Bir do?rusal denklem sistemi, her biri k de?i?ken i?eren n tane do?rusal denklemin birle?imidir. Bu ?ekilde yaz?lm??t?r:

Bir?o?u, y?ksek cebirle ilk kez kar??la?t?klar?nda, yanl??l?kla denklem say?s?n?n mutlaka de?i?ken say?s?yla ?ak??mas? gerekti?ine inan?r. Okul cebirinde bu genellikle olur, ancak y?ksek cebir i?in bu genel anlamda do?ru de?ildir.

Bir denklem sisteminin ??z?m?, sistemin her denkleminin ??z?m? olan bir say? dizisidir (k 1, k 2, ..., k n), yani. bu denklemde x 1, x 2, ..., x n de?i?kenleri yerine ikame edildi?inde do?ru say?sal e?itli?i verir.

Buna g?re bir denklem sistemini ??zmek, onun t?m ??z?mlerinin k?mesini bulmak veya bu k?menin bo? oldu?unu kan?tlamak anlam?na gelir. Denklem say?s? ile bilinmeyenlerin say?s? ?ak??mayabilece?inden ?? durum m?mk?nd?r:

1. Sistem tutars?zd?r, yani. t?m ??z?mlerin k?mesi bo?tur. Sistemi ??zmek i?in hangi y?ntem kullan?l?rsa kullan?ls?n kolayl?kla tespit edilen olduk?a nadir bir durum.
2. Sistem ortak ve kararl?d?r, yani. tam olarak tek bir ??z?m? var. Okuldan beri iyi bilinen klasik versiyon.
3. Sistem tutarl? ve tan?ms?zd?r, yani. sonsuz say?da ??z?m? vard?r. Bu en zor se?enektir. “Sistemin sonsuz say?da ??z?m k?mesi vard?r” demek yeterli de?ildir; bu k?menin nas?l yap?land?r?ld???n? da a??klamak gerekir.

Bir x i de?i?keni, sistemin yaln?zca bir denkleminde yer al?yorsa ve katsay?s? 1 ise izin verilen olarak adland?r?l?r. Ba?ka bir deyi?le, di?er denklemlerde x i de?i?keninin katsay?s?n?n s?f?ra e?it olmas? gerekir.

Her denklemde izin verilen bir de?i?ken se?ersek, t?m denklem sistemi i?in izin verilen de?i?kenlerin bir k?mesini elde ederiz. Bu formda yaz?lan sistemin kendisi de ??z?mlenmi? olarak adland?r?lacakt?r. Genel olarak konu?ursak, bir ve ayn? orijinal sistem, izin verilen farkl? sistemlere indirgenebilir, ancak ?imdilik bununla ilgilenmiyoruz. ?zin verilen sistem ?rnekleri ?unlard?r:

Her iki sistem de x 1 , x 3 ve x 4 de?i?kenlerine g?re ??z?mlenir. Ancak ayn? ba?ar? ile ikinci sistemin x 1, x 3 ve x 5'e g?re ??z?mlendi?i ileri s?r?lebilir. En son denklemi x 5 = x 4 formunda yeniden yazmak yeterlidir.

?imdi daha genel bir durumu ele alal?m. Toplamda r'ye izin verilen k de?i?kenimiz olsun. O zaman iki durum m?mk?nd?r:

1. ?zin verilen de?i?ken say?s? r, toplam k de?i?ken say?s?na e?ittir: r = k. r = k izin verilen de?i?ken olan bir k denklem sistemi elde ederiz. B?yle bir sistem ortak ve kesindir, ??nk? x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. ?zin verilen de?i?ken say?s? r, toplam k de?i?ken say?s?ndan azd?r: r< k . Остальные (k - r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Yani yukar?daki sistemlerde x 2, x 5, x 6 (birinci sistem i?in) ve x 2, x 5 (ikinci sistem i?in) de?i?kenleri serbesttir. Serbest de?i?kenlerin oldu?u durum bir teorem olarak daha iyi form?le edilir:

L?tfen dikkat: Bu ?ok ?nemli bir nokta! Ortaya ??kan sistemi nas?l yazd???n?za ba?l? olarak ayn? de?i?kene izin verilebilir veya serbest olabilir. Y?ksek matematik ??retmenlerinin ?o?u, de?i?kenlerin s?zl?ksel s?raya g?re yaz?lmas?n? ?nerir; artan endeks. Ancak bu tavsiyeye uyma zorunlulu?unuz yoktur.

Teorem. n denklemden olu?an bir sistemde x 1, x 2, ..., x r de?i?kenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1, x r + 2, ..., x k serbestse, o zaman:

1. Serbest de?i?kenlerin de?erlerini (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) ayarlay?p ard?ndan x 1, x 2 de?erlerini bulursak, ..., x r, kararlardan birini al?yoruz.
2. ?ki ??z?mde serbest de?i?kenlerin de?erleri ?ak???rsa, izin verilen de?i?kenlerin de?erleri de ?ak???r, yani. ??z?mler e?ittir.

Bu teoremin anlam? nedir? ??z?lm?? bir denklem sisteminin t?m ??z?mlerini elde etmek i?in serbest de?i?kenleri izole etmek yeterlidir. Daha sonra serbest de?i?kenlere farkl? de?erler atayarak haz?r ??z?mler elde edece?iz. Hepsi bu; bu ?ekilde sistemin t?m ??z?mlerini elde edebilirsiniz. Ba?ka ??z?m yok.

Sonu?: ??z?lm?? denklem sistemi her zaman tutarl?d?r. ??z?mlenen bir sistemdeki denklem say?s? de?i?ken say?s?na e?itse sistem belirli, azsa belirsiz olacakt?r.

Ve her ?ey yoluna girecek, ancak ?u soru ortaya ??k?yor: Orijinal denklem sisteminden ??z?mlenmi? bir ??z?m nas?l elde edilir? Bunun i?in var

Gizlili?inizin korunmas? bizim i?in ?nemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nas?l kulland???m?z? ve saklad???m?z? a??klayan bir Gizlilik Politikas? geli?tirdik. L?tfen gizlilik uygulamalar?m?z? inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Ki?isel bilgilerin toplanmas? ve kullan?lmas?

Ki?isel bilgiler, belirli bir ki?iyi tan?mlamak veya onunla ileti?im kurmak i?in kullan?labilecek verileri ifade eder.

Bizimle ileti?ime ge?ti?inizde istedi?iniz zaman ki?isel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

A?a??da toplayabilece?imiz ki?isel bilgi t?rlerine ve bu bilgileri nas?l kullanabilece?imize dair baz? ?rnekler verilmi?tir.

Hangi ki?isel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir ba?vuru g?nderdi?inizde ad?n?z, telefon numaran?z, e-posta adresiniz vb. dahil olmak ?zere ?e?itli bilgiler toplayabiliriz.

Ki?isel bilgilerinizi nas?l kullan?yoruz:

• Toplad???m?z ki?isel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, di?er etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle ileti?im kurmam?za olanak tan?r.
• Zaman zaman ki?isel bilgilerinizi ?nemli bildirimler ve ileti?imler g?ndermek i?in kullanabiliriz.
• Ki?isel bilgileri, sundu?umuz hizmetleri geli?tirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amac?yla denetimler, veri analizi ve ?e?itli ara?t?rmalar yapmak gibi ?irket i?i ama?larla da kullanabiliriz.
• Bir ?d?l ?ekili?ine, yar??maya veya benzer bir promosyona kat?l?rsan?z, sa?lad???n?z bilgileri bu t?r programlar? y?netmek i?in kullanabiliriz.

Bilgilerin ???nc? ?ah?slara a??klanmas?

Sizden ald???m?z bilgileri ???nc? ?ah?slara a??klam?yoruz.

?stisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosed?re uygun olarak, yasal i?lemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklar?ndaki h?k?met yetkililerinin talepleri temelinde - ki?isel bilgilerinizi if?a etmek. Ayr?ca, bu t?r bir a??klaman?n g?venlik, kanun yapt?r?m? veya di?er kamu ?nemi ama?lar? a??s?ndan gerekli veya uygun oldu?unu tespit edersek, hakk?n?zdaki bilgileri de a??klayabiliriz.
• Yeniden yap?lanma, birle?me veya sat?? durumunda toplad???m?z ki?isel bilgileri ilgili halef ???nc? tarafa aktarabiliriz.

Ki?isel bilgilerin korunmas?

Ki?isel bilgilerinizi kay?p, h?rs?zl?k ve k?t?ye kullan?m?n yan? s?ra yetkisiz eri?ime, if?a edilmeye, de?i?tirilmeye ve imhaya kar?? korumak i?in idari, teknik ve fiziksel ?nlemler al?yoruz.

?irket d?zeyinde gizlili?inize sayg? duymak

Ki?isel bilgilerinizin g?vende oldu?undan emin olmak i?in gizlilik ve g?venlik standartlar?n? ?al??anlar?m?za aktar?yor ve gizlilik uygulamalar?n? s?k? bir ?ekilde uyguluyoruz.

?nceki paragrafta tart???lan grafiksel y?ntemden daha g?venilirdir.

De?i?tirme y?ntemi

Bu y?ntemi 7. s?n?fta do?rusal denklem sistemlerini ??zmek i?in kulland?k. 7. s?n?fta geli?tirilen algoritma, iki x ve y de?i?kenli (tabii ki de?i?kenler ba?ka harflerle de g?sterilebilir, bu ?nemli de?il) herhangi iki denklemden (do?rusal olmak zorunda de?il) olu?an sistemleri ??zmek i?in olduk?a uygundur. Asl?nda bu algoritmay? ?nceki paragrafta iki basamakl? say? probleminin bir denklem sistemi olan matematiksel bir modele yol a?t??? durumlarda kullanm??t?k. Yukar?daki denklem sistemini ikame y?ntemini kullanarak ??zd?k (bkz. § 4'teki ?rnek 1).

?ki de?i?kenli x, y i?eren iki denklem sistemini ??zerken ikame y?ntemini kullanmaya y?nelik bir algoritma.

1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonu?ta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin ba?ka bir denkleminde de?i?tirin.
3. x i?in elde edilen denklemi ??z?n.
4. ???nc? ad?mda bulunan denklemin k?klerinden her birini, birinci ad?mda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine de?i?tirin.
5. Cevab? s?ras?yla ???nc? ve d?rd?nc? ad?mlarda bulunan de?er ?iftleri (x; y) ?eklinde yaz?n.

4) Y'nin bulunan de?erlerinin her birini birer birer x = 5 - 3 form?l?ne yaz?n. E?er o zaman
5) (2; 1) ?iftleri ve belirli bir denklem sisteminin ??z?mleri.

Cevap: (2; 1);

Cebirsel toplama y?ntemi

Bu y?ntem, yerine koyma y?ntemi gibi, do?rusal denklem sistemlerini ??zmek i?in kullan?ld??? 7. s?n?f cebir dersinden size tan?d?k geliyor. A?a??daki ?rne?i kullanarak y?ntemin ?z?n? hat?rlayal?m.

?rnek 2. Denklem sistemini ??zme

Sistemin ilk denkleminin t?m terimlerini 3 ile ?arpal?m ve ikinci denklemi de?i?tirmeden b?rakal?m:
Sistemin ikinci denklemini birinci denkleminden ??kar?n:

Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak toplanmas? sonucunda verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, ?rne?in ikincisini de?i?tirme hakk?na sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle de?i?tirilecektir:

Bu sistem ikame y?ntemi kullan?larak ??z?lebilir. Buldu?umuz ikinci denklemden sistemin ilk denkleminde y yerine bu ifadeyi yerine koyarsak, ?unu elde ederiz:

Bulunan x de?erlerini form?lde de?i?tirmeye devam ediyor

E?er x = 2 ise

B?ylece sisteme iki ??z?m bulduk:

Yeni de?i?kenleri tan?tma y?ntemi

8. s?n?f cebir dersinde tek de?i?kenli rasyonel denklemleri ??zerken yeni bir de?i?ken ekleme y?ntemiyle tan??t?n?z. Denklem sistemlerini ??zmek i?in kullan?lan bu y?ntemin ?z? ayn?d?r ancak teknik a??dan a?a??daki ?rneklerde tart??aca??m?z baz? ?zellikler vard?r.

?rnek 3. Denklem sistemini ??zme

Yeni bir de?i?ken tan?tal?m. O halde sistemin ilk denklemi daha basit bir bi?imde yeniden yaz?labilir: Bu denklemi t de?i?kenine g?re ??zelim:

Bu de?erlerin her ikisi de ko?ulu kar??lar ve dolay?s?yla t de?i?kenli rasyonel bir denklemin k?kleridir. Ama bu ya x = 2y'yi buldu?umuz yer anlam?na gelir, ya da
B?ylece, yeni bir de?i?ken ekleme y?ntemini kullanarak, g?r?n??te olduk?a karma??k olan sistemin ilk denklemini iki daha basit denklem halinde "katmanland?rmay?" ba?ard?k:

x = 2 y; y - 2x.

S?rada ne var? Ve sonra elde edilen iki basit denklemin her biri, hen?z hat?rlamad???m?z x 2 - y 2 = 3 denklemine sahip bir sistemde s?ras?yla ele al?nmal?d?r. Ba?ka bir deyi?le, problem iki denklem sisteminin ??z?m?nden ibarettir:

Birinci sisteme, ikinci sisteme ??z?m bulmam?z ve ortaya ??kan t?m de?er ?iftlerini cevaba dahil etmemiz gerekiyor. ?lk denklem sistemini ??zelim:

Burada ?zellikle her ?ey haz?r oldu?una g?re yerine koyma y?ntemini kullanal?m: sistemin ikinci denkleminde x yerine 2y ifadesini koyal?m. Ald?k

x = 2y oldu?undan s?ras?yla x 1 = 2, x 2 = 2 buluruz. B?ylece verilen sistemin iki ??z?m? elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). ?kinci denklem sistemini ??zelim:

Tekrar yerine koyma y?ntemini kullanal?m: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yazal?m. Ald?k

Bu denklemin k?kleri yoktur, yani denklem sisteminin ??z?m? yoktur. Bu nedenle cevaba yaln?zca ilk sistemin ??z?mlerinin dahil edilmesi gerekir.

Cevap: (2; 1); (-2;-1).

?ki de?i?kenli iki denklem sistemini ??zerken yeni de?i?kenler ekleme y?ntemi iki versiyonda kullan?l?r. ?lk se?enek: Sistemin yaln?zca bir denkleminde yeni bir de?i?ken tan?t?l?r ve kullan?l?r. ?rnek 3'te olan da tam olarak budur. ?kinci se?enek: Sistemin her iki denkleminde iki yeni de?i?ken tan?t?l?r ve ayn? anda kullan?l?r. ?rnek 4'te de durum b?yle olacakt?r.

?rnek 4. Denklem sistemini ??zme

?ki yeni de?i?keni tan?tal?m:

O zaman ?unu dikkate alal?m

Bu, verilen sistemi ?ok daha basit bir bi?imde yeniden yazman?za olanak tan?r, ancak yeni a ve b de?i?kenlerine g?re:

a = 1 oldu?undan, a + 6 = 2 denkleminden ?unu buluruz: 1 + 6 = 2; 6=1. B?ylece a ve b de?i?kenleriyle ilgili olarak bir ??z?m elde ettik:

X ve y de?i?kenlerine d?nersek bir denklem sistemi elde ederiz

Bu sistemi ??zmek i?in cebirsel toplama y?ntemini uygulayal?m:

O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden ?unlar? buluyoruz:
B?ylece x ve y de?i?kenleriyle ilgili olarak tek bir ??z?m elde ettik:

Bu paragraf? k?sa ama olduk?a ciddi bir teorik tart??mayla bitirelim. ?e?itli denklemleri ??zme konusunda zaten biraz deneyim kazand?n?z: do?rusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel. Bir denklem ??zmenin ana fikrinin, bir denklemden di?erine, daha basit ama verilene e?de?er olana yava? yava? ge?mek oldu?unu biliyorsunuz. ?nceki paragrafta iki de?i?kenli denklemler i?in denklik kavram?n? tan?tt?k. Bu kavram ayn? zamanda denklem sistemleri i?in de kullan?l?r.

