Ve vztahu k

lze nastavit ?kol naj?t kter?koli ze t?? ??sel z ostatn?ch dvou zadan?ch. Dan? a a pak N se najde umocn?n?m. Pokud je d?no N a pak a je nalezeno extrakc? odmocniny x (nebo umocn?n?). Nyn? zva?te p??pad, kdy je za dan?ch a a N pot?eba naj?t x.

Nech? ??slo N je kladn?: ??slo a je kladn? a nerovn? se jedn?: .

Definice. Logaritmus ??sla N k z?kladu a je exponent, na kter? mus?te zv??it a, abyste dostali ??slo N; logaritmus je ozna?en

V rovnosti (26.1) je tedy exponent nalezen jako logaritmus N k z?kladu a. P??sp?vky

maj? stejn? v?znam. Rovnost (26.1) je n?kdy naz?v?na z?kladn? identitou teorie logaritm?; ve skute?nosti vyjad?uje definici pojmu logaritmus. Podle t?to definice je z?klad logaritmu a v?dy kladn? a odli?n? od jednoty; logaritmovateln? ??slo N je kladn?. Z?porn? ??sla a nula nemaj? logaritmy. Lze dok?zat, ?e jak?koli ??slo s dan?m z?kladem m? dob?e definovan? logaritmus. Rovnost tedy znamen? . V?imn?te si, ?e podm?nka je zde z?sadn?, jinak by z?v?r nebyl opr?vn?n?, proto?e rovnost plat? pro v?echny hodnoty x a y.

P??klad 1. Najd?te

?e?en?. Chcete-li z?skat ??slo, mus?te zv??it z?klad 2 na s?lu Proto.

P?i ?e?en? takov?ch p??klad? m??ete zaznamenat v n?sleduj?c?m formul??i:

P??klad 2. Najd?te .

?e?en?. My m?me

V p??kladech 1 a 2 jsme snadno na?li po?adovan? logaritmus reprezentov?n?m logaritmovateln?ho ??sla jako stupn? z?kladu s racion?ln?m exponentem. V obecn?m p??pad?, nap??klad pro atd., to nelze prov?st, proto?e logaritmus m? iracion?ln? hodnotu. V?nujme pozornost jedn? ot?zce souvisej?c? s t?mto tvrzen?m. V § 12 jsme uvedli koncept mo?nosti ur?en? libovoln? re?ln? mocniny dan?ho kladn?ho ??sla. To bylo nezbytn? pro zaveden? logaritm?, co? obecn? mohou b?t iracion?ln? ??sla.

Zva?te n?kter? vlastnosti logaritm?.

Vlastnost 1. Jsou-li ??slo a z?klad rovny, pak je logaritmus roven jedn?, a naopak, je-li logaritmus roven jedn?, pak se ??slo a z?klad rovnaj?.

D?kaz. Nechat Podle definice logaritmu, m?me a odkud

Naopak, nechejte Pak podle definice

Vlastnost 2. Logaritmus jednoty k libovoln?mu z?kladu je roven nule.

D?kaz. Podle definice logaritmu (nulov? mocnina libovoln? kladn? b?ze je rovna jedn?, viz (10.1)). Odtud

Q.E.D.

Plat? i obr?cen? tvrzen?: jestli?e , pak N = 1. Opravdu, m?me .

Ne? uvedeme n?sleduj?c? vlastnost logaritm?, souhlas?me s t?m, ?e dv? ??sla a a b le?? na stejn? stran? t?et?ho ??sla c, pokud jsou ob? v?t?? ne? c nebo men?? ne? c. Pokud je jedno z t?chto ??sel v?t?? ne? c a druh? men?? ne? c, pak ??k?me, ?e le?? na opa?n?ch stran?ch c.

Vlastnost 3. Le??-li ??slo a z?kladna na stejn? stran? jednoty, pak je logaritmus kladn?; jestli?e ??slo a z?klad le?? na opa?n?ch stran?ch jednoty, pak je logaritmus z?porn?.

D?kaz vlastnosti 3 je zalo?en na skute?nosti, ?e stupe? a je v?t?? ne? jedna, pokud je z?klad v?t?? ne? jedna a exponent je kladn?, nebo je z?klad men?? ne? jedna a exponent je z?porn?. Stupe? je men?? ne? jedna, pokud je z?klad v?t?? ne? jedna a exponent je z?porn?, nebo je z?klad men?? ne? jedna a exponent je kladn?.

V ?vahu p?ipadaj? ?ty?i p??pady:

Omez?me se na rozbor prvn?ho z nich, zbytek u? si ?ten?? zv??? s?m.

Nech? tedy exponent v rovnosti nen? ani z?porn?, ani roven nule, je tedy kladn?, tj. kter? bylo t?eba dok?zat.

P??klad 3. Zjist?te, kter? z n?sleduj?c?ch logaritm? jsou kladn? a kter? z?porn?:

?e?en?, a) proto?e ??slo 15 a z?kladna 12 jsou um?st?ny na stejn? stran? jednotky;

b) , proto?e 1000 a 2 jsou um?st?ny na stejn? stran? jednotky; z?rove? nen? podstatn?, ?e z?klad je v?t?? ne? logaritmick? ??slo;

c), proto?e 3,1 a 0,8 le?? na opa?n?ch stran?ch jednoty;

G); pro??

e) ; pro??

N?sleduj?c? vlastnosti 4-6 se ?asto naz?vaj? logaritmick? pravidla: umo??uj? p?i znalosti logaritm? n?kter?ch ??sel naj?t logaritmy jejich sou?inu, kvocient, stupe? ka?d?ho z nich.

