Gauss ??z?m?. Gauss y?ntemi (bilinmeyenlerin s?ral? olarak ortadan kald?r?lmas?). Aptallar i?in ??z?m ?rnekleri

??z?lmesi gereken bir do?rusal cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini e?itli?e d?n??t?ren bilinmeyen xi de?erlerini bulun).

Bir do?rusal cebirsel denklem sisteminin ?unlar? yapabilece?ini biliyoruz:

1) ??z?m?n?z yok (olun) ortak olmayan).
2) Sonsuz say?da ??z?m? var.
3) Tek bir ??z?m?n?z olsun.

Hat?rlayaca??m?z gibi sistemin sonsuz say?da ??z?m? oldu?u veya tutars?z oldu?u durumlarda Cramer kural? ve matris y?ntemi uygun de?ildir. Gauss y?ntemi – Herhangi bir do?rusal denklem sistemine ??z?m bulmak i?in en g??l? ve ?ok y?nl? ara?, Hangi her durumda bizi cevaba g?t?recek! Y?ntem algoritmas?n?n kendisi her ?? durumda da ayn? ?ekilde ?al???r. Cramer ve matris y?ntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss y?ntemini uygulamak i?in yaln?zca aritmetik i?lemler bilgisine ihtiyac?n?z vard?r, bu da onu ilkokul ??rencileri i?in bile eri?ilebilir k?lar.

Art?r?lm?? matris d?n???mleri ( bu sistemin matrisidir - yaln?zca bilinmeyenlerin katsay?lar?ndan ve serbest terimlerden olu?an bir s?tundan olu?an bir matris) Gauss y?ntemindeki do?rusal cebirsel denklem sistemleri:

1) ?le troki matrisler Olabilmek yeniden d?zenlemek baz? yerlerde.

2) matriste orant?l? (?zel bir durum olarak - ayn?) sat?rlar g?r?n?yorsa (veya mevcutsa), o zaman ?unlar? yapmal?s?n?z: silmek matristen biri hari? t?m bu sat?rlar.

3) d?n???mler s?ras?nda matriste s?f?r sat?r belirirse, o zaman da olmal?d?r silmek.

4) matrisin bir sat?r? olabilir ?arpmak (b?lmek) s?f?rdan ba?ka herhangi bir say?ya.

5) matrisin bir sat?r?na ?unlar? yapabilirsiniz: bir say?yla ?arp?lan ba?ka bir dize ekle, s?f?rdan farkl?.

Gauss y?nteminde elemanter d?n???mler denklem sisteminin ??z?m?n? de?i?tirmez.

Gauss y?ntemi iki a?amadan olu?ur:

"Do?rudan hareket" - temel d?n???mleri kullanarak, do?rusal cebirsel denklemler sisteminin geni?letilmi? matrisini "??gen" ad?m formuna getirin: ana k??egenin alt?nda bulunan geni?letilmi? matrisin elemanlar? s?f?ra e?ittir (yukar?dan a?a??ya hareket). ?rne?in, bu t?re:

Bunu yapmak i?in a?a??daki ad?mlar? izleyin:

1) Lineer cebirsel denklemler sisteminin ilk denklemini ele alal?m ve x 1'in katsay?s? K'ye e?ittir. ?kinci, ???nc?, vb. denklemleri ?u ?ekilde d?n??t?r?yoruz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenlerin katsay?lar?), her denklemde bulunan bilinmeyen x 1'in katsay?s?na b?l?yoruz ve K ile ?arp?yoruz. Bundan sonra ilkini ??kar?yoruz ikinci denklem (bilinmeyenlerin katsay?lar? ve serbest terimler). ?kinci denklemde x 1 i?in 0 katsay?s?n? elde ederiz. D?n??t?r?len ???nc? denklemden, bilinmeyen x 1 i?in birinci d???ndaki t?m denklemler 0 katsay?s?na sahip olana kadar birinci denklemi ??kar?r?z.

2) Bir sonraki denkleme ge?elim. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'nin katsay?s? M'ye e?it olsun. T?m "alt" denklemlerle yukar?da anlat?ld??? gibi devam ediyoruz. B?ylece bilinmeyen x 2'nin “alt?nda” t?m denklemlerde s?f?rlar olacakt?r.

3) Bir sonraki denkleme ge?in ve son bir bilinmeyene ve d?n??t?r?lm?? serbest terim kalana kadar devam edin.

Gauss y?nteminin “tersine hareketi”, do?rusal cebirsel denklemler sistemine (“a?a??dan yukar?ya” hareket) bir ??z?m elde etmektir.

Son “alt” denklemden bir birinci ??z?m elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunu yapmak i?in A * x n = B temel denklemini ??z?yoruz. Yukar?da verilen ?rnekte x 3 = 4. Bulunan de?eri bir sonraki "?st" denklemin yerine koyuyoruz ve bir sonraki bilinmeyene g?re ??z?yoruz. ?rne?in x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. T?m bilinmeyenleri bulana kadar b?yle devam ederiz.

?rnek.

Baz? yazarlar?n ?nerdi?i gibi, do?rusal denklem sistemini Gauss y?ntemini kullanarak ??zelim:

Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri kullanarak onu ad?m ad?m forma getirelim:
Sol ?stteki “ad?ma” bak?yoruz. Orada bir tane olmal?. Sorun ?u ki, ilk s?tunda hi? birim yok, dolay?s?yla sat?rlar? yeniden d?zenlemek hi?bir ?eyi ??zmeyecek. Bu gibi durumlarda ?nitenin temel bir d?n???m kullan?larak d?zenlenmesi gerekir. Bu genellikle birka? yolla yap?labilir. Hadi ?unu yapal?m: . ?lk sat?ra ikinci sat?r? –1 ile ?arparak ekliyoruz. Yani ikinci sat?r? zihinsel olarak –1 ile ?arp?p birinci ve ikinci sat?rlar? ekledik ama ikinci sat?r de?i?medi.

?imdi sol ?stte “eksi bir” var ki bu da bize ?ok yak???yor. +1 almak isteyen herkes ek bir i?lem yapabilir: ?lk sat?r? -1 ile ?arp?n (i?aretini de?i?tirin).

2. Ad?m . ?lk sat?r 5 ile ?arp?larak ikinci sat?ra eklendi. ?lk sat?r 3 ile ?arp?larak ???nc? sat?ra eklendi.

3. Ad?m . ?lk sat?r -1 ile ?arp?ld?, prensip olarak bu g?zellik i?indir. ???nc? sat?r?n i?areti de de?i?tirilerek ikinci s?raya ta??nd?, b?ylece ikinci “ad?m”da gerekli ?niteye sahip olduk.

4. Ad?m . ???nc? sat?r, ikinci sat?ra 2 ile ?arp?larak eklendi.

Ad?m 5 . ???nc? sat?r 3'e b?l?nd?.

Hesaplamalarda bir hata oldu?unu g?steren bir i?aret (daha az s?kl?kla bir yaz?m hatas?) "k?t?" bir sonu?tur. Yani, a?a??da (0 0 11 |23) gibi bir ?ey elde edersek ve buna g?re 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 olursa, o zaman y?ksek bir olas?l?kla ilkokul s?ras?nda bir hata yap?ld???n? s?yleyebiliriz. d?n???mler.

Bunun tersini yapal?m; ?rneklerin tasar?m?nda sistemin kendisi genellikle yeniden yaz?lmaz, ancak denklemler "do?rudan verilen matristen al?n?r." Size hat?rlat?r?m, ters hareket a?a??dan yukar?ya do?ru ?al???r. Bu ?rnekte sonu? bir hediyeydi:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolay?s?yla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Cevap:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Ayn? sistemi ?nerilen algoritmay? kullanarak ??zelim. Ald?k

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

?kinci denklemi 5'e, ???nc?s?n? ise 3'e b?lersek ?unu elde ederiz:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

?kinci ve ???nc? denklemleri 4 ile ?arparsak ?unu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve ???nc? denklemlerden ??kar?rsak:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

???nc? denklemi 0,64'e b?l?n:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

???nc? denklemi 0,4 ile ?arp?n

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

?kinciyi ???nc? denklemden ??kararak "ad?ml?" bir geni?letilmi? matris elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

B?ylece hesaplamalar s?ras?nda olu?an hata nedeniyle x 3 = 0,96 yani yakla??k 1 elde ederiz.

x 2 = 3 ve x 1 = –1.

Bu ?ekilde ??zd???n?zde hesaplamalarda hi?bir zaman kafan?z kar??maz ve hesaplama hatalar?na ra?men sonuca ula??rs?n?z.

Bir do?rusal cebirsel denklem sistemini ??zmenin bu y?nteminin programlanmas? kolayd?r ve bilinmeyenler i?in katsay?lar?n belirli ?zelliklerini hesaba katmaz ??nk? pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsay? olmayan katsay?larla u?ra?mak gerekir.

