ladybe.ru
S??et nekone?nej klesaj?cej geometrickej progresie a Zen?novho paradoxu. Geometrick? progresia. Pr?klad s rie?en?m
U? v starovekom Egypte poznali nielen aritmetick?, ale aj geometrick? postup. Tu je napr?klad probl?m z Rhindovho papyrusu: „Sedem tv?r? m? sedem ma?iek; Ka?d? ma?ka zje sedem my??, ka?d? my? zo?erie sedem klasov kukurice a z ka?d?ho klasu ja?me?a sa d? vypestova? sedem mier ja?me?a. Ak? ve?k? s? ??sla v tomto rade a ich s??et?
 |
|
Ry?a. 1. Probl?m geometrickej postupnosti starovek?ho Egypta |
T?to ?loha sa opakovala mnohokr?t s r?znymi obmenami medzi in?mi n?rodmi inokedy. Napr?klad v p?somnej forme v 13. storo??. „Kniha po??tadla“ od Leonarda z Pisy (Fibonacci) m? probl?m, v ktorom sa na ceste do R?ma objavuje 7 star?ch ?ien (samozrejme p?tnikov), z ktor?ch ka?d? m? 7 mul?c, z ktor?ch ka?d? m? 7 ta?iek, z ktor?ch ka?d? obsahuje 7 chlebov, z ktor?ch ka?d? m? 7 no?ov, z ktor?ch ka?d? m? 7 puzdier. Probl?m sa p?ta, ko?ko predmetov je tam.
S??et prv?ch n ?lenov geometrickej postupnosti S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Tento vzorec mo?no dok?za? napr?klad takto: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Pridajte ??slo b 1 q n k S n a dostanete:
|
Odtia? S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) a dostaneme potrebn? vzorec.
U? na jednej z hlinen?ch tabuliek starovek?ho Babylonu, datovanej do 6. storo?ia. BC obsahuje s??et 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Pravda, ako v mnoh?ch in?ch pr?padoch, nevieme, ako t?to skuto?nos? poznali Babylon?ania. .
R?chly n?rast geometrickej progresie v mnoh?ch kult?rach, najm? v indickej, sa opakovane pou??va ako vizu?lny symbol roz?ahlosti vesm?ru. V zn?mej legende o vzh?ade ?achu d?va vl?dca jeho vyn?lezcovi mo?nos? vybra? si odmenu s?m a p?ta sa na po?et p?eni?n?ch z?n, ktor? sa z?skaj?, ak sa jedno umiestni na prv? pole ?achovnice, dve na druh?, ?tyri na tre?om, osem na ?tvrtom at?., zaka?d?m, ke? sa ??slo zdvojn?sob?. Vladyka si to myslel hovor?me o, nanajv?? o p?r ta?iek, ale prer?tal sa. Je ?ahk? vidie?, ?e za v?etk?ch 64 pol? na ?achovnici by vyn?lezca musel dosta? (2 64 - 1) z?n, ?o je vyjadren? ako 20-miestne ??slo; aj keby bol zasiaty cel? povrch Zeme, nazbieranie potrebn?ho mno?stva z?n by trvalo minim?lne 8 rokov. T?to legenda sa niekedy interpretuje ako ozna?enie prakticky neobmedzen?ch mo?nost? skryt?ch v ?achovej hre.
Je ?ahk? vidie?, ?e toto ??slo je skuto?ne 20-miestne:
2 64 = 2 4 ? (2 10) 6 = 16 ? 1024 6 ? 16 ? 1000 6 = 1,6?10 19 (presnej?? v?po?et d?va 1,84?10 19). Ale zauj?malo by ma, ?i m??ete zisti?, akou ??slicou toto ??slo kon???
Geometrick? progresia m??e by? rast?ca, ak je menovate? v???? ako 1, alebo klesaj?ca, ak je men?ia ako jedna. V druhom pr?pade sa ??slo q n pre dostato?ne ve?k? n m??e sta? ?ubovo?ne mal?m. Zatia? ?o rast?ca geometrick? progresia rastie neo?ak?vane r?chlo, klesaj?ca geometrick? progresia kles? rovnako r?chlo.
??m v???ie n, t?m slab?ie sa ??slo q n l??i od nuly a ??m bli??ie je s??et n ?lenov geometrickej postupnosti S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) k ??slu S = b 1 / ( 1 – q). (Takto uva?oval napr?klad F. Viet). ??slo S sa naz?va s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti. Av?ak po mnoho storo?? ot?zka, ak? v?znam m? s??tanie CELEJ geometrickej postupnosti s jej nekone?n?m po?tom pojmov, nebola matematikom dostato?ne jasn?.
Klesaj?ci geometrick? postup je mo?n? vidie? napr?klad v Zen?nov?ch ap?ri?ch „Polovi?n? div?zia“ a „Achilles a korytna?ka“. V prvom pr?pade sa jasne ukazuje, ?e cel? cesta (za predpokladu d??ky 1) je s??tom nekone?n?ho po?tu segmentov 1/2, 1/4, 1/8 at?. h?adisko predst?v o kone?nom s??te nekone?nej geometrickej postupnosti. A predsa - ako to m??e by??
|
Ry?a. 2. Progresia s koeficientom 1/2 |
V ap?rii o Achillovi je situ?cia trochu komplikovanej?ia, preto?e tu nie je menovate?om postupu 1/2, ale nejak? in? ??slo. Nech napr?klad Achilles be?? r?chlos?ou v, korytna?ka sa pohybuje r?chlos?ou u a po?iato?n? vzdialenos? medzi nimi je l. Achilles prekon? t?to vzdialenos? za ?as l/v a korytna?ka sa po?as tohto ?asu posunie o vzdialenos? lu/v. Ke? Achilles prebehne tento ?sek, vzdialenos? medzi n?m a korytna?kou sa bude rovna? l (u / v) 2 at?. Ukazuje sa, ?e dobehn?? korytna?ku znamen? n?js? s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej progresie s prv?m ?lenom l a menovate? u /v. Tento s??et – segment, ktor? Achilles nakoniec prebehne na miesto stretnutia s korytna?kou – sa rovn? l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Ale op??, ako by sa mal tento v?sledok interpretova? a pre?o m? v?bec zmysel, nebolo dlho jasn?.
|
Ry?a. 3. Geometrick? progresia s koeficientom 2/3 |
Archimedes pou?il s??et geometrickej progresie na ur?enie plochy segmentu paraboly. Nech je tento ?sek paraboly ohrani?en? tetivou AB a doty?nica v bode D paraboly nech je rovnobe?n? s AB. Nech C je stred AB, E stred AC, F stred CB. Nakresl?me ?iary rovnobe?n? s DC cez body A, E, F, B; Nech doty?nica nakreslen? v bode D pret?na tieto priamky v bodoch K, L, M, N. Nakresl?me aj segmenty AD a DB. Nech priamka EL pret?na priamku AD v bode G a parabolu v bode H; priamka FM pret?na priamku DB v bode Q a parabolu v bode R. Pod?a v?eobecnej te?rie ku?e?ose?iek je DC priemer paraboly (to znamen? ?se?ka rovnobe?n? s jej osou); on a doty?nica v bode D m??u sl??i? ako s?radnicov? osi x a y, v ktor?ch je rovnica paraboly zap?san? ako y 2 = 2px (x je vzdialenos? od D k ?ubovo?n?mu bodu dan?ho priemeru, y je d??ka ?se?ka rovnobe?n? s danou doty?nicou z tohto bodu priemeru do nejak?ho bodu na samotnej parabole).
Na z?klade parabolickej rovnice je DL 2 = 2 ? p ? LH, DK 2 = 2 ? p ? KA, a ke??e DK = 2DL, potom KA = 4LH. Preto?e KA = 2LG, LH = HG. Plocha segmentu ADB paraboly sa rovn? ploche trojuholn?ka DADB a ploch?m segmentov AHD a DRB dohromady. Na druhej strane, plocha segmentu AHD sa podobne rovn? ploche trojuholn?ka AHD a zvy?n?ch segmentov AH a HD, s ka?d?m z nich m??ete vykona? rovnak? oper?ciu - rozdeli? na trojuholn?k (D) a dva zost?vaj?ce segmenty () at?.:
Plocha trojuholn?ka DAHD sa rovn? polovici plochy trojuholn?ka DALD (maj? spolo?n? z?klad?u AD a v??ky sa l??ia 2-kr?t), ?o sa zase rovn? polovici plochy trojuholn?k DAKD, a teda polovicu plochy trojuholn?ka DACD. Plocha trojuholn?ka DAHD sa teda rovn? ?tvrtine plochy trojuholn?ka DACD. Podobne plocha trojuholn?ka DDRB sa rovn? jednej ?tvrtine plochy trojuholn?ka DDFB. Plochy trojuholn?kov DAHD a DDRB sa teda spolu rovnaj? ?tvrtine plochy trojuholn?ka DADB. Opakovan?m tejto oper?cie pri pou?it? na segmenty AH, HD, DR a RB sa z nich vyber? trojuholn?ky, ktor?ch plocha bude spolu 4-kr?t men?ia ako plocha trojuholn?kov DAHD a DDRB spolu, a teda 16-kr?t menej ako plocha trojuholn?ka DADB. A tak ?alej:
Archimedes teda dok?zal, ?e „ka?d? segment medzi priamkou a parabolou tvor? ?tyri tretiny trojuholn?ka s rovnakou z?klad?ou a rovnakou v??kou“.
