tada jie sako, kad atsitiktinis kintamasis x turi tikimyb?s tankio funkcija f(x).

Apibr??imas. Tegul . Nepertraukiamai paskirstymo funkcijai F teorinis a-kvantilis vadinamas lygties sprendiniu.

?is sprendimas gali b?ti ne vienintelis.

Kvantilo lygis 1/2 vadinamas teoriniu mediana , kvantiliniai lygiai 1/4 Ir 3/4 -apatiniai ir vir?utiniai kvartiliai atitinkamai.

Vaidina svarb? vaidmen? aktuarin?se programose ?eby?evo nelygyb?:

bet kuriuo

Matematinio l?kes?io simbolis.

Jis skamba taip: tikimyb?, kad modulis yra didesnis arba lygus matematiniam modulio l?kes?iui, padalintam i? .

Gyvenimo trukm? kaip atsitiktinis kintamasis

Mirties momento neapibr??tumas yra pagrindinis rizikos veiksnys gyvyb?s draudime.

Apie asmens mirties moment? nieko ai?kaus pasakyti negalima. Ta?iau jei turime reikal? su didele vienalyte ?moni? grupe ir nesidomime atskir? ?ios grup?s ?moni? likimais, tai mes esame tikimybi? teorijos, kaip mokslo apie masinius atsitiktinius rei?kinius, turin?ius da?nio stabilumo savyb?. .

Atitinkamai, apie gyvenimo trukm? galime kalb?ti kaip apie atsitiktin? kintam?j? T.

I?gyvenimo funkcija

Tikimybi? teorija apib?dina bet kurio atsitiktinio dyd?io stochastin? pob?d? T paskirstymo funkcija F(x), kuri apibr??iama kaip tikimyb?, kad atsitiktinis kintamasis T ma?esnis u? skai?i? x:

.

Aktuarin?je matematikoje malonu dirbti ne su paskirstymo funkcija, o su papildoma paskirstymo funkcija . Kalbant apie ilgaam?i?kum?, tai yra tikimyb?, kad ?mogus gyvens iki am?iaus x met?.

paskambino i?gyvenimo funkcija(i?gyvenimo funkcija):

I?gyvenimo funkcija turi ?ias savybes:

Gyvenimo lentel?se paprastai daroma prielaida, kad j? yra am?iaus riba (ribojant am?i?) (da?niausiai metus) ir, atitinkamai, val x>.

Apib?dinant mirtingum? analitiniais d?sniais, da?niausiai daroma prielaida, kad gyvenimo trukm? yra neribota, ta?iau d?sni? tipas ir parametrai parenkami taip, kad tikimyb? gyventi po tam tikro am?iaus b?t? nereik?minga.

I?gyvenimo funkcija turi paprast? statistin? reik?m?.

Tarkime, stebime grup? naujagimi? (da?niausiai), kuriuos stebime ir galime fiksuoti j? mirties akimirkas.

Pa?ym?kime gyv? ?ios grup?s atstov? skai?i? pagal am?i? . Tada:

.

Simbolis E?ia ir toliau vartojami matematiniams l?kes?iams ?ym?ti.

Taigi i?gyvenamumo funkcija yra lygi vidutinei daliai t?, kurie i?gyvena iki am?iaus i? tam tikros fiksuotos naujagimi? grup?s.

Aktuarin?je matematikoje da?nai dirbama ne su i?likimo funkcija, o su k? tik ?vesta reik?me (fiksuojan?iu pradin? grup?s dyd?).

I?gyvenimo funkcij? galima atkurti pagal tank?:

Gyvenimo trukm?s charakteristikos

Praktiniu po?i?riu svarbios ?ios savyb?s:

1 . Vidutinis gyvenimo laikas

,
2 . Sklaida vis? gyvenim?

,
Kur
,

Vargu ar daugelis susim?sto, ar ?manoma apskai?iuoti daugiau ar ma?iau atsitiktinius ?vykius. Paprastais ?od?iais tariant, ar galima ?inoti, kuri kubo pus? i?kils toliau? Tok? klausim? u?dav? du puik?s mokslininkai, pad?j? pamatus tokiam mokslui kaip tikimybi? teorija, kurioje gana pla?iai tyrin?jama ?vykio tikimyb?.

Kilm?

Jei bandysite apibr??ti toki? s?vok? kaip tikimybi? teorij?, gausite ?tai k?: tai viena i? matematikos ?ak?, tirianti atsitiktini? ?vyki? pastovum?. ?inoma, ?i koncepcija tikrai neatskleid?ia visos esm?s, tod?l b?tina j? apsvarstyti i?samiau.

