Mokslo pavadinimas „geometrija“ i?verstas kaip „?em?s matavimas“. Ji atsirado pirm?j? senov?s ?em?tvarkinink? pastangomis. O atsitiko taip: per ?ventojo Nilo potvynius vandens srov?s kartais i?plaudavo ?kinink? sklyp? ribas, o naujos ribos gal ir nesutapdavo su senosiomis. Mokes?ius valstie?iai mok?jo ? faraono i?d? proporcingai ?em?s paskirstymo dyd?iui. Special?s ?mon?s dalyvavo matuojant ariamos ?em?s plotus naujose ribose po i?siliejimo. D?l j? veiklos atsirado naujas mokslas, kuris buvo sukurtas Senov?s Graikijoje. Ten jis gavo savo pavadinim? ir ?gavo beveik moderni? i?vaizd?. V?liau ?is terminas tapo tarptautiniu plok??i? ir trima?i? fig?r? mokslo pavadinimu.

Planimetrija yra geometrijos ?aka, tirianti plok?tumos fig?ras. Kita mokslo ?aka – stereometrija, nagrin?janti erdvini? (t?rini?) fig?r? savybes. Tokie skai?iai apima ?iame straipsnyje apra?yt? - cilindr?.

Yra daugyb? cilindrini? objekt? buvimo kasdieniame gyvenime pavyzd?i?. Beveik visos besisukan?ios dalys – velenai, ?vor?s, kakliukai, a?ys ir kt. – turi cilindrin? (daug re?iau – k?gin?) form?. Cilindras taip pat pla?iai naudojamas statybose: bok?tuose, atramin?se kolonose, dekoratyvin?se kolonose. Taip pat indai, kai kuri? tip? pakuot?s, ?vairaus skersmens vamzd?iai. Ir galiausiai – garsiosios skryb?l?s, jau seniai tapusios vyri?kos elegancijos simboliu. S?ra?as t?siasi ir t?siasi.

Cilindro kaip geometrin?s fig?ros apibr??imas

Cilindru (apvaliu cilindru) paprastai vadinama fig?ra, susidedanti i? dviej? apskritim?, kurie, jei pageidaujama, sujungiami naudojant lygiagret?j? vertim?. ?ie apskritimai yra cilindro pagrindas. Bet linijos (tiesios atkarpos), jungian?ios atitinkamus ta?kus, vadinamos „generatoriais“.

Svarbu, kad cilindro pagrindai visada b?t? vienodi (jei ?i s?lyga ne?vykdyta, tai turime nupjaut? k?g?, dar ka?k?, bet ne cilindr?) ir b?t? lygiagre?iose plok?tumose. Atkarpos, jungian?ios atitinkamus apskritimo ta?kus, yra lygiagre?ios ir lygios.

Begalinio skai?iaus formuojan?i? element? rinkinys yra ne kas kita, kaip ?oninis cilindro pavir?ius – vienas i? tam tikros geometrin?s fig?ros element?. Kitas svarbus jo komponentas yra auk??iau aptarti apskritimai. Jie vadinami baz?mis.

Cilindr? tipai

Papras?iausias ir labiausiai paplit?s cilindr? tipas yra apskritas. J? sudaro du taisyklingi apskritimai, veikiantys kaip pagrindai. Ta?iau vietoj j? gali b?ti kitos fig?ros.

Cilindr? pagrindai gali sudaryti (be apskritim?) elipses ir kitas u?daras fig?ras. Ta?iau cilindras neb?tinai turi b?ti u?daros formos. Pavyzd?iui, cilindro pagrindas gali b?ti parabol?, hiperbol? ar kita atviroji funkcija. Toks cilindras bus atviras arba i?skleistas.

Pagal pagrindus formuojan?i? cilindr? pasvirimo kamp? jie gali b?ti ties?s arba pasvir?. Tiesiame cilindre generatricos yra grie?tai statmenos pagrindo plok?tumai. Jei ?is kampas skiriasi nuo 90°, cilindras yra pasvir?s.

Kas yra revoliucijos pavir?ius

Tiesus apskritas cilindras, be jokios abejon?s, yra labiausiai paplit?s besisukantis pavir?ius, naudojamas in?inerijoje. Kartais d?l technini? prie?as?i? naudojami k?giniai, sferiniai ir kai kuri? kit? tip? pavir?iai, ta?iau 99% vis? besisukan?i? velen?, a?i? ir kt. yra pagaminti cilindr? pavidalu. Nor?dami geriau suprasti, kas yra sukimosi pavir?ius, galime apsvarstyti, kaip susidaro pats cilindras.

