Menelaova v?ta p?ipou?t? zaj?mav? stereometrick? zobecn?n?.

Menelaova v?ta pro ?ty?st?n.

Pokud letadlo m k???? ?ebra AB, BC, CD a DA?ty?st?n abeceda v bodech A1, B1, C1, D1, pak (2).

Naopak, pokud za ?ty?i body A1, B1, C1, D1 le??c? respektive na okraj?ch AB, BC, CD, DA?ty?st?nu, plat? rovnost (2), pak tyto ?ty?i body le?? ve stejn? rovin?.

D?kaz.

Nechat h 1, h 2, h 3, h 4- vzd?lenosti od bod? ABECEDA respektive do letadla m , pak ; ; ; .

Zb?v? vyn?sobit z?skan? pom?ry.

Abychom dok?zali obr?cenou v?tu, sestroj?me rovinu A 1 , B 1 , C 1 . Nech? tato rovina prot?n? hranu DA v bod? T.

Podle osv?d?en?ho a podle podm?nek , tedy (a podle lemmatu) body T a D1 se shoduj?. Tvrzen? je dok?z?no.

§2. Cevova v?ta

Cevova v?ta o troj?heln?ku.

Nechte body A1, B1, C1 le?et respektive po stran?ch Slunce, AC a VA troj?heln?k ABC(viz obr?zek). V po?ad? pro segmenty AA 1, BB 1, SS 1 prot?naj? v jednom bod?, je nutn? a posta?uj?c?, aby vztah platil: (3) (segmenty AA 1, BB 1, SS 1 n?kdy naz?van? ceviany).

D?kaz.

Pot?eba. Nechte segmenty AA 1 , BB 1, SS 1 prot?naj? v bod? M uvnit? troj?heln?ku ABC .

Ozna?it podle S1, S2, S3 oblasti troj?heln?k? AMS, SMV, AMV a p?es h 1, h 2- vzd?lenosti od bod? ALE a V do rovn?ho SLE?NA. Pak stejn? tak,. Vyn?soben?m z?skan?ch proporc? jsme p?esv?d?eni o platnosti v?ty.

P?im??enost. Nechte body A1, B1, C1 le?et po stran?ch Sun, SA, AC troj?heln?k a vztah (3), M- pr?se??k segment? AA 1 a BB 1 a segment CM k???ov? strana AB na m?st? Q. Tedy t?m, co ji? bylo prok?z?no , . Lema op?t implikuje shodu bod? Q=Cl. Dostate?nost byla prok?z?na.

Nyn? p?ejdeme k prostorov?mu zobecn?n? Cevovy v?ty.

Cevova v?ta pro ?ty?st?n.

Nechat M- bod uvnit? ?ty?st?nu ABECEDA, A A1, B1, C1 a D1- pr?se??ky rovin CMD , AMD, AMB a SMV s ?ebry AB, B C , CD a DA respektive. Pak (?ty?i). Naopak: pokud na body , pak letadla ABC , BCD 1 a DAB 1 proj?t jedn?m bodem.

D?kaz.

Nezbytnost je snadn? z?skat, pokud si v?imnete, ?e body A1, B1, C1, D1 le?? ve stejn? rovin? (tato rovina proch?z? p??mkami A 1 C 1 a B 1 D 1, prot?naj?c? se v bod? M) a aplikujte Menelaovu v?tu. Konverzn? v?ta je dok?z?na stejn?m zp?sobem jako obr?cen? Menelaova v?ta v prostoru: mus?te nakreslit rovinu skrz body A1, B1, C1 a doka?te pomoc? lemmatu, ?e tato rovina prot?n? hranu DA na m?st? D1 .

§3. Vlastnosti medi?n? a bimedi?n? ?ty?st?nu

Medi?n ?ty?st?nu je ?se?ka spojuj?c? vrchol ?ty?st?nu s t??i?t?m prot?j?? plochy (pr?se??kem st?ednic).

V?ta (aplikace Menelaovy v?ty).

Medi?ny ?ty?st?nu se prot?naj? v jednom bod?. Tento bod odd?luje ka?d? medi?n 3:1 shora.

D?kaz.

Vezm?me si dva medi?ny: DD 1 a CC 1 ?ty?st?n abeceda. Tyto medi?ny se v ur?it?m bod? protnou F . CL je medi?n okraje ABC , DL je medi?n okraje ABD, a D 1 , C 1 – centroidy obli?eje ABC a ABD. Podle Menelaovy v?ty: a . Napi?me v?tu o troj?heln?ku DLD 1 : ; => D?kaz je podobn? pro jak?koli jin? p?r medi?n?.

V?ta (aplikace Cevovy v?ty).

Nejprve uvedeme definice n?kter?ch prvk? ?ty?st?nu. ?sek spojuj?c? st?edy prot?naj?c?ch se hran ?ty?st?nu se naz?v? bimedi?n. Biheights (analogicky) jsou b??n? kolmice k????c?ch se hran.

Teor?m.

Bimedi?ny ?ty?st?nu se prot?naj? ve stejn?m bod? jako st?ednice ?ty?st?nu.

D?kaz.

V troj?heln?ku LDC segmenty DC a LF prot?naj? v bod? K. Podle Cevovy v?ty pro tento troj?heln?k: , tj. , CK=KD, LK – bimedi?n.

Pozn?mka 1.

FL = FK. Menelaova v?ta pro troj?heln?k DLK : , , tedy LF = FK .

Pozn?mka 2.

Te?ka F je t??i?t? ?ty?st?nu. , , znamen? .

1.2 R?zn? typy ?ty?st?n?

§jeden. Pythagorejsk? ?ty?st?n

Troj?heln?k se naz?v? pythagorejsk?, pokud m? jeden prav? ?hel a pom?r v?ech stran je racion?ln? (tj. pomoc? podobnosti z n?j m??ete z?skat pravo?hl? troj?heln?k s celo??seln?mi d?lkami stran).

Analogicky k tomu se ?ty?st?n naz?v? pythagorejsk? ?ty?st?n, pokud jsou jeho rovinn? ?hly v jednom z vrchol? spr?vn? a pom?r jak?chkoli dvou hran je racion?ln? (z toho lze pomoc? podobnosti z?skat ?ty?st?n s prav?mi rovinn?mi ?hly na jeden z vrchol? a celo??seln? d?lky hran).

Zkusme odvodit "Rovnici pythagorejsk?ho tetraedru", tzn. takov? rovnice se t?emi nezn?m?mi x, i, z, ?e jak?koli pythagorejsk? ?ty?st?n d?v? t?to rovnici racion?ln? ?e?en? a naopak jak?koli racion?ln? ?e?en? rovnice d?v? pythagorejsk? ?ty?st?n.

Nejprve si uk??eme zp?sob, jak popsat v?echny pythagorejsk? troj?heln?ky.

Obr?zek ukazuje troj?heln?k OAB- obd?ln?kov?, d?lky jeho nohou jsou ozna?eny A a b, a dyna p?epony - p?es R. ??slo (1) nazveme parametrem pravo?hl?ho troj?heln?ku OAB(nebo p?esn?ji parametr „vzhledem k noze A Pomoc? vztahu p 2 \u003d a 2 + b 2, my m?me:

Z t?chto rovnic p??mo z?sk?me vzorce vyjad?uj?c? pom?ry stran pravo?hl?ho troj?heln?ku prost?ednictv?m jeho parametru:

a (2).

Vzorce (1) a (2) p??mo implikuj? n?sleduj?c? tvrzen?: aby byl pravo?hl? troj?heln?k Pythagorejsk?, je nutn? a posta?uj?c?, aby ??slo x bylo racion?ln?. Pokud je troj?heln?k Pythagorejsk?, pak z (1) vypl?v?, ?e x je racion?ln?. Naopak, je-li x racion?ln?, pak podle (2) jsou pom?ry stran racion?ln?, tedy pythagorejsk? troj?heln?k.

Nechte te? OABC- ?ty?st?n s ploch?mi rohy na vrcholu ? rovn?. D?lky hran vych?zej?c?ch z vrcholu O ozna??me a, b, c a d?lky zb?vaj?c?ch hran skrz p, q, r .

Zva?te parametry t?? pravo?hl?ch troj?heln?k? OAB, OBC, OSA:

Potom pomoc? vzorc? (2) m??eme vyj?d?it pom?ry stran t?chto pravo?hl?ch troj?heln?k? pomoc? jejich parametr?:

Z (4) p??mo vypl?v?, ?e parametry x, i, z , uspokojit vztah (6). Toto je obecn? rovnice pythagorejsk?ho tetraedru.

