ladybe.ru
Bayes form?l?n? kullanarak iki bilgi kayna??n? birle?tirin. Toplam Olas?l?k Form?l? ve Bayes Form?lleri
E?er olay A yaln?zca olu?an olaylardan biri oldu?unda ger?ekle?ebilir tam bir uyumsuz olaylar grubu o zaman olay?n olas?l??? A form?lle hesaplan?r
Bu form?l denir toplam olas?l?k form?l? .
Olas?l?klar? birbiriyle ba?da?mayan olaylar grubunun tamam?n? yeniden ele alal?m. 
. Etkinlik A ancak adland?raca??m?z olaylardan herhangi biriyle birlikte ger?ekle?ebilir. hipotezler
. Daha sonra toplam olas?l?k form?l?ne g?re
E?er olay A bu durum hipotezlerin olas?l?klar?n? de?i?tirebilir 
.
Olas?l?k ?arp?m teoremine g?re
.
Benzer ?ekilde geri kalan hipotezler i?in
Ortaya ??kan form?l denir Bayes form?l? (Bayes form?l? ). Hipotezlerin olas?l?klar?na denir arka olas?l?klar , halbuki - ?nceki olas?l?klar .
?rnek. Ma?azada teslim al?nd? yeni ?r?nler?? i?letmeden. Bu ?r?nlerin y?zdesel bile?imi ?u ?ekildedir: %20 - birinci i?letmenin ?r?nleri, %30 - ikinci i?letmenin ?r?nleri, %50 - ???nc? i?letmenin ?r?nleri; ayr?ca ilk i?letmenin ?retiminin %10'u prim, ikinci i?letmede -% 5 ve ???nc?de - premium ?r?nlerin% 20'si. Rastgele sat?n al?nan yeni bir ?r?n?n en y?ksek kalitede olma olas?l???n? bulun.
??z?m. ile belirtelim ???NDE En y?ksek kalitedeki ?r?nlerin sat?n al?nmas? durumunu s?ras?yla birinci, ikinci ve ???nc? i?letmelere ait ?r?nlerin sat?n al?nmas?ndan olu?an olaylar olarak tan?ml?yoruz.
Toplam olas?l?k form?l?n? ve g?sterimimizde uygulayabilirsiniz:
Bu de?erleri toplam olas?l?k form?l?ne koyarak istenen olas?l??? elde ederiz:
?rnek.?? at?c?dan biri at?? hatt?na ?a??r?l?r ve iki el ate? eder. ?lk at?c? i?in hedefi tek at??la vurma olas?l??? 0,3, ikinci at?c? i?in - 0,5; ???nc? i?in - 0,8. Hedef vurulmuyor. At??lar?n ilk at?c? taraf?ndan yap?lm?? olma olas?l???n? bulun.
??z?m.?? hipotez m?mk?nd?r:
?lk at?c? ate? hatt?na ?a?r?l?r.
?kinci at?c? ate? hatt?na ?a?r?l?r.
???nc? bir tetik?i at?? hatt?na ?a?r?l?r.
Herhangi bir tetik?iyi ate? hatt?na ?a??rmak da e?it derecede m?mk?n oldu?una g?re, o zaman 
Deney sonucunda B olay? g?zlendi; at??lar yap?ld?ktan sonra hedef vurulmad?. Yap?lan hipotezler kapsam?nda bu olay?n ko?ullu olas?l?klar? ?una e?ittir:
Bayes form?l?n? kullanarak deneyden sonra hipotezin olas?l???n? buluyoruz:
?rnek.?? otomatik makine, ortak bir konvey?r ?zerinde i?lendikten sonra gelen ayn? t?rdeki par?alar? i?ler. ?lk makine %2, ikinci makine %7, ???nc? makine %10 kusur ?retir. ?lk makinenin verimlili?i ikincinin verimlili?inden 3 kat daha fazla, ???nc?s? ise ikinciden 2 kat daha az.
a) Montaj hatt?ndaki kusurlar?n y?zdesi nedir?
b) Konvey?rdeki ar?zal? par?alar aras?nda her makineden gelen par?alar?n oran? nedir?
??z?m. Montaj hatt?ndan rastgele bir par?a alal?m ve A olay?n? ele alal?m; par?a ar?zal?. Bu par?an?n nerede i?lendi?ine ili?kin hipotezlerle ili?kilidir: - Rastgele al?nan bir par?a, inci makinede i?lenmi?tir.
Ko?ullu olas?l?klar (problem a??klamas?nda y?zde olarak verilmi?tir):
Makine ?retkenli?i aras?ndaki ba??ml?l?klar ?u anlama gelir:
Ve hipotezler tam bir grup olu?turdu?una g?re, o zaman .
Ortaya ??kan denklem sistemini ??zd?kten sonra ?unlar? buluruz: .
a) Montaj hatt?ndan rastgele al?nan bir par?an?n kusurlu olma toplam olas?l???:
Yani montaj hatt?ndan ??kan par?a k?tleleri aras?nda kusur oran? %4't?r.
b) Rastgele al?nan par?an?n bozuk oldu?u bilinsin. Bayes form?l?n? kullanarak hipotezlerin ko?ullu olas?l?klar?n? buluyoruz:
B?ylece, toplam k?tle Konvey?rdeki kusurlu par?alar?n oran? birinci makinenin pay? %33, ikinci makinenin pay? %39, ???nc? makinenin pay? ise %28'dir.
Pratik g?revler
G?rev 1
Olas?l?k teorisinin ana dallar?ndaki problemleri ??zme
Ama?, problem ??zmede pratik beceriler kazanmakt?r.
olas?l?k teorisinin dallar?
Pratik ?deve haz?rl?k
tan???n teorik materyal Bu konuyla ilgili teorik i?eri?in yan? s?ra edebi kaynaklardaki ilgili b?l?mleri inceleyin.
G?revi tamamlama prosed?r?
Tablo 1'de verilen g?rev se?ene?i say?s?na g?re 5 problemi ??z?n.
Kaynak veri se?enekleri
Tablo 1
|
g?rev numaras? |
||||||
G?rev 1'e ili?kin raporun bile?imi
Se?enek numaras?na g?re 5 ??z?lm?? problem.
Ba??ms?z olarak ??z?lmesi gereken sorunlar
1.. A?a??daki olay gruplar? ?unlard?r: a) deneyim - yaz? tura atma; olaylar: A1- arman?n g?r?n?m?; A2- bir say?n?n g?r?n?m?; b) deney - iki bozuk para atmak; olaylar: B1- iki kat arman?n g?r?n?m?; B2 - iki say?n?n g?r?n?m?; B3- bir arman?n ve bir numaran?n g?r?n?m?; c) deneyim - zar atma; olaylar: C1 - en fazla iki noktan?n ortaya ??kmas?; C2 -?? veya d?rt noktan?n ortaya ??k???; C3 - en az be? noktan?n g?r?n?m?; d) deneyim - bir hedefe ate? etmek; olaylar: D1- vurmak; D2- kay?p; e) deneyim - bir hedefe iki at??; olaylar: E0- tek bir vuru? de?il; E1- bir vuru?; E2- iki vuru?; f) deneyim - desteden iki kart?n ??kar?lmas?; olaylar: F1- iki k?rm?z? kart?n ortaya ??kmas?; F2- iki siyah kart?n g?r?n?m??
2. A torbas?nda beyaz ve B var siyah toplar. Torbadan rastgele bir top ?ekiliyor. Bu topun beyaz olma olas?l???n? bulunuz.
3. A torbas?nda beyaz ve B siyah toplar. Torbadan bir top al?n?p bir kenara konur. Bu topun beyaz oldu?u ortaya ??kt?. Daha sonra torbadan bir top daha al?n?r. Bu topun da beyaz olma olas?l???n? bulunuz.
4. A torbas?nda beyaz ve B siyah toplar. Bir top torbadan ??kar?ld? ve bakmadan bir kenara b?rak?ld?. Daha sonra torbadan bir top daha al?nd?. Beyaz oldu?u ortaya ??kt?. Kenara at?lan ilk topun da beyaz olma olas?l???n? bulun.
5. A'n?n bulundu?u torbadan beyaz ve B siyah toplar, biri hari? t?m toplar? tek tek ??kar?n. Torbada kalan son topun beyaz olma olas?l???n? bulunuz.
6. A'n?n bulundu?u kavanozdan Beyaz toplar ve B siyah, i?indeki t?m toplar? arka arkaya ??kar?n. Beyaz topun ikinci olarak ?ekilme olas?l???n? bulun.
7. Bir torbada A beyaz ve B siyah toplar var (A > 2). Torbadan ayn? anda iki top al?n?yor. Her iki topun da beyaz olma olas?l???n? bulun.
8. A torbas?nda beyaz ve B vard?r siyah toplar (A > 2, B > 3). Torbadan ayn? anda 5 top al?n?yor. Olas?l??? bul R ikisinin beyaz, ???n?n siyah olaca??n?.
9. X'ten olu?an bir oyunda mevcut ?r?nler BEN ar?zal?. Kontrol I i?in partiden se?ildi ?r?nler. Olas?l??? bul R bunlardan hangisi tam olarak J ?r?nler ar?zal? olacakt?r.
10. Zar bir kez at?l?yor. A?a??daki olaylar?n olas?l???n? bulun: A -?ift say?da noktan?n ortaya ??kmas?; ???NDE- en az 5 puanl?k g?r?n?m; ?LE- g?r?n?m en fazla 5 puan.
11. Zarlar iki kez at?l?yor. Olas?l??? bul R her iki seferde de ayn? say?da noktan?n g?r?nece?ini.
12. ?ki zar ayn? anda at?l?yor. A?a??daki olaylar?n olas?l?klar?n? bulun: A- ?ekilen puanlar?n toplam? 8'dir; ???NDE- haddelenmi? noktalar?n ?arp?m? 8'dir; ?LE- haddelenmi? noktalar?n toplam? ?arp?m?ndan daha b?y?kt?r.
13. ?ki madeni para at?l?yor. A?a??daki olaylardan hangisinin olas?l??? daha y?ksektir: A - madeni paralar ayn? tarafta olacak; ???NDE - madeni paralar farkl? y?zlerde mi olacak?
14. A torbas?nda beyaz ve B siyah toplar (A > 2; B > 2). Torbadan ayn? anda iki top ?ekiliyor. Hangi olay?n olas?l??? daha y?ksektir: A- ayn? renkteki toplar; ???NDE - farkl? renkteki toplar?
15. ?? oyuncu ka??t oynuyor. Her birine 10 kart da??t?ld? ve ?ekili?te iki kart kald?. Oyunculardan biri elinde 6 karo ve 4 elmas olmayan kart oldu?unu g?r?yor. Bu d?rt karttan ikisini atar ve kendisi i?in bir ?ekili? yapar. ?ki elmas alma olas?l???n? bulun.
16. ??inde bir kavanoz bulunan N Numaraland?r?lm?? toplar, i?indeki t?m toplar birbiri ard?na rastgele al?n?r. ?ekilen toplar?n say?lar?n?n ?u ?ekilde olma olas?l???n? bulun: 1, 2,..., P.
