Sn?mka 19

monot?nne klesaj?ca na R Os x je horizont?lna asymptota monot?nne rast?ca na R 8. Pre ak?ko?vek re?lne hodnoty x a y; a>0, a?1; b>0, b?1. 7. Asymptota 6. Extr?my 5. Monot?nnos? 4. Rovnomernos?, nep?rnos? 3. Intervaly porovn?vania hodn?t funkcie s jednotou 2. Defini?n? obor hodn?t funkcie 1 Defini?n? obor funkcie Vlastnosti exponenci?lnej funkcie Exponenci?lne nerovnosti , typy a sp?soby rie?enia nem? extr?my Funkcia nie je ani p?rna, ani nep?rna (v?eobecn? funkcia).

Sn?mka 20

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a sp?soby rie?enia ?loha ??slo 1 N?jdite defini?n? obor funkcie

sn?mka 21

Exponenci?lne nerovnice, ich druhy a sp?soby rie?enia ?loha ??slo 2 Ur?te hodnoty

sn?mka 22

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a sp?soby rie?enia ?loha ?. 3 Ur?te typ funkcie rast?ca klesaj?ca rast?ca klesaj?ca

sn?mka 23

Zav?dzanie nov?ch poznatkov

sn?mka 24

Exponenci?lne nerovnice, ich druhy a sp?soby rie?enia DEFIN?CIA najjednoduch??ch exponenci?lnych nerovn?c: Nech a je dan? kladn? ??slo, ktor? sa nerovn? jednej a b je dan? re?lne ??slo. Potom nerovnosti ax>b (ax>=b) a ax

Sn?mka 25

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a sp?soby rie?enia Rie?en?m nerovnice s nezn?mym x je ??slo x0, pri jeho dosaden? do nerovnice dostaneme skuto?n? ??seln? nerovnos?.

sn?mka 26

Exponenci?lne nerovnosti, ich druhy a sp?soby rie?enia ?O ZNAMEN? rie?i? nerovnicu? Vyrie?i? nerovnos? znamen? n?js? v?etky jej rie?enia alebo uk?za?, ?e ?iadne neexistuj?.

Sn?mka 27

Uva?ujme relat?vnu polohu grafu funkcie y=ax, a>0, a?1 a priamky y=b Exponenci?lne nerovnice, ich typy a met?dy rie?enia y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x 0 x 0

Sn?mka 28

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a sp?soby rie?enia sa nach?dza pod krivkou y=ax, tak?e nerovnosti ax>b(ax>=b) platia pre xR a nerovnosti ax

Sn?mka 29

Z?VER №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Exponenci?lne nerovnosti, ich typy a sp?soby rie?enia Ak a>1 a b > 0, potom pre ka?d? x1 x0- pod ?iarou y=b. 1 Pre b> 0 priamka y = b pret?na graf funkcie y= ax v jedinom bode, ktor?ho ?se?ka je x0 = logab

sn?mka 30

Z?VER №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Exponenci?lne nerovnosti, ich typy a sp?soby rie?enia ka?dej x2 0, priamka y = b pret?na graf funkcie y= ax v jednom bode , ktor?ho ?se?ka je x0 = logab x2

Sn?mka 31

Najjednoduch?ie exponenci?lne nerovnice Exponenci?lne nerovnosti, ich druhy a sp?soby rie?enia

sn?mka 32

Exponenci?lne nerovnosti, ich typy a sp?soby rie?enia Pr?klad ?. 1.1 Odpove?: narast? v celej oblasti defin?cie, Rie?enie:

Sn?mka 33

Exponenci?lne nerovnosti, ich typy a sp?soby rie?enia Pr?klad ?. 1.2 Rie?enie: Odpove?: kles? v celej oblasti defin?cie,

sn?mka 34

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a sp?soby rie?enia Pr?klad ?. 1.3 Rie?enie: Odpove?: rastie v celej oblasti defin?cie,

Sn?mka 35

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a met?dy rie?enia Typy exponenci?lnych nerovnost? a met?dy ich rie?enia

sn?mka 36

Exponenci?lne nerovnosti, ich typy a sp?soby rie?enia Pr?klad ?. 1.4 Rie?enie: rastie v celej oblasti defin?cie, Odpove?:

Sn?mka 37

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a sp?soby rie?enia

Sn?mka 38

Exponenci?lne nerovnosti, ich druhy a met?dy rie?enia Druhy exponenci?lnych nerovnost? a met?dy ich rie?enia 2) Exponenci?lne nerovnosti, ktor? sa redukuj? na kvadratick? nerovnosti

Sn?mka 39

Exponenci?lne nerovnice, ich druhy a met?dy rie?enia Druhy exponenci?lnych nerovn?c a met?dy ich rie?enia 3) Homog?nne exponenci?lne nerovnice prv?ho a druh?ho stup?a. Homog?nne exponenci?lne nerovnosti prv?ho stup?a Pr?klad ?. 1 sa zv???uje v celej dom?ne defin?cie Odpove?: Rie?enie:

Exponenci?lne nerovnosti, ich druhy a met?dy rie?enia Typy exponenci?lnych nerovnost? a met?dy ich rie?enia 4) Exponenci?lne nerovnosti, ktor? redukuj? na racion?lne nerovnosti.

sn?mka 43

Exponenci?lne nerovnice, ich druhy a sp?soby rie?enia Druhy exponenci?lnych nerovn?c a sp?soby ich rie?enia 5) Exponenci?lne ne?tandardn? nerovnice Pr?klad Rie?enie: Rie?ime ka?d? v?rok mno?iny samostatne. Nerovnos? sa rovn? agreg?tu

Sn?mka 44

Exponenci?lne nerovnice, ich druhy a met?dy rie?enia Typy exponenci?lnych nerovn?c a met?dy ich rie?enia nie s? rie?en?m rovnice. tak?e,

Sn?mka 45

Upevnenie vedomost?

Ak? nerovnosti sa naz?vaj? exponenci?lne? Kedy m? exponenci?lna nerovnos? rie?enie pre ak?ko?vek hodnoty x? Kedy exponenci?lna nerovnos? nem? rie?enia? Ak? typy nerovnost? ste sa nau?ili v tejto lekcii? Ako sa rie?ia jednoduch? nerovnosti? Ako sa rie?ia nerovnosti zmen?en? na ?tvorcov?? Ako sa rie?ia homog?nne nerovnosti? Ako sa rie?ia nerovnosti redukovan? na racion?lne?

