APIBR??IMAS

Apra?omas adiabatinis procesas, vykstantis. Adiabatinis yra procesas, kurio metu tarp nagrin?jamos sistemos ir aplinkos nevyksta ?ilumos mainai: .

Puasono lygtis atrodo taip:

?ia duj? u?imamas t?ris yra jo, o reik?m? vadinama adiabatiniu eksponentu.

Adiabatinis eksponentas Puasono lygtyje

Praktiniuose skai?iavimuose patogu atsiminti, kad ideali? duj? adiabatinis eksponentas yra lygus , dviatom?ms dujoms - , o triatomin?ms dujoms - .

K? daryti su tikromis dujomis, kai svarb? vaidmen? pradeda vaidinti molekuli? s?veikos j?gos? ?iuo atveju kiekvienos tiriamos duj? adiabatin? indeks? galima gauti eksperimentiniu b?du. Vien? i? toki? metod? 1819 m. pasi?l? Cl?ment ir Desormes. ? balion? pripildome ?alt? duj?, kol jame pasieks sl?gis . Tada atidarome ?iaup?, dujos pradeda adiabati?kai pl?stis, o sl?gis cilindre nukrenta iki atmosferos sl?gio. Dujas izochori?kai pakaitinus iki aplinkos temperat?ros, sl?gis balione padid?s iki . Tada adiabatin? eksponent? galima apskai?iuoti naudojant formul?:

Adiabatinis indeksas visada yra didesnis nei 1, tod?l adiabati?kai suspaud?iant dujas - tiek idealias, tiek realias - iki ma?esnio t?rio, duj? temperat?ra visada pakyla, o pl?timosi metu dujos atv?sta. ?i adiabatinio proceso savyb?, vadinama pneumatiniu titnagu, naudojama dyzeliniuose varikliuose, kur degusis mi?inys suspaud?iamas cilindre ir u?sidega auk?toje temperat?roje. Prisiminkime pirm?j? termodinamikos d?sn?: , kur - , o A yra su juo atliktas darbas. Nes duj? atliekamas darbas kei?ia tik j? vidin? energij? – taigi ir temperat?r?. I? Puasono lygties galime gauti formul?, kaip apskai?iuoti duj? darb? adiabatiniame procese:

?ia n yra duj? kiekis moliais, R yra universali duj? konstanta, T yra absoliuti duj? temperat?ra.

Puasono lygtis adiabatiniam procesui naudojama ne tik vidaus degimo varikli? skai?iavimuose, bet ir ?aldymo ma?in? projektavimui.

Verta prisiminti, kad Puasono lygtis tiksliai apib?dina tik pusiausvyrin? adiabatin? proces?, susidedant? i? nuolat kintan?i? pusiausvyros b?sen?. Jei realiai atidarysime vo?tuv? cilindre, kad dujos adiabati?kai i?sipl?st?, ?vyks nepastovus pereinamasis procesas su duj? s?kuriais, kurie u?ges d?l makroskopin?s trinties.

Problem? sprendimo pavyzd?iai

1 PAVYZDYS

Pratimas	Monatomin?s idealios dujos buvo adiabati?kai susl?gtos taip, kad j? t?ris padvigub?t?. Kaip pasikeis duj? sl?gis?
Sprendimas	Monatomini? duj? adiabatinis eksponentas yra lygus . Ta?iau j? taip pat galima apskai?iuoti naudojant formul?: kur R yra universali duj? konstanta, o i yra duj? molekul?s laisv?s laipsnis. Monatomin?ms dujoms laisv?s laipsnis yra 3: tai rei?kia, kad molekul?s centras gali atlikti transliacin? jud?jim? i?ilgai trij? koordina?i? a?i?. Taigi adiabatinis indeksas: Duj? b?senas adiabatinio proceso prad?ioje ir pabaigoje pavaizduokime per Puasono lygt?:
Atsakymas	Sl?gis suma??s 3,175 karto.

