Pozitif bir b say?s?n?n a taban?na g?re logaritmas? (a>0, a, 1'e e?it de?ildir), a c = b olacak ?ekilde bir c say?s?d?r: log a b = c <=> a c = b (a > 0, a ? 1, b) > 0)       

Pozitif olmayan bir say?n?n logaritmas?n?n tan?ms?z oldu?unu unutmay?n. Ayr?ca logaritman?n taban?n?n 1'e e?it olmayan pozitif bir say? olmas? gerekir. ?rne?in -2'nin karesini al?rsak 4 say?s?n? elde ederiz ancak bu, logaritman?n -2'nin 4 taban?na e?it olmad??? anlam?na gelmez. 2'ye e?ittir.

Temel logaritmik kimlik

a log a b = b (a > 0, a ? 1) (2)

Bu form?l?n sa? ve sol taraflar?n?n tan?m kapsam?n?n farkl? olmas? ?nemlidir. Sol taraf yaln?zca b>0, a>0 ve a ? 1 i?in tan?mlan?r. Sa? taraf herhangi bir b i?in tan?mlan?r ve a'ya hi?bir ?ekilde ba?l? de?ildir. Bu nedenle, denklemleri ve e?itsizlikleri ??zerken temel logaritmik "?zde?li?in" uygulanmas? OD'de bir de?i?ikli?e yol a?abilir.

Logaritman?n tan?m?n?n iki belirgin sonucu

log a a = 1 (a > 0, a ? 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ? 1) (4)

Nitekim a say?s?n? birinci kuvvetine y?kseltti?imizde ayn? say?y?, s?f?r kuvvetine y?kseltti?imizde ise bir elde ederiz.

?arp?m?n logaritmas? ve b?l?m?n logaritmas?

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0) (6)

Logaritmik denklemleri ve e?itsizlikleri ??zerken bu form?lleri d???ncesizce kullanmamalar? konusunda okul ?ocuklar?n? uyarmak isterim. Bunlar? "soldan sa?a" kullan?rken ODZ daral?r ve logaritmalar?n toplam?ndan veya fark?ndan ?r?n?n veya b?l?m?n logaritmas?na ge?erken ODZ geni?ler.

Asl?nda, log a (f (x) g (x)) ifadesi iki durumda tan?mlan?r: her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif oldu?unda veya f(x) ve g(x) her ikisi de s?f?rdan k???k oldu?unda.

Bu ifadeyi log a f (x) + log a g (x) toplam?na d?n??t?rd???m?zde, kendimizi yaln?zca f(x)>0 ve g(x)>0 durumuyla s?n?rlamak zorunda kal?r?z. Kabul edilebilir de?erler aral???nda bir daralma vard?r ve bu, ??z?m kayb?na yol a?abilece?inden kategorik olarak kabul edilemez. Benzer bir sorun form?l (6) i?in de mevcuttur.

Derece logaritman?n i?aretinden ??kar?labilir

log a b p = p log a b (a > 0, a ? 1, b > 0) (7)

Ve yine do?ruluk i?in ?a?r?da bulunmak istiyorum. A?a??daki ?rne?i d???n?n:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

E?itli?in sol taraf?, f(x)'in s?f?r d???ndaki t?m de?erleri i?in a??k?a tan?mlanm??t?r. Sa? taraf sadece f(x)>0 i?indir! Logaritmadan dereceyi ??kararak ODZ'yi tekrar daralt?yoruz. Ters prosed?r, kabul edilebilir de?erler aral???n?n geni?lemesine yol a?ar. B?t?n bu a??klamalar sadece 2. kuvvet i?in de?il ayn? zamanda herhangi bir ?ift kuvvet i?in de ge?erlidir.

Yeni bir temele ge?menin form?l?

log a b = log c b log c a (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0, c ? 1) (8)

ODZ'nin d?n???m s?ras?nda de?i?medi?i nadir durum. E?er c taban?n? ak?ll?ca se?tiyseniz (pozitif ve 1'e e?it de?il), yeni bir tabana ge?me form?l? tamamen g?venlidir.

Yeni c taban? olarak b say?s?n? se?ersek, form?l (8)'in ?nemli bir ?zel durumunu elde ederiz:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1) (9)

Logaritmalarla ilgili baz? basit ?rnekler

?rnek 1. Hesaplay?n: log2 + log50.
??z?m. log2 + log50 = log100 = 2. Logaritma toplam? form?l?n? (5) ve ondal?k logaritman?n tan?m?n? kulland?k.

?rnek 2. Hesaplay?n: lg125/lg5.
??z?m. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bir tabana (8) ge?mek i?in form?l? kulland?k.

Logaritmalarla ilgili form?l tablosu

a log a b = b (a > 0, a ? 1)

log a a = 1 (a > 0, a ? 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ? 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ? 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0, c ? 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1)

Logaritmalar? incelemeye devam ediyoruz. Bu yaz?da bunun hakk?nda konu?aca??z logaritmalar?n hesaplanmas?, bu i?leme denir logaritma. ?ncelikle logaritman?n hesaplanmas?n? tan?m gere?i anlayaca??z. Daha sonra logaritma de?erlerinin ?zellikleri kullan?larak nas?l bulundu?una bakal?m. Bundan sonra di?er logaritmalar?n ba?lang??ta belirtilen de?erleri ?zerinden logaritma hesaplamaya odaklanaca??z. Son olarak logaritma tablolar?n?n nas?l kullan?laca??n? ??renelim. Teorinin tamam? ayr?nt?l? ??z?mlere sahip ?rneklerle sa?lanmaktad?r.

Sayfada gezinme.

Tan?ma g?re logaritmalar? hesaplama

En basit durumlarda olduk?a h?zl? ve kolay bir ?ekilde ger?ekle?tirmek m?mk?nd?r tan?m gere?i logaritmay? bulma. Bu s?recin nas?l ger?ekle?ti?ine daha yak?ndan bakal?m.

Bunun ?z?, b say?s?n? a c bi?iminde temsil etmektir; buradan logaritman?n tan?m?na g?re c say?s? logaritman?n de?eridir. Yani, tan?m gere?i a?a??daki e?itlik zinciri logaritman?n bulunmas?na kar??l?k gelir: log a b=log a a c =c.

Dolay?s?yla, tan?m gere?i bir logaritman?n hesaplanmas?, a c = b olacak ?ekilde bir c say?s? bulmaktan ibarettir ve c say?s?n?n kendisi logaritman?n istenen de?eridir.

?nceki paragraflardaki bilgileri dikkate alarak, logaritma i?aretinin alt?ndaki say?, logaritma taban?n?n belirli bir kuvveti ile verildi?inde, logaritman?n neye e?it oldu?unu hemen belirtebilirsiniz - ?sse e?ittir. ??z?mleri ?rneklerle g?sterelim.

?rnek.

Log 2 2 -3'? bulun ve e 5,3 say?s?n?n do?al logaritmas?n? da hesaplay?n.

??z?m.

Logaritman?n tan?m? hemen log 2 2 -3 =-3 oldu?unu s?ylememizi sa?lar. Asl?nda logaritma i?aretinin alt?ndaki say? 2 taban?n?n -3 ?ss?ne e?ittir.

Benzer ?ekilde ikinci logaritmay? da buluyoruz: lne 5,3 =5,3.

Cevap:

log 2 2 -3 =-3 ve lne 5,3 =5,3.

Logaritma i?aretinin alt?ndaki b say?s?, logaritman?n taban?n?n kuvveti olarak belirtilmemi?se, b say?s?n?n a c bi?iminde bir temsilini bulman?n m?mk?n olup olmad???n? dikkatlice incelemeniz gerekir. ?o?u zaman bu temsil olduk?a a??kt?r, ?zellikle logaritma i?aretinin alt?ndaki say? 1, 2 veya 3'?n ?ss?ne e?it oldu?unda...

?rnek.

Logaritma log 5 25 ve'yi hesaplay?n.

??z?m.

25=5 2 oldu?unu g?rmek kolayd?r, bu ilk logaritmay? hesaplaman?za olanak tan?r: log 5 25=log 5 5 2 =2.

?kinci logaritmay? hesaplamaya ge?elim. Say? 7'nin kuvvetleri olarak temsil edilebilir: (gerekirse bak?n). Buradan, .

???nc? logaritmay? a?a??daki formda yeniden yazal?m. Art?k bunu g?rebilirsin bundan ?u sonuca var?yoruz . Bu nedenle logaritman?n tan?m? gere?i .

K?saca ??z?m ?u ?ekilde yaz?labilir: .

Cevap:

g?nl?k 5 25=2 , Ve .

