Dvikampio kampo samprata

Nor?dami pristatyti dvikampio kampo s?vok?, pirmiausia prisiminkime vien? i? stereometrijos aksiom?.

Bet kuri? plok?tum? galima padalyti ? dvi ?ioje plok?tumoje esan?ios ties?s $a$ pusplok?tumas. ?iuo atveju ta?kai, esantys toje pa?ioje pusplok?tumoje, yra vienoje ties?s $a$ pus?je, o skirtingose pusplok?tumose esantys ta?kai yra prie?ingose ties?s $a$ pus?se (1 pav.).

1 pav.

?ia aksioma remiasi dvikampio kampo sudarymo principas.

1 apibr??imas

Fig?ra vadinama dvikampis kampas, jei jis susideda i? ties?s ir dviej? ?ios ties?s pusplok?tum?, kurios nepriklauso tai pa?iai plok?tumai.

?iuo atveju vadinamos dvisienio kampo pusplok?tumos briaunos, o pusplok?tumus skirianti ties? yra dvikampis kra?tas(1 pav.).

2 pav. Dvikampis kampas

Dvikampio kampo laipsnio matas

2 apibr??imas

Parinkime savavali?k? ta?k? $A$ kra?tin?je. Kampas tarp dviej? tiesi?, esan?i? skirtingose pus?se plok?tumose, statmen? briaunai ir susikertan?i? ta?ke $A$ vadinamas tiesinis dvikampis kampas(3 pav.).

3 pav.

Akivaizdu, kad kiekvienas dvikampis turi begalin? linijini? kamp? skai?i?.

1 teorema

Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

?rodymas.

Panagrin?kime du tiesinius kampus $AOB$ ir $A_1(OB)_1$ (4 pav.).

4 pav.

Kadangi spinduliai $OA$ ir $(OA)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\alpha $ ir yra statmeni tai pa?iai tiesei, tai jie yra bendros krypties. Kadangi spinduliai $OB$ ir $(OB)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\beta $ ir yra statmeni tai pa?iai tiesei, tai jie yra bendros krypties. Vadinasi

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

D?l linijini? kamp? pasirinkimo savavali?kumo. Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

Teorema ?rodyta.

3 apibr??imas

Dvikampio kampo laipsnio matas yra dvikampio kampo tiesinio kampo laipsnio matas.

Pavyzdin?s problemos

1 pavyzdys

Duotos dvi nesta?ios plok?tumos $\alpha $ ir $\beta $, kurios susikerta i?ilgai ties?s $m$. Ta?kas $A$ priklauso l?ktuvui $\beta$. $AB$ yra statmena tiesei $m$. $AC$ yra statmena plok?tumai $\alpha $ (ta?kas $C$ priklauso $\alpha $). ?rodykite, kad kampas $ABC$ yra dvisienio kampo tiesinis kampas.

?rodymas.

Nubrai?ykime pie?in? pagal u?davinio s?lygas (5 pav.).

5 pav.

Nor?dami tai ?rodyti, prisiminkite ?i? teorem?

2 teorema: Tiesi linija, einanti per pasvirosios pagrind?, yra statmena jai, statmena jos projekcijai.

Kadangi $AC$ yra statmena plok?tumai $\alpha $, tai ta?kas $C$ yra ta?ko $A$ projekcija ? plok?tum? $\alpha $. Tod?l $BC$ yra ?stri?osios $AB$ projekcija. Pagal 2 teorem? $BC$ yra statmena dvikampio kampo kra?tinei.

Tada kampas $ABC$ atitinka visus linijinio dvikampio kampo apibr??imo reikalavimus.

2 pavyzdys

Dvikampis kampas yra $30^\circ$. Viename i? pavir?i? yra ta?kas $A$, esantis $4$ cm atstumu nuo kito pavir?iaus. Raskite atstum? nuo ta?ko $A$ iki dvikampio kra?to.

Sprendimas.

Pa?i?r?kime ? 5 pav.

Pagal s?lyg? turime $AC=4\cm$.

Pagal dvikampio kampo laipsnio matavimo apibr??im?, kampas $ABC$ yra lygus $30^\circ$.