Nor??iau prad?ti nuo teorijos k?r?j?. Kaip min?ta auk??iau, j? buvo du, ir jie buvo vieni pirm?j?, kurie band? apskai?iuoti to ar kito ?vykio baigt? naudodami formules ir matematinius skai?iavimus. Apskritai ?io mokslo u?uomazgos atsirado viduram?iais. Tuo metu ?vair?s m?stytojai ir mokslininkai band? analizuoti azartinius ?aidimus, tokius kaip rulet?, craps ir pan., taip nustatydami konkretaus skai?iaus i?kritimo model? ir procent?. Pagrind? XVII am?iuje pad?jo min?ti mokslininkai.

I? prad?i? j? darbai negal?jo b?ti laikomi dideliais pasiekimais ?ioje srityje, nes viskas, k? jie padar?, buvo tik empiriniai faktai, o eksperimentai buvo atliekami vizualiai, nenaudojant formuli?. Laikui b?gant buvo galima pasiekti puiki? rezultat?, kurie atsirado stebint kauliuk? metim?. B?tent ?is ?rankis pad?jo i?vesti pirm?sias suprantamas formules.

Pana?iai m?stantys ?mon?s

Ne?manoma nepamin?ti tokio asmens, kaip Christiaan Huygens, studijuojant tem?, vadinam? „tikimybi? teorija“ (?vykio tikimyb? apr?pia b?tent ?is mokslas). ?is ?mogus labai ?domus. Jis, kaip ir auk??iau pateikti mokslininkai, band? i?vesti atsitiktini? ?vyki? model? matematini? formuli? pavidalu. Pasteb?tina, kad jis to nedar? kartu su Pascal ir Fermat, tai yra, visi jo darbai nesikerta su ?iais protais. Huygensas padar? i?vad?

?domus faktas yra tai, kad jo darbas pasirod? gerokai anks?iau nei atrado atrad?j? darbo rezultatai, tiksliau, prie? dvide?imt met?. Tarp nustatyt? s?vok? garsiausios yra:

• tikimyb?s, kaip atsitiktinumo vert?s, samprata;
• matematinis l?kestis atskiriems atvejams;
• tikimybi? daugybos ir sud?jimo teoremos.

Taip pat ne?manoma neprisiminti, kas taip pat reik?mingai prisid?jo prie problemos tyrimo. Atlikdamas savo bandymus, nepriklausomai nuo nieko, jis sugeb?jo pateikti dideli? skai?i? d?snio ?rodym?. Savo ruo?tu mokslininkai Puasonas ir Laplasas, dirb? XIX am?iaus prad?ioje, sugeb?jo ?rodyti pirmines teoremas. Nuo ?io momento tikimybi? teorija buvo prad?ta naudoti analizuojant steb?jim? klaidas. Rusijos mokslininkai, tiksliau Markovas, ?eby?evas ir Djapunovas, negal?jo ignoruoti ?io mokslo. Remdamiesi did?i?j? genij? darbu, jie ?k?r? ?? dalyk? kaip matematikos ?ak?. ?ie skai?iai veik? jau XIX am?iaus pabaigoje ir j? ind?lio d?ka buvo ?rodyti ?ie rei?kiniai:

• dideli? skai?i? d?snis;
• Markovo grandin?s teorija;
• centrin?s ribos teorema.

Taigi su mokslo gimimo istorija ir pagrindiniais jai ?takos tur?jusiais ?mon?mis viskas daugma? ai?ku. Dabar at?jo laikas i?siai?kinti visus faktus.

Pagrindin?s s?vokos

Prie? lie?iant d?snius ir teoremas, verta i?studijuoti pagrindines tikimybi? teorijos s?vokas. Renginys jame vaidina pagrindin? vaidmen?. ?i tema yra gana didel?, ta?iau be jos ne?manoma suprasti viso kito.

Tikimybi? teorijoje ?vykis yra bet koks eksperimento rezultat? rinkinys. Yra nema?ai ?io rei?kinio s?vok?. Taigi ?ioje srityje dirbantis mokslininkas Lotmanas teig?, kad ?iuo atveju kalbame apie tai, kas „atsitiko, nors gal?jo ir neb?ti“.