Logaritma i?aretinin alt?nda yeterince b?y?k bir do?al say? oldu?unda, bunu asal ?arpanlara ay?rman?n zarar? olmaz. ?o?u zaman b?yle bir say?y? logaritman?n taban?n?n bir kuvveti olarak temsil etmeye ve dolay?s?yla bu logaritmay? tan?m gere?i hesaplamaya yard?mc? olur.

?rnek.

Logaritman?n de?erini bulun.

??z?m.

Logaritman?n baz? ?zellikleri, logaritman?n de?erini hemen belirtmenize olanak tan?r. Bu ?zellikler, birin logaritmas? ?zelli?ini ve tabana e?it bir say?n?n logaritmas? ?zelli?ini i?erir: log 1 1=log a a 0 =0 ve log a a=log a 1 =1. Yani, logaritman?n i?areti alt?nda 1 say?s? veya logaritman?n taban?na e?it bir say? oldu?unda, bu durumlarda logaritmalar s?ras?yla 0 ve 1'e e?ittir.

?rnek.

Logaritmalar ve log10 neye e?ittir?

??z?m.

O zamandan beri logaritman?n tan?m?ndan ?u ??k?yor .

?kinci ?rnekte logaritma i?aretinin alt?ndaki 10 say?s? taban?na denk geliyor yani on'un ondal?k logaritmas? bire e?it yani lg10=lg10 1 =1.

Cevap:

VE lg10=1 .

Tan?m gere?i logaritman?n hesaplanmas?n?n (?nceki paragrafta tart??t???m?z), logaritman?n ?zelliklerinden biri olan log a a p =p e?itli?inin kullan?m?n? ima etti?ine dikkat edin.

Pratikte logaritman?n i?areti alt?ndaki bir say? ve logaritman?n taban? belirli bir say?n?n kuvveti olarak kolayca temsil edildi?inde form?l? kullanmak ?ok uygundur. logaritman?n ?zelliklerinden birine kar??l?k gelir. Bu form?l?n kullan?m?n? g?steren bir logaritma bulma ?rne?ine bakal?m.

?rnek.

Logaritmay? hesaplay?n.

??z?m.

Cevap:

.

Logaritman?n yukar?da belirtilmeyen ?zellikleri de hesaplamalarda kullan?l?r ancak bundan sonraki paragraflarda bahsedece?iz.

Bilinen di?er logaritmalar arac?l???yla logaritma bulma

Bu paragraftaki bilgiler logaritman?n ?zelliklerinin hesaplanmas?nda kullan?lmas? konusunun devam?d?r. Ancak buradaki temel fark, logaritman?n ?zelliklerinin, orijinal logaritmay? de?eri bilinen ba?ka bir logaritmaya g?re ifade etmek i?in kullan?lmas?d?r. A??kl??a kavu?turmak i?in bir ?rnek verelim. Diyelim ki log 2 3?1,584963'? bildi?imizi varsayal?m, o zaman logaritman?n ?zelliklerini kullanarak k???k bir d?n???m yaparak ?rne?in log 2 6'y? bulabiliriz: g?nl?k 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3? 1+1,584963=2,584963 .

Yukar?daki ?rnekte bir ?arp?m?n logaritmas? ?zelli?ini kullanmam?z yeterliydi. Bununla birlikte, orijinal logaritmay? verilenler arac?l???yla hesaplamak i?in ?ok daha s?k olarak logaritman?n ?zelliklerinin daha geni? bir cephaneli?ini kullanmak gerekir.

?rnek.

Log 60 2=a ve log 60 5=b oldu?unu biliyorsan?z, 27'nin 60 taban?na g?re logaritmas?n? hesaplay?n.

??z?m.

Bu y?zden log 60 27'yi bulmam?z gerekiyor. 27 = 3 3 oldu?unu ve kuvvetin logaritmas?n?n ?zelli?i nedeniyle orijinal logaritman?n 3·log 60 3 olarak yeniden yaz?labilece?ini g?rmek kolayd?r.

?imdi log 60 3'?n bilinen logaritmalarla nas?l ifade edilece?ini g?relim. Tabana e?it bir say?n?n logaritmas? ?zelli?i, log 60 60=1 e?itli?ini yazmam?z? sa?lar. ?te yandan, log 60 60=log60(2 2 3 5)= g?nl?k 60 2 2 +g?nl?k 60 3+g?nl?k 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . B?ylece, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Buradan, log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

Son olarak orijinal logaritmay? hesapl?yoruz: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

Cevap:

log 60 27=3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

Ayr? olarak, formun logaritmas?n?n yeni bir taban?na ge?i? form?l?n?n anlam?ndan bahsetmeye de?er. . Herhangi bir tabanl? logaritmalardan, de?erleri bilinen veya bulunmas? m?mk?n olan belirli bir tabanl? logaritmalara ge?menizi sa?lar. Genellikle, ge?i? form?l?n? kullanarak orijinal logaritmadan 2, e veya 10 tabanlar?ndan birinde logaritmalara ge?erler, ??nk? bu tabanlar i?in de?erlerinin belirli bir dereceyle hesaplanmas?na izin veren logaritma tablolar? vard?r. kesinlik. Bir sonraki paragrafta bunun nas?l yap?ld???n? g?sterece?iz.

Logaritma tablolar? ve kullan?mlar?

Logaritma de?erlerinin yakla??k hesaplanmas? i?in kullan?labilir logaritma tablolar?. En s?k kullan?lan 2 tabanl? logaritma tablosu, do?al logaritma tablosu ve ondal?k logaritma tablosu. Ondal?k say? sisteminde ?al???rken, on taban?na dayal? bir logaritma tablosu kullanmak uygundur. Onun yard?m?yla logaritman?n de?erlerini bulmay? ??renece?iz.

Sunulan tablo, 1.000'den 9.999'a kadar (?? ondal?k basamakla) say?lar?n ondal?k logaritmas?n?n de?erlerini on binde bir do?rulukla bulman?z? sa?lar. Belirli bir ?rnek kullanarak bir ondal?k logaritma tablosu kullanarak bir logaritman?n de?erini bulma ilkesini analiz edece?iz - bu ?ekilde daha a??kt?r. Log1.256'y? bulal?m.

Ondal?k logaritma tablosunun sol s?tununda 1,256 say?s?n?n ilk iki rakam?n? buluyoruz, yani 1,2'yi buluyoruz (bu say? netlik a??s?ndan mavi daire i?ine al?nm??t?r). 1.256 say?s?n?n ???nc? rakam? (5 rakam?) ?ift sat?r?n solundaki ilk veya son sat?rda bulunur (bu rakam k?rm?z? daire i?ine al?nm??t?r). Orijinal say? olan 1.256'n?n d?rd?nc? rakam? (6 rakam?), ?ift sat?r?n sa??ndaki ilk veya son sat?rda bulunur (bu say? ye?il ?izgiyle daire i?ine al?nm??t?r). ?imdi logaritma tablosunun h?crelerinde i?aretli sat?r ve i?aretli s?tunlar?n kesi?imindeki say?lar? buluyoruz (bu say?lar turuncu renkle vurgulanm??t?r). ??aretlenen say?lar?n toplam?, d?rd?nc? ondal?k basama?a kadar do?ru olan ondal?k logaritman?n istenen de?erini verir; log1,236?0,0969+0,0021=0,0990.

Yukar?daki tabloyu kullanarak, ondal?k noktadan sonra ?? basamaktan fazla olan say?lar?n yan? s?ra 1 ile 9,999 aral???n?n ?tesine ge?en say?lar?n ondal?k logaritma de?erlerini bulmak m?mk?n m?d?r? Evet yapabilirsin. Bunun nas?l yap?ld???n? bir ?rnekle g?sterelim.

lg102.76332'yi hesaplayal?m. ?ncelikle yazman?z gerekiyor standart formdaki say?: 102,76332=1,0276332·10 2. Bundan sonra mantis ???nc? ondal?k basama?a yuvarlanmal?d?r. 1,0276332 10 2 ?1,028 10 2 orijinal ondal?k logaritmas? yakla??k olarak ortaya ??kan say?n?n logaritmas?na e?itken, yani log102.76332?lg1.028·10 2 al?yoruz. ?imdi logaritman?n ?zelliklerini uyguluyoruz: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Son olarak, lg1.028 logaritmas?n?n de?erini ondal?k logaritmalar tablosundan lg1.028?0.0086+0.0034=0.012 buluyoruz. Sonu? olarak, logaritmay? hesaplama s?recinin tamam? ??yle g?r?n?r: log102.76332=log1.0276332 10 2 ?lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2?0,012+2=2,012.

