• pendidikan: mengajar siswa untuk menemukan luas poligon menggunakan metode yang telah mereka pilih, membentuk representasi awal
• keterampilan poligon, grafik dan pengukuran;
• pengembangan: pengembangan metode aktivitas mental siswa saat melakukan tugas mulai dari pengamatan, perhitungan hingga mengklarifikasi pola penghitungan luas poligon;
• mendidik: mengungkapkan pengalaman subjektif siswa, mendorong tindakan, aspirasi siswa sebagai dasar untuk mendidik sifat-sifat kepribadian yang positif;
• metodis: menciptakan kondisi untuk manifestasi aktivitas kognitif siswa.

Peralatan pelajaran:

1. Desain papan tulis: di sebelah kiri - bentuk poligon, di sebelah kanan - kanvas kosong papan untuk menulis dalam pelajaran, di tengah - poligon-persegi panjang.
2. Selebaran "Untuk penelitian".
3. Alat bantu guru dan siswa (kapur, penunjuk, penggaris, lembar penelitian, gambar, kertas gambar, spidol).

Metode pelajaran:

• Tentang interaksi guru dan siswa - dialog-komunikasi;
• Menurut metode pemecahan masalah - pencarian parsial;
• Menurut cara aktivitas mental - (SUD) pelatihan pengembangan.

Bentuk pelajarannya frontal, berpasangan, individual.

Jenis pelajarannya adalah pelajaran dalam menguasai pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan baru.

Struktur pelajaran adalah pendalaman topik secara bertahap, fleksibel, dialogis.

Selama kelas

Salam pembuka.

Pelajaran itu indah dan membawa sukacita ketika kita berpikir dan bekerja sama. Hari ini kita akan mempertimbangkan angka-angka, menentukan nama mereka, berpikir, mencari dan menemukan solusi. Kami berharap satu sama lain sukses bekerja.

Pembaruan pengetahuan.

Perhatikan gambar (poligon di papan tulis).

Mereka semua bersama. Mengapa? Apa fitur umum mereka? (Poligon).

Beri nama poligon ini (5-gon, 6-gon…)

Tahukah kamu apa itu luas poligon?

Kemudian tunjukkan pada salah satu gambar.

(Generalisasi oleh guru: luas adalah bagian dari bidang di dalam bangun geometris tertutup.)

Dalam bahasa Rusia, kata ini memiliki beberapa arti.

(Siswa dalam kamus memperkenalkan artinya.)

1. Bagian dari pesawat di dalam sosok geometris tertutup.
2. Area luas yang belum berkembang dan datar.
3. Tempat untuk tujuan apa pun.

Nilai apa yang digunakan dalam matematika?

Dalam matematika, nilai pertama digunakan.

(Ada gambar di papan tulis).

Apakah itu poligon? Ya.

Beri nama bentuknya secara berbeda. Persegi panjang.

Tampilkan panjang, lebar.

Bagaimana cara mencari luas poligon?

Tulis rumus menggunakan huruf dan simbol.

Jika panjang persegi panjang kita adalah 20 cm, lebarnya adalah 10 cm. Apa itu daerah?

luasnya 200 cm2

Pikirkan tentang cara memasang penggaris sehingga gambar dibagi menjadi:

Apakah Anda melihat bagian mana dari gambar itu? Dan sekarang, sebaliknya, kami akan mengumpulkan keseluruhan menjadi beberapa bagian.

(Bagian dari gambar itu terletak di atas meja. Anak-anak merakit persegi panjang dari mereka).

Buatlah kesimpulan dari pengamatan Anda.

Seluruh gambar dapat dibagi menjadi beberapa bagian dan dari bagian menjadi satu kesatuan.

Rumah berdasarkan segitiga dan segi empat adalah figur, siluet. Inilah yang mereka ternyata.

(Demonstrasi gambar yang dibuat oleh siswa di rumah. Salah satu karya dianalisis).

Angka apa yang Anda gunakan? Anda memiliki poligon yang kompleks.

Pernyataan tugas pendidikan.

Dalam pelajaran, kita harus menjawab pertanyaan: bagaimana menemukan luas poligon kompleks?

Mengapa seseorang perlu menemukan area tersebut?

(Jawaban anak-anak dan generalisasi oleh guru).

Tugas menentukan area muncul dari latihan.

(Rencana situs sekolah ditampilkan.)

Untuk membangun sekolah, mereka terlebih dahulu membuat rencana. Kemudian wilayah itu dibagi menjadi beberapa bagian dari area tertentu, bangunan, hamparan bunga, stadion ditempatkan. Dalam hal ini, situs memiliki bentuk tertentu - bentuk poligon.

Solusi dari masalah pendidikan.

(Pola dibagikan untuk penelitian.)

Ada sosok di depan Anda. Beri nama dia.

Poligon, segi enam.

Temukan luas poligon. Apa yang harus dilakukan untuk ini?

Bagi menjadi persegi panjang.

(Jika mengalami kesulitan, akan ada pertanyaan lain: "Terdiri dari bentuk apa poligon?").

Dari dua persegi panjang.

Bagilah bentuk menjadi persegi panjang menggunakan penggaris dan pensil. Tentukan nomor 1 dan 2 menerima bagian.

Mari kita melakukan pengukuran.

Temukan luas gambar pertama.

(Siswa menyarankan solusi berikut dan menuliskannya di papan tulis.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 cm 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 cm 2

Mengetahui luas bagian-bagiannya, bagaimana cara menemukan luas seluruh gambar?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Bandingkan hasilnya dan buat kesimpulan.

Yuk ikuti langkah kami

Bagaimana cara menemukan luas poligon?

Algoritma dikompilasi dan ditulis di poster :?

1. Bagilah gambar menjadi beberapa bagian

2. Temukan luas bagian poligon ini (S 1, S 2).

3. Temukan luas seluruh poligon (S 1 + S 2).

Ucapkan algoritma.

(Beberapa siswa mengucapkan algoritma).

Kami menemukan dua cara, dan mungkin ada lebih banyak?

Dan Anda bisa menyelesaikan gambarnya.

Berapa banyak persegi panjang yang kamu dapatkan?

Mari kita tentukan bagian 1 dan 2. Mari kita lakukan pengukuran.

Temukan luas setiap bagian poligon.

• S1=6? 5=30cm 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Bagaimana menemukan luas segi enam kita?

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 cm 2

Mari kita buat algoritma:

Selesaikan gambar menjadi persegi panjang

Ditemukan S 1 dan S 2 .

Kami menemukan perbedaan S 1 - S 2.

Bandingkan dua algoritma. Buatlah kesimpulan. Tindakan apa yang sama? Di mana tindakan kita berbeda?