Tan?m.

X ve y de?i?kenlerine sahip iki denklem sistemi, ??z?mleri ayn?ysa veya her iki sistemin de ??z?m? yoksa e?de?er olarak adland?r?l?r.

Bu b?l?mde ele ald???m?z her ?? y?ntem de (de?i?tirme, cebirsel toplama ve yeni de?i?kenlerin tan?t?lmas?) e?de?erlik a??s?ndan kesinlikle do?rudur. Ba?ka bir deyi?le, bu y?ntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit ancak orijinal sisteme e?de?er ba?ka bir denklem sistemiyle de?i?tiriyoruz.

Denklem sistemlerini ??zmek i?in grafiksel y?ntem

Denklem sistemlerini ikame y?ntemi, cebirsel toplama ve yeni de?i?kenlerin tan?t?lmas? gibi yayg?n ve g?venilir yollarla nas?l ??zece?imizi zaten ??rendik. ?imdi ?nceki derste inceledi?iniz y?ntemi hat?rlayal?m. Yani grafiksel ??z?m y?ntemi hakk?nda bildiklerinizi tekrarlayal?m.

Denklem sistemlerini grafiksel olarak ??zme y?ntemi, belirli bir sisteme dahil olan ve ayn? koordinat d?zleminde bulunan belirli denklemlerin her biri i?in ve bunlar?n noktalar?n?n kesi?me noktalar?n? bulman?n gerekli oldu?u yerlerde bir grafik olu?turmay? i?erir. grafikler. Bu denklem sistemini ??zmek i?in bu noktan?n koordinatlar? vard?r (x; y).

Grafiksel bir denklem sisteminin ya tek bir do?ru ??z?me ya da sonsuz say?da ??z?me sahip olmas?n?n ya da hi? ??z?m?n?n bulunmamas?n?n yayg?n bir durum oldu?u unutulmamal?d?r.

?imdi bu ??z?mlerin her birine daha ayr?nt?l? olarak bakal?m. Dolay?s?yla, bir denklem sisteminin, sistemin denklemlerinin grafikleri olan do?rular kesi?mesi durumunda benzersiz bir ??z?m? olabilir. E?er bu ?izgiler paralelse, b?yle bir denklem sisteminin kesinlikle ??z?m? yoktur. Sistemin denklemlerinin do?rudan grafikleri ?ak???rsa, b?yle bir sistem bir?ok ??z?m bulmay? sa?lar.

?imdi 2 bilinmeyenli iki denklemden olu?an bir sistemi grafiksel y?ntemle ??zmek i?in kullan?lan algoritmaya bakal?m:

?ncelikle 1. denklemin grafi?ini olu?turuyoruz;
?kinci ad?m, ikinci denklemle ilgili bir grafik olu?turmak olacakt?r;
???nc? olarak grafiklerin kesi?im noktalar?n? bulmam?z gerekiyor.
Sonu? olarak denklem sisteminin ??z?m? olacak her kesi?me noktas?n?n koordinatlar?n? elde ederiz.

Bir ?rnek kullanarak bu y?nteme daha ayr?nt?l? olarak bakal?m. Bize ??z?lmesi gereken bir denklem sistemi veriliyor:

Denklemleri ??zme

1. ?ncelikle ?u denklemin grafi?ini olu?turaca??z: x2+y2=9.

Ancak denklemlerin bu grafi?inin orijinde merkezi olan bir daire olaca??n? ve yar??ap?n?n ??e e?it olaca??n? belirtmeliyiz.

2. Bir sonraki ad?m?m?z ?u ?ekilde bir denklemin grafi?ini ?izmek olacakt?r: y = x – 3.

Bu durumda d?z bir ?izgi ?izip (0;-3) ve (3;0) noktalar?n? bulmal?y?z.

3. Bakal?m elimizde ne var. Do?runun ?emberi A ve B noktalar?ndan ikisinde kesti?ini g?r?yoruz.

?imdi bu noktalar?n koordinatlar?n? ar?yoruz. Koordinatlar?n (3;0) A noktas?na, koordinatlar?n (0;-3) ise B noktas?na kar??l?k geldi?ini g?r?yoruz.

Peki sonu? olarak ne elde ederiz?

Do?runun daireyi kesmesi durumunda elde edilen (3;0) ve (0;-3) say?lar? sistemin her iki denkleminin de ??z?mleridir. Ve bundan, bu say?lar?n ayn? zamanda bu denklem sisteminin ??z?mleri oldu?u sonucu ??k?yor.

Yani bu ??z?m?n cevab? (3;0) ve (0;-3) say?lar?d?r.

Do?rusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) ??zmek ??phesiz do?rusal cebir dersindeki en ?nemli konudur. Matemati?in t?m dallar?ndan ?ok say?da problem, do?rusal denklem sistemlerinin ??z?m?yle ilgilidir. Bu fakt?rler bu makalenin nedenini a??klamaktad?r. Makalenin materyali, onun yard?m?yla ?unlar? yapabilmeniz i?in se?ilmi? ve yap?land?r?lm??t?r:

• Do?rusal cebirsel denklem sisteminizi ??zmek i?in en uygun y?ntemi se?in,
• Se?ilen y?ntemin teorisini incelemek,
• Tipik ?rnek ve problemlerin ayr?nt?l? ??z?mlerini dikkate alarak do?rusal denklem sisteminizi ??z?n.

Makale materyalinin k?sa a??klamas?.

?ncelikle gerekli t?m tan?mlar?, kavramlar? veriyoruz ve notasyonlar? tan?t?yoruz.

Daha sonra, denklem say?s?n?n bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?na e?it oldu?u ve tek ??z?m? olan do?rusal cebirsel denklem sistemlerini ??zme y?ntemlerini ele alaca??z. ?lk olarak Cramer y?ntemine odaklanaca??z, ikinci olarak bu t?r denklem sistemlerinin ??z?m? i?in matris y?ntemini g?sterece?iz ve ???nc? olarak Gauss y?ntemini (bilinmeyen de?i?kenlerin s?ral? olarak yok edilmesi y?ntemi) analiz edece?iz. Teoriyi peki?tirmek i?in kesinlikle birka? SLAE'yi farkl? ?ekillerde ??zece?iz.

Bundan sonra, denklem say?s?n?n bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?yla ?ak??mad??? veya sistemin ana matrisinin tekil oldu?u genel formdaki do?rusal cebirsel denklem sistemlerini ??zmeye ge?ece?iz. SLAE'lerin uyumlulu?unu belirlememize olanak tan?yan Kronecker-Capelli teoremini form?le edelim. Bir matrisin k???k taban? kavram?n? kullanarak sistemlerin ??z?m?n? (e?er uyumlularsa) analiz edelim. Ayr?ca Gauss y?ntemini de ele alaca??z ve ?rneklerin ??z?mlerini ayr?nt?l? olarak anlataca??z.

Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel ??z?m?n?n yap?s? ?zerinde kesinlikle duraca??z. Temel ??z?m sistemi kavram?n? verelim ve temel ??z?m sisteminin vekt?rleri kullan?larak bir SLAE'nin genel ??z?m?n?n nas?l yaz?ld???n? g?sterelim. Daha iyi anlamak i?in birka? ?rne?e bakal?m.