2 PAVYZDYS

Pratimas	100 moli? dviatomini? ideali? duj? buvo adiabati?kai suspausta 300 K temperat?roje. Tuo pa?iu metu duj? sl?gis padid?jo 3 kartus. Kaip pasikeit? duj? darbas?
Sprendimas	Dviatomin?s molekul?s laisv?s laipsnis, nes molekul? gali jud?ti i?ilgai trij? koordina?i? a?i? ir suktis apie dvi a?is.

?vietimo tikslais nor??iau pakalb?ti apie lygtis, kurios buvo panaudotos i?vedant Debye-H?ckel lygt?. Tai yra Puasono lygtis ir Boltzmann skirstinys.

Puasono lygtis

Mes nustat?me, kad pusiausvyros b?senoje plazma yra beveik neutrali ir, veikiant judan?i? kr?vi? elektriniam laukui, ?krautos dalel?s pasislenka pagal Debye ilg? ir laukas per ?? ilg? nyksta. Elektrostatikoje ?kraut? daleli? s?veika apib?dinama Kulono lygtimi:

Kur yra s?veikaujan?i? ta?kini? kr?vi? dyd?iai ir yra atstumo tarp kr?vi? kvadratas. Koeficientas k yra konstanta. Jei sistem? naudosime elektrostatiniuose CGS vienetuose, ?ymimuose SGSEq, tada k = 1. Jei naudojama SI sistema, tai , kur yra terp?s, kurioje yra kr?viai, dielektrin? konstanta, elektrin? konstanta lygi 8,86 ? .

Fizikoje jie tiesiogiai nenaudoja j?gos, bet ?veda paskirstyt? kr?vi? elektrostatinio lauko s?vok? ir matuoja lauk? pagal vert? elektrinio lauko stiprumas. Nor?dami tai padaryti, ?d?kite vien? bandom?j? kr?v? kiekviename lauko ta?ke ir i?matuokite j?g?, kuria kr?vi? laukas veikia bandom?j? kr?v?:

Taigi, jei ? ?i? lygt? pakeisime Kulono j?g?, gausime:
Ta?iau fizikai neapsiriboja tuo, kad gal?t? visi?kai apib?dinti elektrin? lauk?. Apsvarstykite vienetin? kr?v?, esant? elektrostatiniame lauke. Laukas atlieka ?? kr?v? perkeldamas elementariu atstumu ds i? ta?ko P1 ? ta?k? P2:
Dydis vadinamas potencial? skirtumu arba ?tampa. ?tampa matuojama voltais. Minuso ?enklas rodo, kad pats laukas atlieka teigiamo kr?vio vieneto perdavim?. J?gos, judan?ios kr?vius, yra konservatyvios, nes darbas u?darame kelyje visada yra lygus nuliui, nepaisant to, kuriuo keliu kr?vis juda.

Tai rei?kia gili? potencialo skirtumo prasm?. Jei fiksuosite ta?k? P1 ir perkelsite kr?v? ? kintam? ta?k? P2, tada darbas priklauso tik nuo antrojo ta?ko P2 pad?ties. Tokiu b?du galime pristatyti potencialo s?vok?. Potencialas yra j?gos funkcija, parodanti, kiek darbo reikia atlikti laukui, kad kr?vis b?t? perkeltas i? begalyb?s ? tam tikr? ta?k? P2, kur potencialas begalyb?je sutartinai laikomas nuliu.

Norint suprasti Puasono lygt?, reikia suprasti „ypating?j?“ vektorin? matematik?. Trumpai pakalb?siu apie tokias s?vokas kaip lauko gradientas ir divergencija (manoma, kad skaitytojas yra susipa?in?s su matematine analize)
Tegul f(x,y,z) yra kokia nors nuolatin? diferencijuojamoji koordina?i? funkcija. ?inodami jo dalines i?vestines kiekviename erdv?s ta?ke, galime sukurti vektori?, kurio komponentai x, y, z yra lyg?s atitinkamoms dalin?ms i?vestin?ms:

kur yra atitinkam? x, y, z a?i? vienetiniai vektoriai. Piktogramoje ra?oma „nabla“ ir ji yra diferencialo operatorius
?? operatori? ? matematik? ?ved? Hamiltonas. I? nabla galite atlikti ?prastas matematines operacijas, tokias kaip paprastas produktas, ta?kinis produktas, kry?min? sandauga ir pan.

