Piramid?s koncepcija

1 apibr??imas

Geometrin? fig?ra, sudaryta i? daugiakampio ir ta?ko, esan?io ne plok?tumoje, kurioje yra ?is daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio vir??n?mis, vadinama piramide (1 pav.).

Daugiakampis, i? kurio padaryta piramid?, vadinamas piramid?s pagrindu, susidar? trikampiai, sujungti su ta?ku, yra piramid?s ?oniniai pavir?iai, trikampi? kra?tin?s yra piramid?s kra?tin?s, o ta?kas bendras; prie vis? trikampi? yra piramid?s vir??n?.

Piramid?i? r??ys

Priklausomai nuo kamp? skai?iaus piramid?s pagrinde, ji gali b?ti vadinama trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).

2 pav.

Kitas piramid?i? tipas yra taisyklinga piramid?.

?veskime ir ?rodykime taisyklingos piramid?s savyb?.

1 teorema

Visi taisyklingos piramid?s ?oniniai pavir?iai yra lygia?oniai trikampiai, kurie yra lyg?s vienas kitam.

?rodymas.

Apsvarstykite taisykling? $n-$kampin? piramid?, kurios vir??n? $S$ auk?tis $h=SO$. Aplink pagrind? nubr??kime apskritim? (4 pav.).

4 pav.

Apsvarstykite trikamp? $SOA$. Pagal Pitagoro teorem? gauname

Akivaizdu, kad bet koks ?oninis kra?tas bus apibr??tas tokiu b?du. Vadinasi, visi ?oniniai kra?tai yra lyg?s vienas kitam, tai yra, visi ?oniniai pavir?iai yra lygia?oniai trikampiai. ?rodykime, kad jie vienas kitam lyg?s. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, vis? ?onini? pavir?i? pagrindai yra lyg?s vienas kitam. Vadinasi, visi ?oniniai pavir?iai yra lyg?s pagal III trikampi? lygyb?s kriterij?.

Teorema ?rodyta.

Dabar pristatysime tok? apibr??im?, susijus? su taisyklingosios piramid?s s?voka.

3 apibr??imas

Taisyklingos piramid?s apotemas yra jos ?oninio pavir?iaus auk?tis.

Akivaizdu, kad pagal Pirm?j? teorem? visi apotemai yra lyg?s vienas kitam.

2 teorema

Taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas nustatomas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.

?rodymas.

$n-$kampin?s piramid?s pagrindo kra?tin? pa?ym?kime $a$, o apotem? - $d$. Tod?l ?oninio veido plotas lygus

Kadangi pagal 1 teorem? visos kra?tin?s yra lygios, tai

Teorema ?rodyta.

Kitas piramid?i? tipas yra nupjauta piramid?.

4 apibr??imas

Jei per paprast? piramid? nubr??ta lygiagreti jos pagrindui plok?tuma, tai tarp ?ios plok?tumos ir pagrindo plok?tumos susidariusi fig?ra vadinama nupjaut?ja piramide (5 pav.).

5 pav. Nupjauta piramid?

Nupjautin?s piramid?s ?oniniai pavir?iai yra trapecijos formos.

3 teorema

Taisyklingos nupjautin?s piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas nustatomas kaip pagrind? ir apotemos pusperimetr? sumos sandauga.

?rodymas.

$n-$kampin?s piramid?s pagrind? kra?tines pa?ym?kime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotem? - $d$. Tod?l ?oninio veido plotas lygus

Kadangi visos pus?s yra lygios, tada

Teorema ?rodyta.

Pavyzdin? u?duotis

1 pavyzdys

Raskite nupjautos trikamp?s piramid?s ?oninio pavir?iaus plot?, jei jis gaunamas i? taisyklingos piramid?s, kurios pagrindo kra?tin? yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plok?tum?, einanti per ?onini? pavir?i? vidurio linij?.

Sprendimas.

Naudodami vidurin?s linijos teorem?, nustatome, kad sutrumpintos piramid?s vir?utin? baz? yra lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotema lygi $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 USD.