Trikampis $ABC$ yra sta?iakampis. Pagal smailiojo kampo sinuso apibr??im?

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Dvikampio kampo samprata

Nor?dami pristatyti dvikampio kampo s?vok?, pirmiausia prisiminkime vien? i? stereometrijos aksiom?.

Bet kuri? plok?tum? galima padalyti ? dvi ?ioje plok?tumoje esan?ios ties?s $a$ pusplok?tumas. ?iuo atveju ta?kai, esantys toje pa?ioje pusplok?tumoje, yra vienoje ties?s $a$ pus?je, o skirtingose pusplok?tumose esantys ta?kai yra prie?ingose ties?s $a$ pus?se (1 pav.).

1 pav.

?ia aksioma remiasi dvikampio kampo sudarymo principas.

1 apibr??imas

Fig?ra vadinama dvikampis kampas, jei jis susideda i? ties?s ir dviej? ?ios ties?s pusplok?tum?, kurios nepriklauso tai pa?iai plok?tumai.

?iuo atveju vadinamos dvisienio kampo pusplok?tumos briaunos, o pusplok?tumus skirianti ties? yra dvikampis kra?tas(1 pav.).

2 pav. Dvikampis kampas

Dvikampio kampo laipsnio matas

2 apibr??imas

Parinkime savavali?k? ta?k? $A$ kra?tin?je. Kampas tarp dviej? tiesi?, esan?i? skirtingose pus?se plok?tumose, statmen? briaunai ir susikertan?i? ta?ke $A$ vadinamas tiesinis dvikampis kampas(3 pav.).

3 pav.

Akivaizdu, kad kiekvienas dvikampis turi begalin? linijini? kamp? skai?i?.

1 teorema

Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

?rodymas.

Panagrin?kime du tiesinius kampus $AOB$ ir $A_1(OB)_1$ (4 pav.).

4 pav.

Kadangi spinduliai $OA$ ir $(OA)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\alpha $ ir yra statmeni tai pa?iai tiesei, tai jie yra bendros krypties. Kadangi spinduliai $OB$ ir $(OB)_1$ yra toje pa?ioje pusplok?tumoje $\beta $ ir yra statmeni tai pa?iai tiesei, tai jie yra bendros krypties. Vadinasi

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

D?l linijini? kamp? pasirinkimo savavali?kumo. Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s vienas kitam.

Teorema ?rodyta.

3 apibr??imas

Dvikampio kampo laipsnio matas yra dvikampio kampo tiesinio kampo laipsnio matas.

Pavyzdin?s problemos

1 pavyzdys

Duotos dvi nesta?ios plok?tumos $\alpha $ ir $\beta $, kurios susikerta i?ilgai ties?s $m$. Ta?kas $A$ priklauso l?ktuvui $\beta$. $AB$ yra statmena tiesei $m$. $AC$ yra statmena plok?tumai $\alpha $ (ta?kas $C$ priklauso $\alpha $). ?rodykite, kad kampas $ABC$ yra dvisienio kampo tiesinis kampas.

?rodymas.

Nubrai?ykime pie?in? pagal u?davinio s?lygas (5 pav.).

5 pav.

Nor?dami tai ?rodyti, prisiminkite ?i? teorem?

2 teorema: Tiesi linija, einanti per pasvirosios pagrind?, yra statmena jai, statmena jos projekcijai.

Kadangi $AC$ yra statmena plok?tumai $\alpha $, tai ta?kas $C$ yra ta?ko $A$ projekcija ? plok?tum? $\alpha $. Tod?l $BC$ yra ?stri?osios $AB$ projekcija. Pagal 2 teorem? $BC$ yra statmena dvikampio kampo kra?tinei.

Tada kampas $ABC$ atitinka visus linijinio dvikampio kampo apibr??imo reikalavimus.

2 pavyzdys

Dvikampis kampas yra $30^\circ$. Viename i? pavir?i? yra ta?kas $A$, esantis $4$ cm atstumu nuo kito pavir?iaus. Raskite atstum? nuo ta?ko $A$ iki dvikampio kra?to.

Sprendimas.

Pa?i?r?kime ? 5 pav.

Pagal s?lyg? turime $AC=4\cm$.

