Toto ??slo se naz?v? jmenovatel geometrick? posloupnosti, to znamen?, ?e ka?d? ?len se li?? od p?edchoz?ho q kr?t. (Budeme p?edpokl?dat, ?e q ? 1, jinak je v?e p??li? trivi?ln?). Je snadn? vid?t, ?e obecn? vzorec n-t?ho ?lenu geometrick? posloupnosti je b n = b 1 q n – 1 ; ?leny s ??sly b n a b m se li?? o q n – m kr?t.

Ji? ve star?m Egypt? znali nejen aritmetiku, ale i geometrick? postup. Zde je nap??klad ?kol z Rhindova papyru: „Sedm tv??? m? sedm ko?ek; ka?d? ko?ka se?ere sedm my??, ka?d? my? se?ere sedm klas? kuku?ice, ka?d? ucho m??e vyp?stovat sedm m?r je?mene. Jak velk? jsou ??sla v t?to ?ad? a jejich sou?et?

R??e. 1. Probl?m geometrick? posloupnosti starov?k?ho Egypta

Tento ?kol byl mnohokr?t opakov?n s r?zn?mi obm?nami mezi jin?mi n?rody a jindy. Nap??klad v p?semn?m XIII stolet?. "Kniha po??tadla" od Leonarda z Pisy (Fibonacci) m? probl?m, ve kter?m se na cest? do ??ma objevuje 7 star?ch ?en (samoz?ejm? poutnic), z nich? ka?d? m? 7 mul, z nich? ka?d? m? 7 ta?ek, z nich? ka?d? obsahuje 7 chleb?, z nich? ka?d? m? 7 no??, z nich? ka?d? je v 7 pochv?ch. Probl?m se pt?, kolik polo?ek existuje.

Sou?et prvn?ch n ?len? geometrick? posloupnosti S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Tento vzorec lze dok?zat nap??klad takto: Sn \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

P?i?teme ??slo b 1 q n k S n a dostaneme:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Odtud S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) a dostaneme pot?ebn? vzorec.

Ji? na jedn? z hlin?n?ch tabulek starov?k?ho Babylonu, poch?zej?c?ch z VI. stolet?. p?ed na??m letopo?tem obsahuje sou?et 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Pravda, stejn? jako v ?ad? jin?ch p??pad?, nev?me, kde byla tato skute?nost Babylo?an?m zn?ma. .

Rychl? r?st geometrick?ho pokroku v ?ad? kultur, zejm?na v Indii, je opakovan? pou??v?n jako vizu?ln? symbol nesm?rnosti vesm?ru. Ve zn?m? legend? o vzhledu ?ach? d?v? vl?dce jejich vyn?lezci mo?nost, aby si s?m vybral odm?nu, a ??d? o takov? po?et p?eni?n?ch zrn, jak? z?sk?, kdy? se jedno polo?? na prvn? bu?ku ?achovnice. , dva na druh?m, ?ty?i na t?et?m, osm na ?tvrt?m atd. poka?d?, kdy? se ??slo zdvojn?sob?. Vladyka si myslel, ?e je to nanejv?? p?r pytl?, ale p?epo??tal se. Je snadn? vid?t, ?e za v?ech 64 pol? na ?achovnici m?l vyn?lezce dostat (2 64 - 1) zrno, kter? je vyj?d?eno jako 20m?stn? ??slo; i kdyby byl oset cel? povrch Zem?, nasb?r?n? pot?ebn?ho mno?stv? zrn by trvalo minim?ln? 8 let. Tato legenda je n?kdy interpretov?na jako odkaz na t?m?? neomezen? mo?nosti skryt? v ?achov? h?e.

Skute?nost, ?e toto ??slo je skute?n? 20m?stn?, lze snadno zjistit:

2 64 \u003d 2 4 ? (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ? 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (p?esn?j?? v?po?et d?v? 1,84 10 19). Ale zaj?malo by m?, jestli dok??ete zjistit, jakou ??slic? toto ??slo kon???

Geometrick? progrese je rostouc?, pokud je jmenovatel v?t?? ne? 1 v absolutn? hodnot?, nebo klesaj?c?, pokud je men?? ne? jedna. V druh?m p??pad? se ??slo q n m??e st?t libovoln? mal?m pro dostate?n? velk? n. Zat?mco rostouc? exponenci?la roste ne?ekan? rychle, klesaj?c? exponenci?la kles? stejn? rychle.