Size ba?ar?lar diliyorum! S?n?fta g?r???r?z! ??retmen Dmitry Aystrakhanov.

web sitesi, materyalin tamam?n? veya bir k?sm?n? kopyalarken, orijinal kayna?a bir ba?lant? gereklidir.

Bu makalede y?ntem, do?rusal denklem sistemlerini (SLAE'ler) ??zmeye y?nelik bir y?ntem olarak ele al?nmaktad?r. Y?ntem analitiktir, yani genel bir bi?imde bir ??z?m algoritmas? yazman?za ve ard?ndan orada belirli ?rneklerden de?erleri de?i?tirmenize olanak tan?r. Matris y?nteminden veya Cramer form?llerinden farkl? olarak, Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??zerken, sonsuz say?da ??z?m? olanlarla da ?al??abilirsiniz. Veya hi? sahip de?iller.

Gauss y?ntemini kullanarak ??zmek ne anlama gelir?

?ncelikle denklem sistemimizi ?una benzer ?ekilde yazmam?z gerekiyor. Sistemi ele alal?m:

Katsay?lar tablo halinde, serbest terimler ise sa? tarafta ayr? bir s?tuna yaz?l?r. Serbest terimlerin bulundu?u s?tun kolayl?k sa?lamak i?in ayr?lm??t?r. Bu s?tunu i?eren matrise geni?letilmi? denir.

Daha sonra katsay?l? ana matrisin ?st ??gen forma indirgenmesi gerekir. Gauss y?ntemini kullanarak sistemi ??zmenin ana noktas? budur. Basit?e s?ylemek gerekirse, belirli manip?lasyonlardan sonra matris, sol alt k?sm? yaln?zca s?f?r i?erecek ?ekilde g?r?nmelidir:

Daha sonra, yeni matrisi bir denklem sistemi olarak tekrar yazarsan?z, son sat?r?n zaten k?klerden birinin de?erini i?erdi?ini fark edeceksiniz, bu daha sonra yukar?daki denklemde yerine konur, ba?ka bir k?k bulunur ve bu ?ekilde devam eder.

Bu, Gauss y?ntemiyle ??z?m?n en genel anlamda a??klamas?d?r. Aniden sistemin ??z?m? kalmazsa ne olur? Yoksa bunlardan sonsuz say?da m? var? Bunlar? ve di?er bir?ok soruyu cevaplamak i?in Gauss y?ntemini ??zmede kullan?lan t?m unsurlar? ayr? ayr? ele almak gerekir.

Matrisler, ?zellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Bu, daha sonraki i?lemler i?in verileri kaydetmenin basit bir yoludur. Okul ?ocuklar?n?n bile onlardan korkmas?na gerek yok.

Matris her zaman dikd?rtgendir ??nk? daha uygundur. Her ?eyin ??gen formlu bir matris olu?turmaya geldi?i Gauss y?nteminde bile, giri?te yaln?zca say?lar?n olmad??? yerde s?f?rlarla bir dikd?rtgen belirir. S?f?rlar yaz?lmam?? olabilir ancak ima edilmi?tir.

Matrisin bir boyutu vard?r. “Geni?li?i” sat?r say?s?d?r (m), “uzunluk” s?tun say?s?d?r (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (b?y?k Latin harfleri genellikle bunlar? belirtmek i?in kullan?l?r) A mxn olarak g?sterilecektir. E?er m=n ise bu matris karedir ve m=n onun mertebesidir. Buna g?re, A matrisinin herhangi bir eleman? sat?r ve s?tun numaralar?yla g?sterilebilir: a xy; x - sat?r numaras?, de?i?iklikler, y - s?tun numaras?, de?i?iklikler.

B karar?n ana noktas? de?ildir. Prensip olarak, t?m i?lemler do?rudan denklemlerle ger?ekle?tirilebilir, ancak g?sterim ?ok daha hantal olacak ve kafan?n kar??mas? ?ok daha kolay olacakt?r.

Belirleyici

Matrisin de bir determinant? vard?r. Bu ?ok ?nemli bir ?zelliktir. Art?k anlam?n? bulmaya gerek yok; basit?e nas?l hesapland???n? g?sterebilir ve ard?ndan matrisin hangi ?zelliklerini belirledi?ini s?yleyebilirsiniz. Determinant? bulman?n en kolay yolu k??egenlerdir. Matriste hayali k??egenler ?izilir; her birinde bulunan elemanlar ?arp?l?r ve daha sonra ortaya ??kan ?r?nler eklenir: sa?a e?imli k??egenler - art? i?aretli, sola e?imli - eksi i?aretli.

Determinant?n yaln?zca kare matris i?in hesaplanabilece?ini belirtmek son derece ?nemlidir. Dikd?rtgen bir matris i?in a?a??dakileri yapabilirsiniz: sat?r say?s? ve s?tun say?s? aras?ndan en k?????n? se?in (k olsun) ve ard?ndan matriste k s?tunu ve k sat?r? rastgele i?aretleyin. Se?ilen s?tun ve sat?rlar?n kesi?imindeki ??eler yeni bir kare matris olu?turacakt?r. B?yle bir matrisin determinant? s?f?rdan farkl? bir say? ise buna orijinal dikd?rtgen matrisin temel min?r? denir.

Gauss y?ntemini kullanarak bir denklem sistemini ??zmeye ba?lamadan ?nce determinant? hesaplaman?n zarar? olmaz. E?er s?f?r ??karsa, o zaman matrisin ya sonsuz say?da ??z?m? oldu?unu ya da hi? ??z?m? olmad???n? hemen s?yleyebiliriz. B?yle ?z?c? bir durumda daha ileri gitmeniz ve matrisin r?tbesini ??renmeniz gerekir.

Sistem s?n?fland?rmas?

Matrisin r?tbesi diye bir ?ey vard?r. Bu, s?f?r olmayan determinant?n?n maksimum s?ras?d?r (temel k???kleri hat?rlarsak, bir matrisin r?tbesinin temel k???klerin s?ras? oldu?unu s?yleyebiliriz).

Dereceli duruma ba?l? olarak SLAE ?u ?ekilde ayr?labilir:

Eklem yeri. sen Ortak sistemlerde, ana matrisin s?ralamas? (yaln?zca katsay?lardan olu?ur), geni?letilmi? matrisin s?ralamas?yla (bir serbest terimler s?tunu ile) ?ak???r. Bu t?r sistemlerin bir ??z?m? vard?r, ancak mutlaka bir ??z?m? yoktur, bu nedenle ortak sistemler ayr?ca a?a??dakilere ayr?l?r:
- kesin- tek bir ??z?me sahip olmak. Baz? sistemlerde matrisin r?tbesi ve bilinmeyenlerin say?s? (veya ayn? ?ey olan s?tun say?s?) e?ittir;
- tan?ms?z - sonsuz say?da ??z?mle. Bu t?r sistemlerde matrislerin s?ralamas? bilinmeyenlerin say?s?ndan azd?r.
Uyumsuz. sen Bu t?r sistemlerde ana ve geni?letilmi? matrislerin s?ralar? ?ak??maz. Uyumsuz sistemlerin ??z?m? yoktur.

Gauss y?ntemi iyidir ??nk? ??z?m s?ras?nda ya sistemin tutars?zl???n?n kesin bir kan?t?n? (b?y?k matrislerin determinantlar?n? hesaplamadan) ya da sonsuz say?da ??z?m? olan bir sistem i?in genel formda bir ??z?m elde etmeyi sa?lar.

Temel d?n???mler

Do?rudan sistemi ??zmeye ge?meden ?nce, onu daha az hantal ve hesaplamalar i?in daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel d?n???mler yoluyla ger?ekle?tirilir; b?ylece bunlar?n uygulanmas? nihai cevab? hi?bir ?ekilde de?i?tirmez. Verilen temel d?n???mlerden baz?lar?n?n yaln?zca kayna?? SLAE olan matrisler i?in ge?erli oldu?una dikkat edilmelidir. ??te bu d?n???mlerin bir listesi:

?izgilerin yeniden d?zenlenmesi. A??k?as? sistem kayd?ndaki denklemlerin s?ras?n? de?i?tirmeniz ??z?m? hi?bir ?ekilde etkilemeyecektir. Sonu? olarak, bu sistemin matrisinde serbest terimler s?tununu da unutmadan sat?rlar? de?i?tirmek de m?mk?nd?r.
Bir dizenin t?m elemanlar?n?n belirli bir katsay? ile ?arp?lmas?. ?ok faydal?! Bir matristeki b?y?k say?lar? azaltmak veya s?f?rlar? kald?rmak i?in kullan?labilir. ?o?u karar, her zamanki gibi de?i?meyecek, ancak daha sonraki operasyonlar daha uygun hale gelecektir. ?nemli olan katsay?n?n s?f?ra e?it olmamas?d?r.
Orant?l? ?arpanlara sahip sat?rlar?n kald?r?lmas?. Bu k?smen ?nceki paragraftan kaynaklanmaktad?r. Bir matristeki iki veya daha fazla sat?r?n orant?sal katsay?lar? varsa, sat?rlardan biri orant? katsay?s?yla ?arp?ld???nda/b?l?ld???nde, iki (veya yine daha fazla) tamamen ayn? sat?r elde edilir ve fazla olanlar kald?r?labilir. sadece bir tane.
Bo? bir sat?r?n kald?r?lmas?. D?n???m s?ras?nda, serbest terim de dahil olmak ?zere t?m elemanlar?n s?f?r oldu?u bir yerde bir sat?r elde edilirse, b?yle bir sat?ra s?f?r denilebilir ve matrisin d???na at?labilir.
Bir sat?r?n elemanlar?na di?erinin elemanlar?n?n (ilgili s?tunlarda) eklenmesi, belirli bir katsay? ile ?arp?lmas?. T?m d?n???mlerin en bariz ve en ?nemlisi. ?zerinde daha ayr?nt?l? olarak durmaya de?er.

