z?kladn? vlastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

stejn? d?vody

log6 4 + log6 9.

Nyn? si ?kol trochu zkomplikujeme.

P??klady ?e?en? logaritm?

Co kdy? je v z?kladu nebo argumentu logaritmu stupe?? Potom lze exponent tohoto stupn? vyjmout ze znam?nka logaritmu podle n?sleduj?c?ch pravidel:

V?echna tato pravidla maj? samoz?ejm? smysl, pokud je dodr?en logaritmus ODZ: a > 0, a ? 1, x >

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

P?echod na nov? z?klad

Nech? je uveden logaritmus logax. Pak pro libovoln? ??slo c takov?, ?e c > 0 a c ? 1 plat? rovnost:

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

Viz tak?:

Z?kladn? vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, m??ete si prostudovat pravidlo: exponent je 2,7 a dvojn?sobek roku narozen? Lva Tolst?ho.

Z?kladn? vlastnosti logaritm?

Zn?te-li toto pravidlo, budete zn?t jak p?esnou hodnotu exponentu, tak datum narozen? Lva Tolst?ho.

P??klady pro logaritmy

Vezm?te logaritmus v?raz?

P??klad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podle vlastnost? 3,5 po??t?me

2.

3.

4. kde .

P??klad 2 Najd?te x if

P??klad 3. Nech? je uvedena hodnota logaritm?

Vypo??tejte log(x), pokud

Z?kladn? vlastnosti logaritm?

Logaritmy, jako ka?d? ??slo, lze s??tat, ode??tat a p?ev?d?t v?emi mo?n?mi zp?soby. Proto?e ale logaritmy nejsou ?pln? oby?ejn? ??sla, existuj? zde pravidla, kter? se naz?vaj? z?kladn? vlastnosti.

Tato pravidla mus? b?t zn?ma - bez nich nelze vy?e?it ??dn? v??n? logaritmick? probl?m. Nav?c je jich velmi m?lo – v?e se d? nau?it za jeden den. Poj?me tedy za??t.

S??t?n? a od??t?n? logaritm?

Uva?ujme dva logaritmy se stejn?m z?kladem: logax a logay. Pot? je lze s??tat a ode??tat a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Tak?e sou?et logaritm? se rovn? logaritmu sou?inu a rozd?l je logaritmus kvocientu. Pozn?mka: Kl??ov?m bodem je zde - stejn? d?vody. Pokud jsou z?klady odli?n?, tato pravidla nefunguj?!

Tyto vzorce pomohou vypo??tat logaritmick? v?raz, i kdy? nejsou uva?ov?ny jeho jednotliv? ??sti (viz lekce "Co je to logaritmus"). Pod?vejte se na p??klady a uvid?te:

Proto?e z?klady logaritm? jsou stejn?, pou?ijeme sou?tov? vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log2 48 - log2 3.

Z?klady jsou stejn?, pou?ijeme rozd?lov? vzorec:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log3 135 - log3 5.

Op?t plat?, ?e z?klady jsou stejn?, tak?e m?me:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vid?te, p?vodn? v?razy se skl?daj? ze "?patn?ch" logaritm?, kter? nejsou uva?ov?ny samostatn?. Ale po transformac?ch vyjdou docela norm?ln? ??sla. Mnoho test? je zalo?eno na t?to skute?nosti. Ano, kontrola - podobn? v?razy ve v?? v??nosti (n?kdy - prakticky beze zm?n) jsou nab?zeny u zkou?ky.

Odstran?n? exponentu z logaritmu

Je snadn? vid?t, ?e posledn? pravidlo n?sleduje jejich prvn? dv?. Ale stejn? je lep?? si to zapamatovat – v n?kter?ch p??padech to v?razn? sn??? mno?stv? v?po?t?.

V?echna tato pravidla maj? samoz?ejm? smysl p?i dodr?en? logaritmu ODZ: a > 0, a ? 1, x > 0. A je?t? n?co: nau?te se aplikovat v?echny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. m??ete zadat ??sla p?ed znam?nkem logaritmu do samotn?ho logaritmu. To je nej?ast?ji vy?adov?no.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log7 496.

Zbavme se stupn? v argumentu podle prvn?ho vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

V?imn?te si, ?e jmenovatel je logaritmus, jeho? z?kladem a argumentem jsou p?esn? mocniny: 16 = 24; 49 = 72. M?me:

Mysl?m, ?e posledn? p??klad pot?ebuje objasn?n?. Kam zmizely logaritmy? Do posledn? chv?le pracujeme pouze se jmenovatelem.

Vzorce logaritm?. Logaritmy jsou p??klady ?e?en?.

P?edlo?ili z?klad a argument tam stoj?c?ho logaritmu ve form? stup?? a vyjmuli ukazatele - dostali „t??patrov?“ zlomek.

Nyn? se pod?vejme na hlavn? zlomek. ?itatel a jmenovatel maj? stejn? ??slo: log2 7. Proto?e log2 7 ? 0, m??eme zlomek zmen?it - 2/4 z?stanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze ?ty?ku p?en?st do ?itatele, co? bylo provedeno. V?sledkem je odpov??: 2.

P?echod na nov? z?klad

Kdy? mluv?me o pravidlech pro s??t?n? a ode??t?n? logaritm?, konkr?tn? jsem zd?raznil, ?e pracuj? pouze se stejn?mi z?klady. Co kdy? jsou z?klady jin?? Co kdy? to nejsou p?esn? mocniny stejn?ho ??sla?

Na pomoc p?ich?zej? vzorce pro p?echod na novou z?kladnu. Formulujeme je ve form? v?ty:

Nech? je uveden logaritmus logax. Pak pro libovoln? ??slo c takov?, ?e c > 0 a c ? 1 plat? rovnost:

Konkr?tn?, pokud vlo??me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorce vypl?v?, ?e je mo?n? zam?nit z?klad a argument logaritmu, ale v tomto p??pad? je cel? v?raz „p?evr?cen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se z??dka vyskytuj? v b??n?ch ??seln?ch v?razech. Jejich v?hodnost lze vyhodnotit pouze p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic a nerovnic.

