Bu makalede y?ntem, do?rusal denklem sistemlerini (SLAE'ler) ??zmeye y?nelik bir y?ntem olarak ele al?nmaktad?r. Y?ntem analitiktir, yani bir ??z?m algoritmas? yazman?za olanak tan?r. genel g?r?n?m ve ard?ndan buradaki belirli ?rneklerden de?erleri de?i?tirin. Matris y?nteminden veya Cramer form?llerinden farkl? olarak, Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??zerken, sonsuz say?da ??z?m? olanlarla da ?al??abilirsiniz. Veya hi? sahip de?iller.

Gauss y?ntemini kullanarak ??zmek ne anlama gelir?

?ncelikle denklem sistemimizi yazmam?z gerekiyor. ??yle g?r?n?yor. Sistemi ele alal?m:

Katsay?lar tablo halinde, serbest terimler ise sa? tarafta ayr? bir s?tuna yaz?l?r. Serbest elemanlar?n bulundu?u s?tun kolayl?k sa?lamak i?in ayr?lm??t?r. Bu s?tunu i?eren matrise geni?letilmi? denir.

Daha sonra katsay?l? ana matrisin ?st ??gen forma indirgenmesi gerekir. Gauss y?ntemini kullanarak sistemi ??zmenin ana noktas? budur. Basit?e s?ylemek gerekirse, belirli manip?lasyonlardan sonra matris, sol alt k?sm? yaln?zca s?f?r i?erecek ?ekilde g?r?nmelidir:

Daha sonra, yeni matrisi bir denklem sistemi olarak tekrar yazarsan?z, son sat?r?n zaten k?klerden birinin de?erini i?erdi?ini fark edeceksiniz, bu daha sonra yukar?daki denklemde yerine konur, ba?ka bir k?k bulunur ve bu ?ekilde devam eder.

Bu, Gauss y?ntemiyle ??z?m?n en genel anlamda a??klamas?d?r. Aniden sistemin ??z?m? kalmazsa ne olur? Yoksa bunlardan sonsuz say?da m? var? Bunlar? ve di?er bir?ok soruyu cevaplamak i?in Gauss y?ntemini ??zmede kullan?lan t?m unsurlar? ayr? ayr? ele almak gerekir.

Matrisler, ?zellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Bu, daha sonraki i?lemler i?in verileri kaydetmenin basit bir yoludur. Okul ?ocuklar?n?n bile onlardan korkmas?na gerek yok.

Matris her zaman dikd?rtgendir ??nk? daha uygundur. Her ?eyin ??gen formlu bir matris olu?turmaya geldi?i Gauss y?nteminde bile, giri?te yaln?zca say?lar?n olmad??? yerde s?f?rlarla bir dikd?rtgen belirir. S?f?rlar yaz?lmam?? olabilir ancak ima edilmi?tir.

Matrisin bir boyutu vard?r. “Geni?li?i” sat?r say?s?d?r (m), “uzunluk” s?tun say?s?d?r (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (b?y?k Latin harfleri genellikle bunlar? belirtmek i?in kullan?l?r) A mxn olarak g?sterilecektir. E?er m=n ise bu matris karedir ve m=n onun mertebesidir. Buna g?re, A matrisinin herhangi bir eleman? sat?r ve s?tun numaralar?yla g?sterilebilir: a xy; x - sat?r numaras?, de?i?iklikler, y - s?tun numaras?, de?i?iklikler.

B karar?n ana noktas? de?ildir. Prensip olarak, t?m i?lemler do?rudan denklemlerle ger?ekle?tirilebilir, ancak g?sterim ?ok daha hantal olacak ve kafan?n kar??mas? ?ok daha kolay olacakt?r.

Belirleyici

Matrisin de bir determinant? vard?r. Bu ?ok ?nemli bir ?zelliktir. Art?k anlam?n? bulmaya gerek yok; basit?e nas?l hesapland???n? g?sterebilir ve ard?ndan matrisin hangi ?zelliklerini belirledi?ini s?yleyebilirsiniz. Determinant? bulman?n en kolay yolu k??egenlerdir. Matriste hayali k??egenler ?izilir; her birinde bulunan elemanlar ?arp?l?r ve daha sonra ortaya ??kan ?r?nler eklenir: sa?a e?imli k??egenler - art? i?aretli, sola e?imli - eksi i?aretli.

Determinant?n yaln?zca kare matris i?in hesaplanabilece?ini belirtmek son derece ?nemlidir. Dikd?rtgen bir matris i?in a?a??dakileri yapabilirsiniz: sat?r say?s? ve s?tun say?s? aras?ndan en k?????n? se?in (k olsun) ve ard?ndan matriste k s?tunu ve k sat?r? rastgele i?aretleyin. Se?ilen s?tun ve sat?rlar?n kesi?imindeki ??eler yeni bir kare matris olu?turacakt?r. B?yle bir matrisin determinant? s?f?rdan farkl? bir say? ise buna orijinal dikd?rtgen matrisin temel min?r? denir.

Gauss y?ntemini kullanarak bir denklem sistemini ??zmeye ba?lamadan ?nce determinant? hesaplaman?n zarar? olmaz. E?er s?f?r ??karsa, o zaman matrisin ya sonsuz say?da ??z?m? oldu?unu ya da hi? ??z?m? olmad???n? hemen s?yleyebiliriz. B?yle ?z?c? bir durumda daha ileri gitmeniz ve matrisin r?tbesini ??renmeniz gerekir.

Sistem s?n?fland?rmas?

Matrisin r?tbesi diye bir ?ey vard?r. Bu, s?f?r olmayan determinant?n?n maksimum s?ras?d?r (temel k???kleri hat?rlarsak, bir matrisin r?tbesinin temel k???klerin s?ras? oldu?unu s?yleyebiliriz).

Dereceli duruma ba?l? olarak SLAE ?u ?ekilde ayr?labilir:

• Eklem yeri. sen Ortak sistemlerde, ana matrisin s?ralamas? (yaln?zca katsay?lardan olu?ur), geni?letilmi? matrisin s?ralamas?yla (bir serbest terimler s?tunu ile) ?ak???r. Bu t?r sistemlerin bir ??z?m? vard?r, ancak mutlaka bir ??z?m? yoktur, bu nedenle ortak sistemler ayr?ca a?a??dakilere ayr?l?r:
• - kesin- tek bir ??z?me sahip olmak. Baz? sistemlerde matrisin s?ras? ve bilinmeyenlerin say?s? (veya ayn? ?ey olan s?tun say?s?) e?ittir;
• - tan?ms?z - sonsuz say?da ??z?mle. Bu t?r sistemlerde matrislerin s?ralamas? bilinmeyenlerin say?s?ndan azd?r.
• Uyumsuz. sen Bu t?r sistemlerde ana ve geni?letilmi? matrislerin s?ralar? ?ak??maz. Uyumsuz sistemlerin ??z?m? yoktur.

Gauss y?ntemi iyidir ??nk? ??z?m s?ras?nda ya sistemin tutars?zl???n?n kesin bir kan?t?n? (b?y?k matrislerin determinantlar?n? hesaplamadan) ya da sonsuz say?da ??z?m? olan bir sistem i?in genel formda bir ??z?m elde etmeyi sa?lar.

Temel d?n???mler

Do?rudan sistemi ??zmeye ge?meden ?nce, onu daha az hantal ve hesaplamalar i?in daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel d?n???mler yoluyla ger?ekle?tirilir; b?ylece bunlar?n uygulanmas? nihai cevab? hi?bir ?ekilde de?i?tirmez. Verilen temel d?n???mlerden baz?lar?n?n yaln?zca kayna?? SLAE olan matrisler i?in ge?erli oldu?una dikkat edilmelidir. ??te bu d?n???mlerin bir listesi:

1. ?izgilerin yeniden d?zenlenmesi. A??k?as? sistem kayd?ndaki denklemlerin s?ras?n? de?i?tirmeniz ??z?m? hi?bir ?ekilde etkilemeyecektir. Sonu? olarak, bu sistemin matrisindeki sat?rlar da de?i?tirilebilir, tabii ki serbest terimler s?tununu da unutmadan.
2. Bir dizenin t?m elemanlar?n?n belirli bir katsay? ile ?arp?lmas?. ?ok faydal?! Bir matristeki b?y?k say?lar? azaltmak veya s?f?rlar? kald?rmak i?in kullan?labilir. ?o?u karar, her zamanki gibi de?i?meyecek, ancak daha sonraki operasyonlar daha uygun hale gelecektir. ?nemli olan katsay?n?n s?f?ra e?it olmamas?d?r.
3. Orant?l? ?arpanlara sahip sat?rlar?n kald?r?lmas?. Bu k?smen ?nceki paragraftan kaynaklanmaktad?r. Bir matristeki iki veya daha fazla sat?r?n orant?sal katsay?lar? varsa, sat?rlardan biri orant? katsay?s?yla ?arp?ld???nda/b?l?ld???nde, iki (veya yine daha fazla) tamamen ayn? sat?r elde edilir ve fazla olanlar kald?r?labilir. sadece bir tane.
4. Bo? bir sat?r?n kald?r?lmas?. D?n???m s?ras?nda, serbest terim dahil t?m elemanlar?n s?f?r oldu?u bir yerde bir sat?r elde edilirse, b?yle bir sat?ra s?f?r denilebilir ve matrisin d???na at?labilir.
5. Bir sat?r?n elemanlar?na di?erinin elemanlar?n?n (ilgili s?tunlarda) eklenmesi, belirli bir katsay? ile ?arp?lmas?. T?m d?n???mlerin en bariz ve en ?nemlisi. ?zerinde daha ayr?nt?l? olarak durmaya de?er.