Sonu? olarak, do?rusal olanlara indirgenebilen denklem sistemlerini ve ??z?m?nde SLAE'lerin ortaya ??kt??? ?e?itli problemleri ele alaca??z.

Sayfada gezinme.

Tan?mlar, kavramlar, atamalar.

n bilinmeyen de?i?kenli (p, n'ye e?it olabilir) p do?rusal cebirsel denklem sistemlerini ele alaca??z.

Bilinmeyen de?i?kenler, - katsay?lar (baz? ger?ek veya karma??k say?lar), - serbest terimler (ayn? zamanda ger?ek veya karma??k say?lar).

SLAE kaydetmenin bu bi?imine denir koordinat.

???NDE matris formu Bu denklem sistemini yazman?n ?ekli ?u ?ekildedir:
Nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen de?i?kenlerden olu?an bir s?tun matrisi, - serbest terimlerden olu?an bir s?tun matrisi.

A matrisine (n+1)'inci s?tun olarak serbest terimlerden olu?an bir matris s?tunu eklersek, s?zde elde ederiz. geni?letilmi? matris Do?rusal denklem sistemleri. Tipik olarak, geni?letilmi? bir matris T harfiyle g?sterilir ve serbest terimler s?tunu, kalan s?tunlardan dikey bir ?izgi ile ayr?l?r;

Do?rusal cebirsel denklem sistemini ??zme sistemin t?m denklemlerini kimli?e d?n??t?ren bilinmeyen de?i?kenlerin de?erleri k?mesi denir. Bilinmeyen de?i?kenlerin verilen de?erleri i?in matris denklemi de bir ?zde?lik haline gelir.

Bir denklem sisteminin en az bir ??z?m? varsa buna denir. eklem yeri.

Bir denklem sisteminin ??z?m? yoksa buna denir. ortak olmayan.

Bir SLAE'nin benzersiz bir ??z?m? varsa buna denir. kesin; birden fazla ??z?m varsa o zaman – belirsiz.

Sistemin t?m denklemlerinin serbest terimleri s?f?ra e?itse , daha sonra sistem ?a?r?l?r homojen, aksi takdirde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerini ??zme.

Bir sistemin denklem say?s? bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?na e?itse ve ana matrisinin determinant? s?f?ra e?it de?ilse, bu t?r SLAE'ler ?a?r?lacakt?r. temel. Bu t?r denklem sistemlerinin benzersiz bir ??z?m? vard?r ve homojen bir sistem durumunda t?m bilinmeyen de?i?kenler s?f?ra e?ittir.

Bu t?r SLAE'leri lisede incelemeye ba?lad?k. Bunlar? ??zerken, bir denklemi ald?k, bilinmeyen bir de?i?keni di?erleri cinsinden ifade ettik ve onu kalan denklemlerde yerine koyduk, sonra bir sonraki denklemi ald?k, bir sonraki bilinmeyen de?i?keni ifade ettik ve onu di?er denklemlerde yerine koyduk, vb. Veya toplama y?ntemini kulland?lar, yani bilinmeyen baz? de?i?kenleri ortadan kald?rmak i?in iki veya daha fazla denklem eklediler. Bu y?ntemler esasen Gauss y?nteminin modifikasyonlar? oldu?undan, ?zerinde ayr?nt?l? olarak durmayaca??z.

Temel do?rusal denklem sistemlerini ??zmenin ana y?ntemleri Cramer y?ntemi, matris y?ntemi ve Gauss y?ntemidir. Bunlar? s?ralayal?m.

Do?rusal denklem sistemlerini Cramer y?ntemini kullanarak ??zme.

Bir do?rusal cebirsel denklem sistemini ??zmemiz gerekti?ini varsayal?m.

Denklem say?s?n?n bilinmeyen de?i?ken say?s?na e?it oldu?u ve sistemin ana matrisinin determinant?n?n s?f?rdan farkl? oldu?u, yani .

Sistemin ana matrisinin determinant? olsun ve - A'dan de?i?tirilerek elde edilen matrislerin determinantlar? 1., 2.,…, n. s?tun s?ras?yla serbest ?yelerin s?tununa:

Bu g?sterimle bilinmeyen de?i?kenler Cramer y?nteminin form?lleri kullan?larak ?u ?ekilde hesaplan?r: . Cramer y?ntemi kullan?larak bir do?rusal cebirsel denklem sisteminin ??z?m? bu ?ekilde bulunur.

?rnek.

Cramer'in y?ntemi .

??z?m.

Sistemin ana matrisi ?u ?ekildedir: . Determinant?n? hesaplayal?m (gerekirse makaleye bak?n):

Sistemin ana matrisinin determinant? s?f?rdan farkl? oldu?undan sistemin Cramer y?ntemiyle bulunabilecek tek bir ??z?m? vard?r.

Gerekli belirleyicileri olu?turup hesaplayal?m (A matrisindeki ilk s?tunu serbest terimlerden olu?an bir s?tunla de?i?tirerek determinant?, ikinci s?tunu serbest terimlerden olu?an bir s?tunla de?i?tirerek ve A matrisinin ???nc? s?tununu serbest terimlerden olu?an bir s?tunla de?i?tirerek elde ederiz) :

Form?lleri kullanarak bilinmeyen de?i?kenleri bulma :

Cevap:

Cramer y?nteminin en b?y?k dezavantaj? (dezavantaj olarak adland?r?labilirse), sistemdeki denklem say?s? ??ten fazla oldu?unda determinantlar?n hesaplanmas?n?n karma??kl???d?r.

Do?rusal cebirsel denklem sistemlerini matris y?ntemini kullanarak ??zme (ters matris kullanarak).

A matrisinin n x n boyutuna sahip oldu?u ve determinant?n?n s?f?r olmad??? bir do?rusal cebirsel denklem sistemi matris bi?iminde verilsin.

A matrisi tersinir oldu?undan, ters bir matris vard?r. E?itli?in her iki taraf?n? da solla ?arparsak, bilinmeyen de?i?kenlerden olu?an bir matris s?tununu bulmak i?in bir form?l elde ederiz. Matris y?ntemini kullanarak do?rusal cebirsel denklemler sisteminin ??z?m?n? bu ?ekilde elde ettik.

?rnek.

Do?rusal denklem sistemini ??zme matris y?ntemi.

??z?m.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazal?m:

??nk?

daha sonra SLAE matris y?ntemi kullan?larak ??z?lebilir. Ters matris kullan?larak bu sistemin ??z?m? ?u ?ekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlar?n?n cebirsel tamamlay?c?lar?ndan bir matris kullanarak ters bir matris olu?tural?m (gerekirse makaleye bak?n):

Ters matrisi ?arparak bilinmeyen de?i?kenlerin matrisini hesaplamak kal?r. ?cretsiz ?yelerden olu?an bir matris s?tununa (gerekirse makaleye bak?n):

Cevap:

veya ba?ka bir g?sterimle x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris y?ntemini kullanarak do?rusal cebirsel denklem sistemlerine ??z?m bulmadaki ana sorun, ?zellikle ???nc? mertebeden y?ksek kare matrisler i?in ters matris bulman?n karma??kl???d?r.

Do?rusal denklem sistemlerini Gauss y?ntemini kullanarak ??zme.

n bilinmeyen de?i?kenli n do?rusal denklem sistemine bir ??z?m bulmam?z gerekti?ini varsayal?m.
ana matrisin determinant? s?f?rdan farkl?d?r.

