V tomto ?l?nku je metoda pova?ov?na za zp?sob ?e?en? soustav line?rn?ch rovnic (SLAE). Metoda je analytick?, to znamen?, ?e umo??uje zapsat algoritmus ?e?en? obecn? pohled a pot? tam dosa?te hodnoty z konkr?tn?ch p??klad?. Na rozd?l od maticov? metody nebo Cramerov?ch vzorc? lze p?i ?e?en? soustavy line?rn?ch rovnic pomoc? Gaussovy metody pracovat i s t?mi, kter? maj? nekone?n? mnoho ?e?en?. Nebo ho nemaj? v?bec.

Co znamen? Gauss?

Nejprve si mus?te zapsat na?i soustavu rovnic do Vypad? to takto. Syst?m se bere:

Koeficienty se zapisuj? ve form? tabulky a vpravo v samostatn?m sloupci - voln? ?leny. Sloupec s voln?mi ?leny je pro pohodl? odd?len. Matice, kter? tento sloupec obsahuje, se naz?v? roz???en?.

D?le mus? b?t hlavn? matice s koeficienty redukov?na na horn? troj?heln?kov? tvar. To je hlavn? bod ?e?en? soustavy Gaussovou metodou. Jednodu?e ?e?eno, po ur?it?ch manipulac?ch by matice m?la vypadat takto, aby v jej? lev? doln? ??sti byly pouze nuly:

Kdy? pak novou matici nap??ete znovu jako soustavu rovnic, v?imnete si, ?e posledn? ??dek ji? obsahuje hodnotu jednoho z ko?en?, kter? se pak dosad? do v??e uveden? rovnice, najde se dal?? ko?en atd.

Toto je popis ?e?en? Gaussovou metodou v nejobecn?j??ch pojmech. A co se stane, kdy? najednou syst?m nem? ?e?en?? Nebo je jich nekone?n? mnoho? Pro zodpov?zen? t?chto a mnoha dal??ch ot?zek je nutn? uva?ovat samostatn? v?echny prvky pou?it? p?i ?e?en? Gaussovou metodou.

Matice, jejich vlastnosti

V matrixu nen? ??dn? skryt? v?znam. Je to jen pohodln? zp?sob z?znamu dat pro pozd?j?? operace. Nem?li by se jich b?t ani ?kol?ci.

Matice je v?dy obd?ln?kov?, proto?e je pohodln?j??. I v Gaussov? metod?, kde se v?e scvrk?v? na sestaven? troj?heln?kov? matice, se v zad?n? objev? obd?ln?k, pouze s nulami v m?st?, kde ??dn? ??sla nejsou. Nuly lze vynechat, ale jsou implikovan?.

Matice m? velikost. Jeho "???ka" je po?et ??dk? (m), jeho "d?lka" je po?et sloupc? (n). Pak velikost matice A (pro jejich ozna?en? se obvykle pou??vaj? velk? latinsk? p?smena) ozna??me jako A mxn . Pokud m=n, pak je tato matice ?tvercov? a m=n je jej? ??d. Podle toho lze libovoln? prvek matice A ozna?it ??slem jej?ho ??dku a sloupce: a xy ; x - ??slo ??dku, zm?ny , y - ??slo sloupce, zm?ny .

B nen? hlavn?m bodem ?e?en?. V z?sad? lze v?echny operace prov?d?t p??mo s rovnicemi samotn?mi, ale z?pis se uk??e b?t mnohem t??kop?dn?j?? a bude mnohem snaz?? se v n?m zm?st.

Determinant

Matice m? tak? determinant. To je velmi d?le?it? vlastnost. Zji??ovat jeho v?znam nyn? nem? cenu, m??ete jednodu?e uk?zat, jak se po??t?, a pak ??ct, jak? vlastnosti matice ur?uje. Nejjednodu??? zp?sob, jak naj?t determinant, je p?es diagon?ly. V matici jsou zakresleny imagin?rn? ?hlop???ky; prvky um?st?n? na ka?d?m z nich se vyn?sob? a pot? se p?idaj? v?sledn? produkty: ?hlop???ky se sklonem doprava - se znam?nkem "plus", se sklonem doleva - se znam?nkem "m?nus".

Je nesm?rn? d?le?it? poznamenat, ?e determinant lze vypo??tat pouze pro ?tvercovou matici. U obd?ln?kov? matice m??ete prov?st n?sleduj?c?: zvolit nejmen?? z po?tu ??dk? a po?tu sloupc? (a? je to k) a pak n?hodn? ozna?it k sloupc? a k ??dk? v matici. Prvky um?st?n? na pr?se??ku vybran?ch sloupc? a ??dk? vytvo?? novou ?tvercovou matici. Pokud je determinantem takov? matice ??slo jin? ne? nula, pak se naz?v? men?? b?z? p?vodn? obd?ln?kov? matice.

Ne? p?istoup?me k ?e?en? soustavy rovnic Gaussovou metodou, neu?kod? vypo??tat determinant. Pokud se uk??e, ?e je nula, pak m??eme okam?it? ??ci, ?e matice m? bu? nekone?n? po?et ?e?en?, nebo neexistuj? v?bec ??dn?. V takov?m smutn?m p??pad? je t?eba j?t d?le a zjistit hodnost matice.

Klasifikace syst?mu

Existuje n?co jako hodnost matice. Toto je maxim?ln? ??d jeho determinantu, kter? se li?? od nuly (pokud si vzpomeneme na z?klad men??, m??eme ??ci, ?e hodnost matice je ??d z?kladu men??).

Podle toho, jak je to s hodnost?, lze SLAE rozd?lit na:

• Kloub. V spole?n?ch syst?m? se hodnost hlavn? matice (skl?daj?c? se pouze z koeficient?) shoduje s hodnost? roz???en? matice (se sloupcem voln?ch ?len?). Takov? syst?my maj? ?e?en?, ale ne nutn? jedno, proto se kloubov? syst?my nav?c d?l? na:
• - ur?it?- maj? jedine?n? ?e?en?. V ur?it?ch syst?mech jsou hodnosti matice a po?et nezn?m?ch (nebo po?et sloupc?, co? je tot??) stejn?;
• - neur?it? - s nekone?n?m po?tem ?e?en?. Po?ad? matic pro takov? syst?my je men?? ne? po?et nezn?m?ch.
• Nekompatibiln?. V V takov?ch syst?mech se ?rovn? hlavn? a roz???en? matice neshoduj?. Nekompatibiln? syst?my nemaj? ?e?en?.

Gaussova metoda je dobr? v tom, ?e umo??uje z?skat bu? jednozna?n? d?kaz nekonzistence soustavy (bez po??t?n? determinant? velk?ch matic), nebo obecn? ?e?en? pro soustavu s nekone?n?m po?tem ?e?en? b?hem ?e?en?.

Element?rn? transformace

Ne? p?istoup?me p??mo k ?e?en? syst?mu, je mo?n? jej u?init m?n? t??kop?dn?m a pohodln?j??m pro v?po?ty. Toho je dosa?eno pomoc? element?rn?ch transformac? - tak, ?e jejich implementace nijak nezm?n? kone?nou odpov??. Je t?eba poznamenat, ?e n?kter? z v??e uveden?ch element?rn?ch transformac? jsou platn? pouze pro matice, jejich? zdrojem byl pr?v? SLAE. Zde je seznam t?chto transformac?:

1. Permutace ?et?zce. Je z?ejm?, ?e pokud se v syst?mov?m z?znamu zm?n? po?ad? rovnic, pak to nijak neovlivn? ?e?en?. V d?sledku toho je tak? mo?n? zam??ovat ??dky v matici tohoto syst?mu, samoz?ejm? nelze zapomenout na sloupec voln?ch ?len?.
2. Vyn?soben? v?ech prvk? ?et?zce n?jak?m faktorem. Velmi u?ite?n?! S n?m m??ete zmen?it velk? ??sla v matici nebo odstranit nuly. Sada ?e?en? se jako obvykle nezm?n? a bude pohodln?j?? prov?d?t dal?? operace. Hlavn? v?c je, ?e koeficient nen? roven nule.
3. Odstra?te ??dky s proporcion?ln?mi koeficienty. To ??ste?n? vypl?v? z p?edchoz?ho odstavce. Pokud dva nebo v?ce ??dk? v matici maj? proporcion?ln? koeficienty, pak p?i n?soben? / d?len? jednoho z ??dk? koeficientem proporcionality se z?skaj? dva (nebo op?t v?ce) absolutn? identick? ??dky a m??ete odstranit ty nadbyte?n? a ponechat pouze jeden.
4. Odstran?n? nulov?ho ??dku. Pokud se v pr?b?hu transformac? n?kde z?sk? ?et?zec, ve kter?m jsou v?echny prvky v?etn? voln?ho ?lenu nulov?, pak lze takov? ?et?zec nazvat nulou a vyhodit z matice.
5. P?id?n? prvk? jednoho ??dku prvk? druh?ho (v odpov?daj?c?ch sloupc?ch), vyn?soben? ur?it?m koeficientem. Nejobskurn?j?? a nejd?le?it?j?? transformace ze v?ech. Stoj? za to se tomu v?novat podrobn?ji.