Atsitiktiniai ?vykiai (tikimybi? teorija jiems skiria ypating? d?mes?) yra s?voka, kuri rei?kia absoliu?iai bet kok? rei?kin?, kuris turi galimyb? ?vykti. Arba, prie?ingai, ?is scenarijus gali ne?vykti, jei ?vykdoma daug s?lyg?. Taip pat verta ?inoti, kad atsitiktiniai ?vykiai u?fiksuoja vis? ?vykusi? rei?kini? apimt?. Tikimybi? teorija rodo, kad visos s?lygos gali kartotis nuolat. B?tent j? elgesys vadinamas „patirtimi“ arba „testu“.

Patikimas ?vykis yra rei?kinys, kuris ?imtu procent? gali ?vykti atliekant tam tikr? test?. Atitinkamai ne?manomas ?vykis yra tas, kuris ne?vyks.

Veiksm? poros derinys (s?lygi?kai A ir B atvejis) yra rei?kinys, vykstantis vienu metu. Jie pa?ym?ti kaip AB.

?vyki? A ir B por? suma yra C, kitaip tariant, jei ?vyks bent vienas i? j? (A arba B), tada bus gauta C Apra?omo rei?kinio formul? u?ra?oma taip: C = A + B.

Nenuosekl?s ?vykiai tikimybi? teorijoje rei?kia, kad du atvejai yra vienas kit? paneigiantys. Jokiomis aplinkyb?mis jie negali vykti tuo pa?iu metu. Bendri ?vykiai tikimybi? teorijoje yra j? antipodas. ?ia turima omenyje tai, kad jei A atsitiko, tai niekaip netrukdo B.

Prie?ingus ?vykius (tikimybi? teorija juos labai i?samiai i?nagrin?ja) lengva suprasti. Geriausias b?das juos suprasti yra palyginimas. Jie yra beveik tokie patys kaip nesuderinami ?vykiai tikimybi? teorijoje. Ta?iau j? skirtumas slypi tame, kad vienas i? daugelio rei?kini? turi ?vykti bet kuriuo atveju.

Lygiai taip pat galimi ?vykiai yra tie veiksmai, kurie turi vienod? galimyb? pasikartoti. Kad b?t? ai?kiau, galite ?sivaizduoti monetos metim?: vienodai tik?tina, kad praradus vien? i? jos pusi? i?kris ir kita.

Lengviau vertinti palank? ?vyk? turint pavyzd?. Tarkime, yra B epizodas ir A epizodas. Pirmasis – kauliuko metimas su nelyginiu skai?iumi, o antrasis – skai?iaus penktas pasirodymas ant kauliuko. Tada paai?k?ja, kad A palankiai vertina B.

Nepriklausomi ?vykiai tikimybi? teorijoje projektuojami tik dviem ar daugiau atvej? ir rei?kia bet kokio veiksmo nepriklausomum? nuo kito. Pavyzd?iui, A yra galv? praradimas metant monet?, o B yra domkrato i?traukimas i? kalad?s. Tai nepriklausomi ?vykiai tikimybi? teorijoje. ?iuo metu tapo ai?kiau.

Priklausomi ?vykiai tikimybi? teorijoje taip pat leid?iami tik j? rinkiniui. Jie rei?kia vieno priklausomyb? nuo kito, tai yra, rei?kinys B gali atsirasti tik tada, kai A jau ?vyko arba, atvirk??iai, ne?vyko, kai tai yra pagrindin? B s?lyga.

Atsitiktinio eksperimento, susidedan?io i? vieno komponento, rezultatas yra elementar?s ?vykiai. Tikimybi? teorija ai?kina, kad tai rei?kinys, nutik?s tik vien? kart?.

Pagrindin?s formul?s

Taigi auk??iau buvo aptartos „?vykio“ ir „tikimybi? teorijos“ s?vokos. Dabar at?jo laikas tiesiogiai susipa?inti su svarbiomis formul?mis. ?ios i?rai?kos matemati?kai patvirtina visas pagrindines tokio sud?tingo dalyko kaip tikimybi? teorijos s?vokas. ?vykio tikimyb? ?ia taip pat vaidina did?iul? vaidmen?.

Geriau prad?ti nuo pagrindini? Ir prie? pradedant nuo j?, verta pagalvoti, kokie jie yra.

Kombinatorika pirmiausia yra matematikos ?aka, kurioje tiriama daugyb? sveik?j? skai?i?, taip pat ?vair?s pa?i? skai?i? ir j? element? permutacijos, ?vair?s duomenys ir kt., D?l kuri? atsiranda daugyb? derini?. Be tikimybi? teorijos, ?i ?aka svarbi statistikai, informatikai ir kriptografijai.

