- Toto je jeden ze speci?ln?ch p??pad? nerovnom?rn?ho pohybu. Existuje mnoho p??klad? oscila?n?ho pohybu v ?ivot?: houp?n? a houp?n? mikrobusu na pru?in?ch a pohyb p?st? v motoru ... Tyto pohyby se li??, ale maj? spole?nou vlastnost: jednou za ?as je pohyb opakoval.

Tato doba se naz?v? perioda oscilace.

Zva?te jeden z nejjednodu???ch p??klad? oscila?n?ho pohybu - pru?inov? kyvadlo. Pru?inov? kyvadlo je pru?ina p?ipojen? na jednom konci k pevn? st?n? a na druh?m konci k pohybliv? z?t??i. Pro jednoduchost budeme p?edpokl?dat, ?e se z?t?? m??e pohybovat pouze pod?l osy pru?iny. To je re?ln? p?edpoklad – u skute?n?ch pru?n?ch mechanism? se z?t?? obvykle pohybuje po veden?.

Pokud kyvadlo nekmitne a nep?sob? na n?j ??dn? s?ly, pak je v rovnov??n? poloze. Pokud se z t?to polohy ubere a uvoln?, pak se kyvadlo za?ne k?vat – p?est?el? rovnov??n? bod p?i maxim?ln? rychlosti a zamrzne v krajn?ch bodech. Vzd?lenost od bodu rovnov?hy k extr?mn?mu bodu se naz?v? amplituda, doba v t?to situaci bude mezi n?v?t?vami stejn?ho extr?mn?ho bodu minim?ln? doba.

Kdy? je kyvadlo v krajn?m bod?, p?sob? na n?j pru?n? s?la, kter? m? tendenci vr?tit kyvadlo do jeho rovnov??n? polohy. S p?ibli?ov?n?m se k rovnov?ze kles? a v rovnov??n?m bod? se rovn? nule. Ale kyvadlo u? nabralo rychlost a p?est?el? bod rovnov?hy a s?la pru?nosti ho za?ne zpomalovat.

V krajn?ch bodech m? kyvadlo maxim?ln? potenci?ln? energii a v bod? rovnov?hy maxim?ln? kinetickou energii.

V re?ln?m ?ivot? oscilace obvykle utichnou, proto?e v m?diu je odpor. V tomto p??pad? se amplituda z kmit?n? na kmit?n? zmen?uje. Takov?m v?kyv?m se ??k? blednut?.

Pokud nedoch?z? k tlumen? a doch?z? k oscilac?m v d?sledku po??te?n? energetick? rezervy, pak se naz?vaj? voln? vibrace.

T?lesa ??astn?c? se kmit?n? a bez kter?ch by kmit?n? nebylo mo?n?, se naz?vaj? souhrnn? oscila?n? syst?m. V na?em p??pad? se oscila?n? syst?m skl?d? ze z?va??, pru?iny a pevn? st?ny. Obecn? lze oscila?n? soustavou nazvat jakoukoli skupinu t?les schopn?ch voln?ho kmit?n?, tedy ta, ve kter?ch se p?i v?chylk?ch objevuj? s?ly, kter? soustavu vrac? do rovnov?hy.

S jedn?m z typ? nerovnom?rn?ho pohybu - rovnom?rn? zrychlen?m - jste ji? obezn?meni.

Zva?te jin? typ nerovnom?rn?ho pohybu - oscila?n?.

Vibra?n? pohyby jsou v ?ivot? kolem n?s velmi roz???en?. P??klady kmit? jsou: pohyb jehly ?ic?ho stroje, houpa?ka, kyvadlo hodin, vag?n na pru?in?ch a mnoho dal??ch t?les.

Obr?zek 52 ukazuje t?lesa, kter? mohou kmitat, pokud jsou vyvedena z rovnov?hy (tj. vych?lena nebo posunuta z p??mky OO ").

R??e. 52. P??klady t?les vykon?vaj?c?ch oscila?n? pohyby

V pohybu t?chto t?les lze nal?zt mnoho rozd?l?. Nap??klad kuli?ka na niti (obr. 52, a) se pohybuje v zak?iven? linii a v?lec na pry?ov? ????e (obr. 52, b) se pohybuje p??mo?a?e; horn? konec prav?tka (obr. 52, c) kmit? ve v?t??m m???tku ne? st?edn? bod struny (obr. 52, d). N?kter? t?lesa p?itom dok??ou prov?d?t v?t?? po?et kmit? ne? jin?.

Ale se v?? rozmanitost? t?chto pohyb? maj? d?le?it? spole?n? rys: po ur?it? dob? se pohyb jak?hokoli t?la opakuje.

Pokud je m??ek vyjmut z rovnov??n? polohy a uvoln?n, pak se po pr?chodu rovnov??nou polohou odch?l? v opa?n?m sm?ru, zastav? se a pot? se vr?t? do m?sta, kde pohyb za?al. Po tomto kmitu bude n?sledovat druh?, t?et? atd., podobn? prvn?mu.

Pohyby ostatn?ch t?les zobrazen?ch na obr?zku 52 se budou tak? opakovat.

Doba, po kter? se pohyb opakuje, se naz?v? perioda oscilace. Proto ??kaj?, ?e oscila?n? pohyb je periodick?.