Bir fakt?rle ?arp?lm?? bir dize ekleme

Anla??lma kolayl??? a??s?ndan bu s?reci ad?m ad?m ?zetlemeye de?er. Matristen iki sat?r al?n?r:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

Diyelim ki birinciyi ikinciye "-2" katsay?s?yla ?arpman?z gerekiyor.

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Daha sonra matristeki ikinci sat?r yenisiyle de?i?tirilir ve birincisi de?i?meden kal?r.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

?arpma katsay?s?n?n, iki sat?r?n eklenmesi sonucunda yeni sat?r?n elemanlar?ndan birinin s?f?ra e?it olaca?? ?ekilde se?ilebilece?ine dikkat edilmelidir. Dolay?s?yla bilinmeyenin az olaca?? bir sistemde denklem elde etmek m?mk?nd?r. Ve e?er bu t?r iki denklem elde ederseniz, i?lem tekrar yap?labilir ve iki daha az bilinmeyen i?eren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalin alt?ndaki t?m sat?rlar i?in bir katsay?y? her s?f?ra ?evirdi?inizde, merdivenler gibi matrisin en alt?na inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Buna Gauss y?ntemini kullanarak sistemi ??zmek denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. M denklemi ve n bilinmeyen k?k? var. Bunu a?a??daki gibi yazabilirsiniz:

Ana matris sistem katsay?lar?ndan derlenmi?tir. Geni?letilmi? matrise serbest terimlerden olu?an bir s?tun eklenir ve kolayl?k olmas? a??s?ndan bir ?izgiyle ayr?l?r.

matrisin ilk sat?r? k = (-a 21 /a 11) katsay?s? ile ?arp?l?r;
matrisin de?i?tirilen ilk sat?r? ile ikinci sat?r? eklenir;
ikinci sat?r yerine ?nceki paragraftaki eklemenin sonucu matrise eklenir;
?imdi yeni ikinci sat?rdaki ilk katsay? a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'd?r.

?imdi ayn? d?n???m dizisi ger?ekle?tirilir, yaln?zca birinci ve ???nc? s?ralar s?z konusudur. Buna g?re algoritman?n her ad?m?nda a (21) eleman?n?n yerini 31 al?r. Sonra her ?ey 41, ... m1 i?in tekrarlan?r. Sonu?, sat?rlardaki ilk eleman?n s?f?r oldu?u bir matristir. Art?k birinci sat?r? unutup ikinci sat?rdan ba?layarak ayn? algoritmay? uygulaman?z gerekiyor:

katsay?s? k = (-a 32 /a 22);
de?i?tirilen ikinci sat?r “ge?erli” sat?ra eklenir;
toplaman?n sonucu ???nc?, d?rd?nc? vb. sat?rlara aktar?l?r, birinci ve ikinci sat?rlar de?i?meden kal?r;
matrisin sat?rlar?nda ilk iki ??e zaten s?f?ra e?ittir.

Algoritma k = (-a m,m-1 /a mm) katsay?s? ortaya ??kana kadar tekrarlanmal?d?r. Bu, algoritman?n en son ?al??t?r?ld??? zaman?n yaln?zca alt denklem i?in oldu?u anlam?na gelir. Art?k matris bir ??gene benziyor veya basamakl? bir ?ekle sahip. Sonu? olarak a mn x x n = b m e?itli?i vard?r. Katsay? ve serbest terim bilinmektedir ve k?k bunlarla ifade edilir: x n = b m /a mn. Ortaya ??kan k?k, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1'i bulmak i?in ?st sat?ra yerle?tirilir. Ve benzetme yoluyla b?yle devam eder: sonraki her sat?rda yeni bir k?k vard?r ve sistemin "tepesine" ula?t???n?zda bir?ok ??z?m bulabilirsiniz. Tek olacak.

??z?m olmad???nda

Matris sat?rlar?ndan birinde serbest terim d???ndaki t?m elemanlar s?f?ra e?itse bu sat?ra kar??l?k gelen denklem 0 = b gibi g?r?n?r. ??z?m? yok. Ve b?yle bir denklem sisteme dahil edildi?inden, t?m sistemin ??z?m k?mesi bo?tur, yani dejeneredir.

Sonsuz say?da ??z?m oldu?unda

Verilen ??gen matriste denklemin bir katsay? eleman? ve bir serbest terimi olan sat?rlar?n bulunmamas? m?mk?nd?r. Yaln?zca yeniden yaz?ld???nda iki veya daha fazla de?i?kenli bir denklem gibi g?r?nen ?izgiler vard?r. Bu, sistemin sonsuz say?da ??z?m? oldu?u anlam?na gelir. Bu durumda cevap genel bir ??z?m ?eklinde verilebilir. Bu nas?l yap?l?r?

Matristeki t?m de?i?kenler temel ve serbest olarak ayr?lm??t?r. Temel olanlar, ad?m matrisindeki sat?rlar?n "kenar?nda" duranlard?r. Gerisi ?cretsizdir. Genel ??z?mde temel de?i?kenler serbest de?i?kenler ?zerinden yaz?l?r.

Kolayl?k sa?lamak i?in, matris ?nce bir denklem sistemine yeniden yaz?l?r. Daha sonra, tam olarak tek bir temel de?i?kenin kald??? sonuncusunda, o bir tarafta kal?r ve geri kalan her ?ey di?er tarafa aktar?l?r. Bu, bir temel de?i?kene sahip her denklem i?in yap?l?r. Daha sonra kalan denklemlerde m?mk?n oldu?unca temel de?i?ken yerine kendisi i?in elde edilen ifade de?i?tirilir. Sonu? yine tek bir temel de?i?ken i?eren bir ifade ise, buradan tekrar ifade edilir ve her temel de?i?ken serbest de?i?kenli bir ifade olarak yaz?lana kadar bu ?ekilde devam eder. Bu SLAE'nin genel ??z?m?d?r.

Ayr?ca sistemin temel ??z?m?n? de bulabilirsiniz - serbest de?i?kenlere herhangi bir de?er verin ve ard?ndan bu ?zel durum i?in temel de?i?kenlerin de?erlerini hesaplay?n. Verilebilecek sonsuz say?da ?zel ??z?m vard?r.

Spesifik ?rneklerle ??z?m

Burada bir denklem sistemi var.

Kolayl?k sa?lamak i?in matrisini hemen olu?turmak daha iyidir

Gauss y?ntemiyle ??z?ld???nde ilk sat?ra kar??l?k gelen denklemin d?n???mler sonunda de?i?meden kalaca?? bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol ?st eleman?n?n en k???k olmas? daha karl? olacakt?r - o zaman i?lemlerden sonra kalan sat?rlar?n ilk elemanlar? s?f?ra d?necektir. Bu, derlenmi? matriste ikinci sat?r? birincinin yerine koyman?n avantajl? olaca?? anlam?na gelir.

ikinci sat?r: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + kxa 11 = 3 + (-3)x1 = 0

a" 22 = a 22 + kxa 12 = -1 + (-3)x2 = -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b" 2 = b 2 + kxb 1 = 12 + (-3)x12 = -24

???nc? sat?r: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b" 3 = b 3 + kxb 1 = 3 + (-5)x12 = -57

?imdi kafan?z?n kar??mamas? i?in d?n???mlerin ara sonu?lar?n? i?eren bir matris yazman?z gerekiyor.

A??k?as?, b?yle bir matris belirli i?lemler kullan?larak alg?lama i?in daha uygun hale getirilebilir. ?rne?in, her bir ??eyi “-1” ile ?arparak ikinci sat?rdaki t?m “eksileri” kald?rabilirsiniz.