Tutup matamu, turunkan kepalamu. Ulangi algoritma secara mental.

Kami telah melakukan penelitian, mempertimbangkan metode yang berbeda dan sekarang kami dapat menemukan area poligon apa pun.

Pemeriksaan kinerja.

Uji dirimu.

Berikut adalah poligon.

Temukan area salah satu gambar pilihan, sementara Anda dapat menggunakan metode yang berbeda.

Pekerjaan dilakukan secara mandiri. Anak-anak memilih sosok. Temukan area di salah satu cara. Verifikasi adalah kunci di papan tulis.

Apa yang bisa dikatakan tentang formulir? (Bentuk berbeda)

Berapakah luas poligon ini? (Luas poligon ini sama)

Evaluasi hasilnya.

Siapa yang benar - masukkan "+".

Siapa yang memiliki keraguan, kesulitan - "?"

Konsultan memberikan bantuan kepada orang-orang, mencari kesalahan, membantu memperbaikinya.

Pekerjaan rumah:

Susun lembar penelitian Anda, hitung luas poligon dengan cara yang berbeda.

Ringkasan pelajaran.

Jadi, teman-teman, apa yang Anda beri tahu orang tua Anda tentang cara menemukan luas bangun geometris - poligon.

Pengonversi Satuan Jarak dan Panjang Pengonversi Satuan Luas Bergabung © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Dilarang menyalin materi. Di kalkulator online, Anda dapat menggunakan nilai dalam satuan pengukuran yang sama! Jika Anda kesulitan mengonversi satuan ukuran, gunakan Pengonversi Satuan Jarak dan Panjang dan Pengonversi Satuan Area. Fitur tambahan dari kalkulator area segi empat

• Anda dapat berpindah antar kolom input dengan menekan tombol kanan dan kiri pada keyboard.

Teori. Luas segiempat Segi empat adalah bangun datar yang terdiri dari empat titik (simpul), tidak ada tiga di antaranya yang terletak pada garis lurus yang sama, dan empat segmen (sisi) yang menghubungkan titik-titik ini secara berpasangan. Suatu segi empat disebut cembung jika ruas yang menghubungkan dua titik pada segi empat ini berada di dalamnya.

Bagaimana cara mencari luas poligon?

Rumus untuk menentukan luas ditentukan dengan mengambil setiap sisi poligon AB, dan menghitung luas segitiga ABO dengan titik di titik asal O, melalui koordinat titik. Saat berjalan di sekitar poligon, segitiga terbentuk, termasuk bagian dalam poligon dan terletak di luarnya. Selisih antara jumlah luasan tersebut adalah luas poligon itu sendiri.

Oleh karena itu, rumus tersebut disebut rumus surveyor, karena "kartografer" adalah asalnya; jika berjalan di area berlawanan arah jarum jam, area ditambahkan jika di sebelah kiri dan dikurangkan jika di sebelah kanan dalam hal asal. Rumus luas berlaku untuk poligon yang tidak berpotongan (sederhana), yang mungkin cembung atau cekung. Isi

• 1 Definisi
• 2 Contoh
• 3 Contoh yang lebih kompleks
• 4 Nama penjelasan
• 5 Lihat

Daerah poligon

Perhatian

Bisa jadi:

• segi tiga;
• berbentuk segi empat;
• lima atau segi enam dan seterusnya.

Sosok seperti itu tentu akan dicirikan oleh dua posisi:

1. Sisi-sisi yang bersebelahan tidak termasuk dalam garis yang sama.
2. Yang tidak berdekatan tidak memiliki titik yang sama, yaitu, mereka tidak berpotongan.

Untuk memahami simpul mana yang bertetangga, Anda perlu melihat apakah simpul-simpul itu milik sisi yang sama. Jika ya, maka tetangga. Jika tidak, mereka dapat dihubungkan oleh segmen, yang harus disebut diagonal. Mereka hanya dapat digambar dalam poligon yang memiliki lebih dari tiga simpul.

Apa jenis dari mereka yang ada? Sebuah poligon dengan lebih dari empat sudut bisa cembung atau cekung. Perbedaan yang terakhir adalah bahwa beberapa simpulnya mungkin terletak pada sisi yang berbeda dari garis lurus yang ditarik melalui sisi poligon yang berubah-ubah.

Bagaimana cara mencari luas segi enam beraturan dan tidak beraturan?

• Mengetahui panjang sisinya, kalikan dengan 6 dan dapatkan keliling segi enam: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Ganti hasilnya dalam rumus kami:
Luas \u003d 1/2 * keliling * apothema Luas \u003d * 60cm * 5?3 Selesaikan: Sekarang tinggal menyederhanakan jawaban untuk menghilangkan akar kuadrat, dan menunjukkan hasilnya dalam sentimeter persegi: * 60 cm * 5 3 cm = 30 * 5?3 cm =150 3 cm =259,8 cm? Video cara mencari luas segi enam beraturan Ada beberapa opsi untuk menentukan luas segi enam beraturan:

• metode trapesium.
• Metode untuk menghitung luas poligon tidak beraturan menggunakan sumbu koordinat.
• Metode untuk membagi segi enam menjadi bentuk lain.

Tergantung pada data awal yang akan Anda ketahui, metode yang sesuai dipilih.

Penting

Beberapa segi enam tidak beraturan terdiri dari dua jajaran genjang. Untuk menentukan luas jajar genjang, kalikan panjangnya dengan lebarnya lalu tambahkan dua luas yang sudah diketahui. Video cara mencari luas poligon Segi enam sama sisi memiliki enam sisi yang sama dan merupakan segi enam beraturan.

Luas segi enam sama sisi sama dengan 6 luas segitiga di mana gambar segi enam biasa dibagi. Semua segitiga dalam segi enam biasa adalah sama, jadi untuk menemukan luas segi enam seperti itu, cukup mengetahui luas setidaknya satu segitiga. Untuk mencari luas segi enam sama sisi, tentu saja digunakan rumus luas segi enam biasa yang dijelaskan di atas.

404 tidak ditemukan

Mendekorasi rumah, pakaian, menggambar gambar berkontribusi pada proses pembentukan dan akumulasi informasi di bidang geometri, yang diperoleh orang pada masa itu secara empiris, sedikit demi sedikit dan diturunkan dari generasi ke generasi. Saat ini, pengetahuan tentang geometri diperlukan untuk pemotong, pembangun, arsitek, dan setiap orang biasa dalam kehidupan sehari-hari. Karena itu, Anda perlu mempelajari cara menghitung luas berbagai angka, dan ingat bahwa setiap rumus dapat berguna nanti dalam praktik, termasuk rumus untuk segi enam biasa.
Segi enam adalah sosok poligonal, jumlah total sudutnya adalah enam. Segi enam beraturan adalah bangun datar segi enam yang memiliki sisi yang sama. Sudut segi enam beraturan juga sama besar.
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan benda-benda yang memiliki bentuk segi enam beraturan.

