ladybe.ru
Spojte dva zdroje informac? pomoc? Bayesova vzorce. Vzorec celkov? pravd?podobnosti a Bayesovy vzorce
Pokud ud?lost ALE se m??e st?t pouze tehdy, kdy? jedna z ud?lost?, kter? se tvo?? kompletn? skupina neslu?iteln?ch ud?lost? , pak pravd?podobnost ud?losti ALE vypo??tan? podle vzorce
Tento vzorec se naz?v? vzorec celkov? pravd?podobnosti .
Zva?te znovu kompletn? skupinu neslu?iteln?ch ud?lost?, jejich? pravd?podobnosti v?skytu jsou 
. ud?lost ALE m??e nastat pouze spole?n? s jakoukoli ud?lost?, kterou zavol?me hypot?zy
. Pak podle vzorce celkov? pravd?podobnosti
Pokud ud?lost ALE stalo, m??e to zm?nit pravd?podobnosti hypot?z 
.
Podle v?ty o n?soben? pravd?podobnosti
.
Podobn? pro dal?? hypot?zy
V?sledn? vzorec se naz?v? Bayes?v vzorec (Bayes?v vzorec ). Pravd?podobnosti hypot?z se naz?vaj? posteriorn? pravd?podobnosti , zat?mco - p?edchoz? pravd?podobnosti .
P??klad. Obchod obdr?el nov? produkty od t?? podnik?. Procentu?ln? slo?en? t?chto v?robk? je n?sleduj?c?: 20 % - v?robky prvn?ho podniku, 30 % - v?robky druh?ho podniku, 50 % - v?robky t?et?ho podniku; d?le 10 % v?robk? prvn?ho podniku nejvy???ho stupn?, druh?ho podniku 5 % a t?et?ho 20 % v?robk? nejvy???ho stupn?. Najd?te pravd?podobnost, ?e n?hodn? zakoupen? nov? produkt bude t? nejvy??? kvality.
?e?en?. Ozna?it podle V ud?lost spo??vaj?c? v tom, ?e bude zakoupen pr?miov? produkt, ozna?me akce spo??vaj?c? v n?kupu produkt? prvn?ho, druh?ho a t?et?ho podniku.
M??eme pou??t vzorec celkov? pravd?podobnosti a v na?em z?pisu:
Dosazen?m t?chto hodnot do vzorce celkov? pravd?podobnosti z?sk?me po?adovanou pravd?podobnost:
P??klad. Jeden ze t?? st?elc? je povol?n k palebn? linii a vyp?l? dv? r?ny. Pravd?podobnost zasa?en? c?le jednou ranou pro prvn?ho st?elce je 0,3, pro druh?ho - 0,5; za t?et? - 0,8. C?l nen? zasa?en. Najd?te pravd?podobnost, ?e v?st?ely vyst?elil prvn? st?elec.
?e?en?. Jsou mo?n? t?i hypot?zy:
Prvn? st?elec je povol?n k palebn? linii,
Druh? st?elec je povol?n k palebn? linii,
T?et? st?elec byl povol?n k palebn? linii.
Povol?n? jak?hokoli st?elce na palebnou linii je tedy stejn? mo?n? 
V d?sledku experimentu byla pozorov?na ud?lost B - po v?st?elech nebyl c?l zasa?en. Podm?n?n? pravd?podobnosti t?to ud?losti podle proveden?ch hypot?z jsou:
pomoc? Bayesova vzorce zjist?me pravd?podobnost hypot?zy po experimentu:
P??klad. Na t?ech automatech se zpracov?vaj? d?ly stejn?ho typu, kter? po zpracov?n? doraz? na spole?n? dopravn?k. Prvn? stroj d?v? 2% zmetk?, druh? - 7%, t?et? - 10%. Produktivita prvn?ho stroje je 3x vy??? ne? produktivita druh?ho a t?et?ho je 2x ni??? ne? produktivita druh?ho.
a) Jak? je m?ra z?vad na mont??n? lince?
b) Jak? jsou pom?ry d?l? ka?d?ho stroje mezi vadn?mi d?ly na dopravn?ku?
?e?en?. Vezm?me n?hodn? jeden d?l z mont??n? linky a uva?ujme ud?lost A – d?l je vadn?. Je spojeno s hypot?zami, kde byla tato sou??st obr?b?na: - n?hodn? vybran? sou??st byla obrobena na tom stroji,.
Podm?n?n? pravd?podobnosti (ve stavu probl?mu jsou uvedeny ve form? procent):
Z?vislosti mezi v?kony stroje znamenaj? n?sleduj?c?:
A jeliko? hypot?zy tvo?? ucelenou skupinu, pak .
Po vy?e?en? v?sledn? soustavy rovnic zjist?me: .
a) Celkov? pravd?podobnost, ?e sou??st n?hodn? odebran? z mont??n? linky je vadn?:
Jin?mi slovy, v mno?stv? d?l? vych?zej?c?ch z mont??n? linky je vada 4 %.
b) Nechte b?t zn?mo, ?e n?hodn? vybran? ??st je vadn?. Pomoc? Bayesova vzorce najdeme podm?n?n? pravd?podobnosti hypot?z:
Na celkov? hmotnosti vadn?ch d?l? na dopravn?ku je tedy pod?l prvn?ho stroje 33%, druh?ho - 39%, t?et?ho - 28%.
Praktick? ?koly
Cvi?en? 1
?e?en? ?loh v hlavn?ch ??stech teorie pravd?podobnosti
C?lem je z?skat praktick? dovednosti p?i ?e?en? probl?m? na
sekce teorie pravd?podobnosti
P??prava na praktick? ?kol
Sezn?mit se s teoretick?m materi?lem na toto t?ma, prostudovat obsah teoretick? i p??slu?n? ??sti v literatu?e.
P??kaz k proveden? ?kolu
Vy?e?te 5 ?loh podle po?tu mo?nost? ?lohy uveden? v tabulce 1.
Mo?nosti po??te?n?ch dat
st?l 1
|
??slo ?kolu |
||||||
Slo?en? zpr?vy pro ?kol 1
5 ?e?en?ch ?loh podle ??sla varianty.
?koly pro samostatn? ?e?en?
1.. Jsou n?sleduj?c? skupiny ud?lost? p??pady: a) z??itek - h?zen? minc?; v?voj: A1- vzhled erbu; A2- vzhled ??sla; b) zku?enost - hozen? dv?ma mincemi; v?voj: V 1- vzhled dvou erb?; VE 2 - vzhled dvou ??slic; AT 3- vzhled jednoho erbu a jednoho ??sla; c) zku?enost - h?zen? kostkou; v?voj: C1 - v?skyt ne v?ce ne? dvou bod?; C2 - vzhled t?? nebo ?ty? bod?; C3 - v?skyt alespo? p?ti bod?; d) zku?enost - v?st?el na c?l; v?voj: D1- ude?il; D2- sle?na, minout; e) zku?enost - dv? r?ny na c?l; v?voj: E0- ani jeden z?sah; E1- jeden ?der; E2- dva z?sahy; f) zku?enost - l?z?n? dvou karet z bal??ku; v?voj: F1- vzhled dvou ?erven?ch karet; F2- vzhled dvou ?ern?ch karet?
2. Urna A obsahuje b?lou a B ?ern? koule. Z urny se n?hodn? vylosuje jeden m??ek. Najd?te pravd?podobnost, ?e tato koule je b?l?.
3. V urn? A b?l? p?sek B ?ern? koule. Jeden m??ek se vyjme z urny a odlo?? stranou. Tato koule je b?l?. Pot? se z urny odebere dal?? m??. Najd?te pravd?podobnost, ?e tato koule je tak? b?l?.
4. V urn? A b?l? a B ?ern? koule. Jeden m??ek byl vyjmut z urny a odlo?en stranou, ani? by se pod?val. Pot? byl z urny odebr?n dal?? m??. Uk?zalo se, ?e je b?l?. Najd?te pravd?podobnost, ?e prvn? odlo?en? koule je tak? b?l?.
5. Z urny obsahuj?c? A b?l? a B ?ern? kuli?ky, vyjm?te jednu po druh? v?echny kuli?ky krom? jedn?. Najd?te pravd?podobnost, ?e posledn? koule zbyl? v urn? je b?l?.
6. Z urny, ve kter? A b?l? koule a B ?ern?, vyjm?te v ?ad? v?echny koule v n?m. Najd?te pravd?podobnost, ?e druh? ta?en? koule je b?l?.
7. V urn? A b?l?ch a B ?ern?ch kuli?ek (A > 2). Z urny jsou vyjmuty dva m??ky najednou. Najd?te pravd?podobnost, ?e ob? koule jsou b?l?.
8. B?l? a B v urn? A ?ern? koule (A > 2, B > 3). Z urny se vyjme p?t m??k? najednou. Naj?t pravd?podobnost R dva z nich budou b?l? a t?i ?ern?.
9. Ve stran? slo?en? z X produkt?, existuje j? vadn?. Z ?ar?e se vybere pro kontrolu I produkty. Naj?t pravd?podobnost R kter? z nich p?esn? J produkty budou vadn?.
10. Kostka je vr?ena jednou. Najd?te pravd?podobnost n?sleduj?c?ch ud?lost?: ALE - v?skyt sud?ho po?tu bod?; V- dosa?en? alespo? 5 bod?; Z- vzhled ne v?ce ne? 5 bod?.
11. Kostkou se h?z? dvakr?t. Naj?t pravd?podobnost R?e se v obou p??padech objev? stejn? po?et bod?.
12. Dv? kostky jsou vr?eny sou?asn?. Najd?te pravd?podobnosti n?sleduj?c?ch ud?lost?: ALE- sou?et spadl?ch bod? je roven 8; V- sou?in shozen?ch bod? je roven 8; Z- sou?et shozen?ch bod? je v?t?? ne? jejich sou?in.
13. Hod? se dv? mince. Kter? z n?sleduj?c?ch ud?lost? je pravd?podobn?j??: ALE - mince budou le?et na stejn?ch stran?ch; V - Le?? mince na r?zn?ch stran?ch?
14. V urn? A b?l? a B ?ern? koule (A > 2; B > 2). Z urny jsou vyjmuty dva m??ky sou?asn?. Kter? ud?lost je pravd?podobn?j??: ALE- koule stejn? barvy; V - koule r?zn?ch barev?
15. T?i hr??i hraj? karty. Ka?d?mu z nich je rozd?no 10 karet a dv? karty zb?vaj? do losov?n?. Jeden z hr??? vid?, ?e m? 6 karet diamantov? barvy a 4 karty nediamantov? barvy. Odhod? dv? z t?chto ?ty? karet a vezme si losov?n?. Najd?te pravd?podobnost, ?e koup? dva diamanty.
16. Z urny obsahuj?c? P o??slovan? kuli?ky, n?hodn? vyjm?te jednu po druh? v?echny kuli?ky v n?. Najd?te pravd?podobnost, ?e ??sla vylosovan?ch kuli?ek budou v po?ad?: 1, 2,..., P.