P?id?n? ?et?zce vyn?soben?ho faktorem

Pro snaz?? pochopen? stoj? za to rozebrat tento proces krok za krokem. Z matice jsou p?evzaty dva ??dky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

P?edpokl?dejme, ?e mus?te p?idat prvn? k druh?mu, vyn?soben? koeficientem "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 x a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 x a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 x a 1n

Pot? je v matici druh? ??dek nahrazen nov?m a prvn? z?stane nezm?n?n.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Je t?eba poznamenat, ?e koeficient n?soben? lze zvolit tak, ?e v d?sledku se?ten? dvou ?et?zc? je jeden z prvk? nov?ho ?et?zce roven nule. Proto je mo?n? v soustav? z?skat rovnici, kde bude o jednu nezn?mou m?n?. A pokud dostanete dv? takov? rovnice, pak lze operaci prov?st znovu a z?skat rovnici, kter? ji? bude obsahovat o dv? nezn?m? m?n?. A pokud poka?d? oto??me na nulu o jeden koeficient pro v?echny ??dky, kter? jsou ni??? ne? p?vodn?, pak m??eme jako po kroc?ch sej?t a? na ?pln? konec matice a dostat rovnici s jednou nezn?mou. Tomu se ??k? ?e?en? syst?mu pomoc? Gaussovy metody.

Obecn?

A? existuje syst?m. M? m rovnic a n nezn?m?ch ko?en?. M??ete to zapsat takto:

Hlavn? matice je sestavena z koeficient? syst?mu. Do roz???en? matice je p?id?n sloupec voln?ch ?len? a pro usnadn?n? odd?len? pruhem.

• prvn? ??dek matice se vyn?sob? koeficientem k = (-a 21 / a 11);
• prvn? upraven? ??dek a druh? ??dek matice jsou p?id?ny;
• m?sto druh?ho ??dku se do matice vlo?? v?sledek dopln?n? z p?edchoz?ho odstavce;
• nyn? je prvn? koeficient v nov?m druh?m ??dku a 11 x (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nyn? se prov?d? stejn? s?rie transformac?, jedn? se pouze o prvn? a t?et? ??dek. Podle toho je v ka?d?m kroku algoritmu prvek a21 nahrazen prvkem a31. Pot? se v?e opakuje pro 41, ... a m1. V?sledkem je matice, kde je prvn? prvek v ??dc?ch roven nule. Nyn? mus?me zapomenout na ??dek ??slo jedna a prov?st stejn? algoritmus po??naje druh?m ??dkem:

• koeficient k \u003d (-a 32 / a 22);
• druh? upraven? ??dek je p?id?n k "aktu?ln?mu" ??dku;
• v?sledek s??t?n? je nahrazen ve t?et?m, ?tvrt?m atd. ??dc?ch, zat?mco prvn? a druh? z?stanou nezm?n?ny;
• v ??dc?ch matice jsou ji? prvn? dva prvky rovny nule.

Algoritmus je nutn? opakovat, dokud se neobjev? koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamen?, ?e algoritmus byl naposledy spu?t?n pouze pro ni??? rovnici. Nyn? matice vypad? jako troj?heln?k nebo m? stup?ovit? tvar. Spodn? ??dek obsahuje rovnost a mn x x n = b m . Koeficient a voln? ?len jsou zn?my a jejich prost?ednictv?m se vyjad?uje ko?en: x n = b m /a mn. V?sledn? ko?en dosad?me do horn?ho ??dku, abychom na?li x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1 . A tak d?le analogicky: v ka?d?m dal??m ??dku je nov? ko?en a po dosa?en? „vrcholu“ syst?mu m??ete naj?t mnoho ?e?en?. Bude to jedin?.

Kdy? neexistuj? ??dn? ?e?en?

Pokud jsou v jednom z ??dk? matice v?echny prvky krom? voln?ho ?lenu rovny nule, pak rovnice odpov?daj?c? tomuto ??dku vypad? jako 0 = b. Nem? to ?e?en?. A jeliko? je takov? rovnice v soustav? zahrnuta, pak je mno?ina ?e?en? cel? soustavy pr?zdn?, tedy degenerovan?.

Kdy? existuje nekone?n? mnoho ?e?en?

M??e se uk?zat, ?e v dan? troj?heln?kov? matici nejsou ??dn? ??dky s jedn?m prvkem - koeficientem rovnice a jedn?m - voln?m ?lenem. Existuj? pouze ?et?zce, kter? by po p?eps?n? vypadaly jako rovnice se dv?ma nebo v?ce prom?nn?mi. To znamen?, ?e syst?m m? nekone?n? mno?stv? ?e?en?. V tomto p??pad? lze odpov?? podat formou obecn?ho ?e?en?. Jak to ud?lat?

V?echny prom?nn? v matici jsou rozd?leny na z?kladn? a voln?. Z?kladn? – to jsou ty, kter? stoj? „na okraji“ ??dk? ve stup?ovit? matici. Zbytek je zdarma. V obecn?m ?e?en? se z?kladn? prom?nn? zapisuj? z hlediska voln?ch.

Pro usnadn?n? je matice nejprve p?eps?na zp?t do syst?mu rovnic. Pak v posledn?m z nich, kde z?stala pr?v? jen jedna z?kladn? prom?nn?, z?stane na jedn? stran? a v?e ostatn? se p?enese na druhou. To se prov?d? pro ka?dou rovnici s jednou z?kladn? prom?nnou. Potom se ve zbytku rovnic, kde je to mo?n?, m?sto z?kladn? prom?nn? dosad? v?raz pro ni z?skan?. Pokud je v?sledkem op?t v?raz obsahuj?c? pouze jednu z?kladn? prom?nnou, je vyj?d?ena odtud znovu a tak d?le, dokud nen? ka?d? z?kladn? prom?nn? zaps?na jako v?raz s voln?mi prom?nn?mi. Toto je obecn? ?e?en? SLAE.

M??ete tak? naj?t z?kladn? ?e?en? syst?mu - d?t voln?m prom?nn?m libovoln? hodnoty a pro tento konkr?tn? p??pad pak vypo??tat hodnoty z?kladn?ch prom?nn?ch. Konkr?tn?ch ?e?en? je nekone?n? mnoho.

?e?en? s konkr?tn?mi p??klady

Zde je soustava rovnic.

Pro pohodl? je lep?? okam?it? vytvo?it jeho matici

Je zn?mo, ?e p?i ?e?en? Gaussovou metodou z?stane rovnice odpov?daj?c? prvn?mu ??dku na konci transformac? nezm?n?na. Proto bude v?hodn?j??, pokud bude lev? horn? prvek matice nejmen?? - pak se prvn? prvky zb?vaj?c?ch ??dk? po operac?ch zm?n? na nulu. To znamen?, ?e v sestaven? matici bude v?hodn? um?stit druhou na m?sto prvn?ho ??dku.

druh? ??dek: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k x a 11 \u003d 3 + (-3) x 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k x a 12 \u003d -1 + (-3) x 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k x b 1 \u003d 12 + (-3) x 12 \u003d -24

t?et? ??dek: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k x b 1 \u003d 3 + (-5) x 12 \u003d -57

Nyn?, abychom se nepletli, je nutn? zapsat matici s meziv?sledky transformac?.

Je z?ejm?, ?e takovou matici lze pomoc? n?kter?ch operac? u?init pohodln?j?? pro vn?m?n?. Nap??klad m??ete odstranit v?echny "m?nusy" z druh?ho ??dku vyn?soben?m ka?d?ho prvku "-1".

Za zm?nku tak? stoj?, ?e ve t?et?m ??dku jsou v?echny prvky n?sobky t??. Pot? m??ete ?et?zec sn??it o toto ??slo a vyn?sobit ka?d? prvek "-1/3" (m?nus - sou?asn? pro odstran?n? z?porn?ch hodnot).

Vypad? mnohem l?pe. Nyn? mus?me nechat prvn? ??dek a pracovat s druh?m a t?et?m. ?kolem je p?idat druh? ??dek ke t?et?mu ??dku, vyn?soben? takov?m faktorem, aby se prvek a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 zlomk? a teprve pot?, a? obdr??me odpov?di, se rozhodnout, zda zaokrouhlit a p?ev?st do jin? formy z?pisu)

a" 32 = a 32 + k x a 22 = 3 + (-3/7) x 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k x a 23 \u003d 6 + (-3/7) x 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k x b 2 \u003d 19 + (-3/7) x 24 \u003d -61/7

Matice je znovu zaps?na s nov?mi hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Jak vid?te, v?sledn? matice m? ji? stup?ovitou formu. Dal?? transformace syst?mu Gaussovou metodou tedy nejsou nutn?. Co lze zde ud?lat, je odstranit celkov? koeficient "-1/7" ze t?et?ho ??dku.

