Nejmen?? spole?n? n?sobek dvou ??sel p??mo souvis? s nejv?t??m spole?n?m d?litelem t?chto ??sel. Tento spojen? mezi GCD a NOC je definov?na n?sleduj?c? v?tou.

Teor?m.

Nejmen?? spole?n? n?sobek dvou kladn?ch cel?ch ??sel aab se rovn? sou?inu ??sel aab d?leno nejv?t??m spole?n?m d?litelem ??sel aab , tj. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

D?kaz.

Nechat M je n?jak? n?sobek ??sel a a b. To znamen?, ?e M je d?liteln? a a podle definice d?litelnosti existuje n?jak? cel? ??slo k takov?, ?e rovnost M=a·k plat?. Ale M je tak? d?liteln? b, pak a k je d?liteln? b.

Ozna?te gcd(a, b) jako d . Pak m??eme zapsat rovnosti a=a 1 ·d a b=b 1 ·d a a 1 =a:dab 1 =b:d budou prvo??sla. Proto podm?nku z?skanou v p?edchoz?m odstavci, ?e a k je d?liteln? b, lze p?eformulovat n?sledovn?: a 1 d k je d?liteln? b 1 d , a to je vzhledem k vlastnostem d?litelnosti ekvivalentn? podm?nce, ?e a 1 k je d?liteln? b jedna .

Mus?me si tak? zapsat dva d?le?it? d?sledky z uva?ovan? v?ty.

Spole?n? n?sobky dvou ??sel jsou stejn? jako n?sobky jejich nejmen??ho spole?n?ho n?sobku.

To je pravda, proto?e jak?koli spole?n? n?sobek M ??sel aab je definov?n rovnost? M=LCM(a, b) t pro n?jakou celo??selnou hodnotu t .

Nejmen?? spole?n? n?sobek kladn?ch ??sel aab se rovn? jejich sou?inu.

Od?vodn?n? t?to skute?nosti je zcela z?ejm?. Vzhledem k tomu, ?e a a b jsou dvoj??slo, pak gcd(a, b)=1 , proto, LCM(a,b)=ab: GCD(a,b)=a b:l=ab.

Nejmen?? spole?n? n?sobek t?? nebo v?ce ??sel

Hled?n? nejmen??ho spole?n?ho n?sobku t?? nebo v?ce ??sel lze redukovat na postupn? hled?n? LCM dvou ??sel. Jak se to d?l?, je nazna?eno v n?sleduj?c? v?t?: a 1 , a 2 , …, a k se shoduj? se spole?n?mi n?sobky ??sel m k-1 a a k se tedy shoduj? s n?sobky m k . A proto?e nejmen?? kladn? n?sobek ??sla m k je samotn? ??slo m k, pak nejmen?? spole?n? n?sobek ??sel a 1 , a 2 , …, a k je m k .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. atd. Matematika. 6. t??da: u?ebnice pro vzd?l?vac? instituce.
• Vinogradov I.M. Z?klady teorie ??sel.
• Mikhelovi? Sh.Kh. Teorie ??sel.
• Kulikov L.Ya. a dal?? Sb?rka ?loh z algebry a teorie ??sel: U?ebnice pro studenty fiz.-mat. odbornosti pedagogick?ch ?stav?.

Jak naj?t LCM (nejmen?? spole?n? n?sobek)

Nejmen?? spole?n? n?sobek dvou cel?ch ??sel je nejmen?? ze v?ech cel?ch ??sel, kter? je d?liteln? rovnom?rn? a beze zbytku ob?ma dan?mi ??sly.

Metoda 1. LCM m??ete naj?t pro ka?d? z uveden?ch ??sel tak, ?e ve vzestupn?m po?ad? zap??ete v?echna ??sla, kter? z?sk?te vyn?soben?m 1, 2, 3, 4 atd.

P??klad pro ??sla 6 a 9.
??slo 6 vyn?sob?me postupn? 1, 2, 3, 4, 5.
Dost?v?me: 6, 12, 18 , 24, 30
??slo 9 vyn?sob?me postupn? 1, 2, 3, 4, 5.
Dost?v?me: 9, 18 , 27, 36, 45
Jak m??ete vid?t, LCM pro ??sla 6 a 9 bude 18.