Vlastnost 4 (pravidlo pro logaritmus sou?inu). Logaritmus sou?inu n?kolika kladn?ch ??sel v dan?m z?kladu se rovn? sou?tu logaritm? t?chto ??sel ve stejn?m z?kladu.

D?kaz. Nech? jsou uvedena kladn? ??sla.

Pro logaritmus jejich sou?inu nap??eme rovnost (26.1) definuj?c? logaritmus:

Odtud najdeme

Porovn?n?m exponent? prvn?ho a posledn?ho v?razu z?sk?me po?adovanou rovnost:

V?imn?te si, ?e podm?nka je z?sadn?; logaritmus sou?inu dvou z?porn?ch ??sel d?v? smysl, ale v tomto p??pad? dostaneme

Obecn? plat?, ?e pokud je sou?in n?kolika faktor? kladn?, pak se jeho logaritmus rovn? sou?tu logaritm? modul? t?chto faktor?.

Vlastnost 5 (pravidlo kvocientov?ho logaritmu). Logaritmus pod?lu kladn?ch ??sel se rovn? rozd?lu mezi logaritmy d?li?e a d?litele, br?no ve stejn?m z?kladu. D?kaz. D?sledn? naj?t

Q.E.D.

Vlastnost 6 (pravidlo logaritmu stupn?). Logaritmus mocniny libovoln?ho kladn?ho ??sla se rovn? logaritmu tohoto ??sla kr?t exponent.

D?kaz. Pro ??slo op?t nap??eme hlavn? identitu (26.1):

Q.E.D.

N?sledek. Logaritmus odmocniny kladn?ho ??sla se rovn? logaritmu ko?enov?ho ??sla d?len?ho exponentem odmocniny:

Platnost tohoto d?sledku m??eme dok?zat t?m, ?e p?edlo??me jak a pou?ijeme vlastnost 6.

P??klad 4. Logaritmus se z?kladem a:

a) (p?edpokl?d? se, ?e v?echny hodnoty b, c, d, e jsou kladn?);

b) (p?edpokl?d? se, ?e ).

?e?en? a) Je vhodn? tento v?raz p?ev?st na zlomkov? mocniny:

Na z?klad? rovnosti (26,5)-(26,7) nyn? m??eme napsat:

V?imli jsme si, ?e s logaritmy ??sel se prov?d?j? jednodu??? operace ne? s ??sly samotn?mi: p?i n?soben? ??sel se jejich logaritmy se?tou, p?i d?len? se ode??taj? atd.

Proto se ve v?po?etn? praxi pou??vaj? logaritmy (viz kap. 29).

Akce inverzn? k logaritmu se naz?v? potenciace, jmenovit?: potenciace je akce, p?i kter? je toto ??slo samo nalezeno dan?m logaritmem ??sla. V podstat? potenciace nen? ??dn? speci?ln? akce: jde o zv??en? z?kladny na mocninu (rovnou logaritmu ??sla). Pojem "zesilov?n?" lze pova?ovat za synonymum s pojmem "umoc?ov?n?".

P?i potenciaci je nutn? pou??t pravidla, kter? jsou inverzn? k pravidl?m logaritmu: nahradit sou?et logaritm? logaritmem sou?inu, rozd?l logaritm? logaritmem kvocientu atd. Zejm?na pokud existuje libovoln? faktor p?ed znam?nkem logaritmu, pak se mus? p?i potenciaci p?en?st na stupn? indik?toru pod znam?nkem logaritmu.

P??klad 5. Najd?te N, pokud je to zn?mo

?e?en?. V souvislosti s pr?v? uveden?m potencia?n?m pravidlem se faktory 2/3 a 1/3, kter? jsou p?ed znam?nky logaritm? na prav? stran? t?to rovnosti, p?enesou na exponenty pod znam?nky t?chto logaritm?; dostaneme

Nyn? nahrad?me rozd?l logaritm? logaritmem kvocientu:

abychom z?skali posledn? zlomek v tomto ?et?zci rovnosti, osvobodili jsme p?edchoz? zlomek od iracionality ve jmenovateli (??st 25).

Vlastnost 7. Pokud je z?klad v?t?? ne? jedna, pak v?t?? ??slo m? v?t?? logaritmus (a men?? m? men??), pokud je z?klad men?? ne? jedna, pak v?t?? ??slo m? men?? logaritmus (a men?? jeden m? v?t??).

Tato vlastnost je tak? formulov?na jako pravidlo pro logaritmus nerovnost?, jejich? ob? ??sti jsou kladn?:

P?i logaritmov?n? nerovnic se z?kladem v?t??m ne? jedna se zachov? znam?nko nerovnosti a p?i logaritmov?n? se z?kladem men??m ne? jedna se znam?nko nerovnosti obr?t? (viz tak? bod 80).

D?kaz je zalo?en na vlastnostech 5 a 3. Uva?ujme p??pad, kdy If , then a s logaritmov?n?m dostaneme

(a a N/M le?? na stejn? stran? jednoty). Odtud

Pokud bude n?sledovat, ?ten?? na to p?ijde s?m.

Va?e soukrom? je pro n?s d?le?it?. Z tohoto d?vodu jsme vyvinuli Z?sady ochrany osobn?ch ?daj?, kter? popisuj?, jak pou??v?me a uchov?v?me va?e informace. P?e?t?te si pros?m na?e z?sady ochrany osobn?ch ?daj? a dejte n?m v?d?t, pokud m?te n?jak? dotazy.

Shroma??ov?n? a pou??v?n? osobn?ch ?daj?

Osobn? ?daje jsou ?daje, kter? lze pou??t k identifikaci nebo kontaktov?n? konkr?tn? osoby.

