Matematiksel mant???n temelleri. Matematiksel mant???n konusu

MATEMAT?KSEL MANTIK

teorik mant?k, sembolik mant?k, matematik ?al??malar?na adanm?? bir matematik dal?d?r. Matemati?in temellerine ili?kin kan?tlar ve sorular.

Tarihsel eskiz. B?yle bir matematik dili temelinde t?m matematik ve formalizasyon i?in evrensel bir dil olu?turma fikri. 17. y?zy?lda kan?tlar ortaya at?ld?. G. Leibniz. Ama sadece ortas?nda. 19. y?zy?l Aristoteles mant???n?n cebirle?tirilmesine ili?kin ilk bilimsel ?al??malar ortaya ??kt? [J. Boole (G. Boole, 1847) ve O. de Morgan (A. de Morgan, 1858)]. G. Frege (1879) ve C. Peirce (1885) y?klemleri, nesnel de?i?kenleri ve niceleyicileri mant?ksal cebir diline dahil ettikten sonra, bu dili matemati?in temellerine ili?kin sorulara uygulamak i?in ger?ek bir f?rsat ortaya ??kt?.

?te yandan 19. y?zy?ldaki yarat?l??. ?klid d??? geometri, matematik?ilerin geometrinin mutlak g?venilirli?ine olan g?venini b?y?k ?l??de sarst?. dayand??? sezgi. Geometrinin g?venilirli?i hakk?nda ??pheler. Sonsuz k???kler hesab?n?n geli?mesinin bir sonucu olarak matematik?ilerin her yerde t?revsiz s?rekli fonksiyonlar?n beklenmedik ?rnekleriyle kar??la?malar? da sezgiyi kolayla?t?rd?. Ger?el say? kavram?n?, geometrik temele dayanan, belirsiz “b?y?kl?k” kavram?ndan ay?rma ihtiyac? vard?. sezgi. Bu problem K. Weierstrass'?n (K. Weierstrab, P. Dedekind ve G. Cantor) ?al??malar?nda farkl? ?ekillerde ??z?ld?. Analiz ve fonksiyon teorisinin "aritmetikle?tirilmesi" olas?l???n? g?stererek t?m klasik matemati?in temelini olu?turdular. tamsay?lar olarak kabul edilmeye ba?land?. Daha sonra aritmeti?in aksiyomatizasyonu yap?ld? [R. Dedekind (1888) ve J. Peano (G. Peano, 1891)] Ayn? zamanda J. Peano, mant?ksal dil i?in daha uygun bir sembolizm yaratt?. Daha sonra bu dil, B. Russell ve A. Whitehead'in Matematik ?lkeleri ortak ?al??mas?nda geli?tirildi. (1910), burada t?m matemati?in mant??a indirgenmesi giri?iminde bulunuldu. Ancak bu giri?im ba?ar?s?z oldu, ??nk? saf matematikten t?retilmesi imkans?zd?. Sonsuz k?melerin varl???na ili?kin mant?ksal aksiyomlar Frege-Russell'in matemati?in temellerindeki lojisti?i, matemati?i mant??a indirgemek olan ana amac?na ula?amasa da, ?al??malar?nda zengin bir mant?ksal ayg?t yarat?ld? ve bu olmadan matematiksel mant?k tasar?m? yarat?ld?. . tam te?ekk?ll? bir matematik?i olarak disiplin imkans?z olurdu.

19.-20. y?zy?llar?n ba??nda. ke?fedildi antinomiler, K?me teorisinin temel kavramlar?yla ilgilidir. Russell'?n 1903'te yay?nlanan ?al??mas? ?a?da?lar? ?zerinde en g??l? izlenimi b?rakt?. Her biri kendi unsuru olmayan t?m bu t?r k?melerin ?ntikam? olsun. Benim unsurum oldu?uma ancak ve ancak benim unsurum olursam ikna olmak kolayd?r. Elbette, bu kadar ?ok Ben'in var oldu?u sonucuna vararak yarat?lan ?eli?kiden kurtulmay? deneyebilirsiniz. Bununla birlikte, yukar?daki k?me tan?m?nda sahip oldu?umuz, b?ylesine iyi tan?mlanm?? bir ko?ulu sa?layan, tam olarak t?m elemanlar?ndan olu?an bir k?me var olamazsa M, peki g?nl?k i?lerimizde var olamayacak k?melerle kar??la?mayaca??m?z?n garantisi nerede? Ve bir k?menin tan?m?n?n var olabilmesi i?in genel olarak hangi ko?ullar? kar??lamas? gerekir? Bir ?ey a??kt?: Cantor'un k?me teorisini bir ?ekilde s?n?rlamak gerekiyordu.

L. Brouwer (L. Brouwer, 1908) klasi?in kurallar?n?n uygulanmas?na kar?? ??kt?. sonsuz k?melere mant?k. Ortaya koydu?u sezgisel programda, bu d???ncenin terk edilmesi ?nerildi. ger?ek sonsuzlu?un soyutlamalar?, yani tam toplamlar olarak sonsuz k?meler! Keyfi olarak b?y?k do?al say?lar?n varl???n? kabul eden sezgiciler, do?al serilerin tam bir k?me olarak de?erlendirilmesine kar?? ??k?yorlar. Matematikte ?u veya bu nesnenin her varl???n?n yap?c? olmas? gerekti?ine, yani bu nesnenin in?as?na e?lik etmesi gerekti?ine inan?yorlar. Aranan ?eyin var olmad??? varsay?m? bir ?eli?kiye yol a??yorsa, sezgicilere g?re bu, varl???n kan?t? olarak de?erlendirilemez. ?zellikle sezgiciler taraf?ndan ele?tirildi. hari? tutuldu???nc? yasa. Bu yasan?n ba?lang??ta sonlu k?melerle ili?kili olarak d???n?lm?? olmas? ve sonlu k?melerin pek ?ok ?zelli?inin sonsuz k?meler i?in ge?erli olmamas? nedeniyle (?rne?in, her uygun par?an?n b?t?nden daha az olmas?), sezgiciler bu yasan?n uygulanmas?n?n yasa d??? oldu?unu d???nmektedir. Bu yasa sonsuz k?melere. Bu nedenle, ?rne?in Fermat probleminin pozitif ya da negatif bir ??z?m? oldu?unu iddia etmek i?in sezgicinin bu probleme kar??l?k gelen ??z?m? g?stermesi gerekir. Fermat'?n sorunu ??z?lene kadar bu sorun gayri me?ru kabul ediliyor. Ayn? gereklilik herhangi bir ayr?l???n anla??lmas? i?in de ge?erlidir. Sezgiselcilerin bu gereklili?i, sonlu k?meleri i?eren problemleri de?erlendirirken de zorluklar yaratabilir. Birinin g?zlerini kapatarak i?inde ?? siyah ve ?? beyaz top bulunan bir kavanozdan ??kard???n? ve bu topu hemen geri f?rlatt???n? hayal edelim. E?er bu topu kimse g?rmediyse, onun ne renk oldu?unu bilmemizin hi?bir yolu yok. Ancak bu topun siyah ya da beyaz oldu?u iddias?na ciddi anlamda itiraz etmek pek m?mk?n de?il.

Sezgiciler ilgin? ?zelliklere sahip olan kendi matematiklerini geli?tirdiler. Ancak klasik olandan daha karma??k ve hantal oldu?u ortaya ??kt?. . Sezgiselcilerin matemati?in temelleriyle ilgili sorular?n incelenmesine olumlu katk?s?, matematikte yap?c? ve yap?c? olmayan aras?ndaki fark? bir kez daha kararl? bir ?ekilde vurgulamalar?, matemati?in kar??la?t??? bir?ok zorlu?un kapsaml? bir analizini yapmalar? ile ifade edildi. geli?mesine ve b?ylece bunlar?n a??lmas?na katk?da bulunmu?tur.

D. Hilbert (bkz. Ekler VII-X), 19.-20. y?zy?llar?n ba??nda matemati?in temellerinde ortaya ??kan zorluklar?n ?stesinden gelmenin ba?ka bir yolunu ?zetledi. Aksiyomatik kullan?m?na dayanan bu yol Bi?imsel modelleri, anlaml? matemati?i dikkate alma y?ntemi ve bu t?r modellerin tutarl?l?k konular?n?n g?venilir sonlu ara?lar kullan?larak incelenmesi, matematikte Hilbert'in sonlulu?u ad?n? ald?. Geometrinin g?venilmezli?ini kabul etmek Sezgiye dayanarak, D. Hilbert her ?eyden ?nce ?klid geometrisini kapsaml? bir ?ekilde g?zden ge?irerek onu sezgiye ba?vurmaktan kurtar?r. Bu t?r bir i?lemenin sonucu onun “Geometrinin Temelleri” (1899) oldu.

?e?itli teorilerin tutarl?l???yla ilgili sorular esasen D. Hilbert'ten ?nce d???n?lm??t?. B?ylece, F. Klein (1871) taraf?ndan olu?turulan Loba?evski'nin yans?tmal? ?klidyen olmayan geometrisi, Loba?evski'nin geometrisinin tutarl?l??? sorununu ?klid geometrisinin tutarl?l???na indirger. ?klid geometrisinin tutarl?l??? da benzer ?ekilde analizin tutarl?l???na, yani ger?ek say?lar teorisine indirgenebilir. Ancak tutarl?l?klar?n? kan?tlamak i?in analiz ve aritmetik modellerinin nas?l olu?turulabilece?i a??k de?ildi. D. Hilbert'in de?eri, bu konuyu incelemek i?in do?rudan bir yol g?stermesidir. Bu teorinin tutarl?l???, elde edilemeyece?i anlam?na gelir, yani belirli bir A ve onun D ifadesi. Hilbert, s?z konusu teoriyi resmi bir aksiyomatik teori bi?iminde sunmay? ?nerdi. teorimizin teoremleri olan t?m bu ifadelerin ve yaln?zca bu ifadelerin ??kar?labilece?i sistemler. Daha sonra tutarl?l??? kan?tlamak i?in, s?z konusu teorideki baz? ifadelerin ??kar?lamazl???n? tespit etmek yeterlidir. B?ylece matematik. Tutarl?l???n? kan?tlamak istedi?imiz belirli bir matematik teorisinin ?al??ma konusu haline gelir. D. Hilbert'in metamatematik veya ispat teorisi ad?n? verdi?i bilim.