Tato metoda je vhodn?, kdy? jsou ob? ??sla mal? a je snadn? je vyn?sobit posloupnost? cel?ch ??sel. Existuj? v?ak p??pady, kdy pot?ebujete naj?t LCM pro dvoucifern? nebo t??cifern? ??sla, a tak? kdy? existuj? t?i nebo dokonce v?ce po??te?n?ch ??sel.

Metoda 2. LCM m??ete naj?t rozkladem p?vodn?ch ??sel na prvo?initele.
Po rozkladu je nutn? z v?sledn? ?ady prvo?initel? vy?krtnout stejn? ??sla. Zb?vaj?c? ??sla prvn?ho ??sla budou faktorem pro druh? a zb?vaj?c? ??sla druh?ho ??sla budou faktorem pro prvn?.

P??klad pro ??slo 75 a 60.
Nejmen?? spole?n? n?sobek ??sel 75 a 60 lze naj?t bez vyps?n? n?sobk? t?chto ??sel za sebou. Za t?mto ??elem rozlo??me 75 a 60 na prvo?initele:
75 = 3 * 5 * 5 a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Jak vid?te, faktory 3 a 5 se vyskytuj? v obou ??dc?ch. Ment?ln? je „od?krt?v?me“.
Zapi?me si zb?vaj?c? faktory zahrnut? v roz???en? ka?d?ho z t?chto ??sel. P?i rozkladu ??sla 75 jsme nechali ??slo 5 a p?i rozkladu ??sla 60 jsme nechali 2 * 2
Abychom tedy ur?ili LCM pro ??sla 75 a 60, mus?me vyn?sobit zb?vaj?c? ??sla z roz???en? 75 (toto je 5) 60 a ??sla zb?vaj?c? z roz???en? ??sla 60 (toto je 2 * 2 ) n?sob?me 75. To znamen?, ?e pro snaz?? pochopen? ??k?me, ?e n?sob?me „k???ov?“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Takto jsme na?li LCM pro ??sla 60 a 75. Toto je ??slo 300.

P??klad. Ur?ete LCM pro ??sla 12, 16, 24
V tomto p??pad? bude na?e jedn?n? pon?kud slo?it?j??. Nejprve v?ak jako v?dy rozlo??me v?echna ??sla na prvo?initele
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Abychom spr?vn? ur?ili LCM, vybereme nejmen?? ze v?ech ??sel (to je ??slo 12) a postupn? proch?z?me jeho faktory a ?krt?me je, pokud alespo? jedna z dal??ch ?ad ??sel m? stejn? n?sobitel, kter? je?t? nebyl p?e?krtnut ven.

Krok 1 . Vid?me, ?e 2 * 2 se vyskytuje ve v?ech ?ad?ch ??sel. P?e?krtneme je.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. V prvo?initel?ch ??sla 12 z?stane pouze ??slo 3. Ale je p??tomno v prvo?initel?ch ??sla 24. Z obou ??dk? ?krtneme ??slo 3, p?i?em? u ??sla 16 se neo?ek?v? ??dn? akce .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Jak vid?te, p?i rozkladu ??sla 12 jsme v?echna ??sla „od?krtali“. Tak?e n?lez NOC je dokon?en. Zb?v? pouze vypo??tat jeho hodnotu.
Pro ??slo 12 vezmeme zb?vaj?c? faktory z ??sla 16 (nejbli??? ve vzestupn?m po?ad?)
12 * 2 * 2 = 48
Toto je NOC

Jak vid?te, v tomto p??pad? bylo nalezen? LCM pon?kud obt??n?j??, ale kdy? jej pot?ebujete naj?t pro t?i nebo v?ce ??sel, tato metoda v?m to umo?n? rychleji. Oba zp?soby nalezen? LCM jsou v?ak spr?vn?.

Nejv?t?? spole?n? d?litel a nejmen?? spole?n? n?sobek jsou kl??ov? aritmetick? pojmy, kter? v?m umo??uj? snadno pracovat s oby?ejn?mi zlomky. LCM a se nej?ast?ji pou??vaj? k nalezen? spole?n?ho jmenovatele n?kolika zlomk?.

Z?kladn? pojmy

D?litel cel?ho ??sla X je dal?? cel? ??slo Y, kter?m je X d?liteln? beze zbytku. Nap??klad d?litel 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. N?sobkem cel?ho ??sla X je ??slo Y, kter? je d?liteln? X beze zbytku. Nap??klad 3 je n?sobek 15 a 6 je n?sobek 12.

