Dvikampio kampo samprata

Nor?dami pristatyti dvikampio kampo s?vok?, pirmiausia prisiminkime vien? i? stereometrijos aksiom?.

Bet kuri? plok?tum? galima padalyti ? dvi ?ioje plok?tumoje esan?ios ties?s $a$ pusplok?tumas. ?iuo atveju ta?kai, esantys toje pa?ioje pusplok?tumoje, yra toje pa?ioje ties?s $a$ pus?je, o skirtingose pusplok?tumose esantys ta?kai yra prie?ingose ties?s $a$ pus?se (1 pav. ).

1 paveikslas.

?ia aksioma remiasi dvikampio kampo sudarymo principas.

1 apibr??imas

Fig?ra vadinama dvikampis kampas jei jis susideda i? ties?s ir dviej? ?ios ties?s pusplok?tum?, nepriklausan?i? tai pa?iai plok?tumai.

?iuo atveju vadinamos dvisienio kampo pusplok?tumos veidai, o tiesi linija, skirianti pusplok?tumas - dvikampis kra?tas(1 pav.).

2 pav. Dvikampis kampas

Dvikampio kampo laipsnio matas

2 apibr??imas

Mes pasirenkame savavali?k? ta?k? $A$ kra?tin?je. Kampas tarp dviej? tiesi?, esan?i? skirtingose pus?se plok?tumose, statmenai kra?tinei ir susikertan?i? ta?ke $A$ vadinamas tiesinis kampas dvikampis kampas(3 pav.).

3 pav

Akivaizdu, kad kiekvienas dvikampis turi begalin? linijini? kamp? skai?i?.

1 teorema

Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

?rodymas.

Apsvarstykite du tiesinius kampus $AOB$ ir $A_1(OB)_1$ (4 pav.).

4 pav

Kadangi spinduliai $OA$ ir $(OA)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\alpha $ ir yra statmeni vienai tiesei, jie yra bendros krypties. Kadangi spinduliai $OB$ ir $(OB)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\beta $ ir yra statmeni vienai tiesei, jie yra bendros krypties. Vadinasi

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

D?l linijini? kamp? pasirinkimo savavali?kumo. Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

Teorema ?rodyta.

3 apibr??imas

Dvikampio kampo laipsnio matas yra dvisienio kampo tiesinio kampo laipsnio matas.

U?duo?i? pavyzd?iai

1 pavyzdys

Duotos dvi nesta?ios plok?tumos $\alpha $ ir $\beta $, kurios susikerta i?ilgai ties?s $m$. Ta?kas $A$ priklauso plok?tumai $\beta $. $AB$ yra statmena tiesei $m$. $AC$ yra statmena plok?tumai $\alpha $ (ta?kas $C$ priklauso $\alpha $). ?rodykite, kad kampas $ABC$ yra dvisienio kampo tiesinis kampas.

?rodymas.

Nubrai?ykime pie?in? pagal u?davinio b?kl? (5 pav.).

5 pav

Nor?dami tai ?rodyti, primename toki? teorem?

2 teorema: Tiesi linija, einanti per pasvirosios pagrind?, statmena jai, yra statmena jos projekcijai.

Kadangi $AC$ yra statmena $\alpha $ plok?tumai, tai ta?kas $C$ yra ta?ko $A$ projekcija ? $\alpha $ plok?tum?. Taigi $BC$ yra ?stri?osios $AB$ projekcija. Pagal 2 teorem? $BC$ yra statmena dvikampio kampo briaunai.

Tada kampas $ABC$ atitinka visus dvikampio kampo tiesinio kampo apibr??imo reikalavimus.

2 pavyzdys

Dvikampis kampas yra $30^\circ$. Viename i? pavir?i? yra ta?kas $A$, kuris yra $4$ cm atstumu nuo kito pavir?iaus. Raskite atstum? nuo ta?ko $A$ iki dvikampio kampo kra?to.

Sprendimas.

Pa?i?r?kime ? 5 pav.

Darant prielaid?, turime $AC=4\ cm$.

Apibr??dami dvikampio kampo laipsnio mat?, turime, kad kampas $ABC$ yra lygus $30^\circ$.