Pagal dvikampio kampo laipsnio matavimo apibr??im?, kampas $ABC$ yra lygus $30^\circ$.

Trikampis $ABC$ yra sta?iakampis. Pagal smailiojo kampo sinuso apibr??im?

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

PAMOKOS TEKSTAS:

Planimetrijoje pagrindiniai objektai yra linijos, atkarpos, spinduliai ir ta?kai. I? vieno ta?ko sklindantys spinduliai sudaro vien? i? savo geometrini? form? – kamp?.

?inome, kad tiesinis kampas matuojamas laipsniais ir radianais.

Stereometrijoje prie objekt? pridedama plok?tuma. Fig?ra, sudaryta i? ties?s a ir dviej? pusiau plok?tum? su bendra riba a, kurios geometrijoje nepriklauso tai pa?iai plok?tumai, vadinama dvikampiu kampu. Pusin?s plok?tumos yra dvikampio kampo pavir?iai. Tiesi linija a yra dvikampio kampo briauna.

Dvikampis kampas, kaip ir tiesinis kampas, gali b?ti pavadintas, i?matuotas ir sudarytas. Tai turime i?siai?kinti ?ioje pamokoje.

Raskime dvikamp? tetraedro ABCD modelyje.

Dvikampis kampas su briauna AB vadinamas CABD, kur ta?kai C ir D priklauso skirtingiems kampo pavir?iams, o briauna AB vadinama viduriu.

Aplink mus yra gana daug objekt?, kuri? elementai yra dvikampio kampo formos.

Daugelyje miest? parkuose ?rengti special?s suoliukai susitaikymui. Suoliukas pagamintas i? dviej? pasvirusi? plok?tum?, susiliejan?i? link centro.

Statant namus da?nai naudojamas vadinamasis dvi?laitis stogas. ?iame name stogas pagamintas 90 laipsni? dvikampio formos.

Dvikampis kampas taip pat matuojamas laipsniais arba radianais, bet kaip j? i?matuoti.

?domu tai, kad nam? stogai remiasi ? gegnes. O gegni? apvalkalas tam tikru kampu sudaro du stogo ?laitus.

Perkelkime vaizd? ? pie?in?. Br??inyje, norint rasti dvikamp?, jo briaunoje pa?ymimas ta?kas B I? ?io ta?ko statmenai kampo briaunai nubr??ti spinduliai BA ir BC. ?i? spinduli? suformuotas kampas ABC vadinamas tiesiniu dvisieniu kampu.

Dvikampio kampo laipsnio matas yra lygus jo tiesinio kampo laipsnio mastui.

I?matuokime kamp? AOB.

Tam tikro dvikampio kampo laipsnio matas yra ?e?iasde?imt laipsni?.

Dvikampio kampui galima nubr??ti begalin? linijini? kamp? skai?i?, svarbu ?inoti, kad jie visi yra lyg?s.

Panagrin?kime du tiesinius kampus AOB ir A1O1B1. Spinduliai OA ir O1A1 yra tame pa?iame pavir?iuje ir yra statmeni tiesei OO1, tod?l yra bendros krypties. Sijos OB ir O1B1 taip pat nukreipiamos kartu. Tod?l kampas AOB yra lygus kampui A1O1B1 kaip kampai su bendros krypties kra?tin?mis.

Taigi dvikampis kampas apib?dinamas tiesiniu kampu, o tiesiniai kampai yra smail?s, buki ir de?inieji. Panagrin?kime dvikampi? kamp? modelius.

Bukus kampas yra tada, kai jo tiesinis kampas yra nuo 90 iki 180 laipsni?.

Status kampas, jei jo tiesinis kampas yra 90 laipsni?.

Smailusis kampas, jei jo tiesinis kampas yra nuo 0 iki 90 laipsni?.

?rodykime vien? i? svarbi? tiesinio kampo savybi?.

Linijinio kampo plok?tuma yra statmena dvikampio kampo kra?tinei.

Tegul kampas AOB yra tam tikro dvikampio kampo tiesinis kampas. Pagal konstrukcij? spinduliai AO ir OB yra statmeni tiesei a.