Nyn? je v?e kr?sn?. Pointa je mal? – matici zapi?te znovu ve form? soustavy rovnic a vypo??tejte ko?eny

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmus, kter?m budou nyn? nalezeny ko?eny, se v Gaussov? metod? naz?v? zp?tn? pohyb. Rovnice (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

A prvn? rovnice v?m umo??uje naj?t x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

M?me pr?vo naz?vat takov? syst?m spole?n?m, a dokonce ur?it?m, tedy maj?c?m jedine?n? ?e?en?. Odpov?? je naps?na v n?sleduj?c?m tvaru:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

P??klad neur?it?ho syst?mu

Varianta ?e?en? ur?it? soustavy Gaussovou metodou byla rozebr?na, nyn? je t?eba uva?ovat p??pad, kdy je soustava neur?it?, tj. lze pro ni nal?zt nekone?n? mnoho ?e?en?.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

U? samotn? podoba syst?mu je alarmuj?c?, proto?e po?et nezn?m?ch je n = 5 a hodnost matice syst?mu je ji? p?esn? men?? ne? toto ??slo, proto?e po?et ??dk? je m = 4, tzn. nejv?t?? ??d ?tvercov?ho determinantu je 4. To znamen?, ?e existuje nekone?n? mno?stv? ?e?en? a je t?eba hledat jeho obecn? tvar. Gaussova metoda pro line?rn? rovnice to umo??uje.

Nejprve se jako obvykle sestav? roz???en? matice.

Druh? ??dek: koeficient k = (-a 21 / a 11) = -3. Ve t?et?m ??dku je prvn? prvek p?ed transformacemi, tak?e se nemus?te ni?eho dot?kat, mus?te to nechat tak, jak je. ?tvrt? ??dek: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupn?m vyn?soben?m prvk? prvn?ho ??dku ka?d?m z jejich koeficient? a jejich p?id?n?m do po?adovan?ch ??dk? z?sk?me matici n?sleduj?c?ho tvaru:

Jak vid?te, druh?, t?et? a ?tvrt? ??dek se skl?daj? z prvk?, kter? jsou vz?jemn? proporcion?ln?. Druh? a ?tvrt? jsou obecn? stejn?, tak?e jeden z nich lze okam?it? odstranit a zbytek vyn?sobit koeficientem "-1" a z?skat ??dek ??slo 3. A op?t ponechte jeden ze dvou stejn?ch ??dk?.

Uk?zalo se, ?e takov? matrice. Syst?m je?t? nebyl zaps?n, je zde nutn? ur?it z?kladn? prom?nn? - stoj?c? na koeficientech a 11 \u003d 1 a 22 \u003d 1 a zdarma - v?e ostatn?.

Druh? rovnice m? pouze jednu z?kladn? prom?nnou - x 2 . Tud?? ji lze vyj?d?it odtamtud z?pisem p?es prom?nn? x 3 , x 4 , x 5 , kter? jsou voln?.

V?sledn? v?raz dosad?me do prvn? rovnice.

Uk?zalo se rovnice, ve kter? je jedinou z?kladn? prom?nnou x 1. Ud?lejme s t?m to sam? jako s x 2 .

V?echny z?kladn? prom?nn?, ze kter?ch jsou dv?, jsou vyj?d?eny t?emi voln?mi, nyn? m??ete odpov?? napsat v obecn?m tvaru.

M??ete tak? zadat jedno z konkr?tn?ch ?e?en? syst?mu. Pro takov? p??pady se jako hodnoty pro voln? prom?nn? zpravidla vol? nuly. Pak bude odpov??:

16, 23, 0, 0, 0.

P??klad nekompatibiln?ho syst?mu

Nejrychlej?? je ?e?en? nekonzistentn?ch soustav rovnic Gaussovou metodou. Kon??, jakmile se v jedn? z f?z? z?sk? rovnice, kter? nem? ?e?en?. To znamen?, ?e f?ze s v?po?tem ko?en?, kter? je pom?rn? dlouh? a bez?t??n?, zmiz?. Zva?uje se n?sleduj?c? syst?m:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jako obvykle je matice sestavena:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je redukov?n na stup?ovitou formu:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvn? transformaci obsahuje t?et? ??dek rovnici tvaru

nemaj?c? ?e?en?. Proto je syst?m nekonzistentn? a odpov?d? je pr?zdn? mno?ina.

V?hody a nev?hody metody

Pokud se rozhodnete, jakou metodu vy?e?it SLAE na pap??e perem, pak metoda, kter? byla zva?ov?na v tomto ?l?nku, vypad? nejatraktivn?ji. V element?rn?ch transformac?ch je mnohem obt??n?j?? se spl?st, ne? se to st?v?, kdy? mus?te ru?n? hledat determinant nebo n?jakou z?ludnou inverzn? matici. Pokud v?ak pou??v?te programy pro pr?ci s daty tohoto typu, nap??klad tabulky, pak se ukazuje, ?e takov? programy ji? obsahuj? algoritmy pro v?po?et hlavn?ch parametr? matic - determinant, vedlej??, inverzn? atd. A pokud jste si jisti, ?e stroj tyto hodnoty spo??t? s?m a neud?l? chybu, je ??eln?j?? pou??t maticovou metodu nebo Cramerovy vzorce, proto?e jejich aplikace za??n? a kon?? v?po?tem determinant? a inverzn?ch matic.

aplikace

Vzhledem k tomu, ?e Gaussovo ?e?en? je algoritmus a matice je ve skute?nosti dvourozm?rn? pole, lze jej pou??t v programov?n?. Ale proto?e se ?l?nek stav? jako n?vod „pro blbce“, je t?eba ??ci, ?e nejjednodu???m m?stem, kam metodu str?it, jsou tabulky, nap??klad Excel. Op?t plat?, ?e jak?koli SLAE zadan? do tabulky ve form? matice bude Excelem pova?ov?n za dvourozm?rn? pole. A pro operace s nimi existuje mnoho p?kn?ch p??kaz?: s??t?n? (lze s??tat pouze matice stejn? velikosti!), N?soben? ??slem, n?soben? matic (tak? s ur?it?mi omezen?mi), hled?n? inverzn? a transponovan? matice a hlavn? , v?po?et determinantu. Pokud je tento ?asov? n?ro?n? ?kol nahrazen jedin?m p??kazem, je mnohem rychlej?? ur?it hodnost matice, a tedy zjistit jej? kompatibilitu nebo nekonzistenci.

Vzd?l?vac? instituce „B?lorusk? st?t

Zem?d?lsk? akademie"

Katedra vy??? matematiky

Sm?rnice

pro studium t?matu „Gaussova metoda ?e?en? soustav line?rn?ch

Rovnice“ studenty Fakulty ??etnictv? koresponden?n? formy vzd?l?v?n? (NISPO)

Gorki, 2013

Gaussova metoda ?e?en? soustav line?rn?ch rovnic

Ekvivalentn? soustavy rovnic

??k? se, ?e dva syst?my line?rn?ch rovnic jsou ekvivalentn?, pokud ka?d? ?e?en? jedn? z nich je ?e?en?m druh?. Proces ?e?en? soustavy line?rn?ch rovnic spo??v? v jej? postupn? transformaci na ekvivalentn? soustavu pomoc? tzv element?rn? transformace , co? jsou:

1) permutace libovoln?ch dvou rovnic syst?mu;

2) n?soben? obou ??st? libovoln? rovnice soustavy nenulov?m ??slem;

3) p?id?n? do libovoln? rovnice dal?? rovnice, vyn?soben? libovoln?m ??slem;

4) vypu?t?n? rovnice sest?vaj?c? z nul, tzn. typov? rovnice.

Gaussova eliminace

Zva?te syst?m m line?rn? rovnice s n nezn?m?:

Podstata Gaussovy metody neboli metody sekven?n? eliminace nezn?m?ch je n?sleduj?c?.

Nejprve se pomoc? element?rn?ch transformac? vylou?? nezn?m? ze v?ech rovnic soustavy krom? prvn?. Takov? transformace syst?mu se naz?vaj? Gauss?v elimina?n? krok . Nezn?m? se naz?v? rozli?ovac? prom?nn? v prvn?m kroku transformace. Koeficient se naz?v? faktor rozli?en? , naz?v? se prvn? rovnice ?e?en? rovnice , a sloupec koeficient? at povolit sloupec .