Kalkulator area poligon tidak beraturan di samping

Anda akan perlu

• - rolet;
• — pengintai elektronik;
• - selembar kertas dan pensil;
• - Kalkulator.

Instruksi 1 Jika Anda membutuhkan total luas apartemen atau ruang terpisah, baca saja paspor teknis untuk apartemen atau rumah, itu menunjukkan rekaman setiap kamar dan total rekaman apartemen. 2 Untuk mengukur luas ruangan persegi panjang atau persegi, ambil pita pengukur atau pengukur jarak elektronik dan ukur panjang dinding. Saat mengukur jarak dengan pengintai, pastikan arah pancaran sinar tegak lurus, jika tidak, hasil pengukuran dapat terdistorsi. 3 Kemudian kalikan panjang ruangan yang dihasilkan (dalam meter) dengan lebarnya (dalam meter). Nilai yang dihasilkan akan menjadi luas lantai, diukur dalam meter persegi.

rumus luas Gauss

Jika Anda perlu menghitung luas lantai dari struktur yang lebih kompleks, seperti ruang pentagonal atau ruangan dengan lengkungan bundar, gambar sketsa skema di selembar kertas. Kemudian bagi bentuk kompleks menjadi beberapa bentuk sederhana, seperti persegi dan segitiga, atau persegi panjang dan setengah lingkaran. Gunakan pita pengukur atau pengintai untuk mengukur ukuran semua sisi gambar yang dihasilkan (untuk lingkaran, Anda perlu mengetahui diameternya) dan masukkan hasilnya pada gambar Anda.

5 Sekarang hitung luas setiap bentuk secara terpisah. Luas persegi panjang dan bujur sangkar dihitung dengan mengalikan sisi-sisinya. Untuk menghitung luas lingkaran, bagilah diameter menjadi dua dan persegi (kalikan dengan dirinya sendiri), lalu kalikan hasilnya dengan 3,14.
Jika Anda hanya menginginkan setengah dari lingkaran, bagilah luas yang dihasilkan menjadi dua. Untuk menghitung luas segitiga, cari P dengan membagi jumlah semua sisi dengan 2.

Rumus untuk menghitung luas poligon tidak beraturan

Jika titik-titik diberi nomor secara berurutan dalam arah berlawanan arah jarum jam, maka determinan dalam rumus di atas adalah positif dan modulus di dalamnya dapat dihilangkan; jika mereka diberi nomor searah jarum jam, determinannya akan negatif. Ini karena rumus dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema Green. Untuk menerapkan rumus, Anda perlu mengetahui koordinat simpul poligon di bidang Cartesian.

Sebagai contoh, mari kita ambil segitiga dengan koordinat ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Ambil koordinat x pertama dari simpul pertama dan kalikan dengan koordinat y dari simpul kedua, lalu kalikan koordinat x dari simpul kedua dengan koordinat y dari simpul ketiga. Kami mengulangi prosedur ini untuk semua simpul. Hasilnya dapat ditentukan dengan rumus berikut: A tri.

Rumus untuk menghitung luas segi empat tidak beraturan

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) di mana xi dan yi menunjukkan koordinat yang sesuai. Rumus ini dapat diperoleh dengan membuka tanda kurung dalam rumus umum untuk kasus n = 3. Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menemukan bahwa luas segitiga sama dengan setengah jumlah 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, yang memberikan 3. Jumlah variabel dalam rumus tergantung pada jumlah sisi poligon. Misalnya, rumus luas segi lima akan menggunakan variabel hingga x5 dan y5: Sebuah pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 4 y 3 x 5 y 4 x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A untuk sebuah quad - variabel hingga x4 dan y4: Sebuah quad.

• pendidikan: mengajar siswa untuk menemukan luas poligon menggunakan metode yang telah mereka pilih, membentuk representasi awal
• keterampilan poligon, grafik dan pengukuran;
• pengembangan: pengembangan metode aktivitas mental siswa saat melakukan tugas mulai dari pengamatan, perhitungan hingga mengklarifikasi pola penghitungan luas poligon;
• mendidik: mengungkapkan pengalaman subjektif siswa, mendorong tindakan, aspirasi siswa sebagai dasar untuk mendidik sifat-sifat kepribadian yang positif;
• metodis: menciptakan kondisi untuk manifestasi aktivitas kognitif siswa.

Peralatan pelajaran:

1. Desain papan tulis: di sebelah kiri - bentuk poligon, di sebelah kanan - kanvas kosong papan untuk menulis dalam pelajaran, di tengah - poligon-persegi panjang.
2. Selebaran "Untuk penelitian".
3. Alat bantu guru dan siswa (kapur, penunjuk, penggaris, lembar penelitian, gambar, kertas gambar, spidol).

Metode pelajaran:

• Tentang interaksi guru dan siswa - dialog-komunikasi;
• Menurut metode pemecahan masalah - pencarian parsial;
• Menurut cara aktivitas mental - (SUD) pelatihan pengembangan.

Bentuk pelajarannya frontal, berpasangan, individual.

Jenis pelajarannya adalah pelajaran dalam menguasai pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan baru.

Struktur pelajaran adalah pendalaman topik secara bertahap, fleksibel, dialogis.

Selama kelas

Salam pembuka.

Pelajaran itu indah dan membawa sukacita ketika kita berpikir dan bekerja sama. Hari ini kita akan mempertimbangkan angka-angka, menentukan nama mereka, berpikir, mencari dan menemukan solusi. Kami berharap satu sama lain sukses bekerja.

Pembaruan pengetahuan.

Perhatikan gambar (poligon di papan tulis).

Mereka semua bersama. Mengapa? Apa fitur umum mereka? (Poligon).

Beri nama poligon ini (5-gon, 6-gon…)

Tahukah kamu apa itu luas poligon?

Kemudian tunjukkan pada salah satu gambar.

(Generalisasi oleh guru: luas adalah bagian dari bidang di dalam bangun geometris tertutup.)

Dalam bahasa Rusia, kata ini memiliki beberapa arti.

(Siswa dalam kamus memperkenalkan artinya.)

1. Bagian dari pesawat di dalam sosok geometris tertutup.
2. Area luas yang belum berkembang dan datar.
3. Tempat untuk tujuan apa pun.

Nilai apa yang digunakan dalam matematika?

Dalam matematika, nilai pertama digunakan.

(Ada gambar di papan tulis).

