sonra rastgele de?i?kenin oldu?unu s?yl?yorlar x sahip olmak olas?l?k yo?unluk fonksiyonu f(x).

Tan?m.?zin vermek . S?rekli bir da??t?m fonksiyonu i?in F teorik a-kantil denklemin ??z?m? denir.

Bu ??z?m tek ??z?m olmayabilir.

Nicelik d?zeyi 1/2 teorik denir medyan , nicelik seviyeleri 1/4 Ve 3/4 -alt ve ?st ?eyrekler s?ras?yla.

Akt?eryal uygulamalarda ?nemli rol oynar Chebyshev e?itsizli?i:

herhangi bir zamanda

Matematiksel beklentinin sembol?.

??yle yaz?yor: mod?l?n, mod?l?n matematiksel beklentisinden b?y?k veya ona e?it olma olas?l??? b?l? .

Rastgele bir de?i?ken olarak ya?am s?resi

Hayat sigortalar?nda ?l?m an?n?n belirsizli?i ?nemli bir risk fakt?r?d?r.

Bir bireyin ?l?m an?na ili?kin kesin bir ?ey s?ylenemez. Bununla birlikte, e?er b?y?k bir homojen insan grubuyla kar?? kar??yaysak ve bu gruptaki bireysel insanlar?n kaderiyle ilgilenmiyorsak, o zaman frekans kararl?l??? ?zelli?ine sahip k?tlesel rastgele olaylar?n bilimi olarak olas?l?k teorisi ?er?evesindeyiz demektir. .

S?ras?yla, ya?am beklentisinden bir rastgele T de?i?keni olarak bahsedebiliriz.

Hayatta kalma i?levi

Olas?l?k teorisi herhangi bir rastgele de?i?kenin stokastik do?as?n? a??klar T da??t?m fonksiyonu F(x), bu, rastgele de?i?kenin olas?l??? olarak tan?mlan?r T say?dan az X:

.

Akt?erya matemati?inde da??t?m fonksiyonuyla de?il, ek da??t?m fonksiyonuyla ?al??mak g?zeldir . Uzun ?m?r a??s?ndan bak?ld???nda bu, bir ki?inin ya??na kadar ya?ama olas?l???d?r. X y?llar.

isminde hayatta kalma fonksiyonu(hayatta kalma fonksiyonu):

Hayatta kalma fonksiyonu a?a??daki ?zelliklere sahiptir:

Ya?am tablolar? genellikle baz? ?eylerin oldu?unu varsayar. ya? s?n?r? (ya? s?n?rlamas?) (genellikle y?llar) ve buna g?re x>.

?l?ml?l??? analitik yasalarla tan?mlarken, genellikle ya?am s?resinin s?n?rs?z oldu?u varsay?l?r, ancak yasalar?n t?r? ve parametreleri, belirli bir ya??n ?tesinde ya?am olas?l??? g?z ard? edilecek ?ekilde se?ilir.

Hayatta kalma fonksiyonunun basit istatistiksel anlam? vard?r.

Diyelim ki, g?zlemledi?imiz ve ?l?m anlar?n? kaydedebildi?imiz (genellikle) bir grup yenido?an? g?zlemliyoruz.

Bu grubun o ya?ta ya?ayan temsilcilerinin say?s?n? ile g?sterelim. Daha sonra:

.

Sembol e burada ve a?a??da matematiksel beklentiyi belirtmek i?in kullan?l?r.

Dolay?s?yla hayatta kalma fonksiyonu, belirli bir yenido?an grubundan ya??na kadar hayatta kalanlar?n ortalama oran?na e?ittir.

Akt?erya matemati?inde genellikle hayatta kalma fonksiyonuyla de?il, yeni eklenen de?erle (ba?lang??taki grup boyutunun sabitlenmesi) ?al???l?r.

Hayatta kalma fonksiyonu yo?unluktan yeniden olu?turulabilir:

?m?r ?zellikleri

Pratik a??dan bak?ld???nda a?a??daki ?zellikler ?nemlidir:

1 . Ortalama ya?am s?resi

,
2 . Da??l?m?m?r boyu

,
Nerede
,

Pek ?ok insan?n az ya da ?ok rastgele olan olaylar? hesaplaman?n m?mk?n olup olmad???n? d???nmesi pek olas? de?ildir. Basit bir ifadeyle, bir dahaki sefere k?p?n hangi taraf?n?n ortaya ??kaca??n? bilmek m?mk?n m?? Bir olay?n olas?l???n?n olduk?a kapsaml? bir ?ekilde incelendi?i olas?l?k teorisi gibi bir bilimin temelini atan iki b?y?k bilim adam?n?n kendilerine sordu?u soru bu soruydu.