Vzorce (3) - (5) p??mo implikuj? n?sleduj?c? tvrzen?: v po?ad? pro ?ty?st?n OABC s prav?mi rovinn?mi ?hly u vrcholu O je pythagorejsk?, je nutn? a posta?uj?c?, aby parametry x, i, z (spl?uj?c? rovnici (6)) byly racion?ln?.

Pokra?ujeme-li v analogii Pythagorova troj?heln?ku s Pythagorejsk?m ?ty?st?nem, pokusme se formulovat a dok?zat prostorov? zobecn?n? Pythagorovy v?ty pro obd?ln?kov? ?ty?st?ny, kter? bude samoz?ejm? platit i pro Pythagorovy ?ty?st?ny. K tomu n?m pom??e n?sleduj?c? lemma.

Lemma 1.

Pokud je plocha polygonu S, pak plocha jeho pr?m?tu do roviny p je , kde f - ?hel mezi rovinou p a rovinou mnoho?heln?ku.

D?kaz.

Tvrzen? lemmatu je z?ejm? pro troj?heln?k, jeho? jedna strana je rovnob??n? s pr?se??kem roviny p s rovinou mnoho?heln?ku. D?lka t?to strany se toti? b?hem projekce nem?n? a d?lka v??ky na ni spu?t?n? b?hem projekce se m?n? v cosf jednou.

Doka?me nyn?, ?e libovoln? mnohost?n lze rozd?lit na troj?heln?ky nazna?en?ho tvaru.

K tomu vedeme p??mky rovnob??n? s pr?se??ky rovin v?emi vrcholy mnoho?heln?ku, zat?mco mnoho?heln?k je roz?ez?n na troj?heln?ky a lichob??n?ky. Zb?v? o??znout ka?d? lichob??n?k pod?l kter?koli z jeho ?hlop???ek.

V?ta 1(prostorov? Pythagorova v?ta).

V pravo?hl?m ?ty?st?nu abeceda, s ploch?mi rohy naho?e D, sou?et ?tverc? ploch jeho t?? obd?ln?kov?ch ploch se rovn? ?tverci plochy obli?eje ABC .

D?kaz.

Nech? a je ?hel mezi rovinami ABC a DBC, D"- bodov? projekce D do letadla ABC. Pak S DDBC = СosaS DАBC a S ?D"BC = C OSaS DDBC(od Lemma 1), tak C osa = . S D D " p?ed na??m letopo?tem = .

Podobn? rovnosti lze z?skat pro troj?heln?ky D "AB a D "AC. Se?teme je a vezmeme v ?vahu, ?e sou?et obsah? troj?heln?k? D "slunce , D "AC a D "AB rovn? plo?e troj?heln?ku ABC, z?sk?me to, co je pot?eba.

?kol.

Nechte v?echny ploch? rohy naho?e D rovn?; A , b , C jsou d?lky hran vych?zej?c?ch z vrcholu D do letadla ABC. Pak

D?kaz.

Podle Pythagorovy v?ty pro pravo?hl? ?ty?st?n

Na druhou stranu

1= ) => .

§2. Ortocentrick? ?ty?st?ny

Na rozd?l od troj?heln?ku, jeho? v??ky se v?dy prot?naj? v jednom bod? – ortocentru, ne ka?d? ?ty?st?n m? podobnou vlastnost. ?ty?st?n, jeho? v??ky se prot?naj? v jednom bod?, se naz?v? ortocentrick?. za??n?me studium ortocentrick?ch tetraedr? nutn?mi a posta?uj?c?mi podm?nkami pro ortocentrickost, z nich? ka?dou lze br?t jako definici ortocentrick?ho ?ty?st?nu.

(1) V??ky ?ty?st?nu se prot?naj? v jednom bod?.

(2) Z?klady v??ek ?ty?st?nu jsou ortocentra ?el.

(3) Ka?d? dv? protilehl? hrany ?ty?st?nu jsou kolm?.

(4) Sou?ty druh?ch mocnin protilehl?ch hran ?ty?st?nu se rovnaj?.

(5) Segmenty spojuj?c? st?edy protilehl?ch hran ?ty?st?nu jsou stejn?.

(6) Sou?in kosinus opa?n?ch dihedr?ln?ch ?hl? se rovnaj?.

(7) Sou?et ?tverc? ploch ploch je ?ty?ikr?t men?? ne? sou?et ?tverc? sou?in? protilehl?ch hran.

Poj?me si n?kter? z nich dok?zat.

D?kaz (3).

Nech? jsou ka?d? dv? protilehl? hrany ?ty?st?nu kolm?.

Proto se v??ky ?ty?st?nu prot?naj? ve dvojic?ch. Pokud se n?kolik ?ar prot?n? ve dvojic?ch, pak le?? ve stejn? rovin? nebo proch?zej? jedn?m bodem. V??ky ?ty?st?nu nemohou le?et ve stejn? rovin?, proto?e jinak by jeho vrcholy le?ely ve stejn? rovin?, tak?e se prot?naj? v jednom bod?.

Obecn? ?e?eno, aby se v??ky ?ty?st?nu prot?naly v jednom bod?, je nutn? a posta?uj?c? vy?adovat, aby byly kolm? pouze dva p?ry protilehl?ch hran. D?kaz tohoto tvrzen? vypl?v? p??mo z n?sleduj?c?ho probl?mu.

?kol 1.

Dan? libovoln? ?ty?st?n abeceda. Dok?zat to .

?e?en?.

Nechat a= , b= , c=. Pak , a , se?ten?m t?chto rovnost? z?sk?me po?adovanou.

Nechat a= , b= a c=. Rovnost 2 + 2 = 2 + 2 , Co chce?. (a,c)=0. Aplikov?n?m tohoto algoritmu na dal?? dvojice protilehl?ch hran samoz?ejm? z?sk?me po?adovan? tvrzen?.

P?edlo?te doklad o vlastnictv? (6).

Pro d?kaz pou??v?me n?sleduj?c? v?ty:

Sinusov? v?ta. "Sou?in d?lek dvou protilehl?ch hran ?ty?st?nu, d?len? sou?inem sin? ?hl? dvojst?nu na t?chto hran?ch, je stejn? pro v?echny t?i p?ry protilehl?ch hran ?ty?st?nu."

Bertschneiderova v?ta. "Pokud A a b jsou d?lky dvou ?ikm?ch hran ?ty?st?nu a jsou dihedr?ln? ?hly na t?chto hran?ch, pak hodnota nez?vis? na volb? dvojice ?ikm?ch hran.

Pomoc? sinusov? v?ty pro ?ty?st?n a Bertschneiderovy v?ty z?sk?me, ?e sou?iny kosinus opa?n?ch dihedr?ln?ch ?hl? jsou stejn? pr?v? tehdy, kdy? se sou?ty ?tverc? protilehl?ch hran rovnaj?, co? implikuje platnost vlastnosti (6) ortocentrick? ?ty?st?n.

V z?v?ru odstavce o ortocentrick?m ?ty?st?nu vy?e??me n?kolik probl?m? na toto t?ma.

?kol 2.

Doka?te, ?e ortocentrick? ?ty?st?n spl?uje vztah OH 2 \u003d 4R 2-3d 2, kde ?- st?ed popisovan? koule, H- pr?se??k v??ek, R je polom?r opsan? koule, d je vzd?lenost mezi st?edy protilehl?ch hran.

?e?en?.

Nechat Na a L- st?ed ?eber AB a CD respektive. Te?ka H le?? v proch?zej?c? rovin? CD kolm? AB a pointa ?- v proch?zej?c? rovin? Na kolm? AB.

Tyto roviny jsou symetrick? podle t??i?t? ?ty?st?nu - st?edu segmentu KL. Uv???me-li takov? roviny pro v?echny hrany, dostaneme body H a ? symetrick? asi M, co? znamen? KLMO- rovnob??n?k. ?tverce jeho stran jsou stejn?, a proto . Uva?ujme ?sek proch?zej?c? bodem M paraleln? AB a CD, ch?peme to AB 2 + CD 2 = 4d 2 .

Zde m??eme p?idat, ?e p??mka, na kter? le?? body Ach M a H, se naz?v? Eulerova linie ortocentrick?ho ?ty?st?nu.

Koment??.

Spolu s Eulerovou lini? m??eme zaznamenat existenci Eulerov?ch koul? pro ortocentrick? teraedr, o ?em? bude ?e? v n?sleduj?c?ch probl?mech.

?kol 3.

Doka?te, ?e pro ?ty?st?n ortocentrick?ho kruhu pat?? 9 bod? ka?d? plochy do stejn? koule (koule o 24 bodech). K vy?e?en? tohoto probl?mu je nutn? prok?zat stav n?sleduj?c?ho probl?mu.

?kol 4.

