Rovn? ohyb. Ploch? p???n? ohyb Vynesen? diagram? sou?initel? vnit?n? s?ly pro nosn?ky Vynesen? Q a M diagram? podle rovnic Vynesen? Q a M diagram? pomoc? charakteristick?ch ?ez? (bod?) V?po?ty pro pevnost v p??m?m ohybu nosn?k? Hlavn? nap?t? v ohybu. Kompletn? ov??en? pevnosti nosn?k? Pochopen? st?edu ohybu Stanoven? posuv? nosn?k? p?i ohybu. Pojmy deformace nosn?k? a podm?nky jejich tuhosti Diferenci?ln? rovnice oh?ban? osy nosn?ku Metoda p??m? integrace P??klady stanoven? posuv? v nosn?kech metodou p??m? integrace Fyzik?ln? v?znam integra?n?ch konstant Metoda po??te?n?ch parametr? (univerz?ln? rovnice ohnut? osa nosn?ku). P??klady stanoven? posuv? v nosn?ku metodou po??te?n?ch parametr? Stanoven? posuv? Mohrovou metodou. A.K. pravidlo Vere??agin. V?po?et Mohrova integr?lu podle A.K. Vereshchagin P??klady ur?ov?n? posun? pomoc? Mohrova integr?lu Bibliografie P??m? oh?b?n?. Ploch? p???n? ohyb. 1.1. Vykreslov?n? diagram? sou?initel? vnit?n? s?ly pro nosn?ky P??m? ohyb je typ deformace, p?i kter?m v pr??ezech prutu vznikaj? dva sou?initele vnit?n? s?ly: ohybov? moment a p???n? s?la. V konkr?tn?m p??pad? m??e b?t p???n? s?la rovna nule, pak se ohyb naz?v? ?ist?. P?i ploch?m p???n?m ohybu jsou v?echny s?ly um?st?ny v jedn? z hlavn?ch rovin setrva?nosti ty?e a jsou kolm? k jej? pod?ln? ose, momenty jsou um?st?ny ve stejn? rovin? (obr. 1.1, a, b). R??e. 1.1 P???n? s?la v libovoln?m pr??ezu nosn?ku je ??seln? rovna algebraick?mu sou?tu pr?m?t? v?ech vn?j??ch sil p?sob?c?ch na jednu stranu uva?ovan?ho ?ezu do norm?ly k ose nosn?ku. P???n? s?la v ?ezu m-n nosn?ku (obr. 1.2, a) se pova?uje za kladnou, pokud v?slednice vn?j??ch sil nalevo od ?ezu sm??uje nahoru a doprava - dol? a z?porn? - v opa?n?m p??pad? (obr. 1.2, b). R??e. 1.2 P?i v?po?tu p???n? s?ly v dan?m ?ezu se vn?j?? s?ly le??c? vlevo od ?ezu berou se znam?nkem plus, pokud sm??uj? nahoru, a se znam?nkem m?nus, pokud dol?. Pro pravou stranu nosn?ku - naopak. 5 Ohybov? moment v libovoln?m pr??ezu nosn?ku je ??seln? roven algebraick?mu sou?tu moment? kolem st?edov? osy z pr??ezu v?ech vn?j??ch sil p?sob?c?ch na jednu stranu uva?ovan?ho pr??ezu. Ohybov? moment v ?ezu m-n nosn?ku (obr. 1.3, a) je pova?ov?n za kladn?, pokud v?sledn? moment vn?j??ch sil sm??uje ve sm?ru hodinov?ch ru?i?ek z ?ezu vlevo od ?ezu a proti sm?ru hodinov?ch ru?i?ek vpravo a z?porn? v ?ezu. opa?n? p??pad (obr. 1.3b). R??e. 1.3 P?i v?po?tu ohybov?ho momentu v dan?m ?ezu se momenty vn?j??ch sil le??c?ch vlevo od ?ezu pova?uj? za kladn?, pokud sm??uj? ve sm?ru hodinov?ch ru?i?ek. Pro pravou stranu nosn?ku - naopak. Znam?nko ohybov?ho momentu je vhodn? ur?it podle charakteru deformace nosn?ku. Ohybov? moment se pova?uje za kladn?, pokud se v uva?ovan?m ?seku od??znut? ??st nosn?ku oh?b? s konvexitou sm?rem dol?, tj. jsou nata?ena spodn? vl?kna. Jinak je ohybov? moment v ?ezu z?porn?. Mezi ohybov?m momentem M, p???nou silou Q a intenzitou zat??en? q existuj? rozd?lov? z?vislosti. 1. Prvn? derivace p???n? s?ly pod?l ?se?ky ?ezu je rovna intenzit? rozlo?en?ho zat??en?, tzn. . (1.1) 2. Prvn? derivace ohybov?ho momentu na ?se?ce ?ezu je rovna p???n? s?le, tj. . (1.2) 3. Druh? derivace vzhledem k ?se?ce ?ezu je rovna intenzit? rozlo?en?ho zat??en?, tj. . (1.3) Rozlo?en? zat??en? sm??uj?c? nahoru pova?ujeme za kladn?. Z diferenci?ln?ch z?vislost? mezi M, Q, q vypl?v? ?ada d?le?it?ch z?v?r?: 1. Jestli?e na pr??ezu nosn?ku: a) je p???n? s?la kladn?, pak se ohybov? moment zv?t?uje; b) p???n? s?la je z?porn?, pak ohybov? moment kles?; c) p???n? s?la je nulov?, pak m? ohybov? moment konstantn? hodnotu (?ist? ohyb); 6 d) p???n? s?la proch?z? nulou, m?n? se znam?nko z plus na m?nus, max M M, jinak M Mmin. 2. Pokud na pr??ezu nosn?ku nen? ??dn? rozlo?en? zat??en?, pak je p???n? s?la konstantn? a ohybov? moment se m?n? line?rn?. 3. Pokud je na pr??ezu nosn?ku rovnom?rn? rozlo?en? zat??en?, pak se p???n? s?la m?n? podle line?rn?ho z?kona a ohybov? moment - podle z?kona ?tvercov? paraboly, konvexn? p?evr?cen? sm?rem k zat??en? (v p??pad? vykreslen? M ze strany napnut?ch vl?ken). 4. V ?ezu pod soust?ed?nou silou m? diagram Q skok (o velikosti s?ly), diagram M m? zlom ve sm?ru s?ly. 5. V ?seku, kde se uplat?uje soust?ed?n? moment, m? diagram M skok rovn? hodnot? tohoto momentu. To se v grafu Q neodr???. P?i komplexn?m zat??en? nosn?ky vytv??ej? diagramy p???n?ch sil Q a ohybov?ch moment? M. Graf Q (M) je graf zn?zor?uj?c? z?kon zm?ny p???n? s?ly (ohybov?ho momentu) po d?lce nosn?ku. Na z?klad? anal?zy diagram? M a Q jsou stanoveny nebezpe?n? ?seky nosn?ku. Kladn? sou?adnice Q diagramu jsou vyneseny sm?rem nahoru a z?porn? sou?adnice jsou vyneseny sm?rem dol? od z?kladn? ??ry nakreslen? rovnob??n? s pod?lnou osou nosn?ku. Kladn? sou?adnice diagramu M jsou polo?eny a z?porn? sou?adnice jsou vyneseny nahoru, tj. diagram M je sestaven ze strany napnut?ch vl?ken. Konstrukce diagram? Q a M pro nosn?ky by m?la za??t definic? podporov?ch reakc?. U nosn?ku s jedn?m pevn?m koncem a druh?m voln?m koncem lze vykreslov?n? Q a M za??t od voln?ho konce bez definov?n? reakc? v ukotven?. 1.2. Konstrukce diagram? Q a M podle Balkov?ch rovnic je rozd?lena do ?sek?, ve kter?ch funkce pro ohybov? moment a smykovou s?lu z?st?vaj? konstantn? (nemaj? nespojitosti). Hranicemi ?ez? jsou m?sta p?soben? soust?ed?n?ch sil, dvojice sil a m?sta zm?ny intenzity rozlo?en?ho zat??en?. Na ka?d?m ?ezu ve vzd?lenosti x od po??tku se provede libovoln? ?ez a pro tento ?ez se vypracuj? rovnice pro Q a M. Pomoc? t?chto rovnic se sestav? grafy Q a M. P??klad 1.1 Sestrojte grafy smykov?ch sil Q a ohybov?ch moment? M pro dan? nosn?k (obr. 1.4a). ?e?en?: 1. Stanoven? reakc? podpor. Sestav?me rovnice rovnov?hy: ze kter?ch z?sk?me Reakce podpor jsou definov?ny spr?vn?. Nosn?k m? ?ty?i sekce Obr. 1.4 na??t?n?: CA, AD, DB, BE. 2. Plotov?n? Q. Plot SA. Na ?ez CA 1 nakresl?me libovoln? ?ez 1-1 ve vzd?lenosti x1 od lev?ho konce nosn?ku. Q definujeme jako algebraick? sou?et v?ech vn?j??ch sil p?sob?c?ch nalevo od ?ezu 1-1: Znam?nko se bere, proto?e s?la p?sob?c? nalevo od ?ezu sm??uje dol?. V?raz pro Q nez?vis? na prom?nn? x1. Graf Q v t?to ??sti bude zn?zorn?n jako p??mka rovnob??n? s osou x. Spiknut? AD. Na m?st? nakresl?me libovoln? ?ez 2-2 ve vzd?lenosti x2 od lev?ho konce nosn?ku. Q2 definujeme jako algebraick? sou?et v?ech vn?j??ch sil p?sob?c?ch nalevo od ?ezu 2-2: 8 Hodnota Q je na ?ezu konstantn? (nez?vis? na prom?nn? x2). Graf Q na pozemku je p??mka rovnob??n? s osou x. web DB. Na m?st? nakresl?me libovoln? ?ez 3-3 ve vzd?lenosti x3 od prav?ho konce nosn?ku. Q3 definujeme jako algebraick? sou?et v?ech vn?j??ch sil p?sob?c?ch napravo od ?ezu 3-3: V?sledn?m v?razem je rovnice naklon?n? p??mky. Z?pletka B.E. Na m?st? nakresl?me ?ez 4-4 ve vzd?lenosti x4 od prav?ho konce nosn?ku. Q definujeme jako algebraick? sou?et v?ech vn?j??ch sil p?sob?c?ch napravo od sekce 4-4: 4 Zde je znam?nko plus, proto?e v?sledn? zat??en? napravo od sekce 4-4 sm??uje dol?. Na z?klad? z?skan?ch hodnot sestav?me diagramy Q (obr. 1.4, b). 3. Vykreslen? M. Pozemek m1. Ohybov? moment v sekci 1-1 definujeme jako algebraick? sou?et moment? sil p?sob?c?ch vlevo od sekce 1-1. je rovnice p??mky. ?ez A 3 Definujte ohybov? moment v ??sti 2-2 jako algebraick? sou?et moment? sil p?sob?c?ch nalevo od ??sti 2-2. je rovnice p??mky. Graf DB 4 Ohybov? moment definujeme v sekci 3-3 jako algebraick? sou?et moment? sil p?sob?c?ch vpravo od sekce 3-3. je rovnice ?tvercov? paraboly. 