Gauss y?nteminin ?z? Bilinmeyen de?i?kenlerin s?rayla ortadan kald?r?lmas?ndan olu?ur: ilk ?nce x 1, ikinciden ba?layarak sistemin t?m denklemlerinden ??kar?l?r, ard?ndan ???nc?den ba?layarak x 2 t?m denklemlerden ??kar?l?r ve bu ?ekilde, yaln?zca bilinmeyen de?i?ken x n kalana kadar devam eder. son denklem. Bilinmeyen de?i?kenleri s?rayla ortadan kald?rmak i?in bir sistemin denklemlerini d?n??t?rme i?lemine denir. do?rudan Gauss y?ntemi. Gauss y?nteminin ileri vuru?u tamamland?ktan sonra, son denklemden x n bulunur, sondan bir ?nceki denklemdeki bu de?er kullan?larak x n-1 hesaplan?r ve bu ?ekilde ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine ge?erken bilinmeyen de?i?kenlerin hesaplanmas? i?lemine ne ad verilir? Gauss y?nteminin tersi.

Bilinmeyen de?i?kenleri ortadan kald?rmak i?in kullan?lan algoritmay? k?saca a??klayal?m.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini de?i?tirerek ba?arabilece?imiz i?in bunu varsayaca??z. Bilinmeyen x 1 de?i?kenini ikinciden ba?layarak sistemin t?m denklemlerinden ??karal?m. Bunu yapmak i?in sistemin ikinci denklemine birincisini ?arpt???m?z denklemi, ???nc? denklemine birincisini ekliyoruz ve bu ?ekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini ?arp?yoruz. Bu t?r d?n???mlerden sonra denklem sistemi ?u ?ekli alacakt?r:

nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i di?er bilinmeyen de?i?kenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi di?er t?m denklemlerde yerine koysayd?k ayn? sonuca ula??rd?k. B?ylece x 1 de?i?keni ikinciden ba?layarak t?m denklemlerin d???nda b?rak?l?r.

Daha sonra benzer ?ekilde ilerliyoruz, ancak yaln?zca sonu?taki sistemin ?ekilde i?aretlenmi? k?sm?yla

Bunu yapmak i?in sistemin ???nc? denklemine ikinciyi ?arp?yoruz, d?rd?nc? denkleme ikinciyi ekliyoruz ve bu ?ekilde devam ederek n'inci denkleme ikinciyi ?arp?yoruz. Bu t?r d?n???mlerden sonra denklem sistemi ?u ?ekli alacakt?r:

nerede ve . B?ylece x2 de?i?keni ???nc?den ba?layarak t?m denklemlerin d???nda b?rak?l?r.

Daha sonra bilinmeyen x 3'? ortadan kald?rmaya devam ediyoruz ve sistemin ?ekilde i?aretlenen k?sm? ile benzer ?ekilde hareket ediyoruz.

B?ylece sistem ?u formu alana kadar Gauss y?nteminin do?rudan ilerlemesine devam ediyoruz:

Bu andan itibaren Gauss y?nteminin tersini ba?lat?r?z: son denklemden x n'yi ?u ?ekilde hesaplar?z, elde edilen x n de?erini kullanarak sondan bir ?nceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu ?ekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

?rnek.

Do?rusal denklem sistemini ??zme Gauss y?ntemi.

??z?m.

Bilinmeyen x 1 de?i?kenini sistemin ikinci ve ???nc? denklemlerinden hari? tutal?m. Bunu yapmak i?in, ikinci ve ???nc? denklemlerin her iki taraf?na, birinci denklemin kar??l?k gelen k?s?mlar?n? s?ras?yla ve ile ?arparak ekleriz:

?imdi ???nc? denklemden x 2'yi, ikinci denklemin sol ve sa? taraflar?n? sol ve sa? taraflar?na ekleyerek ?ununla ?arp?yoruz:

Bu, Gauss y?nteminin ileri vuru?unu tamamlar; geri vuru?a ba?lar?z.

Ortaya ??kan denklem sisteminin son denkleminden x 3'? buluyoruz:

?kinci denklemden elde ederiz.

?lk denklemden geri kalan bilinmeyen de?i?keni buluyoruz ve b?ylece Gauss y?nteminin tersini tamaml?yoruz.

Cevap:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini ??zme.

Genel olarak, p sisteminin denklem say?s?, bilinmeyen de?i?kenlerin say?s? n ile ?rt??mez:

Bu t?r SLAE'lerin hi?bir ??z?m? olmayabilir, tek bir ??z?m? olabilir veya sonsuz say?da ??z?m? olabilir. Bu ifade ayn? zamanda ana matrisi kare ve tekil olan denklem sistemleri i?in de ge?erlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir do?rusal denklem sistemine ??z?m bulmadan ?nce uyumlulu?unun belirlenmesi gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman tutars?z sorusunun cevab? ?u ?ekilde verilmektedir: Kronecker-Capelli teoremi:
N bilinmeyenli (p, n'ye e?it olabilir) p denklemlerden olu?an bir sistemin tutarl? olabilmesi i?in, sistemin ana matrisinin s?ralamas?n?n geni?letilmi? matrisin s?ralamas?na e?it olmas? gerekli ve yeterlidir; , S?ra(A)=S?ra(T).

?rnek olarak, bir do?rusal denklem sisteminin uyumlulu?unu belirlemek i?in Kronecker-Capelli teoreminin uygulanmas?n? ele alal?m.

?rnek.

Do?rusal denklem sisteminin olup olmad???n? ??renin ??z?mler.

??z?m.

. K???kleri s?n?rlama y?ntemini kullanal?m. ?kinci dereceden k???k s?f?rdan farkl?. ?imdi onu ?evreleyen ???nc? dereceden k???klere bakal?m:

???nc? dereceden t?m s?n?rdaki k???kler s?f?ra e?it oldu?undan, ana matrisin r?tbesi ikiye e?ittir.

Buna kar??l?k, geni?letilmi? matrisin r?tbesi k???k ???nc? dereceden oldu?undan ??e e?ittir

s?f?rdan farkl?.

B?ylece, Dolay?s?yla Rang(A) Kronecker-Capelli teoremini kullanarak orijinal do?rusal denklem sisteminin tutars?z oldu?u sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Sistemin ??z?m? yok.

Kronecker-Capelli teoremini kullanarak bir sistemin tutars?zl???n? belirlemeyi ??rendik.

Ancak uyumlulu?u sa?lanm??sa bir SLAE'ye ??z?m nas?l bulunur?

Bunu yapmak i?in bir matrisin min?r taban? kavram?na ve matrisin r?tbesine ili?kin bir teoreme ihtiyac?m?z var.

A matrisinin s?f?rdan farkl? en y?ksek mertebesinden k???k olan?na denir temel.

Bir temel min?r?n tan?m?ndan, s?ras?n?n matrisin r?tbesine e?it oldu?u sonucu ??kar. S?f?r olmayan bir A matrisi i?in birka? temel min?r olabilir; her zaman bir temel min?r vard?r.

?rne?in, matrisi d???n?n .

Bu matrisin ???nc? dereceden t?m k???kleri s?f?ra e?ittir ??nk? bu matrisin ???nc? sat?r?n?n elemanlar?, birinci ve ikinci sat?rlar?n kar??l?k gelen elemanlar?n?n toplam?d?r.

A?a??daki ikinci dereceden k???kler s?f?rdan farkl? olduklar? i?in temeldir

K???kler s?f?ra e?it olduklar? i?in temel de?ildirler.

Matris r?tbe teoremi.

P'ye n d?zeyindeki bir matrisin s?ralamas? r'ye e?itse, matrisin se?ilen temel min?r? olu?turmayan t?m sat?r (ve s?tun) ??eleri, onu olu?turan kar??l?k gelen sat?r (ve s?tun) ??eleri cinsinden do?rusal olarak ifade edilir. temel k???k.

Matris r?tbe teoremi bize ne s?yl?yor?

Kronecker-Capelli teoremine g?re sistemin uyumlulu?unu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir min?r taban?n? se?eriz (s?ralamas? r'ye e?ittir) ve a?a??dakileri sa?layan t?m denklemleri sistemden ??kar?r?z: se?ilen esas min?r? olu?turmaz. Bu ?ekilde elde edilen SLAE, at?lan denklemler hala gereksiz oldu?undan orijinaline e?de?er olacakt?r (matris s?ra teoremine g?re bunlar, kalan denklemlerin do?rusal bir birle?imidir).