Doka?te, ?e st?edy stran troj?heln?ku, z?kladny v??ek a st?edy segment? v??ek od vrchol? k bodu jejich pr?se??ku le?? na jedn? kru?nici - kru?nici o 9 bodech (Euler).

D?kaz.

Nechat ABC- tento troj?heln?k H- pr?se??k jeho v??ek, A1, B1, C1- st?edy segment? AN, VN, CH; AA 2- v??ky, A 3- st?edn? slunce. Pro pohodl? budeme p?edpokl?dat, ?e ABC- ostr? troj?heln?k. Proto?e B 1 A 1 C 1 \u003d VY a AB 1 A 2 C 1 \u003d AB 1 NS 1, pak B 1 A 2 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, tj. body A1, B1, A2, C1 le?et na stejn?m kruhu. To je tak? snadn? vid?t B 1 A 3 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, tj. body A1, B1, A3, C1 tak? le?et na stejn?m (a tedy na stejn?m) kruhu. Z toho vypl?v?, ?e v?ech 9 bod? uveden?ch v podm?nce le?? na stejn?m kruhu. P??pad tup?ho troj?heln?ku ABC zach?zet podobn?m zp?sobem.

V?imn?te si, ?e 9bodov? kru?nice je stejn? jako kru?nice opsan? se st?edem v H a koeficientem (takto jsou uspo??d?ny troj?heln?ky ABC a A 1 B 1 C 1). Na druh? stran? je kru?nice o 9 bodech identick? s kru?nic? opsanou se st?edem v pr?se??ku st?ednic troj?heln?ku. ABC a koeficient (takto jsou um?st?ny troj?heln?ky ABC a troj?heln?k s vrcholy ve st?edn?ch bodech stran).

Nyn?, po ur?en? kruhu 9 bod?, m??eme p?istoupit k d?kazu podm?nky ?lohy 3.

D?kaz.

?ez ortocentrick?ho ?ty?st?nu libovolnou rovinou rovnob??nou s protilehl?mi hranami a proch?zej?c? ve stejn? vzd?lenosti od t?chto hran je obd?ln?k, jeho? ?hlop???ky se rovnaj? vzd?lenosti mezi st?edy protilehl?ch hran ?ty?st?nu (v?echny tyto vzd?lenosti jsou rovn? navz?jem viz nezbytnou a posta?uj?c? podm?nku ortocentrickosti (5) Z toho plyne, ?e st?edy v?ech hran ortocentrick?ho ?ty?st?nu le?? na povrchu koule, jej?? st?ed se shoduje s t??i?t?m dan?ho ?ty?st?nu. pr?m?r se rovn? vzd?lenosti mezi st?edy protilehl?ch hran ?ty?st?nu. V?echny ?ty?i kru?nice o 9 bodech tedy le?? na povrchu t?to koule.

?kol 5.

Doka?te, ?e pro ortocentrick? ?ty?st?n jsou t??i?t? a pr?se??ky v??ek ploch, jako? i body rozd?luj?c? segmenty ka?d? v??ky ?ty?st?nu od vrcholu k pr?se??ku v??ek v pom?ru 2:1 , le?? na stejn? kouli (koule 12 bod?).

D?kaz.

Nechte body Ach M a H- st?ed opsan? koule, t??i?t? a ortocentrum ortocentrick?ho ?ty?st?nu; M- uprost?ed segmentu ON(viz probl?m 2). T??i?t? ploch ?ty?st?nu slou?? jako vrcholy homotetick?ho ?ty?st?nu, p?i?em? st?ed homotety je v bod? M a koeficient , pod touto homothety bod ? p?jde k v?ci Asi 1 um?st?n? na segmentu MN tak , Asi 1 bude st?ed koule proch?zej?c? t??i?ti tv???.

Naproti tomu body rozd?luj?c? segmenty v??ek ?ty?st?nu od vrchol? k ortocentru v pom?ru 2:1 slou?? jako vrcholy ?ty?st?nu homotetick?ho k dan?mu se st?edem homotety v H a koeficient. S touto stejnorodost? jde o pointu ?, jak je snadno vid?t, p?jde do stejn?ho bodu Asi 1. Osm z dvan?cti bod? tedy le?? na povrchu koule se st?edem Asi 1 a polom?r t?ikr?t men?? ne? polom?r koule opsan? kolem ?ty?st?nu.

Doka?me, ?e pr?se??ky v??ek ka?d? plochy le?? na povrchu t??e koule.

Nechat O', N' a M'- st?ed opsan? kru?nice, pr?se??k v??ek a t??i?t? libovoln? plochy. O' a H' jsou projekce bod? ? a H k rovin? t?to plochy a segmentu M' rozd?luje segment O'N' v pom?ru 1:2, po??t?no od O'(zn?m? planimetrick? fakt). Nyn? je snadn? ov??it (viz obr?zek), ?e projekce Asi 1 na rovin? t?to tv??e - bod O'1 se shoduje se st?edem segmentu M'N', tj. Asi 1 stejn? vzd?len? od M' a H', co? je to, co bylo po?adov?no.

§3. Tetraedry kostry

R?mov? ?ty?st?n se naz?v? ?ty?st?n, u kter?ho existuje koule dot?kaj?c? se v?ech ?esti hran ?ty?st?nu. Ne ka?d? ?ty?st?n je dr?t?n? model. Nap??klad je snadn? pochopit, ?e je nemo?n? sestrojit kouli te?nou ke v?em hran?m izoedrick?ho ?ty?st?nu, pokud je jeho ohrani?en? r?me?ek „dlouh?“.

Uve?me si vlastnosti r?mov?ho ?ty?st?nu.

(1) Ke v?em hran?m ?ty?st?nu je koule te?nou.

(2) Sou?ty d?lek k????c?ch se hran se rovnaj?.

(3) Sou?ty dihedr?ln?ch ?hl? na protilehl?ch hran?ch jsou stejn?.

(4) Kruhy vepsan? do obli?ej? se dot?kaj? ve dvojic?ch.

(5) V?echny ?ty??heln?ky vznikl? v?vojem ?ty?st?nu jsou ops?ny.

(6) Kolmice obnoven? na plochy ze st?ed? jejich vepsan?ch kru?nic se prot?naj? v jednom bod?.

Doka?me n?kolik vlastnost? dr?t?n?ho teraedru.

D?kaz (2).

Nechat ? je st?ed koule dot?kaj?c? se ?ty? hran ve vnit?n?ch bodech. v?imn?te si nyn?, ?e pokud od bodu X kreslit te?ny XP a XQ do koule se st?edem ?, pak body R a Q symetrick? k rovin? proch?zej?c? p??mkou XO a uprost?ed segmentu PQ, co? znamen? letadla ROH a QOX tvar s rovinou XPQ stejn? ?hly.

Nakreslete 4 roviny proch?zej?c? bodem O a uva?ovan?mi hranami ?ty?st?nu. Rozd?luj? ka?d? z uva?ovan?ch dihedr?ln?ch ?hl? na dva dihedr?ln? ?hly. V??e bylo uk?z?no, ?e v?sledn? dihedr?ln? ?hly soused?c? s jednou plochou ?ty?st?nu jsou stejn?. Jeden i druh? uva?ovan? sou?et dihedr?ln?ch ?hl? zahrnuje jeden z?skan? ?hel pro ka?dou plochu ?ty?st?nu. Provedeme-li podobnou ?vahu pro dal?? dvojice ?ikm?ch hran, z?sk?me platnost vlastnosti (2).

P?ipome?me si n?kter? vlastnosti popsan?ho ?ty??heln?ku:

a) Rovinn? ?ty??heln?k je ops?n pr?v? tehdy, kdy? se sou?ty jeho protilehl?ch stran rovnaj?;

b) Je-li opsan? ?ty??heln?k rozd?len ?hlop???kou na dva troj?heln?ky, pak se kru?nice vepsan? do troj?heln?k? dot?kaj?

Vzhledem k t?mto vlastnostem je snadn? prok?zat zbytek vlastnost? dr?t?n?ho ?ty?st?nu. Vlastnost (3) ?ty?st?nu vypl?v? p??mo z vlastnosti (b) a vlastnost (4) z vlastnosti (a) a vlastnosti (1) ?ty?st?nu. Majetek (5) z majetku (3). Kruhy vepsan? do ploch ?ty?st?nu jsou toti? pr?se??ky jeho ploch s koul? dot?kaj?c? se okraj?, z ?eho? je z?ejm?, ?e kolmice obnoven? ve st?edech kru?nic vepsan?ch do ploch se nevyhnuteln? protnou ve st?ed t?to koule.

?kol 1.