Geometrick? progresia nemenej d?le?it? v matematike v porovnan? s aritmetikou. Geometrick? postupnos? je postupnos? ??sel b1, b2,..., b[n], ktorej ka?d? ?al?? ?len sa z?ska vyn?soben?m predch?dzaj?ceho kon?tantn?m ??slom. Toto ??slo, ktor? charakterizuje aj r?chlos? rastu alebo poklesu progresie, sa naz?va menovate? geometrickej progresie a ozna?uj?
Na ?pln? ?pecifikovanie geometrickej progresie je okrem menovate?a potrebn? pozna? alebo ur?i? jej prv? ?len. Pre kladn? hodnotu menovate?a je postupnos? monot?nna postupnos?, a to ak je t?to postupnos? ??sel monot?nne klesaj?ca a ak je monot?nne rast?ca. Pr?pad, ke? sa menovate? rovn? jednej, sa v praxi neuva?uje, preto?e m?me postupnos? rovnak?ch ??sel a ich s??et nie je praktick?
V?eobecn? pojem geometrickej progresie vypo??tan? pod?a vzorca
S??et prv?ch n ?lenov geometrickej postupnosti ur?en? vzorcom
Pozrime sa na rie?enia klasick?ch ?loh geometrickej postupnosti. Za?nime t?mi najjednoduch??mi na pochopenie.
Pr?klad 1. Prv? ?len geometrickej postupnosti je 27 a jej menovate? je 1/3. N?jdite prv?ch ?es? ?lenov geometrickej postupnosti.
Rie?enie: Do formul?ra nap??me probl?mov? stav
Na v?po?ty pou??vame vzorec pre n-t? ?len geometrickej postupnosti
Na z?klade toho n?jdeme nezn?me term?ny progresie
Ako vid?te, v?po?et podmienok geometrickej progresie nie je zlo?it?. Samotn? postup bude vyzera? takto
Pr?klad 2. S? uveden? prv? tri ?leny geometrickej postupnosti: 6; -12; 24. N?jdite menovate?a a jeho siedmy ?len.
Rie?enie: Menovate?a geomitrickej progresie vypo??tame na z?klade jeho defin?cie
Z?skali sme striedav? geometrick? postup, ktor?ho menovate? sa rovn? -2. Siedmy ?len sa vypo??ta pomocou vzorca
T?m je probl?m vyrie?en?.
Pr?klad 3. Geometrick? postupnos? je dan? dvoma jej ?lenmi 
. N?jdite desiaty term?n postupu.
Rie?enie:
Nap??me dan? hodnoty pomocou vzorcov
Pod?a pravidiel by sme potrebovali n?js? menovate?a a potom h?ada? po?adovan? hodnotu, ale pre desiaty ?len m?me
Rovnak? vzorec mo?no z?ska? na z?klade jednoduch?ch manipul?ci? so vstupn?mi ?dajmi. Rozde?te ?iesty term?n s?rie druh?m a ako v?sledok dostaneme
Ak sa v?sledn? hodnota vyn?sob? ?iestym ?lenom, dostaneme desiaty
Preto pri tak?chto probl?moch r?chlo pomocou jednoduch?ch transform?ci? m??ete n?js? spr?vne rie?enie.
Pr?klad 4. Geometrick? postupnos? je dan? opakuj?cimi sa vzorcami
N?jdite menovate?a geometrickej postupnosti a s??et prv?ch ?iestich ?lenov.
Rie?enie:
Dan? ?daje zap??me vo forme s?stavy rovn?c
Vyjadrite menovate? tak, ?e druh? rovnicu vydel?te prvou
N?jdite prv? ?len postupu z prvej rovnice
Vypo??tajme nasleduj?cich p?? ?lenov, aby sme na?li s??et geometrickej postupnosti
Cie? hodiny: predstavi? ?tudentom nov? typ postupnosti - nekone?ne klesaj?ci geometrick? postup.
?lohy:
formulovanie po?iato?nej predstavy o limite ??selnej postupnosti;
obozn?menie sa s in?m sp?sobom prevodu nekone?n?ch periodick?ch zlomkov na oby?ajn? pomocou vzorca pre s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti;
rozvoj intelektu?lnych kval?t osobnosti ?kol?kov, ako je logick? myslenie, schopnos? hodnoti? a zov?eobec?ova?;
podporova? aktivitu, vz?jomn? pomoc, kolektivizmus a z?ujem o vec.
Stiahnu? ?:
N?h?ad:
Lekcia na dan? t?mu „Nekone?ne klesaj?ca geometrick? progresia“ (algebra, 10. ro?n?k)
??el lekcie: obozn?menie ?tudentov s nov?m typom postupnosti – nekone?ne klesaj?cim geometrick?m postupom.
?lohy:
formulovanie po?iato?nej predstavy o limite ??selnej postupnosti; obozn?menie sa s in?m sp?sobom prevodu nekone?n?ch periodick?ch zlomkov na oby?ajn? pomocou vzorca pre s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti;
rozvoj intelektu?lnych kval?t osobnosti ?kol?kov, ako je logick? myslenie, schopnos? hodnoti? a zov?eobec?ova?;
podporova? aktivitu, vz?jomn? pomoc, kolektivizmus a z?ujem o vec.
Vybavenie: po??ta?ov? trieda, projektor, pl?tno.
Typ lekcie: lekcia - u?enie sa novej t?my.
Po?as vyu?ovania
I. Org. moment. Uve?te t?mu a ??el lekcie.
II. Aktualiz?cia vedomost? ?iakov.
V 9. ro?n?ku ste sa u?ili aritmetick? a geometrick? postup.
Ot?zky
1. Defin?cia aritmetickej progresie.
(Aritmetick? postup je postupnos?, v ktorej ka?d? ?len
Po?n?c druh?m sa rovn? predch?dzaj?cemu v?razu pripo??tan?mu k rovnak?mu ??slu).
2. Vzorec ? ?len aritmetick?ho postupu
3. Vzorec pre s??et prv?ho n podmienky aritmetick?ho postupu.
( alebo )
4. Defin?cia geometrickej progresie.
(Geometrick? postupnos? je postupnos? nenulov?ch ??sel
Ka?d? ?len, po?n?c druh?m, sa rovn? predch?dzaj?cemu ?lenu vyn?soben?mu
Rovnak? ??slo).
5. Vzorec ? ?len geometrickej progresie
6. Vzorec pre s??et prv?ho n ?lenov geometrickej progresie.
7. Ak? ?al?ie vzorce pozn?te?
(, Kde ; ;
; , )
?lohy
1. Aritmetick? postupnos? je dan? vzorcom a n = 7 – 4n . N?jdite 10. (-33)
2. V aritmetickej postupnosti a3 = 7 a a5 = 1. N?jdite 4. (4)
3. V aritmetickej postupnosti a3 = 7 a a5 = 1. N?jdite 17. (-35)
4. V aritmetickej postupnosti a3 = 7 a a5 = 1. N?jdite S 17. (-187)
5. Pre geometrick? postupn?js? piaty term?n.
6. Pre geometrick? postup n?jdite n-t? term?n.
7. Exponenci?lne b3 = 8 a b5 = 2. N?js? b 4 . (4)
8. Exponenci?lne b3 = 8 a b5 = 2. N?jdite b 1 a q.
9. Exponenci?lne b3 = 8 a b5 = 2. N?jdite S5. (62)
III. U?enie sa novej t?my(uk??ka prezent?cie).
Uva?ujme ?tvorec so stranou rovnaj?cou sa 1. Nakresl?me ?al?? ?tvorec, ktor?ho strana je polovica ve?kosti prv?ho ?tvorca, potom ?al??, ktor?ho strana je polovica druhej, potom ?al?? at?. Zaka?d?m, ke? sa strana nov?ho ?tvorca rovn? polovici predch?dzaj?ceho.
V d?sledku toho sme dostali postupnos? str?n ?tvorcovtvoriaci geometrick? postupnos? s menovate?om.
