P?i ?e?en? mnoha matematick? probl?my, zejm?na t?ch, kter? nastanou p?ed 10. ro?n?kem, je jasn? definov?no po?ad? prov?d?n?ch akc?, kter? povedou k c?li. Mezi takov? probl?my pat?? nap??klad line?rn? a kvadratick? rovnice, line?rn? a kvadratick? nerovnice, zlomkov? rovnice a rovnice redukuj?c? na kvadratick?. Princip ?sp??n?ho ?e?en? ka?d? ze zm?n?n?ch ?loh je n?sleduj?c?: je t?eba si ujasnit, jak? typ ?lohy se ?e??, pamatovat na nezbytnou posloupnost akc?, kter? povedou k po?adovan?mu v?sledku, tzn. odpov?zte a postupujte podle t?chto krok?.

Je z?ejm?, ?e ?sp?ch ?i ne?sp?ch p?i ?e?en? konkr?tn?ho probl?mu z?vis? p?edev??m na tom, jak spr?vn? je ur?en typ ?e?en? rovnice, jak spr?vn? je reprodukov?na posloupnost v?ech f?z? jej?ho ?e?en?. Samoz?ejm? je v tomto p??pad? nutn? m?t dovednosti pro prov?d?n? identick?ch transformac? a v?po?t?.

Jin? situace nast?v? s goniometrick? rovnice. Nen? t??k? zjistit, ?e rovnice je trigonometrick?. Pot??e nast?vaj? p?i ur?ov?n? sledu akc?, kter? by vedly ke spr?vn? odpov?di.

N?kdy je obt??n? ur?it jej? typ podle vzhledu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je t?m?? nemo?n? vybrat tu spr?vnou z n?kolika des?tek trigonometrick?ch vzorc?.

K vy?e?en? goniometrick? rovnice mus?me zkusit:

1. p?ive?te v?echny funkce zahrnut? v rovnici do „stejn?ch ?hl?“;
2. p?ev?st rovnici na "stejn? funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.

Zv??it z?kladn? metody ?e?en? goniometrick?ch rovnic.

I. Redukce na nejjednodu??? goniometrick? rovnice

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Vyj?d?ete goniometrickou funkci pomoc? zn?m?ch slo?ek.

Krok 2 Najd?te argument funkce pomoc? vzorc?:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

Krok 3 Najd?te nezn?mou prom?nnou.

P??klad.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

?e?en?.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Odpov??: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. Variabiln? substituce

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Uve?te rovnici do algebraick?ho tvaru s ohledem na jednu z goniometrick?ch funkc?.

Krok 2 V?slednou funkci ozna?te prom?nnou t (v p??pad? pot?eby zave?te omezen? na t).

Krok 3 V?slednou algebraickou rovnici zapi?te a vy?e?te.

Krok 4 Prove?te obr?cenou substituci.

Krok 5 Vy?e?te nejjednodu??? goniometrickou rovnici.

P??klad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

?e?en?.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nech? sin (x/2) = t, kde |t| <= 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2 nespl?uje podm?nku |t| <= 1.

4) h??ch (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Odpov??: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Metoda redukce po?ad? rovnic

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Nahra?te tuto rovnici line?rn? pomoc? vzorc? pro sn??en? v?konu:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 V?slednou rovnici ?e?te metodami I a II.

P??klad.

cos2x + cos2x = 5/4.

?e?en?.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Odpov??: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Homogenn? rovnice

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. P?eneste tuto rovnici do formul??e

a) a sin x + b cos x = 0 (homogenn? rovnice prvn?ho stupn?)

nebo do v?hledu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenn? rovnice druh?ho stupn?).

Krok 2 Vyd?lte ob? strany rovnice

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

a z?skejte rovnici pro tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3?e?te rovnici pomoc? zn?m?ch metod.

P??klad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

?e?en?.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nech? tg x = t, pak

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, tak?e

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z prvn? rovnice x = p/4 + pn, n Є Z; z druh? rovnice x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Odpov??: x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomoc? goniometrick?ch vzorc?

