? jednotliv? ?asti najr?znej??ch strojov a zariaden?, at?my a molekuly v pevn?ch l?tkach, kvapalin?ch a plynoch, srdcov? svaly u ?ud? a zvierat at?.

v?hanie naz?van? fyzik?lny proces charakterizovan? opakovan?m fyzik?lnych veli??n spojen?ch s t?mto procesom v ?ase. Pohyb kyvadla alebo hojdania, kontrakcie srdcov?ho svalu, striedav? pr?d s? pr?klady syst?mov, ktor? osciluj?.

Oscil?cie sa pova?uj? za periodick?, ak sa hodnoty fyzik?lnych veli??n opakuj? v pravideln?ch intervaloch, tzv obdobie T. Po?et ?pln?ch kmitov vykonan?ch syst?mom za jednotku ?asu sa naz?va frekvencia v. Je zrejm?, ?e T = 1/obj. Frekvencia sa meria v hertzoch (Hz). Pri frekvencii 1 hertz syst?m vykon? 1 kmit za sekundu.

Najjednoduch??m typom kmitav?ho pohybu s? vo?n? harmonick? vibr?cie. zadarmo, alebo vlastn? sa naz?vaj? kmity, ktor? vznikaj? v s?stave po jej vyveden? z rovnov?hy vonkaj??mi silami, ktor? sa v bud?cnosti nez??ast?uj? na pohybe s?stavy. Pr?tomnos? periodicky sa meniacich vonkaj??ch s?l sp?sobuje v syst?me vyn?ten? vibr?cie.

Harmonick? naz?van? vo?n? oscil?cie vyskytuj?ce sa pri p?soben? elastickej sily pri absencii trenia. Pod?a Hookovho z?kona je pri mal?ch deform?ci?ch elastick? sila priamo ?mern? posunutiu telesa x z rovnov??nej polohy a smeruje do rovnov??nej polohy: F ex. = - kx, kde k je koeficient pru?nosti, meran? v N/m, a x je posunutie telesa z rovnov??nej polohy.

Naz?vaj? sa sily, ktor? nie s? svojou povahou elastick?, ale vyzeraj? podobne ako z?vislos? od posunu kv?zi elastick?(lat. kv?zi - vraj). Tak?to sily sp?sobuj? aj harmonick? kmity. Napr?klad kv?zi-elastick? sily p?sobia na elektr?ny v oscila?nom obvode a sp?sobuj? harmonick? elektromagnetick? oscil?cie. Pr?kladom kv?zielastickej sily m??e by? aj gravita?n? zlo?ka matematick?ho kyvadla pri mal?ch uhloch odch?lky od vertik?ly.

Harmonick? vibra?n? rovnica. Nechajte telo zahusti? m pripevnen? ku koncu pru?iny, ktorej hmotnos? je mal? v porovnan? s hmotnos?ou tela. Kmitav? teleso sa naz?va oscil?tor (lat. oscillum - kmitanie). Oscil?tor nech sa m??e vo?ne a bez trenia pos?va? po vodorovnom veden?, pozd?? ktor?ho smerujeme s?radnicov? os OX (obr. 1). Po?iatok s?radn?c bude umiestnen? v bode zodpovedaj?com rovnov??nej polohe telesa (obr. 1, a). Aplikujte na telo horizont?lnu silu F a posu?te ho z rovnov??nej polohy doprava do bodu so s?radnicou X. Natiahnutie pru?iny vonkaj?ou silou sp?sobuje, ?e sa v nej objav? elastick? sila F ynp. , smeruj?ce do rovnov??nej polohy (obr. 1, b). Ak teraz odstr?nime vonkaj?iu silu F, potom p?soben?m elastickej sily teleso nadobudne zr?chlenie a, sa presunie do rovnov??nej polohy a elastick? sila sa zn??i, pri?om sa v rovnov??nej polohe rovn? nule. Po dosiahnut? rovnov??nej polohy sa v?ak v nej teleso nezastav? a svojou kinetickou energiou sa pohybuje do?ava. Pru?ina je op?? stla?en?, p?sob? elastick? sila smeruj?ca doprava. Ke? sa kinetick? energia tela premen? na potenci?lnu energiu stla?enej pru?iny, za?a?enie sa zastav?, potom sa za?ne pohybova? doprava a proces sa opakuje.