17. Bir ?nceki problemdeki torban?n ayn?s?, ancak her top ??kar?ld?ktan sonra tekrar yerine konulup di?erleriyle kar??t?r?l?yor ve numaras? yaz?l?yor. Do?al bir say? dizisinin yaz?lma olas?l???n? bulun: 1, 2,..., p.
18. Tam bir kart destesi (52 sayfa), her biri 26 sayfa olan iki e?it desteye rastgele b?l?n?r. A?a??daki olaylar?n olas?l?klar?n? bulun: A - her pakette iki as bulunur; ???NDE- paketlerden birinde tek bir as bulunmayacak, di?erinde ise d?rd? birden bulunmayacak; S-v Paketlerden birinde bir as, di?erinde ?? as olacak.
19. Her biri 9 tak?mdan olu?an iki grubun rastgele olu?turuldu?u basketbol ?ampiyonas?na 18 tak?m kat?l?yor. Yar??maya kat?lanlar aras?nda 5 tak?m yer al?yor
ekstra s?n?f. A?a??daki olaylar?n olas?l?klar?n? bulun: A - t?m ?st s?n?f tak?mlar ayn? grupta olacak; ???NDE- iki ?st s?n?f tak?m gruplardan birine, ?? tak?m ise di?erine d??ecek.
20. Say?lar dokuz karta yaz?l?r: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bunlardan ikisi rastgele al?n?r ve g?r?n?m s?ras?na g?re masaya yerle?tirilir, ard?ndan ortaya ??kan say? okunur. , ?rne?in 07 (yedi), 14 (on d?rt), vb. Say?n?n ?ift olma olas?l???n? bulun.
21. Say?lar be? karta yaz?l?r: 1, 2, 3, 4, 5. Bunlardan ikisi arka arkaya ??kar?l?r. ?kinci karttaki say?n?n birinci karttaki say?dan b?y?k olma olas?l???n? bulun.
22. Soru 21'dekiyle ayn? ama ilk kart ??kar?ld?ktan sonra geri konup di?erleriyle kar??t?r?l?yor ve ?zerindeki say? yaz?l?yor.
23. A torbas?nda beyaz, B siyah ve C k?rm?z? toplar. ??erisindeki toplar?n tamam? teker teker torbadan ??kar?larak renkleri kaydedilir. Bu listede beyaz?n siyahtan ?nce gelme olas?l???n? bulun.
24. ?ki kavanoz var: ilk A'da beyaz ve B siyah toplar; ikinci C'de beyaz ve D siyah. Her torbadan bir top ?ekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olas?l???n? bulun.
25. Problem 24'?n ko?ullar?nda ?ekilen toplar?n farkl? renklerde olma olas?l???n? bulun.
26. Tabanca tamburunda yedi yuva vard?r, bunlar?n be?inde fi?ek vard?r ve ikisi bo? b?rak?lm??t?r. Tambur d?nd?r?l?r ve bunun sonucunda yuvalardan biri g?vdeye kar?? rastgele g?r?n?r. Bundan sonra teti?e bas?l?r; h?cre bo?sa at?? ger?ekle?mez. Olas?l??? bul R bu deneyi arka arkaya iki kez tekrarlad???m?zda iki kere de ate? etmeyece?imiz ger?e?i.
27. Ayn? ko?ullar alt?nda (bkz. problem 26), at???n her iki seferde de ger?ekle?me olas?l???n? bulun.
28. Vazoda A bulunur; 1, 2, ... say?lar?yla i?aretlenmi? toplar, ?le Vazodan BEN birer birer top ??kar?l?r (BEN<к), Top numaras? kaydedilir ve top tekrar torbaya yerle?tirilir. Olas?l??? bul R kaydedilen t?m say?lar?n farkl? olaca??.
29. “Kitap” kelimesi b?l?nm?? alfabenin be? harfinden olu?ur. Okuma bilmeyen bir ?ocuk bu harfleri ?nce da??tt?, sonra da rastgele bir ?ekilde toplad?. Olas?l??? bul R yeniden “kitap” s?zc???n? ortaya ??kard???n? s?yledi.
30. "Ananas" kelimesi b?l?nm?? alfabenin harflerinden yap?lm??t?r. Okuma bilmeyen bir ?ocuk bu harfleri ?nce da??tt?, sonra da rastgele bir ?ekilde toplad?. Olas?l??? bul R yine "ananas" kelimesini kulland???n?
31. Tam bir kart destesinden (52 sayfa, 4 tak?m) birka? kart ?ekilir. 0,50'den b?y?k olas?l?kla aralar?nda ayn? t?rden kartlar?n olaca??n? s?ylemek i?in ka? kart ?ekilmelidir?
32. N insanlar yuvarlak bir masada rastgele oturuyorlar (N> 2). Olas?l??? bul R o iki sabit ki?i A Ve ???NDE yak?nda olacak.
33. Ayn? problem (bkz. 32), ancak tablo dikd?rtgendir ve N insanlar yanlar?ndan biri boyunca rastgele oturuyorlar.
34. Loto varillerinde 1'den 1'e kadar say?lar bulunur N. Bunlardan N?ki varil rastgele se?iliyor. Her iki varilin de k'den k???k say?lar i?erme olas?l???n? bulun
(2
35.
Loto varillerinde 1'den 1'e kadar say?lar bulunur N. Bunlardan N?ki varil rastgele se?iliyor. Varillerden birinin k'den b?y?k bir say? i?erme olas?l???n? bulun ,
ve di?er yandan - k'den az .
(2
36. Pil M olu?an gruba silahla ate? a??ld? N hedefler (M< N). ?ki silah?n ayn? hedefe ate? etmemesi ?art?yla silahlar hedeflerini s?ral? ve rastgele se?erler. Olas?l??? bul R 1, 2,... numaral? hedeflere ate? a??lacak M.
37.. Pilden olu?an ?le olu?an gruba silahla ate? a??ld? BEN u?ak (?le< 2). Her silah hedefini rastgele ve di?erlerinden ba??ms?z olarak se?er. Her ?eyin olma olas?l???n? bulun ?le silahlar ayn? hedefe ate? edecek.
38. ?nceki problemin ko?ullar?nda, t?m silahlar?n farkl? hedeflere ate? etme olas?l???n? bulun.
39. D?rt top d?rt deli?e rastgele da??lm??t?r; her top ayn? olas?l?kla ve di?erlerinden ba??ms?z olarak bir veya ba?ka bir deli?e d??er (birden fazla topun ayn? deli?e d??mesine hi?bir engel yoktur). Deliklerin birinde ??, di?erinde ?? top olmas?, di?er iki delikte ise hi? top olmamas? olas?l???n? bulun.
40. Masha, Petya ile tart??t? ve onunla ayn? otob?se binmek istemiyor. Pansiyondan enstit?ye 7'den 8'e kadar 5 otob?s bulunmaktad?r. Bu otob?slere yeti?meyen herkes derse ge? kalacakt?r. Masha ve Petya derse ge? kalmadan farkl? otob?slerle enstit?ye ka? farkl? ?ekilde gidebilirler?
41. Bankan?n bilgi teknolojileri departman?nda 3 analist, 10 programc? ve 20 m?hendis ?al??maktad?r. Tatil g?nlerinde fazla mesai i?in b?l?m ba?kan?n?n bir ?al??an tahsis etmesi gerekir. Bu ka? farkl? ?ekilde yap?labilir?
42. Bankan?n g?venlik servisi ba?kan? her g?n 10 karakola 10 g?venlik g?revlisi yerle?tirmelidir. Bu ka? farkl? ?ekilde yap?labilir?
43. Bankan?n yeni ba?kan?, 10 m?d?r aras?ndan 2 yeni ba?kan yard?mc?s? atamak zorundad?r. Bu ka? farkl? ?ekilde yap?labilir?
44. Sava?an taraflardan biri 12 ki?iyi, di?er 15 ki?iyi esir ald?. 7 sava? esiri ka? farkl? ?ekilde de?i?tirilebilir?
45. Petya ve Masha video diskleri topluyor. Petya'da 30 komedi, 80 aksiyon filmi ve 7 melodram, Masha'da ise 20 komedi, 5 aksiyon filmi ve 90 melodram var. Petya ve Masha 3 komedi, 2 aksiyon filmi ve 1 melodram? ka? farkl? ?ekilde de?i?tirebilirler?
46. 45. sorunun ko?ullar? alt?nda, Petya ve Masha 3 melodram ve 5 komediyi ka? ?ekilde de?i?tirebilirler?
47. 45. problemin ko?ullar? alt?nda Petya ve Masha 2 aksiyon filmi ve 7 komediyi ka? farkl? ?ekilde de?i?tirebilirler?
48. Sava?an taraflardan biri 15, di?er ise 16 esiri esir ald?. 5 sava? esiri ka? farkl? ?ekilde de?i?tirilebilir?
49. Numaran?n 3 rakam? ve 3 harfi varsa (yaln?zca yaz?m? Latince olanlarla e?le?enler - A, B, E, K, M, N, O, R, S, T,) 1 ?ehirde ka? araba kay?tl? olabilir? U, X)?
50. Sava?an taraflardan biri 14, di?eri ise 17 mahkumu ele ge?irdi. 6 sava? esiri ka? farkl? ?ekilde de?i?tirilebilir?
51. “Anne” kelimesindeki harfleri yeniden d?zenleyerek ka? farkl? kelime olu?turabilirsiniz?
52. Bir sepette 3 k?rm?z? ve 7 ye?il elma vard?r. ??inden bir elma ??kar?l?r. K?rm?z? olma olas?l???n? bulun.
53. Bir sepette 3 k?rm?z? ve 7 ye?il elma vard?r. Bir adet ye?il elma ??kar?ld? ve bir kenara b?rak?ld?. Daha sonra sepetten 1 elma daha ??kar?l?r. Bu elman?n ye?il olma olas?l??? nedir?
54. 1000 ?r?nden olu?an bir partiden 4 tanesi kusurludur. Kontrol i?in 100 ?r?nden olu?an bir parti se?ilir. LLP'nin kontrol partisinde herhangi bir kusurlu ?r?n bulunmamas? olas?l??? nedir?
56. 80'li y?llarda “Spor Lotosu 36 ?zerinden 5” oyunu SSCB'de pop?lerdi. Oyuncu, bir kart ?zerinde 1'den 36'ya kadar 5 rakam? i?aretledi ve ?ekili? komisyonu taraf?ndan a??klanan farkl? say?da rakam? tahmin etmesi halinde ?e?itli de?erde ?d?ller ald?. Oyuncunun tek bir say?y? bile tahmin edememe olas?l???n? bulun.
57. 80'li y?llarda SSCB'de “Spor Lotosu 36 ?zerinden 5” oyunu pop?lerdi. Oyuncu, bir kart ?zerinde 1'den 36'ya kadar 5 rakam? i?aretledi ve ?ekili? komisyonu taraf?ndan a??klanan farkl? say?da rakam? tahmin etmesi halinde ?e?itli de?erde ?d?ller ald?. Oyuncunun bir say?y? tahmin etme olas?l???n? bulun.