17. Stejn? urna jako v p?edchoz?m probl?mu, ale po vyta?en? se ka?d? kuli?ka vlo?? zp?t a prom?ch? se s ostatn?mi a zap??e se jej? ??slo. Najd?te pravd?podobnost, ?e p?irozen? posloupnost ??sel bude zaps?na: 1, 2, ..., n.
18. Cel? bal??ek karet (52 list?) je n?hodn? rozd?len do dvou stejn?ch bal??k? po 26 listech. Najd?te pravd?podobnosti n?sleduj?c?ch ud?lost?: ALE - v ka?d?m z bal??k? budou dv? esa; V- v jednom z bal??k? nebudou ??dn? esa a ve druh?m - v?echny ?ty?i; H??ch jeden z bal??k? bude m?t jedno eso a druh? bal??ek t?i.
19. Basketbalov?ho mistrovstv? se ??astn? 18 t?m?, z nich? jsou n?hodn? vytvo?eny dv? skupiny po 9 t?mech. Mezi ??astn?ky sout??e je 5 t?m?
extra t??da. Najd?te pravd?podobnosti n?sleduj?c?ch ud?lost?: ALE - v?echny extrat??dn? t?my budou spadat do stejn? skupiny; V- do jedn? ze skupin se dostanou dva extrat??dn? t?my a do druh? t?i.
20. ??sla jsou naps?na na dev?ti kart?ch: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dv? z nich jsou n?hodn? vyjmuty a um?st?ny na st?l v po?ad?, v jak?m se objevily, pot? se p?e?te v?sledn? ??slo , nap??klad 07 (sedm), 14 (?trn?ct) atd. Najd?te pravd?podobnost, ?e ??slo je sud?.
21. ??sla jsou naps?na na p?ti kart?ch: 1, 2, 3, 4, 5. Dv? z nich, jedna po druh?, se vyjmou. Najd?te pravd?podobnost, ?e ??slo na druh? kart? je v?t?? ne? ??slo na prvn?.
22. Stejn? ot?zka jako v probl?mu 21, ale prvn? karta po vyta?en? se vlo?? zp?t a prom?ch? se zbytkem a zap??e se ??slo na n?.
23. V urn? A b?l?, B ?ern? a C ?erven? koule. Jeden po druh?m se z urny vyjmou v?echny m??ky v n?m a zap??? se jejich barvy. Najd?te v tomto seznamu pravd?podobnost, ?e se b?l? objev? p?ed ?ernou.
24. Jsou dv? urny: v prvn? A b?l? a B ?ern? koule; ve druh?m C b?l? a D ?ern?. Z ka?d? urny se losuje m??. Najd?te pravd?podobnost, ?e ob? koule jsou b?l?.
25. Za podm?nek ?lohy 24 najd?te pravd?podobnost, ?e vylosovan? koule budou r?zn?ch barev.
26. V bubnu revolveru je sedm hn?zd, p?t z nich je nabit?ch n?bojnicemi a dv? jsou ponech?na pr?zdn?. Buben se uvede do rotace, v d?sledku ?eho? je jedna z obj?mek n?hodn? um?st?na proti hlavni. Pot? se stiskne spou??; pokud byla cela pr?zdn?, v?st?el nenastane. Naj?t pravd?podobnost R skute?nost, ?e opakov?n?m takov?ho experimentu dvakr?t za sebou nebudeme st??let oba ?asy.
27. Za stejn?ch podm?nek (viz ?loha 26) zjist?te pravd?podobnost, ?e k v?st?elu dojde v obou p??padech.
28. V urn? je A; koule ozna?en? 1, 2, ..., na Z urny j? jakmile je vyta?en jeden m?? (I<к), zap??e se ??slo m??e a m?? se vlo?? zp?t do urny. Naj?t pravd?podobnost R?e v?echna zaznamenan? ??sla se budou li?it.
29. Slovo „kniha“ se skl?d? z p?ti p?smen rozd?len? abecedy. D?t?, kter? neum?lo ??st, tato p?smena rozh?zelo a pak je poskl?dalo v n?hodn?m po?ad?. Naj?t pravd?podobnost R skute?nost, ?e op?t dostal slovo „kniha“.
30. Slovo „ananas“ se skl?d? z p?smen d?len? abecedy. D?t?, kter? neum?lo ??st, tato p?smena rozh?zelo a pak je poskl?dalo v n?hodn?m po?ad?. Naj?t pravd?podobnost R skute?nost, ?e m? op?t slovo „ananas
31. Z pln?ho bal??ku karet (52 list?, 4 barvy) se vyjme n?kolik karet najednou. Kolik karet mus? b?t vyjmuto, aby bylo s pravd?podobnost? v?t?? ne? 0,50 ?e?eno, ?e mezi nimi budou karty stejn? barvy?
32. N lid? n?hodn? sed? u kulat?ho stolu (N > 2). Naj?t pravd?podobnost R?e dv? pevn? tv??e ALE a V bude pobl??.
33. Stejn? probl?m (viz 32), ale tabulka je obd?ln?kov? a N osoba sed? n?hodn? pod?l jedn? z jej?ch stran.
34. ??sla od 1 do N. Z nich N jsou n?hodn? vybr?ny dva sudy. Najd?te pravd?podobnost, ?e na obou sudech jsou naps?na ??sla men?? ne? k
(2
35.
??sla od 1 do N. Z nich N jsou n?hodn? vybr?ny dva sudy. Najd?te pravd?podobnost, ?e jeden ze sud? m? ??slo v?t?? ne? k ,
a na druh? stran? - m?n? ne? k .
(2
36. Baterie je vybit? M zbran? st??lej?c? na skupinu skl?daj?c? se z N c?le (M< N). Zbran? vyb?raj? sv? c?le postupn?, n?hodn?, za p?edpokladu, ?e ??dn? dv? d?la nemohou st??let na stejn? c?l. Naj?t pravd?podobnost R skute?nost, ?e se bude st??let na c?le s ??sly 1, 2, ... M.
37.. Baterie sest?vaj?c? z na zbran?, st??l? na skupinu skl?daj?c? se z j? letadlo (na< 2). Ka?d? zbra? si vyb?r? sv?j c?l n?hodn? a nez?visle na ostatn?ch. Najd?te pravd?podobnost, ?e v?echny na zbran? budou st??let na stejn? c?l.
38. Za podm?nek p?edchoz?ho probl?mu najd?te pravd?podobnost, ?e v?echny zbran? vyst?el? na r?zn? c?le.
39. ?ty?i m??ky jsou n?hodn? rozpt?leny po ?ty?ech jamk?ch; ka?d? m??ek zas?hne jednu nebo druhou jamku se stejnou pravd?podobnost? a nez?visle na ostatn?ch (neexistuj? ??dn? p?ek??ky pro to, aby se do stejn? jamky dostalo n?kolik m??k?). Najd?te pravd?podobnost, ?e v jedn? z jamek budou t?i kuli?ky, jedna - ve druh? a ??dn? kuli?ky v dal??ch dvou jamk?ch.
40. M??a se poh?dala s P??ou a nechce s n?m jet ve stejn?m autobuse. Z hostelu do ?stavu jezd? 5 autobus? od 7 do 8. Kdo na tyto autobusy nestihne, m? na p?edn??ku zpo?d?n?. Kolika zp?soby se M??a a P??a mohou dostat do ?stavu r?zn?mi autobusy a nep?ij?t pozd? na p?edn??ku?
41. V odd?len? informa?n?ch technologi? banky pracuj? 3 analytici, 10 program?tor? a 20 in?en?r?. Na pr?ci p?es?as ve sv?tek mus? vedouc? odd?len? vy?lenit jednoho zam?stnance. Kolika zp?soby to lze prov?st?
42. Vedouc? bezpe?nostn? slu?by banky mus? denn? um?stit 10 str??n?ch na 10 m?st. Kolika zp?soby to lze prov?st?
43. Nov? prezident banky mus? jmenovat 2 nov? viceprezidenty z ?ad 10 ?editel?. Kolika zp?soby to lze prov?st?
44. Jedna z v?l??c?ch stran zajala 12 a druh? - 15 zajatc?. Kolika zp?soby lze vym?nit 7 v?le?n?ch zajatc??
45. P??a a M??a sb?raj? videodisky. P??a m? 30 komedi?, 80 ak?n?ch film? a 7 melodramat, M??a m? 20 komedi?, 5 ak?n?ch film? a 90 melodramat. Kolika zp?soby si mohou Petya a M??a vym?nit 3 komedie, 2 ak?n? filmy a 1 melodrama?
46. Kolika zp?soby si za podm?nek Probl?mu 45 mohou P??a a M??a vym?nit 3 melodramata a 5 komedi??
47. Za podm?nek probl?mu 45, kolika zp?soby si P??a a M??a mohou vym?nit 2 ak?n? filmy a 7 komedi?.
48. Jedna z v?l??c?ch stran zajala 15 a druh? - 16 zajatc?. Kolika zp?soby lze vym?nit 5 v?le?n?ch zajatc??
49. Kolik aut lze registrovat v 1 m?st?, pokud m? ??slo 3 ??slice a 3 p?smena )?
50. Jedna z v?l??c?ch stran zajala 14 a druh? - 17 zajatc?. Kolika zp?soby lze vym?nit 6 v?le?n?ch zajatc??
51. Kolik r?zn?ch slov lze vytvo?it p?eskupen?m p?smen ve slov? „matka“?
52. V ko??ku jsou 3 ?erven? a 7 zelen?ch jablek. Vyjme se z n?j jedno jablko. Najd?te pravd?podobnost, ?e bude ?erven?.
53. V ko??ku jsou 3 ?erven? a 7 zelen?ch jablek. Jedno zelen? jablko bylo vyjmuto a odlo?eno. Pot? se z ko??ku vyjme je?t? 1 jablko. Jak? je pravd?podobnost, ?e toto jablko je zelen??
54. V d?vce 1000 polo?ek jsou 4 vadn?. Pro kontrolu je vybr?na ?ar?e 100 produkt?. Jak? je pravd?podobnost LLP, ?e kontroln? ?ar?e nebude vadn??
56. V 80. letech byla v SSSR popul?rn? hra sportloto 5 z 36. Hr?? si na kartu poznamenal 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?zn?ch nomin?ln?ch hodnot, pokud uhodnul jin? po?et ??sel ozn?men?ch losovac? komis?. Najd?te pravd?podobnost, ?e hr?? neuhodl ??dn? ??slo.
57. V 80. letech byla v SSSR popul?rn? hra „sportloto 5 z 36“. Hr?? si na kartu poznamenal 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?zn?ch nomin?ln?ch hodnot, pokud uhodnul jin? po?et ??sel ozn?men?ch losovac? komis?. Najd?te pravd?podobnost, ?e hr?? uhodl jedno ??slo.