P?i prov?d?n? jednoho Gaussova elimina?n?ho kroku je t?eba pou??t n?sleduj?c? pravidla:

1) koeficienty a voln? ?len rozli?ovac? rovnice z?st?vaj? nezm?n?ny;

2) koeficienty rozli?ovac?ho sloupce, um?st?n? pod rozli?ovac?m koeficientem, se vynuluj?;

3) v?echny ostatn? koeficienty a voln? ?leny v prvn?m kroku se vypo??taj? podle pravidla obd?ln?ku:

, kde i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Podobn? transformace prov?d?me na druh? rovnici soustavy. To povede k syst?mu, ve kter?m bude nezn?m? vylou?ena ve v?ech rovnic?ch, krom? prvn?ch dvou. V d?sledku takov?ch transformac? nad ka?dou z rovnic syst?mu (p??m? Gaussova metoda) je p?vodn? syst?m redukov?n na ekvivalentn? stup?ov? syst?m jednoho z n?sleduj?c?ch typ?.

Reverzn? Gaussova metoda

Krokov? syst?m

m? troj?heln?kov? tvar a v?e (i=1,2,…,n). Takov? syst?m m? unik?tn? ?e?en?. Nezn?m? jsou ur?eny po??naje posledn? rovnic? (obr?cen? Gaussova metoda).

Stup?ov? syst?m m? tvar

kde, tj. po?et rovnic syst?mu je men?? nebo roven po?tu nezn?m?ch. Tento syst?m nem? ?e?en?, proto?e posledn? rovnice nebude platit pro ??dn? hodnoty prom?nn?.

Syst?m stup?ovit?ho pohledu

m? nekone?n? mno?stv? ?e?en?. Z posledn? rovnice je nezn?m? vyj?d?ena pomoc? nezn?m?ch . Potom se m?sto nezn?m? do p?edposledn? rovnice dosad? jej? vyj?d?en? pomoc? nezn?m?ch . Pokra?ov?n? obr?cen?ho pr?b?hu Gaussovy metody, nezn?m? lze vyj?d?it pomoc? nezn?m?ch . V tomto p??pad? nezn?m? volala voln?, uvolnit a m??e m?t jakoukoli hodnotu a nezn?mou z?kladn?.

P?i ?e?en? soustav v praxi je vhodn? prov?d?t v?echny transformace nikoli soustavou rovnic, ale roz???enou matic? soustavy, skl?daj?c? se z koeficient? nezn?m?ch a sloupce voln?ch ?len?.

P??klad 1. ?e?te soustavu rovnic

?e?en?. Vytvo?me roz???enou matici syst?mu a prove?te element?rn? transformace:

.

V roz???en? matici syst?mu je ??slo 3 (je zv?razn?no) faktorem rozli?en?, prvn? ??dek je ??dek rozli?en? a prvn? sloupec je sloupec rozli?en?. P?i p?echodu na dal?? matici se rozli?ovac? ??dek nem?n?, v?echny prvky rozli?ovac?ho sloupce pod rozli?ovac?m prvkem jsou nahrazeny nulami. A v?echny ostatn? prvky matice se p?epo??taj? podle ?ty??heln?kov?ho pravidla. M?sto prvku 4 na druh?m ??dku p??eme , m?sto prvku -3 ve druh?m ??dku se zap??e atd. Z?sk?me tak druhou matici. Tato matice bude m?t rozli?ovac? prvek ??slo 18 ve druh?m ??dku. Pro vytvo?en? dal?? (t?et? matice) ponech?me druh? ??dek beze zm?ny, do sloupce pod rozli?ovac?m prvkem zap??eme nulu a zb?vaj?c? dva prvky p?epo??t?me: m?sto ??sla 1 nap??eme , a m?sto ??sla 16 nap??eme .

V?sledkem je, ?e p?vodn? syst?m je redukov?n na ekvivalentn? syst?m

Ze t?et? rovnice najdeme . Dosa?te tuto hodnotu do druh? rovnice: y=3. Nalezen? hodnoty dosa?te do prvn? rovnice y a z: , X=2.

?e?en?m tohoto syst?mu rovnic je tedy X=2, y=3, .

P??klad 2. ?e?te soustavu rovnic

?e?en?. Prove?me element?rn? transformace na roz???en? matici syst?mu:

Ve druh? matici je ka?d? prvek t?et?ho ??dku vyd?len 2.

Ve ?tvrt? matici byl ka?d? prvek t?et?ho a ?tvrt?ho ??dku vyd?len 11.

. V?sledn? matice odpov?d? soustav? rovnic

P?i ?e?en? tohoto syst?mu najdeme , , .

P??klad 3. ?e?te soustavu rovnic

?e?en?. Poj?me napsat roz???enou matici syst?mu a prov?st element?rn? transformace:

.

Ve druh? matici byl ka?d? prvek druh?ho, t?et?ho a ?tvrt?ho ??dku vyd?len 7.

V d?sledku toho syst?m rovnic

ekvivalentn? origin?lu.

Proto?e existuje o dv? rovnice m?n? ne? nezn?m?ch, tak z druh? rovnice . Dosa?te v?raz pro do prvn? rovnice: , .

Tak?e vzorce uve?te obecn? ?e?en? t?to soustavy rovnic. Nezn?m? a jsou zdarma a mohou m?t jakoukoli hodnotu.

A? nap?. Pak a . ?e?en? je jedn?m z konkr?tn?ch ?e?en? syst?mu, kter?ch je nespo?et.

Ot?zky pro sebeovl?d?n? znalost?

1) Jak? transformace line?rn?ch syst?m? se naz?vaj? element?rn??

2) Jak? transformace syst?mu se naz?vaj? Gauss?v elimina?n? krok?

3) Co je rozli?ovac? prom?nn?, rozli?ovac? faktor, rozli?ovac? sloupec?

4) Jak? pravidla by m?la b?t pou?ita p?i prov?d?n? jednoho kroku Gaussovy eliminace?

Nech? je d?na soustava line?rn?ch algebraick?ch rovnic, kterou je t?eba vy?e?it (naj?t takov? hodnoty nezn?m?ch хi, kter? zm?n? ka?dou rovnici soustavy na rovnost).

V?me, ?e syst?m line?rn?ch algebraick?ch rovnic m??e:

1) Nem?t ??dn? ?e?en? (b?t nekompatibiln?).
2) M?t nekone?n? mnoho ?e?en?.
3) M?t jedine?n? ?e?en?.

Jak si pamatujeme, Cramerovo pravidlo a maticov? metoda jsou nevhodn? v p??padech, kdy syst?m m? nekone?n? mnoho ?e?en? nebo je nekonzistentn?. Gaussova metoda – nejv?konn?j?? a nejuniverz?ln?j?? n?stroj pro hled?n? ?e?en? jak?hokoli syst?mu line?rn?ch rovnic, kter? v ka?d?m p??pad? dove?te n?s k odpov?di! Algoritmus metody ve v?ech t?ech p??padech funguje stejn?. Jestli?e Cramerova a maticov? metoda vy?aduj? znalost determinant?, pak aplikace Gaussovy metody vy?aduje znalost pouze aritmetick?ch operac?, co? ji zp??stup?uje i ??k?m z?kladn?ch ?kol.

Roz???en? maticov? transformace ( toto je matice syst?mu - matice slo?en? pouze z koeficient? nezn?m?ch plus sloupec voln?ch ?len?) soustavy line?rn?ch algebraick?ch rovnic v Gaussov? metod?:

1) S troky matrice um?t p?eskupit m?sta.

2) pokud jsou (nebo jsou) v matici proporcion?ln? (jako zvl??tn? p??pad - shodn?) ??dky, pak n?sleduje vymazat z matice, v?echny tyto ??dky krom? jednoho.

3) pokud se p?i transformac?ch objevil v matici nulov? ??dek, pak to tak? n?sleduje vymazat.

4) ??dek matice m??e n?sobit (d?lit) na jak?koli ??slo jin? ne? nula.

5) do ??dku matice, m??ete p?idat dal?? ?et?zec vyn?soben? ??slem, odli?n? od nuly.

V Gaussov? metod? element?rn? transformace nem?n? ?e?en? soustavy rovnic.

Gaussova metoda se skl?d? ze dvou f?z?:

1. "P??m? pohyb" - pomoc? element?rn?ch transformac? p?ive?te roz???enou matici syst?mu line?rn?ch algebraick?ch rovnic do "troj?heln?kov?ho" stup?ovit?ho tvaru: prvky roz???en? matice um?st?n? pod hlavn? diagon?lou se rovnaj? nule (pohyb shora dol? ). Nap??klad k tomuto druhu:

Chcete-li to prov?st, prove?te n?sleduj?c? kroky:

1) Uva?ujme prvn? rovnici soustavy line?rn?ch algebraick?ch rovnic a koeficient v x 1 je roven K. Druh?, t?et? atd. rovnice transformujeme n?sledovn?: ka?dou rovnici (koeficienty pro nezn?m? v?etn? voln?ch ?len?) vyd?l?me koeficientem pro nezn?mou x 1, kter? je v ka?d? rovnici, a vyn?sob?me K. Pot? ode?teme prvn? od druh? rovnice ( koeficienty pro nezn?m? a voln? term?ny). Dostaneme p?i x 1 ve druh? rovnici koeficient 0. Od t?et? transformovan? rovnice ode?teme prvn? rovnici, tak?e dokud v?echny rovnice krom? prvn?, s nezn?mou x 1, nebudou m?t koeficient 0.