Ak teda teleso pri neperiodickom pohybe prejde ka?d?m bodom trajekt?rie iba raz, pri?om sa pohybuje v jednom smere, potom po?as kmitav?ho pohybu na jeden ?pln? kmit v ka?dom bode trajekt?rie, s v?nimkou t?ch najextr?mnej??ch, d?jde k telesu dvakr?t. : raz pohyb vpred, druh?kr?t vzad.

Nap??me druh? Newtonov z?kon pre oscil?tor: ma= Fynp. , kde

F kontrola = –k X (1)

Znamienko „–“ vo vzorci znamen?, ?e posunutie a sila maj? opa?n? smer, in?mi slovami, sila p?sobiaca na za?a?enie pru?iny je ?mern? jej posunutiu z rovnov??nej polohy a v?dy smeruje k rovnov??nej polohe. Koeficient proporcionality "k" sa naz?va koeficient elasticity. ??selne sa rovn? sile, ktor? sp?sobuje deform?ciu pru?iny, pri ktorej sa jej d??ka zmen? o jednu. Niekedy je tzv koeficient tvrdosti.

Ke??e zr?chlenie je druhou deriv?ciou posunu telesa, t?to rovnica m??e by? prep?san? ako

, alebo
(2)

Rovnicu (2) m??eme zap?sa? takto:

, (3)

kde s? obe strany rovnice delen? hmotnos?ou m a zaviedol z?pis:

(4)

Je ?ahk? skontrolova? substit?ciou, ?e rie?enie sp??a t?to rovnicu:

x \u003d A 0 cos (o 0 t + f 0), (5)

kde A 0 je amplit?da alebo maxim?lne posunutie z??a?e z rovnov??nej polohy, o 0 je uhlov? alebo cyklick? frekvencia, ktor? m??e by? vyjadren? ako peri?da T prirodzen? vibr?cie pod?a vzorca
(Pozri ni??ie).

Hodnota f \u003d f 0 + o 0 t (6), ktor? je pod kos?nusov?m znamienkom a meria sa v radi?noch, sa naz?va oscila?n? f?za v tom ?ase t, a f 0 - po?iato?n? f?za. F?za je ??slo, ktor? ur?uje ve?kos? a smer posunutia kmitaj?ceho bodu v danom ?ase. Z (6) je vidie?, ?e

. (7)

Hodnota o 0 teda ur?uje r?chlos? zmeny f?zy a vol? sa cyklick? frekvencia. S be?nou ?istotou sa sp?ja pod?a vzorca

Ak sa f?za zmen? o 2p radi?ny, potom, ako je zn?me z trigonometrie, kos?nus nadobudne svoju p?vodn? hodnotu, a preto aj posunutie nadobudne svoju p?vodn? hodnotu. X. Ale ke??e sa ?as men? o jedno obdobie, ukazuje sa, ?e ?no

o 0 ( t + T) + f 0 = (o 0 t + f 0) + 2p

Rozbalen?m z?tvoriek a zru?en?m podobn?ch v?razov dostaneme o 0 T= 2p alebo
. Ale ke??e od (4)
, potom dostaneme:
. (9)

Touto cestou, peri?da oscil?cie tela, zavesen? na pru?ine, ako vypl?va zo vzorca (8), nez?vis? od amplit?dy kmitov, ale z?vis? od hmotnosti tela a od koeficientu pru?nosti(alebo tvrdos?) pru?iny.

Diferenci?lnej rovnice harmonick? vibr?cie:
,

Prirodzen? kruhov? frekvencia kmitanie, ur?en? povahou a parametrami kmitaj?ceho syst?mu:

–
- pre hmotn? bod s hmotnos?ou m kmitaj?ci p?soben?m kv?zi-elastickej sily, charakterizovan? koeficientom pru?nosti (tuhosti) k;

–
-pre matematick? kyvadlo s d??kou l;

–
- pre elektromagnetick? kmity v obvode s kapacitou OD a induk?nos? L.