Tada pagal 3 teorem? gauname

?is vaizdo ?ra?as pad?s vartotojams suprasti piramid?s tem?. Teisinga piramid?. ?ioje pamokoje susipa?insime su piramid?s s?voka ir pateiksime jos apibr??im?. Panagrin?kime, kas yra ?prasta piramid? ir kokias jos savybes ji turi. Tada ?rodome teorem? apie taisyklingosios piramid?s ?onin? pavir?i?.

?ioje pamokoje susipa?insime su piramid?s s?voka ir pateiksime jos apibr??im?.

Apsvarstykite daugiakamp? A 1 A 2...A n, kuris yra a plok?tumoje, ir ta?kas P, kuris n?ra a plok?tumoje (1 pav.). Sujunkime ta?kus P su vir??n?mis A 1, A 2, A 3, … A n. Mes gauname n trikampiai: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ir taip toliau.

Apibr??imas. Daugiakampis RA 1 A 2 ...A n, sudarytas i? n- kvadratas A 1 A 2...A n Ir n trikampiai RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 vadinamas n- anglies piramid?. Ry?iai. 1.

Ry?iai. 1

Apsvarstykite keturkamp? piramid? PABCD(2 pav.).

R- piramid?s vir??n?.

ABCD- piramid?s pagrindas.

RA- ?oninis ?onkaulis.

AB- pagrindo ?onkaulis.

I? ta?ko R numeskime statmen? RN? bazin? plok?tum? ABCD. Nubr??tas statmenas yra piramid?s auk?tis.

Ry?iai. 2

Visas piramid?s pavir?ius susideda i? ?oninio pavir?iaus, tai yra, vis? ?onini? pavir?i? ploto ir pagrindo ploto:

S pilnas = S pus? + S pagrindinis

Piramid? vadinama teisinga, jei:

• jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis;
• atkarpa, jungianti piramid?s vir??n? su pagrindo centru, yra jos auk?tis.

Paai?kinimas naudojant taisyklingos keturkamp?s piramid?s pavyzd?

Apsvarstykite taisykling? keturkamp? piramid? PABCD(3 pav.).

R- piramid?s vir??n?. Piramid?s pagrindas ABCD- taisyklingas keturkampis, tai yra kvadratas. Ta?kas APIE, ?stri?aini? susikirtimo ta?kas, yra kvadrato centras. Rei?kia, RO yra piramid?s auk?tis.

Ry?iai. 3

Paai?kinimas: teisinga n Trikampyje ?br??to apskritimo centras ir apskritimo centras sutampa. ?is centras vadinamas daugiakampio centru. Kartais sakoma, kad vir??n? projektuojama ? centr?.

Taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus auk?tis, i?trauktas i? jos vir??n?s, vadinamas apotemas ir yra paskirtas h a.

1. visos taisyklingosios piramid?s ?onin?s briaunos yra lygios;

2. ?oniniai pavir?iai yra lyg?s lygia?oniai trikampiai.

?i? savybi? ?rodym? pateiksime taisyklingos keturkamp?s piramid?s pavyzd?iu.

Duota: PABCD- taisyklinga keturkamp? piramid?,

ABCD- kvadratas,

RO- piramid?s auk?tis.

?rodyk:

1. RA = PB = RS = PD

2.?ABP = ?BCP =?CDP =?DAP ?r. pav. 4.

Ry?iai. 4

?rodymas.

RO- piramid?s auk?tis. Tai yra, tiesiai RO statmenai plok?tumai ABC, tod?l tiesioginis UAB, VO, SO Ir DARYK guli joje. Taigi trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD- sta?iakampis.

Apsvarstykite kvadrat? ABCD. I? kvadrato savybi? matyti, kad AO = VO = CO = DARYK.

Tada sta?iakampiai trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD koja RO- bendras ir kojos UAB, VO, SO Ir DARYK yra lyg?s, o tai rei?kia, kad ?ie trikampiai yra lyg?s i? dviej? kra?tini?. I? trikampi? lygyb?s i?plaukia atkarp? lygyb?, RA = PB = RS = PD. 1 punktas ?rodytas.