Taigi, dabar galime pereiti prie pa?i? formuli? ir j? apibr??imo pateikimo.

Pirmasis i? j? bus permutacij? skai?iaus i?rai?ka, ji atrodo taip:

P_n = n ? (n - 1) ? (n - 2)…3 ? 2 ? 1 = n!

Lygtis taikoma tik tuo atveju, jei elementai skiriasi tik j? i?d?stymo tvarka.

Dabar bus svarstoma paskirties vietos formul?, ji atrodo taip:

A_n^m = n ? (n - 1) ? (n-2) ? ... ? (n - m + 1) = n! : (n - m)!

?i i?rai?ka taikoma ne tik elemento i?d?stymo tvarkai, bet ir jo sud??iai.

Tre?ioji kombinatorikos lygtis, kuri taip pat yra paskutin?, vadinama kombinacij? skai?iaus formule:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Derinys rei?kia pasirinkimus, kurie n?ra atitinkamai u?sakyti, jiems taikoma ?i taisykl?.

Buvo lengva suprasti kombinatorikos formules, dabar galite pereiti prie klasikinio tikimybi? apibr??imo. ?i i?rai?ka atrodo taip:

?ioje formul?je m yra ?vykiui A palanki? s?lyg? skai?ius, o n yra absoliu?iai vis? vienodai galim? ir elementari? baig?i? skai?ius.

Yra daug posaki?, kurie apims ne visas, bet bus palie?iami svarbiausi, pavyzd?iui, ?vyki? sumos tikimyb?:

P(A + B) = P(A) + P(B) – ?i teorema skirta tik nesuderinamiems ?vykiams prid?ti;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ir ?is skirtas prid?ti tik suderinamus.

?vyki? tikimyb?:

P(A ? B) = P(A) ? P(B) - ?i teorema skirta nepriklausomiems ?vykiams;

(P(A ? B) = P(A) ? P(B|A); P(A ? B) = P(A) ? P(A|B)) - ir ?is skirtas priklausomam.

Rengini? s?ra?? u?baigs rengini? formul?. Tikimybi? teorija pasakoja apie Bayeso teorem?, kuri atrodo taip:

P(H_m|A) = (P(H_m)P(A|H_m)) : (?_(k=1)^n P(H_k)P(A|H_k)),m = 1,..., n

?ioje formul?je H 1, H 2, ..., H n yra visa hipotezi? grup?.

Pavyzd?iai

Jei atid?iai i?studijavote kuri? nors matematikos dal?, ji neapsieina be pratim? ir sprendim? pavyzd?i?. Taip pat ir tikimybi? teorija: ?vykiai ir pavyzd?iai ?ia yra neatskiriama sudedamoji dalis, patvirtinanti mokslinius skai?iavimus.

Permutacij? skai?iaus formul?

Tarkime, kort? kalad?je yra trisde?imt kort?, pradedant nuo vienos vert?s. Kitas klausimas. Kiek yra b?d?, kaip sukrauti kalad?, kad kortos, kuri? vert? viena ir antra, neb?t? viena ?alia kitos?

U?duotis i?kelta, dabar pereikime prie jos sprendimo. Pirmiausia turite nustatyti trisde?imties element? permutacij? skai?i?, tam imame auk??iau pateikt? formul?, pasirodo, P_30 = 30!.

Remdamiesi ?ia taisykle, i?siai?kiname, kiek yra variant? kalad? nulenkti ?vairiais b?dais, ta?iau i? j? reikia atimti tas, kuriose pirma ir antra kortos yra viena ?alia kitos. Nor?dami tai padaryti, prad?kime nuo parinkties, kai pirmasis yra vir? antrojo. Pasirodo, pirmoji korta gali u?imti dvide?imt devynias vietas – nuo pirmos iki dvide?imt devintos, o antroji – nuo antrosios iki trisde?imtosios, tai i? viso kort? porai tenka dvide?imt devynios vietos. Savo ruo?tu likusieji gali priimti dvide?imt a?tuonias vietas bet kokia tvarka. Tai yra, norint pertvarkyti dvide?imt a?tuonias korteles, yra dvide?imt a?tuonios parinktys P_28 = 28!

D?l to paai?k?ja, kad jei svarstysime sprendim?, kai pirmoji korta yra auk??iau antrosios, atsiras 29 ? 28 papildomos galimyb?s! = 29!