Kdykoli n?s budete kontaktovat, m??ete b?t po??d?ni o poskytnut? sv?ch osobn?ch ?daj?.

N??e jsou uvedeny n?kter? p??klady typ? osobn?ch ?daj?, kter? m??eme shroma??ovat, a jak takov? informace m??eme pou??vat.

Jak? osobn? ?daje shroma??ujeme:

• Kdy? ode?lete ??dost na webu, m??eme shroma??ovat r?zn? informace, v?etn? va?eho jm?na, telefonn?ho ??sla, e-mailov? adresy atd.

Jak pou??v?me va?e osobn? ?daje:

• Osobn? ?daje, kter? shroma??ujeme, n?m umo??uj? kontaktovat v?s a informovat v?s o jedine?n?ch nab?dk?ch, akc?ch a dal??ch akc?ch a nadch?zej?c?ch ud?lostech.
• ?as od ?asu m??eme pou??t va?e osobn? ?daje k zas?l?n? d?le?it?ch upozorn?n? a zpr?v.
• Osobn? ?daje m??eme tak? pou??vat pro intern? ??ely, jako je prov?d?n? audit?, anal?zy dat a r?zn? v?zkumy, abychom zlep?ili slu?by, kter? poskytujeme, a abychom v?m poskytli doporu?en? t?kaj?c? se na?ich slu?eb.
• Pokud se z??astn?te slosov?n? o ceny, sout??e nebo podobn? pob?dky, m??eme pou??t v?mi poskytnut? informace ke spr?v? takov?ch program?.

Zp??stupn?n? t?et?m stran?m

Informace, kter? od v?s obdr??me, nesd?lujeme t?et?m stran?m.

V?jimky:

• V p??pad?, ?e je nutn? - v souladu se z?konem, soudn?m ??dem, v soudn?m ??zen? a/nebo na z?klad? ve?ejn?ch ??dost? nebo ??dost? st?tn?ch org?n? na ?zem? Rusk? federace - zve?ejnit Va?e osobn? ?daje. M??eme tak? zve?ejnit informace o v?s, pokud usoud?me, ?e takov? zve?ejn?n? je nezbytn? nebo vhodn? z d?vodu bezpe?nosti, vym?h?n? pr?va nebo jin?ho ve?ejn?ho z?jmu.
• V p??pad? reorganizace, f?ze nebo prodeje m??eme osobn? ?daje, kter? shroma??ujeme, p?edat p??slu?n? t?et? stran?, n?stupci.

Ochrana osobn?ch ?daj?

P?ij?m?me opat?en? – v?etn? administrativn?ch, technick?ch a fyzick?ch – k ochran? va?ich osobn?ch ?daj? p?ed ztr?tou, kr?de?? a zneu?it?m, jako? i p?ed neopr?vn?n?m p??stupem, zve?ejn?n?m, pozm?n?n?m a zni?en?m.

Zachov?n? va?eho soukrom? na ?rovni spole?nosti

Abychom zajistili, ?e jsou va?e osobn? ?daje v bezpe??, sd?lujeme na?im zam?stnanc?m postupy ochrany osobn?ch ?daj? a zabezpe?en? a p??sn? vynucujeme postupy ochrany osobn?ch ?daj?.

Logaritmus b (b > 0) na z?klad a (a > 0, a ? 1) je exponent, na kter? mus?te zv??it ??slo a, abyste dostali b.

Z?klad 10 logaritmu b lze zapsat jako log(b) a logaritmus na z?klad e (p?irozen? logaritmus) - ln(b).

?asto se pou??v? p?i ?e?en? probl?m? s logaritmy:

Vlastnosti logaritm?

Existuj? ?ty?i hlavn? vlastnosti logaritm?.

Nech? a > 0, a ? 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnost 1. Logaritmus sou?inu

Logaritmus produktu se rovn? sou?tu logaritm?:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Vlastnost 2. Logaritmus pod?lu

Logaritmus kvocientu se rovn? rozd?lu logaritm?:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnost 3. Logaritmus stupn?

Logaritmus stup?? se rovn? sou?inu stupn? a logaritmu:

Pokud je z?klad logaritmu v exponentu, pak plat? jin? vzorec:

Vlastnost 4. Logaritmus ko?ene

Tuto vlastnost lze z?skat z vlastnosti logaritmu stupn?, proto?e odmocnina n-t?ho stupn? se rovn? mocnin? 1/n:

Vzorec pro p?echod od logaritmu v jedn? b?zi k logaritmu v jin? b?zi

Tento vzorec se tak? ?asto pou??v? p?i ?e?en? r?zn?ch ?loh pro logaritmy:

Speci?ln? p??pad:

Porovn?n? logaritm? (nerovnice)

P?edpokl?dejme, ?e m?me 2 funkce f(x) a g(x) pod logaritmy se stejn?mi z?klady a je mezi nimi znam?nko nerovnosti:

Chcete-li je porovnat, mus?te se nejprve pod?vat na z?kladnu logaritm? a:

• Pokud a > 0, pak f(x) > g(x) > 0
• Pokud 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak ?e?it probl?my s logaritmy: p??klady

?lohy s logaritmy za?azeny do USE v matematice pro ro?n?k 11 v ?loze 5 a ?loze 7, ?lohy s ?e?en?m naleznete na na?em webu v p??slu?n?ch sekc?ch. Tak? ?lohy s logaritmy se nach?zej? v bance ?loh v matematice. V?echny p??klady najdete p?i hled?n? na webu.

