Dinamik sistem- sistemin her bir eleman?n?n faz uzay?ndaki zaman ve konumu aras?nda fonksiyonel bir ili?kinin belirtildi?i bir elemanlar seti. [ ] Bu matematiksel soyutlama, sistemlerin zaman i?indeki evrimini incelememize ve tan?mlamam?za olanak tan?r.

Dinamik bir sistemin herhangi bir andaki durumu, durum uzay?nda belirli bir noktaya kar??l?k gelen bir dizi ger?ek say? (veya vekt?r) ile tan?mlan?r. Dinamik bir sistemin evrimi deterministik bir fonksiyonla belirlenir, yani belirli bir zaman aral???ndan sonra sistem mevcut duruma ba?l? olarak belirli bir duruma ge?ecektir.

girii?

Dinamik bir sistem, belirli bir nesnenin, s?recin veya olgunun "dalgalanmalar?n ve di?er t?m istatistiksel olaylar?n" ihmal edildi?i matematiksel bir modelidir.

Dinamik bir sistem ayn? zamanda bir sistem olarak da temsil edilebilir. durum. Bu yakla??mla, dinamik bir sistem (genel olarak) belirli bir s?recin dinamiklerini, yani sistemin bir durumdan di?erine ge?i? s?recini tan?mlar. Bir sistemin faz uzay?, dinamik bir sistemin kabul edilebilir t?m durumlar?n?n k?mesidir. Dolay?s?yla dinamik bir sistem, ba?lang?? durumu ve sistemin ba?lang?? durumundan di?erine ge?i?ini sa?layan yasa ile karakterize edilir.

olan sistemler var ayr?k zaman ve sistemler s?rekli zaman.

Geleneksel olarak ayr?k zamanl? sistemler olarak adland?r?lan ?a?layanlar, sistemin davran??? (veya ayn? ?ekilde sistemin faz uzay?ndaki y?r?ngesi) tan?mlan?r sekans devletler. Geleneksel olarak s?rekli zaman sistemleri olarak adland?r?lan sistemlerde ak??lar i?in sistem durumu belirlenir herkes ger?ek veya karma??k eksende zaman?n an?. Kaskadlar ve ak??lar sembolik ve topolojik dinamiklerin ana konusunu olu?turmaktad?r.

Dinamik bir sistem (hem ayr?k hem de s?rekli zaman), genellikle baz? alanlarda tan?mlanan ve orada diferansiyel denklemin ??z?m?n?n varolu? teoremi ve benzersizli?i ko?ullar?n? kar??layan ?zerk bir diferansiyel denklem sistemi taraf?ndan tan?mlan?r. Dinamik bir sistemin denge konumlar? diferansiyel denklemin tekil noktalar?na, kapal? faz e?rileri ise periyodik ??z?mlerine kar??l?k gelir.

Dinamik sistemler teorisinin ana i?eri?i diferansiyel denklemlerle tan?mlanan e?rilerin incelenmesidir. Bu, faz uzay?n? y?r?ngelere b?lmeyi ve bu y?r?ngelerin s?n?rlay?c? davran???n? incelemeyi i?erir: denge konumlar?n?n ara?t?r?lmas? ve s?n?fland?r?lmas?, ?ekimin belirlenmesi ( ?ekiciler) ve itici ( kovucular) setler (?e?itler). Dinamik sistemler teorisinin en ?nemli kavramlar? denge durumlar?n?n kararl?l???d?r (yani, bir sistemin ba?lang?? ko?ullar?ndaki k???k de?i?ikliklerle denge konumuna yak?n veya belirli bir manifold ?zerinde s?resiz olarak uzun bir s?re kalabilme yetene?i) ve p?r?zl?l?k (yani matematiksel modelin kendisinde k???k de?i?ikliklerle ?zelliklerin korunmas?; " kaba sistem- bu, parametrelerde yeterince k???k bir de?i?iklikle hareketlerin niteliksel do?as? de?i?meyen bir durumdur").

Dinamik sistemlerin ergodik teorisinde olas?l?ksal-istatistiksel kavramlar?n kullan?lmas?, dinamik bir sistem kavram?na yol a?ar. de?i?mez ?l??.

Modern dinamik sistemler teorisi, matemati?in ?e?itli dallar?ndaki y?ntemlerin yayg?n olarak kullan?ld??? ve etkili bir ?ekilde birle?tirildi?i ara?t?rmalar?n ortak ad?d?r: topoloji ve cebir, cebirsel geometri ve ?l?? teorisi, diferansiyel formlar teorisi, tekillikler ve felaketler teorisi.

Dinamik sistemler teorisinin y?ntemleri, dengesiz termodinamik, dinamik kaos teorisi ve sinerjetik gibi do?a bilimlerinin di?er dallar?nda da talep g?rmektedir.

Tan?m

?zin vermek X (\displaystyle X) keyfi d?zg?n bir manifolddur.

Dinamik sistem d?zg?n bir manifold ?zerinde tan?mlanm?? X (\displaystyle X) haritalama denir g: R x X -> X (\displaystyle g\iki nokta ?st ?ste R\times X\to X), parametrik bi?imde yaz?lm?? g t (x) (\displaystyle g^(t)(x)), Nerede t ? R , x ? X (\displaystyle t\R'de,x\X'te) t?revlenebilir bir e?leme olan ve g 0 (\displaystyle g^(0))- uzay?n ?zde? haritalanmas? X (\displaystyle X). Sabit tersinir sistemler durumunda, tek parametreli aile ( g t: t ? R ) (\displaystyle \(g^(t):t\in R\)) topolojik uzay?n bir grup d?n???m?n? olu?turur X (\displaystyle X) ve bu nedenle ?zellikle herhangi bir ki?i i?in t 1 , t 2 ? R (\displaystyle t_(1),t_(2)\R'de) kimlik tutar g t 1 ? g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

Haritalaman?n farkl?la?t?r?labilirli?inden g (\displaystyle g) bundan ?u sonu? ??k?yor: fonksiyon g t (x 0) (\displaystyle g^(t)(x_(0))) zaman?n t?revlenebilir bir fonksiyonudur, grafi?i geni?letilmi? faz uzay?nda bulunur R x X (\displaystyle R\times X) ve denir integral y?r?nge Dinamik bir sistemin (e?risi). Uzaya projeksiyonu X (\displaystyle X) faz uzay? ad? verilen faz y?r?ngesi Dinamik bir sistemin (e?risi).

Sabit bir dinamik sistemin belirlenmesi, faz uzay?n? faz y?r?ngelerine b?lmeye e?de?erdir. Genel durumda dinamik bir sistemin belirlenmesi, geni?letilmi? faz uzay?n? integral y?r?ngelere b?lmeye e?de?erdir.

Dinamik sistemleri belirleme y?ntemleri

Dinamik bir sistemi tan?mlamak i?in onun faz uzay?n? tan?mlamak gerekir. X (\displaystyle X), zaman i?inde bir?ok nokta T (\displaystyle T) ve baz?lar? kural faz uzay?ndaki noktalar?n zamanla hareketini a??klar. Zaman i?inde bir?ok an T (\displaystyle T) ger?ek ?izginin bir aral??? olabilir (o zaman derler ki zaman s?rekli) ve bir dizi tamsay? veya do?al say? ( ayr?k zaman). ?kinci durumda, faz uzay?ndaki bir noktan?n "hareketi" daha ?ok bir noktadan di?erine anl?k "s??ramalar?" and?r?r: b?yle bir sistemin y?r?ngesi d?zg?n bir e?ri de?il, sadece bir noktalar k?mesidir ve genellikle y?r?nge denir. Bununla birlikte, d?? farkl?l?klara ra?men s?rekli ve ayr?k zamanl? sistemler aras?nda yak?n bir ba?lant? vard?r: bir?ok ?zellik bu sistem s?n?flar?nda ortakt?r veya birinden di?erine kolayca aktar?labilir.

Faz ak??lar?

Faz uzay?na izin ver X (\displaystyle X) i?indeki ?ok boyutlu bir uzay? veya b?lgeyi temsil eder ve zaman s?reklidir. Her noktan?n ne kadar h?zl? hareket etti?ini bildi?imizi varsayal?m. x (\displaystyle x) faz uzay?. Ba?ka bir deyi?le, vekt?r h?z fonksiyonu bilinmektedir v (x) (\displaystyle v(x)). O zaman noktan?n y?r?ngesi otonom diferansiyel denklemin ??z?m? olacakt?r. d x d t = v (x) (\displaystyle (\frac (dx)(dt))=v(x)) ba?lang?? ko?uluyla x (0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). Bu ?ekilde tan?mlanan dinamik sisteme otonom diferansiyel denklem i?in faz ak??? ad? verilir.

Basamakl?