Plok?tuma AOB eina per dvi susikertan?ias tieses AO ir OB pagal teorem?: Plok?tuma eina per dvi susikertan?ias tieses, ir tik vien?.

Ties? a yra statmena dviem ?ioje plok?tumoje esan?ioms susikertan?ioms ties?ms, o tai rei?kia, kad, remiantis ties?s ir plok?tumos statmenumu, ties? a yra statmena plok?tumai AOB.

Norint i?spr?sti problemas, svarbu mok?ti sukurti tam tikro dvikampio kampo tiesin? kamp?. Sukurkite tetraedro ABCD dvikampio kampo su briauna AB tiesin? kamp?.

Kalbame apie dvikamp? kamp?, kur? pirmiausia sudaro briauna AB, vienas pavir?ius ABD ir antrasis pavir?ius ABC.

?tai vienas i? b?d? j? sukurti.

Nubr??kime statmen? i? ta?ko D ? plok?tum? ABC kaip statmeno pagrind?. Prisiminkite, kad tetraedre statmens pagrindas sutampa su ?br??to apskritimo centru tetraedro pagrindu.

I? ta?ko D nubr??kime nuo?ulni? linij? statmenai kra?tinei AB, ta?k? N pa?ymime kaip pasvirosios linijos pagrind?.

Trikampyje DMN atkarpa NM bus pasvirusio DN projekcija ? plok?tum? ABC. Pagal trij? statmen? teorem? kra?tin? AB bus statmena projekcijai NM.

Tai rei?kia, kad kampo DNM kra?tin?s yra statmenos kra?tinei AB, o tai rei?kia, kad sudarytas kampas DNM yra norimas tiesinis kampas.

Panagrin?kime dvikampio kampo skai?iavimo problemos sprendimo pavyzd?.

Lygia?onis trikampis ABC ir taisyklingasis trikampis ADB n?ra vienoje plok?tumoje. Atkarpa CD yra statmena plok?tumai ADB. Raskite dvikamp? kamp? DABC, jei AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

DABC dvikampis kampas yra lygus jo tiesiniam kampui. Sukurkime ?? kamp?.

Pasvir?j? CM nubr??kime statmenai kra?tinei AB, kadangi trikampis ACB yra lygia?onis, tai ta?kas M sutaps su kra?tin?s AB viduriu.

Tiesi linija CD yra statmena plok?tumai ADB, o tai rei?kia, kad ji yra statmena tiesei DM, esan?iai ?ioje plok?tumoje. O atkarpa MD yra pasvirusio CM projekcija ? plok?tum? ADV.

Ties? AB yra statmena pasvirusiajai CM pagal konstrukcij?, o tai rei?kia, kad pagal trij? statmen? teorem? ji yra statmena projekcijai MD.

Taigi, briaunai AB randami du statmenai CM ir DM. Tai rei?kia, kad jie sudaro dvikampio kampo DABC tiesin? kamp? CMD. Ir viskas, k? turime padaryti, tai rasti j? i? de?iniojo trikampio CDM.

Taigi atkarpa SM yra lygia?onio trikampio ACB mediana ir auk?tis, tada pagal Pitagoro teorem? kojel? SM lygi 4 cm.

I? sta?iojo trikampio DMB pagal Pitagoro teorem? kojel? DM lygi dviem ?aknims i? trij?.

Sta?iojo trikampio kampo kosinusas yra lygus gretimos kojos MD ir hipotenuz?s CM santykiui ir yra lygus trims ?aknims i? trij? kart? dviej?. Tai rei?kia, kad kampas CMD yra 30 laipsni?.

?i pamoka skirta savaranki?kai studijuoti tem? „Dvikampis kampas“. ?ioje pamokoje mokiniai susipa?ins su viena i? svarbiausi? geometrini? form? – dvikampio kampo. Taip pat pamokoje su?inosime, kaip nustatyti nagrin?jamos geometrin?s fig?ros tiesin? kamp? ir koks dvikampis yra fig?ros pagrindu.

Pakartokime, kas yra kampas plok?tumoje ir kaip jis matuojamas.

Ry?iai. 1. L?ktuvas

Panagrin?kime plok?tum? a (1 pav.). I? ta?ko APIE sklinda du spinduliai - OB Ir OA.