??m v?t?? n, t?m slab?? se ??slo q n li?? od nuly a ??m bl??e je sou?et n ?len? geometrick? posloupnosti S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) k ??slu S \u003d b 1 / (1 - q). (Tak to od?vodnil nap?. F. Viet). ??slo S se naz?v? sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti. Av?ak po mnoho stalet? nebyla ot?zka, jak? je v?znam sou?tu V?ECH geometrick? posloupnosti s jej?m nekone?n?m po?tem ?len?, matematik?m dostate?n? jasn?.

Klesaj?c? geometrick? progrese je vid?t nap?. v Zen?nov?ch apori?ch „Kous?n?“ a „Achilles a ?elva“. V prvn?m p??pad? je jasn? uk?z?no, ?e cel? silnice (p?edpokl?dejme d?lku 1) je sou?tem nekone?n?ho po?tu segment? 1/2, 1/4, 1/8 atd. Takto je to samoz?ejm? z hlediska p?edstav o kone?n?m sou?tu nekone?n? geometrick? posloupnosti. A p?esto – jak je to mo?n??

R??e. 2. Progrese s faktorem 1/2

V aporii o Achillovi je situace trochu slo?it?j??, proto?e zde se jmenovatel postupu nerovn? 1/2, ale n?jak?mu jin?mu ??slu. Nech? nap??klad Achilles b??? rychlost? v, ?elva se pohybuje rychlost? u a po??te?n? vzd?lenost mezi nimi je l. Achilles ub?hne tuto vzd?lenost za ?as l/v, ?elva se b?hem t?to doby posune o vzd?lenost lu/v. Kdy? Achilles prob?hne t?mto segmentem, vzd?lenost mezi n?m a ?elvou bude rovna l (u / v) 2 atd. Ukazuje se, ?e dohnat ?elvu znamen? naj?t sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? progrese s prvn? v?raz l a jmenovatel u / v. Tento sou?et - segment, kter? Achilles nakonec dob?hne k bodu setk?n? s ?elvou - se rovn? l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ale op?t, jak by m?l b?t tento v?sledek interpretov?n a pro? m? v?bec smysl, nebylo dlouho jasn?.

R??e. 3. Geometrick? progrese s koeficientem 2/3

Sou?et geometrick? progrese pou?il Archimedes p?i ur?ov?n? plochy segmentu paraboly. Nech? je dan? ?sek paraboly ohrani?en t?tivou AB a te?na v bod? D paraboly nech? je rovnob??n? s AB . Nech? C je st?ed AB , E st?ed AC , F st?ed CB . Nakreslete ??ry rovnob??n? s DC body A, E, F, B; nech? te?nu vedenou v bod? D , tyto p??mky se prot?naj? v bodech K , L , M , N . Nakresl?me tak? segmenty AD a DB. Nech? p??mka EL prot?n? p??mku AD v bod? G a parabolu v bod? H; p??mka FM prot?n? p??mku DB v bod? Q a parabolu v bod? R. Podle obecn? teorie ku?elose?ek je DC pr?m?r paraboly (to je ?se?ka rovnob??n? s jej? osou); ona a te?na v bod? D mohou slou?it jako sou?adnicov? osy x a y, ve kter?ch je rovnice paraboly zaps?na jako y 2 \u003d 2px (x je vzd?lenost od D k libovoln?mu bodu dan?ho pr?m?ru, y je d?lka a ?se?ka rovnob??n? s danou te?nou od tohoto bodu pr?m?ru k n?jak?mu bodu na samotn? parabole).

Na z?klad? rovnice paraboly plat? DL 2 = 2 ? p ? LH , DK 2 = 2 ? p ? KA , a proto?e DK = 2DL , pak KA = 4LH . Proto?e KA = 2LG, LH = HG. Plocha segmentu ADB paraboly se rovn? plo?e troj?heln?ku DADB a ploch?m segment? AHD a DRB dohromady. Plocha segmentu AHD se zase podobn? rovn? plo?e troj?heln?ku AHD a zb?vaj?c?ch segment? AH a HD, s ka?d?m z nich lze prov?st stejnou operaci - rozd?lit na troj?heln?k (D) a dva zb?vaj?c? segmenty () atd.:

Plocha troj?heln?ku DAHD se rovn? polovin? plochy troj?heln?ku DALD (maj? spole?nou z?kladnu AD a v??ky se li?? 2kr?t), co? se zase rovn? polovin? plochy troj?heln?k DAKD, a tedy polovinu plochy troj?heln?ku DACD. Plocha troj?heln?ku DAHD se tedy rovn? ?tvrtin? plochy troj?heln?ku DACD. Podobn? se plocha troj?heln?ku DDRB rovn? ?tvrtin? plochy troj?heln?ku DDFB. Plochy troj?heln?k? ?AHD a ?DRB se tedy dohromady rovnaj? ?tvrtin? plochy troj?heln?ku ?ADB. Opakov?n? t?to operace, jak je aplikov?no na segmenty AH , HD , DR a RB, z nich tak? vybere troj?heln?ky, jejich? plocha bude dohromady 4kr?t men?? ne? plocha troj?heln?k? DAHD a DDRB, vzato dohromady, a tedy 16kr?t m?n?, ne? je plocha troj?heln?ku DADB . A tak d?le:

Archimedes tak dok?zal, ?e „ka?d? segment uzav?en? mezi p??mkou a parabolou je ?ty?mi t?etinami troj?heln?ku, m? stejnou z?kladnu a stejnou v??ku“.

