Funkcija vadinama did?jant intervalui
, jei d?l koki? nors ta?k?

nelygyb? galioja
(didesn? argumento reik?m? atitinka didesn? funkcijos reik?m?).

Taip pat ir funkcija
paskambino ma??jant intervalui
, jei d?l koki? nors ta?k?
i? ?io intervalo, jei s?lyga ?vykdoma
nelygyb? galioja
(didesn? argumento reik?m? atitinka ma?esn? funkcijos reik?m?).

Padid?j?s intervalas
ir ma??jant intervalui
funkcijos vadinamos monotoni?kas intervale
.

?inant diferencijuojamos funkcijos i?vestin?, galima rasti jos monotoni?kumo intervalus.

Teorema (pakankama s?lyga funkcijai padidinti).
funkcijas
teigiamas intervale
, tada funkcija
per ?? interval? did?ja monotoni?kai.

Teorema (pakankama s?lyga funkcijai ma??ti). Jei i?vestin? yra diferencijuojama intervale
funkcijas
neigiamas intervale
, tada funkcija
per ?? interval? ma??ja monotoni?kai.

Geometrin? reik?m? i? ?i? teorem? yra ta, kad ma??jan?i? funkcij? intervaluose funkcijos grafiko liestin?s susidaro su a?imi
bukais kampais, o did?jan?iais intervalais – smailiais (?r. 1 pav.).

Teorema (b?tina funkcijos monotoni?kumo s?lyga). Jei funkcija
skiriasi ir
(
) intervale
, tada ?iame intervale jis nema??ja (padid?ja).

Funkcijos monotoni?kumo interval? radimo algoritmas
:

Pavyzdys. Raskite funkcijos monotoni?kumo intervalus
.

Ta?kas paskambino maksimalus funkcijos ta?kas

toks visiems , atitinkan?i? s?lyg?
, nelygyb? galioja
.

Maksimali funkcija yra funkcijos reik?m? did?iausiame ta?ke.

2 paveiksle parodytas funkcijos, turin?ios maksimumus ta?kuose, grafiko pavyzdys
.

Ta?kas paskambino minimalus funkcijos ta?kas
, jei yra koks nors skai?ius
toks visiems , atitinkan?i? s?lyg?
, nelygyb? galioja
. Fig. 2 funkcija ta?ke turi minimum? .

Yra bendras auk?t? ir ?emum? pavadinimas - kra?tutinumai . Atitinkamai, vadinami did?iausi ir ma?iausi ta?kai ekstremal?s ta?kai .

Atkarpoje apibr??ta funkcija gali tur?ti maksimum? ir minimum? tik ta?kuose, esan?iuose ?ios atkarpos viduje. Taip pat netur?tum?te painioti funkcijos maksimumo ir minimumo su did?iausiomis ir ma?iausiomis segmento reik?m?mis - tai i? esm?s skirtingos s?vokos.

Ekstremumo ta?kuose darinys turi ypating? savybi?.

Teorema (b?tina ekstremumo s?lyga). Tegul ta?ke funkcija
turi ekstremum?. Tada arba
neegzistuoja arba
.

Tie ta?kai i? funkcijos apibr??imo srities, kurioje
neegzistuoja arba kuriame
, yra vadinami kritinius funkcijos ta?kus .

Taigi ekstremal?s ta?kai yra tarp kritini? ta?k?. Apskritai kritinis ta?kas neb?tinai turi b?ti ekstremalus ta?kas. Jei funkcijos i?vestin? tam tikrame ta?ke yra lygi nuliui, tai nerei?kia, kad funkcija ?iame ta?ke turi ekstremum?.

Pavyzdys. Pasvarstykime
. Turime
, bet ta?kas
n?ra ekstremumo ta?kas (?r. 3 pav.).

Teorema (pirma pakankama ekstremumo s?lyga). Tegul ta?ke funkcija
yra t?stinis, o i?vestin?
einant per ta?k? kei?ia ?enkl?. Tada – kra?tutinis ta?kas: maksimalus, jei ?enklas pasikei?ia i? „+“ ? „–“, ir minimalus, jei i? „–“ ? „+“.

Jei, einant per ta?k? vedinys nekei?ia ?enklo, tada ta?ke ekstremalaus nera.

Teorema (antra pakankama ekstremumo s?lyga). Tegul ta?ke dvigubai diferencijuojamos funkcijos i?vestin?
lygus nuliui (
), o antroji jo i?vestin? ?iuo metu yra ne nulis (
) ir yra i?tisinis tam tikroje ta?ko kaimynyst?je . Tada – ekstremalumo ta?kas
; adresu
tai yra minimalus ta?kas, ir ties
tai yra maksimalus ta?kas.

Funkcijos ekstremumo radimo algoritmas naudojant pirm?j? pakankam? ekstremumo s?lyg?:

Raskite i?vestin?.

Raskite kritinius funkcijos ta?kus.