Trikampis $ABC$ yra sta?iakampis. Pagal smailiojo kampo sinuso apibr??im?

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Dvikampio kampo samprata

Nor?dami pristatyti dvikampio kampo s?vok?, pirmiausia prisiminkime vien? i? stereometrijos aksiom?.

Bet kuri? plok?tum? galima padalyti ? dvi ?ioje plok?tumoje esan?ios ties?s $a$ pusplok?tumas. ?iuo atveju ta?kai, esantys toje pa?ioje pusplok?tumoje, yra toje pa?ioje ties?s $a$ pus?je, o skirtingose pusplok?tumose esantys ta?kai yra prie?ingose ties?s $a$ pus?se (1 pav. ).

1 paveikslas.

?ia aksioma remiasi dvikampio kampo sudarymo principas.

1 apibr??imas

Fig?ra vadinama dvikampis kampas jei jis susideda i? ties?s ir dviej? ?ios ties?s pusplok?tum?, nepriklausan?i? tai pa?iai plok?tumai.

?iuo atveju vadinamos dvisienio kampo pusplok?tumos veidai, o tiesi linija, skirianti pusplok?tumas - dvikampis kra?tas(1 pav.).

2 pav. Dvikampis kampas

Dvikampio kampo laipsnio matas

2 apibr??imas

Mes pasirenkame savavali?k? ta?k? $A$ kra?tin?je. Kampas tarp dviej? tiesi?, esan?i? skirtingose pus?se plok?tumose, statmenai kra?tinei ir susikertan?i? ta?ke $A$ vadinamas tiesinis kampas dvikampis kampas(3 pav.).

3 pav

Akivaizdu, kad kiekvienas dvikampis turi begalin? linijini? kamp? skai?i?.

1 teorema

Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

?rodymas.

Apsvarstykite du tiesinius kampus $AOB$ ir $A_1(OB)_1$ (4 pav.).

4 pav

Kadangi spinduliai $OA$ ir $(OA)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\alpha $ ir yra statmeni vienai tiesei, jie yra bendros krypties. Kadangi spinduliai $OB$ ir $(OB)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\beta $ ir yra statmeni vienai tiesei, jie yra bendros krypties. Vadinasi

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

D?l linijini? kamp? pasirinkimo savavali?kumo. Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

Teorema ?rodyta.

3 apibr??imas

Dvikampio kampo laipsnio matas yra dvisienio kampo tiesinio kampo laipsnio matas.

U?duo?i? pavyzd?iai

1 pavyzdys

Duotos dvi nesta?ios plok?tumos $\alpha $ ir $\beta $, kurios susikerta i?ilgai ties?s $m$. Ta?kas $A$ priklauso plok?tumai $\beta $. $AB$ yra statmena tiesei $m$. $AC$ yra statmena plok?tumai $\alpha $ (ta?kas $C$ priklauso $\alpha $). ?rodykite, kad kampas $ABC$ yra dvisienio kampo tiesinis kampas.

?rodymas.

Nubrai?ykime pie?in? pagal u?davinio b?kl? (5 pav.).

5 pav

Nor?dami tai ?rodyti, primename toki? teorem?

2 teorema: Tiesi linija, einanti per pasvirosios pagrind?, statmena jai, yra statmena jos projekcijai.

Kadangi $AC$ yra statmena $\alpha $ plok?tumai, tai ta?kas $C$ yra ta?ko $A$ projekcija ? $\alpha $ plok?tum?. Taigi $BC$ yra ?stri?osios $AB$ projekcija. Pagal 2 teorem? $BC$ yra statmena dvikampio kampo briaunai.

Tada kampas $ABC$ atitinka visus dvikampio kampo tiesinio kampo apibr??imo reikalavimus.

2 pavyzdys

Dvikampis kampas yra $30^\circ$. Viename i? pavir?i? yra ta?kas $A$, kuris yra $4$ cm atstumu nuo kito pavir?iaus. Raskite atstum? nuo ta?ko $A$ iki dvikampio kampo kra?to.

Sprendimas.

Pa?i?r?kime ? 5 pav.

Darant prielaid?, turime $AC=4\ cm$.