N?vod

10, 30, 90, 270...

Je pot?eba naj?t jmenovatele geometrick? posloupnosti.
?e?en?:

1 mo?nost. Vezm?me libovoln? ?len progrese (nap??klad 90) a vyd?lme jej p?edchoz?m (30): 90/30=3.

Je-li zn?m sou?et n?kolika ?len? geometrick? posloupnosti nebo sou?et v?ech ?len? klesaj?c? geometrick? posloupnosti, pak pro nalezen? jmenovatele posloupnosti pou?ijte p??slu?n? vzorce:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kde Sn je sou?et prvn?ch n ?len? geometrick? posloupnosti a
S = b1/(1-q), kde S je sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti (sou?et v?ech ?len? posloupnosti se jmenovatelem men??m ne? jedna).
P??klad.

Prvn? ?len klesaj?c? geometrick? posloupnosti je roven jedn? a sou?et v?ech jej?ch ?len? je roven dv?ma.

Je nutn? ur?it jmenovatele t?to progrese.
?e?en?:

Dosa?te do vzorce data z ?kolu. Dostat:
2=1/(1-q), odkud – q=1/2.

Posloupnost je posloupnost ??sel. V geometrick? posloupnosti se ka?d? n?sleduj?c? ?len z?sk? vyn?soben?m p?edchoz?ho ur?it?m ??slem q, kter? se naz?v? jmenovatel posloupnosti.

N?vod

Jsou-li zn?my dva sousedn? ?leny geometrick?ho b(n+1) a b(n), je pro z?sk?n? jmenovatele nutn? vyd?lit ??slo s velk?m ??slem t?m, kter? mu p?edch?z?: q=b(n +1)/b(n). Vypl?v? to z definice progrese a jej?ho jmenovatele. D?le?itou podm?nkou je, ?e prvn? ?len a jmenovatel progrese nejsou roven nule, jinak je pova?ov?na za neur?itou.

Mezi ?leny posloupnosti jsou tedy vytvo?eny n?sleduj?c? vztahy: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Vzorcem b(n)=b1 q^(n-1) lze vypo??tat libovoln? ?len geometrick? posloupnosti, ve kter? je zn?m jmenovatel q a ?len b1. Ka?d? modulo progrese se tak? rovn? pr?m?ru jeho sousedn?ch ?len?: |b(n)|=?, tak?e progrese m? sv? .

Obdobou geometrick? posloupnosti je nejjednodu??? exponenci?ln? funkce y=a^x, kde x je v exponentu, a je n?jak? ??slo. V tomto p??pad? se jmenovatel progrese shoduje s prvn?m ?lenem a rovn? se ??slu a. Hodnotu funkce y lze ch?pat jako n-t? ?len posloupnosti, vezmeme-li argument x jako p?irozen? ??slo n (??ta?).

Existuje pro sou?et prvn?ch n ?len? geometrick? posloupnosti: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Tento vzorec plat? pro q?1. Je-li q=1, pak se sou?et prvn?ch n ?len? vypo??t? podle vzorce S(n)=n b1. Mimochodem, progresi budeme naz?vat rostouc? pro q v?t?? ne? jedna a kladn? b1. Kdy? jmenovatel progrese, modulo nep?esahuje jednu, bude progrese naz?v?na klesaj?c?.

Speci?ln?m p??padem geometrick? progrese je nekone?n? klesaj?c? geometrick? progrese (b.u.g.p.). Faktem je, ?e ?leny klesaj?c? geometrick? progrese budou st?le znovu klesat, ale nikdy nedos?hnou nuly. P?esto je mo?n? naj?t sou?et v?ech term?n? takov? progrese. Je ur?eno vzorcem S=b1/(1-q). Celkov? po?et ?len? n je nekone?n?.

Chcete-li si p?edstavit, jak m??ete se??st nekone?n? po?et ??sel a nez?skat nekone?no, upe?te dort. Od??zn?te polovinu. Pak od??zn?te 1/2 poloviny a tak d?le. Kusy, kter? z?sk?te, nejsou nic jin?ho ne? ?leny nekone?n? klesaj?c? geometrick? progrese se jmenovatelem 1/2. Pokud d?te v?echny tyto kousky dohromady, z?sk?te origin?ln? dort.

