Temel ?zellikler.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

ayn? gerek?e

log6 4 + log6 9.

?imdi g?revi biraz karma??kla?t?ral?m.

Logaritma ??zme ?rnekleri

Ya logaritman?n taban?nda veya arg?man?nda bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin ?ss? a?a??daki kurallara g?re logaritman?n i?aretinden ??kar?labilir:

Elbette, ODZ logaritmas? g?zlemlenirse t?m bu kurallar anlaml?d?r: a > 0, a ? 1, x >

Bir g?rev. ?fadenin de?erini bulun:

Yeni bir temele ge?i?

Logaritma logax? verilsin. O zaman, c > 0 ve c ? 1 olacak ?ekilde herhangi bir c say?s? i?in e?itlik do?rudur:

Bir g?rev. ?fadenin de?erini bulun:

Ayr?ca bak?n?z:

Logaritman?n temel ?zellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

?s 2.718281828…. ?ss? hat?rlamak i?in kural? inceleyebilirsiniz: ?s 2.7 ve Leo Tolstoy'un do?um y?l?n?n iki kat?d?r.

Logaritmalar?n temel ?zellikleri

Bu kural? bilerek, hem ?ss?n tam de?erini hem de Leo Tolstoy'un do?um tarihini bileceksiniz.

logaritma ?rnekleri

?fadelerin logaritmas?n? al?n

?rnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 ?zelliklerine g?re hesapl?yoruz

2.

3.

4. nerede .

?rnek 2 E?er x'i bulun

?rnek 3. Logaritmalar?n de?eri verilsin

E?er log(x) hesaplay?n

Logaritmalar?n temel ?zellikleri

Logaritmalar, herhangi bir say? gibi, eklenebilir, ??kar?labilir ve m?mk?n olan her ?ekilde d?n??t?r?lebilir. Ancak logaritmalar olduk?a s?radan say?lar olmad??? i?in burada kurallar vard?r. Temel ?zellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlars?z hi?bir ciddi logaritmik problem ??z?lemez. Ayr?ca, ?ok az? var - her ?ey bir g?nde ??renilebilir. ?yleyse ba?layal?m.

Logaritmalarda toplama ve ??karma

Ayn? tabana sahip iki logaritma d???n?n: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve ??kar?labilirler ve:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Yani, logaritmalar?n toplam?, ?r?n?n logaritmas?na e?ittir ve fark, b?l?m?n logaritmas?d?r. L?tfen dikkat: buradaki kilit nokta - ayn? gerek?e. Bazlar farkl?ysa bu kurallar ?al??maz!

Bu form?ller, bireysel b?l?mleri dikkate al?nmad???nda bile logaritmik ifadenin hesaplanmas?na yard?mc? olacakt?r ("Logaritma nedir" dersine bak?n). ?rneklere bir g?z at?n ve bak?n:

Logaritmalar?n tabanlar? ayn? oldu?u i?in toplam form?l?n? kullan?r?z:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log2 48 - log2 3.

Bazlar ayn?, fark form?l?n? kullan?yoruz:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log3 135 - log3 5.

Yine, ?sler ayn?d?r, yani elimizde:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

G?rd???n?z gibi, orijinal ifadeler ayr? ayr? d???n?lmeyen "k?t?" logaritmalardan olu?uyor. Ancak d?n???mlerden sonra olduk?a normal say?lar ??k?yor. Bir?ok test bu ger?e?e dayanmaktad?r. Evet, kontrol - t?m ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hi? de?i?iklik olmadan) s?navda sunulur.

?s?n logaritmadan ??kar?lmas?

Son kural?n ilk ikisini takip etti?ini g?rmek kolayd?r. Ancak yine de hat?rlamak daha iyidir - baz? durumlarda hesaplama miktar?n? ?nemli ?l??de azaltacakt?r.

Tabii ki, ODZ logaritmas? g?zlemlenirse t?m bu kurallar anlaml?d?r: a > 0, a ? 1, x > 0. Ve bir ?ey daha: t?m form?lleri yaln?zca soldan sa?a de?il, ayn? zamanda tam tersi de uygulamay? ??renin, yani. logaritman?n i?aretinden ?nceki say?lar? logaritman?n kendisine girebilirsiniz. En s?k ihtiya? duyulan ?ey budur.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log7 496.

?lk form?le g?re arg?mandaki dereceden kurtulal?m:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir g?rev. ?fadenin de?erini bulun:

Paydan?n, taban? ve arg?man? tam g??ler olan bir logaritma oldu?una dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. ?unlara sahibiz:

Son ?rne?in a??kl??a kavu?turulmas? gerekti?ini d???n?yorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile ?al???yoruz.

Logaritma form?lleri. Logaritmalar ??z?m ?rnekleridir.

Orada duran logaritman?n taban?n? ve arg?man?n? dereceler ?eklinde sundular ve g?stergeleri ??kard?lar - “?? katl?” bir kesir ald?lar.

?imdi ana kesre bakal?m. Pay ve payda ayn? say?ya sahiptir: log2 7. Log2 7 ? 0 oldu?undan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacakt?r. Aritmetik kurallar?na g?re, d?rd? yap?lan paya aktar?labilir. Sonu? cevapt?r: 2.

Yeni bir temele ge?i?

Logaritma toplama ve ??karma kurallar?ndan bahsetmi?ken, sadece ayn? tabanlarla ?al??t?klar?n? ?zellikle vurgulad?m. Ya temeller farkl?ysa? Ya ayn? say?n?n tam g??leri de?ilse?

Yeni bir ?sse ge?i? i?in form?ller kurtarmaya geliyor. Onlar? bir teorem ?eklinde form?le ediyoruz:

Logaritma logax? verilsin. O zaman, c > 0 ve c ? 1 olacak ?ekilde herhangi bir c say?s? i?in e?itlik do?rudur:

?zellikle, c = x koyarsak ?unu elde ederiz:

?kinci form?lden, logaritman?n taban?n? ve arg?man?n? de?i?tirmenin m?mk?n oldu?u sonucu ??kar, ancak bu durumda t?m ifade “ters ?evrilmi?tir”, yani. logaritma paydadad?r.

Bu form?ller s?radan say?sal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar uygun olduklar?n? ancak logaritmik denklemleri ve e?itsizlikleri ??zerken de?erlendirmek m?mk?nd?r.