?zin vermek X (\displaystyle X)- keyfi bir set ve f: X -> X (\displaystyle f\iki nokta ?st ?ste X\to X)- setin baz? haritalar? X (\displaystyle X) kendi ba??na. Bu e?lemenin yinelemelerini, yani onun faz uzay?ndaki noktalara tekrar tekrar uygulanmas?n?n sonu?lar?n? ele alal?m. Faz uzay?na sahip dinamik bir sistemi tan?mlarlar X (\displaystyle X) ve zaman?n bir?ok an? T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)). Asl?nda keyfi bir nokta oldu?unu varsayaca??z. x 0 ? X (\displaystyle x_(0)\in X) zamanla 1 (\displaystyle 1) noktaya gider x 1 = f (x 0) ? X (\displaystyle x_(1)=f(x_(0))\in X). Sonra zamanla 2 (\displaystyle 2) bu nokta ?u noktaya gidecek x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) (\displaystyle x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0)))) vesaire.

E?er g?r?nt?leniyorsa f (\displaystyle f) geri d?n???ml?d?r, tan?mlanabilir ve geriye do?ru yinelemeler: x - 1 = f - 1 (x 0) (\displaystyle x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) (\displaystyle x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0)))) vb. B?ylece zaman?n bir?ok an?na sahip bir sistem elde ederiz. T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z)).

?rnekler

• Diferansiyel denklem sistemi

"Harmonik osilat?r" ad? verilen s?rekli zamanl? dinamik bir sistemi belirtir. Onun faz uzay? d?zlemdir (x , v) (\displaystyle (x,v)), Nerede v (\displaystyle v)- nokta h?z? x (\displaystyle x). Harmonik bir osilat?r, ?e?itli sal?n?m s?re?lerini (?rne?in, bir yay ?zerindeki y?k?n davran???) modeller. Faz e?rileri s?f?r merkezli elipslerdir.

Dinamik sistemler teorisindeki sorunlar

Dinamik bir sistem i?in bir t?r g?rev oldu?undan, y?r?ngelerini a??k bi?imde bulmak ve tan?mlamak her zaman m?mk?n de?ildir. Bu nedenle, genellikle sistemin genel davran???yla ilgili daha basit (ancak daha az anlaml? olmayan) sorular dikkate al?n?r. ?rne?in:

1. Sistemin kapal? faz e?rileri var m?, yani evrim s?ras?nda ba?lang?? durumuna d?nebilir mi?
2. Sistemin de?i?mez manifoldlar? nas?l yap?land?r?lm??t?r (?zel bir durumu kapal? y?r?ngelerdir)?
3. Sistemin ?ekicisi, yani "?o?u" y?r?ngenin y?neldi?i faz uzay?ndaki k?me nas?l yap?land?r?lm??t?r?
4. Yak?n noktalardan serbest b?rak?lan y?r?ngeler nas?l davran?r; yak?n m? kal?rlar yoksa zaman i?inde ?nemli bir mesafeye mi giderler?
Ba?lant?lar

?e?itler ve alt k?meleri hakk?nda. Diferansiyel denklemler teorisiyle yak?ndan ili?kilidir, ??nk? s?radan bir diferansiyel denklem, faz uzay?n?n tek parametreli bir difeomorfizm grubunu belirtir.

Bu ?al??ma alan?na genellikle basit?e "Dinamik Sistemler", "Sistem Teorisi" veya daha uzun olarak "Matematiksel Dinamik Sistemler Teorisi" ad? verilir.

?ablon:Sistemler

Wikimedia Vakf?.

• 2010.
• Yalan grubu teorisi

Diferansiyel denklemler teorisi

Di?er s?zl?klerde “Dinamik Sistemler Teorisi”nin ne oldu?una bak?n: D?NAM?K S?STEMLER?N METR?K TEOR?S? - ergodik teoriyle ayn?...

Matematik Ansiklopedisi D?NAM?K S?STEMLER?N ENTROP? TEOR?S? - ergodik teoriyle ayn?...

- olas?l?k teorisi ve bilgi teorisi ile yak?ndan ilgili olan ergodik teorinin bir b?l?m?. Bu ba?lant?n?n niteli?i genel hatlar?yla a?a??daki gibidir. (Tt) dinamik olsun. Faz uzay? W ve de?i?mez ?l??me sahip sistem (genellikle ?l??lebilir bir ak?? veya kademeli) Do?rusal Olmayan Dinamik Sistemler ve Hesaplamal? Matematik ve Matematik Kontrol S?re?leri B?l?m?, Moskova Devlet ?niversitesi

- M.V. Lomonosov Moskova Devlet ?niversitesi (NDSiPU VMK MSU) Hesaplamal? Matematik ve Sibernetik Fak?ltesi Do?rusal Olmayan Dinamik Sistemler ve Y?netim S?re?leri B?l?m?. B?l?m ba?kan? (1989'dan beri) - Lenin ?d?l? sahibi, Devlet (SSCB ve RF), ... ... Wikipedia Felaket teorisi (matematik)

- Felaket teorisi, diferansiyel denklemlerin (dinamik sistemler) ?atallanma teorisini ve d?zg?n haritalamalar?n tekillikleri teorisini i?eren bir matematik dal?d?r. “Felaket” ve “felaket teorisi” terimleri Ren? Thom taraf?ndan tan?t?ld? ve... ... Wikipedia?atallanma teorisi

- dinamik sistemler, bir parametredeki (veya birka? parametredeki) de?i?ikliklere ba?l? olarak faz alan? b?l?m?n?n niteliksel resmindeki de?i?iklikleri inceleyen bir teoridir. ??indekiler 1 ?nceleme 2 Dengenin ?atallanmas? ... Vikipedi Do?rusal sabit sistemlerin teorisi

- do?rusal sabit sistemlerin (LSS) davran???n? ve dinamik ?zelliklerini inceleyen dinamik sistemler teorisinin bir dal?. Teknik sistem kontrol?nde, dijital sinyal i?lemede ve m?hendisli?in di?er alanlar?nda yayg?n olarak kullan?l?r... ... Vikipedi Rastgele matris teorisi

- Rastgele matrisler teorisi, elemanlar? rastgele da??t?lan matris topluluklar?n?n ?zelliklerini inceleyen bir matematiksel istatistik dal?d?r. Kural olarak elementlerin da??l?m kanunu belirtilir. Ayn? zamanda ki?inin kendi istatistikleri de inceleniyor... ... Vikipedi- D???m teorisi, tek boyutlu manifoldlar?n ?? boyutlu ?klid uzay?na veya bir k?reye yerle?tirilmesinin incelenmesidir. Daha geni? anlamda d???m teorisinin konusu, k?relerin manifoldlara g?m?lmesi ve genel olarak manifoldlar?n g?m?lmesidir. ??indekiler 1... ...Wikipedia

Kolmogorov'un teorisi- Arnold Moser'in Kolmogorov teorisi veya yarat?c?lar? A. N. Kolmogorov, V. I. Arnold ve Yu. Moser'in ad?n? ta??yan KAM teorisi, neredeyse k???k tedirginlikleri inceleyen dinamik sistemler teorisinin bir dal? ... ... Wikipedia

Felaket teorisi (belirsizli?i giderme)- Felaket teorisi: Felaket teorisi, diferansiyel denklemlerin (dinamik sistemler) ?atallanma teorisini ve d?zg?n haritalamalar?n tekillik teorisini i?eren bir matematik dal?d?r. Felaket?ilik (felaket teorisi) sistemi... ... Vikipedi

Kitaplar

• Dinamik sistemlerin senkronizasyonu. Bu kitap, h?zla geli?en bilim ve teknoloji alan? olan dinamik sistemlerin senkronizasyonu ile ilgili ger?ekleri ve sonu?lar? sistematik olarak sunmaya ?al??maktad?r. Rezervasyon yap?n... 735 RUR kar??l???nda sat?n al?n
• Dinamik sistemler teorisi, G. A. Stepanyants. Bu kitap, ?ok say?da ?nde gelen yerli ve yabanc? matematik?inin ?al??malar?yla olu?turulan dinamik sistemlerin genel teorisinin temellerinin sunumuna ayr?lm??t?r. Bu teoriye a?inal?k ?unlar? sa?lar:

Levin'in motivasyon teorisini yaratmas?n?n ba?lang?? noktas?, bilincin iki ?ekilde belirlendi?i fikriydi: ?a?r???m s?reci ve irade taraf?ndan. Bunlar? ayr? trendler olarak g?rd?. Lewin, yar? ihtiya? ad?n? verdi?i belirleyici e?ilimin ?zel bir durum olmad???n?, aksine her davran?? i?in dinamik bir ?nko?ul oldu?unu g?sterdi. Lewin'e g?re davran???n enerjik bile?eni her zaman bir ki?inin niyetlerini ve eylemlerini a??klamada merkezi ba?lant?y? temsil etmi?tir.