A ?o je ve?mi d?le?it?, ??m viac tak?chto ?tvorcov postav?me, t?m men?ia bude strana ?tvorca. Napr?klad ,
Tie. Ke? sa ??slo n zvy?uje, ?leny progresie sa bl??ia k nule.
Pomocou tohto obr?zku m??ete zv??i? ?al?iu postupnos?.
Napr?klad postupnos? pl?ch ?tvorcov:
A op??, ak n sa zv???uje na neur?ito, potom sa oblas? pribl??i k nule tak bl?zko, ako chcete.
Pozrime sa na ?al?? pr?klad. Rovnostrann? trojuholn?k so stranami rovn?mi 1 cm. Zostrojme nasleduj?ci trojuholn?k s vrcholmi v stredoch str?n 1. trojuholn?ka pod?a vety o stredovej ?iare trojuholn?ka - strana 2. sa rovn? polovici strany prv?ho, strana 3. sa rovn? polovici strany 2. at?. Op?? dostaneme postupnos? d??ok str?n trojuholn?kov.
o .
Ak uva?ujeme geometrick? progresiu so z?porn?m menovate?om.
Potom op?? s prib?daj?cimi ??slami n podmienky progresie sa bl??ia k nule.
Venujme pozornos? menovate?om t?chto postupnost?. V?ade boli menovatele v absol?tnej hodnote men?ie ako 1.
M??eme dospie? k z?veru: geometrick? progresia bude nekone?ne klesa?, ak modul jej menovate?a bude men?? ako 1.
Front?lna pr?ca.
Defin?cia:
O geometrickej progresii sa hovor?, ?e je nekone?ne klesaj?ca, ak je modul jej menovate?a men?? ako jedna..
Pomocou defin?cie sa m??ete rozhodn??, ?i geometrick? progresia bude nekone?ne klesa? alebo nie.
?loha
Je postupnos? nekone?ne klesaj?ca geometrick? postupnos?, ak je dan? vzorcom:
Rie?enie:
Po?me n?js? q.
; ; ; .
t?to geometrick? progresia sa nekone?ne zni?uje.
b) t?to postupnos? nie je nekone?ne klesaj?ca geometrick? progresia.
Uva?ujme ?tvorec so stranou rovnaj?cou sa 1. Rozde?te ho na polovicu, jednu z polov?c na polovicu at?. Plochy v?etk?ch v?sledn?ch obd??nikov tvoria nekone?ne klesaj?cu geometrick? postupnos?:
S??et pl?ch v?etk?ch obd??nikov z?skan?ch t?mto sp?sobom sa bude rovna? ploche prv?ho ?tvorca a rovna? sa 1.
Ale na ?avej strane tejto rovnosti je s??et nekone?n?ho po?tu ?lenov.
Uva?ujme s??et prv?ch n ?lenov.
Pod?a vzorca pre s??et prv?ch n ?lenov geometrickej postupnosti sa rovn?.
Ak n rastie bez obmedzenia, potom
alebo . Preto, t.j. .
S??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej progresieexistuje limit sekvencie S1, S2, S3, …, Sn, ….
Napr?klad na postup,
m?me
Preto?e
S??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej progresiemo?no n?js? pomocou vzorca.
III. Pochopenie a upevnenie(dokon?enie ?loh).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Zhrnutie.
S akou sekvenciou ste sa dnes zozn?mili?
Definujte nekone?ne klesaj?cu geometrick? progresiu.
Ako dok?za?, ?e geometrick? progresia je nekone?ne klesaj?ca?
Uve?te vzorec pre s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti.
V. Dom?ca ?loha.
2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
N?h?ad:
Ak chcete pou?i? uk??ky prezent?ci?, vytvorte si ??et Google a prihl?ste sa do?: https://accounts.google.com
Popisy sn?mok:
D?sledne uva?ova?, posudzova? d?kazmi a vyvraca? nespr?vne z?very by mal vedie? ka?d?: fyzik aj b?snik, traktorista aj chemik. E. Kolman V matematike si treba pam?ta? nie vzorce, ale procesy myslenia. V.P. Ermakov Je ?ah?ie n?js? kvadrat?ru kruhu, ako prekab?ti? matematika. Augustus de Morgan Ak? veda m??e by? vzne?enej?ia, obdivuhodnej?ia, u?ito?nej?ia pre ?udstvo ako matematika? Franklin
Nekone?ne klesaj?ci stupe? geometrickej progresie 10
ja Aritmetick? a geometrick? postupnosti. Ot?zky 1. Defin?cia aritmetickej progresie. Aritmetick? postupnos? je postupnos?, v ktorej sa ka?d? ?len po?n?c druh?m rovn? predch?dzaj?cemu ?lenu pripo??tan?mu k rovnak?mu ??slu. 2. Vzorec pre n-t? ?len aritmetickej postupnosti. 3. Vzorec pre s??et prv?ch n ?lenov aritmetickej postupnosti. 4. Defin?cia geometrickej progresie. Geometrick? postupnos? je postupnos? nenulov?ch ??sel, z ktor?ch ka?d? ?len po?n?c druh?m sa rovn? predch?dzaj?cemu ?lenu vyn?soben?mu rovnak?m ??slom 5. Vzorec pre n-t? ?len geometrickej postupnosti. 6. Vzorec pre s??et prv?ch n ?lenov geometrickej postupnosti.
II. Aritmetick? postup. ?lohy Aritmetick? postup je dan? vzorcom a n = 7 – 4 n N?jdite a 10 . (-33) 2. Pri aritmetickej postupnosti a 3 = 7 a a 5 = 1. N?jdite 4. (4) 3. V aritmetickej postupnosti a 3 = 7 a a 5 = 1. N?jdite 17. (-35) 4. Pri aritmetickej postupnosti a 3 = 7 a a 5 = 1. N?jdite S 17. (-187)
II. Geometrick? progresia. ?lohy 5. Pre geometrick? postup n?jdite piaty ?len 6. Pre geometrick? postup n?jdite n-t? ?len. 7. V geometrickej postupnosti b 3 = 8 a b 5 = 2. N?js? b 4 . (4) 8. V geometrickej postupnosti b 3 = 8 a b 5 = 2. N?jdite b 1 a q. 9. V geometrickej postupnosti b 3 = 8 a b 5 = 2. N?jdite S5. (62)
defin?cia: Geometrick? progresia sa naz?va nekone?ne klesaj?ca, ak modul jej menovate?a je men?? ako jedna.
?loha ?. 1 Je postupnos? nekone?ne klesaj?ca geometrick? postupnos?, ak je dan? vzorcom: Rie?enie: a) t?to geometrick? postupnos? je nekone?ne klesaj?ca. b) t?to postupnos? nie je nekone?ne klesaj?ca geometrick? postupnos?.
S??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti je limita postupnosti S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Napr?klad pre progresiu m?me Preto?e s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej progresie mo?no n?js? pomocou vzorca
Dokon?enie ?loh N?jdite s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti s prv?m ?lenom 3, druh?m 0,3. 2. ?. 13; ?. 14; u?ebnica, strana 138 3. ??slo 15(1;3); ?.16(1;3) ?.18(1;3); 4. ?. 19; ?. 20.
S akou sekvenciou ste sa dnes zozn?mili? Definujte nekone?ne klesaj?cu geometrick? progresiu. Ako dok?za?, ?e geometrick? progresia je nekone?ne klesaj?ca? Uve?te vzorec pre s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti. Ot?zky
Sl?vny po?sk? matematik Hugo Steinhaus vtipne tvrd?, ?e existuje z?kon, ktor? je formulovan? takto: matematik to urob? lep?ie. Toti?, ak pover?te dvoch ?ud?, z ktor?ch jeden je matematik, aby vykonali ak?ko?vek im nezn?mu pr?cu, v?sledok bude v?dy tak?to: matematik to urob? lep?ie. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972
Prv? ?rove?
Geometrick? progresia. Komplexn? pr?ru?ka s pr?kladmi (2019)
Poradie ??sel
Tak si sadnime a za?nime p?sa? nejak? ??sla. Napr?klad:
M??ete nap?sa? ?ubovo?n? ??sla a m??e ich by? to?ko, ko?ko chcete (v na?om pr?pade ich je). Bez oh?adu na to, ko?ko ??sel nap??eme, v?dy vieme poveda?, ktor? je prv?, ktor? druh? a tak ?alej a? do posledn?ho, ?i?e ich vieme o??slova?. Toto je pr?klad ??selnej postupnosti:
Poradie ??sel je mno?ina ??sel, z ktor?ch ka?d?mu mo?no priradi? jedine?n? ??slo.
