Fonksiyon ?a?r?l?r aral?kta art?yor
herhangi bir puan i?in ise

e?itsizlik ge?erli
(daha b?y?k bir ba??ms?z de?i?ken de?eri, daha b?y?k bir i?lev de?erine kar??l?k gelir).

Ayn? ?ekilde, fonksiyon
isminde aral?kta azal?yor
herhangi bir puan i?in ise
Ko?ul kar??lan?rsa bu aral?ktan
e?itsizlik ge?erli
(daha b?y?k bir ba??ms?z de?i?ken de?eri daha k???k bir i?lev de?erine kar??l?k gelir).

Aral?kta art?yor
ve aral?kta azalan
fonksiyonlar ?a?r?l?r aral?kta monoton
.

T?revlenebilir bir fonksiyonun t?revini bilmek, onun monotonlu?unun aral?klar?n? bulmay? sa?lar.

Teorem (bir fonksiyonun artmas? i?in yeterli ko?ul).
i?levler
aral?kta olumlu
, ard?ndan fonksiyon
bu aral?kta monoton olarak artar.

Teorem (bir fonksiyonun azalmas? i?in yeterli ko?ul). T?rev aral?kta t?revlenebilirse
i?levler
aral?kta negatif
, ard?ndan fonksiyon
bu aral?kta monoton olarak azal?r.

Geometrik anlam Bu teoremlerden biri, azalan fonksiyonlar?n aral?klar?nda, fonksiyon formunun grafi?ine eksen ile te?et olmas?d?r.
geni? a??lar ve artan aral?klarla - akut (bkz. ?ekil 1).

Teorem (bir fonksiyonun monotonlu?u i?in gerekli bir ko?ul). E?er fonksiyon
t?revlenebilir ve
(
) aral?kta
ise bu aral?kta azalmaz (artmaz).

Bir fonksiyonun monotonluk aral?klar?n? bulma algoritmas?
:

?rnek. Bir fonksiyonun monotonluk aral?klar?n? bulma
.

Nokta isminde fonksiyonun maksimum noktas?

?yle ki herkes i?in , ko?ulu kar??layan
e?itsizlik ge?erli
.

Maksimum fonksiyon fonksiyonun maksimum noktas?ndaki de?eridir.

?ekil 2, noktalarda maksimuma sahip bir fonksiyonun grafi?inin bir ?rne?ini g?stermektedir
.

Nokta isminde fonksiyonun minimum noktas?
e?er bir say? varsa
?yle ki herkes i?in , ko?ulu kar??layan
e?itsizlik ge?erli
. ?ncir. 2 fonksiyonun bu noktada minimumu vard?r .

Y?ksekler ve al?aklar i?in ortak bir isim vard?r: a??r?l?klar . Buna g?re maksimum ve minimum noktalara denir. ekstrem noktalar .

Bir segment ?zerinde tan?mlanan bir fonksiyonun maksimumu ve minimumu yaln?zca bu segmentin i?indeki noktalarda olabilir. Ayr?ca bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu, segmentteki en b?y?k ve en k???k de?erleriyle kar??t?rmamal?s?n?z - bunlar temelde farkl? kavramlard?r.

Ekstrem noktalarda t?revin ?zel ?zellikleri vard?r.

Teorem (ekstremum i?in gerekli ko?ul). Gelin bu noktada i?lev
bir ekstremuma sahiptir. O zaman ya
mevcut de?il veya
.

Fonksiyonun tan?m alan?ndan gelen noktalar
mevcut de?il veya hangisinde
, arand? fonksiyonun kritik noktalar? .

B?ylece ekstrem noktalar kritik noktalar aras?nda yer al?r. Genel olarak kritik noktan?n u? nokta olmas? gerekmez. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki t?revinin s?f?ra e?it olmas?, fonksiyonun bu noktada bir ekstremuma sahip oldu?u anlam?na gelmez.

?rnek. Hadi d???nelim
. Sahibiz
, ama nokta
bir u? nokta de?ildir (bkz. ?ekil 3).

Teorem (bir ekstremum i?in ilk yeterli ko?ul). Gelin bu noktada i?lev
s?reklidir ve t?revi
bir noktadan ge?erken i?areti de?i?tirir. Daha sonra – ekstrem nokta: i?aret “+”dan “-”ye de?i?irse maksimum, “-”den “+”ya de?i?irse minimum.

E?er bir noktadan ge?erken t?rev i?aret de?i?tirmez, o zaman a??r? bir durum yok.

Teorem (ekstremum i?in ikinci yeterli ko?ul). Gelin bu noktada iki kez t?revlenebilir bir fonksiyonun t?revi
s?f?ra e?it (
) ve bu noktadaki ikinci t?revi s?f?rdan farkl?d?r (
) ve noktan?n baz? mahallelerinde s?reklidir . Daha sonra – ekstrem nokta
; en
bu minimum noktad?r ve
bu maksimum noktad?r.

Bir ekstremum i?in ilk yeterli ko?ulu kullanarak bir fonksiyonun ekstremumlar?n? bulmaya y?nelik algoritma:

T?revini bulun.