Levin, zihinsel ?al??may? y?r?ten enerji t?r?ne psi?ik enerji ad?n? verdi. Psi?ik sistem dengesizli?in neden oldu?u dengeyi yeniden sa?lamaya ?al??t???nda serbest b?rak?l?r. ?kincisi, sistemin bir b?l?m?nde di?erlerine g?re voltaj art???yla ili?kilidir.

Levin'in olduk?a ayr?nt?l? bir genel psikolojik a??klay?c? davran?? dinamikleri modeli ?nerdi?i ilk nispeten b?y?k genel teorik ?al??mas?, Ovsyankina, Zeigarnik, Birenbaum'un ilk deneylerinin sonu?lar?na dayanan “Niyet, ?rade ve ?htiya?” kitab?yd?. ve Karsten. Bu kitapta Lewin, S. Freud'la neredeyse a??k?a tart??madan, daha ?nce g?rmezden gelinen bilim alan?na dikkat ?eken ilk ki?i olan Freud'un meydan okumas?na akademik psikolojinin ?ok ikna edici bir yan?t?n? sunuyor. ?nsan eylemlerinin motive edici g??leri.

Lewin'in temel kavramlar? kitab?n ba?l???nda yer al?yor. Lewin'e g?re, ister ?a?r???m, eylem, d???nme, haf?za olsun, t?m bi?imleriyle insan faaliyetinin temeli niyet - ihtiya?t?r. ?htiya?lar?, uygun bir durum ortaya ??kt???nda eylem halinde serbest b?rak?lan gerilim ?reten gergin sistemler olarak g?r?yor. Lewin, kendi ihtiya? anlay???n?, psikolojide halihaz?rda yerle?ik olan ve temel olarak belirli i?sel durumlarla ili?kili biyolojik, do?u?tan gelen ihtiya?larla ili?kilendirilen anlay??tan ay?rmak i?in bunlar? "yar? ihtiya?lar" olarak adland?r?yor. ?radeli s?re?ler kavram?nda, eylemin ba?lang?c?n?n otomatik olarak ger?ekle?mesi gereken gelecekteki bir alan?n keyfi in?as? gibi bir ?zelli?e dikkat ederek, de?i?en derecelerde keyfili?e sahip bir kas?tl? s?re?ler yelpazesini i?erir. Lewin'in modelinde ?zel bir yer “Aufforderungscharakter” kavram? taraf?ndan i?gal edilmi?tir, bu terim te?vik (bir ?eyin niteleyicisinin oldu?u yerde) veya te?vik (b?yle bir a??klaman?n olmad??? durumlarda fiili ihtiya?lar olu?ur) olarak ?evrilir. kabul edilen niyetlerle ba?lant?l? bir durum ve belirli ?eylerin veya olaylar?n motivasyon kazanmas?, belirli eylemlere e?ilimi gerektiren temas, her zaman nesneleri alg?lad???m?z?n iyi bilinen ger?e?ini belirtmesiyle ortaya ??kar. ?nyarg?l?, bizim i?in belli bir duygusal ?a?r???mlar? oldu?unu s?yleyen Levin, buna ek olarak kendimizle ilgili baz? aktiviteler yapmam?z? da gerektiriyor gibi g?r?nd?klerini belirtiyor: “G?zel hava ve belli bir manzara bizi y?r?y??e ?a??r?yor, yolun basamaklar? merdivenler iki ya??ndaki bir ?ocu?u yukar? ve a?a?? ??kmaya te?vik eder; Te?vikin yo?unlu?u ve t?r? de?i?ebilir (?ekici veya itici), ancak Lewin'e g?re as?l mesele bu de?il. ?ok daha ?nemli olan, nesnelerin belirli, az ?ok dar tan?ml? eylemleri te?vik etmesidir. Kendimizi yaln?zca olumlu te?viklerle s?n?rlasak bile, bu son derece farkl? olabilir. Levin'in belirtti?i ger?ekler, nesnelerin te?viklerindeki de?i?iklikler ile ?znenin ihtiya?lar?n?n dinamikleri ve yar? ihtiya?lar? aras?nda do?rudan bir ba?lant? oldu?unu g?stermektedir. onun. hayat hedefleri.

Lewin, duruma ba?l? olarak ve gerekli eylemlerin uygulanmas?n?n bir sonucu olarak de?i?en motivasyon fenomenolojisinin zengin bir tan?m?n? verir: doygunluk, nesne ve eylem taraf?ndan motivasyon kayb?na yol a?ar ve tokluk, ?u ?ekilde ifade edilir: olumlu motivasyonun olumsuza de?i?mesi; ayn? zamanda, ?zellikle orijinaline biraz z?t olan yabanc? ?eyler ve faaliyetler olumlu motivasyon kazan?r. Faaliyetler ve bunlar?n unsurlar? otomasyonun bir sonucu olarak do?al d?rt?lerini de kaybedebilir. Ve bunun tersi de ge?erlidir: ?htiya?lar?n yo?unlu?u artt?k?a, yaln?zca onlara yan?t veren nesnelerin te?viki artmaz, ayn? zamanda bu t?r nesnelerin kapsam? da geni?ler (a? bir ki?i daha az se?ici olur).

Levin, ki?inin karma??k bir enerji sistemi oldu?una ve psikolojik ?al??may? y?r?ten enerji t?r?ne psi?ik enerji ad? verildi?ine inan?yordu. Ki?i dengesizlik durumundan sonra dengeyi yeniden kazanmaya ?al??t???nda psi?ik enerji a???a ??kar. Dengesizlik, d?? uyar?m veya i? de?i?ikliklerin bir sonucu olarak sistemin bir k?sm?ndaki gerilimin di?er k?s?mlara g?re artmas?yla ?retilir. Ki?ilik, etraf?ndaki her birinin belirli bir y?k? (de?erli?i) olan nesnelerin psikolojik alan?nda ya?ar ve geli?ir. De?erlik, psikolojik ?evrenin bir b?lgesinin kavramsal ?zelli?idir; o b?lgenin ki?i i?in de?eridir. Deneyleri, herkes i?in ayn? ?ekici veya itici g?ce sahip nesneler olmas?na ra?men, her insan i?in bu de?erin kendi i?aretine sahip oldu?unu kan?tlad?. Nesneler, bir ki?iyi etkileyerek onda ihtiya?lar? uyand?r?r ve Lewin bunlar? insanda gerilime neden olan bir t?r enerji y?k? olarak de?erlendirir. Bu durumda ki?i rahatlamaya ?al???r, yani. ki?inin kendi ihtiya?lar?n? tatmin etmesi. Lewin iki t?r ihtiyac? birbirinden ay?rd?: biyolojik ve sosyal (yar? ihtiya?lar). Lewin'in psikolojik alandaki insan davran???n? ?e?itli ihtiya?lar?n etkisi alt?nda tan?mlad??? en ?nl? denklemlerinden biri, davran???n hem ki?ili?in hem de psikolojik alan?n bir fonksiyonu oldu?unu g?stermektedir.

Dinamikleri a??klamak i?in Lewin baz? kavramlar? kullan?yor. Gerilim, ki?isel bir b?lgenin di?er ki?isel b?lgelere g?re durumudur. V?cut, belirli bir b?lgenin gerilimini di?er b?lgelere g?re e?itlemeye ?al???r. Gerginli?i dengelemenin psikolojik yolu bir s?re?tir - d???nme, ezberleme vb. ?htiya?, ki?i i?i b?lgede gerilimin artmas? veya enerjinin serbest b?rak?lmas?d?r. Ki?ilik yap?s?ndaki ihtiya?lar birbirinden izole olmay?p, belirli bir hiyerar?i i?erisinde birbiriyle ba?lant?l?d?r. ?htiya?lar fizyolojik durumlara (ger?ek ihtiya?lar) ve niyetlere veya yar? ihtiya?lara ayr?l?r. ?htiya? kavram? bireyin i?sel durumunu, ihtiya? durumunu yans?t?r ve yar? ihtiya? kavram?, ihtiyac? gidermeye y?nelik belirli bir niyete e?de?erdir. "Bu, kar??l?k gelen eylemi ger?ekle?tirmek i?in do?al bir ihtiya? olmad???nda veya hatta z?t nitelikte do?al bir ihtiya? oldu?unda ki?inin niyete ba?vurmaya zorland??? anlam?na gelir."

Farkl?la?ma alan teorisinin temel kavramlar?ndan biridir. ve ya?am alan?n?n her y?n? i?in ge?erlidir. ?rne?in Lewin'e g?re bir ?ocuk, ?evrenin etkisine kar?? daha fazla duyarl?l?k ve buna ba?l? olarak i? alanda, "ger?eklik-ger?ek d???l?k" boyutunda ve zaman alan?nda s?n?rlar?n daha zay?f olmas?yla karakterize edilir. Ki?ilik davran???n?n artan organizasyonu ve entegrasyonu “alan” teorisidir. ?rg?tsel ba?l?l?k olarak tan?mlanmaktad?r. Olgunlu?un geli?iyle birlikte hem ki?ili?in kendisinde hem de psikolojik ortamda daha fazla farkl?la?ma ortaya ??kar, s?n?rlar?n g?c? artar ve gergin sistemler aras?ndaki hiyerar?ik ve se?ici ili?kiler sistemi daha karma??k hale gelir.