Co je to logaritmus

Logaritmy byly v?dy pova?ov?ny za obt??n? t?ma v kurzu ?koln? matematiky. Existuje mnoho r?zn?ch definic logaritmu, ale z n?jak?ho d?vodu v?t?ina u?ebnic pou??v? tu nejslo?it?j?? a nejne??astn?j?? z nich.

Logaritmus definujeme jednodu?e a jasn?. Vytvo??me pro to tabulku:

Tak?e m?me mocniny dvou.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, jak ?e?it

Pokud vezmete ??slo ze spodn?ho ??dku, pak m??ete snadno naj?t s?lu, na kterou mus?te zv??it dvojku, abyste toto ??slo z?skali. Nap??klad, abyste z?skali 16, mus?te zv??it dv? na ?tvrtou mocninu. A abyste z?skali 64, mus?te zv??it dv? na ?estou mocninu. To je vid?t z tabulky.

A nyn? - ve skute?nosti definice logaritmu:

z?klad a argumentu x je mocnina, na kterou mus? b?t ??slo a umocn?no, abychom dostali ??slo x.

Z?pis: log a x \u003d b, kde a je z?klad, x je argument, b je ve skute?nosti to, ?emu se rovn? logaritmus.

Nap??klad 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (z?klad 2 logaritmu 8 je t?i, proto?e 2 3 = 8). M??e tak? log 2 64 = 6, proto?e 2 6 = 64.

Zavol? se operace nalezen? logaritmu ??sla k dan?mu z?kladu. P?idejme tedy do na?? tabulky nov? ??dek:

Bohu?el ne v?echny logaritmy lze tak snadno zv??it. Zkuste nap??klad naj?t log 2 5. ??slo 5 nen? v tabulce, ale logika vel?, ?e logaritmus bude le?et n?kde na intervalu. Proto?e 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takov? ??sla se naz?vaj? iracion?ln?: ??sla za desetinnou ??rkou lze ps?t donekone?na a nikdy se neopakuj?. Pokud se logaritmus uk??e jako iracion?ln?, je lep?? jej nechat takto: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je d?le?it? pochopit, ?e logaritmus je v?raz se dv?ma prom?nn?mi (z?klad a argument). Zpo??tku si mnoho lid? plete, kde je z?klad a kde argument. Abyste p?ede?li nep??jemn?m nedorozum?n?m, sta?? se pod?vat na obr?zek:

P?ed n?mi nen? nic jin?ho ne? definice logaritmu. Zapamatovat si: logaritmus je s?la, ke kter?mu mus?te zvednout z?klad, abyste z?skali argument. Je to z?kladna, kter? je zvednut? na mocninu - na obr?zku je zv?razn?na ?erven?. Ukazuje se, ?e z?kladna je v?dy na dn?! Toto ??asn? pravidlo ??k?m sv?m student?m hned na prvn? hodin? – a nen? v tom ??dn? zmatek.

Jak po??tat logaritmy

P?i?li jsme na definici - zb?v? se nau?it po??tat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro za??tek si v?imneme, ?e z definice plynou dv? d?le?it? skute?nosti:

1. Argument a z?klad mus? b?t v?dy v?t?? ne? nula. Vypl?v? to z definice stupn? racion?ln?m exponentem, na kter? je redukov?na definice logaritmu.
2. Z?klad se mus? li?it od jednoty, proto?e jednotka k jak?koli mocnin? je st?le jednotkou. Z tohoto d?vodu je ot?zka „k jak? s?le mus? b?t ?lov?k pov??en, aby z?skal dva“ smysl. Takov? stupe? neexistuje!

Takov? omezen? se naz?vaj? platn? rozsah(ODZ). Ukazuje se, ?e ODZ logaritmu vypad? takto: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1.

V?imn?te si, ?e neexistuj? ??dn? omezen? na ??slo b (hodnota logaritmu) nen? ulo?ena. Logaritmus m??e b?t nap??klad z?porn?: log 2 0,5 = -1, proto?e 0,5 = 2 -1.

Nyn? v?ak uva?ujeme pouze o ??seln?ch v?razech, kde nen? vy?adov?na znalost ODZ logaritmu. V?echna omezen? ji? zohlednili kompil?to?i probl?m?. Kdy? v?ak do hry vstoup? logaritmick? rovnice a nerovnosti, stanou se po?adavky DHS povinn?mi. V z?kladu a argumentu toti? mohou b?t velmi siln? konstrukce, kter? nemus? nutn? odpov?dat v??e uveden?m omezen?m.

Nyn? zva?te obecn? sch?ma pro v?po?et logaritm?. Skl?d? se ze t?? krok?:

1. Vyj?d?ete z?klad a a argument x jako mocninu s nejmen??m mo?n?m z?kladem v?t??m ne? jedna. Po cest? je lep?? se zbavit desetinn?ch zlomk?;
2. ?e?te rovnici pro prom?nnou b: x = a b ;
3. V?sledn? ??slo b bude odpov?d?.

To je v?e! Pokud se logaritmus uk??e jako iracion?ln?, bude to vid?t ji? v prvn?m kroku. Po?adavek, aby byl z?klad v?t?? ne? jedna, je velmi relevantn?: sni?uje se t?m pravd?podobnost chyby a v?razn? se zjednodu?uj? v?po?ty. Podobn? s desetinn?mi zlomky: pokud je hned p?evedete na oby?ejn?, bude chyb mnohon?sobn? m?n?.

Pod?vejme se, jak toto sch?ma funguje na konkr?tn?ch p??kladech:

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 5 25

1. P?edstavme z?klad a argument jako mocninu p?ti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Poj?me vytvo?it a vy?e?it rovnici:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Obdr?el odpov??: 2.

?kol. Vypo??tejte logaritmus:

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 4 64

1. P?edstavme z?klad a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Poj?me vytvo?it a vy?e?it rovnici:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Obdr?el odpov??: 3.