Existuj? v?ak ?koly, kter? nelze vy?e?it v?bec jinak ne? p?esunem do nov?ho z?kladu. Pod?vejme se na n?kolik z nich:

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log5 16 log2 25.

V?imn?te si, ?e argumenty obou logaritm? jsou p?esn? exponenty. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyn? oto?me druh? logaritmus:

Vzhledem k tomu, ?e se sou?in nem?n? permutac? faktor?, v klidu jsme vyn?sobili ?ty?i a dv? a pak vymysleli logaritmy.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log9 100 lg 3.

Z?kladem a argumentem prvn?ho logaritmu jsou p?esn? mocniny. Poj?me si to zapsat a zbavit se indik?tor?:

Nyn? se zbavme desetinn?ho logaritmu p?echodem na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procesu ?e?en? je ?asto vy?adov?no reprezentovat ??slo jako logaritmus k dan?mu z?kladu. V tomto p??pad? n?m pomohou vzorce:

V prvn?m p??pad? se ??slo n stane exponentem v argumentu. ??slo n m??e b?t naprosto cokoliv, proto?e je to jen hodnota logaritmu.

Druh? vzorec je vlastn? parafr?zovan? definice. Jmenuje se to takto:

Co se skute?n? stane, kdy? se ??slo b zv??? natolik, ?e ??slo b v tomto stupni d? ??slo a? Spr?vn?: toto je stejn? ??slo a. P?e?t?te si tento odstavec pozorn? znovu - mnoho lid? na n?m „vis?“.

Stejn? jako nov? z?kladn? p?evodn? vzorce je z?kladn? logaritmick? identita n?kdy jedin?m mo?n?m ?e?en?m.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

V?imn?te si, ?e log25 64 = log5 8 - pr?v? vyjmuli ?tverec ze z?kladny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidl?m pro n?soben? mocnin se stejn?m z?kladem dostaneme:

Pokud n?kdo nev?, byl to skute?n? ?kol z Jednotn? st?tn? zkou?ky ?

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?v?r uvedu dv? identity, kter? je obt??n? nazvat vlastnostmi – sp??e jde o d?sledky z definice logaritmu. Neust?le se nach?zej? v probl?mech a kupodivu vytv??ej? probl?my i „pokro?il?m“ student?m.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou prov?dy: logaritmus k libovoln?mu z?kladu a ze samotn?ho z?kladu je roven jedn?.
2. loga 1 = 0 je. Z?kladem a m??e b?t cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Proto?e a0 = 1 je p??m?m d?sledkem definice.

To jsou v?echny vlastnosti. Nezapome?te si je procvi?it v praxi! St?hn?te si cheat sheet na za??tku lekce, vytiskn?te si ho a vy?e?te probl?my.

Viz tak?:

Logaritmus ??sla b k z?kladu a ozna?uje v?raz. Vypo??tat logaritmus znamen? naj?t takovou mocninu x (), p?i kter? plat? rovnost

Z?kladn? vlastnosti logaritmu

V??e uveden? vlastnosti je t?eba zn?t, proto?e na jejich z?klad? jsou t?m?? v?echny probl?my a p??klady ?e?eny na z?klad? logaritm?. Zb?vaj?c? exotick? vlastnosti lze odvodit matematick?mi manipulacemi s t?mito vzorci

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

P?i v?po?tu vzorc? pro sou?et a rozd?l logaritm? (3.4) se setk?v?me pom?rn? ?asto. Zbytek je pon?kud slo?it?, ale v ?ad? ?loh je nepostradateln? pro zjednodu?en? slo?it?ch v?raz? a v?po?et jejich hodnot.

B??n? p??pady logaritm?

N?kter? z b??n?ch logaritm? jsou ty, ve kter?ch je z?klad dokonce deset, exponenci?ln? nebo dvojka.
Logaritmus z?kladu deset se obvykle naz?v? logaritmus z?kladu deset a je jednodu?e ozna?en lg(x).

Ze z?znamu je vid?t, ?e z?klady nejsou v z?znamu zaps?ny. Nap??klad

P?irozen? logaritmus je logaritmus, jeho? z?kladem je exponent (ozna?en? ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, m??ete si prostudovat pravidlo: exponent je 2,7 a dvojn?sobek roku narozen? Lva Tolst?ho. Zn?te-li toto pravidlo, budete zn?t jak p?esnou hodnotu exponentu, tak datum narozen? Lva Tolst?ho.

A dal?? d?le?it? logaritmus z?kladny dva je

Derivace logaritmu funkce je rovna jedn? d?len? prom?nnou

Integr?ln? nebo primitivn? logaritmus je ur?en z?vislost?

V??e uveden? materi?l v?m posta?? k ?e?en? ?irok? t??dy probl?m? souvisej?c?ch s logaritmy a logaritmy. Pro asimilaci materi?lu uvedu jen n?kolik b??n?ch p??klad? ze ?koln?ch osnov a univerzit.

P??klady pro logaritmy

Vezm?te logaritmus v?raz?

P??klad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podle vlastnost? 3,5 po??t?me

2.
Podle rozd?lov? vlastnosti logaritm? m?me

3.
Pomoc? vlastnost? 3.5 najdeme

4. kde .

Zd?nliv? slo?it? v?raz vyu??vaj?c? ?adu pravidel je zjednodu?en do formul??e

Nalezen? logaritmick?ch hodnot

P??klad 2 Najd?te x if

?e?en?. Pro v?po?et pou?ijeme vlastnosti 5 a 13 a? do posledn?ho ?lenu

N?hradn?k v z?znamu a truchlit

Proto?e se z?klady rovnaj?, d?v?me rovn?tko mezi v?razy

Logaritmy. Prvn? ?rove?.