Napr?klad pre na?u postupnos?:
Priraden? ??slo je ?pecifick? len pre jedno ??slo v porad?. In?mi slovami, v porad? nie s? ?iadne tri sekundov? ??sla. Druh? ??slo (ako te ??slo) je v?dy rovnak?.
??slo s ??slom sa naz?va n-t? ?len postupnosti.
Cel? postupnos? zvy?ajne naz?vame nejak?m p?smenom (napr?klad) a ka?d? ?len tejto postupnosti je rovnak? p?smeno s indexom rovn?m ??slu tohto ?lena: .
V na?om pr?pade:
Najbe?nej?ie typy progresie s? aritmetick? a geometrick?. V tejto t?me budeme hovori? o druhom type - geometrick? progresia.
Pre?o je potrebn? geometrick? progresia a jej hist?ria?
U? v staroveku sa taliansky matematick? mn?ch Leonardo z Pisy (zn?mej?? ako Fibonacci) zaoberal praktick?mi potrebami obchodu. Mn?ch st?l pred ?lohou ur?i?, ak? najmen?? po?et z?va?? je mo?n? pou?i? na odv??enie produktu? Fibonacci vo svojich pr?cach dokazuje, ?e tak?to syst?m v?h je optim?lny: Toto je jedna z prv?ch situ?ci?, v ktorej sa ?udia museli vysporiada? s geometrickou progresiou, o ktorej ste u? ur?ite po?uli a m?te o nej aspo? v?eobecn? pochopenie. Ke? ?plne pochop?te t?mu, zamyslite sa nad t?m, pre?o je tak?to syst?m optim?lny?
V s??asnosti sa v ?ivotnej praxi prejavuje geometrick? progresia pri investovan? pe?az? v banke, kedy sa v??ka ?roku pripisuje k sume naakumulovanej na ??te za predch?dzaj?ce obdobie. In?mi slovami, ak vlo??te peniaze na term?novan? vklad do sporite?ne, tak po roku sa vklad nav??i o p?vodn? sumu, t.j. nov? suma sa bude rovna? pr?spevku vyn?soben?mu o. V ?al?om roku sa t?to suma zv??i o, t.j. suma z?skan? v tom ?ase sa op?? vyn?sob? at?. Podobn? situ?cia je pop?san? v ?loh?ch v?po?tu tzv zlo?en? ?ro?enie- percento sa v?dy berie zo sumy, ktor? je na ??te, pri?om sa zoh?ad?uje predch?dzaj?ci ?rok. O t?chto ?loh?ch si povieme trochu nesk?r.
Existuje ove?a viac jednoduch?ch pr?padov, ke? sa uplat?uje geometrick? progresia. Napr?klad ??renie chr?pky: jeden ?lovek nakazil druh?ho ?loveka, ten zasa nakazil ?al?ieho ?loveka, a teda druhou vlnou n?kazy je ?lovek a ten zasa nakazil ?al?ieho... a tak ?alej... .
Mimochodom, finan?n? pyram?da, to ist? MMM, je jednoduch? a such? v?po?et zalo?en? na vlastnostiach geometrickej progresie. zauj?mav?? Po?me na to.
Geometrick? progresia.
Povedzme, ?e m?me ??seln? postupnos?:
Okam?ite odpoviete, ?e je to jednoduch? a n?zov takejto postupnosti je aritmetick? postup s rozdielom v ?lenoch. A ?o toto:
Ak od??tate predch?dzaj?ce ??slo od nasleduj?ceho ??sla, uvid?te, ?e zaka?d?m dostanete nov? rozdiel (a tak ?alej), ale postupnos? ur?ite existuje a je ?ahk? si ju v?imn?? – ka?d? nasleduj?ce ??slo je kr?t v???ie ako predch?dzaj?ce!
Tento typ ??selnej postupnosti sa naz?va geometrick? progresia a je ur?en?.
Geometrick? postupnos? () je ??seln? postupnos?, ktorej prv? ?len sa l??i od nuly a ka?d? ?len, po?n?c druh?m, sa rovn? predch?dzaj?cemu, vyn?soben? rovnak?m ??slom. Toto ??slo sa naz?va menovate? geometrickej progresie.
Obmedzenia, ?e prv? ?len ( ) nie je rovnak? a nie s? n?hodn?. Predpokladajme, ?e neexistuj? ?iadne a prv? ?len je st?le rovnak? a q sa rovn?, hmm.. nech je to tak, potom to dopadne:
S?hlaste s t?m, ?e toto u? nie je progresia.
Ako ste pochopili, dostaneme rovnak? v?sledky, ak existuje ak?ko?vek in? ??slo ako nula, a. V t?chto pr?padoch jednoducho ned?jde k progresii, preto?e cel? ??seln? rad bude bu? v?etky nuly, alebo jedno ??slo a v?etky ostatn? bud? nuly.
Povedzme si teraz podrobnej?ie o menovate?ovi geometrickej postupnosti, teda o.
Zopakujme si: - toto je ??slo ko?kokr?t sa ka?d? nasleduj?ci v?raz zmen?? geometrick? postup.
?o si mysl?te, ?e by to mohlo by?? To je spr?vne, pozit?vne a negat?vne, ale nie nulov? (o tomto sme hovorili trochu vy??ie).
Predpokladajme, ?e ten n?? je pozit?vny. Nech v na?om pr?pade a. Ak? hodnotu m? druh? term?n a? Na to m??ete ?ahko odpoveda?:
To je spr?vne. Preto, ak, potom v?etky nasleduj?ce podmienky progresie maj? rovnak? znamienko - oni s? pozit?vne.
?o ak je to negat?vne? Napr?klad a. Ak? hodnotu m? druh? term?n a?
Toto je ?plne in? pr?beh
Sk?ste spo??ta? podmienky tohto postupu. Ko?ko ste dostali? M?m. Ak teda, potom sa striedaj? znaky ?lenov geometrickej progresie. To znamen?, ?e ak vid?te progresiu so striedaj?cimi sa znakmi pre jej ?lenov, potom je jej menovate? z?porn?. Tieto znalosti v?m m??u pom?c? otestova? sa pri rie?en? probl?mov na t?to t?mu.
Teraz si po?me trochu precvi?i?: sk?ste ur?i?, ktor? ??seln? postupnosti s? geometrickou postupnos?ou a ktor? aritmetickou postupnos?ou:
M?m to? Porovnajme na?e odpovede:
- Geometrick? postupnos? - 3, 6.
- Aritmetick? postup - 2, 4.
- Nie je to ani aritmetika, ani geometrick? postupnos? – 1, 5, 7.
Vr??me sa k n??mu posledn?mu postupu a sk?sme n?js? jeho ?lena, rovnako ako v aritmetickom. Ako ste mo?no uh?dli, existuj? dva sp?soby, ako ho n?js?.
Ka?d? v?raz postupne n?sob?me o.
?i?e t? ?len op?sanej geometrickej postupnosti sa rovn?.
Ako ste u? uh?dli, teraz sami odvod?te vzorec, ktor? v?m pom??e n?js? ?ubovo?n?ho ?lena geometrickej progresie. Alebo ste ho u? vyvinuli pre seba a pop?sali, ako krok za krokom n?js? th ?lena? Ak ?no, skontrolujte spr?vnos? svojich ?vah.
Ilustrujme to na pr?klade h?adania druh?ho ?lena tejto postupnosti:
In?mi slovami:
Sami n?jdite hodnotu ?lena danej geometrickej postupnosti.
Stalo? Porovnajme na?e odpovede:
Upozor?ujeme, ?e ste dostali presne rovnak? ??slo ako v predch?dzaj?cej met?de, ke? sme postupne n?sobili ka?d?m predch?dzaj?cim ?lenom geometrickej postupnosti.
Pok?sme sa „depersonalizova?“ tento vzorec - dajme to v?eobecne a z?skajme:
Odvoden? vzorec plat? pre v?etky hodnoty – kladn? aj z?porn?. Overte si to sami v?po?tom ?lenov geometrickej postupnosti s nasleduj?cimi podmienkami: , a.
Po??tal si? Porovnajme v?sledky:
S?hlaste s t?m, ?e by bolo mo?n? n?js? term?n progresie rovnak?m sp?sobom ako term?n, existuje v?ak mo?nos? nespr?vneho v?po?tu. A ak sme u? na?li t? ?len geometrickej postupnosti, ?o m??e by? jednoduch?ie ako pou?i? „skr?ten?“ ?as? vzorca.
Nekone?ne klesaj?ca geometrick? progresia.
Ned?vno sme hovorili o tom, ?e m??e by? v???ia alebo men?ia ako nula, existuj? v?ak ?peci?lne hodnoty, pre ktor? sa geometrick? progresia naz?va nekone?ne klesaj?ci.