Ayr?ca ???nc? sat?rdaki t?m elemanlar?n ???n kat? oldu?unu da belirtmekte fayda var. Daha sonra, her bir ??eyi "-1/3" (eksi - ayn? zamanda negatif de?erleri kald?rmak i?in) ile ?arparak dizeyi bu say?ya kadar k?saltabilirsiniz.

?ok daha g?zel g?r?n?yor. Art?k birinci sat?r? b?rak?p ikinci ve ???nc? sat?rlarla ?al??mam?z gerekiyor. G?rev, ikinci sat?r? ???nc? sat?ra eklemek, ?yle bir katsay?yla ?arpmakt?r ki, a 32 eleman? s?f?ra e?it olur.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (baz? d?n???mler s?ras?nda yan?t?n bir tam say? olmad??? ortaya ??karsa, hesaplamalar?n do?rulu?unun korunmas? ?nerilir. s?radan kesirler bi?iminde "oldu?u gibi" ve ancak o zaman cevaplar al?nd???nda, yuvarlay?p ba?ka bir kay?t bi?imine d?n??t?r?p d?n??t?rmemeye karar verin)

a" 32 = a 32 + kxa 22 = 3 + (-3/7)x7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + kxa 23 = 6 + (-3/7)x11 = -9/7

b" 3 = b 3 + kxb 2 = 19 + (-3/7)x24 = -61/7

Matris yeni de?erlerle yeniden yaz?l?r.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

G?rd???n?z gibi ortaya ??kan matris zaten basamakl? bir forma sahip. Bu nedenle sistemin Gauss y?ntemi kullan?larak daha fazla d?n??t?r?lmesine gerek yoktur. Burada yapabilece?iniz ?ey ???nc? sat?rdaki "-1/7" genel katsay?s?n? kald?rmakt?r.

?imdi her ?ey ?ok g?zel. Geriye kalan tek ?ey matrisi tekrar denklem sistemi ?eklinde yaz?p k?kleri hesaplamak

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Art?k k?klerin bulunaca?? algoritmaya Gauss y?nteminde ters hareket ad? verilmektedir. Denklem (3) z de?erini i?erir:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmam?z? sa?lar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

B?yle bir sistemi ortak, hatta kesin, yani benzersiz bir ??z?me sahip olarak adland?rma hakk?m?z var. Cevap a?a??daki bi?imde yaz?lm??t?r:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Belirsiz bir sisteme ?rnek

Belirli bir sistemi Gauss y?ntemini kullanarak ??zmenin varyant? analiz edildi; ?imdi sistemin belirsiz olup olmad???, yani bunun i?in sonsuz say?da ??z?m?n bulunabilece?i durumu dikkate almak gerekir.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sistemin g?r?n?m? zaten endi?e vericidir, ??nk? bilinmeyenlerin say?s? n = 5'tir ve sistem matrisinin s?ralamas? zaten bu say?dan tam olarak daha azd?r, ??nk? sat?r say?s? m = 4't?r, yani, determinant karenin en y?ksek derecesi 4't?r. Bu, sonsuz say?da ??z?m oldu?u ve genel g?r?n?m?ne bakman?z gerekti?i anlam?na gelir. Do?rusal denklemler i?in Gauss y?ntemi bunu yapman?za olanak sa?lar.

?lk olarak, her zamanki gibi geni?letilmi? bir matris derlenir.

?kinci sat?r: k katsay?s? = (-a 21 /a 11) = -3. ???nc? sat?rda ise ilk element d?n???mlerden ?nce oldu?u i?in hi?bir ?eye dokunman?za gerek yok, oldu?u gibi b?rakman?z gerekiyor. D?rd?nc? sat?r: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

?lk sat?r?n elemanlar?n? s?ras?yla katsay?lar?yla ?arparak ve gerekli sat?rlara ekleyerek a?a??daki formda bir matris elde ederiz:

G?rd???n?z gibi ikinci, ???nc? ve d?rd?nc? s?ralar birbiriyle orant?l? unsurlardan olu?uyor. ?kinci ve d?rd?nc? genellikle ayn?d?r, yani bunlardan biri hemen kald?r?labilir ve geri kalan "-1" katsay?s? ile ?arp?larak 3 numaral? sat?r? elde edilebilir. Ve yine iki ?zde? sat?rdan bir tane b?rak?n.

Sonu? bunun gibi bir matristir. Sistem hen?z yaz?ya ge?irilmemi? olsa da, burada temel de?i?kenlerin (a 11 = 1 ve a 22 = 1 katsay?lar?nda duranlar ve serbest olanlar) di?er t?m de?i?kenleri belirlemek gerekir.

?kinci denklemde yaln?zca bir temel de?i?ken vard?r - x 2. Bu, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 de?i?kenleri arac?l???yla oradan yaz?larak ifade edilebilece?i anlam?na gelir.

Ortaya ??kan ifadeyi ilk denklemde yerine koyar?z.

Sonu?, tek temel de?i?kenin x 1 oldu?u bir denklemdir. X 2 ile yapt???m?z?n ayn?s?n? onunla da yapal?m.

?ki tane olan t?m temel de?i?kenler ?? serbest de?i?kenle ifade edilir; art?k cevab? genel bi?imde yazabiliriz.

Ayr?ca sistemin belirli ??z?mlerinden birini de belirleyebilirsiniz. Bu gibi durumlarda serbest de?i?kenlerin de?eri olarak genellikle s?f?rlar se?ilir. O zaman cevap ?u olacakt?r:

16, 23, 0, 0, 0.

??birlik?i olmayan bir sistem ?rne?i

Uyumsuz denklem sistemlerini Gauss y?ntemini kullanarak ??zmek en h?zl? y?ntemdir. A?amalardan birinde ??z?m? olmayan bir denklem elde edilir edilmez hemen sona erer. Yani olduk?a uzun ve me?akkatli olan k?klerin hesaplanmas? a?amas? ortadan kalkmaktad?r. A?a??daki sistem dikkate al?n?r:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi matris derlendi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

?lk d?n???mden sonra ???nc? sat?r ?u ?ekilde bir denklem i?erir:

bir ??z?m olmadan. Sonu? olarak sistem tutars?zd?r ve cevap bo? k?me olacakt?r.

Y?ntemin avantajlar? ve dezavantajlar?

SLAE'leri ka??t ?zerinde kalemle ??zmek i?in hangi y?ntemi se?erseniz, bu makalede tart???lan y?ntem en ?ekici g?r?n?yor. Temel d?n???mlerde kafan?z?n kar??mas?, bir determinant? veya baz? zor ters matrisleri manuel olarak araman?z gerekti?inden ?ok daha zordur. Bununla birlikte, bu t?r verilerle, ?rne?in elektronik tablolarla ?al??mak i?in programlar kullan?yorsan?z, bu t?r programlar?n, matrislerin ana parametrelerini (determinant, k???kler, ters vb.) hesaplamak i?in zaten algoritmalar i?erdi?i ortaya ??kar. Ve makinenin bu de?erleri kendisinin hesaplayaca??ndan ve hata yapmayaca??ndan eminseniz, matris y?ntemini veya Cramer form?llerini kullanman?z daha tavsiye edilir, ??nk? uygulamalar? determinantlar?n ve ters matrislerin hesaplanmas?yla ba?lar ve biter. .

Ba?vuru

Gauss ??z?m? bir algoritma oldu?undan ve matris asl?nda iki boyutlu bir dizi oldu?undan programlamada kullan?labilir. Ancak makale kendisini "aptallar i?in" bir rehber olarak konumland?rd??? i?in, y?ntemi yerle?tirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, ?rne?in Excel oldu?u s?ylenmelidir. Yine matris bi?iminde bir tabloya girilen herhangi bir SLAE, Excel taraf?ndan iki boyutlu bir dizi olarak de?erlendirilecektir. Ve onlarla i?lemler i?in pek ?ok g?zel komut vard?r: toplama (yaln?zca ayn? boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), bir say?yla ?arpma, matrisleri ?arpma (yine belirli k?s?tlamalarla), ters ve devrik matrisleri bulma ve en ?nemlisi , determinant?n hesaplanmas?. Zaman alan bu g?rev tek bir komutla de?i?tirilirse, matrisin s?ralamas?n?n ?ok daha h?zl? belirlenmesi ve dolay?s?yla uyumlulu?unun veya uyumsuzlu?unun tespit edilmesi m?mk?n olur.

T?m ??z?mlerinin k?mesi ?ak???yorsa, iki do?rusal denklem sistemine e?de?er denir.

Bir denklem sisteminin temel d?n???mleri:

?nemsiz denklemlerin sistemden silinmesi, ?r. t?m katsay?lar?n s?f?ra e?it oldu?u durumlar;

Herhangi bir denklemin s?f?rdan farkl? bir say?yla ?arp?lmas?;

Herhangi bir i'inci denkleme herhangi bir j'inci denklemin herhangi bir say?yla ?arp?lmas?yla ekleme.