Apibr??dami dvikampio kampo laipsnio mat?, turime, kad kampas $ABC$ yra lygus $30^\circ$.

Trikampis $ABC$ yra sta?iakampis. Pagal smailiojo kampo sinuso apibr??im?

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

TEKSTAS PAMOKOS PAAI?KINIMAS:

Planimetrijoje pagrindiniai objektai yra linijos, atkarpos, spinduliai ir ta?kai. I? vieno ta?ko sklindantys spinduliai sudaro vien? i? savo geometrini? form? – kamp?.

?inome, kad tiesinis kampas matuojamas laipsniais ir radianais.

Stereometrijoje prie objekt? pridedama plok?tuma. Fig?ra, sudaryta i? ties?s a ir dviej? pusiau plok?tum? su bendra riba a, kurios geometrijoje nepriklauso tai pa?iai plok?tumai, vadinama dvikampiu kampu. Pusin?s plok?tumos yra dvikampio kampo pavir?iai. Tiesi linija a yra dvikampio kampo kra?tas.

Dvikamp? kamp?, kaip ir tiesin? kamp?, galima pavadinti, i?matuoti, statyti. Tai mes i?siai?kinsime ?ioje pamokoje.

Raskite dvisienio kamp? ABCD tetraedro modelyje.

Dvikampis kampas su briauna AB vadinamas CABD, kur C ir D ta?kai priklauso skirtingiems kampo pavir?iams, o briauna AB vadinama viduriu.

Aplink mus yra daugyb? objekt? su dvikampio kampo formos elementais.

Daugelyje miest? parkuose ?rengti special?s suoliukai susitaikymui. Suoliukas pagamintas i? dviej? pasvirusi? plok?tum?, susiliejan?i? link centro.

Statant namus da?nai naudojamas vadinamasis dvi?laitis stogas. ?io namo stogas pagamintas 90 laipsni? dvikampio formos.

Dvikampis kampas taip pat matuojamas laipsniais arba radianais, bet kaip j? i?matuoti.

?domu tai, kad nam? stogai guli ant gegni?. O gegni? d??? tam tikru kampu sudaro du stogo ?laitus.

Perkelkime vaizd? ? pie?in?. Br??inyje, norint rasti dvikamp? kamp?, jo briaunoje pa?ymimas ta?kas B. I? ?io ta?ko statmenai kampo briaunai nubr??ti du pluo?tai BA ir BC. ?i? spinduli? suformuotas kampas ABC vadinamas dvisienio kampo tiesiniu kampu.

Dvikampio kampo laipsnio matas yra lygus jo tiesinio kampo laipsnio mastui.

I?matuokime kamp? AOB.

Tam tikro dvikampio kampo laipsnio matas yra ?e?iasde?imt laipsni?.

Dvikampio kampo tiesiniai kampai gali b?ti nubr??ti be galo daug, svarbu ?inoti, kad jie visi yra lyg?s.

Apsvarstykite du tiesinius kampus AOB ir A1O1B1. Spinduliai OA ir O1A1 yra tame pa?iame pavir?iuje ir yra statmeni tiesei OO1, tod?l yra nukreipti kartu. Spinduliai OB ir O1B1 taip pat yra nukreipti kartu. Tod?l kampas AOB yra lygus kampui A1O1B1 kaip kampai su bendrakryp?iais kra?tais.

Taigi dvikampis kampas apib?dinamas tiesiniu kampu, o tiesiniai kampai yra smail?s, buki ir de?inieji. Apsvarstykite dvikampi? kamp? modelius.

Bukusis kampas yra toks, kurio tiesinis kampas yra nuo 90 iki 180 laipsni?.

Status kampas, jei jo tiesinis kampas yra 90 laipsni?.

Smailusis kampas, jei jo tiesinis kampas yra nuo 0 iki 90 laipsni?.

?rodykime vien? i? svarbi? tiesinio kampo savybi?.

Linijinio kampo plok?tuma yra statmena dvikampio kampo kra?tinei.

Tegul kampas AOB yra nurodyto dvikampio kampo tiesinis kampas. Pagal konstrukcij? spinduliai AO ir OB yra statmeni tiesei a.