Apakah itu poligon? Ya.

Beri nama bentuknya secara berbeda. Persegi panjang.

Tampilkan panjang, lebar.

Bagaimana cara mencari luas poligon?

Tulis rumus menggunakan huruf dan simbol.

Jika panjang persegi panjang kita adalah 20 cm, lebarnya adalah 10 cm. Apa itu daerah?

luasnya 200 cm2

Pikirkan tentang cara memasang penggaris sehingga gambar dibagi menjadi:

Apakah Anda melihat bagian mana dari gambar itu? Dan sekarang, sebaliknya, kami akan mengumpulkan keseluruhan menjadi beberapa bagian.

(Bagian dari gambar itu terletak di atas meja. Anak-anak merakit persegi panjang dari mereka).

Buatlah kesimpulan dari pengamatan Anda.

Seluruh gambar dapat dibagi menjadi beberapa bagian dan dari bagian menjadi satu kesatuan.

Rumah berdasarkan segitiga dan segi empat adalah figur, siluet. Inilah yang mereka ternyata.

(Demonstrasi gambar yang dibuat oleh siswa di rumah. Salah satu karya dianalisis).

Angka apa yang Anda gunakan? Anda memiliki poligon yang kompleks.

Pernyataan tugas pendidikan.

Dalam pelajaran, kita harus menjawab pertanyaan: bagaimana menemukan luas poligon kompleks?

Mengapa seseorang perlu menemukan area tersebut?

(Jawaban anak-anak dan generalisasi oleh guru).

Tugas menentukan area muncul dari latihan.

(Rencana situs sekolah ditampilkan.)

Untuk membangun sekolah, mereka terlebih dahulu membuat rencana. Kemudian wilayah itu dibagi menjadi beberapa bagian dari area tertentu, bangunan, hamparan bunga, stadion ditempatkan. Dalam hal ini, situs memiliki bentuk tertentu - bentuk poligon.

Solusi dari masalah pendidikan.

(Pola dibagikan untuk penelitian.)

Ada sosok di depan Anda. Beri nama dia.

Poligon, segi enam.

Temukan luas poligon. Apa yang harus dilakukan untuk ini?

Bagi menjadi persegi panjang.

(Jika mengalami kesulitan, akan ada pertanyaan lain: "Terdiri dari bentuk apa poligon?").

Dari dua persegi panjang.

Bagilah bentuk menjadi persegi panjang menggunakan penggaris dan pensil. Tentukan nomor 1 dan 2 menerima bagian.

Mari kita melakukan pengukuran.

Temukan luas gambar pertama.

(Siswa menyarankan solusi berikut dan menuliskannya di papan tulis.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 cm 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 cm 2

Mengetahui luas bagian-bagiannya, bagaimana cara menemukan luas seluruh gambar?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Bandingkan hasilnya dan buat kesimpulan.

Yuk ikuti langkah kami

Bagaimana cara menemukan luas poligon?

Algoritma dikompilasi dan ditulis di poster :?

1. Bagilah gambar menjadi beberapa bagian

2. Temukan luas bagian poligon ini (S 1, S 2).

3. Temukan luas seluruh poligon (S 1 + S 2).

Ucapkan algoritma.

(Beberapa siswa mengucapkan algoritma).

Kami menemukan dua cara, dan mungkin ada lebih banyak?

Dan Anda bisa menyelesaikan gambarnya.

Berapa banyak persegi panjang yang kamu dapatkan?

Mari kita tentukan bagian 1 dan 2. Mari kita lakukan pengukuran.

Temukan luas setiap bagian poligon.

• S1=6? 5=30cm 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Bagaimana menemukan luas segi enam kita?

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 cm 2

Mari kita buat algoritma:

Selesaikan gambar menjadi persegi panjang

Ditemukan S 1 dan S 2 .

Kami menemukan perbedaan S 1 - S 2.

Bandingkan dua algoritma. Buatlah kesimpulan. Tindakan apa yang sama? Di mana tindakan kita berbeda?

Tutup matamu, turunkan kepalamu. Ulangi algoritma secara mental.

Kami telah melakukan penelitian, mempertimbangkan metode yang berbeda dan sekarang kami dapat menemukan area poligon apa pun.

Pemeriksaan kinerja.

Uji dirimu.

Berikut adalah poligon.

Temukan area salah satu gambar pilihan, sementara Anda dapat menggunakan metode yang berbeda.

Pekerjaan dilakukan secara mandiri. Anak-anak memilih sosok. Temukan area di salah satu cara. Verifikasi adalah kunci di papan tulis.

Apa yang bisa dikatakan tentang formulir? (Bentuk berbeda)

Berapakah luas poligon ini? (Luas poligon ini sama)

Evaluasi hasilnya.

Siapa yang benar - masukkan "+".

Siapa yang memiliki keraguan, kesulitan - "?"

Konsultan memberikan bantuan kepada orang-orang, mencari kesalahan, membantu memperbaikinya.

Pekerjaan rumah:

Susun lembar penelitian Anda, hitung luas poligon dengan cara yang berbeda.

Ringkasan pelajaran.

Jadi, teman-teman, apa yang Anda beri tahu orang tua Anda tentang cara menemukan luas bangun geometris - poligon.

Pelajaran dari serial " Algoritma Geometris»

Halo pembaca yang budiman.

Solusi dari banyak masalah geometri komputasi didasarkan pada penemuan daerah poligon. Dalam pelajaran ini, kita akan memperoleh rumus untuk menghitung luas poligon menggunakan koordinat simpulnya, dan menulis fungsi untuk menghitung luas ini.

Sebuah tugas. Hitung luas poligon, diberikan oleh koordinat simpulnya, dalam urutan searah jarum jam.

Informasi dari geometri komputasi

Untuk menurunkan rumus luas poligon, kita memerlukan informasi dari geometri komputasi, yaitu konsep luas segitiga yang berorientasi.

Area berorientasi segitiga adalah area yang biasa disediakan dengan tanda. Tanda Area Berorientasi Segitiga ABC sama dengan sudut berorientasi antara vektor dan. Artinya, tandanya tergantung pada urutan simpul yang disebutkan.

pada Nasi. 1 segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Area orientasinya adalah (lebih besar dari nol, karena pasangan berorientasi positif). Nilai yang sama dapat dihitung dengan cara lain.

Membiarkan HAI adalah titik sembarang pada bidang. Pada gambar kita, luas segitiga ABC diperoleh dengan mengurangkan luas OAB dan OCA dari luas segitiga OBC. Jadi, Anda hanya perlu tambahkan area berorientasi segitiga OAB, OBC dan OCA. Aturan ini berlaku untuk pilihan titik apa pun HAI.