Segmentai AB Ir Saul? yra vienodos, nes yra to paties kvadrato kra?tin?s, RA = PB = RS. Taigi trikampiai AVR Ir VSR – lygia?onis ir lygus i? trij? kra?tini?.

Pana?iai randame tuos trikampius ABP, VCP, CDP, DAP yra lygia?oniai ir lyg?s, kaip reikalaujama ?rodyti 2 dalyje.

Taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos:

Nor?dami tai ?rodyti, parinkkime taisykling? trikamp? piramid?.

Duota: RAVS- taisyklinga trikamp? piramid?.

AB = BC = AC.

RO- auk?tis.

?rodyk: . ?r. pav. 5.

Ry?iai. 5

?rodymas.

RAVS- taisyklinga trikamp? piramid?. Tai yra AB= AC = BC. Leiskite APIE- trikampio centras ABC, Tada RO yra piramid?s auk?tis. Piramid?s pagrinde yra lygiakra?tis trikampis ABC. Atkreipkite d?mes?, kad .

Trikampiai RAV, RVS, RSA- lygia?oniai trikampiai (pagal savyb?). Trikamp? piramid? turi tris ?oninius pavir?ius: RAV, RVS, RSA. Tai rei?kia, kad piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas yra:

S pus? = 3S RAW

Teorema ?rodyta.

? taisyklingos keturkamp?s piramid?s pagrind? ?br??to apskritimo spindulys yra 3 m, piramid?s auk?tis – 4 m. Raskite piramid?s ?oninio pavir?iaus plot?.

Duota: taisyklinga keturkamp? piramid? ABCD,

ABCD- kvadratas,

r= 3 m,

RO- piramid?s auk?tis,

RO= 4 m.

Rasti: S pus?. ?r. pav. 6.

Ry?iai. 6

Sprendimas.

Pagal ?rodyt? teorem?,.

Pirmiausia suraskime pagrindo pus? AB. ?inome, kad ? taisyklingos keturkamp?s piramid?s pagrind? ?br??to apskritimo spindulys yra 3 m.

Tada, m.

Raskite kvadrato perimetr? ABCD kuri? kra?tin? yra 6 m:

Apsvarstykite trikamp? BCD. Leiskite M- ?ono vidurys DC. Nes APIE- vidurys BD, Tai (m).

Trikampis DPC- lygia?oniai. M- vidurys DC. tai yra RM- mediana, taigi ir auk?tis trikampyje DPC. Tada RM- piramid?s apotema.

RO- piramid?s auk?tis. Tada tiesiai RO statmenai plok?tumai ABC, tod?l tiesioginis OM, guli jame. Raskime apotem? RM i? sta?iojo trikampio ROM.

Dabar galime rasti piramid?s ?onin? pavir?i?:

Atsakymas Plotas: 60 m2.

Aplink taisyklingos trikamp?s piramid?s pagrind? apibr??to apskritimo spindulys lygus m. ?oninio pavir?iaus plotas yra 18 m 2. Raskite apotemo ilg?.

Duota: ABCP- taisyklinga trikamp? piramid?,

AB = BC = SA,

R= m,

P pus? = 18 m2.

Rasti: . ?r. pav. 7.

Ry?iai. 7

Sprendimas.

Sta?iakampiame trikampyje ABC Nurodytas apibr??to apskritimo spindulys. Raskime pus? AB?is trikampis naudojant sinus? d?sn?.

?inodami taisyklingo trikampio kra?tin? (m), randame jo perimetr?.

Pagal teorem? apie taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus plot?, kur h a- piramid?s apotema. Tada:

Atsakymas: 4 m.

Taigi, pa?i?r?jome, kas yra piramid?, kas yra taisyklingoji piramid?, ir ?rod?me teorem? apie taisyklingosios piramid?s ?onin? pavir?i?. Kitoje pamokoje susipa?insime su nupjaut?ja piramide.