9 Najd?te t?i hodnoty na konc?ch ?ezu a v bod? se sou?adnic? xk , kde ?ez BE 1 Definujte ohybov? moment v ?ezu 4-4 jako algebraick? sou?et moment? sil p?sob?c?ch napravo od ?ezu 4- 4. - rovnici ?tvercov? paraboly najdeme t?i hodnoty M4: Na z?klad? z?skan?ch hodnot sestav?me graf M (obr. 1.4, c). V ?ezech CA a AD je pozemek Q omezen p??mkami rovnob??n?mi s osou ?se?ky a v ?ezech DB a BE ?ikm?mi p??mkami. V ?ezech C, A a B na diagramu Q doch?z? ke skok?m o velikosti odpov?daj?c?ch sil, co? slou?? jako kontrola spr?vnosti konstrukce diagramu Q. V ?ezech, kde Q ? 0, se momenty zv?t?uj? od. zleva do prava. V ?sec?ch, kde Q ? 0, se momenty sni?uj?. Pod soust?ed?n?mi silami doch?z? ke zlom?m ve sm?ru p?soben? sil. Pod koncentrovan?m momentem doch?z? ke skoku o hodnotu momentu. To ukazuje na spr?vnost vynesen? M. P??klad 1.2 Sestrojte grafy Q a M pro nosn?k na dvou podpor?ch, zat??en? rozlo?en?m zat??en?m, jeho? intenzita se line?rn? m?n? (obr. 1.5, a). ?e?en? Stanoven? podp?rn?ch reakc?. V?slednice rozlo?en?ho zat??en? se rovn? plo?e troj?heln?ku p?edstavuj?c?ho diagram zat??en? a je aplikov?na v t??i?ti tohoto troj?heln?ku. Sestav?me sou?ty moment? v?ech sil vzhledem k bod?m A a B: Vynesen? Q. Nar?sujme libovoln? ?ez ve vzd?lenosti x od lev? podpory. Po?adnice diagramu zat??en? odpov?daj?c? ?ezu se ur?? z podobnosti troj?heln?k? V?slednice t? ??sti zat??en?, kter? se nach?z? vlevo od ?ezu Posouvaj?c? s?la v ?ezu je rovna nule: Graf Q je zn?zorn?n na Obr. Obr. 1,5, b. Ohybov? moment v libovoln?m ?ezu je roven Ohybov? moment se m?n? podle z?kona kubick? paraboly: Maxim?ln? hodnota ohybov?ho momentu je v ?ezu, kde 0, tj. at. 1,5, c. 1.3. Vynesen? Q a M diagram? podle charakteristick?ch ?ez? (bod?) Pomoc? diferenci?ln?ch vztah? mezi M, Q, q a z?v?r? z nich vypl?vaj?c?ch je vhodn? sestavit Q a M diagramy podle charakteristick?ch ?ez? (bez formulace rovnic). Pomoc? t?to metody jsou hodnoty Q a M vypo?teny v charakteristick?ch ?ezech. Charakteristick? ?ezy jsou hrani?n? ?ezy ?ez? a tak? ?ezy, kde m? dan? sou?initel vnit?n? s?ly extr?mn? hodnotu. V mez?ch mezi charakteristick?mi ?seky je obrys 12 diagramu stanoven na z?klad? diferenci?ln?ch z?vislost? mezi M, Q, q a z?v?ry z nich vypl?vaj?c?. P??klad 1.3 Sestrojte diagramy Q a M pro nosn?k zobrazen? na Obr. 1,6, a. R??e. 1.6. ?e?en?: Za?neme vykreslovat Q a M diagramy od voln?ho konce nosn?ku, p?i?em? reakce v ulo?en? lze vynechat. Nosn?k m? t?i lo?n? plochy: AB, BC, CD. V ?sec?ch AB a BC nen? rozlo?en? zat??en?. P???n? s?ly jsou konstantn?. Graf Q je omezen p??mkami rovnob??n?mi s osou x. Ohybov? momenty se m?n? line?rn?. Graf M je omezen na p??mky naklon?n? k ose x. Na sekci CD je rovnom?rn? rozlo?en? zat??en?. P???n? s?ly se m?n? line?rn? a ohybov? momenty se m?n? podle z?kona ?tvercov? paraboly s konvexitou ve sm?ru rozlo?en?ho zat??en?. Na rozhran? ?sek? AB a BC se p???n? s?la prudce m?n?. Na rozhran? ?sek? BC a CD se ohybov? moment prudce m?n?. 1. Vynesen? Q. Vypo?teme hodnoty p???n?ch sil Q v hrani?n?ch ?ezech ?ez?: Na z?klad? v?sledk? v?po?t? sestav?me diagram Q pro nosn?k (obr. 1, b). Z diagramu Q vypl?v?, ?e p???n? s?la v ?ezu CD je rovna nule v ?ezu vzd?len?m qa a q od za??tku tohoto ?ezu. V tomto ?seku m? ohybov? moment maxim?ln? hodnotu. 2. Konstrukce diagramu M. Vypo?teme hodnoty ohybov?ch moment? v hrani?n?ch ?ezech ?ez?: P??klad 1.4 Podle dan?ho diagramu ohybov?ch moment? (obr. 1.7, a) pro nosn?k (obr. 1.7, b) ur?ete p?sob?c? zat??en? a vykreslete Q. Kruh ozna?uje vrchol ?tvercov? paraboly. ?e?en?: Ur?ete zat??en? p?sob?c? na nosn?k. ?sek AC je zat??en rovnom?rn? rozlo?en?m zat??en?m, proto?e diagram M v tomto ?ezu je ?tvercov? parabola. V referen?n?m ?ezu B p?sob? na nosn?k koncentrovan? moment p?sob?c? ve sm?ru hodinov?ch ru?i?ek, proto?e na diagramu M m?me skok o velikosti momentu nahoru. V SV ?ezu nen? nosn?k zat??en, proto?e diagram M v tomto ?ezu je omezen naklon?nou p??mkou. Reakce podpory B se ur?? z podm?nky, ?e ohybov? moment v ?ezu C je roven nule, t.j. pro ur?en? intenzity rozlo?en?ho zat??en? sestav?me v?raz pro ohybov? moment v ?ezu A jako sou?et moment? s?ly vpravo a rovnaj? se nule. Nyn? ur??me reakci podpory A. K tomu sestav?me v?raz pro ohybov? momenty v ?ezu jako sou?et moment? sil vlevo Sch?ma v?po?tu nosn?ku se zat??en?m je na Obr. 1,7, c. Po??naje lev?m koncem nosn?ku vypo??t?me hodnoty p???n?ch sil v hrani?n?ch ?ezech ?ez?: Graf Q je zn?zorn?n na obr. 1.7, d. Uva?ovan? probl?m lze vy?e?it sestaven?m funk?n?ch z?vislost? pro M, Q v ka?d? sekci. Zvolme po??tek sou?adnic na lev?m konci paprsku. Na AC ?ezu je d?j M vyj?d?en ?tvercovou parabolou, jej?? rovnice je tvaru Konstanty a, b, c, zjist?me z podm?nky, ?e parabola proch?z? t?emi body se zn?m?mi sou?adnicemi: Dosazen? sou?adnic bod? do rovnice paraboly dostaneme: V?raz pro ohybov? moment bude Derivov?n?m funkce M1 z?sk?me z?vislost pro p???nou s?lu Po derivaci funkce Q z?sk?me v?raz pro intenzitu rozlo?en?ho zat??en?. V ?ezu NE je v?raz pro ohybov? moment zn?zorn?n jako line?rn? funkce.K ur?en? konstant a a b pou?ijeme podm?nky, ?e tato p??mka proch?z? dv?ma body, jejich? sou?adnice jsou zn?m?. Z?sk?me dv? rovnice: ,b of kter? m?me 20. Rovnice pro ohybov? moment v ?ezu NE bude Po dvojn?sobn? derivaci M2 zjist?me.Na z?klad? zji?t?n?ch hodnot M a Q sestav?me diagramy ohybov?ch moment? a smykov? s?ly pro nosn?k. Krom? rozlo?en?ho zat??en? p?sob? na nosn?k soust?ed?n? s?ly ve t?ech ?sec?ch, kde jsou skoky na Q diagramu a soust?ed?n? momenty v ?ezu, kde je skok na M diagramu. P??klad 1.5 Pro nosn?k (obr. 1.8, a) ur?ete racion?ln? polohu z?v?su C, p?i kter?m je nejv?t?? ohybov? moment v rozp?t? roven ohybov?mu momentu v ukotven? (v absolutn? hodnot?). Sestavte diagramy Q a M. ?e?en? Stanoven? reakc? podpor. Navzdory skute?nosti, ?e celkov? po?et podp?rn?ch ?l?nk? je ?ty?i, je nosn?k staticky ur?it?. Ohybov? moment v z?v?su C je roven nule, co? n?m umo??uje vytvo?it dal?? rovnici: sou?et moment? o z?v?s v?ech vn?j??ch sil p?sob?c?ch na jednu stranu tohoto z?v?su je roven nule. Sestavte sou?et moment? v?ech sil vpravo od z?v?su C. Diagram Q pro nosn?k je omezen naklon?nou p??mkou, proto?e q = konst. Ur?ujeme hodnoty p???n?ch sil v hrani?n?ch ?ezech nosn?ku: ?se?ka xK ?ezu, kde Q = 0, je ur?ena z rovnice, odkud je graf M pro nosn?k omezen ?tvercovou parabolou. V?razy pro ohybov? momenty v ?ezech, kde Q = 0, a v zakon?en? se zapisuj? n?sledovn?: Z podm?nky rovnosti moment? z?sk?me kvadratickou rovnici vzhledem k po?adovan?mu parametru x: Skute?n? hodnota je x? 2x 1,029 m. Ur?ujeme ??seln? hodnoty p???n?ch sil a ohybov?ch moment? v charakteristick?ch ?ezech nosn?ku. 1.8, c - graf M. Uva?ovan? probl?m lze vy?e?it rozd?len?m kloubov?ho nosn?ku na jeho z?kladn? prvky, jak je zn?zorn?no na obr. 1.8, d. Na za??tku se ur?? reakce podpor VC a VB. Plochy Q a M jsou sestrojeny pro z?v?sn? nosn?k SV z p?soben? zat??en?, kter? na n?j p?sob?. Pot? se p?esunou k hlavn?mu nosn?ku AC a zat??? jej dal?? silou VC, co? je tlakov? s?la nosn?ku CB na nosn?k AC. Pot? se vytvo?? diagramy Q a M pro st??dav? paprsek. 1.4. Pevnostn? v?po?ty pro p??m? ohyb nosn?k? Pevnostn? v?po?ty pro norm?lov? a smykov? nap?t?. P?i p??m?m ohybu nosn?ku vznikaj? v jeho pr??ezech norm?lov? a smykov? nap?t? (obr. 1.9). 