Nech? je uvedena hodnota logaritm?

Vypo??tejte log(x), pokud

?e?en?: Vezm?te logaritmus prom?nn? k z?pisu logaritmu p?es sou?et ?len?

Toto je jen za??tek sezn?men? s logaritmy a jejich vlastnostmi. Procvi?te si v?po?ty, oboha?te sv? praktick? dovednosti – z?skan? znalosti budete brzy pot?ebovat k ?e?en? logaritmick?ch rovnic. Po prostudov?n? z?kladn?ch metod ?e?en? takov?ch rovnic roz????me va?e znalosti o dal?? nem?n? d?le?it? t?ma - logaritmick? nerovnosti ...

Z?kladn? vlastnosti logaritm?

Logaritmy, jako ka?d? ??slo, lze s??tat, ode??tat a p?ev?d?t v?emi mo?n?mi zp?soby. Proto?e ale logaritmy nejsou ?pln? oby?ejn? ??sla, existuj? zde pravidla, kter? se naz?vaj? z?kladn? vlastnosti.

Tato pravidla mus? b?t zn?ma - bez nich nelze vy?e?it ??dn? v??n? logaritmick? probl?m. Nav?c je jich velmi m?lo – v?e se d? nau?it za jeden den. Poj?me tedy za??t.

S??t?n? a od??t?n? logaritm?

Uva?ujme dva logaritmy se stejn?m z?kladem: logax a logay. Pot? je lze s??tat a ode??tat a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Tak?e sou?et logaritm? se rovn? logaritmu sou?inu a rozd?l je logaritmus kvocientu. Pozn?mka: Kl??ov?m bodem je zde - stejn? d?vody. Pokud jsou z?klady odli?n?, tato pravidla nefunguj?!

Tyto vzorce pomohou vypo??tat logaritmick? v?raz, i kdy? nejsou uva?ov?ny jeho jednotliv? ??sti (viz lekce "Co je to logaritmus"). Pod?vejte se na p??klady a uvid?te:

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log6 4 + log6 9.

Proto?e z?klady logaritm? jsou stejn?, pou?ijeme sou?tov? vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log2 48 - log2 3.

Z?klady jsou stejn?, pou?ijeme rozd?lov? vzorec:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log3 135 - log3 5.

Op?t plat?, ?e z?klady jsou stejn?, tak?e m?me:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vid?te, p?vodn? v?razy se skl?daj? ze "?patn?ch" logaritm?, kter? nejsou uva?ov?ny samostatn?. Ale po transformac?ch vyjdou docela norm?ln? ??sla. Mnoho test? je zalo?eno na t?to skute?nosti. Ano, kontrola - podobn? v?razy ve v?? v??nosti (n?kdy - prakticky beze zm?n) jsou nab?zeny u zkou?ky.

Odstran?n? exponentu z logaritmu

Nyn? si ?kol trochu zkomplikujeme. Co kdy? je v z?kladu nebo argumentu logaritmu stupe?? Potom lze exponent tohoto stupn? vyjmout ze znam?nka logaritmu podle n?sleduj?c?ch pravidel:

Je snadn? vid?t, ?e posledn? pravidlo n?sleduje jejich prvn? dv?. Ale stejn? je lep?? si to zapamatovat – v n?kter?ch p??padech to v?razn? sn??? mno?stv? v?po?t?.

V?echna tato pravidla maj? samoz?ejm? smysl p?i dodr?en? logaritmu ODZ: a > 0, a ? 1, x > 0. A je?t? n?co: nau?te se aplikovat v?echny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. m??ete zadat ??sla p?ed znam?nkem logaritmu do samotn?ho logaritmu.

Jak ?e?it logaritmy

To je nej?ast?ji vy?adov?no.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log7 496.

Zbavme se stupn? v argumentu podle prvn?ho vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

V?imn?te si, ?e jmenovatel je logaritmus, jeho? z?kladem a argumentem jsou p?esn? mocniny: 16 = 24; 49 = 72. M?me:

Mysl?m, ?e posledn? p??klad pot?ebuje objasn?n?. Kam zmizely logaritmy? Do posledn? chv?le pracujeme pouze se jmenovatelem. P?edlo?ili z?klad a argument tam stoj?c?ho logaritmu ve form? stup?? a vyjmuli ukazatele - dostali „t??patrov?“ zlomek.

Nyn? se pod?vejme na hlavn? zlomek. ?itatel a jmenovatel maj? stejn? ??slo: log2 7. Proto?e log2 7 ? 0, m??eme zlomek zmen?it - 2/4 z?stanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze ?ty?ku p?en?st do ?itatele, co? bylo provedeno. V?sledkem je odpov??: 2.

P?echod na nov? z?klad

Kdy? mluv?me o pravidlech pro s??t?n? a ode??t?n? logaritm?, konkr?tn? jsem zd?raznil, ?e pracuj? pouze se stejn?mi z?klady. Co kdy? jsou z?klady jin?? Co kdy? to nejsou p?esn? mocniny stejn?ho ??sla?

Na pomoc p?ich?zej? vzorce pro p?echod na novou z?kladnu. Formulujeme je ve form? v?ty:

Nech? je uveden logaritmus logax. Pak pro libovoln? ??slo c takov?, ?e c > 0 a c ? 1 plat? rovnost:

Konkr?tn?, pokud vlo??me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorce vypl?v?, ?e je mo?n? zam?nit z?klad a argument logaritmu, ale v tomto p??pad? je cel? v?raz „p?evr?cen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se z??dka vyskytuj? v b??n?ch ??seln?ch v?razech. Jejich v?hodnost lze vyhodnotit pouze p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic a nerovnic.

Existuj? v?ak ?koly, kter? nelze vy?e?it v?bec jinak ne? p?esunem do nov?ho z?kladu. Pod?vejme se na n?kolik z nich:

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log5 16 log2 25.