I?nagrin?kite i?vestin?s ?enkl? kair?je ir de?in?je nuo kiekvieno kritinio ta?ko ir padarykite i?vad? apie ekstremali? buvim?.

Raskite kra?tutines funkcijos reik?mes.

Funkcijos ekstremumo radimo algoritmas naudojant antr?j? pakankam? ekstremumo s?lyg?:

Pavyzdys. Raskite funkcijos kra?tutinum?
.

Did?jan?ios funkcijos apibr??imas.

Funkcija y=f(x) did?ja per interval? X, jei kam ir nelygyb? galioja. Kitaip tariant, didesn? argumento reik?m? atitinka didesn? funkcijos reik?m?.

Ma??jan?ios funkcijos apibr??imas.

Funkcija y=f(x) intervale ma??ja X, jei kam ir nelygyb? galioja . Kitaip tariant, didesn? argumento reik?m? atitinka ma?esn? funkcijos reik?m?.

PASTABA: jei funkcija yra apibr??ta ir t?siasi did?jan?io arba ma??jan?io intervalo pabaigoje (a;b), tai yra, kada x=a Ir x=b, tada ?ie ta?kai ?traukiami ? did?jimo arba ma??jimo interval?. Tai neprie?tarauja did?jan?ios ir ma??jan?ios intervalo funkcijos apibr??imams X.

Pavyzd?iui, i? pagrindini? elementari?j? funkcij? savybi? tai ?inome y = sinx apibr??tas ir t?stinis visoms tikrosioms argumento reik?m?ms. Tod?l i? sinusin?s funkcijos padid?jimo intervale galime teigti, kad jis did?ja intervale.

Ekstremal?s ta?kai, funkcijos ekstremumai.

Ta?kas vadinamas maksimalus ta?kas funkcijas y=f(x), jei visiems x i? jos kaimynyst?s galioja nelygyb?. I?kvie?iama funkcijos reik?m? did?iausiame ta?ke maksimali funkcija ir pa?ym?ti .

Ta?kas vadinamas minimalus ta?kas funkcijas y=f(x), jei visiems x i? jos kaimynyst?s galioja nelygyb?. I?kvie?iama funkcijos reik?m? minimaliame ta?ke minimali funkcija ir pa?ym?ti .

Ta?ko kaimynyst? suprantama kaip intervalas , kur yra pakankamai ma?as teigiamas skai?ius.

Vadinami minimal?s ir did?iausi ta?kai ekstremal?s ta?kai, ir i?kvie?iamos funkcijos reik?m?s, atitinkan?ios ekstremumo ta?kus funkcijos ekstremumai.

Nepainiokite funkcijos ekstremali? su did?iausia ir ma?iausia funkcijos reik?m?mis.

Pirmame paveiksl?lyje – did?iausia segmento funkcijos reik?m? pasiekiamas maksimaliame ta?ke ir yra lygus funkcijos maksimumui, o antrame paveiksle - ta?ke pasiekiama did?iausia funkcijos reik?m? x=b, kuris n?ra maksimalus ta?kas.

Pakankamos s?lygos funkcijoms didinti ir ma?inti.

Remiantis pakankamomis funkcijos did?jimo ir ma??jimo s?lygomis (po?ymiais), randami funkcijos did?jimo ir ma??jimo intervalai.

?ia pateikiamos did?jan?i? ir ma??jan?i? funkcij? intervalo ?enkl? formuluot?s:

jei funkcijos i?vestin? y=f(x) teigiamas bet kam x nuo intervalo X, tada funkcija padid?ja X;

jei funkcijos i?vestin? y=f(x) neigiamas bet kam x nuo intervalo X, tada funkcija suma??ja X.

Taigi, norint nustatyti funkcijos did?jimo ir suma??jimo intervalus, b?tina:

Panagrin?kime pavyzd?, kaip rasti did?jan?i? ir ma??jan?i? funkcij? intervalus, kad paai?kintume algoritm?.

Pavyzdys.

Raskite did?jan?ios ir ma??jan?ios funkcijos intervalus.

Sprendimas.

Pirmas ?ingsnis yra rasti funkcijos apibr??im?. M?s? pavyzdyje i?rai?ka vardiklyje netur?t? eiti ? nul?, tod?l .

Pereikime prie funkcijos i?vestin?s paie?kos:

Nor?dami nustatyti funkcijos did?jimo ir ma??jimo intervalus remiantis pakankamu kriterijumi, sprend?iame apibr??imo srities nelygybes. Naudokime intervalo metodo apibendrinim?. Vienintel? tikroji skaitiklio ?aknis yra x = 2, o vardiklis tampa nuliu x=0. ?ie ta?kai padalija apibr??imo srit? ? intervalus, kuriuose funkcijos i?vestin? i?laiko savo ?enkl?. Pa?ym?kime ?iuos ta?kus skai?i? eilut?je. Mes sutartinai ?ymime pliusais ir minusais intervalus, kuriais i?vestin? yra teigiama arba neigiama. ?emiau esan?ios rodykl?s schemati?kai rodo funkcijos padid?jim? arba suma??jim? atitinkamame intervale.