58. 80'li y?llarda SSCB'de “Spor Lotosu 36 ?zerinden 5” oyunu pop?lerdi. Oyuncu, bir kart ?zerinde 1'den 36'ya kadar 5 rakam? i?aretledi ve ?ekili? komisyonu taraf?ndan a??klanan farkl? say?da rakam? tahmin etmesi halinde ?e?itli de?erde ?d?ller ald?. Oyuncunun 3 say?y? tahmin etme olas?l???n? bulun.
59. 80'li y?llarda “Spor Lotosu 36 ?zerinden 5” oyunu SSCB'de pop?lerdi. Oyuncu, bir kart ?zerinde 1'den 36'ya kadar 5 rakam? i?aretledi ve ?ekili? komisyonu taraf?ndan a??klanan farkl? say?da rakam? tahmin etmesi halinde ?e?itli de?erde ?d?ller ald?. Oyuncunun 5 say?n?n tamam?n? do?ru ?ekilde e?le?tirmeme olas?l???n? bulun.
60. 80'li y?llarda SSCB'de “49 ?zerinden Spor Lotosu 6” oyunu pop?lerdi. Oyuncu, bir kart ?zerinde 1'den 49'a kadar 6 rakam? i?aretledi ve ?ekili? komisyonu taraf?ndan a??klanan farkl? say?da rakam? tahmin etmesi halinde ?e?itli de?erde ?d?ller ald?. Oyuncunun 2 say? tahmin etme olas?l???n? bulun.
61. 80'li y?llarda SSCB'de “49 ?zerinden Spor Lotosu 6” oyunu pop?lerdi. Oyuncu, bir kart ?zerinde 1'den 49'a kadar 6 rakam? i?aretledi ve ?ekili? komisyonunun a??klad??? farkl? say?da rakam? tahmin etmesi halinde ?e?itli de?erde ?d?ller ald?. Oyuncunun tek bir say?y? bile tahmin edememe olas?l???n? bulun.
62. 80'li y?llarda “Spor Lotosu 49 ?zerinden 6” oyunu SSCB'de pop?lerdi. Oyuncu, bir kart ?zerinde 1'den 49'a kadar 6 rakam? i?aretledi ve ?ekili? komisyonunun a??klad??? farkl? say?da rakam? tahmin etmesi halinde ?e?itli de?erde ?d?ller ald?. Oyuncunun 6 say?n?n tamam?n? tahmin etme olas?l???n? bulun.
63. 1000 ?r?nden olu?an bir partiden 4'? kusurludur. Kontrol i?in 100 ?r?nden olu?an bir parti se?ilir. LLP'nin kontrol partisinde yaln?zca 1 kusurlu tane bulunmas? olas?l??? nedir?
64. “Kitap” kelimesindeki harfleri yeniden d?zenleyerek ka? farkl? kelime olu?turabilirsiniz?
65. “Ananas” kelimesindeki harfleri yeniden d?zenleyerek ka? farkl? kelime olu?turabilirsiniz?
66. Asans?re 6 ki?i bindi ve pansiyon 7 katl?. 6 ki?inin de ayn? kattan ??kma olas?l??? nedir?
67. Asans?re 6 ki?i bindi; bina 7 katl?. 6 ki?inin de farkl? katlardan ??kma olas?l??? nedir?
68. F?rt?na s?ras?nda elektrik hatt?n?n 40 ila 79 km'lik k?sm?nda bir tel koptu. Herhangi bir noktada k?r?lman?n e?it derecede m?mk?n oldu?unu varsayarak k?r?lman?n 40. ve 45. kilometreler aras?nda meydana gelme olas?l???n? bulun.
69. Gaz boru hatt?n?n 200 kilometrelik b?l?m?nde, A ve B kompres?r istasyonlar? aras?nda, boru hatt?n?n herhangi bir noktas?nda e?it derecede m?mk?n olan bir gaz s?z?nt?s? meydana gelir. S?z?nt?n?n A'dan 20 km'den daha uzakta meydana gelme olas?l??? nedir?
70. Gaz boru hatt?n?n 200 kilometrelik b?l?m?nde, A ve B kompres?r istasyonlar? aras?nda, boru hatt?n?n herhangi bir noktas?nda e?it derecede m?mk?n olan bir gaz s?z?nt?s? meydana gelir. S?z?nt?n?n A'ya B'den daha yak?n olmas? olas?l??? nedir?
71. Trafik polisi m?fetti?inin radar?n?n do?rulu?u 10 km/saattir ve en yak?n y?ne do?ru d?ner. Daha s?k ne oluyor - s?r?c?n?n veya m?fetti?in lehine yuvarlama?
72. Masha enstit?ye giderken 40 ila 50 dakika harc?yor ve bu aral?ktaki herhangi bir zaman da e?it derecede muhtemel. Yolda 45 ila 50 dakika ge?irme olas?l??? nedir?
73. Petya ve Masha, Pu?kin an?t?nda saat 12'den 13'e kadar bulu?may? kabul ettiler, ancak kimse kesin var?? zaman?n? belirtemedi. Birbirlerini 15 dakika beklemeye karar verdiler. Kar??la?ma olas?l?klar? nedir?
74. Bal?k??lar g?lette 120 bal?k yakalad?, bunlardan 10'u halkal?yd?. Halkal? bal?k yakalama olas?l??? nedir?
75. ??inde 3 k?rm?z? ve 7 ye?il elma bulunan bir sepetten t?m elmalar teker teker ??kar?l?yor. 2. elman?n k?rm?z? olma olas?l??? nedir?
76. ??inde 3 k?rm?z? ve 7 ye?il elma bulunan bir sepetten t?m elmalar teker teker ??kar?l?yor. Son elman?n ye?il olma olas?l??? nedir?
77. ??renciler 50 biletten 10'unun "iyi" oldu?una inan?yor. Petya ve Masha s?rayla birer bilet ?ekerler. Masha'n?n "iyi" bir bilet alma olas?l??? nedir?
78. ??renciler 50 biletten 10'unun "iyi" oldu?una inan?yor. Petya ve Masha s?rayla birer bilet ?ekerler. Her ikisinin de “iyi” bir bilet alma olas?l??? nedir?
79. Ma?a programdaki 25 sorunun 20'sinin cevab?n? bilerek geldi s?nava. Profes?r 3 soru soruyor. Masha'n?n 3 soruyu cevaplama olas?l??? nedir?
80. Ma?a programdaki 25 sorunun 20'sinin cevab?n? bilerek geldi s?nava. Profes?r 3 soru soruyor. Masha'n?n hi?bir soruya cevap vermeme olas?l??? nedir?
81. Ma?a programdaki 25 sorunun 20'sinin cevab?n? bilerek geldi s?nava. Profes?r 3 soru soruyor. Masha'n?n 1 soruyu cevaplama olas?l??? nedir?
82. Bankadan gelen kredi taleplerinin istatistikleri ?u ?ekildedir: %10 - devlet. yetkililer, %20'si di?er bankalar, geri kalan? bireyler. Kredilerin geri ?denmeme olas?l??? s?ras?yla 0,01, 0,05 ve 0,2'dir. Kredilerin y?zde ka?? geri ?denmiyor?
83. Bir dondurma t?ccar?n?n haftal?k cirosunun 2000 rubleyi a?ma olas?l???. a??k havalarda %80, par?al? bulutlu havalarda %50 ve ya???l? havalarda %10’dur. Cironun 2000 rubleyi a?ma olas?l??? nedir? havan?n a??k olma olas?l??? %20, par?al? bulutlu ve ya?murlu ise - her biri %40.
84. A torbas?nda beyaz (b) ve B var siyah (h) toplar. Torbadan iki top (ayn? anda veya s?ral? olarak) ?ekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olas?l???n? bulun.
85. A torbas?nda beyaz ve B
86. A oy sand???nda beyaz ve B
87. A oy sand???nda beyaz ve B siyah toplar. Torbadan bir top al?n?p rengi not edilir ve torbaya geri konur. Daha sonra torbadan bir top daha al?n?r. Bu toplar?n farkl? renkte olma olas?l???n? bulunuz.
88. Dokuz yeni tenis topu i?eren bir kutu var. Oynamak i?in ?? top al?n; Ma?tan sonra geri al?n?rlar. Top se?imi yap?l?rken oynanan toplar, oynanmayan toplardan ay?rt edilmez. ?? oyun sonunda kutuda oynanmam?? top kalmama olas?l??? nedir?
89. Daireden ayr?lmak, N her misafir kendi galo?unu giyecektir;
90. Daireden ayr?lmak, N ayn? ayakkab? numaralar?na sahip misafirler karanl?kta galo? giyerler. Her biri sa? galo?unu soldan ay?rt edebilir, ancak kendi galo?unu ba?kas?n?nkinden ay?ramaz. olas?l???n? bulun Her misafir ayn? ?ifte ait (belki de kendilerine ait olmayan) galo?lar giyecektir.
91. Problem 90 ko?ullar?nda herkesin galo?lar?yla ayr?lma olas?l???n? bulun. Misafirler sa?daki galo?lar? soldakilerden ay?rt edemiyorlarsa, kar??lar?na ??kan ilk iki galo?lar? almalar? yeterli olacakt?r.
92. Savunmas?z k?s?mlar? iki motor ve kokpit olan bir u?a?a ate? a??lmaktad?r. Bir u?a?a ?arpmak (devre d??? b?rakmak) i?in her iki motora birlikte veya kokpite vurmak yeterlidir. Bu ate?leme ko?ullar?nda ilk motora ?arpma olas?l??? ?una e?ittir: p1 ikinci motor p2, kokpit s3. U?ak par?alar? birbirinden ba??ms?z olarak etkilenir. U?a??n vurulma olas?l???n? bulun.
93. ?ki at?c? birbirinden ba??ms?z olarak iki at?? yapar (her biri kendi hedefine). ?lk at?c?n?n tek at??ta hedefi vurma olas?l??? p1 ikinci i?in p2. Yar??man?n galibi, hedefi en ?ok deli?e sahip olan at?c?d?r. Olas?l??? bul Rx ilk at?c?n?n kazand??? anlam?na gelir.
94. Bir uzay nesnesinin arkas?nda nesne olas?l?k ile tespit edilir R. Her d?ng?de nesne tespiti di?erlerinden ba??ms?z olarak ger?ekle?ir. ne zaman olma olas?l???n? bulun N d?ng?de nesne alg?lanacakt?r.
95. Rus alfabesinin 32 harfi kesilmi? alfabe kartlar?na yaz?lm??t?r. Be? kart rastgele arka arkaya ?ekilir ve g?r?n?m s?ras?na g?re masaya yerle?tirilir. "Son" kelimesinin ortaya ??kma olas?l???n? bulun.
96. ?ki top, d?z bir ?izgide arka arkaya dizilmi? d?rt h?creye rastgele ve birbirinden ba??ms?z olarak da??l?yor. Her topun her h?creye d??me olas?l??? 1/4't?r. Toplar?n kom?u h?crelere d??me olas?l???n? bulun.