V?imn?te si, ?e argumenty obou logaritm? jsou p?esn? exponenty. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyn? oto?me druh? logaritmus:

Vzhledem k tomu, ?e se sou?in nem?n? permutac? faktor?, v klidu jsme vyn?sobili ?ty?i a dv? a pak vymysleli logaritmy.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log9 100 lg 3.

Z?kladem a argumentem prvn?ho logaritmu jsou p?esn? mocniny. Poj?me si to zapsat a zbavit se indik?tor?:

Nyn? se zbavme desetinn?ho logaritmu p?echodem na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procesu ?e?en? je ?asto vy?adov?no reprezentovat ??slo jako logaritmus k dan?mu z?kladu. V tomto p??pad? n?m pomohou vzorce:

V prvn?m p??pad? se ??slo n stane exponentem v argumentu. ??slo n m??e b?t naprosto cokoliv, proto?e je to jen hodnota logaritmu.

Druh? vzorec je vlastn? parafr?zovan? definice. Jmenuje se to takto:

Co se skute?n? stane, kdy? se ??slo b zv??? natolik, ?e ??slo b v tomto stupni d? ??slo a? Spr?vn?: toto je stejn? ??slo a. P?e?t?te si tento odstavec pozorn? znovu - mnoho lid? na n?m „vis?“.

Stejn? jako nov? z?kladn? p?evodn? vzorce je z?kladn? logaritmick? identita n?kdy jedin?m mo?n?m ?e?en?m.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

V?imn?te si, ?e log25 64 = log5 8 - pr?v? vyjmuli ?tverec ze z?kladny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidl?m pro n?soben? mocnin se stejn?m z?kladem dostaneme:

Pokud n?kdo nev?, byl to skute?n? ?kol z Jednotn? st?tn? zkou?ky ?

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?v?r uvedu dv? identity, kter? je obt??n? nazvat vlastnostmi – sp??e jde o d?sledky z definice logaritmu. Neust?le se nach?zej? v probl?mech a kupodivu vytv??ej? probl?my i „pokro?il?m“ student?m.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou prov?dy: logaritmus k libovoln?mu z?kladu a ze samotn?ho z?kladu je roven jedn?.
2. loga 1 = 0 je. Z?kladem a m??e b?t cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Proto?e a0 = 1 je p??m?m d?sledkem definice.

To jsou v?echny vlastnosti. Nezapome?te si je procvi?it v praxi! St?hn?te si cheat sheet na za??tku lekce, vytiskn?te si ho a vy?e?te probl?my.

Za?n?me s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulace je n?sleduj?c?: logaritmus jednoty je roven nule, tj. log a 1=0 pro libovoln? a>0, a?1. D?kaz je p??mo?ar?: proto?e a 0 =1 pro jak?koli a, kter? spl?uje v??e uveden? podm?nky a>0 a a?1 , pak dok?zan? rovnost log a 1=0 okam?it? vypl?v? z definice logaritmu.

Uve?me p??klady pou?it? uva?ovan? vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Poj?me k dal?? vlastnosti: logaritmus ??sla rovn?ho z?kladu je roven jedn?, to znamen?, log a a=1 pro a>0, a?1. Proto?e a 1 =a pro libovoln? a , pak podle definice logaritmu log a a=1 .

P??klady pou?it? t?to vlastnosti logaritm? jsou log 5 5=1 , log 5,6 5,6 a lne=1 .

Nap??klad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus sou?inu dvou kladn?ch ??sel x a y se rovn? sou?inu logaritm? t?chto ??sel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a?1. Doka?me vlastnost logaritmu sou?inu. Vzhledem k vlastnostem stupn? a log a x+log a y =a log a x a log a y a proto?e podle hlavn? logaritmick? identity log a x =x a log a y = y , pak log a x a log a y =x y . Tedy log a x+log a y =x y , odkud po?adovan? rovnost vypl?v? z definice logaritmu.

Uka?me si p??klady pou?it? vlastnosti logaritmu sou?inu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnost logaritmu sou?inu lze zobecnit na sou?in kone?n?ho po?tu n kladn?ch ??sel x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tato rovnost se d? snadno dok?zat.

Nap??klad p?irozen? logaritmus sou?inu lze nahradit sou?tem t?? p?irozen?ch logaritm? ??sel 4 , e a .

Logaritmus pod?lu dvou kladn?ch ??sel x a y se rovn? rozd?lu mezi logaritmy t?chto ??sel. Vlastnost logaritmus pod?lu odpov?d? vzorci ve tvaru , kde a>0 , a?1 , x a y jsou kladn? ??sla. Platnost tohoto vzorce je dok?z?na jako vzorec pro logaritmus sou?inu: od , pak podle definice logaritmu .

Zde je p??klad pou?it? t?to vlastnosti logaritmu: .

Poj?me k vlastnost logaritmu stupn?. Logaritmus stupn? se rovn? sou?inu exponentu a logaritmu modulu b?ze tohoto stupn?. Tuto vlastnost logaritmu stupn? zap??eme ve form? vzorce: log a b p =p log a |b|, kde a>0, a?1, b a p jsou ??sla takov?, ?e stupe? b p d?v? smysl a b p >0 .

Tuto vlastnost nejprve prok??eme pro kladn? b . Z?kladn? logaritmick? identita n?m umo??uje reprezentovat ??slo b jako log a b , pak b p = (a log a b) p a v?sledn? v?raz je d?ky mocninn? vlastnosti roven a p log a b . Dost?v?me se tedy k rovnosti b p =a p log a b , z ?eho? podle definice logaritmu usuzujeme, ?e log a b p =p log a b .

Zb?v? dok?zat tuto vlastnost pro z?porn? b . Zde si v?imneme, ?e v?raz log a b p pro z?porn? b m? smysl pouze pro sud? exponenty p (proto?e hodnota stupn? b p mus? b?t v?t?? ne? nula, jinak logaritmus ned?v? smysl) a v tomto p??pad? b p =|b| p . Pak b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkud log a b p =p log a |b| .