18 Obr. 1.9 Norm?lov? nap?t? souvis? s ohybov?m momentem, smykov? nap?t? souvisej? s p???nou silou. P?i p??m?m ?ist?m ohybu jsou smykov? nap?t? rovna nule. Norm?lov? nap?t? v libovoln?m bod? pr??ezu nosn?ku jsou ur?ena vzorcem (1.4) kde M je ohybov? moment v dan?m ?ezu; Iz je moment setrva?nosti ?ezu vzhledem k neutr?ln? ose z; y je vzd?lenost od bodu, kde je ur?eno norm?lov? nap?t?, k neutr?ln? ose z. Norm?lov? nap?t? po v??ce ?ezu se line?rn? m?n? a nejv?t?? hodnoty dosahuj? v bodech nejvzd?len?j??ch od neutr?ln? osy Pokud je ?ez symetrick? podle neutr?ln? osy (obr. 1.11), pak 1.11 nejv?t?? tahov? a tlakov? nap?t? jsou stejn? a jsou ur?ena vzorcem, ? - osov? moment ?nosnosti pr??ezu v ohybu. Pro obd?ln?kov? pr??ez o ???ce b a v??ce h: (1.7) Pro kruhov? pr??ez o pr?m?ru d: (1.8) U prstencov?ho pr??ezu ? ? jsou vnit?n? a vn?j?? pr?m?ry prstence. Pro nosn?ky z plastick?ch hmot jsou nejracion?ln?j?? symetrick? 20 profilov? tvary (I-nosn?k, krabicov?, prstencov?). Pro nosn?ky vyroben? z k?ehk?ch materi?l?, kter? neodolaj? stejn? tahu a tlaku, jsou racion?ln? ?seky, kter? jsou asymetrick? kolem neutr?ln? osy z (ta-br., tvar U, asymetrick? nosn?k I). Pro nosn?ky konstantn?ho pr??ezu z plastick?ch hmot se symetrick?mi tvary pr??ezu se pevnostn? podm?nka zapisuje n?sledovn?: (1.10) kde Mmax je maxim?ln? ohybov? moment modulo; - dovolen? nap?t? pro materi?l. Pro nosn?ky konstantn?ho pr??ezu z plastick?ch hmot s asymetrick?mi tvary pr??ezu se podm?nka pevnosti zapisuje v n?sleduj?c?m tvaru: (1. 11) Pro nosn?ky z k?ehk?ch materi?l? s pr??ezy, kter? jsou asymetrick? kolem neutr?ln? osy, je-li diagram M jednozna?n? (obr. 1.12), mus? b?t zaps?ny dv? pevnostn? podm?nky - vzd?lenost od neutr?ln? osy k nejvzd?len?j??m bod?m osy. nata?en? a stla?en? z?ny nebezpe?n?ho ?seku; P - p??pustn? nap?t? v tahu a tlaku. Obr.1.12. 21 Pokud m? diagram ohybov?ch moment? ?seky r?zn?ch znam?nek (obr. 1.13), pak krom? kontroly ?seku 1-1, kde p?sob? Mmax, je nutn? vypo??tat maxim?ln? tahov? nap?t? pro ?sek 2-2 (s nejv?t?? moment opa?n?ho znam?nka). R??e. 1.13 Spolu se z?kladn?m v?po?tem pro norm?lov? nap?t? je v n?kter?ch p??padech nutn? zkontrolovat pevnost nosn?ku na smykov? nap?t?. Smykov? nap?t? v prutech se vypo??taj? podle vzorce D. I. Zhuravsk?ho (1.13) kde Q je p???n? s?la v uva?ovan?m pr??ezu nosn?ku; Szots je statick? moment kolem neutr?ln? osy oblasti ??sti ?seku um?st?n? na jedn? stran? p??mky proch?zej?c? dan?m bodem a rovnob??n? s osou z; b je ???ka ?ezu na ?rovni uva?ovan?ho bodu; Iz je moment setrva?nosti cel?ho ?ezu kolem neutr?ln? osy z. V mnoha p??padech se maxim?ln? smykov? nap?t? vyskytuj? na ?rovni neutr?ln? vrstvy nosn?ku (obd?ln?k, I-nosn?k, kruh). V takov?ch p??padech je pevnostn? podm?nka pro smykov? nap?t? zaps?na jako (1.14) kde Qmax je p???n? s?la s nejvy???m modulem; - dovolen? smykov? nap?t? pro materi?l. Pro obd?ln?kov? pr??ez nosn?ku m? podm?nka pevnosti tvar (1.15) A je plocha pr??ezu nosn?ku. Pro kruhov? ?ez je pevnostn? podm?nka reprezentov?na jako (1.16) Pro I-pr??ez je pevnostn? podm?nka zaps?na n?sledovn?: (1.17) d je tlou??ka st?ny I-paprsku. Obvykle se rozm?ry pr??ezu nosn?ku ur?uj? z podm?nky pevnosti pro norm?lov? nap?t?. Kontrola pevnosti nosn?k? na smykov? nap?t? je povinn? u kr?tk?ch nosn?k? a nosn?k? jak?koli d?lky, pokud jsou v bl?zkosti podp?r soust?ed?n? s?ly velk? velikosti, stejn? jako u d?ev?n?ch, n?tovan?ch a sva?ovan?ch nosn?k?. P??klad 1.6 Zkontrolujte pevnost nosn?ku sk???ov?ho pr??ezu (obr. 1.14) na norm?lov? a smykov? nap?t?, pokud je MPa. Sestavte diagramy v nebezpe?n? ??sti paprsku. R??e. 1.14 Rozhodnut? 23 1. Vykreslete Q a M grafy z charakteristick?ch ?ez?. S ohledem na levou stranu nosn?ku z?sk?me Diagram p???n?ch sil je na Obr. 1,14, c. Graf ohybov?ch moment? je zn?zorn?n na Obr. 5.14, g. 2. Geometrick? charakteristiky pr??ezu 3. Nejvy??? norm?lov? nap?t? v pr??ezu C, kde p?sob? Mmax (modulo): MPa. Maxim?ln? norm?lov? nap?t? v nosn?ku se prakticky rovnaj? dovolen?m. 4. Nejv?t?? tangenci?ln? nap?t? v ?ezu C (nebo A), kde p?sob? max Q (modulo): Zde je statick? moment plochy poloviny ?ezu vzhledem k neutr?ln? ose; ?b2 cm je ???ka ?ezu na ?rovni neutr?ln? osy. 5. Tangenci?ln? nap?t? v bod? (ve st?n?) v ?ezu C: Obr. 1.15 Zde Szomc ?8?3?4.5 ?108 cm3 je statick? moment plochy ??sti ?ezu um?st?n? nad p??mkou proch?zej?c? bodem K1; ?b2 cm je tlou??ka st?ny v ?rovni bodu K1. Grafy ? a ? pro ?ez C nosn?ku jsou zn?zorn?ny na Obr. 1.15. P??klad 1.7 Pro nosn?k zobrazen? na Obr. 1.16, a, je nutn?: 1. Sestrojit diagramy p???n?ch sil a ohybov?ch moment? pod?l charakteristick?ch ?ez? (bod?). 2. Z podm?nky pevnosti pro norm?lov? nap?t? ur?ete rozm?ry pr??ezu ve tvaru kruhu, obd?ln?ku a I nosn?ku, porovnejte plochy pr??ez?. 3. Zkontrolujte vybran? rozm?ry pr??ez? nosn?ku na smykov? nap?t?. Zad?no: ?e?en?: 1. Ur?ete reakce podpor nosn?ku Kontrola: 2. Nakreslete diagramy Q a M. Hodnoty p???n?ch sil v charakteristick?ch ?ezech nosn?ku 25 Obr. 1.16 V ?ezech CA a AD je intenzita zat??en? q = konst. Proto je v t?chto ?sec?ch diagram Q omezen na p??mky sklon?n? k ose. V sekci DB je intenzita rozlo?en?ho zat??en? q \u003d 0, proto je v t?to sekci diagram Q omezen na p??mku rovnob??nou s osou x. Diagram Q pro nosn?k je zn?zorn?n na Obr. 1.16b. Hodnoty ohybov?ch moment? v charakteristick?ch ?ezech nosn?ku: Ve druh?m ?ezu ur??me ?se?ku x2 ?ezu, ve kter? Q = 0: Maxim?ln? moment ve druh?m ?ezu Diagram M pro nosn?k je zn?zorn?n na obr. . 1,16, c. 2. Sestavte pevnostn? podm?nku pro norm?lov? nap?t?, ze kter? ur??me po?adovan? modul osov?ho pr??ezu z v?razu ur?en? po?adovan? pr?m?r d nosn?ku kruhov?ho pr??ezu Plocha kruhov?ho pr??ezu Pro obd?ln?kov? nosn?k Po?adovan? v??ka pr??ezu Plocha obd?ln?kov?ho pr??ezu Podle tabulek GOST 8239-89 zjist?me nejbli??? v?t?? hodnotu osov?ho momentu odporu 597 cm3, co? odpov?d? I-nosn?ku ?. 33 s charakteristikou: A z 9840 cm4. Kontrola tolerance: (podt??en? o 1 % z p??pustn?ch 5 %) nejbli??? I-nosn?k ?. 30 (W 2 cm3) vede k v?razn?mu p?et??en? (v?ce ne? 5 %). Nakonec p?ij?m?me I-nosn?k ?. 33. Porovn?me plochy kruhov?ch a obd?ln?kov?ch ?ez? s nejmen?? plochou A I-nosn?ku: Ze t?? uva?ovan?ch ?ez? je I-profil nejekonomi?t?j??. 3. Vypo?teme nejv?t?? norm?lov? nap?t? v nebezpe?n?m ?ezu 27 I nosn?ku (obr. 1.17, a): Norm?lov? nap?t? ve st?n? v bl?zkosti p?snice I nosn?ku. 1.17b. 5. Pro vybran? ?seky nosn?ku ur??me nejv?t?? smykov? nap?t?. a) obd?ln?kov? ?ez nosn?kem: b) kruhov? ?ez nosn?kem: c) I-?ez nosn?ku: Smykov? nap?t? ve st?n? v bl?zkosti p?snice I nosn?ku v nebezpe?n?m ?ezu A (vpravo) (p?i bod 2): Diagram smykov?ch nap?t? v nebezpe?n?ch ?sec?ch I nosn?ku je na obr. 1,17, in. Maxim?ln? smykov? nap?t? v nosn?ku nep?ekra?uj? dovolen? nap?t? P??klad 1.8 Ur?ete dovolen? zat??en? nosn?ku (obr. 1.18, a), je-li 60MPa, jsou uvedeny rozm?ry pr??ezu (obr. 1.19, a). Sestrojte diagram norm?lov?ch nap?t? v nebezpe?n?m ?seku nosn?ku p?i dovolen?m zat??en?. Obr 1.18 1. Stanoven? reakc? nosn?kov?ch podpor. S ohledem na symetrii soustavy 2. Konstrukce diagram? Q a M z charakteristick?ch ?ez?. Smykov? s?ly v charakteristick?ch ?ezech nosn?ku: Diagram Q pro nosn?k je zn?zorn?n na Obr. 5.18b. Ohybov? momenty v charakteristick?ch ?ezech nosn?ku Pro druhou polovinu nosn?ku jsou sou?adnice M pod?l os symetrie. Diagram M pro nosn?k je zn?zorn?n na Obr. 1.18b. 3. Geometrick? charakteristiky ?ezu (obr. 1.19). Obr?zek rozd?l?me na dva jednoduch? prvky: I-nosn?k - 1 a obd?ln?k - 2. Obr. 1.19 Dle sortimentu pro I-nosn?k ?. 20 m?me Pro obd?ln?k: Statick? moment plochy ?ezu vzhledem k ose z1 Vzd?lenost od osy z1 k t??i?ti ?ezu Moment setrva?nosti ?ezu relativn? Obr. na hlavn? st?edovou osu z cel?ho ?seku podle vzorc? pro p?echod na rovnob??n? osy nebezpe?n? bod "a" (obr. 1.19) v nebezpe?n?m ?seku I (obr. 1.18): Po dosazen? ??seln?ch ?daj? 5. S p??pustn?m zat??en? v nebezpe?n?m ?seku, norm?lov? nap?t? v bodech "a" a "b" budou stejn?: nebezpe?n? ?sek 1-1 je zn?zorn?n na obr. 1.19b.