Tarkime, kad yra tam tikra ties? a, esantis vertikaliai. ABCD yra sta?iakampis, kurio viena i? kra?tini? (atkarpa AB) yra ties?je a. Jei pasuksime sta?iakamp? aplink tiesi? linij?, kaip parodyta paveiksl?lyje, t?ris, kur? jis u?ims sukdamasis, bus m?s? apsisukimo k?nas - de?inysis apskritas cilindras, kurio auk?tis H = AB = DC ir spindulys R = AD = BC.

Tokiu atveju sukant fig?r? - sta?iakamp? - gaunamas cilindras. Sukant trikamp? galima gauti k?g?, sukant puslank? – rutul? ir t.t.

Cilindro pavir?iaus plotas

Norint apskai?iuoti ?prasto de?iniojo apskrito cilindro pavir?iaus plot?, reikia apskai?iuoti pagrind? ir ?onini? pavir?i? plotus.

Pirmiausia pa?i?r?kime, kaip apskai?iuojamas ?oninio pavir?iaus plotas. Tai yra cilindro perimetro ir cilindro auk??io sandauga. Perimetras, savo ruo?tu, yra lygus dvigubam universalaus skai?iaus sandaugai P apskritimo spinduliu.

?inoma, kad apskritimo plotas yra lygus sandaugai P vienam kvadratiniam spinduliui. Taigi, prid?j? ?oninio pavir?iaus nustatymo ploto formules su dviguba pagrindo ploto i?rai?ka (j? yra dvi) ir atlik? paprastas algebrines transformacijas, gauname galutin? pavir?iaus nustatymo i?rai?k?. cilindro plotas.

Fig?ros t?rio nustatymas

Cilindro t?ris nustatomas pagal standartin? schem?: pagrindo pavir?iaus plotas padauginamas i? auk??io.

Taigi galutin? formul? atrodo taip: reikiama reik?m? apibr??iama kaip k?no auk??io sandauga pagal universal?j? skai?i? P o pagrindo spindulio kvadratu.

Reikia pasakyti, kad gauta formul? yra tinkama sprend?iant netik??iausias problemas. Taip pat, kaip, pavyzd?iui, cilindro t?ris, nustatomas elektros laid? t?ris. To gali prireikti norint apskai?iuoti laid? mas?.

Vienintelis skirtumas formul?je yra tas, kad vietoj vieno cilindro spindulio yra laid? gijos skersmuo, padalintas per pus?, o vij? skai?ius vieloje pasirodo i?rai?koje N. Be to, vietoj auk??io naudojamas laido ilgis. Tokiu b?du „cilindro“ t?ris apskai?iuojamas ne pagal vien?, o pagal laid? skai?i? pyn?je.

Tokie skai?iavimai da?nai reikalingi praktikoje. Juk nema?a dalis vandens talpykl? yra pagaminta vamzd?io pavidalu. O skai?iuoti cilindro t?r? da?nai tenka net ir buityje.

Ta?iau, kaip jau min?ta, cilindro forma gali b?ti skirtinga. Ir kai kuriais atvejais reikia apskai?iuoti, koks yra pasvirusio cilindro t?ris.

Skirtumas tas, kad pagrindo pavir?iaus plotas padauginamas ne i? generatrix ilgio, kaip tiesaus cilindro atveju, o i? atstumo tarp plok?tum? - tarp j? pastatyto statmeno segmento.

Kaip matyti i? paveikslo, toks segmentas yra lygus generatrix ilgio ir generatrix pasvirimo kampo sinuso sandaugai ? plok?tum?.

Kaip sukurti cilindro vystym?si

Kai kuriais atvejais b?tina i?kirpti cilindro sij?. ?emiau esan?iame paveiksl?lyje parodytos taisykl?s, pagal kurias sukonstruotas ruo?inys tam tikro auk??io ir skersmens cilindro gamybai.

Atkreipkite d?mes?, kad br??inys parodytas be si?li?.

Skirtumai tarp nuo?ulnaus cilindro

?sivaizduokime tam tikr? ties? cilindr?, kur? i? vienos pus?s riboja generatoriams statmena plok?tuma. Bet plok?tuma, ribojanti cilindr? kitoje pus?je, n?ra statmena generatoriams ir n?ra lygiagreti pirmajai plok?tumai.