Nuorodos

1. Geometrija. 10-11 klas?s: vadov?lis bendrojo ugdymo ?staig? (pagrindinio ir specializuoto lygio) mokiniams / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.
2. Geometrija. 10-11 kl.: Vadov?lis bendrojo ugdymo ?staigoms / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
3. Geometrija. 10 klas?: Vadov?lis bendrojo ugdymo ?staigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leid., stereotipas. - M.: Bustardas, 008. - 233 p.: iliustr.

1. Interneto portalas "Yaklass" ()
2. Interneto portalas „Pedagogini? id?j? festivalis „Rugs?jo pirmoji“ ()
3. Interneto portalas „Slideshare.net“ ()

Nam? darbai

1. Ar taisyklingas daugiakampis gali b?ti netaisyklingos piramid?s pagrindas?
2. ?rodykite, kad taisyklingosios piramid?s nesujungtos briaunos yra statmenos.
3. Raskite dvikampio kampo taisyklingosios keturkamp?s piramid?s pagrindo kra?tin?je reik?m?, jei piramid?s apotemas lygus jos pagrindo kra?tinei.
4. RAVS- taisyklinga trikamp? piramid?. Sukurkite dvisienio kampo tiesin? kamp? piramid?s pagrindu.

Instrukcijos

Tuo atveju, jei baz?je piramid?s yra kvadratas, ?inomas jo ?stri?ain?s ilgis, taip pat ir ?io kra?to ilgis piramid?s, Tai auk??io tai piramid?s galima i?reik?ti i? Pitagoro teoremos, nes trikampis, sudarytas i? briaunos piramid?s, o pus? ?stri?ain?s prie pagrindo yra sta?iakampis.
Pitagoro teorema teigia, kad sta?iakampio trikampio hipotenuz?s kvadratas yra lygus jo koj? kvadrat? sumai (a? = b? + c?). Kra?tas piramid?s- hipotenuz?, viena i? koj? yra pus? kvadrato ?stri?ain?s. Tada ne?inomos kojos ilgis (auk?tis) randamas naudojant formules:
b? = a? - c?;
c? = a? – b?.

Kad abi situacijos b?t? kuo ai?kesn?s ir suprantamesn?s, galite apsvarstyti por?.
1 pavyzdys: bazinis plotas piramid?s 46 cm?, t?ris 120 cm?. Remiantis ?iais duomenimis, auk?tis piramid?s yra taip:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Atsakymas: ?io auk?tis piramid?s bus ma?daug 7,83 cm
2 pavyzdys: U piramid?s, kurio pagrinde guli daugiakampis – kvadratas, jo ?stri?ain? 14 cm, briaunos ilgis 15 cm Pagal ?iuos duomenis rasti auk??io piramid?s, turite naudoti ?i? formul? (kuri yra Pitagoro teoremos pasekm?):
h? = 15? - 14?
h? = 225–196 = 29
h = ?29 cm
Atsakymas: ?io auk?tis piramid?s yra ?29 cm arba ma?daug 5,4 cm

Atkreipkite d?mes?

Jei piramid?s pagrinde yra kvadratas ar kitas taisyklingas daugiakampis, tai ?i? piramid? galima vadinti taisykling?ja. Tokia piramid? turi kelet? savybi?:
jo ?oniniai ?onkauliai lyg?s;
jo pavir?iai yra lygia?oniai trikampiai, kurie yra lyg?s vienas kitam;
aplink toki? piramid? galima apib?dinti sfer?, taip pat j? ?ra?yti.

?altiniai:

• Teisinga piramid?

Piramid? yra fig?ra, kurios pagrindas yra daugiakampis, o jos pavir?iai yra trikampiai su bendra vir??ne visiems. Tipi?kose problemose da?nai reikia sukonstruoti ir nustatyti statmen?, nubr??t? i? vir??n?s piramid?s? jo pagrindo plok?tum?. ?io segmento ilgis vadinamas auk??iu piramid?s.