T?m zihinsel s?re?lerin nihai amac?, ki?iye dengeyi yeniden sa?lama arzusudur. Bu s?re?, psikolojik ortamda gerilimi azaltabilecek baz? de?erli nesnelerin aranmas?yla ger?ekle?tirilebilir.

Levin'in yakla??m? iki noktada farkl?l?k g?steriyordu. ?lk olarak g?d? enerjisinin organizma i?erisinde kapal? oldu?u d???ncesinden “organizma-?evre” sistemi d???ncesine ge?i? yapm??t?r. Birey ve ?evresi ayr?lmaz, dinamik bir b?t?n gibi hareket etmektedir. ?kincisi, motivasyonun biyolojik olarak ?nceden belirlenmi? bir sabit olarak yorumlanmas?n?n aksine Lewin, motivasyonel gerilimin hem bireyin kendisi hem de di?er insanlar (?rne?in, bireyden bir g?revi tamamlamas?n? isteyen bir deneyci) taraf?ndan yarat?labilece?ine inan?yordu. B?ylece motivasyonun kendi psikolojik stat?s? oldu?u kabul edildi. Art?k bedenin motivasyon potansiyelini t?ketti?i tatmin yoluyla biyolojik ihtiya?lara indirgenmemi?ti.

Levin motivasyon fikrini ?zne ile nesne aras?ndaki ayr?lmaz ba?lant?dan t?retmi?tir. Ayn? zamanda, Levin'e g?re bir alan?n, tek bir mekan?n farkl? kutuplar? ilan edildi?i i?in i? ve d?? aras?ndaki kar??tl?k da ortadan kald?r?ld?. Gestalt psikologlar?na g?re alan, do?rudan bilince verilmi? olarak alg?lanan ?eydir. Lewin'e g?re alan, davran???n olu?tu?u bir yap?d?r. Bireyin motivasyonel arzular?n? ve ayn? zamanda bu arzular?n nesnelerini kapsar. Lewin, davran??? birey ile ?evre aras?ndaki etkile?im olgusundan t?retmi?tir. Nesnelerin ?eyler olarak de?il, yaln?zca bireyin ihtiya?lar?yla olan ili?kileriyle ilgileniyordu. Motivasyon de?i?iklikleri ki?ili?in i? yap?lar?ndan de?il, alan?n ?zelliklerinden, b?t?n?n dinamiklerinden kaynaklan?yordu.

Bu sonu?lar Lewin'in konumunu Adler ve h?manist psikolojinin fikirlerine yakla?t?r?yor: bireyin b?t?nl???n?, Benli?ini koruman?n ?nemi, ki?inin ki?ili?inin yap?s?n? anlama ihtiyac?. Farkl? okullardan ve y?nlerden bilim adamlar?n?n ula?t??? bu kavramlar?n benzerli?i, bu sorunun alaka d?zeyini g?sterir; bilin?d???n?n davran?? ?zerindeki etkisini fark eden insanl?k, ?izme ihtiyac? fikrine gelir. Sadece psikanaliz taraf?ndan m?kemmel bir ?ekilde a??klanan sald?rganl???n?n, zalimli?inin, ?ehvetinin nedenlerini de?il, ayn? zamanda ahlak?n?n, nezaketinin ve k?lt?r?n?n temellerini de anlamak i?in insan ile di?er canl?lar aras?ndaki ?izgiyi anlamak. ?nsan?n ?nemsizli?ini ve k?r?lganl???n? g?steren sava?tan sonra yeni d?nyada, insanlar?n ortaya ??kan tipiklik ve de?i?tirilebilirlik duygusunun ?stesinden gelme, insanlar?n b?t?nsel, benzersiz sistemler oldu?unu kan?tlama arzusu b?y?k ?nem ta??yordu. di?er insanlar?n d?nyas?ndan farkl? olarak kendi i? d?nyas? vard?r.

Sistem kavramlar?, sistemin temel ?zellikleri.

Sistem - belirli bir yap?yla etkile?ime giren ve birbirine ba?lanan unsurlar?n bir koleksiyonudur.

Herhangi bir sistemin temel blo?u onu olu?turan ??elerdir; her ??e, i?inde bulunabilece?i bir dizi durumla karakterize edilir.

Sistem eleman?n?n i?leyi? ?emas?:

?o?u sistem geri bildirim ilkesiyle karakterize edilir; ??k?? sinyali kontrol? d?zeltmek i?in kullan?labilir.

S(t) – eleman?n t an?ndaki durumu.

U(t) – t zaman?ndaki eleman?n kontrol?.

a(t), t zaman?ndaki eleman?n d?? ortam?d?r.

E(t) – t an?nda eleman?n rastgele etkileri.

Y(t) – eleman?n t zaman?ndaki ??k?? sinyali.

Genel durumda, bir sistem eleman?n?n i?leyi?inin a??klamas?, a?a??daki formdaki bir diferansiyel veya fark denklemleri sistemi kullan?larak yap?l?r:

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t),E(t-1),…)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

Sistem yap?s?na ?rnekler:

do?rusal (s?ral?):

hiyerar?ik (a?a? benzeri):

radyal (y?ld?z):

h?cresel veya matris:

ba?l? olarak ?o?alt?n - keyfi bir yap?yla.

Dinamik sistemleri analiz ederken a?a??daki sorunlar? ??zmeyi d???n?yoruz:

G?zlemin g?revi, gelecekteki ??kt? miktarlar?ndan (davran??lar? hakk?nda) elde edilen verilere dayanarak sistemin S(t) zaman?ndaki durumunu belirlemektir.

S(t)'yi bilerek bulun
ayr?k zamanl? bir sistem i?in

S?rekli zamanl? sistemler i?in

Tan?mlama g?revi, ??kt? miktarlar?n?n ge?mi?teki davran???na ili?kin verilere dayanarak mevcut S(t) durumunu belirlemektir.

3. Tahmin g?revleri - mevcut ve mevcut duruma g?re gelecekteki durumlar?n belirlenmesi

ge?mi? de?erler.

S (t+1), S (t+2),… bilerek bulun

Kontrol arama g?revi, sistemi S(t) = X durumundan ?u duruma getiren U(t), U(t+1),..., U(S), S > t kontrol dizisini bulmakt?r. durum S(S) = Y.

Maksimum kontrol sentezi problemi, problem 4'? ??zen U*(t) kontrol eylemlerinin belirli bir optimal dizisinden ve maksimum ama? fonksiyonundan veya fonksiyonelden olu?ur:

F(S(t)), t = 0,1,2,…

Sistem t?rleri:

Rastgele fakt?rlerin varl???na dayanarak:

Deterministik

Stokastik – rastgele fakt?rlerin etkisi g?z ard? edilemez.

2. Zaman fakt?r?n? dikkate alarak:

S?rekli zamanl? sistemler

Ayr?k zamanl? sistemler

3. Ge?mi? d?nemlerin etkisine g?re:

Markov sistemleri - 1. ve 2. problemleri ??zmek i?in, yaln?zca hemen ?nceki veya sonraki d?nem i?in bilgiye ihtiya? vard?r. Markov sistemleri i?in denklem (1) ?u ?ekli al?r: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

Markovskie de?il.

Sistemlerin baz? genel ?zellikleri:

Nedensellik, gelecekte belirli sonu?lar?n sonu?lar?n? tahmin etme yetene?idir. S?kl?kla Durum: Bir sistemin ?nceden belirlenmesi, ?z?nde, sistemin gelecekteki t?m evriminin ge?mi? g?zlemlere dayanarak hesaplanabilece?i durumlar?n var oldu?u anlam?na gelir.

kontrol edilebilirlik - uygun bir giri? eylemi U se?imi ile herhangi bir giri? sinyalinin Y elde edilebilmesinden olu?ur.

Kararl?l?k: Bir sistem, i?leyi? ko?ullar?ndaki yeterince k???k de?i?ikliklerle sistemin davran???n? ?nemli ?l??de de?i?tirmiyorsa kararl?d?r.

atalet - kontroldeki ve (veya) d?? ortamdaki de?i?ikliklere tepki verirken (gecikmeler) sistemde gecikmelerin ortaya ??kmas?.

uyarlanabilirlik, bir sistemin d?? ortamdaki de?i?ikliklere yan?t olarak davran???n? ve (veya) yap?s?n? de?i?tirme yetene?idir.

Ayr?k zamanl? deterministik dinamik sistemler.