97. U?a?a yan?c? mermilerle ate? a??ld?. U?a??n yak?t?, g?vdede birbiri ard?na bulunan d?rt tankta yo?unla?m??t?r. Tanklar?n alanlar? ayn?d?r. U?a?? ate?e vermek i?in ayn? tankta veya biti?ik tanklarda bulunan iki mermiyi vurmak yeterlidir. Tank alan?na iki merminin isabet etti?i biliniyor. U?a??n alev alma olas?l???n? bulun.
98. Tam bir kart destesinden (52 sayfa) ayn? anda d?rt kart ??kar?l?r. Bu kartlar?n d?rd?n?n de farkl? t?rden olma olas?l???n? bulun.
99. Tam bir kart destesinden (52 sayfa), ayn? anda d?rt kart ??kar?l?r, ancak her kart ??kar?ld?ktan sonra desteye geri g?nderilir. Bu kartlar?n d?rd?n?n de farkl? t?rden olma olas?l???n? bulun.
100. Kontak a??ld???nda motor muhtemelen ?al??maya ba?lar R.
101. Cihaz iki modda ?al??abilir: 1) normal ve 2) anormal. Cihaz?n t?m ?al??ma durumlar?n?n% 80'inde normal mod g?zlenir; anormal -% 20'de. Zaman i?inde cihaz?n ar?zalanma olas?l??? T normal modda 0,1'dir; anormal olarak - 0,7. Toplam olas?l??? bulun R cihaz?n ar?zalanmas?.
102. Bir ma?aza 3 tedarik?iden mal al?yor: %55'i 1'inciden, 20'si 2'nciden ve %25'i 3'?nc?den. Kusurlar?n y?zdesi s?ras?yla y?zde 5, 6 ve 8'dir. Sat?n al?nan kusurlu ?r?n?n ikinci bir tedarik?iden gelme olas?l??? nedir?
103.Benzin istasyonlar?ndan ge?en araba ak???n?n %60'? kamyon ve %40'? otomobilden olu?maktad?r. Bir kamyonun yak?t doldurma olas?l??? 0,1 ve bir binek araban?n olas?l??? 0,3 ise, bir kamyonun benzin istasyonunda olma olas?l??? nedir?
104. Benzin istasyonlar?ndan ge?en araba ak???n?n %60'? kamyon ve %40'? otomobilden olu?maktad?r. Bir kamyonun yak?t doldurma olas?l??? 0,1 ve bir binek araban?n olas?l??? 0,3 ise, bir kamyonun benzin istasyonunda olma olas?l??? nedir?
105. Bir ma?aza 3 tedarik?iden mal al?yor: %55'i 1.'den, 20'si 2.'den ve %25'i 3.'den. Kusurlar?n y?zdesi s?ras?yla y?zde 5, 6 ve 8'dir. Sat?n al?nan kusurlu ?r?n?n 1. tedarik?iden gelme olas?l??? nedir?
106. Kesilmi? alfabe kartlar?na Rus alfabesinin 32 harfi yaz?lm??t?r. Be? kart rastgele arka arkaya ?ekilir ve g?r?n?m s?ras?na g?re masaya yerle?tirilir. “Kitap” kelimesinin ortaya ??kma olas?l???n? bulun.
107. Bir ma?aza 3 tedarik?iden mal al?yor: %55'i 1.'den, 20'si 2.'den ve %25'i 3.'den. Kusurlar?n y?zdesi s?ras?yla y?zde 5, 6 ve 8'dir. Sat?n al?nan kusurlu ?r?n?n 1. tedarik?iden gelme olas?l??? nedir?
108. ?ki top, d?z bir ?izgide arka arkaya dizilmi? d?rt h?creye rastgele ve birbirinden ba??ms?z olarak da??l?yor. Her topun her h?creye d??me olas?l??? 1/4't?r. 2 topun bir h?creye d??me olas?l???n? bulun
109. Kontak a??ld???nda motor b?y?k olas?l?kla ?al??maya ba?lar. R. Kontak ikinci kez a??ld???nda motorun ?al??maya ba?lama olas?l???n? bulun;
110. U?a?a yang?n ??kar?c? mermilerle ate? a??ld?. U?a??n yak?t?, g?vdede birbiri ard?na bulunan d?rt tankta yo?unla?m??t?r. Tanklar?n alanlar? ayn?d?r. U?a?? ate?e vermek i?in ayn? tanktaki iki mermiyi vurmak yeterli. Tank alan?na iki merminin isabet etti?i biliniyor. U?a??n alev alma olas?l???n? bulun
111. U?a?a yang?n ??kar?c? mermilerle ate? a??ld?. U?a??n yak?t?, g?vdede birbiri ard?na bulunan d?rt tankta yo?unla?m??t?r. Tanklar?n alanlar? ayn?d?r. U?a?? ate?e vermek i?in biti?ikteki tanklara iki mermiyle vurmak yeterli. Tank alan?na iki merminin isabet etti?i biliniyor. U?a??n alev alma olas?l???n? bulun
112. A torbas?nda beyaz ve B siyah toplar. Torbadan bir top al?n?p rengi not edilir ve torbaya geri konur. Daha sonra torbadan bir top daha al?n?r. ?ekilen toplar?n her ikisinin de beyaz olma olas?l???n? bulun.
113. A oy sand???nda beyaz ve B siyah toplar. Torbadan ayn? anda iki top ?ekiliyor. Bu toplar?n farkl? renkte olma olas?l???n? bulunuz.
114. ?ki top, d?z bir ?izgide arka arkaya dizilmi? d?rt h?creye rastgele ve birbirinden ba??ms?z olarak da??l?yor. Her topun her h?creye d??me olas?l??? 1/4't?r. Toplar?n kom?u h?crelere d??me olas?l???n? bulun.
115. Ma?a s?nava programdaki 25 sorunun 20'sinin cevab?n? bilerek geldi. Profes?r 3 soru soruyor. Masha'n?n 2 soruyu cevaplama olas?l??? nedir?
116. ??renciler 50 biletten 10'unun "iyi" oldu?una inan?rlar. Petya ve Masha s?rayla birer bilet ?ekerler. Her ikisinin de “iyi” bir bilet alma olas?l??? nedir?
117. Bankadan kredi talebi istatistikleri ?u ?ekildedir: %10 - devlet. yetkililer, %20'si di?er bankalar, geri kalan? bireyler. Kredilerin geri ?denmeme olas?l??? s?ras?yla 0,01, 0,05 ve 0,2'dir. Kredilerin y?zde ka?? geri ?denmiyor?
118. Kesilmi? alfabe kartlar?na Rus alfabesinin 32 harfi yaz?lm??t?r. Be? kart rastgele arka arkaya ?ekilir ve g?r?n?m s?ras?na g?re masaya yerle?tirilir. "Son" kelimesinin ortaya ??kma olas?l???n? bulun.
119 Bankadan gelen kredi taleplerine ili?kin istatistikler ?u ?ekildedir: %10 - devlet. yetkililer, %20'si di?er bankalar, geri kalan? bireyler. Kredilerin geri ?denmeme olas?l??? s?ras?yla 0,01, 0,05 ve 0,2'dir. Kredilerin y?zde ka?? geri ?denmiyor?
120. Bir dondurma t?ccar?n?n haftal?k cirosunun 2000 rubleyi a?ma olas?l???. a??k havalarda %80, par?al? bulutlu havalarda %50 ve ya???l? havalarda %10’dur. Cironun 2000 rubleyi a?ma olas?l??? nedir? havan?n a??k olma olas?l??? %20, par?al? bulutlu ve ya?murlu ise - her biri %40.
Etkinlikler formu tam grup deney sonucunda bunlardan en az birinin mutlaka meydana gelece?i ve ikili olarak uyumsuz olmas? durumunda.
hadi diyelim ki olay A tam bir grup olu?turan birka? ikili uyumsuz olaydan yaln?zca biriyle birlikte meydana gelebilir. Olaylar? ?a??raca??z ( Ben= 1, 2,…, N) hipotezler ek deneyim (a priori). A olay?n?n ger?ekle?me olas?l??? form?lle belirlenir tam olas?l?k :
?rnek 16.?? kavanoz var. ?lk torbada 5 beyaz ve 3 siyah top, ikincisinde 4 beyaz ve 4 siyah top, ???nc?s?nde ise 8 beyaz top bulunmaktad?r. Torbalardan biri rastgele se?ilir (bu, ?rne?in se?imin 1, 2 ve 3 numaral? ?? topun bulundu?u yard?mc? bir torbadan yap?ld??? anlam?na gelebilir). Bu torbadan rastgele bir top ?ekiliyor. Siyah olma olas?l??? nedir?
??z?m. Etkinlik A– siyah top kald?r?l?r. Topun hangi torbadan ?ekildi?i biliniyorsa, istenen olas?l?k, klasik olas?l?k tan?m? kullan?larak hesaplanabilir. Topu geri almak i?in hangi torban?n se?ildi?ine ili?kin varsay?mlar? (hipotezleri) tan?tal?m.
Top ya birinci torbadan (varsay?m), ya ikinciden (varsay?m) ya da ???nc?den (varsay?m) ?ekilebilir. Torbalardan herhangi birini se?me ?ans? e?it oldu?una g?re, o zaman 
.
?unu takip ediyor
?rnek 17. Elektrik lambalar? ?? fabrikada ?retilmektedir. ?lk tesis toplam elektrik lambas? say?s?n?n %30'unu, ikinci tesis ise %25'ini ?retiyor.
ve ???nc?s? - geri kalan?. ?lk tesisin ?r?nleri %1, ikinci fabrikan?n ?r?nleri %1,5, ???nc? fabrikan?n ?r?nleri ise %2 oran?nda ar?zal? elektrik lambas? i?ermektedir. Ma?aza her ?? fabrikadan da ?r?n al?yor. Ma?azadan sat?n al?nan bir lamban?n ar?zal? ??kma olas?l??? nedir?
??z?m. Ampul?n hangi fabrikada ?retildi?ine ili?kin varsay?mlar yap?lmal?d?r. Bunu bilerek kusurlu olma olas?l???n? bulabiliriz. Olaylar i?in g?sterimi tan?tal?m: A- Sat?n al?nan elektrik lambas?n?n ar?zal? ??kmas?, - Lamban?n birinci fabrikada ?retilmi? olmas?, - Lamban?n ikinci fabrikada ?retilmi? olmas?,
– lamba ???nc? fabrika taraf?ndan ?retildi.
Toplam olas?l?k form?l?n? kullanarak istenen olas?l??? buluyoruz:
Bayes'in form?l?. ?kili olarak uyumsuz olaylar?n (hipotezlerin) tam bir grubu olsun. A– rastgele bir olay. Daha sonra,
A olay?yla sonu?lanan testin sonucu bilindikten sonra hipotezlerin olas?l?klar?n?n yeniden tahmin edilmesini sa?layan son form?le denir. Bayes form?l? .