Demikian pula, untuk menghitung luas poligon apa pun, Anda perlu menambahkan area berorientasi segitiga

Jumlahnya akan menjadi luas poligon, diambil dengan tanda tambah jika poligon di sebelah kiri ketika akan mengelilingi poligon (melewati batas berlawanan arah jarum jam), dan dengan tanda minus jika di sebelah kanan (melewati searah jarum jam). ).

Jadi, perhitungan luas poligon dikurangi menjadi mencari luas segitiga. Mari kita lihat bagaimana mengekspresikannya dalam koordinat.

Perkalian silang dua vektor pada bidang adalah luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini.

Produk vektor dinyatakan dalam koordinat vektor:

Jika koordinat simpul diberikan dalam urutan berlawanan arah jarum jam, maka nomor S, dihitung dengan rumus ini akan positif. Jika tidak, itu akan menjadi negatif, dan untuk mendapatkan luas geometris biasa, kita perlu mengambil nilai absolutnya.

Jadi, pertimbangkan program untuk mencari luas poligon yang diberikan oleh koordinat simpul.

3. Jika poligon terdiri dari beberapa poligon, maka luasnya sama dengan jumlah luas poligon tersebut.

4. Luas persegi dengan sisi \(a\) adalah \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Luas persegi panjang dan jajaran genjang)))\]

Teorema: luas persegi panjang

Luas persegi panjang dengan sisi \(a\) dan \(b\) adalah \(S=ab\) .

Bukti

Mari kita bangun persegi panjang \(ABCD\) menjadi persegi dengan sisi \(a+b\) , seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Persegi ini terdiri dari persegi panjang \(ABCD\) , persegi panjang lain yang sama dengannya, dan dua persegi dengan sisi \(a\) dan \(b\) . Lewat sini,

\(\begin(multiline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multibaris*)\)

Definisi

Tinggi jajar genjang adalah tegak lurus yang ditarik dari titik jajar genjang ke sisi (atau perpanjangan sisi) yang tidak mengandung titik tersebut.
Misalnya, tinggi \(BK\) jatuh pada sisi \(AD\) , dan tinggi \(BH\) jatuh pada perpanjangan sisi \(CD\) :

Teorema: luas jajar genjang

Luas jajar genjang sama dengan produk tinggi dan sisi di mana ketinggian ini digambar.

Bukti

Gambarkan garis tegak lurus \(AB"\) dan \(DC"\) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Perhatikan bahwa tegak lurus ini sama dengan tinggi jajaran genjang \(ABCD\) .

Maka \(AB"C"D\) adalah persegi panjang, maka \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Perhatikan bahwa segitiga siku-siku \(ABB"\) dan \(DCC"\) adalah sama. Lewat sini,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Luas segitiga)))\]

Definisi

Kami akan menyebut sisi di mana ketinggian digambar dalam segitiga sebagai alas segitiga.

Dalil

Luas segitiga adalah setengah hasil kali alasnya dan tingginya ditarik ke alas itu.

Bukti

Misalkan \(S\) adalah luas segitiga \(ABC\) . Mari kita ambil sisi \(AB\) sebagai alas segitiga dan gambar tingginya \(CH\) . Mari kita buktikan bahwa \ Mari kita bangun segitiga \(ABC\) ke jajaran genjang \(ABDC\) seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Segitiga \(ABC\) dan \(DCB\) sama panjang di tiga sisi (\(BC\) adalah sisi yang sama, \(AB = CD\) dan \(AC = BD\) sebagai sisi yang berlawanan dari jajaran genjang \ (ABDC\ )), jadi luasnya sama. Oleh karena itu, luas \(S\) segitiga \(ABC\) sama dengan setengah luas jajaran genjang \(ABDC\) , mis. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Dalil

Jika dua segitiga \(\segitiga ABC\) dan \(\segitiga A_1B_1C_1\) memiliki tinggi yang sama, maka luasnya berhubungan sebagai alas yang digunakan untuk menggambar ketinggian tersebut.

Konsekuensi

Median suatu segitiga membaginya menjadi dua segitiga yang luasnya sama.

Dalil

Jika dua segitiga \(\segitiga ABC\) dan \(\segitiga A_2B_2C_2\) masing-masing memiliki sudut yang sama, maka luasnya berhubungan sebagai produk dari sisi-sisi yang membentuk sudut ini.

Bukti

Biarkan \(\angle A=\angle A_2\) . Mari kita gabungkan sudut-sudut ini seperti yang ditunjukkan pada gambar (titik \(A\) sejajar dengan titik \(A_2\)):

Gambar ketinggian \(BH\) dan \(C_2K\) .

Segitiga \(AB_2C_2\) dan \(ABC_2\) memiliki tinggi yang sama \(C_2K\) , oleh karena itu: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Segitiga \(ABC_2\) dan \(ABC\) memiliki tinggi yang sama \(BH\) , oleh karena itu: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Mengalikan dua persamaan terakhir, kita mendapatkan: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( or ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

teori Pitagoras

Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki:

Kebalikannya juga benar: jika dalam sebuah segitiga kuadrat panjang salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi lainnya, maka segitiga tersebut siku-siku.

Dalil

Luas segitiga siku-siku adalah setengah dari hasil kali kaki.

Teorema: Rumus bangau

Misalkan \(p\) adalah setengah keliling segitiga, \(a\) , \(b\) , \(c\) adalah panjang sisi-sisinya, maka luasnya sama dengan \

\[(\Large(\text(Luas belah ketupat dan trapesium))))\]

Komentar

Karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka rumus yang sama berlaku untuk itu, yaitu. Luas belah ketupat sama dengan produk tinggi dan sisi di mana tinggi ini ditarik.

Dalil

Luas segiempat cembung yang diagonal-diagonalnya tegak lurus adalah setengah hasil kali diagonal-diagonalnya.

Bukti

Pertimbangkan segi empat \(ABCD\) . Dinotasikan \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Perhatikan bahwa segi empat ini terdiri dari empat segitiga siku-siku, oleh karena itu, luasnya sama dengan jumlah luas segitiga berikut:

\(\begin(multiline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multibaris*)\)

Akibat wajar: luas belah ketupat

Luas belah ketupat adalah setengah hasil kali diagonal-diagonalnya:

Definisi

Tinggi trapesium adalah tegak lurus yang ditarik dari puncak satu alas ke alas lainnya.

Teorema: luas trapesium

Luas trapesium adalah setengah jumlah alas kali tinggi.

Bukti

Pertimbangkan trapesium \(ABCD\) dengan basis \(BC\) dan \(AD\) . Gambar \(CD"\parallel AB\) seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Maka \(ABCD"\) adalah jajar genjang.