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Pomoc? v?emo?n?ch goniometrick?ch vzorc? p?ive?te tuto rovnici k rovnici, kterou lze ?e?it metodami I, II, III, IV.

Krok 2 V?slednou rovnici ?e?te zn?m?mi metodami.

P??klad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

?e?en?.

1) (h??ch x + h??ch 3x) + h??ch 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvn? rovnice 2x = p/2 + pn, n Є Z; z druh? rovnice cos x = -1/2.

M?me x = p/4 + pn/2, n Є Z; z druh? rovnice x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

V d?sledku toho x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Odpov??: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Schopnost a dovednosti ?e?it goniometrick? rovnice jsou velmi d?le?it?, jejich rozvoj vy?aduje zna?n? ?sil?, jak ze strany studenta, tak ze strany u?itele.

S ?e?en?m goniometrick?ch rovnic je spojeno mnoho probl?m? stereometrie, fyziky atd. Proces ?e?en? takov?ch ?loh jakoby obsahuje mnoho znalost? a dovednost?, kter? se z?sk?vaj? p?i studiu prvk? trigonometrie.

V?znamn? m?sto v procesu v?uky matematiky a rozvoje osobnosti obecn? zauj?maj? goniometrick? rovnice.

M?te n?jak? dotazy? Nev?te, jak ?e?it goniometrick? rovnice?
Chcete-li z?skat pomoc od lektora -.
Prvn? lekce je zdarma!

blog.site, s ?pln?m nebo ??ste?n?m zkop?rov?n?m materi?lu je vy?adov?n odkaz na zdroj.

Vy?aduje znalost z?kladn?ch vzorc? trigonometrie - sou?et druh?ch mocnin sinu a kosinu, vyj?d?en? te?ny p?es sinus a kosinus a dal??. Pro ty, kte?? je zapomn?li nebo je neznaj?, doporu?ujeme p?e??st si ?l?nek „“.
Z?kladn? trigonometrick? vzorce tedy zn?me, je ?as je uv?st do praxe. ?e?en? goniometrick?ch rovnic se spr?vn?m p??stupem je to docela vzru?uj?c? ?innost, jako nap??klad lu?t?n? Rubikovy kostky.

Ji? ze samotn?ho n?zvu je z?ejm?, ?e goniometrick? rovnice je rovnice, ve kter? je nezn?m? pod znam?nkem goniometrick? funkce.
Existuj? tzv. jednoduch? goniometrick? rovnice. Takto vypadaj?: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Zv??it, jak ?e?it takov? goniometrick? rovnice, pro n?zornost pou?ijeme ji? zn?m? trigonometrick? kruh.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

post?lka x = a

Jak?koli goniometrick? rovnice se ?e?? ve dvou f?z?ch: rovnici p?ivedeme do nejjednodu???ho tvaru a pak ji vy?e??me jako nejjednodu??? goniometrickou rovnici.
Existuje 7 hlavn?ch metod, kter?mi se goniometrick? rovnice ?e??.

1. Variabiln? substituce a substitu?n? metoda

Vy?e?te rovnici 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Pomoc? reduk?n?ch vzorc? dostaneme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Pro zjednodu?en? nahrad?me cos(x + /6) y a z?sk?me obvyklou kvadratickou rovnici:

2 roky 2 – 3 roky + 1 + 0

Ko?eny, z nich? y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyn? se vra?me zp?t

Dosad?me nalezen? hodnoty y a dostaneme dv? odpov?di:

2. ?e?en? goniometrick?ch rovnic pomoc? faktorizace

Jak vy?e?it rovnici sin x + cos x = 1 ?

Posu?te v?e doleva tak, aby 0 z?stala vpravo:

sin x + cos x - 1 = 0

Ke zjednodu?en? rovnice pou??v?me v??e uveden? identity:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Ud?lejme faktorizaci:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dostaneme dv? rovnice

3. Redukce na homogenn? rovnici

Rovnice je homogenn? s ohledem na sinus a kosinus, pokud v?echny jej? ?leny s ohledem na sinus a kosinus maj? stejn? stupe? stejn?ho ?hlu. Chcete-li vy?e?it homogenn? rovnici, postupujte takto:

a) p?ev?st v?echny sv? ?leny na levou stranu;

b) vy?krtn?te v?echny spole?n? faktory ze z?vorek;

c) p?irovnat v?echny faktory a z?vorky k 0;

d) v z?vorce je z?sk?na homogenn? rovnice men??ho stupn?, kter? je naopak d?lena sinem nebo kosinusem na vy??? stupe?;

e) ?e? v?slednou rovnici pro tg.