Sonu? olarak, ondal?k logaritma tablosunu kullanarak herhangi bir logaritman?n yakla??k de?erini hesaplayabilece?inizi belirtmekte fayda var. Bunu yapmak i?in ge?i? form?l?n? kullanarak ondal?k logaritmalara gitmeniz, de?erlerini tabloda bulman?z ve kalan hesaplamalar? yapman?z yeterlidir.

?rne?in log 2 3'? hesaplayal?m. Logaritman?n yeni taban?na ge?i? form?l?ne g?re elimizde . Ondal?k logaritma tablosundan log3?0,4771 ve log2?0,3010'u buluyoruz. B?ylece, .

Kaynak?a.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve di?erleri Cebir ve analizin ba?lang?c?: Genel e?itim kurumlar?n?n 10 - 11. s?n?flar? i?in ders kitab?.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler i?in bir el kitab?).

Yani ikinin kuvvetlerine sahibiz. Alt sat?rdaki say?y? al?rsan?z, bu say?y? elde etmek i?in ikiyi y?kseltmeniz gereken g?c? kolayca bulabilirsiniz. ?rne?in, 16 elde etmek i?in ikinin d?rd?nc? kuvvetini y?kseltmeniz gerekir. Ve 64'? elde etmek i?in ikinin alt?nc? kuvvetini art?rman?z gerekiyor. Bu tablodan g?r?lebilmektedir.

Ve ?imdi - asl?nda logaritman?n tan?m?:

x'in logaritmas? taban?, x'i elde etmek i?in a'n?n y?kseltilmesi gereken kuvvettir.

Tan?m: log a x = b, burada a taband?r, x arg?mand?r, b ise logaritman?n ger?ekte e?it oldu?u ?eydir.

?rne?in, 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (2 3 = 8 oldu?undan 8'in 2 tabanl? logaritmas? ??t?r). Ayn? ba?ar? g?nl??? ile 2 64 = 6, ??nk? 2 6 = 64.

Bir say?n?n belirli bir tabana g?re logaritmas?n? bulma i?lemine logaritma denir. ?imdi tablomuza yeni bir sat?r ekleyelim:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
g?nl?k 2 2 = 1	g?nl?k 2 4 = 2	g?nl?k 2 8 = 3	g?nl?k 2 16 = 4	g?nl?k 2 32 = 5	g?nl?k 2 64 = 6

Ne yaz?k ki t?m logaritmalar bu kadar kolay hesaplanam?yor. ?rne?in, log 2 5'i bulmay? deneyin. Tabloda 5 say?s? yok ama mant?k, logaritman?n par?a ?zerinde bir yerde olaca??n? s?yl?yor. ??nk? 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bu t?r say?lara irrasyonel denir: Ondal?k noktadan sonraki say?lar sonsuza kadar yaz?labilir ve asla tekrarlanmaz. Logaritman?n irrasyonel oldu?u ortaya ??karsa, onu bu ?ekilde b?rakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logaritman?n iki de?i?kenli (taban ve arg?man) bir ifade oldu?unu anlamak ?nemlidir. ?lk ba?ta bir?ok ki?i temelin nerede oldu?unu ve arg?man?n nerede oldu?unu kar??t?r?yor. Can s?k?c? yanl?? anlamalar? ?nlemek i?in resme bak?n:

?n?m?zde bir logaritman?n tan?m?ndan ba?ka bir ?ey yok. Hat?rlamak: logaritma bir kuvvettir Bir arg?man elde etmek i?in taban?n i?ine in?a edilmesi gerekir. Bir g?ce y?kseltilen taband?r - resimde k?rm?z?yla vurgulanm??t?r. Taban?n her zaman altta oldu?u ortaya ??kt?! ??rencilerime bu harika kural? daha ilk derste anlat?yorum ve hi?bir kafa kar???kl??? ortaya ??km?yor.

Tan?m? ??zd?k; geriye kalan tek ?ey logaritman?n nas?l say?laca??n? ??renmek. "log" i?aretinden kurtulun. Ba?lang?? olarak, tan?mdan iki ?nemli ger?e?in ??kt???n? not ediyoruz:

1. Arg?man ve taban her zaman s?f?rdan b?y?k olmal?d?r. Bu, bir derecenin rasyonel bir ?sle tan?mlanmas?ndan kaynaklan?r ve logaritman?n tan?m? buna indirgenir.
2. Taban birden farkl? olmal?d?r, ??nk? bir dereceye kadar bir hala bir olarak kal?r. Bu nedenle “iki elde etmek i?in ki?inin hangi g?ce y?kseltilmesi gerekir” sorusu anlams?zd?r. B?yle bir derece yok!

Bu t?r k?s?tlamalara denir kabul edilebilir de?erler aral???(ODZ). Logaritman?n ODZ'sinin ?u ?ekilde g?r?nd??? ortaya ??kt?: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1.

b say?s? (logaritman?n de?eri) ?zerinde herhangi bir k?s?tlama olmad???n? unutmay?n. ?rne?in logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = -1, ??nk? 0,5 = 2-1.

Ancak ?imdi yaln?zca logaritman?n VA's?n? bilmenin gerekli olmad??? say?sal ifadeleri ele al?yoruz. T?m k?s?tlamalar, g?revlerin yazarlar? taraf?ndan zaten dikkate al?nm??t?r. Ancak logaritmik denklemler ve e?itsizlikler devreye girdi?inde DL gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Sonu?ta, temel ve arg?man, yukar?daki k?s?tlamalara tam olarak uymayan ?ok g??l? yap?lar i?erebilir.

?imdi logaritmalar? hesaplamak i?in genel ?emaya bakal?m. ?? ad?mdan olu?ur:

1. A taban?n? ve x arg?man?n?, m?mk?n olan minimum taban? birden b?y?k olacak ?ekilde bir kuvvet olarak ifade edin. Bu arada ondal?k say?lardan kurtulmak daha iyidir;
2. b de?i?keninin denklemini ??z?n: x = a b ;
3. Ortaya ??kan b say?s? cevap olacakt?r.

Bu kadar! Logaritman?n irrasyonel oldu?u ortaya ??karsa, bu zaten ilk ad?mda g?r?lecektir. Taban?n birden b?y?k olmas? gereklili?i ?ok ?nemlidir: bu, hata olas?l???n? azalt?r ve hesaplamalar? b?y?k ?l??de basitle?tirir. Ondal?k kesirlerde de durum ayn?d?r: Bunlar? hemen s?radan kesirlere d?n??t?r?rseniz, ?ok daha az hata olacakt?r.

Belirli ?rnekleri kullanarak bu ?eman?n nas?l ?al??t???n? g?relim:

G?rev. Logaritmay? hesaplay?n: log 5 25

1. Taban? ve arg?man? be?in kuvveti olarak d???nelim: 5 = 5 1; 25 = 52;

Denklemi olu?turup ??zelim:
log 5 25 = b => (5 1) b = 5 2 => 5 b = 5 2 => b = 2 ;

2. Cevab?n? ald?k: 2.

G?rev. Logaritmay? hesaplay?n:

G?rev. Logaritmay? hesaplay?n: log 4 64

1. Taban? ve arg?man? ikinin kuvveti olarak d???nelim: 4 = 2 2; 64 = 26;
2. Denklemi olu?turup ??zelim:
   log 4 64 = b => (2 2) b = 2 6 => 2 2b = 2 6 => 2b = 6 => b = 3 ;
3. Cevab?n? ald?k: 3.

G?rev. Logaritmay? hesaplay?n: log 16 1

1. Taban? ve arg?man? ikinin kuvveti olarak d???nelim: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. Denklemi olu?turup ??zelim:
   log 16 1 = b => (2 4) b = 2 0 => 2 4b = 2 0 => 4b = 0 => b = 0 ;
3. Cevab?n? ald?k: 0.

G?rev. Logaritmay? hesaplay?n: log 7 14

1. Taban? ve arg?man? yedinin kuvveti olarak d???nelim: 7 = 7 1; 7 1 oldu?undan 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilemez< 14 < 7 2 ;
2. ?nceki paragraftan logaritman?n say?lmad??? anla??lmaktad?r;
3. Cevap de?i?iklik yok: log 7 14.

Son ?rnekle ilgili k???k bir not. Bir say?n?n ba?ka bir say?n?n tam kuvveti olmad???ndan nas?l emin olabilirsiniz? ?ok basit; bunu asal ?arpanlara ay?rman?z yeterli. Geni?lemenin en az iki farkl? fakt?r? varsa, say? tam bir kuvvet de?ildir.