Geometrick? ?lohy jsou speci?ln?m druhem cvi?en?, kter? vy?aduje prostorov? my?len?. Pokud neum?te vy?e?it geometrick? ?kol zkuste dodr?ovat n??e uveden? pravidla.

N?vod

Velmi pozorn? si p?e?t?te stav probl?mu, pokud si n?co nepamatujete nebo n??emu nerozum?te, p?e?t?te si to znovu.

Zkuste ur?it, o jak? geometrick? ?lohy se jedn?, nap?.: v?po?etn?, kdy pot?ebujete zjistit n?jakou hodnotu, ?lohy vy?aduj?c? logick? ?et?zec uva?ov?n?, ?lohy pro stavbu pomoc? kru??tka a prav?tka. V?ce sm??en?ch probl?m?. Jakmile zjist?te typ probl?mu, zkuste myslet logicky.

Pou?ijte pro tento probl?m pot?ebnou v?tu, pokud existuj? pochybnosti nebo neexistuj? ??dn? mo?nosti, zkuste si vzpomenout na teorii, kterou jste na p??slu?n? t?ma studovali.

Ud?lejte si tak? n?vrh probl?mu. Zkuste pomoc? zn?m?ch metod zkontrolovat spr?vnost va?eho ?e?en?.

Dokon?ete ?e?en? probl?mu ?hledn? v pozn?mkov?m bloku, bez skvrn a p?e?krtnut?, a co je nejd?le?it?j?? -. Mo?n? to bude vy?adovat ?as a ?sil?, ne? vy?e?it prvn? geometrick? probl?my. Jakmile v?ak tomuto procesu p?ijdete na kloub, za?nete klikat na ?koly jako o?echy a budete se p?i tom bavit!

Geometrick? posloupnost je posloupnost ??sel b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) takov?, ?e b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1?0, q?0. Jin?mi slovy, ka?d? ?len posloupnosti z?sk?me z p?edchoz?ho vyn?soben?m n?jak?m nenulov?m jmenovatelem posloupnosti q.

N?vod

Probl?my na progresi se nej?ast?ji ?e?? sestaven?m a dodr?en?m syst?mu s ohledem na prvn? ?len progrese b1 a jmenovatele progrese q. Pro psan? rovnic je u?ite?n? zapamatovat si n?kter? vzorce.

Jak vyj?d?it n-t? ?len posloupnosti p?es prvn? ?len posloupnosti a jmenovatel posloupnosti: b(n)=b1*q^(n-1).

Zva?te samostatn? p??pad |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

??SELN? SEKVENCE VI

§ l48. Sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? progrese

A? dosud jsme u sou?t? v?dy p?edpokl?dali, ?e po?et ?len? v t?chto sou?tech je kone?n? (nap??klad 2, 15, 1000 atd.). Ale p?i ?e?en? n?kter?ch probl?m? (zejm?na vy??? matematiky) se ?lov?k mus? vypo??dat se sou?ty nekone?n?ho po?tu ?len?

S= A 1 + A 2 + ... + A n + ... . (1)

Jak? jsou tyto ??stky? Podle definice sou?et nekone?n?ho po?tu ?len? A 1 , A 2 , ..., A n , ... se naz?v? limita sou?tu S n Prvn? P ??sla kdy P -> ? :

S=S n = (A 1 + A 2 + ... + A n ). (2)

Limit (2) samoz?ejm? m??e a nemus? existovat. Podle toho se ??k?, ?e sou?et (1) existuje nebo neexistuje.

Jak zjistit, zda v ka?d?m konkr?tn?m p??pad? existuje sou?et (1)? Obecn? ?e?en? t?to ot?zky daleko p?esahuje r?mec na?eho programu. Je zde v?ak jeden d?le?it? zvl??tn? p??pad, kter? nyn? mus?me zv??it. Budeme mluvit o sou?tu ?len? nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti.

Nechat A 1 , A 1 q , A 1 q 2, ... je nekone?n? klesaj?c? geometrick? pr?b?h. To znamen?, ?e | q |< 1. Сумма первых P ?len? t?to progrese se rovn?

Ze z?kladn?ch v?t o limit?ch prom?nn?ch (viz § 136) z?sk?me:

Ale 1 = 1, a q n = 0. Proto

Sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti se tedy rovn? prvn?mu ?lenu tohoto postupu d?len?mu jednou m?nus jmenovatel tohoto postupu.

1) Sou?et geometrick? posloupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je

a sou?et geometrick? posloupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... se rovn?