Bir x i de?i?kenine, e?er bu de?i?kene izin verilmiyorsa ancak denklem sisteminin tamam?na izin veriliyorsa, serbest denir.

Teorem. Temel d?n???mler bir denklem sistemini e?de?er bir sisteme d?n??t?r?r.

Gauss y?nteminin anlam?, orijinal denklem sistemini d?n??t?rerek e?de?er ??z?ml? veya e?de?er tutars?z bir sistem elde etmektir.

Yani Gauss y?ntemi a?a??daki ad?mlardan olu?ur:

?lk denkleme bakal?m. S?f?r olmayan ilk katsay?y? se?elim ve denklemin tamam?n? ona b?lelim. Baz? x i de?i?kenlerinin 1 katsay?s?yla girdi?i bir denklem elde ediyoruz;
Bu denklemi di?erlerinden ??karal?m, ?yle say?larla ?arpal?m ki, geri kalan denklemlerdeki x i de?i?keninin katsay?lar? s?f?rlans?n. Xi de?i?kenine g?re ??z?mlenmi? ve orijinaline e?de?er bir sistem elde ediyoruz;
?nemsiz denklemler ortaya ??karsa (nadiren ama olur; ?rne?in 0 = 0), onlar? sistemden ??kar?r?z. Sonu? olarak, bir tane daha az denklem var;
?nceki ad?mlar? en fazla n kez tekrarl?yoruz; burada n, sistemdeki denklemlerin say?s?d?r. Her seferinde “i?leme” i?in yeni bir de?i?ken se?iyoruz. Tutars?z denklemler ortaya ??karsa (?rne?in, 0 = 8), sistem tutars?zd?r.

Sonu? olarak, birka? ad?mdan sonra ya ??z?mlenmi? bir sistem (muhtemelen serbest de?i?kenlerle) ya da tutars?z bir sistem elde edece?iz. ?zin verilen sistemler iki duruma ayr?l?r:

De?i?ken say?s? denklem say?s?na e?ittir. Bu, sistemin tan?mland??? anlam?na gelir;
De?i?ken say?s? denklem say?s?ndan fazlad?r. T?m serbest de?i?kenleri sa? tarafta topluyoruz - izin verilen de?i?kenler i?in form?ller al?yoruz. Bu form?ller cevapta yaz?lm??t?r.

??te bu! Do?rusal denklem sistemi ??z?ld?! Bu olduk?a basit bir algoritmad?r ve bu konuda uzmanla?mak i?in daha y?ksek bir matematik ??retmeniyle ileti?ime ge?menize gerek yoktur. Bir ?rne?e bakal?m:

G?rev. Denklem sistemini ??z?n:

Ad?mlar?n a??klamas?:

?lk denklemi ikinci ve ???nc?den ??kar?n - izin verilen x 1 de?i?kenini elde ederiz;
?kinci denklemi (-1) ile ?arp?yoruz ve ???nc? denklemi (-3)'e b?l?yoruz - x 2 de?i?keninin 1 katsay?s?yla girdi?i iki denklem elde ediyoruz;
?kinci denklemi birinciye ekleriz ve ???nc?den ??kar?r?z. ?zin verilen x 2 de?i?kenini elde ederiz;
Son olarak ???nc? denklemi birinciden ??kar?r?z - izin verilen x 3 de?i?kenini elde ederiz;
Onayl? bir sistem ald?k, yan?t? yaz?n.

E?zamanl? bir do?rusal denklem sisteminin genel ??z?m?, izin verilen t?m de?i?kenlerin serbest de?i?kenler cinsinden ifade edildi?i, orijinaline e?de?er yeni bir sistemdir.

Genel bir ??z?me ne zaman ihtiya? duyulabilir? E?er k'den daha az ad?m atman?z gerekiyorsa (k, ka? tane denklemin oldu?udur). Ancak s?recin herhangi bir ad?mda bitmesinin nedenleri< k , может быть две:

I. ad?mdan sonra (l+1) numaral? denklem i?ermeyen bir sistem elde ettik. Asl?nda bu iyi bir ?ey ??nk?... Yetkili sistem, birka? ad?m ?nceden bile olsa h?l? elde ediliyor.
I. ad?mdan sonra de?i?kenlerin t?m katsay?lar?n?n s?f?ra e?it oldu?u, serbest katsay?n?n ise s?f?rdan farkl? oldu?u bir denklem elde ettik. Bu ?eli?kili bir denklemdir ve dolay?s?yla sistem tutars?zd?r.

Gauss y?ntemi kullan?larak tutars?z bir denklemin ortaya ??kmas?n?n tutars?zl?k i?in yeterli bir temel oldu?unun anla??lmas? ?nemlidir. Ayn? zamanda, 1. ad?m?n sonucunda hi?bir ?nemsiz denklemin kalamayaca??n?, s?re? i?inde hepsinin ?zerinin ?izildi?ini not ediyoruz.

Ad?mlar?n a??klamas?:

?lk denklemi 4 ile ?arparak ikinciden ??kar?n. Ayr?ca ilk denklemi ???nc?ye ekliyoruz - izin verilen x 1 de?i?kenini elde ediyoruz;
2 ile ?arp?lan ???nc? denklemi ikinciden ??kar?n - ?eli?kili denklem 0 = -5'i elde ederiz.

Yani sistem tutars?zd?r ??nk? tutars?z bir denklem ke?fedilmi?tir.

G?rev. Uyumlulu?u ke?fedin ve sisteme genel bir ??z?m bulun:

Ad?mlar?n a??klamas?:

?lk denklemi ikinciden (iki ile ?arpt?ktan sonra) ve ???nc?s?nden ??kar?r?z - izin verilen x 1 de?i?kenini elde ederiz;
?kinci denklemi ???nc?den ??kar?n. Bu denklemlerdeki katsay?lar?n t?m? ayn? oldu?undan ???nc? denklem ?nemsiz hale gelecektir. Ayn? zamanda ikinci denklemi (-1) ile ?arp?n;
?kinciyi ilk denklemden ??kar?n - izin verilen x 2 de?i?kenini elde ederiz. Art?k t?m denklem sistemi de ??z?lm??t?r;
x 3 ve x 4 de?i?kenleri serbest oldu?undan izin verilen de?i?kenleri ifade etmek i?in onlar? sa?a kayd?r?yoruz. Cevap bu.

Dolay?s?yla, izin verilen iki de?i?ken (x 1 ve x 2) ve iki serbest de?i?ken (x 3 ve x 4) oldu?undan sistem tutarl? ve belirsizdir.

Gauss y?ntemini kullanarak ??zmek ne anlama gelir?

?ncelikle denklem sistemimizi ?una benzer ?ekilde yazmam?z gerekiyor. Sistemi ele alal?m:

Matrisler, ?zellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Bu, daha sonraki i?lemler i?in verileri kaydetmenin basit bir yoludur. Okul ?ocuklar?n?n bile onlardan korkmas?na gerek yok.

B karar?n ana noktas? de?ildir. Prensip olarak, t?m i?lemler do?rudan denklemlerle ger?ekle?tirilebilir, ancak g?sterim ?ok daha hantal olacak ve kafan?n kar??mas? ?ok daha kolay olacakt?r.

Belirleyici

Sistem s?n?fland?rmas?

Matrisin r?tbesi diye bir ?ey vard?r. Bu, s?f?r olmayan determinant?n?n maksimum s?ras?d?r (temel k???kleri hat?rlarsak, bir matrisin r?tbesinin temel k???klerin s?ras? oldu?unu s?yleyebiliriz).

Dereceli duruma ba?l? olarak SLAE ?u ?ekilde ayr?labilir:

Eklem yeri. sen Ortak sistemlerde, ana matrisin s?ralamas? (yaln?zca katsay?lardan olu?ur), geni?letilmi? matrisin s?ralamas?yla (bir serbest terimler s?tunu ile) ?ak???r. Bu t?r sistemlerin bir ??z?m? vard?r, ancak mutlaka bir ??z?m? yoktur, bu nedenle ortak sistemler ayr?ca a?a??dakilere ayr?l?r:
- kesin- tek bir ??z?me sahip olmak. Baz? sistemlerde matrisin r?tbesi ve bilinmeyenlerin say?s? (veya ayn? ?ey olan s?tun say?s?) e?ittir;
- tan?ms?z - sonsuz say?da ??z?mle. Bu t?r sistemlerde matrislerin s?ralamas? bilinmeyenlerin say?s?ndan azd?r.
Uyumsuz. sen Bu t?r sistemlerde ana ve geni?letilmi? matrislerin s?ralar? ?ak??maz. Uyumsuz sistemlerin ??z?m? yoktur.