V pohybu t?les zn?zorn?n?m na obr?zku 52 je krom? periodicity je?t? jeden spole?n? znak: po dobu rovnaj?c? se period? kmitu projde libovoln? t?leso rovnov??nou polohou dvakr?t (pohybuje se v opa?n?ch sm?rech).

• Pohyby opakuj?c? se v pravideln?ch intervalech, p?i kter?ch t?lo opakovan? a v r?zn?ch sm?rech proch?z? rovnov??nou polohou, se naz?vaj? mechanick? vibrace.

Pr?v? tyto oscilace budou p?edm?tem na?? studie.

Obr?zek 53 ukazuje kouli s d?rou, navle?enou na hladkou ocelovou ???ru a p?ipevn?nou k pru?in? (jej?? druh? konec je p?ipevn?n ke svisl?mu sloupku). M?? m??e po prov?zku voln? klouzat, t.j. t?ec? s?ly jsou tak mal?, ?e v?razn? neovliv?uj? jeho pohyb. Kdy? je kuli?ka v bod? O (obr. 53, a), pru?ina se nedeformuje (nenatahuje ani nestla?uje), nep?sob? na ni tedy ??dn? s?ly ve vodorovn?m sm?ru. Bod O je rovnov??n? poloha m??e.

R??e. 53. Dynamika voln?ch kmit? horizont?ln?ho pru?inov?ho kyvadla

P?em?st?me kuli?ku do bodu B (obr. 53, b). V tomto p??pad? se pru?ina nat?hne a objev? se v n? pru?n? s?la F uprB. Tato s?la je ?m?rn? posunut? (tedy odchylce koule z rovnov??n? polohy) a sm??uje proti n?. To znamen?, ?e kdy? je m??ek posunut doprava, s?la, kter? na n?j p?sob?, sm??uje doleva, sm?rem k rovnov??n? poloze.

Pokud kouli pust?te, tak se p?soben?m pru?n? s?ly za?ne zrychlovat doleva, do bodu O. Sm?r pru?n? s?ly a j?m zp?soben? zrychlen? se bude shodovat se sm?rem rychlosti koule, proto, jak se m?? p?ibl??? k bodu O, jeho rychlost se bude neust?le zvy?ovat. V tomto p??pad? bude pru?n? s?la klesat s poklesem deformace pru?iny (obr. 53, c).

P?ipome?me, ?e ka?d? t?leso m? tu vlastnost, ?e si udr?uje svou rychlost, pokud na n?j nep?sob? ??dn? s?ly nebo je-li v?slednice sil nulov?. Po dosa?en? rovnov??n? polohy (obr. 53, d), kde se pru?n? s?la rovn? nule, se koule nezastav?, ale bude pokra?ovat v pohybu doleva.

P?i pohybu z bodu O do bodu A se pru?ina stla??. V n?m op?t vznikne elastick? s?la, kter? bude v tomto p??pad? sm??ovat tak? do rovnov??n? polohy (obr. 53, e, f). Proto?e pru?n? s?la je nam??ena proti rychlosti m??e, zpomaluje jeho pohyb. V d?sledku toho se m?? zastav? v bod? A. Elastick? s?la sm??uj?c? do bodu O bude d?le p?sobit, tak?e se kuli?ka op?t za?ne pohybovat a jej? rychlost se zv??? v ?seku AO (obr. 53, f, g, h).

Pohyb kuli?ky z bodu O do bodu B op?t povede k nata?en? pru?iny, v d?sledku ?eho? op?t vznikne elastick? s?la sm??uj?c? do rovnov??n? polohy a zpomal? pohyb kuli?ky a? do ?pln?ho zastaven?. (obr. 53, h, i, j). Kuli?ka tedy provede jeden ?pln? kmit. Z?rove? na ni v ka?d?m bod? jej? trajektorie (krom? bodu O) bude p?sobit s?la pru?nosti pru?iny sm??uj?c? do rovnov??n? polohy.

P?soben?m s?ly, kter? vrac? t?leso do rovnov??n? polohy, m??e t?leso jakoby samo od sebe kmitat. Zpo??tku tato s?la vznikla d?ky tomu, ?e jsme provedli pr?ci s nata?en?m pru?iny, ??m? jsme j? dodali ur?it? mno?stv? energie. D?ky t?to energii doch?zelo k vibrac?m.

• Kmity, ke kter?m doch?z? pouze v d?sledku po??te?n? dod?vky energie, se naz?vaj? voln? oscilace.

Voln? kmitaj?c? t?lesa v?dy interaguj? s jin?mi t?lesy a spolu s nimi tvo?? soustavu t?les, kter? se naz?v? oscila?n? soustava. V uva?ovan?m p??kladu oscila?n? syst?m obsahuje kouli, pru?inu a vertik?ln? sloupek, ke kter?mu je p?ipevn?n lev? konec pru?iny. V d?sledku vz?jemn?ho p?soben? t?chto t?les vznik? s?la, kter? vrac? kuli?ku do rovnov??n? polohy.

Obr?zek 54 ukazuje oscila?n? syst?m skl?daj?c? se z koule, z?vitu, stativu a Zem? (Zem? nen? na obr?zku zn?zorn?na). V tomto p??pad? kuli?ka voln? kmit? p?soben?m dvou sil: gravitace a elastick? s?ly nit?. Jejich v?slednice sm??uje do rovnov??n? polohy.

R??e. 54. Z?vitov? kyvadlo

• Soustavy t?les, kter? jsou schopna voln?ch vibrac?, se naz?vaj? oscila?n? soustavy.