Ekonomideki bir?ok uygulama zaman i?inde modelleme sistemleri gerektirir.

Sistemin t zaman?ndaki durumu X(t) boyutsal vekt?r? ile tan?mlan?r.

X(t) = ….. , X(t) R n (R t?m ger?ek say?lar k?mesidir)

T

Sistemin zaman i?indeki geli?imi ?u fonksiyonla tan?mlan?r:

G (X 0, t, ) , Nerede

X 0 – sistemin ba?lang?? durumu;

t – zaman;

- parametrelerin vekt?r?.

g(*) fonksiyonuna ge?i? fonksiyonu da denir.

g(*) fonksiyonu, mevcut durumu zaman?n, ba?lang?? ko?ullar?n?n ve parametrelerin bir fonksiyonu olarak tan?mlayan bir kurald?r.

?rne?in: X t = X 0 (1+ ) t = g (X 0 , t, )

g(*) fonksiyonu genellikle bilinmemektedir. Genellikle bir fark denklemleri sisteminin ??z?m? olarak ?rt?l? olarak belirtilir.

Bir fark denklemi veya denklem sistemi a?a??daki bi?imdeki bir denklemdir: F (t, X t, X t +1, ..., X t + m, ) = 0 (1), Nerede

Xt, sistemin t an?ndaki durumudur.

Denklemin (1) ??z?m? bir vekt?r dizisidir

X t = X 0 , X 1 ,…,

Genellikle denklem (1)'in X t + m i?in analitik olarak ??z?lebilece?i ve durum denklemleri ad? verilen formda yeniden yaz?labilece?i varsay?l?r:

X t+m = f (t, X t , X t+1 , …,X t+m-1 , )(2)

?rne?in:

X t +2 = X t + X t +1/2 + T

Herhangi bir sistem (2) bi?iminde temsil edilebilir, bu her zaman m?mk?n m?d?r?

Fark denklemi (2) F(*) durum de?i?kenlerinin do?rusal bir fonksiyonu ise do?rusal olarak adland?r?l?r (ba?lant?ya g?re mutlaka do?rusal olmas? gerekmez). )

Denklem (1) ve (2)'de m miktar?na denir sistem s?ras? Sistemler ek de?i?kenler ve denklemler sunarak daha y?ksek d?zeyde oldu?undan ciddi bir s?n?rlama de?ildir.

?rnek: X t = f (X t -1 , Y t -1) – 2. dereceden sistem

Y t = X t -1'i tan?tal?m

X t = f(X t -1 , Y t -1)

Bu nedenle, yaln?zca a?a??daki formdaki 1. dereceden sistemleri ele alaca??z:

X t -1 = f(t, X t , ) (3)

Denklem (3), t'nin ayr? bir arg?man olarak dahil edilmemesi durumunda ?zerk olarak adland?r?l?r.

?rnek:

??letmedeki sabit varl?klar?n dinamiklerini ele alal?m

K t, i?letmenin t d?nemindeki sabit varl?klar?n?n de?eridir.

- amortisman oran?, yani y?l i?inde i?letmeden ?ekilen sabit varl?klar?n y?zdesi.

I t = sabit varl?klara yap?lan yat?r?m.

K t +1 = (1 - )K t + I t – 1. dereceden denklem, do?rusal, e?er ben t = I ise, o zaman

K t +1 = (1 - )K t + I – ?zerk denklem

E?er I t = I(t) – otonom de?il (t'ye ba?l?)

Denklem (3)'?n ??z?m?, t?m olas? durumlar i?in denklem (3)'? kar??layan durum vekt?rlerinin (Xt) dizisidir. Bu diziye sistem y?r?ngesi denir. Denklem (3), sistemin durumunun d?nemden d?neme nas?l de?i?ti?ini g?sterir ve sistemin y?r?ngesi, ba?lang?? ko?ullar?n?n ve d?? ortam?n durumunun bir fonksiyonu olarak geli?imini verir. .

Ba?lang?? durumu X 0 biliniyorsa, (3) ili?kisini yinelemeli olarak uygulayarak bir dizi ??z?m elde etmek kolayd?r; ge?i? fonksiyonunu a?a??daki gibi elde ederiz:

X t +1 = f (t, X t , )

X 1 = f (0, X 0 , ) = g (0, X 0 , )

X 2 = f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )

X t+1 = f (t, X t , ) = f (t, g, (t – 1, X 0 , ),) = g (t, X 0 , )

E?er f(*) tek de?erli, her yerde tan?mlanm?? bir fonksiyon ise, o zaman herhangi bir X 0 i?in denklem (3)'?n benzersiz bir ??z?m? vard?r.

Fonksiyon f (t, X t, ) = / X t – her yerde tan?mlanmam??t?r.

E?er f(*) s?rekli bir diferansiyel fonksiyon ise, o zaman ??z?m de ?una g?re d?zg?n olacakt?r: ve X 0

Ortaya ??kan ??z?m X 0 ba?lang?? durumuna ba?l?d?r.

S?n?r ko?uluyla ilgili problem denklem (3) ve form?lde belirtilen s?n?r ko?ulundan olu?ur:

Xs = Xs (4)

E?er denklem (4) – S = 0 ise buna ba?lang?? durumu denir.

Denklem (3)'?n bir?ok ??z?m? vard?r ve denklem (3) + (4) - sistem - tek ??z?md?r, bu nedenle fark denkleminin (3) genel ve ?zel bir ??z?m? ay?rt edilir:

X t g = X(t, c, ) = (X t (X t +1 = f (t, X t , ))) , burada e parametresi belirli bir ??z?m? indeksler.

X t – t an?ndaki katk? b?y?kl???

Z - % i oran?

Xt+1 = Xt(1+z) ; X 0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 = X 1 (1 + z) = X 0 (1 + z) 2 = g (X 0 , t, z) , burada t = 2

Sisteme genel bir ??z?m bulmak m?mk?n ise (3). Zamanla sistemin davran??? hakk?nda tam bilgiye sahip olaca??z, sistemin de?i?en parametrelere nas?l tepki verece?ini belirlemek kolay olacak.

Ne yaz?k ki, genel ??z?m yaln?zca 1. dereceden belirli s?n?flar i?in mevcuttur (?zellikle do?rusal sistemler i?in)

Otonom sistemler

Otonom sistemlerin davran??? fark denklemi ile verilmektedir.

X t +1 = f (X t , ) (1)

Otonom sistemler, sistem yap?s?n?n zaman i?inde de?i?meden kald??? durumlar? sim?le eder. Bu, analiz i?in grafik y?nteminin kullan?lmas?n? m?mk?n k?lar.

X t =1 = f (t, X t , )

X t = X t +1 – X t = f (t, X t, ) - X t = d (t, X t , ) (2)

d(*) fonksiyonu sistemin durumunun d?nemden d?neme ne kadar de?i?ece?ini g?sterir. Her X t noktas?nda bir vekt?r? ili?kilendirebiliriz Kar??l?k gelen denklemde X t (2) Bu ba?lamda d(*) fonksiyonu ?a?r?l?r vekt?r alan?

X 0 /t = 0

Ba??ms?z sistemler i?in
Ve

Otonom sistemlerde X 0 noktas?na giren t?m sistemler daha sonra ayn? y?r?ngeyi takip eder. Otonom olmayan sistemlerde davran?? ayn? zamanda sistemin X 0 noktas?na ne zaman girdi?ine de ba?l?d?r.

Otonom sistemler i?in X 0 ba?lang?? ko?ulu alt?nda denklem (1)'i uygular?z:

art arda iki kez uyguland?.

Yukar?daki sistemde f t, f() fonksiyonunun arg?man?na t kez yinelemeli olarak uygulanmas?n?n sonucu anlam?na gelir. Ft fonksiyonu sistemin ba?lang?? durumundan itibaren t periyotlarda nereye gidece?ini g?sterir.

X t – sistemin X 0 noktas?ndan t zaman periyodunda gidece?i yer.

f t fonksiyonuna bazen sistem ak??? denir.

Kararl? durumlar. Periyodik dengeler. Kararl?l?k.

Zamanla sistem kararl? bir duruma ge?er. Bu nedenle t -> ? olarak sistemin asimptotik davran???yla ilgilenece?iz.

Sistemi d???n?n

Bu nedenle e?er
var o halde
.

Denklemi kar??layan X noktas?
haritalaman?n sabit noktas? denir
.

Nokta dinamik sistemler ba?lam?nda kararl? durum veya dura?an durum olarak adland?r?l?r.

Sabit noktalar, dinamik sistemlerin uzun vadeli davran??lar?n? incelemek i?in yayg?n olarak kullan?lmaktad?r.

E?er
, sonra 1 aksi takdirde 0

Lyapunov kararl?l?k teorisi

Nokta Herhangi bir say? i?in Lyapunov kararl? denir
b?yle bir say? var ,
, bu durumdan
herkes i?in
.

d?zlemdeki vekt?r?n uzunlu?udur.