Vy?e?te rovnici 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Pou?ijme vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 a zbavme se otev?en? dvojky vpravo:

3 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

D?lit podle cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Nahrad?me tg x y a dostaneme kvadratickou rovnici:

y 2 + 4y +3 = 0, jeho? ko?eny jsou y 1 = 1, y 2 = 3

Odtud najdeme dv? ?e?en? p?vodn? rovnice:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. ?e?en? rovnic, p?echodem do polovi?n?ho ?hlu

Vy?e?te rovnici 3sin x - 5cos x = 7

Poj?me na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

P?esunut? v?eho doleva:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Vyd?lit cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Zaveden? pomocn?ho ?hlu

Pro zv??en? vezm?me rovnici tvaru: a sin x + b cos x \u003d c,

kde a, b, c jsou n?jak? libovoln? koeficienty a x je nezn?m?.

Vyd?lte ob? strany rovnice takto:



Nyn? maj? koeficienty rovnice podle goniometrick?ch vzorc? vlastnosti sin a cos, toti?: jejich modul nen? v?t?? ne? 1 a sou?et ?tverc? = 1. Ozna?me je postupn? jako cos a sin, kde je tzv. pomocn? ?hel. Potom bude m?t rovnice tvar:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

nebo sin(x + ) = C

?e?en? t?to jednoduch? goniometrick? rovnice je

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kde



Je t?eba poznamenat, ?e ozna?en? cos a sin jsou zam?niteln?.

Vy?e?te rovnici sin 3x - cos 3x = 1

V t?to rovnici jsou koeficienty:

a \u003d, b \u003d -1, tak?e ob? ??sti vyd?l?me \u003d 2

Va?e soukrom? je pro n?s d?le?it?. Z tohoto d?vodu jsme vyvinuli Z?sady ochrany osobn?ch ?daj?, kter? popisuj?, jak pou??v?me a uchov?v?me va?e informace. P?e?t?te si pros?m na?e z?sady ochrany osobn?ch ?daj? a dejte n?m v?d?t, pokud m?te n?jak? dotazy.

Shroma??ov?n? a pou??v?n? osobn?ch ?daj?

Osobn? ?daje jsou ?daje, kter? lze pou??t k identifikaci nebo kontaktov?n? konkr?tn? osoby.

Kdykoli n?s budete kontaktovat, m??ete b?t po??d?ni o poskytnut? sv?ch osobn?ch ?daj?.

N??e jsou uvedeny n?kter? p??klady typ? osobn?ch ?daj?, kter? m??eme shroma??ovat, a jak takov? informace m??eme pou??vat.

Jak? osobn? ?daje shroma??ujeme:

• Kdy? ode?lete ??dost na webu, m??eme shroma??ovat r?zn? informace, v?etn? va?eho jm?na, telefonn?ho ??sla, e-mailov? adresy atd.

Jak pou??v?me va?e osobn? ?daje:

• Osobn? ?daje, kter? shroma??ujeme, n?m umo??uj? kontaktovat v?s a informovat v?s o jedine?n?ch nab?dk?ch, akc?ch a dal??ch akc?ch a nadch?zej?c?ch ud?lostech.
• ?as od ?asu m??eme pou??t va?e osobn? ?daje k zas?l?n? d?le?it?ch upozorn?n? a zpr?v.
• Osobn? ?daje m??eme tak? pou??vat pro intern? ??ely, jako je prov?d?n? audit?, anal?zy dat a r?zn? v?zkumy, abychom zlep?ili slu?by, kter? poskytujeme, a abychom v?m poskytli doporu?en? t?kaj?c? se na?ich slu?eb.
• Pokud se z??astn?te slosov?n? o ceny, sout??e nebo podobn? pob?dky, m??eme pou??t v?mi poskytnut? informace ke spr?v? takov?ch program?.