Bir fakt?rle ?arp?lm?? bir dize ekleme

Anla??lma kolayl??? a??s?ndan bu s?reci ad?m ad?m ?zetlemeye de?er. Matristen iki sat?r al?n?r:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

Diyelim ki birinciyi ikinciye "-2" katsay?s?yla ?arpman?z gerekiyor.

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Daha sonra matristeki ikinci sat?r yenisiyle de?i?tirilir ve birincisi de?i?meden kal?r.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

?arpma katsay?s?n?n, iki sat?r?n eklenmesi sonucunda yeni sat?r?n elemanlar?ndan birinin s?f?ra e?it olaca?? ?ekilde se?ilebilece?ine dikkat edilmelidir. Dolay?s?yla bilinmeyenin az olaca?? bir sistemde denklem elde etmek m?mk?nd?r. Ve e?er bu t?r iki denklem elde ederseniz, i?lem tekrar yap?labilir ve iki daha az bilinmeyen i?eren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalin alt?ndaki t?m sat?rlar?n bir katsay?s?n? her s?f?ra ?evirdi?inizde, merdivenler gibi matrisin en alt?na inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Buna Gauss y?ntemini kullanarak sistemi ??zmek denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. M denklemi ve n bilinmeyen k?k? var. Bunu a?a??daki gibi yazabilirsiniz:

Ana matris sistem katsay?lar?ndan derlenmi?tir. Geni?letilmi? matrise serbest terimlerden olu?an bir s?tun eklenir ve kolayl?k olmas? a??s?ndan bir ?izgiyle ayr?l?r.

• matrisin ilk sat?r? k = (-a 21 /a 11) katsay?s? ile ?arp?l?r;
• matrisin de?i?tirilen ilk sat?r? ile ikinci sat?r? eklenir;
• ikinci sat?r yerine ?nceki paragraftaki eklemenin sonucu matrise eklenir;
• ?imdi yeni ikinci sat?rdaki ilk katsay? a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'd?r.

?imdi ayn? d?n???m dizisi ger?ekle?tirilir, yaln?zca birinci ve ???nc? s?ralar s?z konusudur. Buna g?re algoritman?n her ad?m?nda a (21) eleman?n?n yerini 31 al?r. Sonra her ?ey 41, ... m1 i?in tekrarlan?r. Sonu?, sat?rlardaki ilk eleman?n s?f?r oldu?u bir matristir. Art?k birinci sat?r? unutup ikinci sat?rdan ba?layarak ayn? algoritmay? uygulaman?z gerekiyor:

• katsay?s? k = (-a 32 /a 22);
• de?i?tirilen ikinci sat?r “ge?erli” sat?ra eklenir;
• toplaman?n sonucu ???nc?, d?rd?nc? vb. sat?rlara aktar?l?r, birinci ve ikinci sat?rlar de?i?meden kal?r;
• matrisin sat?rlar?nda ilk iki ??e zaten s?f?ra e?ittir.

Algoritma k = (-a m,m-1 /a mm) katsay?s? g?r?nene kadar tekrarlanmal?d?r. Bu, algoritman?n en son ?al??t?r?ld??? zaman?n yaln?zca alt denklem i?in oldu?u anlam?na gelir. Art?k matris bir ??gene benziyor veya basamakl? bir ?ekle sahip. Sonu? olarak a mn x x n = b m e?itli?i vard?r. Katsay? ve serbest terim bilinmektedir ve k?k bunlarla ifade edilir: x n = b m /a mn. Ortaya ??kan k?k, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1'i bulmak i?in ?st sat?ra yerle?tirilir. Ve benzetme yoluyla b?yle devam eder: Sonraki her sat?rda yeni bir k?k vard?r ve sistemin "tepesine" ula?t???n?zda bir?ok ??z?m bulabilirsiniz. Tek olacak.

??z?m olmad???nda

Matris sat?rlar?ndan birinde serbest terim d???ndaki t?m elemanlar s?f?ra e?itse bu sat?ra kar??l?k gelen denklem 0 = b gibi g?r?n?r. ??z?m? yok. Ve b?yle bir denklem sisteme dahil edildi?inden, t?m sistemin ??z?m k?mesi bo?tur, yani dejeneredir.

Sonsuz say?da ??z?m oldu?unda

Verilen ??gen matriste denklemin bir katsay? eleman? ve bir serbest terim i?eren sat?rlar?n bulunmamas? m?mk?nd?r. Yaln?zca yeniden yaz?ld???nda iki veya daha fazla de?i?kenli bir denklem gibi g?r?nen ?izgiler vard?r. Bu, sistemin sonsuz say?da ??z?m? oldu?u anlam?na gelir. Bu durumda cevap genel bir ??z?m ?eklinde verilebilir. Bu nas?l yap?l?r?

Matristeki t?m de?i?kenler temel ve serbest olarak ayr?lm??t?r. Temel olanlar, ad?m matrisindeki sat?rlar?n "kenar?nda" duranlard?r. Gerisi ?cretsizdir. Genel ??z?mde temel de?i?kenler serbest de?i?kenler ?zerinden yaz?l?r.

Kolayl?k sa?lamak i?in, matris ?nce bir denklem sistemine yeniden yaz?l?r. Daha sonra, tam olarak tek bir temel de?i?kenin kald??? sonuncusunda, o bir tarafta kal?r ve geri kalan her ?ey di?er tarafa aktar?l?r. Bu, bir temel de?i?kene sahip her denklem i?in yap?l?r. Daha sonra geri kalan denklemlerde m?mk?n oldu?unca temel de?i?ken yerine kendisi i?in elde edilen ifade de?i?tirilir. Sonu? yine tek bir temel de?i?ken i?eren bir ifade ise, buradan tekrar ifade edilir ve her temel de?i?ken serbest de?i?kenli bir ifade olarak yaz?lana kadar bu ?ekilde devam eder. Bu SLAE'nin genel ??z?m?d?r.

Ayr?ca sistemin temel ??z?m?n? de bulabilirsiniz - serbest de?i?kenlere herhangi bir de?er verin ve ard?ndan bu ?zel durum i?in temel de?i?kenlerin de?erlerini hesaplay?n. Verilebilecek sonsuz say?da ?zel ??z?m vard?r.

?zel ?rneklerle ??z?m

Burada bir denklem sistemi var.

Kolayl?k sa?lamak i?in matrisini hemen olu?turmak daha iyidir

Gauss y?ntemiyle ??z?ld???nde ilk sat?ra kar??l?k gelen denklemin d?n???mler sonunda de?i?meden kalaca?? bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol ?st eleman?n?n en k???k olmas? daha karl? olacakt?r - o zaman i?lemlerden sonra kalan sat?rlar?n ilk elemanlar? s?f?ra d?necektir. Bu, derlenmi? matriste ikinci sat?r? birincinin yerine koyman?n avantajl? olaca?? anlam?na gelir.

ikinci sat?r: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + kxa 11 = 3 + (-3)x1 = 0

a" 22 = a 22 + kxa 12 = -1 + (-3)x2 = -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b" 2 = b 2 + kxb 1 = 12 + (-3)x12 = -24

???nc? sat?r: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b" 3 = b 3 + kxb 1 = 3 + (-5)x12 = -57

?imdi kafan?z?n kar??mamas? i?in d?n???mlerin ara sonu?lar?n? i?eren bir matris yazman?z gerekiyor.

A??k?as?, b?yle bir matris belirli i?lemler kullan?larak alg?lama i?in daha uygun hale getirilebilir. ?rne?in, her bir ??eyi “-1” ile ?arparak ikinci sat?rdaki t?m “eksileri” kald?rabilirsiniz.

Ayr?ca ???nc? sat?rdaki t?m elemanlar?n ???n kat? oldu?unu da belirtmekte fayda var. Daha sonra, her bir ??eyi "-1/3" (eksi - ayn? zamanda negatif de?erleri kald?rmak i?in) ile ?arparak dizeyi bu say?ya kadar k?saltabilirsiniz.

?ok daha g?zel g?r?n?yor. Art?k birinci sat?r? b?rak?p ikinci ve ???nc? sat?rlarla ?al??mam?z gerekiyor. G?rev, ikinci sat?r? ???nc? sat?ra eklemek, ?yle bir katsay? ile ?arpmakt?r ki, a 32 eleman? s?f?ra e?it olur.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (baz? d?n???mler s?ras?nda yan?t?n bir tam say? olmad??? ortaya ??karsa, hesaplamalar?n do?rulu?unun korunmas? ?nerilir. s?radan kesirler bi?iminde "oldu?u gibi" ve ancak o zaman cevaplar al?nd???nda, yuvarlan?p ba?ka bir kay?t bi?imine d?n??t?r?l?p d?n??t?r?lmeyece?ine karar verilir)

a" 32 = a 32 + kxa 22 = 3 + (-3/7)x7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + kxa 23 = 6 + (-3/7)x11 = -9/7

b" 3 = b 3 + kxb 2 = 19 + (-3/7)x24 = -61/7

Matris yeni de?erlerle yeniden yaz?l?r.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

G?rd???n?z gibi ortaya ??kan matris zaten basamakl? bir forma sahip. Bu nedenle sistemin Gauss y?ntemi kullan?larak daha fazla d?n??t?r?lmesine gerek yoktur. Burada yapabilece?iniz ?ey ???nc? sat?rdaki "-1/7" genel katsay?s?n? kald?rmakt?r.