D. Hilbert, k?me teorisinin paradokslar?n?n d??lanan orta yasadan kaynaklanmad???n?, daha ziyade matematik?ilerin benim kan?t teorimde kendi ba?lar?na d??lanan kabul edilemez ve anlams?z kavram olu?umlar?n? kullanmalar?ndan kaynakland???n? yazd?. Matematik?ilerden d??lanan orta yasay? kald?rmak, teleskopu g?kbilimcilerden almak veya boks?rlerin yumruklar?n? kullanmas?n? yasaklamakla ayn? ?eydir" (bkz. s. 383). D. Hilbert, klasikin “ger?ek” ve “ideal” c?mlelerini birbirinden ay?rmay? ?neriyor. matematik. ?lkinin anlaml? bir anlam? varken, ikincisinin anlaml? bir anlam? olmas? gerekmez. Ger?ek sonsuzlu?un kullan?m?na kar??l?k gelen c?mleler idealdir. ?deal c?mleler ger?ek c?mlelere eklenir, b?ylece basit mant?k kurallar? sonsuz k?meler hakk?ndaki ak?l y?r?tmeye de uygulanabilir. Bu, t?m teorinin yap?s?n? ?nemli ?l??de basitle?tirir; t?pk? bir d?zlemdeki yans?tmal? geometriyi de?erlendirirken, herhangi ikisini belirli bir noktada kesen sonsuz uzakl?ktaki bir tanesinin eklenmesi gibi.

D. Hilbert taraf?ndan ortaya at?lan matemati?in kan?tlanmas? program? ve onun co?kusu, ?a?da?lar?na yo?un bir ?ekilde geli?me konusunda ilham verdi. aksiyomatik y?ntem. 20. y?zy?l?n ba??nda yap?lan ?ey buydu. D. Hilbert ve takip?ileri, G. Frege, J. Peano ve B. Russell'?n ?al??malar?nda geli?tirilen mant?ksal mant??a dayanarak ispat teorisini geli?tirdiler. dil M. l.'nin olu?umuyla ili?kilendirilmelidir. ba??ms?z bir matematiksel disiplinler.

Matematiksel mant???n konusu ve ana b?l?mleri, matemati?in di?er alanlar?yla ba?lant?lar?. Modern M. l. t?rl?. Her ?eyden ?nce, mant?ksal ?al??maya dikkat edilmelidir. ve mant?ksal-matematiksel Bunlardan en ?nemlisi klasik olan matematiktir. y?klemler. 1930'da K. G?del, y?klem hesab?n?n b?t?nl???ne ili?kin bir teoremi kan?tlad?; buna g?re, t?m k?meler tamamen mant?ksald?. Matemati?in ifadeleri, y?klem hesab?ndan t?retilen t?m form?llerin k?mesiyle ?rt???r (bkz. G?del b?t?nl?k ?zerine). Bu teorem y?klem hesab?n?n mant?ksal bir hesap oldu?unu g?sterdi. Matemati?in resmile?tirilebilece?i sistem. Y?klem hesab? temel al?narak ?e?itli mant?ksal-matematiksel sistemler olu?turulmu?tur. teoriler (bkz. Mant?ksal-matematiksel hesap), anlaml? matemati?in formalizasyonunu temsil eder. teoriler - aritmetik, analiz, k?me teorisi, grup teorisi vb. temel teoriler Belirli bi?imsel mant?klar i?in ?al???lan geleneksel sorulara, y?klemler ?zerindeki niceleyicilere, vb. de izin verilen daha y?ksek dereceli teoriler de dikkate al?n?r. sistemler, bu sistemlerdeki sonu?lar?n yap?s?, belirli form?ller, s?z konusu sistemlerin tutarl?l??? ve b?t?nl??? konular? ?zerine yap?lan ?al??malard?r.

1931'de kan?tlanm?? G?del'in eksiklik teoremi aritmetik iyimserleri sarst?. D. Hilbert, belirtilen yol boyunca matemati?in temellerine ili?kin sorunlara tam bir ??z?m bulmay? umuyor. Bu teoreme g?re, e?er aritmeti?i i?eren tutarl?ysa, bu sistemde ifade edilen tutarl?l???na ili?kin ifade, i?inde resmile?tirilmi? ara?larla kan?tlanamaz. Bu, matemati?in temellerine ili?kin sorularda durumun D. Hilbert'in istedi?i veya ilk ba?ta g?r?nd??? kadar basit olmad??? anlam?na geliyor. Ancak K. G?del, aritmeti?in tutarl?l???n?n olduk?a g?venilir yap?c? ara?lar kullan?larak kan?tlanabilece?ini, ancak bunlar aritmetikte resmile?tirilmi? ara?lar?n ?tesine ge?ebilece?ini zaten fark etti. Aritmeti?in tutarl?l???na ili?kin benzer kan?tlar G. Gentzen (1936) ve P. S. Novikov (1943) taraf?ndan elde edildi.

Cantor'un k?me teorisi ve onunla ili?kili paradokslar?n analizi sonucunda ?e?itli sistemler in?a edildi. aksiyomatik k?me teorisi, iyi bilinen antinomilerin ortaya ??kmas?n? d??lamak i?in k?melerin olu?umuna ili?kin bir veya ba?ka k?s?tlaman?n benimsendi?i. Bu aksiyomatiklerde sistemler sayesinde matemati?in olduk?a kapsaml? dallar? geli?tirilebilmektedir. Olduk?a zengin aksiyomatiklerin tutarl?l??? sorunu. k?me teorisi sistemleri a??k kal?r. Aksiyomatikte elde edilen en ?nemli sonu?lardan. k?me teorisi, K. G?del'in tutarl?l?k konusundaki sonucuna dikkat edilmelidir. s?reklilik hipotezi Ve aksiyom se?imi Bernays-G?del sisteminde (1939) ve P. Cohen'in (P. Cohen, 1963) bu aksiyomlar?n Zermelo-Fraenkel ZF sisteminin aksiyomlar?ndan ba??ms?zl???na ili?kin sonucu. Bu iki aksiyom sisteminin ve ZF'nin e?it derecede tutarl? oldu?una dikkat edin. Sonu?lar?n? kan?tlamak i?in K. G?del ?nemli bir yap?c? k?me kavram?n? ortaya att? (bkz. G?del yap?c? k?mesi) ve bu t?r k?melerden olu?an bir sistemin modelinin varl???n? g?sterdi. K. G?del'in y?ntemi P. S. Novikov taraf?ndan tan?mlay?c? k?me teorisinin di?er baz? ifadelerinin tutarl?l???n? kan?tlamak i?in kullan?ld? (1951). S?reklilik hipotezinin veya se?im aksiyomunun olumsuzlamalar?n?n kar??land??? ZF k?me teorisi modellerini olu?turmak i?in P. Cohen, s?zde aksiyomu tan?tt?. zorlama y?ntemi Bu daha sonra geli?tirildi ve belirli ?zellikleri kar??layan k?me teorisi modellerinin olu?turulmas?nda ana y?ntem haline geldi.

M. l.'nin en dikkat ?ekici ba?ar?lar?ndan biri. konseptin geli?imiydi genel ?zyinelemeli i?lev ve ifadeler Kilisenin tezi, Genel ?zyinelemeli fonksiyon kavram?n?n sezgisel kavram?n geli?tirilmi? hali oldu?unu ileri s?rerek algoritma. Algoritma kavram?n?n di?er e?de?er iyile?tirmelerinden en yayg?n kullan?lan kavramlar ?unlard?r: Turing makineleri Ve normal algoritma Markova. Esasen t?m matematik ?u veya bu algoritmayla ilgilidir. Ancak ancak algoritma kavram?n? a??kl??a kavu?turduktan sonra ??z?lemeyen durumlar?n varl???n? ke?fetmek m?mk?n oldu. algoritmik problemler matematikte. Karar verilemez algoritmik Matemati?in bir?ok dal?nda (say? teorisi, olas?l?k teorisi vb.) problemler ke?fedildi ve bunlar?n matemati?in ?ok yayg?n ve temel kavramlar?yla ili?kilendirilebilece?i ortaya ??kt?. Algoritmik ara?t?rma Matemati?in bir veya ba?ka bir alan?ndaki problemlere, kural olarak, fikirlerin ve matematiksel y?ntemlerin n?fuz etmesi e?lik eder. bu da art?k algoritmas? olmayan di?er problemlerin ??z?m?ne de yol a??yor. karakter.

Kesin bir algoritma kavram?n?n geli?tirilmesi, verimlilik kavram?n?n a??kl??a kavu?turulmas?n? ve bu a??klamaya dayanarak matematikte yap?c? kavramlar?n geli?tirilmesini m?mk?n k?lm??t?r (bkz. Yap?c? matematik), Sezgisel y?n?n belirli ?zelliklerini b?nyesinde bar?nd?ran, ancak ikincisinden ?nemli ?l??de farkl? olan. Yap?c? analizin, yap?c? topolojinin, yap?c? olas?l?k teorisinin vb. temelleri olu?turuldu.

Algoritma teorisinin kendisinde, ?zyinelemeli ve yinelemeli olarak numaraland?r?labilir k?melerin ?e?itli s?n?fland?rmalar?n?, yinelemeli numaraland?r?labilir k?melerin karar verilemezlik derecesini, algoritma yazman?n karma??kl??? ve algoritmik algoritmalar?n karma??kl??? ?zerine ?al??malar? i?eren ?zyinelemeli aritmetik alan?ndaki ara?t?rmalar vurgulanabilir. . hesaplamalar (zamana ve b?lgeye g?re, bkz. Algoritma karma??kt?rvarl?k). Algoritma teorisinin kapsaml? bir ?ekilde geli?en dal? teoridir. numaralama.

Yukar?da belirtildi?i gibi aksiyomatik. Y?ntemin matemati?in bir?ok dal?n?n geli?iminde b?y?k etkisi oldu. Bu y?ntemin cebire n?fuz etmesi ?zellikle ?nemliydi. Yani, M. l. ve cebirde genel bir teori ortaya ??kt? cebirsel sistemler, veya modeller teorisi. Bu y?n, A.I. Maltsev, A. Tarski ve ??rencilerinin ?al??malar?nda ortaya konmu?tur. Burada, model s?n?flar?n?n temel teorileri, ?zellikle bu teorilerin ??z?lebilirli?i, model s?n?flar?n?n aksiyomatize edilebilirli?i, modeller, kategoriklik sorunlar? ve model s?n?flar?n?n eksiksizli?i ?zerine ara?t?rmalar? not edebiliriz.