po?et nosn?k pro oh?b?n? existuje n?kolik mo?nost?:
1. V?po?et maxim?ln?ho zat??en?, kter? vydr??
2. V?b?r ?ezu tohoto nosn?ku
3. V?po?et maxim?ln?ch dovolen?ch nap?t? (pro ov??en?)
uva?ujme obecn? princip v?b?ru pr??ezu nosn?ku na dvou podp?r?ch zat??en?ch rovnom?rn? rozlo?en?m zat??en?m nebo soust?ed?nou silou.
Pro za??tek budete muset naj?t bod (?sek), ve kter?m bude maxim?ln? moment. Z?le?? na podpo?e nosn?ku nebo jeho ukon?en?. N??e jsou uvedeny diagramy ohybov?ch moment? pro sch?mata, kter? jsou nejb??n?j??.

Po zji?t?n? ohybov?ho momentu mus?me naj?t modul Wx tohoto pr??ezu podle vzorce uveden?ho v tabulce:

D?le, kdy? vyd?l?me maxim?ln? ohybov? moment momentem odporu v dan?m ?seku, dostaneme maxim?ln? nap?t? v nosn?ku a toto nap?t? mus?me porovnat s nap?t?m, kter? n?? nosn?k z dan?ho materi?lu obecn? vydr??.