Koule se dot?k? okraj? AB, BC, CD a DA?ty?st?n abeceda v bodech L, M, N, K, co? jsou vrcholy ?tverce. Doka?te, ?e pokud se tato koule dotkne hrany AC, pak se tak? dotkne okraje BD .

?e?en?.

Podle podm?nek KLMN- n?m?st?. Poj?me si proj?t body K, L, M, N roviny dot?kaj?c? se koule. Proto?e v?echny tyto roviny jsou stejn? naklon?ny k rovin? KLMN, pak se prot?naj? v jednom bod? S um?st?n? na p??mce OO 1, kde je st?ed koule, a Asi 1 je st?edem n?m?st?. Tyto roviny prot?naj? povrch ?tverce KLMN na druhou TUVW, jeho? bo?n? st?edy jsou body K, L, M, N. V ?ty?st?nn?m ?hlu STUVW s vrcholem S jsou v?echny rovinn? ?hly stejn? a body K, L, M, N le?? na os?ch jeho ploch?ch ?hl? a SK=SL=SM=SN. Tud??,

SA=SC a SD=SB, co? znamen? AK=AL=CM=CN a BL=BM=DN=DK. Podle stavu AC se tak? dotkne m??e, tak?e ALE C =AK+CN=2AK. A od t? doby SK- ?hlov? se?na DSA, pak DK:KA=DS:SA=DB:AC. Od rovnosti AC=2AC z toho nyn? vypl?v? DB=2DK. Nechat R- uprost?ed segmentu DB, pak R le?? na p??mce TAK. troj?heln?ky D.O.K. a DOP jsou si rovni, proto?e DK=DP a DKO=DPO=90°. Proto OP=OK=R, kde R je polom?r koule, tak D.B. plat? i pro sf?ru.

§?ty?i. Izoedrick? ?ty?st?n

?ty?st?n se naz?v? ekviedrick?, pokud jsou v?echny jeho strany stejn?. Abychom si p?edstavili izoedrick? ?ty?st?n, vezm?me si z pap?ru libovoln? ostro?hl? troj?heln?k a ohneme ho pod?l st?edn?ch ?ar. Pot? se t?i vrcholy setkaj? v jednom bod? a poloviny stran se uzav?ou a vytvo?? bo?n? hrany ?ty?st?nu.

(0) Tv??e jsou shodn?.

(1) K????c? se hrany jsou po p?rech stejn?.

(2) Trojst?nn? ?hly jsou stejn?.

(3) Protilehl? dihedr?ln? ?hly jsou stejn?.

(4) Dva rovinn? ?hly zalo?en? na stejn? hran? jsou stejn?.

(5) Sou?et rovinn?ch ?hl? v ka?d?m vrcholu je 180°.

(6) V?voj ?ty?st?nu - troj?heln?ku nebo rovnob??n?ku.

(7) Popsan? rovnob??nost?n je obd?ln?kov?.

(8) ?ty?st?n m? t?i osy symetrie.

(9) Spole?n? kolmice k????c?ch se hran ve dvojic?ch

jsou kolm?.

(10) St?edov? ??ry jsou p?rov? kolm?.

(11) Obvody ploch jsou stejn?.

(12) Plochy ploch jsou stejn?.

(13) V??ky ?ty?st?nu jsou stejn?.

(14) Segmenty spojuj?c? vrcholy s t??i?ti protilehl?ch ploch jsou stejn?.

(15) Polom?ry kru?nic popsan?ch v bl?zkosti ploch jsou stejn?.

(16) T??i?t? ?ty?st?nu se shoduje se st?edem opsan? koule.

(17) T??i?t? se shoduje se st?edem vepsan? koule.

(18) St?ed opsan? koule se shoduje se st?edem vepsan? koule.

(19) Vepsan? koule se dot?k? ploch ve st?edech popsan?ch v jejich bl?zkosti

kruhov? tv??e.

(20) Sou?et norm?l vn?j?? jednotky (jednotkov? vektory,

kolmo k ploch?m) se rovn? nule.

(21) Sou?et v?ech dihedr?ln?ch ?hl? je roven nule.

T?m?? v?echny vlastnosti izoedrick?ho ?ty?st?nu vypl?vaj? z jeho

definice, tak?e dokazujeme jen n?kter? z nich.

D?kaz (16).

Proto?e ?ty?st?n abeceda izoedrick?, pak podle vlastnosti (1) AB = CD. Nechte bod Na segment AB a pointa L st?ed DC, tedy segment KL bimedi?ln? ?ty?st?n abeceda, odkud z vlastnost? medi?n? ?ty?st?nu vypl?v?, ?e bod ?- uprost?ed segmentu KL, je t??i?t?m ?ty?st?nu abeceda .

Medi?ny ?ty?st?nu se nav?c prot?naj? v t??i?ti, v bod? ? a sd?lejte tento bod v pom?ru 3:1, po??t?no shora. D?le, vezmeme-li v ?vahu v??e uveden? a vlastnost (14) izoedrick?ho ?ty?st?nu, z?sk?me n?sleduj?c? rovnost segment? AO=BO=CO=DO, z ?eho? vypl?v?, ?e bod ? je st?ed opsan? koule (podle definice koule opsan? kolem mnohost?nu).

Zadn?. Nechat Na a L- st?ed ?eber AB a CD respektive bod ?- st?ed popisovan? sf?ry ?ty?st?nu, tzn. st?ed KL. Proto?e ? je st?ed opsan? koule ?ty?st?nu, pak troj?heln?ky AOB a TRESKA- rovnoramenn? se stejn?mi stranami a stejn?mi st?edn?mi hodnotami OK a OL. Proto DAOB =?COD. Tak AB = CD. Podobn? je dok?z?na rovnost dal??ch dvojic protilehl?ch hran, z nich? podle vlastnosti (1) izoedrick?ho ?ty?st?nu vyplyne ??douc?.

D?kaz (17).

Uva?ujme osi?ku ?hlu dihedru na hran? AB, rozd?l? segment DC s ohledem na oblasti ploch ABD a ABC .

Proto?e ?ty?st?n abeceda izoedrick?, pak podle majetku (12) S DABD =S DABD =>DL=LC, z ?eho? vypl?v?, ?e osa ABL obsahuje bimedi?n KL. Aplikujeme-li podobnou ?vahu pro zb?vaj?c? ?hly dvoust?n? a vezmeme-li v ?vahu skute?nost, ?e osy ?ty?st?nu se prot?naj? v jednom bod?, kter? je st?edem vepsan? koule, zjist?me, ?e tento bod bude nevyhnuteln? t??i?t?m tohoto izost?nu. ?ty?st?n.

Zadn?. Ze skute?nosti, ?e se t??i?t? a st?ed vepsan? koule shoduj?, m?me n?sleduj?c?: DL=LC=>SABD=SADC. Prok??eme-li podobn?m zp?sobem, ?e v?echny plochy jsou stejn? velk?, a pou?it?m vlastnosti (12) izoedrick?ho ?ty?st?nu z?sk?me to, co hled?me.

Doka?me nyn? vlastnost (20). K tomu mus?me nejprve dok?zat jednu z vlastnost? libovoln?ho ?ty?st?nu.

u?ebnice ?ty?st?nn? v?ty

Lemma 1.

Pokud jsou d?lky vektor? kolm?ch k ploch?m ?ty?st?nu ??seln? rovn? ploch?m odpov?daj?c?ch ploch, pak je sou?et t?chto vektor? roven nule.

D?kaz.

Nechat X- bod uvnit? a mnohost?n, h i (i=1,2,3,4)- vzd?lenost od n?j k rovin? i-t? hrana.

Mnohost?n na?e?eme na jehlany s vrcholem X jeho? z?kladem jsou jeho tv??e. Objem ?ty?st?nu PROTI se rovn? sou?tu objem? t?chto pyramid, tzn. 3 V=?h i S i, kde Si n?m?st? i-t? hrana. Nechte d?le n i je jednotkov? vektor vn?j?? norm?ly k i-t? plo?e, M i je libovoln? bod t?to plochy. Pak h i \u003d (ХM i, S i n i), proto 3V=?h i S i =?(XM i, S i n i)=(XO, S i n i)+(OM i, S i n i)=(XO, ?S i n i)+3V, kde ?- tedy n?jak? pevn? bod ?ty?st?nu, ? S i n i =0 .

D?le je z?ejm?, ?e vlastnost (20) izoedrick?ho ?ty?st?nu je speci?ln?m p??padem v??e uveden?ho lemmatu, kde S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4, a proto?e plochy ploch nejsou rovny nule, z?sk?me spr?vnou rovnost n1 + n2 + n3 + n4 =0 .

Na z?v?r p??b?hu o izoedrick?m ?ty?st?nu uv?d?me n?kolik probl?m? na toto t?ma.