Sonu? olarak sistemin gereksiz denklemleri ??kar?ld?ktan sonra iki durum m?mk?nd?r.

Ortaya ??kan sistemdeki r denklem say?s? bilinmeyen de?i?ken say?s?na e?itse bu kesin olacakt?r ve tek ??z?m Cramer y?ntemi, matris y?ntemi veya Gauss y?ntemiyle bulunabilecektir.

?rnek.

.

??z?m.

Sistemin ana matrisinin s?ralamas? k???k ikinci dereceden oldu?undan ikiye e?ittir s?f?rdan farkl?. Geni?letilmi? Matris S?ralamas? ???nc? dereceden tek min?r s?f?r oldu?undan bu da ikiye e?ittir

ve yukar?da ele al?nan ikinci dereceden k???k s?f?rdan farkl?d?r. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 oldu?undan orijinal do?rusal denklem sisteminin uyumlulu?unu iddia edebiliriz.

Temel olarak k???k olarak al?yoruz . Birinci ve ikinci denklemlerin katsay?lar?ndan olu?ur:


Sistemin ???nc? denklemi temel min?r?n olu?umuna kat?lmaz, bu nedenle onu matrisin r?tbesine ili?kin teoreme dayanarak sistemden hari? tutuyoruz:


Temel do?rusal cebirsel denklem sistemini bu ?ekilde elde ettik. Cramer y?ntemini kullanarak ??zelim:


Cevap:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ortaya ??kan SLAE'deki r denklemlerinin say?s?, bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?ndan n azsa, denklemlerin sol taraflar?nda, temel min?r olu?turan terimleri b?rak?r?z ve geri kalan terimleri, denklemin sa? taraflar?na aktar?r?z. Sistemin z?t i?aretli denklemleri.

Denklemin sol taraf?nda kalan bilinmeyen de?i?kenlere (r tanesi) denir. ana.

Sa? tarafta bulunan bilinmeyen de?i?kenlere (n - r par?a vard?r) denir ?zg?r.

Art?k serbest bilinmeyen de?i?kenlerin keyfi de?erler alabilece?ine, ana bilinmeyen de?i?kenlerin ise serbest bilinmeyen de?i?kenler arac?l???yla benzersiz bir ?ekilde ifade edilece?ine inan?yoruz. ?fadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer y?ntemi, matris y?ntemi veya Gauss y?ntemi kullan?larak ??z?lmesiyle bulunabilir.

Bir ?rnekle bakal?m.

?rnek.

Do?rusal cebirsel denklem sistemini ??zme .

??z?m.

Sistemin ana matrisinin r?tbesini bulal?m k???kleri s?n?rlama y?ntemiyle. 1 1 = 1'i birinci dereceden s?f?r olmayan bir min?r olarak alal?m. Bu min?r?n s?n?r?ndaki ikinci dereceden s?f?r olmayan bir min?r aramaya ba?layal?m:


?kinci dereceden s?f?r olmayan bir min?r? bu ?ekilde bulduk. ???nc? dereceden s?f?rdan farkl? s?n?rdaki k???kleri aramaya ba?layal?m:


B?ylece ana matrisin r?tbesi ?? olur. Geni?letilmi? matrisin s?ralamas? da ??e e?ittir, yani sistem tutarl?d?r.

???nc? mertebenin s?f?rdan farkl? bulunan min?r?n? temel al?yoruz.

A??kl?k sa?lamak i?in, min?r?n temelini olu?turan unsurlar? g?steriyoruz:


Temel min?rde yer alan terimleri sistem denklemlerinin sol taraf?na b?rak?p, geri kalan?n? z?t i?aretli olarak sa? taraflara aktar?yoruz:


Serbest bilinmeyen de?i?kenlere x 2 ve x 5 keyfi de?erler verelim, yani kabul edelim , keyfi say?lar nerede. Bu durumda SLAE ?u ?ekli alacakt?r:


Ortaya ??kan temel do?rusal cebirsel denklem sistemini Cramer y?ntemini kullanarak ??zelim:


Buradan, .

Cevab?n?zda serbest bilinmeyen de?i?kenleri belirtmeyi unutmay?n.

Cevap:

Rastgele say?lar nerede.

?zetleyelim.

Bir genel do?rusal cebirsel denklem sistemini ??zmek i?in ?ncelikle Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumlulu?unu belirleriz. Ana matrisin s?ralamas? geni?letilmi? matrisin s?ralamas?na e?it de?ilse sistemin uyumsuz oldu?u sonucuna var?r?z.

Ana matrisin s?ralamas? geni?letilmi? matrisin s?ralamas?na e?itse, o zaman bir min?r baz se?eriz ve se?ilen baz min?r?n olu?umuna kat?lmayan sistem denklemlerini atar?z.

Temel min?r?n s?ras? bilinmeyen de?i?kenlerin say?s?na e?itse, o zaman SLAE'nin bildi?imiz herhangi bir y?ntemle bulunabilecek benzersiz bir ??z?m? vard?r.

Temelin s?ras? bilinmeyen de?i?ken say?s?ndan azsa, sistem denklemlerinin sol taraf?nda, ana bilinmeyen de?i?kenlerin bulundu?u terimleri b?rak?r?z, kalan terimleri sa? taraflara aktar?r?z ve keyfi de?erler veririz. serbest bilinmeyen de?i?kenler Ortaya ??kan do?rusal denklem sisteminden ana bilinmeyen de?i?kenleri Cramer y?ntemini, matris y?ntemini veya Gauss y?ntemini kullanarak buluruz.

Genel formdaki do?rusal cebirsel denklem sistemlerini ??zmek i?in Gauss y?ntemi.

Gauss y?ntemi, her t?rl? do?rusal cebirsel denklem sistemini, uyumluluk a??s?ndan ilk ?nce test etmeden ??zmek i?in kullan?labilir. Bilinmeyen de?i?kenlerin s?ral? olarak ortadan kald?r?lmas? s?reci, SLAE'nin hem uyumlulu?u hem de uyumsuzlu?u hakk?nda bir sonuca var?lmas?n? ve bir ??z?m varsa bulunmas?n? m?mk?n k?lar.

Hesaplama a??s?ndan Gauss y?ntemi tercih edilir.

Genel formdaki do?rusal cebirsel denklem sistemlerini ??zmek i?in Gauss y?ntemi makalesinde ayr?nt?l? a??klamas?na ve analiz edilen ?rneklere bak?n.

Temel ??z?m sisteminin vekt?rlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan do?rusal cebirsel sistemlere genel bir ??z?m yazmak.

Bu b?l?mde sonsuz say?da ??z?m? olan e?zamanl? homojen ve homojen olmayan do?rusal cebirsel denklem sistemlerinden bahsedece?iz.

?lk ?nce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel ??z?m sistemi n bilinmeyen de?i?kenli p do?rusal cebirsel denklemlerden olu?an homojen sistem, bu sistemin (n – r) do?rusal olarak ba??ms?z ??z?mlerinin bir koleksiyonudur; burada r, sistemin ana matrisinin temel min?r?n?n s?ras?d?r.

Homojen bir SLAE'nin do?rusal olarak ba??ms?z ??z?mlerini X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) s?tunsald?r olarak g?sterirsek boyut matrisleri n x 1) , daha sonra bu homojen sistemin genel ??z?m?, temel ??z?m sisteminin vekt?rlerinin keyfi sabit katsay?lar C 1, C 2, ..., C (n-r) ile do?rusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir, yani .

Homojen bir do?rusal cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel ??z?m? terimi ne anlama gelir?