Kami juga menggambar \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) adalah ketinggian trapesium).

Kemudian \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Karena trapesium terdiri dari jajar genjang \(ABCD"\) dan segitiga \(CDD"\) , maka luasnya sama dengan jumlah luas jajar genjang dan segitiga, yaitu:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Setiap orang yang belajar matematika dan geometri di sekolah mengetahui ilmu-ilmu ini setidaknya secara dangkal. Namun seiring berjalannya waktu, jika tidak diamalkan, ilmu akan terlupakan. Banyak yang bahkan percaya bahwa mereka hanya membuang-buang waktu untuk mempelajari perhitungan geometris. Namun, mereka salah. Pekerja teknis melakukan pekerjaan sehari-hari yang berkaitan dengan perhitungan geometris. Adapun perhitungan luas poligon, pengetahuan ini juga menemukan penerapannya dalam kehidupan. Mereka akan dibutuhkan setidaknya untuk menghitung luas tanah. Jadi mari kita pelajari cara mencari luas poligon.

Definisi poligon

Pertama, mari kita definisikan apa itu poligon. Ini adalah sosok geometris datar, yang terbentuk sebagai hasil dari perpotongan tiga garis atau lebih. Definisi sederhana lainnya: poligon adalah polyline tertutup. Secara alami, di persimpangan garis, titik persimpangan terbentuk, jumlahnya sama dengan jumlah garis yang membentuk poligon. Titik-titik perpotongan disebut simpul, dan ruas-ruas yang terbentuk dari garis lurus disebut sisi poligon. Segmen poligon yang berdekatan tidak berada pada garis lurus yang sama. Segmen garis yang tidak berdekatan adalah yang tidak melalui titik-titik yang sama.

Jumlah luas segitiga

Bagaimana cara mencari luas poligon? Luas poligon adalah bagian dalam bidang, yang terbentuk di persimpangan segmen atau sisi poligon. Karena poligon adalah kombinasi bentuk seperti segitiga, belah ketupat, persegi, trapesium, tidak ada rumus universal untuk menghitung luasnya. Dalam praktiknya, metode yang paling universal adalah pembagian poligon menjadi angka-angka yang lebih sederhana, yang luasnya tidak sulit ditemukan. Dengan menjumlahkan jumlah luas dari gambar sederhana ini, kita mendapatkan luas poligon.

Melalui luas lingkaran

Dalam kebanyakan kasus, poligon memiliki bentuk yang teratur dan membentuk sosok dengan sisi dan sudut yang sama di antara mereka. Menghitung luas dalam hal ini sangat sederhana menggunakan lingkaran bertulisan atau berbatas. Jika luas lingkaran diketahui, maka harus dikalikan dengan keliling poligon, dan kemudian produk yang dihasilkan dibagi dengan 2. Hasilnya, diperoleh rumus untuk menghitung luas poligon tersebut. : S = P?r., Dimana P adalah luas lingkaran, dan r adalah keliling poligon.

Metode membagi poligon menjadi bentuk "nyaman" adalah yang paling populer dalam geometri, ini memungkinkan Anda menemukan area poligon dengan cepat dan benar. Kelas 4 sekolah menengah biasanya mempelajari metode seperti itu.

Luas, salah satu besaran dasar yang berhubungan dengan bentuk geometris. Dalam kasus yang paling sederhana, itu diukur dengan jumlah kotak satuan yang mengisi gambar datar, yaitu kotak dengan sisi yang sama dengan satu panjang. Perhitungan P. sudah di zaman kuno ... ...

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Area (arti). Luas bangun datar adalah karakteristik numerik tambahan dari suatu bangun yang seluruhnya termasuk dalam satu bidang. Dalam kasus paling sederhana, ketika gambar dapat dibagi menjadi terbatas ... ... Wikipedia

I Luas adalah salah satu besaran pokok yang berhubungan dengan bangun-bangun geometri. Dalam kasus yang paling sederhana, itu diukur dengan jumlah kotak satuan yang mengisi gambar datar, yaitu, kotak dengan sisi yang sama dengan satu panjang. Perhitungan P. ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Area (arti). Satuan Luas L? SI satuan m? ... Wikipedia

G. 1. Bagian dari permukaan bumi, suatu ruang yang secara alamiah terbatas atau khusus dialokasikan untuk suatu tujuan. ott. Ruang air. ott. Besar, tempat datar, ruang. 2. Ruang publik datar yang belum berkembang ... ... Kamus penjelasan modern dari bahasa Rusia Efremova

Artikel ini diusulkan untuk dihapus. Penjelasan alasan dan diskusi terkait dapat ditemukan di halaman Wikipedia: Akan dihapus / 2 September 2012. Sementara proses diskusi belum selesai, artikel dapat diperbaiki, tetapi harus ... ... Wikipedia

Dua bangun di R2 memiliki luas yang sama dan, masing-masing, dua poligon M1 dan M 2 sedemikian rupa sehingga mereka dapat dipotong menjadi poligon sehingga bagian-bagian yang membentuk M 1 masing-masing kongruen dengan bagian-bagian yang membentuk M 2. Untuk, luas yang sama ... ... Ensiklopedia Matematika

B=7, G=8, B + G/2 1= 10 Teorema Pick adalah hasil klasik dari geometri kombinatorial dan geometri bilangan. Luas poligon dengan bilangan bulat ... Wikipedia

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Teorema Pick. V = 7, = 8, + /2 1 = 10 Rumus Pick (atau teorema Pick) adalah hasil klasik dari geometri kombinatorial dan geometri bilangan. Persegi ... Wikipedia

Domain (set terbuka terhubung) pada batas benda cembung dalam ruang Euclidean E 3. Seluruh batas benda cembung disebut. lengkap V. p. Jika tubuh terbatas, maka lengkapi V. p. tertutup. Jika tubuh tidak terbatas, maka V. p. tak berujung ... ... Ensiklopedia Matematika

Poligon adalah bangun datar atau cembung, yang terdiri dari garis berpotongan (lebih dari 3) dan membentuk sejumlah besar titik perpotongan garis. Poligon lain dapat didefinisikan sebagai garis putus-putus yang menutup. Dengan cara lain, titik potong dapat disebut simpul dari gambar. Tergantung pada jumlah simpulnya, suatu bangun dapat disebut segi lima, segi enam, dan seterusnya. Sudut poligon adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang bertemu pada satu titik sudut. Sudutnya ada di dalam poligon. Apalagi sudutnya bisa berbeda-beda, hingga 180 derajat. Ada juga sudut luar, yang biasanya berdekatan dengan sudut dalam.