Dabar gr??kime prie elektrostatinio lauko E. Viena vertus, potencialo pokytis judant i? vieno ta?ko ? kit? turi toki? form?:

Kita vertus, pagal formul? (*)
Naudojant k? tik ?vest? gradiento s?vok?, ?i formul? tampa:
Dabar pa?velkime ? lauko divergencijos s?vok?. Apsvarstykite savavali?kos formos baigtin? u?dar? t?r? V (?r. paveiksl?l? ?emiau). Pa?ymime ?io pavir?iaus plot? S. Visas vektoriaus F srautas, atsirandantis i? ?io t?rio, pagal apibr??im? yra lygus
, kur da yra be galo ma?as vektorius, kurio dydis lygus ma?o pavir?iaus S elemento plotui, o kryptis sutampa su ?io elemento i?orine normalia.
Paimkime ?? vektoriaus F sraut?, padalinkime j? i? t?rio ir raskime rib?, nes ji linkusi ? nul?, t.y. T?r? sutrauksime ? be galo ma?? ta?k?.

Mes pri?jome prie divergencijos sampratos. Skirtumas ?ymimas simboliu div ir yra vektoriaus F srauto ir t?rio V santykis, kai V linksta ? nul?.

Prie? parodant, kaip gaunama Puasono lygtis, svarbu ?inoti Gauso d?sn? ir Gauso teorem?. ?sivaizduokime sfer?, kurioje yra kr?vis q. Kr?vis aplink save sukuria E intensyvumo elektrin? lauk? Paimkime vektoriaus E sraut?

kur S m?s? sferos plotas lygus . Vadinasi
Tai Gauso d?snis, kuris teigia, kad elektrinio lauko E srautas per bet kur? u?dar? pavir?i? yra lygus viso pavir?iaus padengto kr?vio sandaugai:
kur yra erdv?s kr?vio tankis, t.y. elektros kr?vio dydis t?rio vienetui ir yra elementarus t?ris, paskirstytas m?s? u?daro t?rio viduje.

Gauso teorema (pilnas pavadinimas Gauss-Ostrogradsky teorema) yra grynai matematin? teorema apie divergencij?. Perra?ykime vis? vektoriaus F sraut? taip:

Riboje, kai N -> ?, ->0, skliausteliuose esanti reik?m? tampa skirtumu, o suma patenka ? t?rio integral?:
Tai yra Gauso teorema ir tikrai svarbiausia lauko teorijos formul?. Taikykime ?i? teorem? elektrostatiniam laukui. Viena vertus, pagal Gauso d?sn?
Kita vertus, pagal Gauso teorem? (tik nepainiokite teoremos su Gauso d?sniu):
Sujung? paskutines dvi lygtis, gauname:
Prisiminkime formul? (**) ir vietoj E pakeisime lauko potencial?
Gradiento divergencija yra naujas operatorius, kuris matematikoje vadinamas Laplaso operatoriumi arba sutrumpintai Laplaso operatoriumi. Laplasietis ?ymimas nabla piktograma taip ir yra lygus
Perra?ykime ankstesn? formul? Laplaso forma:
Galiausiai turime Puasono lygt?. Pirmajame straipsnyje ?i lygtis buvo ?iek tiek kitokia, atsi?velgiant ? terp?s dielektrin? konstant?. Prisiminkite Kulono j?g? SI sistemoje, yra konstanta. Atitinkamai, Gauso ?statyme bus ne koeficientas, o koeficientas. Taigi gauname Puasono lygt? tokia forma, kokia pateikta ankstesniame straipsnyje
Taigi i? esm?s Puasono lygtis yra Kulono d?snis (tiksliau Gauso d?snis), perra?ytas kita forma, vektorin?s diferencialin?s analiz?s ?ym?jime.