?imdi her ?ey ?ok g?zel. Geriye matrisi tekrar denklem sistemi ?eklinde yaz?p k?kleri hesaplamak kal?yor.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Art?k k?klerin bulunaca?? algoritmaya Gauss y?nteminde ters hareket ad? verilmektedir. Denklem (3) z de?erini i?erir:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmam?z? sa?lar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

B?yle bir sistemi ortak, hatta kesin, yani benzersiz bir ??z?me sahip olarak adland?rma hakk?m?z var. Cevap a?a??daki bi?imde yaz?lm??t?r:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Belirsiz bir sisteme ?rnek

Belirli bir sistemi Gauss y?ntemini kullanarak ??zmenin varyant? analiz edildi; ?imdi sistemin belirsiz olup olmad???, yani bunun i?in sonsuz say?da ??z?m?n bulunabilece?i durumu dikkate almak gerekir.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sistemin g?r?n?m? zaten endi?e vericidir, ??nk? bilinmeyenlerin say?s? n = 5'tir ve sistem matrisinin s?ralamas? zaten bu say?dan tam olarak daha azd?r, ??nk? sat?r say?s? m = 4't?r, yani, determinant karenin en b?y?k s?ras? 4't?r. Bu, sonsuz say?da ??z?m oldu?u ve genel g?r?n?m?ne bakman?z gerekti?i anlam?na gelir. Do?rusal denklemler i?in Gauss y?ntemi bunu yapman?za olanak sa?lar.

?lk olarak, her zamanki gibi geni?letilmi? bir matris derlenir.

?kinci sat?r: k katsay?s? = (-a 21 /a 11) = -3. ???nc? sat?rda ise ilk element d?n???mlerden ?nce oldu?u i?in hi?bir ?eye dokunman?za gerek yok, oldu?u gibi b?rakman?z gerekiyor. D?rd?nc? sat?r: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

?lk sat?r?n elemanlar?n? s?ras?yla katsay?lar?yla ?arparak ve gerekli sat?rlara ekleyerek a?a??daki formda bir matris elde ederiz:

G?rd???n?z gibi ikinci, ???nc? ve d?rd?nc? s?ralar birbiriyle orant?l? unsurlardan olu?uyor. ?kinci ve d?rd?nc? genellikle ayn?d?r, yani bunlardan biri hemen kald?r?labilir ve geri kalan "-1" katsay?s? ile ?arp?larak 3 numaral? sat?r? elde edilebilir. Ve yine iki ?zde? sat?rdan bir tane b?rak?n.

Sonu? bunun gibi bir matristir. Sistem hen?z yaz?ya ge?irilmemi? olsa da, burada temel de?i?kenleri (a 11 = 1 ve a 22 = 1 katsay?lar?nda duranlar ve serbest olanlar) belirlemek gerekiyor.

?kinci denklemde yaln?zca bir temel de?i?ken vard?r - x 2. Bu, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 de?i?kenleri arac?l???yla oradan yaz?larak ifade edilebilece?i anlam?na gelir.

Ortaya ??kan ifadeyi ilk denklemde yerine koyar?z.

Sonu?, tek temel de?i?kenin x 1 oldu?u bir denklemdir. X 2 ile yapt???m?z?n ayn?s?n? onunla da yapal?m.

?ki tane olan t?m temel de?i?kenler ?? serbest de?i?kenle ifade edilir; art?k cevab? genel bi?imde yazabiliriz.

Ayr?ca sistemin belirli ??z?mlerinden birini de belirleyebilirsiniz. Bu gibi durumlarda serbest de?i?kenlerin de?eri olarak genellikle s?f?rlar se?ilir. O zaman cevap ?u olacakt?r:

16, 23, 0, 0, 0.

??birlik?i olmayan bir sistem ?rne?i

Uyumsuz denklem sistemlerini Gauss y?ntemini kullanarak ??zmek en h?zl? y?ntemdir. A?amalardan birinde ??z?m? olmayan bir denklem elde edilir edilmez hemen sona erer. Yani olduk?a uzun ve me?akkatli olan k?klerin hesaplanmas? a?amas? ortadan kalkmaktad?r. A?a??daki sistem dikkate al?n?r:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi matris derlendi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

?lk d?n???mden sonra ???nc? sat?r ?u ?ekilde bir denklem i?erir:

bir ??z?m olmadan. Sonu? olarak sistem tutars?zd?r ve cevap bo? k?me olacakt?r.

Y?ntemin avantajlar? ve dezavantajlar?

SLAE'leri ka??t ?zerinde kalemle ??zmek i?in hangi y?ntemi se?erseniz, bu makalede tart???lan y?ntem en ?ekici g?r?n?yor. Temel d?n???mlerde kafan?z?n kar??mas?, bir determinant? veya baz? zor ters matrisleri manuel olarak araman?z gerekti?inden ?ok daha zordur. Bununla birlikte, bu t?r verilerle, ?rne?in elektronik tablolarla ?al??mak i?in programlar kullan?yorsan?z, bu t?r programlar?n, matrislerin ana parametrelerini (determinant, k???kler, ters vb.) hesaplamak i?in zaten algoritmalar i?erdi?i ortaya ??kar. Ve makinenin bu de?erleri kendisinin hesaplayaca??ndan ve hata yapmayaca??ndan eminseniz, matris y?ntemini veya Cramer form?llerini kullanman?z daha tavsiye edilir, ??nk? bunlar?n kullan?m? determinantlar?n ve ters matrislerin hesaplanmas?yla ba?lar ve biter.

Ba?vuru

Gauss ??z?m? bir algoritma oldu?undan ve matris asl?nda iki boyutlu bir dizi oldu?undan programlamada kullan?labilir. Ancak makale kendisini "aptallar i?in" bir rehber olarak konumland?rd??? i?in, y?ntemi yerle?tirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, ?rne?in Excel oldu?u s?ylenmelidir. Yine matris bi?iminde bir tabloya girilen herhangi bir SLAE, Excel taraf?ndan iki boyutlu bir dizi olarak de?erlendirilecektir. Ve onlarla i?lemler i?in pek ?ok g?zel komut vard?r: toplama (yaln?zca ayn? boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), bir say?yla ?arpma, matrisleri ?arpma (yine belirli k?s?tlamalarla), ters ve devrik matrisleri bulma ve en ?nemlisi , determinant?n hesaplanmas?. Zaman al?c? bu g?revin yerini tek bir komut al?rsa, matrisin s?ralamas?n? ?ok daha h?zl? belirlemek ve dolay?s?yla uyumlulu?unu veya uyumsuzlu?unu tespit etmek m?mk?n olur.

E?itim kurumu "Belarus Devleti

Ziraat Akademisi"

Y?ksek Matematik B?l?m?

Y?nergeler

“Do?rusal sistemlerin ??z?m? i?in Gauss y?ntemi” konusunu incelemek

Yaz??mal? e?itim muhasebe fak?ltesi (NISPO) ??rencileri taraf?ndan "denklemler"

Gorki, 2013

Do?rusal denklem sistemlerini ??zmek i?in Gauss y?ntemi

E?de?er denklem sistemleri

?ki do?rusal denklem sisteminden birinin ??z?m? di?erinin ??z?m? ise e?de?er oldu?u s?ylenir. Bir do?rusal denklem sistemini ??zme s?reci, onu s?zde kullanarak s?rayla e?de?er bir sisteme d?n??t?rmekten olu?ur. temel d?n???mler , bunlar:

1) sistemin herhangi iki denkleminin yeniden d?zenlenmesi;

2) sistemin herhangi bir denkleminin her iki taraf?n?n s?f?rdan farkl? bir say? ile ?arp?lmas?;

3) herhangi bir denkleme herhangi bir say?yla ?arp?lm?? ba?ka bir denklem eklemek;

4) s?f?rlardan olu?an bir denklemin ?zerini ?izmek, yani. formun denklemleri

Gauss eliminasyonu

Sistemi d???n?n M ile do?rusal denklemler N bilinmiyor:

Gauss y?nteminin veya bilinmeyenlerin s?ral? olarak ortadan kald?r?lmas? y?nteminin ?z? a?a??daki gibidir.

?lk olarak, temel d?n???mler kullan?larak bilinmeyen, ilki d???ndaki sistemin t?m denklemlerinden ??kar?l?r. Bu t?r sistem d?n???mlerine denir Gauss eleme ad?m? . Bilinmeyene denir etkinle?tirme de?i?keni d?n???m?n ilk ad?m?nda. Katsay? denir ??z?n?rl?k fakt?r? , ilk denklem denir denklem ??zme ve katsay?lar s?tunu izin s?tunu .