Apibr??imas. Fig?ra, sudaryta i? dviej? spinduli?, sklindan?i? i? vieno ta?ko, vadinama kampu.

Kampas matuojamas laipsniais ir radianais.

Prisiminkime, kas yra radianas.

Ry?iai. 2. Radianas

Jeigu turime centrin? kamp?, kurio lanko ilgis lygus spinduliui, tai toks centrinis kampas vadinamas 1 radiano kampu. ,? AOB= 1 rad (2 pav.).

Radian? ir laipsni? santykis.

d?iaugiuosi.

Supratome, d?iaugiuosi. (). Tada

Apibr??imas. Dvikampis kampas vadinama tiese suformuota fig?ra A ir dvi pusiau plok?tumos su bendra riba A, nepriklausantis tai pa?iai plok?tumai.

Ry?iai. 3. Pusl?ktuvai

Panagrin?kime dvi pusplok?tumas a ir v (3 pav.). J? bendra siena yra A. ?i fig?ra vadinama dvikampiu kampu.

Terminija

Pusin?s plok?tumos a ir v yra dvikampio kampo pavir?iai.

Tiesiai A yra dvikampio kampo briauna.

Ant bendro kra?to A dvikampis kampas, pasirinkite savavali?k? ta?k? APIE(4 pav.). Pusplok?tumoje a nuo ta?ko APIE atstatyti statmen? OA? tiesi? linij? A. I? to paties ta?ko APIE antroje pusplok?tumoje v statome statmen? OB iki kra?to A. Gavo kamp? AOB, kuris vadinamas dvikampio kampo tiesiniu kampu.

Ry?iai. 4. Dvikampio kampo matavimas

?rodykime vis? tiesini? kamp? lygyb? tam tikram dvikampiui.

Tur?kime dvikamp? kamp? (5 pav.). I?sirinkime ta?k? APIE ir laikotarpis O 1 tiesioje linijoje A. Sukonstruokime ta?k? atitinkant? tiesin? kamp? APIE, ty nubr??iame du statmenus OA Ir OB plok?tumose a ir v atitinkamai iki kra?to A. Mes gauname kamp? AOB- dvikampio kampo tiesinis kampas.

Ry?iai. 5. ?rodin?jimo iliustracija

I? ta?ko O 1 nubr??kime du statmenus OA 1 Ir OB 1 iki kra?to A plok?tumose a ir v atitinkamai ir gauname antr? tiesin? kamp? A 1 O 1 B 1.

Spinduliai O 1 A 1 Ir OA bendrakryp?iai, nes jie yra toje pa?ioje pusplok?tumoje ir yra lygiagre?iai vienas kitam kaip du statmenai tai pa?iai tiesei A.

Taip pat ir spinduliai Ma?daug 1 i? 1 Ir OB yra kartu nukreipti, o tai rei?kia ? AOB =? A 1 O 1 B 1 kaip kampai su bendros krypties kra?tin?mis, k? ir reik?jo ?rodyti.

Linijinio kampo plok?tuma yra statmena dvikampio kampo kra?tinei.

?rodyk: A ? AOB.

Ry?iai. 6. ?rodin?jimo iliustracija

?rodymas:

OA ? A pagal konstrukcij?, OB ? A pagal konstrukcij? (6 pav.).

Mes matome, kad linija A statmena dviem susikertan?ioms ties?ms OA Ir OB i? l?ktuvo AOB, tai rei?kia, kad jis tiesus A statmenai plok?tumai OAV, k? ir reik?jo ?rodyti.

Dvikampis kampas matuojamas jo tiesiniu kampu. Tai rei?kia, kad kiek laipsni? radian? yra tiesiniame kampe, tiek pat laipsni? radian? yra jo dvikampyje. Atsi?velgiant ? tai, i?skiriami ?ie dvikampi? kamp? tipai.

?mus (6 pav.)

Dvikampis kampas yra smailusis, jeigu jo tiesinis kampas yra smailusis, t.y. .

Tiesi (7 pav.)

Dvikampis kampas yra teisingas, kai jo tiesinis kampas yra 90° – bukas (8 pav.)