Sn?mka 46

Zhrnutie lekcie

Zistite, ?o sa ?iaci v tejto lekcii nau?ili. Prira?te ?iakom zn?mky za pr?cu na lekcii s podrobn?m koment?rom

Sn?mka 47

Dom?ca ?loha

U?ebnica pre ro?n?k 10 "Algebra a za?iatok anal?zy" Autor S.M. Nikolsky Na pre?tudovanie odsekov 6.4 a 6.6, ?. 6.31-6.35 a ?. 6.45-6.50 vyrie?te

Sn?mka 48

Exponenci?lne nerovnice, ich typy a sp?soby rie?enia

Algebra a za?iatok matematickej anal?zy. 10. ro?n?k U?ebnica. Nikolsky S.M. at?.

Z?kladn? a profilov? ?rovne

8. vyd. - M.: Osveta, 2009. - 430 s.

U?ebnica je v s?lade s feder?lnymi zlo?kami ?t?tneho ?tandardu pre v?eobecn? vzdel?vanie v matematike a obsahuje materi?l pre z?kladn? aj ?pecializovan? stupe?. M??ete na ?om pracova? bez oh?adu na to, ak? u?ebnice ?tudenti ?tudovali v predch?dzaj?cich rokoch.

U?ebnica je zameran? na pr?pravu ?tudentov na prijatie na vysok? ?koly.

Form?t: djvu

Ve?kos?: 15,2 MB

Sledujte, s?ahujte:drive.google ; Rghost

Form?t: pdf

Ve?kos?: 42,3 MB

Sledujte, s?ahujte:drive.google ; Rghost

Pozn?mka: V PDF je kvalita lep?ia, takmer v?born?. Vyroben? z rovnak?ho skenu, 150 dpi, farebne. Ale v DJVU to dopad? trochu hor?ie. Toto je jeden pr?pad, ke? na ve?kosti z?le??.

OBSAH
KAPITOLA I. KORENE, MOCNOSTI, LOGARITY
§ 1. Re?lne ??sla 3
1.1. Koncept skuto?n?ho ??sla 3
1.2. Sady ??sel. Vlastnosti re?lnych ??sel. ... desa?
1,3*. Met?da matematickej indukcie 16
1.4. Permut?cie 22
1.5. Ubytovanie 25
1.6. Kombin?cie 27
1,7*. D?kaz ??seln?ch nerovnost? 30
1,8*. Delite?nos? cel?ch ??sel 35
1,9*. Porovnania modulo m 38
1,10*. Probl?my s celo??seln?mi nezn?mymi 40
§ 2. Racion?lne rovnice a nerovnice 44
2.1. Racion?lne v?razy 44
2.2. Newtonove binomick? vzorce, s??ty a rozdiely stup?ov. . 48
2,3*. Delenie polyn?mov so zvy?kom. Euklidov algoritmus... 53
2,4*. Bezoutova veta 57
2,5*. Polynomick? kore? 60
2.6. Racion?lne rovnice 65
2.7. S?stavy racion?lnych rovn?c 70
2.8. Met?da intervalov na rie?enie nerovnost? 75
2.9. Racion?lne nerovnosti 79
2.10. Nepr?sne nerovnosti 84
2.11. Syst?my racion?lnych nerovnost? 88
§ 3. Kore? stup?a n 93
3.1. Pojem funkcie a jej graf 93
3.2. Funkcia y \u003d x "96
3.3. Pojem kore?a stup?a n 100
3.4. Odmocniny p?rnych a nep?rnych mocn?n 102
3.5. Aritmetick? kore? 106
3.6. Vlastnosti kore?ov stup?a l 111
3,7*. Funkcia y \u003d nx (x\u003e 0) 114
3,8*. Funkcia y = nVx 117
3,9*. N-t? odmocnina prirodzen?ho ??sla 119
§ 4. Mocnina kladn?ho ??sla 122
4.1. Stupe? s racion?lnym exponentom 122
4.2. Mocninn? vlastnosti s racion?lnym exponentom 125
4.3. Koncept limity postupnosti 131
4,4*. Limitn? vlastnosti 134
4.5. Nekone?ne klesaj?ci geometrick? postup. . . 137
4.6. ??slo e 140
4.7. Pojem stup?a s iracion?lnym exponentom .... 142
4.8. exponenci?lna funkcia 144
§ 5. Logaritmy 148
5.1. Koncept logaritmu 148
5.2. Vlastnosti logaritmov 151
5.3. Logaritmick? funkcia 155
5,4*. Desatinn? logaritmy 157
5,5*. V?konov? funkcie 159
§ 6. Exponenci?lne a logaritmick? rovnice a nerovnice. . 164
6.1. Najjednoduch?ie exponenci?lne rovnice 164
6.2. Najjednoduch?ie logaritmick? rovnice 166
6.3. Rovnice zredukovan? na najjednoduch?ie zmenou nezn?mych 169
6.4. Najjednoduch?ie exponenci?lne nerovnosti 173
6.5. Najjednoduch?ie logaritmick? nerovnosti 178
6.6. Zni?ovanie nerovnost? na najjednoduch?ie nahradenie nezn?meho 182
Historick? inform?cie 187
KAPITOLA II. TRIGONOMETRICK? VZOREC. TRIGONOMETRICK? FUNKCIE
§ 7. S?nus a kos?nus uhla 193
7.1. Koncept uhla 193
7.2. Radi?nov? miera uhla 200
7.3. Ur?enie s?nusu a kos?nusu uhla 203
7.4. Z?kladn? vzorce pre sin a a cos a 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Obl?kov? kos?nus 221
7,7*. Pr?klady pou?itia arcs?nu a arkoz?nu .... 225
7,8*. Vzorce pre Arcsine a Arccosine 231
§ 8. Tangenta a kotangens uhla 233
8.1. Ur?enie doty?nice a kotangens uhla 233
8.2. Z?kladn? vzorce pre tg a a ctg a 239
8.3. Arctangens 243
8,4*. Obl?kov? doty?nica 246
8,5*. Pr?klady pou?itia arkus tangens a arkus tangens. . 249
8,6*. Vzorce pre arkus tangens a arkus tangens 255
§ 9. S??tacie formuly 258
9.1. Kos?nus rozdielu a kos?nus s??tu dvoch uhlov 258
9.2. Vzorce pre komplement?rne uhly 262
9.3. S?nus s??tu a s?nus rozdielu dvoch uhlov 264
9.4. S??et a rozdiel s?nusov a kos?nusov 266
9.5. Vzorce pre dvojit? a polovi?n? uhly 268
9,6*. S??in s?nusov a kos?nusov 273
9,7*. Vzorce pre doty?nice 275
§ 10. Goniometrick? funkcie ??seln?ho argumentu 280
10.1. Funkcia y \u003d sin x 281
10.2. Funkcia y \u003d cos x 285
10.3. Funkcia y = tg * 288
10.4. Funkcia y = ctg x 292
§ 11. Goniometrick? rovnice a nerovnice 295
11.1. Najjednoduch?ie goniometrick? rovnice 295
11.2. Zmen?enie rovn?c na najjednoduch?ie nahraden?m nezn?meho 299
11.3. Aplik?cia z?kladn?ch goniometrick?ch vzorcov na rie?enie rovn?c 303
11.4. Homog?nne rovnice 307
11,5*. Najjednoduch?ie nerovnosti pre s?nus a kos?nus .... 310
11,6*. Najjednoduch?ie nerovnosti pre tangens a kotangens. . . 315
11,7*. Zni?ovanie nerovnost? na najjednoduch?ie nahradenie nezn?meho 319
11,8*. Zavedenie pomocn?ho uhla 322
11,9*. Nahradenie nezn?meho t \u003d sin x + cos x 327
Historick? inform?cie 330
KAPITOLA III. PRVKY TE?RIE PRAVDEPODOBNOSTI
§ 12. Pravdepodobnos? udalosti 333
12.1. Pojem pravdepodobnosti udalosti 333
12.2. Vlastnosti pravdepodobnosti udalost? 338
§ 13*. Frekvencia. Podmienen? pravdepodobnos? 342
13,1*. Relat?vna frekvencia udalost? 342
13,2*. Podmienen? pravdepodobnos?. Nez?visl? udalosti 344
§ ?trn?sty*. O?ak?van? hodnota. Z?kon ve?k?ch ??sel 348
14,1*. Matematick? o?ak?vanie 348
14,2*. ?a?k? sk?senos? 353
14,3*. Bernoulliho vzorec. Z?kon ve?k?ch ??sel 355
Historick? inform?cie 359
RECENZIA 362
Index 407
Odpovede 410