Nap??klad, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vypl?v? to z p?edchoz? vlastnosti vlastnost logaritmu od ko?ene: logaritmus odmocniny n-t?ho stupn? se rovn? sou?inu zlomku 1/n a logaritmu ko?enov?ho v?razu, tzn. , kde a>0 , a?1 , n je p?irozen? ??slo v?t?? ne? jedna, b>0 .

D?kaz je zalo?en na rovnosti (viz ), kter? plat? pro ka?d? kladn? b , a na vlastnosti logaritmu stupn?: .

Zde je p??klad pou?it? t?to vlastnosti: .

Nyn? doka?me p?evodn? vzorec na nov? z?klad logaritmu druh . K tomu sta?? dok?zat platnost logu rovnosti c b=log a b log c a . Z?kladn? logaritmick? identita n?m umo??uje reprezentovat ??slo b jako log a b , pak log c b=log c a log a b . Zb?v? pou??t vlastnost logaritmu stupn?: log c a log a b = log a b log c a. T?m je dok?z?na rovnost log c b=log a b log c a, co? znamen?, ?e je dok?z?n i vzorec pro p?echod na nov? z?klad logaritmu.

Uka?me si n?kolik p??klad? pou?it? t?to vlastnosti logaritm?: a .

Vzorec pro p?echod na nov? z?klad v?m umo??uje p?ej?t k pr?ci s logaritmy, kter? maj? „pohodln?“ z?klad. Lze jej nap??klad pou??t k p?epnut? na p?irozen? nebo desetinn? logaritmy, abyste mohli vypo??tat hodnotu logaritmu z tabulky logaritm?. Vzorec pro p?echod na nov? z?klad logaritmu tak? umo??uje v n?kter?ch p??padech naj?t hodnotu dan?ho logaritmu, kdy? jsou zn?my hodnoty n?kter?ch logaritm? s jin?mi z?klady.

?asto se pou??v? speci?ln? p??pad vzorce pro p?echod na nov? z?klad logaritmu pro c=b tvaru . To ukazuje, ?e log a b a log b a – . Nap??klad, .

?asto se tak? pou??v? vzorec , co? je u?ite?n? pro nalezen? logaritmick?ch hodnot. Pro potvrzen? na?ich slov si uk??eme, jak se pomoc? n?j vypo??t? hodnota logaritmu formul??e. My m?me . Dok?zat vzorec sta?? pou??t p?echodov? vzorec na nov? z?klad logaritmu a: .

Zb?v? dok?zat srovn?vac? vlastnosti logaritm?.

Doka?me, ?e pro v?echna kladn? ??sla b 1 a b 2 plat? b 1 log a b 2 a pro a> 1 nerovnost log a b 1 =a log a b 2 , откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b 1 >=b 2 . Так мы получили противоречие условию b 1

Nakonec zb?v? dok?zat posledn? z uveden?ch vlastnost? logaritm?. Omez?me se na d?kaz jeho prvn? ??sti, to znamen?, ?e dok??eme, ?e pokud a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je true log a 1 b>log a 2 b . Zb?vaj?c? tvrzen? t?to vlastnosti logaritm? jsou dok?z?na podobn?m principem.

Pou?ijme opa?nou metodu. P?edpokl?dejme, ?e pro a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 =log a 2 b , а при b>1 log a 1 b<=log a 2 b je pravda. Pomoc? vlastnost? logaritm? lze tyto nerovnosti p?epsat jako a v uveden?m po?ad? a z nich vypl?v?, ?e log b a 1 <= log b a 2 a log b a 1 >= log b a 2, v tomto po?ad?. Potom vlastnostmi mocnin se stejn?mi b?zemi mus? b?t spln?ny rovnosti b log b a 1 >=b log b a 2 a b log b a 1 >=b log b a 2, tedy a 1 >=a 2 . T?m jsme dosp?li k rozporu s podm?nkou a 1

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a dal?? Algebra a po??tky anal?zy: u?ebnice pro ro?n?ky 10-11 v?eobecn? vzd?l?vac?ch instituc?.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (p??ru?ka pro uchaze?e o technick? ?koly).

Ve vztahu k

lze nastavit ?kol naj?t kter?koli ze t?? ??sel z ostatn?ch dvou zadan?ch. Dan? a a pak N se najde umocn?n?m. Pokud je d?no N a pak a je nalezeno extrakc? odmocniny x (nebo umocn?n?). Nyn? zva?te p??pad, kdy je za dan?ch a a N pot?eba naj?t x.

Nech? ??slo N je kladn?: ??slo a je kladn? a nerovn? se jedn?: .

Definice. Logaritmus ??sla N k z?kladu a je exponent, na kter? mus?te zv??it a, abyste dostali ??slo N; logaritmus je ozna?en

V rovnosti (26.1) je tedy exponent nalezen jako logaritmus N k z?kladu a. P??sp?vky

maj? stejn? v?znam. Rovnost (26.1) je n?kdy naz?v?na z?kladn? identitou teorie logaritm?; ve skute?nosti vyjad?uje definici pojmu logaritmus. Podle t?to definice je z?klad logaritmu a v?dy kladn? a odli?n? od jednoty; logaritmovateln? ??slo N je kladn?. Z?porn? ??sla a nula nemaj? logaritmy. Lze dok?zat, ?e jak?koli ??slo s dan?m z?kladem m? dob?e definovan? logaritmus. Rovnost tedy znamen? . V?imn?te si, ?e podm?nka je zde z?sadn?, jinak by z?v?r nebyl opr?vn?n?, proto?e rovnost plat? pro v?echny hodnoty x a y.

P??klad 1. Najd?te

?e?en?. Chcete-li z?skat ??slo, mus?te zv??it z?klad 2 na s?lu Proto.