Pro plastov? materi?ly(ocel, hlin?k atd.) bude maxim?ln? nap?t? rovno mez kluzu materi?lu, a pro k?ehk?(litina) - pevnost v tahu. Mez kluzu a pevnost v tahu zjist?me z n??e uveden?ch tabulek.

Pod?vejme se na n?kolik p??klad?:
1. [i] Chcete si ov??it, zda v?m 2 metry dlouh? nosn?k I ?. 10 (ocel St3sp5) o d?lce 2 metry pevn? zabudovan? ve zdi vydr??, pokud na n?m budete viset. Nech? je va?e hmotnost 90 kg.
Nejprve mus?me zvolit sch?ma v?po?tu.

Tento diagram ukazuje, ?e maxim?ln? moment bude v zakon?en?, a proto?e n?? I paprsek ano stejn? ?sek po cel? d?lce, pak bude maxim?ln? nap?t? v zakon?en?. Poj?me to naj?t:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Podle sortimentn? tabulky I-nosn?ku zjist?me moment odporu I-nosn?ku ?.10.

Bude se rovnat 39,7 cm3. P?eve?te na metry krychlov? a z?skejte 0,0000397 m3.
D?le podle vzorce zjist?me maxim?ln? nap?t?, kter? v nosn?ku m?me.

b = M/W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Pot?, co jsme zjistili maxim?ln? nap?t?, kter? se v nosn?ku vyskytuje, m??eme jej porovnat s maxim?ln?m dovolen?m nap?t?m rovn?m meze kluzu oceli St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - spr?vn?, tak?e tento I-nosn?k vydr?? hmotnost 90 kg.

2. [i] Proto?e jsme dostali docela velkou z?sobu, vy?e??me druh? probl?m, ve kter?m najdeme maxim?ln? mo?nou hmotnost, kterou vydr?? tent?? I-nosn?k ?. 10 dlouh? 2 metry.
Pokud chceme naj?t maxim?ln? hmotnost, pak hodnoty meze kluzu a nap?t?, kter? se objev? v nosn?ku, mus?me srovnat (b \u003d 245 MPa \u003d 245 000 kN * m2).

10.1. Obecn? pojmy a definice

ohyb- jedn? se o druh zat??ov?n?, p?i kter?m je ty? zat??ov?na momenty v rovin?ch proch?zej?c?ch pod?lnou osou ty?e.

Ty?, kter? pracuje v ohybu, se naz?v? nosn?k (nebo nosn?k). V budoucnu budeme uva?ovat p??m? nosn?ky, jejich? pr??ez m? alespo? jednu osu soum?rnosti.

V odolnosti materi?l? je ohyb ploch?, ?ikm? a slo?it?.

ploch? ohyb- ohyb, p?i kter?m v?echny s?ly oh?baj?c? nosn?k le?? v jedn? z rovin symetrie nosn?ku (v jedn? z hlavn?ch rovin).