Jednou z hlavn?ch spole?n?ch vlastnost? v?ech oscila?n?ch syst?m? je vznik s?ly v nich, kter? vrac? syst?m do polohy stabiln? rovnov?hy.

Oscila?n? syst?my jsou pom?rn? ?irok?m pojmem pou?iteln?m na r?zn? jevy.

Uva?ovan? oscila?n? syst?my se naz?vaj? kyvadla. Existuje v?ce typ? kyvadel: z?vitov? (viz obr. 54), pru?inov? (viz obr. 53, 55) atd.

R??e. 55. Kyvadlo pru?inov?

Obecn?

• Kyvadlo je tuh? t?leso, kter? p?soben?m p?sob?c?ch sil kmit? kolem pevn?ho bodu nebo kolem osy.

Kmitav? pohyb budeme studovat na p??kladu pru?inov?ch a z?vitov?ch kyvadel.

Ot?zky

1. Uve?te p??klady kmitav?ch pohyb?.
2. Jak rozum?te tvrzen?, ?e kmitav? pohyb je periodick??
3. Co se naz?v? mechanick? vibrace?
4. Pomoc? obr?zku 53 vysv?tlete, pro? kdy? se m?? p?ibli?uje k bodu O z obou stran, jeho rychlost se zvy?uje, a kdy? se vzdaluje od bodu O kter?mkoli sm?rem, rychlost m??e kles?.
5. Pro? se kuli?ka nezastav?, kdy? dos?hne rovnov??n? polohy?
6. Jak? vibrace se naz?vaj? voln??
7. Jak? syst?my se naz?vaj? oscila?n?? D?t p??klad.

Cvi?en? 23

Laborato? #3

"Stanoven? koeficientu pru?nosti pru?iny pomoc? kyvadla pru?iny"

UDC 531.13(07)

Z?kony kmitav?ho pohybu jsou uva?ov?ny na p??kladu pru?inov?ho kyvadla. Jsou uvedeny pokyny pro prov?d?n? laboratorn?ch prac? ke stanoven? koeficientu tvrdost pru?iny dynamick?mi metodami. Anal?za typick?ch ?loh na t?ma „Harmonick? kmity. S??t?n? harmonick?ch vibrac?.

Teoretick? ?vod

Oscila?n? pohyb je jedn?m z nejb??n?j??ch pohyb? v p??rod?. Jsou s t?m spojeny zvukov? jevy, st??dav? proud, elektromagnetick? vlny. Kmity jsou vytv??eny jednotliv?mi ??stmi nejr?zn?j??ch stroj? a za??zen?, atomy a molekuly v pevn?ch l?tk?ch, kapalin?ch a plynech, srde?n? svaly u lid? a zv??at atd.

v?h?n? naz?v? se fyzik?ln? proces charakterizovan? opakov?n?m fyzik?ln?ch veli?in spojen?ch s t?mto procesem v ?ase. Pohyb kyvadla nebo houp?n?, stahy srde?n?ho svalu, st??dav? proud jsou p??klady syst?m?, kter? osciluj?.

Oscilace jsou pova?ov?ny za periodick?, pokud se hodnoty fyzik?ln?ch veli?in opakuj? v pravideln?ch intervalech, tzv doba T. Vol? se po?et ?pln?ch kmit? proveden?ch syst?mem za jednotku ?asu frekvence proti. Je z?ejm?, ?e T = 1/obj. Frekvence se m??? v hertzech (Hz). P?i frekvenci 1 hertz syst?m provede 1 kmit za sekundu.

Nejjednodu???m typem kmitav?ho pohybu jsou voln? harmonick? vibrace. Voln?, uvolnit nebo vlastn? se naz?vaj? kmity, ke kter?m doch?z? v soustav? po jej?m vyveden? z rovnov?hy vn?j??mi silami, kter? se v budoucnu na pohybu soustavy nepod?lej?. P??tomnost periodicky se m?n?c?ch vn?j??ch sil zp?sobuje v syst?mu nucen? vibrace.

Harmonick? naz?van? voln? kmit?n?, ke kter?mu doch?z? p?soben?m elastick? s?ly v nep??tomnosti t?en?. Podle Hookova z?kona je p?i mal?ch deformac?ch pru?n? s?la p??mo ?m?rn? posunut? t?lesa x z rovnov??n? polohy a sm??uje do rovnov??n? polohy: F ex. = - kx, kde k je koeficient pru?nosti, m??en? v N/m, a x je posunut? t?lesa z rovnov??n? polohy.

Naz?vaj? se s?ly, kter? nejsou elastick? povahy, ale podobaj? se z?vislosti na posunut? kvazielastick?(lat. kvazi - ?dajn?). Takov? s?ly tak? zp?sobuj? harmonick? oscilace. Nap??klad kvazielastick? s?ly p?sob? na elektrony v oscila?n?m obvodu a zp?sobuj? harmonick? elektromagnetick? oscilace. P??kladem kvazielastick? s?ly m??e b?t tak? gravita?n? slo?ka matematick?ho kyvadla p?i mal?ch ?hlech odklonu od vertik?ly.