Model teorisinde ?nemli bir yer, standart olmayan aritmetik ve analiz modellerinin incelenmesiyle i?gal edilmi?tir. Diferansiyel hesab?n geli?iminin ?afa??nda bile, G. Leibniz ve I. Newton'un ?al??malar?nda sonsuz k???k ve sonsuz b?y?k miktarlar say? olarak kabul ediliyordu. Daha sonra de?i?ken kavram? ortaya ??kt? ve matematik?iler, s?f?rdan farkl? ve herhangi bir pozitif ger?ek say?dan k???k olan sonsuz k???k say?lar?n kullan?m?n? b?rakt?lar; ??nk? bunlar?n kullan?m? Ar?imet aksiyomunun terk edilmesini gerektirecekti. Ve sadece ?? y?zy?l sonra, M. l. Sonsuz k???k ve sonsuz b?y?k say?larla (standart olmayan) analizin, ger?ek say?lar?n ola?an (standart) analiziyle tutarl? oldu?unu tespit etmek m?mk?nd?.

Aksiyomati?in etkisi olmadan olmaz. y?ntem ve sezgisel matematik. B?ylece, 1930'da A. Heyting resmi sistemleri dikkate ald?. sezgisel mant?k ifadeler ve y?klemler (ifadelerin ve y?klemlerin yap?c? hesab?). Daha sonra, sezgisel analizin resmi sistemleri tan?t?ld? (?rne?in bkz.). Sezgisel mant?k ve matematik alan?ndaki ara?t?rmalar?n ?o?u bi?imsel sistemlerle ilgilidir. S?zde olanlar da ?zel bir ?al??maya tabi tutuldu. ara mant?klar(veya s?per-sezgisel), yani klasik ve sezgisel mant?k aras?nda yer alan mant?k. Kleene'e g?re form?llerin ger?ekle?tirilebilirli?i kavram?, sezgisel hakikat kavram?n? klasik bak?? a??s?yla yorumlama giri?imlerinden birini temsil eder. matematik. Ancak, her ger?ekle?tirilebilir ?nerme hesab?n?n, sezgisel (yap?c?) ?nerme hesab?ndan ??karsanamayaca?? ortaya ??kt?.

Ayr?ca resmile?tirmeye tabi tutuldu modal mant?k. Bununla birlikte, modal mant???n bi?imsel sistemleri ve bunlar?n anlambilimi ?zerine ?ok say?da ?al??man?n varl???na ra?men ( Kripke modelleri), burada hala da??n?k haldeki ger?eklerin birikme s?reci oldu?unu s?yleyebiliriz.

M.l. b?y?k pratik ?neme sahiptir; Her y?l M.L.'nin fikir ve y?ntemlerinin derinlemesine n?fuzu art?yor. sibernetikte, hesaplamal? matematikte, yap?sal dilbilimde.

Yakt?.: Hilbert D., Bernais P., Matemati?in Temelleri. Mant?ksal hesap ve aritmeti?in formalle?tirilmesi, ?ev. German, M., 1979'dan; K l i n i S.K., Metamatemati?e giri?, ?ev. ?ngilizce'den, M., 1957; Mendelssohn E., Matematiksel Mant??a Giri?, ?ev. ?ngilizce, 2. bask?, M., 1976; Novikov P.S., Matematiksel mant???n unsurlar?, 2. bask?, M., 1973; Yu.L., Palyutin E.A., Mathematical Logic, M., 1979'da Er sh; Shenf ild D.R., Matematiksel Mant?k, ?ev. ?ngilizce'den, M., 1975; N yakla??k olarak ve yakla??k olarak P.S.'de, Klasik a??dan yap?c? matematiksel mant?k, M., 1977; Klin ve S.K., Vesl ve R., ?zyinelemeli fonksiyonlar teorisi a??s?ndan sezgisel matemati?in temelleri, ?ev. ?ngilizce'den, M., 1978; Hilbert D., Geometrinin Temelleri, ?ev. German, M., 1948'den; Frenkel A.-A., Bar-Hillel I., K?me teorisinin temelleri, ?ev. ?ngilizce'den, M., 1966; 19. y?zy?l?n matemati?i. Matematiksel mant?k. Cebir. Say? teorisi. Olas?l?k Teorisi, M., 1978; Mostowski A., Otuz y?ll?k temel ?al??malar, Hels., 1965.

Ayr?ca bkz. yakt?. M. l.'nin ayr? b?l?mleri hakk?ndaki makaleler i?in.

S?. Adyan.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.

I. M. Vinogradov.:

1977-1985.

E? anlaml?lar Di?er s?zl?klerde “MATEMAT?K MANTIK”?n ne oldu?una bak?n:

Modern mant???n ikinci s?rada gelen isimlerinden biri. zemin. 19 ba?lang?? 20. y?zy?l geleneksel mant???n yerini alacak. Sembolik mant?k terimi ayn? zamanda mant?k biliminin geli?imindeki modern a?amay? ifade eden bir ba?ka isim olarak da kullan?lmaktad?r. Tan?m… … Felsefi Ansiklopedi matematiksel mant?k

- SEMBOL?K MANTIK, matematiksel mant?k, teorik mant?k, kat? bir sembolik dile dayanan mant?ksal hesaplama yoluyla mant?ksal sonu?lar?n incelendi?i mant?k alan?d?r. "L" terimi ?le." g?r?n??e g?re ilk kez oldu...- Buna sembolik mant?k da denir. M.l. bu ayn? Aristoteles?i k?yas mant???d?r, ancak burada yaln?zca hantal s?zel sonu?lar?n yerini matematiksel sembolizm al?r. Bu, ?ncelikle k?sal???, ikinci olarak da netli?i sa?lar... ... K?lt?rel ?al??malar Ansiklopedisi

- SEMBOL?K MANTIK, matematiksel mant?k, teorik mant?k, kat? bir sembolik dile dayanan mant?ksal hesaplama yoluyla mant?ksal sonu?lar?n incelendi?i mant?k alan?d?r. "L" terimi ?le." g?r?n??e g?re ilk kez oldu...- ak?l y?r?tme y?ntemlerini (sonu?lar) incelemek i?in matematiksel y?ntemler dahil t?mdengelimli mant?k; t?mdengelimli ak?l y?r?tmenin matematiksel teorisi. Matematiksel mant?k ayn? zamanda matematikte kullan?lan mant?k olarak da adland?r?l?r... B?y?k Ansiklopedik S?zl?k

- SEMBOL?K MANTIK, matematiksel mant?k, teorik mant?k, kat? bir sembolik dile dayanan mant?ksal hesaplama yoluyla mant?ksal sonu?lar?n incelendi?i mant?k alan?d?r. "L" terimi ?le." g?r?n??e g?re ilk kez oldu...- (sembolik mant?k), mant???n analitik b?l?m?, klasik mant?k problemlerine matematiksel y?ntemlerin uygulanmas?n?n sonucu. Do?ru ya da yanl?? olabilecek kavramlar?, kavramlar aras?ndaki ili?kiyi ve bunlar?n manip?lasyonunu dikkate al?r. Bilimsel ve teknik ansiklopedik s?zl?k

- SEMBOL?K MANTIK, matematiksel mant?k, teorik mant?k, kat? bir sembolik dile dayanan mant?ksal hesaplama yoluyla mant?ksal sonu?lar?n incelendi?i mant?k alan?d?r. "L" terimi ?le." g?r?n??e g?re ilk kez oldu...- modern mant?k ve matemati?in ?nde gelen b?l?mlerinden biri. 19-20 Sanatta kuruldu. t?m ba?lang?? varsay?mlar?n?n matematiksel olanlara benzer bir i?aret dilinde yaz?lmas? ve b?ylece ak?l y?r?tmenin hesaplamalarla de?i?tirilmesi fikrinin uygulanmas? olarak... ... En son felsefi s?zl?k

- SEMBOL?K MANTIK, matematiksel mant?k, teorik mant?k, kat? bir sembolik dile dayanan mant?ksal hesaplama yoluyla mant?ksal sonu?lar?n incelendi?i mant?k alan?d?r. "L" terimi ?le." g?r?n??e g?re ilk kez oldu...- teorik mant?k, sembolik mant?k, matematik ?al??malar?na adanm?? bir matematik dal?. Matemati?in temellerine ili?kin kan?tlar ve sorular. Tarihsel eskiz. T?m matematik ve formalizasyon i?in evrensel bir dil olu?turma fikri... ... Matematik Ansiklopedisi

Kitaplar

Matematiksel mant?k, Ershov Yuri Leonidovich, Palyutin Evgeniy Andreevich. Kitap matematiksel mant???n temel klasik hesab?n?n ana hatlar?n? ?iziyor: ?nermeli hesap ve y?klem hesab?; k?me teorisi ve teorisinin temel kavramlar?n?n k?sa bir ?zeti bulunmaktad?r... 1447 UAH kar??l???nda sat?n al?n (yaln?zca Ukrayna)
Matematiksel mant?k, Ershov Yu.L.. Kitap matematiksel mant???n temel klasik hesab?n?n ana hatlar?n? ?iziyor: ?nermeli hesap ve y?klem hesab?; k?me teorisi ve teorisinin temel kavramlar?n?n k?sa bir ?zeti var...

Sadece matemati?in ayr? bir dal? de?il, ayn? zamanda t?m kulenin incelenmesinde b?y?k ?nem ta??yan matematiksel mant???n temellerine ayr?lacakt?r. (ve sadece kuleler de?il). “Var ve tektir”, “bundan ?u ??kar”, “gerekli ko?ul”, “yeterlilik”, “o zaman ve ancak o zaman” tan?d?k ifadeler de?il mi? Ve bunlar sadece g?z ard? edilebilecek "standart" kli?eler de?il; bunlar, kesin anlam Bu makalede tan??aca??m?z ?ey. Ek olarak, materyal yeni ba?layanlar i?in do?rudan matematiksel mant??? incelemek i?in faydal? olacakt?r - temelini ele alaca??m: bunlarla ilgili ifadeler ve eylemler, form?ller, temel yasalar + baz? pratik problemler. Ve elbette, matematiksel mant?kla bizim "s?radan" mant???m?z aras?ndaki ?ok ?nemli ve baz? yerlerde ?ok komik bir fark? ??reneceksiniz. Temeli atmaya ba?layal?m:

?fadeler ve ifade formlar?

?fade- bu s?ylenebilecek bir teklif do?ru o veya YANLI?. ?fadeler genellikle k???k Latin harfleriyle g?sterilir ve do?ruluk/yanl??l?klar? s?ras?yla bir ve s?f?r ile g?sterilir:

– bu giri? (kar??t?r?lmamas? gereken mod?l!) bize bu a??klamay? s?yl?yor do?ru;
– ve bu giri?, ifadenin ?u ger?e?iyle ilgilidir: YANLI?.

?rne?in:

– kaplumba?alar u?maz;
– Ay karedir;
- iki kere iki ikidir;
-be? ??ten fazlad?r.

?uras? ?ok a??k ki, ifadeler ve do?ru: ,
ve beyanlar ve - YANLI?:

Elbette t?m c?mleler ifade de?ildir. Bunlar ?zellikle soru ve te?vik c?mlelerini i?erir:

bana nas?l ula?aca??m? s?yler misin k?t?phane?
Hadi hamama gidelim!