Naudodami t? pat? metod?, turite apskai?iuoti perteklini? parink?i? skai?i? tuo atveju, kai pirmoji kortel? yra po antroji. Taip pat pasirodo, kad 29 ? 28! = 29!

I? to i?plaukia, kad yra 2? 29 papildomi variantai!, o b?tini denio surinkimo b?dai yra 30! - 2 ? 29!. Belieka tik suskai?iuoti.

30! = 29! ? 30; 30!- 2 ? 29! = 29! ? (30 - 2) = 29! ? 28

Dabar reikia padauginti visus skai?ius nuo vieno iki dvide?imt devyni? ir galiausiai visk? padauginti i? 28. Atsakymas yra 2,4757335 ??10?^32

Sprendimo pavyzdys. Vietos numerio formul?

?ioje u?duotyje turite i?siai?kinti, kiek b?d? yra penkiolika tom? sud?ti ? vien? lentyn?, ta?iau su s?lyga, kad i? viso yra trisde?imt tom?.

?ios problemos sprendimas yra ?iek tiek paprastesnis nei ankstesnis. Naudojant jau ?inom? formul?, reikia apskai?iuoti bendr? trisde?imties penkiolikos t?ri? susitarim? skai?i?.

A_30^15 = 30 ? 29 ? 28?... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? 16 = 202 843 204 931 727 0

Atsakymas atitinkamai bus lygus 202 843 204 931 727 360 000.

Dabar imkim?s ?iek tiek sunkesn?s u?duoties. Turite i?siai?kinti, kiek b?d? yra trisde?imt knyg? i?d?styti dviejose knyg? lentynose, atsi?velgiant ? tai, kad vienoje lentynoje telpa tik penkiolika tom?.

Prie? prad?damas sprendim?, nor??iau paai?kinti, kad kai kurias problemas galima i?spr?sti keliais b?dais, o ?is turi du b?dus, ta?iau abiem naudojama ta pati formul?.

?ioje u?duotyje galite paimti atsakym? i? ankstesnio, nes ten skai?iavome, kiek kart? galite ?vairiais b?dais u?pildyti lentyn? penkiolika knyg?. Paai?k?jo, kad A_30^15 = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ...? 16.

Antr?j? lentyn? skai?iuosime pagal permutacijos formul?, nes joje galima ?d?ti penkiolika knyg?, o lieka tik penkiolika. Mes naudojame formul? P_15 = 15!.

Pasirodo, kad bendra suma bus A_30^15 ? P_15 b?d?, bet, be to, vis? skai?i? sandaug? nuo trisde?imties iki ?e?iolikos reik?s padauginti i? skai?i? sandaugos nuo vieno iki penkiolikos. gaus vis? skai?i? sandaug? nuo vieno iki trisde?imties, tai yra, atsakymas lygus 30!

Ta?iau ?i? problem? galima i?spr?sti ir kitu b?du – lengviau. Nor?dami tai padaryti, galite ?sivaizduoti, kad yra viena lentyna trisde?im?iai knyg?. Visi jie dedami ? ?i? plok?tum?, bet kadangi s?lyga reikalauja, kad lentynos b?t? dvi, vien? ilg? pamat?me per pus?, tod?l gauname dvi i? penkiolikos. I? to paai?k?ja, kad gali b?ti P_30 = 30 i?d?stymo variant?!.

Sprendimo pavyzdys. Skai?i? derinio formul?

Dabar apsvarstysime tre?iosios kombinatorikos problemos versij?. B?tina i?siai?kinti, kiek yra b?d?, kaip i?d?styti penkiolika knyg?, jei reikia pasirinkti i? trisde?imties visi?kai identi?k?.

Norint i?spr?sti, ?inoma, bus taikoma kombinacij? skai?iaus formul?. I? s?lygos ai?k?ja, kad identi?k? penkiolikos knyg? eil? n?ra svarbi. Tod?l i? prad?i? reikia i?siai?kinti bendr? trisde?imties penkiolikos knyg? derini? skai?i?.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Tai viskas. Naudodami ?i? formul?, mes sugeb?jome i?spr?sti ?i? problem? per trumpiausi? ?manom? laik?, tod?l atsakymas yra 155 117 520.

Sprendimo pavyzdys. Klasikinis tikimyb?s apibr??imas

Naudodami auk??iau pateikt? formul? galite rasti atsakym? ? paprast? problem?. Ta?iau tai pad?s ai?kiai matyti ir sekti veiksm? eig?.