Temel d?n???mler

?izgilerin yeniden d?zenlenmesi. A??k?as? sistem kayd?ndaki denklemlerin s?ras?n? de?i?tirmeniz ??z?m? hi?bir ?ekilde etkilemeyecektir. Sonu? olarak, bu sistemin matrisinde serbest terimler s?tununu da unutmadan sat?rlar? de?i?tirmek de m?mk?nd?r.
Bir dizenin t?m elemanlar?n?n belirli bir katsay? ile ?arp?lmas?. ?ok faydal?! Bir matristeki b?y?k say?lar? azaltmak veya s?f?rlar? kald?rmak i?in kullan?labilir. ?o?u karar, her zamanki gibi de?i?meyecek, ancak daha sonraki operasyonlar daha uygun hale gelecektir. ?nemli olan katsay?n?n s?f?ra e?it olmamas?d?r.
Orant?l? ?arpanlara sahip sat?rlar?n kald?r?lmas?. Bu k?smen ?nceki paragraftan kaynaklanmaktad?r. Bir matristeki iki veya daha fazla sat?r?n orant?sal katsay?lar? varsa, sat?rlardan biri orant? katsay?s?yla ?arp?ld???nda/b?l?ld???nde, iki (veya yine daha fazla) tamamen ayn? sat?r elde edilir ve fazla olanlar kald?r?labilir. sadece bir tane.
Bo? bir sat?r?n kald?r?lmas?. D?n???m s?ras?nda, serbest terim de dahil olmak ?zere t?m elemanlar?n s?f?r oldu?u bir yerde bir sat?r elde edilirse, b?yle bir sat?ra s?f?r denilebilir ve matrisin d???na at?labilir.
Bir sat?r?n elemanlar?na di?erinin elemanlar?n?n (ilgili s?tunlarda) eklenmesi, belirli bir katsay? ile ?arp?lmas?. T?m d?n???mlerin en bariz ve en ?nemlisi. ?zerinde daha ayr?nt?l? olarak durmaya de?er.

Bir fakt?rle ?arp?lm?? bir dize ekleme

Anla??lma kolayl??? a??s?ndan bu s?reci ad?m ad?m ?zetlemeye de?er. Matristen iki sat?r al?n?r:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

Diyelim ki birinciyi ikinciye "-2" katsay?s?yla ?arpman?z gerekiyor.

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Daha sonra matristeki ikinci sat?r yenisiyle de?i?tirilir ve birincisi de?i?meden kal?r.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Genel olarak

Bir sistem olsun. M denklemi ve n bilinmeyen k?k? var. Bunu a?a??daki gibi yazabilirsiniz:

Ana matris sistem katsay?lar?ndan derlenmi?tir. Geni?letilmi? matrise serbest terimlerden olu?an bir s?tun eklenir ve kolayl?k olmas? a??s?ndan bir ?izgiyle ayr?l?r.

matrisin ilk sat?r? k = (-a 21 /a 11) katsay?s? ile ?arp?l?r;
matrisin de?i?tirilen ilk sat?r? ile ikinci sat?r? eklenir;
ikinci sat?r yerine ?nceki paragraftaki eklemenin sonucu matrise eklenir;
?imdi yeni ikinci sat?rdaki ilk katsay? a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'd?r.

katsay?s? k = (-a 32 /a 22);
de?i?tirilen ikinci sat?r “ge?erli” sat?ra eklenir;
toplaman?n sonucu ???nc?, d?rd?nc? vb. sat?rlara aktar?l?r, birinci ve ikinci sat?rlar de?i?meden kal?r;
matrisin sat?rlar?nda ilk iki ??e zaten s?f?ra e?ittir.

??z?m olmad???nda

Sonsuz say?da ??z?m oldu?unda

Spesifik ?rneklerle ??z?m

Burada bir denklem sistemi var.

Kolayl?k sa?lamak i?in matrisini hemen olu?turmak daha iyidir

ikinci sat?r: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + kxa 11 = 3 + (-3)x1 = 0

a" 22 = a 22 + kxa 12 = -1 + (-3)x2 = -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b" 2 = b 2 + kxb 1 = 12 + (-3)x12 = -24

???nc? sat?r: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b" 3 = b 3 + kxb 1 = 3 + (-5)x12 = -57

?imdi kafan?z?n kar??mamas? i?in d?n???mlerin ara sonu?lar?n? i?eren bir matris yazman?z gerekiyor.

a" 32 = a 32 + kxa 22 = 3 + (-3/7)x7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + kxa 23 = 6 + (-3/7)x11 = -9/7

b" 3 = b 3 + kxb 2 = 19 + (-3/7)x24 = -61/7

Matris yeni de?erlerle yeniden yaz?l?r.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

?imdi her ?ey ?ok g?zel. Geriye kalan tek ?ey matrisi tekrar denklem sistemi ?eklinde yaz?p k?kleri hesaplamak

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Art?k k?klerin bulunaca?? algoritmaya Gauss y?nteminde ters hareket ad? verilmektedir. Denklem (3) z de?erini i?erir:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmam?z? sa?lar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

B?yle bir sistemi ortak, hatta kesin, yani benzersiz bir ??z?me sahip olarak adland?rma hakk?m?z var. Cevap a?a??daki bi?imde yaz?lm??t?r:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Belirsiz bir sisteme ?rnek

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

?lk olarak, her zamanki gibi geni?letilmi? bir matris derlenir.

?lk sat?r?n elemanlar?n? s?ras?yla katsay?lar?yla ?arparak ve gerekli sat?rlara ekleyerek a?a??daki formda bir matris elde ederiz:

?kinci denklemde yaln?zca bir temel de?i?ken vard?r - x 2. Bu, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 de?i?kenleri arac?l???yla oradan yaz?larak ifade edilebilece?i anlam?na gelir.

Ortaya ??kan ifadeyi ilk denklemde yerine koyar?z.

Sonu?, tek temel de?i?kenin x 1 oldu?u bir denklemdir. X 2 ile yapt???m?z?n ayn?s?n? onunla da yapal?m.

?ki tane olan t?m temel de?i?kenler ?? serbest de?i?kenle ifade edilir; art?k cevab? genel bi?imde yazabiliriz.

Ayr?ca sistemin belirli ??z?mlerinden birini de belirleyebilirsiniz. Bu gibi durumlarda serbest de?i?kenlerin de?eri olarak genellikle s?f?rlar se?ilir. O zaman cevap ?u olacakt?r:

16, 23, 0, 0, 0.

??birlik?i olmayan bir sistem ?rne?i

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi matris derlendi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

?lk d?n???mden sonra ???nc? sat?r ?u ?ekilde bir denklem i?erir:

bir ??z?m olmadan. Sonu? olarak sistem tutars?zd?r ve cevap bo? k?me olacakt?r.

Y?ntemin avantajlar? ve dezavantajlar?

Ba?vuru

Bilinmeyenlerin s?ral? olarak yok edilmesi y?ntemi olarak da adland?r?lan Gauss y?ntemi a?a??daki gibidir. Temel d?n???mler kullan?larak, bir do?rusal denklem sistemi, katsay?lar matrisinin ?u ?ekilde olaca?? bir forma getirilir: trapezoidal (??gen veya kademeli ile ayn?) veya yamu?a yak?n (Gauss y?nteminin do?rudan vuru?u, bundan sonra sadece d?z vuru? olarak an?lacakt?r). B?yle bir sistemin bir ?rne?i ve ??z?m? yukar?daki ?ekildedir.

B?yle bir sistemde son denklem yaln?zca bir de?i?ken i?erir ve de?eri kesin olarak bulunabilir. Bu de?i?kenin de?eri daha sonra ?nceki denklemde de?i?tirilir ( Gauss y?nteminin tersi , sonra tam tersi), ?nceki de?i?kenin bulundu?u yerden vb.

Yamuk (??gen) bir sistemde g?rd???m?z gibi ???nc? denklem art?k de?i?ken i?ermiyor sen Ve X ve ikinci denklem de?i?kendir X .

Sistemin matrisi yamuk ?eklini ald?ktan sonra sistemin uyumluluk konusunu anlamak, ??z?m say?s?n? belirlemek ve ??z?mleri bizzat bulmak art?k zor de?il.

Y?ntemin avantajlar?:

??ten fazla denklem ve bilinmeyen i?eren do?rusal denklem sistemlerini ??zerken, Gauss y?ntemi Cramer y?ntemi kadar hantal de?ildir, ??nk? Gauss y?ntemiyle ??zmek daha az hesaplama gerektirir;
Gauss y?ntemi belirsiz do?rusal denklem sistemlerini ??zebilir, yani genel bir ??z?me sahip olabilir (ve bunlar? bu derste analiz edece?iz), Cramer y?ntemini kullanarak ise yaln?zca sistemin belirsiz oldu?unu s?yleyebiliriz;
bilinmeyenlerin say?s?n?n denklem say?s?na e?it olmad??? do?rusal denklem sistemlerini ??zebilirsiniz (bu derste bunlar? da analiz edece?iz);
Y?ntem, ilgili makalede de?indi?imiz ilkokul (okul) y?ntemlerine - bilinmeyenleri de?i?tirme y?ntemi ve denklem ekleme y?ntemine dayanmaktad?r.

