Bir lineer denklem sistemi, her biri k de?i?ken i?eren n lineer denklemin birle?imidir. ?u ?ekilde yaz?l?r:

Bir?o?u, ilk kez daha y?ksek cebirle kar?? kar??ya kald?klar?nda, yanl??l?kla denklem say?s?n?n mutlaka de?i?ken say?s?yla ?ak??mas? gerekti?ine inan?rlar. Okul cebirinde bu genellikle b?yledir, ancak daha y?ksek cebir i?in bu, genel olarak do?ru de?ildir.

Bir denklem sisteminin ??z?m?, sistemin her bir denkleminin ??z?m? olan bir say? dizisidir (k 1 , k 2 , ..., kn ), yani. bu denklemde x 1 , x 2 , ..., x n de?i?kenleri yerine ikame edildi?inde do?ru say?sal e?itli?i verir.

Buna g?re, bir denklem sistemini ??zmek, t?m ??z?mlerinin k?mesini bulmak veya bu k?menin bo? oldu?unu kan?tlamak anlam?na gelir. Denklem say?s? ve bilinmeyen say?s? ayn? olmayabilece?inden, ?? durum m?mk?nd?r:

1. Sistem tutars?z, yani. t?m ??z?mler k?mesi bo?tur. Sistemin hangi y?ntemle ??z?lece?ine bak?lmaks?z?n kolayca tespit edilebilen olduk?a nadir bir durum.
2. Sistem tutarl? ve tan?mlanm??, yani. tam olarak bir ??z?m? var. Okuldan beri iyi bilinen klasik versiyon.
3. Sistem tutarl? ve tan?ms?zd?r, yani. sonsuz say?da ??z?m? vard?r. Bu en zor se?enektir. "Sistemin sonsuz bir ??z?m k?mesi vard?r" demek yeterli de?ildir - bu k?menin nas?l d?zenlendi?ini a??klamak gerekir.

x i de?i?kenine, sistemin yaln?zca bir denkleminde ve 1 katsay?s?nda yer al?yorsa izin verilir. Ba?ka bir deyi?le, geri kalan denklemlerde, x i de?i?keninin katsay?s? s?f?ra e?it olmal?d?r.

Her denklemde bir izin verilen de?i?ken se?ersek, t?m denklem sistemi i?in bir dizi izin verilen de?i?ken elde ederiz. Bu formda yaz?lan sistemin kendisi de izinli olarak adland?r?lacakt?r. Genel olarak konu?ursak, bir ve ayn? ba?lang?? sistemi farkl? izin verilen sistemlere indirgenebilir, ancak bu bizi ?imdi ilgilendirmiyor. ??te izin verilen sistem ?rnekleri:

Her iki sisteme de x 1 , x 3 ve x 4 de?i?kenlerine g?re izin verilir. Ancak ayn? ba?ar? ile x 1 , x 3 ve x 5'e g?re ikinci sisteme izin verildi?i s?ylenebilir. En son denklemi x 5 = x 4 bi?iminde yeniden yazmak yeterlidir.

?imdi daha genel bir durum d???n?n. Toplamda, r'sine izin verilen k de?i?kenimiz oldu?unu varsayal?m. O zaman iki durum m?mk?nd?r:

1. ?zin verilen de?i?kenlerin say?s? r, toplam de?i?ken say?s? k : r = k'ye e?ittir. r = k izin verilen de?i?kenlerin oldu?u bir k denklem sistemi elde ederiz. B?yle bir sistem i?birlik?i ve kesindir, ??nk? x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. ?zin verilen de?i?kenlerin say?s? r, toplam de?i?ken say?s?ndan azd?r : r< k . Остальные (k - r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dolay?s?yla yukar?daki sistemlerde x 2 , x 5 , x 6 (birinci sistem i?in) ve x 2 , x 5 (ikinci sistem i?in) de?i?kenleri serbesttir. Serbest de?i?kenlerin oldu?u durum, bir teorem olarak daha iyi form?le edilir:

L?tfen dikkat: Bu ?ok ?nemli bir nokta! Son sistemi nas?l yazd???n?za ba?l? olarak, ayn? de?i?kene hem izin verilebilir hem de serbest b?rak?labilir. ?o?u ileri d?zey matematik ??retmeni, de?i?kenleri s?zl?k s?ras?na g?re yazmay? ?nerir, yani. artan indeks Ancak, bu tavsiyeye kesinlikle uymak zorunda de?ilsiniz.

Teorem. n denklemli bir sistemde x 1 , x 2 , ..., x r de?i?kenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1 , x r + 2 , ..., x k serbest ise, o zaman:

1. Serbest de?i?kenlerin (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ) de?erlerini ayarlarsak ve ard?ndan x 1 , x 2 , de?erlerini bulursak. .., x r , ??z?mlerden birini elde ederiz.
2. ?ki ??z?mdeki serbest de?i?kenlerin de?erleri ayn?ysa, izin verilen de?i?kenlerin de?erleri de ayn?d?r, yani. ??z?mler e?ittir.

Bu teoremin anlam? nedir? ?zin verilen denklem sisteminin t?m ??z?mlerini elde etmek i?in serbest de?i?kenleri ay?rmak yeterlidir. Daha sonra serbest de?i?kenlere farkl? de?erler atayarak haz?r ??z?mler elde edece?iz. Hepsi bu - bu ?ekilde sistemin t?m ??z?mlerini elde edebilirsiniz. Ba?ka ??z?mler yok.

Sonu?: izin verilen denklem sistemi her zaman uyumludur. ?zin verilen sistemdeki denklem say?s? de?i?ken say?s?na e?itse sistem belirli, daha az ise belirsiz olacakt?r.

Ve her ?ey yoluna girecek, ancak soru ortaya ??k?yor: ??z?lm?? olan? orijinal denklem sisteminden nas?l elde ederiz? Bunun i?in var

Gizlili?iniz bizim i?in ?nemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nas?l kulland???m?z? ve saklad???m?z? a??klayan bir Gizlilik Politikas? geli?tirdik. L?tfen gizlilik politikam?z? okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Ki?isel bilgilerin toplanmas? ve kullan?lmas?

Ki?isel bilgiler, belirli bir ki?iyi tan?mlamak veya ileti?im kurmak i?in kullan?labilecek verileri ifade eder.

Bizimle ileti?ime ge?ti?inizde herhangi bir zamanda ki?isel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

A?a??da, toplayabilece?imiz ki?isel bilgi t?rlerine ve bu bilgileri nas?l kullanabilece?imize ili?kin baz? ?rnekler verilmi?tir.

Hangi ki?isel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir ba?vuru yapt???n?zda, ad?n?z, telefon numaran?z, e-posta adresiniz vb. dahil olmak ?zere ?e?itli bilgiler toplayabiliriz.

Ki?isel bilgilerinizi nas?l kullan?yoruz:

• Toplad???m?z ki?isel bilgiler, sizinle ileti?im kurmam?za ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve di?er etkinlikler ve yakla?an etkinlikler hakk?nda sizi bilgilendirmemize olanak tan?r.
• Zaman zaman, size ?nemli bildirimler ve mesajlar g?ndermek i?in ki?isel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Ki?isel bilgileri, sundu?umuz hizmetleri iyile?tirmek ve size hizmetlerimizle ilgili ?nerilerde bulunmak i?in denetimler, veri analizleri ve ?e?itli ara?t?rmalar yapmak gibi dahili ama?larla da kullanabiliriz.
• Bir ?d?l ?ekili?ine, yar??maya veya benzer bir te?vike girerseniz, sa?lad???n?z bilgileri bu t?r programlar? y?netmek i?in kullanabiliriz.

???nc? ?ah?slara a??klama

Sizden ald???m?z bilgileri ???nc? ?ah?slara if?a etmiyoruz.