Pre?o si mysl?te, ?e je dan? tento n?zov?
Najprv si nap??me nejak? geometrick? postup pozost?vaj?ci z pojmov.
Povedzme teda:
Vid?me, ?e ka?d? nasleduj?ci ?len je o faktor men?? ako predch?dzaj?ci, ale bude tam nejak? ??slo? Okam?ite odpoviete - "nie". Preto nekone?ne kles? - kles? a kles?, ale nikdy sa nestane nulou.
Aby sme jasne pochopili, ako to vyzer? vizu?lne, sk?sme nakresli? graf n??ho postupu. Tak?e v na?om pr?pade m? vzorec nasleduj?cu formu:
Na grafoch, na ktor? sme zvyknut? vykres?ova? z?vislos?, teda:
Podstata v?razu sa nezmenila: v prvom vstupe sme uk?zali z?vislos? hodnoty ?lena geometrickej postupnosti od jeho poradov?ho ??sla a v druhom vstupe sme jednoducho zobrali hodnotu ?lena geometrickej postupnosti ako , a poradov? ??slo ozna?il nie ako, ale ako. Zost?va u? len zostavi? graf.
Pozrime sa, ?o m??. Tu je graf, ktor? som vymyslel:
Vid??? Funkcia kles?, m? tendenciu k nule, ale nikdy ju neprekro??, tak?e nekone?ne kles?. Vyzna?me si na grafe na?e body a z?rove?, ?o s?radnica a znamen?:
Sk?ste schematicky zn?zorni? graf geometrickej progresie, ak je jej prv? ?len rovnak?. Analyzujte, ak? je rozdiel od n??ho predch?dzaj?ceho grafu?
Zvl?dli ste to? Tu je graf, ktor? som vymyslel:
Teraz, ke? ste ?plne pochopili z?klady t?my geometrickej progresie: viete, ?o to je, viete, ako n?js? jej pojem, a tie? viete, ?o je nekone?ne klesaj?ca geometrick? progresia, prejdime k jej hlavnej vlastnosti.
Vlastnos? geometrickej progresie.
Pam?t?te si na vlastnos? ?lenov aritmetick?ho postupu? ?no, ?no, ako n?js? hodnotu ur?it?ho po?tu progresie, ke? existuj? predch?dzaj?ce a nasleduj?ce hodnoty podmienok tejto progresie. Pam?t?? si? toto:
Teraz stoj?me pred presne tou istou ot?zkou pre podmienky geometrickej progresie. Aby sme odvodili tak?to vzorec, za?nime kresli? a uva?ova?. Uvid?te, je to ve?mi jednoduch? a ak zabudnete, m??ete to dosta? von sami.
Zoberme si ?al?iu jednoduch? geometrick? postupnos?, v ktorej pozn?me a. Ako n?js?? S aritmetick?m postupom je to ?ahk? a jednoduch?, ale ?o tu? V skuto?nosti nie je ni? zlo?it? ani v geometrii - sta?? zap?sa? ka?d? hodnotu, ktor? n?m bola pridelen?, pod?a vzorca.
M??ete sa op?ta?, ?o by sme s t?m teraz mali robi?? ?no, ve?mi jednoduch?. Najprv si tieto vzorce zn?zornime na obr?zku a sk?sme s nimi r?zne manipulova?, aby sme dospeli k hodnote.
Abstrahujme od ??sel, ktor? s? n?m dan?, s?stre?me sa len na ich vyjadrenie prostredn?ctvom vzorca. Mus?me n?js? hodnotu zv?raznen? oran?ovou farbou a pozna? pojmy, ktor? s ?ou susedia. Pok?sme sa s nimi vykon?va? r?zne akcie, v d?sledku ktor?ch m??eme z?ska?.
Doplnenie.
Sk?sme prida? dva v?razy a dostaneme:
Z tohto v?razu, ako vid?te, ho nevieme nijako vyjadri?, preto sk?sime in? mo?nos? - od??tanie.
Od??tanie.
Ako vid?te, ani to nevieme vyjadri?, preto sk?sme tieto v?razy navz?jom zn?sobi?.
N?sobenie.
Teraz sa pozorne pozrite na to, ?o m?me, vyn?soben?m podmienok geometrickej progresie v porovnan? s t?m, ?o je potrebn? n?js?:
H?dajte, o ?om hovor?m? Spr?vne, aby sme na?li, mus?me vzia? druh? odmocninu ??sel geometrickej postupnosti susediacich s po?adovan?m vyn?soben?m navz?jom:
Nech sa p??i. Sami ste odvodili vlastnos? geometrickej progresie. Sk?ste nap?sa? tento vzorec vo v?eobecnej forme. Stalo?
Zabudli ste na podmienku? Zamyslite sa nad t?m, pre?o je to d?le?it?, sk?ste si to napr?klad vypo??ta? sami. ?o sa stane v tomto pr?pade? To je pravda, ?pln? nezmysel, preto?e vzorec vyzer? takto:
Preto nezabudnite na toto obmedzenie.
Teraz vypo??tajme, ?o sa rovn?
Spr?vna odpove? - ! Ak ste pri v?po?te nezabudli na druh? mo?n? hodnotu, tak ste skvel? a m??ete hne? prejs? k tr?ningu a ak ste zabudli, pre??tajte si o ?om je re? ni??ie a venujte pozornos? tomu, pre?o je potrebn? zapisova? si oba odmocniny v odpovedi.
Nakreslite obe na?e geometrick? postupnosti – jednu s hodnotou a druh? s hodnotou a skontrolujeme, ?i obe maj? pr?vo na existenciu:
Aby sme skontrolovali, ?i tak?to geometrick? postupnos? existuje alebo nie, je potrebn? zisti?, ?i s? v?etky jej dan? ?leny rovnak?? Vypo??tajte q pre prv? a druh? pr?pad.
Vid?te, pre?o mus?me nap?sa? dve odpovede? Preto?e znamienko h?adan?ho v?razu z?vis? od toho, ?i je pozit?vne alebo negat?vne! A ke??e nevieme, ?o to je, mus?me obidve odpovede nap?sa? s plusom a m?nusom.
Teraz, ke? ste zvl?dli hlavn? body a odvodili vzorec pre vlastnos? geometrickej postupnosti, n?jdite, pozn?te a
Porovnajte svoje odpovede so spr?vnymi:
?o si mysl?te, ?o keby sme dostali nie hodnoty ?lenov geometrickej progresie susediace s po?adovan?m ??slom, ale v rovnakej vzdialenosti od neho. Napr?klad mus?me n?js?, a dan? a. M??eme v tomto pr?pade pou?i? vzorec, ktor? sme odvodili? Pok?ste sa potvrdi? alebo vyvr?ti? t?to mo?nos? rovnak?m sp?sobom, op??te, z ?oho pozost?va ka?d? hodnota, ako ste to urobili, ke? ste p?vodne odvodili vzorec, at.
?o si dostal?
Teraz sa znova pozorne pozrite.
a zodpovedaj?cim sp?sobom:
Z toho m??eme us?di?, ?e vzorec funguje nielen so susedn?mi s po?adovan?mi podmienkami geometrickej progresie, ale aj s v rovnakej vzdialenosti z toho, ?o ?lenovia h?adaj?.
N?? po?iato?n? vzorec m? teda tvar:
To znamen?, ?e ak sme to v prvom pr?pade povedali, teraz povieme, ?e sa to m??e rovna? ak?muko?vek prirodzen?mu ??slu, ktor? je men?ie. Hlavn? vec je, ?e je rovnak? pre obe uveden? ??sla.
Cvi?te na konkr?tnych pr?kladoch, len bu?te maxim?lne opatrn?!
- , . N?js?.
- , . N?js?.
- , . N?js?.
Rozhodnut?? D?fam, ?e ste boli mimoriadne pozorn? a v?imli ste si mal? h??ik.
Porovnajme v?sledky.
V prv?ch dvoch pr?padoch pokojne pou?ijeme vy??ie uveden? vzorec a z?skame nasleduj?ce hodnoty:
V tre?om pr?pade, po d?kladnom presk?man? s?riov?ch ??sel ??sel, ktor? n?m boli pridelen?, pochop?me, ?e nie s? v rovnakej vzdialenosti od ??sla, ktor? h?ad?me: je to predch?dzaj?ce ??slo, ale je odstr?nen? na poz?cii, tak?e je nie je mo?n? pou?i? vzorec.
Ako to vyrie?i?? V skuto?nosti to nie je tak? ?a?k?, ako sa zd?! Zap??me si, z ?oho sa sklad? ka?d? ??slo, ktor? n?m bolo dan?, a ??slo, ktor? h?ad?me.
