dinamik sistem- sistemin her bir eleman?n?n faz uzay?nda zaman ve konum aras?nda i?levsel bir ili?kinin belirtildi?i bir dizi eleman. [ ] Bu matematiksel soyutlama, sistemlerin zaman i?indeki evrimini incelemeyi ve tan?mlamay? sa?lar.

Herhangi bir zamanda dinamik bir sistemin durumu, durum uzay?nda belirli bir noktaya kar??l?k gelen bir dizi ger?ek say? (veya vekt?r) ile tan?mlan?r. Dinamik bir sistemin evrimi, deterministik bir fonksiyon taraf?ndan belirlenir, yani belirli bir zaman aral???ndan sonra sistem, mevcut duruma ba?l? olarak belirli bir durum alacakt?r.

girii?

Dinamik bir sistem, "dalgalanmalar?n ve di?er t?m istatistiksel olaylar?n" ihmal edildi?i baz? nesne, s?re? veya fenomenin matematiksel bir modelidir.

Dinamik bir sistem ayn? zamanda bir sistem olarak da temsil edilebilir. durum. Bu yakla??mla, dinamik sistem (bir b?t?n olarak) baz? s?re?lerin dinamiklerini, yani sistemin bir durumdan di?erine ge?i? s?recini tan?mlar. Bir sistemin faz uzay?, dinamik bir sistemin t?m kabul edilebilir durumlar?n?n toplam?d?r. B?ylece, dinamik bir sistem, ba?lang?? durumu ve sistemin ba?lang?? durumundan di?erine ge?ti?i yasa ile karakterize edilir.

Sistemler aras?nda ayr?m yap?n ayr?k zaman ve sistemler s?rekli zaman.

Geleneksel olarak adland?r?lan ayr?k zamanl? sistemlerde kaskadlar, sistemin davran??? (veya ayn? olan, sistemin faz uzay?ndaki y?r?ngesi) ile tan?mlan?r. sekans devletler. Geleneksel olarak adland?r?lan s?rekli zamanl? sistemlerde Canl? Yay?nlar, sistemin durumu i?in tan?mlan?r herkes ger?ek veya karma??k eksende zaman an?. Basamaklar ve ak??lar, sembolik ve topolojik dinamiklerde dikkate al?nan ana konudur.

Dinamik bir sistem (hem ayr?k hem de s?rekli zamana sahip), genellikle bir alanda verilen ve orada varolu? teoreminin ko?ullar?n? ve diferansiyel denklemin ??z?m?n?n benzersizli?ini sa?layan ?zerk bir diferansiyel denklem sistemi ile tan?mlan?r. Dinamik sistemin denge konumlar?, diferansiyel denklemin tekil noktalar?na kar??l?k gelir ve kapal? faz e?rileri, periyodik ??z?mlerine kar??l?k gelir.

Dinamik sistemler teorisinin ana i?eri?i, diferansiyel denklemlerle tan?mlanan e?rilerin incelenmesidir. Bu, faz uzay?n?n y?r?ngelere b?l?nmesini ve bu y?r?ngelerin s?n?rlay?c? davran??lar?n?n incelenmesini i?erir: denge konumlar?n?n ara?t?r?lmas? ve s?n?fland?r?lmas?, ?ekme se?imi ( ?ekiciler) ve itici ( kovucular) setleri (?e?itleri). Dinamik sistemler teorisinin en ?nemli kavramlar?, denge durumlar?n?n kararl?l???d?r (yani, ba?lang?? ko?ullar?nda k???k de?i?iklikler olan bir sistemin, denge pozisyonunun yak?n?nda veya belirli bir manifold ?zerinde keyfi olarak uzun bir s?re kalma yetene?i) ve p?r?zl?l?k (yani, matematiksel modelin kendisinde k???k de?i?ikliklerle ?zelliklerin korunmas?; " kaba sistem- bu, hareketlerin niteliksel do?as?, parametrelerde yeterince k???k bir de?i?iklikle de?i?meyen b?yledir").

Dinamik sistemlerin ergodik teorisinde olas?l?ksal-istatistiksel temsillerin yer almas?, dinamik bir sistem kavram?na yol a?ar. de?i?mez ?l??.

Modern dinamik sistemler teorisi, matemati?in ?e?itli dallar?ndan y?ntemlerin yayg?n olarak kullan?ld??? ve etkili bir ?ekilde birle?tirildi?i ?al??malar?n ortak ad?d?r: topoloji ve cebir, cebirsel geometri ve ?l?? teorisi, diferansiyel formlar teorisi, tekillikler ve felaketler teorisi.

Dinamik sistemler teorisinin y?ntemleri, denge d??? termodinamik, dinamik kaos teorisi, sinerjetik gibi do?a bilimlerinin di?er dallar?nda talep g?rmektedir.

Tan?m

?zin vermek X (\g?r?nt?leme stili X) keyfi bir d?z manifolddur.

dinamik sistem, d?z bir manifold ?zerinde tan?mlanm?? X (\g?r?nt?leme stili X), haritalama denir g: R x X -> X (\displaystyle g\colon R\times X\to X), parametrik bi?imde yaz?lm?? g t (x) (\displaystyle g^(t)(x)), nerede t ? R , x ? X (\displaystyle t\in R,x\in X) t?revlenebilir bir harita olan ve g 0 (\displaystyle g^(0))- uzay?n kimlik haritalamas? X (\g?r?nt?leme stili X). Sabit tersinir sistemler s?z konusu oldu?unda, tek parametreli aile ( g t: t ? R ) (\displaystyle \(g^(t):t\in R\)) topolojik uzay?n bir grup d?n???m?n? olu?turur X (\g?r?nt?leme stili X) ve bu nedenle, ?zellikle, herhangi bir t 1 , t 2 ? R (\displaystyle t_(1),t_(2)\inR) kimlik g t 1 ? g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

Haritalaman?n t?revlenebilirli?inden g (\displaystyle g) fonksiyonu takip eder g t (x 0) (\displaystyle g^(t)(x_(0))) zaman?n t?revlenebilir bir fonksiyonudur, grafi?i geni?letilmi? faz uzay?nda bulunur R x X (\displaystyle R\times X) ve arad? integral y?r?nge(e?ri) dinamik sistem. Uzaya yans?mas? X (\g?r?nt?leme stili X) faz uzay? olarak adland?r?lan faz y?r?ngesi(e?ri) dinamik sistem.

Dura?an bir dinamik sistem belirtmek, faz uzay?n? faz y?r?ngelerine b?lmekle e?de?erdir. Dinamik bir sistemin belirtilmesi, genel olarak, geni?letilmi? faz uzay?n? integral y?r?ngelere b?lmekle e?de?erdir.

Dinamik sistemleri tan?mlama y?ntemleri

Dinamik bir sistemi tan?mlamak i?in, onun faz uzay?n? tan?mlamak gerekir. X (\g?r?nt?leme stili X), zaman seti T (\g?r?nt?leme stili T) ve baz? kural, faz uzay noktalar?n?n zamanla hareketini a??klar. Zaman i?inde bir?ok nokta T (\g?r?nt?leme stili T) her ikisi de ger?ek do?runun bir aral??? olabilir (o zaman devaml? olarak) ve tamsay?lar veya do?al say?lar k?mesi ( ayr?k zaman). ?kinci durumda, bir faz uzay noktas?n?n "hareketi" daha ?ok bir noktadan di?erine ani "s??ramalar" gibidir: b?yle bir sistemin y?r?ngesi d?zg?n bir e?ri de?il, sadece bir noktalar k?mesidir ve genellikle denir. bir y?r?nge. Bununla birlikte, d??sal farkl?l??a ra?men, s?rekli ve ayr?k zamanl? sistemler aras?nda yak?n bir ili?ki vard?r: bir?ok ?zellik bu sistem s?n?flar?nda ortakt?r veya birinden di?erine kolayca aktar?labilir.

Faz ak??lar?

Faz uzay? olsun X (\g?r?nt?leme stili X)?ok boyutlu bir uzay? veya i?indeki bir b?lgeyi temsil eder ve zaman s?reklidir. Her noktan?n ne kadar h?zl? hareket etti?ini bildi?imizi varsayal?m. x (\g?r?nt?leme stili x) faz bo?lu?u. Ba?ka bir deyi?le, h?z vekt?r fonksiyonu bilinmektedir. v (x) (\displaystyle v(x)). O zaman noktan?n y?r?ngesi, otonom diferansiyel denklemin ??z?m? olacakt?r. d x d t = v (x) (\displaystyle (\frac (dx)(dt))=v(x)) ba?lang?? ko?ulu ile x (0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). Bu ?ekilde tan?mlanan dinamik sistem, otonom bir diferansiyel denklem i?in faz ak??? olarak adland?r?l?r.