Fonksiyonun kritik noktalar?n? bulun.

Her kritik noktan?n solunda ve sa??nda t?revin i?aretini inceleyin ve ekstremumlar?n varl??? hakk?nda bir sonuca var?n.

Fonksiyonun ekstrem de?erlerini bulun.

Bir ekstremum i?in ikinci yeterli ko?ulu kullanarak bir fonksiyonun ekstremumlar?n? bulmaya y?nelik algoritma:

?rnek. Fonksiyonun ekstremumunu bulun
.

Artan bir fonksiyonun tan?m?.

??lev y=f(x) aral?kta artar X, e?er varsa ve e?itsizlik devam ediyor. Ba?ka bir deyi?le, daha b?y?k bir arg?man de?eri, daha b?y?k bir fonksiyon de?erine kar??l?k gelir.

Azalan fonksiyonun tan?m?.

??lev y=f(x) aral?kta azal?r X, e?er varsa ve e?itsizlik ge?erli . Ba?ka bir deyi?le, arg?man?n daha b?y?k bir de?eri, fonksiyonun daha k???k bir de?erine kar??l?k gelir.

NOT: E?er fonksiyon artan veya azalan aral???n sonunda tan?ml? ve s?rekli ise (a;b) yani ne zaman x=a Ve x=b, bu noktalar artan veya azalan aral???na dahil edilir. Bu, aral?kta artan ve azalan fonksiyonun tan?mlar?yla ?eli?mez X.

?rne?in, temel temel fonksiyonlar?n ?zelliklerinden ?unu biliyoruz: y=sinx arg?man?n t?m ger?ek de?erleri i?in tan?mlanm?? ve s?reklidir. Dolay?s?yla sin?s fonksiyonunun aral?ktaki art???ndan, aral?kta artt???n? s?yleyebiliriz.

Ekstrem noktalar, bir fonksiyonun ekstremumlar?.

Nokta denir maksimum nokta i?levler y=f(x) e?er herkes i?inse X kom?ulu?undan e?itsizlik ge?erlidir. Fonksiyonun maksimum noktas?ndaki de?erine denir. fonksiyonun maksimumu ve belirtir.

Nokta denir minimum puan i?levler y=f(x) e?er herkes i?inse X kom?ulu?undan e?itsizlik ge?erlidir. Fonksiyonun minimum noktas?ndaki de?erine denir. minimum fonksiyon ve belirtir.

Bir noktan?n kom?ulu?u aral?k olarak anla??l?r , burada yeterince k???k bir pozitif say?d?r.

Minimum ve maksimum noktalara denir ekstrem noktalar ve ekstremum noktalara kar??l?k gelen fonksiyon de?erlerine denir fonksiyonun ekstremum de?eri.

Bir fonksiyonun ekstremumlar?n?, fonksiyonun en b?y?k ve en k???k de?erleriyle kar??t?rmay?n.

?lk ?ekilde fonksiyonun segment ?zerindeki en b?y?k de?eri maksimum noktaya ula??l?r ve fonksiyonun maksimumuna e?it olur ve ikinci ?ekilde - fonksiyonun en y?ksek de?erine o noktada ula??l?r x=b, bu bir maksimum nokta de?ildir.

Artan ve azalan fonksiyonlar i?in yeterli ko?ullar.

Bir fonksiyonun artmas? ve azalmas? i?in yeterli ko?ullar (i?aretler) esas al?narak fonksiyonun art?? ve azal?? aral?klar? bulunur.

Bir aral?kta artan ve azalan fonksiyonlar?n i?aretlerinin form?lasyonlar? ?unlard?r:

fonksiyonun t?revi ise y=f(x) herkes i?in olumlu X aral?ktan X, o zaman fonksiyon artar X;

fonksiyonun t?revi ise y=f(x) herkes i?in olumsuz X aral?ktan X, o zaman fonksiyon azal?r X.

Dolay?s?yla bir fonksiyonun art?? ve azal?? aral?klar?n? belirlemek i?in ?unlar gereklidir:

Algoritmay? a??klamak i?in artan ve azalan fonksiyonlar?n aral?klar?n? bulma ?rne?ini ele alal?m.

?rnek.

Artan ve azalan fonksiyonun aral?klar?n? bulun.

??z?m.

?lk ad?m fonksiyonun tan?m?n? bulmakt?r. ?rne?imizde paydadaki ifadenin s?f?ra gitmemesi gerekir, dolay?s?yla .

Fonksiyonun t?revini bulmaya ge?elim:

Yeterli bir kritere dayanarak bir fonksiyonun art?? ve azal?? aral?klar?n? belirlemek i?in tan?m alan?ndaki e?itsizlikleri ??zeriz. Aral?k y?nteminin bir genellemesini kullanal?m. Pay?n tek ger?ek k?k? x = 2 ve payda s?f?ra gider x=0. Bu noktalar tan?m alan?n?, fonksiyonun t?revinin i?aretini korudu?u aral?klara b?ler. Bu noktalar? say? do?rusunda i?aretleyelim. T?revin pozitif veya negatif oldu?u aral?klar? geleneksel olarak art?lar ve eksilerle belirtiriz. A?a??daki oklar ?ematik olarak fonksiyonun kar??l?k gelen aral?ktaki art???n? veya azalmas?n? g?stermektedir.