I?nagrin?sime svarb? matematin?s statistikos skirstin? – Boltzmanno skirstin?.

?ymos:

• fizika
• elektrostatika

Prid?ti ?ymes

(10.2) lygtis nustato ry?? tarp elektrostatinio lauko potencialo ir ?io lauko stiprumo. I? ?ios lygties galime gauti ry?? tarp potencialo ir kr?vio tankio. Nor?dami tai padaryti, turite sudaryti abiej? ?ios lygties pusi? skirtum? ir naudoti formul? (6.5):

Pagal vektorin?s analiz?s taisykles [?r lygtis (40]

tod?l lygt? (11.1) galima para?yti taip:

?i diferencialin? lygtis vadinama Puasono lygtimi. Tose lauko vietose, kur n?ra elektros kr?vi?

?i lygtis virsta taip:

?i konkreti Puasono lygties forma vadinama Laplaso lygtimi.

Puasono lygtis leid?ia nustatyti erdv?s kr?vi? lauko potencial?, jei ?inoma ?i? kr?vi? vieta. ?ios diferencialin?s lygties sprendimas (integralas) (esant tam tikroms ribin?ms s?lygoms) akivaizd?iai turi sutapti su formule (8.8), kuri? i?ved?me anks?iau:

Toliau mes tai ?rodysime tiesioginiu skai?iavimu. Kol kas atkreipkime d?mes?, kad sprend?iant kai kuriuos u?davinius patogiau prad?ti ne nuo integralo (8.8), o tiesiai nuo diferencialin?s lygties (11.3).

Pavyzdys. Nustatykite termojonin?s srov?s tank? tarp dviej? begalini? plok??i? elektrod? vakuume. ?is Puasono lygties taikymo pavyzdys paimtas ne i? elektrostatikos, o i? srov?s tyrimo ir turi didel? reik?m? katodini? (stiprinan?i?) vamzd?i? teorijai.

Yra ?inoma, kad ?kait? metalai i? savo pavir?iaus ? aplinkin? erdv? i?skiria laisv?j? elektron? sraut?. Jei dviem metaliniams elektrodams taikomas tam tikras potencial? skirtumas, o neigiamas elektrodas (katodas) yra ?kaitintas, tada kar?tojo katodo nuolat skleid?iami elektronai bus pritraukti prie teigiamo elektrodo (anodo) pavir?iaus. Elektron? srautas, judantis nuo katodo iki anodo, prilygsta elektros srovei. ?i srov? vadinama termone.

Dekarto koordina?i? a?is parinksime taip, kad j? prad?ia b?t? katode, o x a?is b?t? statmena elektrod? plok?tumai ir nukreipta ? anod?. Paimkime katodo potencial? lyg? nuliui, o anodo potencial? lyg?.. I? simetrijos svarstym? ai?ku, kad ekvipotencial?s pavir?iai yra lygiagret?s elektrodams, tod?l Puasono lygtis erdv?je tarp elektrod? ?gauna form?

Jei ?ym?sime elektron? skai?iumi t?rio vienete erdv?je tarp elektrod? atstumu x nuo katodo ir absoliu?ia elektron? kr?vio verte, tai kr?vio tankis

?is atstumas bus:

Paprastumo d?lei tarkime, kad katodo skleid?iami elektronai, palikdami jo pavir?i?, neturi pradinio grei?io. Pakeliui nuo katodo iki anodo elektrinio lauko j?gos dirbs su kr?vio elektronais – tai akivaizd?iai pavirs elektron? jud?jimo kinetine energija. Pa?ym?dami elektrono grei?iu x atstumu nuo katodo ir potencialu tokiu pat atstumu, gauname

kur 771 yra elektrono mas?. Galiausiai elektros srov?s tankis, ty kr?vis, tekantis per laiko vienet? per plot?, statmen? srovei (t. y. statmenai a?iai b), akivaizd?iai yra:

nes per laiko vienet? per ?i? srit? praeina elektron? skai?ius. Prie?ingai, srov?s tankis yra pastovi reik?m?, kuri nepriklauso nuo x, nes pasiekus stacionari? b?sen?, akivaizdu, kad per bet kuri? elektrodams lygiagre?i? plok?tum? praeina tiek pat elektron?.