Dvikampis kampas yra bukas, kai jo tiesinis kampas yra bukas, t.y. .

Ry?iai. 7. Status kampas

Ry?iai. 8. Bukas kampas

Tiesini? kamp? konstravimo realiose fig?rose pavyzd?iai

ABCD- tetraedras.

1. Sukonstruokite dvisienio kampo su briauna tiesin? kamp? AB.

Ry?iai. 9. Problemos iliustracija

Statyba:

Mes kalbame apie dvikamp? kamp?, kur? sudaro briauna AB ir kra?tai ABD Ir ABC(9 pav.).

Padarykime tiesiogin? DN statmenai plok?tumai ABC, N- statmens pagrindas. Nubrai?ykime pasvirusi? DM statmena tiesei linijai AB,M- pasvirusi baz?. Pagal trij? statmen? teorem? darome i?vad?, kad ?stri?ain?s projekcija NM taip pat statmenai linijai AB.

Tai yra, i? ta?ko M atstatomi du statmenai ? kra?t? AB i? dviej? pusi? ABD Ir ABC. Gavome linijin? kamp? DMN.

Atkreipkite d?mes?, kad AB, dvikampio kampo briauna, statmena tiesinio kampo plok?tumai, ty plok?tumai DMN. Problema i?spr?sta.

komentuoti. Dvikampis kampas gali b?ti ?ymimas taip: DABC, Kur

AB- kra?tas ir ta?kai D Ir SU gul?ti skirtingose kampo pus?se.

2. Sukonstruoti dvisienio kampo su briauna tiesin? kamp? AC.

Nubr??kime statmen? DN? l?ktuv? ABC ir link?s DN statmena tiesei linijai AC. Pagal trij? statmen? teorem? randame, kad НN- ?stri?a projekcija DN? l?ktuv? ABC, taip pat statmenai linijai AC.DNH- dvikampio kampo su briauna linijinis kampas AC.

Tetraedre DABC visos briaunos lygios. Ta?kas M- ?onkaulio vidurys AC. ?rodykite, kad kampas DMV- tiesinis dvikampis kampas TUD, ty dvikampis kampas su briauna AC. Vienas i? jo veid? yra ACD, antra - DIA(10 pav.).

Ry?iai. 10. Problemos iliustracija

Sprendimas:

Trikampis ADC- lygiakra?tis, DM- mediana, taigi ir auk?tis. Rei?kia, DM ? AC. Taip pat trikampis AINC- lygiakra?tis, INM- mediana, taigi ir auk?tis. Rei?kia, VM ? AC.

Taigi, i? ta?ko M?onkauliai AC dvikampis atstatyti du statmenai DM Ir VM iki ?ios briaunos dvisienio kampo pavir?iuose.

Taigi, ? DMIN yra dvikampio kampo tiesinis kampas, kur? reik?jo ?rodyti.

Taigi mes apibr???me dvisien? kamp?, tiesin? dvikampio kamp?.

Kitoje pamokoje pa?velgsime ? linij? ir plok?tum? statmenum?, tada su?inosime, kas yra dvikampis fig?r? pagrindu.

Literat?ros s?ra?as temomis "Diedrinis kampas", "Diedras kampas geometrini? fig?r? pagrindu"

1. Geometrija. 10-11 klas?s: vadov?lis bendrojo ugdymo ?staigoms / Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
2. Geometrija. 10 klas?: vadov?lis bendrojo lavinimo ?staigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6-asis leidimas, stereotipas. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: iliustr.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Nam? darbas tema „Dvikampis kampas“, nustatant dvibriaun? kamp? prie fig?r? pagrindo

Geometrija. 10-11 klas?s: vadov?lis bendrojo ugdymo ?staig? (pagrindinio ir specializuoto lygio) mokiniams / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, taisytas ir papildytas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.

2 u?duotys, 3 67 psl.

Kas yra linijinis dvikampis kampas? Kaip j? pastatyti?

ABCD- tetraedras. Sukurkite dvikampio kampo tiesin? kamp? su briauna:

A) IND b) DSU.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kubas Sukurkite dvikampio kampo tiesin? kamp? A 1 ABC su ?onkauliu AB. Nustatykite jo laipsnio mat?.