58. V 80. letech byla v SSSR popul?rn? hra sportloto 5 z 36. Hr?? si na kartu poznamenal 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?zn?ch nomin?ln?ch hodnot, pokud uhodnul jin? po?et ??sel ozn?men?ch losovac? komis?. Najd?te pravd?podobnost, ?e hr?? uhodl 3 ??sla.
59. V 80. letech byla v SSSR popul?rn? hra sportloto 5 z 36. Hr?? si na kartu poznamenal 5 ??sel od 1 do 36 a z?skal ceny r?zn?ch nomin?ln?ch hodnot, pokud uhodnul jin? po?et ??sel ozn?men?ch losovac? komis?. Najd?te pravd?podobnost, ?e hr?? neuh?dl v?ech 5 ??sel.
60. V 80. letech byla v SSSR popul?rn? hra sportloto 6 ze 49. Hr?? si na kartu poznamenal 6 ??sel od 1 do 49 a z?skal ceny r?zn?ch nomin?ln?ch hodnot, pokud uhodnul jin? po?et ??sel ozn?men?ch losovac? komis?. Najd?te pravd?podobnost, ?e hr?? uhodl 2 ??sla.
61. V 80. letech byla v SSSR popul?rn? hra „sportloto 6 ze 49“. Hr?? si na kartu poznamenal 6 ??sel od 1 do 49 a z?skal ceny r?zn?ch nomin?ln?ch hodnot, pokud uhodnul jin? po?et ??sel ozn?men?ch losovac? komis?. Najd?te pravd?podobnost, ?e hr?? neuhodl ??dn? ??slo.
62. V 80. letech byla v SSSR popul?rn? hra „sportloto 6 ze 49“. Hr?? si na kartu poznamenal 6 ??sel od 1 do 49 a z?skal ceny r?zn?ch nomin?ln?ch hodnot, pokud uhodnul jin? po?et ??sel ozn?men?ch losovac? komis?. Najd?te pravd?podobnost, ?e hr?? uhodl v?ech 6 ??sel.
63. V d?vce 1000 polo?ek jsou 4 vadn?. Pro kontrolu je vybr?na ?ar?e 100 produkt?. Jak? je pravd?podobnost LLP, ?e pouze 1 vadn? bude v kontroln? ?ar?i?
64. Kolik r?zn?ch slov lze vytvo?it p?eskupen?m p?smen ve slov? „kniha“?
65. Kolik r?zn?ch slov lze vytvo?it p?eskupen?m p?smen ve slov? "ananas"?
66. Do v?tahu vstoupilo 6 osob a hostel m? 7 pater. Jak? je pravd?podobnost, ?e v?ech 6 lid? odejde na stejn?m pat?e?
67. Do v?tahu nastoupilo 6 osob, budova m? 7 pater. Jak? je pravd?podobnost, ?e v?ech 6 lid? vystoup? v r?zn?ch patrech?
68. B?hem bou?ky do?lo k p?eru?en? dr?tu na ?seku mezi 40 a 79 km elektrick?ho veden?. Za p?edpokladu, ?e zlom je stejn? mo?n? v kter?mkoli bod?, najd?te pravd?podobnost, ?e zlom nastal mezi 40. a 45. kilometrem.
69. Na 200kilometrov?m ?seku plynovodu doch?z? k ?niku plynu mezi kompresorov?mi stanicemi A a B, kter? je stejn? mo?n? v kter?mkoli m?st? plynovodu. Jak? je pravd?podobnost, ?e k ?niku dojde do 20 km od A
70. Na 200kilometrov?m ?seku plynovodu doch?z? k ?niku plynu mezi kompresorov?mi stanicemi A a B, kter? je stejn? mo?n? v kter?mkoli m?st? plynovodu. Jak? je pravd?podobnost, ?e ?nik je bl??e k A ne? k B?
71. Radar inspektora dopravn? policie m? p?esnost 10 km/h a zaokrouhluje na nejbli??? stranu. Co se d?je ?ast?ji – zaokrouhlov?n? ve prosp?ch ?idi?e nebo revizora?
72. M??a str?v? na cest? do ?stavu 40 a? 50 minut a jak?koliv doba v tomto intervalu je stejn? pravd?podobn?. Jak? je pravd?podobnost, ?e str?v? na cest? 45 a? 50 minut.
73. P??a a M??a se dohodli, ?e se sejdou u pomn?ku Pu?kina od 12 do 13 hodin, ale nikdo nedok?zal uv?st p?esn? ?as p??jezdu. Dohodli se, ?e na sebe po?kaj? 15 minut. Jak? je pravd?podobnost jejich setk?n??
74. Ryb??i ulovili v rybn?ku 120 ryb, z toho 10 okrou?kovan?ch. Jak? je pravd?podobnost uloven? krou?kovan? ryby?
75. Z ko??ku obsahuj?c?ho 3 ?erven? a 7 zelen?ch jablek postupn? vyjm?te v?echna jablka. Jak? je pravd?podobnost, ?e 2. jablko je ?erven??
76. Z ko??ku obsahuj?c?ho 3 ?erven? a 7 zelen?ch jablek postupn? vyjm?te v?echna jablka. Jak? je pravd?podobnost, ?e posledn? jablko je zelen??
77. Studenti se domn?vaj?, ?e z 50 l?stk? je 10 „dobr?ch“. P??a a M??a se st??dav? tahaj? po jednom l?stku. Jak? je pravd?podobnost, ?e M??a dostala "dobr?" l?stek?
78. Studenti se domn?vaj?, ?e z 50 l?stk? je 10 „dobr?ch“. P??a a M??a se st??dav? tahaj? po jednom l?stku. Jak? je pravd?podobnost, ?e oba dostali „dobr?“ tiket?
79. M??a p?i?la ke zkou?ce se znalost? odpov?d? na 20 ot?zek programu z 25. Profesor polo?? 3 ot?zky. Jak? je pravd?podobnost, ?e M??a odpov? na 3 ot?zky?
80. M??a p?i?la ke zkou?ce se znalost? odpov?d? na 20 ot?zek programu z 25. Profesor polo?? 3 ot?zky. Jak? je pravd?podobnost, ?e M??a neodpov? na ??dnou z ot?zek?
81. M??a p?i?la ke zkou?ce se znalost? odpov?d? na 20 ot?zek programu z 25. Profesor polo?? 3 ot?zky. Jak? je pravd?podobnost, ?e M??a odpov? na 1 ot?zku?
82. Statistika ??dost? o bankovn? ?v?r je n?sleduj?c?: 10 % - stav. ??ady, 20 % – ostatn? banky, zbytek – fyzick? osoby. Pravd?podobnost nespl?cen? ?v?ru je 0,01, 0,05 a 0,2. Jak? ??st p?j?ek je nevratn??
83. pravd?podobnost, ?e t?denn? obrat obchodn?ka se zmrzlinou p?es?hne 2000 rubl?. je 80 % za jasn?ho po?as?, 50 % za polojasno a 10 % za de?tiv?ho po?as?. Jak? je pravd?podobnost, ?e obrat p?es?hne 2000 rubl?. pokud je pravd?podobnost jasn?ho po?as? 20% a polojasno a de?tivo - ka?d? 40%.
84. B?l? (b) a C jsou v urn? A ?ern? (h) koule. Z urny se vyjmou dva m??ky (sou?asn? nebo postupn?). Najd?te pravd?podobnost, ?e ob? koule jsou b?l?.
85. V urn? A b?l? a B
86. V urn? A b?l? a B
87. V urn? A b?l? a B ?ern? koule. Z urny se vyjme jeden m??ek, ozna?? se jeho barva a m?? se vr?t? do urny. Pot? se z urny odebere dal?? m??. Najd?te pravd?podobnost, ?e tyto koule budou m?t r?zn? barvy.
88. Je tam krabice s dev?ti nov?mi tenisov?mi m??ky. Na hru se berou t?i m??e; po h?e jsou vr?ceny zp?t. P?i v?b?ru m??? nerozli?uj? odehran? a neodehran? m??e. Jak? je pravd?podobnost, ?e po t?ech hr?ch nebudou v krabici ??dn? neodehran? m??e?
89. Opu?t?n? bytu, N ka?d? host si obl?kne vlastn? galo?e;
90. Opu?t?n? bytu, N host? se stejnou velikost? bot si ve tm? nazouvaj? galo?e. Ka?d? z nich dok??e rozli?it pravou galusku od lev?, ale nedok??e rozeznat svou vlastn? od ciz?. Najd?te pravd?podobnost, ?e ka?d? host si obl?kne galo?e pat??c? jednomu p?ru (mo?n? ne vlastn?).
91. Za podm?nek ?lohy 90 najd?te pravd?podobnost, ?e v?ichni odejdou ve sv?ch galo??ch pokud host? nemohou rozli?it prav? galo?e od lev? a jednodu?e vezmou prvn? dv? galo?e, kter? naraz?.
92. Prob?h? st?elba na letadlo, jeho? zraniteln?mi ??stmi jsou dva motory a kokpit. K zasa?en? (vy?azen?) letadla sta?? zas?hnout oba motory dohromady nebo kokpit. Za dan?ch podm?nek st?elby je pravd?podobnost zasa?en? prvn?ho motoru p1 druh? motor p2, kokpitu p3.??sti letadla jsou ovlivn?ny nez?visle na sob?. Najd?te pravd?podobnost, ?e letadlo bude zasa?eno.
93. Dva st?elci, nez?visle na sob?, vyst?el? dv? r?ny (ka?d? na sv?j c?l). Pravd?podobnost zasa?en? c?le jednou ranou pro prvn?ho st?elce p1 za druh? p2. V?t?zem sout??e se st?v? st?elec, v jeho? ter?i bude v?ce jamek. Naj?t pravd?podobnost Rx co vyhraje prvn? st?elec.
94. za vesm?rn?m objektem je objekt s pravd?podobnost? detekov?n R. Detekce objekt? v ka?d?m cyklu prob?h? nez?visle na ostatn?ch. Najd?te pravd?podobnost, ?e kdy P cyklech bude objekt detekov?n.
95. Na ?ezan?ch kart?ch abecedy je naps?no 32 p?smen rusk? abecedy. N?hodn? se vylosuje p?t karet jedna po druh? a polo?? se na st?l v po?ad?, v jak?m se objevuj?. Najd?te pravd?podobnost, ?e bude z?sk?no slovo „konec“.
96. Dv? koule jsou n?hodn? a nez?visle na sob? rozpt?leny po ?ty?ech bu?k?ch um?st?n?ch za sebou v p??mce. Ka?d? m??ek se stejnou pravd?podobnost? 1/4 zas?hne ka?dou bu?ku. Najd?te pravd?podobnost, ?e koule spadnou do sousedn?ch bun?k.