I? (11.5) lygties i?skirkime visas ne?inomas funkcijas x, i?skyrus Vis? pirma

Ta?iau i? (11.6) i?plaukia, kad

tai yra,

?vesdami ?ym?jim? A, gauname

I? ?ios diferencialin?s lygties sprendini? nesunku pasteb?ti pakeitus, kuri, atsi?velgiant ? problemos s?lygas, i?nyksta prie katodo ir, be to, tenkina s?lyg?

Jei atstum? nuo anodo iki katodo ?ym?sime I, tada esant potencialui, reik?t? pasukti ? Tod?l,

Taigi termojonin?s srov?s tankis nepakl?sta Omo d?sniui, o did?ja proporcingai 3/2 elektrodams taikomos ?tampos galiai ir atvirk??iai proporcingas atstumo tarp j? kvadratui. ?? skirtum? tarp termin?s srov?s d?sni? ir srov?s d?sni? metaluose lemia dvi prie?astys. Pirma, metaluose esantys elektronai susiduria su teigiamais jonais, kurie sudaro tvirt? metalo skelet?, ir d?l to jie patiria pasiprie?inim? j? jud?jimui, kurio n?ra judant vakuume 1). Antra, esant terminei srovei, erdv?je tarp elektrod? yra tik laisvieji elektronai, kuri? kr?vis nekompensuojamas teigiam? jon? kr?viu, kaip yra metal? atveju, d?l ko ?is laukas - vadinamas „erdviniu kr?viu“, i?kreipia elektrod? lauk?.

Atkreipkite d?mes?, kad formul? (11.9) nustoja galioti esant dideliam srov?s tankiui 2). Kai padid?ja anodo potencialas, ateina momentas, kai visi katodo i?laisvinti elektronai i? karto traukiami link anodo. Tolesnis anodo potencialo padid?jimas akivaizd?iai negali padidinti srov?s tankio, kuris taip pasiekia pastovi? vert? (sotinimo srov?).

10 u?davinys. Pa?ymime duoto erdv?s ta?ko atstum? nuo kurio nors savavali?kai pasirinkto prad?ios ta?ko Parodykite, kad skaliarinis

tenkina Laplaso lygt?

Esm? nenagrin?jama.

11 u?davinys. Begalin? plok??ia 2a storio plok?t? tolygiai ?kraunama t?rio tankio elektra x a?is statmena plok?tei, koordina?i? prad?ia yra vidurin?je plok?tumoje, vienodu atstumu nuo abiej? plok?t?s pavir?i?. Parodykite, kad lauko potencialas plok?t?s viduje ir i?or?je yra lygus:

o vektorius yra nukreiptas i?ilgai x a?ies nuo vidurin?s plok?tumos ir yra skaitiniu po?i?riu lygus:

Palyginkite ?? atvej? su ribiniu begalinio kr?vio plok?tumos atveju (§ 4).

12 u?davinys. Raskite rutulio, vienodai ?krauto visame t?ryje, lauko potencial? [formul? (8.12)], remiantis Puasono lygtimi sferin?mis koordinat?mis.

Puasono ir Laplaso lygtys yra pagrindin?s elektrostatikos lygtys. Jie i?plaukia i? Gauso teoremos diferencine forma. Tiesa, tai yra ?inoma E = - grad j. Tuo pa?iu pagal Gauso teorem?

Pakeiskime (11.22) E nuo (11.7). Mes gauname

.

I?imkime nukrypimo ?enklo minuso ?enkl?

.