Hlavn?mi rovinami setrva?nosti nosn?ku jsou roviny proch?zej?c? hlavn?mi osami p???n?ch ?ez? a geometrickou osou nosn?ku (osa x).

?ikm? ohyb- ohyb, p?i kter?m zat??en? p?sob? v jedn? rovin?, kter? se neshoduje s hlavn?mi rovinami setrva?nosti.

Slo?it? ohyb- ohyb, p?i kter?m zat??en? p?sob? v r?zn?ch (libovoln?ch) rovin?ch.

10.2. Stanoven? vnit?n?ch ohybov?ch sil

Uva?ujme dva charakteristick? p??pady ohybu: v prvn?m p??pad? je konzolov? nosn?k ohnut soust?ed?n?m momentem Mo; ve druh?m soust?ed?nou silou F.

Metodou ment?ln?ch ?ez? a sestaven?m rovnic rovnov?hy pro od??znut? ??sti nosn?ku ur??me vnit?n? s?ly v obou p??padech:

Zbytek rovnic rovnov?hy je evidentn? shodn? roven nule.

V obecn?m p??pad? ploch?ho ohybu v pr??ezu nosn?ku tedy ze ?esti vnit?n?ch sil vzniknou dv? - ohybov? moment Mz a smykov? s?la Qy (nebo p?i ohybu kolem jin? hlavn? osy - ohybov? moment My a p???n? s?la Qz).

V tomto p??pad? lze v souladu se dv?ma uva?ovan?mi p??pady zat??en? rozd?lit ploch? oh?b?n? na ?ist? a p???n?.

?ist? ohyb- ploch? ohyb, p?i kter?m pouze jedna ze ?esti vnit?n?ch sil vznik? v ?sec?ch ty?e - ohybov? moment (viz prvn? p??pad).

p???n? ohyb- ohyb, p?i kter?m v ?sec?ch ty?e vznik? krom? vnit?n?ho ohybov?ho momentu i p???n? s?la (viz druh? p??pad).

P??sn? vzato, pouze ?ist? oh?b?n? pat?? k jednoduch?m typ?m odporu; p???n? ohyb je podm?n?n? ozna?ov?n jako jednoduch? typy odporu, proto?e ve v?t?in? p??pad? (u dostate?n? dlouh?ch nosn?k?) lze p?i pevnostn?ch v?po?tech zanedbat p?soben? p???n? s?ly.

P?i ur?ov?n? vnit?n?ch sil se budeme dr?et n?sleduj?c?ho pravidla znam?nek:

1) p???n? s?la Qy je pova?ov?na za kladnou, pokud m? tendenci ot??et uva?ovan? nosn?kov? prvek ve sm?ru hodinov?ch ru?i?ek;

2) ohybov? moment Mz je pova?ov?n za kladn?, pokud jsou p?i oh?b?n? nosn?ku horn? vl?kna elementu stla?ena a spodn? vl?kna nata?ena (de?tn?kov? pravidlo).

?e?en? probl?mu stanoven? vnit?n?ch sil p?i ohybu tedy bude postaveno podle n?sleduj?c?ho pl?nu: 1) v prvn? f?zi s uv??en?m podm?nek rovnov?hy konstrukce jako celku ur??me v p??pad? pot?eby nezn?m? reakce. podpor (v?imn?te si, ?e u konzolov?ho nosn?ku mohou b?t a nenalezeny reakce v ulo?en?, pokud nosn?k uva?ujeme od voln?ho konce); 2) ve druh? f?zi vybereme charakteristick? ?seky nosn?ku, p?i?em? jako hranice ?ez? vezmeme body p?soben? sil, body zm?ny tvaru nebo rozm?r? nosn?ku, body upevn?n? nosn?ku; 3) ve t?et? f?zi ur??me vnit?n? s?ly v ?ezech nosn?ku s ohledem na podm?nky rovnov?hy pro prvky nosn?ku v ka?d?m z ?ez?.

10.3. Diferenci?ln? z?vislosti v ohybu

Uve?me n?kter? vztahy mezi vnit?n?mi silami a vn?j??mi ohybov?mi zat??en?mi a tak? charakteristick? rysy Q a M diagram?, jejich? znalost usnadn? konstrukci diagram? a umo?n? kontrolovat jejich spr?vnost. Pro usnadn?n? z?pisu budeme ozna?ovat: M?Mz, Q?Qy.

P?id?lme mal? prvek dx v ?ezu nosn?ku s libovoln?m zat??en?m v m?st?, kde nejsou soust?ed?n? s?ly a momenty. Proto?e je cel? nosn?k v rovnov?ze, bude v rovnov?ze i prvek dx p?soben?m na n?j p?sob?c?ch p???n?ch sil, ohybov?ch moment? a vn?j??ho zat??en?. Proto?e Q a M se obecn? m?n?

ose nosn?ku, pak v ?ezech prvku dx budou p???n? s?ly Q a Q + dQ a tak? ohybov? momenty M a M + dM. Z podm?nky rovnov?hy vybran?ho prvku z?sk?me

Prvn? ze dvou zapsan?ch rovnic ud?v? podm?nku

Z druh? rovnice, zanedb?me ?len q dx (dx/2) jako nekone?n? malou veli?inu druh?ho ??du, zjist?me

Kdy? vezmeme v ?vahu v?razy (10.1) a (10.2) dohromady, m??eme to dostat

Vztahy (10.1), (10.2) a (10.3) se naz?vaj? diferenci?ln? z?vislosti D. I. ?uravsk?ho v oh?b?n?.

Anal?za v??e uveden?ch diferenci?ln?ch z?vislost? v ohybu n?m umo??uje stanovit n?kter? vlastnosti (pravidla) pro konstrukci diagram? ohybov?ch moment? a smykov?ch sil: a - v oblastech, kde nen? rozlo?en? zat??en? q, jsou diagramy Q omezeny na p??mky rovnob??n? s z?kladna a diagramy M jsou naklon?n? p??mky; b - v ?ezech, kde na nosn?k p?sob? rozlo?en? zat??en? q, jsou Q diagramy omezeny naklon?n?mi p??mkami a M diagramy jsou omezeny kvadratick?mi parabolami.

Pokud v tomto p??pad? postav?me diagram M „na nata?en?m vl?knu“, pak konvexita paraboly bude sm??ovat ve sm?ru p?soben? q a extr?m se bude nach?zet v ??sti, kde diagram Q prot?n? z?kladnu. ??ra; c - v ?sec?ch, kde na nosn?k p?sob? soust?ed?n? s?la, na Q diagramu dojde ke skok?m o hodnotu a ve sm?ru t?to s?ly a na M diagramu jsou zlomy, hrot sm??uje ve sm?ru tohoto platnost; d - v ?ezech, kde je na nosn?k aplikov?n soust?ed?n? moment, nedojde k ??dn?m zm?n?m na Q diagramu a na M diagramu budou skoky o hodnotu tohoto momentu; e - v ?sec?ch, kde Q>0, moment M roste a v ?sec?ch, kde Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Norm?lov? nap?t? v ?ist?m ohybu p??m?ho nosn?ku

Uva?ujme p??pad ?ist?ho rovinn?ho ohybu nosn?ku a odvod?me vzorec pro ur?en? norm?lov?ch nap?t? pro tento p??pad.

V?imn?te si, ?e v teorii pru?nosti je mo?n? z?skat p?esnou z?vislost pro norm?lov? nap?t? v ?ist?m ohybu, ale pokud je tento probl?m ?e?en metodami odolnosti materi?l?, je nutn? zav?st n?kter? p?edpoklady.