?kol 1.

P??mka proch?zej?c? t??i?t?m ?ty?st?nu a st?edem koule opsan? v jeho bl?zkosti prot?n? hrany AB a CD. Dok?zat to AC=BD a AD=BC .

?e?en?.

T??i?t? ?ty?st?nu le?? na p??mce spojuj?c? st?edy hran AB a CD .

St?ed opsan? koule ?ty?st?nu tedy le?? na t?to p??mce, co? znamen?, ?e nazna?en? p??mka je kolm? k okraj?m AB a CD. Nechat C' a D'- bodov? projekce C a D do roviny proch?zej?c? p??mkou AB paraleln? CD. Proto?e AC`BD`- rovnob??n?k (podle konstrukce), pak AC=BD a AD=BC .

?kol 2.

Nechat h je v??ka izoedrick?ho ?ty?st?nu, h1 a h2- segmenty, na kter? je jedna z v??ek plochy rozd?lena pr?se??kem v??ek t?to plochy. Dok?zat to h 2 \u003d 4 h 1 h 2; doka?te tak?, ?e z?kladna v??ky ?ty?st?nu a pr?se??k v??ek plochy, na kterou je tato v??ka sn??ena, jsou symetrick? vzhledem ke st?edu kru?nice opsan? t?to plo?e.

D?kaz.

Nechat abeceda- tento ?ty?st?n, D.H.- jeho vysok?, DA 1, DВ 1, DC 1- v??ky obli?eje sn??en? od vrcholu D do stran BC, SA a AB .

O??zn?te povrch ?ty?st?nu pod?l okraj? DA, DB, DC a prove?te zamet?n?. To je z?ejm? H je pr?se??k v??ek troj?heln?ku D 1 D 2 D 3. Nechat F- pr?se??k v??ek troj?heln?ku ABC, AK je v??ka tohoto troj?heln?ku, АF=h1, FК=h2. Pak D 1 H \u003d 2h 1, D 1 A 1 \u003d h 1 -h 2 .

Tak?e od t? doby h- v??ka na?eho ?ty?st?nu, h 2 \u003d DH 2 \u003d DA 2 - HA 1 2 \u003d (h 1+ h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 \u003d 4h 1 h 2. Nechte te? M- t??i?t? troj?heln?ku ABC(tak? zn?m jako t??i?t? troj?heln?ku D 1 D 2 D 3), ? je st?edem opsan? kru?nice. Je zn?mo ?e F, M a ? le?? na jedn? p??mce (Eulerova ??ra) a M- mezi F a ? , FM =2MO, Na druh? stran? troj?heln?k D 1 D 2 D 3 homotetick? k troj?heln?ku ABC soust?ed?n? na M a koeficient (-2), tak МН=2FM. Z toho vypl?v?, ?e OH=FO .

?kol 3.

Doka?te, ?e v izoedrick?m ?ty?st?nu le?? z?kladny v??ek, st?edy v??ek a pr?se??ky v??ek ploch na povrchu jedn? koule (koule o 12 bodech).

D?kaz.

?e?en?m ?lohy 2 jsme dok?zali, ?e st?ed koule opsan? kolem ?ty?st?nu se prom?t? na ka?dou plochu do st?edu ?se?ky, jej?? konce jsou z?kladnou v??ky spu?t?n? na tuto plochu a pr?se??kem v??ek tento obli?ej. A proto?e vzd?lenost od st?edu koule opsan? kolem ?ty?st?nu k plo?e je , kde h- v??ka ?ty?st?nu, st?ed opsan? koule je od t?chto bod? vzd?len ve vzd?lenosti , kde A- vzd?lenost mezi pr?se??kem v??ek a st?edem kru?nice opsan? pobl?? okraje.

§5. Incentrick? ?ty?st?n

?se?ky spojuj?c? t??i?t? ?el ?ty?st?nu s protilehl?mi vrcholy (st?ednicemi ?ty?st?nu) se prot?naj? v?dy v jednom bod?, tento bod je t??i?t?m ?ty?st?nu. Pokud v tomto stavu budou t??i?t? tv??? nahrazena ortocentry tv???, zm?n? se to na novou definici ortocentrick?ho ?ty?st?nu. Pokud je nahrad?me st?edy kru?nic vepsan?ch do ploch, n?kdy naz?van?ch incentery, z?sk?me definici nov? t??dy ?ty?st?n? – incentrick?ch.

Docela zaj?mav? jsou i rysy t??dy incentrick?ch ?ty?st?n?.

(1) ?se?ky spojuj?c? vrcholy ?ty?st?nu se st?edy kru?nic vepsan?ch do protilehl?ch ploch se prot?naj? v jednom bod?.

(2) Osy ?hlu dvou ploch nakreslen?ch ke spole?n? hran? t?chto ploch maj? spole?nou z?kladnu.

(3) Sou?iny d?lek protilehl?ch hran jsou stejn?.

(4) Troj?heln?k tvo?en? druh?mi pr?se??ky t?? hran vych?zej?c?ch ze stejn?ho vrcholu s libovolnou koul? proch?zej?c? t?emi konci t?chto hran je rovnostrann?.

D?kaz (2).

Vlastnost? (1), pokud DF, BE, CF, AM- osy odpov?daj?c?ch ?hl? v troj?heln?ku ABC a FBD, pak segmenty KS a LD bude m?t spole?n? bod j?(viz obr?zek). Pokud p??mo DK a CL neprot?naj? v bod? F, tak samoz?ejm? KS a DL neprot?naj?, co? nem??e b?t (podle definice incentrick?ho ?ty?st?nu).

D?kaz (3).

Vezmeme-li v ?vahu vlastnost (2) a vlastnost osektoru, z?sk?me vztahy:

; .

§6. Srovnateln? ?ty?st?ny

Tetraedry jsou pr? srovnateln?, pokud ano

(1) Dvojit? v??ky jsou stejn?.

(2) Pr?m?t ?ty?st?nu na rovinu kolmou k libovoln?mu bimedi?nu je koso?tverec.

(3) Plochy opsan?ho rovnob??nost?nu jsou stejn?.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 +b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 \u003d 4b 2 b 1 2 - (c 2 +c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 \u003d 4c 2 c 1 2 - (a 2 +a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, kde A a 1 , b a b 1 , S a od 1- d?lky protilehl?ch hran.

K prok?z?n? ekvivalence definic (1) - (4) sta?? poznamenat, ?e dvojv??ky ?ty?st?nu se rovnaj? v??k?m rovnob??n?ku, co? je jeho pr?m?t, zm?n?n? ve vlastnosti (2), a v??kam opsan? rovnob??nost?n a ?e ?tverec plochy rovnob??nost?nu obsahuj?c? ?ekn?me hranu S, rovn? se a skal?rn? sou?in je vyj?d?en p?es hrany ?ty?st?nu podle vzorce (4).

P?id?v?me zde dal?? dv? podm?nky proporcionality:

(5) Pro ka?dou dvojici protilehl?ch hran ?ty?st?nu jsou roviny proch?zej?c? jednou z nich a st?edem druh?ho kolm?.

(6) Kouli lze vepsat do opsan?ho rovnob??nost?nu ?m?rn?ho ?ty?st?nu.

§7. Pravideln? ?ty?st?n

Jsou-li okraje ?ty?st?nu navz?jem shodn?, pak trojst?nn?, dvoust?nn? a ploch? ?hly budou navz?jem stejn?. V tomto p??pad? se ?ty?st?n naz?v? pravideln?. V?imn?te si tak?, ?e takov? ?ty?st?n je jak ortocentrick?, tak dr?t?n?, a izoedrick? a incentrick? a soum??iteln?.

Pozn?mka 1.

Pokud je ?ty?st?n izoedrick? a pat?? k jednomu z n?sleduj?c?ch typ? ?ty?st?n?: ortocentrick?, dr?t?n?, incentrick?, soum?rn?, pak bude pravideln?.

Pozn?mka 2.

?ty?st?n je pravideln?, pokud pat?? do dvou uveden?ch typ? ?ty?st?n?: ortocentrick?, dr?t?n?, incentrick?, soum?rn?, izoedrick?.

Vlastnosti pravideln?ho ?ty?st?nu:

Ka?d? z jeho vrchol? je vrcholem t?? troj?heln?k?. Tak?e sou?et rovinn?ch ?hl? v ka?d?m vrcholu bude roven 180?

(0) Osmist?n m??e b?t veps?n do pravideln?ho ?ty?st?nu, nav?c ?ty?i (z osmi) ploch osmist?nu budou kombinov?ny se ?ty?mi st?nami ?ty?st?nu, v?ech ?est vrchol? osmist?nu bude spojeno se st?edy ?esti hran ?ty?st?nu.