T?ma 6. Exponenci?lne a logaritmick? rovnice a nerovnice (11 hod?n)
T?ma lekcie. Nerovnosti, ktor? sa redukuj? na najjednoduch?ie nahraden?m nezn?meho.
??el lekcie: Formova? zru?nosti pri rie?en? exponenci?lnych a logaritmick?ch nerovnost? redukciou na najjednoduch?ie, nahraden?m nezn?meho.
?lohy:
Vzdel?vacie: zopakova? a upevni? si vedomosti na t?mu „rie?enie najjednoduch??ch exponenci?lnych a logaritmick?ch nerovn?c“, nau?i? sa rie?i? logaritmick? a exponenci?lne nerovnice n?hradnou met?dou.
Rozv?janie: formova? schopnos? ?iaka rozli?ova? dva druhy nerovnost? a ur?ova? sp?soby ich rie?enia (logick? a intuit?vne myslenie, zd?vod?ovanie ?sudkov, klasifik?cia, porovn?vanie), formova? zru?nosti sebaovl?dania a sebakontroly, schopnos? pohybu pod?a dan?ho algoritmu vyhodnoti? a opravi? v?sledok.
Vzdel?vacie: pokra?ova? vo formovan? tak?ch vlastnost? ?tudentov, ako s?: schopnos? po??va? sa navz?jom; schopnos? vykon?va? vz?jomn? kontrolu a sebahodnotenie.
Typ lekcie: kombinovan?.
U?ebnica Algebra ro?n?k 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Re?etnikov, A.V. Shevkin
Po?as vyu?ovania
Organizovanie ?asu.
Kontrola dom?cich ?loh.
Aktualiz?cia z?kladn?ch vedomost?.
Predn?:
1. Ak? nerovnosti sa naz?vaj? najjednoduch?ie exponenci?lne nerovnosti?
2. Vysvetlite, ak? v?znam m? rie?enie najjednoduch??ch exponenci?lnych nerovn?c.
3. Ktor? nerovnosti sa naz?vaj? najjednoduch?ie logaritmick? nerovnosti?
4. Vysvetlite, ak? v?znam m? rie?enie najjednoduch??ch logaritmick?ch nerovn?c.
S pozn?mkou na tabuli (ka?d? 1 ?tudent):
Rie?i? nerovnosti
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Vysvetlenie nov?ho materi?lu a jeho postupn? konsolid?cia.
1.1. Vysvetlenie nov?ho materi?lu.
1. Vyrie?te nerovnos?:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, potom
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2-3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Zauj?ma n?s znak „--.“ Potom dostaneme
Odpove?: x?(1;2)
2. Vyrie?te nerovnos?

1.2. Krok za krokom posilnenie.
?. 6.49(a, c).
?. 6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Odpove?: -?; 1?54; + ?v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Odpove?: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x 2-2 x-8<0х2-2х-3>0

Odpove?: -2;-1?3;42,1. Vysvetlenie nov?ho materi?lu.
3. Vyrie?te nerovnos?

Potom 1 nerovnos? d?va zmysel pre v?etky x a druh?

2.2. Krok za krokom posilnenie.
Vyrie?te nerovnos? #6.56(c)
3.1. Vysvetlenie nov?ho materi?lu.
4. Vyrie?te nerovnos?

3.2. Krok za krokom posilnenie.
Vyrie?te nerovnos? #6.60(a)
Zhrnutie lekcie.
Reflexia.
Dom?ca ?loha.
P. 6.6
?. 6,49 (b, d)
?. 6,52 (a, b)
?. 6,56 (d)
?. 6,60 (b)

Prilo?en? s?bory

Mnoho ?ud? si mysl?, ?e exponenci?lne nerovnosti s? nie?o tak? zlo?it? a nepochopite?n?. A ?e nau?i? sa ich rie?i? je takmer ve?k? umenie, ktor?mu s? schopn? porozumie? len Vyvolen?...

?pln? nezmysel! Exponenci?lne nerovnosti s? jednoduch?. A v?dy sa daj? ?ahko vyrie?i?. No skoro v?dy. :)

Dnes si t?to t?mu rozoberieme ?iroko-?aleko. T?to lekcia bude ve?mi u?ito?n? pre t?ch, ktor? pr?ve za??naj? ch?pa? t?to ?as? ?kolskej matematiky. Za?nime jednoduch?mi ?lohami a prejdime k zlo?itej??m probl?mom. Dnes to nebude ?iadna tvrdos?, no na vyrie?enie v???iny nerovnost? pri v?emo?nej kontrole a samostatnej pr?ci posta?? to, ?o sa pr?ve chyst?te pre??ta?. A pri tejto sk??ke tie?.