?stisnalar:

• Gerekli olmas? durumunda - yasaya, yarg? d?zenine, yasal i?lemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklar?ndaki devlet organlar?n?n kamuya a??k taleplerine veya taleplerine dayanarak - ki?isel bilgilerinizi if?a edin. G?venlik, kanun yapt?r?m? veya di?er kamu yarar? nedenleriyle bu t?r bir a??klaman?n gerekli veya uygun oldu?unu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri if?a edebiliriz.
• Yeniden yap?lanma, birle?me veya sat?? durumunda, toplad???m?z ki?isel bilgileri ilgili ???nc? taraf halefine aktarabiliriz.

Ki?isel bilgilerin korunmas?

Ki?isel bilgilerinizi kay?p, h?rs?zl?k ve k?t?ye kullan?m?n yan? s?ra yetkisiz eri?im, if?a, de?i?iklik ve imhadan korumak i?in - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak ?zere - ?nlemler al?yoruz.

?irket d?zeyinde gizlili?inizi korumak

Ki?isel bilgilerinizin g?vende oldu?undan emin olmak i?in, ?al??anlar?m?za gizlilik ve g?venlik uygulamalar?n? iletiriz ve gizlilik uygulamalar?n? s?k? bir ?ekilde uygular?z.

?nceki paragrafta tart???lan grafiksel y?ntemden daha g?venilir.

?kame y?ntemi

Bu y?ntemi 7. s?n?fta lineer denklem sistemlerini ??zmek i?in kulland?k. 7. s?n?fta geli?tirilen algoritma, x ve y de?i?kenli herhangi iki denklemin (do?rusal olmas? gerekmez) sistemlerini ??zmek i?in olduk?a uygundur (tabii ki de?i?kenler ba?ka harflerle g?sterilebilir, bu ?nemli de?il). Asl?nda, bu algoritmay? ?nceki paragrafta, iki basamakl? bir say? problemi bir denklem sistemi olan matematiksel bir modele yol a?t???nda kulland?k. Yukar?daki denklem sistemini ikame y?ntemiyle ??zd?k (bkz. § 4'teki ?rnek 1).

?ki de?i?ken x, y ile iki denklem sistemini ??zerken ikame y?ntemini kullanma algoritmas?.

1. y'yi sistemin bir denkleminden x cinsinden ifade edin.
2. y yerine elde edilen ifadeyi sistemin ba?ka bir denkleminde de?i?tirin.
3. x i?in elde edilen denklemi ??z?n.
4. Denklemin x yerine ???nc? ad?mda bulunan k?klerinin her birini, birinci ad?mda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede yerine koyun.
5. Cevab?, s?ras?yla ???nc? ve d?rd?nc? ad?mlarda bulunan de?er ?iftleri (x; y) ?eklinde yaz?n.

4) Bulunan y de?erlerinin her birini s?rayla x \u003d 5 - Zy form?l?nde de?i?tirin. e?er o zaman
5) Verilen bir denklem sisteminin ?iftleri (2; 1) ve ??z?mleri.

Cevap: (2; 1);

cebirsel toplama y?ntemi

Bu y?ntem, yerine koyma y?ntemi gibi, lineer denklem sistemlerini ??zmek i?in kullan?ld??? 7. s?n?f cebir dersinden size a?inad?r. A?a??daki ?rnekte y?ntemin ?z?n? hat?rl?yoruz.

?rnek 2 Bir denklem sistemini ??z?n

Sistemin ilk denkleminin t?m terimlerini 3 ile ?arpar?z ve ikinci denklemi de?i?tirmeden b?rak?r?z:
Sistemin ikinci denklemini ilk denkleminden ??kar?n:

Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak eklenmesi sonucunda, verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, ?rne?in ikincisini de?i?tirme hakk?na sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle de?i?tirilecektir:

Bu sistem ikame y?ntemi ile ??z?lebilir. Buldu?umuz ikinci denklemden, y yerine bu ifadeyi sistemin ilk denklemine koyarsak, ?unu elde ederiz:

Bulunan x de?erlerini form?lde de?i?tirmeye devam ediyor

x = 2 ise

B?ylece sisteme iki ??z?m bulduk:

Yeni de?i?kenleri tan?tma y?ntemi

8. s?n?f cebir dersinde tek de?i?kenli rasyonel denklemleri ??zerken yeni bir de?i?ken ekleme y?ntemiyle tan??t?n?z. Denklem sistemlerini ??zmek i?in bu y?ntemin ?z? ayn?d?r, ancak teknik a??dan a?a??daki ?rneklerde tart??aca??m?z baz? ?zellikler vard?r.

?rnek 3 Bir denklem sistemini ??z?n

Yeni bir de?i?ken tan?tal?m O zaman sistemin ilk denklemi daha basit bir bi?imde yeniden yaz?labilir: Bu denklemi t de?i?kenine g?re ??zelim:

Bu de?erlerin her ikisi de ko?ulu kar??lar ve bu nedenle t de?i?kenli rasyonel bir denklemin k?kleridir. Ama bu, ya x = 2y'yi buldu?umuz yerden, ya da
B?ylece, yeni bir de?i?ken ekleme y?ntemini kullanarak, g?r?n??te olduk?a karma??k olan sistemin ilk denklemini iki basit denklem halinde “katmanla?t?rmay?” ba?ard?k:

x = 2 y; y - 2x.

S?radaki ne? Ve sonra elde edilen iki basit denklemin her biri, hen?z hat?rlamad???m?z x 2 - y 2 \u003d 3 denklemine sahip bir sistemde s?rayla d???n?lmelidir. Ba?ka bir deyi?le, problem iki denklem sistemini ??zmeye indirgenmi?tir:

Birinci sistem, ikinci sistem i?in ??z?mler bulmak ve ortaya ??kan t?m de?er ?iftlerini cevaba dahil etmek gerekir. ?lk denklem sistemini ??zelim:

?zellikle burada her ?ey haz?r oldu?una g?re, ikame y?ntemini kullanal?m: sistemin ikinci denklemine x yerine 2y ifadesini koyuyoruz. Almak

x \u003d 2y oldu?undan, s?ras?yla x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 buluyoruz, b?ylece verilen sisteme iki ??z?m elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). ?kinci denklem sistemini ??zelim:

Yerine koyma y?ntemini tekrar kullanal?m: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yerine koyuyoruz. Almak

Bu denklemin k?k? yoktur, yani denklem sisteminin ??z?m? yoktur. Bu nedenle cevaba sadece birinci sistemin ??z?mleri dahil edilmelidir.

Cevap: (2; 1); (-2;-1).

?ki de?i?kenli iki denklemli sistemlerin ??z?m?nde yeni de?i?kenler ekleme y?ntemi iki versiyonda kullan?l?r. ?lk se?enek: bir yeni de?i?ken tan?t?l?r ve sistemin yaln?zca bir denkleminde kullan?l?r. ?rnek 3'te tam olarak bu oldu. ?kinci se?enek: iki yeni de?i?ken, sistemin her iki denkleminde ayn? anda tan?t?l?r ve kullan?l?r. ?rnek 4'te durum b?yle olacakt?r.

?rnek 4 Bir denklem sistemini ??z?n

?ki yeni de?i?ken tan?tal?m:

bunu ??reniyoruz o zaman

Bu, verilen sistemi ?ok daha basit bir bi?imde, ancak yeni a ve b de?i?kenleriyle ilgili olarak yeniden yazmam?za izin verecektir:

A \u003d 1 oldu?undan, o zaman a + 6 \u003d 2 denkleminden ?unu buluruz: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. B?ylece, a ve b de?i?kenleri i?in bir ??z?m elde ettik:

x ve y de?i?kenlerine d?nersek, denklem sistemini elde ederiz.