Plok?tuma AOB eina per dvi susikertan?ias tieses AO ir OB pagal teorem?: Plok?tuma eina per dvi susikertan?ias tieses, be to, tik vien?.

Ties? a yra statmena dviem ?ioje plok?tumoje esan?ioms susikertan?ioms ties?ms, o tai rei?kia, kad ties?s ir plok?tumos statmenumo ?enklu ties? a yra statmena plok?tumai AOB.

Norint i?spr?sti problemas, svarbu mok?ti sukurti tam tikro dvikampio kampo linijin? kamp?. Sukurkite tetraedro ABCD dvisienio kampo tiesin? kamp? su briauna AB.

Kalbame apie dvikamp? kamp?, kur? pirmiausia sudaro briauna AB, vienas briaunas ABD, antrasis briaunas ABC.

?tai vienas i? b?d? statyti.

I? ta?ko D ? plok?tum? ABC nubr??kime statmen?, statmeno pagrind? pa?ymime ta?k? M. Prisiminkite, kad tetraedre statmens pagrindas sutampa su ?br??to apskritimo centru tetraedro pagrinde.

Nuo ta?ko D nubr??kite nuolyd? statmenai kra?tinei AB, pa?ym?kite ta?k? N kaip nuolyd?io pagrind?.

Trikampyje DMN atkarpa NM bus ?stri?in?s DN projekcijos ? plok?tum? ABC. Pagal trij? statmen? teorem? kra?tin? AB bus statmena projekcijai NM.

Tai rei?kia, kad kampo DNM kra?tin?s yra statmenos kra?tinei AB, o tai rei?kia, kad sudarytas kampas DNM yra reikalingas tiesinis kampas.

Apsvarstykite dvikampio kampo skai?iavimo problemos sprendimo pavyzd?.

Lygia?onis trikampis ABC ir taisyklingasis trikampis ADB n?ra vienoje plok?tumoje. Atkarpa CD yra statmena plok?tumai ADB. Raskite dvikamp? kamp? DABC, jei AC=CB=2cm, AB=4cm.

Dvikampis kampas DABC yra lygus jo tiesiniam kampui. Pastatykime ?? kampel?.

Nubr??kime ?stri?? SM statmen? kra?tinei AB, kadangi trikampis ACB yra lygia?onis, tai ta?kas M sutaps su briaunos AB vidurio ta?ku.

Ties? CD yra statmena plok?tumai ADB, tai rei?kia, kad ji yra statmena tiesei DM, esan?iai ?ioje plok?tumoje. O atkarpa MD yra ?stri?osios SM projekcija ? plok?tum? ADB.

Ties? AB pagal konstrukcij? yra statmena ?stri?ai CM, o tai rei?kia, kad pagal trij? statmen? teorem? ji yra statmena projekcijai MD.

Taigi, briaunai AB randami du statmenai CM ir DM. Taigi jie sudaro dvikampio kampo DABC tiesin? kamp? СMD. Ir mums belieka j? rasti i? sta?iojo trikampio СDM.

Kadangi atkarpa SM yra lygia?onio trikampio ASV vidurin? ir auk?tis, tai pagal Pitagoro teorem? SM kojel? yra 4 cm.

I? sta?iojo trikampio DMB, pagal Pitagoro teorem?, kojel? DM yra lygi dviem ?aknims i? trij?.

Sta?iojo trikampio kampo kosinusas yra lygus gretimos kojos MD ir hipotenuz?s CM santykiui ir yra lygus trims ?aknims i? trij? du. Taigi kampas CMD yra 30 laipsni?.

?i pamoka skirta savaranki?kam temos „Dvikampis kampas“ studijoms. ?ios pamokos metu mokiniai bus supa?indinti su viena i? svarbiausi? geometrini? form? – dvikampio kampo. Taip pat pamokoje turime i?mokti nustatyti nagrin?jamos geometrin?s fig?ros tiesin? kamp? ir koks yra dvikampis fig?ros pagrinde.

Pakartokime, kas yra kampas plok?tumoje ir kaip jis matuojamas.

Ry?iai. 1. L?ktuvas

Apsvarstykite plok?tum? a (1 pav.). I? ta?ko O i?eina dvi sijos OV ir OA.