Existuj? t?i takov? hypot?zy oh?b?n?:

a - hypot?za ploch?ch ?ez? (Bernoulliho hypot?za) - ?ezy jsou p?ed deformac? ploch? a po deformaci z?st?vaj? ploch?, ale rotuj? pouze kolem ur?it? p??mky, kter? se naz?v? neutr?ln? osa pr??ezu nosn?ku. V tomto p??pad? budou vl?kna paprsku, le??c? na jedn? stran? neutr?ln? osy, nata?ena a na druh? stran? stla?ena; vl?kna le??c? na neutr?ln? ose nem?n? svou d?lku;

b - hypot?za st?losti norm?lov?ch nap?t? - nap?t? p?sob?c? ve stejn? vzd?lenosti y od neutr?ln? osy jsou po ???ce nosn?ku konstantn?;

c – hypot?za o absenci bo?n?ch tlak? – sousedn? pod?ln? vl?kna na sebe netla??.

Statick? str?nka probl?mu

Pro ur?en? nap?t? v pr??ezech nosn?ku uva?ujeme p?edev??m statick? str?nky probl?mu. Aplikac? metody ment?ln?ch ?ez? a sestaven?m rovnic rovnov?hy pro od??znutou ??st nosn?ku zjist?me vnit?n? s?ly p?i ohybu. Jak bylo uk?z?no d??ve, jedinou vnit?n? silou p?sob?c? v ?ezu ty?e s ?ist?m ohybem je vnit?n? ohybov? moment, co? znamen?, ?e zde vzniknou norm?lov? nap?t? s n?m spojen?.

Vztah mezi vnit?n?mi silami a norm?lov?mi nap?t?mi v pr??ezu nosn?ku zjist?me tak, ?e vezmeme v ?vahu nap?t? na element?rn? plo?e dA, zvolen? v pr??ezu A nosn?ku v bod? se sou?adnicemi y a z (osa y je pro usnadn?n? orientov?na dol? anal?zy):

Jak vid?me, probl?m je vnit?n? staticky neur?it?, proto?e povaha rozlo?en? norm?lov?ch nap?t? v pr??ezu nen? zn?ma. Chcete-li probl?m vy?e?it, zva?te geometrick? vzor deformac?.

Geometrick? str?nka probl?mu

Uva?ujme deformaci prvku nosn?ku d?lky dx vybran?ho z oh?bac? ty?e v libovoln?m bod? se sou?adnic? x. Vezmeme-li v ?vahu d??ve p?ijatou hypot?zu ploch?ch ?sek?, po ohnut? ?seku nosn?ku se oto?? v??i neutr?ln? ose (n.r.) o ?hel df, zat?mco vl?kno ab, kter? je ve vzd?lenosti y od neutr?ln? osy, se zm?n? na kruhov? oblouk a1b1 a jeho d?lka se o ur?itou velikost zm?n?. Zde si p?ipomeneme, ?e d?lka vl?ken le??c?ch na neutr?ln? ose se nem?n?, a proto m? oblouk a0b0 (jeho? polom?r k?ivosti zna??me r) stejnou d?lku jako ?se?ka a0b0 p?ed deformac? a0b0=dx.

Najd?te relativn? line?rn? deformaci ex vl?kna ab zak?iven?ho nosn?ku.

ohyb tzv. deformace, p?i kter? se p?soben?m vn?j??ch sil oh?b? osa ty?e a v?echna jej? vl?kna, tedy pod?ln? ??ry rovnob??n? s osou ty?e. Nejjednodu??? p??pad ohybu se z?sk?, kdy? vn?j?? s?ly le?? v rovin? proch?zej?c? st?edovou osou ty?e a nevy?n?vaj? do t?to osy. Takov? p??pad ohybu se naz?v? p???n? ohyb. Rozli?ujte ploch? ohyb a ?ikm?.

ploch? ohyb- takov? p??pad, kdy se oh?ban? osa ty?e nach?z? ve stejn? rovin?, ve kter? p?sob? vn?j?? s?ly.

?ikm? (slo?it?) ohyb- takov? p??pad ohybu, kdy oh?ban? osa ty?e nele?? v rovin? p?soben? vn?j??ch sil.

Oh?bac? ty? je b??n? ozna?ov?na jako paprsek.

P?i plo?n?m p???n?m ohybu nosn?k? v ?ezu se sou?adn?m syst?mem y0x mohou vznikat dv? vnit?n? s?ly - p???n? s?la Q y a ohybov? moment M x; v n?sleduj?c?m uvedeme notaci Q a M. Pokud v ?ezu nebo ?ezu nosn?ku nep?sob? ??dn? p???n? s?la (Q = 0) a ohybov? moment nen? roven nule nebo M je konst, pak se takov? ohyb b??n? naz?v? ?ist?.

Smykov? s?la v libovoln?m ?ezu nosn?ku je ??seln? rovna algebraick?mu sou?tu pr?m?t? na osu v?ech sil (v?etn? podp?rn?ch reakc?) um?st?n?ch na jedn? (libovoln?) stran? ?ezu.

Ohybov? moment v ?ezu nosn?ku se ??seln? rovn? algebraick?mu sou?tu moment? v?ech sil (v?etn? podporov?ch reakc?) um?st?n?ch na jedn? stran? (libovoln?) ?ezu nakreslen?ho vzhledem k t??i?ti tohoto ?ezu, p?esn?ji ?e?eno vzhledem k ose proch?zej?c? kolmo k rovin? v?kresu t??i?t?m nakreslen?ho ?ezu.

Q-s?la p?edstavuje v?sledn? rozlo?en? po pr??ezu vnit?n?ho smykov? nap?t?, a okam?ik M– sou?et okam?ik? kolem st?edov? osy sekce X vnit?n? norm?ln? stresy.

Mezi vnit?n?mi silami existuje diferenci?ln? vztah

kter? se pou??v? p?i konstrukci a ov??ov?n? diagram? Q a M.

Vzhledem k tomu, ?e n?kter? vl?kna nosn?ku jsou nata?ena a n?kter? stla?ena a p?echod z nap?t? do stla?en? prob?h? hladce, bez skok?, ve st?edn? ??sti nosn?ku je vrstva, jej?? vl?kna se pouze oh?baj?, ale nedoch?z? k nap?t? nebo stla?en?. Takov? vrstva se naz?v? neutr?ln? vrstva. Naz?v? se ??ra, pod?l kter? se neutr?ln? vrstva prot?n? s pr??ezem paprsku neutr?ln? linie?t nebo neutr?ln? osa sekce. Na ose paprsku jsou navle?eny neutr?ln? ??ry.

??ry nakreslen? na bo?n? plo?e nosn?ku kolm? k ose z?st?vaj? p?i oh?b?n? ploch?. Tato experiment?ln? data umo??uj? zalo?it z?v?ry vzorc? na hypot?ze ploch?ch ?ez?. Podle t?to hypot?zy jsou ?seky nosn?ku p?ed ohybem ploch? a kolm? k jeho ose, z?st?vaj? ploch? a p?i oh?b?n? se st?vaj? kolm?mi k oh?ban? ose nosn?ku. Pr??ez nosn?ku se p?i oh?b?n? deformuje. Vlivem p???n? deformace se rozm?ry pr??ezu ve stla?en? z?n? nosn?ku zv?t?uj? a v tahov? z?n? se stla?uj?.

P?edpoklady pro odvozov?n? vzorc?. Norm?ln? stresy

1) Hypot?za ploch?ch ?ez? je spln?na.

2) Pod?ln? vl?kna na sebe netla??, a proto p?i p?soben? norm?lov?ch nap?t? funguj? line?rn? tahy nebo tlaky.

3) Deformace vl?ken nez?vis? na jejich poloze po ???ce ?seku. V d?sledku toho norm?lov? nap?t?, m?n?c? se pod?l v??ky pr??ezu, z?st?vaj? po ???ce stejn?.

4) Nosn?k m? alespo? jednu rovinu symetrie a v?echny vn?j?? s?ly le?? v t?to rovin?.