Yamuk (??gen, ad?m) do?rusal denklem sistemlerinin ??z?lmesinin basitli?ini herkesin anlamas? i?in, b?yle bir sisteme ters hareket kullanarak bir ??z?m sunuyoruz. Bu sistemin h?zl? ??z?m? dersin ba??ndaki resimde g?sterilmi?tir.

?rnek 1. Tersini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??z?n:

??z?m. Bu trapez sistemde de?i?ken z???nc? denklemden benzersiz bir ?ekilde bulunabilir. De?erini ikinci denklemde yerine koyar?z ve de?i?kenin de?erini al?r?z sen:

Art?k iki de?i?kenin de?erini biliyoruz - z Ve sen. Bunlar? ilk denklemde yerine koyar?z ve de?i?kenin de?erini al?r?z X:

?nceki ad?mlardan denklem sisteminin ??z?m?n? yaz?yoruz:

?ok basit bir ?ekilde ??zd???m?z b?yle bir yamuk do?rusal denklem sistemi elde etmek i?in, do?rusal denklem sisteminin temel d?n???mleriyle ili?kili ileri vuru?un kullan?lmas? gerekir. Ayr?ca ?ok da zor de?il.

Bir do?rusal denklem sisteminin temel d?n???mleri

Bir sistemin denklemlerini cebirsel olarak toplamaya y?nelik okul y?ntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin ba?ka bir denklemini ekleyebilece?imizi ve denklemlerin her birinin baz? say?larla ?arp?labilece?ini ??rendik. Sonu? olarak buna e?de?er bir do?rusal denklem sistemi elde ederiz. ??inde, bir denklem zaten yaln?zca bir de?i?ken i?eriyordu ve de?erini di?er denklemlerle de?i?tirerek bir ??z?me ula?t?k. B?yle bir ekleme, sistemin temel d?n???m t?rlerinden biridir. Gauss y?ntemini kullan?rken ?e?itli d?n???m t?rlerini kullanabiliriz.

Yukar?daki animasyon, denklem sisteminin nas?l yava? yava? yamu?a d?n??t???n? g?steriyor. Yani, ilk animasyonda g?rd???n?z ve t?m bilinmeyenlerin de?erlerini ondan bulman?n kolay oldu?una kendinizi ikna etti?iniz ?ey. B?yle bir d?n???m?n nas?l ger?ekle?tirilece?i ve elbette ?rnekler daha ayr?nt?l? olarak tart???lacakt?r.

Denklem sisteminde ve sistemin geni?letilmi? matrisinde herhangi bir say?da denklem ve bilinmeyen i?eren do?rusal denklem sistemlerini ??zerken Olabilmek:

sat?rlar? yeniden d?zenleyin (bu, bu makalenin en ba??nda belirtilmi?tir);
di?er d?n???mler e?it veya orant?l? sat?rlarla sonu?lan?rsa, biri hari? bunlar silinebilir;
t?m katsay?lar?n s?f?ra e?it oldu?u "s?f?r" sat?rlar? kald?r?n;
herhangi bir dizeyi belirli bir say?yla ?arpmak veya b?lmek;
herhangi bir sat?ra belirli bir say?yla ?arp?larak ba?ka bir sat?r eklenir.

D?n???mler sonucunda buna e?de?er bir do?rusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss y?ntemini kullanarak sistemin kare matrisli bir do?rusal denklem sistemini ??zme ?rnekleri

?ncelikle bilinmeyenlerin say?s?n?n denklem say?s?na e?it oldu?u do?rusal denklem sistemlerini ??zmeyi ele alal?m. B?yle bir sistemin matrisi karedir, yani i?indeki sat?r say?s? s?tun say?s?na e?ittir.

?rnek 2. Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??zme

Do?rusal denklem sistemlerini okul y?ntemlerini kullanarak ??zerken, denklemlerden birini terim terimle ?arpt?k, b?ylece iki denklemdeki ilk de?i?kenin katsay?lar? z?t say?lar oldu. Denklemler eklenirken bu de?i?ken ortadan kald?r?l?r. Gauss y?ntemi de benzer ?ekilde ?al???r.

??z?m?n g?r?n?m?n? basitle?tirmek i?in sistemin geni?letilmi? bir matrisini olu?tural?m:

Bu matriste bilinmeyenlerin katsay?lar? dikey ?izgiden ?nce solda, serbest terimler ise dikey ?izgiden sonra sa?da yer almaktad?r.

De?i?kenler i?in katsay?lar? b?lmenin kolayl??? i?in (birli?e g?re b?lme elde etmek i?in) Sistem matrisinin birinci ve ikinci sat?rlar?n? de?i?tirelim. Buna e?de?er bir sistem elde ederiz, ??nk? do?rusal denklem sisteminde denklemler birbirinin yerine ge?ebilir:

Yeni birinci denklemin kullan?lmas? de?i?keni ortadan kald?rmak X ikinci ve sonraki t?m denklemlerden. Bunu yapmak i?in, matrisin ikinci sat?r?na, ilk sat?r?n ?arp?m?n? (bizim durumumuzda ile), ???nc? sat?ra - ilk sat?r?n ?arp?m?n? (bizim durumumuzda ile) ekleriz.

Bu m?mk?n ??nk?

Sistemimizde ??ten fazla denklem olsayd?, sonraki t?m denklemlere ilk sat?r? eksi i?aretiyle al?nan kar??l?k gelen katsay?lar?n oran?yla ?arpmam?z gerekirdi.

Sonu? olarak, ikinciden ba?layarak t?m denklemlerin yer ald??? yeni bir denklem sisteminin bu sistemine e?de?er bir matris elde ediyoruz. de?i?ken i?ermez X :

Ortaya ??kan sistemin ikinci sat?r?n? basitle?tirmek i?in, onu ?arp?n ve bu sisteme e?de?er bir denklem sisteminin matrisini tekrar elde edin:

?imdi, ortaya ??kan sistemin ilk denklemini de?i?tirmeden, ikinci denklemi kullanarak de?i?keni ortadan kald?r?r?z sen sonraki t?m denklemlerden. Bunu yapmak i?in, sistem matrisinin ???nc? sat?r?na ikinci sat?r? (bizim durumumuzda ile) ?arparak ekleriz.

Sistemimizde ??ten fazla denklem olsayd?, sonraki t?m denklemlere eksi i?aretiyle al?nan kar??l?k gelen katsay?lar?n oran?yla ?arp?larak ikinci bir sat?r eklememiz gerekirdi.

Sonu? olarak, yine bu do?rusal denklem sistemine e?de?er bir sistemin matrisini elde ederiz:

E?de?er bir yamuk do?rusal denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve de?i?ken say?s? ?rne?imizdekinden fazla ise de?i?kenleri s?rayla eleme i?lemi demo ?rne?imizde oldu?u gibi sistem matrisi yamuk hale gelinceye kadar devam eder.

??z?m? "sondan" bulaca??z - ters hareket. Bunun i?in Belirledi?imiz son denklemden z:
.
Bu de?eri ?nceki denklemde yerine koyarsak, bulaca??z sen:

?lk denklemden bulaca??z X:

Cevap: Bu denklem sisteminin ??z?m? .

: Bu durumda sistemin tek bir ??z?m? varsa ayn? cevap verilecektir. E?er sistemin sonsuz say?da ??z?m? varsa o zaman cevap bu olacakt?r ve bu da bu dersin be?inci b?l?m?n?n konusudur.

Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini kendiniz ??z?n ve ard?ndan ??z?me bak?n

Burada yine denklem say?s?n?n bilinmeyenlerin say?s?na e?it oldu?u tutarl? ve belirli bir do?rusal denklem sistemi ?rne?iyle kar?? kar??yay?z. Demo ?rne?imizin algoritmadan fark? zaten d?rt denklemin ve d?rt bilinmeyenin olmas?d?r.

?rnek 4. Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??z?n:

?imdi de?i?keni sonraki denklemlerden ??karmak i?in ikinci denklemi kullanman?z gerekiyor. Haz?rl?k ?al??malar?n? yapal?m. Katsay?lar?n oran?n? daha uygun hale getirmek i?in ikinci sat?r?n ikinci s?tununda bir tane alman?z gerekir. Bunu yapmak i?in ???nc?y? ikinci sat?rdan ??kar?n ve elde edilen ikinci sat?r? -1 ile ?arp?n.