Apibr??imas. Fig?ra, kuri? sudaro du spinduliai, sklindantys i? to paties ta?ko, vadinama kampu.

Kampas matuojamas laipsniais ir radianais.

Prisiminkime, kas yra radianas.

Ry?iai. 2. Radianas

Jeigu turime centrin? kamp?, kurio lanko ilgis lygus spinduliui, tai toks centrinis kampas vadinamas 1 radiano kampu. , ? AOB= 1 rad (2 pav.).

Radian? ir laipsni? santykis.

d?iaugiuosi.

Supratome, laimingi. (). Tada

Apibr??imas. dvikampis kampas vadinama tiesia linija suformuota fig?ra a ir dvi pusiau plok?tumos su bendra riba a nepriklausantys tai pa?iai plok?tumai.

Ry?iai. 3. Pusin?s plok?tumos

Panagrin?kime dvi pusiau plok?tumas a ir v (3 pav.). J? bendra siena yra a. ?i fig?ra vadinama dvikampiu kampu.

Terminija

Pusplok?tumos a ir v yra dvisienio kampo pavir?iai.

Tiesiai a yra dvikampio kampo kra?tas.

Ant bendro kra?to a dvikampis kampas pasirinkite savavali?k? ta?k? O(4 pav.). Pusplok?tumoje a nuo ta?ko O atstatyti statmen? OA? tiesi? linij? a. I? to paties ta?ko O antroje pusplok?tumoje v statome statmen? OV prie ?onkaulio a. Gavo kamp? AOB, kuris vadinamas dvikampio kampo tiesiniu kampu.

Ry?iai. 4. Dvikampio kampo matavimas

?rodykime vis? tiesini? kamp? lygyb? tam tikram dvikampiui.

Tur?kime dvikamp? kamp? (5 pav.). Pasirinkite ta?k? O ir ta?kas Apie 1 tiesioje linijoje a. Sukonstruokime ta?k? atitinkant? tiesin? kamp? O, ty nubr??iame du statmenus OA ir OV plok?tumose a ir v atitinkamai iki kra?to a. Mes gauname kamp? AOB yra dvikampio kampo tiesinis kampas.

Ry?iai. 5. ?rodin?jimo iliustracija

I? ta?ko Apie 1 nubr??kite du statmenis OA 1 ir OB 1 prie ?onkaulio a plok?tumose a ir v atitinkamai ir gauname antr? tiesin? kamp? A 1 O 1 B 1.

Spinduliai O 1 A 1 ir OA bendros krypties, nes jie yra toje pa?ioje pusplok?tumoje ir yra lygiagre?iai vienas kitam kaip du statmenai tai pa?iai tiesei a.

Taip pat ir spinduliai Ma?daug 1 i? 1 ir OV i?lygintas, o tai rei?kia ? AOB =? A 1 O 1 B 1 kaip kampai su bendros krypties kra?tin?mis, o tai tur?jo b?ti ?rodyta.

Linijinio kampo plok?tuma yra statmena dvikampio kampo kra?tinei.

?rodyk: a ? AOW.

Ry?iai. 6. ?rodin?jimo iliustracija

?rodymas:

OA ? a pagal konstrukcij?, OV ? a pagal konstrukcij? (6 pav.).

Mes suprantame, kad linija a statmena dviem susikertan?ioms ties?ms OA ir OV i? l?ktuvo AOB, o tai rei?kia tiesus a statmenai plok?tumai OAB, kas tur?jo b?ti ?rodyta.

Dvikampis kampas matuojamas jo tiesiniu kampu. Tai rei?kia, kad kiek radian? laipsni? yra tiesiniame kampe, tiek radian? laipsni? yra jo dvikampyje. Atsi?velgiant ? tai, i?skiriami ?ie dvikampi? kamp? tipai.

A?tri (6 pav.)

Dvikampis kampas yra smailusis, jeigu jo tiesinis kampas yra smailusis, t.y. .

Tiesi (7 pav.)

Dvikampis kampas yra teisingas, kai jo tiesinis kampas yra 90° – bukas (8 pav.)