G?rev. Say?lar?n tam kuvvetleri olup olmad???n? ??renin: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tam derece, ??nk? yaln?zca bir ?arpan vard?r;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - tam bir kuvvet de?ildir, ??nk? iki ?arpan vard?r: 3 ve 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tam derece;
35 = 7 · 5 - yine kesin bir kuvvet de?il;
14 = 7 · 2 - yine kesin bir derece de?il;

Ayr?ca asal say?lar?n her zaman kendilerinin tam kuvvetleri oldu?una dikkat edin.

Ondal?k logaritma

Baz? logaritmalar o kadar yayg?nd?r ki ?zel bir isme ve sembole sahiptirler.

X'in ondal?k logaritmas?, 10 taban?na g?re logaritmas?d?r; X say?s?n? elde etmek i?in 10 say?s?n?n y?kseltilmesi gereken kuvvet. Tan?m: lg x.

?rne?in log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Art?k bir ders kitab?nda “Lg 0.01'i bul” gibi bir ifade ??kt???nda bunun bir yaz?m hatas? olmad???n? bilin. Bu bir ondal?k logaritmad?r. Ancak bu g?sterime a?ina de?ilseniz, istedi?iniz zaman yeniden yazabilirsiniz:
g?nl?k x = g?nl?k 10 x

S?radan logaritmalar i?in do?ru olan her ?ey ondal?k logaritmalar i?in de do?rudur.

Do?al logaritma

Kendi tan?m? olan ba?ka bir logaritma var. Baz? y?nlerden ondal?k say?dan bile daha ?nemlidir. Do?al logaritmadan bahsediyoruz.

X'in do?al logaritmas? e taban?n?n logaritmas?d?r, yani. x say?s?n? elde etmek i?in e say?s?n?n y?kseltilmesi gereken g??. Tan?m: ln x .

Bir?o?u ?unu soracak: e say?s? nedir? Bu irrasyonel bir say?d?r, kesin de?eri bulunup yaz?lamaz. Sadece ilk rakamlar? verece?im:
e = 2,718281828459...

Bu say?n?n ne oldu?u ve neden gerekli oldu?u konusunda ayr?nt?ya girmeyece?iz. Sadece e'nin do?al logaritman?n taban? oldu?unu unutmay?n:
ln x = log e x

B?ylece ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. ?te yandan ln 2 irrasyonel bir say?d?r. Genel olarak herhangi bir rasyonel say?n?n do?al logaritmas? irrasyoneldir. Elbette biri hari?: ln 1 = 0.

Do?al logaritmalar i?in s?radan logaritmalar i?in ge?erli olan t?m kurallar ge?erlidir.

Gizlili?inizin korunmas? bizim i?in ?nemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nas?l kulland???m?z? ve saklad???m?z? a??klayan bir Gizlilik Politikas? geli?tirdik. L?tfen gizlilik uygulamalar?m?z? inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Ki?isel bilgilerin toplanmas? ve kullan?lmas?

Ki?isel bilgiler, belirli bir ki?iyi tan?mlamak veya onunla ileti?im kurmak i?in kullan?labilecek verileri ifade eder.

Bizimle ileti?ime ge?ti?inizde istedi?iniz zaman ki?isel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

A?a??da toplayabilece?imiz ki?isel bilgi t?rlerine ve bu bilgileri nas?l kullanabilece?imize dair baz? ?rnekler verilmi?tir.

Hangi ki?isel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir ba?vuru g?nderdi?inizde ad?n?z, telefon numaran?z, e-posta adresiniz vb. dahil olmak ?zere ?e?itli bilgiler toplayabiliriz.

Ki?isel bilgilerinizi nas?l kullan?yoruz:

• Toplad???m?z ki?isel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, di?er etkinlikler ve yakla?an etkinlikler konusunda sizinle ileti?im kurmam?za olanak tan?r.
• Zaman zaman ki?isel bilgilerinizi ?nemli bildirimler ve ileti?imler g?ndermek i?in kullanabiliriz.
• Ki?isel bilgileri, sundu?umuz hizmetleri geli?tirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amac?yla denetimler, veri analizi ve ?e?itli ara?t?rmalar yapmak gibi ?irket i?i ama?larla da kullanabiliriz.
• Bir ?d?l ?ekili?ine, yar??maya veya benzer bir promosyona kat?l?rsan?z, sa?lad???n?z bilgileri bu t?r programlar? y?netmek i?in kullanabiliriz.

Bilgilerin ???nc? ?ah?slara a??klanmas?

Sizden ald???m?z bilgileri ???nc? ?ah?slara a??klam?yoruz.

?stisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosed?re uygun olarak, yasal i?lemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlar?n?n talepleri temelinde - ki?isel bilgilerinizi if?a etmek. Ayr?ca, bu t?r bir a??klaman?n g?venlik, kanun yapt?r?m? veya di?er kamu ?nemi ama?lar? a??s?ndan gerekli veya uygun oldu?unu tespit etmemiz halinde, hakk?n?zdaki bilgileri de a??klayabiliriz.
• Yeniden yap?lanma, birle?me veya sat?? durumunda toplad???m?z ki?isel bilgileri ilgili halef ???nc? tarafa aktarabiliriz.

Ki?isel bilgilerin korunmas?

Ki?isel bilgilerinizi kay?p, h?rs?zl?k ve k?t?ye kullan?m?n yan? s?ra yetkisiz eri?ime, if?a edilmeye, de?i?tirilmeye ve imhaya kar?? korumak i?in idari, teknik ve fiziksel ?nlemler al?yoruz.

?irket d?zeyinde gizlili?inize sayg? duymak

Ki?isel bilgilerinizin g?vende oldu?undan emin olmak i?in gizlilik ve g?venlik standartlar?n? ?al??anlar?m?za aktar?yor ve gizlilik uygulamalar?n? s?k? bir ?ekilde uyguluyoruz.

Bu videoyla logaritmik denklemlerle ilgili uzun bir ders serisine ba?l?yorum. ?imdi ?n?n?zde en basit problemleri ??zmeyi ??renece?imiz ?? ?rnek var; bunlara - tek h?creli hayvan.

log 0,5 (3x - 1) = -3

g?nl?k (x + 3) = 3 + 2 g?nl?k 5

En basit logaritmik denklemin ?u oldu?unu hat?rlatay?m:

loga f(x) = b

Bu durumda x de?i?keninin yaln?zca arg?man?n i?inde, yani yaln?zca f(x) fonksiyonunda mevcut olmas? ?nemlidir. Ve a ve b say?lar? yaln?zca say?lard?r ve hi?bir durumda x de?i?kenini i?eren i?levler de?ildir.

Temel ??z?m y?ntemleri

Bu t?r yap?lar? ??zmenin bir?ok yolu vard?r. ?rne?in, okuldaki ?o?u ??retmen ?u y?ntemi sunmaktad?r: A?a??daki form?l? kullanarak f(x) fonksiyonunu hemen ifade edin. F ( x) = bir b. Yani en basit yap?yla kar??la?t???n?zda ek i?lemlere ve yap?lara gerek kalmadan hemen ??z?me ge?ebilirsiniz.

Evet elbette karar do?ru olacakt?r. Ancak bu form?lle ilgili sorun ?o?u ??rencinin anlam?yorum, nereden geliyor ve neden a harfini b harfine y?kseltiyoruz?

Sonu? olarak, ?rne?in bu harflerin yerini de?i?tirirken s?kl?kla ?ok can s?k?c? hatalar g?r?yorum. Bu form?l ya anla??lmal?d?r ya da s?k??t?r?lmal?d?r ve ikinci y?ntem en uygunsuz ve en ?nemli anlarda hatalara yol a?ar: s?navlar, testler vb.

Bu nedenle t?m ??rencilerime standart okul form?l?nden vazge?melerini ve logaritmik denklemleri ??zmek i?in muhtemelen isminden de tahmin edebilece?iniz gibi ikinci yakla??m? kullanmalar?n? ?neriyorum. kanonik form.

Kanonik formun fikri basittir. Sorunumuza tekrar bakal?m: solda log a var ve a harfiyle bir say?y? kastediyoruz ve hi?bir durumda x de?i?kenini i?eren bir fonksiyon de?il. Sonu? olarak, bu mektup logaritma baz?nda uygulanan t?m k?s?tlamalara tabidir. yani:

1 ? a > 0

?te yandan, ayn? denklemden logaritman?n b say?s?na e?it olmas? gerekti?ini ve bu harfe herhangi bir k?s?tlama getirilmedi?ini g?r?yoruz ??nk? hem pozitif hem de negatif herhangi bir de?eri alabilir. Her ?ey f(x) fonksiyonunun hangi de?erleri ald???na ba?l?d?r.