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 16 1

1. P?edstavme z?klad a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Poj?me vytvo?it a vy?e?it rovnici:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Obdr?ela odpov??: 0.

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 7 14

1. P?edstavme z?klad a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 nen? reprezentov?no jako mocnina sedmi, proto?e 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z p?edchoz?ho odstavce vypl?v?, ?e logaritmus se neuva?uje;
3. Odpov?? je ??dn? zm?na: log 7 14.

Mal? pozn?mka k posledn?mu p??kladu. Jak se ujistit, ?e ??slo nen? p?esnou mocninou jin?ho ??sla? Velmi jednoduch? – sta?? to rozlo?it na prvo?initele. Pokud v expanzi existuj? alespo? dva odli?n? faktory, ??slo nen? p?esnou mocninou.

?kol. Zjist?te, zda jsou p?esn? mocniny ??sla: 8; 48; 81; 35; ?trn?ct.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - p?esn? stupe?, proto?e existuje pouze jeden n?sobitel;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nen? p?esn? mocnina, proto?e existuj? dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - p?esn? stupe?;
35 = 7 5 - op?t ne p?esn? stupe?;
14 \u003d 7 2 - op?t nen? p?esn? stupe?;

V?imn?te si tak?, ?e prvo??sla sama o sob? jsou v?dy p?esn? mocniny sam?ch sebe.

Desetinn? logaritmus

N?kter? logaritmy jsou tak b??n?, ?e maj? speci?ln? n?zev a ozna?en?.

argumentu x je logaritmus se z?kladem 10, tj. mocnina, na kterou se mus? zv??it 10, aby se z?skalo x. Ozna?en?: lgx.

Nap??klad log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

A? se od t?to chv?le v u?ebnici objev? fr?ze jako „Naj?t lg 0,01“, v?zte, ?e se nejedn? o p?eklep. Toto je dekadick? logaritmus. Pokud v?ak na takov? ozna?en? nejste zvykl?, m??ete jej v?dy p?epsat:
log x = log 10 x

V?e, co plat? pro b??n? logaritmy, plat? i pro desetinn? m?sta.

p?irozen? logaritmus

Existuje dal?? logaritmus, kter? m? sv?j vlastn? z?pis. V jist?m smyslu je je?t? d?le?it?j?? ne? des?tkov?. Toto je p?irozen? logaritmus.

argumentu x je logaritmus k z?kladu e, tj. mocninu, na kterou mus? b?t ??slo e zv??eno, abychom dostali ??slo x. Ozna?en?: lnx.

Mnoz? se budou pt?t: jak? je ??slo e? Jedn? se o iracion?ln? ??slo, jeho p?esnou hodnotu nelze zjistit a zapsat. Zde jsou jen prvn? ??sla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme se pono?it do toho, co je toto ??slo a pro? je pot?eba. Pamatujte, ?e e je z?kladem p?irozen?ho logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracion?ln? ??slo. Obecn? plat?, ?e p?irozen? logaritmus jak?hokoli racion?ln?ho ??sla je iracion?ln?. Samoz?ejm? krom? jednoty: ln 1 = 0.

Pro p?irozen? logaritmy plat? v?echna pravidla, kter? plat? pro b??n? logaritmy.

Viz tak?:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnost logaritmu).

Jak zn?zornit ??slo jako logaritmus?

Pou?ijeme definici logaritmu.

Logaritmus je ukazatelem s?ly, na kterou mus? b?t z?kladna zv??ena, aby se ??slo dostalo pod znam?nko logaritmu.

Abychom tedy mohli reprezentovat ur?it? ??slo c jako logaritmus k z?kladu a, je nutn? pod znam?nko logaritmu um?stit stupe? se stejn?m z?kladem jako z?klad logaritmu a zapsat toto ??slo c do exponentu. :

Ve form? logaritmu m??ete reprezentovat absolutn? jak?koli ??slo - kladn?, z?porn?, cel? ??slo, zlomkov?, racion?ln?, iracion?ln?:

Aby nedo?lo k z?m?n? p?smen a a c ve stresov?ch podm?nk?ch testu nebo zkou?ky, m??ete si zapamatovat n?sleduj?c? pravidlo:

co je dole, jde dol?, co je naho?e, jde nahoru.

Nap??klad chcete reprezentovat ??slo 2 jako logaritmus se z?kladem 3.

M?me dv? ??sla - 2 a 3. Tato ??sla jsou z?klad a exponent, kter? zap??eme pod znam?nko logaritmu. Zb?v? ur?it, kter? z t?chto ??sel se m? zapsat do z?kladu stupn? a kter? nahoru do exponentu.

Z?klad 3 v z?znamu logaritmu je dole, co? znamen?, ?e kdy? dvojku zn?zorn?me jako logaritmus se z?kladem 3, zap??eme tak? 3 k z?kladu.

2 je vy??? ne? 3. A v z?pisu stupn? zap??eme dvojku nad trojku, tedy v exponentu:

Logaritmy. Prvn? ?rove?.

Logaritmy

logaritmus kladn? ??slo b podle rozumu A, kde a > 0, a ? 1, je exponent, na kter? mus? b?t ??slo zv??eno. A, Z?skat b.

Definice logaritmu lze stru?n? napsat takto:

Tato rovnost plat? pro b > 0, a > 0, a ? 1. Obvykle se mu ??k? logaritmick? identita.
Zavol? se akce nalezen? logaritmu ??sla logaritmus.