Paveiksl?lyje pavaizduotas nuo?ulnus cilindras. L?ktuvas A tam tikru kampu, skirtingu nuo 90° ? generatorius, kerta fig?r?.

?i geometrin? forma praktikoje da?niau sutinkama vamzdyn? jung?i? (alk?ni?) pavidalu. Ta?iau yra net pastat?, pastatyt? nuo?ulnaus cilindro pavidalu.

Nuo?ulniojo cilindro geometrin?s charakteristikos

Vienos i? nuo?ulnaus cilindro plok?tum? posvyris ?iek tiek pakei?ia ir tokios fig?ros pavir?iaus ploto, tiek t?rio apskai?iavimo tvark?.

Cilindras yra geometrinis k?nas, kur? riboja dvi lygiagre?ios plok?tumos ir cilindrinis pavir?ius. Straipsnyje kalb?sime apie tai, kaip rasti cilindro plot?, ir, naudodamiesi formule, kaip pavyzd? i?spr?sime kelet? problem?.

Cilindras turi tris pavir?ius: vir?utin?, pagrind? ir ?onin? pavir?i?.

Cilindro vir?us ir pagrindas yra apskritimai ir juos lengva atpa?inti.

Yra ?inoma, kad apskritimo plotas yra lygus pr 2. Tod?l dviej? apskritim? (cilindro vir?aus ir pagrindo) ploto formul? bus pr 2 + pr 2 = 2pr 2.

Tre?iasis, ?oninis cilindro pavir?ius, yra i?lenkta cilindro sienel?. Nor?dami geriau ?sivaizduoti ?? pavir?i?, pabandykime j? transformuoti, kad gautum?te atpa??stam? form?. ?sivaizduokite, kad cilindras yra ?prasta skardin?, neturinti vir?utinio dang?io ar dugno. Padarykime vertikali? pj?v? ?onin?je sienel?je nuo vir?aus iki skardin?s pagrindo (1 veiksmas paveiksl?lyje) ir pabandykime kuo pla?iau atverti (i?tiesinti) gaut? fig?r? (2 veiksmas).

Po to, kai gautas stiklainis bus visi?kai atidarytas, pamatysime pa??stam? fig?r? (3 veiksmas), tai yra sta?iakampis. Sta?iakampio plot? lengva apskai?iuoti. Ta?iau prie? tai trumpam gr??kime prie originalaus cilindro. Pradinio cilindro vir??n? yra apskritimas, ir mes ?inome, kad apskritimas apskai?iuojamas pagal formul?: L = 2pr. Paveiksle jis pa?ym?tas raudonai.

Kai cilindro ?onin? sienel? yra visi?kai atidaryta, matome, kad apskritimas tampa gauto sta?iakampio ilgiu. ?io sta?iakampio kra?tin?s bus perimetras (L = 2pr) ir cilindro auk?tis (h). Sta?iakampio plotas lygus jo kra?tini? sandaugai - S = ilgis x plotis = L x h = 2pr x h = 2prh. D?l to mes gavome cilindro ?oninio pavir?iaus ploto apskai?iavimo formul?.

Cilindro ?oninio pavir?iaus ploto formul?
S pus? = 2prh

Bendras cilindro pavir?iaus plotas

Galiausiai, jei prid?sime vis? trij? pavir?i? plot?, gausime viso cilindro pavir?iaus formul?. Cilindro pavir?iaus plotas lygus cilindro vir?aus plotui + cilindro pagrindo plotui + cilindro ?oninio pavir?iaus plotui arba S = pr 2 + pr 2 + 2prh = 2pr 2 + 2prh. Kartais ?i i?rai?ka ra?oma identi?kai formulei 2pr (r + h).

Bendro cilindro pavir?iaus ploto formul?
S = 2pr 2 + 2prh = 2pr(r + h)
r – cilindro spindulys, h – cilindro auk?tis

Cilindro pavir?iaus ploto apskai?iavimo pavyzd?iai

Nor?dami suprasti auk??iau pateiktas formules, pabandykime apskai?iuoti cilindro pavir?iaus plot? naudodami pavyzd?ius.

1. Cilindro pagrindo spindulys 2, auk?tis 3. Nustatykite cilindro ?oninio pavir?iaus plot?.

Bendras pavir?iaus plotas apskai?iuojamas pagal formul?: S pus?. = 2prh

S pus? = 2 * 3,14 * 2 * 3

S pus? = 6,28 * 6

S pus? = 37,68

Cilindro ?oninio pavir?iaus plotas yra 37,68.