Tak?e m?me a. Pozrime sa, ?o s nimi m??eme urobi?? Navrhujem deli? pod?a. Dostaneme:
Na?e ?daje dosad?me do vzorca:
?al??m krokom, ktor? m??eme n?js?, je - na to mus?me vzia? odmocninu z v?sledn?ho ??sla.
Teraz sa znova pozrime na to, ?o m?me. M?me to, ale mus?me to n?js?, a to sa zase rovn?:
Zistili sme v?etky potrebn? ?daje pre v?po?et. Dosa?te do vzorca:
Na?a odpove?: .
Sk?ste sami vyrie?i? in? podobn? probl?m:
Vzh?adom na to: ,
N?js?:
Ko?ko ste dostali? M?m - .
Ako vid?te, v podstate potrebujete zapam?taj si len jeden vzorec- . V?etko ostatn? si m??ete kedyko?vek bez probl?mov stiahnu? sami. Ak to chcete urobi?, jednoducho nap??te najjednoduch?iu geometrick? postupnos? na kus papiera a zap??te si, ?omu sa ka?d? z jej ??sel rovn?, pod?a vzorca op?san?ho vy??ie.
S??et ?lenov geometrickej postupnosti.
Teraz sa pozrime na vzorce, ktor? n?m umo??uj? r?chlo vypo??ta? s??et ?lenov geometrickej progresie v danom intervale:
Ak chcete odvodi? vzorec pre s??et ?lenov kone?nej geometrickej postupnosti, vyn?sobte v?etky ?asti vy??ie uvedenej rovnice ??slom. Dostaneme:
Pozrite sa pozorne: ?o maj? posledn? dva vzorce spolo?n?? Presne tak, napr?klad spolo?n? ?lenovia a podobne, okrem prv?ho a posledn?ho ?lena. Sk?sme od??ta? 1. od 2. rovnice. ?o si dostal?
Teraz vyjadrite v?raz geometrickej postupnosti cez vzorec a dosa?te v?sledn? v?raz do n??ho posledn?ho vzorca:
Zoskupte v?raz. Mali by ste dosta?:
Zost?va len vyjadri?:
Pod?a toho v tomto pr?pade.
?o ak? Ak? vzorec potom funguje? Predstavte si geometrick? postupnos? pri. Ak? je? S?ria identick?ch ??sel je spr?vna, tak?e vzorec bude vyzera? takto:
Existuje ve?a legiend o aritmetickom aj geometrickom postupe. Jednou z nich je legenda o Setovi, tvorcovi ?achu.
Mnoho ?ud? vie, ?e ?achov? hra bola vyn?jden? v Indii. Ke? ju hinduistick? kr?? stretol, bol pote?en? jej d?vtipom a rozmanitos?ou poz?ci?, ktor? v nej boli mo?n?. Ke? sa kr?? dozvedel, ?e ho vyna?iel jeden z jeho poddan?ch, rozhodol sa ho osobne odmeni?. Zavolal si vyn?lezcu k sebe a prik?zal mu, aby si od neho vyp?tal v?etko, ?o chce, pri?om s??bil, ?e spln? aj t? naj?ikovnej?iu t??bu.
Seta po?iadal o ?as na rozmyslenie, a ke? na druh? de? Seta predst?pil pred kr??a, prekvapil kr??a nev?danou skromnos?ou svojej ?iadosti. Po?iadal, aby dal p?eni?n? zrno za prv? pole ?achovnice, p?eni?n? zrno za druh?, p?eni?n? zrno za tretie, ?tvrt? at?.
Kr?? sa nahneval a zahnal Setha so slovami, ?e ?iados? sluhu nie je hodn? kr??ovej ?tedrosti, ale s??bil, ?e sluha dostane svoje obilie za v?etky pol??ka dosky.
A teraz ot?zka: pomocou vzorca pre s??et ?lenov geometrickej progresie vypo??tajte, ko?ko z?n by mal Seth dosta??
Za?nime uva?ova?. Ke??e pod?a podmienky Seth po?iadal o p?eni?n? zrno na prv? pole ?achovnice, na druh?, na tretie, na ?tvrt? at?., potom vid?me, ?e probl?m je v geometrickom postupe. ?omu sa to v tomto pr?pade rovn??
Spr?vny.
Celkov? po?et pol? na ?achovnici. Respekt?ve, . V?etky ?daje m?me, zost?va ich u? len zapoji? do vzorca a vypo??ta?.
Aby sme si aspo? pribli?ne predstavili „mierku“ dan?ho ??sla, transformujeme pomocou vlastnost? stup?a:
Samozrejme, ak chcete, m??ete si vzia? kalkula?ku a vypo??ta?, s ak?m ??slom skon??te, a ak nie, mus?te mi da? za slovo: kone?n? hodnota v?razu bude.
To je:
kvintili?n kvadrili?n bili?n mili?rd mili?nov mili?nov tis?c.
F?ha) Ak si chcete predstavi? obrovsk? mno?stvo tohto ??sla, odhadnite, ak? ve?k? stodola by bola potrebn? na umiestnenie cel?ho mno?stva obilia.
Ak je stodola m vysok? a m ?irok?, jej d??ka by musela siaha? na km, t.j. dvakr?t tak ?aleko ako od Zeme k Slnku.
Ak by bol kr?? siln? v matematike, mohol pozva? samotn?ho vedca, aby po??tal zrnk?, preto?e na spo??tanie mili?na zrniek by potreboval aspo? de? ne?navn?ho po??tania a vzh?adom na to, ?e je potrebn? po??ta? kvintili?ny, zrnie?ka sa bude musie? po??ta? po?as cel?ho jeho ?ivota.
Teraz vyrie?me jednoduch? probl?m zah??aj?ci s??et ?lenov geometrickej progresie.
?tudent triedy 5A Vasya ochorel na chr?pku, ale na?alej chod? do ?koly. Ka?d? de? Vasya infikuje dvoch ?ud?, ktor? zase infikuj? ?al??ch dvoch ?ud? at?. V triede s? len ?udia. Za ko?ko dn? bude cel? trieda chor? na chr?pku?
Prv?m pojmom geometrickej progresie je teda Vasya, teda osoba. Term?nom geometrickej progresie s? dvaja ?udia, ktor?ch nakazil v prv? de? svojho pr?chodu. Celkov? s??et postupov?ch term?nov sa rovn? po?tu ?tudentov 5A. V s?lade s t?m hovor?me o progresii, v ktorej:
Dosa?te na?e ?daje do vzorca pre s??et ?lenov geometrickej progresie:
Do nieko?k?ch dn? ochorie cel? trieda. Never?te vzorcom a ??slam? Sk?ste sami vykresli? „infekciu“ ?tudentov. Stalo? Pozrite sa, ako to vyzer? u m?a:
Spo??tajte si sami, ko?ko dn? by trvalo, k?m by ?iaci ochoreli na chr?pku, ak by ka?d? nakazil jedn?ho ?loveka a v triede by bol iba jeden ?lovek.
Ak? hodnotu ste z?skali? Uk?zalo sa, ?e v?etci za?ali by? chor? po dni.
Ako vid?te, tak?to ?loha a jej kresba pripom?naj? pyram?du, v ktorej ka?d? ?al?ia „prin??a“ nov?ch ?ud?. Sk?r ?i nesk?r v?ak pr?de moment, ke? ten druh? nedok??e nikoho zauja?. V na?om pr?pade, ak si predstav?me, ?e trieda je izolovan?, osoba z uzavrie re?azec (). Ak by teda bola osoba zapojen? do finan?nej pyram?dy, v ktorej boli dan? peniaze, ak by ste priviedli dvoch ?al??ch ??astn?kov, potom by t?to osoba (alebo vo v?eobecnosti) nikoho nepriviedla, a preto by stratila v?etko, ?o investovala do tohto finan?n?ho podvodu.
V?etko, ?o bolo povedan? vy??ie, sa t?ka klesaj?ceho alebo rast?ceho geometrick?ho postupu, ale ako si pam?t?te, m?me ?peci?lny typ - nekone?ne klesaj?ci geometrick? postup. Ako vypo??ta? s??et jeho ?lenov? A pre?o m? tento typ progresie ur?it? vlastnosti? Po?me na to spolu.
Najprv sa teda pozrime znova na tento v?kres nekone?ne klesaj?cej geometrickej progresie z n??ho pr?kladu:
Teraz sa pozrime na vzorec pre s??et geometrickej progresie, odvoden? o nie?o sk?r:
alebo
O ?o sa usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, ?e m? tendenciu k nule. To znamen?, ?e at, bude takmer rovnak?, respekt?ve, pri v?po?te v?razu dostaneme takmer. V tejto s?vislosti sa domnievame, ?e pri v?po?te s??tu nekone?ne klesaj?cej geometrickej progresie mo?no t?to z?tvorku zanedba?, preto?e bude rovnak?.