Bu sistemi ??zmek i?in cebirsel toplama y?ntemini uyguluyoruz:

O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden ?unu buluruz:
B?ylece x ve y de?i?kenleri i?in bir ??z?m elde ettik:

Bu b?l?m? k?sa ama olduk?a ciddi bir teorik tart??ma ile sonland?ral?m. ?e?itli denklemleri ??zme konusunda zaten biraz deneyim kazand?n?z: do?rusal, kare, rasyonel, irrasyonel. Bir denklemi ??zmenin ana fikrinin, bir denklemden di?erine, daha basit ama verilene e?de?er yava? yava? ge?mek oldu?unu biliyorsunuz. ?nceki b?l?mde, iki de?i?kenli denklemler i?in denklik kavram?n? tan?tt?k. Bu kavram ayn? zamanda denklem sistemleri i?in de kullan?l?r.

Tan?m.

x ve y de?i?kenli iki denklem sisteminin ??z?mleri ayn?ysa veya her iki sistemin de ??z?m? yoksa e?de?er oldu?u s?ylenir.

Bu b?l?mde tart??t???m?z ?? y?ntemin t?m? (ikame, cebirsel toplama ve yeni de?i?kenlerin tan?t?lmas?) denklik a??s?ndan kesinlikle do?rudur. Ba?ka bir deyi?le, bu y?ntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit, ancak orijinal sisteme e?de?er ba?ka bir sistemle de?i?tiririz.

Denklem sistemlerini ??zmek i?in grafiksel y?ntem

Yerine koyma y?ntemi, cebirsel toplama ve yeni de?i?kenlerin tan?t?lmas? gibi yayg?n ve g?venilir yollarla denklem sistemlerinin nas?l ??z?lece?ini zaten ??rendik. ?imdi bir ?nceki derste incelemi? oldu?unuz y?ntemi hat?rlayal?m. Yani grafiksel ??z?m y?ntemi hakk?nda bildiklerinizi tekrar edelim.

Denklem sistemlerini grafiksel olarak ??zme y?ntemi, bu sisteme dahil olan ve ayn? koordinat d?zleminde bulunan belirli denklemlerin her biri i?in ve ayr?ca bu grafiklerin noktalar?n?n kesi?imini bulman?n gerekli oldu?u bir grafi?in olu?turulmas?d?r. . Bu denklem sistemini ??zmek i?in bu noktan?n (x; y) koordinatlar?d?r.

Bir grafik denklem sistemi i?in ya tek bir do?ru ??z?me sahip olman?n ya da sonsuz say?da ??z?me sahip olman?n ya da hi? ??z?me sahip olmaman?n yayg?n oldu?u unutulmamal?d?r.

?imdi bu ??z?mlerin her birine daha yak?ndan bakal?m. Ve b?ylece, sistemin denklemlerinin grafikleri olan do?rular kesi?irse, denklem sistemi benzersiz bir ??z?me sahip olabilir. Bu do?rular paralel ise, b?yle bir denklem sisteminin kesinlikle ??z?m? yoktur. Sistemin denklemlerinin do?rudan grafiklerinin ?ak??mas? durumunda, b?yle bir sistem bir?ok ??z?m bulman?z? sa?lar.

?imdi, 2 bilinmeyenli iki denklemli bir sistemi grafiksel bir y?ntemle ??zme algoritmas?na bir g?z atal?m:

?lk ?nce 1. denklemin grafi?ini olu?turuyoruz;
?kinci ad?m, ikinci denklemle ilgili bir grafik ?izmek olacakt?r;
???nc? olarak, grafiklerin kesi?me noktalar?n? bulmam?z gerekiyor.
Ve sonu? olarak, denklem sisteminin ??z?m? olacak her kesi?me noktas?n?n koordinatlar?n? elde ederiz.

Bu y?ntemi bir ?rnekle daha detayl? inceleyelim. Bize ??z?lmesi gereken bir denklem sistemi verildi:

Denklemleri ??zme

1. ?lk ?nce ?u denklemin grafi?ini olu?turaca??z: x2+y2=9.

Ancak, bu denklem grafi?inin orijinde merkezli bir daire olaca?? ve yar??ap?n?n ??e e?it olaca?? belirtilmelidir.

2. Bir sonraki ad?m?m?z, y = x - 3 gibi bir denklem ?izmek olacakt?r.

Bu durumda bir do?ru olu?turmal? ve (0;-3) ve (3;0) noktalar?n? bulmal?y?z.

3. Bakal?m elimizde ne var. Do?runun ?emberi A ve B noktalar?ndan ikisinde kesti?ini g?r?yoruz.

?imdi bu noktalar?n koordinatlar?n? ar?yoruz. (3;0) koordinatlar?n?n A noktas?na ve (0;-3) koordinatlar?n?n B noktas?na kar??l?k geldi?ini g?r?yoruz.

Ve sonu? olarak ne elde ederiz?

Bir do?runun ?emberle kesi?ti?i noktada elde edilen (3;0) ve (0;-3) say?lar?, sistemin her iki denkleminin de ??z?mleridir. Ve bundan, bu say?lar?n ayn? zamanda bu denklem sisteminin ??z?mleri oldu?u sonucu ??kar.

Yani bu ??z?m?n cevab? say?lard?r: (3;0) ve (0;-3).

Lineer cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) ??zme, ??phesiz lineer cebir dersinin en ?nemli konusudur. Matemati?in t?m dallar?ndan ?ok say?da problem, lineer denklem sistemlerini ??zmeye indirgenmi?tir. Bu fakt?rler, bu makalenin olu?turulma nedenini a??klar. Makalenin malzemesi se?ilmi? ve yap?land?r?lm??t?r, b?ylece yard?m? ile ?unlar? yapabilirsiniz:

• lineer cebirsel denklem sisteminizi ??zmek i?in en uygun y?ntemi se?in,
• se?ilen y?ntemin teorisini incelemek,
• Tipik ?rneklerin ve problemlerin ??z?mlerini ayr?nt?l? olarak ele alarak lineer denklem sisteminizi ??z?n.

Makalenin malzemesinin k?sa a??klamas?.

?lk olarak, gerekli t?m tan?mlar?, kavramlar? veriyoruz ve baz? g?sterimleri tan?t?yoruz.

Daha sonra, denklem say?s?n?n bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?na e?it oldu?u ve benzersiz bir ??z?m? olan lineer cebirsel denklem sistemlerini ??zme y?ntemlerini ele alaca??z. ?lk olarak, Cramer y?ntemine odaklanal?m, ikinci olarak, bu t?r denklem sistemlerini ??zmek i?in matris y?ntemini g?sterece?iz ve ???nc? olarak, Gauss y?ntemini (bilinmeyen de?i?kenlerin art arda ortadan kald?r?lmas? y?ntemi) analiz edece?iz. Teoriyi peki?tirmek i?in, kesinlikle birka? SLAE'yi ?e?itli ?ekillerde ??zece?iz.

Bundan sonra, denklem say?s?n?n bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?yla ?ak??mad??? veya sistemin ana matrisinin dejenere oldu?u genel bir formun lineer cebirsel denklem sistemlerini ??zmeye d?n?yoruz. SLAE'lerin uyumlulu?unu belirlememizi sa?layan Kronecker-Capelli teoremini form?le ediyoruz. Bir matrisin temel min?r kavram?n? kullanarak sistemlerin ??z?m?n? (uyumluluklar? durumunda) analiz edelim. Gauss y?ntemini de ele alaca??z ve ?rneklerin ??z?mlerini ayr?nt?l? olarak anlataca??z.

Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel ??z?m?n?n yap?s? ?zerinde durdu?unuzdan emin olun. Temel bir ??z?m sistemi kavram?n? verelim ve temel ??z?m sisteminin vekt?rleri kullan?larak SLAE'nin genel ??z?m?n?n nas?l yaz?ld???n? g?sterelim. Daha iyi anlamak i?in birka? ?rne?e bakal?m.

Sonu? olarak, ??z?m?nde SLAE'lerin ortaya ??kt??? ?e?itli problemlerin yan? s?ra do?rusal olanlara indirgenmi? denklem sistemlerini ele al?yoruz.

Sayfa gezintisi.

Tan?mlar, kavramlar, adland?rmalar.

Formun n bilinmeyen de?i?keni (p e?it olabilir) ile p lineer cebirsel denklem sistemlerini ele alaca??z.

Bilinmeyen de?i?kenler, - katsay?lar (baz? ger?ek veya karma??k say?lar), - serbest ?yeler (ger?ek veya karma??k say?lar da).

SLAE'nin bu formuna koordinat.

AT matris formu bu denklem sistemi ?u ?ekildedir,
nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen de?i?kenlerin matris s?tunu, - serbest ?yelerin matris s?tunu.

A matrisine (n + 1)-th s?tunu olarak serbest terimlerin matris s?tununu eklersek, o zaman s?zde olan? elde ederiz. geni?letilmi? matris lineer denklem sistemleri. Genellikle, art?r?lm?? matris T harfi ile g?sterilir ve serbest ?yelerin s?tunu, s?tunlar?n geri kalan?ndan dikey bir ?izgi ile ayr?l?r, yani,

Lineer cebirsel denklemler sistemini ??zerek sistemin t?m denklemlerini kimliklere d?n??t?ren bilinmeyen de?i?kenlerin bir dizi de?eri olarak adland?r?l?r. Bilinmeyen de?i?kenlerin verilen de?erleri i?in matris denklemi de bir ?zde?li?e d?n???r.

Bir denklem sisteminin en az bir ??z?m? varsa buna denir. ba?lant?.

Denklem sisteminin ??z?m? yoksa denir. uyumsuz.

Bir SLAE'nin benzersiz bir ??z?m? varsa, buna denir. belirli; birden fazla ??z?m varsa, o zaman - belirsiz.

Sistemin t?m denklemlerinin serbest terimleri s?f?ra e?itse , sonra sistem ?a?r?l?r homojen, aksi halde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerinin ??z?m?.

Sistem denklemlerinin say?s? bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?na e?itse ve ana matrisinin determinant? s?f?ra e?it de?ilse, bu t?r SLAE'leri arayaca??z. temel. Bu t?r denklem sistemlerinin benzersiz bir ??z?m? vard?r ve homojen bir sistem durumunda t?m bilinmeyen de?i?kenler s?f?ra e?ittir.

Lisede b?yle bir SLAE okumaya ba?lad?k. Onlar? ??zerken, bir denklem ald?k, bilinmeyen bir de?i?keni di?erleri cinsinden ifade ettik ve kalan denklemlere koyduk, sonra bir sonraki denklemi ald?k, bir sonraki bilinmeyen de?i?keni ifade ettik ve di?er denklemlere yerle?tirdik, vb. Ya da toplama y?ntemini kulland?lar, yani bilinmeyen baz? de?i?kenleri ortadan kald?rmak i?in iki veya daha fazla denklem eklediler. Esasen Gauss y?nteminin modifikasyonlar? olduklar? i?in bu y?ntemler ?zerinde ayr?nt?l? olarak durmayaca??z.

Temel do?rusal denklem sistemlerini ??zmenin ana y?ntemleri Cramer y?ntemi, matris y?ntemi ve Gauss y?ntemidir. Onlar? s?ralayal?m.

Lineer denklem sistemlerini Cramer y?ntemiyle ??zme.

Bir lineer cebirsel denklem sistemini ??zmemiz gerekiyor

denklem say?s?n?n bilinmeyen de?i?ken say?s?na e?it oldu?u ve sistemin ana matrisinin determinant?n?n s?f?rdan farkl? oldu?u, yani .

Sistemin ana matrisinin determinant? olsun ve de?i?tirilerek A'dan elde edilen matrislerin belirleyicileridir. 1., 2., …, n. bo? ?yeler s?tununa s?ras?yla s?tun:

B?yle bir g?sterimle, bilinmeyen de?i?kenler Cramer y?nteminin form?lleriyle ?u ?ekilde hesaplan?r: . Lineer cebirsel denklemler sisteminin ??z?m? Cramer y?ntemiyle bu ?ekilde bulunur.

?rnek.

Cramer y?ntemi .

??z?m.

Sistemin ana matrisi ?u ?ekildedir: . Belirleyicisini hesaplay?n (gerekirse makaleye bak?n):

Sistemin ana matrisinin determinant? s?f?rdan farkl? oldu?u i?in sistem Cramer y?ntemi ile bulunabilen benzersiz bir ??z?me sahiptir.

Gerekli belirleyicileri olu?turun ve hesaplay?n (determinant, A matrisindeki ilk s?tunun bir serbest ?ye s?tunu ile de?i?tirilmesiyle elde edilir, determinant - ikinci s?tunun bir serbest ?ye s?tunu ile de?i?tirilmesi, - A matrisinin ???nc? s?tununun bir serbest ?ye s?tunu ile de?i?tirilmesiyle elde edilir. ):

Form?lleri kullanarak bilinmeyen de?i?kenleri bulma :

Cevap:

Cramer y?nteminin ana dezavantaj? (e?er dezavantaj olarak adland?r?labilirse), sistem denklemlerinin say?s? ??ten fazla oldu?unda determinantlar? hesaplaman?n karma??kl???d?r.

Lineer cebirsel denklem sistemlerini matris y?ntemiyle ??zme (ters matris kullanarak).

Lineer cebirsel denklemler sistemi matris bi?iminde verilsin, burada A matrisi n'ye n boyutuna sahiptir ve determinant? s?f?r de?ildir.

A matrisi ters ?evrilebilir oldu?undan, ters matris vard?r. E?itli?in her iki k?sm?n? sol ile ?arparsak, bilinmeyen de?i?kenlerin s?tun matrisini bulmak i?in bir form?l elde ederiz. B?ylece lineer cebirsel denklemler sisteminin ??z?m?n? matris y?ntemiyle elde ettik.

?rnek.

Lineer Denklemler Sistemini ??z matris y?ntemi.

??z?m.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazal?m:

??nk?

daha sonra SLAE matris y?ntemiyle ??z?lebilir. Ters matris kullan?larak bu sistemin ??z?m? ?u ?ekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlar?n?n cebirsel tamamlay?c?lar?n?n bir matrisini kullanarak bir ters matris olu?tural?m (gerekirse makaleye bak?n):

Hesaplamaya devam ediyor - ters matrisi ?arparak bilinmeyen de?i?kenlerin matrisi serbest ?yelerin matris s?tununda (gerekirse makaleye bak?n):

Cevap:

veya ba?ka bir g?sterimde x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris y?ntemiyle lineer cebirsel denklem sistemlerine ??z?m bulmadaki temel sorun, ?zellikle ???nc? dereceden daha y?ksek mertebeden kare matrisler i?in ters matris bulman?n karma??kl???d?r.

Gauss y?ntemiyle lineer denklem sistemlerinin ??z?m?.

n bilinmeyen de?i?kenli n lineer denklem sistemine bir ??z?m bulmam?z gerekti?ini varsayal?m.
ana matrisinin determinant? s?f?rdan farkl?d?r.