Rovnice harmonick?ch kmit?. Nechte t?lo zat??it m p?ipojen? ke konci pru?iny, jej?? hmotnost je mal? ve srovn?n? s hmotnost? t?la. Kmitaj?c? t?leso se naz?v? oscil?tor (lat. oscillum - kmit?n?). Nechte oscil?tor voln? a bez t?en? klouzat po vodorovn?m veden?, pod?l kter?ho sm??ujeme sou?adnicovou osu OX (obr. 1). Po??tek sou?adnic bude um?st?n v bod? odpov?daj?c?m rovnov??n? poloze t?lesa (obr. 1, a). Aplikujte na t?lo horizont?ln? s?lu F a posu?te jej z rovnov??n? polohy doprava do bodu se sou?adnic? X. Nata?en? pru?iny vn?j?? silou zp?sob?, ?e se v n? objev? elastick? s?la F ynp. , sm??uj?c? do rovnov??n? polohy (obr. 1, b). Pokud nyn? odstran?me vn?j?? s?lu F, pak p?soben?m pru?n? s?ly t?leso z?sk?v? zrychlen? A, se p?esune do rovnov??n? polohy a pru?n? s?la se zmen?uje, a? se v rovnov??n? poloze rovn? nule. Po dosa?en? rovnov??n? polohy se v n? v?ak t?leso nezastav? a svou kinetickou energi? se pohybuje doleva. Pru?ina je op?t stla?ena, p?sob? elastick? s?la sm??uj?c? doprava. Kdy? se kinetick? energie t?la p?em?n? na potenci?ln? energii stla?en? pru?iny, zat??en? se zastav?, pot? se za?ne pohybovat doprava a proces se opakuje.

Pokud tedy p?i neperiodick?m pohybu t?leso projde ka?d?m bodem trajektorie pouze jednou, p?i?em? se pohybuje jedn?m sm?rem, pak b?hem kmitav?ho pohybu pro jeden ?pln? kmit v ka?d?m bod? trajektorie, krom? t?ch nejkrajn?j??ch, dojde k t?lesu dvakr?t : jednou pohyb vp?ed, podruh? vzad.

Napi?me druh? Newton?v z?kon pro oscil?tor: ma= Fynp. , kde

F kontrola = –k X (1)

Znam?nko „–“ ve vzorci znamen?, ?e v?chylka a s?la maj? opa?n? sm?r, jin?mi slovy s?la p?sob?c? na zat??en? p?sob?c? na pru?inu je ?m?rn? jej?mu posunut? z rovnov??n? polohy a v?dy sm??uje k rovnov??n? poloze. Koeficient ?m?rnosti "k" se naz?v? koeficient pru?nosti. ??seln? se rovn? s?le, kter? zp?sob? deformaci pru?iny, p?i kter? se jej? d?lka zm?n? o jedni?ku. N?kdy se tomu ??k? koeficient tvrdosti.

Proto?e zrychlen? je druhou derivac? v?chylky t?lesa, lze tuto rovnici p?epsat jako

nebo
(2)

Rovnici (2) lze napsat takto:

, (3)

kde ob? strany rovnice jsou d?leny hmotnost? m a zavedl notaci:

(4)

Je snadn? ov??it substituc?, ?e ?e?en? spl?uje tuto rovnici:

x \u003d A 0 cos (o 0 t + f 0) , (5)

kde A 0 je amplituda nebo maxim?ln? posunut? z?t??e z rovnov??n? polohy, o 0 je ?hlov? nebo cyklick? frekvence, kterou lze vyj?d?it periodou T p?irozen? vibrace podle vzorce
(viz. n??e).

Hodnota f \u003d f 0 + o 0 t (6), kter? je pod znam?nkem kosinus a je m??ena v radi?nech, se naz?v? f?ze oscilace v dob?, kdy t, a f 0 - po??te?n? f?ze. F?ze je ??slo, kter? ur?uje velikost a sm?r posunut? kmitaj?c?ho bodu v dan?m ?ase. Z (6) je vid?t, ?e

. (7)

Hodnota o 0 tedy ur?uje rychlost zm?ny f?ze a je vol?na cyklick? frekvence. S oby?ejnou ?istotou je spojena podle vzorce

Pokud se f?ze zm?n? o 2p radi?ny, pak, jak je zn?mo z trigonometrie, nab?v? kosinus sv? p?vodn? hodnoty, a proto i posunut? nab?v? sv? p?vodn? hodnoty. X. Ale proto?e se ?as m?n? o jedno obdob?, ukazuje se, ?e ano

o 0 ( t + T) + f 0 = (o 0 t + f 0) + 2p

Rozbalen?m z?vorek a zru?en?m podobn?ch ?len? dostaneme o 0 T= 2p nebo
. Ale proto?e od (4)
, pak dostaneme:
. (9)

Takto, perioda oscilace t?la, zav??en? na pru?in?, jak vypl?v? ze vzorce (8), nez?vis? na amplitud? kmit?, ale z?vis? na hmotnosti t?lesa a na koeficientu pru?nosti(nebo tvrdost) pru?iny.

Diferenci?ln? rovnice harmonick? vibrace:
,

P?irozen? kruhov? frekvence kmit?n?, ur?en? povahou a parametry kmitaj?c? soustavy:

–
- pro hmotn? bod s hmotnost? m, kmitaj?c? p?soben?m kvazielastick? s?ly, charakterizovan? koeficientem pru?nosti (tuhosti) k;

–
-pro matematick? kyvadlo maj?c? d?lku l;

–
- pro elektromagnetick? kmit?n? v obvodu s kapacitou Z a induk?nost L.