Ancak, yeni bir temele ta??nmak d???nda hi?bir ?ekilde ??z?lemeyecek g?revler vard?r. Bunlardan birka??n? ele alal?m:

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritman?n arg?manlar?n?n tam ?sler oldu?una dikkat edin. G?stergeleri ??karal?m: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

?imdi ikinci logaritmay? ?evirelim:

?arp?m, fakt?rlerin perm?tasyonundan de?i?medi?i i?in, sakince d?rt ve ikiyi ?arpt?k ve sonra logaritmalar? bulduk.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log9 100 lg 3.

?lk logaritman?n temeli ve arg?man? tam g??lerdir. Bunu bir yere yazal?m ve g?stergelerden kurtulal?m:

?imdi yeni bir tabana ge?erek ondal?k logaritmadan kurtulal?m:

Temel logaritmik kimlik

?o?u zaman ??zme s?recinde bir say?n?n belirli bir tabana g?re logaritma olarak temsil edilmesi gerekir. Bu durumda, form?ller bize yard?mc? olacakt?r:

?lk durumda, n say?s? ba??ms?z de?i?kende ?s olur. n say?s? kesinlikle herhangi bir ?ey olabilir, ??nk? bu sadece logaritman?n de?eridir.

?kinci form?l asl?nda ba?ka s?zc?klerle ifade edilmi? bir tan?md?r. ??yle denir:

Ger?ekten de, b say?s?, bu derecedeki b say?s? a say?s?n? verecek ?ekilde y?kseltilirse ne olur? Bu do?ru: bu ayn? say? a. Bu paragraf? tekrar dikkatlice okuyun - bir?ok insan ona “tak?l?r”.

Yeni temel d?n???m form?lleri gibi, temel logaritmik ?zde?lik bazen olas? tek ??z?md?r.

Bir g?rev. ?fadenin de?erini bulun:

log25 64 = log5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritman?n arg?man?n? ??kard???na dikkat edin. G??leri ayn? tabanla ?arpma kurallar? g?z ?n?ne al?nd???nda, ?unu elde ederiz:

E?er kimse bilmiyorsa, bu Birle?ik Devlet S?nav?ndan ger?ek bir g?revdi ?

Logaritmik birim ve logaritmik s?f?r

Sonu? olarak, ?zellik olarak adland?r?lmas? zor olan iki kimlik verece?im - bunlar logaritman?n tan?m?n?n sonu?lar?d?r. S?rekli olarak problemlerde bulunurlar ve ?a??rt?c? bir ?ekilde "ileri" ??renciler i?in bile problem yarat?rlar.

1. loga = 1'dir. Bir kere ve her ?ey i?in hat?rlay?n: o baz?n kendisinden herhangi bir a taban?n?n logaritmas? bire e?ittir.
2. loga 1 = 0'd?r. a taban? herhangi bir ?ey olabilir, ancak arg?man bir ise, logaritma s?f?rd?r! ??nk? a0 = 1, tan?m?n do?rudan bir sonucudur.

T?m ?zellikleri bu. Bunlar? uygulamaya koyarak pratik yapt???n?zdan emin olun! Hile sayfas?n? dersin ba??nda indirin, yazd?r?n ve sorunlar? ??z?n.

Ayr?ca bak?n?z:

b say?s?n?n a taban?na g?re logaritmas? ifadeyi g?sterir. Logaritmay? hesaplamak, e?itli?in do?ru oldu?u b?yle bir x () kuvveti bulmak anlam?na gelir.

Logaritman?n temel ?zellikleri

Yukar?daki ?zelliklerin bilinmesi gerekir, ??nk? temelde, hemen hemen t?m problemler ve ?rnekler logaritmalara dayal? olarak ??z?l?r. Kalan egzotik ?zellikler, bu form?llerle matematiksel i?lemlerle elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmalar?n (3.4) toplam? ve fark? i?in form?ller hesaplan?rken olduk?a s?k kar??la??l?r. Gerisi biraz karma??kt?r, ancak bir dizi g?revde karma??k ifadeleri basitle?tirmek ve de?erlerini hesaplamak i?in vazge?ilmezdir.

Yayg?n logaritma vakalar?

Yayg?n logaritmalardan baz?lar?, taban?n on, ?stel veya ikili oldu?u logaritmalard?r.
On tabanl? logaritma genellikle on tabanl? logaritma olarak adland?r?l?r ve basit?e lg(x) ile g?sterilir.

Esaslar?n tutanakta yaz?l? olmad??? tutanaktan anla??lmaktad?r. ?rne?in

Do?al logaritma, temeli ?s olan logaritmad?r (ln(x) ile g?sterilir).

?s 2.718281828…. ?ss? hat?rlamak i?in kural? inceleyebilirsiniz: ?s 2.7 ve Leo Tolstoy'un do?um y?l?n?n iki kat?d?r. Bu kural? bilerek, hem ?ss?n tam de?erini hem de Leo Tolstoy'un do?um tarihini bileceksiniz.

Ve bir di?er ?nemli temel iki logaritma

Fonksiyonun logaritmas?n?n t?revi, de?i?kene b?l?nen bire e?ittir.

?ntegral veya ters t?rev logaritma, ba??ml?l?k taraf?ndan belirlenir.

Yukar?daki materyal, logaritma ve logaritma ile ilgili geni? bir problem s?n?f?n? ??zmeniz i?in yeterlidir. Malzemeyi ?z?msemek i?in okul m?fredat?ndan ve ?niversitelerden sadece birka? yayg?n ?rnek verece?im.

logaritma ?rnekleri

?fadelerin logaritmas?n? al?n

?rnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 ?zelliklerine g?re hesapl?yoruz

2.
Logaritmalar?n fark ?zelli?i ile,

3.
3.5 ?zelliklerini kullanarak buluruz

4. nerede .

Bir dizi kural kullanan g?r?n??te karma??k bir ifade, forma basitle?tirilmi?tir.

Logaritma De?erlerini Bulma

?rnek 2 E?er x'i bulun

??z?m. Hesaplama i?in, son terime kadar olan ?zellikler 5 ve 13'? uygular?z.

Kayda ge? ve yas tut

Tabanlar e?it oldu?undan, ifadeleri e?itleriz.

Logaritmalar. ?lk seviye.