Pro libovolnou dvojici ??sel najdeme jejich spole?n? d?litele a n?sobky. Nap??klad pro 6 a 9 je spole?n? n?sobek 18 a spole?n? d?litel je 3. Je z?ejm?, ?e p?ry mohou m?t n?kolik d?litel? a n?sobk?, tak?e p?i v?po?tech se pou??v? nejv?t?? d?litel GCD a nejmen?? n?sobek LCM. .

Nejmen?? d?litel ned?v? smysl, proto?e pro libovoln? ??slo je v?dy jedna. Nejv?t?? n?sobek je tak? bezv?znamn?, proto?e posloupnost n?sobk? m? tendenci k nekone?nu.

Hled?n? GCD

Existuje mnoho metod pro nalezen? nejv?t??ho spole?n?ho d?litele, z nich? nejzn?m?j?? jsou:

• sekven?n? v??et d?litel?, v?b?r spole?n?ch pro dvojici a hled?n? nejv?t??ho z nich;
• rozklad ??sel na ned?liteln? ?initele;
• Euklid?v algoritmus;
• bin?rn? algoritmus.

Dnes jsou ve vzd?l?vac?ch instituc?ch nejobl?ben?j?? metody rozkladu na prvo?initele a euklidovsk? algoritmus. Ten se zase pou??v? p?i ?e?en? diofantick?ch rovnic: hled?n? GCD je nutn? pro kontrolu rovnice z hlediska mo?nosti jej? vy?e?en? v cel?ch ??slech.

Hled?n? NOC

Nejmen?? spole?n? n?sobek je tak? p?esn? ur?en iterativn?m v??tem nebo rozkladem na ned?liteln? faktory. Krom? toho je snadn? naj?t LCM, pokud ji? byl ur?en nejv?t?? d?litel. Pro ??sla X a Y souvis? LCM a GCD n?sleduj?c?m vztahem:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

Pokud nap??klad gcd(15,18) = 3, pak LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. Nejz?ejm?j?? pou?it? LCM je naj?t spole?n?ho jmenovatele, co? je nejmen?? spole?n? n?sobek dan? zlomky.

Coprime ??sla

Pokud dvojice ??sel nem? ??dn? spole?n? d?litele, pak se takov? dvojice naz?v? koprim?. GCM pro takov? p?ry se v?dy rovn? jedn? a na z?klad? spojen? d?litel? a n?sobk? se GCM pro coprime rovn? jejich sou?inu. Nap??klad ??sla 25 a 28 jsou koprim?, proto?e nemaj? ??dn? spole?n? d?litele, a LCM(25, 28) = 700, co? odpov?d? jejich sou?inu. Jak?koli dv? ned?liteln? ??sla budou v?dy koprim?.

Spole?n? d?litel a v?cen?sobn? kalkula?ka

S na?? kalkula?kou m??ete vypo??tat GCD a LCM pro libovoln? po?et ??sel, ze kter?ch si m??ete vybrat. ?koly pro v?po?et spole?n?ch d?litel? a n?sobk? se nach?zej? v aritmetice 5. a 6. ro?n?ku, nicm?n? GCD a LCM jsou kl??ov? pojmy matematiky a pou??vaj? se v teorii ??sel, planimetrii a komunikativn? algeb?e.

P??klady ze ?ivota

Spole?n? jmenovatel zlomk?

Nejmen?? spole?n? n?sobek se pou??v? p?i hled?n? spole?n?ho jmenovatele n?kolika zlomk?. P?edpokl?dejme, ?e v aritmetick?m probl?mu je nutn? se??st 5 zlomk?:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Chcete-li p?idat zlomky, v?raz mus? b?t redukov?n na spole?n?ho jmenovatele, co? redukuje na probl?m nalezen? LCM. Chcete-li to prov?st, vyberte 5 ??sel v kalkula?ce a zadejte hodnoty jmenovatele do p??slu?n?ch bun?k. Program vypo??t? LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nyn? je pot?eba pro ka?d? zlomek vypo??tat dal?? faktory, kter? jsou definov?ny jako pom?r LCM ke jmenovateli. Tak?e extra n?sobi?e budou vypadat takto:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pot? vyn?sob?me v?echny zlomky odpov?daj?c?m dal??m faktorem a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takov? zlomky m??eme snadno se??st a dostaneme v?sledek ve tvaru 159/360. Sn???me zlomek o 3 a vid?me kone?nou odpov?? - 53/120.