D?LE?IT? POZN?MKA

Tyto vzorce jsou spr?vn? pro mal? odchylky od rovnov??n? polohy.

Rychlost pro harmonick? vibrace:

.

Akcelerace pro harmonick? vibrace:

celkovou energii harmonick? kmit?n?:

.

EXPERIMENT?LN? ??ST

Cvi?en? 1

Stanoven? z?vislosti periody vlastn?ch kmit? pru?inov?ho kyvadla na hmotnosti b?emene

1. Zav?ste z?va?? na jednu z pru?in a vyve?te kyvadlo z rovnov?hy asi o 1 - 2 cm.

2. Pot?, co nech?te z?t?? voln? oscilovat, zm??te ?asov? interval stopkami t, p?i kter?m kyvadlo provede n (n = 15 - 25) ?pln?ch kmit?
. Najd?te periodu kyvu kyvadla vyd?len?m ?asu, kter? jste nam??ili, po?tem kyv?. Pro v?t?? p?esnost prove?te m??en? alespo? 3x a vypo??tejte pr?m?rnou hodnotu periody oscilace.

Pozn?mka: Ujist?te se, ?e nedoch?z? k bo?n?m v?kyv?m b?emene, tedy ?e v?kyvy kyvadla jsou p??sn? vertik?ln?.

3. Opakujte m??en? s jin?mi z?va??mi. V?sledky m??en? zaznamenejte do tabulky.

4. Nakreslete z?vislost periody kmit?n? kyvadla na hmotnosti b?emene. Graf bude jednodu??? (p??mka), pokud jsou hodnoty hmotnosti zbo?? vyneseny na vodorovn? ose a hodnoty druh? mocniny obdob? na svisl? ose.

?kol 2

Stanoven? sou?initele pru?nosti pru?iny dynamickou metodou

1. Na jednu z pru?in zav?ste z?va?? o hmotnosti 100 g, vyjm?te jej z rovnov??n? polohy o 1 - 2 cm a po zm??en? doby 15 - 20 ?pln?ch kmit? ur?ete periodu kmit?n? kyvadla se zvolen?m zat??en?m. pomoc? vzorce
. Ze vzorce
vypo??tat koeficient pru?nosti pru?iny.

2. Prove?te podobn? m??en? se z?va??m od 150 g do 800 g (podle vybaven?), pro ka?d? p??pad ur?ete koeficient pru?nosti a vypo??tejte pr?m?rnou hodnotu koeficientu pru?nosti pru?iny. V?sledky m??en? zaznamenejte do tabulky.

?kol 3. Podle v?sledk? laboratorn?ch prac? (?kol 1 - 3):

- najd?te hodnotu cyklick? frekvence kyvadla o 0 .

– odpov?zte na ot?zku: z?vis? amplituda kmit? kyvadla na hmotnosti b?emene.

Vezm?te si graf z?skan? p?i prov?d?n? ?koly 1, libovoln? bod a kreslit z n?j kolmice, dokud se neprotne s osami om a OT 2. Definujte hodnoty pro tento bod m a T 2 a podle vzorce
vypo??tat hodnotu sou?initele pru?nosti pru?iny.

aplikace

STRU?N? TEORETICK? INFORMACE

P?ID?N?M HARMONICK?CH KMIT?

Amplituda ALE v?sledn? kmit?n? z?skan? se?ten?m dvou kmit? se stejn?mi frekvencemi a amplitudami A 1 a A 2 prob?haj?c?ch pod?l jedn? p??mky je ur?eno vzorcem

kde f 0, 1, f 0, 2 - po??te?n? f?ze.

?vodn? f?zef 0 v?sledn?ho kmit?n? lze zjistit vzorcem

tg
.

bije vznikaj?c? p?id?n?m dvou kmit? X 1 =A cos2p n 1 t vyskytuj?c? se pod?l jedn? p??mky s r?zn?mi, ale hodnotov? bl?zk?mi frekvencemi n 1 a n 2 jsou pops?ny vzorcem

X= X 1 + X 2 + 2A cos p (n 1 – n 2) t cosp(n 1 +n 2) t.

Rovnice trajektorie bod ??astn?c? se dvou vz?jemn? kolm?ch kmit? stejn? frekvence s amplitudami ALE 1 a ALE 2 a po??te?n? f?ze f 0, 1 a f 0, 2:

Jsou-li po??te?n? f?ze kmit?n? f 0, 1 a f 0, 2 stejn?, pak rovnice trajektorie nab?v? tvaru
. Pokud se po??te?n? f?ze li?? o p, pak rovnice trajektorie m? tvar
. Jedn? se o rovnice p??mek proch?zej?c?ch po??tkem, jin?mi slovy, v t?chto p??padech se bod pohybuje po p??mce. V ostatn?ch p??padech doch?z? k pohybu pod?l elipsy. S f?zov?m rozd?lem
osy t?to elipsy jsou um?st?ny pod?l os ?X a ?Y a rovnice trajektorie se stane
. Takov? vibrace se naz?vaj? eliptick?. Kdy? A 1 \u003d A 2 \u003d A x 2 + y 2 \u003d A 2. Toto je rovnice kruhu a vibrace se naz?vaj? kruhov?. Pro jin? hodnoty frekvenc? a f?zov?ch rozd?l? tvo?? trajektorie kmitaj?c?ho bodu k?ivky bizarn?ho tvaru, tzv. Lissajousovy postavy.