A??k?as? burada ger?ek ya da yalan s?z konusu de?il. T?pk? belirsizlik veya eksik bilgi durumunda bunlar hakk?nda konu?ulmad??? gibi:

Yar?n Petya s?nava girecek– her ?eyi ??renmi? olsa bile ge?ece?i bir ger?ek de?il; ve tam tersi - e?er hi?bir ?ey bilmiyorsa, "topa" pas verebilir.

...tamam Petya, endi?elenme, ge?eceksin =)

- ve burada "en" in neye e?it oldu?unu bilmiyoruz, dolay?s?yla bu da bir ifade de?il.

Bununla birlikte, son c?mle bir ifadeye veya daha do?rusu ?una geni?letilebilir: ifade bi?imi, "en" hakk?nda ek bilgi sa?lar. Kural olarak, ifade formlar? s?zde yaz?l?r. niceleyiciler. Bunlardan iki tane var:

– genel niceleyici (ters harfA – ?ngilizceden.T?m)“herkes i?in”, “herkes i?in” ?eklinde anla??l?r ve okunur;

– varolu? niceleyicisi (geni?letilmi? harfE – ?ngilizceden.Var olmak)“var” ?eklinde anla??l?r ve okunur.

– herkes i?in do?al say? e?itsizlik tatmin edilir. Bu ifade bi?imi YANLI?, ??nk? a??k?a do?al say?lara kar??l?k gelmiyor.

- ama bu ifade edici bir bi?imdir do?ru, Nas?l do?ru ve ?rne?in ?u ifade:
...peki ger?ekten –10'dan k???k bir do?al say? var m??

Bu niceleyicinin dikkatsizce kullan?lmas?na kar?? sizi uyar?yorum ??nk? "herkes i?in" asl?nda "herkes i?in de?il" anlam?na gelebilir.

Dikkat! G?sterimde bir ?ey anlamad?ysan?z, l?tfen derse geri d?n?n. setleri.

- var do?al say?, ikiden b?y?kt?r. Do?ru...ve en ?nemlisi tart??amazs?n?z =)

– Yalan

?o?u zaman nicelik belirte?leri “birlikte ?al???r”:

– herkes i?in vekt?r z?t bir vekt?r var. B?y?k harf do?ru veya daha do?rusu bir aksiyom (ifade kan?t olmadan kabul edildi) vekt?r uzay?.

Varl?k niceleyicisinin ?unu ima etti?ini unutmay?n: ger?e?in kendisi Belirli ?zellikleri kar??layan bir nesnenin (en az bir) varl???. D?nyada yaln?zca bir tane beyaz karga olabilir ama onlar h?l? varlar. ?stelik matematikte (hem okul hem de y?ksek okul) pek ?ok teorem kan?tlanm??t?r. varolu? ve sadece benzersizlik herhangi bir ?ey. B?yle bir teoremin kan?t? iki b?l?mden olu?ur:

1) Belirli kriterleri kar??layan bir nesnenin varl???. Bu k?s?m onun varl???n?n ger?ekli?ini kan?tl?yor.

2) Bu nesnenin benzersizli?i. Bu nokta genellikle kan?tlanm??t?r ?eli?kili olarak yani tamamen ayn? ?zelliklere sahip 2. bir cismin oldu?u varsay?l?yor ve bu varsay?m ??r?t?l?yor.

Ancak okul ?ocuklar? bu t?r terminolojiden korkmamaya ?al???rlar ve teorem genellikle ?rt?l? bir bi?imde sunulur, ?rne?in:

Herhangi bir ??gene bir daire ve ayr?ca yaln?zca bir tane yazabilirsiniz.

Bu arada, teorem nedir ki? Bu korkun? kelimenin mant?ksal ?z?n? ?ok yak?nda ??renece?iz...

Mant?ksal i?lemler (ifadelerdeki eylemler)

Say?larla aritmetik i?lemler (toplama, ?arpma vb.) ger?ekle?tirebildi?iniz gibi, kendi i?lemleriniz de ifadelere uygulanabilir. ?? temel mant?ksal i?lem vard?r:

olumsuzluk ifadeler;

ba?la? veya ifadelerin mant?ksal ?arp?m?;

ayr?l?k veya ifadelerin mant?ksal eklenmesi.

S?rayla:

1) ?fadenin reddi

OLUMSUZ ve sembol

?nkar beyana beyan denir (“bir de?il” diye okuyun), Hangi YANLI?, e?er do?ruysa ve do?ru– e?er yanl??sa:

Yani, ?rne?in, ifade - kaplumba?alar u?maz do?ru: ,
ve onun olumsuzlanmas? - kaplumba?alar iyi tekmelersen u?arlar- YANLI?: ;

ifade - iki kere iki e?ittir iki YANLI?: ,
ve onun inkar? – iki art? ikinin ikiye e?it oldu?u do?ru de?il– do?ru: .

Bu arada kaplumba?a ?rne?ine g?lmeye gerek yok ;) sadistler

Bu i?lem i?in iyi bir fiziksel model s?radan bir ampul ve anahtard?r:

???k yan?yor - mant?ksal bir veya do?ru,
???k kapal? - mant?ksal s?f?r veya yanl??.

2) Ba?la? (ifadelerin mant?ksal ?arp?m?)

Bu i?lem mant?ksal ba?lant?ya kar??l?k gelir VE ve sembol ya

Ba?la? (“a ve ol”u okuyun), bu ancak ve ancak do?ruysa do?rudur ikisi birden ifadeler ve:

Bu i?lem ayn? zamanda her zaman ger?ekle?ir. ?lk masadan kahraman?m?za d?nelim: Diyelim ki Petya, ders ?al??mas?n? ge?erse y?ksek matematik s?nav?na kabul ediliyor Ve konu hakk?nda rapor verin. A?a??daki ifadeleri g?z ?n?nde bulundurun:
– Petya dersini ge?ti;
– Petya testi ge?ti.

Form?lasyonun aksine, ?unu unutmay?n. “Petya yar?n ge?ecek” Burada istedi?iniz zaman bunun do?ru mu yanl?? m? oldu?unu s?yleyebilirsiniz.

?fade (?z – Petya s?nava kabul edilir) ancak ve ancak dersi ge?erse do?ru olacakt?r Ve i?in kredi. En az?ndan bir ?ey teslim edilmezse (tablonun alttaki ?? sat?r?na bak?n) ise ba?la? yanl??t?r.

Ve tam zaman?nda akl?ma m?kemmel bir matematik ?rne?i geldi: Sistemin i?areti, i?erdi?i denklemleri/e?itsizlikleri tam olarak kurala g?re birbirine ba?l?yor VE. ?rne?in, iki do?rusal denklemin yaz?lmas? sistem B?YLE k?kler bulmam?z gerekti?ini ima ediyor (varsa) her ikisini de tatmin eden ilk Ve ikinci denklem.

S?z konusu mant?ksal i?lem daha fazla say?da ifadeyi kapsamaktad?r. G?receli olarak konu?ursak, bir sistemde 5 denklem varsa k?kleri ( e?er varsa) 1'inciyi kar??lamal? Ve 2. Ve 3. Ve 4. Ve Bu sistemin 5. denklemi.

Ve bu noktay? sonu?land?rmak i?in, yine evde yeti?tirilen elektrik m?hendisli?ine d?nelim: ba?la? kural?, odadaki anahtar? ve giri?teki elektrik panelindeki anahtar? (seri ba?lant?) iyi bir ?ekilde modeller. A??klamalara bakal?m:

– odadaki anahtar a??k;

– giri?teki anahtar a??k.

Muhtemelen herkes ba?lac?n en do?al ?ekilde okunabilece?ini zaten anlam??t?r:
– odadaki anahtar a??k Ve Giri?teki anahtar a??k.

A??k?as?, e?er ve sadece e?er . Di?er ?? durumda (hangilerini analiz edin) devre a??lacak ve ???k s?necektir: .

Bir a??klama daha ekleyelim:
– trafo merkezindeki anahtar a??k.

Benzer ?ekilde: ba?la? ancak ve ancak ?u durumda do?ru olacakt?r: . Bu arada burada zaten zinciri k?rmak i?in 7 farkl? se?enek olacak.

3) Ayr??ma (ifadelerin mant?ksal eklenmesi)

Bu i?lem mant?ksal ba?lant?ya kar??l?k gelir VEYA ve sembol

Ayr?l?k ifadeleri ve ifadeyi ?a??r?n (“a veya bae” okuyun), bu ancak ve ancak her iki ifadenin de yanl?? olmas? durumunda yanl??t?r:

Y?ksek matematikte bir s?nav ka??d?nda 2 soru oldu?unu ve ??rencinin cevap vermesi durumunda s?nav? ge?ti?ini varsayal?m. en az?ndan biri i?in soru. A?a??daki ifadeleri g?z ?n?nde bulundurun:
– Petya 1. soruyu yan?tlad?;
– Petya 2. soruyu yan?tlad?.

Ayr?k giri? basit ve net bir ?ekilde okur: Petya 1. yan?tlad? veya 2. soru ve ?? ger?ek sonucu ima eder (tabloya bak?n). Ayn? zamanda, Peter tek durumda s?nav? ge?emeyecek - e?er her iki soruyu da yanl?? yaparsa:

"Veya" ba?lac?n? ?o?unlukla "?zel veya" olarak anlad???m?z? ve dahas?, ?o?u zaman bu ?ekilde anla??lmas? gerekti?ini de belirtmek gerekir! S?nav? ge?meyle ilgili ayn? ifadeden, ki?i b?y?k olas?l?kla Petya'n?n yaln?zca 1. veya yaln?zca 2. soruyu yan?tlad??? sonucuna varacakt?r. Ancak s?z konusu OR yayg?n bir “veya” de?ildir.

Mant?ksal toplama i?lemi ?? veya daha fazla ifade i?in de ge?erlidir. Baz? sad?k ??retmenler 10-15 soru sorar ve ??renci en az?ndan bir ?ey biliyorsa s?nav yapar =) Ba?ka bir deyi?le mant?ksal VEYA bir ba?lac? gizler "en az?ndan bir tanesi i?in"(ve bu kesinlikle onun KES?NL?KLE bir oldu?u anlam?na gelmez!).