Gauss eliminasyonunun bir ad?m?n? ger?ekle?tirirken a?a??daki kurallar? kullanman?z gerekir:

1) ??z?mleme denkleminin katsay?lar? ve serbest terimi de?i?meden kal?r;

2) ??z?n?rl?k katsay?s?n?n alt?nda bulunan ??z?n?rl?k s?tununun katsay?lar? s?f?r olur;

3) ilk ad?m? ger?ekle?tirirken di?er t?m katsay?lar ve serbest terimler dikd?rtgen kural?na g?re hesaplan?r:

, Nerede Ben=2,3,…,M; J=2,3,…,N.

Benzer d?n???mleri sistemin ikinci denkleminde de uygulayaca??z. Bu, ilk ikisi d???ndaki t?m denklemlerde bilinmeyenin elendi?i bir sisteme yol a?acakt?r. Sistemin denklemlerinin her biri ?zerindeki bu t?r d?n???mlerin bir sonucu olarak (Gauss y?nteminin do?rudan ilerlemesi), orijinal sistem, a?a??daki t?rlerden birinin e?de?er bir ad?m sistemine indirgenir.

Ters Gauss Y?ntemi

Ad?m sistemi

??gen bir g?r?n?me sahip ve bu kadar (Ben=1,2,…,N). B?yle bir sistemin benzersiz bir ??z?m? vard?r. Bilinmeyenler son denklemden ba?lanarak belirlenir (Gauss y?nteminin tersi).

Ad?m sistemi ?u ?ekildedir:

nerede, yani Sistemin denklem say?s? bilinmeyen say?s?ndan az veya ona e?ittir. Son denklem de?i?kenin herhangi bir de?eri i?in kar??lanmayaca??ndan bu sistemin ??z?m? yoktur.

Ad?m tipi sistem

say?s?z ??z?m? var. Son denklemden bilinmeyen, bilinmeyenler arac?l???yla ifade edilir. . Daha sonra sondan bir ?nceki denklemde bilinmeyen yerine ifadesi bilinmeyenlerle de?i?tirilir. . Gauss y?nteminin tersini s?rd?rerek bilinmeyenler bilinmeyenler cinsinden ifade edilebilir . Bu durumda bilinmeyenler denir ?zg?r ve herhangi bir de?eri alabilir ve bilinmiyor temel.

Sistemleri pratikte ??zerken, t?m d?n???mleri bir denklem sistemiyle de?il, bilinmeyenler i?in katsay?lardan ve bir serbest terimler s?tunundan olu?an sistemin geni?letilmi? matrisiyle ger?ekle?tirmek uygundur.

?rnek 1. Denklem sistemini ??zme

??z?m. Sistemin geni?letilmi? bir matrisini olu?tural?m ve temel d?n???mleri ger?ekle?tirelim:

.

Sistemin geni?letilmi? matrisinde 3 say?s? (vurgulanm??t?r) ??z?n?rl?k katsay?s?, ilk sat?r ??z?n?rl?k sat?r? ve ilk s?tun ??z?n?rl?k s?tunudur. Bir sonraki matrise ge?erken ??z?n?rl?k sat?r? de?i?mez; ??z?n?rl?k ??esinin alt?ndaki ??z?n?rl?k s?tununun t?m ??eleri s?f?rlarla de?i?tirilir. Ve matrisin di?er t?m elemanlar? d?rtgen kural?na g?re yeniden hesaplan?r. ?kinci sat?rdaki 4. ??e yerine yaz?yoruz ikinci sat?rdaki -3 eleman? yerine yaz?lacak vesaire. B?ylece ikinci matris elde edilmi? olacakt?r. Bu matrisin ??z?n?rl?k eleman? ikinci sat?rdaki 18 say?s? olacakt?r. Bir sonraki (???nc? matris) olu?turmak i?in, ikinci sat?r? de?i?tirmeden b?rak?n, ??z?mleyen ??enin alt?ndaki s?tuna s?f?r yaz?n ve kalan iki ??eyi yeniden hesaplay?n: 1 say?s? yerine ?unu yaz?n: ve 16 say?s? yerine yaz?yoruz.

Sonu? olarak orijinal sistem e?de?er bir sisteme indirgendi

Buldu?umuz ???nc? denklemden . Bu de?eri ikinci denklemde yerine koyal?m: sen=3. Bulunan de?erleri ilk denklemde yerine koyal?m sen Ve z: , X=2.

B?ylece bu denklem sisteminin ??z?m? X=2, sen=3, .

?rnek 2. Denklem sistemini ??zme

??z?m. Sistemin geni?letilmi? matrisi ?zerinde temel d?n???mleri ger?ekle?tirelim:

?kinci matriste ???nc? sat?r?n her eleman? 2'ye b?l?n?r.

D?rd?nc? matriste ???nc? ve d?rd?nc? sat?rlar?n her bir eleman? 11'e b?l?nd?.

. Ortaya ??kan matris denklem sistemine kar??l?k gelir

Bu sistemi ??zerek ?unu buluruz: , , .

?rnek 3. Denklem sistemini ??zme

??z?m. Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri ger?ekle?tirelim:

.

?kinci matriste ikinci, ???nc? ve d?rd?nc? sat?rlar?n her bir eleman? 7'ye b?l?nd?.

Sonu? olarak bir denklem sistemi elde edildi

orijinaline e?de?erdir.

Bilinmeyenlerden iki daha az denklem oldu?undan, ikinci denklemden . ifadesini ilk denklemde yerine koyal?m: , .

B?ylece form?ller Bu denklem sisteminin genel ??z?m?n? verin. Bilinmeyenler ?cretsizdir ve her de?eri alabilir.

?rne?in, Daha sonra Ve . ??z?m sistemin say?s?z olan ?zel ??z?mlerinden biridir.

Bilginin ?z kontrol?ne y?nelik sorular

1) Do?rusal sistemlerin hangi d?n???mlerine temel denir?

2) Sistemin hangi d?n???mlerine Gauss eliminasyon ad?m? denir?

3) ??z?c? de?i?ken, ??z?mleyici katsay?, ??z?mleyici s?tun nedir?

4) Gauss eliminasyonunun bir ad?m?n? ger?ekle?tirirken hangi kurallar kullan?lmal?d?r?

??z?lmesi gereken bir do?rusal cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini e?itli?e d?n??t?ren bilinmeyen xi de?erlerini bulun).

Bir do?rusal cebirsel denklem sisteminin ?unlar? yapabilece?ini biliyoruz:

1) ??z?m?n?z yok (olun) ortak olmayan).
2) Sonsuz say?da ??z?m? var.
3) Tek bir ??z?m?n?z olsun.

Hat?rlad???m?z gibi sistemin sonsuz say?da ??z?m? oldu?u veya tutars?z oldu?u durumlarda Cramer kural? ve matris y?ntemi uygun de?ildir. Gauss y?ntemi – Herhangi bir do?rusal denklem sistemine ??z?m bulmak i?in en g??l? ve ?ok y?nl? ara?, Hangi her durumda bizi cevaba g?t?recek! Y?ntem algoritmas?n?n kendisi her ?? durumda da ayn? ?ekilde ?al???r. Cramer ve matris y?ntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss y?ntemini uygulamak i?in yaln?zca aritmetik i?lemler bilgisine ihtiyac?n?z vard?r, bu da onu ilkokul ??rencileri i?in bile eri?ilebilir k?lar.

Art?r?lm?? matris d?n???mleri ( bu sistemin matrisidir - yaln?zca bilinmeyenlerin katsay?lar?ndan ve serbest terimlerden olu?an bir s?tundan olu?an bir matris) Gauss y?ntemindeki do?rusal cebirsel denklem sistemleri:

1) ?le troki matrisler Olabilmek yeniden d?zenlemek baz? yerlerde.

2) matriste orant?l? (?zel bir durum olarak - ayn?) sat?rlar g?r?n?yorsa (veya mevcutsa), o zaman ?unlar? yapmal?s?n?z: silmek Bu sat?rlar?n biri hari? t?m? matristendir.

3) d?n???mler s?ras?nda matriste s?f?r sat?r g?r?n?yorsa, o zaman da olmal?d?r silmek.

4) matrisin bir sat?r? olabilir ?arpmak (b?lmek) s?f?rdan ba?ka herhangi bir say?ya.

5) matrisin bir sat?r?na ?unlar? yapabilirsiniz: bir say?yla ?arp?lan ba?ka bir dize ekle, s?f?rdan farkl?.

Gauss y?nteminde elemanter d?n???mler denklem sisteminin ??z?m?n? de?i?tirmez.