Dvikampis kampas yra bukas, kai jo tiesinis kampas yra bukas, t.y. .

Ry?iai. 7. Status kampas

Ry?iai. 8. Bukas kampas

Tiesini? kamp? konstravimo realiose fig?rose pavyzd?iai

ABCD- tetraedras.

1. Sukonstruokite dvisienio kampo su briauna tiesin? kamp? AB.

Ry?iai. 9. Problemos iliustracija

Pastatas:

Mes kalbame apie dvikamp? kamp?, kur? sudaro briauna AB ir veidai ABD ir ABC(9 pav.).

Nubr??kime tiesi? linij? DH statmenai plok?tumai ABC, H yra statmens pagrindas. Nubr??kime ?stri?? DM statmenai linijai AB,M- pasvirusi baz?. Pagal trij? statmen? teorem? darome i?vad?, kad ?stri?ain?s projekcija NM taip pat statmenai linijai AB.

Tai yra, i? ta?ko M atstatyti du statmenai ? kra?t? AB i? dviej? pusi? ABD ir ABC. Gavome linijin? kamp? DMN.

pasteb?ti, kad AB, dvikampio kampo briauna, statmena tiesinio kampo plok?tumai, t.y. plok?tumai DMN. Problema i?spr?sta.

komentuoti. Dvikampis kampas gali b?ti ?ymimas taip: DABC, kur

AB- kra?tas ir ta?kai D ir NUO gul?ti skirtingose kampo pus?se.

2. Sukonstruoti dvisienio kampo su briauna tiesin? kamp? AC.

Nubr??kime statmen? DH? l?ktuv? ABC ir ?stri?ai DN statmenai linijai AS. Pagal trij? statmen? teorem? gauname tai HN- ?stri?a projekcija DN? l?ktuv? ABC, taip pat statmenai linijai AS.DNH- dvikampio kampo tiesinis kampas su briauna AC.

tetraedre DABC visos briaunos lygios. Ta?kas M- ?onkaulio vidurys AC. ?rodykite, kad kampas DMV- tiesinis dvikampio kampo kampas TUD, t.y., dvikampis kampas su briauna AC. Vienas i? jo kra?t? yra ACD, antras - DIA(10 pav.).

Ry?iai. 10. Problemos iliustracija

Sprendimas:

Trikampis ADC- lygiakra?tis, DM yra mediana, taigi ir auk?tis. Rei?kia, DM ? AS. Lygiai taip pat ir trikampis AATC- lygiakra?tis, ATM yra mediana, taigi ir auk?tis. Rei?kia, VM ? AS.

Taigi i? ta?ko M?onkauliai AC dvibriaunis kampas atstatyti du statmenai DM ir VM iki ?ios briaunos dvisienio kampo pavir?iuose.

Taigi ? DMAT yra dvisienio kampo tiesinis kampas, kur? reik?jo ?rodyti.

Taigi, mes apibr???me dvita?k? kamp?, tiesin? dvikampio kamp?.

Kitoje pamokoje svarstysime tiesi? ir plok?tum? statmenum?, tada su?inosime, kas yra dvikampis fig?r? pagrinde.

Literat?ros ?altiniai temomis "Diedrinis kampas", "Dviedis kampas geometrini? fig?r? pagrindu"

1. Geometrija. 10-11 klas?: vadov?lis bendrojo ugdymo ?staigoms / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: iliustr.
2. Geometrija. 10 klas?: vadov?lis bendrojo lavinimo ?staigoms su giluminiu ir profiliniu matematikos mokymu / E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6-asis leidimas, stereotipas. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: iliustr.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Nam? darbas tema „Diedros kampas“, nustatant dvibriaun? kamp? prie fig?r? pagrindo

Geometrija. 10-11 klas?: vadov?lis ugdymo ?staig? mokiniams (pagrindinis ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, taisytas ir papildytas - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: iliustr.

2 u?duotys, 3 67 psl.

Koks yra dvikampio kampo tiesinis kampas? Kaip j? pastatyti?

ABCD- tetraedras. Sukurkite dvikampio kampo tiesin? kamp? su briauna:

a) ATD b) DNUO.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kubas Nubr??kite dvikampio kampo tiesin? kamp? A 1 ABC su ?onkauliu AB. Nustatykite jo laipsnio mat?.