Peki, ev elektri?ine biraz ara verelim: ?nternet sitelerinin b?y?k ?o?unlu?u, genellikle iki g?? kayna??yla desteklenen profesyonel sunucularda bulunmaktad?r. Elektrik m?hendisli?inde buna, OR kural?n? tam olarak modelleyen paralel ba?lant? denir; sunucu d?zg?n ?al???yorsa ?al???r en az bir g?? ?nitesi. Bu arada ekipman "s?cak" de?i?tirmeyi destekliyor, yani. Yanm?? bir g?? kayna??, sunucu kapat?lmadan de?i?tirilebilir. Sabit disklerle ayn? hikaye - s?zde kopyalan?yorlar RAID dizisi ve dahas?, sunucular?n bulundu?u Veri Merkezinin kendisi genellikle iki ba??ms?z g?? hatt? + her ihtimale kar?? bir dizel jenerat?r taraf?ndan ?al??t?r?l?r. Bu ?nlemler maksimum web sitesi ?al??ma s?resi sa?laman?za olanak tan?r.

Ve bilgisayarlardan bahsetti?imiz i?in, onlar... dikkate al?nan mant?ksal i?lemlere dayanmaktad?r! Bu inan?lmaz g?r?n?yor, ama bir d???nelim; bu "donan?m par?alar?" neyi "anlayabilir"? Ve a?a??dakileri anlayabilirler:

telde ak?m var - bu mant?ksal birim;
telin enerjisi kesilmi? - bu mant?ksal s?f?r.

?kinin kuvvetinin bilgi hacmini ?l?menin temeli olmas?n?n temel nedeni bu ger?ektir:
vesaire.

En basit "bilgisayar"... s?radan bir anahtard?r - bilgiyi 1 bitte saklar (yukar?daki anlamda do?ru veya yanl??). Modern bir bilgisayar?n merkezi i?lemcisi y?z milyonlarca (!) transist?rler ve en karma??k yaz?l?m, en "karma??k oyun", temel mant?ksal i?lemler kullan?larak i?lenen bir?ok s?f?r ve birlere ayr??t?r?l?r!

Ve dikkate alaca??m?z sonraki iki operasyon: ba??ms?z de?il yani olumsuzluk, ba?la? ve ayr?lma yoluyla ifade edilebilir:

Anlam ve mant?ksal sonu?.
Gerekli ko?ul. Yeterli ko?ul

Ac? verici derecede tan?d?k ifade d?n??leri: “Bundan dolay?”, “bundan ?u ??kar”, “e?er, o zaman” vb.

Dolayl? olarak ifadeler (paket) Ve (sonu?lar) tek durumda - do?ru oldu?unda - yanl?? olan bir ifadeye yanl?? diyorlar:

Operasyonun temel anlam? ?udur. (tabloyu yukar?dan a?a??ya okuyun ve inceleyin):

hakikatten yaln?zca hakikat ??kabilir ve bir yalan? takip edemem;

Bir yalandan her ?ey ??kabilir (alttaki iki sat?r), s?ras?nda:

?nermenin ger?e?i ?udur yeterli ko?ul sonucun do?rulu?u i?in,

ve sonucun ger?e?i gerekli bir durum?nermenin do?rulu?u i?in.

Belirli bir ?rne?e bakal?m:

?fadelerden bir anlam ??karal?m - ya?mur ya??yor Ve - d??ar?s? nemli:

Her iki ifade de do?ruysa, ??kar?m da do?rudur. – d??ar?da ya?mur ya??yorsa d??ar?s? nemlidir. Ayn? zamanda bu olamaz ya?mur ya??yordu, A d??ar?s? kuruydu :

E?er ya?mur yok, O d??ar?s? kuru olabilir :

?ok nemli :
(?rne?in, kar eridi?i i?in).

?imdi bu “damgal?” kelimeleri D???NEL?M gereklilik Ve yeterlilik:

Ya?mur yeterli d??ar?s?n?n nemli olmas?, bir yandan da d??ar?s?n?n rutubetli olmas? ?art? gerekli ya?mur ya?d???n? ?nermek (??nk? e?er hava kuruysa, o zaman kesinlikle ya?mur ya?mam??t?r).

Tersi ima yasa d???d?r: – sokakta h?l? nem var yeterli de?il ya?mur ger?e?ini hakl? ??karmak ve ayr?ca ya?mur, rutubetin GEREKL? bir nedeni de?ildir (??nk? ?rne?in dolu gelip eriyebilir).

G?r?n??e g?re a??k olmal?, ancak her ihtimale kar?? birka? ?rnek daha:

– Nas?l performans sergileyece?ini ??renmek matrislerle i?lemler, gerekli say?lar? toplay?p ?arpabilme. Ancak bu, sizin de do?ru bir ?ekilde tahmin etti?iniz gibi, yeterli de?il.

– Aritmetik i?lemlerin nas?l ger?ekle?tirilece?ini ??renmek yeterli 9. s?n?f? bitirmek. Ama bu de?il durum gerekli“B?y?kannen bile anaokulunda bile sana say? saymay? ??retebilir.”

– Bir ??genin alan?n? bulmak i?in yeterli kenar?n? ve bu tarafa ?izilen y?ksekli?i bilin. Ancak yine s?yl?yorum bu de?il gereklilik bir ??genin alan? ?? kenar (Heron form?l?) kullan?larak veya ?rne?in kullan?larak da bulunabilir. vekt?r ?arp?m?.

– Y?ksek matematik Pete s?nav?na kabul i?in gerekli ders ?al??ma raporu. Ama bu yeterli de?il- ??nk? h?l? testi ge?men gerekiyor.

– T?m grubun kredi alabilmesi i?in yeterli??retmene bir kutu konyak getir. Ve burada, varsay?lmas? kolay oldu?u gibi, buna gerek yok gereklilik bir ?eyler ??renin =) Ama unutmay?n, haz?rl?k hi? de yasak de?il;)

Gerekli ve ayn? zamanda yeterli ko?ullar var m?? Kesinlikle! Ve ?ok yak?nda onlara ula?aca??z. Ve ?imdi matemati?in ?nemli bir prensibi hakk?nda:

Matematiksel mant?k bi?imseldir

?fadelerin do?rulu?u veya yanl??l???yla ilgileniyor ancak i?erikleriyle ilgilenmiyor! Yani, e?er bunu ima edersek Kaplumba?alar u?muyorsa iki art? iki d?rt eder., o zaman ger?ek olacak! Ba?ka bir deyi?le, herhangi bir do?ru ifade herhangi bir ger?ekle gerek?elendirilebilir. (tablonun 1. sat?r?) ve bi?imsel mant?k a??s?ndan bu do?ru olacak!

Ancak yanl?? bir ?nermeyle ilgili durum daha da ilgin?tir: herhangi bir yalan, her ?eyi hakl? ??karabilir - hem ger?e?i hem de yalan?:

– Ay kare ise;
– penguenler ke?e ?izme giyiyorsa kaplumba?alar da terlik giyer.

Peki ne? – tabloya g?re her iki ifade de do?rudur!

Bu ger?eklere denir ima paradoksu, ancak ger?ekte elbette i?erik mant???m?z a??s?ndan anlaml? olan ?rnekleri de?erlendiriyoruz.

Ve ?ok ?nemli bir nokta daha: bir ima genellikle bir simgeyle g?sterilir (ayr?ca okuyun “bundan dolay?”, “bundan ?u sonu? ??k?yor”), problem ??zerken, teoremleri ispatlarken vb. de kullan?r?z. Ve burada notasyonlar?n ?ak??mas?ndan bahsediyoruz– “s?radan” matematiksel hesaplamalarda kulland???m?z ?ey, kesin konu?mak gerekirse, bir ima de?ildir. Fark nedir? Bir problemi ??z?p bunu yazd???m?zda (“sonraki bir ifadeden”), o zaman ifadeyi varsayar?z do?ru oldu?u biliniyor?stelik bundan ba?ka bir ger?e?i daha ??kar?yoruz. Matematiksel mant?kta buna denir mant?ksal sonu?. Genellikle sonu? gerek?elendirmeye tabidir ve bu nedenle ?al??may? haz?rlarken her zaman hangi aksiyomlar?n, teoremlerin, ??z?lm?? sorunlar?n vb. ?u veya bu ??kt? i?in kulland?n?z.

Teorem ?z?nde ayn? zamanda mant?ksal bir sonu?tur: ko?ulu ?una dayanmaktad?r: do?ru parseller (aksiyomlar, ?nceden kan?tlanm?? teoremler, vb.). Kan?t, sonucun do?rulu?unu ortaya koyar ve bu s?re?te yanl?? ak?l y?r?tme kullan?lamaz.

Kan?tlanmam?? teoreme denir hipotez ve iki se?enek vard?r: ya ger?e?i ger?ekten ??kar?r ve bir teoremi temsil eder, ya da hipotez yanl??t?r, yani. bir?ok ger?ek ?nermeden ard?ndan "olma": . Reddedilme durumunda "gibi ?nemsiz bir sonu?" Ivan Petrov'un hipotezi yanl??", ancak bazen bu da ?ok pahal?ya mal olur - G?reyim seni, sevgili okuyucular!

?rnek olarak elbette bir megateoremi de?il, basit de olsa gerek?e gerektiren bir ifadeyi ele alal?m. Ger?i o da orada olmayacak =) =):

-say? 4'e b?l?nebilir;
- say? 2'ye b?l?nebilir.

Bunun sonucu bellidir do?ru yani bir say?n?n 4'e b?l?nebilmesinden 2'ye de b?l?nebildi?i sonucu ??kar. Ve buna g?re bunun tersi sonu? yaland?r:

Ayn? zamanda, ?nc?l?n ba?lang??ta ger?ek olarak varsay?ld??? ger?e?ine bir kez daha dikkatinizi ?ekmek isterim. (yanl?? olabilece?i iman?n aksine).

Mant?ksal sonu?lar i?in kavramlar da kullan?l?yor gereklilik Ve yeterlilik, yukar?dan birka? sat?r? kopyalayaca??m:

?nermenin ger?e?i ?udur yeterli ko?ul sonucun do?rulu?u i?in,

sonucun ger?e?i ?udur gerekli ko?ul?nermenin do?rulu?u i?in.

Bizim durumumuzda:

Bir say?n?n 4'e b?l?nebilme ?zelli?i yeterli 2'ye b?l?nebilmesi i?in ?art. ?te yandan bir say?n?n 2'ye b?l?nebilmesi gerekli 4'e b?l?nebilme durumu

Ele al?nan ?rne?in bir ima ?eklinde de yaz?labilece?i belirtilmelidir:
(tabloyu kullanarak t?m d?zenleri kendiniz analiz edin)

Fakat genel olarak “kavram aktar?m?” yanl??t?r! Yani e?er ger?ekten bahsediyorsak bu, iman?n do?ru olaca?? anlam?na gelmez. Ve son paragrafta b?yle bir ?rnek verece?im. ve 3 s?nav? ge?meniz gerekiyor (aksi takdirde oturum ge?ilmeyecektir) ve ayn? zamanda bu yeterli (ba?ka bir ?ey yapman?za gerek olmad???ndan).