?e?en? line?rn?ch diofantick?ch rovnic

Line?rn? diofantick? rovnice jsou vyj?d?en?m tvaru ax + by = d. Pokud je pom?r d / gcd(a, b) cel? ??slo, pak je rovnice ?e?iteln? v cel?ch ??slech. Zkontrolujme n?kolik rovnic na mo?nost celo??seln?ho ?e?en?. Nejprve zkontrolujte rovnici 150x + 8y = 37. Pomoc? kalkula?ky zjist?me gcd (150,8) = 2. Vyd?lte 37/2 = 18,5. ??slo nen? cel? ??slo, proto rovnice nem? celo??seln? ko?eny.

Zkontrolujeme rovnici 1320x + 1760y = 10120. Pomoc? kalkula?ky najd?te gcd(1320, 1760) = 440. Vyd?lte 10120/440 = 23. V?sledkem je cel? ??slo, proto je diofantick? rovnice v koeficientu ?e?iteln? .

Z?v?r

GCD a LCM hraj? velkou roli v teorii ??sel a samotn? pojmy jsou ?iroce pou??v?ny v r?zn?ch oblastech matematiky. Pomoc? na?? kalkula?ky spo??tejte nejv?t?? d?litele a nejmen?? n?sobky libovoln?ho po?tu ??sel.

Zva?te t?i zp?soby, jak naj?t nejmen?? spole?n? n?sobek.

Zji?t?n? faktoringem

Prvn?m zp?sobem je naj?t nejmen?? spole?n? n?sobek rozkladem dan?ch ??sel na prvo?initele.

P?edpokl?dejme, ?e pot?ebujeme naj?t LCM ??sel: 99, 30 a 28. Abychom to ud?lali, rozlo??me ka?d? z t?chto ??sel na prvo?initele:

Aby bylo po?adovan? ??slo d?liteln? 99, 30 a 28, je nutn? a posta?uj?c?, aby zahrnovalo v?echny prvo?initele t?chto d?litel?. Abychom to ud?lali, mus?me vz?t v?echny prvo?initele t?chto ??sel na nejvy??? vyskytuj?c? se mocninu a vyn?sobit je dohromady:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tak?e LCM (99, 30, 28) = 13 860. ??dn? jin? ??slo men?? ne? 13 860 nen? rovnom?rn? d?liteln? 99, 30 nebo 28.

Chcete-li naj?t nejmen?? spole?n? n?sobek dan?ch ??sel, mus?te je rozd?lit na prvo?initele, pak vz?t ka?d? prvo?initel s nejv?t??m exponentem, kter? se vyskytuje, a tyto faktory vyn?sobit dohromady.

Proto?e prvo??sla nemaj? ??dn? spole?n? prvo?initele, jejich nejmen?? spole?n? n?sobek se rovn? sou?inu t?chto ??sel. Nap??klad t?i ??sla: 20, 49 a 33 jsou koprim?. Proto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

Tot?? by m?lo b?t provedeno p?i hled?n? nejmen??ho spole?n?ho n?sobku r?zn?ch prvo??sel. Nap??klad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hled?n? v?b?rem

Druh?m zp?sobem je naj?t nejmen?? spole?n? n?sobek prolo?en?m.

P??klad 1. Kdy? je nejv?t?? z dan?ch ??sel rovnom?rn? d?liteln? jin?mi dan?mi ??sly, pak se LCM t?chto ??sel rovn? v?t??mu z nich. Nap??klad zadan? ?ty?i ??sla: 60, 30, 10 a 6. Ka?d? z nich je d?liteln? 60, proto:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

V ostatn?ch p??padech se k nalezen? nejmen??ho spole?n?ho n?sobku pou??v? n?sleduj?c? postup:

1. Ur?ete nejv?t?? ??slo z uveden?ch ??sel.
2. D?le najdeme ??sla, kter? jsou n?sobky nejv?t??ho ??sla, vyn?sob?me ho p?irozen?mi ??sly ve vzestupn?m po?ad? a zkontrolujeme, zda jsou zb?vaj?c? dan? ??sla d?liteln? v?sledn?m sou?inem.