D?LE?IT? POZN?MKA

Tieto vzorce s? spr?vne pre mal? odch?lky od rovnov??nej polohy.

R?chlos? pre harmonick? vibr?cie:

.

Zr?chlenie pre harmonick? vibr?cie:

celkov? energia harmonick? kmitanie:

.

EXPERIMENT?LNA ?AS?

Cvi?enie 1

Stanovenie z?vislosti peri?dy vlastn?ch kmitov pru?inov?ho kyvadla od hmotnosti bremena

1. Na jednu z pru??n zaveste z?va?ie a vyve?te kyvadlo z rovnov?hy asi o 1 - 2 cm.

2. Potom, ?o nech?te z??a? vo?ne oscilova?, zmerajte ?asov? interval stopkami t, po?as ktor?ho kyvadlo vykon? n (n = 15 - 25) ?pln?ch kmitov
. N?jdite peri?du v?kyvu kyvadla vydelen?m ?asu, ktor? ste namerali, po?tom v?kyvov. Pre v???iu presnos? vykonajte merania aspo? 3-kr?t a vypo??tajte priemern? hodnotu peri?dy oscil?cie.

Pozn?mka: Uistite sa, ?e nedoch?dza k bo?n?m v?kyvom bremena, t. j. ?e v?kyvy kyvadla s? striktne vertik?lne.

3. Opakujte merania s in?mi z?va?iami. V?sledky merania zaznamenajte do tabu?ky.

4. Nakreslite z?vislos? peri?dy kmitania kyvadla od hmotnosti bremena. Graf bude jednoduch?? (priama ?iara), ak sa hodnoty hmotnosti tovaru vynes? na vodorovn? os a hodnoty druhej mocniny na zvislej osi.

?loha 2

Stanovenie koeficientu pru?nosti pru?iny dynamickou met?dou

1. Na jednu z pru??n zaveste z?va?ie 100 g, vyberte ho z rovnov??nej polohy o 1 - 2 cm a po odmeran? ?asu 15 - 20 ?pln?ch kmitov ur?te peri?du kmitania kyvadla so zvolen?m za?a?en?m. pomocou vzorca
. Zo vzorca
vypo??tajte koeficient pru?nosti pru?iny.

2. Vykonajte podobn? merania so z?va?iami od 150 g do 800 g (v z?vislosti od v?bavy), ur?te koeficient pru?nosti pre ka?d? pr?pad a vypo??tajte priemern? hodnotu koeficientu pru?nosti pru?iny. V?sledky merania zaznamenajte do tabu?ky.

?loha 3. Pod?a v?sledkov laborat?rnych pr?c (?lohy 1 - 3):

- n?jdite hodnotu cyklickej frekvencie kyvadla o 0 .

– odpovedzte na ot?zku: z?vis? amplit?da kmitov kyvadla od hmotnosti bremena.

Vezmite si graf z?skan? pri vykon?van? ?lohy 1, ?ubovo?n? bod a ?ahajte z neho kolmice, k?m sa nepretne s osami Om a OT 2. Definujte hodnoty pre tento bod m a T 2 a pod?a vzorca
vypo??tajte hodnotu koeficientu pru?nosti pru?iny.

Aplik?cia

STRU?N? TEORETICK? INFORM?CIE

PRIDAN?M HARMONICK?CH K?MOV

Amplit?da ALE v?sledn? kmitanie z?skan? s??tan?m dvoch kmitov s rovnak?mi frekvenciami a amplit?dami A 1 a A 2 vyskytuj?cich sa pozd?? jednej priamky je ur?en? vzorcom

kde f 0, 1, f 0, 2 - po?iato?n? f?zy.