Jums reik?s

• - valdovas
• - pie?tukas
• - kompasas

Instrukcijos

Nor?dami u?baigti, pastatykite piramid? pagal u?duoties s?lygas. Pavyzd?iui, norint sukurti ?prast? tetraedr?, reikia nupie?ti fig?r?, kad visos 6 briaunos b?t? lygios viena kitai. Jei reikia statyti auk??io keturkampis, tada tik 4 pagrindo kra?tai turi b?ti lyg?s. Tada galite sukurti ?onini? pavir?i? kra?tus, nelygius daugiakampio kra?tams. Pavadinkite piramid?, visas vir??nes pa?ym?dami lotyni?komis raid?mis. Pavyzd?iui, u? piramid?s su trikampiu prie pagrindo galite pasirinkti A, B, C (pagrindui), S (vir?ui). Jei s?lyga nurodo konkre?ius briaun? matmenis, tada kurdami paveiksl? vadovaukit?s ?iomis reik?m?mis.

Nor?dami prad?ti, s?lygi?kai pasirinkite, naudodami kompas?, liestin? i? vidaus ? visus daugiakampio kra?tus. Jei piramid?, tada ta?kas (vadinkite j?, pavyzd?iui, H) ant pagrindo piramid?s, ? kur? nusileid?ia auk?tis, turi atitikti teisingame pagrinde ?ra?yto apskritimo centr? piramid?s. Centras atitiks ta?k?, esant? vienodu atstumu nuo bet kurio kito apskritimo ta?ko. Jei sujungsite vir??n? piramid?s S su apskritimo centru H, tada atkarpa SH bus auk?tis piramid?s. Atminkite, kad apskritimas gali b?ti ?ra?ytas ? keturkamp?, kurio prie?ingos kra?tin?s yra lygios. Tai taikoma kvadratui ir rombui. ?iuo atveju ta?kas H bus ant keturkampio. Bet kuriam trikampiui galima nubr??ti ir apib?dinti apskritim?.

Statyti auk??io piramid?s, kompasu nubr??kite apskritim?, o tada liniuote sujunkite jo centr? H su vir??ne S. SH yra norimas auk?tis. Jei baz?je piramid?s SABC yra netaisyklinga fig?ra, tada auk?tis sujungs vir??n? piramid?s su apskritimo, ? kur? ?br??tas pagrindo daugiakampis, centru. Ant tokio apskritimo guli visos daugiakampio vir??n?s. ?iuo atveju ?is segmentas bus statmenas pagrindo plok?tumai piramid?s. Galite apib?dinti apskritim? aplink keturkamp?, jei prie?ing? kamp? suma yra 180°. Tada tokio apskritimo centras bus atitinkamo ?stri?aini? sankirtoje

Apibr??imas. ?oninis kra?tas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramid?s vir?uje, o prie?inga pus? sutampa su pagrindo (daugiakampio) kra?tine.

Apibr??imas. ?oniniai ?onkauliai- tai yra bendros ?onini? pavir?i? pus?s. Piramid? turi tiek briaun?, kiek daugiakampio kamp?.

Apibr??imas. Piramid?s auk?tis- tai statmenas, nuleistas nuo piramid?s vir?aus iki pagrindo.

Apibr??imas. Apotema- tai statmenas piramid?s ?oniniam pavir?iui, nuleistas nuo piramid?s vir?aus ? pagrindo ?on?.

Apibr??imas. ?stri?ain? pj?vis- tai piramid?s atkarpa plok?tuma, einanti per piramid?s vir??n? ir pagrindo ?stri?ain?.

Apibr??imas. Teisinga piramid? yra piramid?, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o auk?tis nukrenta ? pagrindo centr?.

Piramid?s t?ris ir pavir?iaus plotas

Formul?. Piramid?s t?ris per pagrindo plot? ir auk?t?:

Piramid?s savyb?s

Jei visos ?onin?s briaunos lygios, tai aplink piramid?s pagrind? galima nubr??ti apskritim?, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat i? vir?aus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centr?.

Jei visi ?oniniai kra?tai yra vienodi, tada jie yra pasvir? ? pagrindo plok?tum? tais pa?iais kampais.