P?i ?e?en? takov?ch p??klad? m??ete zaznamenat v n?sleduj?c?m formul??i:

P??klad 2. Najd?te .

?e?en?. My m?me

V p??kladech 1 a 2 jsme snadno na?li po?adovan? logaritmus reprezentov?n?m logaritmovateln?ho ??sla jako stupn? z?kladu s racion?ln?m exponentem. V obecn?m p??pad?, nap??klad pro atd., to nelze prov?st, proto?e logaritmus m? iracion?ln? hodnotu. V?nujme pozornost jedn? ot?zce souvisej?c? s t?mto tvrzen?m. V § 12 jsme uvedli koncept mo?nosti ur?en? libovoln? re?ln? mocniny dan?ho kladn?ho ??sla. To bylo nezbytn? pro zaveden? logaritm?, co? obecn? mohou b?t iracion?ln? ??sla.

Zva?te n?kter? vlastnosti logaritm?.

Vlastnost 1. Jsou-li ??slo a z?klad rovny, pak je logaritmus roven jedn?, a naopak, je-li logaritmus roven jedn?, pak se ??slo a z?klad rovnaj?.

D?kaz. Nechat Podle definice logaritmu, m?me a odkud

Naopak, nechejte Pak podle definice

Vlastnost 2. Logaritmus jednoty k libovoln?mu z?kladu je roven nule.

D?kaz. Podle definice logaritmu (nulov? mocnina libovoln? kladn? b?ze je rovna jedn?, viz (10.1)). Odtud

Q.E.D.

Plat? i obr?cen? tvrzen?: jestli?e , pak N = 1. Opravdu, m?me .

Ne? uvedeme n?sleduj?c? vlastnost logaritm?, souhlas?me s t?m, ?e dv? ??sla a a b le?? na stejn? stran? t?et?ho ??sla c, pokud jsou ob? v?t?? ne? c nebo men?? ne? c. Pokud je jedno z t?chto ??sel v?t?? ne? c a druh? men?? ne? c, pak ??k?me, ?e le?? na opa?n?ch stran?ch c.

Vlastnost 3. Le??-li ??slo a z?kladna na stejn? stran? jednoty, pak je logaritmus kladn?; jestli?e ??slo a z?klad le?? na opa?n?ch stran?ch jednoty, pak je logaritmus z?porn?.

D?kaz vlastnosti 3 je zalo?en na skute?nosti, ?e stupe? a je v?t?? ne? jedna, pokud je z?klad v?t?? ne? jedna a exponent je kladn?, nebo je z?klad men?? ne? jedna a exponent je z?porn?. Stupe? je men?? ne? jedna, pokud je z?klad v?t?? ne? jedna a exponent je z?porn?, nebo je z?klad men?? ne? jedna a exponent je kladn?.

V ?vahu p?ipadaj? ?ty?i p??pady:

Omez?me se na rozbor prvn?ho z nich, zbytek u? si ?ten?? zv??? s?m.

Nech? tedy exponent v rovnosti nen? ani z?porn?, ani roven nule, je tedy kladn?, tj. kter? bylo t?eba dok?zat.

P??klad 3. Zjist?te, kter? z n?sleduj?c?ch logaritm? jsou kladn? a kter? z?porn?:

?e?en?, a) proto?e ??slo 15 a z?kladna 12 jsou um?st?ny na stejn? stran? jednotky;

b) , proto?e 1000 a 2 jsou um?st?ny na stejn? stran? jednotky; z?rove? nen? podstatn?, ?e z?klad je v?t?? ne? logaritmick? ??slo;

c), proto?e 3,1 a 0,8 le?? na opa?n?ch stran?ch jednoty;

G); pro??

e) ; pro??

N?sleduj?c? vlastnosti 4-6 se ?asto naz?vaj? logaritmick? pravidla: umo??uj? p?i znalosti logaritm? n?kter?ch ??sel naj?t logaritmy jejich sou?inu, kvocient, stupe? ka?d?ho z nich.

Vlastnost 4 (pravidlo pro logaritmus sou?inu). Logaritmus sou?inu n?kolika kladn?ch ??sel v dan?m z?kladu se rovn? sou?tu logaritm? t?chto ??sel ve stejn?m z?kladu.

D?kaz. Nech? jsou uvedena kladn? ??sla.

Pro logaritmus jejich sou?inu nap??eme rovnost (26.1) definuj?c? logaritmus:

Odtud najdeme

Porovn?n?m exponent? prvn?ho a posledn?ho v?razu z?sk?me po?adovanou rovnost:

V?imn?te si, ?e podm?nka je z?sadn?; logaritmus sou?inu dvou z?porn?ch ??sel d?v? smysl, ale v tomto p??pad? dostaneme

Obecn? plat?, ?e pokud je sou?in n?kolika faktor? kladn?, pak se jeho logaritmus rovn? sou?tu logaritm? modul? t?chto faktor?.

Vlastnost 5 (pravidlo kvocientov?ho logaritmu). Logaritmus pod?lu kladn?ch ??sel se rovn? rozd?lu mezi logaritmy d?li?e a d?litele, br?no ve stejn?m z?kladu. D?kaz. D?sledn? naj?t

Q.E.D.

Vlastnost 6 (pravidlo logaritmu stupn?). Logaritmus mocniny libovoln?ho kladn?ho ??sla se rovn? logaritmu tohoto ??sla kr?t exponent.

D?kaz. Pro ??slo op?t nap??eme hlavn? identitu (26.1):

Q.E.D.

N?sledek. Logaritmus odmocniny kladn?ho ??sla se rovn? logaritmu ko?enov?ho ??sla d?len?ho exponentem odmocniny:

Platnost tohoto d?sledku m??eme dok?zat t?m, ?e p?edlo??me jak a pou?ijeme vlastnost 6.