Kaskadlar

?zin vermek X (\g?r?nt?leme stili X) keyfi bir k?medir ve f: X -> X (\displaystyle f\colon X\to X)- setin baz? e?lemesi X (\g?r?nt?leme stili X) kendime. Bu e?lemenin yinelemelerini, yani faz uzay?ndaki noktalara tekrarlanan uygulamas?n?n sonu?lar?n? d???n?n. Faz uzayl? dinamik bir sistem tan?mlarlar. X (\g?r?nt?leme stili X) ve bir?ok kez T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ). Ger?ekten de, keyfi bir nokta oldu?unu varsayaca??z. x 0 ? X (\displaystyle x_(0)\in X) s?ras?nda 1 (\g?r?nt?leme stili 1) noktaya gider x 1 = f (x 0) ? X (\displaystyle x_(1)=f(x_(0))\in X). sonra zamanla 2 (\g?r?nt?leme stili 2) bu nokta noktaya gidecek x 2 = f (x 1) = f (f (x 0))) (\displaystyle x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0)))) vb.

e?er ekran f (\g?r?nt?leme stili f) geri d?n???ml?, bir tan?mlayabilir ters yinelemeler: x - 1 = f - 1 (x 0) (\displaystyle x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) (\displaystyle x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0)))) vb. B?ylece, bir dizi zaman noktas?na sahip bir sistem elde ederiz. T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z) ).

?rnekler

• diferansiyel denklemler sistemi

"harmonik osilat?r" ad? verilen s?rekli zamanl? dinamik bir sistemi tan?mlar. Faz uzay? d?zlemdir (x , v) (\displaystyle (x,v)), nerede v (\g?r?nt?leme stili v)- nokta h?z? x (\g?r?nt?leme stili x). Harmonik osilat?r, ?e?itli sal?n?m s?re?lerini modeller - ?rne?in, bir yay ?zerindeki y?k?n davran???. Faz e?rileri s?f?r merkezli elipslerdir.

Dinamik sistemler teorisinin sorular?

Dinamik bir sistemin bir g?revi oldu?u i?in, y?r?ngelerini a??k bir bi?imde bulmak ve tan?mlamak her zaman m?mk?n de?ildir. Bu nedenle, genellikle sistemin genel davran??? hakk?nda daha basit (ancak daha az anlaml? olmayan) sorular d???n?l?r. ?rne?in:

1. Sistemin kapal? faz e?rileri var m? yani evrim s?recinde ilk haline d?nebilir mi?
2. Sistemin (?zel bir durumu kapal? y?r?ngeler olan) de?i?mez manifoldlar? nas?l d?zenlenir?
3. Sistemin ?ekicisi, yani y?r?ngelerin “?o?unlu?unun” y?neldi?i faz uzay?ndaki k?me nas?l ?al???r?
4. Yak?n noktalardan f?rlat?lan y?r?ngeler nas?l davran?yor - yak?n m? kal?yorlar yoksa zaman i?inde ?nemli bir mesafeye mi gidiyorlar?
Ba?lant?lar

Manifoldlar ve alt k?meleri hakk?nda. S?radan bir diferansiyel denklem, faz uzay?n?n tek parametreli bir difeomorfizm grubunu tan?mlad???ndan, diferansiyel denklemler teorisi ile yak?ndan ili?kilidir.

Bu ?al??ma alan? genellikle basit?e "Dinamik Sistemler", "Sistem Teorisi" veya daha uzun bir s?re "Matematiksel Dinamik Sistemler Teorisi" olarak adland?r?l?r.

Desen: Sistem

Wikimedia Vakf?. 2010 .

• yalan grubu teorisi
• diferansiyel denklemler teorisi

Di?er s?zl?klerde "Dinamik Sistemler Teorisi" nin ne oldu?unu g?r?n:

D?NAM?K S?STEMLER?N METR?K TEOR?S?- ergodik teori ile ayn?... Matematiksel Ansiklopedi

D?NAM?K S?STEMLER?N ENTROP? TEOR?S?- olas?l?k teorisi ve bilgi teorisi ile yak?ndan ilgili ergodik teorinin bir b?l?m?. Bu ba?lant?n?n do?as? genel hatlar?yla a?a??daki gibidir. (Tt) dinamik olsun faz uzay? W ve de?i?mez ?l?? ile sistem (genellikle ?l??lebilir ak?? veya kademeli) Let ... Matematiksel Ansiklopedi

Do?rusal Olmayan Dinamik Sistemler ve Kontrol S?re?leri B?l?m?, VMK MSU- M. V. Lomonosov (NDSiPU VMK MSU) ad?n? ta??yan Moskova Devlet ?niversitesi Hesaplamal? Matematik ve Sibernetik B?l?m?'n?n Do?rusal Olmayan Dinamik Sistemler ve S?re?ler B?l?m?. B?l?m ba?kan? (1989'dan beri) - Lenin ?d?ll?, Devlet (SSCB ve Rusya Federasyonu), ... ... Wikipedia

Felaket teorisi (matematik)- Felaket teorisi, diferansiyel denklemlerin ?atallanma teorisini (dinamik sistemler) ve d?zg?n e?lemelerin tekillikleri teorisini i?eren bir matematik dal?d?r. "Felaket" ve "felaket teorisi" terimleri Ren? Thom taraf?ndan tan?t?ld? ve ... ... Wikipedia

?atallanma teorisi- dinamik sistemler, bir parametredeki (veya birka? parametredeki) de?i?ikli?e ba?l? olarak faz uzay?n?n b?l?nmesinin nitel resmindeki de?i?iklikleri inceleyen bir teoridir. ??indekiler 1 Genel Bak?? 2 Dengenin ?atallanmas? ... Wikipedia

Lineer sabit sistemler teorisi- do?rusal sabit sistemlerin (LSS) davran???n? ve dinamik ?zelliklerini inceleyen dinamik sistemler teorisinin bir b?l?m?. Teknik sistemleri, dijital sinyal i?lemeyi ve di?er m?hendislik alanlar?n? kontrol etme s?recinde yayg?n olarak kullan?l?r. ... ... Wikipedia

Rastgele matrisler teorisi- Rastgele matrisler teorisi, elemanlar? rastgele da??t?lan matris gruplar?n?n ?zelliklerini inceleyen matematiksel istatistiklerin bir dal?d?r. Kural olarak, ??elerin da??t?m yasas? belirlenir. Ayn? zamanda, kendi istatistikleri de incelenir ... ... Wikipedia

d???m teorisi- D???m teorisi, tek boyutlu manifoldlar?n ?? boyutlu ?klid uzay?na veya bir k?reye g?m?lmesinin incelenmesidir. Daha geni? anlamda, d???m teorisinin konusu, k?relerin manifoldlara g?m?lmeleri ve genel olarak manifoldlar?n g?m?lmeleridir. ??indekiler 1 ... ... Vikipedi

Kolmogorov'un teorisi- Arnold Moser'in Kolmogorov teorisi veya yarat?c?lar?n?n ad?n? ta??yan KAM teorisi, A. N. Kolmogorov, V. I. Arnold ve Yu Moser, neredeyse k???k bozulmalar? inceleyen dinamik sistemler teorisinin bir dal? ... ... Wikipedia

Felaket teorisi (anlam ayr?m?)- Felaket teorisi: Felaket teorisi, diferansiyel denklemlerin (dinamik sistemler) ?atallanma teorisini ve d?zg?n e?lemelerin tekillikleri teorisini i?eren bir matematik dal?d?r. Felaket (felaket teorisi) sistemi ... ... Wikipedia

Kitab?n

• Dinamik sistemlerin senkronizasyonu, . Bu kitapta, h?zla geli?en bilim ve teknoloji alan? olan dinamik sistemlerin senkronizasyonu ile ilgili ger?ekleri ve sonu?lar? sistematik olarak sunmaya ?al???lmaktad?r. Kitap ... 735 ruble i?in sat?n al?n
• Dinamik sistemler teorisi, G. A. Stepanyants. Bu kitap, bir dizi se?kin yerli ve yabanc? matematik?inin ?al??malar?yla olu?turulan genel dinamik sistemler teorisinin temellerinin sunumuna ayr?lm??t?r. Bu teoriye a?inal?k ...

Levin'in motivasyon teorisinin yarat?lmas?ndaki ba?lang?? noktas?, bilincin iki ?ekilde belirlendi?i fikriydi: ?a?r???m s?reci ve irade. Onlar? ayr? e?ilimler olarak g?rd?. Levin, yar? ihtiya? olarak adland?rd??? belirleyici e?ilimin ?zel bir durum olmad???n?, aksine herhangi bir davran?? i?in dinamik bir ?n ko?ul oldu?unu g?sterdi. Levin i?in davran???n enerji bile?eni her zaman bir ki?inin niyetlerini ve eylemlerini a??klamada merkezi ba?lant? olmu?tur.