Funkcijos kra?tutinumas

2 apibr??imas

Ta?kas $x_0$ vadinamas maksimaliu funkcijos $f(x)$ ta?ku, jei ?io ta?ko kaimynyst? yra tokia, kad visiems $x$ ?ioje kaimynyst?je nelygyb? $f(x)\le f(x_0) $ laikosi.

3 apibr??imas

Ta?kas $x_0$ vadinamas maksimaliu funkcijos $f(x)$ ta?ku, jei ?io ta?ko kaimynyst? yra tokia, kad visiems $x$ ?ioje kaimynyst?je nelygyb? $f(x)\ge f(x_0) $ laikosi.

Funkcijos ekstremumo s?voka glaud?iai susijusi su funkcijos kritinio ta?ko samprata. Leiskite mums pristatyti jo apibr??im?.

4 apibr??imas

$x_0$ vadinamas kritiniu funkcijos $f(x)$ ta?ku, jei:

1) $x_0$ - vidinis apibr??imo srities ta?kas;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ arba neegzistuoja.

Ekstremalumo s?vokai galime suformuluoti teoremas d?l pakankam? ir b?tin? jo egzistavimo s?lyg?.

2 teorema

Pakankama s?lyga ekstremumui

Tegul ta?kas $x_0$ yra svarbus funkcijai $y=f(x)$ ir yra intervale $(a,b)$. Tegul kiekviename intervale $\left(a,x_0\right)\ ir\ (x_0,b)$ egzistuoja i?vestin? $f"(x)$ ir palaiko pastov? ?enkl?. Tada:

1) Jei intervale $(a,x_0)$ i?vestin? yra $f"\left(x\right)>0$, o intervale $(x_0,b)$ i?vestin? yra $f"\left( x\de?in?)

2) Jei intervale $(a,x_0)$ i?vestin? $f"\left(x\right)0$, tai ta?kas $x_0$ yra ma?iausias ?ios funkcijos ta?kas.

3) Jei ir intervale $(a,x_0)$ ir intervale $(x_0,b)$ i?vestin? $f"\left(x\right) >0$ arba i?vestin? $f"\left(x \de?in?)

?i teorema pavaizduota 1 paveiksle.

1 pav. Pakankama s?lyga ekstremumams egzistuoti

Kra?tutinybi? pavyzd?iai (2 pav.).

2 pav. Kra?tutini? ta?k? pavyzd?iai

Ekstremumo funkcijos tyrimo taisykl?

2) Raskite i?vestin? $f"(x)$;

7) Pagal 2 teorem? padarykite i?vadas apie maksimum? ir minimum? buvim? kiekviename intervale.

Didina ir ma?ina funkcijas

Pirmiausia supa?indinkime su did?jan?i? ir ma??jan?i? funkcij? apibr??imais.

5 apibr??imas

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$, apibr??ta intervale $X$, did?ja, jei bet kuriuose ta?kuose $x_1,x_2\in X$ ties $x_1

6 apibr??imas

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$, apibr??ta intervale $X$, ma??ja, jei bet kuriuose $x_1f(x_2)$ ta?kuose $x_1,x_2\in X$.

Didinimo ir ma?inimo funkcijos tyrimas

Galite i?tirti did?jan?ias ir ma??jan?ias funkcijas naudodami i?vestin?.

Nor?dami i?tirti funkcij? did?jimo ir ma??jimo intervalams, turite atlikti ?iuos veiksmus:

1) Raskite funkcijos $f(x)$ apibr??imo srit?;

2) Raskite i?vestin? $f"(x)$;

3) Raskite ta?kus, kuriuose galioja lygyb? $f"\left(x\right)=0$;

4) Raskite ta?kus, kuriuose $f"(x)$ neegzistuoja;

5) Koordina?i? ties?je pa?ym?kite visus rastus ta?kus ir ?ios funkcijos apibr??imo srit?;

6) Nustatykite i?vestin?s $f"(x)$ ?enkl? kiekviename gautame intervale;

7) Padarykite i?vad?: intervalais, kur $f"\left(x\right)0$ funkcija did?ja.

Didinimo, ma?inimo ir ekstremali? ta?k? buvimo funkcij? tyrimo problem? pavyzd?iai

1 pavyzdys

I?tirkite didinimo ir ma?inimo funkcij? bei did?iausi? ir ma?iausi? ta?k? buvim?: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Kadangi pirmieji 6 ta?kai yra vienodi, pirmiausia atlikime juos.

1) Apibr??imo sritis – visi realieji skai?iai;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ egzistuoja visuose apibr??imo srities ta?kuose;

5) Koordina?i? linija:

3 pav.

6) Nustatykite i?vestin?s $f"(x)$ ?enkl? kiekviename intervale:

\ \}