P??klad 4. Logaritmus se z?kladem a:

a) (p?edpokl?d? se, ?e v?echny hodnoty b, c, d, e jsou kladn?);

b) (p?edpokl?d? se, ?e ).

?e?en? a) Je vhodn? tento v?raz p?ev?st na zlomkov? mocniny:

Na z?klad? rovnosti (26,5)-(26,7) nyn? m??eme napsat:

V?imli jsme si, ?e s logaritmy ??sel se prov?d?j? jednodu??? operace ne? s ??sly samotn?mi: p?i n?soben? ??sel se jejich logaritmy s??taj?, p?i d?len? se ode??taj? atd.

Proto se ve v?po?etn? praxi pou??vaj? logaritmy (viz kap. 29).

Akce inverzn? k logaritmu se naz?v? potenciace, jmenovit?: potenciace je akce, p?i kter? je toto ??slo samo nalezeno dan?m logaritmem ??sla. V podstat? potenciace nen? ??dn? speci?ln? akce: jde o zv??en? z?kladny na mocninu (rovnou logaritmu ??sla). Pojem "zesilov?n?" lze pova?ovat za synonymum s pojmem "umoc?ov?n?".

P?i potenciaci je nutn? pou??t pravidla, kter? jsou inverzn? k pravidl?m logaritmu: nahradit sou?et logaritm? logaritmem sou?inu, rozd?l logaritm? logaritmem kvocientu atd. Zejm?na pokud existuje libovoln? faktor p?ed znam?nkem logaritmu, pak se mus? p?i potenciaci p?en?st na stupn? indik?toru pod znam?nkem logaritmu.

P??klad 5. Najd?te N, pokud je to zn?mo

?e?en?. V souvislosti s pr?v? uveden?m potencia?n?m pravidlem se faktory 2/3 a 1/3, kter? jsou p?ed znam?nky logaritm? na prav? stran? t?to rovnosti, p?enesou na exponenty pod znam?nky t?chto logaritm?; dostaneme

Nyn? nahrad?me rozd?l logaritm? logaritmem kvocientu:

abychom z?skali posledn? zlomek v tomto ?et?zci rovnosti, osvobodili jsme p?edchoz? zlomek od iracionality ve jmenovateli (??st 25).

Vlastnost 7. Pokud je z?klad v?t?? ne? jedna, pak v?t?? ??slo m? v?t?? logaritmus (a men?? m? men??), pokud je z?klad men?? ne? jedna, pak v?t?? ??slo m? men?? logaritmus (a men?? jeden m? v?t??).

Tato vlastnost je tak? formulov?na jako pravidlo pro logaritmus nerovnost?, jejich? ob? ??sti jsou kladn?:

P?i logaritmov?n? nerovnic se z?kladem v?t??m ne? jedna se zachov? znam?nko nerovnosti a p?i logaritmov?n? se z?kladem men??m ne? jedna se znam?nko nerovnosti obr?t? (viz tak? bod 80).

D?kaz je zalo?en na vlastnostech 5 a 3. Uva?ujme p??pad, kdy If , then a s logaritmov?n?m dostaneme

(a a N/M le?? na stejn? stran? jednoty). Odtud

Pokud bude n?sledovat, ?ten?? na to p?ijde s?m.

Jedn?m z prvk? primitivn? algebry ?rovn? je logaritmus. N?zev poch?z? z ?e?tiny ze slova „??slo“ nebo „stupe?“ a znamen? stupe?, o kter? je nutn? zv??it ??slo na z?kladn?, abychom na?li kone?n? ??slo.

Typy logaritm?

• log a b je logaritmus ??sla b k z?kladu a (a > 0, a ? 1, b > 0);
• lg b - dekadick? logaritmus (logaritmus z?klad 10, a = 10);
• ln b - p?irozen? logaritmus (z?klad logaritmu e, a = e).

Jak ?e?it logaritmy?

Logaritmus ??sla b k z?kladu a je exponent, kter? vy?aduje, aby z?klad a byl zv??en na ??slo b. V?sledek se vyslovuje takto: „logaritmus b na z?kladnu a“. ?e?en?m logaritmick?ch probl?m? je, ?e mus?te ur?it dan? stupe? ??sly podle zadan?ch ??sel. Existuje n?kolik z?kladn?ch pravidel pro ur?en? nebo ?e?en? logaritmu, stejn? jako pro transformaci samotn?ho z?pisu. Pomoc? nich se ?e?? logaritmick? rovnice, nal?zaj? se derivace, ?e?? integr?ly a prov?d? se mnoho dal??ch operac?. ?e?en?m samotn?ho logaritmu je v podstat? jeho zjednodu?en? z?pis. N??e jsou uvedeny hlavn? vzorce a vlastnosti:

Pro jak?koli a; a > 0; a ? 1 a pro libovoln? x; y > 0.

• a log a b = b je z?kladn? logaritmick? identita
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pro k ? 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - vzorec pro p?echod na nov? z?klad
• log a x = 1/log x a

Jak ?e?it logaritmy - pokyny pro ?e?en? krok za krokem

• Nejprve si zapi?te po?adovanou rovnici.

Pozn?mka: pokud je z?kladn? logaritmus 10, pak se z?znam zkr?t? a z?sk? se desetinn? logaritmus. Existuje-li p?irozen? ??slo e, pak zapisujeme a redukujeme na p?irozen? logaritmus. Znamen? to, ?e v?sledkem v?ech logaritm? je mocnina, na kterou je z?kladn? ??slo umocn?no, aby bylo z?sk?no ??slo b.

P??mo ?e?en? spo??v? ve v?po?tu tohoto stupn?. P?ed ?e?en?m v?razu s logaritmem je nutn? jej zjednodu?it podle pravidla, tedy pomoc? vzorc?. Hlavn? identity najdete tak, ?e se v ?l?nku vr?t?te trochu zp?t.