Logaritmalar?n de?eri verilsin

E?er log(x) hesaplay?n

??z?m: Terimlerin toplam?ndan logaritmay? yazmak i?in de?i?kenin logaritmas?n? al?n

Bu, logaritmalar ve ?zellikleri ile tan??man?n sadece ba?lang?c?d?r. Hesaplamalar yap?n, pratik becerilerinizi zenginle?tirin - yak?nda logaritmik denklemleri ??zmek i?in edindi?iniz bilgilere ihtiyac?n?z olacak. Bu t?r denklemleri ??zmenin temel y?ntemlerini inceledikten sonra, e?it derecede ?nemli ba?ka bir konu i?in bilginizi geni?letece?iz - logaritmik e?itsizlikler ...

Logaritmalar?n temel ?zellikleri

Logaritmalar, herhangi bir say? gibi, eklenebilir, ??kar?labilir ve m?mk?n olan her ?ekilde d?n??t?r?lebilir. Ancak logaritmalar olduk?a s?radan say?lar olmad??? i?in burada kurallar vard?r. Temel ?zellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlars?z hi?bir ciddi logaritmik problem ??z?lemez. Ayr?ca, ?ok az? var - her ?ey bir g?nde ??renilebilir. ?yleyse ba?layal?m.

Logaritmalarda toplama ve ??karma

Ayn? tabana sahip iki logaritma d???n?n: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve ??kar?labilirler ve:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Yani, logaritmalar?n toplam?, ?r?n?n logaritmas?na e?ittir ve fark, b?l?m?n logaritmas?d?r. L?tfen dikkat: buradaki kilit nokta - ayn? gerek?e. Bazlar farkl?ysa bu kurallar ?al??maz!

Bu form?ller, bireysel b?l?mleri dikkate al?nmad???nda bile logaritmik ifadenin hesaplanmas?na yard?mc? olacakt?r ("Logaritma nedir" dersine bak?n). ?rneklere bir g?z at?n ve bak?n:

Bir g?rev. ?fadenin de?erini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmalar?n tabanlar? ayn? oldu?u i?in toplam form?l?n? kullan?r?z:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log2 48 - log2 3.

Bazlar ayn?, fark form?l?n? kullan?yoruz:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log3 135 - log3 5.

Yine, ?sler ayn?d?r, yani elimizde:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

G?rd???n?z gibi, orijinal ifadeler ayr? ayr? d???n?lmeyen "k?t?" logaritmalardan olu?uyor. Ancak d?n???mlerden sonra olduk?a normal say?lar ??k?yor. Bir?ok test bu ger?e?e dayanmaktad?r. Evet, kontrol - t?m ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hi? de?i?iklik olmadan) s?navda sunulur.

?s?n logaritmadan ??kar?lmas?

?imdi g?revi biraz karma??kla?t?ral?m. Ya logaritman?n taban?nda veya arg?man?nda bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin ?ss? a?a??daki kurallara g?re logaritman?n i?aretinden ??kar?labilir:

Son kural?n ilk ikisini takip etti?ini g?rmek kolayd?r. Ancak yine de hat?rlamak daha iyidir - baz? durumlarda hesaplama miktar?n? ?nemli ?l??de azaltacakt?r.

Tabii ki, ODZ logaritmas? g?zlemlenirse t?m bu kurallar anlaml?d?r: a > 0, a ? 1, x > 0. Ve bir ?ey daha: t?m form?lleri yaln?zca soldan sa?a de?il, ayn? zamanda tam tersi de uygulamay? ??renin, yani. logaritman?n i?aretinden ?nceki say?lar? logaritman?n kendisine girebilirsiniz.

Logaritma nas?l ??z?l?r

En s?k ihtiya? duyulan ?ey budur.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log7 496.

?lk form?le g?re arg?mandaki dereceden kurtulal?m:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir g?rev. ?fadenin de?erini bulun:

Paydan?n, taban? ve arg?man? tam g??ler olan bir logaritma oldu?una dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. ?unlara sahibiz:

Son ?rne?in a??kl??a kavu?turulmas? gerekti?ini d???n?yorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile ?al???yoruz. Orada duran logaritman?n taban?n? ve arg?man?n? dereceler ?eklinde sundular ve g?stergeleri ??kard?lar - “?? katl?” bir kesir ald?lar.

?imdi ana kesre bakal?m. Pay ve payda ayn? say?ya sahiptir: log2 7. Log2 7 ? 0 oldu?undan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacakt?r. Aritmetik kurallar?na g?re, d?rd? yap?lan paya aktar?labilir. Sonu? cevapt?r: 2.

Yeni bir temele ge?i?

Logaritma toplama ve ??karma kurallar?ndan bahsetmi?ken, sadece ayn? tabanlarla ?al??t?klar?n? ?zellikle vurgulad?m. Ya temeller farkl?ysa? Ya ayn? say?n?n tam g??leri de?ilse?

Yeni bir ?sse ge?i? i?in form?ller kurtarmaya geliyor. Onlar? bir teorem ?eklinde form?le ediyoruz:

Logaritma logax? verilsin. O zaman, c > 0 ve c ? 1 olacak ?ekilde herhangi bir c say?s? i?in e?itlik do?rudur:

?zellikle, c = x koyarsak ?unu elde ederiz:

?kinci form?lden, logaritman?n taban?n? ve arg?man?n? de?i?tirmenin m?mk?n oldu?u sonucu ??kar, ancak bu durumda t?m ifade “ters ?evrilmi?tir”, yani. logaritma paydadad?r.

Bu form?ller s?radan say?sal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar uygun olduklar?n? ancak logaritmik denklemleri ve e?itsizlikleri ??zerken de?erlendirmek m?mk?nd?r.

Ancak, yeni bir temele ta??nmak d???nda hi?bir ?ekilde ??z?lemeyecek g?revler vard?r. Bunlardan birka??n? ele alal?m:

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritman?n arg?manlar?n?n tam ?sler oldu?una dikkat edin. G?stergeleri ??karal?m: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

?imdi ikinci logaritmay? ?evirelim:

?arp?m, fakt?rlerin perm?tasyonundan de?i?medi?i i?in, sakince d?rt ve ikiyi ?arpt?k ve sonra logaritmalar? bulduk.

Bir g?rev. ?u ifadenin de?erini bulun: log9 100 lg 3.