Zp??stupn?n? t?et?m stran?m

Informace, kter? od v?s obdr??me, nesd?lujeme t?et?m stran?m.

V?jimky:

• V p??pad?, ?e je nutn? - v souladu se z?konem, soudn?m ??dem, v soudn?m ??zen? a/nebo na z?klad? ve?ejn?ch ??dost? nebo ??dost? st?tn?ch org?n? na ?zem? Rusk? federace - zve?ejnit Va?e osobn? ?daje. M??eme tak? zve?ejnit informace o v?s, pokud usoud?me, ?e takov? zve?ejn?n? je nezbytn? nebo vhodn? z d?vodu bezpe?nosti, vym?h?n? pr?va nebo jin?ho ve?ejn?ho z?jmu.
• V p??pad? reorganizace, f?ze nebo prodeje m??eme osobn? ?daje, kter? shroma??ujeme, p?edat p??slu?n? t?et? stran?, n?stupci.

Ochrana osobn?ch ?daj?

P?ij?m?me opat?en? – v?etn? administrativn?ch, technick?ch a fyzick?ch – k ochran? va?ich osobn?ch ?daj? p?ed ztr?tou, kr?de?? a zneu?it?m, jako? i p?ed neopr?vn?n?m p??stupem, zve?ejn?n?m, pozm?n?n?m a zni?en?m.

Zachov?n? va?eho soukrom? na ?rovni spole?nosti

Abychom zajistili, ?e jsou va?e osobn? ?daje v bezpe??, sd?lujeme na?im zam?stnanc?m postupy v oblasti ochrany osobn?ch ?daj? a zabezpe?en? a p??sn? prosazujeme postupy ochrany osobn?ch ?daj?.

Lekce a prezentace na t?ma: "?e?en? nejjednodu???ch goniometrick?ch rovnic"

Dopl?kov? materi?ly
V??en? u?ivatel?, nezapome?te zanechat sv? koment??e, zp?tnou vazbu, n?vrhy! V?echny materi?ly jsou kontrolov?ny antivirov?m programem.

Manu?ly a simul?tory v internetov?m obchod? "Integral" pro stupe? 10 od 1C
?e??me ?lohy v geometrii. Interaktivn? ?lohy pro stavbu ve vesm?ru
Softwarov? prost?ed? "1C: Matematick? konstruktor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Co jsou goniometrick? rovnice?

3. Dv? hlavn? metody ?e?en? goniometrick?ch rovnic.
4. Homogenn? goniometrick? rovnice.
5. P??klady.

Co jsou goniometrick? rovnice?

Kluci, u? jsme studovali arkussinus, arkussinus, arktangens a arkotangens. Nyn? se pod?v?me na goniometrick? rovnice obecn?.

Goniometrick? rovnice - rovnice, ve kter?ch je prom?nn? obsa?ena pod znam?nkem goniometrick? funkce.

Zopakujeme formu ?e?en? nejjednodu???ch goniometrick?ch rovnic:

1) Jestli?e |а|<= 1, pak rovnice cos(x) = a m? ?e?en?:

X= ± arccos(a) + 2pk

2) Jestli?e |а|<= 1, pak rovnice sin(x) = a m? ?e?en?:

3) Pokud |a| > 1, pak rovnice sin(x) = a a cos(x) = a nemaj? ?e?en? 4) Rovnice tg(x)=a m? ?e?en?: x=arctg(a)+ pk

5) Rovnice ctg(x)=a m? ?e?en?: x=arcctg(a)+ pk

Pro v?echny vzorce je k cel? ??slo

Nejjednodu??? goniometrick? rovnice maj? tvar: Т(kx+m)=a, T- libovoln? goniometrick? funkce.

P??klad.

?e?te rovnice: a) sin(3x)= ?3/2

?e?en?:

A) Ozna?me 3x=t, pak na?i rovnici p?ep??eme do tvaru:

?e?en? t?to rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(?3/2)+ pn.