Gauss y?nteminin ?z? bilinmeyen de?i?kenlerin art arda hari? tutulmas?ndan olu?ur: ilk olarak, x 1, ikinciden ba?layarak sistemin t?m denklemlerinden hari? tutulur, ard?ndan x 2, ???nc?den ba?layarak t?m denklemlerden hari? tutulur ve bu, yaln?zca bilinmeyen de?i?kene kadar devam eder. x n son denklemde kal?r. Bilinmeyen de?i?kenlerin art arda ortadan kald?r?lmas? i?in sistemin denklemlerini d?n??t?rme i?lemine denir. do?rudan Gauss y?ntemi. Gauss y?nteminin ileri ?al??mas? tamamland?ktan sonra, son denklemden x n bulunur, bu de?er kullan?larak sondan bir ?nceki denklemden x n-1 hesaplan?r ve b?ylece ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine ge?erken bilinmeyen de?i?kenleri hesaplama i?lemine denir. ters Gauss y?ntemi.

Bilinmeyen de?i?kenleri ortadan kald?rmak i?in algoritmay? k?saca tan?mlayal?m.

Bunu, sistemin denklemlerini yeniden d?zenleyerek her zaman ba?arabilece?imiz i?in varsayaca??z. Bilinmeyen de?i?ken x 1'i, ikincisinden ba?layarak sistemin t?m denklemlerinden hari? tutuyoruz. Bunu yapmak i?in, ilk ?arp? ile ?arp?m? sistemin ikinci denklemine ekleyin, birinci ?arp? ile ?arp?m? ???nc? denkleme ekleyin ve b?ylece ilk ?arp? ile ?arp?m? n'inci denkleme ekleyin. Bu t?r d?n???mlerden sonra denklem sistemi ?u ?ekilde olacakt?r:

burada bir .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i di?er bilinmeyen de?i?kenler cinsinden ifade edersek ve elde edilen ifadeyi di?er t?m denklemlerde yerine koyarsak ayn? sonuca var?rd?k. B?ylece, x 1 de?i?keni, ikinciden ba?layarak t?m denklemlerden ??kar?l?r.

Daha sonra, benzer ?ekilde hareket ediyoruz, ancak yaln?zca ?ekilde i?aretlenmi? olan ortaya ??kan sistemin bir k?sm? ile

Bunu yapmak i?in, ikinci ?arp? ile ?arp?m? sistemin ???nc? denklemine ekleyin, ikinci ?arp? ile ?arp?m? d?rd?nc? denkleme ekleyin ve bu ?ekilde, ikinci ?arp? ile ?arp?m? n'inci denkleme ekleyin. Bu t?r d?n???mlerden sonra denklem sistemi ?u ?ekilde olacakt?r:

burada bir . B?ylece, x 2 de?i?keni, ???nc?den ba?layarak t?m denklemlerden ??kar?l?r.

Daha sonra, sistemin ?ekilde i?aretlenmi? k?sm? ile benzer ?ekilde hareket ederken bilinmeyen x 3'?n ortadan kald?r?lmas?na ge?iyoruz.

Bu y?zden sistem formu alana kadar Gauss y?nteminin do?rudan seyrine devam ediyoruz.

Bu andan itibaren Gauss y?nteminin ters seyrine ba?l?yoruz: Son denklemden x n'yi , elde edilen x n de?erini kullanarak sondan bir ?nceki denklemden x n-1'i buluyoruz ve b?ylece ilkinden x 1 buluyoruz. denklem.

?rnek.

Lineer Denklemler Sistemini ??z Gauss y?ntemi.

??z?m.

Bilinmeyen de?i?ken x 1'i sistemin ikinci ve ???nc? denklemlerinden ??karal?m. Bunu yapmak i?in, ikinci ve ???nc? denklemlerin her iki k?sm?na, s?ras?yla ve ile ?arp?larak birinci denklemin kar??l?k gelen k?s?mlar?n? ekliyoruz:

?imdi x 2'yi ???nc? denklemden, sol ve sa? k?s?mlar?na ikinci denklemin sol ve sa? k?s?mlar?n? ?arparak ekleyerek hari? tutuyoruz:

Bunun ?zerine Gauss y?nteminin ileri seyri tamamland?, ters seyire ba?l?yoruz.

Ortaya ??kan denklem sisteminin son denkleminden x 3'? buluruz:

?kinci denklemden elde ederiz.

?lk denklemden kalan bilinmeyen de?i?keni buluruz ve bu Gauss y?nteminin tersini tamamlar.

Cevap:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerini ??zme.

Genel durumda, p sisteminin denklem say?s?, bilinmeyen de?i?kenlerin say?s? n ile ?ak??maz:

Bu t?r SLAE'lerin ??z?m? olmayabilir, tek bir ??z?m? olabilir veya sonsuz say?da ??z?m? olabilir. Bu ifade, ana matrisi kare ve dejenere olan denklem sistemleri i?in de ge?erlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir lineer denklem sistemine bir ??z?m bulmadan ?nce, uyumlulu?unu belirlemek gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman uyumsuz sorusunun cevab? ?u ?ekildedir: Kronecker-Capelli teoremi:
n bilinmeyenli (p n'ye e?it olabilir) bir p denklem sisteminin tutarl? olmas? i?in, sistemin ana matrisinin rank?n?n geni?letilmi? matrisin rank?na e?it olmas? gerekli ve yeterlidir, yani Rank( A)=S?ra(T) .

?rnek olarak bir lineer denklem sisteminin uyumlulu?unu belirlemek i?in Kronecker-Cappelli teoreminin uygulamas?n? ele alal?m.

?rnek.

Lineer denklem sisteminin olup olmad???n? ??renin ??z?mler.

??z?m.

. K???kleri s?n?rlama y?ntemini kullanal?m. ?kinci dereceden k???k s?f?rdan farkl?d?r. Etraf?ndaki ???nc? dereceden k???klerin ?zerinden ge?elim:

T?m s?n?rlay?c? ???nc? dereceden k???kler s?f?ra e?it oldu?undan, ana matrisin s?ras? ikidir.

Buna kar??l?k, art?r?lm?? matrisin rank? ???nc? mertebenin k?????nden beri ??e e?ittir

s?f?rdan farkl?d?r.

B?ylece, Rang(A) , bu nedenle, Kronecker-Capelli teoremine g?re, orijinal lineer denklem sisteminin tutars?z oldu?u sonucuna varabiliriz.

Cevap:

??z?m sistemi yok.

B?ylece Kronecker-Capelli teoremini kullanarak sistemin tutars?zl???n? kurmay? ??rendik.

Ancak uyumlulu?u sa?lanm??sa SLAE'nin ??z?m? nas?l bulunur?

Bunu yapmak i?in, bir matrisin k???k taban kavram?na ve bir matrisin rank? ?zerindeki teoreme ihtiyac?m?z var.

A matrisinin s?f?rdan farkl? en y?ksek mertebeden k?????ne denir. temel.

Temel min?r?n tan?m?ndan, s?ras?n?n matrisin s?ras?na e?it oldu?u sonucu ??kar. S?f?r olmayan bir A matrisi i?in birka? temel min?r olabilir; her zaman bir temel min?r vard?r.

?rne?in, matrisi d???n?n .

Bu matrisin t?m ???nc? dereceden k???kleri s?f?ra e?ittir, ??nk? bu matrisin ???nc? sat?r?n?n elemanlar?, birinci ve ikinci sat?rlar?n kar??l?k gelen elemanlar?n?n toplam?d?r.

A?a??daki ikinci mertebeden k???kler, s?f?rdan farkl? olduklar? i?in temeldir.

k???kler s?f?ra e?it olduklar? i?in temel de?ildirler.