- vzorec je s??et ?lenov nekone?ne klesaj?cej geometrickej progresie.
D?LE?IT?! Vzorec pre s??et ?lenov nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti pou??vame iba vtedy, ak podmienka v?slovne uv?dza, ?e potrebujeme n?js? s??et nekone?n? po?et ?lenov.
Ak je zadan? konkr?tne ??slo n, potom pou?ijeme vzorec pre s??et n ?lenov, aj ke? alebo.
Teraz po?me cvi?i?.
- N?jdite s??et prv?ch ?lenov geometrickej postupnosti s a.
- N?jdite s??et ?lenov nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti s a.
D?fam, ?e ste boli ve?mi opatrn?. Porovnajme na?e odpovede:
Teraz viete v?etko o geometrickom postupe a je ?as prejs? od te?rie k praxi. Najbe?nej??mi probl?mami geometrickej progresie, s ktor?mi sa pri sk??ke stret?vame, s? probl?my s v?po?tom zlo?en?ho ?roku. To s? tie, o ktor?ch budeme hovori?.
Probl?my s v?po?tom zlo?en?ho ?roku.
Ur?ite ste u? po?uli o takzvanom vzorci zlo?en?ho ?roku. Rozumiete, ?o to znamen?? Ak nie, po?me na to, preto?e akon?hle pochop?te samotn? proces, okam?ite pochop?te, ?o s t?m m? geometrick? progresia spolo?n?.
V?etci chod?me do banky a vieme, ?e pre vklady existuj? r?zne podmienky: zah??a to term?n, doplnkov? slu?by a ?rok s dvoma r?znymi sp?sobmi v?po?tu - jednoduch? a zlo?it?.
S jednoduch? z?ujem v?etko je viac-menej jasn?: ?rok sa pripisuje raz na konci doby vkladu. To znamen?, ?e ak povieme, ?e vlo??me 100 rub?ov na rok, bud? prip?san? a? na konci roka. Na konci vkladu teda dostaneme ruble.
Zlo?en? ?ro?enie- toto je mo?nos?, pri ktorej sa vyskytuje kapitaliz?cia ?rokov, t.j. ich pripo??tanie k v??ke vkladu a n?sledn? v?po?et pr?jmu nie z po?iato?nej, ale z naakumulovanej sumy vkladu. Ve?k? p?smen? sa nevyskytuj? neust?le, ale s ur?itou frekvenciou. Spravidla s? tak?to obdobia rovnak? a naj?astej?ie banky pou??vaj? mesiac, ?tvr?rok alebo rok.
Predpokladajme, ?e uklad?me rovnak? ruble ro?ne, ale s mesa?nou kapitaliz?ciou vkladu. ?o rob?me?
Rozumie? tu v?etk?mu? Ak nie, po?me na to pr?s? krok za krokom.
Priniesli sme ruble do banky. Do konca mesiaca by sme mali ma? na ??te sumu pozost?vaj?cu z na?ich rub?ov plus ?rok z nich, teda:
s?hlas?te?
M??eme to vy?a? zo z?tvoriek a potom dostaneme:
S?hlas?te, tento vzorec je u? viac podobn? tomu, ?o sme nap?sali na za?iatku. Zost?va len zisti? percent?
Vo vyhl?sen? o probl?me s? uveden? ro?n? sadzby. Ako viete, nen?sob?me - konvertujeme percent? na desatinn? zlomky, to znamen?:
Spr?vny? Teraz sa m??ete op?ta?, odkia? poch?dza ??slo? Ve?mi jednoduch?!
Opakujem: probl?mov? vyhl?senie hovor? o V?RO?N??rok, ktor? narast? MESA?NE. Ako viete, za rok mesiacov n?m banka bude ??tova? ?as? ro?n?ho ?roku za mesiac:
Uvedomil si to? Teraz sk?ste nap?sa?, ako by t?to ?as? vzorca vyzerala, keby som povedal, ?e ?roky sa po??taj? denne.
Zvl?dli ste to? Porovnajme v?sledky:
V?borne! Vr??me sa k na?ej ?lohe: nap??te, ko?ko sa prip??e na n?? ??et v druhom mesiaci, ber?c do ?vahy, ?e z akumulovanej sumy vkladu sa hromad? ?rok.
Tu je to, ?o som dostal:
Alebo inak povedan?:
Mysl?m, ?e ste si u? v?imli vzor a videli ste v tom v?etkom geometrick? pokrok?. Nap??te, ko?ko sa bude jeho ?len rovna?, alebo inak povedan?, ak? sumu pe?az? dostaneme na konci mesiaca.
urobil? Skontrolujme to!
Ako vid?te, ak vlo??te peniaze do banky na rok s jednoduchou ?rokovou sadzbou, dostanete ruble, a ak so zlo?enou ?rokovou sadzbou, dostanete ruble. Pr?nos je mal?, ale st?va sa to iba po?as t?ho roka, ale na dlh?ie obdobie je kapitaliz?cia ove?a v?nosnej?ia:
Pozrime sa na in? typ probl?mu t?kaj?ceho sa zlo?en?ho ?ro?enia. Po tom, ?o ste pri?li na to, to bude pre v?s element?rne. Tak?e ?loha:
Spolo?nos? Zvezda za?ala do odvetvia investova? v roku 2000 s kapit?lom v dol?roch. Od roku 2001 ka?doro?ne dosahuje zisk, ktor? sa rovn? kapit?lu predch?dzaj?ceho roka. Ak? zisk bude ma? spolo?nos? Zvezda na konci roka 2003, ak by zisky neboli stiahnut? z obehu?
Kapit?l spolo?nosti Zvezda v roku 2000.
- kapit?l spolo?nosti Zvezda v roku 2001.
- kapit?l spolo?nosti Zvezda v roku 2002.
- kapit?l spolo?nosti Zvezda v roku 2003.
Alebo stru?ne nap??eme:
Pre n?? pr?pad:
2000, 2001, 2002 a 2003.
Respekt?ve:
rub?ov
Upozor?ujeme, ?e v tomto probl?me nem?me delenie ani pod?a ani pod?a, ke??e percent? sa uv?dzaj? RO?NE a po??taj? sa RO?NE. To znamen?, ?e pri ??tan? probl?mu o zlo?enom ?roku si d?vajte pozor na to, ak? percento je uveden? a v akom obdob? sa po??ta, a a? potom prejdite na v?po?ty.
Teraz viete v?etko o geometrickom postupe.
?kolenie.
- N?jdite ?len geometrickej postupnosti, ak je zn?me, ?e a
- N?jdite s??et prv?ch ?lenov geometrickej postupnosti, ak je zn?me, ?e a
- Spolo?nos? MDM Capital za?ala investova? do tohto odvetvia v roku 2003 s kapit?lom v dol?roch. Od roku 2004 ka?doro?ne dosahuje zisk, ktor? sa rovn? kapit?lu predch?dzaj?ceho roka. Spolo?nos? MSK Cash Flows za?ala investova? do odvetvia v roku 2005 vo v??ke 10 000 USD, pri?om v roku 2006 za?ala dosahova? zisk vo v??ke . O ko?ko dol?rov je kapit?l jednej spolo?nosti v???? ako druhej na konci roka 2007, ak by zisky neboli stiahnut? z obehu?
Odpovede:
- Ke??e probl?mov? v?rok nehovor?, ?e progresia je nekone?n? a je potrebn? n?js? s??et ur?it?ho po?tu jej ?lenov, v?po?et sa vykon? pod?a vzorca:
Spolo?nos? MDM Capital:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- zv??i sa o 100 %, to znamen? 2-kr?t.
Respekt?ve:
rub?ov
Spolo?nos? MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- zvy?uje o, teda o ?asy.
Respekt?ve:
rub?ov
rub?ov
Po?me si to zhrn??.
1) Geometrick? postupnos? ( ) je ??seln? postupnos?, ktorej prv? ?len je odli?n? od nuly a ka?d? ?len, za??naj?c od druh?ho, sa rovn? predch?dzaj?cemu, vyn?soben? rovnak?m ??slom. Toto ??slo sa naz?va menovate? geometrickej progresie.
2) Rovnica ?lenov geometrickej postupnosti je .
3) m??e nadob?da? ak?ko?vek hodnoty okrem a.
- ak, potom v?etky nasleduj?ce term?ny progresie maj? rovnak? znamienko - oni s? pozit?vne;
- ak, potom v?etky nasleduj?ce podmienky postupu alternat?vne znaky;
- ke? - progresia sa naz?va nekone?ne klesaj?ca.