Gauss y?ntemi iki a?amadan olu?ur:

1. "Do?rudan hareket" - temel d?n???mleri kullanarak, do?rusal cebirsel denklemler sisteminin geni?letilmi? matrisini "??gen" ad?m formuna getirin: ana k??egenin alt?nda bulunan geni?letilmi? matrisin elemanlar? s?f?ra e?ittir (yukar?dan a?a??ya hareket). ?rne?in, bu t?re:

Bunu yapmak i?in a?a??daki ad?mlar? izleyin:

1) Lineer cebirsel denklemler sisteminin ilk denklemini ele alal?m ve x 1'in katsay?s? K'ye e?ittir. ?kinci, ???nc?, vb. denklemleri ?u ?ekilde d?n??t?r?yoruz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenler i?in katsay?lar), her denklemde bulunan bilinmeyen x 1 katsay?s?na b?l?yoruz ve K ile ?arp?yoruz. Bundan sonra birinciyi ikinciden ??kar?yoruz denklem (bilinmeyenler ve serbest terimler i?in katsay?lar). ?kinci denklemde x 1 i?in 0 katsay?s?n? elde ederiz. D?n??t?r?len ???nc? denklemden, bilinmeyen x 1 i?in birinci d???ndaki t?m denklemler 0 katsay?s?na sahip olana kadar birinci denklemi ??kar?r?z.

2) Bir sonraki denkleme ge?elim. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'nin katsay?s? M'ye e?it olsun. T?m "alt" denklemlerle yukar?da anlat?ld??? gibi devam ediyoruz. B?ylece t?m denklemlerde bilinmeyen x 2'nin “alt?nda” s?f?rlar olacakt?r.

3) Bir sonraki denkleme ge?in ve son bir bilinmeyene ve d?n??t?r?lm?? serbest terim kalana kadar devam edin.

1. Gauss y?nteminin "tersine hareketi", do?rusal cebirsel denklemler sistemine ("a?a??dan yukar?ya" hareket) bir ??z?m elde etmektir.

Son “alt” denklemden bir birinci ??z?m elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunu yapmak i?in A * x n = B temel denklemini ??z?yoruz. Yukar?da verilen ?rnekte x 3 = 4. Bulunan de?eri bir sonraki "?st" denklemin yerine koyuyoruz ve bir sonraki bilinmeyene g?re ??z?yoruz. ?rne?in x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. T?m bilinmeyenleri bulana kadar b?yle devam ederiz.

?rnek.

Baz? yazarlar?n ?nerdi?i gibi, do?rusal denklem sistemini Gauss y?ntemini kullanarak ??zelim:

Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri kullanarak onu ad?m ad?m forma getirelim:
Sol ?stteki “ad?ma” bak?yoruz. Orada bir tane olmal?. Sorun ?u ki, ilk s?tunda hi? birim yok, dolay?s?yla sat?rlar? yeniden d?zenlemek hi?bir ?eyi ??zmeyecek. Bu gibi durumlarda ?nitenin temel bir d?n???m kullan?larak d?zenlenmesi gerekir. Bu genellikle birka? yolla yap?labilir. Hadi ?unu yapal?m: 1 ad?m

. ?lk sat?ra ikinci sat?r? –1 ile ?arparak ekliyoruz. Yani ikinci sat?r? zihinsel olarak –1 ile ?arp?p birinci ve ikinci sat?rlar? ekledik, ikinci sat?r de?i?medi.

?imdi sol ?stte “eksi bir” var ki bu da bize ?ok yak???yor. +1 almak isteyen herkes ek bir i?lem yapabilir: ?lk sat?r? –1 ile ?arp?n (i?aretini de?i?tirin). 2. Ad?m

. ?lk sat?r 5 ile ?arp?larak ikinci sat?ra eklendi. ?lk sat?r 3 ile ?arp?larak ???nc? sat?ra eklendi. 3. Ad?m

. ?lk sat?r -1 ile ?arp?ld?, prensip olarak bu g?zellik i?indir. ???nc? sat?r?n i?areti de de?i?tirilerek ikinci s?raya ta??nd?, b?ylece ikinci “ad?m”da gerekli ?niteye sahip olduk. 4. Ad?m

. ???nc? sat?r, ikinci sat?ra 2 ile ?arp?larak eklendi. Ad?m 5

. ???nc? sat?r 3'e b?l?nd?.

Hesaplamalarda bir hata oldu?unu g?steren bir i?aret (daha nadiren bir yaz?m hatas?) "k?t?" bir sonu?tur. Yani, a?a??da (0 0 11 |23) gibi bir ?ey elde edersek ve buna g?re 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 olursa, o zaman y?ksek bir olas?l?kla ilkokul s?ras?nda bir hata yap?ld???n? s?yleyebiliriz. d?n???mler.

Bunun tersini yapal?m; ?rneklerin tasar?m?nda sistemin kendisi genellikle yeniden yaz?lmaz, ancak denklemler "do?rudan verilen matristen al?n?r." Size hat?rlat?r?m, ters hareket a?a??dan yukar?ya do?ru ?al???r. Bu ?rnekte sonu? bir hediyeydi:
x 3 = 1
x 2 = 3

x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolay?s?yla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1 Cevap

Ayn? sistemi ?nerilen algoritmay? kullanarak ??zelim. Ald?k

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

?kinci denklemi 5'e, ???nc?s?n? ise 3'e b?lersek ?unu elde ederiz:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

?kinci ve ???nc? denklemleri 4 ile ?arparsak ?unu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve ???nc? denklemlerden ??kar?rsak:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

???nc? denklemi 0,64'e b?l?n:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

???nc? denklemi 0,4 ile ?arp?n

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

?kinciyi ???nc? denklemden ??kararak "ad?ml?" bir geni?letilmi? matris elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

B?ylece hesaplamalar s?ras?nda olu?an hata nedeniyle x 3 = 0,96 yani yakla??k 1 elde ederiz.

x 2 = 3 ve x 1 = –1.

Bu ?ekilde ??zd???n?zde hesaplamalarda hi?bir zaman kafan?z kar??maz ve hesaplama hatalar?na ra?men sonuca ula??rs?n?z.

Bir do?rusal cebirsel denklem sistemini ??zmenin bu y?nteminin programlanmas? kolayd?r ve bilinmeyenler i?in katsay?lar?n belirli ?zelliklerini hesaba katmaz ??nk? pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsay? olmayan katsay?larla u?ra?mak gerekir.

Size ba?ar?lar diliyorum! S?n?fta g?r???r?z! ??retmen Dmitry Aystrakhanov.

web sitesi, materyalin tamam? veya bir k?sm? kopyalan?rken orijinal kayna?a bir ba?lant? gereklidir.

T?m ??z?mlerinin k?mesi ?ak???yorsa, iki do?rusal denklem sistemine e?de?er denir.

Bir denklem sisteminin temel d?n???mleri:

1. ?nemsiz denklemlerin sistemden silinmesi, ?r. t?m katsay?lar?n s?f?ra e?it oldu?u durumlar;
2. Herhangi bir denklemin s?f?rdan farkl? bir say?yla ?arp?lmas?;
3. Herhangi bir i'inci denkleme herhangi bir j'inci denklemin herhangi bir say?yla ?arp?lmas?.

Bir x i de?i?kenine, e?er bu de?i?kene izin verilmiyorsa ancak denklem sisteminin tamam?na izin veriliyorsa, serbest denir.

Teorem. Temel d?n???mler bir denklem sistemini e?de?er bir sisteme d?n??t?r?r.

Gauss y?nteminin anlam?, orijinal denklem sistemini d?n??t?rerek e?de?er ??z?ml? veya e?de?er tutars?z bir sistem elde etmektir.

Yani Gauss y?ntemi a?a??daki ad?mlardan olu?ur:

1. ?lk denkleme bakal?m. S?f?r olmayan ilk katsay?y? se?elim ve denklemin tamam?n? ona b?lelim. Baz? x i de?i?kenlerinin 1 katsay?s?yla girdi?i bir denklem elde ediyoruz;
2. Bu denklemi di?erlerinden ??karal?m, ?yle say?larla ?arpal?m ki, geri kalan denklemlerdeki x i de?i?keninin katsay?lar? s?f?rlans?n. Xi de?i?kenine g?re ??z?mlenmi? ve orijinaline e?de?er bir sistem elde ediyoruz;
3. ?nemsiz denklemler ortaya ??karsa (nadiren ama olur; ?rne?in 0 = 0), onlar? sistemden ??kar?r?z. Sonu? olarak, bir tane daha az denklem var;
4. ?nceki ad?mlar? en fazla n kez tekrarl?yoruz; burada n, sistemdeki denklemlerin say?s?d?r. Her seferinde “i?leme” i?in yeni bir de?i?ken se?iyoruz. Tutars?z denklemler ortaya ??karsa (?rne?in, 0 = 8), sistem tutars?zd?r.

Sonu? olarak, birka? ad?mdan sonra ya ??z?mlenmi? bir sistem (muhtemelen serbest de?i?kenlerle) ya da tutars?z bir sistem elde edece?iz. ?zin verilen sistemler iki duruma ayr?l?r:

1. De?i?ken say?s? denklem say?s?na e?ittir. Bu, sistemin tan?mland??? anlam?na gelir;
2. De?i?ken say?s? denklem say?s?ndan fazlad?r. T?m serbest de?i?kenleri sa? tarafta topluyoruz - izin verilen de?i?kenler i?in form?ller al?yoruz. Bu form?ller cevapta yaz?lm??t?r.