?onin?s briaunos yra lygios, kai sudaro vienodus kampus su pagrindo plok?tuma arba jei aplink piramid?s pagrind? galima apib?dinti apskritim?.

Jei ?oniniai pavir?iai yra pasvir? ? pagrindo plok?tum? tuo pa?iu kampu, tada ? piramid?s pagrind? galima ?ra?yti apskritim?, o piramid?s vir??n? projektuojama jo centre.

Jei ?oniniai pavir?iai yra pasvir? ? pagrindo plok?tum? tuo pa?iu kampu, tada ?onini? pavir?i? apotemos yra lygios.

Taisyklingos piramid?s savyb?s

1. Piramid?s vir?us yra vienodu atstumu nuo vis? pagrindo kamp?.

2. Visos ?onin?s briaunos lygios.

3. Visi ?oniniai ?onkauliai yra pasvir? vienodais kampais ? pagrind?.

4. Vis? ?onini? pavir?i? apotemos yra lygios.

5. Vis? ?onini? pavir?i? plotai lyg?s.

6. Visi pavir?iai turi vienodus dvikampius (plok??ius) kampus.

7. Aplink piramid? galima apib?dinti sfer?. Apribotos sferos centras bus statmen?, einan?i? per kra?tini? vidur?, susikirtimo ta?kas.

8. ? piramid? galite sutalpinti rutul?. ?br??tos sferos centras bus i? kampo tarp briaunos ir pagrindo kylan?i? bisektori? susikirtimo ta?kas.

9. Jei ?br??to rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plok?tumos kamp? suma vir??n?je yra lygi p arba atvirk??iai, vienas kampas lygus p/n, kur n yra skai?ius kamp? piramid?s pagrinde.

Piramid?s ir sferos ry?ys

Aplink piramid? galima apib?dinti sfer?, kai piramid?s pagrinde yra daugiakampis, aplink kur? galima apib?dinti apskritim? (b?tina ir pakankama s?lyga). Rutulio centras bus plok?tum?, einan?i? statmenai per piramid?s ?onini? kra?t? vidurio ta?kus, susikirtimo ta?kas.

Visada galima apib?dinti sfer? aplink bet kuri? trikamp? ar taisykling? piramid?.

Rutulys gali b?ti ?ra?ytas ? piramid?, jei piramid?s vidini? dvikampi? kamp? bisektorin?s plok?tumos susikerta viename ta?ke (b?tina ir pakankama s?lyga). ?is ta?kas bus sferos centras.

Piramid?s sujungimas su k?giu

Sakoma, kad k?gis yra ?ra?ytas ? piramid?, jei j? vir??n?s sutampa, o k?gio pagrindas yra ?ra?ytas ? piramid?s pagrind?.

? piramid? galima ?ra?yti k?g?, jei piramid?s apotemai yra lyg?s vienas kitam.

Sakoma, kad k?gis yra apribotas aplink piramid?, jei j? vir??n?s sutampa, o k?gio pagrindas yra apribotas aplink piramid?s pagrind?.

Aplink piramid? galima apib?dinti k?g?, jei visos piramid?s ?onin?s briaunos yra lygios viena kitai.

Piramid?s ir cilindro ry?ys

Piramid? vadinama ?br??ta ? cilindr?, jei piramid?s vir??n? yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramid?s pagrindas yra ?br??tas kitame cilindro pagrinde.

Cilindras gali b?ti apib?dintas aplink piramid?, jei aplink piramid?s pagrind? galima apib?dinti apskritim?.

Apibr??imas. Nupjauta piramid? (piramidin? prizm?) yra daugiakampis, esantis tarp piramid?s pagrindo ir pj?vio plok?tumos, lygiagre?ios pagrindui. Taigi piramid? turi didesn? pagrind? ir ma?esn? pagrind?, pana?? ? didesn?. ?oniniai pavir?iai yra trapecijos formos.

Apibr??imas. Trikamp? piramid? (tetraedras) yra piramid?, kurios trys pavir?iai ir pagrindas yra savavali?ki trikampiai.