Fonksiyonun ekstremum de?erleri

Tan?m 2

Bir $x_0$ noktas?na, e?er bu noktan?n bir kom?ulu?u varsa, bu kom?uluktaki t?m $x$ i?in $f(x)\le f(x_0) e?itsizli?i varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktas? denir. $ tutar.

Tan?m 3

Bir $x_0$ noktas?na, e?er bu noktan?n bir kom?ulu?u varsa, bu kom?uluktaki t?m $x$ i?in $f(x)\ge f(x_0) e?itsizli?i varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktas? denir. $ tutar.

Bir fonksiyonun ekstremum kavram?, bir fonksiyonun kritik noktas? kavram?yla yak?ndan ili?kilidir. Tan?m?n? tan?tal?m.

Tan?m 4

A?a??daki durumlarda $x_0$, $f(x)$ fonksiyonunun kritik noktas? olarak adland?r?l?r:

1) $x_0$ - tan?m alan?n?n i? noktas?;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ veya mevcut de?il.

Ekstremum kavram? i?in onun varl??? i?in yeterli ve gerekli ko?ullar ?zerine teoremler form?le edebiliriz.

Teorem 2

Bir ekstremum i?in yeterli ko?ul

$x_0$ noktas? $y=f(x)$ fonksiyonu i?in kritik olsun ve $(a,b)$ aral???nda olsun. Her $\left(a,x_0\right)\ ve\ (x_0,b)$ aral???nda $f"(x)$ t?revinin mevcut oldu?unu ve sabit bir i?areti korudu?unu varsayal?m. Sonra:

1) $(a,x_0)$ aral???nda t?rev $f"\left(x\right)>0$ ise ve $(x_0,b)$ aral???nda t?rev $f"\left( ise x\sa?)

2) $(a,x_0)$ aral???nda $f"\left(x\right)0$ t?revi varsa, o zaman $x_0$ noktas? bu fonksiyon i?in minimum noktad?r.

3) Hem $(a,x_0)$ aral???nda hem de $(x_0,b)$ aral???ndaysa $f"\left(x\right) >0$ t?revi veya $f"\left(x t?revi \Sa?)

Bu teorem ?ekil 1'de g?sterilmektedir.

?ekil 1. Ekstremin varl??? i?in yeterli ko?ul

A??r?l?k ?rnekleri (?ekil 2).

?ekil 2. Ekstrem noktalara ?rnekler

Bir fonksiyonu ekstremum i?in inceleme kural?

2) $f"(x)$ t?revini bulun;

7) Teorem 2'yi kullanarak her aral?kta maksimum ve minimumlar?n varl??? hakk?nda sonu?lar ??kar?n.

Artan ve azalan fonksiyonlar

?nce artan ve azalan fonksiyonlar?n tan?mlar?n? verelim.

Tan?m 5

$X$ aral???nda tan?mlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1 noktas?ndaki herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktas? i?in artan oldu?u s?ylenir.

Tan?m 6

$X$ aral???nda tan?mlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1f(x_2)$ i?in herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktas? i?in azalan oldu?u s?ylenir.

Artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesi

T?revi kullanarak artan ve azalan fonksiyonlar? inceleyebilirsiniz.

Bir fonksiyonu artan ve azalan aral?klara g?re incelemek i?in a?a??dakileri yapman?z gerekir:

1) $f(x)$ fonksiyonunun tan?m tan?m k?mesini bulun;

2) $f"(x)$ t?revini bulun;

3) $f"\left(x\right)=0$ e?itli?inin sa?land??? noktalar? bulun;

4) $f"(x)$'?n bulunmad??? noktalar? bulun;

5) Bulunan t?m noktalar? ve bu fonksiyonun tan?m alan?n? koordinat ?izgisi ?zerinde i?aretleyin;

6) Ortaya ??kan her aral?kta $f"(x)$ t?revinin i?aretini belirleyin;

7) Bir sonuca var?n: $f"\left(x\right)0$ aral???nda fonksiyon artar.

Artan, azalan fonksiyonlar? ve ekstremum noktalar?n varl???n? incelemek i?in problem ?rnekleri

?rnek 1

Artt?rma ve azaltma fonksiyonunu ve maksimum ve minimum noktalar?n varl???n? inceleyin: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

?lk 6 nokta ayn? oldu?undan ?nce bunlar? ger?ekle?tirelim.

1) Tan?m alan? - t?m ger?ek say?lar;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ tan?m alan?n?n t?m noktalar?nda mevcuttur;

5) Koordinat ?izgisi:

Fig?r 3.

6) Her aral?kta $f"(x)$ t?revinin i?aretini belirleyin:

\ \}