??te bu! Do?rusal denklem sistemi ??z?ld?! Bu olduk?a basit bir algoritmad?r ve bu konuda uzmanla?mak i?in daha y?ksek bir matematik ??retmeniyle ileti?ime ge?menize gerek yoktur. Bir ?rne?e bakal?m:

G?rev. Denklem sistemini ??z?n:

Ad?mlar?n a??klamas?:

1. ?lk denklemi ikinci ve ???nc?den ??kar?n - izin verilen x 1 de?i?kenini elde ederiz;
2. ?kinci denklemi (-1) ile ?arp?yoruz ve ???nc? denklemi (-3)'e b?l?yoruz - x 2 de?i?keninin 1 katsay?s?yla girdi?i iki denklem elde ediyoruz;
3. ?kinci denklemi birinciye ekleriz ve ???nc?den ??kar?r?z. ?zin verilen x 2 de?i?kenini elde ederiz;
4. Son olarak ???nc? denklemi birinciden ??kar?r?z - izin verilen x 3 de?i?kenini elde ederiz;
5. Onayl? bir sistem ald?k, yan?t? yaz?n.

E?zamanl? do?rusal denklem sisteminin genel ??z?m?, izin verilen t?m de?i?kenlerin serbest de?i?kenler cinsinden ifade edildi?i, orijinaline e?de?er yeni bir sistemdir.

Genel bir ??z?me ne zaman ihtiya? duyulabilir? E?er k'den daha az ad?m atman?z gerekiyorsa (k, ka? denklemin oldu?udur). Ancak s?recin herhangi bir ad?mda bitmesinin nedenleri< k , может быть две:

1. I. ad?mdan sonra (l+1) numaral? denklem i?ermeyen bir sistem elde ettik. Asl?nda bu iyi bir ?ey ??nk?... Yetkili sistem, birka? ad?m ?nceden bile olsa h?l? elde ediliyor.
2. I. ad?mdan sonra de?i?kenlerin t?m katsay?lar?n?n s?f?ra e?it oldu?u, serbest katsay?n?n ise s?f?rdan farkl? oldu?u bir denklem elde ettik. Bu ?eli?kili bir denklemdir ve dolay?s?yla sistem tutars?zd?r.

Gauss y?ntemi kullan?larak tutars?z bir denklemin ortaya ??kmas?n?n tutars?zl?k i?in yeterli bir temel oldu?unun anla??lmas? ?nemlidir. Ayn? zamanda, 1. ad?m?n sonucunda hi?bir ?nemsiz denklemin kalamayaca??n?, s?re? i?inde hepsinin ?zerinin ?izildi?ini not ediyoruz.

Ad?mlar?n a??klamas?:

1. ?lk denklemi 4 ile ?arparak ikinciden ??kar?n. Ve ayr?ca ilk denklemi ???nc?ye ekleriz - izin verilen x 1 de?i?kenini elde ederiz;
2. 2 ile ?arp?lan ???nc? denklemi ikinciden ??kar?n - ?eli?kili denklem 0 = -5'i elde ederiz.

Yani sistem tutars?zd?r ??nk? tutars?z bir denklem ke?fedilmi?tir.

G?rev. Uyumlulu?u ke?fedin ve sisteme genel bir ??z?m bulun:

Ad?mlar?n a??klamas?:

1. ?lk denklemi ikinciden (iki ile ?arpt?ktan sonra) ve ???nc?s?nden ??kar?r?z - izin verilen x 1 de?i?kenini elde ederiz;
2. ?kinci denklemi ???nc?den ??kar?n. Bu denklemlerdeki katsay?lar?n t?m? ayn? oldu?undan ???nc? denklem ?nemsiz hale gelecektir. Ayn? zamanda ikinci denklemi (-1) ile ?arp?n;
3. ?kinciyi ilk denklemden ??kar?n - izin verilen x 2 de?i?kenini elde ederiz. Art?k t?m denklem sistemi de ??z?lm??t?r;
4. x 3 ve x 4 de?i?kenleri serbest oldu?undan izin verilen de?i?kenleri ifade etmek i?in onlar? sa?a kayd?r?yoruz. Cevap bu.

Dolay?s?yla, izin verilen iki de?i?ken (x 1 ve x 2) ve iki serbest de?i?ken (x 3 ve x 4) oldu?undan sistem tutarl? ve belirsizdir.

Gauss y?ntemi kolayd?r! Neden? ?nl? Alman matematik?i Johann Carl Friedrich Gauss, ya?am? boyunca t?m zamanlar?n en b?y?k matematik?isi, bir dahi olarak tan?nd? ve hatta "Matemati?in Kral?" lakab?n? ald?. Ve bildi?iniz gibi ustaca olan her ?ey basit! Bu arada, sadece enayiler de?il, dahiler de para al?yor - Gauss'un portresi 10 Alman Mark? banknotun ?zerindeydi (euro'nun piyasaya s?r?lmesinden ?nce) ve Gauss hala s?radan posta pullar?ndan Almanlara gizemli bir ?ekilde g?l?ms?yor.

Gauss y?ntemi basittir, ??nk? BE??NC? SINIF ??RENC?S?N?N B?LG?S? bu konuda uzmanla?mak i?in YETERL?D?R. Toplama ve ?arpmay? bilmelisiniz!??retmenlerin okul matematik se?meli derslerinde bilinmeyenlerin s?ral? olarak hari? tutulmas? y?ntemini s?kl?kla d???nmeleri tesad?f de?ildir. Bu bir paradoks ama ??renciler Gauss y?ntemini en zor buluyorlar. ?a??rt?c? bir ?ey yok - her ?ey metodolojiyle ilgili ve y?ntemin algoritmas? hakk?nda eri?ilebilir bir bi?imde konu?maya ?al??aca??m.

?ncelikle do?rusal denklem sistemleri hakk?nda biraz bilgi verelim. Bir do?rusal denklem sistemi ?unlar? yapabilir:

1) Benzersiz bir ??z?me sahip olun.
2) Sonsuz say?da ??z?m? var.
3) ??z?m?n?z yok (olun) ortak olmayan).

Gauss y?ntemi ??z?m bulmak i?in en g??l? ve evrensel ara?t?r herhangi Do?rusal denklem sistemleri. Hat?rlad???m?z kadar?yla, Cramer kural? ve matris y?ntemi sistemin sonsuz say?da ??z?m? oldu?u veya tutars?z oldu?u durumlarda uygun de?ildir. Ve bilinmeyenlerin s?ral? olarak ortadan kald?r?lmas? y?ntemi Her neyse bizi cevaba g?t?recek! Bu dersimizde yine 1 numaral? durum (sistemin tek ??z?m?) i?in Gauss y?ntemini ele alaca??z, makale 2-3 numaral? noktalar?n durumlar?na ayr?lm??t?r. Y?ntemin algoritmas?n?n her ?? durumda da ayn? ?ekilde ?al??t???n? not ediyorum.

Dersten en basit sisteme d?nelim Do?rusal denklem sistemi nas?l ??z?l?r?
Gauss metodunu kullanarak ??zelim.

?lk ad?m yazmakt?r geni?letilmi? sistem matrisi:
. Katsay?lar?n hangi prensibe g?re yaz?ld???n? san?r?m herkes g?rebilir. Matrisin i?indeki dikey ?izginin herhangi bir matematiksel anlam? yoktur; bu sadece tasar?m kolayl??? i?in ?st? ?izili bir ?izgidir.

Referans :hat?rlaman? tavsiye ederim ?artlar do?rusal cebir. Sistem Matrisi yaln?zca bilinmeyenlerin katsay?lar?ndan olu?an bir matristir; bu ?rnekte sistemin matrisi: . Geni?letilmi? Sistem Matrisi– bu, sistemin ayn? matrisi art? serbest terimlerin bir s?tunudur, bu durumda: . K?saca belirtmek gerekirse, matrislerden herhangi birine basit?e matris ad? verilebilir.

Geni?letilmi? sistem matrisi yaz?ld?ktan sonra onunla baz? eylemlerin ger?ekle?tirilmesi gerekir. temel d?n???mler.

A?a??daki temel d?n???mler mevcuttur:

1) Dizeler matrisler Olabilmek yeniden d?zenlemek baz? yerlerde. ?rne?in, s?z konusu matriste birinci ve ikinci sat?rlar? a?r?s?z bir ?ekilde yeniden d?zenleyebilirsiniz:

2) Matriste orant?l? (?zel bir durum olarak - ayn?) sat?rlar varsa (veya ortaya ??km??sa), o zaman ?unlar? yapmal?s?n?z: silmek Bu sat?rlar?n biri hari? t?m? matristendir. ?rne?in matrisi d???n?n . Bu matriste son ?? sat?r orant?l? oldu?undan yaln?zca birini b?rakmak yeterlidir: .

3) D?n???mler s?ras?nda matriste s?f?r sat?r g?r?n?yorsa, o zaman ayn? zamanda silmek. Tabii ki ?izmeyece?im, s?f?r ?izgisi hangi ?izgidir? hepsi s?f?r.

4) Matris sat?r? ?u ?ekilde olabilir: ?arpmak (b?lmek) herhangi bir numaraya s?f?r olmayan. ?rne?in matrisi d???n?n. Burada ilk sat?r? –3'e b?lmeniz ve ikinci sat?r? 2 ile ?arpman?z ?nerilir: . Bu eylem ?ok kullan??l?d?r ??nk? matrisin daha sonraki d?n???mlerini basitle?tirir.