97. Na letadlo jsou vyst?elov?ny z?paln? projektily. Palivo v letadle je soust?ed?no do ?ty? n?dr?? um?st?n?ch v trupu za sebou. Velikosti n?dr?? jsou stejn?. K zap?len? letadla sta?? zas?hnout dva n?boje bu? do stejn? n?dr?e, nebo do sousedn?ch n?dr??. Je zn?mo, ?e dv? st?ely zas?hly prostor tanku. Najd?te pravd?podobnost, ?e letadlo vzplane.
98. Z pln?ho bal??ku karet (52 list?) jsou najednou vyjmuty ?ty?i karty. Najd?te pravd?podobnost, ?e v?echny ?ty?i tyto karty jsou stejn? barvy.
99. Z pln?ho bal??ku karet (52 list?) se vyjmou ?ty?i karty najednou, ale ka?d? karta se po vyjmut? vr?t? zp?t do bal??ku. Najd?te pravd?podobnost, ?e v?echny ?ty?i karty jsou stejn? barvy.
100. Po zapnut? zapalov?n? se motor s pravd?podobnost? spust? R.
101. Za??zen? m??e pracovat ve dvou re?imech: 1) norm?ln? a 2) abnorm?ln?. Norm?ln? re?im je pozorov?n v 80% v?ech p??pad? provozu za??zen?; abnorm?ln? - ve 20 %. Pravd?podobnost selh?n? za??zen? v ?ase t v norm?ln?m re?imu je 0,1; v abnorm?ln?m - 0,7. Naj?t celkovou pravd?podobnost R selh?n? za??zen?.
102. Prodejna p?ij?m? zbo?? od 3 dodavatel?: 55% od 1., 20 od 2. a 25% od 3. Pod?l man?elstv? je 5, 6 a 8 procent. Jak? je pravd?podobnost, ?e zakoupen? vadn? v?robek poch?zel od druh?ho dodavatele.
103. Tok automobil? kolem ?erpac?ch stanic tvo?? 60 % n?kladn?ch vozidel a 40 % osobn?ch automobil?. Jak? je pravd?podobnost nalezen? kamionu na ?erpac? stanici, pokud je pravd?podobnost natankov?n? 0,1 a osobn?ho auta 0,3
104. Tok automobil? kolem ?erpac?ch stanic tvo?? 60 % n?kladn?ch vozidel a 40 % osobn?ch automobil?. Jak? je pravd?podobnost nalezen? kamionu na ?erpac? stanici, pokud je pravd?podobnost natankov?n? 0,1 a osobn?ho auta 0,3
105. Prodejna p?ij?m? zbo?? od 3 dodavatel?: 55% od 1., 20 od 2. a 25% od 3. Pod?l man?elstv? je 5, 6 a 8 procent. Jak? je pravd?podobnost, ?e zakoupen? vadn? v?robek poch?zel od 1. dodavatele.
106. Na ?ezan?ch kart?ch abecedy je naps?no 32 p?smen rusk? abecedy. N?hodn? se vylosuje p?t karet jedna po druh? a polo?? se na st?l v po?ad?, v jak?m se objevuj?. Najd?te pravd?podobnost, ?e dostanete slovo „kniha“.
107. Prodejna p?ij?m? zbo?? od 3 dodavatel?: 55% od 1., 20 od 2. a 25% od 3. Pod?l man?elstv? je 5, 6 a 8 procent. Jak? je pravd?podobnost, ?e zakoupen? vadn? v?robek poch?zel od 1. dodavatele.
108. Dva m??ky jsou n?hodn? a nez?visle na sob? rozm?st?ny po ?ty?ech bu?k?ch um?st?n?ch za sebou v p??mce. Ka?d? m??ek se stejnou pravd?podobnost? 1/4 zas?hne ka?dou bu?ku. Najd?te pravd?podobnost, ?e 2 kuli?ky padnou do stejn? bu?ky
109. Po zapnut? zapalov?n? za?ne motor s pravd?podobnost? pracovat R. Najd?te pravd?podobnost, ?e se motor rozb?hne p?i druh?m zapnut? zapalov?n?;
110. Na letadlo jsou vyp?leny z?paln? projektily. Palivo v letadle je soust?ed?no do ?ty? n?dr?? um?st?n?ch v trupu za sebou. Velikosti n?dr?? jsou stejn?. K zap?len? letadla sta?? zas?hnout dva n?boje do stejn? n?dr?e. Je zn?mo, ?e dv? st?ely zas?hly prostor tanku. Najd?te pravd?podobnost, ?e letadlo vzplane
111. Na letadlo jsou vyp?leny z?paln? projektily. Palivo v letadle je soust?ed?no do ?ty? n?dr?? um?st?n?ch v trupu za sebou. Velikosti n?dr?? jsou stejn?. K zap?len? letadla sta?? zas?hnout dva gran?ty v sousedn?ch n?dr??ch. Je zn?mo, ?e dv? st?ely zas?hly prostor tanku. Najd?te pravd?podobnost, ?e letadlo vzplane
112. V urn? A b?l? a B ?ern? koule. Z urny se vyjme jeden m??ek, ozna?? se jeho barva a m?? se vr?t? do urny. Pot? se z urny odebere dal?? m??. Najd?te pravd?podobnost, ?e ob? ta?en? koule jsou b?l?.
113. V urn? A b?l? a B ?ern? koule. Z urny jsou vyjmuty dva m??ky najednou. Najd?te pravd?podobnost, ?e tyto koule budou m?t r?zn? barvy.
114. Dva m??ky jsou n?hodn? a nez?visle na sob? rozpt?leny po ?ty?ech bu?k?ch um?st?n?ch za sebou v p??mce. Ka?d? m??ek se stejnou pravd?podobnost? 1/4 zas?hne ka?dou bu?ku. Najd?te pravd?podobnost, ?e koule spadnou do sousedn?ch bun?k.
115. M??a p?i?la ke zkou?ce s t?m, ?e zn? odpov?di na 20 ot?zek programu z 25. Profesor polo?? 3 ot?zky. Jak? je pravd?podobnost, ?e M??a odpov? na 2 ot?zky?
116. Studenti se domn?vaj?, ?e z 50 l?stk? je 10 „dobr?ch“. P??a a M??a se st??dav? tahaj? po jednom l?stku. Jak? je pravd?podobnost, ?e oba dostali „dobr?“ tiket?
117. Statistika ??dost? o bankovn? ?v?r je n?sleduj?c?: 10 % - stav. ??ady, 20 % – ostatn? banky, zbytek – fyzick? osoby. Pravd?podobnost nespl?cen? ?v?ru je 0,01, 0,05 a 0,2. Jak? ??st p?j?ek je nevratn??
118. Na ?ezan?ch kart?ch abecedy je naps?no 32 p?smen rusk? abecedy. N?hodn? se vylosuje p?t karet jedna po druh? a polo?? se na st?l v po?ad?, v jak?m se objevuj?. Najd?te pravd?podobnost, ?e bude z?sk?no slovo „konec“.
119 Statistika ??dost? o bankovn? ?v?ry je n?sleduj?c?: 10 % - stav. ??ady, 20 % – ostatn? banky, zbytek – fyzick? osoby. Pravd?podobnost nespl?cen? ?v?ru je 0,01, 0,05 a 0,2. Jak? ??st p?j?ek je nevratn??
120. pravd?podobnost, ?e t?denn? obrat obchodn?ka se zmrzlinou p?es?hne 2000 rubl?. je 80 % za jasn?ho po?as?, 50 % za polojasno a 10 % za de?tiv?ho po?as?. Jak? je pravd?podobnost, ?e obrat p?es?hne 2000 rubl?. pokud je pravd?podobnost jasn?ho po?as? 20% a polojasno a de?tivo - ka?d? 40%.
Formul?? ud?lost? cel? skupina, pokud se alespo? jedna z nich nutn? objev? jako v?sledek experimentu a jsou p?rov? nekonzistentn?.
P?edpokl?dejme, ?e ud?lost A m??e nastat pouze spole?n? s jednou z n?kolika p?rov? nekompatibiln?ch ud?lost?, kter? tvo?? kompletn? skupinu. Zavolejme ud?losti i= 1, 2,…, n) hypot?zy dal?? zku?enosti (a priori). Pravd?podobnost v?skytu ud?losti A je ur?ena vzorcem pln? pravd?podobnost :
P??klad 16 Jsou tam t?i urny. Prvn? urna obsahuje 5 b?l?ch a 3 ?ern? koule, druh? urna obsahuje 4 b?l? a 4 ?ern? koule a t?et? urna obsahuje 8 b?l?ch kuli?ek. Jedna z uren je vybr?na n?hodn? (m??e to nap??klad znamenat, ?e se vyb?r? z pomocn? urny obsahuj?c? t?i kuli?ky o??slovan? 1, 2 a 3). Z t?to urny je n?hodn? vylosov?n m??ek. Jak? je pravd?podobnost, ?e bude ?ern??
?e?en?. ud?lost A– je nakreslena ?ern? koule. Pokud by se v?d?lo, ze kter? urny se m?? losuje, pak by se po?adovan? pravd?podobnost dala vypo??tat podle klasick? definice pravd?podobnosti. Uve?me p?edpoklady (hypot?zy), kter? urna je vybr?na k vyta?en? m??e.
M?? lze losovat bu? z prvn? urny (hypot?za ), nebo z druh? (hypot?za ), nebo ze t?et? (hypot?za ). Proto?e jsou stejn? ?ance vybrat si kteroukoli z uren 
.
Z toho tedy vypl?v?
P??klad 17. Elektrick? lampy se vyr?b?j? ve t?ech tov?rn?ch. Prvn? z?vod vyr?b? 30% z celkov?ho po?tu elektrick?ch lamp, druh? - 25%,
a t?et? pro zbytek. V?robky prvn?ho z?vodu obsahuj? 1% vadn?ch elektrick?ch lamp, druh? - 1,5%, t?et? - 2%. Obchod p?ij?m? produkty ze v?ech t?? tov?ren. Jak? je pravd?podobnost, ?e lampa zakoupen? v obchod? je vadn??
?e?en?. Je t?eba zadat p?edpoklady, ve kter?m z?vod? byla ??rovka vyrobena. Kdy? to v?me, m??eme naj?t pravd?podobnost, ?e je vadn?. Zavedeme notaci ud?lost?: A– zakoupen? elektrick? lampa se uk?zala jako vadn?, – lampu vyrobila prvn? tov?rna, – lampu vyrobila druh? tov?rna,
– lampu vyr?b? t?et? tov?rna.
Po?adovanou pravd?podobnost zjist?me vzorcem celkov? pravd?podobnosti:
Bayes?v vzorec. Nech? je kompletn? skupina p?rov? neslu?iteln?ch ud?lost? (hypot?z). ALE je n?hodn? ud?lost. Pak,
Posledn? vzorec, kter? v?m umo?n? nadhodnotit pravd?podobnosti hypot?z pot?, co bude zn?m v?sledek testu, v jeho? d?sledku se objevila ud?lost A, se naz?v? Bayes?v vzorec .