Anlam? basit: form?l, orijinal SLAE'nin t?m olas? ??z?mlerini belirtir, ba?ka bir deyi?le, C 1, C 2, ..., C (n-r) keyfi sabitlerinin herhangi bir de?er k?mesini alarak, a?a??daki form?l? kullanarak belirtiriz: Orijinal homojen SLAE'nin ??z?mlerinden birini elde edin.

Dolay?s?yla, temel bir ??z?m sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin t?m ??z?mlerini ?u ?ekilde tan?mlayabiliriz: .

Homojen bir SLAE'ye y?nelik temel bir ??z?m sistemi olu?turma s?recini g?sterelim.

Orijinal do?rusal denklem sisteminin temel min?r?n? se?iyoruz, di?er t?m denklemleri sistemden ??kar?yoruz ve serbest bilinmeyen de?i?kenler i?eren t?m terimleri, ters i?aretlerle sistemin denklemlerinin sa? taraflar?na aktar?yoruz. Serbest bilinmeyen de?i?kenlere 1,0,0,...,0 de?erlerini verelim ve elde edilen temel do?rusal denklem sistemini herhangi bir ?ekilde, ?rne?in Cramer y?ntemini kullanarak ??zerek ana bilinmeyenleri hesaplayal?m. Bu, temel sistemin ilk ??z?m? olan X (1) ile sonu?lanacakt?r. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 de?erlerini verip ana bilinmeyenleri hesaplarsak X(2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen de?i?kenlere 0.0,...,0.1 de?erlerini atay?p temel bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Bu ?ekilde homojen bir SLAE'nin temel ??z?m sistemi olu?turulacak ve genel ??z?m? ?eklinde yaz?labilecektir.

Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemleri i?in genel ??z?m, kar??l?k gelen homojen sistemin genel ??z?m? olan ve serbest bilinmeyenlere de?erleri vererek elde etti?imiz orijinal homojen olmayan SLAE'nin ?zel ??z?m? olan formda temsil edilir. 0,0,…,0 ve temel bilinmeyenlerin de?erlerinin hesaplanmas?.

?rneklere bakal?m.

?rnek.

Temel ??z?m sistemini ve homojen bir do?rusal cebirsel denklem sisteminin genel ??z?m?n? bulun .

??z?m.

Homojen do?rusal denklem sistemlerinin ana matrisinin s?ralamas? her zaman geni?letilmi? matrisin s?ralamas?na e?ittir. K???kleri s?n?rlama y?ntemini kullanarak ana matrisin r?tbesini bulal?m. Birinci dereceden s?f?r olmayan bir min?r olarak sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 ??esini al?yoruz. ?kinci dereceden s?n?rdaki s?f?r olmayan k???kleri bulal?m:

S?f?rdan farkl? ikinci dereceden bir min?r bulundu. S?f?r olmayan bir tane bulmak i?in s?n?r?ndaki ???nc? dereceden k???kleri inceleyelim:

???nc? dereceden s?n?rdaki t?m k???kler s?f?ra e?ittir, bu nedenle ana ve geni?letilmi? matrisin s?ras? ikiye e?ittir. Hadi alal?m. A??kl?k sa?lamak i?in, onu olu?turan sistemin ??elerine dikkat edelim:

Orijinal SLAE'nin ???nc? denklemi temel min?r?n olu?umuna kat?lmaz, bu nedenle hari? tutulabilir:

Temel bilinmeyenleri i?eren terimleri denklemlerin sa? taraflar?na b?rak?p, serbest bilinmeyenli terimleri sa? taraflara aktar?yoruz:

Orijinal homojen do?rusal denklem sisteminin temel ??z?m sistemini olu?tural?m. Bu SLAE'nin temel ??z?m sistemi iki ??z?mden olu?ur, ??nk? orijinal SLAE d?rt bilinmeyen de?i?ken i?erir ve temel min?r derecesi ikiye e?ittir. X (1)'i bulmak i?in serbest bilinmeyen de?i?kenlere x 2 = 1, x 4 = 0 de?erlerini veriyoruz, ard?ndan denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.

Bu derste bir do?rusal denklem sistemini ??zme y?ntemlerine bakaca??z. Y?ksek matematik dersinde, do?rusal denklem sistemlerinin hem ayr? g?revler bi?iminde, ?rne?in "Cramer form?llerini kullanarak sistemi ??z?n" hem de di?er problemleri ??zme s?ras?nda ??z?lmesi gerekir. Do?rusal denklem sistemleri y?ksek matemati?in neredeyse t?m dallar?nda ele al?nmal?d?r.

?lk ?nce k???k bir teori. Bu durumda matematiksel “do?rusal” kelimesi ne anlama geliyor? Bu, sistemin denklemlerinin T?m dahil edilen de?i?kenler birinci derecede: gibi s?sl? ?eyler olmadan sadece matematik olimpiyatlar?na kat?lanlar?n memnun oldu?u vb.

Y?ksek matematikte de?i?kenleri belirtmek i?in yaln?zca ?ocukluktan a?ina oldu?umuz harfler kullan?lmaz.
Olduk?a pop?ler bir se?enek, indeksli de?i?kenlerdir: .
Veya Latin alfabesinin k???k ve b?y?k ba? harfleri:
Yunan harflerini bulmak o kadar da nadir de?ildir: – bir?ok ki?i taraf?ndan “alfa, beta, gama” olarak bilinir. Ve ayr?ca ?rne?in “mu” harfinin yer ald??? endekslerden olu?an bir set:

Bir veya daha fazla harf grubunun kullan?m?, y?ksek matemati?in bir do?rusal denklem sistemiyle kar?? kar??ya oldu?umuz b?l?m?ne ba?l?d?r. Dolay?s?yla, ?rne?in integralleri ve diferansiyel denklemleri ??zerken kar??la??lan do?rusal denklem sistemlerinde, notasyonu kullanmak gelenekseldir.

Ancak de?i?kenler nas?l belirlenirse belirlensin, bir do?rusal denklem sistemini ??zmenin ilkeleri, y?ntemleri ve y?ntemleri de?i?mez. Bu nedenle, e?er . Ve ne kadar komik g?r?nse de, bu g?sterimlere sahip bir do?rusal denklem sistemi de ??z?lebilir.

Makalenin olduk?a uzun olaca??na dair bir his var, bu y?zden k???k bir i?indekiler tablosu. Yani, s?ral? “bilgilendirme” ?u ?ekilde olacakt?r:

– Bir do?rusal denklem sistemini ikame y?ntemini (“okul y?ntemi”) kullanarak ??zme;
– Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (??kararak) sistemi ??zmek;
– Sistemin Cramer form?llerini kullanarak ??z?m?;
– Ters matris kullanarak sistemi ??zme;
– Gauss y?ntemini kullanarak sistemi ??zme.

Herkes okul matematik derslerinden do?rusal denklem sistemlerine a?inad?r. Temel olarak tekrarla ba?l?yoruz.

?kame y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??zme

Bu y?nteme “okul y?ntemi” ya da bilinmeyenleri ortadan kald?rma y?ntemi de denilebilir. Mecazi anlamda "tamamlanmam?? bir Gauss y?ntemi" olarak da adland?r?labilir.

?rnek 1

Burada bize iki bilinmeyenli iki denklem sistemi veriliyor. Serbest terimlerin (5 ve 7 say?lar?) denklemin sol taraf?nda bulundu?unu unutmay?n. Genel olarak konu?ursak, nerede olduklar? ?nemli de?il, solda veya sa?da, sadece y?ksek matematik problemlerinde genellikle bu ?ekilde konumland?r?l?rlar. Ve b?yle bir kay?t gerekirse kar???kl??a yol a?mamal?, sistem her zaman "her zamanki gibi" yaz?labilir: . Bir terimi bir b?l?mden di?erine ta??rken i?aretinin de?i?mesi gerekti?ini unutmay?n.