– denge durumu.

– X vekt?r?n?n normu.

Nokta sistemin bu noktan?n yak?n?na gelmesi durumunda Lyapunov kararl? olacakt?r gelecekte de b?lgede kalacak .

Nokta A?a??daki durumlarda Lyapunov'a g?re asimptotik olarak kararl? denir:

Asimptotik olarak kararl? sistemler i?in, sistem zamanla denge durumuna yakla??r.

Sistem ?u ?ekilde davran?r:

– sistem ak???

-sistemin k ad?mla nereye gidece?i

Dinamik bir sistemin periyodik ??z?m?
formda ??z?m denir
burada p sistemin periyodu veya y?r?ngenin periyodudur.

B?ylece periyodik ??z?m haritalaman?n sabit bir noktas?d?r.
.

Sabit nokta

Sabit bir nokta var m? kontrol edelim
:

herhangi bir nokta sabittir.

Skaler do?rusal sistemler

Skaler do?rusal sistemler ?u ?ekildedir:
(1)

– t zaman?nda verilen denklem.

Denklemde ise (1)
, O
ise buna homojen denir.

Homojen do?rusal sistemler

Skaler sistemler i?in sistemin davran???n? bir faz diyagram? kullanarak analiz etmek uygundur. Faz diyagram? bir ba??ml?l?k grafi?idir

Durum 1. 0

Analitik olarak kararl?d?r

–do?rusal, e?er a=1 ise, 45 0'da – e?im a??s?.

0 i?in

Durum 2.-1

S?n?ml? sal?n?mlar

Durum 3. a>1

Durum 4. a<-1

Durum 5. a = 1

Durum 6. a = 0

Durum 7. a = -1 x t+1 = -x t

E?er
, O

, O

Homojen do?rusal sistemlerin genel ??z?m? ?u ?ekildedir:

?u tarihte:
,
,

Birinci dereceden homojen olmayan do?rusal sistemler

(1)

-kontrol

Homojen olmayan sistemleri analiz ederken “s?perpozisyon” ilkesi ?nemli bir rol oynar.

Denklemin (1) genel ??z?m?n?n denklem bi?iminde yaz?labildi?i ger?e?inde yatmaktad?r:

(2)

Nerede – homojen denklemin genel ??z?m? (1):
ve tamamlay?c? fonksiyon olarak adland?r?l?r.

– homojen olmayan denklemin (1) herhangi bir ?zel ??z?m?.

Otonom denklem (1)

1.

2.

Kan?t:

E?er denklem (1)'in ??z?m?d?r, o zaman
.

E?er denklem (1)'in ba?ka bir ??z?m?d?r, o zaman

??levi d???n?n
ve olup olmad???n? kontrol edin denklemi ??zme (1).

2. [Gereklilik] Herhangi bir ??z?mle ba?larsak ?unu g?sterdik: ve ona ekle
sonra denklem (1)'in bir ??z?m?n? elde ederiz. Denklemin (1) t?m ??z?mlerini benzer ?ekilde elde edip edemeyece?imiz sorusu ortaya ??k?yor. Durumun ger?ekten b?yle oldu?unu kan?tlayal?m:

?ki ??z?m?m?z olsun (1), Ve :

Haydi belirtelim

- homojen,
z t =ca t

-=ca t
=+kedi

Otonom do?rusal sistemler

Х t +1 =ax t +U (3)

=+ (2)

= ca t

= bir +?
=

=+ kedi

E?er

E?er

Durumunda
Zamanla sistem bir duruma ula??r ->ve U denkleminin uygun se?imiyle herhangi bir duruma ula?abiliriz. Bu durumda sistem (3) kontrol edilebilir olarak adland?r?l?r.

E?er
, daha sonra zamanla sistem denklemden ba??ms?z olarak s?n?rs?z de?erler alacak ve dolay?s?yla kontrol edilemez hale gelecektir.

Genel ??z?m (3) ?u ?ekildedir:

(4)

x s =x s s?n?r ko?ulunu d???n?n:

(5)

Otonom olmayan do?rusal sistemler

X t +1 =ax t +U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2) +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

E?er
, O

E?er
, O

U t dizisinin s?n?rl? oldu?unu varsayal?m; U t <= herkes i?in.

Sonra - s?n?r de?eri.

DO?RUSAL S?STEMLER TEOR?S?N?N EKONOM?K UYGULAMALARI

Web benzeri piyasa dengesi modeli.

Modelin temel varsay?mlar?:

talep e?risinin do?rusal do?as?

arz e?risinin do?rusal do?as?

arz ve talep e?risinin e?itli?i

burada d 0 , d 1 >0

Teklif:

burada S 1 >0, S 0 <=0 (??nk? 0 fiyat?nda kimse bir ?ey ?retmiyor).

Denge:

d 0 -d 1 P t =S 0 +S 1 P t-1

d 1 P t =d 0 -S 0 –S 1 P t-1 |:d 1

P t =
(*)

Fiyatlar?n zaman i?inde denge fiyat?na yak?nla?mas? i?in bu oran?n veya S 1 g?n 1
Sistemde farkl? sal?n?mlar olacakt?r.

grafikteki e?ri

arz talep e?risinden daha diktir.

d 1 p * =d 0 -S 0 -S 1 p *

Daha rasyonel davran?? i?in, ?reticilerin kararlar?nda yaln?zca mevcut de?il, ayn? zamanda gelecekteki pazar ko?ullar?n? da dikkate almas? gerekir. Dolay?s?yla piyasan?n normal i?leyi?i i?in ekonomik birimlerin gelece?e y?nelik beklenti olu?turma (tahmin yapma) yetene?i ?nemlidir.

Finansal piyasalarda fiyat dinamikleri.

S – emlak teklifi

D – gayrimenkul talebi

P t – t zaman?ndaki hisse fiyat?.

d t – ?u anda kimliksiz.

r – mevduat hesaplar?ndaki faiz oran?.

- t+1 zaman?nda hisselerin beklenen de?eri.

Arbitraj, yat?r?mc?n?n bir varl??? d???k fiyattan sat?n al?p, an?nda daha y?ksek fiyattan satarak risk almadan an?nda kar elde etmesine olanak sa?layan bir durumdur.

Arbitraj olana?? bulunmayan bir piyasan?n etkin oldu?u kabul edilir.

Hisse senedi fiyat?n?n bilan?o oran?n? bulmak i?in arbitraj yap?lmamas? ilkesini kullanal?m.

(1)

Kharkov gayrimenkul ?rne?ini kullanarak:

P t =30 bin dolar

D t =2 bin dolar y?ll?k – kira ?creti

-?n?m?zdeki d?nemde bir daire i?in beklenen fiyat.

=33-2=31 bin dolar.

BEKLENT? OLU?TURMA MEKAN?ZMALARI

1. Uyarlanabilir beklentiler modeli

=
, burada 0<=<=1

0
=

1
=

- ?stel d?zeltme y?ntemi (2)

(1)

(2)

Herhangi bir t i?in d t =d=sabit oldu?unu varsayal?m

0

Genel ??z?m:
burada P 0 hisselerin ba?lang?? maliyetidir.

A<1,
a t P 0
0

hisselerin temel de?eri.

a t P 0 – spek?latif bile?en

2. Rasyonel beklentiler modeli

Dezavantaj? ise piyasa kat?l?mc?lar?n?n ??renme h?z?n?n d???k olmas?d?r. Bu, zamanlar aras? tahkim olas?l???n? a?ar; Gelecek d?nemlerde hisse senedi fiyatlar?nda ?ng?r?len de?i?ikliklere ili?kin spek?lasyonlar.

Bu mant?ksal ?eli?kiyi ??zmek i?in 1970'lerde rasyonel beklentiler modeli ?nerildi (R. Lucas).

Modelin ?z?, ortalama olarak piyasan?n varl?k fiyatlar?n?n de?erlendirilmesinde sistematik olarak hata yapamamas?d?r. Modelimiz a??s?ndan bu ?u anlama geliyor: yat?r?mc?lar hisselerin de?erini sistematik olarak yanl?? tahmin etmemelidir.

- tarafs?z de?erlendirme, yani
- Pt+1'in tarafs?z bir tahminidir; veya
=P t +1 +E t

E t – tahmin hatas?

Tahmin hatas?n?n 0 oldu?u rasyonel beklentiler modelinin (tam ?ng?r?l? model) u? bir versiyonunu ele alal?m.

Modeli tam ?ng?r?yle kullanarak E t =0 oldu?unu varsay?yoruz, yani.
=P t +1

Hisse senedi fiyatlar?n?n dinamiklerine tam ?ng?r?l? bir modelle bakal?m.