?lk logaritman?n temeli ve arg?man? tam g??lerdir. Bunu bir yere yazal?m ve g?stergelerden kurtulal?m:

?imdi yeni bir tabana ge?erek ondal?k logaritmadan kurtulal?m:

Temel logaritmik kimlik

?o?u zaman ??zme s?recinde bir say?n?n belirli bir tabana g?re logaritma olarak temsil edilmesi gerekir. Bu durumda, form?ller bize yard?mc? olacakt?r:

?lk durumda, n say?s? ba??ms?z de?i?kende ?s olur. n say?s? kesinlikle herhangi bir ?ey olabilir, ??nk? bu sadece logaritman?n de?eridir.

?kinci form?l asl?nda ba?ka s?zc?klerle ifade edilmi? bir tan?md?r. ??yle denir:

Ger?ekten de, b say?s?, bu derecedeki b say?s? a say?s?n? verecek ?ekilde y?kseltilirse ne olur? Bu do?ru: bu ayn? say? a. Bu paragraf? tekrar dikkatlice okuyun - bir?ok insan ona “tak?l?r”.

Yeni temel d?n???m form?lleri gibi, temel logaritmik ?zde?lik bazen olas? tek ??z?md?r.

Bir g?rev. ?fadenin de?erini bulun:

log25 64 = log5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritman?n arg?man?n? ??kard???na dikkat edin. G??leri ayn? tabanla ?arpma kurallar? g?z ?n?ne al?nd???nda, ?unu elde ederiz:

E?er kimse bilmiyorsa, bu Birle?ik Devlet S?nav?ndan ger?ek bir g?revdi ?

Logaritmik birim ve logaritmik s?f?r

Sonu? olarak, ?zellik olarak adland?r?lmas? zor olan iki kimlik verece?im - bunlar logaritman?n tan?m?n?n sonu?lar?d?r. S?rekli olarak problemlerde bulunurlar ve ?a??rt?c? bir ?ekilde "ileri" ??renciler i?in bile problem yarat?rlar.

1. loga = 1'dir. Bir kere ve her ?ey i?in hat?rlay?n: o baz?n kendisinden herhangi bir a taban?n?n logaritmas? bire e?ittir.
2. loga 1 = 0'd?r. a taban? herhangi bir ?ey olabilir, ancak arg?man bir ise, logaritma s?f?rd?r! ??nk? a0 = 1, tan?m?n do?rudan bir sonucudur.

T?m ?zellikleri bu. Bunlar? uygulamaya koyarak pratik yapt???n?zdan emin olun! Hile sayfas?n? dersin ba??nda indirin, yazd?r?n ve sorunlar? ??z?n.

?le ba?layal?m birli?in logaritmas?n?n ?zellikleri. Form?lasyonu ?u ?ekildedir: birli?in logaritmas? s?f?ra e?ittir, yani, 1=0 g?nl??e kaydet herhangi bir a>0 , a?1 i?in. Kan?t basittir: yukar?daki a>0 ve a?1 ko?ullar?n? sa?layan herhangi bir a i?in 0 =1 oldu?undan, kan?tlanm?? e?itlik log a 1=0 hemen logaritman?n tan?m?ndan ??kar.

D???n?len ?zelli?in uygulama ?rnekleri verelim: log 3 1=0 , lg1=0 ve .

Bir sonraki ?zelli?e ge?elim: taban?na e?it bir say?n?n logaritmas? bire e?ittir, yani, a = 1 g?nl??e kaydet a>0 i?in , a?1 . Ger?ekten de, herhangi bir a i?in 1 =a oldu?undan, logaritman?n tan?m?na g?re log a a=1 .

Bu logaritma ?zelli?ini kullanma ?rnekleri log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ve lne=1 .

?rne?in, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 ve .

?ki pozitif say?n?n ?arp?m?n?n logaritmas? x ve y ?u say?lar?n logaritmalar?n?n ?arp?m?na e?ittir: log a (x y)=bir x log+log a y, a>0 , a?1 . ?r?n?n logaritmas?n?n ?zelli?ini ispatlayal?m. Derecenin ?zelliklerinden dolay? a log a x+log a y =a log a x a log a y ve ana logaritmik ?zde?li?e g?re a log a x =x ve log a y =y oldu?undan, o zaman bir log a x a log a y =x y olur. B?ylece, bir log a x+log a y =x y , bu nedenle gerekli e?itlik logaritman?n tan?m? taraf?ndan takip edilir.

?r?n?n logaritmas?n?n ?zelli?ini kullanma ?rneklerini g?sterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve .

?arp?m logaritma ?zelli?i, x 1 , x 2 , …, x n pozitif say?lar?n sonlu say?s?n?n ?arp?m?na genelle?tirilebilir. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Bu e?itlik kolayca kan?tlanabilir.

?rne?in, bir ?r?n?n do?al logaritmas?, 4, e ve say?lar?n?n ?? do?al logaritmas?n?n toplam? ile de?i?tirilebilir.

?ki pozitif say?n?n b?l?m?n?n logaritmas? x ve y bu say?lar?n logaritmalar? aras?ndaki farka e?ittir. B?l?m logaritma ?zelli?i, a>0 , a?1 , x ve y'nin baz? pozitif say?lar oldu?u formun bir form?l?ne kar??l?k gelir. Bu form?l?n ge?erlili?i, ?r?n?n logaritmas? form?l? gibi kan?tlanm??t?r: ??nk? , sonra logaritma tan?m?na g?re .

Logaritman?n bu ?zelli?ini kullanman?n bir ?rne?i: .

Konusuna ge?elim derecenin logaritmas?n?n ?zelli?i. Bir derecenin logaritmas?, ?ss?n ?arp?m?na ve bu derecenin taban?n?n mod?l?n?n logaritmas?na e?ittir. Derecenin logaritmas?n?n bu ?zelli?ini bir form?l ?eklinde yaz?yoruz: log a b p =p log a |b|, burada a>0 , a?1 , b ve p ?yle say?lard?r ki b p derecesi anlaml?d?r ve b p >0 .

?lk ?nce bu ?zelli?i pozitif b i?in kan?tl?yoruz. Temel logaritmik ?zde?lik, b say?s?n? a log a b , ard?ndan b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize izin verir ve sonu? ifadesi, power ?zelli?i nedeniyle, a p log a b'ye e?ittir. B?ylece, logaritman?n tan?m?na g?re, log a b p =p log a b oldu?u sonucuna vard???m?z b p =a p log a b e?itli?ine ula??r?z.