P??klad 2. Jsou d?na t?i ??sla 24, 3 a 18. Ur?ete nejv?t?? z nich – toto je ??slo 24. D?le najd?te n?sobky 24 a zkontrolujte, zda je ka?d? z nich d?liteln? 18 a 3:

24 1 = 24 je d?liteln? 3, ale nen? d?liteln? 18.

24 2 = 48 – d?liteln? 3, ale ned?liteln? 18.

24 3 \u003d 72 - d?liteln? 3 a 18.

Tak?e LCM(24; 3; 18) = 72.

Hled?n? sekven?n?m hled?n?m LCM

T?et?m zp?sobem je nalezen? nejmen??ho spole?n?ho n?sobku postupn?m hled?n?m LCM.

LCM dvou dan?ch ??sel se rovn? sou?inu t?chto ??sel d?len?mu jejich nejv?t??m spole?n?m d?litelem.

P??klad 1. Najd?te LCM dvou dan?ch ??sel: 12 a 8. Ur?ete jejich nejv?t??ho spole?n?ho d?litele: GCD (12, 8) = 4. Vyn?sobte tato ??sla:

Produkt rozd?lujeme na jejich GCD:

Tak?e LCM(12; 8) = 24.

Chcete-li naj?t LCM t?? nebo v?ce ??sel, pou?ijte n?sleduj?c? postup:

1. Nejprve se najde LCM libovoln?ch dvou z dan?ch ??sel.
2. Potom LCM nalezen?ho nejmen??ho spole?n?ho n?sobku a t?et?ho dan?ho ??sla.
3. Potom LCM v?sledn?ho nejmen??ho spole?n?ho n?sobku a ?tvrt?ho ??sla a tak d?le.
4. Hled?n? LCM tedy pokra?uje, dokud existuj? ??sla.

P??klad 2. Nalezneme LCM t?? dan?ch ??sel: 12, 8 a 9. LCM ??sel 12 a 8 jsme ji? na?li v p?edchoz?m p??kladu (toto je ??slo 24). Zb?v? naj?t nejmen?? spole?n? n?sobek 24 a t?et? dan? ??slo - 9. Ur?ete jejich nejv?t??ho spole?n?ho d?litele: gcd (24, 9) = 3. Vyn?sobte LCM ??slem 9:

Produkt rozd?lujeme na jejich GCD:

Tak?e LCM(12; 8; 9) = 72.

Pokra?ujme v diskusi o nejmen??m spole?n?m n?sobku, kterou jsme zah?jili v ??sti LCM - Nejmen?? spole?n? n?sobek, definice, p??klady. V tomto t?matu se pod?v?me na zp?soby, jak naj?t LCM pro t?i nebo v?ce ??sel, rozebereme ot?zku, jak naj?t LCM z?porn?ho ??sla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

V?po?et nejmen??ho spole?n?ho n?sobku (LCM) pomoc? gcd

Vztah mezi nejmen??m spole?n?m n?sobkem a nejv?t??m spole?n?m d?litelem jsme ji? stanovili. Nyn? se nau??me, jak definovat LCM prost?ednictv?m GCD. Nejprve zjist?me, jak to ud?lat pro kladn? ??sla.

Definice 1

Nejmen?? spole?n? n?sobek m??ete naj?t pomoc? nejv?t??ho spole?n?ho d?litele pomoc? vzorce LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

P??klad 1

Je nutn? naj?t LCM ??sel 126 a 70.

?e?en?

Vezm?me a = 126 , b = 70 . Dosa?te hodnoty ve vzorci pro v?po?et nejmen??ho spole?n?ho n?sobku p?es nejv?t??ho spole?n?ho d?litele LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Najde GCD ??sel 70 a 126. K tomu pot?ebujeme Euklidovsk? algoritmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , tedy gcd (126 , 70) = 14 .

Poj?me vypo??tat LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Odpov?d?t: LCM (126, 70) = 630.

P??klad 2

Najd?te nok ??sel 68 a 34.

?e?en?

GCD je v tomto p??pad? snadn? naj?t, proto?e 68 je d?liteln? 34. Vypo??tejte nejmen?? spole?n? n?sobek pomoc? vzorce: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpov?d?t: LCM(68,34) = 68.