Zihinsel ?al??may? ger?ekle?tiren enerji t?r?ne Levin, zihinsel enerji ad?n? verdi. Psi?ik sistem dengesizli?in neden oldu?u dengeyi yeniden kazanmaya ?al??t???nda serbest b?rak?l?r. ?kincisi, sistemin bir k?sm?ndaki gerilimin di?erlerine g?re artmas?yla ili?kilidir.

Levin'in, yeterince ayr?nt?l? bir genel psikolojik a??klay?c? davran??sal dinamik modeli ?nerdi?i nispeten b?y?k ilk genel teorik ?al??mas?, Ovsyankina, Zeigarnik, Birenbaum, Karsten'in ilk deneylerinin sonu?lar?na dayanan Niyet, ?rade ve ?htiya? kitab?yd?. Bu kitapta, Lewin, neredeyse Z. Freud ile a??k?a tart??madan, insan eylemlerinin motive edici g??lerini inceleme alan?na ilk dikkat eden Freud'un meydan okumas?na akademik psikolojinin ?ok ikna edici bir yan?t?n? sunuyor. ?n?nde g?rmezden gelindi.

Levin'in anahtar kavramlar? kitab?n ba?l???nda yer almaktad?r. Lewin'e g?re, ister ?a?r???m, eylem, d???nme, haf?za olsun, herhangi bir bi?imindeki insan faaliyetinin temeli niyettir - ihtiya?t?r. ?htiya?lar?, uygun bir f?rsat ortaya ??kt???nda eylemde bo?almas? meydana gelen, gerilim yaratan gergin sistemler olarak g?r?r. Lewin, kendi ihtiya? anlay???n? psikolojide halihaz?rda yerle?ik olan ve temel olarak belirli i?sel durumlarla ili?kili olan biyolojik, do?u?tan gelen ihtiya?larla ili?kili olandan ay?rt etmek i?in bunlar? "yar? ihtiya?lar" olarak adland?r?r. ?stemli s?re?ler kavram?na, eylemin ba?lamas?n?n otomatik olarak ger?ekle?mesi gereken gelecekteki bir alan?n keyfi in?as? gibi bir ?zelli?e dikkat ?ekerek, de?i?en derecelerde keyfilik i?eren bir dizi kas?tl? s?reci i?erir. Lewin'in modelinde ?zel bir yer "Aufforderungscharakter" kavram? taraf?ndan i?gal edilir, bu terim bir te?vik (nenin bir niteleyicisinin oldu?u yerde) veya bir te?vik (b?yle bir spesifikasyonun olmad??? yerde) olarak ?evrilir. kabul edilen niyetlerle ba?lant?l? fiili durum ve belirli ?eylerin veya olaylar?n bir te?vik edinmesiyle kendini g?sterir, bu temas belirli eylemlere e?ilimi gerektirir. Levin, buna ek olarak, kendimizle ilgili belirli bir faaliyette bulunmam?z? talep ediyor gibi g?r?nd?klerini fark eder: “G?zel hava ve belirli bir manzara bizi y?r?y??e ?a??r?yor, merdivenlerin basamaklar? ikiliyi te?vik ediyor. ya??ndaki ?ocuk yukar? ve a?a?? gitmek; kap?lar? a??n ve kapat?n. "?nd?kleme, yo?unluk ve i?aret (?ekici veya itici) olarak de?i?ebilir, ancak Levin'e g?re bu ana ?ey de?ildir. ?ok daha ?nemli olan, nesnelerin belirli, az ?ok dar tan?mlanm?? eylemlere neden olmas?d?r, Bu, kendimizi yaln?zca olumlu uyaranlarla s?n?rlasak bile, son derece farkl? olabilir. Levin taraf?ndan al?nt?lanan olgular, nesnelerin motivasyonundaki de?i?iklikler ile ?znenin ihtiya?lar? ve yar?-ihtiya?lar?n?n dinamikleri aras?nda do?rudan bir ba?lant?ya tan?kl?k eder. onun hayat hedefleri.

Lewin, duruma ba?l? olarak ve ayr?ca gerekli eylemlerin uygulanmas?n?n bir sonucu olarak de?i?en motivasyon fenomenolojisinin zengin bir tan?m?n? verir: doygunluk, nesne ve eylem taraf?ndan motivasyon kayb?na yol a?ar ve tokluk ifade edilir. olumlu motivasyondan olumsuza bir de?i?iklik; Ayn? zamanda, yabanc? ?eyler ve meslekler, ?zellikle orijinalin biraz tersi olanlar, olumlu bir te?vik kazan?r. Eylemler ve unsurlar? da otomasyonun bir sonucu olarak do?al motivasyonlar?n? kaybedebilir. Ve tam tersi: ihtiya?lar?n yo?unlu?unun artmas?yla, yaln?zca onlara yan?t veren nesnelerin motivasyonu artmaz, ayn? zamanda bu t?r nesnelerin aral??? da geni?ler (a? bir ki?i daha az se?ici olur).

Levin, bir ki?inin karma??k bir enerji sistemi oldu?una inan?yordu ve psikolojik i?i yapan enerji t?r?ne psi?ik enerji denir. Bir ki?i bir dengesizlik durumunda kald?ktan sonra dengesini yeniden kazanmaya ?al??t???nda psi?ik enerji serbest b?rak?l?r. Dengesizlik, harici uyar?m veya dahili de?i?ikliklerin bir sonucu olarak sistemin bir par?as?ndaki gerilimin di?er par?alara g?re artmas?yla ?retilir. Ki?ilik, kendisini ?evreleyen, her biri belirli bir y?ke (de?erlik) sahip olan nesnelerin psikolojik alan?nda ya?ar ve geli?ir. De?erlik, psikolojik ?evre b?lgesinin kavramsal bir ?zelli?idir, bir ki?i i?in b?lgenin de?eridir. Deneyleri, her insan i?in bu de?erli?in kendi i?aretine sahip oldu?unu kan?tlad?, ancak ayn? zamanda herkes i?in ayn? ?ekici veya itici g?ce sahip nesneler var. Bir ki?iyi etkileyen nesneler, Levin'in bir ki?ide gerginli?e neden olan bir t?r enerji y?k? olarak g?rd??? ihtiya?lara neden olur. Bu durumda, bir ki?i bo?alma e?ilimindedir, yani. kendi ihtiya?lar?n?z? kar??lamak i?in. Lewin, biyolojik ve sosyal (yar? ihtiya?lar) olmak ?zere iki t?r ihtiyac? ay?rt etti. Levin'in ?e?itli ihtiya?lar?n etkisi alt?nda psikolojik alandaki insan davran???n? tan?mlamak i?in kulland??? en ?nl? denklemlerinden biri, davran???n hem ki?ili?in hem de psikolojik alan?n bir i?levi oldu?unu g?stermektedir.

Dinamikleri a??klamak i?in Levin baz? kavramlar kullan?r. Gerilim, di?er i?sel b?lgelere g?re i?sel bir b?lgenin durumudur. V?cut, bu b?lgenin gerilimini di?erlerine k?yasla e?itlemeye ?al???r. Gerginli?i e?itlemenin psikolojik yolu s?re?tir - d???nme, ezberleme vb. ?htiya? - i?sel b?lgede gerginlikte bir art?? veya enerjinin serbest b?rak?lmas?. Ki?ilik yap?s?ndaki ihtiya?lar izole de?ildir, belirli bir hiyerar?i i?inde birbirleriyle ba?lant?l?d?r. ?htiya?lar, fizyolojik durumlara (ger?ek ihtiya?lar) ve niyetlere veya yar? ihtiya?lara b?l?n?r. ?htiya? kavram?, bireyin i?sel durumunu, ihtiya? durumunu yans?t?r ve yar? ihtiya? kavram?, ihtiyac? kar??lamaya y?nelik belirli bir niyete e?de?erdir. "Bu demektir ki, kar??l?k gelen eylemi yapmak i?in do?al bir ihtiya? olmad???nda veya hatta z?t nitelikte do?al bir ihtiya? oldu?unda bile niyete ba?vurmak gerekir."