Matris s?ra teoremi.

p'ye n dereceli bir matrisin rank? r ise, matrisin sat?rlar?n?n (ve s?tunlar?n?n) se?ilen temel min?r?n? olu?turmayan t?m ??eleri, sat?rlar?n (ve s?tunlar?n) kar??l?k gelen ??eleri cinsinden do?rusal olarak ifade edilir. ) temel min?r olu?turan.

Matris s?ralama teoremi bize ne verir?

Kronecker-Capelli teoremi ile sistemin uyumlulu?unu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir temel min?r?n? se?eriz (s?ralamas? r'ye e?ittir) ve olmayan t?m denklemleri sistemden ??kar?r?z. se?ilen temel min?r? olu?turur. Bu ?ekilde elde edilen SLAE, at?lan denklemler hala gereksiz oldu?undan (matris s?ra teoremine g?re, bunlar kalan denklemlerin do?rusal bir birle?imidir) orijinaline e?de?er olacakt?r.

Sonu? olarak, sistemin a??r? denklemleri at?ld?ktan sonra iki durum m?mk?nd?r.

Ortaya ??kan sistemdeki denklem say?s? r, bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?na e?itse, o zaman kesin olacakt?r ve tek ??z?m Cramer y?ntemi, matris y?ntemi veya Gauss y?ntemi ile bulunabilir.

?rnek.

.

??z?m.

Sistemin ana matrisinin s?ralamas? ikinci mertebenin k?????nden beri ikiye e?ittir s?f?rdan farkl?d?r. Geni?letilmi? matris s?ralamas? ayr?ca ikiye e?ittir, ??nk? ???nc? mertebenin tek k????? s?f?ra e?ittir

ve yukar?da ele al?nan ikinci mertebenin k????? s?f?rdan farkl?d?r. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 oldu?undan, orijinal lineer denklem sisteminin uyumlulu?u ileri s?r?lebilir.

Temel min?r olarak, . Birinci ve ikinci denklemlerin katsay?lar?ndan olu?ur:


Sistemin ???nc? denklemi, temel min?r olu?umuna kat?lmaz, bu nedenle onu matris s?ralama teoremine dayanarak sistemden hari? tutar?z:


B?ylece temel bir lineer cebirsel denklem sistemi elde ettik. Cramer y?ntemiyle ??zelim:


Cevap:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ortaya ??kan SLAE'deki r denklemlerinin say?s? bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?ndan az ise n , o zaman temel min?r? olu?turan terimleri denklemlerin sol k?s?mlar?nda b?rak?r ve kalan terimleri denklemlerin sa? k?s?mlar?na aktar?r?z. ters i?aretli sistemin.

Denklemlerin sol taraf?nda kalan bilinmeyen de?i?kenlere (r tane vard?r) denir. ana.

Sa? tarafta sona eren bilinmeyen de?i?kenler (bunlardan n - r vard?r) denir Bedava.

?imdi, serbest bilinmeyen de?i?kenlerin keyfi de?erler alabilece?ini, r ana bilinmeyen de?i?kenlerin ise benzersiz bir ?ekilde serbest bilinmeyen de?i?kenler cinsinden ifade edilece?ini varsay?yoruz. ?fadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer y?ntemi, matris y?ntemi veya Gauss y?ntemi ile ??z?lmesiyle bulunabilir.

Bir ?rnek alal?m.

?rnek.

Lineer Cebirsel Denklemler Sistemini ??z .

??z?m.

Sistemin ana matrisinin s?ras?n? bulun s?n?rlay?c? k???kler y?ntemiyle. S?f?rdan farkl? bir birinci dereceden k???k olarak 1 1 = 1 alal?m. Bu min?r? ?evreleyen s?f?rdan farkl? ikinci dereceden bir min?r aramaya ba?layal?m:


B?ylece ikinci dereceden s?f?r olmayan bir min?r bulduk. ???nc? mertebeden s?f?r olmayan bir kenarda kalan min?r aramaya ba?layal?m:


B?ylece, ana matrisin s?ras? ??t?r. Art?r?lm?? matrisin s?ralamas? da ??e e?ittir, yani sistem tutarl?d?r.

???nc? mertebeden bulunan s?f?r olmayan min?r, temel olarak al?nacakt?r.

Anla??l?r olmas? i?in, min?r?n temelini olu?turan unsurlar? g?steriyoruz:


Temel min?re kat?lan terimleri sistemin denklemlerinin sol taraf?nda b?rak?p, z?t i?aretlerle geri kalan?n? sa? taraflara aktar?yoruz:


Serbest bilinmeyen de?i?kenlere x 2 ve x 5 keyfi de?erler veriyoruz, yani , keyfi say?lar nerede. Bu durumda, SLAE ?u ?ekli al?r:


Elde edilen temel lineer cebirsel denklem sistemini Cramer y?ntemiyle ??z?yoruz:


Sonu? olarak, .

Cevapta, serbest bilinmeyen de?i?kenleri belirtmeyi unutmay?n.

Cevap:

Rasgele say?lar nerede.

?zetle.

Genel bir formun lineer cebirsel denklem sistemini ??zmek i?in ?nce Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumlulu?unu buluruz. Ana matrisin s?ras?, geni?letilmi? matrisin s?ras?na e?it de?ilse, sistemin tutars?z oldu?u sonucuna var?r?z.

Ana matrisin s?ras?, geni?letilmi? matrisin s?ras?na e?itse, temel min?r se?ilir ve se?ilen temel min?r?n olu?umuna kat?lmayan sistemin denklemlerini atar?z.

Temel min?r?n s?ras? bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?na e?itse, SLAE'nin bildi?imiz herhangi bir y?ntemle bulunabilen benzersiz bir ??z?m? vard?r.

Temel min?r s?ras?n?n bilinmeyen de?i?ken say?s?ndan az olmas? durumunda, sistemin denklemlerinin sol taraf?nda ana bilinmeyen de?i?kenli terimleri b?rak?r, kalan terimleri sa? taraflara aktar?r ve iste?e ba?l? de?erler atar?z ?cretsiz bilinmeyen de?i?kenlere. Elde edilen lineer denklem sisteminden, ana bilinmeyen de?i?kenleri Cramer y?ntemi, matris y?ntemi veya Gauss y?ntemiyle buluruz.

Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerinin ??z?m? i?in Gauss y?ntemi.

Gauss y?ntemini kullanarak, herhangi bir t?rdeki lineer cebirsel denklem sistemleri, uyumluluk i?in ?n ara?t?rma yapmadan ??z?lebilir. Bilinmeyen de?i?kenlerin art arda eleme i?lemi, SLAE'nin hem uyumlulu?u hem de tutars?zl??? hakk?nda bir sonuca varmay? ve bir ??z?m varsa onu bulmay? m?mk?n k?lar.

Hesaplamal? ?al??ma a??s?ndan Gauss y?ntemi tercih edilir.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini ??zmek i?in Gauss y?ntemi makalesindeki ayr?nt?l? a??klamas?na ve analiz ?rneklerine bak?n.

Temel ??z?m sisteminin vekt?rlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel sistemlerin genel ??z?m?n?n kaydedilmesi.

Bu b?l?mde, sonsuz say?da ??z?m? olan lineer cebirsel denklemlerin ortak homojen ve homojen olmayan sistemlerine odaklanaca??z.

?nce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel karar sistemi n bilinmeyen de?i?kenli homojen bir p lineer cebirsel denklem sistemi, bu sistemin lineer olarak ba??ms?z bir (n – r) ??z?mleri k?mesidir; burada r, sistemin ana matrisinin temel min?r?n?n mertebesidir.

Homojen bir SLAE'nin lineer ba??ms?z ??z?mlerini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) olarak belirlersek, n boyutlu matris s?tunlar?d?r. 1 ile ), o zaman bu homojen sistemin genel ??z?m?, keyfi sabit katsay?lar? С 1 , С 2 , …, С (n-r), yani temel ??z?m sisteminin vekt?rlerinin do?rusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.

Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel ??z?m? terimi ne anlama geliyor?

Anlam? basittir: form?l, orijinal SLAE'ye olas? t?m ??z?mleri belirtir, ba?ka bir deyi?le, C 1 , C 2 , ..., C (n-r) rasgele sabit de?erlerinin herhangi bir k?mesini alarak form?le g?re biz orijinal homojen SLAE'nin ??z?mlerinden birini alacakt?r.

B?ylece, temel bir ??z?m sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin t?m ??z?mlerini .

Homojen bir SLAE i?in temel bir ??z?m sistemi olu?turma s?recini g?sterelim.

Orijinal lineer denklem sisteminin temel min?r?n? se?iyoruz, di?er t?m denklemleri sistemden ??kar?yoruz ve serbest bilinmeyen de?i?kenleri i?eren t?m terimleri z?t i?aretli sistemin denklemlerinin sa? taraf?na aktar?yoruz. Serbest bilinmeyen de?i?kenlere 1,0,0,…,0 de?erlerini verelim ve ortaya ??kan temel do?rusal denklem sistemini herhangi bir ?ekilde, ?rne?in Cramer y?ntemiyle ??zerek ana bilinmeyenleri hesaplayal?m. B?ylece, temel sistemin ilk ??z?m? olan X (1) elde edilecektir. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 de?erlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen de?i?kenlere 0,0,…,0,1 de?erlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Homojen SLAE'nin temel ??z?m sistemi bu ?ekilde olu?turulacak ve genel ??z?m? formda yaz?labilir.

Lineer cebirsel denklemlerin homojen olmayan sistemleri i?in genel ??z?m ?u ?ekilde temsil edilir:

?rneklere bakal?m.

?rnek.

Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin temel ??z?m sistemini ve genel ??z?m?n? bulun .

??z?m.

Homojen lineer denklem sistemlerinin ana matrisinin s?ras? her zaman geni?letilmi? matrisin s?ras?na e?ittir. Ana matrisin s?ras?n? k???kleri sa?aklama y?ntemiyle bulal?m. Birinci mertebeden s?f?r olmayan bir min?r olarak, sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 ??esini al?yoruz. ?kinci mertebenin s?n?rlay?c? s?f?r olmayan min?r?n? bulun:

S?f?rdan farkl? ikinci dereceden bir min?r bulunur. S?f?r olmayan bir tane aramak i?in onu ?evreleyen ???nc? dereceden k???kleri inceleyelim:

???nc? dereceden t?m s?n?rlay?c? k???kler s?f?ra e?ittir, bu nedenle ana ve geni?letilmi? matrisin s?ras? ikidir. Temel min?r? ele alal?m. Netlik i?in, onu olu?turan sistemin unsurlar?n? not ediyoruz:

Orijinal SLAE'nin ???nc? denklemi, temel min?r olu?umuna kat?lmaz, bu nedenle hari? tutulabilir:

Ana bilinmeyenleri i?eren terimleri denklemlerin sa? taraflar?na b?rak?yoruz ve serbest bilinmeyenli terimleri sa? taraflara aktar?yoruz:

Orijinal homojen lineer denklem sistemine temel bir ??z?m sistemi olu?tural?m. Bu SLAE'nin temel ??z?m sistemi, orijinal SLAE d?rt bilinmeyen de?i?ken i?erdi?inden ve temel min?r?n?n s?ras? iki oldu?undan, iki ??z?mden olu?ur. X (1)'i bulmak i?in, serbest bilinmeyen de?i?kenlere x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 de?erlerini veriyoruz, sonra denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.

Bu derste, bir lineer denklem sistemini ??zme y?ntemlerini ele alaca??z. Y?ksek matematik dersinde, lineer denklem sistemlerinin hem ayr? g?revler ?eklinde, ?rne?in "Sistemi Cramer form?llerini kullanarak ??zme" ?eklinde hem de di?er problemleri ??zme s?recinde ??z?lmesi gerekir. Y?ksek matemati?in hemen hemen t?m dallar?ndaki lineer denklem sistemleriyle u?ra?mak gerekir.

?lk olarak, k???k bir teori. Bu durumda matematiksel "do?rusal" kelimesi ne anlama geliyor? Bu, sistemin denklemlerinde t?m de?i?kenler dahildir birinci derecede: gibi s?sl? ?eyler yok vb. sadece matematik olimpiyatlar?n?n kat?l?mc?lar?n?n memnun oldu?u.

Y?ksek matematikte, de?i?kenleri belirtmek i?in yaln?zca ?ocukluktan tan?d?k harfler kullan?lmaz.
Olduk?a pop?ler bir se?enek, endeksli de?i?kenlerdir: .
Veya Latin alfabesinin k???k ve b?y?k ilk harfleri:
Yunan harflerini bulmak ?ok nadir de?ildir: - bir?ok "alfa, beta, gama" taraf?ndan iyi bilinir. Ve ayr?ca "mu" harfiyle indeksli bir set:

Bir veya daha fazla harf grubunun kullan?m?, bir lineer denklem sistemi ile kar?? kar??ya oldu?umuz y?ksek matemati?in dal?na ba?l?d?r. Bu nedenle, ?rne?in, integrallerin, diferansiyel denklemlerin ??z?m?nde kar??la??lan do?rusal denklem sistemlerinde, g?sterimi kullanmak geleneksel olarak gelenekseldir.

Ancak de?i?kenler nas?l belirlenirse belirlensin, bir lineer denklem sistemini ??zmenin ilkeleri, y?ntemleri ve y?ntemleri bundan de?i?mez. Bu nedenle, korkun? bir ?eyle kar??la??rsan?z, sorunlu kitab? korkuyla kapatmak i?in acele etmeyin, sonu?ta, bunun yerine g?ne?i ?izebilirsiniz - bir ku? ve bunun yerine - bir y?z (bir ??retmenin). Ve garip bir ?ekilde, bu notasyonlarla bir lineer denklem sistemi de ??z?lebilir.

?yle bir ?nseziye sahibim ki, makale olduk?a uzun olacak, yani k???k bir i?indekiler tablosu. Dolay?s?yla, s?ral? "bilgilendirme" a?a??daki gibi olacakt?r:

– Bir lineer denklem sistemini ikame y?ntemiyle ??zme (“okul y?ntemi”);
– Sistemin denklemlerinin terim terim toplama (??karma) y?ntemiyle ??z?m?;
– Sistemin Cramer form?lleriyle ??z?m?;
– Ters matris kullanarak sistemin ??z?m?;
– Sistemin Gauss y?ntemi ile ??z?m?.

Herkes okul matematik dersinden lineer denklem sistemlerine a?inad?r. Asl?nda, tekrarla ba?l?yoruz.

Bir lineer denklem sistemini ikame y?ntemiyle ??zme

Bu y?nteme "okul y?ntemi" veya bilinmeyenleri ortadan kald?rma y?ntemi de denilebilir. Mecazi olarak konu?ursak, "yar? bitmi? Gauss y?ntemi" olarak da adland?r?labilir.

?rnek 1

Burada iki bilinmeyenli iki denklem sistemimiz var. Serbest terimlerin (5 ve 7 say?lar?) denklemin sol taraf?nda yer ald???na dikkat edin. Genel olarak konu?ursak, nerede olduklar? ?nemli de?il, solda veya sa?da, sadece y?ksek matematikteki problemlerde genellikle bu ?ekilde yer al?yorlar. Ve b?yle bir kay?t kafa kar??t?r?c? olmamal?d?r, gerekirse sistem her zaman "her zamanki gibi" yaz?labilir:. Bir terimi par?adan par?aya aktar?rken i?aretini de?i?tirmeniz gerekti?ini unutmay?n.