U?uot ra??s gradj, Para?ykime jo atitikmen? ?j. Vietoj div ra?ysime ?. Tada

Lygtis (11.27) vadinama Puasono lygtimi. Tam tikra Puasono lygties forma, kai r svb =0, vadinama Laplaso lygtimi. Laplaso lygtis bus para?yta taip:

Operatorius vadinamas Laplaso operatoriumi arba Laplaso operatoriumi ir kartais taip pat ?ymimas simboliu D. Tod?l kartais galite rasti toki? Puasono lygties ra?ymo form?:

I?pl?skime j? Dekarto koordina?i? sistemoje. ?iuo tikslu dviej? faktori? sandauga С ir ra?ome i?pl?stine forma

Atlikime daugyb? po termino ir gaukime

.

Taigi Puasono lygtis Dekarto koordina?i? sistemoje bus para?yta taip:

. (11.29)

Laplaso lygtis Dekarto koordina?i? sistemoje

. (11.30)

Pateikime be i?vedimo i?rai?kas ? 2 j cilindrin?je koordina?i? sistemoje

, (11.31)

sferin?je koordina?i? sistemoje (11.32)

Puasono lygtis pateikia ry?? tarp antros eil?s dalini? i?vestini? j bet kuriame lauko ta?ke ir laisv?j? kr?vi? t?rinis tankis ?iame lauko ta?ke. Tuo pa?iu potencialas j bet kuriame lauko ta?ke, ?inoma, priklauso nuo vis? lauk? sukurian?i? kr?vi?, o ne tik nuo laisvo kr?vio, esan?io tam tikrame ta?ke, dyd?io.

Laplaso lygtis (1780) i? prad?i? buvo taikoma potencialiems dangaus mechanikos laukams apib?dinti, o v?liau – elektriniams laukams apib?dinti. Puasono lygtis potenciali? lauk? (elektrini? ir magnetini?) tyrimui taikoma nuo 1820 m.

Panagrin?kime klausim?, kaip Puasono lygties sprendimas gali b?ti para?ytas bendra forma. ?leiskite t?r? V Yra t?riniai (r), pavir?iniai (-iai) ir linijiniai (t) kr?viai. Pateiksime ?iuos mokes?ius kaip ta?kini? mokes?i? rinkinius rdV, sds, tdl; dV- t?rio elementas, ds- ?krautas pavir?iaus elementas, dl- ?krautos a?ies ilgio elementas. Potencialus komponentas dj tam tikrame erdv?s ta?ke, nutolusioje nuo rdV? atstum? R, pagal formul? (11.20) yra lygus

Pana?iai apibr??iame pavir?iaus ir linijini? kr?vi? potencialo komponentus, laikant juos ta?kiniais kr?viais:

Pilna prasm? j bus apibr??iamas kaip galim? komponent? suma (integralas) i? vis? lauko kr?vi?:

Formul?je (11.33) r,s Ir t yra spindulio funkcijos R. Praktikoje formul? (11.33) naudojama retai, nes skirstinys s ant pavir?iaus, t ilgio ir r t?ris sud?tingai priklauso nuo elektrod? konfig?racijos ir, kaip taisykl?, prie? skai?iavim? ne?inomas. Kitaip tariant, ne?inoma, kaip r, s Ir t priklauso nuo spindulio R.

Pasienio s?lygos

Kra?tin?s s?lygos suprantamos kaip s?lygos, kurioms taikomas laukas skirting? elektrini? savybi? terpi? s?sajose. Nagrin?jant skyri? „Pereinantys procesai“, i?skirtin?s reik?m?s tur?jo pradini? s?lyg? ir komutacijos d?sni? klausimas. Pradin?s s?lygos ir komutavimo d?sniai leido nustatyti integravimo konstantas sprend?iant u?davinius klasikiniu metodu. Klasikiniu metodu jie buvo naudojami ai?kiai, operatoriaus metodu - pasl?pta forma. Nenaudojant j?, negalima i?spr?sti n? vienos problemos, susijusios su pereinamaisiais procesais.