Tetraedras turi keturis pavir?ius ir keturias vir??nes bei ?e?ias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendr? vir??ni?, bet nesilie?ia.

Kiekviena vir??n? susideda i? trij? formuojan?i? pavir?i? ir briaun? trikampio kampo.

Atkarpa, jungianti tetraedro vir??n? su prie?ingo pavir?iaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).

Bimedian vadinama atkarpa, jungian?ia prie?ing? kra?tini?, kurie nesilie?ia, vidurio ta?kus (KL).

Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename ta?ke (S). ?iuo atveju bimedianos dalijamos per pus?, o medianos – santykiu 3:1, pradedant nuo vir?aus.

Apibr??imas. Pasvirusi piramid? yra piramid?, kurios viena i? kra?tini? sudaro buk?j? kamp? (v) su pagrindu.

Apibr??imas. Sta?iakamp? piramid? yra piramid?, kurios vienas i? ?onini? pavir?i? yra statmenas pagrindui.

Apibr??imas. Smailaus kampo piramid?- piramid?, kurioje apotemas yra daugiau nei pus? pagrindo kra?tin?s ilgio.

Apibr??imas. Bukoji piramid?- piramid?, kurioje apotemas yra ma?esnis nei pus? pagrindo kra?tin?s ilgio.

Apibr??imas. Taisyklingas tetraedras- tetraedras, kurio visi keturi pavir?iai yra lygiakra??iai trikampiai. Tai vienas i? penki? taisykling? daugiakampi?. ?prastame tetraedre visi dvikampiai kampai (tarp pavir?i?) ir trikampiai kampai (vir??n?je) yra lyg?s.

Apibr??imas. Sta?iakampis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio vir??n?je tarp trij? kra?tini? yra tiesus kampas (kra?tin?s statmenos). Susidaro trys veidai sta?iakampis trikampis kampas ir pavir?iai yra sta?iakampiai, o pagrindas yra savavali?kas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kra?tin?s.

Apibr??imas. Izoedrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio ?oniniai pavir?iai yra lyg?s vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingasis trikampis. Toks tetraedras turi lygia?onius trikampius.

Apibr??imas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kuriame visi auk??iai (statmenys), nuleisti i? vir?aus ? prie?ing? pavir?i?, susikerta viename ta?ke.

Apibr??imas. ?vaig?d?i? piramid? Vadinamas daugiakampis, kurio pagrindas yra ?vaig?d?.

Apibr??imas. Bipiramid?- daugiakampis, susidedantis i? dviej? skirting? piramid?i? (piramid?s taip pat gali b?ti nupjautos), turin?ios bendr? pagrind?, o vir??n?s yra prie?ingose pagrindo plok?tumos pus?se.

Mes ir toliau svarstome u?duotis, ?trauktas ? Viening? valstybin? matematikos egzamin?. Mes jau nagrin?jome problemas, kuriose pateikta s?lyga ir reikia rasti atstum? tarp dviej? nurodyt? ta?k? arba kamp?.

Piramid? yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, likusieji pavir?iai yra trikampiai ir turi bendr? vir??n?.

Taisyklinga piramid? yra piramid?, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o jos vir??n? projektuojama ? pagrindo centr?.

Taisyklinga keturkamp? piramid? – pagrindas yra kvadratas Piramid?s vir??n? projektuojama pagrindo (kvadrato) ?stri?aini? susikirtimo ta?ke.

ML – apotema
?MLO – dvikampis kampas piramid?s pagrindu
?MCO – kampas tarp piramid?s ?onin?s briaunos ir pagrindo plok?tumos

?iame straipsnyje ap?velgsime ?prastos piramid?s problemas. Reikia rasti kok? nors element?, ?oninio pavir?iaus plot?, t?r?, auk?t?. ?inoma, reikia ?inoti Pitagoro teorem?, piramid?s ?oninio pavir?iaus ploto formul? ir piramid?s t?rio nustatymo formul?.