2) Jednoduch? periodick? zlomek 0,454545 ... se zm?n? na oby?ejn?.

Abychom tento probl?m vy?e?ili, reprezentujeme tento zlomek jako nekone?n? sou?et:

Prav? strana t?to rovnosti je sou?tem nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti, jej?? prvn? ?len je 45/100 a jmenovatel je 1/100. Proto

Popsan?m zp?sobem lze tak? z?skat obecn? pravidlo pro p?evod jednoduch?ch periodick?ch zlomk? na oby?ejn? zlomky (viz kapitola II, § 38):

Chcete-li p?ev?st jednoduch? periodick? zlomek na oby?ejn?, mus?te postupovat takto: vlo?te obdob? desetinn?ho zlomku do ?itatele a do jmenovatele - ??slo skl?daj?c? se z dev?tek, kter? se bere tolikr?t, kolik je ??slic v obdob?. desetinn?ho zlomku.

3) Sm??en? periodick? zlomek 0,58333 .... p?em?nit na oby?ejn? zlomek.

P?edstavme si tento zlomek jako nekone?n? sou?et:

Na prav? stran? t?to rovnosti tvo?? v?echny ?leny po??naje 3/1000 nekone?n? klesaj?c? geometrickou posloupnost, jej?? prvn? ?len je 3/1000 a jmenovatel je 1/10. Proto

Popsan?m zp?sobem lze z?skat i obecn? pravidlo pro p?em?nu sm??en?ch periodick?ch frakc? na b??n? frakce (viz kapitola II, § 38). Z?m?rn? to sem neza?azujeme. Nen? t?eba se u?it nazpam?? toto t??kop?dn? pravidlo. Je mnohem u?ite?n?j?? v?d?t, ?e jak?koli sm??en? periodick? zlomek m??e b?t reprezentov?n jako sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti a n?jak?ho ??sla. A vzorec

pro sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? progrese je t?eba si samoz?ejm? pamatovat.

Jako cvi?en? v?s vyz?v?me, abyste se krom? n??e uveden?ch probl?m? ?. 995-1000 je?t? jednou obr?tili na probl?m ?. 301 § 38.

Cvi?en?

995. Jak se naz?v? sou?et nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti?

996. Najd?te sou?ty nekone?n? klesaj?c?ch geometrick?ch posloupnost?:

997. Za jak? hodnoty X postup

nekone?n? kles?? Najd?te sou?et takov?ho pr?b?hu.

998. V rovnostrann?m troj?heln?ku se stranou A nov? troj?heln?k je veps?n spojen?m st?ed? jeho stran; stejn?m zp?sobem je do tohoto troj?heln?ku veps?n nov? troj?heln?k a tak d?le ad infinitum.

a) sou?et obvod? v?ech t?chto troj?heln?k?;

b) sou?et jejich ploch.

999. Ve ?tverci se stranou A nov? ?tverec je veps?n spojen?m st?ed? jeho stran; stejn?m zp?sobem je do tohoto ?tverce veps?n ?tverec a tak d?le ad infinitum. Najd?te sou?et obvod? v?ech t?chto ?tverc? a sou?et jejich ploch.

1000. Prove?te nekone?n? klesaj?c? geometrickou posloupnost tak, aby jej? sou?et byl roven 25 / 4 a sou?et druh?ch mocnin jej?ch ?len? se rovnal 625 / 24.

N?kter? probl?my fyziky a matematiky lze ?e?it pomoc? vlastnost? ??seln?ch ?ad. Dv? nejjednodu??? ??seln? ?ady, kter? se vyu?uj? ve ?kol?ch, jsou algebraick? a geometrick?. V tomto ?l?nku se budeme podrobn?ji zab?vat ot?zkou, jak naj?t sou?et nekone?n? progrese geometrick?ho klesaj?c?ho.

geometrick? progrese

Tato slova znamenaj? takovou ?adu re?ln?ch ??sel, jejich? prvky ai spl?uj? v?raz:

Zde i je ??slo prvku v ?ad?, r je konstantn? ??slo, kter? se naz?v? jmenovatel.

Tato definice ukazuje, ?e p?i znalosti libovoln?ho ?lenu pr?b?hu a jeho jmenovatele je mo?n? obnovit celou ?adu ??sel. Je-li nap??klad zn?m 10. prvek, vyd?l?me ho r, dostaneme dev?t? prvek, a kdy? jej znovu vyd?l?me, dostaneme 8. a tak d?le. Tyto jednoduch? argumenty n?m umo??uj? napsat v?raz, kter? je platn? pro uva?ovanou ?adu ??sel:

P??kladem progrese se jmenovatelem 2 by bylo:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Pokud je jmenovatel -2, z?sk? se ?pln? jin? ?ada:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrick? progrese je mnohem rychlej?? ne? algebraick?, to znamen?, ?e jej? ?leny rychle rostou a rychle klesaj?.

Sou?et i ?len? progrese

Pro ?e?en? praktick?ch probl?m? je ?asto nutn? vypo??tat sou?et v?ce prvk? uva?ovan? ??seln? posloupnosti. Pro tento p??pad plat? n?sleduj?c? vzorec:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Je vid?t, ?e k v?po?tu sou?tu i ?len? pot?ebujete zn?t pouze dv? ??sla: a 1 a r, co? je logick?, proto?e jednozna?n? ur?uj? celou posloupnost.

Sestupn? posloupnost a sou?et jej?ch ?len?

Nyn? se pod?vejme na zvl??tn? p??pad. Budeme p?edpokl?dat, ?e absolutn? hodnota jmenovatele r nep?es?hne jednu, tedy -1

Je zaj?mav? uva?ovat o klesaj?c? geometrick? progresi, proto?e nekone?n? sou?et jej?ch ?len? m? tendenci ke kone?n?mu re?ln?mu ??slu.

Z?sk?me sou?tov? vzorec To lze snadno prov?st, pokud nap??eme v?raz pro S i uveden? v p?edchoz?m odstavci. My m?me:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Zva?te p??pad, kdy i->?. Proto?e modul jmenovatele je men?? ne? 1, jeho zv??en? na nekone?nou mocninu d? nulu. To lze ov??it pomoc? p??kladu r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

V?sledkem je, ?e sou?et ?len? nekone?n? geometrick? progrese kles?n? bude m?t tvar:

Tento vzorec se v praxi ?asto pou??v? nap??klad pro v?po?et ploch obrazc?. Pou??v? se tak? p?i ?e?en? paradoxu Zeno z Elea s ?elvou a Achillem.

Je z?ejm?, ?e uva?ov?n? sou?tu nekone?n?ho pr?b?hu geometrick?ho zvy?ov?n? (r>1) povede k v?sledku S ? = +?.

Probl?m naj?t prvn? term?n progrese

Na p??kladu ?e?en? ?lohy si uk??eme, jak by m?ly b?t v??e uveden? vzorce aplikov?ny. Je zn?mo, ?e sou?et nekone?n? geometrick? posloupnosti je 11. Nav?c jej? 7. ?len je 6kr?t men?? ne? t?et? ?len. Jak? je prvn? prvek pro tuto ??selnou ?adu?

Nejprve si vypi?me dva v?razy pro ur?en? 7. a 3. prvku. Dostaneme:

Vyd?len?m prvn?ho v?razu druh?m a vyj?d?en?m jmenovatele m?me:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 ? (a 7 / a 3)

Proto?e pom?r sedm?ho a t?et?ho ?lenu je uveden v podm?nce ?lohy, m??eme jej dosadit a naj?t r:

r \u003d 4 ? (a 7 / a 3) \u003d 4 ? (1/6) ? 0,63894

Vypo??tali jsme r s p?esnost? na p?t platn?ch ??slic za desetinnou ??rkou. Proto?e v?sledn? hodnota je men?? ne? jedna, znamen? to, ?e progrese je klesaj?c?, co? ospravedl?uje pou?it? vzorce pro jej? nekone?n? sou?et. V?raz pro prvn? ?len zap??eme jako sou?et S ? :

Do tohoto vzorce nahrad?me zn?m? hodnoty a dostaneme odpov??:

a 1 \u003d 11 * (1-0,63894) \u003d 3,97166.

Zen?n?v slavn? paradox s rychl?m Achillem a pomalou ?elvou

Zeno z Elea je slavn? ?eck? filozof, kter? ?il v 5. stolet? p?ed na??m letopo?tem. E. ?ada jeho vrchol? ?i paradox? dosp?la do dne?n? doby, v n?? je formulov?n probl?m nekone?n? velk?ho a nekone?n? mal?ho v matematice.

Jedn?m ze zn?m?ch Zen?nov?ch paradox? je sout?? mezi Achillem a ?elvou. Zeno v??il, ?e pokud Achilles poskytne ?elv? n?jakou v?hodu na d?lku, nikdy ji nebude schopen p?edjet. Nechte nap??klad Achilla b??et 10x rychleji ne? plaz?c? se zv??e, kter? je nap??klad 100 metr? p?ed n?m. Kdy? v?le?n?k ub?hne 100 metr?, ?elva se plaz? zp?t o 10. Ub?hne-li znovu 10 metr?, Achilles uvid?, ?e se ?elva plazila o dal?? 1 metr. M??ete se takhle h?dat donekone?na, vzd?lenost mezi sout???c?mi se opravdu zmen??, ale ?elva bude v?dy vep?edu.