Ako v?dy, za?nime defin?ciou. Exponenci?lna nerovnos? je ka?d? nerovnos?, ktor? obsahuje exponenci?lnu funkciu. In?mi slovami, v?dy sa d? zredukova? na nerovnos? formy

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kde ?loha $b$ m??e by? oby?ajn? ??slo alebo mo?no nie?o tvrd?ie. Pr?klady? ?no pros?m:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\end(zarovna?)\]

Mysl?m, ?e v?znam je jasn?: existuje exponenci?lna funkcia $((a)^(x))$, porovn?va sa s nie??m a potom sa ?iada n?js? $x$. Najm? v klinick?ch pr?padoch m??u namiesto premennej $x$ vlo?i? nejak? funkciu $f\left(x \right)$ a t?m nerovnos? trochu skomplikova?. :)

Samozrejme, v niektor?ch pr?padoch m??e nerovnos? vyzera? v??nej?ie. Napr?klad:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Alebo aj toto:

Vo v?eobecnosti m??e by? zlo?itos? tak?chto nerovnost? ve?mi r?zna, ale v kone?nom d?sledku sa st?le zu?uj? na jednoduch? kon?trukciu $((a)^(x)) \gt b$. A s tak?mto dizajnom sa nejako vysporiadame (najm? v klinick?ch pr?padoch, ke? n?m ni? nenapadne, n?m pom??u logaritmy). Preto sa teraz nau??me, ako tak?to jednoduch? kon?trukcie rie?i?.

Rie?enie najjednoduch??ch exponenci?lnych nerovnost?

Pozrime sa na nie?o ve?mi jednoduch?. Napr?klad tu je:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Je zrejm?, ?e ??slo napravo mo?no prep?sa? ako mocninu dvoch: $4=((2)^(2))$. P?vodn? nerovnos? je teda prep?san? do ve?mi pohodlnej formy:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teraz u? ruky svrbia, aby „pre?krtli“ dvojky, stojace v z?kladoch stup?ov, aby dostali odpove? $x \gt 2$. Ale sk?r, ako nie?o pre?iarkneme, spome?me si na mocniny dvoch:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Ako vid?te, ??m v???ie ??slo v exponente, t?m v???ie je v?stupn? ??slo. "?akujem, Cap!" zvol? jeden zo ?tudentov. Deje sa to inak? Bohu?ia?, st?va sa to. Napr?klad:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ vpravo))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Aj tu je v?etko logick?: ??m v???? je stupe?, t?m viackr?t sa ??slo 0,5 vyn?sob? samo sebou (to znamen?, ?e sa rozdel? na polovicu). V?sledn? postupnos? ??sel sa teda zni?uje a rozdiel medzi prvou a druhou postupnos?ou je iba v z?klade:

• Ak z?klad?a stup?a $a \gt 1$, potom s rastom exponentu $n$ bude r?s? aj ??slo $((a)^(n))$;
• Naopak, ak $0 \lt a \lt 1$, potom ako exponent $n$ rastie, ??slo $((a)^(n))$ bude klesa?.

Zhrnut?m t?chto faktov dostaneme najd?le?itej?ie tvrdenie, na ktorom je zalo?en? cel? rie?enie exponenci?lnych nerovn?c:

Ak $a \gt 1$, potom nerovnos? $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentn? nerovnosti $x \gt n$. Ak $0 \lt a \lt 1$, potom nerovnos? $((a)^(x)) \gt ((a)^(n)))$ je ekvivalentn? nerovnosti $x \lt n$.

In?mi slovami, ak je z?klad?a v???ia ako jedna, m??ete ju jednoducho odstr?ni? - znak nerovnosti sa nezmen?. A ak je z?klad?a men?ia ako jedna, m??e sa tie? odstr?ni?, ale bude sa musie? zmeni? aj znak nerovnosti.

V?imnite si, ?e sme nezoh?adnili mo?nosti $a=1$ a $a\le 0$. Preto?e v t?chto pr?padoch je neistota. Predpokladajme, ako vyrie?i? nerovnos? v tvare $((1)^(x)) \gt 3$? Jednotka ktorejko?vek mocnine op?? d? jednotku – nikdy nedostaneme trojku alebo viac. Tie. neexistuj? ?iadne rie?enia.

S negat?vnymi b?zami je to e?te zauj?mavej?ie. Zv??te napr?klad nasleduj?cu nerovnos?:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Na prv? poh?ad je v?etko jednoduch?:

spr?vne? Ale nie! Sta?? nahradi? p?r p?rnymi a p?r nep?rnymi ??slami namiesto $x$, aby ste sa uistili, ?e rie?enie je nespr?vne. Pozri sa:

\[\za?iatok(zarovnanie) & x=4\??pka doprava ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\??pka doprava ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\??pka doprava ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\??pka doprava ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(zarovna?)\]

Ako vid?te, znamenia sa striedaj?. Ale st?le existuj? zlomkov? stupne a in? c?n. Ako by ste napr?klad poradili spo??ta? $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7))))$ (m?nus dva zv??en? na odmocninu zo siedmich)? V ?iadnom pr?pade!

Preto pre istotu predpoklad?me, ?e vo v?etk?ch exponenci?lnych nerovnostiach (a mimochodom aj v rovniciach) $1\ne a \gt 0$. A potom sa v?etko vyrie?i ve?mi jednoducho:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\??pka doprava \do?ava[ \za?iatok(zarovnanie) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \doprava), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(zarovna?) \vpravo.\]

Vo v?eobecnosti si e?te raz zapam?tajte hlavn? pravidlo: ak je z?klad v exponenci?lnej rovnici v???? ako jedna, m??ete ho jednoducho odstr?ni?; a ak je z?klad?a men?ia ako jedna, m??e sa tie? odstr?ni?, ale t?m sa zmen? znamienko nerovnosti.

Pr?klady rie?en?

Zv??te nieko?ko jednoduch?ch exponenci?lnych nerovnost?:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(zarovna?)\]

Prim?rna ?loha je vo v?etk?ch pr?padoch rovnak?: zmen?i? nerovnosti na najjednoduch?? tvar $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. To teraz urob?me s ka?dou nerovnicou a z?rove? si zopakujeme vlastnosti mocn?n a exponenci?lnej funkcie. Tak, po?me!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

?o sa tu d? robi?? No a na?avo u? m?me demon?trat?vny v?raz – netreba ni? meni?. Ale napravo je nejak? svinstvo: zlomok a dokonca aj kore? v menovateli!