Pamokos tikslas: dvikampio kampo ir jo tiesinio kampo sampratos supa?indinimas.

U?duotys:

?vietimas: svarstyti ?i? s?vok? taikymo u?duotis, ugdyti konstruktyv? kampo tarp plok?tum? nustatymo ?g?d?ius;

Vystomasis: mokini? k?rybinio m?stymo ugdymas, asmeninis mokini? saviugda, mokini? kalbos ugdymas;

?vietimas: protinio darbo kult?ros, bendravimo kult?ros, reflektyviosios kult?ros puosel?jimas.

Pamokos tipas: nauj? ?ini? mokymosi pamoka

Mokymo metodai: ai?kinamoji ir iliustracin?

?ranga: kompiuteris, interaktyvi lenta.

Literat?ra:

Geometrija. 10-11 klas?s: vadov?lis. 10-11 klas?ms. bendrojo i?silavinimo institucijos: pagrindin?s ir profilio. lygiai / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kt.] – 18-asis leid. – M.: ?vietimas, 2009. – 255 p.

Pamokos planas:

Organizacinis momentas (2 min.)

?ini? atnaujinimas (5 min.)

Naujos med?iagos mokymasis (12 min.)

I?moktos med?iagos sutvirtinimas (21 min.)

Nam? darbai (2 min.)

Apibendrinimas (3 min.)

Pamokos eiga:

1. Organizacinis momentas.

Apima mokytojo pasisveikinim? su klase, kambario paruo?im? pamokai ir neatvykimo tikrinim?.

2. Bazini? ?ini? atnaujinimas.

Mokytojas: Paskutin?je pamokoje ra??te savaranki?k? darb?. Apskritai darbas buvo para?ytas gerai. Dabar ?iek tiek pakartokime. Kaip vadinamas kampas plok?tumoje?

Studentas: Kampas plok?tumoje yra fig?ra, sudaryta i? dviej? spinduli?, sklindan?i? i? vieno ta?ko.

Mokytojas: Kaip vadinamas kampas tarp linij? erdv?je?

Studentas: Kampas tarp dviej? susikertan?i? tiesi? erdv?je yra ma?iausias i? kamp?, kuriuos sudaro ?i? tiesi? spinduliai su vir??ne j? susikirtimo ta?ke.

Studentas: Kampas tarp susikertan?i? linij? yra atitinkamai kampas tarp susikertan?i? linij?, lygiagre?i? duomenims.

Mokytojas: Kaip vadinamas kampas tarp ties?s ir plok?tumos?

Studentas: Kampas tarp ties?s ir plok?tumosBet koks kampas tarp ties?s ir jos projekcijos ? ?i? plok?tum? vadinamas.

3. Naujos med?iagos studijavimas.

Mokytojas: Stereometrijoje kartu su tokiais kampais atsi?velgiama ? kit? kamp? tip? - dvikampius. Tikriausiai jau atsp?jote, kokia ?iandienos pamokos tema, tad atsiverskite s?siuvinius, u?sira?ykite ?ios dienos dat? ir pamokos tem?.

U?ra?ykite lentoje ir s?siuviniuose:

10.12.14.

Dvikampis kampas.

Mokytojas : Nor?dami pristatyti dvikampio kampo s?vok?, reikia prisiminti, kad bet kuri tiesi linija, nubr??ta tam tikroje plok?tumoje, padalija ?i? plok?tum? ? dvi pusiau plok?tumas(1 pav., a)

Mokytojas : ?sivaizduokime, kad plok?tum? i?lenk?me i?ilgai ties?s, kad dvi pus?s plok?tumos su riba nebegul?t? toje pa?ioje plok?tumoje (1 pav., b). Gauta fig?ra yra dvikampis kampas. Dvikampis kampas yra fig?ra, sudaryta i? ties?s ir dviej? pusiau plok?tum?, turin?i? bendr? rib?, nepriklausan?i? tai pa?iai plok?tumai. Pusplok?tumos, sudaran?ios dvikamp? kamp?, vadinamos jo veidais. Dvikampis kampas turi dvi puses, tod?l vadinamas dvikampis kampas. Tiesi linija – bendra pusplok?tum? riba – vadinama dvi?akio kampo briauna. U?sira?ykite apibr??im? ? u?ra?? knygel?.