2) P?ejd?te na dal?? rovnici. Nech? je to druh? rovnice a koeficient v x 2 je roven M. U v?ech „pod??zen?ch“ rovnic postupujeme tak, jak je pops?no v??e. Tedy "pod" nezn?mou x 2 ve v?ech rovnic?ch budou nuly.

3) P?ejdeme k dal?? rovnici a tak d?le, dokud nezbude posledn? nezn?m? a transformovan? voln? ?len.

1. „Zp?tn?m pohybem“ Gaussovy metody je z?skat ?e?en? soustavy line?rn?ch algebraick?ch rovnic (pohyb „zdola nahoru“). Z posledn? „doln?“ rovnice dostaneme jedno prvn? ?e?en? – nezn?mou x n. K tomu ?e??me element?rn? rovnici A * x n \u003d B. Ve v??e uveden?m p??kladu x 3 \u003d 4. Nalezenou hodnotu dosad?me do „horn?“ dal?? rovnice a vy?e??me ji s ohledem na dal?? nezn?mou. Nap??klad x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. A tak d?le, dokud nenajdeme v?echny nezn?m?.

P??klad.

Soustavu line?rn?ch rovnic ?e??me Gaussovou metodou, jak rad? n?kte?? auto?i:

Nap??eme roz???enou matici syst?mu a pomoc? element?rn?ch transformac? ji p?evedeme do stup?ovit?ho tvaru:

Pod?v?me se na lev? horn? "krok". Tam bychom m?li m?t jednotku. Probl?m je, ?e v prvn?m sloupci nejsou v?bec ??dn?, tak?e p?eskupen?m ??dk? se nic nevy?e??. V takov?ch p??padech mus? b?t jednotka organizov?na pomoc? element?rn? transformace. To lze obvykle prov?st n?kolika zp?soby. Ud?lejme to takto:
1 krok . K prvn?mu ??dku p?id?me druh? ??dek, vyn?soben? -1. To znamen?, ?e jsme v duchu vyn?sobili druh? ??dek -1 a provedli se?ten? prvn?ho a druh?ho ??dku, zat?mco druh? ??dek se nezm?nil.

Nyn? vlevo naho?e „m?nus jedna“, co? n?m naprosto vyhovuje. Kdo chce z?skat +1, m??e prov?st dal?? akci: vyn?sobit prvn? ??dek ??slem -1 (zm?nit jeho znam?nko).

2 krok . Prvn? ??dek vyn?soben? 5 byl p?id?n k druh?mu ??dku a prvn? ??dek vyn?soben? 3 byl p?id?n ke t?et?mu ??dku.

3 krok . Prvn? ??dek byl vyn?soben -1, v z?sad? je to pro kr?su. Znam?nko t?et?ho ??dku bylo tak? zm?n?no a p?esunuto na druh? m?sto, tak?e na druh?m „kroku jsme m?li po?adovanou jednotku.

4 krok . Ke t?et?mu ??dku p?idejte druh? ??dek vyn?soben? 2.

5 krok . T?et? ??dek je d?len? 3.

Znak, kter? ozna?uje chybu ve v?po?tech (m?n? ?asto p?eklep), je „?patn?“ spodn? ??dek. To znamen?, ?e pokud dostaneme n?co jako (0 0 11 | 23) n??e, a tedy 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, pak s vysokou m?rou pravd?podobnosti m??eme ??ci, ?e do?lo k chyb? b?hem z?kladn?ho transformac?.

Prov?d?me zp?tn? pohyb, p?i n?vrhu p??klad? se ?asto nep?episuje samotn? syst?m a rovnice jsou „p?evzaty p??mo z dan? matice“. Zp?tn? pohyb, p?ipom?n?m, funguje „zdola nahoru“. V tomto p??kladu se d?rek uk?zal:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, tedy x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odpov?d?t:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Poj?me vy?e?it stejn? syst?m pomoc? navr?en?ho algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vyd?lte druhou rovnici 5 a t?et? 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vyn?sob?me-li druhou a t?et? rovnici 4, dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ode?t?te prvn? rovnici od druh? a t?et? rovnice, m?me:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vyd?lte t?et? rovnici 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vyn?sobte t?et? rovnici ??slem 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ode?ten?m druh? rovnice od t?et? rovnice dostaneme „stup?ovitou“ roz???enou matici:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Proto?e se v procesu v?po?t? nahromadila chyba, dostaneme x 3 \u003d 0,96 nebo p?ibli?n? 1.

x 2 \u003d 3 a x 1 \u003d -1.

P?i ?e?en? t?mto zp?sobem se ve v?po?tech nikdy nespletete a i p?es chyby ve v?po?tech dostanete v?sledek.

Tento zp?sob ?e?en? soustavy line?rn?ch algebraick?ch rovnic je snadno programovateln? a nezohled?uje specifick? vlastnosti koeficient? pro nezn?m?, proto?e se v praxi (v ekonomick?ch a technick?ch v?po?tech) mus?me pot?kat s necelo??seln?mi koeficienty.

P?eji ti ?sp?ch! Uvid?me se ve t??d?! Tutor Dmitrij Aistrakhanov.

str?nky, s ?pln?m nebo ??ste?n?m zkop?rov?n?m materi?lu, je vy?adov?n odkaz na zdroj.

O dvou soustav?ch line?rn?ch rovnic se ??k?, ?e jsou ekvivalentn?, pokud je mno?ina v?ech jejich ?e?en? stejn?.

Element?rn? transformace soustavy rovnic jsou:

1. Vypu?t?n? ze soustavy trivi?ln?ch rovnic, tzn. ty, u nich? jsou v?echny koeficienty rovny nule;
2. N?soben? libovoln? rovnice nenulov?m ??slem;
3. S??t?n? k libovoln? i -t? rovnici libovoln? j -t? rovnice vyn?soben? libovoln?m ??slem.

Prom?nn? x i se naz?v? voln?, pokud tato prom?nn? nen? povolena, a je povolen cel? syst?m rovnic.

Teor?m. Element?rn? transformace transformuj? soustavu rovnic na ekvivalentn?.

Smyslem Gaussovy metody je transformovat p?vodn? soustavu rovnic a z?skat ekvivalentn? povolen? nebo ekvivalentn? nekonzistentn? syst?m.

Gaussova metoda se tedy skl?d? z n?sleduj?c?ch krok?:

1. Zva?te prvn? rovnici. Zvol?me prvn? nenulov? koeficient a vyd?l?me j?m celou rovnici. Z?sk?me rovnici, do kter? vstupuje n?jak? prom?nn? x i s koeficientem 1;
2. Ode?t?te tuto rovnici od v?ech ostatn?ch a vyn?sobte ji ??sly tak, aby koeficienty prom?nn? x i ve zb?vaj?c?ch rovnic?ch byly nastaveny na nulu. Dostaneme syst?m, kter? je vy?e?en vzhledem k prom?nn? x i a je ekvivalentn? t? p?vodn?;
3. Vzniknou-li trivi?ln? rovnice (z??dka, ale st?v? se to; nap?. 0 = 0), vyma?eme je ze syst?mu. V?sledkem je, ?e rovnice budou o jednu m?n?;
4. P?edchoz? kroky opakujeme maxim?ln? nkr?t, kde n je po?et rovnic v soustav?. Poka?d? vybereme pro „zpracov?n?“ novou prom?nnou. Pokud se objev? konfliktn? rovnice (nap??klad 0 = 8), syst?m je nekonzistentn?.

V?sledkem je, ?e po n?kolika kroc?ch z?sk?me bu? povolen? syst?m (p??padn? s voln?mi prom?nn?mi), nebo nekonzistentn?. Povolen? syst?my spadaj? do dvou p??pad?:

1. Po?et prom?nn?ch se rovn? po?tu rovnic. Syst?m je tedy definov?n;
2. Po?et prom?nn?ch je v?t?? ne? po?et rovnic. V?echny voln? prom?nn? shrom??d?me vpravo – z?sk?me vzorce pro povolen? prom?nn?. Tyto vzorce jsou naps?ny v odpov?di.