Men?ei

Olas?l?k teorisi gibi bir kavram? tan?mlamaya ?al???rsan?z ?unu elde edersiniz: Bu, rastgele olaylar?n sabitli?ini inceleyen matemati?in dallar?ndan biridir. Elbette bu kavram asl?nda t?m ?z? ortaya koymuyor, bu y?zden onu daha detayl? d???nmek gerekiyor.

Teorinin yarat?c?lar?ndan ba?lamak istiyorum. Yukar?da bahsedildi?i gibi, iki tane vard? ve form?ller ve matematiksel hesaplamalar kullanarak ?u veya bu olay?n sonucunu hesaplamaya ilk ?al??anlar aras?ndayd?lar. Genel olarak bu bilimin ba?lang?c? Orta ?a?'da ortaya ??kt?. O zamanlar ?e?itli d???n?rler ve bilim adamlar? rulet, barbut vb. kumar oyunlar?n? analiz etmeye ?al??t?lar ve b?ylece belirli bir say?n?n modelini ve d??me y?zdesini belirlediler. Temeli 17. y?zy?lda ad? ge?en bilim adamlar? taraf?ndan at?ld?.

?lk ba?ta, onlar?n ?al??malar? bu alanda b?y?k bir ba?ar? olarak g?r?lemezdi ??nk? yapt?klar? sadece ampirik ger?eklerdi ve deneyler form?ller kullan?lmadan g?rsel olarak y?r?t?l?yordu. Zamanla zar at???n? g?zlemlemenin bir sonucu olarak ortaya ??kan harika sonu?lara ula?mak m?mk?n oldu. ?lk anla??l?r form?llerin t?retilmesine yard?mc? olan bu ara?t?.

Benzer d???nen insanlar

“Olas?l?k teorisi” ad? verilen bir konuyu (bu bilimde bir olay?n olas?l??? tam olarak ele al?nmaktad?r) incelerken Christiaan Huygens gibi bir ki?iden bahsetmemek m?mk?n de?ildir. Bu ki?i ?ok ilgin?. Yukar?da sunulan bilim adamlar? gibi o da rastgele olaylar?n modelini matematiksel form?ller bi?iminde t?retmeye ?al??t?. Bunu Pascal ve Fermat ile birlikte yapmamas?, yani t?m eserlerinin bu ak?llarla kesi?memesi dikkat ?ekicidir. Huygens'in ??kard??? sonu?

?lgin? bir ger?ek, onun ?al??mas?n?n, ka?iflerin ?al??malar?n?n sonu?lar?ndan ?ok ?nce, daha do?rusu yirmi y?l ?nce ortaya ??kmas?d?r. Tan?mlanan kavramlar aras?nda en ?nl?leri ?unlard?r:

• ?ans?n de?eri olarak olas?l?k kavram?;
• ayr?k durumlar i?in matematiksel beklenti;
• olas?l?klar?n ?arpma ve toplanmas? teoremleri.

Sorunun ara?t?r?lmas?na kimin ?nemli katk? sa?lad???n? da hat?rlamamak m?mk?n de?il. Herkesten ba??ms?z olarak kendi testlerini yaparak b?y?k say?lar yasas?n?n kan?t?n? sunabildi. Buna kar??l?k, on dokuzuncu y?zy?l?n ba??nda ?al??an bilim adamlar? Poisson ve Laplace, orijinal teoremleri kan?tlamay? ba?ard?lar. Bu andan itibaren olas?l?k teorisi g?zlemlerdeki hatalar? analiz etmek i?in kullan?lmaya ba?land?. Rus bilim adamlar?, daha do?rusu Markov, Chebyshev ve Dyapunov bu bilimi g?rmezden gelemezdi. B?y?k dahilerin yapt?klar? ?al??malara dayanarak bu konuyu matemati?in bir dal? olarak kurdular. Bu rakamlar on dokuzuncu y?zy?l?n sonunda zaten i?e yarad? ve katk?lar? sayesinde a?a??daki olgular kan?tland?:

• b?y?k say?lar kanunu;
• Markov zinciri teorisi;
• merkezi limit teoremi.

Dolay?s?yla bilimin do?u? tarihi ve onu etkileyen ana ki?ilerle ilgili her ?ey az ?ok a??kt?r. Art?k t?m ger?ekleri a??klaman?n zaman? geldi.

Temel Kavramlar

Yasalara ve teoremlere de?inmeden ?nce olas?l?k teorisinin temel kavramlar?n? incelemekte fayda var. Olay bunda ?nc? bir rol oynuyor. Bu konu olduk?a hacimlidir, ancak o olmadan di?er her ?eyi anlamak m?mk?n olmayacakt?r.