Z tabulky hodnot dostaneme: t=((-1)^n)xp/3+ pn.

Vra?me se k na?? prom?nn?: 3x =((-1)^n)xp/3+ pn,

Potom x= ((-1)^n)xp/9+ pn/3

Odpov??: x= ((-1)^n)xp/9+ pn/3, kde n je cel? ??slo. (-1)^n - m?nus jedna na mocninu n.

Dal?? p??klady goniometrick?ch rovnic.

?e?te rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- p/3)= ?3

?e?en?:

A) Tentokr?t p?ejdeme rovnou k v?po?tu ko?en? rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2pk. Potom x/5= pk => x=5pk

Odpov??: x=5pk, kde k je cel? ??slo.

B) P??eme ve tvaru: 3x- p/3=arctg(?3)+ pk. V?me, ?e: arctg(?3)= p/3

3x- p/3= p/3+ pk => 3x=2p/3 + pk => x=2p/9 + pk/3

Odpov??: x=2p/9 + pk/3, kde k je cel? ??slo.

?e?te rovnice: cos(4x)= ?2/2. A najd?te v?echny ko?eny v segmentu.

?e?en?:

Vy?e?me na?i rovnici v obecn?m tvaru: 4x= ± arccos(?2/2) + 2pk

4x= ± p/4 + 2pk;

X= ± p/16+ pk/2;

Nyn? se pod?vejme, jak? ko?eny padaj? na n?? segment. Pro k Pro k=0, x= p/16 jsme v dan?m segmentu .
P?i k=1, x= p/16+ p/2=9p/16 se trefili znovu.
Pro k=2 plat? x= p/16+ p=17p/16, ale zde jsme se netrefili, co? znamen?, ?e nezas?hneme ani pro velk? k.

Odpov??: x= p/16, x= 9p/16

Dv? hlavn? metody ?e?en?.

Zva?ovali jsme nejjednodu??? goniometrick? rovnice, ale existuj? i slo?it?j??. K jejich ?e?en? se pou??v? metoda zaveden? nov? prom?nn? a metoda faktorizace. Pod?vejme se na p??klady.

Poj?me ?e?it rovnici:

?e?en?:
K vy?e?en? na?? rovnice pou?ijeme metodu zaveden? nov? prom?nn?, ozna?ovan?: t=tg(x).

V d?sledku nahrazen? dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Najd?te ko?eny kvadratick? rovnice: t=-1 a t=1/3

Pak tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali jsme nejjednodu??? goniometrickou rovnici, poj?me naj?t jej? ko?eny.

X=arctg(-1) +pk= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

Odpov??: x= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

P??klad ?e?en? rovnice

?e?te rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

?e?en?:

Pou?ijme identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Na?e rovnice zn?: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zave?me n?hradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

?e?en?m na?? kvadratick? rovnice jsou ko?eny: t=2 a t=-1/2

Pak cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Proto?e cosinus nem??e nab?vat hodnot v?t??ch ne? jedna, pak cos(x)=2 nem? ko?eny.

Pro cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2pk; x= ±2p/3 + 2pk

Odpov??: x= ±2p/3 + 2pk

Homogenn? goniometrick? rovnice.

Definice: Rovnice ve tvaru a sin(x)+b cos(x) se naz?v? homogenn? goniometrick? rovnice prvn?ho stupn?.

Rovnice formul??e

homogenn? goniometrick? rovnice druh?ho stupn?.

Abychom vy?e?ili homogenn? goniometrickou rovnici prvn?ho stupn?, vyd?l?me ji cos(x): Nen? mo?n? d?lit kosinusem, pokud se rovn? nule, p?esv?d?me se, ?e tomu tak nen?:
Nech? cos(x)=0, pak asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus a kosinus se nerovnaj? nule z?rove?, dostali jsme rozpor, tak?e m??eme klidn? d?lit nulou.