Problema teigia, kad urnoje yra de?imt visi?kai identi?k? kamuoliuk?. I? j? keturi yra geltoni, o ?e?i - m?lyni. I? urnos paimamas vienas rutulys. Turite i?siai?kinti tikimyb? tapti m?lyna.

Norint i?spr?sti problem?, m?lynojo rutulio gavim? b?tina priskirti kaip ?vyk? A. ?is eksperimentas gali tur?ti de?imt rezultat?, kurie, savo ruo?tu, yra elementar?s ir vienodai galimi. Tuo pa?iu metu i? de?imties ?e?i yra palank?s ?vykiui A. Sprend?iame pagal formul?:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Taikydami ?i? formul? su?inojome, kad tikimyb? gauti m?lyn? rutul? yra 0,6.

Sprendimo pavyzdys. ?vyki? sumos tikimyb?

Dabar bus pateikta parinktis, kuri i?spr?sta naudojant ?vyki? sumos tikimyb?s formul?. Taigi, s?lyga, kad yra dvi d??ut?s, pirmoje yra vienas pilkas ir penki balti rutuliai, o antroje yra a?tuoni pilki ir keturi balti rutuliukai. D?l to vien? i? j? pa?m? i? pirmos ir antros d???s. Turite i?siai?kinti, kokia tikimyb?, kad kamuoliukai bus pilki ir balti.

Norint i?spr?sti ?i? problem?, b?tina nustatyti ?vykius.

• Taigi, A - pa?m? pilk? rutul? i? pirmos d??ut?s: P(A) = 1/6.
• A’ – pa?m? balt? rutul? taip pat i? pirmos d???s: P(A“) = 5/6.
• B - i? antrosios d??ut?s buvo pa?alintas pilkas rutulys: P(B) = 2/3.
• B’ – pa?m? pilk? rutul? i? antrojo langelio: P(B”) = 1/3.

Pagal problemos s?lygas b?tina, kad ?vykt? vienas i? rei?kini?: AB’ arba A’B. Naudodami formul? gauname: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Dabar buvo panaudota tikimyb?s dauginimo formul?. Toliau, nor?dami su?inoti atsakym?, turite pritaikyti j? prid?jimo lygt?:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Taip galite i?spr?sti pana?ias problemas naudodami formul?.

Apatin? eilut?

Straipsnyje pateikta informacija tema „Tikimybi? teorija“, kurioje ?vykio tikimyb? vaidina esmin? vaidmen?. ?inoma, ne ? visk? buvo atsi?velgta, ta?iau remiantis pateiktu tekstu, teori?kai galite susipa?inti su ?ia matematikos dalimi. Aptariamas mokslas gali b?ti naudingas ne tik profesiniame darbe, bet ir kasdieniame gyvenime. Su jo pagalba galite apskai?iuoti bet koki? bet kokio ?vykio galimyb?.

Tekste taip pat buvo paliestos reik?mingos tikimybi? teorijos, kaip mokslo, formavimosi istorijos datos, ?moni?, kuri? darbas ? j? buvo investuotas, pavard?s. Taip ?mogaus smalsumas l?m? tai, kad ?mon?s i?moko skai?iuoti net atsitiktinius ?vykius. Ka?kada jie tiesiog tuo dom?josi, bet ?iandien apie tai jau ?ino visi. Ir niekas nepasakys, kas m?s? laukia ateityje, koki? dar geniali? atradim?, susijusi? su nagrin?jama teorija, bus padaryta. Ta?iau viena ai?ku – tyrimai nestovi vietoje!

Tai yra t? steb?jim?, kuriuose ?vyko atitinkamas ?vykis, skai?iaus ir bendro steb?jim? skai?iaus santykis. Toks ai?kinimas yra priimtinas, kai atliekama pakankamai daug steb?jim? ar eksperiment?. Pavyzd?iui, jei ma?daug pus? gatv?je sutikt? ?moni? yra moterys, tuomet galima sakyti, kad tikimyb?, kad gatv?je sutiktas ?mogus bus moteris, yra 1/2. Kitaip tariant, ?vykio tikimyb?s ?vertinimas gali b?ti jo pasirei?kimo da?nis ilgoje nepriklausom? atsitiktinio eksperimento pakartojim? serijoje.