Olas?l?k teorisinde bir olay, bir deneyin herhangi bir sonucu k?mesidir. Bu fenomenle ilgili epeyce kavram var. B?ylece bu alanda ?al??an bilim adam? Lotman, bu durumda "olmam?? olsa da olanlardan" bahsetti?imizi s?yledi.

Rastgele olaylar (olas?l?k teorisi bunlara ?zel ?nem verir), meydana gelme olas?l??? olan herhangi bir olguyu kesinlikle ima eden bir kavramd?r. Veya tam tersi, bir?ok ko?ulun kar??lanmas? durumunda bu senaryo ger?ekle?meyebilir. Ayr?ca meydana gelen olaylar?n t?m hacmini yakalayanlar?n rastgele olaylar oldu?unu bilmeye de?er. Olas?l?k teorisi, t?m ko?ullar?n s?rekli olarak tekrarlanabilece?ini g?stermektedir. “Tecr?be” veya “s?nama” denilen ?ey onlar?n davran??lar?d?r.

G?venilir bir olay, belirli bir testte ger?ekle?me olas?l??? y?zde y?z olan bir olgudur. Buna g?re imkans?z olay, olmayacak olayd?r.

Bir ?ift eylemin birle?imi (?artl? olarak A durumu ve B durumu) ayn? anda meydana gelen bir olgudur. AB olarak tan?mlan?rlar.

A ve B olay ?iftlerinin toplam? C'dir, yani bunlardan en az biri (A veya B) ger?ekle?irse C elde edilir. Tan?mlanan olay?n form?l? ?u ?ekilde yaz?l?r: C = A + B.

Olas?l?k teorisindeki tutars?z olaylar, iki durumun birbirini d??lad??? anlam?na gelir. Hi?bir durumda ayn? anda ger?ekle?emezler. Olas?l?k teorisindeki ortak olaylar onlar?n antipodudur. Burada kastedilen, e?er A olmu?sa bu, B'yi hi?bir ?ekilde engellemez.

Kar??t olaylar?n (olas?l?k teorisi bunlar? ?ok ayr?nt?l? olarak ele al?r) anla??lmas? kolayd?r. Bunlar? anlaman?n en iyi yolu kar??la?t?rma yapmakt?r. Olas?l?k teorisindeki uyumsuz olaylarla neredeyse ayn?d?rlar. Ancak aralar?ndaki fark, bir?ok olaydan birinin her durumda ger?ekle?mesi gerekti?i ger?e?inde yatmaktad?r.

E?it derecede olas? olaylar, e?it tekrarlanma ?ans?na sahip olan eylemlerdir. Daha a??k bir ifadeyle, bir yaz? tura atmay? hayal edebilirsiniz: Bir taraf?n kayb?n?n di?er taraftan d??mesi de ayn? derecede olas?d?r.

Hay?rl? bir olay? bir ?rnekle ele almak daha kolayd?r. Diyelim ki bir B b?l?m? ve bir de A b?l?m? var. Birincisi zar?n tek say?yla at?lmas?, ikincisi ise zar?n ?zerinde be? say?s?n?n g?r?nmesi. Sonra A'n?n B'yi tercih etti?i ortaya ??kt?.

Olas?l?k teorisindeki ba??ms?z olaylar yaln?zca iki veya daha fazla duruma yans?t?l?r ve herhangi bir eylemin di?erinden ba??ms?z oldu?unu ima eder. ?rne?in A, bozuk para at?ld???nda tura kayb?d?r ve B, desteden vale ?ekilmesidir. Olas?l?k teorisinde ba??ms?z olaylard?r. Bu noktada durum daha da netle?ti.

Olas?l?k teorisindeki ba??ml? olaylara da yaln?zca bunlar?n bir k?mesi i?in izin verilebilir. Birinin di?erine ba??ml?l???n? ima ederler, yani B fenomeni ancak A zaten olmu?sa veya tam tersi, B i?in ana ko?ul bu oldu?unda ger?ekle?memi?se meydana gelebilir.

Tek bile?enden olu?an rastgele bir deneyin sonucu temel olaylard?r. Olas?l?k teorisi bunun yaln?zca bir kez ger?ekle?en bir olay oldu?unu a??klar.

Temel form?ller

B?ylece yukar?da “olay” ve “olas?l?k teorisi” kavramlar? tart???lm??; bu bilimin temel terimlerinin tan?m? da verilmi?tir. Art?k ?nemli form?lleri do?rudan tan?man?n zaman? geldi. Bu ifadeler olas?l?k teorisi gibi karma??k bir konudaki t?m ana kavramlar? matematiksel olarak do?rulamaktad?r. Bir olay?n olas?l??? burada da b?y?k rol oynar.