Pam?tajte v?ak na pravidl? pre pr?cu so zlomkami a mocninami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(zarovna?)\]

?o to znamen?? Po prv?, zlomku sa m??eme ?ahko zbavi? tak, ?e ho zmen?me na z?porn? exponent. A po druh?, ke??e menovate?om je odmocnina, bolo by pekn? previes? ho na stupe? – tentoraz so zlomkov?m exponentom.

Aplikujme tieto akcie postupne na prav? stranu nerovnosti a uvid?me, ?o sa stane:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 1)(3))) \vpravo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \vpravo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nezabudnite, ?e pri zv??en? stup?a na mocninu sa exponenty t?chto stup?ov s??taj?. A v?bec, pri pr?ci s exponenci?lnymi rovnicami a nerovnicami je absol?tne nevyhnutn? pozna? aspo? tie najjednoduch?ie pravidl? pre pr?cu s mocninami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(zarovna?)\]

V skuto?nosti sme aplikovali posledn? pravidlo. Preto sa na?a p?vodn? nerovnos? prep??e takto:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\??pka doprava ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Teraz sa zbav?me dvojky na z?kladni. Ke??e 2 > 1, znamienko nerovnosti zost?va rovnak?:

\[\za?iatok(zarovnanie) & x-1\le -\frac(1)(3)\??pka doprava x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To je cel? rie?enie! Hlavn? ?a?kos? v?bec nie je v exponenci?lnej funkcii, ale v kompetentnej transform?cii p?vodn?ho v?razu: mus?te ho opatrne a ?o najr?chlej?ie uvies? do jeho najjednoduch?ej podoby.

Zv??te druh? nerovnos?:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Dobre dobre. Tu ?ak?me na desatinn? zlomky. Ako som u? mnohokr?t povedal, v ak?chko?vek v?razoch s mocninami by ste sa mali zbavi? desatinn?ch zlomkov - ?asto je to jedin? sp?sob, ako vidie? r?chle a jednoduch? rie?enie. Tu je to, ?oho sa zbav?me:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ vpravo))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\??pka doprava ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(zarovna?)\]

Pred nami je op?? najjednoduch?ia nerovnica a aj so z?kladom 1/10, t.j. menej ako jeden. No, odstr?nime z?klady a s??asne zmen?me znamienko z „menej“ na „v???ie“ a dostaneme:

\[\za?iatok(zarovnanie) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(zarovna?)\]

Dostali sme kone?n? odpove?: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Upozor?ujeme, ?e odpove? je presne mno?ina a v ?iadnom pr?pade nejde o kon?trukciu tvaru $x \lt -1$. Preto?e form?lne tak?to kon?trukcia v?bec nie je mno?ina, ale nerovnos? vzh?adom na premenn? $x$. ?no, je to ve?mi jednoduch?, ale nie je to odpove?!

D?le?it? pozn?mka. T?to nerovnos? by sa dala vyrie?i? aj inak – zmen?en?m oboch ?ast? na mocninu so z?klad?ou v???ou ako jedna. Pozri sa:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\??pka doprava ((\v?avo(((10)^(-1)) \vpravo))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po takejto transform?cii op?? dostaneme exponenci?lnu nerovnos?, ale so z?kladom 10 > 1. A to znamen?, ?e desiatku m??ete jednoducho pre?iarknu? - znamienko nerovnosti sa nezmen?. Dostaneme:

\[\za?iatok(zarovnanie) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(zarovna?)\]

Ako vid?te, odpove? je ?plne rovnak?. Z?rove? sme sa u?etrili od potreby meni? ozna?enie a vo v?eobecnosti si tam zapam?ta? nejak? pravidl?. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Nenechajte sa t?m v?ak vystra?i?. ?oko?vek je v indik?toroch, technol?gia rie?enia samotnej nerovnosti zost?va rovnak?. Preto si najprv v?imneme, ?e 16 = 2 4 . Prep??me p?vodn? nerovnos? ber?c do ?vahy t?to skuto?nos?:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hur?! M?me obvykl? ?tvorcov? nerovnos?! Znamienko sa nikde nezmenilo, ke??e z?kladom je dvojka - ??slo v???ie ako jedna.

Funkcia nuluje na ??selnej osi

Usporiadame znamienka funkcie $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - samozrejme, jej graf bude parabola s vetvami nahor, tak?e tam bud? „plusy “ po stran?ch. Zauj?ma n?s oblas?, kde je funkcia men?ia ako nula, t.j. $x\in \left(2;5 \right)$ je odpove?ou na p?vodn? probl?m.

Nakoniec zv??te ?al?iu nerovnos?:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Op?? vid?me exponenci?lnu funkciu s desatinn?m zlomkom v z?klade. Preve?me tento zlomok na be?n? zlomok:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2)))=((\v?avo(((5)^(-1)) \vpravo))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

V tomto pr?pade sme vyu?ili vy??ie uveden? pozn?mku - zn??ili sme z?klad?u na ??slo 5\u003e 1, aby sme zjednodu?ili na?e ?al?ie rozhodovanie. Urobme to ist? s pravou stranou:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prep??me p?vodn? nerovnos?, ber?c do ?vahy obe transform?cie:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\??pka doprava ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \vpravo)))\ge ((5)^(-2))\]

Z?klady na oboch stran?ch s? rovnak? a v???ie ako jedna. Napravo a na?avo nie s? ?iadne ?al?ie v?razy, tak?e len „pre?krtneme“ p??ky a dostaneme ve?mi jednoduch? v?raz:

\[\za?iatok(zarovnanie) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Tu si treba d?va? pozor. Mnoh? ?tudenti radi jednoducho zober? druh? odmocninu oboch str?n nerovnosti a nap??u nie?o ako $x\le 1\??pka doprava x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nikdy by ste to nemali robi?, preto?e odmocninou presn?ho ?tvorca je modul a v ?iadnom pr?pade nie p?vodn? premenn?:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\vpravo|\]

Pr?ca s modulmi v?ak nie je pr?ve najpr?jemnej?ia sk?senos?, v?ak? Tak?e nebudeme pracova?. Namiesto toho jednoducho presunieme v?etky v?razy do?ava a vyrie?ime obvykl? nerovnos? pomocou intervalovej met?dy:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) = -1; \\\end(zarovna?)$

Z?skan? body op?? ozna??me na ??selnej osi a pozrieme sa na znamienka:

Ke??e sme rie?ili nepr?snu nerovnos?, v?etky body na grafe s? tie?ovan?. Odpove? teda bude: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie je interval, ale segment.