Tikimyb? matematikoje

?iuolaikiniame matematiniame po?i?ryje klasikin? (ty ne kvantin?) tikimyb? suteikia Kolmogorovo aksiomatika. Tikimyb? yra matas P, kuris yra apibr??tas rinkinyje X, vadinama tikimybi? erdve. ?i priemon? turi tur?ti ?ias savybes:

I? ?i? s?lyg? i?plaukia, kad tikimyb?s matas P taip pat turi turt? adityvumas: jei nustatyta A 1 ir A 2 nesikerta, tada . Nor?dami ?rodyti, turite ?d?ti visk? A 3 , A 4 , ... lygus tu??iai aibei ir pritaikyti skai?iuojamojo adityvumo savyb?.

Tikimyb?s matas gali b?ti apibr??tas ne visiems aib?s pogrupiams X. Pakanka j? apibr??ti sigmos algebroje, susidedan?ioje i? kai kuri? aib?s poaibi? X. ?iuo atveju atsitiktiniai ?vykiai apibr??iami kaip i?matuojami erdv?s pogrupiai X, tai yra, kaip sigmos algebros elementai.

Tikimybi? jausmas

Kai nustatome, kad tam tikro galimo fakto prie?astys nusveria prie?ingas prie?astis, mes atsi?velgiame ? ?? fakt? tik?tina, kitaip - ne?tik?tinas. ?i teigiam? bazi? persvara prie? neigiamas ir atvirk??iai, gali reik?ti neapibr??t? laipsni? rinkin?, d?l kurio tikimyb?(Ir netikimyb?) B?na daugiau arba ma?iau .

Sud?tingi atskiri faktai neleid?ia tiksliai apskai?iuoti j? tikimyb?s laipsni?, ta?iau net ir ?ia svarbu nustatyti kai kuriuos didelius padalinius. Taigi, pavyzd?iui, teisin?je srityje, kai pagal parodymus nustatomas nagrin?tinas asmeninis faktas, jis visada lieka, grie?tai tariant, tik tik?tinas, ir b?tina ?inoti, kiek ?i tikimyb? reik?minga; rom?n? teis?je ?ia buvo priimtas keturgubas skirstymas: probatio plena(kur tikimyb? prakti?kai virsta patikimumas), tada - probatio minus plena, tada - probatio semiplena major ir galiausiai probatio semiplena minor .

Be klausimo d?l atvejo tikimyb?s, tiek teis?s, tiek moral?s srityje (turint tam tikr? etin? po?i?r?) gali kilti klausimas, kiek tik?tina, kad tam tikras faktas yra bendrojo ?statymo pa?eidimas. ?is klausimas, kuris yra pagrindinis Talmudo religin?s jurisprudencijos motyvas, Romos katalik? moral?s teologijoje (ypa? nuo XVI a. pabaigos) taip pat suk?l? labai sud?tingas sistemines konstrukcijas ir did?iul? dogmatin? ir polemin? literat?r?. ?r. Tikimyb?).