Garis lurus yang kemudian berpotongan disebut sisi poligon. Mereka bisa berdekatan, berdekatan, atau tidak berdekatan. Karakteristik yang sangat penting dari sosok geometris yang disajikan adalah bahwa sisi-sisinya yang tidak berdekatan tidak berpotongan, dan karenanya tidak memiliki titik-titik yang sama. Sisi-sisi yang berdekatan dari suatu bangun tidak boleh berada pada garis lurus yang sama.

Titik-titik dari gambar yang termasuk dalam garis yang sama dapat disebut bertetangga. Jika Anda menggambar garis antara dua simpul yang tidak berdekatan, Anda mendapatkan diagonal poligon. Adapun luas gambar, ini adalah bagian dalam bidang gambar geometris dengan sejumlah besar simpul, yang dibuat oleh segmen poligon yang memisahkannya.

Tidak ada solusi tunggal untuk menentukan luas bangun geometris yang disajikan, karena mungkin ada jumlah varian gambar yang tak terbatas, dan untuk setiap varian ada solusinya sendiri. Namun, beberapa opsi paling umum untuk menemukan area gambar masih perlu dipertimbangkan (paling sering digunakan dalam praktik dan bahkan dimasukkan dalam kurikulum sekolah).

Pertama-tama, pertimbangkan poligon beraturan, yaitu, sosok di mana semua sudut yang dibentuk oleh sisi yang sama juga sama besar. Lantas, bagaimana cara mencari luas poligon pada contoh tertentu? Untuk kasus ini, menemukan luas bangun poligonal dimungkinkan jika jari-jari lingkaran yang tertulis pada gambar atau dibatasi di sekitarnya diberikan. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan rumus berikut:

S = P?r, di mana r adalah jari-jari lingkaran (bertuliskan atau dibatasi), dan P adalah keliling bangun poligon geometris, yang dapat ditemukan dengan mengalikan jumlah sisi bangun dengan panjangnya.

Cara mencari luas poligon

Untuk menjawab pertanyaan tentang cara mencari luas poligon, cukup ikuti properti menarik berikut dari sosok poligon, yang pernah ditemukan oleh ahli matematika terkenal Austria Georg Pick. Misalnya, menggunakan rumus S = N + M/2 -1, Anda dapat menemukan luas poligon tersebut, yang simpulnya terletak di simpul kotak persegi. Dalam hal ini, S masing-masing adalah luas; N - jumlah simpul dari kotak persegi, yang terletak di dalam gambar dengan banyak sudut; M adalah jumlah simpul dari kotak persegi yang terletak di simpul dan sisi poligon. Namun, terlepas dari keindahannya, rumus Pick praktis tidak digunakan dalam geometri praktis.

Metode penentuan luas yang paling sederhana dan paling terkenal, yang dipelajari di sekolah, adalah pembagian sosok geometris poligonal menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana (trapesium, persegi panjang, segitiga). Menemukan luas dari angka-angka ini tidak sulit. Dalam hal ini, luas poligon ditentukan secara sederhana: Anda perlu menemukan luas semua gambar di mana poligon dibagi.

Pada dasarnya, definisi luas poligon ditentukan dalam mekanika (dimensi bagian).

1.1 Perhitungan area di zaman kuno

1.2 Pendekatan berbeda untuk mempelajari konsep "area", "poligon", "area poligon"

1.2.1 Konsep wilayah. Properti Area

1.2.2 Konsep poligon

1.2.3 Konsep luas poligon. Definisi deskriptif

1.3 Berbagai rumus untuk luas poligon

1.4 Derivasi rumus luas poligon

1.4.1 Luas segitiga. rumus bangau

1.4.2 Luas persegi panjang

1.4.3 Luas trapesium

1.4.4 Luas segi empat

1.4.5 Rumus universal

1.4.6 Luas n-gon

1.4.7 Menghitung luas poligon dari koordinat simpulnya

1.4.8 Pilih Formula

1.5 Teorema Pythagoras tentang jumlah luas persegi yang dibangun di atas kaki segitiga siku-siku

1.6 Persamaan segitiga. Teorema Bogliai-Gervin

1.7 Perbandingan luas segitiga sebangun

1.8 Angka dengan luas terbesar

1.8.1 Trapesium atau persegi panjang

1.8.2 Sifat persegi yang luar biasa

1.8.3 Plot dengan bentuk berbeda

1.8.4 Segitiga dengan luas terbesar

Bab 2. Fitur metodologis mempelajari bidang poligon di kelas matematika

2.1 Perencanaan tematik dan fitur pengajaran di kelas dengan studi matematika yang mendalam

2.2 Metodologi pelajaran

2.3 Hasil kerja percobaan

Kesimpulan

literatur

pengantar

Topik "Area poligon" adalah bagian integral dari kursus matematika sekolah, yang cukup alami. Memang, secara historis, munculnya geometri dikaitkan dengan kebutuhan untuk membandingkan plot tanah dari satu bentuk atau lainnya. Pada saat yang sama, perlu dicatat bahwa kesempatan pendidikan untuk pengungkapan topik ini di sekolah menengah masih jauh dari digunakan sepenuhnya.

Tugas utama pengajaran matematika di sekolah adalah untuk memastikan penguasaan yang kuat dan sadar dari sistem pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk setiap anggota masyarakat modern dalam kehidupan dan pekerjaan sehari-hari, cukup untuk mempelajari disiplin ilmu terkait dan melanjutkan pendidikan.

Seiring dengan penyelesaian tugas utama, studi mendalam tentang matematika memberikan pembentukan minat yang stabil pada subjek pada siswa, identifikasi dan pengembangan kemampuan matematika mereka, orientasi terhadap profesi yang secara signifikan terkait dengan matematika, dan persiapan untuk belajar di universitas.

Pekerjaan kualifikasi mencakup konten kursus matematika sekolah pendidikan umum dan sejumlah pertanyaan tambahan yang berbatasan langsung dengan kursus ini dan memperdalamnya di sepanjang garis ideologis utama.

Dimasukkannya pertanyaan tambahan melayani dua tujuan yang saling terkait. Di satu sisi, ini adalah penciptaan, bersama dengan bagian utama dari kursus, dasar untuk memenuhi minat dan mengembangkan kemampuan siswa dengan kecenderungan untuk matematika, di sisi lain, pemenuhan kesenjangan yang berarti dalam hidangan utama, memberikan isi studi mendalam integritas yang diperlukan.

Pekerjaan kualifikasi terdiri dari pendahuluan, dua bab, kesimpulan dan literatur yang dikutip. Bab pertama membahas dasar-dasar teoretis dari studi bidang poligon, dan bab kedua membahas secara langsung fitur metodologis dari studi bidang.