ANAL?ZA N?KTER?CH TYPICK?CH ?KOL?

NA UR?EN? T?MA

?kol 1. Z grafu kmit? hmotn?ho bodu vypl?v?, ?e modul rychlosti v ?ase t = 1/3 s je ...

Perioda harmonick?ho kmit?n? zn?zorn?n? na obr?zku je 2 sekundy. Amplituda tohoto kmitu je 18 cm.Proto ta z?vislost X(t) lze zapsat jako x(t) = 18sin p t. Rychlost je rovna derivaci funkce X(t) ?asem proti(t) = 18p cos p t. Dosazen?m t = (1/3) s dostaneme proti(1/3) = 9n (cm/s).

Opravit je odpov??: 9 p cm/s.

Dv? harmonick? kmity stejn?ho sm?ru se se?tou se stejn?mi periodami a stejn?mi amplitudami A 0 . Na rozd?l
amplituda v?sledn?ho kmit?n? je...

?e?en? se zna?n? zjednodu??, pokud se pou?ije vektorov? metoda pro ur?en? amplitudy a f?ze v?sledn?ho kmit?n?. K tomu zn?zorn?me jednu z p?idan?ch oscilac? jako horizont?ln? vektor s amplitudou ALE jeden . Z konce tohoto vektoru sestroj?me druh? vektor s amplitudou ALE 2 tak, ?e tvo?? ?hel
s prvn?m vektorem. Pak bude d?lka vektoru nakreslen?ho od za??tku prvn?ho vektoru do konce posledn?ho rovna amplitud? v?sledn?ho kmit?n? a ?hel, kter? sv?r? v?sledn? vektor s prvn?m vektorem, ur?? rozd?l v jejich f?ze. Vektorov? diagram odpov?daj?c? podm?nce ?lohy je na obr?zku. To okam?it? ukazuje, ?e amplituda v?sledn? oscilace v
kr?t amplituda ka?d?ho se?ten?ho kmit?n?.

Opravit je odpov??:
.

Bod M sou?asn? kmit? podle harmonick?ho z?kona pod?l sou?adnicov?ch os ACH a OY s r?zn?mi amplitudami, ale stejn?mi frekvencemi. S f?zov?m rozd?lem p/2 trajektorie bodu M vypad? jako:

Kdy? je v podm?nce d?n f?zov? rozd?l, rovnice trajektorie je rovnic? elipsy redukovan? na sou?adnicov? osy a poloosy elipsy se rovnaj? odpov?daj?c?m amplitud?m vibrac? (viz teoretick? informace).

Opravit je odpov??: 1.

Dva identicky sm?rovan? harmonick? kmity stejn? periody s amplitudami A 1 \u003d 10 cm a A 2 \u003d 6 cm se se?tou do jednoho kmitu s amplitudou A res \u003d 14 cm.
sou?et oscilac? se rovn?...

V tomto p??pad? je vhodn? pou??t vzorec . Dosazen?m dat z podm?nky ?lohy do n? dostaneme:
.

Tato hodnota kosinu odpov?d?
.

Spr?vn? odpov?? je: .

Testovac? ot?zky

1. Jak? kmity se naz?vaj? harmonick?? 2. Jakou podobu m? graf netlumen?ch harmonick?ch kmit?? 3. Jak? jsou hodnoty harmonick?ho oscila?n?ho procesu? 4. Uve?te p??klady oscila?n?ch pohyb? z biologie a veterin?rn? medic?ny. 5. Napi?te rovnici pro harmonick? kmit?n?. 6. Jak z?skat v?raz pro periodu kmitav?ho pohybu pru?inov?ho kyvadla?

LITERATURA

Grabovsk? R. I. Kurz fyziky. - M.: Vy??? ?kola, 2008, I. ??st, § 27-30.

Z?klady fyziky a biofyziky. Zhuravlev A. I., Belanovsky A. S., Novikov V. E., Oleshkevich A. A. a dal?? - M., Mir, 2008, kap. 2.

Trofimova T. I. Kurz fyziky: U?ebnice pro studenty. vysok? ?koly. - M.: MGAVMiB, 2008. - Ch. osmn?ct.

Trofimov? T. I. Fyzika v tabulk?ch a vzorc?ch: Proc. p??sp?vek pro vysoko?kol?ky. - 2. vyd., opraveno. - M.: Drop, 2004. - 432 s.

oscila?n? se naz?vaj? procesy, ve kter?ch parametry charakterizuj?c? stav oscila?n?ho syst?mu maj? ur?itou opakovatelnost v ?ase. Takov?mi procesy mohou b?t nap??klad denn? a ro?n? kol?s?n? teploty atmosf?ry a zemsk?ho povrchu, kmit?n? kyvadel atp.

Pokud jsou ?asov? intervaly, po kter?ch se stav soustavy opakuje, navz?jem rovn?, pak se naz?vaj? oscilace ?asopis, a ?asov? interval mezi dv?ma po sob? n?sleduj?c?mi identick?mi stavy syst?mu je perioda oscilace.