2. Kaip rasti cilindro pavir?iaus plot?, jei auk?tis yra 4, o spindulys yra 6?

Bendras pavir?iaus plotas apskai?iuojamas pagal formul?: S = 2pr 2 + 2prh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Cilindro pavir?iaus plotas yra 376,8.

J? riboja cilindrinis pavir?ius ir dvi lygiagre?ios j? kertan?ios plok?tumos.

Susij? apibr??imai

Cilindrinis pavir?ius- pavir?ius, gautas judant tiesi? linij? (generatori?), lygiagre?i? bet kuriai nurodytai, kertan?i? i?lenkt? linij? (krypt?), esan?i? nelygiagre?ioje nurodytai tiesiajai plok?tumai. Vadinamos plok?tumos fig?ros, suformuotos susikirtus cilindriniam pavir?iui su dviem lygiagre?iomis plok?tumomis cilindr? pagrindai. Cilindrinis pavir?ius tarp pagrind? plok?tum? vadinamas ?oninis pavir?ius cilindras. Jei pagrindo plok?tuma ir kreiptuvo plok?tuma yra lygiagre?ios, pagrindo riba pagal form? sutaps su kreipikliu.

Tipai

Daugeliu atvej? cilindras rei?kia ties? apskrit? cilindr?, kurio kreiptuvas yra apskritimas, o pagrindai statmeni generatrix. Toks cilindras turi simetrijos a??.

Kit? tip? cilindrai – (pagal generatoriaus polink?) ?stri?ai arba pasvir? (jei generatorius nelie?ia pagrindo sta?iu kampu); (pagal pagrindo form?) elipsin?, hiperbolin?, parabolin?.

Prizm? taip pat yra cilindro tipas - su daugiakampio formos pagrindu.

Cilindro pavir?iaus plotas

?oninio pavir?iaus plotas

Cilindro ?oninio pavir?iaus plotas lygus generatoriaus ilgiui, padaugintam i? cilindro sekcijos perimetro i? generatrix statmenos plok?tumos.

Tiesaus cilindro ?oninio pavir?iaus plotas skai?iuojamas pagal jo i?sivystym?. Cilindro raida yra sta?iakampis su auk??iu $h$ ir ilgis $P$, lygus pagrindo perimetrui. Tod?l cilindro ?oninio pavir?iaus plotas yra lygus jo i?sivystymo plotui ir apskai?iuojamas pagal formul?:

$S\_b\; =\; P\; val$

Vis? pirma, de?iniajam apskritam cilindrui:

$P\; =\; 2\backslash pi\; R$, Ir $S\_b\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h$

Nuo?ulnaus cilindro ?oninio pavir?iaus plotas lygus generatoriaus ilgiui, padaugintam i? statmenos generatrix pj?vio perimetro:

$S\_b\; =\; P\_(\backslash perp)\; h$

Skirtingai nuo t?rio, n?ra paprastos formul?s, i?rei?kian?ios ?stri?o cilindro ?oninio pavir?iaus plot? per pagrindo ir auk??io parametrus. Pasvirusiam apskritam cilindrui galite naudoti apytiksles elips?s perimetro formules ir gaut? reik?m? padauginti i? generatrix ilgio.

Bendras pavir?iaus plotas

Bendras cilindro pavir?iaus plotas yra lygus jo ?oninio pavir?iaus ir pagrindo plot? sumai.

Tiesus apskritas cilindras: $S\_(p)\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h\; +2\; \backslash pi\; R^\; 2\; =\; 2\; \backslash \; pi\; R\; (h\; +\; R)$

Cilindro t?ris

Pasvirusiam cilindrui yra dvi formul?s:

• T?ris lygus generatoriaus ilgiui, padaugintam i? cilindro skerspj?vio ploto i? plok?tumos, statmenos generatoriui. $V=S\_(\backslash perp)l$,
• T?ris lygus pagrindo plotui, padaugintam i? auk??io (atstumo tarp plok?tum?, kuriose yra pagrindai): $V=Sh=Sl\backslash sin(\backslash varphi)$,

Kur $l$ yra generatrix ilgis ir $\backslash varphi$- kampas tarp generatrix ir pagrindo plok?tumos. Tiesiems cilindrams $h=l$.