?e?te rovnici:
P??klad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

?e?en?:

Vyjm?te spole?n? faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pak mus?me vy?e?it dv? rovnice:

cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pro x= p/2 + pk;

Uva?ujme rovnici cos(x)+sin(x)=0 Vyd?lte na?i rovnici cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +pk= -p/4+pk

Odpov??: x= p/2 + pk a x= -p/4+pk

Jak ?e?it homogenn? goniometrick? rovnice druh?ho stupn??
Kluci, v?dy se dr?te t?chto pravidel!

1. Pod?vejte se, ?emu se rovn? koeficient a, pokud a \u003d 0, pak na?e rovnice bude m?t tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), p??klad ?e?en? je na p?edchoz? skluzavka

2. Je-li a?0, pak mus?te ob? ??sti rovnice vyd?lit druhou mocninou kosinusu, dostaneme:

Provedeme zm?nu prom?nn? t=tg(x), dostaneme rovnici:

Vy?e?te p??klad ?.:3

?e?te rovnici:
?e?en?:

Vyd?lte ob? strany rovnice kosinovou druhou mocninou:

Provedeme zm?nu prom?nn? t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Najd?te ko?eny kvadratick? rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + pk=-arctg(3) + pk

Tg(x)=1 => x= p/4+ pk

Odpov??: x=-arctg(3) + pk a x= p/4+ pk

Vy?e?te p??klad ?.:4

?e?te rovnici:

?e?en?:
Zm??me sv?j v?raz:

M??eme ?e?it takov? rovnice: x= - p/4 + 2pk a x=5p/4 + 2pk

Odpov??: x= - p/4 + 2pk a x=5p/4 + 2pk

Vy?e?te p??klad ?.:5

?e?te rovnici:

?e?en?:
Zm??me sv?j v?raz:

Zavedeme n?hradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

?e?en?m na?? kvadratick? rovnice budou ko?eny: t=-2 a t=1/2

Pak dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ pk => x=-arctg(2)/2 + pk/2

2x= arctg(1/2) + pk => x=arctg(1/2)/2+ pk/2

Odpov??: x=-arctg(2)/2 + pk/2 a x=arctg(1/2)/2+ pk/2

?koly pro samostatn? ?e?en?.

1) ?e?te rovnici

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= ?3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = ?3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) ?e?te rovnice: sin(3x)= ?3/2. A najd?te v?echny ko?eny na segmentu [p/2; p].

3) ?e?te rovnici: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) ?e?te rovnici: 3 sin 2 (x) + ?3sin (x) cos(x) = 0

5) ?e?te rovnici: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ?e?te rovnici: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =?3/2 -sin 2 (2x)

P?i ?e?en? mnoha matematick? probl?my, zejm?na t?ch, kter? nastanou p?ed 10. ro?n?kem, je jasn? definov?no po?ad? prov?d?n?ch akc?, kter? povedou k c?li. Mezi takov? probl?my pat?? nap??klad line?rn? a kvadratick? rovnice, line?rn? a kvadratick? nerovnice, zlomkov? rovnice a rovnice redukuj?c? na kvadratick?. Princip ?sp??n?ho ?e?en? ka?d? ze zm?n?n?ch ?loh je n?sleduj?c?: je t?eba si ujasnit, jak? typ ?lohy se ?e??, pamatovat na nezbytnou posloupnost akc?, kter? povedou k po?adovan?mu v?sledku, tzn. odpov?zte a postupujte podle t?chto krok?.

Je z?ejm?, ?e ?sp?ch ?i ne?sp?ch p?i ?e?en? konkr?tn?ho probl?mu z?vis? p?edev??m na tom, jak spr?vn? je ur?en typ ?e?en? rovnice, jak spr?vn? je reprodukov?na posloupnost v?ech f?z? jej?ho ?e?en?. Samoz?ejm? je v tomto p??pad? nutn? m?t dovednosti pro prov?d?n? identick?ch transformac? a v?po?t?.

Jin? situace nast?v? s goniometrick? rovnice. Nen? t??k? zjistit, ?e rovnice je trigonometrick?. Pot??e nast?vaj? p?i ur?ov?n? sledu akc?, kter? by vedly ke spr?vn? odpov?di.