?rnek 18. Hastalar?n ortalama %50'si ?zel hastanelere ba?vurmaktad?r. ?LE, %30 – hastal?kl? L, 20 % –
hastal?kl? M. Hastal???n tamamen iyile?me olas?l??? k hastal?klar i?in 0,7'ye e?it L Ve M bu olas?l?klar s?ras?yla 0,8 ve 0,9'dur. Hastaneye kald?r?lan hasta, sa?l?kla taburcu edildi. Bu hastan?n hastal?ktan muzdarip olma olas?l???n? bulun k.
??z?m. Hipotezleri tan?tal?m: – hasta bir hastal?ktan muzdaripti ?LE L, – hasta bir hastal?ktan muzdaripti M.
Daha sonra problemin ko?ullar?na g?re elimizde . Bir etkinlik tan?tal?m A- Hastaneye kald?r?lan hasta sa?l?kl? bir ?ekilde taburcu edildi. Ko?ullara g?re
Toplam olas?l?k form?l?n? kullanarak ?unu elde ederiz:
Bayes'in form?l?ne g?re.
?rnek 19. Torbada be? top olsun ve beyaz toplar?n say?s?yla ilgili t?m tahminler e?it derecede m?mk?nd?r. Torbadan rastgele bir top al?n?yor ve topun beyaz oldu?u ortaya ??k?yor. Vazonun ba?lang??taki bile?imi hakk?nda hangi varsay?m en olas?d?r?
??z?m. Torbada beyaz toplar?n oldu?u hipotezi olsun 
yani alt? varsay?m yap?labilir. Daha sonra problemin ko?ullar?na g?re elimizde .
Bir etkinlik tan?tal?m A– rastgele al?nan beyaz bir top. Hesaplayal?m. O zamandan beri Bayes form?l?ne g?re elimizde: 
Dolay?s?yla en olas? hipotez ?udur: .
?rnek 20. Bilgi i?lem cihaz?n?n ba??ms?z olarak ?al??an ?? eleman?ndan ikisi ar?zaland?. Birinci, ikinci ve ???nc? elemanlar?n ar?za olas?l?klar? s?ras?yla 0,2 ise, birinci ve ikinci elemanlar?n ar?zalanma olas?l???n? bulun; 0,4 ve 0,3.
??z?m. ile belirtelim A olay - iki ??e ba?ar?s?z oldu. A?a??daki hipotezler yap?labilir:
– birinci ve ikinci elemanlar ar?zal?d?r ancak ???nc? eleman ?al???r durumdad?r. ??eler ba??ms?z olarak ?al??t???ndan ?arpma teoremi uygulan?r:
Bayes form?l?
Bayes teoremi- g?zlemlere dayal? olarak olaylarla ilgili yaln?zca baz? k?smi bilgilerin bilindi?i ko?ullarda bir olay?n meydana gelme olas?l???n? belirleyen temel olas?l?k teorisinin ana teoremlerinden biri. Bayes form?l?n? kullanarak, hem ?nceden bilinen bilgileri hem de yeni g?zlemlerden elde edilen verileri dikkate alarak olas?l??? daha do?ru bir ?ekilde yeniden hesaplamak m?mk?nd?r.
"Fiziksel anlam" ve terminoloji
Bayes'in form?l? "sebep ve sonucu yeniden d?zenlemenize" olanak tan?r: Bir olay?n bilinen ger?e?i g?z ?n?ne al?nd???nda, bunun belirli bir nedenden kaynaklanma olas?l???n? hesaplay?n.
Bu durumda “nedenlerin” eylemini yans?tan olaylara genellikle denir. hipotezler, ??nk? onlar iddia edilen buna yol a?an olaylar. Bir hipotezin ko?ulsuz olarak do?ru olma olas?l???na denir a priori(nedeni ne kadar muhtemel hi?) ve ko?ullu - olay?n ger?e?i dikkate al?narak - a posteriori(nedeni ne kadar muhtemel olay verilerini dikkate ald??? ortaya ??kt?).
Sonu?lar
Bayes form?l?n?n ?nemli bir sonucu, bir olay?n toplam olas?l???na ba?l? olan form?ld?r. bir?ok tutars?z hipotezler ( ve sadece onlardan!).
- Bir olay?n meydana gelme olas?l??? B bir tak?m hipotezlere ba?l? olarak A Ben, e?er bu hipotezlerin g?venilirlik derecesi biliniyorsa (?rne?in deneysel olarak ?l??lm??se); Form?l?n t?retilmesi
Bir olay yaln?zca nedenlere ba?l?ysa A Ben, e?er olduysa, nedenlerden birinin ger?ekle?mi? olmas? gerekti?i anlam?na gelir, yani.
Bayes'in form?l?ne g?re
Transfer yoluyla P(B) sa?a do?ru istenilen ifadeyi elde ederiz.
Spam filtreleme y?ntemi
Bayes teoremine dayal? bir y?ntem, spam filtrelemede ba?ar?l? bir uygulama buldu.
Tan?m
Bir filtreyi e?itirken, harflerde kar??la??lan her kelime i?in "a??rl???" hesaplan?r ve saklan?r - bu kelimeyi i?eren bir harfin spam olma olas?l??? (en basit durumda - klasik olas?l?k tan?m?na g?re: "spam'de g?r?n?mler / toplamda g?r?n??ler”).
Yeni gelen bir mektubu kontrol ederken, bunun spam olma olas?l??? ?e?itli hipotezler i?in yukar?daki form?l kullan?larak hesaplan?r. Bu durumda “hipotezler” kelimelerdir ve her kelime i?in “hipotezin g?venilirli?i” bu kelimenin harfteki y?zdesi, “olay?n hipoteze ba??ml?l???”d?r. P(B | A Ben) - kelimenin ?nceden hesaplanan "a??rl???". Yani, bu durumda bir mektubun "a??rl???", i?indeki t?m kelimelerin ortalama "a??rl???ndan" ba?ka bir ?ey de?ildir.
Bir mektup, "a??rl???n?n" kullan?c? taraf?ndan belirlenen belirli bir d?zeyi (genellikle %60-80) a??p a?mad???na ba?l? olarak "spam" veya "spam olmayan" olarak s?n?fland?r?l?r. Bir harfe karar verildikten sonra, i?inde yer alan kelimelerin “a??rl?klar?” veri taban?nda g?ncellenmektedir.
karakteristik
Bu y?ntem basittir (algoritmalar temeldir), kullan??l?d?r ("kara listeler" ve benzeri yapay teknikler olmadan yapman?za izin verir), etkilidir (yeterince b?y?k bir ?rnek ?zerinde e?itim ald?ktan sonra, spam'in% 95-97'sini keser ve herhangi bir hata durumunda yeniden e?itilebilir). Genel olarak, pratikte oldu?u gibi yayg?n kullan?m?na dair t?m g?stergeler vard?r - neredeyse t?m modern spam filtreleri temel al?narak olu?turulmu?tur.
Ancak y?ntemin temel bir dezavantaj? da var: varsay?ma dayal?, Ne baz? kelimeler spam'de daha yayg?nken di?erleri normal e-postalarda daha yayg?nd?r ve e?er bu varsay?m yanl??sa etkisizdir. Bununla birlikte, uygulaman?n g?sterdi?i gibi, bir ki?i bile bu t?r spam'leri "g?zle" tespit edemez - yaln?zca mektubu okuyarak ve anlam?n? anlayarak.
Uygulamayla ilgili temel olmayan bir di?er dezavantaj ise y?ntemin yaln?zca metinle ?al??mas?d?r. Bu s?n?rlaman?n bilincinde olan spam g?nderenler, resmin i?ine reklam bilgileri eklemeye ba?lad? ancak mektuptaki metin ya eksikti ya da anlams?zd?. Buna kar?? koymak i?in, ya metin tan?ma ara?lar?n? (yaln?zca kesinlikle gerekli oldu?unda kullan?lan "pahal?" bir prosed?r) ya da eski filtreleme y?ntemlerini - "kara listeler" ve d?zenli ifadeleri (bu t?r harfler genellikle basmakal?p bir bi?ime sahip oldu?undan) kullanman?z gerekir.
Ayr?ca bak?n?z
Notlar
Ba?lant?lar
Edebiyat
- Ku? Kivi. Rahip Bayes'in teoremi. // Computerra dergisi, 24 A?ustos 2001.
- Paul Graham. Spam i?in bir plan (?ngilizce). // Paul Graham'?n ki?isel web sitesi.
Wikimedia Vakf?.
2010.
Di?er s?zl?klerde “Bayes Form?l?”n?n ne oldu?unu g?r?n: ?u forma sahip bir form?l: burada a1, A2,..., An uyumsuz olaylard?r, f.v.'nin genel uygulama ?emas?. ?rn.: e?er B olay? farkl? durumlarda meydana gelebiliyorsa deneyden ?nce bilinen P(A1), ... olas?l?klar?yla ilgili n hipotez A1, A2, ..., An'?n olu?turuldu?u ko?ullar.
Jeolojik ansiklopedi
?lgili bir olay?n olas?l???n?, belirli hipotezlerin varsay?mlar? alt?nda bu olay?n ko?ullu olas?l?klar? ve bu hipotezlerin olas?l?klar? arac?l???yla hesaplaman?za olanak tan?r. Form?lasyon Bir olas?l?k uzay? verilsin ve grubun tamam? ?iftler halinde olsun... ... Vikipedi
?lgili bir olay?n olas?l???n?, belirli hipotezlerin varsay?mlar? alt?nda bu olay?n ko?ullu olas?l?klar? ve bu hipotezlerin olas?l?klar? arac?l???yla hesaplaman?za olanak tan?r. Form?lasyon Bir olas?l?k uzay? verilsin ve olaylar?n tam bir grubu ??yle olsun... ... Vikipedi
- (veya Bayes form?l?), olas?l?k teorisinin ana teoremlerinden biridir; bu, baz? olaylar?n (hipotezin) yaln?zca dolayl? kan?tlar?n (veriler) varl???nda meydana gelme olas?l???n? belirlemenize olanak tan?r; bu, hatal? olabilir... Vikipedi
Bayes teoremi, g?zlemlere dayal? olarak olaylarla ilgili yaln?zca baz? k?smi bilgilerin bilindi?i ko?ullarda bir olay?n meydana gelme olas?l???n? belirleyen temel olas?l?k teorisinin ana teoremlerinden biridir. Bayes form?l?n? kullanarak ?unlar? yapabilirsiniz... ... Vikipedi
Bayes, Thomas Thomas Bayes Muhterem Thomas Bayes Do?um tarihi: 1702 (1702) Do?um yeri ... Wikipedia
Bayes ??kar?m?, Bayes form?l?n?n kan?t al?nd???nda hipotezlerin do?rulu?una ili?kin olas?l?ksal tahminleri iyile?tirmek i?in kullan?ld??? istatistiksel ??kar?m y?ntemlerinden biridir. Bayesian g?ncellemesinin kullan?m? ?zellikle ?nemlidir... ... Vikipedi
Bu makaleyi geli?tirmek i?in ?u ?nerilir: Yaz?lanlar? do?rulayan yetkili kaynaklara giden dipnot ba?lant?lar?n? bulun ve d?zenleyin. Dipnotlar? ekledikten sonra kaynaklara ili?kin daha kesin bilgiler verin. Pere... Vikipedi
Mahkumlar bencil ??karlar? u?runa birbirlerine ihanet mi edecekler, yoksa sessiz kalarak genel cezay? m? azaltacaklar? Mahkumun ikilemi (?ngilizce: Mahkumun ikilemi, daha az kullan?lan "ikilem" ad?d?r ... Wikipedia
Kitaplar
- Problemlerde olas?l?k teorisi ve matematiksel istatistik: 360'tan fazla problem ve al??t?rma, Borzykh D.. ?nerilen k?lavuz, de?i?en karma??kl?k seviyelerinde problemler i?ermektedir. Ancak as?l vurgu orta karma??kl?ktaki g?revleredir. Bu, ??rencileri te?vik etmek i?in kas?tl? olarak yap?l?r.