?imdi ???nc? ve d?rd?nc? denklemlerden de?i?kenin fiili eliminasyonunu ger?ekle?tirelim. Bunu yapmak i?in, ikinci sat?r? ???nc? sat?ra, ile ?arp?lan ikinci sat?r? d?rd?nc? sat?ra ekleyin.

?imdi ???nc? denklemi kullanarak d?rd?nc? denklemdeki de?i?keni ortadan kald?r?yoruz. Bunu yapmak i?in ???nc? sat?r? d?rd?nc? sat?ra ile ?arparak ekleyin. Geni?letilmi? bir yamuk matris elde ediyoruz.

Verilen sistemin e?de?er oldu?u bir denklem sistemi elde ettik:

Dolay?s?yla ortaya ??kan ve verilen sistemler uyumlu ve kesindir. Nihai ??z?m? “sondan” buluyoruz. D?rd?nc? denklemden “x d?rd?nc?” de?i?keninin de?erini do?rudan ifade edebiliriz:

Bu de?eri sistemin ???nc? denkleminde yerine koyar?z ve ?unu elde ederiz:

Son olarak de?er ikamesi

?lk denklem ?unu verir

“?nce x”i nerede bulaca??z:

Cevap: Bu denklem sisteminin benzersiz bir ??z?m? var .

Sistemin ??z?m?n? Cramer y?ntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir ??z?m? varsa ayn? cevap verilecektir.

Ala??mlarla ilgili bir problem ?rne?ini kullanarak Gauss y?ntemini kullanarak uygulamal? problemleri ??zme

Do?rusal denklem sistemleri fiziksel d?nyadaki ger?ek nesneleri modellemek i?in kullan?l?r. Bu sorunlardan birini ??zelim: ala??mlar. Benzer problemler, kar???mlar, bir mal grubu i?indeki bireysel mallar?n maliyeti veya pay? vb. ile ilgili problemlerdir.

?rnek 5.?? par?a ala??m?n toplam k?tlesi 150 kg'd?r. ?lk ala??m %60 bak?r, ikincisi %30, ???nc?s? %10 bak?r i?erir. Ayr?ca ikinci ve ???nc? ala??mlarda birinci ala??ma g?re 28,4 kg, ???nc? ala??mda ise ikinciye g?re 6,2 kg daha az bak?r bulunmaktad?r. Ala??m?n her bir par?as?n?n k?tlesini bulun.

??z?m. Bir do?rusal denklem sistemi olu?turuyoruz:

?kinci ve ???nc? denklemleri 10 ile ?arparsak e?de?er bir do?rusal denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin geni?letilmi? bir matrisini olu?turuyoruz:

Dikkat, d?md?z ileri. Bir sat?r? bir say?yla ?arparak (bizim durumumuzda ??kararak) (bunu iki kez uyguluyoruz), sistemin geni?letilmi? matrisinde a?a??daki d?n???mler meydana gelir:

Do?rudan ge?i? bitti. Geni?letilmi? bir yamuk matris elde ettik.

Ters hareketi uyguluyoruz. ??z?m? sondan buluyoruz. Bunu g?r?yoruz.

Buldu?umuz ikinci denklemden

???nc? denklemden -

Sistemin ??z?m?n? Cramer y?ntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir ??z?m? varsa ayn? cevap verilecektir.

Gauss'un y?nteminin basitli?i, Alman matematik?i Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmesinin yaln?zca 15 dakika s?rmesiyle kan?tlan?yor. Kendi ad?n? ta??yan y?ntemin yan? s?ra, Gauss'un eserlerinden, ke?if yapma konusunda bir t?r k?sa talimat olan "Bize inan?lmaz ve do?al olmayan g?r?neni kesinlikle imkans?z olanla kar??t?rmamal?y?z" s?z? de bilinmektedir.

Uygulamal? problemlerin ?o?unda ???nc? bir k?s?tlama, yani ???nc? bir denklem olmayabilir, o zaman ?? bilinmeyenli iki denklemden olu?an bir sistemi Gauss y?ntemini kullanarak ??zmeniz gerekir veya tam tersi, denklemlerden daha az bilinmeyen vard?r. ?imdi bu t?r denklem sistemlerini ??zmeye ba?layaca??z.

Gauss y?ntemini kullanarak herhangi bir sistemin uyumlu olup olmad???n? belirleyebilirsiniz. N ile do?rusal denklemler N de?i?kenler.

Gauss y?ntemi ve sonsuz say?da ??z?m? olan do?rusal denklem sistemleri

Bir sonraki ?rnek, sonsuz say?da ??z?me sahip olan, tutarl? fakat belirsiz bir do?rusal denklem sistemidir.

Sistemin geni?letilmi? matrisinde d?n???mler (sat?rlar? yeniden d?zenlemek, sat?rlar? belirli bir say?yla ?arpmak ve b?lmek, bir sat?ra bir tane daha eklemek) ger?ekle?tirdikten sonra, a?a??daki gibi sat?rlar

Forma sahip t?m denklemlerde ise

Serbest terimler s?f?ra e?ittir, bu da sistemin belirsiz oldu?u, yani sonsuz say?da ??z?me sahip oldu?u ve bu t?r denklemlerin “gereksiz” oldu?u ve bunlar? sistemin d???nda b?rakt???m?z anlam?na gelir.

?rnek 6.

??z?m. Sistemin geni?letilmi? bir matrisini olu?tural?m. Daha sonra ilk denklemi kullanarak de?i?keni sonraki denklemlerden ??kar?r?z. Bunu yapmak i?in ikinci, ???nc? ve d?rd?nc? sat?rlara birinciyi ?ununla ?arparak ekleyin:

?imdi ikinci sat?r? ???nc? ve d?rd?nc? sat?ra ekleyelim.

Sonu? olarak sisteme ula??yoruz.

Son iki denklem formun denklemlerine d?n??t?. Bu denklemler bilinmeyenlerin herhangi bir de?eri i?in sa?lan?r ve at?labilir.

?kinci denklemi sa?lamak i?in ve i?in iste?e ba?l? de?erler se?ebiliriz, ard?ndan de?er benzersiz olarak belirlenecektir: . ?lk denklemden de?eri de benzersiz bir ?ekilde bulunur: .

Hem verilen hem de son sistemler tutarl?d?r ancak belirsizdir ve form?ller

keyfi i?in ve bize belirli bir sistemin t?m ??z?mlerini verin.

Gauss y?ntemi ve ??z?m? olmayan do?rusal denklem sistemleri

Bir sonraki ?rnek tutars?z, yani ??z?m? olmayan bir do?rusal denklem sistemidir. Bu t?r sorunlar?n cevab? ?u ?ekilde form?le edilmi?tir: Sistemin ??z?m? yoktur.

?lk ?rnekle ba?lant?l? olarak daha ?nce de belirtildi?i gibi, d?n???mler ger?ekle?tirildikten sonra formun sat?rlar? sistemin geni?letilmi? matrisinde g?r?nebilir

formun bir denklemine kar??l?k gelen

Aralar?nda s?f?rdan farkl? bir serbest terime sahip en az bir denklem varsa (?rn.), bu denklem sistemi tutars?zd?r, yani ??z?m? yoktur ve ??z?m? tamd?r.

?rnek 7. Do?rusal denklem sistemini Gauss y?ntemini kullanarak ??z?n:

??z?m. Sistemin geni?letilmi? bir matrisini olu?turuyoruz. ?lk denklemi kullanarak de?i?keni sonraki denklemlerden hari? tutuyoruz. Bunun i?in ilk sat?r?n ?arp?m?n? ikinci sat?ra, ilk sat?r?n ???nc? sat?rla ?arp?m?n? ve ilk sat?r?n ?arp?m?n? d?rd?nc? sat?ra ekleyin.

?imdi de?i?keni sonraki denklemlerden ??karmak i?in ikinci denklemi kullanman?z gerekiyor. Katsay?lar?n tamsay? oranlar?n? elde etmek i?in sistemin geni?letilmi? matrisinin ikinci ve ???nc? sat?rlar?n? de?i?tiririz.

???nc? ve d?rd?nc? denklemleri hari? tutmak i?in ikinciyi ???nc? sat?ra, ikinciyi ise d?rd?nc? sat?ra ekliyoruz.

?imdi ???nc? denklemi kullanarak d?rd?nc? denklemdeki de?i?keni ortadan kald?r?yoruz. Bunu yapmak i?in ???nc? sat?r? d?rd?nc? sat?ra ile ?arparak ekleyin.

Dolay?s?yla verilen sistem a?a??dakine e?de?erdir:

Ortaya ??kan sistem tutars?zd?r ??nk? son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir de?eri taraf?ndan kar??lanamaz. Dolay?s?yla bu sistemin ??z?m? yoktur.