Ve burada, herhangi bir b say?s?n?n a taban?n?n a ?ss? b'nin logaritmas? olarak temsil edilebilece?ine dair harika kural?m?z? hat?rl?yoruz:

b = log a a b

Bu form?l? nas?l hat?rlayaca??z? Evet, ?ok basit. A?a??daki yap?y? yazal?m:

b = b 1 = b log a a

Elbette bu durumda ba?lang??ta yazd???m?z t?m k?s?tlamalar ortaya ??k?yor. ?imdi logaritman?n temel ?zelli?ini kullanal?m ve b ?arpan?n? a'n?n kuvveti olarak tan?tal?m. ?unu elde ederiz:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Sonu? olarak orijinal denklem ?u ?ekilde yeniden yaz?lacakt?r:

log a f (x) = log a a b -> f (x) = a b

Bu kadar. Yeni fonksiyon art?k logaritma i?ermiyor ve standart cebirsel teknikler kullan?larak ??z?lebiliyor.

Elbette birileri ?imdi itiraz edecek: Neden bir t?r kanonik form?l bulmak gerekliydi, orijinal tasar?mdan son form?le hemen ge?mek m?mk?nse neden iki gereksiz ad?m daha uygulayal?m? Evet, ?o?u ??rencinin bu form?l?n nereden geldi?ini anlamamas? ve sonu? olarak onu uygularken d?zenli olarak hata yapmas? nedeniyle.

Ancak ?? ad?mdan olu?an bu eylem dizisi, son form?l?n nereden geldi?ini anlamasan?z bile orijinal logaritmik denklemi ??zmenize olanak tan?r. Bu arada, bu girdiye kanonik form?l ad? veriliyor:

log a f (x) = log a a b

Kanonik formun rahatl??? ayn? zamanda sadece bug?n d???nd???m?z en basit olanlar? de?il, ?ok geni? bir logaritmik denklem s?n?f?n? ??zmek i?in kullan?labilmesi ger?e?inde de yatmaktad?r.

??z?m ?rnekleri

?imdi ger?ek ?rneklere bakal?m. ?yleyse karar verelim:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Bunu ?u ?ekilde yeniden yazal?m:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Pek ?ok ??rencinin acelesi var ve hemen 0,5 say?s?n? as?l problemden bize gelen kuvvete y?kseltmeye ?al???yor. Asl?nda, bu t?r sorunlar? ??zme konusunda zaten iyi e?itimli oldu?unuzda, bu ad?m? hemen ger?ekle?tirebilirsiniz.

Ancak ?imdi bu konuyu incelemeye yeni ba?l?yorsan?z, sald?rgan hatalar yapmaktan ka??nmak i?in hi?bir yere acele etmemek daha iyidir. Yani kanonik formumuz var. Sahibiz:

3x - 1 = 0,5 -3

Bu art?k logaritmik bir denklem de?il, x de?i?kenine g?re do?rusald?r. Bunu ??zmek i?in ?nce 0,5 ?ss? -3 say?s?na bakal?m. 0,5'in 1/2 oldu?unu unutmay?n.

(1/2) -3 = (2/1) 3 = 8

Logaritmik bir denklemi ??zerken t?m ondal?k kesirleri ortak kesirlere d?n??t?r?n.

Yeniden yaz?yoruz ve ?unu elde ediyoruz:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

??te bu, cevab? ald?k. ?lk sorun ??z?ld?.

?kinci g?rev

Gelelim ikinci g?reve:

G?rd???m?z gibi, bu denklem art?k en basiti de?il. S?rf solda bir fark oldu?u ve bir tabana g?re tek bir logaritma olmad??? i?in.

Dolay?s?yla bir ?ekilde bu farktan kurtulmam?z gerekiyor. Bu durumda her ?ey ?ok basittir. Tabanlara daha yak?ndan bakal?m: solda k?k?n alt?ndaki say? var:

Genel ?neri: t?m logaritmik denklemlerde radikallerden kurtulmaya ?al???n, yani k?kleri olan giri?lerden ve kuvvet fonksiyonlar?na ge?in, ??nk? bu kuvvetlerin ?sleri kolayca logaritman?n i?aretinden ??kar?l?r ve sonu?ta b?yle olur. bir giri?, hesaplamalar? ?nemli ?l??de basitle?tirir ve h?zland?r?r. Bunu ?u ?ekilde yazal?m:

?imdi logaritman?n dikkate de?er ?zelli?ini hat?rlayal?m: kuvvetler tabandan oldu?u gibi arg?mandan da elde edilebilir. Gerek?e durumunda a?a??dakiler ger?ekle?ir:

log a k b = 1/k loga b

Yani temel kuvvette olan say? ?ne ??kar?l?r ve ayn? zamanda ters ?evrilir, yani kar??l?kl? say? haline gelir. Bizim olgumuzda taban derecesi 1/2 idi. Bu nedenle 2/1 olarak ??karabiliriz. ?unu elde ederiz:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 g?nl?k 5 x - g?nl?k 5 x = 18

L?tfen dikkat: Bu ad?mda hi?bir durumda logaritmalardan kurtulmamal?s?n?z. 4.-5. s?n?f matemati?ini ve i?lem s?ras?n? hat?rlay?n: ?nce ?arpma yap?l?r, ancak daha sonra toplama ve ??karma yap?l?r. Bu durumda 10 elementten ayn? elementlerden birini ??kar?yoruz:

9 log 5 x = 18
g?nl?k 5 x = 2

Art?k denklemimiz olmas? gerekti?i gibi g?r?n?yor. Bu en basit yap?d?r ve bunu kanonik formu kullanarak ??z?yoruz:

g?nl?k 5 x = g?nl?k 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Bu kadar. ?kinci sorun ??z?ld?.

???nc? ?rnek

Gelelim ???nc? g?reve:

g?nl?k (x + 3) = 3 + 2 g?nl?k 5

Size ?u form?l? hat?rlatay?m:

g?nl?k b = g?nl?k 10 b

Herhangi bir nedenle log b notasyonuyla kafan?z kar??t?ysa, t?m hesaplamalar? yaparken log 10 b yazabilirsiniz. Ondal?k logaritmalarla di?erleriyle ayn? ?ekilde ?al??abilirsiniz: kuvvetleri al?n, herhangi bir say?y? ekleyin ve lg 10 bi?iminde temsil edin.

Dersimizin en ba??nda yazd???m?z en basit ?zellik olmad???ndan, ?imdi sorunu ??zmek i?in kullanaca??m?z bu ?zelliklerdir.

?lk olarak, lg 5'in ?n?ndeki fakt?r 2'nin toplanabilece?ini ve 5 taban?ndaki bir kuvvet haline gelebilece?ini unutmay?n. Ek olarak, serbest terim 3 bir logaritma olarak da temsil edilebilir - bunu notasyonumuzdan g?zlemlemek ?ok kolayd?r.

Kendiniz karar verin: herhangi bir say?, 10 taban?na g?re log olarak temsil edilebilir:

3 = g?nl?k 10 10 3 = g?nl?k 10 3

Elde edilen de?i?iklikleri dikkate alarak orijinal problemi yeniden yazal?m:

log (x - 3) = log 1000 + log 25
log (x - 3) = log 1000 25
g?nl?k (x - 3) = g?nl?k 25.000

?n?m?zde yine kanonik form var ve bunu d?n???m a?amas?ndan ge?meden elde ettik, yani. en basit logaritmik denklem hi?bir yerde g?r?nmedi.

Dersin ba??nda bahsetti?im ?ey tam olarak buydu. Kanonik form, ?o?u okul ??retmeninin verdi?i standart okul form?l?nden daha geni? bir problem s?n?f?n? ??zmenize olanak tan?r.

??te bu kadar, ondal?k logaritman?n i?aretinden kurtuluyoruz ve basit bir do?rusal yap? elde ediyoruz:

x + 3 = 25.000
x = 24,997

T?m! Problem ??z?ld?.

Kapsamla ilgili bir not

Burada tan?m?n kapsam?na ili?kin ?nemli bir a??klama yapmak istiyorum. Art?k mutlaka ??yle diyecek ??renci ve ??retmenler olacakt?r: “Logaritmal? ifadeleri ??zerken f(x) arg?man?n?n s?f?rdan b?y?k olmas? gerekti?ini unutmamal?y?z!” Bu ba?lamda mant?ksal bir soru ortaya ??k?yor: Ele al?nan sorunlar?n hi?birinde neden bu e?itsizli?in giderilmesini talep etmedik?