Vo v?eobecnosti by som r?d poznamenal, ?e v exponenci?lnych nerovnostiach nie je ni? zlo?it?. V?znam v?etk?ch transform?ci?, ktor? sme dnes vykonali, sa scvrk?va na jednoduch? algoritmus:

• N?jdite z?klad?u, na ktor? zn??ime v?etky stupne;
• Opatrne vykonajte transform?cie, aby ste dostali nerovnos? v tvare $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Samozrejme, namiesto premenn?ch $x$ a $n$ m??u existova? ove?a zlo?itej?ie funkcie, ale to ni? nemen? na v?zname;
• Pre?iarknite z?klady stup?ov. V tomto pr?pade sa znamienko nerovnosti m??e zmeni?, ak z?klad $a \lt 1$.

V skuto?nosti je to univerz?lny algoritmus na rie?enie v?etk?ch tak?chto nerovnost?. A v?etko ostatn?, ?o v?m na t?to t?mu povedia, s? len konkr?tne triky a triky na zjednodu?enie a ur?chlenie premeny. Tu je jeden z t?ch trikov, o ktor?ch si teraz povieme. :)

racionaliza?n? met?da

Zv??te ?al?iu d?vku nerovnost?:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

No, ?o je na nich tak? zvl??tne? S? tie? ?ahk?. Aj ke?, presta?! Je p? pov??en? na silu? Ak? nezmysel?

A ako zv??i? ??slo $2\sqrt(3)-3$ na mocninu? Alebo $3-2\sqrt(2)$? Zostavovatelia probl?mov o?ividne vypili prive?a "Hloh" predt?m, ako si sadli do pr?ce. :)

V skuto?nosti na t?chto ?loh?ch nie je ni? zl?. Dovo?te mi pripomen??: exponenci?lna funkcia je v?raz v tvare $((a)^(x))$, kde z?klad $a$ je ?ubovo?n? kladn? ??slo okrem jedn?ho. ??slo p je kladn? - to u? vieme. ??sla $2\sqrt(3)-3$ a $3-2\sqrt(2)$ s? tie? kladn? - to je ?ahk? zisti?, ak ich porovn?me s nulou.

Ukazuje sa, ?e v?etky tieto „desiv?“ nerovnosti sa nel??ia od jednoduch?ch, o ktor?ch sme hovorili vy??ie? A robia to rovnako? ?no, ?plne spr?vne. Na ich pr?klade by som sa v?ak r?d zamyslel nad jedn?m trikom, ktor? u?etr? ve?a ?asu pri samostatnej pr?ci a sk??kach. Povieme si o met?de racionaliz?cie. Tak?e pozor:

Ak?ko?vek exponenci?lna nerovnos? v tvare $((a)^(x)) \gt ((a)^(n)))$ je ekvivalentn? nerovnosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ vpravo) \gt 0 $.

To je cel? met?da :) Mysleli ste si, ?e bude nejak? ?al?ia hra? Ni? tak?! Ale tento jednoduch? fakt, nap?san? doslova v jednom riadku, n?m v?razne zjednodu?? pr?cu. Pozri sa:

\[\begin(matica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matica)\]

Tu u? nie s? ?iadne exponenci?lne funkcie! A nemus?te si pam?ta?, ?i sa znamenie men? alebo nie. Ale vyvst?va nov? probl?m: ?o robi? s tou posratou n?sobilkou \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nevieme, ak? je presn? hodnota pi. Zd? sa v?ak, ?e kapit?n nazna?uje zrejm?:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\pribli?ne 3,14... \gt 3\??pka doprava \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Vo v?eobecnosti n?s presn? hodnota p ve?mi netr?pi – d?le?it? je len pochopi?, ?e v ka?dom pr?pade $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. je kladn? kon?tanta a m??eme ?ou rozdeli? obe strany nerovnosti:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Ako vid?te, v ur?itom bode sme museli deli? m?nus jedna a znamienko nerovnosti sa zmenilo. Na konci som roz??ril ?tvorcov? troj?lenku pod?a Vietovej vety - je zrejm?, ?e korene sa rovnaj? $((x)_(1))=5$ a $((x)_(2))=- 1 dol?r. Potom sa v?etko rie?i klasickou met?dou intervalov:

V?etky body s? prepichnut?, preto?e p?vodn? nerovnos? je pr?sna. Zauj?ma n?s oblas? so z?porn?mi hodnotami, tak?e odpove? je $x\in \left(-1;5 \right)$. To je rie?enie. :)

Prejdime k ?al?ej ?lohe:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

V?etko je tu jednoduch?, preto?e vpravo je jednotka. A pam?t?me si, ?e jednotka je ak?ko?vek ??slo umocnen? na nulu. Aj ke? je toto ??slo iracion?lnym v?razom, stojacim na z?kladni v?avo:

\[\za?iatok(zarovnanie) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(zarovna?)\]

Po?me si teda racionalizova?:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Zost?va len zaobera? sa znakmi. N?sobite? $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ neobsahuje premenn? $x$ - je to len kon?tanta a mus?me zisti? jej znamienko. Za t?mto ??elom si v?imnite nasledovn?:

\[\za?iatok(matica) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \vpravo)=0 \\\koniec (matica)\]

Ukazuje sa, ?e druh? faktor nie je len kon?tanta, ale negat?vna kon?tanta! A pri jej delen? sa znamienko p?vodnej nerovnosti zmen? na opak:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Teraz je v?etko celkom zrejm?. Korene ?tvorcovej troj?lenky vpravo s? $((x)_(1))=0$ a $((x)_(2))=2$. Ozna??me ich na ??selnej osi a pozrieme sa na znamienka funkcie $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Zauj?maj? n?s intervaly ozna?en? znamienkom plus. Zost?va len nap?sa? odpove?:

Prejdime k ?al?iemu pr?kladu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ vpravo))^(16-x)))\]