Geriye bu ?zelli?i negatif b i?in kan?tlamak kal?yor. Burada, negatif b i?in log a b p ifadesinin yaln?zca p bile ?sleri i?in anlaml? oldu?unu not ediyoruz (??nk? b p derecesinin de?eri s?f?rdan b?y?k olmal?d?r, aksi takdirde logaritma anlaml? olmayacakt?r) ve bu durumda b p =|b| p . O zamanlar bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, buradan log a b p =p log a |b| .

?rne?in, ve ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

?nceki m?lkten geliyor k?kten logaritman?n ?zelli?i: n. derecenin k?k?n?n logaritmas?, 1/n kesrinin ?arp?m?na ve k?k ifadesinin logaritmas?na e?ittir, yani, , burada a>0 , a?1 , n birden b?y?k bir do?al say?d?r, b>0 .

Kan?t, herhangi bir pozitif b i?in ge?erli olan e?itli?e (bkz. ) ve derecenin logaritmas?n?n ?zelli?ine dayan?r: .

Bu ?zelli?in kullan?m?na bir ?rnek: .

?imdi ispatlayal?m logaritman?n yeni taban?na d?n??t?rme form?l? t?r . Bunu yapmak i?in log c b=log a b log c a e?itli?inin ge?erlili?ini kan?tlamak yeterlidir. Temel logaritmik ?zde?lik, b say?s?n? a log a b , ard?ndan log c b=log c a log a b olarak temsil etmemize izin verir. Derecenin logaritmas?n?n ?zelli?ini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b = log a b log c a. B?ylece, logaritman?n yeni bir taban?na ge?i? form?l?n?n de kan?tland??? anlam?na gelen log c b=log a b log c a e?itli?i kan?tlanm??t?r.

Logaritmalar?n bu ?zelli?ini uygulamak i?in birka? ?rnek g?sterelim: ve .

Yeni bir tabana ge?me form?l?, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla ?al??maya devam etmenizi sa?lar. ?rne?in, logaritma tablosundan logaritman?n de?erini hesaplayabilmeniz i?in do?al veya ondal?k logaritmalara ge?i? yapmak i?in kullan?labilir. Logaritman?n yeni bir taban?na ge?i? form?l?, baz? durumlarda, di?er bazlarla baz? logaritmalar?n de?erleri bilindi?inde, belirli bir logaritman?n de?erini bulmaya da izin verir.

S?kl?kla kullan?lan, formun c=b logaritmas?n?n yeni bir taban?na ge?i? i?in form?l?n ?zel bir halidir. . Bu, log a b ve log b a – oldu?unu g?sterir. ?rne?in, .

Ayr?ca s?kl?kla kullan?lan form?l , logaritma de?erlerini bulmak i?in yararl?d?r. S?zlerimizi do?rulamak i?in, formun logaritmas?n?n de?erinin onu kullanarak nas?l hesapland???n? g?sterece?iz. Sahibiz . form?l? kan?tlamak i?in logaritma a'n?n yeni taban?na ge?i? form?l?n? kullanmak yeterlidir: .

Logaritmalar?n kar??la?t?rma ?zelliklerini kan?tlamak i?in kal?r.

Herhangi bir pozitif say? i?in b 1 ve b 2 , b 1 oldu?unu ispatlayal?m. log a b 2 ve a>1 i?in e?itsizlik log a b 1 =a log a b 2 , откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b 1 >=b 2 . Так мы получили противоречие условию b 1

Son olarak, logaritmalar?n listelenen ?zelliklerinin sonuncusunu kan?tlamak i?in kal?r. Kendimizi ilk k?sm?n? kan?tlamakla s?n?rl?yoruz, yani a 1 >1 , a 2 >1 ve a 1 ise kan?tl?yoruz. 1 do?rudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritmalar?n bu ?zelli?inin geri kalan ifadeleri benzer bir ilkeyle kan?tlanm??t?r.

Ters y?ntemi kullanal?m. Diyelim ki 1 >1 , 2 >1 ve 1 i?in =log a 2 b , а при b>1 log a 1 b<=log a 2 b do?rudur. Logaritmalar?n ?zelliklerine g?re, bu e?itsizlikler ?u ?ekilde yeniden yaz?labilir: ve s?ras?yla log b a 1 <=log b a 2 ve log b a 1 >=log b a 2 ?eklindedir. Daha sonra, ayn? tabanlara sahip kuvvetlerin ?zelliklerine g?re, b log b a 1 >=b log b a 2 ve b log b a 1 >=b log b a 2 e?itlikleri sa?lanmal?, yani a 1 >=a 2 . B?ylece, a 1 ko?uluyla bir ?eli?kiye ula?t?k.

Bibliyografya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Cebir ve Analizin Ba?lang?c?: Genel E?itim Kurumlar? 10-11. S?n?flar ??in Bir Ders Kitab?.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara ba?vuranlar i?in bir el kitab?).

?le ilgili olarak

verilen di?er iki say?dan herhangi birini bulma g?revi ayarlanabilir. Verilen a ve ard?ndan N, ?s alma yoluyla bulunur. N verilirse ve x kuvvetinin (veya ?s alman?n) k?k? ??kar?larak a bulunur. ?imdi, a ve N verildi?inde, x'i bulman?n gerekli oldu?u durumu d???n?n.

N say?s? pozitif olsun: a say?s? pozitiftir ve bire e?it de?ildir: .

Tan?m. N say?s?n?n a taban?na g?re logaritmas?, N say?s?n? elde etmek i?in a'y? y?kseltmeniz gereken ?steldir; logaritma ile g?sterilir

B?ylece (26.1) e?itli?inde ?s, N'nin a taban?na g?re logaritmas? olarak bulunur. Girdileri

ayn? anlama sahip. E?itlik (26.1) bazen logaritma teorisinin temel kimli?i olarak adland?r?l?r; asl?nda logaritma kavram?n?n tan?m?n? ifade eder. Bu tan?mla, logaritma a'n?n taban? her zaman pozitiftir ve birlikten farkl?d?r; logaritmal? N say?s? pozitiftir. Negatif say?lar ve s?f?r?n logaritmalar? yoktur. Belirli bir tabana sahip herhangi bir say?n?n iyi tan?mlanm?? bir logaritmas?na sahip oldu?u kan?tlanabilir. Bu nedenle e?itlik gerektirir. Buradaki ko?ulun esas oldu?una dikkat edin, aksi takdirde e?itlik herhangi bir x ve y de?eri i?in ge?erli oldu?undan, sonu? gerek?elendirilmez.