Temel olanlarla ba?lamak daha iyidir ve onlarla ba?lamadan ?nce bunlar?n ne oldu?unu d???nmeye de?er.

Kombinatorik ?ncelikle matemati?in bir dal?d?r; ?ok say?da tamsay?lar?n yan? s?ra hem say?lar?n hem de elemanlar?n?n ?e?itli perm?tasyonlar?n?n, ?e?itli verilerin vb. Bir tak?m kombinasyonlar?n ortaya ??kmas?na yol a?mas?yla ilgilenir. Olas?l?k teorisinin yan? s?ra bu dal istatistik, bilgisayar bilimi ve kriptografi i?in de ?nemlidir.

Art?k form?llerin kendisini ve tan?mlar?n? sunmaya ge?ebiliriz.

Bunlardan ilki perm?tasyon say?s? ifadesi olacak, ??yle g?r?n?yor:

P_n = n ? (n - 1) ? (n - 2)…3 ? 2 ? 1 = n!

Denklem yaln?zca ??elerin yaln?zca d?zenlenme s?ralar? farkl?ysa uygulan?r.

?imdi yerle?tirme form?l? dikkate al?nacak, ??yle g?r?necek:

A_n^m = n ? (n - 1) ? (n-2) ? ... ? (n - m + 1) = n! : (n-m)!

Bu ifade yaln?zca eleman?n yerle?tirilme s?ras?na de?il ayn? zamanda bile?imine de uygulanabilir.

Kombinatoriklerden ???nc? denklem ve ayn? zamanda sonuncusu, kombinasyon say?s? form?l? olarak adland?r?l?r:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :M!

Kombinasyon, buna g?re s?ralanmayan se?imleri ifade eder; bu kural onlar i?in ge?erlidir.

Kombinatorik form?lleri anlamak kolayd?; art?k olas?l?klar?n klasik tan?m?na ge?ebilirsiniz. Bu ifade ?una benzer:

Bu form?lde m, A olay? i?in elveri?li ko?ullar?n say?s?d?r ve n, kesinlikle t?m e?it derecede olas? ve temel sonu?lar?n say?s?d?r.

?ok say?da ifade var; yaz?da bunlar?n hepsine yer verilmeyecek, ancak olaylar?n toplam?n?n olas?l??? gibi en ?nemlilerine de?inilecektir:

P(A + B) = P(A) + P(B) - bu teorem yaln?zca uyumsuz olaylar?n eklenmesi i?indir;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ve bu yaln?zca uyumlu olanlar? eklemek i?indir.

Olaylar?n ger?ekle?me olas?l???:

P(A ? B) = P(A) ? P(B) - bu teorem ba??ms?z olaylar i?indir;

(P(A ? B) = P(A) ? P(B|A); P(A ? B) = P(A) ? P(A|B)) - ve bu ba??ml?lar i?indir.

Olaylar?n listesi olay form?l?yle tamamlanacakt?r. Olas?l?k teorisi bize ?una benzeyen Bayes teoremini anlat?r:

P(H_m|A) = (P(H_m)P(A|H_m)) : (?_(k=1)^n P(H_k)P(A|H_k))m = 1,..., N

Bu form?lde H 1, H 2, ..., H n tam bir hipotez grubudur.

?rnekler

Matemati?in herhangi bir b?l?m?n? dikkatlice incelerseniz, al??t?rmalar ve ?rnek ??z?mler olmadan tamamlanm?? say?lmaz. Olas?l?k teorisi de ?yle: Buradaki olaylar ve ?rnekler, bilimsel hesaplamalar? do?rulayan ayr?lmaz bir bile?endir.

Perm?tasyon say?s? form?l?

Diyelim ki bir kart destesinde bir de?erinden ba?layarak otuz kart var. Sonraki soru. Bir ve iki de?eri olan kartlar yan yana olmayacak ?ekilde desteyi istiflemenin ka? yolu vard?r?

G?rev belirlendi, ?imdi ??zmeye ge?elim. ?ncelikle otuz elementin perm?tasyon say?s?n? belirlemeniz gerekiyor, bunun i?in yukar?da sunulan form?l? al?yoruz, P_30 = 30!

Bu kurala dayanarak, desteyi farkl? ?ekillerde katlamak i?in ka? se?enek oldu?unu ??reniyoruz, ancak birinci ve ikinci kartlar?n yan yana oldu?u kartlar? ??karmam?z gerekiyor. Bunu yapmak i?in ilkinin ikincinin ?zerinde oldu?u se?enekle ba?layal?m. ?lk kart?n birinciden yirmi dokuzuncuya kadar yirmi dokuz s?ray?, ikinci kart?n ikinciden otuzuncuya kadar yirmi dokuz s?ray? alabilece?i ortaya ??kt?, bu da bir ?ift kart i?in toplam yirmi dokuz yer olu?turuyor. Buna kar??l?k, geri kalanlar herhangi bir s?rayla yirmi sekiz yeri kabul edebilir. Yani yirmi sekiz kart? yeniden d?zenlemek i?in yirmi sekiz se?enek vard?r P_28 = 28!

Sonu? olarak, ilk kart?n ikinci kart?n ?st?nde oldu?u ??z?m? dikkate al?rsak 29 ? 28 ekstra olas?l?k ortaya ??k?yor! = 29!

Ayn? y?ntemi kullanarak, ilk kart?n ikincinin alt?nda oldu?u durum i?in yedek se?eneklerin say?s?n? hesaplaman?z gerekir. Ayr?ca 29 ? 28 oldu?u ortaya ??kt?! = 29!

Bundan, 2 ? 29 ekstra se?ene?in oldu?u sonucu ??kar!, bir desteyi monte etmek i?in gerekli yollar ise 30'dur! - 2 ? 29!. Geriye sadece saymak kal?yor.

30! = 29! ? 30; 30!- 2 ? 29! = 29! ? (30 - 2) = 29! ? 28

?imdi birden yirmi dokuza kadar olan t?m say?lar? ?arpman?z ve son olarak her ?eyi 28 ile ?arpman?z gerekiyor. Cevap 2,4757335 ??10?^32

?rnek ??z?m. Yerle?tirme numaras? form?l?

Bu problemde, on be? cildi bir rafa koyman?n ka? yolu oldu?unu bulman?z gerekiyor, ancak toplamda otuz cilt olmas? ?art?yla.

Bu sorunun ??z?m? ?ncekine g?re biraz daha basit. Zaten bilinen form?l? kullanarak, otuz ciltlik onbe? ciltlik toplam d?zenleme say?s?n? hesaplamak gerekir.

A_30^15 = 30 ? 29 ? 28?... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Buna g?re cevap 202.843.204.931.727.360.000'e e?it olacakt?r.

?imdi biraz daha zor bir g?revi ele alal?m. Bir raf?n yaln?zca on be? cilt alabilece?i g?z ?n?ne al?nd???nda, otuz kitab? iki rafa yerle?tirmenin ka? farkl? yolu oldu?unu bulman?z gerekir.

??z?me ba?lamadan ?nce baz? problemlerin birka? yolla ??z?lebilece?ini, bunun da iki y?ntemi oldu?unu ancak her ikisinin de ayn? form?l? kulland???n? belirtmek isterim.

Bu problemin cevab?n? bir ?nceki problemden alabilirsiniz, ??nk? orada on be? kitapla dolu bir raf? farkl? ?ekillerde ka? kez doldurabilece?inizi hesaplad?k. A_30^15 = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ...? 16 oldu?u ortaya ??kt?.

?kinci raf? perm?tasyon form?l?n? kullanarak hesaplayaca??z ??nk? i?ine on be? kitap yerle?tirilebilirken geriye yaln?zca on be? kitap yerle?tirilebilir. P_15 = 15! form?l?n? kullan?yoruz.

Toplam?n A_30^15 ? P_15 yolu olaca?? ortaya ??kt?, ancak buna ek olarak otuzdan on alt?ya kadar t?m say?lar?n ?arp?m?n?n birden on be?e kadar say?lar?n ?arp?m? ile ?arp?lmas? gerekecek, sonunda birden otuza kadar olan t?m say?lar?n ?arp?m?n? elde edece?iz, yani cevap 30'a e?it olacak!

Ancak bu sorun ba?ka bir ?ekilde ??z?lebilir - daha kolay. Bunu yapmak i?in otuz kitap i?in bir raf oldu?unu hayal edebilirsiniz. Hepsi bu d?zleme yerle?tirilmi? ama durum iki raf olmas?n? gerektirdi?inden, bir tane uzun olan? ikiye b?ld?k, yani iki tane on be?lik elde ettik. Bundan, d?zenleme i?in P_30 = 30 se?ene?in olabilece?i ortaya ??k?yor!

?rnek ??z?m. Kombinasyon numaras? form?l?

?imdi kombinatorikteki ???nc? problemin bir versiyonunu ele alaca??z. Tamamen ayn? olan otuz kitap aras?ndan se?im yapman?z ?art?yla, on be? kitab? d?zenlemenin ka? yolu oldu?unu bulman?z gerekir.

??zmek i?in elbette kombinasyon say?s? form?l? uygulanacakt?r. Bu ko?uldan, ayn? on be? kitab?n s?ras?n?n ?nemli olmad??? anla??lmaktad?r. Bu nedenle, ba?lang??ta on be? kitaptan olu?an otuz kitab?n toplam kombinasyon say?s?n? bulman?z gerekir.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

??te bu. Bu form?l? kullanarak bu sorunu en k?sa s?rede ??zebildik; buna g?re cevap 155.117.520.

?rnek ??z?m. Olas?l???n klasik tan?m?

Yukar?daki form?l? kullanarak basit bir sorunun cevab?n? bulabilirsiniz. Ancak bu, eylemlerin ilerleyi?ini a??k?a g?rmeye ve izlemeye yard?mc? olacakt?r.

Sorun, torbada on adet tamamen ayn? topun bulundu?unu belirtmektedir. Bunlardan d?rd? sar?, alt?s? mavidir. Torbadan bir top al?n?yor. Mavi olma olas?l???n? bulman?z gerekiyor.

Sorunu ??zmek i?in mavi topun al?nmas?n? A olay? olarak belirlemek gerekir. Bu deneyin on sonucu olabilir ve bunlar da temel ve ayn? derecede olas?d?r. Ayn? zamanda on olaydan alt?s? A olay?n?n lehinedir. A?a??daki form?l? kullanarak ??z?yoruz:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Bu form?l? uygulayarak mavi top gelme olas?l???n?n 0,6 oldu?unu ??rendik.

?rnek ??z?m. Olaylar?n toplam?n?n olas?l???

?imdi olaylar?n toplam? olas?l?k form?l? kullan?larak ??z?len bir se?enek sunulacak. Yani iki kutunun olmas? ?art? veriliyor; ilkinde bir gri ve be? beyaz top, ikincisinde ise sekiz gri ve d?rt beyaz top var. Sonu? olarak birinci ve ikinci kutulardan birini ald?lar. Ald???n?z toplar?n gri ve beyaz olma ihtimalinin ne oldu?unu bulman?z gerekiyor.

Bu sorunu ??zmek i?in olaylar? tan?mlamak gerekir.

• B?ylece, A – ilk kutudan gri bir top ald?: P(A) = 1/6.
• A’ - yine ilk kutudan beyaz bir top ald?: P(A") = 5/6.
• B - ikinci kutudan gri bir top ??kar?ld?: P(B) = 2/3.
• B' - ikinci kutudan gri bir top ald?: P(B") = 1/3.

Problemin ko?ullar?na g?re AB' veya A'B olaylar?ndan birinin ger?ekle?mesi gerekmektedir. Form?l? kullanarak ?unu elde ederiz: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Art?k olas?l??? ?arpma form?l? kullan?ld?. Daha sonra cevab? bulmak i?in bunlar?n eklenmesi denklemini uygulaman?z gerekir:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Form?l? kullanarak benzer problemleri bu ?ekilde ??zebilirsiniz.

Sonu? olarak

Makalede, bir olay?n olas?l???n?n hayati bir rol oynad??? "Olas?l?k Teorisi" konusu hakk?nda bilgiler sunuldu. Elbette her ?ey dikkate al?nmad?, ancak sunulan metne dayanarak matemati?in bu b?l?m?n? teorik olarak tan?yabilirsiniz. S?z konusu bilim sadece mesleki konularda de?il, g?nl?k ya?amda da faydal? olabilir. Onun yard?m?yla herhangi bir olay?n olas?l???n? hesaplayabilirsiniz.

Metinde ayr?ca olas?l?k teorisinin bir bilim olarak olu?um tarihindeki ?nemli tarihlere ve bu konuda ?al??malar? olan ki?ilerin isimlerine de de?inildi. Bu, insan merak?n?n, insanlar?n rastgele olaylar? bile hesaplamay? ??renmesine yol a?mas?d?r. Bir zamanlar bununla sadece ilgileniyorlard? ama bug?n herkes bunu zaten biliyor. Ve gelecekte bizi neyin bekledi?ini, s?z konusu teoriyle ilgili ba?ka ne gibi parlak ke?iflerin yap?laca??n? kimse s?ylemeyecek. Ancak kesin olan bir ?ey var ki o da ara?t?rmalar?n yerinde olmad???d?r!

Bu, s?z konusu olay?n ger?ekle?ti?i g?zlem say?s?n?n toplam g?zlem say?s?na oran?d?r. Bu yorum, yeterince fazla say?da g?zlem veya deney olmas? durumunda kabul edilebilir. ?rne?in sokakta tan??t???n?z ki?ilerin yakla??k yar?s? kad?nsa, sokakta tan??t???n?z ki?inin kad?n olma ihtimalinin 1/2 oldu?unu s?yleyebilirsiniz. Ba?ka bir deyi?le, bir olay?n olas?l???n?n tahmini, rastgele bir deneyin ba??ms?z tekrarlar?n?n uzun bir serisinde meydana gelme s?kl??? olabilir.

Matematikte olas?l?k

Modern matematik yakla??m?nda klasik (yani kuantum de?il) olas?l?k Kolmogorov'un aksiyomati?i ile verilmektedir. Olas?l?k bir ?l??d?r P k?mesinde tan?mlanan X olas?l?k uzay? denir. Bu ?l?? a?a??daki ?zelliklere sahip olmal?d?r:

Bu ko?ullardan ?u sonu? ??kar: olas?l?k ?l??s? P m?lk? de var toplanabilirlik: e?er ayarlarsa A 1 ve A 2 kesi?miyorsa o zaman . Kan?tlamak i?in her ?eyi koyman?z gerekiyor A 3 , A 4 , ... bo? k?meye e?it ve say?labilir toplamsall?k ?zelli?ini uygulay?n.

Olas?l?k ?l??s? k?menin t?m alt k?meleri i?in tan?mlanamayabilir X. K?menin baz? alt k?melerinden olu?an bir sigma cebiri ?zerinde tan?mlamak yeterlidir. X. Bu durumda rastgele olaylar uzay?n ?l??lebilir alt k?meleri olarak tan?mlan?r. X yani sigma cebirinin elemanlar? olarak.

Olas?l?k duygusu

Ger?ekte meydana gelen olas? bir olgunun nedenlerinin kar??t nedenlerden daha a??r bast???n? buldu?umuzda, bu ger?e?i dikkate al?r?z. muhtemel, aksi takdirde - inan?lmaz. Pozitif bazlar?n negatif bazlara ?st?nl??? ve bunun tersi, belirsiz bir dereceler k?mesini temsil edebilir; bunun sonucunda olas?l?k(Ve olas?l?k d???l?k) olur Daha veya az .

Karma??k bireysel ger?ekler, olas?l?k derecelerinin kesin olarak hesaplanmas?na izin vermez, ancak burada bile baz? b?y?k alt b?l?mler olu?turmak ?nemlidir. Yani ?rne?in hukuk alan?nda, yarg?lamaya konu olan ki?isel bir olgu tan?kl??a dayanarak tespit edildi?inde, kesin olarak s?ylemek gerekirse, her zaman yaln?zca olas? kal?r ve bu olas?l???n ne kadar ?nemli oldu?unu bilmek gerekir; Roma hukukunda burada d?rtl? bir b?l?nme benimsenmi?tir: ?artl? tahliye talebi(burada olas?l?k pratikte ?una d?n???r: g?venilirlik), daha ?te - deneme eksi plena, Daha sonra - denetimli serbestlik semiplena major ve nihayet vesayet semiplena min?r .

Davan?n olas?l??? sorusuna ek olarak, hem hukuk alan?nda hem de ahlaki alanda (belirli bir etik bak?? a??s?yla), belirli bir olgunun bir olay olu?turmas?n?n ne kadar muhtemel oldu?u sorusu ortaya ??kabilir. genel kanunun ihlali. Talmud'un dini i?tihatlar?nda ana motif olarak hizmet eden bu soru, ayn? zamanda (?zellikle 16. y?zy?l?n sonlar?ndan itibaren) Roma Katolik ahlak teolojisinde ?ok karma??k sistematik yap?lara ve dogmatik ve polemiksel geni? bir literat?re yol a?m??t?r. bkz. Olas?l?k).