Bir lineer denklem sistemini ??zmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini ??zmek, ??z?m k?mesini bulmak anlam?na gelir. Sistemin ??z?m?, i?inde yer alan t?m de?i?kenlerin bir de?erler k?mesidir, bu da sistemin HER denklemini ger?ek bir e?itli?e d?n??t?r?r. Ek olarak, sistem olabilir uyumsuz (??z?m yok).Utanmay?n, bu genel bir tan?md?r =) Her bir-we denklemini sa?layan tek bir "x" de?erine ve bir "y" de?erine sahip olaca??z.

Sistemi ??zmek i?in derste bulunabilecek grafiksel bir y?ntem var. D?z bir ?izgiyle ilgili en basit problemler. orada bahsettim geometrik anlamda iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemleri. Ama ?imdi avluda cebir ve say?lar-say?lar, eylemler-eylemler ?a??.

biz karar veririz: ifade etti?imiz ilk denklemden:
Ortaya ??kan ifadeyi ikinci denklemde de?i?tiririz:

Parantezleri a??yoruz, benzer terimler veriyoruz ve de?eri buluyoruz:

Sonra, neyden dans ettiklerini hat?rl?yoruz:
De?eri zaten biliyoruz, bulmak i?in kal?r:

Cevap:

HERHANG? B?R denklem sistemi HERHANG? bir ?ekilde ??z?ld?kten sonra, kontrol etmenizi ?iddetle tavsiye ederim. (s?zl? olarak, taslakta veya hesap makinesinde). Neyse ki, bu h?zl? ve kolay bir ?ekilde yap?l?r.

1) Bulunan cevab? ilk denklemde yerine koyun:

- do?ru e?itlik elde edilir.

2) Bulunan cevab? ikinci denklemde yerine koyar?z:

- do?ru e?itlik elde edilir.

Ya da daha basit bir ifadeyle, "her ?ey bir araya geldi"

D???n?len ??z?m y?ntemi tek y?ntem de?il; ilk denklemden ifade etmek m?mk?nd?, ancak de?il.
Tam tersi - ikinci denklemden bir ?ey ifade edebilir ve onu ilk denklemin yerine koyabilirsiniz. Bu arada, d?rt yoldan en dezavantajl?s?n?n ikinci denklemden ifade etmek oldu?una dikkat edin:

Kesirler elde edilir, ama neden? Daha mant?kl? bir ??z?m var.

Bununla birlikte, baz? durumlarda, kesirler hala vazge?ilmezdir. Bu ba?lamda ifadeyi NASIL yazd???ma dikkatinizi ?ekerim. B?yle de?il: ve hi?bir ?ekilde b?yle de?il: .

Y?ksek matematikte kesirli say?larla u?ra??yorsan?z, t?m hesaplamalar? s?radan uygun olmayan kesirlerde yapmaya ?al???n.

Kesinlikle, de?il veya!

Virg?l yaln?zca ara s?ra kullan?labilir, ?zellikle de - bu bir sorunun son yan?t?ysa ve bu numarayla ba?ka bir i?lem yap?lmas? gerekmiyorsa.

Bir?ok okuyucu muhtemelen “neden bir d?zeltme s?n?f? i?in bu kadar ayr?nt?l? bir a??klama ve her ?ey a??k” diye d???nd?. B?yle bir ?ey yok, ?ok basit bir okul ?rne?i gibi g?r?n?yor, ama ka? tane ?OK ?nemli sonu?! ??te burada bir ba?kas?:

Herhangi bir g?rev en rasyonel ?ekilde tamamlanmaya ?al???lmal?d?r.. Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sa?lad??? ve ayr?ca hata yapma olas?l???n? azaltt??? i?in.

Y?ksek matematikteki bir g?revde, iki bilinmeyenli iki do?rusal denklem sistemiyle kar??la??rsan?z, her zaman ikame y?ntemini kullanabilirsiniz (sistemin ba?ka bir y?ntemle ??z?lmesi gerekti?i belirtilmedi?i s?rece) ".
Ayr?ca, baz? durumlarda ikame y?nteminin daha fazla say?da de?i?kenle kullan?lmas? tavsiye edilir.

?rnek 2

?? bilinmeyenli bir lineer denklem sistemini ??z?n

Rasyonel bir kesirli fonksiyonun integralini buldu?umuzda, belirsiz katsay?lar y?ntemi kullan?l?rken benzer bir denklem sistemi s?kl?kla ortaya ??kar. S?z konusu sistem taraf?mdan oradan al?nm??t?r.

?ntegrali bulurken - ama? h?zl? katsay?lar?n de?erlerini bulun ve Cramer form?lleri, ters matris y?ntemi vb. ile karma??k olmay?n. Bu nedenle, bu durumda ikame y?ntemi uygundur.

Herhangi bir denklem sistemi verildi?inde, ?ncelikle bulunmas? arzu edilir, ancak bunu HEMEN bir ?ekilde basitle?tirmek m?mk?n m?d?r? Sistemin denklemlerini analiz ederken, sistemin ikinci denkleminin 2'ye b?l?nebilece?ini fark ediyoruz, ki bunu yap?yoruz:

Referans: matematiksel bir sembol "bundan bunu takip eder" anlam?na gelir, genellikle problem ??zme s?recinde kullan?l?r.

?imdi denklemleri analiz edece?iz, baz? de?i?kenleri geri kalan?yla ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklem se?ilir? Muhtemelen bu ama? i?in en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak oldu?unu tahmin etmi?sinizdir:

Burada, hangi de?i?kenin ifade edilece?i ?nemli de?ildir, ya da ifade edilebilir.

Ard?ndan, ifadeyi sistemin ikinci ve ???nc? denklemlerinde yerine koyar?z:

K??eli parantezleri a??n ve benzer terimleri ekleyin:

???nc? denklemi 2'ye b?leriz:

?kinci denklemden, ???nc? denklemi ifade eder ve yerine koyar?z:

Buldu?umuz ???nc? denklemden hemen hemen her ?ey haz?r:
?kinci denklemden:
?lk denklemden:

Kontrol edin: Sistemin her denkleminin sol taraf?ndaki de?i?kenlerin bulunan de?erlerini de?i?tirin:

1)
2)
3)

Denklemlerin kar??l?k gelen sa? taraflar? elde edilir, b?ylece ??z?m do?ru bulunur.

?rnek 3

4 bilinmeyenli bir lineer denklem sistemini ??z?n

Bu, kendi kendine ??zme i?in bir ?rnektir (cevap dersin sonunda).

Sistemin denklemlerinin terim terim eklenmesi (??kar?lmas?) ile sistemin ??z?m?

Do?rusal denklem sistemlerini ??zme s?recinde, “okul y?ntemi” de?il, sistem denklemlerinin d?nem d?nem toplama (??karma) y?ntemini kullanmaya ?al???lmal?d?r. Neden? Niye? Bu zaman kazand?r?r ve hesaplamalar? basitle?tirir, ancak ?imdi daha net hale gelecektir.

?rnek 4

Lineer denklem sistemini ??z?n:

?lk ?rnekle ayn? sistemi ald?m.
Denklem sistemini analiz ederken, de?i?kenin katsay?lar?n?n mutlak de?erde ayn? ve i?arette (-1 ve 1) z?t oldu?unu fark ederiz. Bu durumda, denklemler terim terim eklenebilir:

K?rm?z? daire i?ine al?nm?? eylemler Z?H?NSEL OLARAK ger?ekle?tirilir.
G?r?ld??? gibi terimsel toplama i?lemi sonucunda de?i?keni kaybettik. Bu, asl?nda y?ntemin ?z?, de?i?kenlerden birinden kurtulmakt?r..