?rnek 1. Bul

??z?m. Say?y? elde etmek i?in, 2 taban?n? g?ce y?kseltmeniz gerekir.

Bu t?r ?rnekleri ??zerken a?a??daki formda kay?t yapabilirsiniz:

?rnek 2. Bul .

??z?m. Sahibiz

?rnek 1 ve 2'de, logaritmal? say?y? rasyonel bir ?sle bir taban derecesi olarak temsil ederek istenen logaritmay? kolayca bulduk. Genel durumda, ?rne?in for vb., logaritma irrasyonel bir de?ere sahip oldu?undan bu yap?lamaz. Bu ifadeyle ilgili bir soruya dikkat edelim. § 12'de, belirli bir pozitif say?n?n herhangi bir ger?ek g?c?n? belirleme olas?l??? kavram?n? verdik. Bu, genel olarak irrasyonel say?lar olabilen logaritmalar?n tan?t?lmas? i?in gerekliydi.

Logaritmalar?n baz? ?zelliklerini d???n?n.

?zellik 1. Say? ve taban e?itse, logaritma bire e?ittir ve tersine, logaritma bire e?itse, say? ve taban e?ittir.

Kan?t. Logaritman?n tan?m?na g?re, elimizde ve nereden

Tersine, izin verin O zaman tan?m gere?i

?zellik 2. Birli?in herhangi bir tabana g?re logaritmas? s?f?ra e?ittir.

Kan?t. Logaritman?n tan?m?yla (herhangi bir pozitif taban?n s?f?r g?c? bire e?ittir, bkz. (10.1)). Buradan

Q.E.D.

Tersi ifade de do?rudur: e?er , o zaman N = 1. Ger?ekten, elimizde .

Logaritmalar?n a?a??daki ?zelli?ini belirtmeden ?nce, her ikisi de c'den b?y?k veya c'den k???kse, a ve b say?lar?n?n ???nc? bir c say?s?n?n ayn? taraf?nda bulundu?unu kabul edelim. Bu say?lardan biri c'den b?y?k, di?eri c'den k???kse, c'nin z?t taraflar?nda olduklar?n? s?yleriz.

?zellik 3. Say? ve taban birli?in ayn? taraf?ndaysa, logaritma pozitiftir; say? ve taban birli?in z?t taraflar?ndaysa, logaritma negatiftir.

?zellik 3'?n kan?t?, taban birden b?y?kse ve ?s pozitifse veya taban birden k???kse ve ?s negatifse a'n?n derecesinin birden b?y?k oldu?u ger?e?ine dayan?r. Taban birden b?y?kse ve ?s negatifse veya taban birden k???kse ve ?s pozitifse derece birden k???kt?r.

Dikkate al?nmas? gereken d?rt durum vard?r:

Kendimizi bunlardan ilkinin analiziyle s?n?rl?yoruz, okuyucu gerisini kendi ba??na de?erlendirecektir.

O zaman e?itlikteki ?s ne negatif ne de s?f?ra e?it olsun, bu nedenle pozitiftir, yani kan?tlanmas? gereken ?ey.

?rnek 3. A?a??daki logaritmalardan hangilerinin pozitif, hangilerinin negatif oldu?unu bulun:

??z?m, a) 15 say?s? ve 12 taban? ?nitenin ayn? taraf?nda yer ald???ndan;

b) 1000 ve 2 ?nitenin ayn? taraf?nda yer ald???ndan; ayn? zamanda, taban?n logaritmik say?dan b?y?k olmas? ?art de?ildir;

c), 3.1 ve 0.8 birli?in z?t taraflar?nda yer ald???ndan;

G) ; Neden?

e) ; Neden?

A?a??daki 4-6 ?zelliklerine genellikle logaritma kurallar? denir: baz? say?lar?n logaritmas?n? bilerek, ?r?nlerinin logaritmas?n?, b?l?m?n?, her birinin derecesini bulmalar?na izin verirler.

?zellik 4 (?r?n?n logaritmas? kural?). Belirli bir tabandaki birka? pozitif say?n?n ?arp?m?n?n logaritmas?, bu say?lar?n ayn? tabandaki logaritmalar?n?n toplam?na e?ittir.

Kan?t. Pozitif say?lar verilsin.

?r?nlerinin logaritmas? i?in logaritmay? tan?mlayan e?itli?i (26.1) yaz?yoruz:

Buradan buluyoruz

?lk ve son ifadelerin ?slerini kar??la?t?rarak gerekli e?itli?i elde ederiz:

Ko?ulun gerekli oldu?unu unutmay?n; iki negatif say?n?n ?arp?m?n?n logaritmas? mant?kl?d?r, ancak bu durumda ?unu elde ederiz:

Genel olarak, birka? fakt?r?n ?arp?m? pozitifse, logaritmas? bu fakt?rlerin mod?llerinin logaritmalar?n?n toplam?na e?ittir.

?zellik 5 (b?l?m logaritma kural?). Pozitif say?lar?n bir b?l?m?n?n logaritmas?, ayn? tabanda al?nan temett? ve b?lenin logaritmalar? aras?ndaki farka e?ittir. Kan?t. s?rekli bul

Q.E.D.

?zellik 6 (derecenin logaritmas?n?n kural?). Herhangi bir pozitif say?n?n kuvvetinin logaritmas?, o say?n?n ?s ile logaritmas?na e?ittir.

Kan?t. Say? i?in ana kimli?i (26.1) tekrar yaz?yoruz:

Q.E.D.

Sonu?lar. Pozitif bir say?n?n k?k?n?n logaritmas?, k?k?n ?ss?ne b?l?nen k?k say?s?n?n logaritmas?na e?ittir:

Bu sonucun ge?erlili?ini, ?zellik 6'y? nas?l ve kullanarak sunarak kan?tlayabiliriz.

?rnek 4. a'y? temel alan logaritma:

a) (b, c, d, e'nin t?m de?erlerinin pozitif oldu?u varsay?l?r);

b) (oldu?u varsay?l?r).

??z?m, a) Bu ifadeyi kesirli kuvvetlere ge?mek uygundur:

(26.5)-(26.7) e?itliklerine dayanarak ?imdi ?unu yazabiliriz:

Say?lar?n logaritmalar? ?zerinde, say?lar?n kendilerinden daha basit i?lemlerin ger?ekle?tirildi?ini fark ettik: say?lar? ?arparken, logaritmalar? toplan?r, b?l?nd???nde ??kar?l?r, vb.