Po?iato?n? f?zaf 0 v?slednej oscil?cie mo?no n?js? pod?a vzorca

tg
.

bije vznikaj?ce pridan?m dvoch vibr?ci? X 1 =A cos2p n 1 t vyskytuj?ce sa pozd?? jednej priamky s r?znymi, ale hodnotovo bl?zkymi frekvenciami n 1 a n 2 s? op?san? vzorcom

X= X 1 + X 2 + 2A cos p (n 1 – n 2) t cosp(n 1 +n 2) t.

Rovnica trajekt?rie bod z??ast?uj?ci sa dvoch vz?jomne kolm?ch kmitov rovnakej frekvencie s amplit?dami ALE 1 a ALE 2 a po?iato?n? f?zy f 0, 1 a f 0, 2:

Ak s? po?iato?n? f?zy f 0, 1 a f 0, 2 zlo?ky kmitania rovnak?, potom rovnica trajekt?rie m? tvar
. Ak sa po?iato?n? f?zy l??ia o p, potom rovnica trajekt?rie m? tvar
. S? to rovnice priamok prech?dzaj?cich po?iatkom, in?mi slovami, v t?chto pr?padoch sa bod pohybuje po priamke. V in?ch pr?padoch sa pohyb vyskytuje pozd?? elipsy. S f?zov?m rozdielom
osi tejto elipsy s? umiestnen? pozd?? os? OX a OY a rovnica trajekt?rie sa st?va
. Tak?to vibr?cie sa naz?vaj? eliptick?. Ke? A 1 \u003d A 2 \u003d A x 2 + y 2 \u003d A 2. Toto je rovnica kruhu a vibr?cie sa naz?vaj? kruhov?. Pre in? hodnoty frekvenci? a f?zov?ch rozdielov tvor? trajekt?ria osciluj?ceho bodu krivky bizarn?ho tvaru, tzv. Lissajousove postavy.

ANAL?ZA NIEKTOR?CH TYPICK?CH ?LOH

NA UVEDEN? T?MU

?loha 1. Z grafu kmitov hmotn?ho bodu vypl?va, ?e modul r?chlosti v ?ase t = 1/3 s je ...

Peri?da harmonick?ho kmitania zn?zornen? na obr?zku je 2 sekundy. Amplit?da tohto kmitania je 18 cm.Preto z?vislos? X(t) mo?no zap?sa? ako x(t) = 18sin p t. R?chlos? sa rovn? deriv?cii funkcie X(t) ?asom v(t) = 18p cos p t. Dosaden?m t = (1/3) s dostaneme v(1/3) = 9n (cm/s).

Spr?vne je odpove?: 9 p cm/s.

Dve harmonick? kmity rovnak?ho smeru sa s??taj? s rovnak?mi peri?dami a rovnak?mi amplit?dami A0. Na rozdiel
amplit?da v?sledn?ho kmitania je...

Rie?enie sa v?razne zjednodu??, ak sa pou?ije vektorov? met?da na ur?enie amplit?dy a f?zy v?sledn?ho kmitania. Aby sme to dosiahli, predstavujeme jednu z pridan?ch oscil?ci? ako horizont?lny vektor s amplit?dou ALE jeden . Z konca tohto vektora zostroj?me druh? vektor s amplit?dou ALE 2 tak, ?e tvor? uhol
s prv?m vektorom. Potom sa d??ka vektora nakreslen?ho od za?iatku prv?ho vektora po koniec posledn?ho bude rovna? amplit?de v?slednej oscil?cie a uhol, ktor? zviera v?sledn? vektor s prv?m vektorom, bude ur?ova? rozdiel v ich f?zy. Vektorov? diagram zodpovedaj?ci podmienke ?lohy je zn?zornen? na obr?zku. To okam?ite ukazuje, ?e amplit?da v?slednej oscil?cie v
kr?t amplit?da ka?d?ho zo s??tan?ch kmitov.

Spr?vne je odpove?:
.