K?sa teori
Bir olay yaln?zca tam bir uyumsuz olaylar grubunu olu?turan olaylardan birinin meydana gelmesi ko?uluyla meydana gelirse, o zaman bu, olaylar?n her birinin olas?l?klar?n?n kar??l?k gelen ko?ullu olas?l?k c?zdan? ile ?arp?mlar?n?n toplam?na e?ittir.
Bu durumda olaylara hipotez, olas?l?klara ise ?nsel denir. Bu form?le toplam olas?l?k form?l? denir.
Bayes form?l?, tam bir olaylar grubunu olu?turan olaylardan herhangi biriyle birlikte ortaya ??kan bir olay meydana geldi?inde ve hipotezlerin olas?l?klar?n?n niceliksel olarak yeniden tahmin edilmesinin gerekli oldu?u pratik sorunlar? ??zmek i?in kullan?l?r. A priori (deney ?ncesi) olas?l?klar bilinmektedir. Son (deney sonras?) olas?l?klar?n hesaplanmas? gerekir; esasen ko?ullu olas?l?klar? bulman?z gerekir. Bayes'in form?l? ??yle g?r?n?r:
Sonraki sayfada sorun tart???l?yor.
Sorun ??z?m? ?rne?i
G?rev 1'in durumu
Bir fabrikada 1, 2 ve 3 numaral? makineler s?ras?yla t?m par?alar?n %20, %35 ve %45'ini ?retir. ?r?nlerinde s?ras?yla %6, %4, %2 kusur bulunmaktad?r. Rastgele se?ilen bir ?r?n?n kusurlu olma olas?l??? nedir? A?a??dakilerden ?retilmi? olma olas?l??? nedir: a) makine 1 taraf?ndan; b) makine 2; c) makine 3?
Sorun 1'in ??z?m?
Standart bir ?r?n?n ay?pl? ??kmas? durumuyla bunu belirtelim.
Bir olay yaln?zca ?? olaydan birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelebilir:
?r?n makine 1'de ?retildi;
?r?n makine 2'de ?retilmektedir;
?r?n 3 numaral? makinede ?retilmektedir;
Ko?ullu olas?l?klar? yazal?m:
Toplam Olas?l?k Form?l?
Bir olay yaln?zca tam bir uyumsuz olaylar grubunu olu?turan olaylardan birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelebilirse, olay?n olas?l??? form?lle hesaplan?r.
Toplam olas?l?k form?l?n? kullanarak bir olay?n olas?l???n? buluruz:
Bayes form?l?
Bayes'in form?l? "sebep ve sonucu yeniden d?zenlemenize" olanak tan?r: Bir olay?n bilinen ger?e?i g?z ?n?ne al?nd???nda, bunun belirli bir nedenden kaynaklanma olas?l???n? hesaplay?n.
Makine 1'de kusurlu bir ?r?n yap?lma olas?l???:
Makine 2'de kusurlu bir ?r?n ?retilmi? olma olas?l???:
Makine 3'te kusurlu bir ?r?n ?retilmi? olma olas?l???:
Sorun durumu 2
Grup 1 m?kemmel ??renci, 5 iyi performans g?steren ??renci ve 14 vasat performans g?steren ??renciden olu?maktad?r. M?kemmel bir ??renci 5 ve 4'e e?it olas?l?kla cevap verir, m?kemmel bir ??renci 5, 4 ve 3'e e?it olas?l?kla cevap verir, vasat bir ??renci ise 4,3 ve 2'ye e?it olas?l?kla cevap verir. Rastgele se?ilen bir ??renci 4 cevab?n? verdi. Ortalama performans g?steren bir ??rencinin ?a?r?lmas? olas?l??? nedir?
Sorun 2'nin ??z?m?
Hipotezler ve ko?ullu olas?l?klar
A?a??daki hipotezler m?mk?nd?r:
M?kemmel ??renci cevap verdi;
?yi adam cevap verdi;
- vasat ??renciye cevap verdi;
Etkinlik ??rencisinin 4 almas?na izin verin.
Ko?ullu olas?l?klar:
Cevap:
Ortalama testi ??zmenin maliyeti 700 - 1200 ruble (ancak t?m sipari? i?in en az 300 ruble). Fiyat, karar?n aciliyetinden b?y?k ?l??de etkilenir (bir g?nden birka? saate kadar). Bir s?nav/test i?in ?evrimi?i yard?m?n maliyeti 1000 ruble'dir. Bileti ??zmek i?in.
Daha ?nce g?rev ko?ullar?n? g?nderdikten ve ihtiyac?n?z olan ??z?m i?in zaman dilimini size bildirdikten sonra do?rudan sohbete bir istek b?rakabilirsiniz. Tepki s?resi birka? dakikad?r.
Olas?l?klar?n?n ve bunlara kar??l?k gelen ko?ullu olas?l?klar?n bilinmesine izin verin. O halde olay?n ger?ekle?me olas?l???:
Bu form?l denir toplam olas?l?k form?lleri. Ders kitaplar?nda kan?t? temel olan bir teorem olarak form?le edilmi?tir: g?re olaylar?n cebiri, (bir olay meydana geldi Ve veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra veya …. veya bir olay meydana geldi Ve bir olay geldikten sonra). hipotezlerden bu yana 
uyumsuzsa ve olay ba??ml?ysa, o zaman buna g?re uyumsuz olaylar?n olas?l?klar?n?n eklenmesi teoremi (ilk ad?m) Ve ba??ml? olaylar?n olas?l?klar?n?n ?arp?m? teoremi (ikinci ad?m):
?o?u ki?i muhtemelen ilk ?rne?in i?eri?ini tahmin ediyordur =)
Nereye t?k?rsen orada bir kavanoz vard?r:
Sorun 1
?? tane birbirinin ayn?s? kavanoz var. ?lk torbada 4 beyaz ve 7 siyah top, ikincisinde yaln?zca beyaz toplar ve ???nc?s?nde yaln?zca siyah toplar bulunmaktad?r. Bir torba rastgele se?iliyor ve i?inden rastgele bir top ?ekiliyor. Bu topun siyah olma olas?l??? nedir?
??z?m: olay? d???n?n - rastgele se?ilen bir torbadan siyah bir top ?ekilecek. Bu olay a?a??daki hipotezlerden birinin sonucu olarak ortaya ??kabilir:
– 1. torba se?ilecektir;
– 2. vazo se?ilecektir;
– 3. urn se?ilecektir.
Kap rastgele se?ildi?i i?in ?? kaptan herhangi birinin se?imi e?it derecede m?mk?n, buradan: 
L?tfen yukar?daki hipotezlerin olu?tu?unu unutmay?n. tam bir etkinlik grubu yani duruma g?re siyah top ancak bu torbalardan ??kabilir ve ?rne?in bilardo masas?ndan gelemez. Basit bir ara kontrol yapal?m: 
, Tamam, devam edelim:
?lk torbada 4 beyaz + 7 siyah = 11 top bulunur. klasik ??z?n?rl?kl?:
– siyah top ?ekme olas?l??? buna g?re 1. urn se?ilecektir.
?kinci kavanozda sadece beyaz toplar var, yani e?er se?ilirse siyah topun g?r?n?m? olur imkans?z: .
Ve son olarak ???nc? kutuda sadece siyah toplar var, bu da kar??l?k gelen toplar anlam?na geliyor. ko?ullu olas?l?k siyah topun ??kar?lmas? olacak (olay g?venilirdir).
– Rastgele se?ilen bir torbadan siyah bir topun ?ekilme olas?l???.
Cevap:
Analiz edilen ?rnek, KO?UL'u derinlemesine incelemenin ne kadar ?nemli oldu?unu bir kez daha ortaya koyuyor. Ayn? sorunlar? ??mlekler ve toplarla ele alal?m - d??sal benzerliklerine ra?men, ??z?m y?ntemleri tamamen farkl? olabilir: yaln?zca kullanman?z gereken bir yerde olas?l???n klasik tan?m?, bir yerlerde olaylar ba??ms?z, bir yerde ba??ml? ve bir yerlerde hipotezlerden bahsediyoruz. Ayn? zamanda, bir ??z?m se?mek i?in net bir resmi kriter yoktur - neredeyse her zaman bunun hakk?nda d???nmeniz gerekir. Becerilerinizi nas?l geli?tirebilirsiniz? Karar veriyoruz, karar veriyoruz ve yine karar veriyoruz!
Sorun 2
At?? poligonunda de?i?en do?rulukta 5 t?fek bulunur. Belirli bir at?c?n?n hedefi vurma olas?l??? s?ras?yla 0,5'e e?ittir; 0,55; 0,7; 0,75 ve 0,4. At?c? rastgele se?ilen bir t?fekle tek at?? yaparsa hedefi vurma olas?l??? nedir?
Dersin sonunda k?sa bir ??z?m ve cevap.
?o?u tematik problemde hipotezler elbette e?it derecede olas? de?ildir:
Sorun 3
Piramitte ??? optik g?r??le donat?lm?? 5 t?fek var. Bir at?c?n?n teleskopik g?r??l? bir t?fekle ate? ederken hedefi vurma olas?l??? 0,95'tir; optik ni?angah? olmayan bir t?fek i?in bu olas?l?k 0,7'dir. At?c?n?n rastgele ald??? bir t?fekle tek at?? yapmas? durumunda hedefin vurulma olas?l???n? bulun.
??z?m: Bu problemde t?fek say?s? bir ?ncekindekiyle tamamen ayn?, ancak yaln?zca iki hipotez var:
- at?c? optik g?r??e sahip bir t?fek se?ecektir;
– at?c? optik g?r??? olmayan bir t?fek se?ecektir.
?le olas?l???n klasik tan?m?: 
.
Kontrol:
Olay? d???n?n: – Bir at?c?, rastgele ald??? bir t?fekle hedefi vuruyor.
Ko?ula g?re: .
Toplam olas?l?k form?l?ne g?re:
Cevap: 0,85
Pratikte, sizin de a?ina oldu?unuz, bir g?revi bi?imlendirmenin k?salt?lm?? bir yolu olduk?a kabul edilebilir:
??z?m: klasik tan?ma g?re: 
- s?ras?yla optik g?r??l? ve optik g?r??s?z bir t?fek se?me olas?l?klar?.
?arta g?re, 
- ilgili t?fek t?rlerinden hedefi vurma olas?l???.
Toplam olas?l?k form?l?ne g?re:
– At?c?n?n rastgele se?ilmi? bir t?fekle hedefi vurma olas?l???.
Cevap: 0,85
A?a??daki g?rev kendi ba??n?za ??zmeniz i?indir:
Sorun 4
Motor ?? modda ?al???r: normal, zorunlu ve r?lantide. Bo? modda, ar?za olas?l??? 0,05, normal ?al??ma modunda - 0,1 ve zorunlu modda - 0,7'dir. Motorun %70'i normal modda, %20'si ise zorunlu modda ?al???r. ?al??ma s?ras?nda motor ar?zas? olas?l??? nedir?
Her ihtimale kar??, olas?l?k de?erlerini elde etmek i?in y?zdelerin 100'e b?l?nmesi gerekti?ini hat?rlatay?m. ?ok dikkatli olun! G?zlemlerime g?re, insanlar genellikle toplam olas?l?k form?l?n? i?eren problemlerin ko?ullar?n? kar??t?rmaya ?al???yorlar; ve ?zellikle bu ?rne?i se?tim. Sana bir s?r verece?im - neredeyse kafam kar???yordu =)
Ders sonunda ??z?m (k?sa ?ekilde formatlanm??)
Bayes form?llerini kullanmayla ilgili sorunlar
Materyal ?nceki paragraf?n i?eri?iyle yak?ndan ilgilidir. Hipotezlerden birinin uygulanmas? sonucu olay?n ger?ekle?mesine izin verin 
. Belirli bir hipotezin ortaya ??kma olas?l??? nas?l belirlenir?
Bunu g?z ?n?nde bulundurarak o olay zaten oldu, hipotez olas?l?klar? abart?lm???ngiliz rahip Thomas Bayes'in ad?n? alan form?llere g?re:
– hipotezin ger?ekle?me olas?l???; 
– hipotezin ger?ekle?me olas?l???;
…
– hipotezin ger?ekle?me olas?l???.
?lk bak??ta bu tamamen sa?ma g?r?n?yor - zaten biliniyorsa hipotezlerin olas?l?klar? neden yeniden hesaplans?n ki? Ama asl?nda bir fark var:
- Bu a priori(tahmini ile testler) olas?l?k.
- Bu a posteriori(tahmini sonras?nda ayn? hipotezlerin "yeni ke?fedilen ko?ullar" ile ba?lant?l? olarak yeniden hesaplanan olas?l?klar? - olay?n ger?ekle?ti?i ger?e?i dikkate al?narak kesinlikle oldu.
Bu farkl?l??a spesifik bir ?rnekle bakal?m:
Sorun 5
Depoya 2 parti ?r?n geldi: ilki - 4000 adet, ikincisi - 6000 adet. ?lk partideki standart d??? ?r?nlerin ortalama y?zdesi %20, ikinci partide ise %10'dur. Depodan rastgele al?nan ?r?n standart ??kt?. Bunun olas?l???n? bulun: a) birinci gruptan, b) ikinci gruptan.
?lk b?l?m ??z?mler toplam olas?l?k form?l?n?n kullan?lmas?ndan olu?ur. Ba?ka bir deyi?le hesaplamalar testin ge?erli oldu?u varsay?m?yla yap?l?r. hen?z ?retilmedi ve olay “?r?n standart ??kt?” Hen?z de?il.
?ki hipotezi ele alal?m:
– rastgele al?nan bir ?r?n 1. partiden olacakt?r;
– Rastgele al?nan bir ?r?n 2. partiden olacakt?r.
Toplam: 4000 + 6000 = 10000 stoktaki ?r?n. Klasik tan?ma g?re:
.
Kontrol:
Ba??ml? olay? ele alal?m: – depodan rastgele al?nan bir ?r?n irade standart.
?lk partide %100 – %20 = %80 standart ?r?nler, dolay?s?yla: 
buna g?re 1. tarafa ait oldu?unu.
Benzer ?ekilde ikinci partide %100 - %10 = %90 standart ?r?nler ve 
– Bir depodan rastgele al?nan bir ?r?n?n standart olma olas?l??? buna g?re 2. tarafa ait oldu?unu.
Toplam olas?l?k form?l?ne g?re:
– Bir depodan rastgele al?nan bir ?r?n?n standart olma olas?l???.
?kinci b?l?m. Bir depodan rastgele al?nan bir ?r?n standart ??ks?n. Bu ifade do?rudan ko?ulda belirtilmekte ve olay?n ger?ekle?ti?i ger?e?ini belirtmektedir. olmu?.
Bayes form?llerine g?re:
a) Se?ilen standart ?r?n?n 1. partiye ait olma olas?l???;
b) Se?ilen standart ?r?n?n 2. partiye ait olma olas?l???d?r.
Sonras?nda yeniden de?erleme hipotezler elbette hala olu?uyor tam grup:
(s?nav;-))
Cevap: 
Yine mesle?ini de?i?tirerek fabrikan?n m?d?r? olan Ivan Vasilyevich, hipotezlerin yeniden de?erlendirilmesinin anlam?n? anlamam?za yard?mc? olacak. Bug?n 1. at?lyenin depoya 4.000, 2. at?lyenin ise 6.000 ?r?n sevk etti?ini biliyor ve bundan emin olmak i?in geliyor. T?m ?r?nlerin ayn? tipte ve ayn? kapta oldu?unu varsayal?m. Do?al olarak Ivan Vasilyevich, ?n haz?rl?k olarak, ?imdi inceleme i?in ??karaca?? ?r?n?n b?y?k olas?l?kla 1. at?lyede ve b?y?k olas?l?kla ikinci at?lyede ?retilece?ini hesaplad?. Ancak se?ilen ?r?n?n standart oldu?u ortaya ??k?nca ??yle hayk?r?yor: “Ne haval? bir c?vata! “Daha ziyade 2. ?al??tayda yay?mland?.” Bu nedenle, ikinci hipotezin olas?l??? daha iyi bir ?ekilde fazla tahmin edilirken, birinci hipotezin olas?l??? hafife al?n?r: . Ve bu yeniden de?erlendirme temelsiz de?il - sonu?ta 2. at?lye sadece daha fazla ?r?n ?retmekle kalm?yor, ayn? zamanda 2 kat daha iyi ?al???yor!
Saf ?znelcilik mi dediniz? K?smen - evet, ?stelik Bayes'in kendisi yorumlad? a posteriori olas?l?klar ?u ?ekilde g?ven seviyesi. Ancak her ?ey o kadar basit de?il; Bayes yakla??m?nda da nesnel bir nokta var. Sonu?ta ?r?n?n standart olma ihtimali (1. ve 2. ?al??taylar i?in s?ras?yla 0,8 ve 0,9) Bu ?n(a priori) ve ortalama de?erlendirmeler. Ancak felsefi a??dan konu?ursak, olas?l?klar dahil her ?ey akar, her ?ey de?i?ir. Bu olduk?a m?mk?n ?al??ma s?ras?nda 2. at?lye ne kadar ba?ar?l? olursa, ?retilen standart ?r?nlerin y?zdesi de o kadar artt? (ve/veya 1. at?lye azalt?ld?) ve depodaki daha fazla say?da veya 10 bin ?r?n?n tamam?n? kontrol ederseniz, fazla tahmin edilen de?erler ger?e?e ?ok daha yak?n olacakt?r.
Bu arada, e?er Ivan Vasilyevich standart olmayan bir par?a ??kar?rsa, tam tersine, 1. at?lyeden daha "??pheli" olacak ve ikinciden daha az olacakt?r. Bunu kendiniz kontrol etmenizi ?neririm:
Sorun 6
Depoya 2 parti ?r?n geldi: ilki - 4000 adet, ikincisi - 6000 adet. ?lk partideki standart d??? ?r?nlerin ortalama y?zdesi %20, ikinci partide ise %10'dur. Depodan rastgele al?nan ?r?n ??kt? Olumsuz standart. Bunun olas?l???n? bulun: a) birinci gruptan, b) ikinci gruptan.
Bu durum, kal?n harflerle vurgulad???m iki harfle ay?rt edilmektedir. Sorun s?f?rdan veya ?nceki hesaplamalar?n sonu?lar? kullan?larak ??z?lebilir. ?rnekte tam bir ??z?m ger?ekle?tirdim, ancak 5 No'lu Problem ile herhangi bir resmi ?rt??meyi ?nlemek i?in olay “Depodan rastgele al?nan ?r?n standart d??? olacakt?r” ile belirtilir.
Olas?l?klar? yeniden tahmin etmeye y?nelik Bayes ?emas? her yerde bulunur ve ayn? zamanda ?e?itli t?rdeki doland?r?c?lar taraf?ndan da aktif olarak istismar edilir. Halktan mevduat toplayan, s?zde bir yere yat?r?m yapan, d?zenli olarak temett? ?deyen vb. bilinen, ?? harfli bir anonim ?irketi ele alal?m. Neler oluyor? G?nler, aylar ge?iyor, reklamlar ve kulaktan kula?a yay?lan yeni ger?ekler yaln?zca finansal piramide olan g?ven d?zeyini art?r?yor. (ge?mi?teki olaylara ba?l? olarak arka Bayesian yeniden tahmin!). Yani yat?r?mc?lar?n g?z?nde bu ihtimal s?rekli art?yor. “Bu ciddi bir ?irket”; z?t hipotezin olas?l??? ise (“bunlar sadece daha fazla doland?r?c?”) elbette azal?r ve azal?r. A?a??dakilerin a??k oldu?unu d???n?yorum. Kazan?lan itibar?n, organizat?rlere, yaln?zca bir grup c?vata olmadan de?il, ayn? zamanda pantolonsuz da b?rak?lan Ivan Vasilyevich'ten ba?ar?yla saklanmalar? i?in zaman vermesi dikkat ?ekicidir.
Ayn? derecede ilgin? ?rneklere biraz sonra d?nece?iz, ancak ?imdilik bir sonraki ad?m ?? hipotezden olu?an belki de en yayg?n durumdur:
Sorun 7
Elektrik lambalar? ?? fabrikada ?retilmektedir. 1. tesis toplam lamba say?s?n?n% 30'unu, 2. -% 55'ini ve 3. - geri kalan?n? ?retiyor. 1. tesisin ?r?nleri% 1, 2. -% 1,5, 3. -% 2 oran?nda ar?zal? lamba i?erir. Ma?aza her ?? fabrikadan da ?r?n al?yor. Sat?n al?nan lamban?n ar?zal? oldu?u ortaya ??kt?. Bitki 2 taraf?ndan ?retilme olas?l??? nedir?
Bayes form?llerindeki problemlerde ?u durumda oldu?una dikkat edin: mutlaka belli bir ?ey var Ne oldu olay, bu durumda bir lamban?n sat?n al?nmas?d?r.