Farkl?la?ma, "alan" teorisinin anahtar kavramlar?ndan biridir. ve ya?am alan?n?n t?m y?nleri i?in ge?erlidir. ?rne?in, Levin'e g?re bir ?ocuk, ?evrenin etkisine kar?? daha b?y?k bir duyarl?l?k ve buna ba?l? olarak, i? alanda, "ger?eklik-ger?eksizlik" boyutunda ve zamansal alanda s?n?rlar?n daha b?y?k bir zay?fl??? ile karakterize edilir. Artan organizasyon ve ki?ilik davran?? teorisi "alan" entegrasyonu. ?rg?tsel ba?l?l?k olarak tan?mlar. Olgunlu?un geli?iyle hem ki?ili?in kendisinde hem de psikolojik ortamda b?y?k bir farkl?la?ma ortaya ??kar, s?n?rlar?n g?c? artar ve gergin sistemler aras?ndaki hiyerar?ik ve se?ici ili?kiler sistemi daha karma??k hale gelir.

T?m zihinsel s?re?lerin nihai amac?, bir ki?inin dengesini yeniden kurma arzusudur. Bu s?re?, psikolojik ortam?n gerilimi azaltabilecek belirli de?erlik nesneleri aranarak ger?ekle?tirilebilir.

Levin'in yakla??m? iki nokta ile ay?rt edildi. ?lk olarak, g?d? enerjisinin beden i?inde kapal? oldu?u fikrinden "organizma-?evre" sistemi fikrine ge?ti. Birey ve ?evresi b?l?nmez dinamik bir b?t?n olarak ortaya ??km??t?r. ?kincisi, motivasyonun biyolojik olarak ?nceden belirlenmi? bir sabit olarak yorumlanmas?n?n aksine, Lewin motivasyonel gerilimin hem bireyin kendisi hem de di?er insanlar (?rne?in, bireye bir g?revi tamamlamas?n? teklif eden bir deneyci) taraf?ndan yarat?labilece?ine inan?yordu. B?ylece, motivasyonun kendisi psikolojik bir durum olarak kabul edildi. V?cudun motivasyonel potansiyelini t?ketti?i tatmin edilerek art?k biyolojik ihtiya?lara indirgenmemi?tir.

Levin, motivasyon fikrini ?zne ve nesne aras?ndaki ayr?lmaz ba?lant?dan t?retmi?tir. Ayn? zamanda, i? ve d?? aras?ndaki kar??tl?k ortadan kald?r?ld?, ??nk? bunlar?n tek bir uzay?n farkl? kutuplar? olarak ilan edildi - Levin'e g?re alan. Gestalt psikologlar? i?in alan, do?rudan bilince verilmi? olarak alg?lanan aland?r. Lewin i?in alan, davran???n ger?ekle?ti?i yap?d?r. Bireyin motivasyonel ?zlemlerini ve ayn? zamanda bu ?zlemlerin nesnelerini kapsar. Levin, davran??? birey ve ?evre aras?ndaki etkile?im ger?e?inden t?retmi?tir. Nesneler olarak nesnelerle de?il, yaln?zca bunlar?n bireyin ihtiya?lar?yla ne ilgisi oldu?uyla ilgileniyordu. Motivasyonel de?i?iklikler, ki?ili?in i? yap?lar?ndan de?il, alan?n kendi ?zelliklerinden, b?t?n?n dinamiklerinden t?retilmi?tir.

Bu sonu?lar Levin'in konumunu Adler ve h?manist psikolojinin fikirlerine yakla?t?r?r: ki?ili?in b?t?nl???n? koruman?n ?nemi, Benli?i, bir ki?inin ki?ili?inin yap?s?n? ger?ekle?tirme ihtiyac?. Farkl? okullardan ve y?nlerden bilim adamlar?n?n geldi?i bu kavramlar?n benzerli?i, bilin?alt?n?n davran?? ?zerindeki etkisini fark eden insanl???n bir ?izgi ?izme ihtiyac? fikrine geldi?i bu sorunun alaka d?zeyi hakk?nda konu?uyor. bir ki?i ve di?er canl?lar aras?nda, yaln?zca psikanalizin m?kemmel bir ?ekilde a??klad??? sald?rganl???n?n, ac?mas?zl???n?n, ?ehvetinin nedenlerini de?il, ayn? zamanda ahlak?n?n, nezaketinin, k?lt?r?n?n temellerini anlamak i?in. Yeni d?nyada, insan?n ?nemsizli?ini ve k?r?lganl???n? g?steren sava?tan sonra, insanlar?n ortaya ??kan tipiklik ve de?i?ebilirlik duygusunun ?stesinden gelme, insanlar?n her biri birbirini ta??yan ayr?lmaz, benzersiz sistemler oldu?unu kan?tlama arzusu b?y?k ?nem ta??yordu. kendi i? d?nyas?, di?er insanlar?n d?nyas?na benzemez.

Sistem kavramlar?, sistemin temel ?zellikleri.

Sistem - etkile?im halinde olan ve belirli bir yap? ile birbirine ba?lanan bir dizi unsurdur.

Herhangi bir sistemin temel blo?u, kurucu unsurlar?d?r, her eleman, i?inde olabilece?i bir dizi durumla karakterize edilir.

Sistem eleman?n?n ?al??ma ?emas?:

Bir?ok sistem geri besleme prensibi ile karakterize edilir - kontrol? d?zeltmek i?in ??k?? sinyali kullan?labilir.

S(t), eleman?n t an?ndaki durumudur.

U(t) – t an?ndaki eleman kontrol?.

a(t), eleman?n t an?ndaki ortam?d?r.

E(t) - eleman?n t an?nda rastgele etkileri.

Y(t), eleman?n t an?ndaki ??k?? sinyalidir.

Genel durumda, bir sistem eleman?n?n i?leyi?inin a??klamas?, a?a??daki bi?imde bir diferansiyel veya fark denklemleri sistemi kullan?larak ger?ekle?tirilir:

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t),E(t-1),…)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

Sistem yap?s? ?rnekleri:

do?rusal (seri):

hiyerar?ik (a?a? benzeri):

radyal (y?ld?z ?eklinde):

h?cresel veya matris:

ba?l? ?arp?n - keyfi bir yap? ile.

Dinamik sistemlerin analizinde a?a??daki problemlerin ??z?m?n? ele al?yoruz:

G?zlemin g?revi, sistemin gelecekteki ??k?? de?erlerine (davran??lar? hakk?nda) g?re S(t) zaman?ndaki durumunu belirlemektir.

S(t) bilerek bulun
ayr?k zamanl? bir sistem i?in.

s?rekli zamanl? sistemler i?in.

Tan?mlama g?revi, ge?mi?teki ??k?? de?erlerinin davran???na ili?kin verilere g?re mevcut durumu S(t) belirlemektir.

3. Tahmin g?revleri - mevcut ve mevcut duruma g?re gelecekteki durumlar?n belirlenmesi

ge?mi? de?erler.

S(t+1), S(t+2)'yi bulun,… bilerek

Kontrol arama problemi, sistemi S(t) = X durumundan S durumuna getiren U(t), U(t+1),…, U(S), S > t kontrol dizisini bulmakt?r. (S) = Y.

Maksimum kontrol?n sentezi problemi, problem 4'? ??zen U*(t) kontrol eylemlerinin belirli bir optimal dizisinden ve maksimum ama? fonksiyonu veya fonksiyonelinden olu?ur:

F(S(t)) t = 0,1,2,…

Sistem t?rleri:

Rastgele fakt?rlerin varl??? ile:

deterministik

Stokastik - rastgele fakt?rlerin etkisi g?z ard? edilemez.

2. Zaman fakt?r?n? dikkate alarak:

S?rekli zamanl? sistemler

Ayr?k zaman sistemleri

3. Ge?mi? d?nemlerden etkilenen:

Markov sistemleri - G?rev 1 ve 2'yi ??zmek i?in, yaln?zca hemen ?nceki veya sonraki d?nem i?in bilgi gereklidir. Markov sistemleri i?in denklem (1) ?u ?ekildedir: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

Markovyen olmayan.

Sistemlerin baz? genel ?zellikleri:

nedensellik, gelecekte baz? sonu?lar?n sonu?lar?n? tahmin etme yetene?idir. B?l?m. durum: sistemin ?nceden belirlenmesi, ?z?nde, sistemin gelecekteki t?m evriminin ge?mi? g?zlemler temelinde hesaplanabilece?i bu t?r durumlar anlam?na gelir.

kontrol edilebilirlik - U giri? eyleminin uygun bir se?imiyle herhangi bir Y giri? sinyalinin elde edilebilmesi ger?e?inden olu?ur.

kararl?l?k - bir sistem, ?al??ma ko?ullar?nda yeterince k???k de?i?ikliklerle sistemin davran??? ?nemli ?l??de de?i?mezse kararl?d?r.

atalet - kontrol ve (veya) d?? ortamdaki bir de?i?ikli?e yan?t olarak (gecikme) sistemde gecikmelerin ortaya ??kmas?.

uyarlanabilirlik - bir sistemin d?? ortamdaki bir de?i?ikli?e yan?t olarak davran???n? ve (veya) yap?s?n? de?i?tirme yetene?i.