Bod M s??asne kmit? pod?a harmonick?ho z?kona pozd?? s?radnicov?ch os? OH a OY s r?znymi amplit?dami, ale rovnak?mi frekvenciami. S f?zov?m rozdielom p/2 trajekt?ria bodu M vyzer? ako:

Ke? je v podmienke dan? f?zov? rozdiel, rovnica trajekt?rie je rovnicou elipsy zredukovanej na s?radnicov? osi a poloosi elipsy sa rovnaj? zodpovedaj?cim amplit?dam vibr?ci? (pozri teoretick? inform?cie).

Spr?vne je odpove?: 1.

Dve identicky smerovan? harmonick? kmity rovnakej peri?dy s amplit?dami A 1 \u003d 10 cm a A 2 \u003d 6 cm sa s??taj? do jednej oscil?cie s amplit?dou A res \u003d 14 cm.
s??et oscil?ci? sa rovn?...

V tomto pr?pade je vhodn? pou?i? vzorec . Nahraden?m ?dajov z podmienky ?lohy do nej dostaneme:
.

T?to kos?nusov? hodnota zodpoved?
.

Spr?vna odpove? je: .

Testovacie ot?zky

1. Ak? kmity sa naz?vaj? harmonick?? 2. Ak? formu m? graf netlmen?ch harmonick?ch kmitov? 3. Ak? s? hodnoty harmonick?ho oscila?n?ho procesu? 4. Uve?te pr?klady kmitav?ch pohybov z biol?gie a veterin?rnej medic?ny. 5. Nap??te rovnicu pre harmonick? kmitanie. 6. Ako z?ska? v?raz pre peri?du kmitav?ho pohybu pru?inov?ho kyvadla?

LITERAT?RA

Grabovsk? R. I. Kurz fyziky. - M.: Vysok? ?kola, 2008, I. ?as?, § 27-30.

Z?klady fyziky a biofyziky. Zhuravlev A. I., Belanovsky A. S., Novikov V. E., Oleshkevich A. A. a ?al?? - M., Mir, 2008, kap. 2.

Trofimova T. I. Kurz fyziky: U?ebnica pre ?tudentov. univerzity. - M.: MGAVMiB, 2008. - Ch. osemn?s?.

Trofimov? T. I. Fyzika v tabu?k?ch a vzorcoch: Proc. pr?spevok pre vysoko?kol?kov. - 2. vyd., opraven?. - M.: Drop, 2004. - 432 s.

1. Pohyb sa naz?va oscila?n?, ak po?as pohybu doch?dza k ?iasto?n?mu alebo ?pln?mu opakovaniu stavu syst?mu v ?ase. Ak sa hodnoty fyzik?lnych veli??n charakterizuj?cich dan? kmitav? pohyb opakuj? v pravideln?ch intervaloch, kmity sa naz?vaj? periodick?.

2. Ak? je peri?da oscil?cie? Ak? je frekvencia oscil?ci?? Ak? je medzi nimi spojenie?

2. Peri?da je ?as, po?as ktor?ho prebehne jedna ?pln? oscil?cia. Frekvencia kmitov - po?et kmitov za jednotku ?asu. Frekvencia oscil?ci? je nepriamo ?mern? peri?de oscil?ci?.

3. Syst?m kmit? s frekvenciou 1 Hz. Ak? je peri?da oscil?cie?

4. V ktor?ch bodoch trajekt?rie kmitaj?ceho telesa sa r?chlos? rovn? nule? Je zr?chlenie rovn? nule?

4. V bodoch maxim?lnej odch?lky od rovnov??nej polohy je r?chlos? nulov?. V rovnov??nych bodoch je zr?chlenie nulov?.

5. Ak? veli?iny charakterizuj?ce kmitav? pohyb sa periodicky menia?

5. R?chlos?, zr?chlenie a s?radnice pri oscila?nom pohybe sa periodicky menia.

6. ?o mo?no poveda? o sile, ktor? mus? p?sobi? v oscila?nom syst?me, aby mohol vykon?va? harmonick? kmity?

6. Sila sa mus? ?asom meni? pod?a harmonick?ho z?kona. T?to sila mus? by? ?mern? posunutiu a mus? smerova? opa?ne k posunutiu smerom k rovnov??nej polohe.