Bab 1

1.1Perhitungan area di zaman kuno

Dasar-dasar pengetahuan geometris yang terkait dengan pengukuran area hilang di kedalaman ribuan tahun.

Kembali pada 4 - 5 ribu tahun yang lalu, orang Babilonia dapat menentukan luas persegi panjang dan trapesium dalam satuan persegi. Alun-alun telah lama menjadi standar untuk mengukur area karena banyak dari sifat-sifatnya yang luar biasa: sisi yang sama, sudut yang sama dan siku-siku, simetri, dan kesempurnaan bentuk secara umum. Kotak mudah dibuat, atau Anda dapat mengisi bidang tanpa celah.

Di Cina kuno, ukuran luas adalah persegi panjang. Ketika tukang batu menentukan luas dinding rumah persegi panjang, mereka mengalikan tinggi dan lebar dinding. Ini adalah definisi yang diterima dalam geometri: luas persegi panjang sama dengan produk dari sisi-sisi yang berdekatan. Kedua sisi ini harus dinyatakan dalam satuan linier yang sama. Produk mereka akan menjadi luas persegi panjang, dinyatakan dalam unit persegi yang sesuai. Katakanlah jika tinggi dan lebar dinding diukur dalam desimeter, maka hasil kali kedua pengukuran akan dinyatakan dalam desimeter persegi. Dan jika luas setiap petak menghadap adalah desimeter persegi, maka produk yang dihasilkan akan menunjukkan jumlah ubin yang dibutuhkan untuk menghadap. Ini mengikuti dari pernyataan yang mendasari pengukuran area: luas suatu bangun yang terdiri dari angka-angka yang tidak berpotongan sama dengan jumlah luasnya.

Orang Mesir kuno 4.000 tahun yang lalu menggunakan teknik yang hampir sama seperti yang kita lakukan untuk mengukur luas persegi panjang, segitiga, dan trapesium: alas segitiga dibagi dua, dan dikalikan dengan tingginya; untuk trapesium, jumlah sisi sejajar dibagi dua dan dikalikan dengan tingginya, dan seterusnya. Untuk menghitung luas

segi empat dengan sisi (Gbr. 1.1), rumus (1.1) diterapkan

itu. setengah jumlah sisi yang berlawanan dikalikan.

Rumus ini jelas salah untuk segi empat mana pun; dari sini, khususnya, luas semua belah ketupat adalah sama. Sementara itu, jelas bahwa luas belah ketupat tersebut bergantung pada besar sudut pada simpul-simpulnya. Rumus ini hanya berlaku untuk persegi panjang. Dengan bantuannya, Anda kira-kira dapat menghitung luas segi empat, di mana sudutnya dekat dengan kanan.

Untuk menentukan luas

segitiga sama kaki (Gbr. 1.2), di mana orang Mesir menggunakan rumus perkiraan:
(1.2) Gambar. 1.2 Kesalahan yang dibuat dalam hal ini adalah semakin kecil, semakin kecil perbedaan antara sisi dan tinggi segitiga, dengan kata lain, semakin dekat bagian atas (dan) ke dasar tinggi dari. Itulah sebabnya rumus perkiraan (1.2) hanya berlaku untuk segitiga dengan sudut sudut yang relatif kecil.

Tetapi orang Yunani kuno sudah tahu cara menemukan area poligon dengan benar. Dalam Elements-nya, Euclid tidak menggunakan kata "area", karena dengan kata "figure" ia memahami bagian dari bidang yang dibatasi oleh satu atau beberapa garis tertutup lainnya. Euclid tidak menyatakan hasil pengukuran luas sebagai suatu bilangan, tetapi membandingkan luas bangun-bangun yang berbeda satu sama lain.

Seperti ilmuwan kuno lainnya, Euclid berurusan dengan transformasi beberapa angka menjadi orang lain, mereka memiliki ukuran yang sama. Luas bangun datar tidak akan berubah jika bagian-bagiannya disusun berbeda, tetapi tanpa persilangan. Oleh karena itu, misalnya, dimungkinkan, berdasarkan rumus luas persegi panjang, untuk menemukan rumus luas bangun lainnya. Jadi, segitiga dibagi menjadi beberapa bagian, dari mana Anda dapat membuat persegi panjang dengan luas yang sama. Dari konstruksi ini dapat disimpulkan bahwa luas segitiga sama dengan setengah produk alas dan tingginya. Menggunakan gambar ulang seperti itu, mereka menemukan bahwa luas jajaran genjang sama dengan produk alas dan tinggi, luas trapesium adalah produk dari setengah jumlah alas dan tinggi.

Ketika tukang harus memasang dinding dengan konfigurasi yang rumit, mereka dapat menentukan luas dinding dengan menghitung jumlah ubin yang masuk ke ubin. Beberapa ubin, tentu saja, harus terkelupas sehingga tepi kelongsong bertepatan dengan tepi dinding. Jumlah semua ubin yang bekerja mengevaluasi area dinding dengan kelebihan, jumlah ubin yang tidak terputus - dengan kerugian. Saat ukuran sel berkurang, jumlah sampah berkurang, dan luas dinding, yang ditentukan oleh jumlah ubin, dihitung semakin akurat.

Salah satu matematikawan Yunani akhir - ensiklopedis, yang karyanya terutama diterapkan di alam, adalah Heron dari Alexandria, yang hidup pada abad ke-1. n. e. Menjadi seorang insinyur yang luar biasa, ia juga disebut "Heron the Mechanic". Dalam karyanya Dioptrics, Heron menjelaskan berbagai mesin dan alat ukur praktis.

Salah satu buku Heron dinamai olehnya "Geometris" dan merupakan semacam kumpulan rumus dan masalah yang sesuai. Ini berisi contoh untuk menghitung luas persegi, persegi panjang dan segitiga. Heron menulis tentang mencari luas segitiga di sepanjang sisi-sisinya: “Misalnya, satu sisi segitiga memiliki panjang 13 tali yang diukur, yang kedua 14 dan yang ketiga 15. Untuk mencari luas, lakukan hal berikut . Tambahkan 13, 14 dan 15; Anda mendapatkan 42. Setengahnya adalah 21. Kurangi dari ketiga sisi ini satu per satu; pertama kurangi 13 - itu tetap 8, lalu 14 - itu tetap 7, dan akhirnya 15 - itu tetap 6. Sekarang kalikan mereka: 21 kali 8 akan memberi 168, ambil ini 7 kali - Anda mendapatkan 1176, dan ini 6 kali lagi - Anda dapatkan 7056. Dari sini akar kuadratnya menjadi 84. Ini adalah berapa banyak tali pengukur yang akan ada di area segitiga.