Denkli?in ?zelli?i ?udur: ikisi birden, veya Hi? bir ?ey, ?rne?in:

Petya ancak ve ancak Masha masan?n ?zerinde dans ederse halteri kald?r?yor

Bu, ya Petya'n?n a??rl?k kald?rd??? ve Masha'n?n masada dans etti?i ya da ikisinin de kanepede yatt??? anlam?na gelir Peter, bunu hak ettin! =) Petya ve Ma?a ?ok arkada? canl?s?lar. ?imdi "o zaman ve ancak o zaman" olmadan benzer bir ifade var gibi g?r?n?yor:

Masha masan?n ?zerinde dans ederken Petya a??rl?k kald?r?yor

Ancak anlam biraz de?i?ti: Burada Petya'n?n bazen Masha olmadan halteri kald?rd???n? varsayabiliriz, di?er yandan Masha, Petya'n?n dans s?ras?nda sallan?p sallanmad???n? "umursam?yor".

Bu gerekli ve yeterli ko?ulun g?c?d?r! – birle?tirir ve disipline eder =)

...E?lenmek i?in rolleri di?er tarafa da??tmak istedim ama sonra fikrimi de?i?tirdim... yine de b?yle bir ?eyin tan?t?m?n? yapamazs?n?z =)

Disiplinden bahsetmi?ken, rasyonel bir yakla??m, bir ki?inin bir hedefe ula?mak i?in tam olarak gerekti?i kadar?n? yapmas? ve daha fazlas?n? yapmamas? durumunda gereklili?i ve yeterlili?i varsayar. Bu elbette g?nl?k ya?amda s?k?c? olabilir, ancak zaten yoruldu?umuz matematiksel ak?l y?r?tmede olduk?a ho? kar??lan?r:

Bir ??gen ancak ve ancak a??lar? e?itse e?kenard?r

?fadeler – e?kenar ??gen Ve -e?it a??lara sahiptir e?de?eriyle ili?kilendirilebilir, ancak pratikte bunlar? neredeyse her zaman iki ucu keskin bir sembolle ili?kilendiririz. mant?ksal sonuca hipoten?s denir

Bu nokta asl?nda form?lasyonu okuldan a?ina oldu?umuz Pisagor teoremidir: "??gen dik a??l?ysa o zaman."

2) ?kinci ad?mda gerek?elendirilir yeterlilik:
– burada e?itli?in ge?erlili?inin kan?tlanmas? gerekir yeterli b?ylece ??gen dikd?rtgen olur.

??renciler yine bu t?r s?zlerden korkmazlar ve ikinci nokta ters Pisagor teoremi ?eklinde form?le edilir: "E?er , o zaman ??gen dik a??l?d?r."

Matematikte pek ?ok "e?er ve ancak o zaman" ba?lant?s? vard?r ve bunlar? kan?tlamak i?in az ?nce standart bir ?ema verdim. Ve elbette her zaman ne anlama geldiklerini analiz edin "gerekli"

Ana konular? tan?yaca??m?z heyecanl? dersimizin ikinci b?l?m?nde sizleri bekliyorum. mant?ksal form?ller ve yasalar ve ayn? zamanda pratik sorunlar? da ??zeriz. Sorunlar? ??zmek i?in bu sayfadaki be? tablete ihtiyac?n?z olacak, bu y?zden bunlar? hemen bir ka??t par?as?na kopyalaman?z? ve b?ylece g?z?n?z?n ?n?nde olmas?n? ?neririm.

Ayr?ca size matematiksel mant??? ba?ar?yla ?al??man?n s?rr?n? da anlataca??m;)

girii?

?al??ma sorular?:

Matematiksel mant???n kavramlar? ve tan?mlar?.

?nermesel cebirin temel i?lemleri.

Boole cebirinin yasalar? ve sonu?lar?.

??z?m

girii?

Bir bilgisayar olu?turman?n teorik temeli ?zel matematik disiplinleridir. Bunlardan biri mant?k cebiri veya Boole cebiridir (J. Boole, bu disiplinin kurucusu olan 19. y?zy?l ?ngiliz matematik?isidir). Aparat?, bilgisayar devrelerini, tasar?mlar?n? ve optimizasyonunu tan?mlamak i?in yayg?n olarak kullan?lmaktad?r.

1. Matematiksel mant???n kavramlar? ve tan?mlar?.

Mant?k- d???nmenin yasalar?n? ve bi?imlerini inceleyen bilim; ak?l y?r?tme ve kan?t y?ntemleri doktrini.

Matematiksel mant?k (teorik mant?k, sembolik mant?k), matemati?in temellerine ili?kin kan?tlar? ve sorular? inceleyen bir matematik dal?d?r. “Modern matematiksel mant???n konusu ?e?itlidir.” P. S. Poretsky'nin tan?m?na g?re “matematiksel mant?k konuya g?re mant?k, y?nteme g?re matematiktir.” N.I. Kondakov'un tan?m?na g?re, "matematiksel mant?k, matematiksel y?ntemlerin ve ?zel bir sembol aparat?n?n kullan?lmas? ve hesaplama (formelle?tirilmi? diller) kullan?larak d???nmenin ke?fedilmesiyle bi?imsel mant???n geli?tirilmesinde geleneksel mant?ktan sonra ikinci a?amad?r." Bu tan?m, S. K. Kleene'nin tan?m?na kar??l?k gelir: matematiksel mant?k, "matematiksel y?ntemler kullan?larak geli?tirilen mant?kt?r." Ayr?ca A. A. Markov, modern mant??? “matematiksel y?ntemleri kullanan kesin bir bilim” olarak tan?ml?yor. B?t?n bu tan?mlar birbiriyle ?eli?mez, aksine birbirini tamamlar.

Matematiksel y?ntemlerin mant?kta kullan?lmas?, yarg?lar?n kesin bir dille form?le edilmesiyle m?mk?n olur. Bu t?r kesin dillerin iki taraf? vard?r: s?zdizimi ve anlambilim. S?zdizimi, dil nesnelerini (genellikle form?l olarak adland?r?l?r) olu?turmaya y?nelik bir dizi kurald?r. Anlambilim, form?llere (veya baz?lar?na) ili?kin anlay???m?z? tan?mlayan ve baz? form?llerin do?ru, baz?lar?n?n ise yanl?? oldu?unu d???nmemize olanak tan?yan bir dizi kurald?r.

Matematiksel mant?k, altta yatan mant?ksal ba?lant?lar? ve ili?kileri inceler. mant?ksal (t?mdengelimli) ??kar?m matemati?in dilini kullanarak.

Soyut d???nme yoluyla d?nyan?n yasalar?n?, nesnelerin ?z?n? ve ortak noktalar?n? ??reniriz. Soyut d???nmenin ana bi?imleri kavramlar, yarg?lar ve ??kar?mlard?r.

Konsept- Bireysel bir nesnenin veya homojen nesneler s?n?f?n?n temel ?zelliklerini yans?tan bir d???nme bi?imi. Dilde kavramlar kelimelerle ifade edilir.

Konsept kapsam?- her biri kavram?n i?eri?ini olu?turan ?zelliklere sahip bir dizi nesne. Genel ve bireysel kavramlar vard?r.

A?a??daki kavram ili?kileri hacme g?re ay?rt edilir:

kimlik veya hacimlerin ?ak??mas?, yani bir kavram?n hacminin ba?ka bir kavram?n hacmine e?it olmas?;

itaat veya ciltlerin dahil edilmesi: kavramlardan birinin kapsam? tamamen di?erinin kapsam?na dahildir;

istisna ciltler - iki ciltte yer alacak tek bir ?zelli?in olmad??? bir durum;

kav?ak veya hacimlerin k?smi ?ak??mas?;

itaat hacimler - birbirini d??layan iki kavram?n hacimlerinin ???nc?n?n hacmine dahil edilmesi durumu.

Yarg?- bu, nesneler, ?zellikler veya bunlar?n ili?kileri hakk?nda bir ?eyin onayland??? veya reddedildi?i bir d???nme bi?imidir.

??kar?m- ?nc?ller ad? verilen bir veya daha fazla yarg?dan, belirli ??kar?m kurallar?na g?re bir yarg?-sonu? elde etti?imiz bir d???nme bi?imi.

Cebir Kelimenin geni? anlam?yla, sadece say?lar ?zerinde de?il di?er matematiksel nesneler ?zerinde de yap?labilen, toplama ve ?arpmaya benzer genel i?lemler bilimi.

Mant?k cebiri (?nerme cebiri, Boole cebiri 1 ) - ifadeler ?zerindeki mant?ksal i?lemlerin incelendi?i matematiksel mant???n bir b?l?m?. ?o?u zaman, ifadelerin yaln?zca do?ru veya yanl?? olabilece?i varsay?l?r (?rne?in ??l? mant???n aksine ikili veya ikili mant?k olarak adland?r?l?r).

Cebir ?rnekleri: do?al say?lar?n cebiri, rasyonel say?lar?n cebiri, polinomlar?n cebiri, vekt?rlerin cebiri, matrislerin cebiri, k?melerin cebiri vb. Mant?k cebirinin veya Boole cebirinin nesneleri ?nermelerdir.

?fade- ??eri?i do?ru veya yanl?? olarak belirlenebilen herhangi bir dilin herhangi bir c?mlesidir (ifadesi).

Herhangi bir beyan veya do?ru, veya YANLI?; ikisi ayn? anda olamaz.

Do?al dilde ifadeler bildirim c?mleleriyle ifade edilir. ?nlem ve soru c?mleleri ifade de?ildir.

?fadeler matematiksel, fiziksel, kimyasal ve di?er semboller kullan?larak ifade edilebilir. ?ki say?sal ifadeyi e?it veya e?itsizlik i?aretleriyle ba?layarak ifadeler olu?turabilirsiniz.

A??klama denir basit(temel) e?er hi?bir k?sm? kendisi bir ifade de?ilse.

Basit ifadelerden olu?an ifadeye denir kompozit(karma??k).

Mant?ksal cebirdeki basit ifadeler b?y?k Latin harfleriyle g?sterilir:

A= (Aristoteles - mant???n kurucusu),

???NDE= (Muz elma a?a?lar?nda yeti?ir).

Basit ifadelerin do?rulu?unun veya yanl??l???n?n gerek?elendirilmesine mant?k cebiri d???nda karar verilir. ?rne?in, "Bir ??genin a??lar?n?n toplam? 180 derecedir" ifadesinin do?rulu?u veya yanl??l??? geometri taraf?ndan belirlenir ve ?klid geometrisinde bu ifade do?rudur, Loba?evski geometrisinde ise yanl??t?r.