Spolu s transla?n?m a rota?n?m pohybom hr? oscila?n? pohyb d?le?it? ?lohu v makro- a mikrosvete.

Rozli?ujte medzi chaotick?mi a periodick?mi oscil?ciami. Periodick? kmity s? charakteristick? t?m, ?e v ur?it?ch rovnak?ch ?asov?ch intervaloch oscila?n? syst?m prech?dza rovnak?mi polohami. Pr?kladom je ?udsk? kardiogram, ktor? je z?znamom kol?sania elektrick?ch sign?lov srdca (obr. 2.1). Na kardiograme je mo?n? rozl??i? oscila?n? peri?da, tie. ?as T jeden ?pln? ?vih. Periodicita v?ak nie je v?lu?n?m znakom kmitov, ale m? aj rota?n? pohyb. Pr?tomnos? rovnov??nej polohy je znakom mechanick?ho kmitav?ho pohybu, zatia? ?o rot?cia je charakterizovan? takzvanou indiferentnou rovnov?hou (dobre vyv??en? koleso alebo ruleta sa pri rozto?en? zastav? v akejko?vek polohe s ekvipravdepodobnos?ou). Pri mechanick?ch vibr?ci?ch v akejko?vek polohe, okrem rovnov??nej, p?sob? sila, ktor? m? tendenciu vr?ti? kmitav? syst?m do v?chodiskovej polohy, t.j. obnovuj?ca sila, v?dy smeruje do rovnov??nej polohy. Pr?tomnos? v?etk?ch troch vlastnost? odli?uje mechanick? vibr?cie od in?ch typov pohybu.

Ry?a. 2.1.

Zv??te konkr?tne pr?klady mechanick?ch vibr?ci?.

Jeden koniec oce?ov?ho prav?tka upneme do zver?ka a druh?, vo?n?, vezmeme nabok a uvo?n?me. P?soben?m elastick?ch s?l sa prav?tko vr?ti do svojej p?vodnej polohy, ktorou je rovnov??na poloha. Prechodom cez t?to polohu (?o je rovnov??na poloha) bud? ma? v?etky body prav?tka (okrem upnutej ?asti) ur?it? r?chlos? a ur?it? mno?stvo kinetickej energie. Zotrva?nos?ou prejde osciluj?ca ?as? prav?tka rovnov??nu polohu a bude p?sobi? proti vn?torn?m elastick?m sil?m v d?sledku poklesu kinetickej energie. To povedie k zv??eniu potenci?lnej energie syst?mu. Ke? je kinetick? energia ?plne vy?erpan?, potenci?lna energia dosiahne maximum. Pru?n? sila p?sobiaca na ka?d? kmitaj?ci bod tie? dosiahne maximum a bude smerova? do rovnov??nej polohy. Toto je pop?san? v podkapitol?ch 1.2.5 (vz?ah (1.58)), 1.4.1 a tie? v 1.4.4 (pozri obr. 1.31) v jazyku potenci?lov?ch kriviek. Toto sa bude opakova? dovtedy, k?m sa celkov? mechanick? energia syst?mu nepremen? na vn?torn? energiu (energiu vibr?ci? ?ast?c pevn?ho telesa) a nerozpt?li sa do okolit?ho priestoru (pripome?me, ?e odporov? sily s? sily disipat?vne).

V uva?ovanom pohybe teda doch?dza k opakovaniu stavov a existuj? sily (pru?n? sily), ktor? maj? tendenciu vr?ti? syst?m do rovnov??nej polohy. Preto bude prav?tko oscilova?.