To je v?e! Syst?m line?rn?ch rovnic je vy?e?en! Jedn? se o pom?rn? jednoduch? algoritmus a abyste jej zvl?dli, nemus?te kontaktovat u?itele matematiky. Zva?te p??klad:

?kol. ?e?te soustavu rovnic:

Popis krok?:

1. Prvn? rovnici ode?teme od druh? a t?et? – dostaneme povolenou prom?nnou x 1;
2. Druhou rovnici vyn?sob?me (-1), t?et? vyd?l?me (-3) - dostaneme dv? rovnice, do kter?ch vstupuje prom?nn? x 2 s koeficientem 1;
3. Druhou rovnici p?id?me k prvn? a ode?teme od t?et?. Dostaneme povolenou prom?nnou x 2 ;
4. Nakonec ode?teme t?et? rovnici od prvn? - dostaneme povolenou prom?nnou x 3 ;
5. Obdr?eli jsme autorizovan? syst?m, odpov?? zapisujeme.

Obecn?m ?e?en?m sdru?en?ho syst?mu line?rn?ch rovnic je nov? syst?m, ekvivalentn? p?vodn?mu, ve kter?m jsou v?echny povolen? prom?nn? vyj?d?eny pomoc? voln?ch.

Kdy m??e b?t pot?eba obecn? ?e?en?? Pokud mus?te ud?lat m?n? krok? ne? k (k je po?et rovnic celkem). Nicm?n? d?vody, pro? proces kon?? v n?kter?m kroku l< k , может быть две:

1. Po l -t?m kroku dostaneme soustavu, kter? neobsahuje rovnici s ??slem (l + 1). Ve skute?nosti je to dob?e, proto?e. vy?e?en? syst?m je stejn? p?ijat - dokonce i o n?kolik krok? d??ve.
2. Po l -t?m kroku je z?sk?na rovnice, ve kter? jsou v?echny koeficienty prom?nn?ch rovny nule a voln? koeficient je odli?n? od nuly. Toto je nekonzistentn? rovnice, a proto je syst?m nekonzistentn?.

Je d?le?it? pochopit, ?e v?skyt nekonzistentn? rovnice Gaussovou metodou je dostate?n?m d?vodem pro nekonzistenci. Z?rove? podot?k?me, ?e v d?sledku l -t?ho kroku nemohou z?stat trivi?ln? rovnice - v?echny jsou p??mo v procesu vymaz?ny.

Popis krok?:

1. Ode?t?te prvn? rovnici kr?t 4 od druh?. A tak? p?idejte prvn? rovnici do t?et? - dostaneme povolenou prom?nnou x 1;
2. Ode?teme t?et? rovnici, vyn?sobenou 2, od druh? - dostaneme protich?dnou rovnici 0 = -5.

Syst?m je tedy nekonzistentn?, proto?e byla nalezena nekonzistentn? rovnice.

?kol. Prozkoumejte kompatibilitu a najd?te obecn? ?e?en? syst?mu:

Popis krok?:

1. Prvn? rovnici ode?teme od druh? (po vyn?soben? dv?ma) a t?et? - dostaneme povolenou prom?nnou x 1;
2. Ode?t?te druhou rovnici od t?et?. Proto?e v?echny koeficienty v t?chto rovnic?ch jsou stejn?, t?et? rovnice se st?v? trivi?ln?. Z?rove? druhou rovnici vyn?sob?me (-1);
3. Od prvn? rovnice ode?teme druhou rovnici – dostaneme povolenou prom?nnou x 2. Cel? syst?m rovnic je nyn? tak? vy?e?en;
4. Proto?e prom?nn? x 3 a x 4 jsou voln?, p?esuneme je doprava, abychom vyj?d?ili povolen? prom?nn?. Toto je odpov??.

Syst?m je tedy spole?n? a neur?it?, proto?e existuj? dv? povolen? prom?nn? (x 1 a x 2) a dv? voln? (x 3 a x 4).

Gaussova metoda je snadn?! Pro?? Slavn? n?meck? matematik Johann Carl Friedrich Gauss se za sv?ho ?ivota do?kal uzn?n? jako nejv?t??ho matematika v?ech dob, g?nia a dokonce i p?ezd?vky „kr?l matematiky“. A v?echno d?mysln?, jak v?te, je jednoduch?! Mimochodem, k pen?z?m se dost?vaj? nejen hulv?ti, ale i g?niov? - Gauss?v portr?t se chlubil bankovkou 10 n?meck?ch marek (p?ed zaveden?m eura) a Gauss se na N?mce dodnes z?hadn? usm?v? z oby?ejn?ch po?tovn?ch zn?mek.

Gaussova metoda je jednoduch? v tom, ?e k jej?mu zvl?dnut? STA?? ZNALOSTI ??KA P?T? T??DY. Mus? um?t s??tat a n?sobit! Ne n?hodou o metod? postupn?ho odstra?ov?n? nezn?m?ch ?asto uva?uj? u?itel? na ?koln?ch matematick?ch voliteln?ch p?edm?tech. Je to paradox, ale nejv?t?? pot??e student?m p?sob? Gaussova metoda. Nen? nic p?ekvapiv?ho - je to v?echno o metodologii a pokus?m se v p??stupn? form? ??ci o algoritmu metody.

Nejprve si trochu systematizujeme znalosti o soustav?ch line?rn?ch rovnic. Syst?m line?rn?ch rovnic m??e:

1) M?t jedine?n? ?e?en?.
2) M?t nekone?n? mnoho ?e?en?.
3) Nem?t ??dn? ?e?en? (b?t nekompatibiln?).

Gaussova metoda je nejmocn?j??m a nejuniverz?ln?j??m n?strojem pro hled?n? ?e?en? ??dn? soustav line?rn?ch rovnic. Jak si pamatujeme Cramerovo pravidlo a maticov? metoda jsou nevhodn? v p??padech, kdy syst?m m? nekone?n? mnoho ?e?en? nebo je nekonzistentn?. Metoda postupn?ho odstra?ov?n? nezn?m?ch tak jako tak dove?te n?s k odpov?di! V t?to lekci se budeme op?t zab?vat Gaussovou metodou pro p??pad ?. 1 (jedin? ?e?en? syst?mu), ?l?nek je vyhrazen pro situace bod? ?. 2-3. Podot?k?m, ?e samotn? algoritmus metody funguje ve v?ech t?ech p??padech stejn?.

Vra?me se k nejjednodu???mu syst?mu z lekce Jak vy?e?it soustavu line?rn?ch rovnic?
a vy?e?it to pomoc? Gaussovy metody.

Prvn?m krokem je psan? roz???en? maticov? syst?m:
. Jak?m principem jsou koeficienty zaznamen?v?ny, to podle m? vid? ka?d?. Svisl? ??ra uvnit? matice nem? ??dn? matematick? v?znam - je to pouze p?e?krtnut? pro usnadn?n? n?vrhu.

Odkaz :Doporu?uji zapamatovat podm?nky line?rn? algebra. Syst?mov? matice je matice slo?en? pouze z koeficient? pro nezn?m?, v tomto p??kladu matice syst?mu: . Roz???en? matice syst?mu je stejn? matice syst?mu plus sloupec voln?ch ?len?, v tomto p??pad?: . Kteroukoli z matic lze pro stru?nost nazvat jednodu?e matic?.

Po zaps?n? roz???en? matice syst?mu je nutn? s n? prov?st n?kter? akce, kter? se tak? naz?vaj? element?rn? transformace.

Existuj? n?sleduj?c? element?rn? transformace:

1) Struny matrice um?t p?eskupit m?sta. Nap??klad v uva?ovan? matici m??ete bezpe?n? zm?nit uspo??d?n? prvn?ho a druh?ho ??dku:

2) Pokud jsou (nebo se objevily) v matici proporcion?ln? (jako zvl??tn? p??pad - identick?) ??dky, pak n?sleduje vymazat z matice, v?echny tyto ??dky krom? jednoho. Vezm?me si nap??klad matici . V t?to matici jsou posledn? t?i ??dky proporcion?ln?, tak?e sta?? ponechat pouze jeden z nich: .

3) Pokud se p?i transformac?ch objevil v matici nulov? ??dek, pak to tak? n?sleduje vymazat. Kreslit samoz?ejm? nebudu, nulov? ??ra je ??ra, ve kter? sam? nuly.

4) ??dek matice m??e b?t n?sobit (d?lit) pro libovoln? ??slo nenulov?. Vezm?me si nap??klad matici . Zde je vhodn? vyd?lit prvn? ??dek -3 a vyn?sobit druh? ??dek 2: . Tato akce je velmi u?ite?n?, proto?e zjednodu?uje dal?? transformace matice.

5) Tato transformace p?sob? nejv?ce pot???, ale ve skute?nosti v n? tak? nen? nic slo?it?ho. Do ??dku matice, m??ete p?idat dal?? ?et?zec vyn?soben? ??slem, odli?n? od nuly. Zva?te na?i matici z praktick?ho p??kladu: . Nejprve velmi podrobn? pop??u transformaci. Vyn?sobte prvn? ??dek -2: , a ke druh?mu ??dku p?id?me prvn? ??dek vyn?soben? -2: . Nyn? lze prvn? ??dek vyd?lit "zp?t" -2: . Jak m??ete vid?t, ??dek, kter? je P?ID?N LI – se nezm?nilo. Je v?dy??dek se zm?n?, KE KTER?MU SE P?ID? UT.