Tiesiems cilindrams $\backslash sin(\backslash varphi)=1$, $l=h$ Ir $S\_(\backslash perp)=S$, o t?ris yra lygus:

• $V=Sl=Sh$

Apvaliam cilindrui:

$V=\backslash pi\; R^(2)h=\backslash pi\; \backslash frac(d^(2))(4)h$

Kur d- pagrindo skersmuo.

Para?ykite ap?valg? apie straipsn? "Cilindras"

Pastabos

Cilindr? apib?dinanti i?trauka

„Paris la capitale du monde... [Pary?ius yra pasaulio sostin?...]“, – baigdamas kalb? pasak? Pierre'as.
Kapitonas pa?velg? ? Pjer?. Jis tur?jo ?prot? sustoti viduryje pokalbio ir ?d?miai ?i?r?ti besijuokian?iomis, meiliomis akimis.
- Eh bien, si vous ne m"aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce... [Na, jei neb?tum man sak?s, kad tu rusas, b??iau la?in?sis, kad tu pary?iet?. Tavyje ka?kas yra, tai...] - ir, pasak?s ?? kompliment?, v?l tyliai pa?velg?.
„J"ai ete a Paris, j"y ai passe des annees, [buvau Pary?iuje, ten praleidau i?tisus metus", - sak? Pierre'as.
– Oh ca se voit bien. Paris!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se atsiunt? deux lieux. Paris, s"est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards" ir pasteb?j?s, kad i?vada buvo silpnesn? nei ankstesn?, jis skubiai prid?r?: "Il n"y a qu"un Paris au monde a Paris et vous etese Busse, je ne vous en estime pas moins! , bulvarai... Visame pasaulyje yra tik vienas Pary?ius, tu buvai rusas.
Veikiamas vyno, kur? jis g?r? ir po dien?, praleist? vienumoje su savo ni?riomis mintimis, Pierre'as patyr? nevaling? malonum? pokalbyje su ?iuo linksmu ir gera?ird?iu vyru.
– Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue id?ja d"aller s"enterrer dans les les steppes, quand l"armee francaise est a Moscou. Quelle random elles ont manque celles la. Vos moujiks c"est autre chose, mais voua autres gens civilises vous devriez . Nous avons pris Vienne, Berlynas, Madridas, Neapolis, Roma, Varsovie, toutes les capitales du monde... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l "Empereur! [Bet gr??kime prie j?s? dam?: jos sako, kad jos labai gra?ios. Kokia kvaila mintis eiti ir palaidoti save step?je, kai Maskvoje yra pranc?z? kariuomen?! Jie praleido nuostabi? prog?. J?s? vyrai , suprantu, bet j?s esate i?silavin? ?mon?s – jie tur?jo mus pa?inti geriau nei tai Mes pa?m?me Vien?, Berlyn?, Madrid?, Neapol?, Rom?, Var?uv?, m?s? bijo visos pasaulio sostin?s, bet tai neskauda. kad mus geriau pa?int?...] – prad?jo jis, bet Pjeras j? pertrauk?.
„Imperatorius“, - pakartojo Pierre'as, o jo veidas staiga ?gavo li?dn? ir sumi?t? i?rai?k?. „Est ce que l"Empereur?.. [Imperatorius... Kas yra imperatorius?..]
- "Imperatorius? C"est la generosite, la clemence, la justice, l"ordre, le genie, voila l"Empereur! C "est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j" etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre... Mais il m"a vaincu, cet homme. Il m"a empoigne. Je n"ai pas pu resister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j"ai compris ce qu"il voulait, quand j"ai vu qu"il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis tai: voila un souverain, et je me suis donne a lui Eh, oui, mon cher, c"est le plus grand homme des siecles passes et a venir. [Imperatorius? Tai dosnumas, gailestingumas, teisingumas, tvarka, genialumas – ?tai kas yra imperatorius! Tai a?, Rambal, sakau tau. Kaip mane matote, prie? a?tuonerius metus buvau jo prie?as. Mano t?vas buvo grafas ir emigrantas. Bet jis nugal?jo mane, ?? ?mog?. Jis mane u?vald?. Negal?jau atsispirti didyb?s ir ?lov?s reginiui, kuriuo jis ap?m? Pranc?zij?. Kai supratau, ko jis nori, kai pama?iau, kad ruo?ia mums laur? guol?, tariau sau: ?tai suverenas, ir atsidaviau jam. Ir taip! O taip, mano brangioji, tai did?iausias pra?jusi? ir b?sim? am?i? ?mogus.]