Bir do?rusal denklem sistemini ??zmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini ??zmek, ??z?mlerinin ?o?unu bulmak anlam?na gelir. Bir sistemin ??z?m?, i?inde yer alan t?m de?i?kenlerin de?erlerinin bir k?mesidir, bu da sistemin HER denklemini do?ru bir e?itli?e d?n??t?r?r. Ayr?ca sistem ?u ?ekilde olabilir: ortak olmayan (??z?mleri yok).Utanmay?n, bu genel bir tan?m =) Her c-we denklemini sa?layan yaln?zca bir “x” de?eri ve bir “y” de?erimiz olacak.

Sistemi ??zmek i?in s?n?fta a?ina olabilece?iniz grafiksel bir y?ntem var. Bir ?izgiyle ilgili en basit problemler. Orada bahsetmi?tim geometrik anlamda iki bilinmeyenli iki do?rusal denklem sistemi. Ama art?k cebirin, say?lar?n-say?lar?n, eylem-eylemlerin ?a?? geldi.

Haydi karar verelim: ifade etti?imiz ilk denklemden:
Ortaya ??kan ifadeyi ikinci denklemde de?i?tiririz:

Parantezleri a??yoruz, benzer terimleri ekliyoruz ve de?eri buluyoruz:

Sonra ne i?in dans etti?imizi hat?rl?yoruz:
De?erini zaten biliyoruz, geriye kalan tek ?ey bulmak:

Cevap:

HERHANG? bir denklem sistemi HERHANG? bir ?ekilde ??z?ld?kten sonra, kontrol etmenizi ?iddetle tavsiye ederim. (s?zl? olarak, taslak ?zerinde veya hesap makinesinde). Neyse ki bu kolay ve h?zl? bir ?ekilde yap?l?r.

1) Bulunan cevab? ilk denklemde de?i?tirin:

– do?ru e?itlik elde edilir.

2) Bulunan cevab? ikinci denklemde de?i?tirin:

– do?ru e?itlik elde edilir.

Ya da daha basit ifadeyle “her ?ey bir araya geldi”

Dikkate al?nan ??z?m y?ntemi, ilk denklemden ifade edilmesi m?mk?n olan tek y?ntem de?ildir.
Bunun tersini de yapabilirsiniz; ikinci denklemden bir ?eyi ifade edebilir ve onu ilk denklemde de?i?tirebilirsiniz. Bu arada, d?rt y?ntemden en dezavantajl? olan?n?n ikinci denklemden ifade etmek oldu?unu unutmay?n:

Sonu? kesirler, ama neden? Daha rasyonel bir ??z?m var.

Ancak baz? durumlarda kesirler olmadan hala yapamazs?n?z. Bu ba?lamda ifadeyi NASIL yazd???ma dikkatinizi ?ekmek isterim. B?yle de?il: ve hi?bir durumda b?yle de?il: .

Y?ksek matematikte kesirli say?larla ilgileniyorsan?z, t?m hesaplamalar? s?radan uygunsuz kesirlerle yapmaya ?al???n.

Kesinlikle ve de?il ya da!

Virg?l yaln?zca bazen, ?zellikle de bir sorunun nihai yan?t?ysa ve bu numarayla ba?ka bir i?lem yap?lmas?na gerek yoksa kullan?labilir.

Pek ?ok okuyucu muhtemelen "d?zeltme dersi i?in neden bu kadar ayr?nt?l? bir a??klama, her ?ey a??k" diye d???nm??t?r. ?yle bir ?ey yok, ?ok basit bir okul ?rne?i gibi g?r?n?yor, ancak ?OK ?nemli pek ?ok sonu? var! ??te bir tane daha:

Herhangi bir g?revi en ak?lc? ?ekilde tamamlamaya ?al??mal?s?n?z.. Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sa?lad??? ve ayn? zamanda hata yapma olas?l???n? azaltt??? i?in.

Daha y?ksek bir matematik probleminde iki bilinmeyenli iki do?rusal denklem sistemiyle kar??la??rsan?z, o zaman her zaman yerine koyma y?ntemini kullanabilirsiniz (sistemin ba?ka bir y?ntemle ??z?lmesi gerekti?i belirtilmedi?i s?rece) Tek bir ??retmen d???nmeyecektir. enayi oldu?unu ve "okul y?ntemini" kulland???n i?in notunu d???rece?ini "
Ayr?ca baz? durumlarda daha fazla say?da de?i?kenle ikame y?nteminin kullan?lmas? da tavsiye edilebilir.

?rnek 2

?? bilinmeyenli do?rusal denklem sistemini ??zme

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini buldu?umuzda, belirsiz katsay?lar y?ntemi denilen y?ntemi kullan?rken s?kl?kla benzer bir denklem sistemi ortaya ??kar. S?z konusu sistem taraf?mdan oradan al?nm??t?r.

?ntegrali bulurken ama? h?zl? Cramer form?llerini, ters matris y?ntemini vb. kullanmak yerine katsay?lar?n de?erlerini bulun. Dolay?s?yla bu durumda ikame y?ntemi uygundur.

Herhangi bir denklem sistemi verildi?inde, her ?eyden ?nce onu HEMEN basitle?tirmenin m?mk?n olup olmad???n? bulmak arzu edilir. Sistemin denklemlerini inceledi?imizde sistemin ikinci denkleminin 2'ye b?l?nebilece?ini g?r?yoruz ve ?unu yap?yoruz:

Referans: matematiksel i?aret “bundan ?unu ??kar” anlam?na gelir ve s?kl?kla problem ??zmede kullan?l?r.

?imdi denklemleri inceleyelim; baz? de?i?kenleri di?erleri cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklemi se?meliyim? Muhtemelen bu ama? i?in en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak oldu?unu tahmin etmi?sinizdir:

Burada hangi de?i?ken ifade edilirse edilsin, ayn? kolayl?kla veya ifade edilebilir.

Daha sonra, ifadesini sistemin ikinci ve ???nc? denklemlerinde yerine koyar?z:

Parantezleri a??yoruz ve benzer terimleri sunuyoruz:

???nc? denklemi 2'ye b?l?n:

?kinci denklemden ???nc? denklemi ifade edip yerine koyuyoruz:

Buldu?umuz ???nc? denklemden hemen hemen her ?ey haz?r:
?kinci denklemden:
?lk denklemden:

Kontrol edin: De?i?kenlerin bulunan de?erlerini sistemdeki her denklemin sol taraf?na de?i?tirin:

1)
2)
3)

Denklemlerin kar??l?k gelen sa? taraflar? elde edilir, b?ylece ??z?m do?ru bulunur.

?rnek 3

4 bilinmeyenli do?rusal denklem sistemini ??zme

Bu kendi ba??n?za ??zebilece?iniz bir ?rnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Sistem denklemlerinin terim terim toplanmas? (??kar?lmas?) yoluyla sistemin ??z?lmesi

Do?rusal denklem sistemlerini ??zerken, “okul y?ntemini” de?il, sistemin denklemlerini d?nem d?nem toplama (??karma) y?ntemini kullanmaya ?al??mal?s?n?z. Neden? Bu, zamandan tasarruf sa?lar ve hesaplamalar? basitle?tirir, ancak art?k her ?ey daha net hale gelecektir.

?rnek 4

Bir do?rusal denklem sistemini ??z?n:

?lk ?rnekteki sistemin ayn?s?n? ald?m.
Denklem sistemini analiz etti?imizde, de?i?kenin katsay?lar?n?n b?y?kl?k bak?m?ndan ayn? ve i?aret bak?m?ndan z?t (-1 ve 1) oldu?unu fark ederiz. B?yle bir durumda denklemler terim terim eklenebilir:

K?rm?z?yla daire i?ine al?nm?? eylemler Z?H?NSEL olarak ger?ekle?tirilir.
G?rd???n?z gibi terim terim toplama i?lemi sonucunda de?i?keni kaybettik. Asl?nda olan da bu y?ntemin ?z? de?i?kenlerden birinden kurtulmakt?r.