V tomto p??kladu jsme pou?ili pravidlo pro nalezen? nejmen??ho spole?n?ho n?sobku kladn?ch cel?ch ??sel a a b: je-li prvn? ??slo d?liteln? druh?m, pak se LCM t?chto ??sel bude rovnat prvn?mu ??slu.

Nalezen? LCM rozd?len?m ??sel na prvo?initele

Nyn? se pod?v?me na zp?sob, jak naj?t LCM, kter? je zalo?en na rozkladu ??sel na prvo?initele.

Definice 2

Abychom na?li nejmen?? spole?n? n?sobek, mus?me prov?st n?kolik jednoduch?ch krok?:

• tvo??me sou?in v?ech prvo??sel ??sel, pro kter? pot?ebujeme naj?t LCM;
• z jejich z?skan?ch produkt? vylu?ujeme v?echny prvo?initele;
• sou?in z?skan? po vylou?en? spole?n?ch prvo??sel se bude rovnat LCM dan?ch ??sel.

Tento zp?sob hled?n? nejmen??ho spole?n?ho n?sobku je zalo?en na rovnosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Kdy? se pod?v?te na vzorec, bude v?m to jasn?: sou?in ??sel a a b se rovn? sou?inu v?ech faktor?, kter? se pod?lej? na roz???en? t?chto dvou ??sel. V tomto p??pad? se GCD dvou ??sel rovn? sou?inu v?ech prvo??sel, kter? jsou sou?asn? p??tomny v rozkladech t?chto dvou ??sel.

P??klad 3

M?me dv? ??sla 75 a 210 . M??eme je rozd?lit takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Pokud vytvo??te sou?in v?ech faktor? dvou p?vodn?ch ??sel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Pokud vylou??me faktory spole?n? pro ??sla 3 a 5, dostaneme sou?in n?sleduj?c?ho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude na??m LCM pro ??sla 75 a 210.

P??klad 4

Najd?te LCM ??sel 441 a 700 , p?i?em? ob? ??sla rozlo??me na prvo?initele.

?e?en?

Poj?me naj?t v?echny prvo?initele ??sel uveden?ch v podm?nce:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva ?et?zce ??sel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Sou?in v?ech faktor?, kter? se pod?lely na roz???en? t?chto ??sel, bude vypadat takto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poj?me naj?t spole?n? faktory. Toto ??slo je 7. Vylu?ujeme jej z obecn?ho produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje se, ?e NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpov?d?t: LCM (441, 700) = 44100.

Uve?me je?t? jednu formulaci metody pro nalezen? LCM rozkladem ??sel na prvo?initele.

Definice 3

D??ve jsme z celkov?ho po?tu vylu?ovali faktory spole?n? ob?ma ??sl?m. Nyn? to ud?l?me jinak:

• Poj?me si ob? ??sla rozlo?it na prvo?initele:
• dopl?te k sou?inu prvo?initel? prvn?ho ??sla chyb?j?c? ?initele druh?ho ??sla;
• dostaneme sou?in, kter? bude po?adovan?m LCM dvou ??sel.

P??klad 5

Vra?me se k ??sl?m 75 a 210 , pro kter? jsme ji? hledali LCM v jednom z p?edchoz?ch p??klad?. Rozd?lme je na jednoduch? faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. K sou?inu faktor? 3 , 5 a 5 ??slo 75 dopl?te chyb?j?c? faktory 2 a 7 ??sla 210. Dostaneme: 2 3 5 5 7 . Toto je LCM ??sel 75 a 210.

P??klad 6

Je nutn? vypo??tat LCM ??sel 84 a 648.

?e?en?

Rozlo?me ??sla z podm?nky na prvo?initele: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3. P?idejte k sou?inu faktor? 2 , 2 , 3 a 7 ??sla 84 chyb?j?c? faktory 2 , 3 , 3 a
3 ??sla 648. Dost?v?me produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je nejmen?? spole?n? n?sobek 84 a 648.

Odpov?d?t: LCM (84, 648) = 4536.

Nalezen? LCM t?? nebo v?ce ??sel

Bez ohledu na to, kolik ??sel m?me co do ?in?n?, algoritmus na?ich akc? bude v?dy stejn?: konzistentn? najdeme LCM dvou ??sel. Pro tento p??pad existuje v?ta.