(1) Pravideln? ?ty?st?n se skl?d? z jednoho vepsan?ho osmist?nu (uprost?ed) a ?ty? ?ty?st?n? (pod?l vrchol?), p?i?em? okraje t?chto ?ty?st?n? a osmist?nu jsou polovinou hran pravideln?ho ?ty?st?nu.

(2) Pravideln? ?ty?st?n lze do krychle vepsat dv?ma zp?soby, nav?c ?ty?i vrcholy ?ty?st?nu budou kombinov?ny se ?ty?mi vrcholy krychle.

(3) Pravideln? ?ty?st?n m??e b?t veps?n do dvacetist?nu, nav?c ?ty?i vrcholy ?ty?st?nu budou kombinov?ny se ?ty?mi vrcholy dvacetist?nu.

?kol 1.

Doka?te, ?e ?ikm? hrany pravideln?ho ?ty?st?nu jsou vz?jemn? kolm?.

?e?en?:

Nechat DH- v??ka pravideln?ho ?ty?st?nu, bod H je st?edem pravideln?ho D ABC . Potom pr?m?t ?se?ky AD na rovinu z?kladny ABC bude ?se?kou BH . Proto?e BH ?AC , pak v?tou o t?ech kolmic?ch ?ikm? BD ?AC .

?kol 2.

Dan? pravideln? ?ty?st?n IAWS s hranou 1. najd?te vzd?lenost mezi ?arami AL a MO, kde L- st?ed ?ebra SLE?NA , ?- st?ed obli?eje ABC.

?e?en?:

1. Vzd?lenost mezi dv?ma prot?naj?c?mi se p??mkami je d?lka kolmice, spadaj?c? z jedn? p??mky, k rovin? rovnob??n? s touto p??mkou a obsahuj?c? druhou p??mku.

2. Stavba projekce AK segment AL do letadla ABC. Letadlo AKL kolmo k rovin? ABC, rovnob??n? s ??rou MO a obsahuje ??dek AL. Po?adovan? d?lka je tedy d?lka kolmice NA, sn??en? z bodu ? na AK .

3. Najd?te S D KHA dv? cesty.

S D = .

Na druhou stranu: S D KHA =

tak p.

Poj?me naj?t NA : r= .

?kol 3.

Ka?d? okraj troj?heln?kov? pyramidy PABC se rovn? 1; BD- v??ka troj?heln?ku ABC. Rovnostrann? troj?heln?k bde le?? v rovin? sv?raj?c? ?hel f s ?ebrem AC a body P a E le?et na jedn? stran? letadla ABC. Najd?te vzd?lenost mezi body P a E .

?e?en?. Od v?ech okraj? pyramidy PABC jsou si rovny, je to pravideln? ?ty?st?n. Nechat M- z?kladn? st?ed ABC , N– ortogon?ln? prom?t?n? vrcholu E rovnostrann? troj?heln?k bde do letadla ABC ,K- st?edn? BD ,F je z?kladna kolmice veden? z bodu E do v??ky ODPOLEDNE?ty?st?n PABC. Proto?e EK BD, pak v?tou o t?ech kolmic?ch NK BD, proto EKN je line?rn? ?hel dihedr?ln?ho ?hlu tvo?en?ho rovinami ABC a bde, a od t? doby NK || AC, pak EKN= f . D?le m?me:

BD = , MUDr = , KD = , BD = , ODPOLEDNE = ,

KM = KD - MUDr = - = , EK = BD · = , EN = EK h??ch f = h??ch f ,

NK = EK cos f = cos f , MN 2= NK 2+ KM 2 = cos 2f + ,

PE 2= EF 2+ PF 2= MN 2 + (PM-MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= cos 2f + + ( - h??ch f )2 = cos 2f + + - h??ch f + h??ch 2f == + + - h??ch f = - h??ch f = - h??ch f .

Tud??,

PE= = .

?kol 4.

Najd?te ?hly mezi v??kami zkosen? sousedn?ch ploch ?ty?st?nu.

?e?en?.

P??pad ??slo 1.

Nechat BK a D.F.– v??ky obli?eje ABC a BCD. BK, FD= a . Ozna?te d?lku hrany ?ty?st?nu jako A. Poj?me utr?cet FL || BK, pak a = DFL . KL=LC.

D DLF :

; ; ; .

P??pad ??slo 2 (v??ka je um?st?na jinak).

BK a CN– v??ky obli?eje ABC a BCD. Poj?me utr?cet FP || CN a FL || BK . ; . Poj?me naj?t LP .D?LAT je v??ka pravideln?ho ?ty?st?nu, D?LAT = , Q– projekce P do letadla ABC , . ,

Napi?me kosinovou v?tu pro D LFP :

Proto?e ?hel mezi p??mkami je podle definice ostr?

Kapitola II. ?ty?st?n v kurzu matematiky na st?edn? ?kole

§jeden. Srovn?vac? charakteristika prezentace t?matu "?ty?st?n" ve ?koln?ch u?ebnic?ch

V kurzu ?koln? geometrie je hodn? ?asu v?nov?no studiu z?klad? t?matu Tetrahedron. P?i realizaci tohoto t?matu nejsou prakticky ??dn? metodick? probl?my, proto?e studenti v?d?, co je pyramida (v?etn? troj?heln?kov?), jak z propedeutick?ch kurz? p?edchoz?ch ro?n?k? v?uky matematiky, tak ze ?ivotn?ch zku?enost?. Pravideln? ?ty?st?n je spojen se sv?m ploch?m prot?j?kem - pravideln?m troj?heln?kem a rovnost stran s rovnost? hran nebo ploch.

P?i nastudov?n? t?matu pro studenty v?ak existuj? probl?my a r?zn? u?ebnice se je sna?? ?e?it r?zn?mi zp?soby (po?ad?, v jak?m je teoretick? l?tka prezentov?na, m?ra slo?itosti ?loh atd.). Uve?me stru?n? popis b??n?ch u?ebnic geometrie z hlediska studia ?ty?st?nu.

Prezentace t?matu "Tetrahedron" v u?ebnici "Geometrie" pro ro?n?ky 10-11 Atanasyan L. S. a dal??.

V z?kladn? u?ebnici "Geometrie" pro 10.-11. ro?n?k st?edn? ?koly Atanasyan L. S. a dal?? informace o ?ty?st?nu naleznete v 7 odstavc?ch (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Auto?i u?ebnice definuj? ?ty?st?n jako plochu tvo?enou ?ty?mi troj?heln?ky. Z teoretick?ho z?kladu u?ebnice pro ro?n?k 10 lze z?skat znalosti o ploch?ch, hran?ch a vrcholech ?ty?st?nu, o konstrukci ?ez? ?ty?st?nu rovinou, v?po?tu plochy celkov?ho povrchu ?ty?st?nu. ?ty?st?n, v?. a zkr?cen? (kapitola III, § 2 "Pyramida").

Teoretick? l?tka u?ebnice je pod?na kompaktn? a stylisticky jednotn?. ??st teoretick?ho materi?lu je um?st?na v praktick? ??sti u?ebnice (n?kter? v?ty jsou dokazov?ny v ?loh?ch). Praktick? l?tka u?ebnice je rozd?lena do dvou stup?? obt??nosti (jsou zde tzv. „?lohy zv??en? obt??nosti“, ozna?en? speci?ln?m symbolem „*“). Na konci u?ebnice je nav?c probl?mov? kniha s probl?my vysok? obt??nosti, z nich? n?kter? se t?kaj? ?ty?st?nu. Pod?vejme se na n?kter? ?koly u?ebnice.

?e?en? probl?mu.

?kol 1 (#b9ecec). V pravideln? troj?heln?kov? pyramid? DABC body E, F a P- st?edy stran p?ed na??m letopo?tem , AB a AD. Ur?ete typ ?ezu a najd?te jeho plochu, pokud je strana z?kladny pyramidy A, bo?n? hrana se rovn? b.

?e?en?.

Sestav?me ?ez rovinou proch?zej?c? body E, F, P. Nakreslete st?edn? ??ru troj?heln?ku ABC , EF || AC ,

EF || AC, A A C le?? v sq D CA, znamen? EF || sq DCA. Rovina ?ezu prot?n? plochu DCA v p??mce PC.

Proto?e rovina ?ezu proch?z? p??mkou EF rovnob??n? s rovinou DCA a p?elet? letadlo DCA, pak ??ra pr?se??ku PK rovnob??n? s p??mkou EF.

Poj?me stav?t na hran? BDA?se?ka FP, ale na hran? BDC-?se?ka EK.?ty??heln?k EFOK a je to po?adovan? sekce. EF || AC, PK || EF || AC, , , znamen? .