P??klad 18. Pr?m?rn? 50 % pacient? s onemocn?n?m je p?ijato do specializovan? nemocnice Na, 30 % s nemoc? L, 20 % –
s nemoc? M. Pravd?podobnost ?pln?ho vyl??en? nemoci K rovn? se 0,7 pro nemoci L a M tyto pravd?podobnosti jsou 0,8 a 0,9. Pacient p?ijat? do nemocnice byl propu?t?n zdrav?. Najd?te pravd?podobnost, ?e tento pacient m?l onemocn?n? K.
?e?en?. Zav?d?me hypot?zy: - pacient trp?l onemocn?n?m Na L, pacient trp?l onemocn?n?m M.
Pak, podle stavu probl?mu, m?me . Poj?me si p?edstavit ud?lost ALE Pacient p?ijat? do nemocnice byl propu?t?n zdrav?. Podle stavu
Podle vzorce celkov? pravd?podobnosti dostaneme:
Bayes?v vzorec.
P??klad 19. Nech? je v urn? p?t kuli?ek a v?echny p?edpoklady o po?tu b?l?ch kuli?ek jsou stejn? pravd?podobn?. Z urny je n?hodn? odebr?n m?? a uk??e se, ?e je b?l?. Jak? je nejpravd?podobn?j?? p?edpoklad o po??te?n?m slo?en? urny?
?e?en?. Budi? hypot?za, ?e v urn? b?l? koule 
, tj. je mo?n? u?init ?est p?edpoklad?. Pak, podle stavu probl?mu, m?me .
Poj?me si p?edstavit ud?lost ALE N?hodn? vylosovan? b?l? koule. Poj?me po??tat. Od , pak podle Bayesova vzorce m?me: 
Hypot?za je tedy nejpravd?podobn?j??, proto?e .
P??klad 20. Dva ze t?? nez?visle funguj?c?ch prvk? v?po?etn?ho za??zen? selhaly. Najd?te pravd?podobnost, ?e prvn? a druh? prvek selhal, pokud pravd?podobnost selh?n? prvn?ho, druh?ho a t?et?ho prvku je rovna 0,2; 0,4 a 0,3.
?e?en?. Ozna?it podle ALE ud?lost - dva prvky selhaly. Lze vytvo?it n?sleduj?c? hypot?zy:
- prvn? a druh? prvek selhal a t?et? prvek je provozuschopn?. Proto?e prvky pracuj? nez?visle, plat? v?ta o n?soben?:
Bayes?v vzorec
Bayesova v?ta- jedna z hlavn?ch v?t element?rn? teorie pravd?podobnosti, kter? ur?uje pravd?podobnost ud?losti nast?vaj?c? za podm?nek, kdy jsou na z?klad? pozorov?n? zn?my jen n?kter? d?l?? informace o ud?lostech. Podle Bayesova vzorce je mo?n? p?esn?ji p?epo??tat pravd?podobnost s p?ihl?dnut?m jak k d??ve zn?m?m informac?m, tak ?daj?m z nov?ch pozorov?n?.
"Fyzik?ln? v?znam" a terminologie
Bayes?v vzorec umo??uje „p?eskupit p???inu a n?sledek“: na z?klad? zn?m? skute?nosti ud?losti vypo??tat pravd?podobnost, ?e byla zp?sobena danou p???inou.
Ud?losti odr??ej?c? p?soben? „p???in“ se v tomto p??pad? obvykle naz?vaj? hypot?zy, proto?e oni jsou domn?l? ud?losti, kter? k tomu vedly. Bezpodm?ne?n? pravd?podobnost platnosti hypot?zy se naz?v? a priori(Jak pravd?podobn? je p???ina? obvykle), a podm?n?n? – s p?ihl?dnut?m ke skute?nosti ud?losti – a posteriori(Jak pravd?podobn? je p???ina? se uk?zalo, ?e bere v ?vahu data ud?losti).
N?sledek
D?le?it?m d?sledkem Bayesova vzorce je vzorec pro celkovou pravd?podobnost ud?losti v z?vislosti na n?kolik nekonzistentn? hypot?zy ( a jen od nich!).
- pravd?podobnost v?skytu ud?losti B v z?vislosti na ?ad? hypot?z A i pokud jsou zn?my stupn? spolehlivosti t?chto hypot?z (nap??klad m??eny experiment?ln?); Odvozen? vzorce
Pokud ud?lost z?vis? pouze na p???in?ch A i, pak pokud se to stalo, znamen? to, ?e se nutn? stal n?kter? z d?vod?, tzn.
Podle Bayesova vzorce
p?evod P(B) vpravo z?sk?me po?adovan? v?raz.
Metoda filtrov?n? spamu
Metoda zalo?en? na Bayesov? teor?mu byla ?sp??n? pou?ita p?i filtrov?n? spamu.
Popis
P?i tr?nov?n? filtru se pro ka?d? slovo vyskytuj?c? se v p?smenech vypo??t? a ulo?? jeho „v?ha“ – pravd?podobnost, ?e p?smeno s t?mto slovem je spam (v nejjednodu???m p??pad? podle klasick? definice pravd?podobnosti: „objeven? se ve spamu / vzhled v?eho“).
P?i kontrole nov? p??choz?ho dopisu se pravd?podobnost, ?e se jedn? o spam, vypo??t? pomoc? v??e uveden?ho vzorce pro sadu hypot?z. V tomto p??pad? jsou „hypot?zy“ slova a pro ka?d? slovo „spolehlivost hypot?zy“ - % tohoto slova v dopise a „z?vislost ud?losti na hypot?ze“ P(B | A i) - d??ve vypo??tan? "v?ha" slova. To znamen?, ?e „v?ha“ dopisu v tomto p??pad? nen? nic jin?ho ne? pr?m?rn? „v?ha“ v?ech jeho slov.
Dopis je klasifikov?n jako „spam“ nebo „non-spam“ podle toho, zda jeho „v?ha“ p?esahuje ur?itou la?ku nastavenou u?ivatelem (obvykle se bere 60-80 %). Po rozhodnut? o p?smenu se v datab?zi aktualizuj? „v?hy“ slov v n?m obsa?en?ch.
Charakteristick?
Tato metoda je jednoduch? (algoritmy jsou element?rn?), pohodln? (umo??uje obej?t se bez „?ern?ch listin“ a podobn?ch um?l?ch trik?), ??inn? (po natr?nov?n? na dostate?n? velk?m vzorku od??zne a? 95–97 % spamu a v p??pad? jak?chkoliv chyb lze d?le tr?novat). Obecn? v?e nasv?d?uje jeho ?irok?mu pou?it?, co? se v praxi d?je – na jeho z?klad? jsou postaveny t?m?? v?echny modern? spamov? filtry.
Metoda m? v?ak tak? z?sadn? nev?hodu: je na z?klad? p?edpokladu, co n?kter? slova jsou b??n?j?? ve spamu, zat?mco jin? jsou b??n?j?? v b??n?ch e-mailech a je neefektivn?, pokud je tento p?edpoklad nepravdiv?. Jak v?ak ukazuje praxe, ani ?lov?k nen? schopen ur?it takov? spam "od oka" - a? po p?e?ten? dopisu a pochopen? jeho v?znamu.
Dal??, nikoliv z?sadn?, nev?hoda spojen? s implementac? – metoda pracuje pouze s textem. S v?dom?m tohoto omezen? za?ali spame?i do obr?zku vkl?dat reklamn? informace, zat?mco text v dopise bu? chyb?, nebo ned?v? smysl. Proti tomu je t?eba pou??t bu? n?stroje pro rozpozn?v?n? textu ("drah?" postup, kter? se pou??v? pouze v nezbytn? nutn?ch p??padech), nebo star? metody filtrov?n? - "?ern? listiny" a regul?rn? v?razy (proto?e takov? p?smena maj? ?asto stereotypn? podobu).
viz tak?
Pozn?mky
Odkazy
Literatura
- Byrd Kiwi. Bayesova v?ta. // ?asopis Computerra, 24. srpna 2001
- Paul Graham. Pl?n na spam. // Osobn? str?nky Paula Grahama.
Nadace Wikimedia. 2010 .
Pod?vejte se, co je "Bayes?v vzorec" v jin?ch slovn?c?ch:
Vzorec, kter? vypad? takto: kde a1, A2, ..., An jsou neslu?iteln? ud?losti, Obecn? sch?ma pro aplikaci F. v. g.: jestli?e ud?lost B m??e nastat v dekomp. podm?nky, za kter?ch je vytvo?eno n hypot?z A1, A2, ..., An s pravd?podobnostmi P (A1), ... zn?m?mi p?ed experimentem, ... ... Geologick? encyklopedie
Umo??uje vypo??tat pravd?podobnost ud?losti z?jmu prost?ednictv?m podm?n?n?ch pravd?podobnost? t?to ud?losti za p?edpokladu ur?it?ch hypot?z, jako? i pravd?podobnost? t?chto hypot?z. Formulace Nech? je d?n pravd?podobnostn? prostor a ?pln? skupina ve dvojic?ch ... ... Wikipedie
Umo??uje vypo??tat pravd?podobnost ud?losti z?jmu prost?ednictv?m podm?n?n?ch pravd?podobnost? t?to ud?losti za p?edpokladu ur?it?ch hypot?z, jako? i pravd?podobnost? t?chto hypot?z. Formulace Nech? je d?n pravd?podobnostn? prostor a ?pln? skupina ud?lost?, jako ... ... Wikipedie
- (nebo Bayes?v vzorec) je jedn?m z hlavn?ch teor?m? teorie pravd?podobnosti, kter? umo??uje ur?it pravd?podobnost, ?e k n?jak? ud?losti (hypot?ze) do?lo za p??tomnosti pouze nep??m?ch d?kaz? (dat), kter? mohou b?t nep?esn? ... Wikipedia
Bayes?v teor?m je jedn?m z hlavn?ch teor?m? element?rn? teorie pravd?podobnosti, kter? ur?uje pravd?podobnost ud?losti nast?vaj?c? za podm?nek, kdy jsou na z?klad? pozorov?n? zn?my pouze n?kter? d?l?? informace o ud?lostech. Podle Bayesova vzorce m??ete ... ... Wikipedie
Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Datum narozen?: 1702 (1702) M?sto narozen? ... Wikipedia
Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Datum narozen?: 1702 (1702) M?sto narozen?: Lond?n ... Wikipedia
Bayesovsk? inference je jednou z metod statistick? inference, ve kter? se Bayes?v vzorec pou??v? k up?esn?n? pravd?podobnostn?ch odhad? pravdivosti hypot?z, kdy? se objev? d?kazy. Pou?it? bayesovsk? aktualizace je obzvl??t? d?le?it? v ... ... Wikipedii
Pro vylep?en? tohoto ?l?nku je ??douc??: Najd?te a uspo??dejte ve form? pozn?mek pod ?arou odkazy na autoritativn? zdroje, kter? potvrzuj? to, co je naps?no. Poznamenejte si pozn?mky pod ?arou a uve?te p?esn?j?? ?daje o zdroj?ch. Pere ... Wikipedie
Zrad? se v?zni navz?jem, sleduj?ce sv? vlastn? sobeck? z?jmy, nebo budou ml?et, ??m? zkr?t? celkov? term?n? Prisoner's dilemma (angl. Prisoner's dilemma, n?zev "dilema" se pou??v? m?n? ... Wikipedia
knihy
- Teorie pravd?podobnosti a matematick? statistika v ?loh?ch: V?ce ne? 360 ?loh a cvi?en?, Borzykh D. Navrhovan? manu?l obsahuje probl?my r?zn? ?rovn? slo?itosti. Hlavn? d?raz je v?ak kladen na ?lohy st?edn? slo?itosti. To je z?m?rn? provedeno s c?lem povzbudit studenty, aby…
Stru?n? teorie
Pokud k ud?losti dojde pouze tehdy, dojde-li k jedn? z ud?lost? tvo??c?ch ?plnou skupinu neslu?iteln?ch ud?lost?, pak se rovn? sou?tu sou?in? pravd?podobnost? ka?d? z ud?lost? a odpov?daj?c? podm?n?n? pravd?podobnostn? pen??enky .