Vlastnosti logaritm?:

Logaritmus sou?inu:

Logaritmus pod?lu z d?len?:

Nahrazen? z?kladny logaritmu:

Logaritmus stup??:

ko?enov? logaritmus:

Logaritmus s v?konovou z?kladnou:

Desetinn? a p?irozen? logaritmy.

Desetinn? logaritmus??sla volaj? z?kladn? 10 logaritmus tohoto ??sla a zapisuj?   lg b
p?irozen? logaritmus??sla volaj? logaritmus tohoto ??sla k z?kladn? E, kde E je iracion?ln? ??slo, p?ibli?n? rovn? 2,7. Z?rove? p??? ln b.

Dal?? pozn?mky k algeb?e a geometrii

Z?kladn? vlastnosti logaritm?

Z?kladn? vlastnosti logaritm?

Logaritmy, jako ka?d? ??slo, lze s??tat, ode??tat a p?ev?d?t v?emi mo?n?mi zp?soby. Proto?e ale logaritmy nejsou ?pln? oby?ejn? ??sla, existuj? zde pravidla, kter? se naz?vaj? z?kladn? vlastnosti.

Tato pravidla mus? b?t zn?ma - bez nich nelze vy?e?it ??dn? v??n? logaritmick? probl?m. Nav?c je jich velmi m?lo – v?e se d? nau?it za jeden den. Poj?me tedy za??t.

S??t?n? a od??t?n? logaritm?

Uva?ujme dva logaritmy se stejn?m z?kladem: log a x a log a y. Pot? je lze s??tat a ode??tat a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Tak?e sou?et logaritm? se rovn? logaritmu sou?inu a rozd?l je logaritmus kvocientu. Pozn?mka: Kl??ov?m bodem je zde - stejn? d?vody. Pokud jsou z?klady odli?n?, tato pravidla nefunguj?!

Tyto vzorce pomohou vypo??tat logaritmick? v?raz, i kdy? nejsou uva?ov?ny jeho jednotliv? ??sti (viz lekce "Co je to logaritmus"). Pod?vejte se na p??klady a uvid?te:

log 6 4 + log 6 9.

Proto?e z?klady logaritm? jsou stejn?, pou?ijeme sou?tov? vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 2 48 - log 2 3.

Z?klady jsou stejn?, pou?ijeme rozd?lov? vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 3 135 - log 3 5.

Op?t plat?, ?e z?klady jsou stejn?, tak?e m?me:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vid?te, p?vodn? v?razy se skl?daj? ze "?patn?ch" logaritm?, kter? nejsou uva?ov?ny samostatn?. Ale po transformac?ch vyjdou docela norm?ln? ??sla. Mnoho test? je zalo?eno na t?to skute?nosti. Ano, kontrola - podobn? v?razy ve v?? v??nosti (n?kdy - prakticky beze zm?n) jsou nab?zeny u zkou?ky.

Odstran?n? exponentu z logaritmu

Nyn? si ?kol trochu zkomplikujeme. Co kdy? je v z?kladu nebo argumentu logaritmu stupe?? Potom lze exponent tohoto stupn? vyjmout ze znam?nka logaritmu podle n?sleduj?c?ch pravidel:

Je snadn? vid?t, ?e posledn? pravidlo n?sleduje jejich prvn? dv?. Ale stejn? je lep?? si to zapamatovat – v n?kter?ch p??padech to v?razn? sn??? mno?stv? v?po?t?.

V?echna tato pravidla maj? samoz?ejm? smysl p?i dodr?en? logaritmu ODZ: a > 0, a ? 1, x > 0. A je?t? n?co: nau?te se aplikovat v?echny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. m??ete zadat ??sla p?ed znam?nkem logaritmu do samotn?ho logaritmu.

Jak ?e?it logaritmy

To je nej?ast?ji vy?adov?no.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupn? v argumentu podle prvn?ho vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

V?imn?te si, ?e jmenovatel je logaritmus, jeho? z?kladem a argumentem jsou p?esn? mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. My m?me:

Mysl?m, ?e posledn? p??klad pot?ebuje objasn?n?. Kam zmizely logaritmy? Do posledn? chv?le pracujeme pouze se jmenovatelem. P?edlo?ili z?klad a argument tam stoj?c?ho logaritmu ve form? stup?? a vyjmuli indik?tory - dostali „t??patrov?“ zlomek.

Nyn? se pod?vejme na hlavn? zlomek. ?itatel a jmenovatel maj? stejn? ??slo: log 2 7. Proto?e log 2 7 ? 0, m??eme zlomek zmen?it - 2/4 z?stanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze ?ty?ku p?en?st do ?itatele, co? bylo provedeno. V?sledkem je odpov??: 2.

P?echod na nov? z?klad

Kdy? mluv?me o pravidlech pro s??t?n? a ode??t?n? logaritm?, konkr?tn? jsem zd?raznil, ?e pracuj? pouze se stejn?mi z?klady. Co kdy? jsou z?klady jin?? Co kdy? to nejsou p?esn? mocniny stejn?ho ??sla?

Na pomoc p?ich?zej? vzorce pro p?echod na novou z?kladnu. Formulujeme je ve form? v?ty:

Nech? je d?n logaritmus log a x. Pak pro libovoln? ??slo c takov?, ?e c > 0 a c ? 1 plat? rovnost:

Konkr?tn?, pokud vlo??me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorce vypl?v?, ?e z?klad a argument logaritmu lze zam?nit, ale cel? v?raz je „p?evr?cen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se z??dka vyskytuj? v b??n?ch ??seln?ch v?razech. Jejich v?hodnost lze vyhodnotit pouze p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic a nerovnic.

Existuj? v?ak ?koly, kter? nelze vy?e?it v?bec jinak ne? p?esunem do nov?ho z?kladu. Pod?vejme se na n?kolik z nich:

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 5 16 log 2 25.