Bu nedenle logaritmalar hesaplamal? uygulamada kullan?lm??t?r (bkz. K?s?m 29).

Logaritman?n tersi eyleme potansiyalizasyon denir, yani: potansiyalizasyon, bu say?n?n bir say?n?n verilen logaritmas? taraf?ndan bulunmas?n? sa?layan eylemdir. ?z?nde, g??lendirme herhangi bir ?zel eylem de?ildir: taban? bir g?ce y?kseltmeye gelir (say?lar?n logaritmas?na e?it). "Potansiyasyon" terimi, "?sl?le?tirme" terimi ile e?anlaml? olarak kabul edilebilir.

G??lendirme yaparken, logaritma kurallar?n?n tersi olan kurallar? kullanmak gerekir: logaritmalar?n toplam?n? ?r?n?n logaritmas? ile, logaritma fark?n? b?l?m?n logaritmas? ile de?i?tirin, vb. ?zellikle, varsa logaritman?n i?aretinin ?n?ndeki herhangi bir fakt?r, daha sonra g??lendirme s?ras?nda logaritman?n i?areti alt?ndaki g?sterge derecelerine aktar?lmal?d?r.

?rnek 5. Biliniyorsa N'yi bulun.

??z?m. Az ?nce belirtilen potansiyalizasyon kural? ile ba?lant?l? olarak, bu e?itli?in sa??ndaki logaritmalar?n i?aretlerinin ?n?nde bulunan 2/3 ve 1/3 ?arpanlar?, bu logaritmalar?n i?aretleri alt?ndaki ?slere aktar?lacakt?r; al?r?z

?imdi logaritma fark?n? b?l?m?n logaritmas? ile de?i?tiriyoruz:

bu e?itlikler zincirindeki son fraksiyonu elde etmek i?in, ?nceki fraksiyonu paydadaki mant?ks?zl?ktan kurtard?k (b?l?m 25).

?zellik 7. Taban birden b?y?kse, b?y?k say?n?n logaritmas? daha b?y?kt?r (ve k???k olan?n daha k???k olan? vard?r), taban birden k???kse, daha b?y?k say?n?n daha k???k bir logaritmas? vard?r (ve daha k???k olan?n logaritmas? daha k???kt?r). birinin daha b?y??? var).

Bu ?zellik ayn? zamanda, her ikisi de pozitif olan e?itsizliklerin logaritmas? i?in bir kural olarak form?le edilmi?tir:

Taban? birden b?y?k olan e?itsizliklerin logaritmas? al?n?rken e?itsizlik i?areti korunur ve taban? birden k???k olan bir logaritma al?n?rken e?itsizli?in i?areti tersine ?evrilir (ayr?ca bkz. madde 80).

Kan?t, 5 ve 3 ?zelliklerine dayanmaktad?r.

(a ve N/M birli?in ayn? taraf?ndad?r). Buradan

A?a??daki durumda, okuyucu bunu kendisi ??zecektir.

?lkel d?zey cebirin ??elerinden biri logaritmad?r. ?sim, Yunancadan "say?" veya "derece" kelimesinden gelir ve son say?y? bulmak i?in say?y? tabanda y?kseltmenin gerekli oldu?u derece anlam?na gelir.

Logaritma t?rleri

• log a b, b say?s?n?n a taban?na g?re logaritmas?d?r (a > 0, a ? 1, b > 0);
• lg b - ondal?k logaritma (logaritma taban? 10, a = 10);
• ln b - do?al logaritma (logaritma taban? e, a = e).

Logaritma nas?l ??z?l?r?

b say?s?n?n a taban?na g?re logaritmas?, a taban?n?n b say?s?na y?kseltilmesini gerektiren bir ?sd?r. Sonu? ?u ?ekilde telaffuz edilir: "b'nin a'n?n taban?na g?re logaritmas?". Logaritmik problemlerin ??z?m?, verilen dereceyi belirtilen say?larla say?larla belirlemeniz gerekti?idir. Notasyonun kendisini d?n??t?rmenin yan? s?ra logaritmay? belirlemek veya ??zmek i?in baz? temel kurallar vard?r. Bunlar? kullanarak logaritmik denklemler ??z?l?r, t?revler bulunur, integraller ??z?l?r ve di?er bir?ok i?lem ger?ekle?tirilir. Temel olarak, logaritman?n kendisinin ??z?m? basitle?tirilmi? g?sterimidir. A?a??da ana form?ller ve ?zellikler verilmi?tir:

herhangi bir i?in; a > 0; a ? 1 ve herhangi bir x i?in; y > 0.

• a log a b = b temel logaritmik kimliktir
• 1 = 0 g?nl??e kaydet
• a = 1'i g?nl??e kaydet
• log a (x y ) = log a x + log a y
• a x/ y = log a x – bir y log
• 1/x'i g?nl??e kaydet = -x'i g?nl??e kaydet
• a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , k ? 0 i?in
• bir x'i g?nl??e kaydet = bir c x c'yi g?nl??e kaydet
• log a x \u003d log b x / log b a - yeni bir tabana ge?i? form?l?
• log a x = 1/log x a

Logaritma nas?l ??z?l?r - ??zmek i?in ad?m ad?m talimatlar

• ?lk ?nce, gerekli denklemi yaz?n.

L?tfen dikkat: temel logaritma 10 ise, kay?t k?salt?l?r, ondal?k logaritma elde edilir. Do?al bir e say?s? varsa, do?al logaritmaya indirgeyerek yazar?z. Bu, t?m logaritmalar?n sonucunun, b say?s?n? elde etmek i?in taban say?s?n?n y?kseltildi?i g?? oldu?u anlam?na gelir.

Do?rudan, ??z?m bu derecenin hesaplanmas?nda yatmaktad?r. Logaritma ile bir ifadeyi ??zmeden ?nce, kurala g?re, yani form?ller kullan?larak basitle?tirilmesi gerekir. Makalede biraz geriye giderek ana kimlikleri bulabilirsiniz.