Proto?e PK || EF a PK = EF, pak EFPC- rovnob??n?k. Takto, EK || EP, EP- st?edn? ??ra troj?heln?ku BCD, .

?hel mezi ?ikm?mi ?arami D.B. a CA rovn? se 90 °. Poj?me to dok?zat. Konstrukce v??ky pyramidy D?LAT. Te?ka ?- st?ed rovnostrann?ho troj?heln?ku ABC. Pokra?ujme v segmentu BO ke k?i?ovatce s bo?n?m AC na m?st? M. V pravo?hl?m troj?heln?ku ABC: BM- v??ka, medi?n a osektor tedy. M?me to , , pak podle krit?ria kolmosti p??mky a roviny , pak .

Proto?e , PK || CA a EK || BD, pak a EFPC- obd?ln?k.

.

Probl?m 2 (#8653ca).

Z?kladem pyramidy je pravo?hl? troj?heln?k s nohami A a b. Ka?d? z jej?ch bo?n?ch hran je sklon?na k rovin? z?kladny pod ?hlem f . Najd?te objem pyramidy

?e?en?:

ABECEDA- pyramida, roh ABC- obd?ln?kov? , AC = b, BC = a, rohy DAO, DBO, DCO jsou si rovni. Poj?me naj?t V DABC0.

1) ?DAO=?ADC=?DBO pod?l nohy a ostr? ?hel, co? znamen? AO=OC=OB=R kru?nice opsan? ?ABC. Proto?e . ?ABC- tedy obd?ln?kov? .

2) Od ? DOC : ; .

3) ; ; .

Prezentace t?matu "Tetrahedron" v u?ebnici "Geometrie" pro ro?n?ky 7-11 Pogorelova A.V.

V dal?? z?kladn? u?ebnici A.V. Pogorelov? a dal?? teoretick? materi?l v?ce ?i m?n? souvisej?c? s t?matem "Tetrahedron" je obsa?en v odstavc?ch 176-180, 186, 192, 199, 200.

Odstavec 180 „Pravideln? mnohost?n“ obsahuje definici pojmu „pravideln? ?ty?st?n“ („?ty?st?n je troj?heln?kov? jehlan, jeho? v?echny hrany jsou stejn?“), d?kaz n?kter?ch vlastnost? a v?t o pyramid? je ilustrov?n kresbami ?ty?st?n. Tato u?ebnice se v?ak nezam??uje na studium obrazce a v tomto smyslu lze jej? informa?n? obsah (ohledn? ?ty?st?nu) hodnotit jako n?zk?. Praktick? materi?l u?ebnice obsahuje uspokojiv? mno?stv? ?loh souvisej?c?ch s pyramidou, na jej?? z?kladn? je troj?heln?k (co? je ve skute?nosti ?ty?st?n). Uve?me p??klady ?e?en? n?kter?ch probl?m?.

?e?en? probl?mu.

?loha 1 (?. 41 z odstavce "Mnohost?ny").

Z?kladem pyramidy je rovnoramenn? troj?heln?k, jeho? z?kladna je 12 cm a strana 10 cm. Bo?n? strany sv?raj? se z?kladnou stejn? dihedr?ln? ?hly, ka?d? o velikosti 45°. Najd?te v??ku pyramidy.

?e?en?:

Nakresl?me kolmici TAK na rovinu podstavy a kolmice SK, SM a SN do stran DABS. Potom pomoc? v?ty o t?ech kolmic?ch OK BC, OM AC a ON AB.

Pak, SKO= SMO= SNO = 45° - jako line?rn? ?hly dan?ch dihedr?ln?ch ?hl?. Proto pravo?hl? troj?heln?ky SKO, SMO a SNO jsou stejn? v noze a ostr?m ?hlu . Aby OK=OM=ON, to je podstata ? je st?ed vepsan?ho kruhu DABC.

Vyj?d?ete plochu obd?ln?ku ABC:

Na druhou stranu , . Aby ; ok=r=3 cm. Proto?e v pravo?hl?m troj?heln?ku S.O.K. ostr? ?hel je 45° , pak ?SOK je rovnoramenn? a SO=OK= 3 (cm) .

?loha 2 (?. 43 z odstavce "Objemy mnohost?n?").

Najd?te objem jehlanu, jeho? z?kladna je troj?heln?k se dv?ma ?hly a a v; polom?r opsan? kru?nice R. Bo?n? hrany jehlanu jsou sklon?ny k rovin? jeho z?kladny pod ?hlem g.

?e?en?.

Proto?e v?echny bo?n? hrany jehlanu jsou sklon?ny k rovin? z?kladny pod stejn?m ?hlem, v??ka jehlanu je O 1 O proch?z? st?edem kru?nice opsan? pobl?? z?kladny. Aby

V DABC. Pak podle sinusov? v?ty

Aby , , =

=.

Oblast troj?heln?ku :

Pak .

Prezentace t?matu "Tetrahedron" v u?ebnici "Geometrie" pro ro?n?ky 10-11 Aleksandrova A.D.

Vezm?me si u?ebnici Alexandrov A.D. atd. „Geometrie: u?ebnice pro ??ky 11. ro?n?ku. s hloubkov?m studiem matematiky. V t?to u?ebnici nejsou ??dn? samostatn? odstavce v?novan? ?ty?st?nu, nicm?n? t?ma je p??tomno ve form? fragment? dal??ch odstavc?.

?ty?st?n je poprv? zm?n?n v §21.3. Materi?l odstavce se zab?v? v?tou o triangulaci mnohost?nu, jako p??klad je provedena triangulace konvexn?ho jehlanu. Samotn? pojem „mnohost?n“ je v u?ebnici vykl?d?n dv?ma zp?soby, druh? definice pojmu p??mo souvis? s ?ty?st?nem: „Mnohost?n je obrazec, kter? je spojen?m kone?n?ho po?tu ?ty?st?n?...“. Poznatky t?kaj?c? se pravideln? pyramidy a n?kter?ch aspekt? symetrie ?ty?st?nu lze nal?zt v §23.

§26.2 popisuje aplikaci Eulerovy v?ty („pravideln? s?t?“) pro pravideln? mnohost?ny (v?etn? ?ty?st?n?) a §26.4 pojedn?v? o typech symetri? charakteristick?ch pro tyto obrazce.

V u?ebnici tak? m??ete naj?t informace o st?edov? ???e ?ty?st?nu, t??i?ti (§35.5) a t??d? izoedrick?ch ?ty?st?n?. Pohyby prvn?ho a druh?ho druhu jsou demonstrov?ny v pr?b?hu ?e?en? ?loh na ?ty?st?nech.

Charakteristick?m rysem u?ebnice je vysok? v?deck? obsah, kter? se autor?m poda?ilo skloubit s p??stupn?m jazykem a jasnou strukturou pod?n?. Uve?me p??klady ?e?en? n?kter?ch probl?m?.

?e?en? probl?mu.

?kol 1.

V dan?m pravideln?m troj?heln?kov?m komol?m jehlanu s bo?n? hranou a lze um?stit kouli dot?kaj?c? se v?ech ploch a kouli dot?kaj?c? se v?ech hran. Najd?te strany z?kladny pyramidy.

?e?en?.

Zn?zorn?me na v?krese "plnou" pyramidu. Tento jehlan, - v??ka "pln?ho" jehlanu, - jeho ??st k horn? z?kladn? je zkr?cena. ?loha je redukov?na na planimetrickou a nen? nutn? kreslit ??dnou z t?chto koul?. Proto?e koule dot?kaj?c? se v?ech hran m??e b?t veps?na do komol?ho jehlanu, pak m??e b?t kruh veps?n do jeho bo?n? plochy. Ozna?me , (pro usnadn?n? d?len? na polovinu) a pro popsan? ?ty??heln?k z?sk?me, ?e , odkud

Z existence vepsan? koule vypl?v?, ?e existuje p?lkruh um?st?n? v lichob??n?ku ( - apot?m „pln?“ pyramidy) tak, ?e jeho st?ed le?? uprost?ed a s?m se dot?k? ostatn?ch t?? stran lichob??n?ku. .

St?ed m??e a jsou body kontaktu. Pak . Tyto veli?iny vyjad?ujeme pomoc? a . Z : . Z : . Z lichob??n?ku: . Dostaneme rovnici:

.(2)

Po vy?e?en? soustavy rovnic (1) a (2) dostaneme, ?e strany z?kladen jsou stejn?.

?kol 2 .

Uvnit? pravideln?ho ?ty?st?nu s okrajem A?ty?i stejn? koule jsou uspo??d?ny tak, ?e se ka?d? koule dot?k? t?? dal??ch koul? a t?? stran ?ty?st?nu. Najd?te polom?r t?chto koul?.