V tomto p??pad? se ud?losti naz?vaj? hypot?zy a pravd?podobnosti a priori. Tento vzorec se naz?v? vzorec celkov? pravd?podobnosti.
Bayes?v vzorec se pou??v? p?i ?e?en? praktick?ch probl?m?, kdy nastala ud?lost, kter? se objev? spolu s n?kterou z ud?lost? tvo??c?ch ucelenou skupinu ud?lost? a je t?eba prov?st kvantitativn? p?ehodnocen? pravd?podobnost? hypot?z. A priori (p?ed zku?enostmi) pravd?podobnosti jsou zn?my. Je t?eba vypo??tat a posteriori (po zku?enostech) pravd?podobnosti, tzn. V podstat? mus?te naj?t podm?n?n? pravd?podobnosti. Bayes?v vzorec vypad? takto:
Dal?? str?nka se zab?v? probl?mem na .
P??klad ?e?en? probl?mu
Podm?nka ?kolu 1
V tov?rn? vyr?b? stroje 1, 2 a 3 20 %, 35 % a 45 % v?ech d?l?. V jejich produktech je vada 6%, 4%, 2%. Jak? je pravd?podobnost, ?e n?hodn? vybran? polo?ka je vadn?? Jak? je pravd?podobnost, ?e byl vyroben: a) strojem 1; b) stroj 2; c) stroj 3?
?e?en? probl?mu 1
Ozna?te p??pad, kdy se standardn? v?robek uk?zal jako vadn?.
Ud?lost m??e nastat, pouze pokud nastane jedna ze t?? ud?lost?:
V?robek se vyr?b? na stroji 1;
V?robek se vyr?b? na stroji 2;
V?robek se vyr?b? na stroji 3;
Napi?me podm?n?n? pravd?podobnosti:
Vzorec celkov? pravd?podobnosti
Pokud k ud?losti m??e doj?t pouze tehdy, kdy? dojde k jedn? z ud?lost?, kter? tvo?? ?plnou skupinu neslu?iteln?ch ud?lost?, pak se pravd?podobnost ud?losti vypo??t? podle vzorce
Pomoc? vzorce celkov? pravd?podobnosti zjist?me pravd?podobnost ud?losti:
Bayes?v vzorec
Bayes?v vzorec umo??uje „p?eskupit p???inu a n?sledek“: na z?klad? zn?m? skute?nosti ud?losti vypo??tat pravd?podobnost, ?e byla zp?sobena danou p???inou.
Pravd?podobnost, ?e vadn? polo?ka byla vyrobena na stroji 1:
Pravd?podobnost, ?e vadn? polo?ka byla vyrobena na stroji 2:
Pravd?podobnost, ?e vadn? polo?ka byla vyrobena na stroji 3:
Podm?nka ?kolu 2
Skupinu tvo?? 1 v?born? student, 5 dobr?ch student? a 14 pr?m?rn?ch student?. Vynikaj?c? student odpov?d? na 5 a 4 se stejnou pravd?podobnost?, dobr? student odpov?d? na 5, 4 a 3 se stejnou pravd?podobnost? a pr?m?rn? student odpov?d? na 4, 3 a 2 se stejnou pravd?podobnost?. N?hodn? vybran? student odpov?d?l 4. Jak? je pravd?podobnost, ?e byl zavol?n pr?m?rn? student?
?e?en? probl?mu 2
Hypot?zy a podm?n?n? pravd?podobnosti
Jsou mo?n? n?sleduj?c? hypot?zy:
Vynikaj?c? student odpov?d?l;
Odpov?d?l dob?e;
– odpov?d?l pr?m?rn? student;
Nechte ud?lost – student z?skat 4.
Podm?n?n? pravd?podobnosti:
Odpov?d?t:
St?edn? n?klady na ?e?en? kontroln?ch prac? jsou 700 - 1200 rubl? (ale ne m?n? ne? 300 rubl? za celou objedn?vku). Cena je siln? ovlivn?na nal?havost? rozhodnut? (od dn? po n?kolik hodin). N?klady na online pomoc p?i zkou?ce / testu - od 1 000 rubl?. pro ?e?en? j?zdenek.
Aplikaci lze ponechat p??mo v chatu po p?edchoz?m vyhozen? stavu ?kol? a informov?n? o term?nech ?e?en?. Doba odezvy je n?kolik minut.
Nech? jsou zn?m? jejich pravd?podobnosti a odpov?daj?c? podm?n?n? pravd?podobnosti. Pak pravd?podobnost, ?e k ud?losti dojde, je:
Tento vzorec se naz?v? vzorce celkov? pravd?podobnosti. V u?ebnic?ch je formulov?n v?tou, jej?? d?kaz je element?rn?: podle algebra ud?lost?, (ud?lost se stala a nebo se stala ud?lost a pot?, co p?i?la ud?lost nebo se stala ud?lost a pot?, co p?i?la ud?lost nebo …. nebo se stala ud?lost a n?sledovan? ud?lost). Vzhledem k tomu, hypot?zy 
jsou nekompatibiln? a ud?lost je z?visl?, pak podle s??tac? teor?m pro pravd?podobnosti neslu?iteln?ch ud?lost? (Prvn? krok) a v?ta o n?soben? pravd?podobnost? z?visl?ch ud?lost? (druh? krok):
Pravd?podobn? mnoz? p?edj?maj? obsah prvn?ho p??kladu =)
Kamkoli plive? - v?ude urna:
?kol 1
Existuj? t?i stejn? urny. Prvn? urna obsahuje 4 b?l? a 7 ?ern?ch kuli?ek, druh? urna obsahuje pouze b?l? koule a t?et? urna obsahuje pouze ?ern? koule. N?hodn? se vybere jedna urna a n?hodn? se z n? vylosuje m??ek. Jak? je pravd?podobnost, ?e tato koule je ?ern??
?e?en?: zva?te ud?lost - z n?hodn? vybran? urny bude vylosov?na ?ern? koule. Tato ud?lost m??e nastat v d?sledku implementace jedn? z n?sleduj?c?ch hypot?z:
– bude vybr?na 1. urna;
– bude vybr?na 2. urna;
– bude vybr?na 3. urna.
Vzhledem k tomu, ?e urna je vybr?na n?hodn?, v?b?r kter?koli ze t?? uren stejn? mo?n?, Tud??: 
V?imn?te si, ?e v??e uveden? hypot?zy se tvo?? cel? skupina akc?, tedy podle podm?nky se ?ern? koule m??e objevit pouze z t?chto uren a nap??klad nel?tat z kule?n?kov?ho stolu. Ud?lejme jednoduchou mezikontrolu: 
Dob?e, poj?me d?l:
Prvn? urna obsahuje 4 b?l? + 7 ?ern?ch = 11 m??k?, ka?d? klasick? definice:
je pravd?podobnost vyta?en? ?ern? koule za podm?nky?e bude vybr?na 1. urna.
Druh? urna obsahuje pouze b?l? kuli?ky, tak?e pokud je vybr?n vzhled ?ern? koule se st?v? nemo?n?: .
A kone?n?, ve t?et? urn? jsou pouze ?ern? koule, co? znamen?, ?e odpov?daj?c? podm?n?n? pravd?podobnost extrakce ?ern? koule bude (ud?lost je jist?).
je pravd?podobnost, ?e z n?hodn? vybran? urny bude vyta?ena ?ern? koule.
Odpov?d?t:
Analyzovan? p??klad op?t nazna?uje, jak d?le?it? je ROZUM?T PODM?N?. Vezm?me si stejn? probl?my s urnami a m??ky - s jejich vn?j?? podobnost? mohou b?t zp?soby ?e?en? zcela odli?n?: n?kde je t?eba aplikovat pouze klasick? definice pravd?podobnosti, n?kde akce nez?visl?, n?kde z?visl? a n?kde se bav?me o hypot?z?ch. Z?rove? neexistuje jasn? form?ln? krit?rium pro v?b?r cesty ?e?en? – t?m?? v?dy je pot?eba o tom p?em??let. Jak zlep?it sv? dovednosti? ?e??me, ?e??me a zase ?e??me!
?kol 2
Na st?elnici je 5 r?zn?ch pu?ek. Pravd?podobnost z?sahu c?le pro dan?ho st?elce je rovna 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 a 0,4. Jak? je pravd?podobnost z?sahu c?le, pokud st?elec vyst?el? jednu r?nu z n?hodn? vybran? pu?ky?
Kr?tk? ?e?en? a odpov?? na konci lekce.
Ve v?t?in? tematick?ch probl?m? nejsou hypot?zy samoz?ejm? stejn? pravd?podobn?:
?kol 3
V pyramid? je 5 pu?ek, z nich? t?i jsou vybaveny optick?m zam??ova?em. Pravd?podobnost, ?e st?elec zas?hne c?l p?i v?st?elu z pu?ky s teleskopick?m zam??ova?em je 0,95; u pu?ky bez teleskopick?ho zam??ova?e je tato pravd?podobnost 0,7. Najd?te pravd?podobnost, ?e c?l bude zasa?en, pokud st?elec vyst?el? jednu r?nu z n?hodn? vybran? pu?ky.
?e?en?: v tomto probl?mu je po?et pu?ek p?esn? stejn? jako v p?edchoz?m, ale existuj? pouze dv? hypot?zy:
- st?elec si vybere pu?ku s optick?m zam??ova?em;
- st?elec vybere pu?ku bez teleskopick?ho zam??ova?e.
Podle klasick? definice pravd?podobnosti: 
.
??zen?:
Zva?te ud?lost: - st?elec zas?hne c?l n?hodn? vybranou pu?kou.