?al??m zn?mym pr?kladom je kmitanie kyvadla. Rovnov??na poloha kyvadla zodpoved? najni??ej polohe jeho ?a?iska (v tejto polohe je potenci?lna energia vplyvom gravit?cie minim?lna). Vo vych?lenej polohe bude na kyvadlo p?sobi? moment sily okolo osi ot??ania, ktor? m? tendenciu vr?ti? kyvadlo do rovnov??nej polohy. V tomto pr?pade s? tie? v?etky zn?mky oscila?n?ho pohybu. Je jasn?, ?e pri absencii gravit?cie (v stave beztia?e) nebud? splnen? vy??ie uveden? podmienky: v stave beztia?e neexistuje gravit?cia a vratn? moment tejto sily. A tu sa kyvadlo po stla?en? bude pohybova? v kruhu, to znamen?, ?e nebude oscilova?, ale bude sa ot??a?.

Vibr?cie m??u by? nielen mechanick?. M??eme teda napr?klad hovori? o kol?san? n?boja na dosk?ch kondenz?tora zapojen?ho paralelne s induktorom (v oscila?nom obvode) alebo o sile elektrick?ho po?a v kondenz?tore. Ich zmena v ?ase je op?san? rovnicou podobnou tej, ktor? ur?uje mechanick? posunutie z rovnov??nej polohy kyvadla. Vzh?adom na to, ?e tie ist? rovnice m??u op?sa? kmity najrozmanitej??ch fyzik?lnych veli??n, ukazuje sa ako ve?mi vhodn? uva?ova? o kmitoch bez oh?adu na to, ktor? fyzik?lna veli?ina kol??e. Vznik? tak syst?m anal?gi?, najm? elektromechanick? anal?gia. Pre istotu budeme zatia? uva?ova? o mechanick?ch vibr?ci?ch. Do ?vahy prich?dzaj? iba periodick? v?kyvy, pri ktor?ch sa hodnoty fyzik?lnych veli??n meniace sa v procese fluktu?ci? opakuj? v pravideln?ch intervaloch.

Recipro?n? obdobie T kmitov (ako aj ?as jednej ?plnej ot??ky pri ot??an?), vyjadruje po?et ?pln?ch kmitov za jednotku ?asu a je tzv. frekvencia(je to len frekvencia, meria sa v hertzoch alebo s -1)

(s kmitmi rovnak?m sp?sobom ako pri rota?nom pohybe).

Uhlov? r?chlos? s?vis? s frekvenciou v zavedenou vz?ahom (2.1) vzorcom

meran? v rad/s alebo s-1.

Je prirodzen? za?a? anal?zu oscila?n?ch procesov najjednoduch??mi pr?padmi oscila?n?ch syst?mov s jedn?m stup?om vo?nosti. Po?et stup?ov vo?nosti je po?et nez?visl?ch premenn?ch potrebn?ch na ?pln? ur?enie polohy v?etk?ch ?ast? dan?ho syst?mu v priestore. Ak s? napr?klad kmity kyvadla (za?a?enie z?vitu a pod.) obmedzen? na rovinu, v ktorej sa kyvadlo m??e pohybova? len a ak je z?vit kyvadla neroztiahnute?n?, potom sta?? nastavi? iba jeden uhol. odch?lky z?vitu od vertik?ly alebo iba ve?kos? posunutia z rovnov??nej polohy - pre za?a?enie osciluj?ce v jednom smere na pru?ine na ?pln? ur?enie jej polohy. V tomto pr?pade hovor?me, ?e uva?ovan? syst?m m? jeden stupe? vo?nosti. To ist? kyvadlo, ak m??e zauja? ak?ko?vek polohu na povrchu gule, na ktorej le?? trajekt?ria jeho pohybu, m? dva stupne vo?nosti. Mo?n? s? aj trojrozmern? vibr?cie, ako je to napr?klad v pr?pade tepeln?ch vibr?ci? at?mov v kry?t?lovej mrie?ke (pozri pododdiel 10.3). Na anal?zu procesu v re?lnom fyzik?lnom syst?me vol?me jeho model, pri?om ?t?dium vopred obmedz?me na mno?stvo podmienok.

• ?alej bude peri?da oscil?cie ozna?en? rovnak?m p?smenom ako kinetick? energia - T (nezamie?ajte!).
• V kapitole 4, Molekul?rna fyzika, bude uveden? ?al?ia defin?cia po?tu stup?ov vo?nosti.