5) Bu d?n???m en ?ok zorlu?a neden olur, ancak asl?nda karma??k bir ?ey de yoktur. Bir matrisin bir sat?r?na ?unlar? yapabilirsiniz: bir say?yla ?arp?lan ba?ka bir dize ekle, s?f?rdan farkl?. Pratik bir ?rnekten matrisimize bakal?m: . ?lk ?nce d?n???m? ?ok detayl? bir ?ekilde anlataca??m. ?lk sat?r? –2 ile ?arp?n: , Ve ikinci sat?ra ilk sat?r? -2 ile ?arparak ekliyoruz: . Art?k ilk sat?r “geriye” –2 ile b?l?nebilir: . G?rd???n?z gibi ADD sat?r? LI – de?i?medi. Her zaman EKLENEN sat?r de?i?ir UT.

Pratikte elbette bu kadar ayr?nt?l? yazm?yorlar, k?saca yaz?yorlar:

Bir kez daha: ikinci sat?ra ilk sat?r? –2 ile ?arparak ekledim. Bir sat?r genellikle s?zl? olarak veya taslak ?zerinde ?arp?l?r ve zihinsel hesaplama s?reci ??yle olur:

“Matrisi yeniden yaz?yorum ve ilk sat?r? yeniden yaz?yorum: »

“?lk s?tun. En altta s?f?r almam gerekiyor. Bu nedenle ?sttekini -2: ile ?arp?yorum ve ilkini ikinci sat?ra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. Sonucu ikinci sat?ra yaz?yorum: »

“?imdi ikinci s?tun. En ?stte -1 ile -2'yi ?arp?yorum: . ?lkini ikinci sat?ra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci sat?ra yaz?yorum: »

“Ve ???nc? s?tun. En ?stte -5 ile -2'yi ?arp?yorum: . ?lkini ikinci sat?ra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci sat?ra yaz?yorum: »

L?tfen bu ?rne?i dikkatlice anlay?n ve s?ral? hesaplama algoritmas?n? anlay?n, bunu anlarsan?z Gauss y?ntemi pratik olarak cebinizde. Ama elbette bu d?n???m ?zerinde ?al??maya devam edece?iz.

Temel d?n???mler denklem sisteminin ??z?m?n? de?i?tirmez

! D?KKAT: dikkate al?nan manip?lasyonlar kullan?lamaz, matrislerin "kendi ba?lar?na" verildi?i bir g?rev teklif edilirse. ?rne?in “klasik” matrislerle i?lemler Hi?bir durumda matrislerin i?indeki hi?bir ?eyi yeniden d?zenlememelisiniz!

Sistemimize d?nelim. Pratik olarak par?alara ayr?l?r.

Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri kullanarak onu ?una indirelim: kademeli g?r?n?m:

(1) Birinci sat?r ikinci sat?ra –2 ile ?arp?larak eklendi. Ve yine: neden ilk sat?r? –2 ile ?arp?yoruz? Altta s?f?r elde etmek i?in bu, ikinci sat?rda bir de?i?kenden kurtulmak anlam?na gelir.

(2) ?kinci sat?r? 3'e b?l?n.

Temel d?n???mlerin amac? – matrisi a?amal? forma indirgeyin: . G?revin tasar?m?nda, sadece "merdivenleri" basit bir kalemle i?aretliyorlar ve ayr?ca "basamaklarda" bulunan say?lar? da daire i?ine al?yorlar. "Ad?ml? g?r?n?m" terimi bilimsel ve e?itimsel literat?rde tamamen teorik de?ildir; yamuk g?r?n?m veya ??gen g?r?n?m.

Temel d?n???mler sonucunda elde ettik e? de?er orijinal denklem sistemi:

?imdi sistemin ters y?nde "??z?lmesi" gerekiyor - a?a??dan yukar?ya do?ru bu i?leme denir Gauss y?nteminin tersi.

Alt denklemde zaten haz?r bir sonucumuz var: .

Sistemin ilk denklemini ele alal?m ve zaten bilinen “y” de?erini onun i?ine koyal?m:

Gauss y?nteminin ?? bilinmeyenli ?? do?rusal denklemden olu?an bir sistemin ??z?lmesini gerektirdi?i en yayg?n durumu ele alal?m.

?rnek 1

Denklem sistemini Gauss y?ntemini kullanarak ??z?n:

Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m:

?imdi ??z?m s?ras?nda ula?aca??m?z sonucu hemen ?izece?im:

Tekrar ediyorum, amac?m?z temel d?n???mleri kullanarak matrisi ad?m ad?m forma getirmektir. Nereden ba?lamal??

?lk ?nce sol ?stteki numaraya bak?n:

Neredeyse her zaman burada olmal? birim. Genel olarak konu?ursak, -1 (ve bazen di?er say?lar) i?e yarar, ancak bir ?ekilde geleneksel olarak bir genellikle oraya yerle?tirilir. Bir birim nas?l organize edilir? ?lk s?tuna bak?yoruz - bitmi? bir birimimiz var! Birinci d?n???m: birinci ve ???nc? sat?rlar? de?i?tirin:

Art?k ilk sat?r ??z?m?n sonuna kadar de?i?meden kalacak. Zaten daha kolay.

Sol ?st k??edeki ?nite d?zenlenmi?tir. ?imdi bu yerlerde s?f?r alman?z gerekiyor:

S?f?rlar? “zor” bir d?n???m kullanarak elde ederiz. ?lk ?nce ikinci sat?rla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). ?lk pozisyonda s?f?r almak i?in ne yap?lmas? gerekiyor? Gerekiyor ikinci sat?ra ilk sat?r? –2 ile ?arparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk sat?r? –2 ile ?arp?n: (–2, –4, 2, –18). Ve s?rekli olarak (yine zihinsel olarak veya taslak ?zerinde) ekleme yap?yoruz, ikinci sat?ra zaten –2 ile ?arp?lm?? olan ilk sat?r? ekliyoruz:

Sonucu ikinci sat?ra yaz?yoruz:

???nc? sat?r? da ayn? ?ekilde ele al?yoruz (3, 2, –5, –1). ?lk pozisyonda s?f?r almak i?in ihtiyac?n?z olan ???nc? sat?ra ilk sat?r? –3 ile ?arparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk sat?r? –3 ile ?arp?n: (–3, –6, 3, –27). VE ???nc? sat?ra ilk sat?r? –3 ile ?arparak ekliyoruz:

Sonucu ???nc? sat?ra yaz?yoruz:

Uygulamada bu eylemler genellikle s?zl? olarak ger?ekle?tirilir ve tek ad?mda yaz?l?r:

Her ?eyi ayn? anda ve ayn? anda saymaya gerek yok. Hesaplamalar?n s?ras? ve sonu?lar?n “girilmesi” tutarl? ve genellikle ?u ?ekildedir: ?nce ilk sat?r? yeniden yazar?z ve yava??a kendimize ?fleriz - S?REKL? ve D?KKATL?CE:


Yukar?da hesaplamalar?n zihinsel s?recini zaten tart??m??t?m.

Bu ?rnekte bunu yapmak kolayd?r; ikinci sat?r? -5'e b?leriz (??nk? oradaki t?m say?lar 5'e kalans?z b?l?nebilir). Ayn? zamanda ???nc? sat?r? -2'ye b?l?yoruz ??nk? say?lar ne kadar k???k olursa ??z?m o kadar basit olur:

Temel d?n???mlerin son a?amas?nda, burada bir s?f?r daha alman?z gerekir:

Bunun i?in ???nc? sat?ra ikinci sat?r? –2 ile ?arparak ekliyoruz:


Bu eylemi kendiniz anlamaya ?al???n - ikinci sat?r? zihinsel olarak –2 ile ?arp?n ve ekleme i?lemini ger?ekle?tirin.

Ger?ekle?tirilen son eylem, sonucun sa? modelidir, ???nc? sat?r? 3'e b?l?n.

Temel d?n???mler sonucunda e?de?er bir do?rusal denklem sistemi elde edildi:

Serin.

?imdi Gauss y?nteminin tersi devreye giriyor. Denklemler a?a??dan yukar?ya do?ru “gev?emektedir”.

???nc? denklemde zaten haz?r bir sonucumuz var:

?kinci denkleme bakal?m: . "Zet"in anlam? zaten bilinmektedir, dolay?s?yla:

Ve son olarak ilk denklem: . "Igrek" ve "zet" biliniyor, bu sadece k???k ?eyler meselesi:

x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolay?s?yla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1:

Daha ?nce birka? kez belirtildi?i gibi, herhangi bir denklem sistemi i?in bulunan ??z?m? kontrol etmek m?mk?n ve gereklidir, neyse ki bu kolay ve h?zl?d?r.

?rnek 2

Bu, ba??ms?z bir ??z?m ?rne?i, nihai tasar?m?n bir ?rne?i ve dersin sonunda bir cevapt?r.

?unu belirtmek gerekir ki karar?n ilerlemesi karar s?recimle ?rt??meyebilir, ve bu Gauss y?nteminin bir ?zelli?idir. Ama cevaplar ayn? olmal?!