Vedl Zeno k z?v?ru, ?e pohyb neexistuje a ve?ker? okoln? pohyb p?edm?t? je iluz?. Starov?k? ?eck? filozof se samoz?ejm? m?lil.

?e?en? paradoxu spo??v? v tom, ?e nekone?n? sou?et st?le se zmen?uj?c?ch segment? sm??uje ke kone?n?mu ??slu. Ve v??e uveden?m p??pad? pro vzd?lenost, kterou Achilles urazil, dostaneme:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Pou?it?m vzorce pro sou?et nekone?n? geometrick? posloupnosti dostaneme:

S ? \u003d 100 / (1-0,1) ? 111,111 metr?

Tento v?sledek ukazuje, ?e Achilles p?edb?hne ?elvu, kdy? se plaz? pouze 11 111 metr?.

Sta?? ?ekov? neum?li v matematice pracovat s nekone?n?mi veli?inami. Tento paradox v?ak lze vy?e?it, pokud nebudeme db?t na nekone?n? po?et mezer, kter? mus? Achilles p?ekonat, ale na kone?n? po?et krok?, kter? b??ec pot?ebuje k dosa?en? c?le.

Matematika je colid? ovl?daj? p??rodu i sebe.

Sov?tsk? matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrick? progrese.

Spolu s ?lohami na aritmetick? posloupnosti jsou v p?ij?mac?ch testech z matematiky b??n? i ?lohy souvisej?c? s pojmem geometrick? posloupnost. Chcete-li takov? probl?my ?sp??n? vy?e?it, mus?te zn?t vlastnosti geometrick? progrese a m?t dobr? dovednosti v jejich pou??v?n?.

Tento ?l?nek je v?nov?n p?edstaven? hlavn?ch vlastnost? geometrick? posloupnosti. Poskytuje tak? p??klady ?e?en? typick?ch probl?m?, vyp?j?eno z ?loh p?ij?mac?ch test? z matematiky.

Poznamenejme si p?edb??n? hlavn? vlastnosti geometrick? posloupnosti a p?ipome?me si nejd?le?it?j?? vzorce a v?roky, spojen? s t?mto konceptem.

Definice.??seln? posloupnost se naz?v? geometrick? posloupnost, pokud ka?d? jej? ??slo, po??naje druh?m, je rovno p?edchoz?mu, vyn?soben? stejn?m ??slem. ??slo se naz?v? jmenovatel geometrick? posloupnosti.

Pro geometrick? postupvzorce jsou platn?

, (1)

kde . Vzorec (1) se naz?v? vzorcem obecn?ho ?lenu geometrick? posloupnosti a vzorec (2) je hlavn? vlastnost? geometrick? posloupnosti: ka?d? ?len posloupnosti se shoduje s geometrick?m pr?m?rem sousedn?ch ?len? a .

Pozn?mka, ?e pr?v? kv?li t?to vlastnosti se doty?n? progrese naz?v? „geometrick?“.

V??e uveden? vzorce (1) a (2) jsou shrnuty takto:

, (3)

Pro v?po?et sou?tu Prvn? ?leny geometrick? progreseplat? vzorec

Pokud ur??me

kde . Proto?e vzorec (6) je zobecn?n?m vzorce (5).

V p??pad? kdy a geometrick? progresenekone?n? kles?. Pro v?po?et sou?tuze v?ech ?len? nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti se pou?ije vzorec

. (7)

Nap??klad , pomoc? vzorce (7) lze uk?zat, co

kde . Tyto rovnosti jsou z?sk?ny ze vzorce (7) za p?edpokladu, ?e , (prvn? rovnost) a , (druh? rovnost).

Teor?m. Pokud, pak

D?kaz. Pokud tedy

V?ta byla prok?z?na.

P?ejd?me k ?vah?m o p??kladech ?e?en? ?loh na t?ma "Geometrick? postup".

P??klad 1 Vzhledem k: , a . Naj?t .

?e?en?. Pokud se pou?ije vzorec (5), pak

Odpov?d?t: .

P??klad 2 Nechte a . Naj?t .

?e?en?. Od a pou?ijeme vzorce (5), (6) a z?sk?me soustavu rovnic

Je-li druh? rovnice soustavy (9) d?lena prvn?, pak nebo . Z toho vypl?v? . Uva?ujme dva p??pady.

1. Pokud , pak z prvn? rovnice soustavy (9) m?me.

2. Pokud , pak .

P??klad 3 Nechte, a. Naj?t .

?e?en?. Ze vzorce (2) vypl?v?, ?e nebo . Od t? doby nebo .