Pamokos tikslas: dvikampio kampo ir jo tiesinio kampo sampratos ?vedimas.

U?duotys:

?vietimas: svarstyti ?i? s?vok? taikymo u?duotis, formuoti konstruktyv? kampo tarp plok?tum? nustatymo ?g?d?ius;

Kuriama: mokini? k?rybinio m?stymo ugdymas, asmeninis mokini? saviugda, mokini? kalbos ugdymas;

?vietimas: protinio darbo kult?ros ugdymas, komunikacin? kult?ra, reflektyvioji kult?ra.

Pamokos tipas: nauj? ?ini? mokymosi pamoka

Mokymo metodai: ai?kinamoji ir iliustracin?

?ranga: kompiuteris, interaktyvi lenta.

Literat?ra:

Geometrija. 10-11 klas?s: vadov?lis. 10-11 l?steli?. bendrojo i?silavinimo institucijos: pagrindin?s ir profilio. lygiai / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kiti] – 18-asis leid. - M. : ?vietimas, 2009. - 255 p.

Pamokos planas:

Organizacinis momentas (2 min.)

?ini? atnaujinimas (5 min.)

Naujos med?iagos mokymasis (12 min.)

Studijuojamos med?iagos konsolidavimas (21 min.)

Nam? darbai (2 min.)

Apibendrinimas (3 min.)

U?si?mim? metu:

1. Organizacinis momentas.

Apima klas?s mokytojo pasisveikinim?, patalpos paruo?im? pamokai, neatvykusi? asmen? patikrinim?.

2. Bazini? ?ini? aktualizavimas.

Mokytojas: Paskutin?je pamokoje ra??te savaranki?k? darb?. Apskritai darbas buvo gerai para?ytas. Dabar ?iek tiek pakartokime. Kas vadinama kampu plok?tumoje?

Studentas: Kampas plok?tumoje yra fig?ra, kuri? sudaro du spinduliai, sklindantys i? vieno ta?ko.

Mokytojas: Kaip vadinamas kampas tarp linij? erdv?je?

Studentas: Kampas tarp dviej? erdv?je susikertan?i? tiesi? yra ma?iausias i? kamp?, kuriuos sudaro ?i? tiesi? spinduliai su vir??ne j? susikirtimo ta?ke.

Studentas: Kampas tarp susikertan?i? linij? yra kampas tarp susikertan?i? linij?, lygiagre?i? duomenims.

Mokytojas: Kaip vadinamas kampas tarp ties?s ir plok?tumos?

Studentas: Kampas tarp linijos ir plok?tumosBet koks kampas tarp ties?s ir jos projekcijos ? ?i? plok?tum? vadinamas.

3. Naujos med?iagos studijavimas.

Mokytojas: Stereometrijoje kartu su tokiais kampais atsi?velgiama ? kit? kamp? tip? - dvikampius. Tikriausiai jau atsp?jote, kokia ?iandienos pamokos tema, tad atsiverskite s?siuvinius, u?sira?ykite ?ios dienos dat? ir pamokos tem?.

Ra?ymas lentoje ir s?siuviniuose:

10.12.14.

Dvikampis kampas.

Mokytojas : Nor?dami pristatyti dvikampio kampo s?vok?, reikia prisiminti, kad bet kuri tiesi linija, nubr??ta tam tikroje plok?tumoje, padalija ?i? plok?tum? ? dvi pusiau plok?tumas(1a pav.)

Mokytojas : ?sivaizduokite, kad mes i?lenk?me plok?tum? i?ilgai ties?s taip, kad dvi pus?s plok?tumos su riba pasirod? nebeguli vienoje plok?tumoje (1 pav., b). Gauta fig?ra yra dvikampis kampas. Dvikampis kampas yra fig?ra, sudaryta i? ties?s ir dviej? pusiau plok?tum?, turin?i? bendr? rib?, nepriklausan?i? tai pa?iai plok?tumai. Pusplok?tumos, sudaran?ios dvikamp? kamp?, vadinamos jo veidais. Dvikampis kampas turi du pavir?ius, tod?l ir pavadinimas – dvikampis kampas. Tiesi linija – bendra pusplok?tum? riba – vadinama dvi?akio kampo briauna. U?sira?ykite apibr??im? savo u?ra?? knygel?je.