?z?lmeyin. Bu durumlarda fazladan k?k g?r?nmeyecektir. Bu da ??z?m? h?zland?rman?za olanak tan?yan bir ba?ka harika numarad?r. Sadece ?unu bilin ki, problemde x de?i?keni yaln?zca tek bir yerde (veya daha do?rusu, tek bir logaritman?n tek bir arg?man?nda) ortaya ??k?yorsa ve bizim durumumuzda x de?i?keni ba?ka hi?bir yerde g?r?nm?yorsa, o zaman tan?m?n tan?m k?mesini yaz?n. gerek yok??nk? otomatik olarak y?r?t?lecektir.

Kendiniz karar verin: ilk denklemde 3x - 1 elde ettik, yani arg?man 8'e e?it olmal?d?r. Bu otomatik olarak 3x - 1'in s?f?rdan b?y?k olaca?? anlam?na gelir.

Ayn? ba?ar?yla, ikinci durumda x'in 5 2'ye e?it olmas? gerekti?ini, yani kesinlikle s?f?rdan b?y?k oldu?unu yazabiliriz. Ve ???nc? durumda, x + 3 = 25.000, yani yine a??k?a s?f?rdan b?y?kt?r. Ba?ka bir deyi?le, kapsam otomatik olarak kar??lan?r, ancak yaln?zca x yaln?zca bir logaritman?n arg?man?nda yer al?yorsa.

En basit sorunlar? ??zmek i?in bilmeniz gereken tek ?ey bu. Tek ba??na bu kural, d?n???m kurallar?yla birlikte ?ok geni? bir problem s?n?f?n? ??zmenize olanak sa?layacakt?r.

Ancak d?r?st olal?m: Bu tekni?i nihayet anlamak i?in, logaritmik denklemin kanonik formunun nas?l uygulanaca??n? ??renmek i?in sadece bir video dersi izlemek yeterli de?ildir. Bu nedenle hemen ?imdi bu video dersinde yer alan ba??ms?z ??z?m se?eneklerini indirin ve bu iki ba??ms?z ?al??madan en az birini ??zmeye ba?lay?n.

Kelimenin tam anlam?yla birka? dakikan?z? alacak. Ancak b?yle bir e?itimin etkisi, bu video dersini izlemi? olman?zdan ?ok daha y?ksek olacakt?r.

Umar?m bu ders logaritmik denklemleri anlaman?za yard?mc? olur. Kanonik formu kullan?n, logaritmalarla ?al??ma kurallar?n? kullanarak ifadeleri basitle?tirin; herhangi bir sorundan korkmayacaks?n?z. Bug?nl?k elimde olan tek ?ey bu.

Tan?m alan? dikkate al?narak

?imdi logaritmik fonksiyonun tan?m alan?ndan ve bunun logaritmik denklemlerin ??z?m?n? nas?l etkiledi?inden bahsedelim. Formun bir yap?s?n? d???n?n

loga f(x) = b

B?yle bir ifadeye en basit denir - yaln?zca bir i?lev i?erir ve a ve b say?lar? yaln?zca say?lard?r ve hi?bir durumda x de?i?kenine ba?l? bir i?lev de?ildir. ?ok basit bir ?ekilde ??z?lebilir. Sadece form?l? kullanman?z gerekir:

b = log a a b

Bu form?l logaritman?n temel ?zelliklerinden biridir ve orijinal ifademizi yerine koydu?umuzda a?a??dakileri elde ederiz:

log a f (x) = log a a b

f(x) = a b

Bu okul ders kitaplar?ndan tan?d?k bir form?ld?r. Pek ?ok ??rencinin muhtemelen bir sorusu olacakt?r: Orijinal ifadede f(x) fonksiyonu log i?aretinin alt?nda oldu?undan, ona a?a??daki k?s?tlamalar getirilmi?tir:

f(x) > 0

Negatif say?lar?n logaritmas? mevcut olmad??? i?in bu s?n?rlama ge?erlidir. Peki belki de bu s?n?rlaman?n bir sonucu olarak cevaplara y?nelik bir kontrol getirilmeli? Belki de kayna?a eklenmeleri gerekiyor?

Hay?r, en basit logaritmik denklemlerde ek kontrole gerek yoktur. Ve bu y?zden. Son form?l?m?ze bir g?z at?n:

f(x) = a b

Ger?ek ?u ki, a say?s? her durumda 0'dan b?y?kt?r - bu gereklilik ayn? zamanda logaritma taraf?ndan da dayat?lmaktad?r. A say?s? taband?r. Bu durumda b say?s?na herhangi bir k?s?tlama getirilmemektedir. Ancak bu ?nemli de?il, ??nk? pozitif bir say?y? hangi kuvvete y?kseltirsek y?kseltelim, ??kt?da yine de pozitif bir say? elde edece?iz. B?ylece f(x) > 0 ?art? otomatik olarak kar??lan?r.

Ger?ekten kontrol etmeye de?er olan ?ey, log i?aretinin alt?ndaki fonksiyonun etki alan?d?r. Olduk?a karma??k yap?lar olabilir ve ??z?m s?recinde mutlaka bunlara dikkat etmeniz gerekir. Hadi bir g?z atal?m.

?lk g?rev:

?lk ad?m: Sa?daki kesri d?n??t?r?n. ?unu elde ederiz:

Logaritma i?aretinden kurtuluruz ve ola?an irrasyonel denklemi elde ederiz:

Elde edilen k?klerden sadece birincisi bize uygundur ??nk? ikinci k?k s?f?rdan k???kt?r. Tek cevap 9 rakam? olacakt?r. ??te bu, sorun ??z?ld?. Logaritma i?aretinin alt?ndaki ifadenin 0'dan b?y?k oldu?undan emin olmak i?in ek bir kontrole gerek yoktur ??nk? sadece 0'dan b?y?k de?il, denklemin ko?uluna g?re 2'ye e?ittir. Dolay?s?yla “s?f?rdan b?y?k” ?art? ” otomatik olarak kar??lan?r.

Gelelim ikinci g?reve:

Burada her ?ey ayn?. ??l?y? de?i?tirerek yap?y? yeniden yaz?yoruz:

Logaritma i?aretlerinden kurtuluruz ve irrasyonel bir denklem elde ederiz:

K?s?tlamalar? dikkate alarak her iki taraf?n karesini al?r?z ve ?unu elde ederiz:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Ortaya ??kan denklemi diskriminant arac?l???yla ??z?yoruz:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

Ancak x = -6 bize uymuyor ??nk? bu say?y? e?itsizli?imizde yerine koyarsak ?unu elde ederiz:

-6 + 4 = -2 < 0

Bizim durumumuzda 0'dan b?y?k veya a??r? durumlarda e?it olmas? gerekiyor. Fakat x = -1 bize uyar:

-1 + 4 = 3 > 0

Bizim durumumuzda tek cevap x = -1 olacakt?r. ??z?m bu. Hesaplamalar?m?z?n en ba??na d?nelim.

Bu dersten ??kan ana sonu?, basit logaritmik denklemlerde bir fonksiyon ?zerindeki k?s?tlamalar? kontrol etmenize gerek olmad???d?r. ??nk? ??z?m s?recinde t?m k?s?tlar otomatik olarak kar??lan?r.

Ancak bu hi?bir ?ekilde kontrol etmeyi tamamen unutabilece?iniz anlam?na gelmez. Logaritmik bir denklem ?zerinde ?al??ma s?recinde, bug?n iki farkl? ?rnekte g?rd???m?z sa? taraf i?in kendi k?s?tlamalar? ve gereksinimleri olacak irrasyonel bir denklem haline gelebilir.

Bu t?r sorunlar? ??zmekten ?ekinmeyin ve tart??man?n bir k?k? varsa ?zellikle dikkatli olun.

Farkl? tabanlara sahip logaritmik denklemler

Logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve daha karma??k yap?lar? ??zmenin moda oldu?u iki ilgin? tekni?e daha bak?yoruz. Ama ?nce en basit sorunlar?n nas?l ??z?ld???n? hat?rlayal?m:

loga f(x) = b

Bu girdide a ve b say?lard?r ve f(x) fonksiyonunda x de?i?keni mevcut olmal?d?r ve yaln?zca orada, yani x yaln?zca arg?manda bulunmal?d?r. Bu t?r logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak d?n??t?rece?iz. Bunu yapmak i?in ?unu unutmay?n

b = log a a b

?stelik a b tam olarak bir arg?mand?r. Bu ifadeyi ?u ?ekilde yeniden yazal?m:

log a f (x) = log a a b

Bizim de ula?maya ?al??t???m?z ?ey tam olarak budur, yani a'y? hem sol hem de sa? temel alan bir logaritma vard?r. Bu durumda mecazi anlamda log i?aretlerinin ?zerini ?izebiliriz ve matematiksel a??dan arg?manlar? basit?e e?itledi?imizi s?yleyebiliriz:

f(x) = a b

Sonu? olarak ??z?lmesi ?ok daha kolay olacak yeni bir ifade elde edece?iz. Bu kural? bug?nk? sorunlar?m?za uygulayal?m.