Podle podm?nky. Nicm?n? , proto . Proto?e a, pak zde m?me soustavu rovnic

Pokud je druh? rovnice syst?mu d?lena prvn?, pak nebo .

Proto?e rovnice m? jedin? vhodn? ko?en. V tomto p??pad? prvn? rovnice syst?mu implikuje .

Vezmeme-li v ?vahu vzorec (7), dostaneme.

Odpov?d?t: .

P??klad 4 Vzhledem k: a . Naj?t .

?e?en?. Od t? doby .

Proto?e, pak nebo

Podle vzorce (2) m?me . V tomto ohledu z rovnosti (10) z?sk?me nebo .

Nicm?n? podle podm?nky , tedy .

P??klad 5 Je zn?mo ?e . Naj?t .

?e?en?. Podle v?ty m?me dv? rovnosti

Od t? doby nebo . Proto?e pak .

Odpov?d?t: .

P??klad 6 Vzhledem k: a . Naj?t .

?e?en?. Vezmeme-li v ?vahu vzorec (5), dostaneme

Od t? doby . Od , a , pak .

P??klad 7 Nechte a . Naj?t .

?e?en?. Podle vzorce (1) m??eme ps?t

Proto m?me nebo . Je zn?mo, ?e a , proto a .

Odpov?d?t: .

P??klad 8 Najd?te jmenovatele nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti if

a .

?e?en?. Ze vzorce (7) vypl?v? a . Odtud a z podm?nky ?lohy z?sk?me soustavu rovnic

Je-li prvn? rovnice soustavy na druhou, a pot? v?slednou rovnici vyd?lte druhou rovnic?, pak dostaneme

Nebo .

Odpov?d?t: .

P??klad 9 Najd?te v?echny hodnoty, pro kter? je posloupnost , , geometrickou progres?.

?e?en?. Nechte, a. Podle vzorce (2), kter? definuje hlavn? vlastnost geometrick? posloupnosti, m??eme ps?t nebo .

Odtud dostaneme kvadratickou rovnici, jeho? ko?eny jsou a .

Zkontrolujeme: pokud, pak , a ; pokud , pak , a .

V prvn?m p??pad? m?me a , a ve druh?m - a .

Odpov?d?t: , .

P??klad 10?e?it rovnici

, (11)

kde a .

?e?en?. Lev? strana rovnice (11) je sou?tem nekone?n? klesaj?c? geometrick? posloupnosti, ve kter? a , za p?edpokladu: a .

Ze vzorce (7) vypl?v?, co . V tomto ohledu m? rovnice (11) tvar nebo . vhodn? ko?en kvadratick? rovnice je

Odpov?d?t: .

P??klad 11. P posloupnost kladn?ch ??seltvo?? aritmetick? postup, a - geometrick? postup, co to m? spole?n?ho s . Naj?t .

?e?en?. Proto?e aritmetick? posloupnost, pak (hlavn? vlastnost aritmetick? progrese). Proto?e, pak nebo . Z toho vypl?v? , ?e geometrick? progrese je. Podle vzorce (2), pak to nap??eme.

Od a pot? . V tom p??pad? v?raz m? podobu nebo . Podle podm?nky, tak?e z rovnicez?sk?me jedine?n? ?e?en? uva?ovan?ho probl?mu, tj. .

Odpov?d?t: .

P??klad 12. Vypo??tejte sou?et

. (12)

?e?en?. Vyn?sobte ob? strany rovnosti (12) 5 a dostanete

Ode?teme-li od v?sledn?ho v?razu (12)., pak

nebo .

Pro v?po?et dosad?me hodnoty do vzorce (7) a z?sk?me . Od t? doby .

Odpov?d?t: .

Zde uveden? p??klady ?e?en? probl?m? poslou?? uchaze??m p?i p??prav? na p?ij?mac? zkou?ky. Pro hlub?? studium metod ?e?en? probl?m?, spojen? s geometrickou progres?, m??ete vyu??t v?ukov? programy ze seznamu doporu?en? literatury.

1. Sb?rka ?loh z matematiky pro uchaze?e na technick? vysok? ?koly / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pro st?edo?kol?ky: dopl?kov? sekce ?koln? osnovy. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Med?nsk? M.M. Kompletn? kurz element?rn? matematiky v ?loh?ch a cvi?en?ch. Kniha 2: ??seln? posloupnosti a progrese. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

M?te n?jak? dotazy?

Chcete-li z?skat pomoc tutora - zaregistrujte se.

str?nky, s ?pln?m nebo ??ste?n?m zkop?rov?n?m materi?lu, je vy?adov?n odkaz na zdroj.