V praxi samoz?ejm? nemaluj? tak podrobn?, ale p??? krat??:

Je?t? jednou: do druh?ho ??dku p?id?n prvn? ??dek vyn?soben? -2. ??dek se obvykle n?sob? ?stn? nebo na n?vrhu, zat?mco ment?ln? pr?b?h v?po?t? je n?co takov?ho:

"P?ep??u matici a p?ep??u prvn? ??dek: »

Nejprve prvn? sloupec. N??e pot?ebuji z?skat nulu. Jednotku v??e proto vyn?sob?m -2:, a prvn? p?i?tu na druh? ??dek: 2 + (-2) = 0. V?sledek zap??u do druh?ho ??dku: »

"A te? druh? sloupec." Nad -1 kr?t -2: . Prvn? p?id?m na druh? ??dek: 1 + 2 = 3. Na druh? ??dek zap??u v?sledek: »

"A t?et? sloupec." Nad -5 kr?t -2: . Prvn? ??dek p?id?m k druh?mu ??dku: -7 + 10 = 3. Do druh?ho ??dku zap??u v?sledek: »

Dob?e si tento p??klad promyslete a pochopte algoritmus sekven?n?ho v?po?tu, pokud tomu rozum?te, pak je Gaussova metoda prakticky „v kapse“. Na t?to prom?n? ale samoz?ejm? st?le pracujeme.

Element?rn? transformace nem?n? ?e?en? soustavy rovnic

! POZORNOST: pova?ov?ny za manipulace nelze pou??t, pokud je v?m nab?dnut ?kol, kde se matice d?vaj? „samo od sebe“. Nap??klad s "klasick?m" matrice v ??dn?m p??pad? byste nem?li n?co p?eskl?dat uvnit? matric!

Vra?me se k na?emu syst?mu. Je prakticky rozbit? na kusy.

Napi?me roz???enou matici syst?mu a pomoc? element?rn?ch transformac? ji zredukujeme na stup?ovit? pohled:

(1) Prvn? ??dek byl p?id?n k druh?mu ??dku, vyn?soben? -2. A znovu: pro? n?sob?me prvn? ?adu -2? Abychom dole dostali nulu, co? znamen? zbavit se jedn? prom?nn? na druh?m ??dku.

(2) Vyd?lte druhou ?adu 3.

??el element?rn?ch transformac? – p?ev?st matici do stup?ovit?ho tvaru: . P?i n?vrhu ?kolu p??mo nakresl? „?eb??k“ jednoduchou tu?kou a tak? zakrou?kuj? ??sla, kter? se nach?zej? na „schodech“. Samotn? term?n „odstup?ovan? pohled“ nen? zcela teoretick?, ve v?deck? a nau?n? literatu?e je ?asto naz?v?n lichob??n?kov? pohled nebo troj?heln?kov? pohled.

V d?sledku element?rn?ch transformac? jsme z?skali ekvivalent p?vodn? soustava rovnic:

Nyn? je pot?eba syst?m „rozkroutit“ opa?n?m sm?rem – zdola nahoru se tento proces naz?v? reverzn? Gaussova metoda.

Ve spodn? rovnici ji? m?me hotov? v?sledek: .

Zva?te prvn? rovnici syst?mu a dosa?te do n? ji? zn?mou hodnotu „y“:

Uva?ujme nejb??n?j?? situaci, kdy je k ?e?en? soustavy t?? line?rn?ch rovnic se t?emi nezn?m?mi pot?eba Gaussova metoda.

P??klad 1

Vy?e?te soustavu rovnic pomoc? Gaussovy metody:

Napi?me roz???enou matici syst?mu:

Nyn? okam?it? nakresl?m v?sledek, ke kter?mu v pr?b?hu ?e?en? dojdeme:

A opakuji, na??m c?lem je p?iv?st matici do stup?ovit? podoby pomoc? element?rn?ch transformac?. Kde za??t jednat?

Nejprve se pod?vejte na ??slo vlevo naho?e:

M?l by tu b?t t?m?? v?dy jednotka. Obecn? lze ??ci, ?e bude vyhovovat i -1 (a n?kdy i jin? ??sla), ale tak n?jak se ji? tradi?n? st?v?, ?e se tam obvykle um?s?uje jednotka. Jak uspo??dat jednotku? D?v?me se na prvn? sloupec – m?me hotovou jednotku! Transformace jedna: proho?te prvn? a t?et? ??dek:

Nyn? prvn? ??dek z?stane nezm?n?n a? do konce ?e?en?. Te? v pohod?.

Jednotka vlevo naho?e je uspo??d?na. Nyn? mus?te z?skat nuly na t?chto m?stech:

Nuly se z?sk?vaj? pr?v? pomoc? „obt??n?“ transformace. Nejprve se zab?v?me druh?m ??dkem (2, -1, 3, 13). Co je pot?eba ud?lat, aby se na prvn? pozici dostala nula? Pot?eba ke druh?mu ??dku p?idejte prvn? ??dek vyn?soben? -2. Ment?ln? nebo na draftu vyn?sob?me prvn? ??dek -2: (-2, -4, 2, -18). A d?sledn? prov?d?me (op?t ment?ln? nebo na n?vrhu) s??t?n?, k druh?mu ??dku p?id?me prvn? ??dek, ji? vyn?soben? -2:

V?sledek je zaps?n na druh?m ??dku:

Podobn? se zab?v?me t?et?m ??dkem (3, 2, -5, -1). Chcete-li z?skat nulu na prvn? pozici, pot?ebujete ke t?et?mu ??dku p?idejte prvn? ??dek vyn?soben? -3. Ment?ln? nebo na draftu vyn?sob?me prvn? ??dek -3: (-3, -6, 3, -27). A ke t?et?mu ??dku p?id?me prvn? ??dek vyn?soben? -3:

V?sledek je zaps?n na t?et?m ??dku:

V praxi se tyto akce obvykle prov?d?j? ?stn? a zapisuj? se v jednom kroku:

Nen? pot?eba po??tat v?e najednou a z?rove?. Po?ad? v?po?t? a "vkl?d?n?" v?sledk? konzistentn? a v?t?inou takto: nejprve p?ep??eme prvn? ??dek, a potichu se nafoukneme – D?SLEDN? a OPATRN?:


A ment?ln? pr?b?h samotn?ch v?po?t? jsem ji? zva?oval v??e.

V tomto p??kladu je to snadn?, vyd?l?me druh? ??dek -5 (proto?e v?echna ??sla jsou d?liteln? 5 beze zbytku). Z?rove? vyd?l?me t?et? ??dek -2, proto?e ??m men?? ??slo, t?m jednodu??? ?e?en?:

V kone?n? f?zi element?rn?ch transformac? je zde t?eba z?skat je?t? jednu nulu:

Pro tohle ke t?et?mu ??dku p?id?me druh? ??dek, vyn?soben? -2:


Pokuste se tuto akci analyzovat sami - v duchu vyn?sobte druh? ??dek -2 a prove?te s??t?n?.

Posledn? provedenou akc? je ??es v?sledku, vyd?lte t?et? ??dek 3.

V d?sledku element?rn?ch transformac? byl z?sk?n ekvivalentn? po??te?n? syst?m line?rn?ch rovnic:

Chladn?.

Nyn? p?ich?z? na ?adu obr?cen? pr?b?h Gaussovy metody. Rovnice se „odv?jej?“ zdola nahoru.

Ve t?et? rovnici ji? m?me hotov? v?sledek:

Pod?vejme se na druhou rovnici: . V?znam "z" je ji? zn?m, tak?e:

A nakonec prvn? rovnice: . "Y" a "Z" jsou zn?m?, z?le?itost je mal?:

Odpov?d?t:

Jak bylo opakovan? poznamen?no, u jak?koli soustavy rovnic je mo?n? a nutn? nalezen? ?e?en? zkontrolovat, na?t?st? to nen? obt??n? a rychl?.

P??klad 2

Toto je p??klad pro samo?e?en?, uk?zka dokon?en? a odpov?? na konci lekce.

Je t?eba poznamenat, ?e va?e postup se nemus? shodovat s m?m postupem, a to je vlastnost Gaussovy metody. Ale odpov?di mus? b?t stejn?!

P??klad 3

?e?te soustavu line?rn?ch rovnic pomoc? Gaussovy metody

Nap??eme roz???enou matici syst?mu a pomoc? element?rn?ch transformac? ji p?evedeme do stup?ovit?ho tvaru:

Pod?v?me se na lev? horn? "krok". Tam bychom m?li m?t jednotku. Probl?m je, ?e v prvn?m sloupci nejsou v?bec ??dn?, tak?e p?eskupen?m ??dk? se nic nevy?e??. V takov?ch p??padech mus? b?t jednotka organizov?na pomoc? element?rn? transformace. To lze obvykle prov?st n?kolika zp?soby. Ud?lal jsem to:
(1) K prvn?mu ??dku p?id?me druh? ??dek, vyn?soben? -1. To znamen?, ?e jsme v duchu vyn?sobili druh? ??dek -1 a provedli se?ten? prvn?ho a druh?ho ??dku, zat?mco druh? ??dek se nezm?nil.