Do?ru bir ifadeye 1, yanl?? bir ifadeye - 0 atan?r. B?ylece, A = 1, ???NDE = 0.

Mant?k cebiri, ifadelerin anlamsal i?eri?inden soyutlanm??t?r. Yaln?zca tek bir ger?ekle ilgileniyor - belirli bir ifadenin do?ru mu yanl?? m? oldu?u, bu da bile?ik ifadelerin cebirsel y?ntemlerle do?rulu?unu veya yanl??l???n? belirlemeyi m?mk?n k?l?yor.

do?ru ak?l y?r?tme bilimi olarak bi?imsel mant???n modern matematiksel modeli. Rus mant?k?? Poretsky'nin yerinde ifadesine g?re matematiksel mant?k, konusu itibariyle mant?k, problemleri ??zme y?ntemi itibar?yla da matematiktir. Matematiksel mant???n sistematik geli?imi Bolzano, Frege, Russell ve Wittgenstein'?n ?al??malar?yla ba?lad?. Bu mant???n ?z?, ?o?u mant?ksal kategorinin (kavram, y?klem, yarg?, ??kar?m, sonu?, kan?t) kapsam? do?ruluk de?erleri olan mant?ksal i?levler olarak de?erlendirilmesidir. Mant?ksal fonksiyonlar nas?l yorumlan?r ve t?m mant?ksal operat?rler (“Hepsi”, “Var”, “Baz?lar?”, “Bir”, “Yok”, “ve”, “veya”, “e?er, o zaman”, “ayn?”, “muhtemelen” ", "gerekli" vb. vb.). T?m mant?ksal i?levler, bu i?levlerin "giri?inde" ve "??k???nda" girilen do?ruluk de?erlerinin t?m olas? kombinasyonlar? kullan?larak sonu?ta tablo halinde belirtilir. ?rne?in, "e?er, o zaman..." mant?ksal ili?kisi, maddi ??kar?m ad? verilen = i?levi kullan?larak modellenir.

M?kemmel tan?m

Eksik tan?m ?