Galima br??ti paralel? tarp kra?tini? s?lyg? vaidmens elektriniame (ir bet kuriame kitame) lauke ir pradini? s?lyg? bei komutavimo d?sni? vaidmens pereinam?j? proces? metu. Integruojant Laplaso (arba Puasono) lygt?, sprendimas apims integravimo konstantas. Jie nustatomi pagal ribines s?lygas. Prie? pereidami prie i?samios ribini? s?lyg? diskusijos, panagrin?kime lauko laid?iojo k?no viduje elektrostatin?mis s?lygomis klausim?.

Laplaso ir Puasono lyg?i? tyrimas leid?ia svarstyti stacionaraus proceso problemas: tai hidrodinamikos, difuzijos, temperat?ros pasiskirstymo, elektrostatikos ir kt.

?ios lygtys yra elipsinio tipo lygtys.

Tos problemos, kurios veda ? lygtis, kuriose yra laikas, vadinamos nestacionariomis arba dinamin?mis matematin?s fizikos problemomis; problemos, d?l kuri? susidaro lygtys, kuriose n?ra laiko, vadinamos stacionariomis arba statin?mis.

Kaip buvo parodyta, matematin?s fizikos lygtys turi begalin? sprendini? skai?i?, priklausant? nuo dviej? savavali?k? funkcij? (kalbame apie antros eil?s lygtis dviej? kintam?j? funkcijai). Norint i? ?vairi? sprendim? pasirinkti konkret?, apib?dinant? proces?, norimai funkcijai reikia nustatyti papildomas s?lygas, kurias diktuoja fiziniai sumetimai. Tokios dalini? diferencialini? lyg?i? s?lygos da?niausiai yra pradin?s ir kra?tin?s s?lygos. Kra?tin?s s?lygos – tai s?lygos, nurodytos ties nagrin?jamos terp?s riba; pradin?s s?lygos yra s?lygos, susijusios su tam tikru laiko momentu, nuo kurio prasideda tam tikro fizikinio rei?kinio tyrimas. Papildomos s?lygos, taip pat pati diferencialin? lygtis, yra i?vedamos remiantis fiziniais svarstymais, susijusiais su pa?iu procesu. Tuo pa?iu metu papildomos s?lygos turi b?ti tokios, kad b?t? u?tikrintas vieno sprendimo pasirinkimas i? viso sprendim? rinkinio. Kra?tini? ir pradini? s?lyg? skai?ius nustatomas pagal lygties tip?, o j? tip? – pagal duot? pradin? b?sen? objekto ir i?orin?s aplinkos ribose. M?s? nagrin?jamose lygtyse pradini? s?lyg? skai?ius yra lygus did?iausios i?vestin?s eil?s tvarkai laiko at?vilgiu, ?trauktos ? lygt?, o ribini? s?lyg? skai?ius yra lygus did?iausios i?vestin?s koordinat?s at?vilgiu. .

Diferencialini? lyg?i? ir papildom? s?lyg? rinkinys yra matematin? fizin?s problemos formuluot? ir vadinama matematin?s fizikos problema.

Taigi, matematin?s fizikos u?davinys yra rasti dalini? diferencialini? lyg?i? sprendimus, kurie tenkint? kai kurias papildomas s?lygas, tarkime, ribines ir pradines s?lygas.

Matematin?s fizikos u?davinys laikomas teisingai i?keltu, jei egzistuoja visas s?lygas tenkinantis problemos sprendimas, yra unikalus ir stabilus.

Styg? vibracijos. Ribin?s ir pradin?s s?lygos. Ribin?s vert?s problem? parei?kimas

Tegul styga yra stipriai ?tempta. Jei styga pa?alinama i? pusiausvyros pad?ties ir veikiama bet kokia j?ga, styga prad?s vibruoti. Virpesi? proces? galima apib?dinti viena funkcija, apib?dinan?ia vertikal? stygos jud?jim? (nukrypim? nuo pusiausvyros pad?ties (2.2 pav.)). Kiekvienai fiksuotai reik?mei funkcijos grafikas plok?tumoje pateikia eilut?s form? akimirksniu.