V?ta 1

P?edpokl?dejme, ?e m?me cel? ??sla a 1, a 2, …, a k. NOC m k z t?chto ??sel se nach?z? v sekven?n?m v?po?tu m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (m k - 1, ak) .

Nyn? se pod?vejme, jak lze v?tu aplikovat na konkr?tn? probl?my.

P??klad 7

Mus?te vypo??tat nejmen?? spole?n? n?sobek ?ty? ??sel 140 , 9 , 54 a 250 .

?e?en?

Poj?me si p?edstavit z?pis: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Za?n?me v?po?tem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Pou?ijme euklidovsk? algoritmus k v?po?tu GCD ??sel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Z?sk?me: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Proto m 2 = 1 260.

Nyn? spo??tejme podle stejn?ho algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . P?i v?po?tech dostaneme m 3 = 3 780.

Zb?v? n?m vypo??tat m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Postupujeme podle stejn?ho algoritmu. Dostaneme m 4 \u003d 94 500.

LCM ?ty? ??sel z p??kladu podm?nky je 94500 .

Odpov?d?t: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Jak vid?te, v?po?ty jsou jednoduch?, ale pom?rn? pracn?. Chcete-li u?et?it ?as, m??ete j?t jinou cestou.

Definice 4

Nab?z?me v?m n?sleduj?c? algoritmus akc?:

• rozlo?it v?echna ??sla na prvo?initele;
• k sou?inu ?initel? prvn?ho ??sla dopl?te chyb?j?c? ?initele sou?inu druh?ho ??sla;
• p?idat chyb?j?c? faktory t?et?ho ??sla k produktu z?skan?mu v p?edchoz? f?zi atd.;
• v?sledn? sou?in bude nejmen?? spole?n? n?sobek v?ech ??sel z podm?nky.

P??klad 8

Je nutn? naj?t LCM p?ti ??sel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

?e?en?

Rozlo?me v?ech p?t ??sel na prvo?initele: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prvo??sla, co? je ??slo 7, nelze zapo??tat do prvo??sel. Takov? ??sla se shoduj? s jejich rozkladem na prvo?initele.

Nyn? vezmeme sou?in prvo?initel? 2, 2, 3 a 7 ??sla 84 a p?id?me k nim chyb?j?c? ?initele druh?ho ??sla. Rozlo?ili jsme ??slo 6 na 2 a 3. Tyto faktory jsou ji? v sou?inu prvn?ho ??sla. Proto je vynech?v?me.

Pokra?ujeme v dopl?ov?n? chyb?j?c?ch n?sobi??. P?ejdeme k ??slu 48, ze sou?inu prvo?initel?, z nich? vezmeme 2 a 2. Pak p?id?me jednoduch? faktor 7 ze ?tvrt?ho ??sla a faktory 11 a 13 z p?t?ho. Dostaneme: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je nejmen?? spole?n? n?sobek z p?ti p?vodn?ch ??sel.

Odpov?d?t: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Hled?n? nejmen??ho spole?n?ho n?sobku z?porn?ch ??sel

Abychom na?li nejmen?? spole?n? n?sobek z?porn?ch ??sel, mus? b?t tato ??sla nejprve nahrazena ??sly s opa?n?m znam?nkem a pot? by m?ly b?t v?po?ty provedeny podle v??e uveden?ch algoritm?.

P??klad 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) a LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888).

Takov? akce jsou p??pustn? vzhledem k tomu, ?e pokud bude p?ijato, ?e A a - a- opa?n? ??sla
pak mno?ina n?sobk? A se shoduje s mno?inou n?sobk? ??sla - a.

P??klad 10

Je nutn? vypo??tat LCM z?porn?ch ??sel - 145 a - 45 .

?e?en?

Zm?n?me ??sla - 145 a - 45 k jejich opa?n?m ??sl?m 145 a 45 . Nyn? pomoc? algoritmu vypo??t?me LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, kdy? jsme p?edt?m ur?ili GCD pomoc? Euklidova algoritmu.

Dostaneme, ?e LCM ??sel - 145 a - 45 rovn? se 1 305 .

Odpov?d?t: LCM (- 145, - 45) = 1 305 .

Pokud si v?imnete chyby v textu, zv?razn?te ji a stiskn?te Ctrl+Enter