U periodick?ch oscilac? se funkce, kter? ur?uje stav oscila?n?ho syst?mu, opakuje po period? oscilace:

Mezi periodick?mi oscilacemi zauj?maj? zvl??tn? m?sto oscilace harmonick?, tj. kmit?n?, p?i kter?m se charakteristiky pohybu soustavy m?n? podle harmonick?ho z?kona, nap??klad:

(308)

Nejv?t?? pozornost v?novan? v teorii kmit? harmonick?m proces?m, se kter?mi se v praxi ?asto setk?v?me, je vysv?tlena jak t?m, ?e analytick? apar?t je pro n? nejl?pe vyvinut, tak t?m, ?e jak?koli periodick? kmity (a nejen periodick?) lze pova?ovat za ur?itou kombinaci harmonick?ch slo?ek. Z t?chto d?vod? budeme d?le uva?ovat p?edev??m harmonick? kmity. V analytick?m v?razu pro harmonick? kmit?n? (308) se hodnota x odchylky hmotn?ho bodu od rovnov??n? polohy naz?v? p?em?st?n?.

Je z?ejm?, ?e maxim?ln? odchylka bodu od rovnov??n? polohy je a, tato hodnota se naz?v? amplituda oscilace. Fyzik?ln? mno?stv? se rovn?:

a kter? ur?uje stav kmitaj?c? soustavy v dan?m ?asov?m okam?iku, se naz?v? f?ze oscilace. Hodnota f?ze v dob? startu od ?asov?ho po??t?n?

volala po??te?n? f?ze oscilac?. Hodnota w ve vyj?d?en? f?ze kmit?n?, kter? ur?uje rychlost procesu kmit?n?, se naz?v? frekvence jeho kruhov?ho nebo cyklick?ho kmit?n?.

Pohybov? stav p?i periodick?ch kmitech by se m?l opakovat v intervalech rovn?ch period? kmit? T. V tomto p??pad? by se samoz?ejm? f?ze kmit? m?la zm?nit o 2p (perioda harmonick? funkce), tj.:

Z toho vypl?v?, ?e perioda kmit?n? a cyklick? frekvence souvis? vztahem:

Podle harmonick?ho z?kona se m?n? i rychlost bodu, jeho? pohybov? z?kon je ur?en (301).

(309)

V?imn?te si, ?e posunut? a rychlost bodu sou?asn? nezanikaj? ani nenab?vaj? maxim?ln?ch hodnot, tzn. m?ch?n? a rychlost jsou mimo f?zi.

Podobn? z?sk?me, ?e zrychlen? bodu je rovno:

Z v?razu pro zrychlen? je vid?t, ?e je mimo f?zi s ohledem na v?chylku a rychlost. P?esto?e posunut? a zrychlen? sou?asn? proch?zej? nulou, v tomto okam?iku maj? opa?n? sm?r, tzn. posunuto na p. Grafy z?vislost? posuvu, rychlosti a zrychlen? na ?ase pro harmonick? kmity jsou uvedeny v podm?n?n?m m???tku na obr. 81. Obr.

1. Definice kmitav?ho pohybu

oscila?n? pohyb je pohyb, kter? se p?esn? nebo p?ibli?n? opakuje v pravideln?ch intervalech. Zvl??tn? pozornost je v?nov?na nauce o oscila?n?m pohybu ve fyzice. To je zp?sobeno shodou z?kon? kmitav?ho pohybu r?zn? povahy a metod jeho studia. Mechanick?, akustick?, elektromagnetick? vibrace a vlny jsou posuzov?ny z jednoho hlediska. Oscila?n? pohyb je charakteristick? pro v?echny p??rodn? jevy. Rytmicky se opakuj?c? procesy, nap??klad tlukot srdce, se neust?le vyskytuj? uvnit? ka?d?ho ?iv?ho organismu.

Mechanick? vibraceOscilace jsou jak?koli fyzik?ln? proces charakterizovan? opakovatelnost? v ?ase.

Drsnost mo?e, houp?n? kyvadla hodin, vibrace trupu lodi, tlukot lidsk?ho srdce, zvuk, r?diov? vlny, sv?tlo, st??dav? proudy – to v?e jsou vibrace.

V procesu fluktuac? se hodnoty fyzik?ln?ch veli?in, kter? ur?uj? stav syst?mu, opakuj? ve stejn?ch nebo nestejn?ch ?asov?ch intervalech. V?kyvy se naz?vaj? ?asopis, pokud se hodnoty m?n?c?ch se fyzik?ln?ch veli?in v pravideln?ch intervalech opakuj?.

Nejmen?? ?asov? interval T, po kter?m se hodnota m?n?c? se fyzik?ln? veli?iny opakuje (ve velikosti a sm?ru, je-li tato veli?ina vektorov?, ve velikosti a znam?nku, je-li skal?rn?), naz?v?me doba kol?s?n?.

Naz?v? se po?et ?pln?ch kmit? nproveden?ch za jednotku ?asu frekvence kol?s?n? t?to veli?iny a zna?? se n. Perioda a frekvence kmit? souvis? vztahem:

Jak?koli oscilace je zp?sobena jedn?m nebo druh?m ??inkem na oscila?n? syst?m. Podle charakteru n?razu, kter? zp?sobuje kmit?n?, se rozli?uj? tyto typy periodick?ch kmit?: voln?, nucen?, vlastn? kmity, parametrick?.

Voln? vibrace- jedn? se o oscilace, ke kter?m doch?z? v syst?mu ponechan?m s?m sob? po jeho vyveden? ze stavu stabiln? rovnov?hy (nap??klad oscilace z?t??e na pru?in?).

Nucen? vibrace- jedn? se o oscilace vlivem vn?j??ch periodick?ch vliv? (nap??klad elektromagnetick? oscilace v TV ant?n?).