Dvikampis kampas – tai fig?ra, sudaryta i? ties?s ir dviej? bendr? rib? turin?i? pusiau plok?tum?, nepriklausan?i? tai pa?iai plok?tumai.

Mokytojas : Kasdieniame gyvenime da?nai susiduriame su objektais, kurie turi dvikampio kampo form?. Pateikite pavyzd?i?.

Studentas : Pusiau atidarytas aplankas.

Studentas : Kambario siena yra kartu su grindimis.

Studentas : Pastat? dvi?lai?iai stogai.

Mokytojas : Teisingai. Ir toki? pavyzd?i? yra labai daug.

Mokytojas : Kaip ?inote, kampai plok?tumoje matuojami laipsniais. Tikriausiai turite klausim?, kaip matuojami dvikampiai kampai? Tai daroma taip.Pa?ym?kime kur? nors ta?k? dvikampio kampo briaunoje ir nuo ?io ta?ko kiekviename pavir?iuje nubr??kime kra?tinei statmen? spindul?. ?i? spinduli? suformuotas kampas vadinamas dvisienio kampo tiesiniu kampu. Padarykite pie?in? savo s?siuviniuose.

Ra?ykite lentoje ir s?siuviniuose.

APIE ? a, UAB ? a, VO ? a, SABD- dvikampis kampas,? AOB– dvikampio kampo tiesinis kampas.

Mokytojas : Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lyg?s. Padarykite sau dar vien? tok? pie?in?.

Mokytojas : ?rodykime tai. Apsvarstykite du tiesinius kampus AOB irPQR. Spinduliai OA irQPguli ant to paties veido ir yra statmenosOQ, o tai rei?kia, kad jie yra kartu nukreipti. Pana?iai spinduliai OB irQRbendrai re?isavo. Rei?kia,? AOB= ? PQR(kaip kampai su i?lygintomis kra?tin?mis).

Mokytojas : Na, dabar atsakymas ? m?s? klausim? yra toks, kaip matuojamas dvikampis kampas.Dvikampio kampo laipsnio matas yra jo tiesinio kampo laipsnio matas. I? vadov?lio 48 puslapyje perbrai?ykite smailaus, sta?iojo ir bukojo dvikampio atvaizdus.

4. Studijuotos med?iagos konsolidavimas.

Mokytojas : Padarykite u?duo?i? br??inius.

№ 1 . Duota: DABC, AC = BC, AB yra plok?tumojea, CD ? a, C? a. Sukurkite dvisienio kampo tiesin? kamp?CABD.

Studentas : Sprendimas:C.M. ? AB, DC ? AB.? CMD – ie?kojo.

№ 2. Duota: DABC, ? C= 90°, BC guli plok?tumojea, UAB? a, A? a.

Sukurkite dvisienio kampo tiesin? kamp?ABCO.

Studentas : Sprendimas:AB ? B.C., UAB? BC rei?kia OS? Saul?.? ACO – ie?kojo.

№ 3 . Duota: DABC, ? C = 90°, AB yra plok?tumojea, CD? a, C? a. Sukurtitiesinis dvikampis kampasDABC.

Studentas : Sprendimas: CK ? AB, DC ? AB,DK ? AB rei?kia? DKC – ie?kojo.

№ 4 . Duota:DABC- tetraedras,DARYK? ABC.Sukonstruoti dvisienio kampo tiesin? kamp?ABCD.

Studentas : Sprendimas:DM ? saul?,DARYK ? VS rei?kia OM? Saul?;? OMD – ie?kojo.

5. Apibendrinant.

Mokytojas: K? naujo i?mokote ?iandien klas?je?

Studentai : Kas vadinama dvisieniu kampu, tiesiniu kampu, kaip matuojamas dvikampis kampas.

Mokytojas : K? jie kartojo?

Studentai : Kas vadinama kampu plok?tumoje; kampas tarp tiesi? linij?.

6.Nam? darbai.

U?ra?ykite lentoje ir savo dienora??iuose: 22 punktas, Nr.167, Nr.170.