Tu je v?etko celkom zrejm?: z?klady s? mocniny rovnak?ho ??sla. Preto v?etko nap??em stru?ne:

\[\za?iatok(matica) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matica)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ v?avo(16-x\vpravo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Ako vid?te, v procese transform?ci? sme museli n?sobi? z?porn?m ??slom, tak?e sa zmenilo znamienko nerovnosti. Na ?pln? z?ver som op?? aplikoval Vietovu vetu na rozklad ?tvorcov?ho trinomu. V d?sledku toho bude odpove? nasledovn?: $x\in \left(-8;4 \right)$ - t?, ktor? si to ?elaj?, si to m??u overi? nakreslen?m ??selnej osi, ozna?ovan?m bodov a po??tan?m znakov. Medzit?m prejdeme k poslednej nerovnosti z na?ej „mno?iny“:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Ako vid?te, z?kladom je op?? iracion?lne ??slo a jednotka je op?? vpravo. Preto prep??eme na?u exponenci?lnu nerovnos? takto:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ vpravo))^(0))\]

Po?me si to racionalizova?:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Je v?ak celkom zrejm?, ?e $1-\sqrt(2) \lt 0$, ke??e $\sqrt(2)\cca 1,4... \gt 1$. Druh?m faktorom je preto op?? negat?vna kon?tanta, ktorou mo?no obe ?asti nerovnosti rozdeli?:

\[\za?iatok(matica) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matica)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Zme?te na in? z?klad?u

Samostatn?m probl?mom pri rie?en? exponenci?lnych nerovnost? je h?adanie „spr?vneho“ z?kladu. ?ia?, pri prvom poh?ade na ?lohu ani z?aleka nie je v?dy zrejm?, ?o si vzia? za z?klad a ?o urobi? ako stupe? tohto z?kladu.

Ale nebojte sa: neexistuj? tu ?iadne k?zla a „tajn?“ technol?gie. V matematike sa ka?d? zru?nos?, ktor? sa ned? algoritmizova?, d? ?ahko rozvin?? praxou. Ale na to budete musie? vyrie?i? probl?my r?znych ?rovn? zlo?itosti. Ide napr?klad o:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(zarovnanie)\]

?a?k?? desiv?? ?no, je to jednoduch?ie ako kura na asfalte! Vysk??ajme. Prv? nerovnos?:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

No, mysl?m, ?e tu je v?etko jasn?:

P?vodn? nerovnos? prep??eme a v?etko zredukujeme na z?kladn? „dvojku“:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\??pka doprava \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

?no, ?no, pochopili ste spr?vne: pr?ve som pou?il vy??ie op?san? racionaliza?n? met?du. Teraz mus?me pracova? opatrne: dostali sme zlomkovo-racion?lnu nerovnos? (to je t?, ktor? m? v menovateli premenn?), tak?e predt?m, ako nie?o prirovn?me k nule, mus?me v?etko zredukova? na spolo?n?ho menovate?a a zbavi? sa kon?tantn?ho faktora. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Teraz pou?ijeme ?tandardn? intervalov? met?du. Nuly v ?itateli: $x=\pm 4$. Menovate? sa dostane na nulu iba vtedy, ke? $x=0$. Celkovo s? na ??selnej osi vyzna?en? tri body (v?etky body s? vyrazen?, preto?e znak nerovnosti je pr?sny). Dostaneme:

Ako mo?no uh?dnete, ?rafovanie ozna?uje intervaly, v ktor?ch v?raz na?avo nadob?da z?porn? hodnoty. Preto do kone?nej odpovede vst?pia dva intervaly naraz:

Konce intervalov nie s? zahrnut? v odpovedi, preto?e p?vodn? nerovnos? bola pr?sna. ?iadna ?al?ia valid?cia tejto odpovede sa nevy?aduje. V tomto oh?ade s? exponenci?lne nerovnosti ove?a jednoduch?ie ako logaritmick?: ?iadne DPV, ?iadne obmedzenia at?.

Prejdime k ?al?ej ?lohe:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ani tu nie s? ?iadne probl?my, ke??e u? vieme, ?e $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, tak?e cel? nerovnos? sa d? prep?sa? takto:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\??pka doprava ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\v?avo(-2\vpravo)\vpravo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Pozn?mka: v tre?om riadku som sa rozhodol nestr?ca? ?as mali?kos?ami a okam?ite v?etko vydeli? (-2). Minul i?iel do prvej z?tvorky (teraz s? plusy v?ade) a dvojka sa zmen?ila kon?tantn?m n?sobite?om. To je presne to, ?o by ste mali robi? pri skuto?n?ch v?po?toch pre samostatn? a kontroln? pr?cu – nemus?te ka?d? akciu a transform?ciu ma?ova? priamo.

?alej prich?dza na rad zn?ma met?da intervalov. Nuly v ?itateli: ale nie s? ?iadne. Preto?e diskriminant bude negat?vny. Menovate? je zasa nastaven? na nulu len vtedy, ke? $x=0$ — rovnako ako naposledy. Je jasn?, ?e zlomok bude ma? kladn? hodnoty napravo od $x=0$ a z?porn? hodnoty na?avo. Ke??e n?s zauj?maj? iba z?porn? hodnoty, kone?n? odpove? je $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

A ?o by sa malo robi? s desatinn?mi zlomkami v exponenci?lnych nerovnostiach? Spr?vne: zbavte sa ich premenou na oby?ajn?. Tu preklad?me:

\[\za?iatok(zarovnanie) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\??pka doprava ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\??pka doprava ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \vpravo))^(x)). \\\end(zarovna?)\]

No, ?o sme dostali v z?kladoch exponenci?lnych funkci?? A dostali sme dve vz?jomne recipro?n? ??sla:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\??pka doprava ((\left(\frac(25)(4) \ vpravo))^(x))=((\v?avo(((\v?avo(\frac(4)(25) \vpravo))^(-1)) \vpravo))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

P?vodn? nerovnos? teda mo?no prep?sa? takto:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(zarovna?)\]

Samozrejme, pri n?soben? mocn?n s rovnak?m z?kladom sa ich ukazovatele s??tavaj?, ?o sa stalo v druhom riadku. Okrem toho sme jednotku zn?zornili na pravej strane, tie? ako mocnos? v z?kladni 4/25. Zost?va len racionalizova?:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

V?imnite si, ?e $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, t.j. druh? faktor je z?porn? kon?tanta a po jej delen? sa znamienko nerovnosti zmen?:

\[\za?iatok(zarovnanie) & x+1-0\le 0\??pka doprava x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Na z?ver posledn? nerovnos? z aktu?lnej „mno?iny“:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

V z?sade je tu tie? jasn? my?lienka rie?enia: v?etky exponenci?lne funkcie, ktor? tvoria nerovnos?, musia by? zn??en? na z?klad "3". Ale na to mus?te trochu pohra? s kore?mi a stup?ami:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(zarovna?)\]

Vzh?adom na tieto skuto?nosti mo?no p?vodn? nerovnos? prep?sa? takto:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \vpravo))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(zarovna?)\]

Venujte pozornos? 2. a 3. riadku v?po?tov: predt?m, ako urob?te nie?o s nerovnos?ou, nezabudnite to uvies? do tvaru, o ktorom sme hovorili od sam?ho za?iatku lekcie: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Pokia? m?te ?av? alebo prav? ?av? multiplik?tory, extra kon?tanty at?., nemo?no vykona? racionaliz?ciu a „pre?iarknutie“ pozemkov! Nespo?etn? mno?stvo ?loh bolo vykonan?ch nespr?vne kv?li nepochopeniu tohto jednoduch?ho faktu. S?m tento probl?m neust?le pozorujem u svojich ?tudentov, ke? pr?ve za??name analyzova? exponenci?lne a logaritmick? nerovnosti.