V?imn?te si, ?e argumenty obou logaritm? jsou p?esn? exponenty. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyn? oto?me druh? logaritmus:

Vzhledem k tomu, ?e se sou?in nem?n? permutac? faktor?, v klidu jsme vyn?sobili ?ty?i a dv? a pak vymysleli logaritmy.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 9 100 lg 3.

Z?kladem a argumentem prvn?ho logaritmu jsou p?esn? mocniny. Poj?me si to zapsat a zbavit se indik?tor?:

Nyn? se zbavme desetinn?ho logaritmu p?echodem na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procesu ?e?en? je ?asto vy?adov?no reprezentovat ??slo jako logaritmus k dan?mu z?kladu.

V tomto p??pad? n?m pomohou vzorce:

V prvn?m p??pad? se ??slo n stane exponentem v argumentu. ??slo n m??e b?t naprosto cokoliv, proto?e je to jen hodnota logaritmu.

Druh? vzorec je vlastn? parafr?zovan? definice. Jmenuje se to takto:

Co se skute?n? stane, kdy? se ??slo b zv??? natolik, ?e ??slo b v tomto stupni d? ??slo a? Spr?vn?: toto je stejn? ??slo a. P?e?t?te si tento odstavec pozorn? znovu - mnoho lid? na n?m „vis?“.

Stejn? jako nov? z?kladn? p?evodn? vzorce je z?kladn? logaritmick? identita n?kdy jedin?m mo?n?m ?e?en?m.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu:

V?imn?te si, ?e log 25 64 = log 5 8 - pr?v? vyjmuli ?tverec ze z?kladny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidl?m pro n?soben? mocnin se stejn?m z?kladem dostaneme:

Pokud n?kdo nev?, byl to skute?n? ?kol z Jednotn? st?tn? zkou?ky ?

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?v?r uvedu dv? identity, kter? je obt??n? nazvat vlastnostmi – sp??e jde o d?sledky z definice logaritmu. Neust?le se nach?zej? v probl?mech a kupodivu vytv??ej? probl?my i „pokro?il?m“ student?m.

1. log a a = 1 je. Pamatujte si jednou prov?dy: logaritmus k libovoln?mu z?kladu a ze samotn?ho z?kladu je roven jedn?.
2. log a 1 = 0 je. Z?kladem a m??e b?t cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Proto?e a 0 = 1 je p??m?m d?sledkem definice.

To jsou v?echny vlastnosti. Nezapome?te si je procvi?it v praxi! St?hn?te si cheat sheet na za??tku lekce, vytiskn?te si ho a vy?e?te probl?my.

log a r b r = log a b nebo log a b= log a r b r

Hodnota logaritmu se nezm?n?, pokud se z?klad logaritmu a ??slo pod znam?nkem logaritmu zv??? na stejnou mocninu.

Pod znam?nkem logaritmu mohou b?t pouze kladn? ??sla a z?klad logaritmu se nerovn? jedn?.

P??klady.

1) Porovnejte log 3 9 a log 9 81.

log 3 9=2 proto?e 3 2 =9;

log 9 81=2 proto?e 9 2 =81.

Tak?e log 3 9 = log 9 81.

V?imn?te si, ?e z?kladna druh?ho logaritmu se rovn? druh? mocnin? z?kladny prvn?ho logaritmu: 9=3 2 a ??slo pod znam?nkem druh?ho logaritmu se rovn? druh? mocnin? ??sla pod znam?nkem prvn?ho logaritmu. logaritmus: 81=9 2 . Ukazuje se, ?e ??slo i z?klad prvn?ho logaritmu log 3 9 byly zv??eny na druhou mocninu a hodnota logaritmu se od toho nezm?nila:

D?le od vyjmut? ko?ene n stupn? z ?ad A je konstrukce ??sla A do ur?it? m?ry ( 1/n), pak log 3 9 lze z?skat z log 9 81 t?m, ?e vezmeme druhou odmocninu ??sla a z?klad logaritmu:

2) Zkontrolujte rovnost: log 4 25=log 0,5 0,2.

Zva?te prvn? logaritmus. Vezm?te druhou odmocninu z?kladu 4 a mezi nimi 25 ; dostaneme: log 4 25 = log 2 5.

Zva?te druh? logaritmus. Z?klad logaritmu: 0,5= 1/2. ??slo pod znam?nkem tohoto logaritmu: 0,2= 1/5. Zvy?me ka?d? z t?chto ??sel na m?nus prvn? mocninu:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Tak?e log 0,5 0,2 = log 2 5. Z?v?r: tato rovnost je pravdiv?.

?e?te rovnici:

log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x+2). Logaritmy p?eneseme zleva na z?kladnu 2 .

log 2 x 2 + log 2 3=log 2 (5x+2). Vzali jsme druhou odmocninu ??sla a od z?kladu prvn?ho logaritmu. Vzali jsme ?tvrtou odmocninu ??sla a z?klad druh?ho logaritmu.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). P?eve?te sou?et logaritm? na logaritmus sou?inu.

3x2=5x+2. P?ijato po potenciaci.

3x2-5x-2=0. Kvadratickou rovnici ?e??me pomoc? obecn?ho vzorce pro ?plnou kvadratickou rovnici:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b2-4ac=(-5)2-4?3?(-2)=25+24=49=72 >0; 2 skute?n? ko?eny.

Zkou?ka.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5?2+2);

log 2 2 2 + log 2 3=log 2 12;

log 2 (4?3) = log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)? log a b

Logaritmus ??sla b podle rozumu a n rovn? sou?inu zlomku 1/ n na logaritmus ??sla b podle rozumu A.