?rnek 3

Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??zme

Baz? yazarlar?n ?nerdi?i gibi, do?rusal denklem sistemini Gauss y?ntemini kullanarak ??zelim:

Sol ?stteki “ad?ma” bak?yoruz. Orada bir tane olmal?. Sorun ?u ki, ilk s?tunda hi? birim yok, dolay?s?yla sat?rlar? yeniden d?zenlemek hi?bir ?eyi ??zmeyecek. Bu gibi durumlarda ?nitenin temel bir d?n???m kullan?larak d?zenlenmesi gerekir. Bu genellikle birka? yolla yap?labilir. Bunu yapt?m:
(1) ?lk sat?ra ikinci sat?r? -1 ile ?arparak ekliyoruz. Yani ikinci sat?r? zihinsel olarak –1 ile ?arp?p birinci ve ikinci sat?rlar? ekledik, ikinci sat?r de?i?medi.

?imdi sol ?stte “eksi bir” var ki bu da bize ?ok yak???yor. +1 almak isteyen herkes ek bir hareket yapabilir: ?lk sat?r? –1 ile ?arp?n (i?aretini de?i?tirin).

(2) Birinci sat?r?n 5 ile ?arp?lmas? ikinci sat?ra eklendi. ?lk sat?r?n 3 ile ?arp?lmas? ???nc? sat?ra eklendi.

(3) ?lk sat?r -1 ile ?arp?lm??t?r, prensip olarak bu g?zellik i?indir. ???nc? sat?r?n i?areti de de?i?tirilerek ikinci s?raya ta??nd?, b?ylece ikinci “ad?m”da gerekli ?niteye sahip olduk.

(4) ?kinci sat?r ???nc? sat?ra 2 ile ?arp?larak eklendi.

(5) ???nc? sat?r 3'e b?l?nd?.

Hesaplamalarda bir hata oldu?unu (daha nadiren bir yaz?m hatas?) g?steren k?t? bir i?aret, "k?t?" bir sonu?tur. Yani, e?er a?a??da , gibi bir ?ey varsa ve buna g?re, , o zaman y?ksek bir olas?l?kla temel d?n???mler s?ras?nda bir hata yap?ld???n? s?yleyebiliriz.

Biz bunun tersini uyguluyoruz, ?rneklerin tasar?m?nda genellikle sistemin kendisini yeniden yazm?yorlar, ancak denklemler "do?rudan verilen matristen al?n?yor." Size hat?rlat?r?m, ters vuru? a?a??dan yukar?ya do?ru ?al???r. Evet, i?te bir hediye:

x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolay?s?yla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1: .

?rnek 4

Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??zme

Bu kendi ba??n?za ??zebilece?iniz bir ?rnektir, biraz daha karma??kt?r. Birisinin kafas? kar???rsa sorun olmaz. Dersin sonunda tam ??z?m ve ?rnek tasar?m. Sizin ??z?m?n?z benim ??z?m?mden farkl? olabilir.

Son b?l?mde Gauss algoritmas?n?n baz? ?zelliklerine bakaca??z.
?lk ?zellik bazen sistem denklemlerinde baz? de?i?kenlerin eksik olmas?d?r, ?rne?in:

Geni?letilmi? sistem matrisi nas?l do?ru ?ekilde yaz?l?r? Derste bu noktadan zaten bahsetmi?tim. Cramer kural?. Matris y?ntemi. Sistemin geni?letilmi? matrisinde eksik de?i?kenlerin yerine s?f?rlar? koyuyoruz:

Bu arada, bu olduk?a kolay bir ?rnek, ??nk? ilk s?tunda zaten bir s?f?r var ve ger?ekle?tirilecek daha az temel d?n???m var.

?kinci ?zellik ?udur. Ele al?nan t?m ?rneklerde “ad?mlara” –1 veya +1 yerle?tirdik. Orada ba?ka numaralar olabilir mi? Baz? durumlarda bunu yapabilirler. Sistemi d???n?n: .

Burada sol ?st “ad?m”da iki tane var. Ancak ilk s?tundaki t?m say?lar?n 2'ye kalans?z b?l?nebildi?ini, di?erinin ise iki ve alt? oldu?unu fark ediyoruz. Ve sol ?stteki ikisi bize yak??acak! ?lk ad?mda a?a??daki d?n???mleri yapman?z gerekir: ilk sat?r? –1 ile ?arparak ikinci sat?ra ekleyin; ???nc? sat?ra ilk sat?r? –3 ile ?arparak ekleyin. Bu ?ekilde ilk s?tunda gerekli s?f?rlar? alaca??z.

Veya ba?ka bir geleneksel ?rnek: . Burada ikinci “ad?m”daki ?? de bize uyar, ??nk? 12 (s?f?r almam?z gereken yer) 3'e kalans?z b?l?nebilir. A?a??daki d?n???m? ger?ekle?tirmek gerekir: ikinci sat?r? ???nc? sat?ra -4 ile ?arparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyac?m?z olan s?f?r elde edilecektir.

Gauss'un y?ntemi evrenseldir ancak bir ?zelli?i vard?r. Sistemleri tam anlam?yla ilk seferde di?er y?ntemleri (Cramer y?ntemi, matris y?ntemi) kullanarak ??zmeyi g?venle ??renebilirsiniz - ?ok kat? bir algoritmalar? vard?r. Ancak Gauss y?ntemine g?venebilmek i?in bu konuda iyi olman?z ve en az 5-10 sistemi ??zmeniz gerekiyor. Bu nedenle ilk ba?ta hesaplamalarda kar???kl?klar ve hatalar olabilir ve bunda ola?and??? veya trajik bir ?ey yoktur.

Pencerenin d???nda ya?murlu bir sonbahar havas?... Bu nedenle, kendi ba??na ??zmek i?in daha karma??k bir ?rnek isteyen herkes i?in:

?rnek 5

D?rt bilinmeyenli d?rt do?rusal denklem sistemini Gauss y?ntemini kullanarak ??z?n.

B?yle bir g?rev pratikte o kadar da nadir de?ildir. Bu sayfay? iyice inceleyen bir ?aydanl???n bile b?yle bir sistemi sezgisel olarak ??zme algoritmas?n? anlayaca??n? d???n?yorum. Temelde her ?ey ayn?; yaln?zca daha fazla eylem var.

Sistemin ??z?m?n?n olmad??? (tutars?z) veya sonsuz say?da ??z?m?n oldu?u durumlar Uyumsuz sistemler ve genel ??z?m? olan sistemler dersinde tart???lmaktad?r. Burada Gauss y?nteminin dikkate al?nan algoritmas?n? d?zeltebilirsiniz.

Size ba?ar?lar diliyorum!

??z?mler ve cevaplar:

?rnek 2: ??z?m : Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri kullanarak onu ad?m ad?m forma getirelim.


Ger?ekle?tirilen temel d?n???mler:
(1) Birinci sat?r ikinci sat?ra –2 ile ?arp?larak eklendi. Birinci sat?r ???nc? sat?ra -1 ile ?arp?larak eklendi. Dikkat! Burada birinciyi ???nc? sat?rdan ??karmak isteyebilirsiniz; bunu ??karmaman?z? ?iddetle tavsiye ederim - hata riski b?y?k ?l??de artar. Sadece katlay?n!
(2) ?kinci sat?r?n i?areti de?i?tirildi (-1 ile ?arp?ld?). ?kinci ve ???nc? sat?rlar de?i?tirildi. l?tfen akl?n?zda bulundurun, "ad?mlarda" sadece bir tanesinden de?il, ayn? zamanda -1'den de memnunuz ki bu daha da uygun.
(3) ?kinci sat?r ???nc? sat?ra 5 ile ?arp?larak eklendi.
(4) ?kinci sat?r?n i?areti de?i?tirildi (-1 ile ?arp?ld?). ???nc? sat?r 14'e b?l?nd?.

Tersi:

x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolay?s?yla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1: .

?rnek 4: ??z?m : Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri kullanarak onu ad?m ad?m forma getirelim:

Ger?ekle?tirilen d?n???mler:
(1) Birinci sat?ra ikinci sat?r eklendi. B?ylece sol ?stteki “basamak”ta istenilen ?nite d?zenlenmi?tir.
(2) ?lk sat?r?n 7 ile ?arp?lmas? ikinci sat?ra eklendi. ?lk sat?r?n 6 ile ?arp?lmas? ???nc? sat?ra eklendi.

?kinci “ad?m”la her ?ey daha da k?t?ye gidiyor , bunun i?in "adaylar" 17 ve 23 say?lar?d?r ve bizim ya bir ya da -1'e ihtiyac?m?z var. D?n???mler (3) ve (4) istenen birimin elde edilmesini ama?layacakt?r.

(3) ?kinci sat?r ???nc? sat?ra -1 ile ?arp?larak eklendi.
(4) ?kinci sat?ra ???nc? sat?r -3 ile ?arp?larak eklendi.
(3) ?kinci sat?r ???nc? sat?ra 4 ile ?arp?larak eklenir. ?kinci sat?r d?rd?nc? sat?ra -1 ile ?arp?larak eklenir.
(4) ?kinci sat?r?n i?areti de?i?tirildi. D?rd?nc? sat?r 3'e b?l?nerek ???nc? sat?r?n yerine yerle?tirildi.
(5) ???nc? sat?r d?rd?nc? sat?ra –5 ile ?arp?larak eklenir.

Tersi: