Her do?al say? i?in ise N ger?ek bir say?yla e?le? B?R sonra verildi diyorlar say? dizisi :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , B?R , . . . .

Dolay?s?yla say? dizisi do?al arg?man?n bir fonksiyonudur.

Say? A 1 isminde dizinin ilk terimi , say? A 2 — dizinin ikinci terimi , say? A 3 — ???nc? ve benzeri. Say? B?R isminde dizinin n'inci ?yesi ve bir do?al say? N — onun numaras? .

?ki biti?ik ?yeden B?R Ve B?R +1 dizi ?yesi B?R +1 isminde sonraki (g?receli olarak B?R ), A B?R — ?ncesi (g?receli olarak B?R +1 ).

Bir dizi tan?mlamak i?in dizinin herhangi bir say?daki ?yesini bulman?z? sa?layacak bir y?ntem belirtmeniz gerekir.

?o?u zaman s?ra kullan?larak belirtilir. n'inci terim form?lleri yani bir dizinin bir ?yesini numaras?na g?re belirlemenize olanak tan?yan bir form?l.

?rne?in,

bir dizi pozitif tek say? form?lle verilebilir

B?R= 2N- 1,

ve alternatif dizi 1 Ve -1 - form?l

B N = (-1)N +1 . ?

S?ra belirlenebilir tekrarlanan form?l, yani, baz?lar?ndan ba?layarak ?nceki (bir veya daha fazla) ?yeye kadar dizinin herhangi bir ?yesini ifade eden bir form?l.

?rne?in,

E?er A 1 = 1 , A B?R +1 = B?R + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

E?er 1= 1, 2 = 1, B?R +2 = B?R + B?R +1 , daha sonra say?sal dizinin ilk yedi terimi ?u ?ekilde olu?turulur:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ?

S?ralar olabilir son Ve sonsuz .

S?ra denir nihai E?er s?n?rl? say?da ?yesi varsa. S?ra denir sonsuz sonsuz say?da ?yesi varsa.

?rne?in,

iki basamakl? do?al say?lar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Asal say?lar dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ?

S?ra denir artan , e?er ikinciden ba?layarak ?yelerinin her biri bir ?ncekinden daha b?y?kse.

S?ra denir azalan , e?er ikinciden ba?layarak ?yelerinin her biri bir ?ncekinden daha azsa.

?rne?in,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - artan s?ra;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - azalan dizi. ?

Say? artt?k?a elemanlar? azalmayan veya tam tersi artmayan diziye ne ad verilir? monoton dizi .

Monotonik diziler ?zellikle artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme ikinciden ba?layarak her ?yenin ayn? say?n?n eklendi?i bir ?ncekine e?it oldu?u bir dizidir.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , B?R, . . .

herhangi bir do?al say? i?in aritmetik bir ilerlemedir N ko?ul yerine getirildi:

B?R +1 = B?R + D,

Nerede D - belirli bir say?.

Dolay?s?yla, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve ?nceki terimleri aras?ndaki fark her zaman sabittir:

2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = B?R +1 - B?R = D.

Say? D isminde aritmetik ilerleme fark?.

Aritmetik ilerlemeyi tan?mlamak i?in ilk terimini ve fark?n? belirtmek yeterlidir.

?rne?in,

E?er A 1 = 3, D = 4 , dizinin ilk be? terimini ?u ?ekilde buluruz:

1 =3,

2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ?

?lk terimle aritmetik ilerleme i?in A 1 ve fark D o N

B?R = 1 + (N- 1)D.

?rne?in,

Aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ?

bir n-1 = 1 + (N- 2)D,

B?R= 1 + (N- 1)D,

B?R +1 = A 1 + ve,

o zaman a??k?as?

B?R=	a n-1 + a n+1
	2

Bir aritmetik ilerlemenin ikincisinden ba?layarak her ?yesi, ?nceki ve sonraki ?yelerin aritmetik ortalamas?na e?ittir.

a, b ve c say?lar?, ancak ve ancak bunlardan biri di?er ikisinin aritmetik ortalamas?na e?itse, bir aritmetik ilerlemenin ard???k terimleridir.

?rne?in,

B?R = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukar?daki ifadeyi kullanal?m. Sahibiz:

B?R = 2N- 7,

bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Buradan,

a n+1 + a n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = B?R,
2		2

?

Dikkat N Bir aritmetik ilerlemenin inci terimi yaln?zca ?u ?ekilde bulunabilir: A 1 , ayn? zamanda daha ?nceki herhangi bir bir k

B?R = bir k + (N- k)D.

?rne?in,

??in A 5 yaz?labilir

5 = 1 + 4D,

5 = 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ?

B?R = bir n-k + kd,

B?R = bir n+k - kd,

o zaman a??k?as?

B?R=	A n-k + bir n+k
	2

Bir aritmetik ilerlemenin ikinciden ba?layarak herhangi bir ?yesi, bu aritmetik ilerlemenin kendisinden e?it uzakl?kta bulunan ?yelerinin toplam?n?n yar?s?na e?ittir.

Ayr?ca herhangi bir aritmetik ilerleme i?in a?a??daki e?itlik ge?erlidir:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

?rne?in,

aritmetik ilerlemede

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (bir 7 + bir 13)/2;

4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, ??nk?

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ?

Sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ B?R,

Birinci N Bir aritmetik ilerlemenin terimleri, u? terimlerin toplam?n?n yar?s? ile terim say?s?n?n ?arp?m?na e?ittir:

Buradan ?zellikle ?u sonu? ??kar: terimleri toplaman?z gerekirse

bir k, bir k +1 , . . . , B?R,

bu durumda ?nceki form?l yap?s?n? korur:

?rne?in,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ?

Aritmetik bir ilerleme verilirse, miktarlar A 1 , B?R, D, N VeS N iki form?lle birbirine ba?lan?r:

Bu nedenle, bu miktarlardan ???n?n de?erleri verilirse, di?er iki miktar?n kar??l?k gelen de?erleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birle?tirilen bu form?llerden belirlenir.

Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. Bu durumda:

• E?er D > 0 , o zaman art?yor;
• E?er D < 0 , sonra azal?yor;
• E?er D = 0 , bu durumda dizi dura?an olacakt?r.

Geometrik ilerleme

Geometrik ilerleme ikinciden ba?layarak her ?yenin bir ?ncekinin ayn? say?yla ?arp?m?na e?it oldu?u bir dizidir.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir do?al say? i?in geometrik bir ilerlemedir N ko?ul yerine getirildi:

bn +1 = bn · Q,

Nerede Q ? 0 - belirli bir say?.

Dolay?s?yla, belirli bir geometrik ilerlemenin sonraki teriminin bir ?ncekine oran? sabit bir say?d?r:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Say? Q isminde geometrik ilerlemenin paydas?.

Geometrik bir ilerlemeyi tan?mlamak i?in ilk terimini ve paydas?n? belirtmek yeterlidir.

?rne?in,

E?er B 1 = 1, Q = -3 , dizinin ilk be? terimini ?u ?ekilde buluruz:

b 1 = 1,

b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ?

B 1 ve payda Q o N Bu terim a?a??daki form?l kullan?larak bulunabilir:

bn = B 1 · qn -1 .

?rne?in,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ?

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

o zaman a??k?as?

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden ba?layarak geometrik ilerlemenin her bir ?yesi, ?nceki ve sonraki ?yelerin geometrik ortalamas?na (orant?l?) e?ittir.

Bunun tersi de do?ru oldu?undan a?a??daki ifade ge?erlidir:

a, b ve c say?lar?, ancak ve ancak bunlardan birinin karesi di?er ikisinin ?arp?m?na e?itse, yani say?lardan biri di?er ikisinin geometrik ortalamas?ysa, bir geometrik ilerlemenin ard???k terimleridir.

?rne?in,

Form?l?n verdi?i diziyi kan?tlayal?m bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukar?daki ifadeyi kullanal?m. Sahibiz:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

bu da istenen ifadeyi kan?tl?yor. ?

Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yaln?zca ?u ?ekilde bulunabilir: B 1 , ayn? zamanda ?nceki herhangi bir ?ye bk bunun i?in form?l? kullanmak yeterlidir

bn = bk · qn - k.

?rne?in,

??in B 5 yaz?labilir

b5 = b 1 · Q 4 ,

b5 = b2 · 3. soru,

b5 = b3 · q 2,

b5 = b4 · Q. ?

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

o zaman a??k?as?

bn 2 = bn - k· bn + k

?kinciden ba?layarak geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin karesi, bu ilerlemenin e?it aral?kl? terimlerinin ?arp?m?na e?ittir.

Ayr?ca herhangi bir geometrik ilerleme i?in e?itlik do?rudur:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ ben.

?rne?in,

geometrik ilerlemede

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , ??nk?

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ?

Sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Birinci N paydal? geometrik ilerlemenin ?yeleri Q ? 0 form?lle hesaplan?r:

Ve ne zaman Q = 1 - form?le g?re

Sn= not 1

Terimleri toplaman?z gerekiyorsa ?unu unutmay?n:

bk, bk +1 , . . . , bn,

daha sonra form?l kullan?l?r:

Sn- Sk -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

?rne?in,

geometrik ilerlemede 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ?

Geometrik bir ilerleme verilirse, o zaman miktarlar B 1 , bn, Q, N Ve Sn iki form?lle birbirine ba?lan?r:

Bu nedenle, bu miktarlardan herhangi ???n?n de?erleri verilirse, di?er iki miktar?n kar??l?k gelen de?erleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birle?tirilen bu form?llerden belirlenir.

?lk terimle geometrik ilerleme i?in B 1 ve payda Q a?a??dakiler ger?ekle?ir monotonlu?un ?zellikleri :

• A?a??daki ko?ullardan biri kar??lan?rsa ilerleme art?yor:

B 1 > 0 Ve Q> 1;

B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;

• A?a??daki ko?ullardan biri kar??lan?rsa ilerleme azal?yor:

B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Ve Q> 1.

E?er Q< 0 , bu durumda geometrik ilerleme d?n???ml?d?r: tek say?l? terimler ilk terimiyle ayn? i?arete sahiptir ve ?ift say?l? terimler ters i?arete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmad??? a??kt?r.

?lk ?r?n?n ?r?n? N geometrik ilerlemenin terimleri a?a??daki form?l kullan?larak hesaplanabilir:

Pn= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

?rne?in,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.?

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda mod?l? daha k???k olan sonsuz geometrik ilerleme denir 1 yani

|Q| < 1 .

Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabilece?ini unutmay?n. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

B?yle bir paydayla dizi de?i?iyor. ?rne?in,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplam? ilklerin toplam?n?n s?n?rs?z olarak yakla?t??? say?y? adland?r?n N say?s?nda s?n?rs?z bir art?? olan bir ilerlemenin ?yeleri N . Bu say? her zaman sonludur ve a?a??daki form?lle ifade edilir:

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

?rne?in,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ?

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler aras?ndaki ili?ki

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yak?ndan ili?kilidir. Sadece iki ?rne?e bakal?m.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , O

ba bir 1 , ba bir 2 , ba bir 3 , . . . b d .

?rne?in,

1, 3, 5, . . . - farkla aritmetik ilerleme 2 Ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - paydayla geometrik ilerleme 7 2 . ?

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - paydayla geometrik ilerleme Q , O

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - farkla aritmetik ilerleme bir g?nl??e kaydetQ .

?rne?in,

2, 12, 72, . . . - paydayla geometrik ilerleme 6 Ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ?

Giri? seviyesi

Aritmetik ilerleme. ?rneklerle ayr?nt?l? teori (2019)

Numara dizisi

O halde oturup baz? say?lar? yazmaya ba?layal?m. ?rne?in:
Herhangi bir say? yazabilirsiniz ve istedi?iniz kadar say? olabilir (bizim durumumuzda vard?r). Ne kadar say? yazarsak yazal?m her zaman hangisinin ?nce, hangisinin ikinci oldu?unu ve sonuncuya kadar b?yle devam etti?ini s?yleyebiliriz, yani onlar? numaraland?rabiliriz. Bu bir say? dizisi ?rne?idir:

Numara dizisi
?rne?in dizimiz i?in:

Atanan numara, dizideki yaln?zca bir numaraya ?zeldir. Yani dizide ?? saniyelik say? yok. ?kinci say? (inci say? gibi) her zaman ayn?d?r.
?zerinde say? bulunan say?ya dizinin inci terimi denir.

Genellikle dizinin tamam?n? bir harfle (?rne?in,) ?a??r?r?z ve bu dizinin her ?yesi, bu ?yenin numaras?na e?it bir indeksle ayn? harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki kom?u say?lar aras?ndaki fark?n ayn? ve e?it oldu?u bir say? dizimiz var.
?rne?in:

vesaire.
Bu say? dizisine aritmetik ilerleme denir.
"?lerleme" terimi, 6. y?zy?lda Romal? yazar Boethius taraf?ndan tan?t?ld? ve daha geni? anlamda sonsuz bir say?sal dizi olarak anla??ld?. "Aritmetik" ad?, eski Yunanl?lar taraf?ndan incelenen s?rekli oranlar teorisinden aktar?lm??t?r.

Bu, her bir ?yesi ayn? say?ya eklenen bir ?ncekine e?it olan bir say? dizisidir. Bu say?ya aritmetik ilerlemenin fark? denir ve g?sterilir.

Hangi say? dizilerinin aritmetik ilerleme oldu?unu, hangilerinin olmad???n? belirlemeye ?al???n:

A)
B)
C)
D)

Anlad?m? Cevaplar?m?z? kar??la?t?ral?m:
?yle mi aritmetik ilerleme - b, c.
de?il mi aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () d?nelim ve onun inci teriminin de?erini bulmaya ?al??al?m. Var iki onu bulman?n yolu.

1. Y?ntem

?lerlemenin 3. d?nemine ula?ana kadar ilerleme say?s?n? ?nceki de?ere ekleyebiliriz. ?zetleyecek ?ok fazla ?eyimiz olmamas? iyi bir ?ey; yaln?zca ?? de?er:

Yani, a??klanan aritmetik ilerlemenin inci terimi e?ittir.

2. Y?ntem

?lerlemenin inci teriminin de?erini bulmam?z gerekirse ne olur? Toplama i?lemi bir saatten fazla zaman al?r ve say?lar? toplarken hata yapmayaca??m?z da bir ger?ek de?il.
Elbette matematik?iler, aritmetik ilerlemenin fark?n? ?nceki de?ere eklemenin gerekli olmad??? bir yol bulmu?lard?r. ?izilen resme daha yak?ndan bak?n... Elbette belli bir modeli zaten fark etmi?sinizdir, yani:

?rne?in bu aritmetik ilerlemenin . teriminin de?erinin nelerden olu?tu?una bakal?m:


Ba?ka bir deyi?le:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir ?yesinin de?erini bu ?ekilde kendiniz bulmaya ?al???n.

Hesaplad?n m?? Notlar?n?z? cevapla kar??la?t?r?n:

Aritmetik ilerlemenin terimlerini s?rayla ?nceki de?ere ekledi?imizde, ?nceki y?ntemdekiyle tamamen ayn? say?y? elde etti?inizi l?tfen unutmay?n.
Bu form?l? "ki?isellikten ar?nd?rmaya" ?al??al?m - genel forma koyal?m ve ?unu elde edelim:

Aritmetik ilerleme denklemi.

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki de?erinin bir ?ncekinden daha b?y?k oldu?u ilerlemeler.
?rne?in:

Azalan- terimlerin her bir sonraki de?erinin bir ?ncekinden daha k???k oldu?u ilerlemeler.
?rne?in:

T?retilen form?l, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmas?nda kullan?l?r.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize a?a??daki say?lardan olu?an bir aritmetik ilerleme veriliyor: Hesaplamak i?in form?l?m?z? kullan?rsak, bu aritmetik ilerlemenin inci say?s?n?n ne olaca??n? kontrol edelim:

O zamandan beri:

Dolay?s?yla form?l?n hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede ?al??t???na inan?yoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya ?al???n.

Sonu?lar? kar??la?t?ral?m:

Aritmetik ilerleme ?zelli?i

Sorunu karma??kla?t?ral?m - aritmetik ilerlemenin ?zelli?ini t?retece?iz.
Diyelim ki bize a?a??daki ko?ul verildi:
- aritmetik ilerleme, de?eri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildi?iniz form?le g?re saymaya ba?lay?n:

Haydi o zaman:

Kesinlikle do?ru. ?nce buldu?umuz, sonra onu ilk say?ya ekledi?imiz ve arad???m?z ?eyi elde etti?imiz ortaya ??kt?. ?lerleme k???k de?erlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karma??k bir ?ey yoktur, peki ya durumda bize say?lar verilirse? Kat?l?yorum, hesaplamalarda hata yapma olas?l??? var.
?imdi bu sorunu herhangi bir form?l? kullanarak tek ad?mda ??zmenin m?mk?n olup olmad???n? d???n?n. Elbette evet ve ?imdi bunu ortaya ??karmaya ?al??aca??z.

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma form?l?n? bildi?imiz gibi g?sterelim - bu, ba?lang??ta t?retti?imiz form?l?n ayn?s?d?r:
, Daha sonra:

• ilerlemenin ?nceki d?nemi:
• ilerlemenin bir sonraki d?nemi:

?lerlemenin ?nceki ve sonraki terimlerini ?zetleyelim:

?lerlemenin ?nceki ve sonraki terimlerinin toplam?n?n, aralar?nda bulunan ilerleme teriminin ?ift de?eri oldu?u ortaya ??kt?. Yani bir ilerleme teriminin ?nceki ve ard???k de?erleri bilinen de?erlerini bulmak i?in bunlar? toplay?p b?lmeniz gerekir.

Do?ru, ayn? numaray? ald?k. Malzemeyi g?vence alt?na alal?m. ?lerlemenin de?erini kendiniz hesaplay?n, hi? de zor de?il.

Tebrikler! ?lerleme hakk?nda neredeyse her ?eyi biliyorsunuz! Geriye, efsaneye g?re t?m zamanlar?n en b?y?k matematik?ilerinden biri olan "matematik?ilerin kral?" Karl Gauss taraf?ndan kolayca ??kar?labilen tek bir form?l bulmak kal?yor...

Carl Gauss 9 ya??ndayken, di?er s?n?flardaki ??rencilerin ?al??malar?n? kontrol etmekle me?gul olan bir ??retmen s?n?fta ?u g?revi sordu: "Di?er kaynaklara g?re dahil olan t?m do?al say?lar?n toplam?n? hesaplay?n." ??rencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra g?reve do?ru cevab? verirken, g?z?pek s?n?f arkada?lar?n?n ?o?u uzun hesaplamalardan sonra yanl?? sonucu ald???nda ??retmenin ne kadar ?a??rd???n? bir d???n?n...

Gen? Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebilece?iniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden olu?an bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplam?n? bulmam?z gerekiyor. Elbette t?m de?erleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya g?rev Gauss'un arad??? gibi terimlerin toplam?n? bulmay? gerektiriyorsa?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan say?lara daha yak?ndan bak?n ve onlarla ?e?itli matematiksel i?lemler ger?ekle?tirmeye ?al???n.


Hi? denedin mi? Ne fark ettin? Sa?! Toplamlar? e?ittir

?imdi s?yleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda b?yle ka? tane ?ift var? Tabii ki, t?m say?lar?n tam yar?s?.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplam?n?n e?it ve benzer ?iftlerin e?it oldu?u ger?e?ine dayanarak, toplam toplam?n ?una e?it oldu?unu elde ederiz:
.
Dolay?s?yla herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplam?n?n form?l? ?u ?ekilde olacakt?r:

Baz? problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin fark?n? biliyoruz. ???nc? terimin form?l?n? toplam form?l?nde de?i?tirmeye ?al???n.
Ne ald?n?

Tebrikler! ?imdi Carl Gauss'a sorulan probleme d?nelim: th'den ba?layan say?lar?n toplam?n?n ve th'den ba?layan say?lar?n toplam?n?n neye e?it oldu?unu kendiniz hesaplay?n.

Ne kadar ald?n?
Gauss, terimlerin toplam?n?n ve terimlerin toplam?n?n e?it oldu?unu buldu. Karar verdi?in ?ey bu mu?

Asl?nda aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplam?na ili?kin form?l, 3. y?zy?lda antik Yunan bilim adam? Diophantus taraf?ndan kan?tland? ve bu s?re boyunca esprili insanlar aritmetik ilerlemenin ?zelliklerinden tam olarak yararland?lar.
?rne?in, Eski M?s?r'? ve o zaman?n en b?y?k in?aat projesini hayal edin - bir piramidin in?as?... Resimde bunun bir taraf? g?steriliyor.

Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bak?n ve piramit duvar?n?n her s?ras?ndaki kum bloklar?n?n say?s?nda bir desen bulun.


Neden aritmetik bir ilerleme olmas?n? Tabana blok tu?lalar yerle?tirilirse bir duvar in?a etmek i?in ka? blok gerekti?ini hesaplay?n. Umar?m parma??n?z? ekranda hareket ettirirken saymazs?n?z, son form?l? ve aritmetik ilerleme hakk?nda s?yledi?imiz her ?eyi hat?rl?yor musunuz?

Bu durumda ilerleme ?u ?ekilde g?r?n?r: .
Aritmetik ilerleme fark?.
Aritmetik ilerlemenin terim say?s?.
Verilerimizi son form?llere yerle?tirelim (blok say?s?n? 2 ?ekilde hesaplayal?m).

Y?ntem 1.

Y?ntem 2.

Art?k monit?rde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen de?erleri piramidimizdeki blok say?s?yla kar??la?t?r?n. Anlad?m? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplam?n? ??rendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit in?a edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar in?a etmek i?in ka? tane kum tu?laya ihtiya? duyuldu?unu hesaplamaya ?al???n.
Ba?arabildin mi?
Do?ru cevap bloklard?r:

E?itim

G?revler:

1. Masha yaz i?in forma giriyor. Her g?n squat say?s?n? art?r?yor. Masha ilk antrenmanda squat yapt?ysa haftada ka? kez squat yapacak?
2. ??erisindeki t?m tek say?lar?n toplam? ka?t?r?
3. G?nl?kleri saklarken, g?nl?k??ler bunlar?, her ?st katman bir ?ncekinden bir g?nl?k daha az i?erecek ?ekilde istifler. Duvar?n temeli k?t?klerden olu?uyorsa, bir duvarda ka? k?t?k vard?r?

Cevaplar:

1. Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tan?mlayal?m. Bu durumda
   (haftalar = g?nler).

   Cevap:?ki hafta i?inde Masha'n?n g?nde bir kez a??z kavgas? yapmas? gerekiyor.

2. ?lk tek say?, son say?.
   Aritmetik ilerleme fark?.
   Tek say?lar?n say?s? yar?d?r, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma form?l?n? kullanarak bu ger?e?i kontrol edelim:

   Say?lar tek say?lar i?erir.
   Mevcut verileri form?lde de?i?tirelim:

   Cevap:??erisindeki t?m tek say?lar?n toplam? e?ittir.

3. Piramitlerle ilgili sorunu hat?rlayal?m. Bizim durumumuz i?in a , her ?st katman bir log azalt?ld??? i?in toplamda bir s?r? katman vard?r, yani.
   Verileri form?lde yerine koyal?m:

   Cevap: Duvarda k?t?kler var.

?zetleyelim

1. - Biti?ik say?lar aras?ndaki fark?n ayn? ve e?it oldu?u bir say? dizisi. Artabilir veya azalabilir.
2. Form?l bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi, ilerlemedeki say?lar?n say?s? olan - form?l?yle yaz?l?r.
3. Aritmetik ilerlemenin ?yelerinin m?lkiyeti- - ilerleyen say?lar?n say?s? nerede.
4. Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplam? iki ?ekilde bulunabilir:
   
   de?erlerin say?s? nerede.

Aritmetik ?lerleme. ORTA SEV?YE

Numara dizisi

Oturup baz? say?lar? yazmaya ba?layal?m. ?rne?in:

Herhangi bir say? yazabilirsiniz ve istedi?iniz kadar say? olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci oldu?unu her zaman s?yleyebiliriz, yani onlar? numaraland?rabiliriz. Bu bir say? dizisi ?rne?idir.

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir say? k?mesidir.

Ba?ka bir deyi?le, her say? belirli bir do?al say?yla ve benzersiz bir say?yla ili?kilendirilebilir. Ve bu say?y? bu setteki ba?ka bir say?ya atamayaca??z.

?zerinde say? bulunan say?ya dizinin th ?yesi denir.

Genellikle dizinin tamam?n? bir harfle (?rne?in,) ?a??r?r?z ve bu dizinin her ?yesi, bu ?yenin numaras?na e?it bir indeksle ayn? harftir: .

Dizinin inci teriminin bir form?lle belirtilmesi ?ok uygundur. ?rne?in, form?l

s?ray? ayarlar:

Ve form?l a?a??daki dizidir:

?rne?in, aritmetik ilerleme bir dizidir (burada ilk terim e?ittir ve fark e?ittir). Veya (, fark).

n'inci terim form?l?

Terimi bulmak i?in ?nceki veya birka? ?nceki terimi bilmeniz gereken bir form?le yinelenen diyoruz:

?rne?in bu form?l? kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak i?in ?nceki dokuzunu hesaplamam?z gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki form?l?n ne oldu?u ?imdi anla??ld? m??

Her sat?ra ekledi?imiz say?y? bir say?yla ?arp?yoruz. Hangisi? ?ok basit: bu mevcut ?yenin say?s?ndan eksi:

Art?k ?ok daha uygun, de?il mi? Kontrol ediyoruz:

Kendiniz karar verin:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin form?l?n? ve y?z?nc? terimi bulun.

??z?m:

?lk terim e?ittir. Fark nedir? ??te ?u:

(?lerlemenin ard???k terimlerinin fark?na e?it olmas? nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani form?l:

O zaman y?z?nc? terim ?una e?ittir:

'den 'e kadar olan t?m do?al say?lar?n toplam? nedir?

Efsaneye g?re b?y?k matematik?i Carl Gauss, 9 ya??nda bir ?ocukken bu miktar? birka? dakika i?inde hesaplam??t?. ?lk ve son say?lar?n toplam?n?n e?it oldu?unu, ikinci ve sondan bir ?nceki say?lar?n toplam?n?n ayn? oldu?unu, sondan ???nc? ve 3'?nc? say?lar?n toplam?n?n ayn? oldu?unu vb. fark etti. Toplamda bu t?r ?iftlerden ka? tane var? Bu do?ru, t?m say?lar?n tam yar?s? kadar. Bu y?zden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplam? i?in genel form?l ??yle olacakt?r:

?rnek:
T?m iki basamakl? katlar?n toplam?n? bulun.

??z?m:

Bu t?rden ilk say? ?udur. Sonraki her say?, bir ?nceki say?ya eklenerek elde edilir. B?ylece ilgilendi?imiz say?lar ilk terimi ve fark?yla aritmetik bir ilerleme olu?turur.

Bu ilerlemenin inci teriminin form?l?:

Hepsinin iki basamakl? olmas? gerekiyorsa ilerlemede ka? terim vard?r?

?ok kolay: .

?lerlemenin son terimi e?it olacakt?r. Sonra toplam:

Cevap: .

?imdi kendiniz karar verin:

1. Sporcu her g?n bir ?nceki g?ne g?re daha fazla metre ko?ar. ?lk g?n m km ko?arsa haftada toplam ka? kilometre ko?acakt?r?
2. Bir bisiklet?i her g?n bir ?nceki g?ne g?re daha fazla kilometre kat eder. ?lk g?n km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek i?in ka? g?n yol almas? gerekiyor? Yolculu?unun son g?n?nde ka? kilometre yol kat edecek?
3. Bir ma?azadaki buzdolab?n?n fiyat? her y?l ayn? miktarda d???yor. Ruble kar??l???nda sat??a sunulan ve alt? y?l sonra ruble kar??l???nda sat?lan bir buzdolab?n?n fiyat?n?n her y?l ne kadar d??t???n? belirleyin.

Cevaplar:

1. Burada en ?nemli ?ey aritmetik ilerlemeyi tan?mak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = g?nler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplam?n? belirlemeniz gerekir:
   .
   Cevap:
2. Burada verilmi?tir: , bulunmal?d?r.
   A??k?as?, ?nceki problemdekiyle ayn? toplam form?l?n? kullanman?z gerekir:
   .
   De?erleri de?i?tirin:

   K?k a??k?a uymuyor, dolay?s?yla cevap ?u.
   Son g?n boyunca katedilen yolu, inci terimin form?l?n? kullanarak hesaplayal?m:
   (km).
   Cevap:

3. Verilen: . Bulmak: .
   Daha basit olamazd?:
   (ovmak).
   Cevap:

Aritmetik ?lerleme. ANA ?EYLER HAKKINDA KISACA

Bu, biti?ik say?lar aras?ndaki fark?n ayn? ve e?it oldu?u bir say? dizisidir.

Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.

?rne?in:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma form?l?

artan say?lar?n say?s? olan form?lle yaz?l?r.

Aritmetik ilerlemenin ?yelerinin m?lkiyeti

Bir ilerlemenin bir terimini, e?er kom?u terimleri biliniyorsa (ilerlemedeki say?lar?n say?s? nerede) kolayca bulman?z? sa?lar.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplam?

Tutar? bulman?n iki yolu vard?r:

De?erlerin say?s? nerede.

De?erlerin say?s? nerede.

Say? dizisi kavram?, her do?al say?n?n bir ger?ek de?ere kar??l?k geldi?ini ima eder. B?yle bir say? dizisi keyfi olabilir veya belirli ?zelliklere sahip olabilir - bir ilerleme. ?kinci durumda, dizinin her bir sonraki eleman? (?yesi), bir ?nceki kullan?larak hesaplanabilir.

Aritmetik ilerleme, kom?u ?yelerinin birbirinden ayn? say?da farkl? oldu?u bir say?sal de?erler dizisidir (2'den ba?layarak serinin t?m ??eleri benzer bir ?zelli?e sahiptir). Bu say? (?nceki ve sonraki terimler aras?ndaki fark) sabittir ve ilerleme fark? olarak adland?r?l?r.

?lerleme fark?: tan?m

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j'nin N do?al say?lar k?mesine ait j de?erlerinden olu?an bir dizi d???n?n. ilerleme, tan?m?na g?re bir dizidir ve burada a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d de?eri bu ilerlemenin istenen fark?d?r.

d = a(j) – a(j-1).

Vurgulay?n:

• Artan bir ilerleme, bu durumda d > 0. ?rnek: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ?lerleme azal?yor, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Fark ilerlemesi ve keyfi unsurlar?

?lerlemenin 2 rastgele terimi biliniyorsa (i-th, k-th), o zaman belirli bir dizi i?in fark, ili?kiye dayal? olarak belirlenebilir:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, bunun anlam? d = (a(i) – a(k))/(i-k).

?lerleme fark? ve ilk d?nemi

Bu ifade, yaln?zca dizi ??esinin say?s?n?n bilindi?i durumlarda bilinmeyen bir de?erin belirlenmesine yard?mc? olacakt?r.

?lerleme fark? ve toplam?

Bir ilerlemenin toplam?, terimlerinin toplam?d?r. ?lk j elemanlar?n?n toplam de?erini hesaplamak i?in uygun form?l? kullan?n:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, fakat beri a(j) = a(1) + d(j – 1), sonra S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

?evrimi?i hesap makinesi.
Aritmetik ilerlemeyi ??zme.
Verilen: a n , d, n
Bul: a 1

Bu matematik program?, kullan?c? taraf?ndan belirlenen \(a_n, d\) ve \(n\) say?lar?na dayal? bir aritmetik ilerlemenin \(a_1\) de?erini bulur.
\(a_n\) ve \(d\) say?lar? yaln?zca tam say? olarak de?il ayn? zamanda kesir olarak da belirtilebilir. Ayr?ca kesirli say?, ondal?k kesir (\(2,5\)) ve s?radan kesir (\(-5\frac(2)(7)\)) bi?iminde girilebilir.

Program sadece sorunun cevab?n? vermekle kalm?yor, ayn? zamanda ??z?m bulma s?recini de g?steriyor.

Bu ?evrimi?i hesap makinesi, ortaokullardaki lise ??rencileri i?in testlere ve s?navlara haz?rlan?rken, Birle?ik Devlet S?nav?ndan ?nce bilgiyi test ederken ve ebeveynler i?in matematik ve cebirdeki bir?ok problemin ??z?m?n? kontrol etmek i?in yararl? olabilir.

Ya da belki bir ??retmen tutmak ya da yeni ders kitaplar? sat?n almak sizin i?in ?ok mu pahal?? Yoksa matematik veya cebir ?devinizi m?mk?n oldu?u kadar ?abuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detayl? ??z?mlere sahip programlar?m?z? da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi e?itiminizi hem de k???k karde?lerinizin e?itimini y?r?tebilir, sorun ??zme alan?ndaki e?itim d?zeyi de artar.

Say? girme kurallar?na a?ina de?ilseniz, bunlar? ??renmenizi ?neririz.

\(a_n\) ve \(d\) say?lar? yaln?zca tam say? olarak de?il ayn? zamanda kesir olarak da belirtilebilir.
\(n\) say?s? yaln?zca pozitif bir tam say? olabilir.

Ondal?k kesirleri girme kurallar?.
Ondal?k kesirlerdeki tamsay? ve kesirli k?s?mlar nokta veya virg?lle ayr?labilir.
?rne?in 2,5 veya 2,5 gibi ondal?k kesirleri girebilirsiniz.

S?radan kesirleri girme kurallar?.
Yaln?zca bir tam say? bir kesrin pay, payda ve tam say? k?sm? olarak i?lev g?rebilir.

Payda negatif olamaz.

Say?sal bir kesir girerken pay, paydadan bir b?lme i?aretiyle ayr?l?r: /
Giri?:
Sonu?: \(-\frac(2)(3)\)

Par?an?n tamam? kesirden ve i?aretiyle ayr?l?r: &
Giri?:
Sonu?: \(-1\frac(2)(3)\)

Say?lar? girin a n , d, n

1'i bul

Bu sorunu ??zmek i?in gerekli olan baz? scriptlerin y?klenmedi?i ve program?n ?al??mayabilece?i tespit edildi.
AdBlock'u etkinle?tirmi? olabilirsiniz.
Bu durumda devre d??? b?rak?n ve sayfay? yenileyin.

Taray?c?n?zda JavaScript devre d??? b?rak?ld?.
??z?m?n g?r?nmesi i?in JavaScript'i etkinle?tirmeniz gerekir.
Taray?c?n?zda JavaScript'i nas?l etkinle?tirece?inize ili?kin talimatlar? burada bulabilirsiniz.

??nk? Sorunu ??zmek isteyen ?ok ki?i var, talebiniz s?raya al?nd?.
Birka? saniye i?inde ??z?m a?a??da g?r?necektir.
L?tfen bekleyin saniye...

e?er sen ??z?mde bir hata fark ettim, ard?ndan Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi g?revi belirtin ne oldu?una sen karar ver alanlara girin.

Oyunlar?m?z, bulmacalar?m?z, em?lat?rlerimiz:

K???k bir teori.

Numara dizisi

G?nl?k uygulamada, ?e?itli nesnelerin numaraland?r?lmas? genellikle bunlar?n d?zenlenme s?ras?n? belirtmek i?in kullan?l?r. ?rne?in her sokaktaki evler numaraland?r?lm??t?r. K?t?phanede okuyucular?n abonelikleri numaraland?r?lmakta ve daha sonra ?zel kart dosyalar?nda atanan numara s?ras?na g?re d?zenlenmektedir.

Bir tasarruf bankas?nda, mevduat sahibinin ki?isel hesap numaras?n? kullanarak bu hesab? kolayca bulabilir ve i?inde ne kadar mevduat oldu?unu g?rebilirsiniz. 1 No'lu hesap a1 ruble depozito i?ersin, 2 No'lu hesap a2 ruble depozito i?ersin vb. say? dizisi
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
burada N, t?m hesaplar?n say?s?d?r. Burada 1'den N'ye kadar her n do?al say?s? bir n say?s?yla ili?kilidir.

Ayr?ca matematik okudu sonsuz say? dizileri:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., an n , ... .
1 denilen say?ya dizinin ilk terimi, a numaras? 2 - dizinin ikinci terimi, a numaras? 3 - dizinin ???nc? terimi vesaire.
a n say?s?na denir Dizinin n'inci (n'inci) ?yesi ve n do?al say?s? onun say?.

?rne?in do?al say?lar?n kareleri dizisinde 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ve 1 = 1 dizinin ilk terimidir; ve n = n2 dizinin n'inci terimidir; a n+1 = (n + 1) 2, dizinin (n + 1)'inci (n art? birinci) terimidir. ?o?unlukla bir dizi, n'inci teriminin form?l?yle belirtilebilir. ?rne?in, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) form?l? \(1, \; \frac(1)(2) , \; dizisini tan?mlar) \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetik ilerleme

Y?l?n uzunlu?u yakla??k 365 g?nd?r. Daha do?ru bir de?er \(365\frac(1)(4)\) g?nd?r, dolay?s?yla her d?rt y?lda bir bir g?nl?k hata birikir.

Bu hatay? telafi etmek i?in her d?rd?nc? y?la bir g?n eklenir ve uzat?lan y?la art?k y?l ad? verilir.

?rne?in, ???nc? bin y?lda art?k y?llar 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Bu dizide, ikinciden ba?layarak her ?ye bir ?ncekine e?ittir ve ayn? say? olan 4'e eklenir. Bu t?r dizilere denir. aritmetik ilerlemeler.

Tan?m.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... say? dizisine denir aritmetik ilerleme, e?er her ?ey i?in do?al bir e?itlik varsa
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
burada d bir say?d?r.

Bu form?lden a n+1 - a n = d sonucu ??kar. d say?s?na fark denir aritmetik ilerleme.

Aritmetik ilerlemenin tan?m? gere?i elimizde:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Neresi
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), burada \(n>1 \)

B?ylece, ikinciden ba?layarak bir aritmetik ilerlemenin her terimi, biti?ik iki terimin aritmetik ortalamas?na e?ittir. Bu, "aritmetik" ilerleme ad?n? a??klar.

a 1 ve d verilirse, aritmetik ilerlemenin geri kalan terimlerinin a n+1 = a n + d yinelenen form?l? kullan?larak hesaplanabilece?ini unutmay?n. Bu ?ekilde ilerlemenin ilk birka? terimini hesaplamak zor de?ildir, ancak ?rne?in 100 zaten ?ok fazla hesaplama gerektirecektir. Tipik olarak bunun i?in n'inci terim form?l? kullan?l?r. Aritmetik ilerlemenin tan?m? gere?i
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
vesaire.
Kesinlikle,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
??nk? bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi, ilk terimden d say?s?n?n (n-1) kat?yla eklenmesiyle elde edilir.
Bu form?l denir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi i?in form?l.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplam?

1'den 100'e kadar t?m do?al say?lar?n toplam?n? bulun.
Bu miktar? iki ?ekilde yazal?m:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Bu e?itlikleri terim terim toplayal?m:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu toplam?n 100 terimi var
Dolay?s?yla 2S = 101 * 100, dolay?s?yla S = 101 * 50 = 5050.

?imdi keyfi bir aritmetik ilerlemeyi ele alal?m
a 1 , a 2 , a 3 , ..., bir n , ...
Bu ilerlemenin ilk n teriminin toplam? S n olsun:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Daha sonra bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplam? ?una e?ittir:
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\) oldu?undan, bu form?lde bir n'yi de?i?tirerek, bulmak i?in ba?ka bir form?l elde ederiz. bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplam?:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kitaplar (ders kitaplar?) Birle?ik Devlet S?nav? ?zetleri ve ?evrimi?i Birle?ik Devlet S?nav? testleri Oyunlar, bulmacalar ??lev grafikleri ?izme Rus dilinin yaz?m s?zl??? Gen?lik argo s?zl??? Rus okullar? katalo?u Rusya orta ??retim kurumlar? katalo?u Rus ?niversiteleri katalo?u Liste g?revlerin

Veya aritmetik, ?zellikleri bir okul cebir dersinde incelenen bir t?r s?ral? say?sal dizidir. Bu makalede, bir aritmetik ilerlemenin toplam?n?n nas?l bulunaca?? sorusu ayr?nt?l? olarak tart???lmaktad?r.

Bu nas?l bir ilerleme?

Soruna ge?meden ?nce (bir aritmetik ilerlemenin toplam? nas?l bulunur), neden bahsetti?imizi anlamakta fayda var.

?nceki her say?ya bir de?er eklenerek (??kar?larak) elde edilen herhangi bir ger?ek say? dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Bu tan?m matematik diline ?evrildi?inde ?u ?ekli al?r:

Burada i, a i sat?r?n?n eleman?n?n seri numaras?d?r. B?ylece, yaln?zca bir ba?lang?? numaras?n? bilerek t?m seriyi kolayca geri y?kleyebilirsiniz. Form?ldeki d parametresine ilerleme fark? denir.

S?z konusu say? serisi i?in a?a??daki e?itli?in ge?erli oldu?u kolayl?kla g?sterilebilir:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Yani n'inci eleman?n de?erini s?ras?yla bulmak i?in d fark?n? ilk eleman a'ya 1 n-1 kez eklemelisiniz.

Aritmetik ilerlemenin toplam? nedir: form?l

Belirtilen miktar?n form?l?n? vermeden ?nce basit bir ?zel durumu dikkate almakta fayda var. Do?al say?lar?n 1'den 10'a kadar ilerlemesi verildi?inde, bunlar?n toplam?n? bulman?z gerekir. Progresyonda (10) az say?da terim oldu?undan, problemi do?rudan ??zmek, yani t?m unsurlar? s?rayla toplamak m?mk?nd?r.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

?lgin? bir ?eyi dikkate almakta fayda var: Her terim bir sonrakinden ayn? d = 1 de?eriyle farkl? oldu?undan, birincinin onuncu, ikincinin dokuzuncu vb. ile ikili toplam? ayn? sonucu verecektir. Ger?ekten mi:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

G?rd???n?z gibi bu toplamlardan sadece 5 adet var, yani serinin eleman say?s?ndan tam iki kat daha az. Daha sonra toplam say?s?n? (5) her toplam?n sonucuyla (11) ?arparak ilk ?rnekte elde edilen sonuca ula?acaks?n?z.

Bu arg?manlar? genelle?tirirsek a?a??daki ifadeyi yazabiliriz:

S n = n * (bir 1 + bir n) / 2.

Bu ifade, bir sat?rdaki t?m elemanlar?n toplam?n?n hi? de gerekli olmad???n?, ilk a 1 ve sonuncu a n'nin de?erini ve toplam n terim say?s?n? bilmenin yeterli oldu?unu g?stermektedir.

Gauss'un bu e?itli?i ilk kez okul ??retmeni taraf?ndan verilen bir probleme ??z?m ararken akl?na geldi?ine inan?l?yor: ilk 100 tam say?n?n toplam?.

m'den n'ye kadar elemanlar?n toplam?: form?l

?nceki paragrafta verilen form?l, bir aritmetik ilerlemenin (ilk ??eler) toplam?n?n nas?l bulunaca?? sorusuna yan?t verir, ancak ?o?u zaman problemlerde ilerlemenin ortas?nda bir say? dizisinin toplanmas? gerekir. Bu nas?l yap?l?r?

Bu soruyu cevaplaman?n en kolay yolu ?u ?rne?i ele almakt?r: m'den n'ye kadar terimlerin toplam?n? bulmam?z gereksin. Sorunu ??zmek i?in, ilerlemenin m'den n'ye kadar olan k?sm?n? yeni bir say? serisi bi?iminde sunmal?s?n?z. Bu g?sterimde m'inci terim a m birinci olacak ve bir n, n-(m-1) olarak numaraland?r?lacakt?r. Bu durumda, toplam i?in standart form?l?n uygulanmas?yla a?a??daki ifade elde edilecektir:

S m n = (n - m + 1) * (bir m + bir n) / 2.

Form?l kullanma ?rne?i

Aritmetik ilerlemenin toplam?n?n nas?l bulunaca??n? bilmek, yukar?daki form?lleri kullanman?n basit bir ?rne?ini d???nmeye de?er.

A?a??da say?sal bir dizi verilmi?tir, 5'inciden ba?lay?p 12'nci ile biten terimlerinin toplam?n? bulmal?s?n?z:

Verilen say?lar d fark?n?n 3'e e?it oldu?unu g?stermektedir. n'inci eleman ifadesini kullanarak ilerlemenin 5. ve 12. terimlerinin de?erlerini bulabilirsiniz. G?r?n??e g?re:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

S?z konusu cebirsel ilerlemenin sonundaki say?lar?n de?erlerini bilmek ve seride hangi say?lar? i?gal ettiklerini bilmek, ?nceki paragrafta elde edilen toplam?n form?l?n? kullanabilirsiniz. Ortaya ??kacak:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Bu de?erin farkl? ?ekilde elde edilebilece?ini belirtmekte fayda var: ?nce standart form?l? kullanarak ilk 12 ??enin toplam?n? bulun, ard?ndan ayn? form?l? kullanarak ilk 4 ??enin toplam?n? hesaplay?n, ard?ndan ikinciyi ilk toplamdan ??kar?n.