Podle podm?nky: .
Podle vzorce celkov? pravd?podobnosti:
Odpov?d?t: 0,85
V praxi je docela p?ijateln? zkr?cen? zp?sob n?vrhu ?lohy, kter? tak? zn?te:
?e?en?: podle klasick? definice: 
jsou pravd?podobnosti v?b?ru pu?ky s optick?m zam??ova?em a bez n?j.
podle podm?nky, 
– pravd?podobnosti zasa?en? c?le p??slu?n?mi typy pu?ek.
Podle vzorce celkov? pravd?podobnosti:
je pravd?podobnost, ?e st?elec zas?hne c?l n?hodn? vybranou pu?kou.
Odpov?d?t: 0,85
N?sleduj?c? ?kol pro nez?visl? ?e?en?:
?kol 4
Motor pracuje ve t?ech re?imech: norm?ln?, nucen? a volnob?h. V re?imu volnob?hu je pravd?podobnost jeho selh?n? 0,05, v norm?ln?m re?imu - 0,1 a v nucen?m re?imu - 0,7. 70 % ?asu b??? motor v norm?ln?m re?imu a 20 % v nucen?m re?imu. Jak? je pravd?podobnost poruchy motoru b?hem provozu?
Jen pro p??pad, dovolte mi p?ipomenout - abyste z?skali pravd?podobnosti, mus?te procenta vyd?lit 100. Bu?te velmi opatrn?! Podle m?ch pozorov?n? se podm?nky ?loh pro vzorec celkov? pravd?podobnosti ?asto sna?? zam??ovat; a konkr?tn? jsem vybral takov? p??klad. ?eknu v?m tajemstv? - m?lem jsem se spletl =)
?e?en? na konci lekce (formulov?no stru?n?)
Probl?my pro Bayesovy vzorce
Materi?l ?zce souvis? s obsahem p?edchoz?ho odstavce. Nech? ud?lost nastane jako v?sledek realizace jedn? z hypot?z 
. Jak ur?it pravd?podobnost, ?e se konkr?tn? hypot?za uskute?nila?
Za podm?nky ta ud?lost u? se stalo, pravd?podobnosti hypot?z p?ecenil podle vzorc?, kter? dostaly jm?no anglick?ho kn?ze Thomase Bayese:
- pravd?podobnost, ?e se hypot?za uskute?nila; 
- pravd?podobnost, ?e se hypot?za uskute?nila;
…
je pravd?podobnost, ?e hypot?za byla pravdiv?.
Na prvn? pohled to vypad? jako naprost? absurdita – pro? p?epo??t?vat pravd?podobnosti hypot?z, kdy? u? jsou zn?m?? Ale ve skute?nosti je rozd?l:
- tohle je a priori(odhadem p?ed testy) pravd?podobnosti.
- tohle je a posteriori(odhadem po testy) pravd?podobnosti stejn?ch hypot?z, p?epo?ten? v souvislosti s "nov? objeven?mi okolnostmi" - s p?ihl?dnut?m k tomu, ?e event. Stalo.
Pod?vejme se na tento rozd?l na konkr?tn?m p??kladu:
?kol 5
Sklad obdr?el 2 ?ar?e produkt?: prvn? - 4000 kus?, druh? - 6000 kus?. Pr?m?rn? procento nestandardn?ch produkt? v prvn? d?vce je 20% a ve druh? - 10%. N?hodn? odebran? produkt ze skladu se uk?zal jako standardn?. Najd?te pravd?podobnost, ?e je: a) z prvn? v?rky, b) z druh? v?rky.
prvn? d?l ?e?en? spo??v? v pou?it? vzorce celkov? pravd?podobnosti. Jin?mi slovy, v?po?ty se prov?d?j? za p?edpokladu, ?e test dosud nevyrobeno a ud?lost "v?robek se uk?zal jako standardn?" dokud to nep?ijde.
Zva?me dv? hypot?zy:
- n?hodn? odebran? produkt bude z 1. ?ar?e;
- n?hodn? odebran? produkt bude z 2. ?ar?e.
Celkem: 4000 + 6000 = 10000 polo?ek skladem. Podle klasick? definice:
.
??zen?:
Zva?te z?vislou ud?lost: – polo?ka n?hodn? odebran? ze skladu bude Standard.
V prvn? v?rce 100 % - 20 % = 80 % standardn?ch produkt?, proto: 
za podm?nky?e pat?? 1. stran?.
Podobn? ve druh? v?rce 100 % - 10 % = 90 % standardn?ch produkt? a 
je pravd?podobnost, ?e n?hodn? vybran? polo?ka ve skladu bude standardn? polo?kou za podm?nky?e pat?? 2. stran?.
Podle vzorce celkov? pravd?podobnosti:
je pravd?podobnost, ?e n?hodn? vybran? produkt ze skladu bude standardn?m produktem.
??st dv?. P?edpokl?dejme, ?e se n?hodn? odebran? produkt ze skladu uk?zal jako standardn?. Tato fr?ze je p??mo naps?na v podm?nce a uv?d? skute?nost, ?e ud?lost Stalo.
Podle Bayesov?ch vzorc?:
a) - pravd?podobnost, ?e vybran? standardn? produkt pat?? do 1. ?ar?e;
b) - pravd?podobnost, ?e vybran? standardn? v?robek pat?? do 2. ?ar?e.
Po p?ecen?n? hypot?zy se samoz?ejm? st?le tvo?? cel? skupina:
(zkou?ka;-))
Odpov?d?t: 
Ivan Vasiljevi?, kter? op?t zm?nil profesi a stal se ?editelem z?vodu, n?m pom??e pochopit smysl p?ehodnocen? hypot?z. V?, ?e dnes 1. obchod odeslal do skladu 4000 polo?ek a 2. obchod - 6000 v?robk?, a jde se o tom p?esv?d?it. P?edpokl?dejme, ?e v?echny produkty jsou stejn?ho typu a jsou ve stejn?m kontejneru. Ivan Vasiljevi? samoz?ejm? d??ve po??tal s t?m, ?e v?robek, kter? nyn? odebere k ov??en?, bude nejsp??e vyr?b?t 1. d?lna a s pravd?podobnost? i druh?. Ale pot?, co se vybran? polo?ka uk??e jako standardn?, zvol?: „To je skv?l? blesk! - to sp??e vydala 2. d?lna. Pravd?podobnost druh? hypot?zy je tedy nadhodnocena k lep??mu a pravd?podobnost prvn? hypot?zy je podhodnocena: . A toto p?ecen?n? nen? bezd?vodn? – v?dy? 2. d?lna nejen vyrobila v?ce v?robk?, ale tak? funguje 2x l?pe!
??k?te, ?ist? subjektivismus? ??ste?n? – ano, nav?c s?m Bayes vykl?dal a posteriori pravd?podobnosti jako ?rove? d?v?ry. Ne v?echno je v?ak tak jednoduch? – v bayesovsk?m p??stupu je objektivn? zrno. Koneckonc? pravd?podobnost, ?e produkt bude standardn? (0,8 a 0,9 pro 1. a 2. obchod) tohle je p?edb??n?(a priori) a st?edn? odhady. Ale filozoficky ?e?eno, v?echno plyne, v?echno se m?n?, v?etn? pravd?podobnost?. Je docela mo?n?, ?e v dob? studia?sp??n?j?? 2. obchod zv??il procento standardn?ch produkt? (a/nebo 1. obchod sn??en) a pokud zkontrolujete v?ce nebo v?ech 10 tis?c polo?ek skladem, pak budou nadhodnocen? hodnoty mnohem bl??e pravd?.
Mimochodem, pokud Ivan Vasiljevi? extrahuje nestandardn? ??st, pak naopak - bude v?ce a m?n? „podez??vat“ prvn? obchod - druh?. Doporu?uji, abyste si to prov??ili sami:
?kol 6
Sklad obdr?el 2 ?ar?e produkt?: prvn? - 4000 kus?, druh? - 6000 kus?. Pr?m?rn? procento nestandardn?ch produkt? v prvn? d?vce je 20%, ve druh? - 10%. Uk?zalo se, ?e produkt odebran? n?hodn? ze skladu byl ne Standard. Najd?te pravd?podobnost, ?e je: a) z prvn? v?rky, b) z druh? v?rky.
Podm?nka bude odli?ena dv?ma p?smeny, kter? jsem zv?raznil tu?n?. Probl?m lze vy?e?it od za??tku, nebo m??ete pou??t v?sledky p?edchoz?ch v?po?t?. V uk?zce jsem provedl kompletn? ?e?en?, ale abych se vyhnul form?ln?mu p?ekryt? ?kolu ?. 5, event. „N?hodn? odebran? produkt ze skladu bude nestandardn?“ ozna?eno .
Bayesovsk? sch?ma p?ehodnocov?n? pravd?podobnost? se nach?z? v?ude a je tak? aktivn? vyu??v?no r?zn?mi druhy podvodn?k?. Vezm?me si t??p?smennou akciovou spole?nost, kter? se stala pojmem, kter? l?k? vklady od obyvatel, n?kde je ?dajn? investuje, pravideln? vypl?c? dividendy atp. Co se d?je? Den za dnem, m?s?c za m?s?cem plyne a dal?? a dal?? fakta sd?lovan? reklamou a ?stn?m pod?n?m jen zvy?uj? ?rove? d?v?ry ve finan?n? pyramidu. (posteriorn? Bayesovsk? p?ehodnocen? kv?li minul?m ud?lostem!). To znamen?, ?e v o??ch vkladatel? neust?le roste pravd?podobnost, ?e "toto je seri?zn? kancel??"; zat?mco pravd?podobnost opa?n? hypot?zy („toto jsou b??n? podvodn?ci“), samoz?ejm? kles? a kles?. Zbytek je mysl?m jasn?. Je pozoruhodn?, ?e z?skan? pov?st d?v? organiz?tor?m ?as, aby se ?sp??n? skryli p?ed Ivanem Vasilyevi?em, kter? z?stal nejen bez d?vky ?roub?, ale tak? bez kalhot.
K nem?n? zaj?mav?m p??klad?m se vr?t?me o n?co pozd?ji, ale prozat?m je na ?ad? asi nej?ast?j?? p??pad se t?emi hypot?zami:
?kol 7
Elektrick? lampy se vyr?b?j? ve t?ech tov?rn?ch. 1. z?vod vyr?b? 30% z celkov?ho po?tu lamp, 2. - 55% a 3. - zbytek. V?robky 1. z?vodu obsahuj? 1 % vadn?ch ??rovek, 2. - 1,5 %, 3. - 2 %. Obchod p?ij?m? produkty ze v?ech t?? tov?ren. Lampa, kterou jsem koupil, byla vadn?. Jak? je pravd?podobnost, ?e jej vyrobil z?vod 2?
V?imn?te si, ?e v probl?mech na Bayesov?ch vzorc?ch v podm?nce nezbytn? n?jak? co se stalo ud?lost, v tomto p??pad? n?kup lampy.