Funkcija tenkina lygt?

apib?dina laisvuosius stygos virpesius be i?orini? j?g? ?takos.

Lygtis (2.69) yra papras?iausia hiperbolinio tipo lygtis ir kartu viena svarbiausi? matematin?s fizikos lyg?i?.

Vienos jud?jimo lygties (2.69) arba (2.70) nepakanka matematiniam fizikinio proceso apra?ymui. Svarstant stygos vibracijos problem?, papildomos s?lygos gali b?ti dviej? tip?: pradin?s ir ribin?s (kra?tin?s).

Kadangi stygos virpesi? procesas priklauso nuo pradin?s jos formos ir grei?io pasiskirstymo, reikia nustatyti pradines s?lygas:

Kalb?sime apie trij? tip? ribines s?lygas:

kur ?inomos funkcijos,

ir ?inomos konstantos.

Pateiktos s?lygos vadinamos atitinkamai pirmos, antros, tre?ios r??ies ribin?mis s?lygomis. S?lygos I atsiranda, kai daikto (stygos, strypo ir kt.) galai juda pagal duot? d?sn?; II s?lygos - tuo atveju, kai ant gal? taikomos nurodytos j?gos; III s?lygos – esant tampriam gal? tvirtinimui.

Jei de?in?je lygyb?s pus?je nurodytos funkcijos lygios nuliui, tai ribin?s s?lygos vadinamos vienar???mis. Taigi ribin?s s?lygos (2.72) yra vienalyt?s. Sujung? ?vairius i?vardytus ribini? s?lyg? tipus, gauname ?e?is papras?iausi? ribini? reik?mi? u?davini? tipus.

Tuo atveju, kai re?imas galuose neturi reik?mingos ?takos tai eilut?s daliai, kuri yra pakankamai nutolusi nuo j?, eilut? laikoma begaline. D?l ?ios prie?asties vietoj pilnos ribin?s reik?m?s u?davinio i?keliama ribin? problema – Ko?i problema: raskite (2.69) lygties sprendim?, atitinkant? pradines s?lygas.

Jei tyrin?jame proces? netoli vienos ribos, o ribinio re?imo ?taka antrajai ribai n?ra reik?minga per mus dominant? laikotarp?, tada prie problemos formulavimo pasiekiame pusiau ribojam?ja tiese. ?iuo atveju pradin?s s?lygos ir viena i? ribini? s?lyg? I - III yra nurodytos ties.

Problem? sprendimo pavyzd?iai

2.42 PAVYZDYS. Vienodo ilgio styga patiria ma?us skersinius virpesius. Nustatykite eilut?s ta?k? nuokrypi? nuo tiesios ramyb?s pad?ties nustatymo u?duot?, jei ?iuo metu styga tur?jo form? () ir kiekvieno jos ta?ko greit? nurodo funkcija. Apsvarstykite atvejus:

• a) stygos galai fiksuoti;
• b) stygos galai laisvi;

c) skersin?s j?gos ir yra taikomos stygos galams ir, pradedant nuo momento;

d) stygos galai tampriai pritvirtinti, t.y. kiekvienas galas patiria pasiprie?inim?, proporcing? galo ?linkiui.

Sprendimas. Kaip ?inoma, stygos ta?k? nukrypimai nuo pusiausvyros pad?ties tenkina laisv?j? virpesi? lygt? (2.70), kai n?ra veikian?ios i?orin?s j?gos.

?ia ?tampa, linijinis tankis, nes styga yra vienalyt?.

Pradin?s s?lygos yra ?ios:

Prad?kime i?vesti ribines s?lygas.

atvejis a). Kadangi eilut?s galai yra fiksuoti, j? nuokrypiai ta?kuose ir turi b?ti lyg?s nuliui bet kuriai, t.y.

Taigi, fizikin? eilut?s, fiksuotos galuose, virpesi? problema buvo suma?inta iki tokios matematin?s problemos: suraskite funkcij?, apibr??t? ties ir tai yra lygties sprendimas

ir tenkinantis ribines s?lygas

ir pradines s?lygas