Olaylar artt? ve ??z?m"H?zl?" bir tarzda d?zenlemek daha uygundur.
Algoritma tamamen ayn?: ilk ad?mda sat?n al?nan lamban?n ??k?yor ar?zal?.
?lk verileri kullanarak y?zdeleri olas?l?klara d?n??t?r?yoruz:
– Lamban?n s?ras?yla 1., 2. ve 3. fabrikalar taraf?ndan ?retilme olas?l???.
Kontrol:
Benzer ?ekilde: – ilgili fabrikalar i?in ar?zal? bir lamba ?retme olas?l???.
Toplam olas?l?k form?l?ne g?re:
– sat?n al?nan lamban?n ar?zal? olma olas?l???.
?kinci ad?m. Sat?n al?nan lamban?n ar?zal? ??kmas? (olay?n meydana gelmesi)
Bayes'in form?l?ne g?re: 
– sat?n al?nan ar?zal? lamban?n ikinci bir fabrika taraf?ndan ?retilmi? olma olas?l???
Cevap:
Yeniden de?erleme sonras?nda 2. hipotezin ba?lang?? olas?l??? neden artt?? Sonu?ta, ikinci tesis ortalama kalitede lambalar ?retiyor (birincisi daha iyi, ???nc?s? daha k?t?). Peki neden artt? a posteriori Ar?zal? lamban?n 2. fabrikadan olmas? m?mk?n m?? Bu art?k “itibar”la de?il, b?y?kl?kle a??klan?yor. 2 numaral? tesis en fazla say?da lambay? ?retti?inden, bunu (en az?ndan ?znel olarak) su?luyorlar: “b?y?k ihtimalle bu ar?zal? lamba oradand?r”.
1. ve 3. hipotezlerin olas?l?klar?n?n beklenen y?nde fazla tahmin edilmesi ve e?itlenmesi ilgin?tir:
Kontrol: 
, kontrol edilmesi gereken ?ey buydu.
Bu arada, hafife al?nan ve fazla tahmin edilen tahminler hakk?nda:
Sorun 8
??renci grubunda 3 ki?i e?itim d?zeyi y?ksek, 19 ki?i orta d?zeyde, 3 ki?i ise d???k d?zeyde e?itime sahiptir. Bu ??rencilerin s?nav? ba?ar?yla ge?me olas?l?klar? s?ras?yla: 0,95; 0,7 ve 0,4. Baz? ??rencilerin s?nav? ge?ti?i biliniyor. Olas?l??? nedir:
a) ?ok iyi haz?rlanm??t?;
b) orta derecede haz?rlanm??;
c) k?t? haz?rlanm??t?.
Hesaplamalar yap?n ve hipotezlerin yeniden de?erlendirilmesinin sonu?lar?n? analiz edin.
G?rev ger?e?e yak?nd?r ve ??retmenin belirli bir ??rencinin yetenekleri hakk?nda neredeyse hi?bir bilgiye sahip olmad??? bir grup yar? zamanl? ??renci i?in ?zellikle makuld?r. Bu durumda sonu? olduk?a beklenmedik sonu?lara neden olabilir. (?zellikle 1. yar?y?ldaki s?navlar i?in). E?er k?t? haz?rlanm?? bir ??renci bilet alacak kadar ?ansl?ysa, o zaman ??retmen muhtemelen onu iyi bir ??renci, hatta g??l? bir ??renci olarak de?erlendirecektir; bu da gelecekte iyi kazan?lar sa?layacakt?r. (tabii ki “??tay? y?kseltmeniz” ve imaj?n?z? koruman?z gerekiyor). E?er bir ??renci 7 g?n 7 gece boyunca ?al??m??, s?k?lm?? ve tekrarlam??sa ancak ?anss?zsa, o zaman ba?ka olaylar m?mk?n olan en k?t? ?ekilde geli?ebilir - ?ok say?da tekrar ve elenmenin e?i?inde dengeleme ile.
?tibar?n en ?nemli sermaye oldu?unu s?ylemeye gerek yok; pek ?ok ?irketin, 100-200 y?l ?nce i?i y?neten ve kusursuz itibar?yla ?nlenen kurucu babalar?n?n isimlerini ta??mas? tesad?f de?il.
Evet, Bayesci yakla??m bir dereceye kadar ?zneldir ama... hayat b?yle i?ler!
??z?m?n ?imdiye kadar bilinmeyen teknik inceliklerinden bahsedece?im son bir end?striyel ?rnekle konuyu peki?tirelim:
Sorun 9
Tesisin ?? at?lyesi ayn? tip par?alar? ?retiyor ve bunlar montaj i?in ortak bir konteynere g?nderiliyor. Birinci at?lyenin ikinci at?lyeye g?re 2 kat, ???nc? at?lyeye g?re ise 4 kat daha fazla par?a ?retti?i biliniyor. ?lk at?lyede kusurlar %12, ikinci at?lyede %8, ???nc? at?lyede ise %4't?r. Kontrol i?in kaptan bir par?a al?n?r. Ar?zal? olma ihtimali nedir? ??kar?lan ar?zal? par?an?n 3. at?lyede ?retilmi? olma olas?l??? nedir?
Ivan Vasilyevich yine at s?rt?nda =) Film mutlu sonla bitmeli =)
??z?m: 5-8 Numaral? Problemlerden farkl? olarak, burada a??k?a toplam olas?l?k form?l? kullan?larak ??z?len bir soru sorulur. Ancak ?te yandan, durum biraz "?ifrelidir" ve okuldaki basit denklemler olu?turma becerisi bu bulmacay? ??zmemize yard?mc? olacakt?r. En k???k de?eri “x” olarak almak uygundur:
???nc? at?lyenin ?retti?i par?alar?n pay? olsun.
Ko?ula g?re ilk at?lye ???nc? at?lyeden 4 kat daha fazla ?retim yapt???na g?re 1. at?lyenin pay? 0,000 olur.
Ayr?ca ilk at?lye, ikinci at?lyeden 2 kat daha fazla ?r?n ?retiyor, bu da ikinci at?lyenin pay? anlam?na geliyor: .
Denklemi olu?turup ??zelim:
B?ylece: – konteyn?rdan ??kar?lan par?an?n s?ras?yla 1., 2. ve 3. at?lyelerde ?retilmi? olma olas?l???.
Kontrol: . Ayr?ca ifadeye tekrar bakman?n zarar? olmaz “Birinci at?lyenin ikinci at?lyeye g?re 2 kat, ???nc? at?lyeye g?re ise 4 kat daha fazla ?r?n ?retti?i biliniyor.” ve elde edilen olas?l?k de?erlerinin ger?ekten bu duruma kar??l?k geldi?inden emin olun.
Ba?lang??ta 1. ?al??tay?n pay? veya 2. ?al??tay?n pay? “X” olarak al?nabilir, olas?l?klar ayn? olacakt?r. Ama ?yle ya da b?yle en zor k?s?m a??ld? ve ??z?m yolunda:
Buldu?umuz durumdan:
– ilgili at?lyeler i?in kusurlu bir par?a ?retme olas?l???.
Toplam olas?l?k form?l?ne g?re: 
– Bir kaptan rastgele ??kar?lan bir par?an?n standart d??? ??kma olas?l???.
?kinci soru: ??kar?lan ar?zal? par?an?n 3. at?lyede ?retilmi? olma olas?l??? nedir? Bu soru, par?an?n zaten ??kar?ld???n? ve ar?zal? oldu?unun ortaya ??kt???n? varsayar. Bayes form?l?n? kullanarak hipotezi yeniden de?erlendiriyoruz: 
– ?stenilen olas?l?k. Kesinlikle bekleniyor - sonu?ta, ???nc? at?lye yaln?zca en k???k par?a oran?n? ?retmekle kalm?yor, ayn? zamanda kaliteye de ?nc?l?k ediyor!
Bu durumda gerekliydi d?rt katl? kesri basitle?tir Bayes form?llerini kullanan problemlerde bunu s?kl?kla yapman?z gerekir. Ancak bu ders i?in, bir?ok hesaplaman?n s?radan kesirler olmadan yap?labilece?i ?rnekleri bir ?ekilde rastgele se?tim.
Ko?ul “a” ve “be” noktalar?n? i?ermedi?inden, cevab? metin yorumlar?yla sa?lamak daha iyidir:
Cevap: 
- kaptan ??kar?lan bir par?an?n kusurlu olma olas?l???; – ??kar?lan kusurlu par?an?n 3. at?lyede ?retilmi? olma olas?l???.
G?rd???n?z gibi, toplam olas?l?k form?l? ve Bayes form?l?yle ilgili problemler olduk?a basittir ve muhtemelen bu nedenle, makalenin ba??nda bahsetti?im durumu s?kl?kla karma??kla?t?rmaya ?al???rlar.
Ek ?rnekler dosyada bulunmaktad?r. F.P.V. i?in haz?r ??z?mler ve Bayes form?lleri Ayr?ca ba?ka kaynaklarda da bu konuyu daha derinlemesine tan?mak isteyenler olacakt?r muhtemelen. Ve konu ger?ekten ?ok ilgin? - de?eri nedir? Bayes'in paradoksu Bu, bir ki?iye nadir bir hastal?k te?hisi konulursa, o zaman onun i?in bir tekrar, hatta iki tekrar ba??ms?z muayene yapmas?n?n mant?kl? olaca?? y?n?ndeki g?nl?k tavsiyeyi hakl? ??kar?r. G?r?n??e g?re bunu sadece ?aresizlikten yap?yorlar... - ama hay?r! Ama ?z?c? ?eyler hakk?nda konu?mayal?m.
Rastgele se?ilen bir ??rencinin s?nav? ge?me olas?l???d?r.
??rencinin s?nav? ge?mesine izin verin. Bayes form?llerine g?re:
A)
– S?nav? ge?en ??rencinin ?ok iyi haz?rlanm?? olma olas?l???. Nesnel ba?lang?? olas?l???n?n fazla tahmin edildi?i ortaya ??k?yor, ??nk? hemen hemen her zaman baz? "ortalama insanlar" sorularda ?ansl? ve ?ok g??l? cevaplar veriyor, bu da kusursuz bir haz?rl?k yap?ld???na dair hatal? bir izlenim veriyor.B)
– S?nav? ge?en ??rencinin ortalama haz?rl?kl? olma olas?l???. Ba?lang??taki olas?l?k biraz fazla tahmin ediliyor ??nk? ortalama haz?rl?k seviyesine sahip ??renciler genellikle ?o?unluktad?r, ayr?ca burada ??retmen, ba?ar?s?z cevap veren "m?kemmel" ??rencileri ve bazen de bilet konusunda ?ok ?ansl? olan, d???k performans g?steren bir ??renciyi dahil edecektir.V)
– S?nava giren ??rencinin haz?rl?ks?z olma ihtimali. Ba?lang??taki olas?l?k daha k?t?s? i?in fazla tahmin edilmi?ti. ?a??lacak bir ?ey yok.Muayene:
Cevap :