Tikimyb?s s?voka leid?ia naudoti tam tikr? skaitin? i?rai?k?, kai ji taikoma tik tokiems faktams, kurie yra tam tikr? vienar??i? eilu?i? dalis. Taigi (papras?iausiu pavyzd?iu), kai kas nors meta monet? ?imt? kart? i? eil?s, ?ia randame vien? bendr? arba didel? serij? (vis? monetos kritim? sum?), susidedan?i? i? dviej? priva?i? ar ma?esni?, ?iuo atveju skaitini?. lygi, serija (krenta „galvomis“ ir krenta „uodegomis“); Tikimyb?, kad ?? kart? moneta nusileis galvutes, tai yra, kad ?is naujas bendrosios serijos narys priklausys tai i? dviej? ma?esni? serij?, yra lygi trupmenai, i?rei?kian?iai skaitin? ry?? tarp ?ios ma?os serijos ir didesn?s. b?tent 1/2, tai yra ta pati tikimyb? priklauso vienai ar kitai i? dviej? konkre?i? eilu?i?. Ne tokie paprastuose pavyzd?iuose i?vados negalima daryti tiesiogiai i? pa?ios problemos duomen?, bet reikia i? anksto indukcijos. Taigi, pavyzd?iui, kyla klausimas: kokia tikimyb?, kad naujagimis sulauks 80 met?? ?ia turi b?ti bendra arba didel? tam tikro skai?iaus ?moni?, gimusi? pana?iomis s?lygomis ir mirusi? skirtingu am?iumi, serija (?is skai?ius turi b?ti pakankamai didelis, kad pa?alint? atsitiktinius nuokrypius, ir pakankamai ma?as, kad i?laikyt? serijos homogeni?kum?, ?mogui, gimusiam, pavyzd?iui, Sankt Peterburge turtingoje, kult?ringoje ?eimoje, visa milijonin? miesto gyventoj? dalis, kurios nema?? dal? sudaro ?vairi? grupi? ?mon?s, galintys mirti anks?iau laiko – kariai, ?urnalistai, pavojing? profesij? darbuotojai – yra pernelyg nevienalyt? grup?, kad b?t? galima realiai nustatyti tikimyb?) ; tegul ?i bendroji serija susideda i? de?imties t?kstan?i? ?moni? gyvybi?; ji apima ma?esnes eilutes, kuriose nurodomas tam tikro am?iaus i?gyvenusi? ?moni? skai?ius; viena i? ?i? ma?esni? serij? rodo ?moni?, gyvenan?i? iki 80 met?, skai?i?. Ta?iau ?ios ma?esn?s serijos (kaip ir vis? kit?) skai?iaus nustatyti ne?manoma. a priori; tai daroma grynai indukciniu b?du, pasitelkiant statistik?. Tarkime, statistiniais tyrimais nustatyta, kad i? 10 000 viduriniosios klas?s Sankt Peterburgo gyventoj? tik 45 gyvena iki 80 met?; Taigi ?i ma?esn? serija yra susijusi su didesne, nes 45 yra 10 000, o tikimyb?, kad tam tikras asmuo priklausys ?iai ma?esnei serijai, tai yra, nugyvens iki 80 met?, i?rei?kiama trupmena 0,0045. Tikimybi? tyrimas matematiniu po?i?riu sudaro speciali? disciplin? – tikimybi? teorij?.

Taip pat ?r

Pastabos

Literat?ra

• Alfredas Renyi. Raid?s apie tikimyb? / vert. i? vengr? D. Saas ir A. Crumley, red. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970 m
• Gnedenko B.V. Tikimybi? teorijos kursas. M., 2007. 42 p.
• Kupcovas V.I. Determinizmas ir tikimyb?. M., 1976. 256 p.

Wikimedia fondas.

Sinonimai:

Antonimai

Pa?i?r?kite, kas yra „tikimyb?“ kituose ?odynuose: Bendroji mokslin? ir filosofin?. kategorija, nurodanti kiekybin? masini? atsitiktini? ?vyki? atsiradimo fiksuotomis steb?jimo s?lygomis galimyb?s laipsn?, apib?dinanti j? santykinio da?nio stabilum?. Logika, semantinis laipsnis....

Filosofin? enciklopedija TIKIMYB?, skai?ius diapazone nuo nulio iki vieneto imtinai, nurodantis tam tikro ?vykio galimyb?. ?vykio tikimyb? apibr??iama kaip tikimyb?s, kad ?vykis gali ?vykti, skai?iaus santykis su visu galim?... ...

Mokslinis ir techninis enciklopedinis ?odynas Labai tik?tina.. Rus? sinonim? ir pana?i? posaki? ?odynas. pagal. red. N. Abramova, M.: Rus? kalbos ?odynai, 1999. tikimyb?s galimyb?, tikimyb?, tikimyb?, objektyvi galimyb?, maza, priimtinumas, rizika. Ant. negalimybe......

tikimyb? Sinonim? ?odynas - Priemon?, rodanti, kad ?vykis gali ?vykti. Pastaba Matematinis tikimyb?s apibr??imas yra toks: „realusis skai?ius nuo 0 iki 1, susietas su atsitiktiniu ?vykiu“. Skai?ius gali atspind?ti santykin? da?n? steb?jim? serijoje... ...

Techninis vert?jo vadovas Tikimyb? - „matematin?, skaitin? bet kokio ?vykio atsiradimo tam tikromis s?lygomis tikimyb?s laipsnio charakteristika, kuri gali b?ti kartojama neribot? skai?i? kart?“. Remiantis ?ia klasika......

Ekonominis-matematinis ?odynas - (tikimyb?) ?vykio ar tam tikro rezultato atsiradimo galimyb?. Jis gali b?ti pateiktas skal?s pavidalu su padalomis nuo 0 iki 1. Jei ?vykio tikimyb? lygi nuliui, jo ?vykimas ne?manomas. Esant tikimybei, lygiai 1, prasideda...