Yani ilk tasar?m:

?ncelikle sa?da paydas? log olan bir kesir oldu?unu belirteyim. Bunun gibi bir ifade g?rd???n?zde logaritman?n harika bir ?zelli?ini hat?rlamak iyi bir fikirdir:

Rus?aya ?evrildi?inde bu, herhangi bir logaritman?n herhangi bir c taban?na sahip iki logaritman?n b?l?m? olarak temsil edilebilece?i anlam?na gelir. tabii ki 0< с ? 1.

Yani: bu form?lde c de?i?keninin de?i?kene e?it oldu?u harika bir ?zel durum vard?r. B. Bu durumda ??yle bir yap? elde ederiz:

Denklemimizde sa?daki i?arette g?rd???m?z yap? tam olarak budur. Bu yap?y? log a b ile de?i?tirelim, ?unu elde ederiz:

Ba?ka bir deyi?le, orijinal g?reve k?yasla arg?man? ve logaritman?n taban?n? de?i?tirdik. Bunun yerine kesri tersine ?evirmek zorunda kald?k.

A?a??daki kurala g?re herhangi bir derecenin tabandan t?retilebilece?ini hat?rl?yoruz:

Ba?ka bir deyi?le baz?n kuvveti olan k katsay?s? ters kesir olarak ifade edilir. Bunu ters kesir olarak g?sterelim:

Kesirli fakt?r ?nde b?rak?lamaz ??nk? bu durumda bu g?sterimi kanonik formda g?steremeyece?iz (sonu?ta kanonik formda ikinci logaritmadan ?nce ek bir fakt?r yoktur). Bu nedenle arg?mana 1/4 kesirini kuvvet olarak ekleyelim:

?imdi tabanlar? ayn? olan (ve tabanlar?m?z ger?ekten ayn? olan) arg?manlar? e?itliyoruz ve ?unu yaz?yoruz:

x + 5 = 1

x = -4

Bu kadar. ?lk logaritmik denklemin cevab?n? bulduk. L?tfen unutmay?n: orijinal problemde, x de?i?keni yaln?zca bir g?nl?kte g?r?n?r ve arg?man?nda g?r?n?r. Bu nedenle tan?m k?mesini kontrol etmeye gerek yoktur ve x = -4 say?m?z asl?nda cevapt?r.

?imdi ikinci ifadeye ge?elim:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3log (x + 4)

Burada ola?an logaritmalara ek olarak log f(x) ile ?al??mam?z gerekecek. B?yle bir denklem nas?l ??z?l?r? Haz?rl?ks?z bir ??renciye bu zor bir g?rev gibi g?r?nebilir, ancak asl?nda her ?ey basit bir ?ekilde ??z?lebilir.

lg 2 log 2 7 terimine yak?ndan bak?n. Bu konuda ne s?yleyebiliriz? Log ve lg'nin temelleri ve arg?manlar? ayn?d?r ve bu baz? fikirler vermelidir. Logaritman?n i?aretinin alt?ndaki kuvvetlerin nas?l ??kar?ld???n? bir kez daha hat?rlayal?m:

log a b n = nlog a b

Ba?ka bir deyi?le, arg?manda b'nin kuvveti olan ?ey log'un ?n?nde bir fakt?r haline gelir. Bu form?l? lg 2 log 2 7 ifadesine uygulayal?m. lg 2'den korkmay?n - bu en yayg?n ifadedir. A?a??daki ?ekilde yeniden yazabilirsiniz:

Herhangi bir logaritmaya uygulanan kurallar?n t?m? onun i?in de ge?erlidir. ?zellikle ?ndeki fakt?r arg?man?n derecesine eklenebilir. Bunu yazal?m:

?o?u zaman ??renciler bu eylemi do?rudan g?rmezler ??nk? bir g?nl??e di?erinin i?areti alt?nda girmek iyi de?ildir. Asl?nda bunda su? te?kil edecek bir durum yok. ?stelik ?nemli bir kural? hat?rlarsan?z hesaplamas? kolay bir form?l elde ederiz:

Bu form?l hem tan?m olarak hem de onun ?zelliklerinden biri olarak d???n?lebilir. Her durumda, e?er logaritmik bir denklemi d?n??t?r?yorsan?z, herhangi bir say?n?n log g?sterimini bildi?iniz gibi bu form?l? de bilmelisiniz.

G?revimize d?nelim. E?ittir i?aretinin sa??ndaki ilk terimin lg 7'ye e?it olaca?? ger?e?ini dikkate alarak yeniden yaz?yoruz. Elimizde:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

LG 7'yi sola hareket ettirelim, ?unu elde ederiz:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Tabanlar? ayn? oldu?undan soldaki ifadeleri ??kar?yoruz:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

?imdi elde etti?imiz denkleme daha yak?ndan bakal?m. Pratik olarak kanonik formdur, ancak sa?da -3 ?arpan? vard?r. Bunu sa? lg arg?man?na ekleyelim:

log 8 = log (x + 4) -3

?n?m?zde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu y?zden lg i?aretlerinin ?st?n? ?iziyoruz ve arg?manlar? e?itliyoruz:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Bu kadar! ?kinci logaritmik denklemi ??zd?k. Bu durumda hi?bir ek kontrole gerek yoktur ??nk? orijinal problemde x yaln?zca bir ba??ms?z de?i?kende mevcuttu.

Bu dersin ?nemli noktalar?n? tekrar s?ralayay?m.

Bu sayfadaki logaritmik denklemlerin ??z?m?ne ayr?lm?? t?m derslerde ??retilen ana form?l kanonik formdur. Ve ?o?u okul ders kitab?n?n size bu t?r sorunlar? farkl? ?ekilde ??zmeyi ??retti?i ger?e?inden korkmay?n. Bu ara? ?ok etkili bir ?ekilde ?al???r ve dersimizin ba??nda inceledi?imiz en basit sorunlardan ?ok daha geni? bir sorun s?n?f?n? ??zmenize olanak tan?r.

Ayr?ca logaritmik denklemlerin ??z?m?nde temel ?zelliklerin bilinmesi yararl? olacakt?r. Yani:

1. Tek tabana ge?me form?l? ve logu ters ?evirdi?imizdeki ?zel durum (bu ilk problemde bizim i?in ?ok yararl?yd?);
2. Logaritma i?aretine kuvvet ekleme ve ??karma form?l?. Burada bir?ok ??renci tak?l?p kal?yor ve al?nan ve tan?t?lan derecenin kendisinin log f (x) i?erebilece?ini g?remiyor. Bunda yanl?? bir ?ey yok. Bir k?t??? di?erinin i?aretine g?re tan?tabiliriz ve ayn? zamanda ikinci durumda g?zlemledi?imiz gibi sorunun ??z?m?n? ?nemli ?l??de basitle?tirebiliriz.

Sonu? olarak, bu durumlar?n her birinde tan?m alan?n? kontrol etmenin gerekli olmad???n? eklemek isterim, ??nk? x de?i?keni her yerde log'un yaln?zca bir i?aretinde mevcuttur ve ayn? zamanda onun arg?man?ndad?r. Sonu? olarak kapsam?n t?m gereklilikleri otomatik olarak yerine getirilir.

De?i?ken tabanla ilgili sorunlar

Bug?n bir?ok ??renci i?in tamamen ??z?lemez olmasa da standart d??? g?r?nen logaritmik denklemlere bakaca??z. Say?lara de?il, de?i?kenlere, hatta fonksiyonlara dayal? ifadelerden bahsediyoruz. Bu t?r yap?lar? standart tekni?imizi, yani kanonik formu kullanarak ??zece?iz.

?ncelikle s?radan say?lara dayanarak en basit problemlerin nas?l ??z?ld???n? hat?rlayal?m. Yani en basit yap?ya denir

loga f(x) = b

Bu t?r problemleri ??zmek i?in a?a??daki form?l? kullanabiliriz:

b = log a a b

Orijinal ifademizi yeniden yazarsak ?unu elde ederiz:

log a f (x) = log a a b

Sonra arg?manlar? e?itliyoruz, yani ?unu yaz?yoruz:

f(x) = a b

B?ylece log i?aretinden kurtulup al???lagelmi? sorunu ??zm?? oluyoruz. Bu durumda ??z?mden elde edilen k?kler orijinal logaritmik denklemin k?kleri olacakt?r. Ek olarak, hem sol hem de sa??n ayn? logaritmada ve ayn? tabanda oldu?u bir kayda tam olarak kanonik form ad? verilir. ?yle bir rekora var?yoruz ki, bug?n?n tasar?mlar?n? azaltmaya ?al??aca??z. O zaman hadi gidelim.