5) Materi?l nosn?ku se ??d? Hookov?m z?konem a modul pru?nosti v tahu a tlaku je stejn?.

6) Pom?ry mezi rozm?ry nosn?ku jsou takov?, aby fungoval v podm?nk?ch ploch?ho ohybu bez deformace nebo kroucen?.

Pouze s ?ist?m ohybem nosn?ku na plo?in?ch v jeho ??sti norm?ln? stresy, ur?eno podle vzorce:

kde y je sou?adnice libovoln?ho bodu ?ezu, m??eno od neutr?ln? p??mky - hlavn? st?edov? osy x.

Norm?ln? ohybov? nap?t? po v??ce pr??ezu jsou rozlo?ena line?rn? z?kon. Na krajn?ch vl?knech dosahuj? norm?lov? nap?t? maxim?ln? hodnoty a v t??i?ti jsou pr??ezy rovn? nule.

Povaha norm?lov?ch diagram? nap?t? pro symetrick? ?ezy vzhledem k neutr?ln? ???e

Povaha norm?lov?ch diagram? nap?t? pro ?ezy, kter? nemaj? symetrii kolem neutr?ln? ??ry

Nebezpe?n? body jsou ty nejvzd?len?j?? od neutr?ln? linie.

Vyberme si n?jakou sekci

Pro jak?koli bod ?seku jej ??kejme bod Na, podm?nka pevnosti nosn?ku pro norm?lov? nap?t? m? tvar:

, kde i.d. - tohle je neutr?ln? osa

tohle je modul osov?ho pr??ezu kolem neutr?ln? osy. Jeho rozm?r je cm 3, m 3. Moment odporu charakterizuje vliv tvaru a rozm?r? pr??ezu na velikost nap?t?.

Kondice s?ly pro norm?ln? stres:

Norm?ln? nap?t? se rovn? pom?ru maxim?ln?ho ohybov?ho momentu k modulu osov?ho pr??ezu vzhledem k neutr?ln? ose.

Pokud materi?l nestejnom?rn? odol?v? rozta?en? a stla?en?, pak je t?eba pou??t dv? podm?nky pevnosti: pro nap?nac? z?nu s p??pustn?m tahov?m nap?t?m; pro tlakovou z?nu s dovolen?m tlakov?m nap?t?m.

P?i p???n?m ohybu p?sob? nosn?ky na plo?in?ch v jeho ?ezu jako norm?ln?, a te?ny Nap?t?.

rovn? oblouk- jedn? se o typ deformace, p?i kter?m v pr??ezech ty?e vznikaj? dva vnit?n? silov? faktory: ohybov? moment a p???n? s?la.

?ist? ohyb- jedn? se o speci?ln? p??pad p??m?ho ohybu, kdy v pr??ezech ty?e vznik? pouze ohybov? moment a p???n? s?la je nulov?.

P??klad ?ist?ho ohybu - Plot CD na ty?i AB. Ohybov? moment je hodnota Pa dvojice vn?j??ch sil zp?sobuj?c?ch ohyb. Z rovnov?hy ??sti ty?e vlevo od pr??ezu mn z toho vypl?v?, ?e vnit?n? s?ly rozlo?en? v tomto ?ezu jsou staticky ekvivalentn? momentu M, rovn? a opa?n? k ohybov?mu momentu Pa.

Pro zji?t?n? rozlo?en? t?chto vnit?n?ch sil v pr??ezu je nutn? uva?ovat deformaci prutu.

V nejjednodu???m p??pad? m? ty? pod?lnou rovinu symetrie a je vystavena p?soben? vn?j??ch ohybov?ch dvojic sil um?st?n?ch v t?to rovin?. Potom bude ohyb prob?hat ve stejn? rovin?.

osa ty?e nn 1 je p??mka proch?zej?c? t??i?ti jej?ch pr??ez?.

Pr??ez ty?e nech? je obd?ln?k. Nakreslete na jeho plochy dv? svisl? ??ry mm a pp. P?i oh?b?n? z?st?vaj? tyto ??ry rovn? a rotuj? tak, aby z?staly kolm? k pod?ln?m vl?kn?m ty?e.

Dal?? teorie ohybu je zalo?ena na p?edpokladu, ?e nejen ??ry mm a pp ale cel? ploch? pr??ez ty?e z?st?v? po ohnut? ploch? a kolm? k pod?ln?m vl?kn?m ty?e. Proto p?i oh?b?n? pr??ezy mm a pp ot??et v??i sob? navz?jem kolem os kolm?ch k rovin? ohybu (rovina kreslen?). V tomto p??pad? pod?ln? vl?kna na konvexn? stran? podl?haj? tahu a vl?kna na konk?vn? stran? podl?haj? stla?en?.

neutr?ln? povrch je povrch, kter? se b?hem oh?b?n? nedeformuje. (Nyn? je um?st?na kolmo k v?kresu, deformovan? osa ty?e nn 1 pat?? k tomuto povrchu).

Neutr?ln? osa ?ezu- jedn? se o pr?se??k neutr?ln? plochy s jakoukoli s libovoln?m pr??ezem (nyn? tak? um?st?nou kolmo na v?kres).

Nech? je libovoln? vl?kno ve vzd?lenosti y z neutr?ln?ho povrchu. r je polom?r zak?iven? zak?iven? osy. Te?ka ? je st?edem zak?iven?. Nakresl?me ??ru n 1 s 1 paraleln? mm.ss 1 je absolutn? ta?nost vl?kna.

Relativn? roz???en? e x vl?kna

Z toho vypl?v?, ?e deformace pod?ln?ch vl?ken?m?rn? vzd?lenosti y od neutr?ln?ho povrchu a nep??mo ?m?rn? polom?ru zak?iven? r .

Pod?ln? prodlou?en? vl?ken konvexn? strany ty?e je doprov?zeno bo?n? z??en? a pod?ln? zkr?cen? konk?vn? strany - bo?n? prodlou?en?, jako v p??pad? jednoduch?ho prota?en? a sta?en?. Z tohoto d?vodu se zm?n? vzhled v?ech pr??ez?, svisl? strany obd?ln?ku se zkos?. Bo?n? deformace z:

m - Poisson?v pom?r.

V d?sledku tohoto zkreslen? jsou v?echny p??m? linie pr??ezu rovnob??n? s osou z, jsou ohnut? tak, aby z?staly kolm? ke stran?m sekce. Polom?r zak?iven? t?to k?ivky R bude v?ce ne? r stejn?m zp?sobem jako e x je v absolutn? hodnot? v?t?? ne? e z , a dostaneme

Tyto deformace pod?ln?ch vl?ken odpov?daj? nap?t?m

Nap?t? v jak?mkoli vl?knu je ?m?rn? jeho vzd?lenosti od neutr?ln? osy. n 1 n 2. Poloha neutr?ln? osy a polom?r zak?iven? r jsou dv? nezn?m? v rovnici pro s x - lze ur?it z podm?nky, ?e s?ly rozlo?en? po libovoln?m pr??ezu tvo?? dvojici sil, kter? vyrovn?v? vn?j?? moment M.

V?e v??e uveden? plat? tak? v p??pad?, ?e ty? nem? pod?lnou rovinu soum?rnosti, ve kter? p?sob? ohybov? moment, pokud ohybov? moment p?sob? v osov? rovin?, kter? obsahuje jeden z t?chto dvou hlavn? osy pr??ez. Tyto roviny se naz?vaj? hlavn? ohybov? roviny.

Kdy? existuje rovina symetrie a ohybov? moment p?sob? v t?to rovin?, doch?z? k pr?hybu v n?. Momenty vnit?n?ch sil kolem osy z vyrovnat vn?j?? moment M. Okam?iky ?sil? vzhledem k ose y jsou vz?jemn? zni?eny.