Straipsnyje "" pateikia formules, kurios b?tinos stereometrijos u?daviniams spr?sti. Taigi, u?duotys:

SABCD ta?kas O- pagrindo centras,S vir??n?, TAIP = 51, A.C.= 136. Raskite ?onin? briaun?S.C..

?iuo atveju pagrindas yra kvadratas. Tai rei?kia, kad ?stri?ain?s AC ir BD yra lygios, jos susikerta ir yra padalintos per susikirtimo ta?k?. Atkreipkite d?mes?, kad ?prastoje piramid?je auk?tis, nukrit?s nuo jos vir?aus, eina per piramid?s pagrindo centr?. Taigi SO yra auk?tis ir trikampisSOCsta?iakampis. Tada pagal Pitagoro teorem?:

Kaip i?gauti didelio skai?iaus ?akn?.

Atsakymas: 85

Spr?skite patys:

Taisyklingoje keturkamp?je piramid?je SABCD ta?kas O- pagrindo centras, S vir??n?, TAIP = 4, A.C.= 6. Raskite ?onin? briaun? S.C..

Taisyklingoje keturkamp?je piramid?je SABCD ta?kas O- pagrindo centras, S vir??n?, S.C. = 5, A.C.= 6. Raskite atkarpos ilg? TAIP.

Taisyklingoje keturkamp?je piramid?je SABCD ta?kas O- pagrindo centras, S vir??n?, TAIP = 4, S.C.= 5. Raskite atkarpos ilg? A.C..

SABC R- ?onkaulio vidurys B.C., S- vir?uje. Yra ?inoma, kad AB= 7, a S.R.= 16. Raskite ?oninio pavir?iaus plot?.

Taisyklingos trikamp?s piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir apotemos sandaugos (apotema yra taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus auk?tis, nubr??tas i? jos vir??n?s):

Arba galime pasakyti taip: piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas yra lygus trij? ?onini? pavir?i? plot? sumai. Taisyklingos trikamp?s piramid?s ?oniniai pavir?iai yra vienodo ploto trikampiai. ?iuo atveju:

Atsakymas: 168

Spr?skite patys:

Taisyklingoje trikamp?je piramid?je SABC R- ?onkaulio vidurys B.C., S- vir?uje. Yra ?inoma, kad AB= 1, a S.R.= 2. Raskite ?oninio pavir?iaus plot?.

Taisyklingoje trikamp?je piramid?je SABC R- ?onkaulio vidurys B.C., S- vir?uje. Yra ?inoma, kad AB= 1, o ?oninio pavir?iaus plotas yra 3. Raskite atkarpos ilg? S.R..

Taisyklingoje trikamp?je piramid?je SABC L- ?onkaulio vidurys B.C., S- vir?uje. Yra ?inoma, kad SL= 2, o ?oninio pavir?iaus plotas lygus 3. Raskite atkarpos ilg? AB.

Taisyklingoje trikamp?je piramid?je SABC M. Trikampio plotas ABC yra 25, piramid?s t?ris yra 100. Raskite atkarpos ilg? MS.

Piramid?s pagrindas yra lygiakra?tis trikampis. ?tai kod?l Myra pagrindo centras irMS- taisyklingos piramid?s auk?tisSABC. Piramid?s t?ris SABC lygu: per?i?r?ti sprendim?

Taisyklingoje trikamp?je piramid?je SABC pagrindo medianos susikerta ta?ke M. Trikampio plotas ABC lygus 3, MS= 1. Raskite piramid?s t?r?.

Taisyklingoje trikamp?je piramid?je SABC pagrindo medianos susikerta ta?ke M. Piramid?s t?ris yra 1, MS= 1. Raskite trikampio plot? ABC.

Pabaikime ?ia. Kaip matote, problemos i?sprend?iamos vienu ar dviem etapais. Ateityje mes svarstysime ir kitas problemas i? ?ios dalies, kur pateikiami revoliucijos k?nai, nepraleiskite to!

S?km?s tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. B??iau d?kingas, jei papasakotum?te apie svetain? socialiniuose tinkluose.