Dvikampis kampas yra fig?ra, sudaryta i? ties?s ir dviej? pusiau plok?tum?, turin?i? bendr? rib?, nepriklausan?i? tai pa?iai plok?tumai.

Mokytojas : Kasdieniame gyvenime da?nai susiduriame su objektais, kurie turi dvikampio kampo form?. Pateikite pavyzd?i?.

Studentas : Pusiau atidarytas aplankas.

Studentas : Kambario siena kartu su grindimis.

Studentas : Pastat? dvi?lai?iai stogai.

Mokytojas : Teisingai. Ir toki? pavyzd?i? yra daug.

Mokytojas : Kaip ?inote, kampai plok?tumoje matuojami laipsniais. Tikriausiai turite klausim?, bet kaip matuojami dvikampiai kampai? Tai daroma tokiu b?du.Dvikampio kampo kra?te pa?ymime tam tikr? ta?k? ir kiekviename pavir?iuje nuo ?io ta?ko nubr??iame kra?tinei statmen? spindul?. ?i? spinduli? suformuotas kampas vadinamas dvisienio kampo tiesiniu kampu. Padarykite pie?in? savo s?siuviniuose.

Ra?ymas lentoje ir s?siuviniuose.

O ? a, AO ? a, VO ? a, SABD- dvikampis kampas,? AOByra dvikampio kampo tiesinis kampas.

Mokytojas : Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s. Padaryk sau ka?k? pana?aus.

Mokytojas : ?rodykime tai. Apsvarstykite du tiesinius kampus AOB irPQR. Spinduliai OA irQPguli ant to paties veido ir yra statmenosOQ, o tai rei?kia, kad jie yra suderinti. Pana?iai spinduliai OB irQRbendrai re?isavo. Rei?kia,? AOB= ? PQR(kaip kampai su vienakrypt?mis kra?tin?mis).

Mokytojas : Na, dabar atsakymas ? m?s? klausim? yra toks, kaip matuojamas dvikampis kampas.Dvikampio kampo laipsnio matas yra jo tiesinio kampo laipsnio matas. I? vadov?lio 48 puslapyje perbrai?ykite smailiojo, de?iniojo ir bukojo dvikampio br??inius.

4. Studijuotos med?iagos konsolidavimas.

Mokytojas : Padarykite u?duo?i? br??inius.

№ 1 . Duota: DABC, AC = BC, AB yra plok?tumojea, CD ? a, C? a. Sukurkite dvikampio kampo tiesin? kamp?CABD.

Studentas : Sprendimas:CM ? AB, DC ? AB.? cmd - norima.

№ 2. Duota: DABC, ? C= 90°, BC yra plok?tumojea, AO? a, A? a.

Sukurkite dvikampio kampo tiesin? kamp?AVSO.

Studentas : Sprendimas:AB ? pr. Kr, UAB? Saul? rei?kia OS? Saul?.? ACO - norima.

№ 3 . Duota: DABC, ? C \u003d 90 °, AB yra plok?tumojea, CD? a, C? a. Sukurtitiesinis dvikampis kampasDABC.

Studentas : Sprendimas: CK ? AB, DC ? AB,DK ? AB rei?kia? DKC - norima.

№ 4 . Duota:DABC- tetraedras,DARYK? ABC.Sukonstruoti dvisienio kampo tiesin? kamp?ABCD.

Studentas : Sprendimas:DM ? saul?,DARYK ? BC rei?kia OM? saul?;? OMD - norima.

5. Apibendrinant.

Mokytojas: K? naujo i?mokote ?iandien pamokoje?

Studentai : Kas vadinama dvikampiu kampu, tiesiniu kampu, kaip matuojamas dvikampis kampas.

Mokytojas : K? kartojai?

Studentai : Kas vadinama kampu plok?tumoje; kampas tarp linij?.

6. Nam? darbai.

Ra?ymas lentoje ir dienora??iuose: 22 punktas, Nr.167, Nr.170.