Nal?zt:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30 log 32 3?log 125 2 pokud se to v? log 2 3=b,log 5 2=c.

?e?en?.

?e?te rovnice:

1) log 2 x + log 4 x + log 16 x = 5,25.

?e?en?.

P?eneseme tyto logaritmy na z?klad 2. Pou?ijte vzorec: log a n b=(1/ n)? log a b

log2x+(1/2) log2x+(1/4) log2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Zde jsou podobn? term?ny:

(1+0,5+0,25) log2 x = 5,25;

1,75 log 2 x = 5,25 |: 1,75

log 2x=3. Podle definice logaritmu:

2) 0,5 log4 (x-2) + log16 (x-3) = 0,25.

?e?en?. Vezm?te logaritmus z?kladny 16 na z?kladnu 4.

0,5 log 4 (x-2)+0,5 log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. P?eve?te sou?et logaritm? na logaritmus sou?inu.

log4 ((x-2) (x-3)) = 0,5;

log4 (x2-2x-3x+6)=0,5;

log4 (x2-5x+6)=0,5. Podle definice logaritmu:

x 2-5x+4=0. Podle Vietovy v?ty:

x 1 = 1; x2=4. Prvn? hodnota x nebude fungovat, proto?e pro x \u003d 1 logaritmy t?to rovnosti neexistuj?, proto?e pouze kladn? ??sla mohou b?t pod znam?nkem logaritmu.

Zkontrolujme tuto rovnici pro x=4.

Zkou?ka.

0,5 log4 (4-2) + log16 (4-3) = 0,25

0,5 log 4 2 + log 16 1 = 0,25

0,5?0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritmus ??sla b podle rozumu A se rovn? logaritmu ??sla b na nov?m z?klad? S d?leno logaritmem star? z?kladny A na nov?m z?klad? S.

P??klady:

1) log23=log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Vypo??tat:

1) log 5 7 pokud se to v? lg7?0,8451; lg5?0,6990.

C b / log C A.

log 5 7=log7/log5?0,8451:0,6990?1,2090.

Odpov?d?t: log 5 7?1,209 0?1,209 .

2) log 5 7 pokud se to v? ln7?1,9459; ln5?1,6094.

?e?en?. Pou?ijte vzorec: log a b =log C b / log C A.

log 5 7=ln7/ln5?1,9459:1,6094?1,2091.

Odpov?d?t: log 5 7?1,209 1?1,209 .

Naj?t x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Pou?ijeme vzorec: log C b / log C a = log a b . Dostaneme:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log3 x=log3 (4?6?8);

log 3 x = log 3 192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Pou?ijeme vzorec: log C b / log C a = log a b . Dostaneme:

log7 x=lg143-lgll-lg13;

log7x=lg143- (lgll+lg13);

log7 x=log143-log(11?13);

log7 x=lg143-lg143;

x=1.

Strana 1 z 1 1

Logaritmick? v?razy, ?e?en? p??klad?. V tomto ?l?nku se budeme zab?vat probl?my souvisej?c?mi s ?e?en?m logaritm?. ?koly nastoluj? ot?zku hled?n? hodnoty v?razu. Je t?eba poznamenat, ?e koncept logaritmu se pou??v? v mnoha ?loh?ch a je nesm?rn? d?le?it? porozum?t jeho v?znamu. Pokud jde o USE, logaritmus se pou??v? p?i ?e?en? rovnic, v aplikovan?ch ?loh?ch a tak? v ?loh?ch spojen?ch se studiem funkc?.

Zde jsou p??klady pro pochopen? samotn?ho v?znamu logaritmu:

Z?kladn? logaritmick? identita:

Vlastnosti logaritm?, kter? si mus?te v?dy pamatovat:

*Logaritmus sou?inu se rovn? sou?tu logaritm? faktor?.

* * *

* Logaritmus kvocientu (zlomku) se rovn? rozd?lu logaritm? faktor?.

* * *

* Logaritmus stupn? se rovn? sou?inu exponentu a logaritmu jeho z?kladu.

* * *

*P?echod na novou z?kladnu

* * *

Dal?? vlastnosti:

* * *

Po??t?n? logaritm? ?zce souvis? s vyu?it?m vlastnost? exponent?.

Uv?d?me n?kter? z nich:

Podstatou t?to vlastnosti je, ?e p?i p?evodu ?itatele na jmenovatele a naopak se znam?nko exponentu zm?n? na opa?n?. Nap??klad:

D?sledek t?to vlastnosti:

* * *

P?i zv??en? mocniny na mocninu z?st?v? z?klad stejn?, ale exponenty se n?sob?.

* * *

Jak vid?te, samotn? koncept logaritmu je jednoduch?. Hlavn? v?c je, ?e je pot?eba dobr? praxe, kter? d?v? ur?itou dovednost. Znalost vzorc? je ur?it? povinn?. Pokud nen? vytvo?ena dovednost p?ev?d?t element?rn? logaritmy, pak se p?i ?e?en? jednoduch?ch ?kol? m??e snadno ud?lat chyba.

Cvi?te, ?e?te nejprve nejjednodu??? p??klady z matematick?ho kurzu, pot? p?ejd?te ke slo?it?j??m. V budoucnu ur?it? uk??u, jak se ?e?? „o?kliv?“ logaritmy, u zkou?ky takov? nebudou, ale je o n? z?jem, nenechte si to uj?t!

To je v?e! Hodn? ?t?st?!

S pozdravem Alexander Krutitskikh

P.S: Byl bych vd??n?, kdybyste o webu ?ekli na soci?ln?ch s?t?ch.