MATEMAT?KSEL MANTIK

Matematik kullan?larak kesin bir bilime d?n??en mant?k. y?ntemler veya P. S. Poretsky'ye g?re konuya g?re mant?k, y?ntemlere g?re matematik. M.l.'yi in?a etme fikri. ?lk kez Leibniz taraf?ndan dile getirildi. Ancak yaln?zca 19. y?zy?lda. operasyonda. Boole'un "Mant???n matematiksel analizi" (G."Boole, "Mant???n matematiksel analizi", 1847) bu bilimin sistematik geli?imini ba?latt?. Matematiksel mant???n daha da geli?tirilmesi, b?y?k ?l??de mant?ksal problemler yaratan matemati?in ihtiya?lar? taraf?ndan te?vik edildi. Klasik bi?imsel mant???n eski ara?lar?n?n uygun olmad??? ??z?mler i?in bu sorunlardan biri de ?klid'in 5. ?nermesinin kan?tlanamazl??? sorunuydu. geometri. Bu problem, matemati?i sistemle?tirmenin en yayg?n yolu olan aksiyomatik y?ntemle ili?kilidir. Geli?tirilmekte olan teorinin temel h?k?mlerinin - t?m di?er i?eriklerinin yer ald??? aksiyomlar?n - kesin bir form?lasyonunu gerektirir. Mant?ksal olarak t?retilen matematiksel teorilere klasik prototip denir. matematiksel teori, geometrinin ?klid yap?s?d?r. Herhangi bir aksiyomatik teoriyle ba?lant?l? olarak, belirli bir teorinin aksiyomlar?ndan hi?birinin geri kalan?ndan tamamen mant?ksal olarak ??kar?lamayaca??n? tespit etmekten olu?an bir tak?m mant?ksal aksiyomlar ortaya ??kar. aksiyomlar. ?klid geometrisi i?in mant?ksal mant?k sorunu iki bin y?l boyunca a??k kald?. ?klid'in 5. post?las?n?n ba??ms?zl???. Bunu ?klid geometrisinin geri kalan aksiyomlar?ndan ??karmak i?in pek ?ok bo?una giri?imde bulunuldu, ta ki nihayet N. I. Lobachevsky'nin ?al??malar?nda b?yle bir sonucun imkans?z oldu?u inanc? ilk kez a??k?a ifade edilene kadar. Bu inan?, Loba?ev'in ?klid'den k?kten farkl? yeni bir geometri olu?turmas?yla peki?ti. Loba?evski'nin yarat?c?s? taraf?ndan ?zenle geli?tirilen geometrisinde hi?bir ?eli?ki yoktu; bu, yeni geometrinin aksiyomlar?ndan sonu?lar?n t?retilmesi ne kadar ileri d?zeyde olursa olsun, ?eli?kilerin hi?bir ?ekilde ortaya ??kamayaca??na dair g?ven uyand?rd?. Daha sonra matematik?i F. Klein, ?klid geometrisinde ortaya ??km?yorsa Loba?evski'nin geometrisinde ?eli?kilerin ortaya ??kamayaca??n? kan?tlad? (bkz. Aksiyomatik y?ntem). Aksiyomatikteki tarihsel olarak ilk "kan?tlanamazl?k" ve tutarl?l?k sorunlar? bu ?ekilde ortaya ??kt? ve k?smen ??z?ld?. teoriler. Bu t?r problemlerin kesin olarak form?le edilmesi ve matematik problemi olarak de?erlendirilmesi ispat kavram?n?n netle?tirilmesini gerektirmektedir. Matematiksel herhangi bir ?ey. kan?t belirli mant?ksal ilkelerin tutarl? bir ?ekilde uygulanmas?ndan olu?ur. orijinal konumlara anlam?na gelir. Ama mant?kl?. ara?lar mutlak, kesin olarak belirlenmi? bir ?eyi temsil etmez. Y?zy?llar s?ren insan prati?iyle geli?tirildiler; “...insan?n milyarlarca kez pratik faaliyeti, insan bilincini ?e?itli mant?ksal ?ekillerin tekrar?na y?nlendirmeliydi, b?ylece bu rakamlar aksiyomun anlam?n? kavrayabilirdi” (Lenin V.I., Works, cilt. 38, s. 181– 82). Ancak insan prati?i her tarihin i?indedir. A?amas? s?n?rl?d?r ancak hacmi her ge?en g?n artmaktad?r. Mant?ksal belirli bir a?amada veya belirli bir alanda tatmin edici bir ?ekilde yans?t?lm?? insan d???ncesinin bir sonraki ad?m i?in art?k uygun olmayabilece?i anlam?na gelir. sahnede veya di?er alanlarda. Daha sonra, ele al?nan konunun i?eri?indeki de?i?ikli?e ba?l? olarak, onu ele alma y?ntemi de de?i?ir - mant?ksal de?i?iklikler. ara?. Bu ?zellikle geni? kapsaml? ?ok dereceli soyutlamalar? olan matematik i?in ge?erlidir. Burada mant?ktan bahsetmenin bir anlam? yok. b?t?nl??? i?inde verilen bir ?ey, mutlak bir ?ey anlam?na gelir. Ancak mant?ksal olan? d???nmek mant?kl?d?r. matematikte bulunan ayn? veya ba?ka bir ?zel durumda kullan?lan anlam?na gelir. K.-l. aksiyomatik teorisi ve bu teori i?in ispat kavram?n?n istenilen a??klamas?n? te?kil etmektedir. Bu a??klaman?n matemati?in geli?imi a??s?ndan ?nemi ?zellikle son zamanlarda a??k?a ortaya ??km??t?r. K?me teorisini geli?tirirken, bilim adamlar? bir tak?m zor problemlerle, ?zellikle de G. Cantor (1883) taraf?ndan ortaya at?lan ve 1939'a kadar tatmin edici bulunamayan s?reklili?in g?c? problemi ile kar?? kar??ya kald?lar. yakla??mlar. Dr. Sovyetler taraf?ndan geli?tirilen tan?mlay?c? k?meler teorisinde de ??z?me inatla direnen sorunlarla kar??la??ld?. matematik?iler. Bu problemlerin zorlu?unun mant?ksal oldu?u, kullan?lan mant???n eksik tan?mlanmas?yla ili?kili oldu?u yava? yava? ortaya ??kt?. ara?lar ve aksiyomlar ve benzersiz olan. Bunu a?man?n yolu her ikisini de a??kl??a kavu?turmakt?r. Dolay?s?yla bu problemlerin ??z?m?n?n matemati?in geli?tirilmesi i?in gerekli bir bilim olan matemati?in kat?l?m?n? gerektirdi?i ortaya ??kt?. ?u anda M. l.'ye umut zaman? yerle?tirildi. bu sorunlarla ba?lant?l? olarak kendilerini zaten hakl? ??kard?lar. S?reklilik sorunuyla ilgili olarak, Cantor'un genelle?tirilmi? s?reklilik hipotezinin k?me teorisi aksiyomlar?yla tutarl? olmas? ko?uluyla tutarl?l???n? kan?tlayan K. G?del (1939) ?ok ?nemli bir sonu? elde etti. Tan?mlay?c? k?me teorisindeki bir dizi zor problemle ilgili olarak P. S. Novikov (1951) taraf?ndan ?nemli sonu?lar elde edildi. Aksiyomatikte ispat kavramlar?n?n a??klanmas?. Teori, geli?iminde ?nemli bir a?amad?r. Bu a?amay? ge?en teoriler, yani. aksiyomatik Yerle?ik mant??? olan teoriler. ara?lara t?mdengelim teorileri denir. Matematik?ilerin ilgisini ?eken aksiyomatikteki kan?tlanabilirlik ve tutarl?l?k problemlerinin tam form?lasyonuna yaln?zca onlar i?in izin verilebilir. teoriler. Bu sorunlar? modern zamanlarda ??zmek i?in. M.l. Kan?tlar?n resmile?tirilmesi y?ntemi kullan?l?r. Kan?tlar? resmile?tirmeye y?nelik bir y?ntem fikri ona aittir. matematik?i D. Hilbert. Bu fikrin uygulanmas? M. l.'nin ?nceki geli?imi sayesinde m?mk?n oldu. Boole, Poretsky, Schroeder, Frege, Peano ve di?erleri. G?n?m?zde ispatlar? resmile?tirme y?ntemi, matemati?in kan?tlanmas? problemlerinde g??l? bir ara?t?rma arac?d?r. Bi?imlendirme y?nteminin kullan?m? genellikle mant?ksal se?imiyle ili?kilidir. T?mdengelim teorisinin incelenen k?s?mlar?. Bu mant?ksal teorinin tamam? gibi belirli bir hesap bi?iminde resmile?tirilmi? k?s?m, yani. resmile?tirilmi? aksiyomlardan ve resmi ??kar?m kurallar?ndan olu?an bir sistem, ba??ms?z bir b?t?n olarak d???n?lebilir. Mant?ksal?n en basiti. hesaplamalar ?nermesel hesaplamalard?r, klasik ve yap?c?d?r. ?ki ?nerme hesab? aras?ndaki bi?imsel fark, ?nerme de?i?kenleri ile mant?ksal de?i?kenlerin anlamlar?na ili?kin yorumlar?ndaki derin farkl?l??? yans?t?r. ba?lay?c?lar (bkz. Sezgicilik, Problem Analizi, ?nermeler Mant???). T?mdengelimli matemati?in yap?m?nda en yayg?n olarak kullan?l?r. teoriler g?n?m?zde mevcut. zaman klasi?i y?klem hesab?, klasik olan?n geli?tirilmi? hali ve geli?tirilmi? halidir. Aristoteles'in yarg? teorisi ve ayn? zamanda buna kar??l?k gelen k?me teorisi. soyutlama sistemi. Yap?c? y?klem hesab? klasik bir hesapt?r. y?klem hesab?, yap?c? ?nerme hesab?yla ayn? ?ekilde klasik hesapla ayn?d?r. ?nermesel hesap. Bu iki y?klem hesab? aras?ndaki en ?nemli fark, i?indeki tikel veya varolu?sal yarg?lar?n yorumlanmas?yla ilgilidir. Yap?c? y?klemler hesab?nda ise bu t?r yarg?lar, tan?mlama olana??na ili?kin ifadeler olarak yorumlan?r. yap?lar ve yaln?zca bu yap?lar klasikte belirtildi?inde kurulmu? say?l?r. Y?klem hesab?nda varolu?sal yarg?lar genellikle yap?c? olas?l?klardan ayr? olarak varolu?a ili?kin belirli "saf" ifadeler olarak yorumlan?r (bkz. Yap?c? y?n). Varolu?sal yarg?lar?n daha tatmin edici bir yorumu klasiktir. y?klem hesab?, ba?lant? tan?mlar?. B?ylece, y?klemlerin yap?c? hesab?n? i?eren bu hesap, 1925'te A. N. Kolmogorov taraf?ndan ke?fedildi. Matematikte mant?ksal. Matematik spesifik ile birlikte kullan?l?r. konu?land?r?lm?? t?mdengelim teorilerinin aksiyomlar?. ?rne?in, do?al say?lar teorisi, Peano'nun aritmetik aksiyomlar?n? y?klem hesab?yla (klasik veya yap?c?) birle?tirerek olu?turulabilir. Bu durumda kullan?lan mant?ksal kombinasyon. Matematiksel sembolizm sadece matematiksel tasar?m yapman?za olanak sa?lamaz. teorinin matematik bi?iminde olmas?, ancak ayn? zamanda matemati?in anlam?n? a??kl??a kavu?turman?n anahtar? da olabilir. teklifler. ?u anda bayku? zaman? matematik?i N.A. Shanin, matemati?in yap?c? yorumlanmas? i?in kesin kurallar geli?tirdi. Matemati?in geni? alanlar?n? kapsayan yarg?lar. Bu kurallar?n uygulanmas? ancak s?z konusu karar?n uygun bir mant?ksal-matematik diliyle yaz?lmas?yla m?mk?n olur. dil. Yorumlama kurallar?n?n uygulanmas? sonucunda, verilen bir yarg?ya ili?kin yap?c? bir g?rev ortaya ??kar?labilir. Ancak bu her zaman ger?ekle?mez; her matematik bilimcinin ba??na gelmez. teklif mutlaka yap?c? bir g?revle ili?kilendirilir. A?a??daki kavram ve fikirler matematikle ili?kilidir. U bi?imindeki hi?bir form?l?n bir U form?l?yle (olumsuzlama i?aretinin bulundu?u durumda) birlikte ??kar?lamamas? durumunda, bir hesab?n tutarl? oldu?u s?ylenir. Matematikte kullan?lan hesab?n tutarl?l???n? olu?turma problemi b?l?mlerden biridir. sorunlar M. l. ?u anda Bu sorun ancak ?ok s?n?rl? bir s?rede ??z?ld?. hacim. ?e?itli t?rleri kullan?lmaktad?r. hesab?n taml??? kavramlar?. ??erik tan?ml? bir veya ba?ka bir matematik alan?n?n kapsam? g?z ?n?nde bulunduruldu?unda, bu alandan do?ru bir ifadeyi ifade eden her form?l?n bu alanda ??kar?labiliyor olmas? durumunda, analizin bu alana g?re tamamlanm?? oldu?u kabul edilir. Analizin b?t?nl???ne ili?kin ba?ka bir kavram, analizde form?le edilen herhangi bir ?nerme i?in bir kan?t ya da ??r?tme sa?lama gereklili?iyle ili?kilidir. Bu kavramlarla ba?lant?l? olarak birincil ?neme sahip olan G?del-Rosser teoremidir; bu teorem, ?ok geni? bir matematik s?n?f? i?in taml?k gereklili?inin tutarl?l?k gereklilikleri ile uyumsuzlu?unu ileri s?rer. G?del-Rosser teoremine g?re, bu s?n?ftan hi?bir tutarl? hesap aritmetik a??s?ndan tamamlanamaz: bu t?r herhangi bir hesap i?in do?ru bir aritmetik olu?turulabilir. resmile?tirilmi? ancak bu hesaplamada ??karsanamayan bir ifade (bkz. Metateori). Bu teorem, M.l'nin de?erini d???rmeden. Bilimde g??l? bir d?zenleme arac? olarak, tek bir t?mdengelim teorisi ?er?evesinde matemati?in evrensel kapsam?n? elde etme kapasitesine sahip bir ?ey olarak bu disipline dair umutlar? k?kten yok etmektedir. Bu t?r umutlar bir?ok ki?i taraf?ndan dile getirildi. Matematikte bi?imcili?in ana temsilcisi olan Hilbert de dahil olmak ?zere bilim adamlar?, t?m matemati?i, kesin olarak belirlenmi? belirli kurallara g?re form?llerle yap?lan manip?lasyonlara indirgemeye ?al??an bir y?n. G?del ve Rosser'?n sonucu bu y?ne ezici bir darbe indirdi. Teoremleri gere?i, matemati?in do?al say?lar?n aritmeti?i gibi nispeten temel bir k?sm? bile tek bir t?mdengelim teorisi taraf?ndan kapsanamaz. M.l. sibernetikle, ?zellikle r?le devreleri ve otomat teorisi, makine matemati?i ve matematiksel dilbilim ile organik olarak ba?lant?l?d?r. Ba?vurular M.l. R?le kontak devreleri herhangi bir iki kutuplu r?le kontak devresinin takip etmesi esas?na dayanmaktad?r. anlamda, belirli bir U klasik form?l?n? modeller. ?nerme hesab?. Devre n r?le taraf?ndan kontrol ediliyorsa, o zaman U ayn? say?da farkl? ?nerme de?i?keni i?erir ve e?er bi ile "?al??t???m r?le numaras?" yarg?s?n? belirtirsek, o zaman devre ancak ve ancak o zaman ikame sonucu kapat?lacakt?r. b1, ... yarg?lar? kar??l?k gelen mant?ksal olanlar yerine do?rudur. U'daki de?i?kenler. Devrenin "?al??ma ko?ullar?n?" tan?mlayan b?yle sim?le edilmi? bir form?l?n olu?turulmas?, s?zde olanlar i?in ?zellikle basit oldu?u ortaya ??k?yor. ?-devreler, temel tek kontakl? devrelerden paralel ve seri ba?lant?lar yoluyla elde edilir. Bunun nedeni devrelerin paralel ve s?ral? ba?lant? modellerinde s?ras?yla ayr?kl?k ve birle?im yarg?lar?d?r. Asl?nda, C1 ve C2 devrelerinin paralel (seri) ba?lanmas?yla elde edilen bir devre, ancak ve ancak C1 devresi kapal?ysa ve/veya C2 devresi kapal?ysa kapal?d?r. ?nermeler hesab?n?n merdiven devrelerine uygulanmas?, modern bilimin ?nemli problemlerine verimli bir yakla??m?n yolunu a?m??t?r. teknoloji. Teori ile pratik aras?ndaki bu ba?lant? ayn? zamanda ?o?ullu?un form?lasyonuna ve k?smi ??z?m?ne de yol a?m??t?r. M. l.'nin yeni ve zor sorunlar?, ?ncelikle s?zde olanlar? i?erir. Belirli bir form?le e?de?er en basit form?l? bulmak i?in etkili y?ntemler bulmay? i?eren minimizasyon sorunu. R?le kontak devreleri, modern teknolojide kullan?lan kontrol devrelerinin ?zel bir durumudur. otomatlar Di?er tipteki kontrol devreleri, ?zellikle daha fazla pratikli?e sahip olan elektronik t?plerden veya yar? iletken elemanlardan yap?lm?? devreler. de?er, bu t?r ?emalar?n hem analizi hem de sentezi i?in yeterli ara?lar sa?layan M.l. kullan?larak da geli?tirilebilir. Dil M.l. g?n?m?zde olu?turulan programlama teorisinde de uygulanabilir oldu?u ortaya ??kt?. makine matemati?inin geli?imiyle ba?lant?l? olarak zaman. Son olarak M. l. Hesaplama ayg?t?n?n, matematik dilini inceleyen matematiksel dilbilimde uygulanabilir oldu?u ortaya ??kt?. y?ntemler. Analardan biri Bu bilimin sorunu, s?z konusu dilin gramer kurallar?n?n tam olarak form?le edilmesidir; "O dilin gramer a??s?ndan do?ru ifadesi" ile ne kastedildi?inin kesin bir tan?m?. Amer olarak. Bilim adam? Chomsky'ye g?re, bu soruna ?u bi?imde bir ??z?m aramak i?in her t?rl? neden var: belirli bir hesap olu?turulur ve belirli bir dilin alfabesinin karakterlerinden olu?an ve bu hesaptan t?retilen ifadeler dilbilgisi a??s?ndan do?ru ifadelerle bildirilir. . Bu y?nde ?al??malar devam ediyor. Ayr?ca bkz. Mant?k Cebiri, Yap?c? Mant?k, Kombinatoryal Mant?k, S?n?f Mant???, Mant?ksal Hesap, Modal Mant?k ve lit. bu makalelerle. A. Markov. Moskova.

Matematiksel mant???n temelleri. Matematiksel mant???n konusu