Ale sp?? k na?ej ?lohe. Sk?sme sa tentoraz zaob?s? bez racionaliz?cie. Pripom?name: z?klad?a stup?a je v???ia ako jedna, tak?e trojky mo?no jednoducho pre?iarknu? - znamienko nerovnosti sa nezmen?. Dostaneme:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(zarovna?)\]

To je v?etko. Kone?n? odpove?: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Zv?raznenie stabiln?ho v?razu a nahradenie premennej

Na z?ver navrhujem vyrie?i? e?te ?tyri exponenci?lne nerovnosti, ktor? s? u? pre nepripraven?ch ?tudentov dos? n?ro?n?. Aby ste sa s nimi vyrovnali, mus?te si zapam?ta? pravidl? pre pr?cu s titulmi. Najm? vy?atie spolo?n?ch faktorov zo z?tvoriek.

Najd?le?itej?ie je v?ak nau?i? sa ch?pa?: ?o presne m??e by? ohrani?en?. Tak?to v?raz sa naz?va stabiln? – mo?no ho ozna?i? novou premennou a zbavi? sa tak exponenci?lnej funkcie. Po?me sa teda pozrie? na ?lohy:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Za?nime ?plne prv?m riadkom. Nap??me t?to nerovnos? samostatne:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

V?imnite si, ?e $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tak?e prav? strana m??e prep?sa?:

V?imnite si, ?e neexistuj? ?iadne in? exponenci?lne funkcie okrem $((5)^(x+1))$ v nerovnosti. A vo v?eobecnosti sa premenn? $x$ nikde inde nevyskytuje, preto si predstavme nov? premenn?: $((5)^(x+1))=t$. Z?skame nasleduj?cu kon?trukciu:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(zarovna?)\]

Vr?time sa k p?vodnej premennej ($t=((5)^(x+1))$), a z?rove? si zapam?t?me, ?e 1=5 0 . M?me:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(zarovna?)\]

To je cel? rie?enie! Odpove?: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Prejdime k druhej nerovnosti:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tu je v?etko po starom. V?imnite si, ?e $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Potom je mo?n? ?av? stranu prep?sa?:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \vpravo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\??pka doprava ((3)^(x))\ge 9\??pka doprava ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\??pka doprava x\v \?avo[ 2;+\infty \vpravo). \\\end(zarovna?)\]

Pribli?ne takto potrebujete vypracova? rozhodnutie o skuto?nej kontrole a samostatnej pr?ci.

No, sk?sme nie?o ?a??ie. Napr?klad tu je nerovnos?:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Ak? je tu probl?m? Po prv?, z?klady exponenci?lnych funkci? v?avo s? r?zne: 5 a 25. Av?ak 25 \u003d 5 2, tak?e prv? ?len je mo?n? transformova?:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Ako vid?te, najprv sme v?etko priviedli na rovnak? z?klad a potom sme si v?imli, ?e prv? ?len sa ?ahko zredukuje na druh? - sta?? len roz??ri? exponent. Teraz m??eme bezpe?ne zavies? nov? premenn?: $((5)^(2x+2))=t$ a cel? nerovnos? sa prep??e takto:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(zarovna?)\]

Op?? ?iadny probl?m! Kone?n? odpove?: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Prejdime ku kone?nej nerovnosti v dne?nej lekcii:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prv? vec, ktor? by ste mali venova? pozornos?, je, samozrejme, desatinn? zlomok v z?klade prv?ho stup?a. Je potrebn? sa ho zbavi? a z?rove? privies? v?etky exponenci?lne funkcie na rovnak? z?klad?u - ??slo "2":

\[\za?iatok(zarovnanie) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\??pka doprava ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\??pka doprava ((16)^(x+1,5))=((\v?avo(((2)^(4)) \vpravo))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Skvel?, urobili sme prv? krok - v?etko viedlo k rovnak?mu z?kladu. Teraz mus?me zd?razni? stabiln? v?raz. V?imnite si, ?e $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ak zavedieme nov? premenn? $((2)^(4x+6))=t$, p?vodn? nerovnos? mo?no prep?sa? takto:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(zarovna?)\]

Prirodzene, m??e vyvsta? ot?zka: ako sme zistili, ?e 256 = 2 8 ? Bohu?ia? tu sta?? pozna? mocniny dvojky (a z?rove? aj mocniny trojky a p??ky). Alebo vyde?te 256 2 (m??ete deli?, preto?e 256 je p?rne ??slo), k?m nedostaneme v?sledok. Bude to vyzera? asi takto:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

To ist? je s trojkou (??sla 9, 27, 81 a 243 s? jej mocniny) a so sedmi?kou (??sla 49 a 343 by bolo tie? pekn? zapam?ta?). P?? m? tie? „kr?sne“ stupne, ktor? potrebujete vedie?:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & (5)^(3))=125; \\ & (5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(zarovna?)\]

Samozrejme, v?etky tieto ??sla, ak je to ?iaduce, m??u by? obnoven? v mysli, jednoducho ich postupn?m n?soben?m medzi sebou. Ke? v?ak mus?te vyrie?i? nieko?ko exponenci?lnych nerovnost? a ka?d? ?al?ia je n?ro?nej?ia ako predch?dzaj?ca, potom posledn? vec, na ktor? by ste chceli myslie?, s? mocniny niektor?ch ??sel. A v tomto zmysle s? tieto ?lohy zlo?itej?ie ako „klasick?“ nerovnosti, ktor? sa rie?ia intervalovou met?dou.

D?fam, ?e v?m t?to lekcia pomohla pri zvl?dnut? tejto t?my. Ak nie?o nie je jasn?, op?tajte sa v koment?roch. A vid?me sa pri ?al??ch tutori?loch. :)