N?kdy je obt??n? ur?it jej? typ podle vzhledu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je t?m?? nemo?n? vybrat tu spr?vnou z n?kolika des?tek trigonometrick?ch vzorc?.

K vy?e?en? goniometrick? rovnice mus?me zkusit:

1. p?ive?te v?echny funkce zahrnut? v rovnici do „stejn?ch ?hl?“;
2. p?ev?st rovnici na "stejn? funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.

Zv??it z?kladn? metody ?e?en? goniometrick?ch rovnic.

I. Redukce na nejjednodu??? goniometrick? rovnice

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Vyj?d?ete goniometrickou funkci pomoc? zn?m?ch slo?ek.

Krok 2 Najd?te argument funkce pomoc? vzorc?:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

Krok 3 Najd?te nezn?mou prom?nnou.

P??klad.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

?e?en?.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Odpov??: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. Variabiln? substituce

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Uve?te rovnici do algebraick?ho tvaru s ohledem na jednu z goniometrick?ch funkc?.

Krok 2 V?slednou funkci ozna?te prom?nnou t (v p??pad? pot?eby zave?te omezen? na t).

Krok 3 V?slednou algebraickou rovnici zapi?te a vy?e?te.

Krok 4 Prove?te obr?cenou substituci.

Krok 5 Vy?e?te nejjednodu??? goniometrickou rovnici.

P??klad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

?e?en?.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nech? sin (x/2) = t, kde |t| <= 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2 nespl?uje podm?nku |t| <= 1.

4) h??ch (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Odpov??: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Metoda redukce po?ad? rovnic

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Nahra?te tuto rovnici line?rn? pomoc? vzorc? pro sn??en? v?konu:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 V?slednou rovnici ?e?te metodami I a II.

P??klad.

cos2x + cos2x = 5/4.

?e?en?.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Odpov??: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Homogenn? rovnice

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. P?eneste tuto rovnici do formul??e

a) a sin x + b cos x = 0 (homogenn? rovnice prvn?ho stupn?)

nebo do v?hledu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenn? rovnice druh?ho stupn?).

Krok 2 Vyd?lte ob? strany rovnice

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

a z?skejte rovnici pro tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3?e?te rovnici pomoc? zn?m?ch metod.

P??klad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

?e?en?.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nech? tg x = t, pak

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, tak?e

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z prvn? rovnice x = p/4 + pn, n Є Z; z druh? rovnice x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Odpov??: x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomoc? goniometrick?ch vzorc?

Sch?ma ?e?en?

Krok 1. Pomoc? v?emo?n?ch goniometrick?ch vzorc? p?ive?te tuto rovnici k rovnici, kterou lze ?e?it metodami I, II, III, IV.

Krok 2 V?slednou rovnici ?e?te zn?m?mi metodami.

P??klad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

?e?en?.

1) (h??ch x + h??ch 3x) + h??ch 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvn? rovnice 2x = p/2 + pn, n Є Z; z druh? rovnice cos x = -1/2.

M?me x = p/4 + pn/2, n Є Z; z druh? rovnice x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

V d?sledku toho x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Odpov??: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Schopnost a dovednosti ?e?it goniometrick? rovnice jsou velmi d?le?it?, jejich rozvoj vy?aduje zna?n? ?sil?, jak ze strany studenta, tak ze strany u?itele.

S ?e?en?m goniometrick?ch rovnic je spojeno mnoho probl?m? stereometrie, fyziky atd. Proces ?e?en? takov?ch ?loh jakoby obsahuje mnoho znalost? a dovednost?, kter? se z?sk?vaj? p?i studiu prvk? trigonometrie.

V?znamn? m?sto v procesu v?uky matematiky a rozvoje osobnosti obecn? zauj?maj? goniometrick? rovnice.

M?te n?jak? dotazy? Nev?te, jak ?e?it goniometrick? rovnice?
Chcete-li z?skat pomoc tutora - zaregistrujte se.
Prvn? lekce je zdarma!

str?nky, s ?pln?m nebo ??ste?n?m zkop?rov?n?m materi?lu, je vy?adov?n odkaz na zdroj.