Olas?l?k kavram?, yaln?zca belirli homojen serilerin par?as? olan ger?eklere uyguland???nda belirli bir say?sal ifadeye izin verir. Yani (en basit ?rnekte), birisi arka arkaya y?z kez para att???nda, burada iki ?zel veya daha k???kten olu?an, bu durumda say?sal olarak olu?an genel veya b?y?k bir seri (madalyonun t?m d??melerinin toplam?) buluruz. e?it, seri ("tura" d??er ve "yaz?" d??er); Bu kez paran?n tura gelme olas?l???, yani genel serinin bu yeni ?yesinin iki k???k seriden birine ait olma olas?l???, bu k???k seri ile b?y?k seri aras?ndaki say?sal ili?kiyi ifade eden kesire e?ittir, yani 1/2, yani ayn? olas?l?k iki belirli seriden birine veya di?erine aittir. Daha az basit ?rneklerde, sonu? do?rudan problemin verilerinden ??kar?lamaz, ancak ?nceden t?mevar?m gerektirir. ?rne?in soru ?u: Yeni do?mu? bir bebe?in 80 ya??na kadar ya?ama olas?l??? nedir? Burada, benzer ko?ullarda do?an ve farkl? ya?larda ?len belirli say?da insandan olu?an genel veya b?y?k bir seri bulunmal?d?r (bu say?, rastgele sapmalar? ortadan kald?racak kadar b?y?k ve serinin homojenli?ini koruyacak kadar k???k olmal?d?r; ?rne?in St.Petersburg'da zengin, k?lt?rl? bir ailede do?an bir ki?i i?in, ?ehrin milyonluk n?fusunun tamam?, ?nemli bir k?sm? erken ?lebilecek ?e?itli gruplardan insanlardan olu?uyor - askerler, gazeteciler, tehlikeli i??iler meslekler - ger?ek olas?l?k tespiti i?in fazla heterojen bir grubu temsil eder); bu genel dizi on bin insan hayat?ndan olu?sun; belirli bir ya?a kadar ya?ayan insan say?s?n? temsil eden daha k???k serileri i?erir; Bu daha k???k serilerden biri 80 ya??na kadar ya?ayan insan say?s?n? temsil ediyor. Ancak bu daha k???k serinin (di?erleri gibi) say?s?n? belirlemek imkans?zd?r. a priori; bu tamamen t?mevar?msal olarak, istatistikler yoluyla yap?l?r. ?statistiksel ?al??malar?n 10.000 orta s?n?f St. Petersburg sakininden yaln?zca 45'inin 80 ya??na kadar ya?ad???n? tespit etti?ini varsayal?m; B?ylece bu k???k seri b?y?k olanla ili?kilidir, ??nk? 45'in 10.000'i vard?r ve belirli bir ki?inin bu k???k seriye ait olma, yani 80 ya??na kadar ya?ama olas?l??? 0,0045'in kesri olarak ifade edilir. Olas?l???n matematiksel a??dan incelenmesi ?zel bir disiplin - olas?l?k teorisi olu?turur.

Ayr?ca bak?n?z

Notlar

Edebiyat

• Alfred Renyi. Olas?l?k / trans ?zerine mektuplar. Macar'dan D. Saas ve A. Crumley, eds. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Olas?l?k teorisi dersi. M., 2007. 42 s.
• Kuptsov V.I. Determinizm ve olas?l?k. M., 1976. 256 s.

Wikimedia Vakf?.

E? anlaml?lar:

Z?t anlaml?lar

Di?er s?zl?klerde “Olas?l?k”?n ne oldu?una bak?n: Genel bilimsel ve felsefi. sabit g?zlem ko?ullar? alt?nda kitlesel rastgele olaylar?n meydana gelme olas?l???n?n nicelik derecesini belirten ve bunlar?n g?receli frekanslar?n?n kararl?l???n? karakterize eden bir kategori. Mant?kta, anlamsal derece... ...

Felsefi Ansiklopedi OLASILIK, belirli bir olay?n meydana gelme olas?l???n? temsil eden, s?f?rdan bire kadar olan aral?ktaki bir say?. Bir olay?n olas?l???, bir olay?n meydana gelme ihtimalinin toplam olas? olay say?s?na oran? olarak tan?mlan?r... ...

Bilimsel ve teknik ansiklopedik s?zl?k B?y?k olas?l?kla.. Rus?a e?anlaml?lar ve benzer ifadeler s?zl???. alt?nda. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionarys, 1999. olas?l?k olas?l???, olas?l?k, ?ans, nesnel olas?l?k, maza, kabul edilebilirlik, risk. Kar?nca. imkans?zl?k... ...

olas?l?k E?anlaml?lar s?zl??? - Bir olay?n meydana gelme ihtimalinin ?l??s?. Not Olas?l???n matematiksel tan?m? ?u ?ekildedir: “rastgele bir olayla ili?kilendirilen, 0 ile 1 aras?ndaki ger?ek say?.” Say?, bir dizi g?zlemdeki g?receli s?kl??? yans?tabilir... ...

Teknik ?evirmen K?lavuzu Olas?l?k - “Belirli ?zel ko?ullarda herhangi bir olay?n s?n?rs?z say?da tekrarlanabilme olas?l???n?n derecesinin matematiksel, say?sal bir ?zelli?i.” Bu klasikten yola ??k?larak... ...

Ekonomik ve matematiksel s?zl?k - (olas?l?k) Herhangi bir olay?n veya belirli bir sonucun meydana gelme olas?l???. 0'dan 1'e kadar b?l?mlere sahip bir ?l?ek ?eklinde sunulabilir. Bir olay?n olas?l??? s?f?r ise ger?ekle?mesi imkans?zd?r. 1'e e?it olas?l?kla, ba?lang?c?...