Tahkim Durumu:

(1+r) P t =dt

(1+r) P t =dtP t+1

=P t+1

P t+1 =(1+r) Pt-d (3)

Sabit bir noktadan hareket etmeye ba?lamad???m?z s?rece (1+r) > oldu?undan P t karars?zd?r, P t ->?:

E?er P t = ise P t + k =

d=0, P t +1 =(1+r) Pt

Tam ?ng?r? modelinde yat?r?mc? beklentileri kendini ifade eden bir kehanet rol? oynar; ??nk? varl?k fiyatlar? s?resiz olarak artabilir; Yat?r?mc?lar b?y?yece?ine inan?yor. Dolay?s?yla b?yle bir modelde hisse senedi fiyat?n?n spek?latif bile?eni temel de?erine hakim olur.

D?NAM?K S?STEM, herhangi bir andaki durumu ba?lang?? durumu taraf?ndan benzersiz bir ?ekilde belirlenen ger?ek (fiziksel, biyolojik, ekonomik vb.) bir sistemin evriminin matematiksel modeli.

Tarihsel arka plan. Dinamik sistemler teorisinin kurucular? A. Poincar? ve A. M. Lyapunov'dur. 19. y?zy?l?n sonlar?nda - 20. y?zy?l?n ba?lar?nda, davran??? bilmenin gerekli oldu?u bir dizi problem (g?k mekani?inde, d?nen bir s?v?n?n denge fig?rleri teorisinde vb.) Ke?fedildi ve ?zerinde ?al???ld?. Bir adi diferansiyel denklemler sisteminin (ODE) birden fazla bireysel ??z?m? x(t), ancak ger?ek (?rne?in fiziksel) bir sistemin ?e?itli ba?lang?? durumlar?na kar??l?k gelen t?m (veya ?ok say?da) ??z?m. Bu durumda x(t), olas? t?m durumlar?n (yani x vekt?rlerinin de?erlerinin) uzay?ndaki bir e?ri olarak temsil edilebilir ve bu e?rinin geometrik ?zellikleri, ??z?m?n ?zelliklerini anlamak ve tan?mlamak i?in kullan?labilir. x(t). B?yle bir e?riye faz y?r?ngesi denir.

20. y?zy?l?n 1. ??te birinde, bir dizi matematik?inin ?al??malar?nda dinamik sistem teorisi geli?tirildi. Bunlardan en ?nemlisi, dinamik sistem teorisinin do?ada ve laboratuvarda do?rusal olmayan s?re?lerin incelenmesinde etkili oldu?unu fark eden ve ?nemli ?rneklerle g?steren A. A. Andronov'un ?al??malar?yd?. Bu zamana kadar, do?rusal matematiksel ayg?tlar ?o?u zaman ger?ek s?re?leri tan?mlayamad??? i?in, do?rusal olmayan problemleri inceleme ihtiyac? netle?ti. Andronov, Poincar? limit d?ng?lerini kullanarak kendi kendine sal?n?mlar? tan?mlad? ve yeni bir bilimin, do?rusal olmayan dinami?in ana hatlar?n? ?izdi. L. S. Pontryagin ile birlikte parametrelerdeki k???k de?i?ikliklere duyars?z kaba bir sistem kavram?n? ortaya att?. B?yle bir sistem, parametrelerdeki k???k de?i?ikliklerle ?zelliklerini dramatik bir ?ekilde de?i?tirmez, yani. parametrelerin de?i?tirilmesinden ?nceki ve sonraki durumlar? topolojik olarak ayn?d?r (e?de?er). Kaba sistemler, t?m dinamik sistemlerin i?levsel uzay?ndaki a??k b?lgeleri doldurur. Bu b?lgelerin d???nda ve ?zellikle s?n?rlar?nda kaba olmayan sistemler bulunur. S?n?rdan ge?i?e, dinamik sistemin yap?s?nda bir de?i?iklik olan ?atallanma e?lik ediyor. Bir parametreye ba?l? dinamik sistemler ailesinde, parametrenin ba?lang?? de?erindeki dinamik sistemin yap?s? ve t?m ?atallanmalar bilinerek, parametrenin son de?erindeki yap?s? benzersiz bir ?ekilde tahmin edilebilir.

20. y?zy?l?n 2. yar?s?nda, D. V. Anosov, V. I. Arnold, R. Bowen, R. Mane, J. G. Sinai, S. Smail, S. Hayashi, L. P. Shilnikov ve di?erleri, Andronov'un fikirlerini geli?tirdiler ve dinamiklerin derin ve uyumlu bir teorisini yaratt?lar. Deterministik s?re?lerin do?as? hakk?nda do?ru fikirler veren ve ki?inin ger?ek sistemlerin modellerini incelemesine olanak tan?yan sistem.

Dinamik bir sistemin ?zellikleri. Dinamik bir sistemin tan?m?, durum uzay?n? (x) ve zamana ba?l? evrim operat?r?n? (yasa) f t i?erir; buna g?re sistem, x 0 ba?lang?? durumundan t zaman?nda x t durumuna gelir. Dinamik bir sistemin durumu, yorumlar?n?n do?all???, a??klaman?n basitli?i, simetri vb. nedenlerle se?ilen bir dizi x de?i?keni taraf?ndan tan?mlan?r. Dinamik bir sistemin durumlar? (fazlar?) k?mesi, her birinin i?inde bulundu?u bir faz uzay? olu?turur. durum bir noktaya kar??l?k gelir ve evrim, noktan?n faz uzay?na g?m?l? bir e?ri olan faz y?r?ngesi boyunca hareketi ile tasvir edilir. ?rne?in, n tane par?ac???n ?ekici kuvvetlerin etkisi alt?ndaki hareketi, faz uzay?nda bu par?ac?klar?n t?m koordinat k?meleri ve h?zlar? taraf?ndan tan?mlan?r ve evrim operat?r?, kar??l?k gelen ODE sisteminin ??z?lmesiyle belirlenir.

Sistemin evriminin ?zellikleri, faz y?r?ngelerinin t?r?nde kendini g?sterir. ?zellikle, dinamik bir sistemin denge durumu dejenere bir y?r?ngeye kar??l?k gelir - faz uzay?nda bir nokta, periyodik hareket - spektrumda m temel frekansa sahip kapal? bir e?ri, yar? periyodik hareket - g?m?l? m boyutlu bir simit ?zerinde bir e?ri faz uzay?nda. Enerji t?keten bir sistemin dura?an rejimi (sabit hareket), bir ?ekiciye - yak?ndaki t?m y?r?ngeleri ?eken bir dizi y?r?ngeye - kar??l?k gelir. Sabit periyodik sal?n?mlar bir s?n?r d?ng?s?ne kar??l?k gelir - izole edilmi? (faz uzay?nda) kapal? bir y?r?nge; Kaotik kendi kendine sal?n?mlara genellikle tuhaf bir ?ekici (karars?z y?r?ngelerden olu?an bir ?ekim seti) taraf?ndan yan?t verilir.

Denklemlerin do?as?na ve ara?t?rma y?ntemlerine ba?l? olarak dinamik sistemler sonlu boyutlu (sonlu boyutlu faz uzay?na sahip) ve sonsuz boyutlu (da??t?lm??) olarak ikiye ayr?l?r. Sonlu boyutlu dinamik sistemler, ger?ek sistemlerin farkl? fiziksel do?as?na kar??l?k gelen muhafazakar ve enerji t?keten olarak ikiye ayr?labilir. Korunumlu dinamik sistemler, korunan faz hacmine sahip sistemlerdir. Zamandan ba??ms?z Hamilton fonksiyonuna sahip Hamilton sistemleri taraf?ndan olu?turulurlar. Enerji t?keten sistemlerde faz hacmi korunmaz; faz uzaylar?nda herhangi bir y?r?nge ?zerindeki bir noktan?n sonsuza kadar i?ine d??ece?i s?n?rl? bir b?lge (da??lma topu) vard?r.

Dinamik sistemler ayr?ca s?rekli ve ayr?k zamanl? sistemlere de ayr?labilir. S?rekli zamanl? dinamik sistemler genellikle bir ODE sistemi x = f(x) (x bir skaler veya vekt?r miktar?d?r, nokta zamana g?re farkl?la?may? g?sterir) ile belirtilir; burada her ba?lang?? noktas? x i?in benzersiz bir ??z?m vard?r. B?yle bir dinamik sistemin denge durumu x 0, f(x 0) = 0 denkleminden belirlenir. O denge durumu yak?n?ndaki davran??, O yak?n?nda do?rusalla?t?r?lm?? sistemin ?zelliklerine, yani l 1 k?klerine ba?l?d?r. karakteristik denklemin , l 2,.., l n'si

burada d ij Kronecker sembol?d?r. Re lj'nin p i?in negatif, q k?kleri i?in pozitif oldu?unu varsayal?m ve p + q = n. E?er p = n (q = n) ise O noktas?na kararl? (karars?z) d???m ad? verilir. Kararl? bir d???m durumunda, zaman t -> +? oldu?unda ve karars?z bir d???m durumunda - t-> -? oldu?unda faz uzay?nda bu noktaya yak?n y?r?ngeler kendisine ?ekilir. E?er p?0, q?0 ise O noktas?na eyer denir. ??inden iki y?zey ge?er: kararl? ve karars?z eyer manifoldlar? O olarak adland?r?lan p boyutlu W s O ve q boyutlu W u O, ayr?ca kararl? ve karars?z ay?r?c?lar. Bu y?zeyler s?ras?yla t ->+? ve t -> -? olarak O'ya y?nelen y?r?ngeler taraf?ndan olu?turulur. Geri kalan y?r?ngeler eyeri t -> ± ?'da terk eder (?ekil 1).