Ud?losti p?ibyly a ?e?en? v?hodn?j?? je za??dit se „rychl?m“ stylem.
Algoritmus je ?pln? stejn?: v prvn?m kroku zjist?me pravd?podobnost, ?e zakoupen? lampa bude bude vadn?.
Pomoc? po??te?n?ch dat p?evedeme procenta na pravd?podobnost:
jsou pravd?podobnosti, ?e lampu vyr?b? 1., 2. a 3. tov?rna.
??zen?:
Podobn?: - pravd?podobnost v?roby vadn? ??rovky pro p??slu?n? tov?rny.
Podle vzorce celkov? pravd?podobnosti:
- pravd?podobnost, ?e zakoupen? lampa bude vadn?.
Krok dva. Nechte zakoupenou lampu vadnou (ud?lost se stala)
Podle Bayesova vzorce: 
- pravd?podobnost, ?e zakoupenou vadnou ??rovku vyr?b? druh? tov?rna
Odpov?d?t:
Pro? se po p?ehodnocen? zv??ila po??te?n? pravd?podobnost 2. hypot?zy? Ostatn? druh? z?vod vyr?b? lampy pr?m?rn? kvality (prvn? je lep??, t?et? hor??). Tak pro? se zv??il a posteriori pravd?podobnost, ?e je vadn? lampa z 2. tov?rny? To u? nen? d?no „reputac?“, ale velikost?. Vzhledem k tomu, ?e z?vod ?. 2 vyrobil nejv?t?? po?et lamp, obvi?uj? to (alespo? subjektivn?): „Tato vadn? lampa je s nejv?t?? pravd?podobnost? odtud“.
Je zaj?mav? poznamenat, ?e pravd?podobnosti 1. a 3. hypot?zy byly v o?ek?van?ch sm?rech nadhodnoceny a vyrovnaly se:
??zen?: 
, kter? m?la b?t ov??ena.
Mimochodem, o podce?ovan?ch a p?ece?ovan?ch:
?kol 8
Ve studentsk? skupin? maj? 3 osoby vysokou ?rove? za?kolen?, 19 osob pr?m?rnou ?rove? a 3 osoby n?zkou ?rove?. Pravd?podobnost ?sp??n?ho slo?en? zkou?ky u t?chto student? je v tomto po?ad?: 0,95; 0,7 a 0,4. Je zn?mo, ?e n?kter? student zkou?ku slo?il. Jak? je pravd?podobnost, ?e:
a) byl velmi dob?e p?ipraven;
b) byla st?edn? p?ipraven?;
c) byl ?patn? p?ipraven.
Prove?te v?po?ty a analyzujte v?sledky p?ehodnocen? hypot?z.
?loha se bl??? realit? a je v?rohodn? zejm?na pro skupinu student? kombinovan?ho studia, kde u?itel prakticky nezn? schopnosti toho ?i onoho studenta. V tomto p??pad? m??e v?sledek zp?sobit sp??e neo?ek?van? n?sledky. (zejm?na u zkou?ek v 1. semestru). Pokud m? ?patn? p?ipraven? student to ?t?st?, ?e dostane l?stek, pak ho u?itel pravd?podobn? bude pova?ovat za dobr?ho studenta nebo dokonce za siln?ho studenta, co? v budoucnu p?inese dobr? dividendy. (samoz?ejm? mus?te „zvednout la?ku“ a zachovat si image). Pokud se student u?il, ma?kal, opakoval 7 dn? a 7 noc?, ale m?l prost? sm?lu, pak se dal?? ud?losti mohou vyv?jet t?m nejhor??m mo?n?m zp?sobem - s ?etn?mi opakov?n?mi a balancov?n?m na pokraji odchodu.
Net?eba dod?vat, ?e pov?st je nejd?le?it?j?? kapit?l, nen? n?hoda, ?e mnoho korporac? nese jm?na sv?ch otc? zakladatel?, kte?? p?ed 100-200 lety vedli obchod a proslavili se svou bezvadnou pov?st?.
Ano, Bayesovsk? p??stup je do jist? m?ry subjektivn?, ale ... tak to v ?ivot? chod?!
Zkonsolidujme materi?l kone?n?m pr?myslov?m p??kladem, ve kter?m budu hovo?it o technick?ch jemnostech ?e?en?, se kter?mi jsme se dosud nesetkali:
?kol 9
T?i d?lny z?vodu vyr?b?j? d?ly stejn?ho typu, kter? se skl?daj? do spole?n?ho kontejneru pro mont??. Je zn?mo, ?e prvn? d?lna vyr?b? 2kr?t v?ce d?l? ne? druh? d?lna a 4kr?t v?ce ne? t?et? d?lna. V prvn? d?ln? je vada 12%, ve druh? - 8%, ve t?et? - 4%. Pro kontrolu se jedna ??st odeb?r? z n?doby. Jak? je pravd?podobnost, ?e bude vadn?? Jak? je pravd?podobnost, ?e vyta?en? vadn? d?l vyrobila 3. d?lna?
Taki Ivan Vasiljevi? je zase na koni =) Film mus? m?t ??astn? konec =)
?e?en?: na rozd?l od ?kol? ?. 5-8 je zde v?slovn? polo?ena ot?zka, kter? je ?e?ena pomoc? vzorce celkov? pravd?podobnosti. Ale na druhou stranu je podm?nka trochu „za?ifrovan?“ a ?koln? dovednost skl?dat nejjednodu??? rovnice n?m pom??e tento r?bus vy?e?it. Pro "x" je vhodn? vz?t nejmen?? hodnotu:
Nech? je pod?l d?l? vyroben?ch t?et? d?lnou.
Prvn? d?lna vyr?b? dle podm?nky 4x v?ce ne? d?lna t?et?, tak?e pod?l 1. d?lny je .
Krom? toho prvn? d?lna vyr?b? 2kr?t v?ce v?robk? ne? druh? d?lna, co? znamen?, ?e pod?l druh? d?lny: .
Poj?me vytvo?it a vy?e?it rovnici:
Tedy: - pravd?podobnosti, ?e d?l vyjmut? z kontejneru byl uvoln?n 1., 2. a 3. d?lnou, resp.
Ovl?d?n?: . Krom? toho nebude zbyte?n? znovu se pod?vat na fr?zi „Je zn?mo, ?e prvn? d?lna vyr?b? produkty 2kr?t v?ce ne? druh? d?lna a 4kr?t v?ce ne? t?et? d?lna“ a ujist?te se, ?e z?skan? pravd?podobnosti skute?n? odpov?daj? t?to podm?nce.
Za "X" bylo zpo??tku mo?n? vz?t pod?l 1. nebo pod?l 2. obchodu - pravd?podobnosti vyjdou stejn?. Ale tak ?i onak, nejt???? ?sek je za n?mi a ?e?en? je na dobr? cest?:
Z podm?nky zjist?me:
- pravd?podobnost v?roby vadn?ho d?lu pro odpov?daj?c? d?lny.
Podle vzorce celkov? pravd?podobnosti: 
je pravd?podobnost, ?e ??st n?hodn? extrahovan? z kontejneru bude nestandardn?.
Ot?zka druh?: jak? je pravd?podobnost, ?e vyt??en? vadn? d?l vyrobila 3. d?lna? Tato ot?zka p?edpokl?d?, ?e d?l ji? byl odstran?n a je shled?n vadn?m. Hypot?zu p?ehodnot?me pomoc? Bayesova vzorce: 
je po?adovan? pravd?podobnost. Docela o?ek?van? – v?dy? t?et? d?lna vyr?b? nejen nejmen?? pod?l d?l?, ale vede i v kvalit?!
V tomto p??pad? jsem musel zjednodu?it ?ty?patrov? zlomek, co? se v probl?mech na Bayesov?ch vzorc?ch mus? d?lat pom?rn? ?asto. Ale pro tuto lekci jsem n?jak n?hodn? pochytil p??klady, ve kter?ch lze mnoho v?po?t? prov?st bez oby?ejn?ch zlomk?.
Vzhledem k tomu, ?e v podm?nce nejsou ??dn? body „a“ a „be“, je lep?? uv?st odpov?? textov?mi koment??i:
Odpov?d?t: 
- pravd?podobnost, ?e d?l vyjmut? z n?doby bude vadn?; - pravd?podobnost, ?e vyta?en? vadn? d?l byl uvoln?n 3. d?lnou.
Jak vid?te, probl?my na vzorci celkov? pravd?podobnosti a Bayesov?ch vzorc?ch jsou pom?rn? jednoduch? a pravd?podobn? z tohoto d?vodu se tak ?asto sna?? komplikovat podm?nku, kterou jsem ji? zm?nil na za??tku ?l?nku.
Dal?? p??klady jsou v souboru s hotov? ?e?en? pro F.P.V. a Bayesovy vzorce, nav?c se pravd?podobn? najdou tac?, kte?? se cht?j? s t?mto t?matem sezn?mit hloub?ji v jin?ch zdroj?ch. A t?ma je to opravdu velmi zaj?mav? - co to stoj? o samot? Bayes?v paradox, kter? dokl?d? ka?dodenn? radu, ?e pokud je ?lov?ku diagnostikov?no vz?cn? onemocn?n?, pak m? smysl, aby provedl druh? a dokonce i dv? opakovan? nez?visl? vy?et?en?. Zd?lo by se, ?e to d?laj? v?hradn? ze zoufalstv?... - ale ne! Ale nemluvme o smutn?ch v?cech.
je pravd?podobnost, ?e n?hodn? vybran? student zkou?ku slo??.
Nechte studenta slo?it zkou?ku. Podle Bayesov?ch vzorc?:
A)
- pravd?podobnost, ?e student, kter? slo?il zkou?ku, byl velmi dob?e p?ipraven. Objektivn? po??te?n? pravd?podobnost je p?ece?ov?na, proto?e t?m?? v?dy maj? n?kte?? „pr?m?rn?“ na ot?zky ?t?st? a odpov?daj? velmi d?razn?, co? vyvol?v? myln? dojem dokonal? p??pravy.b)
je pravd?podobnost, ?e student, kter? slo?il zkou?ku, byl st?edn? p?ipraven. Po??te?n? pravd?podobnost se ukazuje jako m?rn? nadhodnocen?, proto?e studenti s pr?m?rnou ?rovn? p??pravy jsou v?t?inou nadpolovi?n?, nav?c sem u?itel za?ad? ne?sp??n? zodpov?zen? „skv?l? studenti“ a ob?as slab? prosp?vaj?c?ho studenta, kter? m?l velk? ?t?st? na l?stek.v)
- pravd?podobnost, ?e student, kter? slo?il zkou?ku, byl ?patn? p?ipraven. Po??te?n? pravd?podobnost byla nadhodnocena k hor??mu. Nep?ekvapuj?c?.Zkou?ka:
Odpov?d?t :