?e?en? .

Tento ?ty?st?n, - jeho v??ka, - st?edy koul?, - pr?se??k p??mky s rovinou. V?imn?te si, ?e st?edy stejn?ch koul? dot?kaj?c?ch se roviny jsou od n? vzd?leny o stejn? vzd?lenosti, z nich? ka?d? se rovn? polom?ru koule (ozna?uje to jako X). Roviny jsou tedy rovnob??n?, a proto .

Ale jak? je v??ka pravideln?ho ?ty?st?nu s hranou ; jako v??ka pravideln?ho ?ty?st?nu s hranou 2 X ; .

Zb?v? se vyj?d?it V?imn?te si, ?e bod je uvnit? trojbok?ho ?hlu a je ve vzd?lenosti od jeho ploch a rovinn? ?hly trojbok?ho ?hlu jsou stejn?. Nen? t??k? z?skat co. Dost?v?me se k rovnici:

, odkud po zjednodu?en? z?sk?me .

Prezentace t?matu "Tetrahedron" v u?ebnici "Geometrie" pro ro?n?ky 10-11 Smirnova I.M.

Prezentace t?matu "Tetrahedron" v u?ebnici pro ro?n?ky 10-11 humanitn?ho profilu Smirnova I.M. jsou v?nov?ny tyto t??dy: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Po prostudov?n? v?ty, ?e „Jak?koli konvexn? mnohost?n m??e b?t slo?en z jehlan? se spole?n?m vrcholem, jejich? z?kladny tvo?? povrch mnohost?nu“, se u n?kter?ch takov?ch mnohost?n? uva?uje o Eulerov? v?t?, zejm?na o spln?n? podm?nek polyedru. teor?m je tak? pova?ov?n za troj?heln?kov? jehlan, kter? v podstat? , a tam je ?ty?st?n.

U?ebnice je zaj?mav? t?m, ?e se zab?v? topologi? a topologicky pravideln?mi mnohost?ny (?ty?st?n, osmist?n, dvacetist?n, krychle, dvan?ctist?n), jejich? existence je zd?vodn?na pomoc? stejn? Eulerovy v?ty.

U?ebnice nav?c poskytuje definici pojmu „spr?vn? pyramida“; teor?my o existenci vepsan?ch a opsan?ch koul? ?ty?st?nu, jsou uva?ov?ny n?kter? vlastnosti symetrie t?kaj?c? se ?ty?st?nu. Na z?v?re?n? hodin? (35) je uveden vzorec pro zji?t?n? objemu troj?heln?kov?ho jehlanu.

Tato u?ebnice se vyzna?uje velk?m mno?stv?m ilustrativn?ho a historick?ho materi?lu a tak? mal?m mno?stv?m praktick?ho materi?lu, vzhledem k zam??en? u?ebnice. Zva?te tak? u?ebnici Smirnov? I.M. a dal?? pro ro?n?ky 10-11 p??rodov?dn?ho profilu.

Prezentace t?matu "Tetrahedron" v u?ebnici "Geometrie" pro ro?n?ky 10-11 Smirnova I.M. atd.

Tato u?ebnice se od p?edchoz?ho tutori?lu li?? rozlo?en?m t?mat a ?rovn? slo?itosti ?loh navr?en?ch k ?e?en?. Charakteristick?m rysem prezentace l?tky je jej? rozd?len? do „semestr?“, kter? jsou v u?ebnici ?ty?i. ?ty?st?n je zm?n?n hned v prvn?m odstavci („?vod do geometrie t?les“), pojem „pyramida“ je definov?n v §3.

Praktick? materi?l je stejn? jako v p?edchoz? u?ebnici dopln?n o ?koly s rozv?jen?m stereometrick?ch obrazc?. V materi?lu §26 lze naj?t v?tu o kouli vepsan? do ?ty?st?nu. Zbytek teoretick?ho materi?lu t?kaj?c?ho se ?ty?st?nu se ve skute?nosti shoduje s materi?ly z u?ebnice popsan? v??e.

?e?en? probl?mu.

?kol 1.

Najd?te nejkrat?? cestu pod?l povrchu pravideln?ho ?ty?st?nu abeceda spojov?n? te?ek E a F um?st?n? ve v??k?ch bo?n?ch ploch 7 cm od odpov?daj?c?ch vrchol? ?ty?st?nu. Hrana ?ty?st?nu je 20 cm.

?e?en?.

Zva?te v?voj t?? tv??? ?ty?st?nu. Nejkrat?? cestou je ?sek spojuj?c? body E a F. Jeho d?lka je 20 cm.

?kol 2.

Na z?kladn? pyramidy le?? pravo?hl? troj?heln?k, jeho? jedna noha m? 3 cm a ostr? ?hel k n?mu p?il?haj?c? je 30 stup??. V?echny bo?n? hrany jehlanu jsou sklon?ny k rovin? z?kladny pod ?hlem 60 stup??. Najd?te objem pyramidy.

?e?en?.

Oblast troj?heln?ku ABC je . Z?kladem v??ky je st?ed. Triangle SAC je rovnostrann?. .

Odtud a tedy objem pyramidy se rovn?.

Z?v?r.

V?razn?m rysem u?ebnice Atanasyan L.S. a dal?? spo??v? v tom, ?e studium ?ty?st?nu za??n? pom?rn? brzy, materi?l je rozpt?len po cel?m kurzu a prezentov?n na r?zn?ch ?rovn?ch slo?itosti. V u?ebnici Pogorelov A.V. l?tka je um?st?na kompaktn?, pojem "?ty?st?n", stejn? jako pojmy jin?ch prostorov?ch obrazc?, je zaveden pom?rn? pozd? (na konci 10. ro?n?ku), praktick? materi?l uveden? v u?ebnici je mal?. V u?ebnici Smirnova I.M. a dal?? teoretick? materi?l, stejn? jako praktick?, m? mal? objem, praktick? ?lohy n?zk? ?rovn? slo?itosti, u?ebnice se vyzna?uje velk?m mno?stv?m l?tky z d?jin matematiky. V u?ebnici Alexandrov A.D. a dal??.?rove? slo?itosti l?tky je vy???, l?tka samotn? je rozmanit?j??, mnoho praktick?ch ?loh obsahuje n?jakou ??st teorie, existuj? extr?mn? ?lohy a ?lohy ve form? ot?zek, co? ji odli?uje od ostatn?ch.

§2. Testov?n? ?rovn? rozvoje prostorov?ho my?len? u student? st?edn?ch ?kol

Inteligence je schopnost u?it se nebo rozum?t, kter? je vlastn? v?em lidem. N?kdo ji m? ve v?t?? m??e, jin? v men?? m??e, ale u ka?d?ho ?lov?ka z?st?v? tato schopnost prakticky nem?nn? po cel? ?ivot. Pr?v? d?ky intelektu jsme schopni jednat spr?vn? a pou?it se z chyb.

V psychologii je inteligence definov?na jako schopnost vn?mat znalosti a vyu??vat je v jin?ch, z?sadn? nov?ch situac?ch. V testovac?ch podm?nk?ch je mo?n? zjistit, jak ?sp??n? se ?lov?k adaptuje na neobvykl? situace. Zji??ov?n? ?rovn? obecn?ho intelektu?ln?ho rozvoje pomoc? testu je pom?rn? obt??n? a ?asov? n?ro?n? pr?ce, proto bude v textu t?to pr?ce pou?ita ??st metodiky testov?n? inteligence, kter? odpov?d? na ot?zku o ?rovni rozvoje prostorov?ho mysl?c?. Prostorov? my?len? je specifick? druh du?evn? ?innosti, kter? prob?h? p?i ?e?en? probl?m? vy?aduj?c?ch orientaci v praktick?m i teoretick?m prostoru (viditeln?m i imagin?rn?m). Ve sv?ch nejrozvinut?j??ch form?ch je to my?len? podle vzorc?, v nich? jsou fixov?ny prostorov? vlastnosti a vztahy. Pr?ce s v?choz?mi obrazy vytvo?en?mi na r?zn?ch vizu?ln?ch z?kladech zaji??uje jejich modifikaci, transformaci a vytv??en? nov?ch obraz?, kter? jsou odli?n? od p?vodn?ch.

Pou?it? test („Minitest ?rovn? rozvoje prostorov?ho my?len?“ z „Prvn?ho testu pro koeficient rozvoje inteligence“ od F. Cartera, K. Russella) je univerz?ln? pro v?echny v?kov? skupiny a zabere mal? mno?stv? ?asu (30 minut). Text testu a jeho kl??e naleznete v "P??loze ?. 1" k diplomu.