Ayn? anda W s O W u O'da bulunan (ve O ile ?ak??mayan) bir y?r?ngeye homoklinik veya eyer ay?r?c? d?ng? denir. S?rekli bir ortam?n tek boyutlu modellerinde, soliton formundaki sabit ilerleyen bir dalga, homoklinik bir y?r?ngeye kar??l?k gelir.

x = f(x) sisteminin periyodik ??z?m? x = p(t) a?a??daki ?zelli?e sahiptir: herhangi bir t i?in p(t) = p(t+T), burada T d?nemdir. Bu ??z?m, faz uzay?nda kapal? bir L y?r?ngesine kar??l?k gelir. Periyodik bir L y?r?ngesinin yak?n?ndaki y?r?ngelerin davran???, L ?zerinde do?rusalla?t?r?lm?? bir sistemin ??z?mleri kullan?larak bulunan g 1, ..., g n ?arpanlar? ile karakterize edilir. Bunlardan biri, ?rne?in g n, her zaman 1'e e?ittir. E?er |g i |< 1 (|g i | >1) t?m i = 1, 2, ..., n - 1 i?in, L y?r?ngesi kararl?d?r (karars?z). E?er p ?arpanlar? karma??k d?zlemde birim ?emberin i?inde ve q d???nda yer al?yorsa, p + q = n - 1, o zaman L eyer tipi bir y?r?ngedir. ?ki y?zeyin kesi?me noktas?nda yer al?r: (p + 1) boyutlu W s L ve (q + 1) boyutlu W u L (kararl? ve karars?z ay?r?c?lar). W s L (W u L) y?zeyi t -> +? (t ->- ?) olarak L'ye y?nelen y?r?ngelerden olu?ur. n = 3 ve p = q=1 i?in, ?arpan g pozitif ve 1'den b?y?kse, W s L (W u L) y?zeyi topolojik olarak bir silindire e?de?erdir (?ekil 2).

L'nin bir kom?ulu?undaki y?r?ngelerin davran???, L ile kesi?en (dokunmadan) bir (n - 1) boyutlu D y?zeyi ve ona yak?n y?r?ngeler ?zerindeki izleri dikkate al?narak incelenmi?tir. D ?zerindeki m0 noktas? L'ye yeterince yak?nsa, m0'dan ge?en y?r?nge, D'yi ba?ka bir m noktas?nda keser, bu da ard?ll?k haritas? (Poincar? haritas?) olarak adland?r?l?r (?ekil 3).

Poincar? haritas?n?n L ile D'nin kesi?im noktas?ndaki do?rusalla?t?r?lmas? Jacobi matrisi ile tan?mlan?r. ?zde?erleri g 1, ..., g n-1, L kapal? y?r?ngesinin ?arpanlar?d?r.

Periyodik y?r?ngelerin kararl? ve karars?z manifoldlar? kesi?ebilir. W s L ve W u L'nin kesi?imine ait olan ve L'den farkl? bir y?r?nge homokliniktir. Bu kesi?me dokunmadan ger?ekle?irse, o zaman homoklinik y?r?ngenin yak?n?nda, aralar?nda sonsuz say?da kapal? eyer tipi y?r?nge bulunan bir?ok farkl? karars?z y?r?nge vard?r. B?yle bir dizi y?r?nge, kaotik dinamiklere sahip dinamik bir sistem i?in tipiktir. Bu nedenle, homoklinik bir y?r?ngenin varl???, dinamik bir sistemdeki kaotik rejimlerin varl??? i?in bir kriter olarak hizmet edebilir (bkz. Dinamik kaos).

Ayr?k zamanl? dinamik sistemler genellikle faz uzay?n?n G'nin kendi i?ine e?lenmesiyle tan?mlan?r: x n+1 = G(x n). O halde evrimsel operat?r f t , t = m, m kez uygulanan G e?lemesidir: f n x=G(G(...G(x)...)) ?rne?in, n?fus dinami?inin en basit modeli, (n + 1) ku?a??n?n ?ye say?s?n?n yo?unlu?unu, x n+1, ?nceki ku?a??n x n say?s?n?n bir fonksiyonu olarak tan?mlar: x n+1 = ax n - bx 2 n, a, b > 0 - g?rev parametreleri. A ve b de?erlerine ba?l? olarak bu dinamik sistem ya d?zenli (t?m ?ekiciler periyodik y?r?ngelerdir) ya da kaotik dinamikler g?sterebilir.

Poincar? haritas? asl?nda ayr?k zamanl? bir sistemi tan?mlar. ?rne?in, x = f(x,th), th = o bi?iminde yaz?labilen bir ODE sistemi ?zerindeki periyodik pert?rbasyonun etkisini tan?mlayan dinamik sistemler; burada f, th'da periyodik bir vekt?r fonksiyonudur, her zaman Poincar? haritas? olu?turun. Bu t?r sistemler i?in, her y?r?ngenin sonsuz say?da kesi?ti?i k?resel bir Poincar? y?zeyi th = 0 vard?r. S?rekli zamanl? bir sistemdeki y?r?ngelerin davran??? tamamen ayr?k zamanl? bir dinamik sistem taraf?ndan belirlenir.

Dinamik bir sistem teorisinin ?nemli bir k?sm?, y?r?ngelerin istatistiksel ?zelliklerini tan?mlayan ergodik teoridir. Karars?zlarsa, farkl? y?r?ngelerdeki noktalar evrim s?recinde birbirinden ?nemli bir mesafede ayr???rsa, ba?lang?? durumlar?n?n yak?nl???na ra?men sistem ba?lang?? ko?ullar?na "hassas bir ba??ml?l?k" g?sterir. (Uzun vadeli hava durumu tahminlerinin imkans?zl???ndan tam olarak y?r?ngelerin istikrars?zl???n?n sorumlu oldu?unu unutmay?n.) Ba?lang?? durumunu sonsuz do?rulukla belirlemek imkans?z oldu?undan (her zaman k???k ?l??m veya ezberleme hatalar? vard?r), bu gereklidir. bireysel y?r?ngelerin davran???n? de?il, ba?lang?? ko?ullar?n?n "noktas?ndan" ge?en y?r?nge demetlerinin davran???n? incelemek. Bu y?r?ngelerin ?e?itli ?zellikleri olabilir ve bu ?zelliklerin ?e?itlili?i olas?l?k da??l?mlar? cinsinden a??klanabilir.

A. Poincar?, dinamik bir sistemin y?r?ngeleri karars?z oldu?unda, o zamana kadar L'nin ?al??malar?nda bahsedilenlerle ayn? nitelikteki istatistiksel ?zelliklerinden bahsedebilece?imiz fikrini niteliksel bi?imde ifade eden ilk ki?iydi. Boltzmann ve J. W. Gibbs istatistiksel mekanik ?zerine. Benzer fikirler ergodik teoride de uygulanm??t?r ve deterministik ve rastgele "d?nyalar" aras?nda ba?ar?l? bir ?ekilde "k?pr?" g?revi g?rmektedir.

Dinamik sistem teorisini kullanarak, dinamik kaos, periyodik ve kaotik sal?n?mlar?n senkronizasyonu, enerji t?keten yap?lar?n olu?umu, da??t?lm?? sistem modellerinde uzay-zamansal kaos, sistemlerde mod rekabeti gibi do?adaki ve teknolojideki bir?ok do?rusal olmayan olay incelenmi? ve a??klanm??t?r. Beynin sinir a?lar? vb.

Ayd?nlat?lm??: ?kinci dereceden dinamik sistemlerin nitel teorisi. M., 1967; Kornfeld I.P., Sina Ya.G., Fomin S.V. Ergodik teori. M., 1980; Bilim ve teknolojinin sonu?lar?. Ser. Matemati?in modern problemleri. Temel talimatlar. M., 1985-1991. [T. 1-9]: Dinamik sistemler; Katok A., Hasselblatt B. Modern dinamik sistem teorisine giri?. M., 1999.

V. S. Afraimovich, M. I. Rabinovich.