Mechanick?kol?s?n?

Vlastn? oscilace- voln? kmity podporovan? vn?j??m zdrojem energie, jejich? za?azen? ve spr?vn?ch okam?ic?ch prov?d? s?m kmitaj?c? syst?m (nap?. kmity kyvadla hodin).

Parametrick? vibrace- jedn? se o kmity, p?i kter?ch doch?z? k periodick? zm?n? libovoln?ho parametru syst?mu (nap??klad ?vih houpa?ky: skr?en? v krajn?ch poloh?ch a vzp??men? ve st?edn? poloze, ?lov?k na houpa?ce m?n? moment setrva?nosti ?vihu) .

Oscilace, kter? jsou svou povahou r?zn?, maj? mnoho spole?n?ho: ??d? se stejn?mi vzory, jsou pops?ny stejn?mi rovnicemi a jsou studov?ny stejn?mi metodami. To umo??uje vytvo?it jednotnou teorii kmit?n?.

Nejjednodu??? z periodick?ch kmit?

jsou harmonick? vibrace.

Harmonick? kmity jsou kmity, v jejich? pr?b?hu se m?n? hodnoty fyzik?ln?ch veli?in v ?ase podle z?kona sinusov?ho nebo kosinusov?ho. V?t?ina oscila?n?ch proces? je pops?na t?mto z?konem nebo m??e b?t p?id?na jako sou?et harmonick?ch oscilac?.

Dal?? "dynamick?" definice harmonick?ch vibrac? je tak? mo?n? jako proces prov?d?n? p?soben?m elastick?ho nebo "kvazielastick?ho"

2. periodick? Oscilace se naz?vaj? oscilace, p?i kter?ch doch?z? v pravideln?ch intervalech k p?esn?mu opakov?n? procesu.

Doba periodick? kmit?n? je minim?ln? doba, po kter? se syst?m vr?t? do p?vodn?ho stavu.

x - osciluj?c? hodnota (nap?. s?la proudu v obvodu, stav a za??n? opakov?n? procesu. Proces prob?haj?c? v jedn? period? oscilace se naz?v? "jeden ?pln? kmit."

periodick? kmity se naz?v? po?et ?pln?ch kmit? za jednotku ?asu (1 sekunda) - nemus? to b?t cel? ??slo.

T - perioda oscilace Period - doba jednoho ?pln?ho kmitu.

Chcete-li vypo??tat frekvenci v, mus?te vyd?lit 1 sekundu ?asem T jednoho kmitu (v sekund?ch) a dostanete po?et kmit? za 1 sekundu nebo sou?adnici bodu) t - ?as

harmonick? kmit?n?

Jedn? se o periodick? kmit?n?, p?i kter?m se sou?adnice, rychlost, zrychlen?, charakterizuj?c? pohyb, m?n? podle sinusov?ho nebo kosinov?ho z?kona.

Harmonick? pr?b?h

Graf stanov? z?vislost posunu t?lesa v ?ase. Nainstalujte tu?ku na pru?inov? kyvadlo, za kyvadlo pap?rovou p?sku, kter? se rovnom?rn? pohybuje. Nebo donu?me matematick? kyvadlo, aby zanechalo stopu. Na pap??e se objev? graf.

Grafem harmonick?ho kmit?n? je sinusov? vlna (nebo kosinusov? vlna). Podle rozvrhu kmit? m??ete ur?it v?echny charakteristiky kmitav?ho pohybu.

Rovnice harmonick?ch vln

Rovnice harmonick?ho kmit?n? stanov? z?vislost t?lesn?ch sou?adnic na ?ase

Kosinov? graf m? v po??te?n?m okam?iku maxim?ln? hodnotu a sinusov? graf m? v po??te?n?m okam?iku nulovou hodnotu. Za?neme-li zkoumat kmit?n? z rovnov??n? polohy, pak kmit?n? bude opakovat sinusoidu. Za?neme-li uva?ovat kmit?n? z polohy maxim?ln? v?chylky, pak kmit?n? bude popisovat kosinus. Nebo m??e b?t takov? oscilace pops?na sinusov?m vzorcem s po??te?n? f?z?.

Zm?na rychlosti a zrychlen? p?i harmonick?m kmit?n?

Nejen sou?adnice t?lesa se s ?asem m?n? podle z?kona sinusov?ho nebo kosinusov?ho. Ale podobn?m zp?sobem se m?n? i takov? veli?iny, jako je s?la, rychlost a zrychlen?. S?la a zrychlen? jsou maxim?ln?, kdy? je kmitaj?c? t?leso v krajn?ch poloh?ch, kde je v?chylka maxim?ln?, a jsou rovny nule, kdy? t?leso proch?z? rovnov??nou polohou. Rychlost je naopak v krajn?ch poloh?ch rovna nule, a kdy? t?leso projde rovnov??nou polohou, dos?hne sv? maxim?ln? hodnoty.

Pokud je oscilace pops?na podle z?kona kosinusu

Pokud je oscilace pops?na podle sinusov?ho z?kona

Maxim?ln? rychlost a hodnoty zrychlen?

Po anal?ze rovnic z?vislosti v(t) a a(t) lze odhadnout, ?e maxim?ln? hodnoty rychlosti a zrychlen? jsou br?ny, kdy? je goniometrick? faktor roven 1 nebo -1. Ur?eno vzorcem

Jak z?skat z?vislosti v(t) a a(t)