P?i s??t?n? a od??t?n? logaritm? se dv?ma r?zn?mi ??sly, ale se stejn?m z?kladem, nahra?te jedin?m logaritmem sou?in nebo d?len? ??sel b a c, v tomto po?ad?. V tomto p??pad? m??ete pou??t p?echodov? vzorec na jin? z?klad (viz v??e).

Pokud pou??v?te v?razy pro zjednodu?en? logaritmu, je t?eba si uv?domit ur?it? omezen?. A to je: z?klad logaritmu a je pouze kladn? ??slo, ale ne rovno jedn?. ??slo b, stejn? jako a, mus? b?t v?t?? ne? nula.

Existuj? p??pady, kdy po zjednodu?en? v?razu nebudete schopni vypo??tat logaritmus v ??seln? podob?. St?v? se, ?e takov? v?raz ned?v? smysl, proto?e mnoho stup?? jsou iracion?ln? ??sla. Za t?to podm?nky ponechte mocninu ??sla jako logaritmus.

(z ?eck?ho logos - "slovo", "vztah" a ?rithmos - "??slo") b podle rozumu A(log a b) se takov? ??slo naz?v? C, a b= a c, tedy log a b=C a b=aC jsou ekvivalentn?. Logaritmus m? smysl, pokud a > 0, a ? 1, b > 0.

Jin?mi slovy logaritmus??sla b podle rozumu A formulov?n jako exponent, na kter? mus? b?t ??slo zv??eno A z?skat ??slo b(logaritmus existuje pouze pro kladn? ??sla).

Z t?to formulace vypl?v?, ?e v?po?et x= log a b, je ekvivalentn? ?e?en? rovnice a x =b.

Nap??klad:

log 2 8 = 3 proto?e 8=2 3 .

Upozor?ujeme, ?e uveden? formulace logaritmu umo??uje okam?it? ur?it logaritmickou hodnotu kdy? ??slo pod znam?nkem logaritmu je ur?it? mocnina z?kladu. Formulace logaritmu skute?n? umo??uje ospravedlnit, ?e pokud b=a c, pak logaritmus ??sla b podle rozumu A rovn? se S. Je tak? z?ejm?, ?e t?ma logaritmu s t?matem ?zce souvis? stupe? ??sla.

Odkazuje se na v?po?et logaritmu logaritmus. Logaritmus je matematick? operace logaritmu. P?i logaritmov?n? se sou?iny faktor? p?ev?d?j? na sou?ty ?len?.

Zesilov?n? je matematick? operace inverzn? k logaritmu. P?i potenciaci je dan? z?klad pov??en na s?lu v?razu, na kter?m je potenciace provedena. V tomto p??pad? se sou?ty ?len? transformuj? na sou?in faktor?.

Pom?rn? ?asto se pou??vaj? re?ln? logaritmy se z?klady 2 (bin?rn?), e Eulerov?m ??slem e ? 2,718 (p?irozen? logaritmus) a 10 (des?tkov?).

V t?to f?zi to stoj? za zv??en? uk?zky logaritm? log 7 2 , ln ? 5, lg0,0001.

A polo?ky lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 ned?vaj? smysl, proto?e v prvn?m z nich je pod znam?nkem logaritmu um?st?no z?porn? ??slo, ve druh?m - z?porn? ??slo v z?klad a ve t?et?m - a z?porn? ??slo pod znam?nkem logaritmu a jednotky v z?kladu.

Podm?nky pro ur?en? logaritmu.

Samostatn? stoj? za zv??en? podm?nek a > 0, a ? 1, b > 0. definice logaritmu. Pod?vejme se, pro? jsou tato omezen? p?ijata. To n?m pom??e s rovnost? tvaru x = log a b, naz?van? z?kladn? logaritmick? identita, kter? p??mo vypl?v? z v??e uveden? definice logaritmu.

Vezm?te podm?nku a?1. Proto?e jedna se rovn? jedn? jak?koli mocnin?, pak rovnost x=log a b m??e existovat pouze tehdy b=1, ale log 1 1 bude libovoln? re?ln? ??slo. Abychom tuto nejednozna?nost odstranili, bereme a?1.

Doka?me nezbytnost podm?nky a>0. V a=0 podle formulace logaritmu m??e existovat pouze tehdy, kdy? b=0. A pak podle toho log 0 0 m??e b?t libovoln? nenulov? re?ln? ??slo, proto?e nula a? jak?koli nenulov? mocnina je nula. K odstran?n? t?to nejednozna?nosti podm?nka a?0. A kdy A<0 museli bychom odm?tnout anal?zu racion?ln?ch a iracion?ln?ch hodnot logaritmu, proto?e exponent s racion?ln?m a iracion?ln?m exponentem je definov?n pouze pro nez?porn? z?klady. Pr?v? z tohoto d?vodu je podm?nka a>0.

A posledn? podm?nka b>0 vypl?v? z nerovnosti a>0, proto?e x=log a b, a hodnotu stupn? s kladn?m z?kladem A v?dy pozitivn?.

Vlastnosti logaritm?.

Logaritmy vyzna?uj?c? se v?razn?m funkce, co? vedlo k jejich ?irok?mu pou?it? k v?razn?mu usnadn?n? pe?liv?ch v?po?t?. P?i p?echodu „do sv?ta logaritm?“ se n?soben? prom?n? v mnohem snaz?? s??t?n?, d?len? na od??t?n? a umoc?ov?n? a odmoc?ov?n? se m?n? v n?soben? a d?len? exponentem.

Formulaci logaritm? a tabulku jejich hodnot (pro goniometrick? funkce) poprv? publikoval v roce 1614 skotsk? matematik John Napier. Logaritmick? tabulky, zv?t?en? a podrobn? jin?mi v?dci, byly ?iroce pou??v?ny ve v?deck?ch a technick?ch v?po?tech a z?staly relevantn?, dokud se neza?aly pou??vat elektronick? kalkula?ky a po??ta?e.