4) , s - vlastnos? geometrickej postupnosti (susedn? ?leny)
alebo
, v (ekvidistantn? v?razy)
Ke? to n?jdete, nezabudnite na to mali by by? dve odpovede.
Napr?klad,
5) S??et ?lenov geometrickej progresie sa vypo??ta pod?a vzorca:
alebo
Ak sa progresia nekone?ne zni?uje, potom:
alebo
D?LE?IT?! Vzorec pre s??et ?lenov nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti pou?ijeme iba vtedy, ak podmienka v?slovne uv?dza, ?e potrebujeme n?js? s??et nekone?n?ho po?tu ?lenov.
6) Probl?my so zlo?en?m ?rokom sa tie? vypo??taj? pomocou vzorca t?ho ?lenu geometrickej progresie za predpokladu, ?e finan?n? prostriedky neboli stiahnut? z obehu:
GEOMETRICK? PROGRESIA. STRU?NE O HLAVN?CH VECIACH
Geometrick? progresia( ) je ??seln? postupnos?, ktorej prv? ?len je odli?n? od nuly a ka?d? ?len, po?n?c druh?m, sa rovn? predch?dzaj?cemu, vyn?soben? rovnak?m ??slom. Toto ??slo sa vol? menovate? geometrickej postupnosti.
Menovate? geometrickej progresie m??e ma? ak?ko?vek hodnotu okrem a.
- Ak potom v?etky nasleduj?ce term?ny progresie maj? rovnak? znamienko - s? pozit?vne;
- ak, potom sa v?etky nasleduj?ce ?leny progresie striedaj? so znakmi;
- ke? - progresia sa naz?va nekone?ne klesaj?ca.
Rovnica ?lenov geometrickej postupnosti - .
S??et ?lenov geometrickej postupnosti vypo??tan? pod?a vzorca:
alebo
In?trukcie
10, 30, 90, 270...
Mus?te n?js? menovate?a geometrickej progresie.
Rie?enie:
Mo?nos? 1. Zoberme si ?ubovo?n? ?len postupu (napr?klad 90) a vyde?me ho predch?dzaj?cim (30): 90/30=3.
Ak je zn?my s??et nieko?k?ch ?lenov geometrickej progresie alebo s??et v?etk?ch ?lenov klesaj?cej geometrickej progresie, potom na n?jdenie menovate?a progresie pou?ite pr?slu?n? vzorce:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kde Sn je s??et prv?ch n ?lenov geometrickej postupnosti a
S = b1/(1-q), kde S je s??et nekone?ne klesaj?cej geometrickej postupnosti (s??et v?etk?ch ?lenov postupnosti s menovate?om men??m ako jedna).
Pr?klad.
Prv? ?len klesaj?cej geometrickej postupnosti sa rovn? jednej a s??et v?etk?ch jej ?lenov sa rovn? dvom.
Je potrebn? ur?i? menovate?a tohto postupu.
Rie?enie:
Dopl?te ?daje z ?lohy do vzorca. Uk??e sa:
2=1/(1-q), odkia? – q=1/2.
Postupnos? je postupnos? ??sel. V geometrickej postupnosti sa ka?d? nasleduj?ci ?len z?ska vyn?soben?m predch?dzaj?ceho ur?it?m ??slom q, ktor? sa naz?va menovate? postupnosti.
In?trukcie
Ak s? zn?me dva susediace geometrick? ?leny b(n+1) a b(n), na z?skanie menovate?a je potrebn? vydeli? ??slo v????m ??slom predch?dzaj?cim: q=b(n+1)/b (n). Vypl?va to z defin?cie progresie a jej menovate?a. D?le?itou podmienkou je, ?e prv? ?len a menovate? progresie sa nerovnaj? nule, inak sa pova?uje za nedefinovan?.
Medzi ?lenmi progresie s? teda vytvoren? nasleduj?ce vz?ahy: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Pomocou vzorca b(n)=b1 q^(n-1) mo?no vypo??ta? ?ubovo?n? ?len geometrickej postupnosti, v ktorom s? zn?me menovate? q a ?len b1. Tie? ka?d? z progresi? sa modulom rovn? priemeru svojich susedn?ch ?lenov: |b(n)|=?, ?o je miesto, kde m? progresia svoje .
Anal?gom geometrickej postupnosti je najjednoduch?ia exponenci?lna funkcia y=a^x, kde x je exponent, a je ur?it? ??slo. V tomto pr?pade sa menovate? progresie zhoduje s prv?m ?lenom a rovn? sa ??slu a. Hodnotu funkcie y mo?no ch?pa? ako n-t? ?len postupnosti, ak argument x pova?ujeme za prirodzen? ??slo n (po??tadlo).
Existuje pre s??et prv?ch n ?lenov geometrickej postupnosti: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Tento vzorec plat? pre q?1. Ak q=1, tak s??et prv?ch n ?lenov sa vypo??ta pod?a vzorca S(n)=n b1. Mimochodom, progresia sa bude naz?va? rast?ca, ke? q je v???ie ako jedna a b1 je kladn?. Ak menovate? progresie nepresiahne jednu v absol?tnej hodnote, progresia sa bude naz?va? klesaj?ca.
?peci?lnym pr?padom geometrickej progresie je nekone?ne klesaj?ca geometrick? progresia (nekone?ne klesaj?ca geometrick? progresia). Faktom je, ?e ?leny klesaj?cej geometrickej progresie sa bud? znova a znova zni?ova?, ale nikdy nedosiahnu nulu. Napriek tomu je mo?n? n?js? s??et v?etk?ch term?nov takejto progresie. Ur?uje sa pod?a vzorca S=b1/(1-q). Celkov? po?et ?lenov n je nekone?n?.
Ak si chcete predstavi?, ako m??ete prida? nekone?n? po?et ??sel bez toho, aby ste z?skali nekone?no, upe?te kol??. Polovicu z nej odre?te. Potom odre?te 1/2 polovice a tak ?alej. K?sky, ktor? z?skate, nie s? ni??m in?m ako ?lenmi nekone?ne klesaj?ceho geometrick?ho postupu s menovate?om 1/2. Ak spo??tate v?etky tieto k?sky, dostanete origin?lnu tortu.
Probl?my s geometriou s? ?peci?lnym typom cvi?enia, ktor? si vy?aduje priestorov? myslenie. Ak neviete vyrie?i? geometrick? ?loha, sk?ste postupova? pod?a ni??ie uveden?ch pravidiel.
In?trukcie
Ve?mi pozorne si pre??tajte podmienky ?lohy; ak si nie?o nepam?t?te alebo nerozumiete, pre??tajte si to znova.
Sk?ste ur?i?, o ak? typ geometrick?ch ?loh ide, napr.: v?po?tov?, ke? potrebujete zisti? nejak? veli?inu, ?lohy zah??aj?ce , vy?aduj?ce logick? re?azec uva?ovania, ?lohy t?kaj?ce sa kon?trukcie pomocou kru?idla a prav?tka. Viac ?loh zmie?an?ho typu. Ke? zist?te typ probl?mu, sk?ste uva?ova? logicky.
Pou?ite potrebn? vetu pre dan? ?lohu, ale ak m?te pochybnosti alebo nem?te ?iadne mo?nosti, sk?ste si spomen?? na te?riu, ktor? ste ?tudovali na pr?slu?n? t?mu.
Zap??te si aj rie?enie probl?mu do formul?ra n?vrhu. Sk?ste pou?i? zn?me met?dy na kontrolu spr?vnosti v??ho rie?enia.
Pozorne vypl?te rie?enie ?lohy do zo?ita, bez vymazania alebo pre?iarknutia, a ?o je najd?le?itej?ie - Vyrie?enie prv?ch geometrick?ch ?loh si m??e vy?adova? ?as a n?mahu. Akon?hle si v?ak osvoj?te tento proces, za?nete cvaka? ?lohy ako orie?ky a budete si to u??va?!
Geometrick? postupnos? je postupnos? ??sel b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) tak?, ?e b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1?0, q?0. In?mi slovami, ka?d? ?len progresie sa z?ska z predch?dzaj?ceho tak, ?e ho vyn?sob?me nejak?m nenulov?m menovate?om progresie q.
In?trukcie
Postupov? probl?my sa naj?astej?ie rie?ia zostaven?m a n?sledn?m sledovan?m syst?mu vzh?adom na prv? ?len progresie b1 a menovate?a progresie q. Na vytv?ranie rovn?c je u?ito?n? zapam?ta? si niektor? vzorce.
Ako vyjadri? n-t? ?len postupnosti cez prv? ?len postupnosti a menovate?a postupnosti: b(n)=b1*q^(n-1).
Uva?ujme samostatne pr?pad |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