?ki farkl? say?ya sahip ancak ayn? tabana sahip logaritmalar eklerken ve ??kar?rken, s?ras?yla b ve c say?lar?n?n ?arp?m? veya b?l?m? ile tek bir logaritma ile de?i?tirin. Bu durumda, ge?i? form?l?n? ba?ka bir tabana uygulayabilirsiniz (yukar?ya bak?n).

Logaritmay? basitle?tirmek i?in ifadeler kullan?yorsan?z, bilmeniz gereken baz? s?n?rlamalar vard?r. Ve bu: a logaritmas?n?n taban? yaln?zca pozitif bir say?d?r, ancak bire e?it de?ildir. b say?s?, a gibi, s?f?rdan b?y?k olmal?d?r.

?fadeyi basitle?tirdikten sonra logaritmay? say?sal bi?imde hesaplayamayaca??n?z durumlar vard?r. B?yle bir ifadenin bir anlam? yoktur, ??nk? bir?ok derece irrasyonel say?lard?r. Bu ko?ul alt?nda, say?n?n g?c?n? logaritma olarak b?rak?n.

(Yunanca logos - "kelime", "ili?ki" ve ?rithmos - "say?" dan) say?lar b Sebeple a(log a b) b?yle bir say? denir c, ve b= AC, yani, log a b=c ve b=ac e?de?erdir. a > 0, a ? 1, b > 0 ise logaritma anlaml?d?r.

Di?er bir deyi?le logaritma say?lar b Sebeple a bir say?n?n y?kseltilmesi gereken bir ?s olarak form?le edilmi?tir a numaray? almak i?in b(logaritma yaln?zca pozitif say?lar i?in mevcuttur).

Bu form?lasyondan, x= log a hesaplamas?n?n b, a x =b denklemini ??zmeye e?de?erdir.

?rne?in:

log 2 8 = 3 ??nk? 8=2 3 .

Logaritman?n belirtilen form?lasyonunun hemen belirlemeyi m?mk?n k?ld???n? not ediyoruz. logaritma de?eri logaritman?n i?aretinin alt?ndaki say?, taban?n belirli bir g?c? oldu?unda. Ger?ekten de, logaritman?n form?lasyonu, e?er b=bir c, ard?ndan say?n?n logaritmas? b Sebeple a e?ittir ?le birlikte. Logaritma konusunun konuyla yak?ndan ilgili oldu?u da a??kt?r. say? derecesi.

Logaritman?n hesaplanmas?na at?fta bulunulur. logaritma. Logaritma, logaritma alman?n matematiksel i?lemidir. Logaritma al?rken, fakt?rlerin ?r?nleri terimlerin toplam?na d?n??t?r?l?r.

potansiyalizasyon logaritman?n tersi matematiksel i?lemdir. G??lendirme yap?l?rken, verilen taban, ?zerinde g??lendirmenin ger?ekle?tirildi?i ifadenin g?c?ne y?kseltilir. Bu durumda, terimlerin toplamlar?, fakt?rlerin ?r?n?ne d?n??t?r?l?r.

Olduk?a s?k, 2 (ikili), e Euler say?s? e ? 2.718 (do?al logaritma) ve 10 (ondal?k) olan ger?ek logaritmalar kullan?l?r.

Bu a?amada dikkate de?er logaritma ?rnekleri g?nl?k 7 2 , i?inde ? 5, lg0.0001.

Ve lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 giri?leri mant?kl? de?il, ??nk? bunlardan ilkinde logaritman?n i?aretinin alt?na negatif bir say?, ikincisinde - negatif bir say? taban ve ???nc? - ve tabandaki logaritma ve birimin i?aretinin alt?nda negatif bir say?.

Logaritmay? belirleme ko?ullar?.

a > 0, a ? 1, b > 0 ko?ullar?n? ayr? ayr? ele almaya de?er. logaritma tan?m?. Bu k?s?tlamalar?n neden al?nd???n? d???nelim. Bu, x = log a bi?iminde bir e?itlik bulmam?za yard?mc? olacakt?r. b, do?rudan yukar?da verilen logaritman?n tan?m?ndan ??kan temel logaritmik kimlik olarak adland?r?l?r.

durumu al a?1. Bir, bire herhangi bir kuvvete e?it oldu?undan, x=log a e?itli?i b sadece ne zaman var olabilir b=1, ancak log 1 1 herhangi bir ger?ek say? olacakt?r. Bu belirsizli?i ortadan kald?rmak i?in, a?1.

ko?ulun gereklili?ini ispatlayal?m. a>0. saat a=0 logaritman?n form?lasyonuna g?re, yaln?zca ?u durumlarda var olabilir: b=0. Ve sonra buna g?re 0 0 g?nl??? s?f?rdan s?f?r olmayan herhangi bir g?ce s?f?r oldu?undan, s?f?r olmayan herhangi bir ger?ek say? olabilir. Bu belirsizli?i ortadan kald?rmak i?in ko?ul a?0. Ve ne zaman a<0 rasyonel ve irrasyonel bir ?sl? ?s yaln?zca negatif olmayan tabanlar i?in tan?mland???ndan, logaritman?n rasyonel ve irrasyonel de?erlerinin analizini reddetmek zorunda kal?rd?k. Bu sebepledir ki ko?ul a>0.

Ve son ?art b>0 e?itsizli?i takip eder a>0, ??nk? x=log a b ve derecenin pozitif bir tabana sahip de?eri a herzaman pozitif.

Logaritmalar?n ?zellikleri.

Logaritmalar ay?rt edici ?zelli?i olan ?zellikleri Bu, ?zenli hesaplamalar? b?y?k ?l??de kolayla?t?rmak i?in yayg?n olarak kullan?lmas?na yol a?t?. Logaritma d?nyas?na ge?i?te ?arpma i?lemi ?ok daha kolay toplamaya, b?lme ??karma i?lemine, bir kuvvete ??karma ve k?k alma i?lemi ?sl? ?arpmaya, b?lme i?lemine d?n??t?r?l?r.

Logaritmalar?n form?lasyonu ve de?erlerinin bir tablosu (trigonometrik fonksiyonlar i?in) ilk olarak 1614'te ?sko? matematik?i John Napier taraf?ndan yay?nland?. Di?er bilim adamlar? taraf?ndan b?y?t?len ve detayland?r?lan logaritmik tablolar, bilimsel ve m?hendislik hesaplamalar?nda yayg?n olarak kullan?ld? ve elektronik hesap makineleri ve bilgisayarlar kullan?lmaya ba?layana kadar ilgili kald?.