?lk g?rev:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1'i log x - 2 (x - 2) 1 ile de?i?tirin. Arg?manda g?zlemledi?imiz derece asl?nda e?ittir i?aretinin sa??nda bulunan b say?s?d?r. B?ylece ifademizi yeniden yazal?m. ?unu elde ederiz:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ne g?r?yoruz? ?n?m?zde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu y?zden arg?manlar? g?venli bir ?ekilde e?itleyebiliriz. ?unu elde ederiz:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Ancak ??z?m burada bitmiyor ??nk? bu denklem orijinalinin e?de?eri de?il. Sonu?ta ortaya ??kan yap?, say? do?rusunda tan?mlanan fonksiyonlardan olu?ur ve orijinal logaritmalar?m?z her zaman ve her yerde tan?mlanmaz.

Bu nedenle tan?m alan?n? ayr?ca yazmam?z gerekir. Sa?malamayal?m ve ?nce t?m gereksinimleri yazal?m:

?lk olarak, logaritmalar?n her birinin arg?man? 0'dan b?y?k olmal?d?r:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

?kincisi, taban?n yaln?zca 0'dan b?y?k olmas? de?il ayn? zamanda 1'den farkl? olmas? gerekir:

x - 2 ? 1

Sonu? olarak, sistemi elde ediyoruz:

Ancak pani?e kap?lmay?n: Logaritmik denklemleri i?lerken b?yle bir sistem ?nemli ?l??de basitle?tirilebilir.

Kendiniz karar verin: Bir yandan ikinci dereceden fonksiyonun s?f?rdan b?y?k olmas? gerekiyor, di?er yandan bu ikinci dereceden fonksiyon belirli bir do?rusal ifadeye e?itleniyor ve bunun da s?f?rdan b?y?k olmas? gerekiyor.

Bu durumda, x - 2 > 0 olmas?n? istersek, 2x 2 - 13x + 18 > 0 gereksinimi otomatik olarak kar??lanacakt?r, dolay?s?yla ikinci dereceden fonksiyonu i?eren e?itsizli?in ?zerini g?venle ?izebiliriz. B?ylece sistemimizde yer alan ifade say?s? ??e d??ecektir.

Elbette ayn? ba?ar? ile do?rusal e?itsizli?in ?zerini ?izebiliriz, yani x - 2 > 0'?n ?zerini ?izebilir ve 2x 2 - 13x + 18 > 0 olmas?n? isteyebiliriz. Ancak en basit do?rusal e?itsizli?i ??zmenin ?ok daha h?zl? oldu?unu kabul edeceksiniz. ve ikinci dereceden daha basit, hatta t?m bu sistemin ??z?lmesinin bir sonucu olarak ayn? k?kleri elde etmemiz ko?uluyla bile.

Genel olarak m?mk?n oldu?unca hesaplamalar? optimize etmeye ?al???n. Logaritmik denklemler s?z konusu oldu?unda en zor e?itsizliklerin ?zerini ?izin.

Sistemimizi yeniden yazal?m:

Burada ?? ifadeden olu?an bir sistem var, bunlardan ikisini daha ?nce ele alm??t?k. ?kinci dereceden denklemi ayr? ayr? yaz?p ??zelim:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

?n?m?zde indirgenmi? ikinci dereceden bir ?? terimli var ve bu nedenle Vieta form?llerini kullanabiliriz. ?unu elde ederiz:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

?imdi sistemimize d?n?yoruz ve x = 2'nin bize uymad???n? g?r?yoruz ??nk? x'in kesinlikle 2'den b?y?k olmas? gerekiyor.

Ancak x = 5 bize ?ok yak???yor: 5 say?s? 2'den b?y?kt?r ve ayn? zamanda 5, 3'e e?it de?ildir. Dolay?s?yla bu sistemin tek ??z?m? x = 5 olacakt?r.

??te bu, ODZ dikkate al?narak sorun ??z?ld?. ?kinci denkleme ge?elim. Burada bizi daha ilgin? ve bilgilendirici hesaplamalar bekliyor:

?lk ad?m: Ge?en seferki gibi, t?m bu konuyu kanonik forma getiriyoruz. Bunun i?in 9 say?s?n? ?u ?ekilde yazabiliriz:

K?k ile tabana dokunman?za gerek yok, ancak arg?man? d?n??t?rmek daha iyidir. Rasyonel bir ?sle k?kten kuvvete do?ru ilerleyelim. Hadi yazal?m:

B?y?k logaritmik denklemimizin tamam?n? yeniden yazmama izin verin, ancak hemen arg?manlar? e?itleyelim:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

?n?m?zde yeni indirgenmi? ikinci dereceden bir trinomial var, Vieta form?llerini kullan?p yazal?m:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Yani k?kleri bulduk ama kimse bize bunlar?n orijinal logaritmik denkleme uyaca??n? garanti etmedi. Sonu?ta, log i?aretleri ek k?s?tlamalar getirmektedir (burada sistemi yazmam?z gerekirdi, ancak t?m yap?n?n hantal do?as? nedeniyle tan?m alan?n? ayr? olarak hesaplamaya karar verdim).

Her ?eyden ?nce, arg?manlar?n 0'dan b?y?k olmas? gerekti?ini unutmay?n; yani:

Bunlar tan?m?n kapsam?n?n gerektirdi?i gerekliliklerdir.

Hemen belirtelim ki sistemin ilk iki ifadesini birbirine e?itledi?imiz i?in herhangi birinin ?zerini ?izebiliriz. ?lkinin ?zerini ?izelim ??nk? ikincisinden daha tehditkar g?r?n?yor.

Ek olarak, ikinci ve ???nc? e?itsizliklerin ??z?m?n?n ayn? k?meler olaca??n? unutmay?n (e?er bu say?n?n kendisi s?f?rdan b?y?kse, bir say?n?n k?p? s?f?rdan b?y?kt?r; benzer ?ekilde, ???nc? derecenin k?k? ile - bu e?itsizlikler) tamamen benzerdir, dolay?s?yla ?zerini ?izebiliriz).

Ancak ???nc? e?itsizlikte bu i?e yaramayacakt?r. Her iki par?ay? da k?p haline getirerek soldaki k?k i?aretinden kurtulal?m. ?unu elde ederiz:

B?ylece a?a??daki gereksinimleri al?yoruz:

- 2 ? x > -3

K?klerimizden hangisi: x 1 = -3 veya x 2 = -1 bu gereksinimleri kar??l?yor? A??k?as?, yaln?zca x = -1, ??nk? x = -3 ilk e?itsizli?i kar??lam?yor (e?itsizli?imiz kat? oldu?u i?in). Yani problemimize d?nersek bir k?k elde ederiz: x = -1. ??te bu, sorun ??z?ld?.

Bir kez daha, bu g?revin kilit noktalar?:

1. Kanonik formu kullanarak logaritmik denklemleri uygulamaktan ve ??zmekten ?ekinmeyin. B?yle bir g?sterim yapan ??renciler, do?rudan orijinal problemden log a f(x) = b gibi bir yap?ya ge?mek yerine, hesaplamalar?n ara ad?mlar?n? atlayarak bir yere acele edenlere g?re ?ok daha az hata yaparlar;
2. Logaritmada de?i?ken bir taban ortaya ??kt??? anda problem en basit olmaktan ??kar. Bu nedenle, ??zerken tan?m alan?n? hesaba katmak gerekir: arg?manlar s?f?rdan b?y?k olmal? ve tabanlar yaln?zca 0'dan b?y?k olmamal?, ayn? zamanda 1'e e?it olmamal?d?r.

Nihai gereksinimler, nihai cevaplara farkl? ?ekillerde uygulanabilir. ?rne?in tan?m alan?na ait t?m gereksinimleri i?eren bir sistemin tamam?n? ??zebilirsiniz. ?te yandan, ?nce problemin kendisini ??zebilir, sonra tan?m alan?n? hat?rlayabilir, bunu bir sistem ?eklinde ayr? ayr? ??zebilir ve elde edilen k?klere uygulayabilirsiniz.

Belirli bir logaritmik denklemi ??zerken hangi y?ntemi se?ece?iniz size kalm??. Her durumda cevap ayn? olacakt?r.