Ayr?k zamanl? deterministik dinamik sistemler.

Ekonomideki bir?ok uygulama, zaman i?inde sistemlerin modellenmesini gerektirir.

Sistemin t an?ndaki durumu, X(t) boyutlu bir vekt?r ile tan?mlan?r.

X(t) = ….. , X(t) R n (R, t?m ger?ek say?lar?n k?mesidir)

t

Sistemin zaman i?indeki geli?imi, fonksiyon ile tan?mlan?r.

G (X 0 , t, ) , nerede

X 0 – sistemin ilk durumu;

t zamand?r;

- parametre vekt?r?.

g(*) i?levine ge?i? i?levi de denir.

g(*) i?levi, mevcut durumu zaman?n, ba?lang?? ko?ullar?n?n ve parametrelerin bir i?levi olarak tan?mlayan bir kurald?r.

?rne?in: X t = X 0 (1+ ) t = g (X 0 , t, )

g(*) i?levi genellikle bilinmemektedir. Genellikle bir fark denklem sisteminin ??z?m? olarak ?rt?k olarak belirtilir.

Bir fark denklemi veya denklem sistemi a?a??daki bi?imde bir denklemdir: F (t, X t , X t +1 , …, X t + m , ) = 0 (1), nerede

X t, sistemin t an?ndaki durumudur.

Denklem (1)'in ??z?m? bir vekt?r dizisidir

X t = X 0 , X 1 ,…,

Genellikle denklem (1)'in X t + m'ye g?re analitik olarak ??z?lebilece?i ve s?zde denklemler ?eklinde yeniden yaz?labilece?i varsay?l?r - durumlar:

X t+m = f (t, X t , X t+1 , …,X t+m-1 , )(2)

?rne?in:

Xt +2 = Xt + Xt +1 /2 + t

Herhangi bir sistem her zaman (2) bi?iminde temsil edilebilir mi?

Fark denklemi (2) F(*) durum de?i?kenlerinin lineer bir fonksiyonu ise lineer olarak adland?r?l?r. )

(1) ve (2) numaral? denklemlerde, m de?erine denir sistem s?ras? ciddi bir s?n?rlama de?ildir, ??nk? sistemler ek de?i?kenler ve denklemler ekleyerek daha y?ksek d?zeydedir.

?rnek: X t \u003d f (X t -1, Y t -1) - 2. derece sistem

Y t \u003d X t -1'i tan?t?yoruz

X t \u003d f (X t -1, Y t -1)

Bu nedenle, yaln?zca a?a??daki formun 1. mertebesindeki sistemleri ele alaca??z:

X t -1 = f(t, X t , ) (3)

Denklem (3), t ayr? bir arg?man olarak dahil edilmediyse ?zerk olarak adland?r?l?r.

?rnek:

??letmedeki sabit varl?klar?n dinamiklerini g?z ?n?nde bulundurun

K t, i?letmenin t d?nemindeki duran varl?klar?n?n maliyetidir.

- amortisman oran?, yani y?l boyunca i?letmeden ?ekilen sabit varl?klar?n y?zdesi.

I t = sabit varl?klara yap?lan yat?r?m.

K t +1 = (1 - )K t + I t birinci mertebeden bir denklemdir, lineer, e?er ben t = I ise, o zaman

K t +1 = (1 - )K t + I ?zerk bir denklemdir

E?er I t = I(t) otonom de?ilse (t'ye ba?l?d?r)

Denklem (3)'?n ??z?m?, t?m olas? durumlar i?in denklem (3)'? sa?layan bir durum vekt?rleri (X t ) dizisidir. Bu diziye sistemin y?r?ngesi denir. Denklem (3), sistemin durumunun d?nemden d?neme nas?l de?i?ti?ini g?sterir ve sistemin y?r?ngesi, evrimini ba?lang?? ko?ullar?n?n ve ?evrenin durumunun bir fonksiyonu olarak verir. .

X 0 ba?lang?? durumu biliniyorsa, (3) ba??nt?s?n? yinelemeli olarak uygulayarak bir dizi ??z?m elde etmek kolayd?r, ge?i? fonksiyonunu a?a??daki gibi elde ederiz:

X t +1 = f (t, X t , )

X 1 \u003d f (0, X 0, ) = g (0, X 0 , )

X 2 \u003d f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )

X t+1 = f (t, X t , ) = f (t, g, (t – 1, X 0 , ),) = g (t, X 0 , )

f (*) tek de?erli, her yerde tan?mlanm?? bir fonksiyon ise, o zaman herhangi bir X 0 i?in denklem (3)'?n benzersiz bir ??z?m? vard?r.

Fonksiyon f (t, X t , ) = / X t her yerde tan?ml? de?il.

f(*) bir s?rekli diferansiyel fonksiyon ise, o zaman ??z?m ?una g?re de d?zg?n olacakt?r. ve X0

Ortaya ??kan ??z?m, X 0 ba?lang?? durumuna ba?l?d?r.

S?n?r ko?uluyla ilgili problem, denklem (3) ve form?lde belirtilen s?n?r ko?ulundan olu?ur:

X s = X s (4)

(4) - S = 0 denkleminde ise, buna ba?lang?? durumu denir.

Denklem (3)'?n bir?ok ??z?m? vard?r ve denklem (3) + (4) - sistem tek ??z?md?r, bu nedenle, fark denkleminin (3) genel ve ?zel ??z?mleri vard?r:

X t g = X(t, c, ) = (X t (X t +1 = f (t, X t , ))) , burada e parametresi belirli bir ??z?m? indeksler.

X t - t an?ndaki katk? miktar?

Z - % i oran?

X t +1 = X t (1+ z) ; X 0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 \u003d X 1 (1 + z) \u003d X 0 (1 + z) 2 \u003d g (X 0, t, z) burada t \u003d 2

E?er sisteme genel bir ??z?m bulabilirseniz (3) . zamanla sistemin davran??? hakk?nda tam bilgiye sahip olaca??z, sistemin de?i?en parametrelere nas?l tepki verdi?ini belirlemek kolay olacakt?r.

Ne yaz?k ki, genel ??z?m yaln?zca l. dereceden belirli s?n?flar i?in mevcuttur (?zellikle do?rusal sistemler i?in)

otonom sistemler

Otonom sistemlerin davran???, fark denklemi ile verilir.

X t +1 \u003d f (X t, ) (1)

Otonom sistemler, sistem yap?s?n?n zaman i?inde ayn? kald??? durumlar? modeller. Bu, analiz i?in bir grafik y?ntemi kullanmay? m?mk?n k?lar.

X t \u003d 1 \u003d f (t, X t, )

X t \u003d X t +1 - X t \u003d f (t, X t, ) - X t = d (t, X t , ) (2)

d(*) fonksiyonu sistemin durumunun periyottan periyoda ne kadar de?i?ece?ini g?sterir. Her X t noktas?nda, bir vekt?r ili?kilendirilebilir X t kar??l?k gelen denklemde (2) Bu ba?lamda d (*) i?levine denir Vekt?r alan?

X 0 /t = 0

Otonom sistemler i?in
ve

Otonom sistemlerde, X 0 noktas?na ula?an t?m sistemler daha sonra ayn? y?r?ngeyi takip eder. Otonom olmayan sistemlerde davran??, sistemin X 0 noktas?na ne zaman geldi?ine de ba?l?d?r.

Otonom sistemler i?in X 0 ba?lang?? ko?ulu alt?nda, denklem (1)'i uygular?z:

art arda iki kez uygulan?r.

Yukar?daki sistemde, f t, f() i?levinin t kez arg?man?na yinelemeli olarak uygulanmas?n?n sonucu anlam?na gelir. f t fonksiyonu, sistemin ba?lang?? durumundan itibaren t periyodunda nereye gidece?ini g?sterir.

X t - sistemin t zaman periyodu boyunca X 0 noktas?ndan hareket edece?i yer.

f t i?levine bazen sistemin ak??? denir.

istikrarl? devletler Periyodik dengeler. istikrar.

Zamanla, sistem kararl? bir duruma ge?er. Bu nedenle, sistemin asimptotik davran???yla t -> ? olarak ilgilenece?iz.

Sistemi d???n?n

Bu nedenle, e?er
var, o zaman
.

Denklemi sa?layan X noktas?
e?lemenin sabit noktas? olarak adland?r?l?r
.

Nokta dinamik sistemler ba?lam?nda kararl? bir durum veya dura?an bir durum olarak adland?r?l?r.

Sabit noktalar, dinamik sistemlerin uzun vadeli davran??lar?n? incelemek i?in yayg?n olarak kullan?lmaktad?r.

e?er
, sonra 1 aksi halde 0

Lyapunov'un kararl?l?k teorisi

Nokta herhangi bir say? i?in Lyapunov kararl? denir
b?yle bir say? var ,
ko?ulun oldu?u
hepsi i?in
.

d?zlemdeki vekt?r?n uzunlu?udur.

- Denge durumu.

X vekt?r?n?n normudur.

Nokta sistem bir kez noktan?n mahallesine girdi?inde Lyapunov kararl? olacak ve civarda kalacak .

Nokta a?a??daki durumlarda Lyapunov anlam?nda asimptotik olarak kararl? olarak adland?r?l?r:

Asimptotik olarak kararl? sistemler i?in, zamanla sistem denge durumuna daha da yakla??r.

Sistem ??yle davran?r:

– sistem ak???

– k ad?mdan sonra sistem nereye gidecek

Dinamik bir sistemin periyodik ??z?m?
?eklinde bir ??z?m denir
, burada p sistemin periyodu veya y?r?ngenin periyodudur.

B?ylece, periyodik ??z?m, haritalaman?n sabit bir noktas?d?r.
.

sabit nokta

Sabit bir nokta olup olmad???n? kontrol edin
:

herhangi bir nokta sabittir.

Skaler Lineer Sistemler

Skaler lineer sistemler ?u ?ekildedir:
(1)

t an?nda verilen denklemdir.

(1) denkleminde ise
, sonra
, o zaman homojen denir.

Homojen lineer sistemler

Skaler sistemler i?in, sistemin davran???n? bir faz diyagram? kullanarak analiz etmek uygundur. Faz diyagram? bir ba??ml?l?k grafi?idir

Durum 1.0

Analitik olarak kararl?d?r

-do?rusal, a=1 ise, 45'in alt?nda 0 - e?im a??s?.

0 i?in

Durum 2. -1

s?n?ml? titre?imler

Durum 3. a>1

Durum 4. bir<-1

Durum 5. a = 1

Durum 6. a = 0

Durum 7. a = -1 x t+1 = -x t

E?er bir
, sonra

, sonra

Homojen lineer sistemlerin genel ??z?m? ?u ?ekildedir:

saat
,
,

Birinci dereceden homojen olmayan lineer sistemler

(1)

-kontrol

Homojen olmayan sistemlerin analizinde "s?perpozisyon" ilkesi ?nemli bir rol oynar.

Denklem (1)'in genel ??z?m?n?n bir denklem ?eklinde yaz?labilmesi ger?e?inde yatmaktad?r:

(2)

nerede homojen denklemin (1) genel ??z?m?d?r:
ve tamamlay?c? fonksiyon olarak adland?r?l?r.

homojen olmayan denklemin (1) herhangi bir ?zel ??z?m?d?r.

?zerk denklem (1)

1.

2.

Kan?t:

E?er bir (1) denkleminin ??z?m?, o zaman
.

E?er bir (1) denkleminin ba?ka bir ??z?m?, o zaman

i?levi d???n?n
ve kontrol edin (1) denkleminin ??z?m?.

2. [Gereklilik] Bir ??z?mle ba?larsak, ve ona ekle
, sonra denklemin (1) ??z?m?n? elde ederiz. Denklem (1)'in t?m ??z?mlerini bu ?ekilde elde edip edemeyece?imiz sorusu ortaya ??k?yor. Bunun ger?ekten b?yle oldu?unu kan?tlayal?m:

?ki ??z?m?m?z olsun (1), ve :

belirtmek

- homojen,
zt =ca t

-=ca t
=+ca t

Otonom Hat Sistemleri

X t +1 =balta t + U (3)

=+ (2)

= kedi

= bir + U
=

=+ kedi

E?er bir

E?er bir

ne zaman
zamanla, sistem duruma ula??r ->ve U denkleminin uygun se?imi ile herhangi bir duruma ula?abiliriz. Sistem (3) daha sonra kontroll? olarak adland?r?l?r.

E?er bir
, o zaman zaman i?inde sistem denklemden ba??ms?z olarak s?n?rs?z de?erler alacakt?r ve bu nedenle kontrol edilemez olacakt?r.

Genel ??z?m (3) ?u ?ekildedir:

(4)

x s =x s s?n?r ko?ulunu g?z ?n?nde bulundurun:

(5)

Otonom Olmayan Lineer Sistemler

X t +1 =balta t + U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2 +U t-2)+ aU t-1 + U t = bir 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

E?er bir
, sonra

E?er bir
, sonra

U t dizisinin s?n?rl? oldu?unu varsayal?m, yani. U t <= herhangi bir t i?in

Sonra - s?n?r de?eri.

L?NEER S?STEMLER TEOR?S?N?N EKONOM?K UYGULAMALARI

Piyasa dengesinin ?r?mcek a?? modeli.

Modelin ana varsay?mlar?:

talep e?risinin do?rusal do?as?

do?rusal arz e?risi

arz ve talep e?risinin e?itli?i

nerede d 0 , d 1 >0

C?mle:

, burada S 1 >0, S 0 <=0 (??nk? 0 fiyat?ndan kimse bir ?ey salmaz).

Denge:

d 0 -d 1 P t \u003d S 0 + S 1 P t-1

d 1 P t \u003d d 0 -S 0 -S 1 P t-1 |: d 1

Pt =
(*)

Fiyatlar?n zaman i?inde denge fiyat?na yak?nsamas? i?in oran?n veya S1 d1
sistemde farkl? sal?n?mlar olacakt?r.

grafikteki e?ri

arz, talep e?risinden daha diktir.

d 1 p * \u003d d 0 -S 0 -S 1 p *

Daha ak?lc? bir davran?? i?in, ?reticilerin kararlar?nda sadece mevcut de?il, ayn? zamanda gelecekteki piyasa ko?ullar?n? da dikkate almalar? gerekir. Bu nedenle, piyasan?n normal i?leyi?i i?in ekonomik birimlerin gelece?e y?nelik bir beklenti olu?turma (tahminlerde bulunma) yetene?i ?nemlidir.

Finansal piyasalarda fiyat dinamikleri.

S - emlak teklifi

D - gayrimenkul talebi

P t, hisselerin t an?ndaki de?eridir.

d t, t zaman?nda muhaliflerdir.

r, mevduat hesaplar?ndaki faiz oran?d?r.

- t+1 zaman?nda hisselerin beklenen de?eri.

Arbitraj, bir yat?r?mc?n?n bir varl??? d???k fiyattan sat?n alarak ve hemen daha y?ksek bir fiyattan yeniden satarak risk almadan an?nda k?r elde etmesini sa?layan bir durumdur.

Arbitraj f?rsatlar?ndan yoksun bir piyasan?n etkin oldu?u s?ylenir.

Hisselerin de?eri i?in bir denge oran? elde etmek i?in arbitraj olmamas? ilkesini kullanal?m.

(1)

Kharkov gayrimenkul ?rne?inde:

P t \u003d 30 bin dolar.

Dt =2 bin dolar y?ll?k - kiralama ?creti

- ?n?m?zdeki d?nemde daire i?in beklenen fiyat.

\u003d 33-2 \u003d 31 bin dolar.

BEKLENT? MEKAN?ZMALARI

1. Uyarlanabilir beklentiler modeli

=
, burada 0<=<=1

0
=

1
=

- ?stel yumu?atma y?ntemi (2)

(1)

(2)

Herhangi bir t i?in d t =d=const oldu?unu varsayal?m

0

Ortak karar:
, burada Р 0 hisselerin ba?lang?? de?eridir.

a<1,
bir t P 0
0

hisselerin temel de?eri.

a t P 0 – spek?latif bile?en

2. Rasyonel beklentiler modeli

Dezavantaj?, piyasa kat?l?mc?lar?n?n d???k ??renme oran?d?r. Bu, interteporal arbitraj olas?l???n? a?ar, yani. sonraki d?nemlerde hisse senedi fiyatlar?nda ?ng?r?len de?i?ikliklere ili?kin spek?lasyonlar.

Bu mant?ksal ?eli?kiyi ortadan kald?rmak i?in 1970'lerde rasyonel beklentiler modeli (R. Lucas) ?nerildi.

Modelin ?z?, ortalama olarak piyasan?n varl?klar?n fiyat?n? tahmin ederken sistematik olarak hata yapamamas?d?r. Modelimize uyguland???nda bu ?u anlama gelir: yat?r?mc?lar hisselerin de?erini tahmin ederken sistematik olarak yan?lmamal?d?r.

- tarafs?z tahmin, yani
- Pt+1'in tarafs?z bir tahminidir; veya
=P t +1 +E t

E t – tahmin hatas?

Tahmin hatas?n?n 0 oldu?u rasyonel beklentiler modelinin (tam ?ng?r?l? model) u? bir versiyonunu ele alal?m.

Tam ?ng?r? modelinden, varsayal?m ki E t = 0, yani.
=Pt+1

Tam ?ng?r?l? bir modelde hisse senedi fiyatlar?n?n dinamiklerini d???n?n.

Tahkim Durumu:

(1+r) Pt =dt

(1+r) P t =dtP t+1

=Pt+1

Pt+1 =(1+r) Pt-d (3)

Sabit bir noktadan ba?lamad?k?a (1+r) > oldu?undan, P t karars?zd?r, P t ->?:

P t = , o zaman P t + k =

d=0, Pt +1 =(1+r) Pt

Tam ?ng?r? modelinde, yat?r?mc? beklentileri, kendi kendini ifade eden bir kehanet rol? oynar; varl?k fiyatlar?, yat?r?mc?lar y?kselece?ine inan?yor. Dolay?s?yla b?yle bir modelde, hisse fiyat?n?n spek?latif bile?eni, temel de?erinin ?zerinde bask?nd?r.

D?NAM?K S?STEM, herhangi bir zamanda durumu benzersiz bir ?ekilde ilk durumu taraf?ndan belirlenen ger?ek (fiziksel, biyolojik, ekonomik vb.) bir sistemin evriminin matematiksel bir modeli.

Ge?mi? referans?. Dinamik sistemler teorisinin kurucular? A. Poincare ve A. M. Lyapunov'dur. 19. y?zy?l?n sonunda - 20. y?zy?l?n ba??nda, davran??? bilmenin gerekli oldu?u bir s?n?f problemi (g?k mekani?inde, d?nen bir s?v?n?n denge fig?rleri teorisinde vb.) ke?fettiler ve incelediler. bir adi diferansiyel denklemler sisteminin (ODE) birden fazla x(t) bireysel ??z?m?n?n, ancak ger?ek (?rne?in fiziksel) bir sistemin ?e?itli ba?lang?? durumlar?na tekab?l eden t?m (veya ?ok say?da) ??z?m?n. Bu durumda, x(t), t?m olas? durumlar?n (yani x vekt?rlerinin de?erlerinin) uzay?nda bir e?ri olarak temsil edilebilir ve bu e?rinin geometrik ?zellikleri, ?zelliklerini anlamak ve tan?mlamak i?in kullan?labilir. ??z?m x(t). B?yle bir e?riye faz y?r?ngesi denir.

20. y?zy?l?n ilk ??te birinde, bir dizi matematik?inin ?al??malar?nda dinamik bir sistem teorisi geli?tirildi. Dinamik bir sistem teorisinin do?ada ve laboratuvarda do?rusal olmayan s?re?leri incelemek i?in etkili oldu?unu ?nemli ?rneklerle fark eden ve g?steren A. A. Andronov'un ?al??malar? b?y?k ?nem ta??yordu. Bu zamana kadar, lineer matematiksel ayg?tlar genellikle ger?ek s?re?leri tan?mlayamad???ndan, lineer olmayan problemleri inceleme ihtiyac? netle?ti. Andronov, Poincar? limit d?ng?lerinin yard?m?yla kendi kendine sal?n?mlar? tan?mlad? ve yeni bir bilimin ana hatlar?n? ?izdi - do?rusal olmayan dinamikler. L. S. Pontryagin ile birlikte, parametrelerdeki k???k de?i?ikliklere duyars?z kaba bir sistem kavram?n? tan?tt?. B?yle bir sistem, parametrelerdeki k???k de?i?ikliklerle ?zelliklerini b?y?k ?l??de de?i?tirmez, yani parametreleri de?i?tirmeden ?nceki ve sonraki durumlar? topolojik olarak ayn?d?r (e?de?erdir). Kaba sistemler, t?m dinamik sistemlerin i?levsel uzay?ndaki a??k alanlar? doldurur. Bu b?lgelerin d???nda ve ?zellikle s?n?rlar?nda kaba olmayan sistemler bulunur. S?n?rdan ge?i?e bir ?atallanma e?lik ediyor - dinamik sistemin yap?s?nda bir de?i?iklik. Bir parametreye ba?l? olan bir dinamik sistem ailesinde, dinamik sistemin yap?s?n? parametrenin ba?lang?? de?erinde ve t?m ?atallanmalarda bilerek, parametrenin sonlu de?erindeki yap?s? a??k bir ?ekilde tahmin edilebilir.

20. y?zy?l?n ikinci yar?s?nda, D. V. Anosov, V. I. Arnold, R. Bowen, R. Manet, Ya. G. Sinai, S. Smale, S. Hayashi, L. P. Shilnikov ve di?erleri Andronov'un fikirlerini geli?tirdiler ve derin ve tutarl? bir fikir yaratt?lar. deterministik s?re?lerin do?as? hakk?nda do?ru fikirler veren ve ger?ek sistem modellerini ke?fetmenizi sa?layan dinamik bir sistem teorisi.

Dinamik bir sistemin ?zellikleri. Dinamik bir sistemin tan?m?, t zaman?na ba?l? olarak durumlar?n uzay?n? (x) ve f t evrim operat?r?n? (yasas?n?) i?erir, buna g?re sistem x 0 ilk durumundan t zaman?nda x t durumuna gelir. Dinamik bir sistemin durumu, yorumlar?n?n do?all???, tan?mlaman?n basitli?i, simetri vb. nedenlerle se?ilen bir dizi x de?i?keni ile tan?mlan?r. Dinamik bir sistemin durumlar? (fazlar?), her birinin i?inde bulundu?u bir faz uzay? olu?turur. durum bir noktaya kar??l?k gelir ve evrim, bir noktan?n bir faz y?r?ngesi boyunca hareketi ile temsil edilir - faz uzay?na g?m?l? bir e?ri. ?rne?in, ?ekici kuvvetlerin etkisi alt?ndaki n tane par?ac???n hareketi, faz uzay?nda bu par?ac?klar?n t?m koordinat ve h?z k?meleri ile tan?mlan?r ve evrim operat?r?, kar??l?k gelen ODE sisteminin ??z?m? ile belirlenir.

Sistemin evriminin ?zellikleri, faz y?r?ngelerinin t?r?nde kendini g?sterir. ?zellikle, dinamik bir sistemin denge durumu, dejenere bir y?r?ngeye - faz uzay?ndaki bir noktaya, periyodik bir harekete - kapal? bir e?riye, spektrumda m taban frekanslar? ile yar?-periyodik bir harekete - bir e?riye kar??l?k gelir. faz uzay?na g?m?l? bir m-boyutlu simit. Enerji t?keten bir sistemin dura?an rejimi (s?rekli hareket) bir ?ekiciye kar??l?k gelir - t?m yak?n y?r?ngeleri kendilerine ?eken bir dizi y?r?nge. Sabit periyodik sal?n?mlar limit ?evrime kar??l?k gelir - yal?t?lm?? (faz uzay?nda) kapal? y?r?nge; kaotik kendi kendine sal?n?mlar genellikle garip bir ?ekiciye kar??l?k gelir - karars?z y?r?ngelerden olu?an ?ekici bir k?me.

Denklemlerin ve ara?t?rma y?ntemlerinin do?as?na g?re, dinamik sistemler sonlu boyutlu (sonlu boyutlu bir faz uzay?yla) ve sonsuz boyutlu (da??t?lm??) olarak ayr?l?r. Sonlu boyutlu dinamik sistemler, ger?ek sistemlerin farkl? fiziksel do?as?na kar??l?k gelen muhafazakar ve enerji t?keten olarak alt b?l?mlere ayr?labilir. Muhafazakar dinamik sistemler, korunan faz hacmine sahip sistemlerdir. Zamandan ba??ms?z bir Hamilton fonksiyonuna sahip Hamilton sistemleri taraf?ndan olu?turulurlar. Enerji t?keten sistemler i?in, faz hacmi korunmaz, faz uzaylar?nda, herhangi bir y?r?ngede sonsuza kadar bir noktan?n d??t??? s?n?rl? bir alan (da??t?m topu) vard?r.

Dinamik sistemler ayr?ca s?rekli ve ayr?k zamanl? sistemlere b?l?nebilir. S?rekli zamana sahip dinamik sistemler genellikle x = f(x) (x skaler veya vekt?rel bir b?y?kl?kt?r, nokta zamana g?re farkl?la?may? g?sterir) ODE sistemi taraf?ndan verilir, burada her bir x ba?lang?? noktas? i?in benzersiz bir ??z?m vard?r. B?yle bir dinamik sistemin x 0 denge durumu, f(x 0) = 0 denkleminden belirlenir. Denge durumu O civar?ndaki davran??, O yak?n?nda do?rusalla?t?r?lm?? sistemin ?zelliklerine, yani l k?klerine ba?l?d?r. 1 , l 2 ,.., karakteristik denklemin l n

burada d ij Kronecker sembol?d?r. Re l j p i?in negatif ve q k?kleri i?in pozitif olsun ve p + q = n olsun. p \u003d n (q \u003d n) ise, O noktas?na kararl? (karars?z) d???m denir. Faz uzay?nda bu noktaya yak?n y?r?ngeler, kararl? bir d???m durumunda, zaman t -> +? oldu?unda ve karars?z bir d???m durumunda, t -> -? oldu?unda ona ?ekilir. p?0, q?0 ise, O noktas?na eyer denir. ?ki y?zey i?inden ge?er: p-boyutlu W s O ve q-boyutlu W u O , eyerin O kararl? ve karars?z manifoldlar?n?n yan? s?ra kararl? ve karars?z ayr?l?klar olarak adland?r?l?r. Bu y?zeyler, s?ras?yla t ->+? ve t -> -? ?eklinde O'ya y?nelen y?r?ngelerden olu?ur. Kalan y?r?ngeler eyeri t -> ± ? olarak b?rak?r (?ekil 1).

Ayn? anda W s O W u O i?inde yer alan (ve O ile ?ak??mayan) bir y?r?ngeye homoklinik veya eyer separatris d?ng?s? denir. S?rekli bir ortam?n tek boyutlu modellerinde, bir homoklinik y?r?nge, bir soliton bi?imindeki dura?an hareket eden bir dalgaya kar??l?k gelir.

x = f(x) sisteminin x = p(t) periyodik ??z?m? a?a??daki ?zelli?e sahiptir: herhangi bir t i?in p(t) = p(t + T), burada T periyottur. Bu ??z?m, faz uzay?nda kapal? bir L y?r?ngesine kar??l?k gelir. Periyodik bir L y?r?ngesinin kom?ulu?undaki y?r?ngelerin davran???, L ?zerinde do?rusalla?t?r?lm?? bir sistemin ??z?mleri kullan?larak bulunan g 1 , ..., g n ?arpanlar? ile karakterize edilir. Bunlardan biri, ?rne?in g n her zaman 1'e e?ittir. If |g i |< 1 (|g i | >1) t?m i = 1, 2, ..., n - 1 i?in, L y?r?ngesi kararl?d?r (karars?z). Karma??k d?zlemde p ?arpanlar? i?eride ve q birim ?emberin d???ndaysa, p + q = n - 1, o zaman L eyer tipi bir y?r?ngedir. ?ki y?zeyin kesi?iminde bulunur: (p + 1) boyutlu W s L ve (q + 1) boyutlu W u L (kararl? ve karars?z ayr?mlar). W s L (W u L) y?zeyi, t -> +? (t ->- ?) olarak L'ye y?nelen y?r?ngelerden olu?ur. n = 3 ve p = q=1 i?in, ?arpan g pozitif ve 1'den b?y?kse, W s L (W u L) y?zeyi topolojik olarak bir silindire e?de?erdir (?ekil 2).

L kom?ulu?undaki y?r?ngelerin davran???, (n - 1) boyutlu bir D y?zeyi (dokunmadan) L ile kesi?en ve ona yak?n y?r?ngeler ?zerindeki izleri dikkate al?narak incelenir. D ?zerindeki m 0 noktas? L'ye yeterince yak?nsa, m 0'dan ge?en y?r?nge D ile dizi haritas? (Poincare haritas?) ad? verilen ba?ka bir m noktas?nda kesi?ir (?ekil 3).

L ile D'nin kesi?me noktas?nda Poincare haritas?n?n do?rusalla?t?r?lmas? Jacobi matrisi ile tan?mlan?r. ?zde?erleri g 1 , ..., g n-1 kapal? y?r?nge L'nin ?arpanlar?d?r.

Periyodik y?r?ngelerin kararl? ve karars?z manifoldlar? kesi?ebilir. W s L ve W u L'nin kesi?imine ait olan ve L'den farkl? bir y?r?nge homokliniktir. Bu kesi?me dokunmadan ger?ekle?irse, o zaman homoklinik y?r?ngenin yak?n?nda, aralar?nda sonsuz say?da kapal? eyer tipi y?r?ngenin bulundu?u bir dizi ?e?itli karars?z y?r?nge vard?r. B?yle bir dizi y?r?nge, kaotik dinamikleri olan dinamik bir sistem i?in tipiktir. Bu nedenle, bir homoklinik y?r?ngenin varl???, dinamik bir sistemde kaotik rejimlerin varl??? i?in bir kriter olarak hizmet edebilir (bkz. Dinamik kaos).

Ayr?k zamanl? dinamik sistemler genellikle faz uzay?n?n G'sinin kendi i?ine e?lenmesiyle tan?mlan?r: x n+1 = G(x n). O halde evrim operat?r? f t , t = m, basit?e m kez uygulanan G haritas?d?r: f n x=G(G(...G(x)...)). ?rne?in, en basit n?fus dinami?i modeli, (n + 1). neslin x n + 1 ?ye say?s?n?n yo?unlu?unu, ?nceki neslin x n say?s?n?n bir fonksiyonu olarak tan?mlar: x n + 1 \u003d ax n - bx 2 n, a, b > 0 - g?rev ayarlar?. a ve b de?erlerine ba?l? olarak, bu dinamik sistem ya d?zenli (t?m ?ekiciler periyodik y?r?ngelerdir) ya da kaotik dinamikler g?sterebilir.

Poincare haritas? asl?nda ayr?k bir zaman sistemini tan?mlar. ?rne?in, x = f(x, th), th = o olarak yaz?labilen bir ODE sistemi ?zerindeki periyodik bir bozulman?n eylemini tan?mlayan dinamik sistemler, burada f th'de periyodik bir vekt?r fonksiyonudur, her zaman Poincar?'yi ?retir. harita. Bu t?r sistemler i?in, her y?r?ngenin sonsuz say?da kesi?ti?i global bir Poincare sekant y?zeyi th = 0 vard?r. S?rekli zamanl? bir sistemdeki y?r?ngelerin davran???, tamamen ayr?k zamanl? bir dinamik sistem taraf?ndan belirlenir.

Dinamik bir sistem teorisinin ?nemli bir k?sm?, y?r?ngelerin istatistiksel ?zelliklerini tan?mlayan ergodik teoridir. Karars?zlarsa, farkl? y?r?ngelerdeki noktalar, ba?lang?? durumlar?n?n yak?nl???na ra?men, evrim s?recinde birbirinden ?nemli bir mesafe ile ayr?l?r, sistem ba?lang?? ko?ullar?na “hassas bir ba??ml?l?k” g?sterir. (Uzun vadeli hava tahmininin imkans?zl???n?n tam olarak y?r?ngelerin istikrars?zl???yla ba?lant?l? oldu?unu unutmay?n.) ko?ullar. Bu y?r?ngeler farkl? ?zelliklere sahip olabilir ve bu ?zelliklerin ?e?itlili?i olas?l?k da??l?mlar? olarak tan?mlanabilir.

A. Poincare, dinamik bir sistemin y?r?ngeleri karars?z oldu?unda, o zamana kadar L. ?statistiksel mekanik ?zerine Boltzmann ve J. W. Gibbs. Benzer fikirler ergodik teoride uygulanm??t?r ve deterministik ve rastgele "d?nyalar" aras?nda bir "k?pr?" rol?n? ba?ar?yla yerine getirmektedir.

Dinamik bir sistem teorisinin yard?m?yla, dinamik kaos, periyodik ve kaotik sal?n?mlar?n senkronizasyonu, enerji t?keten yap?lar?n olu?umu, da??t?lm?? modellerde uzay-zaman kaosu gibi do?a ve teknolojideki bir?ok do?rusal olmayan fenomen incelenmi? ve a??klanm??t?r. sistemler, beynin sinir a?lar?nda mod rekabeti vb.

Lif.: ?kinci dereceden dinamik sistemlerin niteliksel teorisi. M., 1967; Kornfeld I.P., Sinai Ya.G., Fomin S.V. Ergodik teori. M., 1980; Bilim ve teknolojinin sonu?lar?. S?r. Modern matematik problemleri. temel y?nler. M., 1985-1991. [T. 1-9]: Dinamik sistemler; Katok A., Hasselblatt B. Dinamik sistemlerin modern teorisine giri?. M., 1999.

V. S. Afraimovich, M. I. Rabinovich.