Nyn? vlevo naho?e „m?nus jedna“, co? n?m naprosto vyhovuje. Kdo chce z?skat +1, m??e prov?st dal?? gesto: vyn?sobit prvn? ??dek ??slem -1 (zm?nit jeho znam?nko).

(2) Prvn? ??dek vyn?soben? 5 byl p?id?n ke druh?mu ??dku a prvn? ??dek vyn?soben? 3 byl p?id?n ke t?et?mu ??dku.

(3) Prvn? ??dek byl vyn?soben -1, v z?sad? je to pro kr?su. Znam?nko t?et?ho ??dku bylo tak? zm?n?no a p?esunuto na druh? m?sto, tak?e na druh?m „kroku jsme m?li po?adovanou jednotku.

(4) Druh? ??dek vyn?soben? 2 byl p?id?n ke t?et?mu ??dku.

(5) T?et? ?ada byla rozd?lena 3.

?patn?m znakem, kter? ozna?uje chybu ve v?po?tu (m?n? ?asto p?eklep), je „?patn?“ spodn? ??dek. To znamen?, ?e pokud m?me n?co jako n??e, a podle toho , pak lze s vysokou m?rou pravd?podobnosti tvrdit, ?e v pr?b?hu element?rn?ch transformac? do?lo k chyb?.

??tujeme zp?tn? pohyb, p?i n?vrhu p??klad? se ?asto nep?episuje samotn? syst?m a rovnice jsou „p?evzaty p??mo z dan? matice“. Zp?tn? pohyb, p?ipom?n?m, funguje zdola nahoru. Ano, tady je d?rek:

Odpov?d?t: .

P??klad 4

?e?te soustavu line?rn?ch rovnic pomoc? Gaussovy metody

Toto je p??klad pro nez?visl? ?e?en?, je pon?kud slo?it?j??. Nevad?, kdy? je n?kdo zmaten?. Kompletn? ?e?en? a uk?zka n?vrhu na konci lekce. Va?e ?e?en? se m??e li?it od m?ho.

V posledn? ??sti se zam???me na n?kter? vlastnosti Gaussova algoritmu.
Prvn? vlastnost? je, ?e n?kdy v rovnic?ch syst?mu chyb? n?kter? prom?nn?, nap??klad:

Jak spr?vn? zapsat roz???enou matici syst?mu? O tomto momentu jsem ji? mluvil v lekci. Cramerovo pravidlo. Maticov? metoda. V roz???en? matici syst?mu vlo??me nuly na m?sto chyb?j?c?ch prom?nn?ch:

Mimochodem, toto je docela snadn? p??klad, proto?e v prvn?m sloupci je ji? jedna nula a je pot?eba prov?st m?n? element?rn?ch transformac?.

Druh? vlastnost je toto. Ve v?ech uva?ovan?ch p??kladech jsme na „kroky“ um?stili bu? –1 nebo +1. Mohou existovat jin? ??sla? V n?kter?ch p??padech mohou. Zva?te syst?m: .

Zde na lev?m horn?m "kroku" m?me dvojku. V?imneme si ale faktu, ?e v?echna ??sla v prvn?m sloupci jsou beze zbytku d?liteln? 2 – a dal??mi dv?ma a ?esti. A ta dvojka vlevo naho?e n?m bude slu?et! V prvn?m kroku mus?te prov?st n?sleduj?c? transformace: p?idejte prvn? ??dek vyn?soben? -1 k druh?mu ??dku; ke t?et?mu ??dku p?idejte prvn? ??dek vyn?soben? -3. Dostaneme tak po?adovan? nuly v prvn?m sloupci.

Nebo jin? hypotetick? p??klad: . Zde se n?m hod? i trojka na druh? „p???ce“, proto?e 12 (m?sto, kde pot?ebujeme dostat nulu) je beze zbytku d?liteln? 3. Je nutn? prov?st n?sleduj?c? transformaci: ke t?et?mu ??dku p?idejte druh? ??dek, vyn?soben? -4, v d?sledku ?eho? z?sk?me nulu, kterou pot?ebujeme.

Gaussova metoda je univerz?ln?, ale m? jednu zvl??tnost. M??ete se sebev?dom? nau?it, jak ?e?it syst?my jin?mi metodami (Cramerova metoda, maticov? metoda) doslova od prvn? chv?le - existuje velmi rigidn? algoritmus. Ale abyste se c?tili jist? v Gaussov? metod?, m?li byste si „naplnit ruku“ a vy?e?it alespo? 5-10 syst?m?. Zpo??tku proto m??e doch?zet ke zmatk?m, chyb?m ve v?po?tech a nen? v tom nic neobvykl?ho ani tragick?ho.

De?tiv? podzimn? po?as? za oknem .... Proto pro v?echny slo?it?j?? p??klad pro samostatn? ?e?en?:

P??klad 5

Vy?e?te soustavu ?ty? line?rn?ch rovnic se ?ty?mi nezn?m?mi pomoc? Gaussovy metody.

Takov? ?kol v praxi nen? tak vz?cn?. Mysl?m, ?e i ?ajn?k, kter? tuto str?nku podrobn? prostudoval, rozum? algoritmu ?e?en? takov?ho syst?mu intuitivn?. V podstat? to sam? – jen v?ce akce.

P??pady, kdy syst?m nem? ?e?en? (nekonzistentn?) nebo m? nekone?n? mnoho ?e?en?, jsou zva?ov?ny v lekci Neslu?iteln? syst?my a syst?my s obecn?m ?e?en?m. Zde m??ete opravit uva?ovan? algoritmus Gaussovy metody.

P?eji ti ?sp?ch!

?e?en? a odpov?di:

P??klad 2: ?e?en? : Zapi?me si roz???enou matici soustavy a pomoc? element?rn?ch transformac? ji dove?me do stup?ovit? podoby.


Proveden? element?rn? transformace:
(1) Prvn? ??dek byl p?id?n k druh?mu ??dku, vyn?soben? -2. Prvn? ??dek byl p?id?n ke t?et?mu ??dku, vyn?soben? -1. Pozornost! Zde m??e b?t l?kav? ode??tat prvn? od t?et?ho ??dku, ode??t?n? d?razn? nedoporu?uji – riziko chyby se velmi zvy?uje. Prost? slo??me!
(2) Znam?nko druh?ho ??dku bylo zm?n?no (vyn?sobeno -1). Druh? a t?et? ??dek byly prohozeny. Pozn?mka?e na „stupn?ch“ se spokoj?me nejen s jedn?m, ale i s -1, co? je je?t? pohodln?j??.
(3) Ke t?et?mu ??dku p?idejte druh? ??dek vyn?soben? 5.
(4) Znam?nko druh?ho ??dku bylo zm?n?no (vyn?sobeno -1). T?et? ??dek byl rozd?len 14.

Zp?tn? pohyb:

Odpov?d?t: .

P??klad 4: ?e?en? : Nap??eme roz???enou matici syst?mu a pomoc? element?rn?ch transformac? ji p?evedeme do stup?ovit?ho tvaru:

Proveden? konverze:
(1) Druh? ??dek byl p?id?n k prvn?mu ??dku. Po?adovan? jednotka je tedy uspo??d?na v lev?m horn?m „kroku“.
(2) Ke druh?mu ??dku byl p?id?n prvn? ??dek vyn?soben? ??slem 7. Prvn? ??dek vyn?soben? ??slem 6 byl p?id?n ke t?et?mu ??dku.

S druh?m „krokem“ je v?e hor?? , "kandid?ty" na n?j jsou ??sla 17 a 23 a pot?ebujeme bu? jedni?ku, nebo -1. Transformace (3) a (4) budou zam??eny na z?sk?n? po?adovan? jednotky

(3) Druh? ??dek byl p?id?n ke t?et?mu ??dku, vyn?soben? -1.
(4) T?et? ??dek, vyn?soben? -3, byl p?id?n k druh?mu ??dku.
(3) Ke t?et?mu ??dku byl p?id?n druh? ??dek vyn?soben? 4. Druh? ??dek vyn?soben? -1 byl p?id?n ke ?tvrt?mu ??dku.
(4) Znam?nko druh?ho ??dku bylo zm?n?no. ?tvrt? ??dek byl rozd?len 3 a um?st?n m?sto t?et?ho ??dku.
(5) T?et? ??dek byl p?id?n ke ?tvrt?mu ??dku, vyn?soben? -5.

Zp?tn? pohyb: